8. 交流回路の基本及び各種回路要素8. Fundamental of the AC Electric Circuit and Various Circuit Elements

講義内容

1. 交流回路計算の基本2. フェーザ表示と複素数表示3. 回路要素：R, L, C

複素数の復習 2

Carolus Fridericus

Gauss(1777～1855)

r iF F jF= +

RerF

ijF

ijF−

θ

r iF F jF= −

1 i

r

TanF

θF

−=

F

2 2

r iF F F= +Im

0 θ−

（ 複素数 ）

（ 大きさ ）

（ 位相 ）

（ 共役 複素数 ）

（ 実部 ）

（ 虚部 ）

横軸が実数，縦軸が虚数の平面上の1点を 複素数 という（※平面の名前：複素 平面，ガウス 平面）

複素数表示と極表示（フェーザ表示） 3

Re

ijF

ijF−

θ

F

Im

0 θ−

2 2 1 ir i r i

r

r i

Tan

cos sin

FF F jF F F F θ

F

F F θ F θ j F θ F jF

−= + = +

= = + +

Re

ijF

θ

F

Im

0rF

F位相（ 位相角 ）θ を電卓で

計算する場合，象限 と 符号 の関係を把握する必要がある！

※第 1 象限はそのまま！

複素数 ⇒ 極

極 ⇒ 複素数

複素数の計算 4

1 r1 i1 1 1F F jF F θ= + =

加算（＋） ( ) ( ) ( ) ( )1 2 r1 i1 r2 i2 r1 r2 i1 i2F F F jF F jF F F j F F+ = + + + = + + +

減算（－） ( ) ( ) ( ) ( )1 2 r1 i1 r2 i2 r1 r2 i1 i2F F F jF F jF F F j F F− = + − + = − + −

2 r2 i2 2 2F F jF F θ= + = ，

乗算（×） ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2F F F θ F θ F F θ θ= = +

除算（÷） ( )1 1 11

1 2

2 2 2 2

F θ FFθ θ

F F θ F

= = −

加・減算：複素数 表示乗・除算：極 表示

で計算を行う方が簡単

位相角は 和

位相角は 差

複素数計算の注意点 5

( ) ( )( ) ( )

1 2 r1 r2 i1 i2

1 2 r1 r2 i1 i2

F F F F j F F

F F F F j F F

+ = + + +

− = − + −加・減算

( )

( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

F F F F θ θ

F F F F θ θ

+ = + +

− = − −

右の計算式は 間違い ！極表示は 加・減算 の計算はできないことに注意！

乗算 ( )( ) ( ) ( )1 2 r1 i1 r2 i2 r1 r2 i1 i2 r1 i2 i1 r2F F F jF F jF F F F F j F F F F= + + = − + +

除算( )( )

( )( )

( ) ( )r1 i1 r2 i2 r1 r2 i1 i2 i1 r2 r1 i21 r1 i1

2 2

2 r2 i2 r2 i2 r2 i2 r2 i2

r1 r2 i1 i2 i1 r2 r1 i2

2 2 2 2

r2 i2 r2 i2

F jF F jF F F F F j F F F FF F jF

F F jF F jF F jF F F

F F F F F F F Fj

F F F F

+ − + + −+= = =

+ + − +

+ −= +

+ +

複素数の除算は 有理化 をする必要があり，非常に面倒

正弦波交流 6

θ

ω

mI−

mI

0t =

0

[s]T　

[A]i　

t

mI

( )m sin [A]i I ωt θ= + 　

瞬時値

• Im [A]：最大値（ 振幅）• ω = 2πf [rad/s]：角周波数• θ [rad] or [°] ([deg]) ：位相角

ある時間における 瞬間 の値

1[Hz]f

T=周波数

周期

絶対平均値と実効値 7

[A]i　

mI

aveI

mI

( )rmsI I

t0

正弦波の 半周期 波形

4

T

2

T

絶対平均値2

ave m m0 0

1 1 2sin

2

T T

I i dt I ωtdt IT T π

= = =

正弦波交流の 平均値 は ゼロ になるため，絶対値 を用いる

実効値 (RMS : Root Mean Square)

( )2 2 2 mrms m

0 0

1 1sin

2

T T II i dt I ωt θ dt

T T= = + =

実効値は 二乗平均平方根 とも呼ばれ,電気回路において重要なパラメータである

※ 正弦波 の 絶対平均値 と 実効値 の計算はできるようにしておくこと！

例題 8

ある電圧 v が， 141.4sin 314 [V]8

πv t

= +

のように変化する．各値を求めよ．

( )m141.4sin 314 [V] sin [V]8

πv t V ωt θ

= + = +

より，

最大値（振幅）： m 141.4[V]V =

実効値： mrms

141.4100[V]

2 2

VV = =

絶対平均値： mave

2 2 141.490[V]

3.14

VV

π

= =

角周波数： 314[rad/s]ω =

周波数：314

50[Hz]2 2 3.14

ωf

π= = =

位相角：

180

[rad] 22.5[°]8 8

ππ πθ

= = = 　

正弦波交流のフェーザ表示 9

t0 0

VθIθ

mI

mV

ω

iv

( )( )

m V

m I

sin [V]

sin [A]

v V ωt θ

i I ωt θ

= +

= +

　

　

瞬時値 表示

フェーザ (phasor)表示

rms V V

rms I I

[V] [V]

[A] [A]

V V θ V θ

I I θ I θ

= =

= =

　 　

フェーザ 表示を用いることで，大きさ と 位相 の成分を含んだまま正弦波交流を計算することが出来る！（※最大値の代わりに 実効値 を用いていることに注意）

phase vector（位相ベクトル）⇒ phasor

正弦波交流のフェーザ表示と複素数表示 10

( )

( )

m V

m I

141.4sin 100 [V] sin [V]3

20sin 100 [V] sin [V]6

πv πt V ωt θ

πi πt I ωt θ

= + = +

= − = +

mV V

mI I

141.4100 60 [V]

32 2

2014.14 30 [A]

62 2

V πV V θ θ

I πI I θ θ

= = = =

= = = − = −

V V

I I

cos sin 100cos 100sin 50 86.6[V]3 3

cos sin 14.14cos 14.14sin 12.2 7.07[A]6 6

π πV V θ jV θ j j

π πI I θ jI θ j j

= + = + = +

= + = − + − = −

　

　

瞬時値 表示

フェーザ 表示

複素数 表示

正弦波交流のフェーザ図 11

100 60 [V]

14.14 30 [A]

V

I

=

= −

50 86.6[V]

12.2 7.07[A]

V j

I j

= +

= −

　

　

50[V]　

86.6[V]j 　

100[

V]

　

V

Im

60[ ]

30[ ]−14.14[A]

I

Re

7.07[A]j− 　

12.2[A]

電流と電圧では単位が 異なる ため，ベクトル の 大きさ は揃える必要は無いが

位相 は揃えなければならない！

同じ単位のものに関しては ベクトル の大きさ を揃えて

フェーザ図を描く！

電圧を基準とした場合の正弦波交流のフェーザ図 12

50[V]　

86.6[V]j 　10

0[V

]　

V

Im

60[ ]

30[ ]−14.14[A]

I

Re

7.07[A]j− 　

12.2[A]

V

Im

I

Re

90[ ]−

14.14[A]j− 　

100[V]　0[ ]

電圧か電流の一方を基準（ 0° ）とすると整理がしやすくなる！

電源 電圧(AC100V)を基準にすることが多い

抵抗 (Resistance) 13

0 t

v

i

R

i

v

R, i, v の関係は，v Ri= （交流回路における オーム の法則）

オーム の法則より，電流と電圧の大きさは抵抗に比例するが，位相には変化が無い ため，電流を フェーザ表示で表すと，

I

I V

I I θ

V RI θ V θ

=

=

Re

Im

I

V

よって，一般的に

[V]V RI= 　 [A]V

IR

= 　 電流 と 電圧が 同位相

※フェーザ表示は実効値

インダクタンス (Inductance) 14

0 t

v

i

Re

Im

I

V

電流 が 電圧より 90°遅れ

L

i

v

L, i, v の関係は，di

v Ldt

= （ファラデーの電磁誘導 の法則）

ここで，正弦波電流

( ) ( )m I m I

m I

sin cos

sin2

dv L I ωt θ ωLI ωt θ

dt

πωLI ωt θ

= + = +

= + +

( )m Isini I ωt θ= + を微分すると，

よって，フェーザ表示は

( )I

I V90

I I θ

V ωLI θ V θ

=

= +

キャパシタンス (Capacitance) 15

0 t

v

i

Re

Im

I

V

電圧 が 電流より 90°遅れ

v C

iC, i, v の関係は，0

1 t

v idtC

= dv

i Cdt

=

i と v の関係が インダクタンス と逆 になっているので，同様に

よって，フェーザ表示は

( )V

V I90

V V θ

I ωCV θ I θ

=

= +

( ) ( )m V m V

m V

sin cos

sin2

di C V ωt θ ωCV ωt θ

dt

πωCV ωt θ

= + = +

= + +

回路要素のまとめ 16

抵抗：R インダクタンス：L キャパシタンス：C

[V]

[A]

V RI

VI

R

=

=

　

　

[V]

1[A]

V jωLI

VI j V

jωL ωL

=

= = −

　

　

1[V]

[A]

VV j V

jωC ωL

I jωCV

= = −

=

　

　

Re

Im

I

V

Re

Im

I

V

Re

Im

I

V

0 0 0