8 eometra analtica 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA · que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Material complementario ... GeoGebra

8 Geometría analítica

336Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

En esta unidad trataremos una de las principales características de la geometría analítica: permite describir figuras geométricas me-diante expresiones algebraicas. La introducción del concepto de vector servirá para que profundicemos en el tratamiento algebraico de problemas geométricos y se explica por primera vez las operaciones entre vectores.

La nueva forma de expresar la ecuación de una recta, esto es la obtención de la ecuación vectorial, dará paso a relaccionar el tratamiento vectorial con conceptos, como la pendiente de una recta o la ecuación explícita, que ya conocen los alumnos.Para que reconozcan la ecuación de una recta, en cualquiera de sus expresiones, se proponen numerosos ejercicios en los que han de practicar, de forma algebraica, tanto su obtención como el paso de una expresión a otra. Para completar el estudio se presentan problemas métricos, de incidencia y paralelismo así como el reconocimiento de la posición relativa entre rectas.La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Se desarrolla a lo largo de la unidad siendo la protagonista de la sección Matemáticas vivas y Coordenadas en los medios de comunicación.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se refiere a las capacidades de los alumnos para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando resuelven ejercicios y problemas en diferentes contextos. Esta competencia se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana, como es la navegación, los alumnos reconocerán la aplicación de lo estudiado en la unidad.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para com-prender determinados conceptos, para resolver ejercicios geométricos y para exponer gráficamente resultados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de los conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Está presente principalmente en el Trabajo cooperativo, les permitirá desarrollar sus habilidades para trabajar en grupo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de dos semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Reconocer vectores libres y vectores fijos en el plano, y determinar sus elementos. ❚❚ Operar vectores y valorar la utilidad que tienen determinadas operaciones para resolver problemas geométricos.❚❚ Obtener las distintas formas de la ecuación de una recta mediante el tratamiento vectorial.❚❚ Determinar la posición relativa de dos rectas.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de vectores y rectas.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando vectores.

GEOMETRÍA ANALÍTICA8

337

8Geometría analítica

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Vectores 1. Reconocer vectores fijos y vectores libres en el plano.

1.1. Establece correspondencias analíticas entre las coordenadas de puntos y vectores y determina el módulo de un vector.

1-6

64-68, 70C1, C2

CMCTCLCAACSCCCSIEE

Operaciones con vectores

2. Efectuar operaciones con vectores interpretando los resultados.

2.1. Opera vectores y reconoce gráfica y analíticamente las propiedades en las operaciones.

2.2. Identifica y resuelve problemas en contextos de la vida real donde es necesario operar con vectores.

11-15

72, 73

16Matemáticas vivasTrabajo cooperativo

CMCTCDCLCAACSCCCSIEE

Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta

3. Determinar la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de una recta.

3.1. Determina la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de una recta cuando se conocen dos de sus puntos o un punto por el que pasa y el vector director.

17-19, 22-2578-80

CMCTCDCLCAACSCCCSIEE

Ecuaciones continua y punto-pendiente

4. Determinar la ecuación continua y la ecuación punto-pendiente.

4.1. Halla la ecuación continua y ecuación punto pendiente de una recta cuando se conocen dos de sus puntos, un punto por el que pasa y el vector director o la pendiente y un punto.

29, 31-3392, 93

Ecuaciones explícita y general

5. Determinar la ecuación explícita y la ecuación general.

6. Obtener las diferentes formas de la ecuación de una recta.

7. Reconocer puntos de una recta.

8. Resolver ejercicios en los que hay que determinar diferentes vectores.

9. Resolver problemas métricos, de incidencia y de paralelismo.

5.1. Obtiene la ecuación explícita y general de una recta cuando se conocen dos de sus puntos, un punto por el que pasa y el vector director o la pendiente y un punto.

6.1. Halla una determinada ecuación de la recta a partir de una conocida.

7.1. Determina si un punto pertenece a una recta e identifica puntos por los que pasa una recta.

8.1. Identifica los vectores directores y los vectores perpendiculares.

9.1. Establece adecuadamente relaciones para resolver problemas métricos, de incidencia y paralelismo.

39, 44-4788, 92, 94100

28, 30, 3441-43, 4881, 87, 90, 91

20, 21, 35-3782, 83, 85, 95

40, 49, 50, 60, 6185

7-10, 26, 27, 3851, 52, 54, 62, 6369, 71, 74-7784, 86, 89, 92, 9396-99, 101, 102105-111

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

10. Determinar la posición relativa de dos rectas.

10.1. Aplica razonadamente los criterios para determinar la posición relativa de dos rectas.

53, 55-59103, 104

CMCTCLCAACSIEE

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de la geometría analítica.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre geometría analítica y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con la geometría analítica pueden acceder a la web www.mismates.es.

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

¿Qué tienes que saber? • Vectores. Operaciones • Ecuaciones de la recta • Posiciones relativas de dos rectas

en el plano

AvanzaProducto escalar de vectores

Coordenadas en los medios de comunicación

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB.❚Gaspard Monge

1. Vectores

2. Operaciones con vectores

Vídeo. Suma de vectoresGeoGebra. Producto de un vector por un escalar.GeoGebra. Combinación lineal

4. Ecuaciones continua y punto-pendiente

3. Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta

GeoGebra. Ecuación vectorial de la recta

Vídeo. Ecuaciones de la recta5. Ecuaciones explícita y general

6. Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.es

Comprende y resuelve problemas

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Matemáticas vivasNavegación • Análisis de trayectorias y vectores

Trabajo cooperativo Tarea cuya estrategia cooperativa es Uno para todos, de Pere Pujolàs

Practica+



339



Sugerencias didácticasLa unidad comienza explicando el estudio de la geometría ana-lítica mediante ejemplos que van a encontran en su día a día.Debemos repasar qué son las coordenadas de un punto y ase-gurarnos de que no confunden las abscisa con la ordenada.En el repaso de la resolución de sistemas sería conveniente que alguno se resolviera por el método gráfico.

Contenido WEB. GASPARD MONGE

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad. En este caso se trata de una breve biografía del matemático y físico francés Gaspard Monge. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades1. Dibuja en tu cuaderno el plano cartesiano y marca en él los siguientes

puntos.

a) A(3, 1), B(−3, 1), C(−3, −1) y D(3, −1)

b) Un punto, E, que tiene por abscisa 4 y por ordenada −1.

c) Un punto, F, cuya abscisa es −2 y cuya ordenada es 3.

2. Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales por el método que consideres más adecuado.

a) 4 x − y = 3

x − 3 y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 4 x + 2 y = 6

x − y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 2x + y = 1

3x + 2 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) Por sustitución: y = 4 x − 3 → x − 3(4 x − 3) = −2 → x −12x + 9 = −2 → −11x = −11→ x = 1 e y = 4 ⋅1− 3 = 1

b) Por reducción: 4 x + 2 y = 6

x − y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 4 x + 2 y = 6

4 x − 4 y = 12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 6 y = −6 → y = −1 y x − (−1) = 3 → x = 2

c) Por reducción: 2x + y = 1

3x + 2 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 4 x + 2 y = 2

3x + 2 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = −1 y 2(−1) + y = 1→ y = 3

3. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de las rectas propuestas.

a) y = 2x − 1 b) y = −5x + 10 c) y = −2x

a) m = 2, la ordenada en el origen es −1, corta al eje X en (0,5; 0) y al eje Y en el punto (0, −1).

b) m = −5, la ordenada en el origen es 10, corta al eje X en (2, 0) y al eje Y en el punto (0, 10).

c) m = −2, la ordenada en el origen es 0, corta al eje X y al eje Y en el punto (0, 0).

O 1

1

X

Y

•

•

•

•

AB

DC•E

•F

REPASA LO QUE SABES1. Dibuja en tu cuaderno el plano cartesiano y marca en él los

siguientes puntos.

a) A(3, 1), B(−3, 1), C(−3, −1) y D(3, −1).

b) Un punto, E, que tiene por abscisa 4 y por ordenada −1.

c) Un punto, F, cuya abscisa es −2 y cuya ordenada es 3.

2. Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales por el método que consideres más adecuado.

a) 4 x − y = 3

x − 3y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 4 x + 2y = 6

x − y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 2x + y = 1

3x + 2y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de las rectas propuestas.

a) y = 2x − 1 b) y = −5x + 10 c) y = −2x

171

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

La geometría analítica estudia las figuras geométricas de la realidad que nos rodea, y para ello utiliza sus elementos básicos, los puntos y los vectores, representados en un sistema de coordenadas cartesianas. Dichas figuras se transforman en expresiones algebraicas para su estudio.

Por ejemplo, la confección de mapas cartográficos necesita de las proyecciones geográficas que relacionan los puntos de la superficie curva de la Tierra con los de una superficie plana.

Los movimientos de los dibujos en las películas de animación o los programas informáticos que permiten visualizar la decoración de una casa son solo un par de ejemplos del uso matemático de puntos y vectores.

La geometría analítica estudia las figuras geométricas de la realidad que nos rodea, y para ello utiliza sus elementos básicos, los puntos y los vectores, representados en un sistema de coordenadas cartesianas. Dichas figuras se transforman en expresiones algebraicas para su estudio.

Por ejemplo, la confección de mapas cartográficos necesita de las proyecciones geográficas que relacionan los puntos de la superficie curva de la Tierra con los de una superficie plana.

Los movimientos de los dibujos en las películas de animación o los programas informáticos que permiten visualizar la decoración de una casa son solo un par de ejemplos del uso matemático de puntos y vectores.

IDEAS PREVIAS

❚ Coordenadas cartesianas.

❚ Sistemas de ecuaciones

lineales.

❚ Pendiente y ordenada en el

origen de una recta.

La representación de objetos y de sus movimientos o relaciones entre sí mediante sistemas como la perspectiva caballera o el sistema diédrico está fundamentada en la obra del matemático y físico francés Gaspard Monge (1746-1818).

Matemáticas en el día a día ][mac4e28



1. Vectores

Sugerencias didácticasEn este primer epígrafe hay que tener en cuenta y dejar muy claro la diferencia entre coordenadas de un punto y compo-nentes de un vector. Es casi seguro que los alumnos confun-dan ambos conceptos sobre todo cuando además les hable-mos del vector posición de un punto.

Debemos fomentar la conveniencia de realizar con rigor represen-taciones gráficas tanto en este epígrafe como en los siguientes.

El cálculo de la distancia entre dos puntos y el concepto de argumento de un vector servirán para poner en práctica el cál-culo del módulo de un vector y la trigonometría.

Soluciones de las actividades

1 Halla las coordenadas y el módulo de estos vectores.

OA

B

C

D

G

HI

J

1

1

X

Y

K

L

M

NE

F

AB! "!!

= (2, 4), AB! "!!

= 22 + 42 = 20 = 2 5 u IJ!"

= (−1, 3), IJ!"

= (−1)2 + 32 = 10 u

CD! "!!

= (3, −2), CD! "!!

= 32 + (−2)2 = 13 u KL! "!

= (2, −1), KL! "!

= 22 + (−1)2 = 5 u

EF! "!

= (1, 3), EF! "!

= 12 + 32 = 10 u MN! "!!!

= (−3, −1), MN! "!!!

= (−3)2 + (−1)2 = 10 u

GH! "!!

= (2, −1), GH! "!!

= 22 + (−1)2 = 5 u

173

8Actividades8 Geometría analítica

172

} Los extremos de un segmento son A(2, 1) y B(5, 3). Halla las coordenadas

cartesianas y el módulo del vector ABu ruu

. ¿Qué observas?

Solución

AB

= b1 − a1, b2 − a2( ) = 5− 2, 3−1( ) = 3, 2( )

AB

= 32 + 22 = 13 unidadesu = OP

es el representante en el origen de todos los vectores del plano que tienen el mismo módulo, dirección y sentido que él. Sus coordenadas coinciden con las coordenadas de su extremo P. Es el vector de posición del punto P.

EJERCICIO RESUELTO

1. VECTORESCristina quiere analizar la representación de los vientos que soplan más a menudo en las costas y zonas interiores de la península ibérica. Observa que el solano sopla en Extremadura y Castilla-La Mancha, mientras que el viento ábrego está presente en Andalucía, Castilla y León y la Comunidad de Madrid.

El movimiento de los vientos está representado mediante vectores que indican su dirección y sentido. Los partes meteorológicos diarios de las distintas zonas muestran con más precisión la velocidad del viento, indicando en ocasiones su intensidad mediante la longitud de los vectores.

Un vector fijo en el plano, AB

, es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A a1 , a2( ) y su extremo en el punto B b1 , b2( ) . Sus componentes o coordenadas cartesianas son: AB

= b1 − a1, b2 − a2( )

Los elementos de un vector fijo son:

❚ La dirección del vector fijo AB

es la que indica la recta que pasa por los puntos A y B.

❚ El sentido es la orientación que marcan el origen y el extremo del vector.

❚ El módulo, AB

, es la distancia que separa los puntos A y B. Podemos calcularlo aplicando el teorema de Pitágoras:

AB

= b1 − a1( )2 + b2 − a2( )2

Dos vectores se llaman equipolentes cuando tienen el mismo módulo la misma dirección y el mismo sentido.

Si AB

es un vector fijo del plano, el conjunto de todos los vectores equipolentes a él se llama vector libre. Cada vector fijo que forma parte del vector libre es un representante del vector libre.

Para indicar en el plano que un objeto se desplaza desde el punto A hasta el punto B,

dibujamos el vector AB

.

Recuerda

Aprenderás a… ● Reconocer vectores fijos y vectores libres en el plano.

● Calcular el módulo de un vector.

● Valorar la utilidad de los vectores para resolver problemas geométricos.

Presta atención

En muchas ocasiones

representamos un vector, AB

, con una única letra, por ejemplo

u .

Presta atención

Todos los vectores que tienen las mismas coordenadas cartesianas constituyen un vector libre.

1

1

X

Y

O

v

El vector fijo v que tiene su

origen en el punto (0, 0) es el representante en el origen del vector libre.

•

•

O 1

1

X

Y

A

B

•

•

•

•

O 1

1

X

Y

PB

A

•

•

O X

Y

b1a1

b2

a2 A ( , )a1 a2

B ( , )b1 b2

b1a1

b2a2

––

Halla las coordenadas y el módulo de estos vectores.

OA

B

C

D

G

HI

J

1

1

X

Y

K

L

M

NE

F

1

Las coordenadas de cuatro puntos del plano son:

A(1, −1) B(3, 2) C(−1, 2) D(−3, 1)

a) Dibuja los vectores AB

, BA

, CD

y DC

.

b) Halla sus coordenadas.

c) Calcula AB

, BA

, CD

y DC

.

El vector AB

tiene por coordenadas (5, −8). SiB(2, −3), ¿cuáles son las coordenadas del punto A?

Las coordenadas de un punto, P, son (−1, 4), y el vector PQ

es PQ

= (−2, −4). ¿Cuáles son las

coordenadas del punto Q?

Halla el vector de posición de estos puntos y represéntalos en el plano. ¿Qué observas?

a) A(2, 5) c) C(4, −1)

b) B(−2, 4) d) D(−1, −13)

Dados los puntos A(3, 5) y B(−3, 6):

a) Halla el vector de posición de cada uno.

b) Determina qué puntos, A’ y B’, tienen vectores de posición con el mismo módulo, la misma dirección y sentido opuesto que los puntos A y B, respectivamente.

Calcula la distancia entre los puntos A(2, 3) y B(5, 7)

del plano, así como el módulo del vector AB

. ¿Qué relación hay entre ellos?

Calcula la medida de los lados de un triángulo cuyos vértices son los puntos A(2, 2), B(0, −2) y C(4, 1).

2

3

4

5

6

7

8

} El gráfico contiene algunos vectores que pertenecen a distintos vectores libres.

1

1

X

Y

O

¿Cuántos vectores libres están representados? Halla las coordenadas de los representantes en el origen de cada vector libre que observas.

Solución

Están representados dos vectores libres.

Nos fijamos en un representante de cada vector libre.

Por ejemplo, el que tiene como origen A(2, 1) y por extremo B(3, 4).

El vector u , representante en el origen de AB

, tiene

por coordenadas: u = AB

= (3 − 2, 4 − 1) = (1, 3)

De forma análoga, elegimos el vector que tiene origen en el punto C(2, 3) y cuyo extremo es D(4, 2).

El vector v ,

representante en el origen de CD

, tiene por coordenadas:

v = CD

= (4 − 2, 2 − 3) = (2, −1)

EJERCICIO RESUELTO

u •

•

1

1

X

Y

O

A

B

•D

C

v

•

1

1

X

Y

O

Halla el argumento de estos vectores.

a) u = (2, 1) b)

u = (−1, 2) c)

u = (−2, 1)

9

} El argumento de un vector es el ángulo que forma dicho vector con la parte positiva del eje de abscisas. Halla el argumento del vector

u = (3, 4).

Solución

Para cualquier u = u1 , u2( ),

se cumple que:

tg α =u2

u1

→ α = arctg u2

u1

Así, si u = (3, 4 ) :

tg α =4

3→ α = arctg

4

3= 53,13º

EJERCICIO RESUELTO

O

u²

u¹

u

αX

Y

Dibuja dos vectores equipolentes. ¿Qué figura se forma al unir sus puntos de origen y sus puntos extremos?10

Investiga

341



2 Las coordenadas de cuatro puntos del plano son: A(1, −1) B(3, 2) C(−1, 2) D(−3, 1)

a) Dibuja los vectores AB

, BA

, CD

y DC

. b) Halla sus coordenadas. c) Calcula AB

, BA

, CD

y DC

a)

2

1

X

Y

OA

BC

D

2

1

X

Y

OA

BC

D

b) AB! "!!

= (2, 3), BA! "!

= (−2, −3)

CD! "!!

= (−2, −1), DC! "!!

= (2, 1)

c) AB! "!!

= BA! "!

= 4 + 9 = 13 u

CD! "!!

= DC! "!!

= 4 + 1 = 5 u

3 El vector AB

tiene por coordenadas (5, −8). Si B(2, −3), ¿cuáles son las coordenadas del punto A?

AB! "!!

= (2 − a1, −3 − a2) = (5, −8) → 2 − a1 = 5 y −3 − a2 = −8, así el punto A es: A(−3, 5)

4 Las coordenadas de un punto, P, son (−1, 4), y el vector PQ

es PQ

= (−2, −4). ¿Cuáles son las coordenadas del punto Q?

PQ! "!!

= (q1 + 1, q2 − 4) = (−2, −4) → q1 + 1 = −2 y q2 − 4 = −4, así el punto Q es: Q(−3, 0)

5 Halla el vector de posición de estos puntos y represéntalos en el plano. ¿Qué observas?

a) A(2, 5) b) B(−2, 4) c) C(4, −1) d) D(−1, −13)

a) !a = (2, 5) b)

!b = (−2, 4) c)

!c = (4, −1) d)

!d = (−1, −13)

Se observa que las coordenadas de los puntos coinciden con las coordenadas de sus respectivos vectores, y además que los vectores no son equipolentes.

6 Dados los puntos A(3, 5) y B(−3, 6):

a) Halla el vector de posición de cada uno.

b) Determina qué puntos, A’ y B’, tienen vectores de posición con el mismo módulo, la misma dirección y sentido opuesto que los puntos A y B, respectivamente.

a) El vector de posición de A es !a = (3, 5), y el de B es

!b = (−3, 6). b) Los puntos A’(−3, −5) y B’(3, −6).

7 Calcula la distancia entre los puntos A(2, 3) y B(5, 7) del plano, así como el módulo del vector AB


d(A, B) = (5− 2)2 + (7− 3)2 = 32 + 42 = 5 AB! "!!

= (5− 2)2 + (7− 3)2 = 32 + 42 = 5La distancia entre los puntos coincide con el módulo del vector que generan.

8 Calcula la medida de los lados de un triángulo cuyos vértices son los puntos A(2, 2), B(0, −2) y C(4, 1).

d(A, B) = AB! "!!

= (0− 2)2 + (−2− 2)2 = 4 + 16 = 20 = 2 5 u

d(A, C) = AC! "!!

= (4− 2)2 + (1− 2)2 = 4 + 1 = 5 u

d(B, C) = BC! "!!

= (4− 0)2 + (1− (−2))2 = 16 + 9 = 5 u

9 Halla el argumento de estos vectores.

a) u = (2, 1) b)

u = (−1, 2) c)

u = (−2, 1)

a) tg α =1

2→ α = arc tg

1

2= 26,56º

b) tg α = −2 → α = arc tg (−2) = −63,43º→ Como el vector es: !u = (−1, 2) → α = 180º−63,43º = 116,57º

c) tg α = −1

2→ α = arc tg −

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −26,56º→ Como el vector es:

!u = (−2, 1) → α = 180º−26,56º = 153,44º

Investiga

10 Dibuja dos vectores equipolentes. ¿Qué figura se forma al unir sus puntos de origen y sus puntos extremos?

Comprobar que los alumnos dibujan dos vectores equipolentes. La figura que se forma es un paralelogramo.

ab

c

d

O 2

2X

Y



2. Operaciones con vectores


11 Si u = (1, 2) y

v = (−3, 2), averigua las coordenadas de los siguientes vectores.

a) u +

v b)

u −

v c)

1

2

u +v( ) d)

1

4

u−v( )

a) !u +

!v = (1, 2) + (−3, 2) = (−2, 4) c)

1

2(!u +!v ) =

1

2(−2, 4 ) = (−1, 2)

b) !u −

!v = !u + (−

!v ) = (1, 2) + (3, −2) = (4, 0) d)

1

4(!u−!v ) =

1

4(4, 0) = (1, 0)

175


174

2. OPERACIONES CON VECTORESPara trasladar una caja que pesa demasiado, Pedro y Jaime le han atado una cuerda como muestra el dibujo.

Jaime tiene más fuerza que Pedro, por lo que la caja se desplaza, siguiendo la diagonal del paralelogramo que generan las cuerdas de ambos. Pedro y Jaime han sumado sus fuerzas.

Podemos representar este movimiento dibujando dos vectores en el plano cuyo módulo represente la intensidad de la fuerza que ejerce cada uno.

Aprenderás a… ● Sumar vectores.

● Multiplicar un número real por un vector.

❚ El vector opuesto, −u,

de un vector u es el

vector que tiene el mismo módulo y dirección que

u,

pero el sentido contrario.

•

•

•

u

u– O X

Y

❚ Llamamos escalar a cualquier número real.

Lenguaje matemático

mac4e29

mac4e30

La suma de dos vectores libres, u = u1 , u2( ) y

v = v1 , v2( ), es otro vector libre

cuyas coordenadas son: u +v = u1 + v1 , u2 + v2( )

Vamos a representar ahora u = (2, 1) y, a partir de él, los vectores 2

u, −

u y −2

u.

Si u = (1, 2) y


a) u + v b)

u −

v c)

1

2

u +v( ) d)

1

4

u−v( )

Dados los vectores u = (4, 1) y

v = (1, 2), realiza estas operaciones.

a) u + 4

v b) 3

u + 5

v

¿Qué módulo tiene el vector que se obtiene al sumar un vector, u, con su vector

opuesto, −u?

Dibuja los vectores u = (4, 1),

v = (1, 2) y w

= (−2, 2) y comprueba analítica y

gráficamente que cumplen la propiedad asociativa de la suma de vectores: u +v( ) + w

=v +

u + v( )

Si u = (5, 1),

v = (1, 3) y w

= (−3, 3), halla las coordenadas de los vectores

propuestos.

a) u + v + w

c) 3u − w

b) u −

v − w

d) u − 2

v + w

11

12

13

14

w

15

} Si u y v son los vectores representados, halla

gráfica y numéricamente las coordenadas de estos vectores.

a) u −

v b) w

= 2u + 3

v

Solución

Dibujamos los representantes en el origen de u y v .

a) Para hallar u − v , sumamos al vector

u el vector

opuesto de v .

u−v =u + −

v( ) = −1,1( ) + −2,−1( ) = −3,0( )

b) Trazamos el vector 2u, el vector 3

v y la diagonal del paralelogramo que generan.

EJERCICIO RESUELTO

u

v

O 1

1

X

Y

u

v

u v–

–O 1

1

X

Y

mac4e31

Presta atención

Propiedades de la suma de vectores

❚ Conmutativau +v =v +u

❚ Asociativau +v( ) + w

=u +

v + v( )

❚ Elemento neutro: 0

u +0 =0 +u =u

❚ Elemento opuesto: −u

u + −

u( ) = −

u( ) +

u =0

Propiedades del producto de un escalar por un vector

❚ Distributiva respecto de la suma de vectores

u + v( ) = v+u

❚ Distributiva respecto de la suma de escalares

λ + µ( ) u = λu + µ

u

❚ Elemento neutro: 1

1⋅u =u

u +v( ) + w

=u +

v + v( )

En tu vida diaria

❚ Una magnitud escalar es aquella que se indica mediante un valor numérico y su correspondiente unidad. Por ejemplo, la masa de un cuerpo, su volumen, la temperatura, etc.❚ Una magnitud vectorial necesita su valor numérico o módulo, la dirección y su sentido. Son ejemplo de esto la fuerza, la velocidad o la aceleración aplicada a un cuerpo.

} Traza u = (2, 1) y

v = (5, −1) y halla las coordenadas y el módulo de

u +v .

Soluciónu +v = 2 + 5, 1+ (−1)( ) = (7, 0)

u +v = 7 unidades

EJERCICIO RESUELTO

u

v

u v+O 1

1

X

Y

El producto de un escalar, k, por un vector, u = u1 , u2( ), es el vector:

ku = ku1 , ku2( )

La dirección del vector ku coincide con la del vector

u, y su sentido es el mismo

que el de u si k > 0 y el opuesto si k < 0.

DESAFÍOPaula está dibujando un paralelogramo cuyos vértices son A(−2, 1), B(1, −2), C(6, 3) y D. Determina:

a) Las coordenadas del punto D.

b) La medida de los lados del paralelogramo.

c) Las coordenadas del punto donde se cortan las diagonales.

16

Sugerencias didácticasSerá muy sencillo que el alumnado comprenda las operaciones entre vectores si presentamos ejemplos de la vida cotidiana como el del inicio del epígrafe o los ejercicios que se proponen en la sección de Matemáticas vivas.

Las propiedades de las operaciones entre vectores deben com-prenderlas y ponerlas en práctica de forma gráfica.

Vídeo. SUMA DE VECTORES

En el vídeo se realiza la suma gráfica de dos vectores, primero por el método del paralelogramo y después por la suma vectorial, comprobando, gracias a la pizarra digital, que el resultado coin-cide. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación o como recurso para que los alumnos repasen la suma de vectores gráficamente.

GeoGebra. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Este recurso completa la explicación del libro. Moviendo el desli-zador pueden observarse los vectores resultantes al multiplicar el vector inicial por un valor real entero entre −5 y 5. Es conveniente destacar a los alumnos que estos vectores tienen la misma direc-ción y que el sentido cambia solo si el valor tiene signo opuesto.

GeoGebra. COMBINACIÓN LINEAL

En este recurso se puede observar el resultado de la combinación lineal de dos vectores. Moviendo los deslizadores se obtienen, analítica y geométricamente, nuevos resultados, con los que los alumnos pueden comprobar las relaciones entre los vectores ob-tenidos mediante estas operaciones.

343



12 Dados los vectores u = (4, 1) y

v = (1, 2), realiza estas operaciones.

a) u + 4

v b) 3

u + 5

v

a) !u + 4

!v = (4, 1) + 4(1, 2) = (4, 1) + (4, 8) = (8, 9)

b) 3!u + 5

!v = 3(4, 1) + 5(1, 2) = (12, 3) + (5, 10) = (17, 13)

13 ¿Qué módulo tiene el vector que se obtiene al sumar un vector, u , con su vector opuesto, −

u ?

Si !u = u1 , u2( ) , su opuesto es el vector −

!u = −u1 , − u2( ) y su suma es el vector:

!u + (−

!u ) = u1 − u1 , u2 − u2( ) = (0, 0) que tiene por módulo 0.

14 Dibuja los vectores u = (4, 1),

v = (1, 2) y w

= (−2, 2) y comprueba analítica y gráficamente que cumplen la propiedad asociativa

de la suma de vectores: u +v( ) + w

=v +

u + v( )

Analíticamente: (!u +!v ) + w

"!"= (5, 3) + (−2, 2) = (3, 5) y

!v + (

!u + w"!"

) = (1, 2) + (2, 3) = (3, 5)

De forma gráfica:

u v+

(u v ) + w +

1

1

X

Y

O

u

vw

u w+

(u w ) + v +

1

1

X

Y

O

u

vw

15 Si u = (5, 1),

v = (1, 3) y w

= (−3, 3), halla las coordenadas de los vectores propuestos.

a) u +

v + w

b)

u −

v − w

c) 3

u − w

d)

u − 2

v + w

a) !u +

!v + w

!"! = (5, 1) + (1, 3) + (−3, 3) = (3, 7) c) 3

!u − w

!"! = 3(5, 1) + (3, −3) = (18, 0)

b) !u −

!v − w

!"! = (5, 1) + (−1, −3) + (3, −3) = (7, −5) d)

!u − 2

!v + w

!"! = (5, 1) + (−2, −6) + (−3, 3) = (0, −2)

Desafío

16 Paula está dibujando un paralelogramo cuyos vértices son A(−2, 1), B(1, −2), C(6, 3) y D. Determina:

a) Las coordenadas del punto D.

b) La medida de los lados del paralelogramo.

c) Las coordenadas del punto donde se cortan las diagonales.

a) Por ser un paralelogramo: AB! "!!

= DC! "!!

→ (3, −3) = (6 − d1, 3 − d2) → d1 = 3 y d2 = 6, el punto es D(3, 6).

b) Los lados del paralelogramo miden: AB! "!!

= 32 + (−3)2 = 18 = 3 2 u y BC! "!!

= 52 + 52 = 50 = 5 2 u

c) Es el punto de corte de la recta r, que pasa por A y C, y la recta s, que pasa por B y D.

r :x + 2

6− (−2)=

y −1

3−1

s :x −1

3−1=

y + 2

6− (−2)

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ r : y =1

4x +

3

2s : y = 4 x − 6

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→1

4x +

3

2= 4 x − 6 → x = 2 e y = 2

Así, el punto donde se cortan las diagonales es (2, 2).

También se podría calcular como: OA! "!!

+ 1

2 AC! "!!

= (−2, 1) + 1

2 (8, 2) = (2, 2)

w



3. Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta


17 Observa las gráficas y determina la ecuación vectorial de las rectas en cada caso.

a)

•u

O 1

1

X

Y

A

b)

•

u

O 1

1

X

Y

A

c)

•u

O 1

1

X

Y

A

d)

•

uO 1

1

X

Y

A

a) ( x , y ) = (1, 1) + λ (2, 1) c) ( x , y ) = (−2, 1) + λ (5, 1)

b) ( x , y ) = (3,− 3) + λ (−2, 1) d) ( x , y ) = (3,− 2) + λ (−1, 2)

177


176

Se ha borrado un número en cada una de estas ecuaciones.

s: ( x , y ) = (3, 5) + λ (−2,§) t: x = −1+ 4λy = −2 + §λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Averigua el valor de los números si las rectas deben ser paralelas a la recta, r, que aparece en el dibujo.

27

Investiga

Observa las gráficas y determina la ecuación vectorial de las rectas en cada caso.

a)

•u

O 1

1

X

Y

A

c)

•u

O 1

1

X

Y

A

b)

•

u

O 1

1

X

Y

A

d)

•

uO 1

1

X

Y

A

Escribe la expresión de la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A y tiene por vector director

u.

a)

•

u

O 1

1

X

Y

A

b)

•

u

O 1

1

X

Y

A

Una recta pasa por los puntos A(1, −3) y B(2, 1). Averigua:

a) Su vector director.

b) La ecuación vectorial de la recta.

Una recta pasa por el punto A(3, 4) y tiene por vector director

u = (−1, 3). Determina cuatro puntos más

por los que pasa dicha recta.

Decide qué puntos entre los siguientes pertenecen a la recta r: ( x , y ) = (−1, 2) + λ (3, 1).

a) A(2, 3) c) C(−4, 1)

b) B(1, −3) d) D(0, 2)

17

18

19

20

21

Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(2, 4) y tiene por vector director u = (4, 7).

Determina las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A en la dirección del vector

u.

a)

•u

O 1

1

X

Y

A

b)

•

u

O 1

1

X

Y

A

Una recta pasa por los puntos A(1, −3) y B(2, 1). Averigua:


b) Las ecuaciones paramétricas.

Asigna a cada recta representada sus ecuaciones paramétricas.

a) x = −λy = 3 + 4λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) x = 3λy = λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Un radar detecta la navegación de dos barcos. A las 13 h exactamente uno de ellos se encuentra en el punto de coordenadas (4, 3) y sigue la dirección del vector (2, 1). El otro barco sigue la dirección de la

recta r: x = 5 + 4λy = 3 + 2λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

22

23

24

25

O 1

1

Y

s

r

26

Determina si la navegación de los barcos es segura o si alguno de ellos debería rectificar su dirección.

3. ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Diego se pregunta cómo puede averiguar la condición que deben cumplir todos los puntos que están alineados con A en una determinada dirección.

Por el punto A puede trazar infinitas rectas. Es necesario, por tanto, conocer uno de los vectores que nos indique la dirección.

La condición que deben cumplir las coordenadas de todos los puntos, P: P1, P2, P3, …, alineados con el punto A en la dirección del vector

u, es una expresión algebraica que

llamaremos ecuación de la recta.

El vector que indica su dirección se denomina vector director.

Diego va a determinar la ecuación de una recta. Para ello, asigna al punto

A(1, 2) y al punto genérico P sus respectivos vectores de posición, OA

y OP

.

Observa que se cumple:

1 OP

= OA

+ AP

2 El módulo y el sentido del vector AP

variará para cada punto, P, de la recta,

esto es, el vector AP

es proporcional al vector

u = (4, 1):

AP

= λu, λ ∈

Así: OP

= OA

+ λu

Esta expresión es la ecuación vectorial de la recta. Si sustituimos en ella los vectores por sus coordenadas, podemos escribirla de este modo:

( x , y ) = (1, 2) + λ (4, 1)

La ecuación vectorial de la recta que pasa por un punto, A a1 , a2( ), y tiene la dirección del vector

u = u1 , u2( ) es:

x , y( ) = a1 , a2( ) + λ u1 , u2( ), ∀ λ ∈

Si operamos algebraicamente con la expresión de la ecuación vectorial, resulta:

( x , y ) = (1, 2) + λ (4, 1) = (1, 2) + (4λ , 1λ ) = (1+ 4λ , 2 + 1λ )

x = 1+ 4

y = 2 + 1

x = 1+ 4

y = 2 +

De este modo obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta.

Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por un punto, A a1 , a2( ), y tiene la dirección del vector

u = u1 , u2( ) son:

x = a1 + λu1

y = a2 + λu2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪, ∀ λ ∈

Aprenderás a… ● Determinar la ecuación vectorial de la recta.

● Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta.

Presta atención

El vector director de una recta no es único.

Los vectores directores de una recta son proporcionales, esto es, tienen la misma dirección.

Presta atención

Los puntos de la recta se obtienen dando valores a λ. Así, para cada valor de λ resulta un punto que pertenece a la recta.

La expresión ∀ λ ∈ se lee: para todo número lambda perteneciente al conjunto de los números reales.

Lenguaje matemático

•••

•

O X

Y

A ( , )a1 a2

P1P2

P3

P4P5P6

• ••

u

r

O 1

1

X

Y

mac4e32

Sugerencias didácticasLos alumnos ya saben que una recta queda definida por dos puntos, es ahora el momento de que conozcan el significado de vector director y cómo puede expresarse la condición de puntos alineados entre sí. Es necesario que comprendan cómo hallar puntos por los que pasa una recta si conocemos la ex-presión vectorial o paramétrica de la misma. El significado del parámetro será posiblemente el concepto que encierre mayor dificultad de comprensión.

GeoGebra. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Este recurso completa la explicación del libro. Moviendo el desli-zador se obtiene la relación vectorial entre un punto cualquiera de la recta y el vector de posición de un punto dado a partir del vector director. Es interesante que los alumnos puedan compro-bar esta relación de forma geométrica para aplicar correctamente la expresión de la ecuación vectorial.

345



18 Escribe la expresión de la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A y tiene por vector director u .

a)

•

u

O 1

1

X

Y

A

b)

•

u

O 1

1

X

Y

A

a) ( x , y ) = (2, 0) + λ (1, 4 ) b) ( x , y ) = (−1, 2) + λ (4,− 2)

19 Una recta pasa por los puntos A(1, −3) y B(2, 1). Averigua:

a) Su vector director. b) La ecuación vectorial de la recta.

a) !u = (2−1, 1− (− 3)) = (1, 4 ) b) ( x , y ) = (1,− 3) + λ (1, 4 )

20 Una recta pasa por el punto A(3, 4) y tiene por vector director u = (−1, 3) . Determina cuatro puntos más por los que pasa

dicha recta.

La ecuación vectorial de la recta es: ( x , y ) = (3, 4 ) + λ (−1, 3)

Respuesta abierta. Por ejemplo:

Para λ = 1: ( x , y ) = (3, 4 ) + (−1, 3) = (2, 7) Para λ = −1: ( x , y ) = (3, 4 ) + (−1)(−1, 3) = (4, 1)

Para λ = 2: ( x , y ) = (3, 4 ) + 2(−1, 3) = (1, 10) Para λ = −2: ( x , y ) = (3, 4 ) + (−2)(−1, 3) = (5,− 2)

21 Decide qué puntos entre los siguientes pertenecen a la recta r: ( x , y ) = (−1, 2) + λ (3, 1) .

a) A(2, 3) b) B(1, −3) c) C(−4, 1) d) D(0, 2)

a) (2, 3) = (−1, 2) + λ (3, 1) → 2 = −1+ 3λ3 = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ λ = 1

λ = 1

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ A(2, 3) pertenece a la recta.

b) (1,− 3) = (−1, 2) + λ (3, 1) → 1 = −1+ 3λ− 3 = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ λ = 0

λ = −5

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ B(1, −3) no pertenece a la recta.

c) (−4, 1) = (−1, 2) + λ (3, 1) → − 4 = −1+ 3λ1 = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ λ = −1

λ = −1

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ C(−4, 1) pertenece a la recta.

d) (0, 2) = (−1, 2) + λ (3, 1) → 0 = −1+ 3λ2 = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ λ =1

3λ = 0

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

→ D(0, 2) no pertenece a la recta.

22 Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(2, 4) y tiene por vector director u = (4, 7) .

Las ecuaciones paramétricas son: x = 2 + 4λy = 4 + 7λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

23 Determina las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A en la dirección del vector u .

a)

•u

O 1

1

X

Y

A

b)

•

u

O 1

1

X

Y

A

a) x = 1− 3λy = −2− 2λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) x = −1+ 3λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪



24 Una recta pasa por los puntos A(1, −3) y B(2, 1). Averigua:


b) Las ecuaciones paramétricas.

a) AB! "!!

= (2−1, 1− (−3)) = (1, 4 ) b) x = 1+ λy = −3 + 4λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

25 Asigna a cada recta representada sus ecuaciones paramétricas.

a) x = −λy = 3 + 4λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) x = 3λy = λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

a) Es la recta s. b) Es la recta r.

26 Un radar detecta la navegación de dos barcos. A las 13 h exactamente uno de ellos se encuentra en el punto de coordenadas

(4, 3) y sigue la dirección del vector (2, 1). El otro barco sigue la dirección de la recta r: x = 5 + 4λy = 3 + 2λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Determina si la navegación de los barcos es segura o si alguno de ellos debería rectificar su dirección.

Los dos barcos siguen la misma dirección y el mismo sentido porque sus vectores directores, (2, 1) y (4, 2) respectivamente, son proporcionales, su navegación es segura, no deben modificar su dirección.

Investiga

27 Se ha borrado un número en cada una de estas ecuaciones.

s: ( x , y ) = (3, 5) + λ (−2,§) t: x = −1+ 4λy = −2 + §λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Averigua el valor de los números si las rectas deben ser paralelas a la recta, r, que aparece en el dibujo.

r

O 1

1

X

Y

La recta r tiene por vector director: !u = (−5, 3)

Para que las rectas s y t sean paralelas a la recta r es necesario que sus respectivos vectores sean proporcionales al vector !u .

Así, para la recta s: −2

−5=

k

3→ k =

6

5 el vector director es: −2,

6

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Para la recta t: 4

−5=

k

3→ k = −

12

5 el vector director es: 4,−

12

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

O 1

1

Y

s

r

347



4. Ecuaciones continua y punto-pendiente


28 Escribe la ecuación continua de la recta: ( x , y ) = (−3, 2) + λ (4, 1)

La ecuación continua es: x + 3

4=

y − 2

1

29 Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto A(1, 3) y tiene por vector director u = (2, 5)

La ecuación es: x −1

2=

y − 3

5

30 Determina la ecuación continua de la recta: x = 6− 4λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

La ecuación continua es: x − 6

−4=

y − 2

1

31 Halla la ecuación continua de una recta, sabiendo que dos de los puntos por los que pasa son A(1, 3) y B(2, 5).

La ecuación continua es: x −1

2−1=

y − 3

5− 3→

x −1

1=

y − 3

2

32 Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 3) y tiene por vector director u = (2, 5) en forma punto-pendiente.

La ecuación es: y − 3 =5

2( x −1)

Sugerencias didácticasEl alumnado tiene que reconocer una recta expresada de for-mas diferentes, para ello realizaremos ejercicios que supongan el paso de una a otra.

Es importante que sepan calcular la pendiente de una recta conocidos dos puntos y es el momento, ya que han aprendido conceptos básicos de trigonometría, de introducir la definición de pendiente.

179


178

Escribe la ecuación continua de la recta: ( x , y ) = (−3, 2) + λ (4, 1)

Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto A(1, 3) y tiene por vector director

u = (2, 5).

Determina la ecuación continua de la recta: x = 6− 4λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

28

29

30

4. ECUACIONES CONTINUA Y PUNTO-PENDIENTE

Diego se plantea si puede expresar las ecuaciones x = 1+ 4λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

de otro modo.

Para ello, despeja el parámetro λ en ambas ecuaciones:

x = 1+ 4λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Despejamos λ⎯ →⎯⎯⎯⎯λ =

x −1

4

λ =y − 2

1

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

Igualamos⎯ →⎯⎯⎯

Si iguala ambas expresiones, resulta:x −1

4=

y − 2

1

Esta expresión es la ecuación continua de la recta.

Observa que una recta se puede expresar mediante una ecuación continua cuando las dos coordenadas del vector director son distintas de cero.

La ecuación continua de la recta que pasa por un punto, A a1 , a2( ), y tiene la dirección del vector

u = u1 , u2( ), con coordenadas distintas de cero, es:

x - a1

u1

=y - a2

u2

La expresión de la ecuación continua de una recta puede modificarse transponiendo términos para despejar y − 2.

x −1

4=

y − 2

1 Despejamos y−2⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ y − 2 =

1

4( x −1)

Obtenemos, así, la ecuación punto-pendiente de la recta.

La expresión m =1

4 es la pendiente de la recta. Observa que su valor puede obtenerse

a partir del cociente de las coordenadas del vector director u = (4, 1).

La ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por un punto, A a1 , a2( ), y tiene la dirección del vector

u = u1 , u2( ) es:

y − a2 =u2

u1

x − a1( )→ y − a2 = m x − a1( )

La pendiente de una recta, m, es la tangente del ángulo que forma la recta con

el eje de abscisas: m = tg α =u2

u1

Aprenderás a… ● Determinar la ecuación continua de la recta.

● Obtener la ecuación punto-pendiente de la recta.

Presta atención

Todas las rectas paralelas entre sí forman el mismo ángulo con el eje de abscisas, dicho de otro modo, las rectas tienen la misma pendiente.

O

u²

u¹α α

α

ααX

Y

u

} La ecuación punto-pendiente de una recta es: y - 2 =1

4( x -1)

Averigua el valor del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas.

Solución

m = tg α =u2

u1

=1

4→ α = arctg

1

4= 14,03º = 14º 2'10,48''

Observa que este ángulo coincide con el argumento del vector director de la recta.

EJERCICIO RESUELTO

Halla la ecuación continua de una recta, sabiendo que dos de los puntos por los que pasa son A(1, 3) y B(2, 5).

Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 3) y tiene por vector director

u = (2, 5) en forma punto-pendiente.

Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y cuya pendiente es 4. ¿Qué ángulo forma la recta con el eje de abscisas?

Observa la recta representada.

a) Escribe la ecuación continua.

b) Halla su pendiente.

c) Calcula la ecuación punto-pendiente.

d) Averigua el valor del ángulo que forma con el eje de abscisas.

e) ¿Cuánto mide el ángulo que forma con el eje de ordenadas?

Halla dos de los puntos por los que pasan cada una de estas rectas.

a) x −1

3−1=

y − 0

5− 0 b) y − 1 = 2(x − 4)

Calcula la ordenada en el origen de las rectas propuestas.

a) x −1

1=

y + 1

2 b) y + 1 = 3(x − 1)

Decide si los puntos A(3, 5) y B(3, 3) pertenecen a las siguientes rectas.

a) x −1

1=

y + 1

2 b) y + 1 = 3(x − 1)

31

32

33

34

O 1

1

X

Y r

35

36

37

} Determina la ecuación continua de la recta que pasa por A(2, −3) y B(3, −1).

Solución

El vector director de la recta es:

AB

= b1 − a1 , b2 − a2( ) == 3− 2,−1− (−3)( ) = 1, 2( )

La ecuación continua es: x − 2

1=

y + 3

2

r

•

•

A

BO 1

1

X

Y

EJERCICIO RESUELTO

Determina la ecuación punto-pendiente de las rectas que pasan por el punto A(−1, 3) y forman los siguientes ángulos con el eje de abscisas.

a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º e) 135º f) 150º

38

Investiga

Presta atención

La ordenada en el origen de una recta es el valor de la ordenada del punto de abscisa cero.

Si una recta pasa por los puntos A a1 , a2( ) y B b1 , b2( ), su pendiente viene dada por la expresión:

m =b2 − a2

b1 − a1

Recuerda



33 Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y cuya pendiente es 4. ¿Qué ángulo forma la recta con el eje de abscisas?

La ecuación es y − 3 = 4( x − 2) y el ángulo que forma con el eje de abscisas es: α = arc tg 4 = 75,96º = 75º 57’

34 Observa la recta representada.

a) Escribe la ecuación continua.

b) Halla su pendiente.

c) Calcula la ecuación punto-pendiente.

d) Averigua el valor del ángulo que forma con el eje de abscisas.

e) ¿Cuánto mide el ángulo que forma con el eje de ordenadas?

a) Pasa por A(0, 3) y B(−3, 0): x − 0

−3− 0=

y − 3

0− 3 →

x

−3=

y − 3

−3

b) m = 1 c) y − 3 = 1 ( x − 0) d) α = arc tg 1 = 45º e) 45º

35 Halla dos de los puntos por los que pasan cada una de estas rectas.

a) x −1

3−1=

y − 0

5− 0 b) y − 1 = 2(x − 4)

a) Si x = 0: −1

3−1=

y − 0

5− 0→ y = −

5

2 → 0,−

5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b) Si x = 4: y − 1 = 2(4 − 4) → y = 1 → (4, 1)

Para x = 1: 0

3−1=

y − 0

5− 0→ y = 0 → (1, 0) Para x = 0: y − 1 = 2(0 − 4) → y = −7 → (0, −7)

36 Calcula la ordenada en el origen de las rectas propuestas.

a) x −1

1=

y + 1

2 b) y + 1 = 3(x − 1)

a) 0−1

1=

y + 1

2→ y = −3 es la ordenada en el origen. b) y + 1 = 3(0 − 1) → y = −4 es la ordenada en el origen.

37 Decide si los puntos A(3, 5) y B(3, 3) pertenecen a las siguientes rectas.

a) x −1

1=

y + 1

2 b) y + 1 = 3(x − 1)

a) 3−1

1≠

5 + 1

2 → A(3, 5) no pertenece a la recta.

3−1

1=

3 + 1

2 → B(3, 3) pertenece a la recta.

b) 5 + 1 = 3(3 − 1) → A pertenece a la recta. 3 + 1 ≠ 3(3 − 1) → B no pertenece a la recta.

Investiga

38 Determina la ecuación punto-pendiente de las rectas que pasan por el punto A(−1, 3) y forman los siguientes ángulos con el eje de abscisas.

a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º e) 135º f) 150º

a) y − 3 = tg 30º(x + 1) → y − 3 = 3

3 (x + 1) d) y − 3 = tg 120º(x + 1) → y − 3 = − 3 (x + 1)

b) y − 3 = tg 45º(x + 1) → y − 3 = 1(x + 1) e) y − 3 = tg 135º(x + 1) → y − 3 = (−1)(x + 1)

c) y − 3 = tg 60º(x + 1) → y − 3 = 3 (x + 1) f) y − 3 = tg 150º(x + 1) → y − 3 = −3

3(x + 1)

O 1

1

X

Y r

349



5. Ecuaciones explícita y general

Sugerencias didácticasLa obtención de la ecuación explícita y general no presentará ninguna dificultad, seguro que los alumnos se sentirán más cómodos cuando trabajen con este tipo de expresiones.

Dada una recta en cualquiera de estas formas deberán saber determinar un vector director y un punto para poder expresar la recta en forma vectorial o hallar sus ecuaciones paramé-tricas.


39 Determina la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto A(2, 0) y es paralela al vector ru = (-1, 1) .

Partiendo de la ecuación continua: x − 2

−1=

y − 0

1→ y = −x + 2

40 Halla la pendiente, la ordenada en el origen y un vector director de cada recta.

a) y =1

3x − 3 b) y =

2

5x + 5 c) y = 4x − 1 d) y = −2x + 1

a) m = 1

3, n = −3 b) m =

2

5, n = 5 c) m = 4, n = −1 d) m = −2, n = 1

41 Escribe la ecuación explícita de la recta: ( x , y ) = (−1, 4 ) + λ (4, 1)

La ecuación punto pendiente es: y − 4 = 1

4 (x + 1) → La ecuación explícita es: y =

1

4x +

17

4

181


180

5. ECUACIONES EXPLÍCITA Y GENERALHemos visto anteriormente que, transponiendo términos, la ecuación de una misma recta cambia su aspecto. Fíjate ahora en que, si en la ecuación punto-pendiente,

y − 2 =1

4( x −1), despejamos la variable dependiente, y, resulta:

y 2 =1

4( x 1) Despejamos y y =

1

4( x 1) + 2 y =

1

4

m

x +7

4

n

En esta expresión:

❚ m = 1

4 es la pendiente de la recta. ❚ n =

7

4 es la ordenada en el origen.

Así obtenemos y = mx + n, que es la ecuación explícita de la recta.

La ecuación explícita de la recta que pasa por un punto, A a1 , a2( ), y tiene la dirección del vector

u = u1 , u2( ) es:

y =u2

u1

m

x + −u2

u1

a1 + a2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

n

→ y = mx + n

siendo m la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen.

Y si agrupamos todos los términos de la ecuación continua de una recta, en un miembro, tenemos:

y 2 =1

4( x 1) 4 y 8 = x 1 x + 4 y 7 = 0 1

A

x + ( 4 )B

y + 7C

= 0

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita.

La ecuación general o implícita de la recta que pasa por un punto, A a1 , a2( ), y tiene la dirección del vector

u = u1 , u2( ) es:

Ax + By + C = 0

En esta expresión, A = u2, B = −u1 y C = u1a2 − u2a1.

Si despejamos y en la ecuación general, Ax + By + C = 0, obtenemos:

y = −A

Bx −

C

B

Si comparamos esta expresión con la ecuación explícita, resulta:

m = −A

B n = −

C

B

y un vector director es: u = u1 , u2( ) = −B, A( )

Aprenderás a… ● Obtener la ecuación explícita de la recta.

● Determinar la ecuación general de una recta.

} Una recta tiene por ecuación general x − 4y + 7 = 0. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y un vector director de la recta.

Solución

Si nos fijamos en los coeficientes de la ecuación general:

❚ m = −A

B= −

1

−4=

1

4 ❚ n = −

C

B= −

7

−4=

7

4

u = (−B, A ) = (− (−4), 1) = (4, 1)

EJERCICIO RESUELTO

Determina la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto A(2, 0) y es paralela al vector

ru = (-1, 1).

Halla la pendiente, la ordenada en el origen y un vector director de cada recta.

a) y =1

3x − 3 c) y = 4x − 1

b) y =2

5x + 5 d) y = −2x + 1

Escribe la ecuación explícita de la recta:

( x , y ) = (−1, 4 ) + λ (4, 1)

Determina la ecuación explícita de las rectas.

a) x = 6− 4λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) x −1

5=

y + 1

−1

Expresa en forma explícita esta ecuación: x = 3− λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Decide qué puntos entre estos pertenecen a ella.

a) A(2, 3) c) C(−4, 1)

b) B(3, 2) d) D(4, 1)

Escribe la ecuación explícita de la recta que tiene pendiente 3 y pasa por el punto A(2, 0).

Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por:

a) A(6, 0) y B(0, −3)

b) A(1, −5) y B(−1, 1)

39

40

41

42

43

44

45

Averigua la ecuación general de la recta:

a) Que pasa por el punto A(1, −2) y tiene la dirección del vector

u = (1, 2).

b) Si su ecuación vectorial es:

( x , y ) = (−1, − 4) + λ (2, 1)

Escribe la ecuación general de las rectas r y s.

r

s

O 1

1

X

Y

Escribe la ecuación general de las rectas.

a) x = 6− λy = 2 + 2λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) y =2

5x + 5

Halla un vector director para cada recta.

a) 2x − 3y + 4 = 0 c) x − y + 8 = 0

b) x +3y + 1 = 0 d) 3x + 6y − 1 = 0

Determina un vector director y un punto y representa la recta cuya ecuación es: 2x − y + 4 = 0

46

47

48

49

50

} Una recta pasa por el punto A(1, −1) y tiene la dirección del vector

ru = (1, 2). Halla todas

las ecuaciones de la recta.

Solución

EJERCICIO RESUELTO

mac4e33

} Una recta tiene por ecuación x − 3y + 5 = 0; a partir de ella, determina:

a) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

b) El punto de corte con la recta 2x + 3y + 1 = 0.

Solución

a) ❚ Corte con el eje X

Si y = 0, tenemos: x + 5 = 0 → x = − 5 → (−5, 0)

❚ Corte con el eje Y

Si x = 0, resulta: −3y + 5 = 0 → y = 5

3 → 0,

5

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) Resolvemos el sistema:

x − 3 y + 5 = 0

2x + 3 y + 1 = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ 3x + 6 = 0 → x = − 2

Sustituimos en la primera: −2 − 3y + 5 = 0 → y = 1

Así, el punto de corte de las dos rectas es (−2, 1).

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOa) ¿Cuál es la expresión algebraica de una recta paralela al eje Y? ¿Y la de una recta paralela al eje X?

b) Halla la pendiente de la recta que pasa por A(3, 1) y B(−2, 1) y escribe su ecuación.

52

Dadas r: x + y − 2 = 0 y s: 2x − 3y + 6 = 0, halla los puntos donde cada una corta a los ejes y el punto de corte entre ambas.

51

Vídeo. ECUACIONES DE LA RECTA

En el vídeo se muestra la resolución, paso a paso, del primer ejer-cicio resuelto de la página de Actividades. Siguiendo las indica-ciones que van apareciendo, los alumnos pueden ver el proce-dimiento a seguir en este tipo de ejercicios. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de las páginas anteriores o como recurso para que los alumnos repasen las ecuaciones de la recta más tarde.



42 Determina la ecuación explícita de las rectas.

a) x = 6− 4λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) x −1

5=

y + 1

−1

a) La ecuación punto-pendiente es: y − 2 = −1

4 (x − 6) → La ecuación explícita es: y = −

1

4x +

7

2

b) x −1

5=

y +1

−1→ y + 1 = −

1

5( x −1) → y = −

1

5x −

4

5

43 Expresa en forma explícita esta ecuación: x = 3− λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Decide qué puntos entre estos pertenecen a ella.

a) A(2, 3) b) B(3, 2) c) C(−4, 1) d) D(4, 1)

La ecuación punto-pendiente es: y − 2 = (−1)(x − 3) → La ecuación explícita es: y = −x + 5

a) Como se cumple que: 3 = −2 + 5 → A(2, 3) pertenece a la recta.

b) Por ser: 2 = −3 + 5 → B(3, 2) pertenece a la recta.

c) Se cumple que: 1 ≠ −(−4) + 5 → C(−4, 1) no pertenece a la recta.

d) Por ser: 1 = −4 + 5 → D(4, 1) pertenece a la recta.

44 Escribe la ecuación explícita de la recta que tiene pendiente 3 y pasa por el punto A(2, 0).

La ecuación punto-pendiente es: y − 0 = 3(x − 2) → La ecuación explícita es: y = 3x − 6

45 Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por:

a) A(6, 0) y B(0, −3) b) A(1, −5) y B(−1, 1)

a) La ecuación continua es: x − 6

−6=

y − 0

−3→ → La ecuación explícita es: y =

1

2x − 3

b) La ecuación continua es: x −1

−2=

y + 5

6→ → La ecuación explícita es: y = −3x − 2

46 Averigua la ecuación general de la recta:

a) Que pasa por el punto A(1, −2) y tiene la dirección del vector u = (1, 2).

b) Si su ecuación vectorial es: ( x, y ) = (−1, − 4) + λ ( 2, 1)

a) La ecuación punto-pendiente es: y + 2 = 2(x − 1) → y + 2 = 2x − 2 → 2x − y − 4 = 0

b) La ecuación punto-pendiente es: y + 4 = 1

2 (x + 1) → 2y + 8 = x + 1 → x − 2y − 7 = 0

47 Escribe la ecuación general de las rectas r y s.

r

s

O 1

1

X

Y

r pasa por los puntos A(3, 0) y B(0, −1), su ecuación continua es: x − 3

−3=

y − 0

−1→ → −x + 3 = −3y → x − 3y −3 = 0

s pasa por los puntos C(−1, 0) y D(0, −3), su ecuación continua es: x + 1

1=

y − 0

−3→ → −3x − 3 = y → 3x + y + 3 = 0

351



48 Escribe la ecuación general de las rectas.

a) x = 6− λy = 2 + 2λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) y =2

5x + 5

a) Su ecuación continua es: x − 6

−1=

y − 2

2→ → 2x − 12 = −y + 2 → 2x + y − 14 = 0

b) y =2

5x + 5 → 5y = 2x + 25 → 2x − 5y + 25 = 0

49 Halla un vector director para cada recta.

a) 2x − 3y + 4 = 0 b) x + 3y + 1 = 0 c) x − y + 8 = 0 d) 3x + 6y − 1 = 0

a) !u = (3, 2) b)

!u = (−3, 1) c)

!u = (1, 1) d)

!u = (−6, 3)

50 Determina un vector director y un punto y representa la recta cuya ecuación es: 2x − y + 4 = 0

Vector: !u = (1, 2)

Punto: Si x = 0 → y = 4, luego pasa por A(0, 4).

51 Dadas r: x + y − 2 = 0 y s: 2x − 3y + 6 = 0, halla los puntos donde cada una corta a los ejes y el punto de corte entre ambas.

Recta r:

Corte con eje X cuando y = 0 → x = 2, corta en (2, 0).

Corte con eje Y cuando x = 0 → y = 2, corta en (0, 2).

Recta s:

Corte con eje X cuando y = 0 → x = −3, corta en (−3, 0).


Corte entre ambas: x + y − 2 = 0

2x − 3 y + 6 = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2x + 2 y − 4 = 0

2x − 3 y + 6 = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 5 y −10 = 0 → y = 2

Sustituimos en la primera ecuación: x + 2− 2 = 0 → x = 2

Por tanto, las rectas se cortan en el punto (0, 2).

Desafío

52 a) ¿Cuál es la expresión algebraica de una recta paralela al eje Y? ¿Y la de una recta paralela al eje X?

b) Halla la pendiente de la recta que pasa por A(3, 1) y B(−2, 1) y escribe su ecuación.

a) Cualquier recta paralela al eje Y es de la forma x = k, k ∈ .

Cualquier recta paralela al eje X es de la forma y = k, k ∈ .

b) La pendiente es: m = 1−1

−2− 3= 0

Se trata de una recta paralela al eje X que tiene por ecuación: y = 1

•

O 1

1

X

Y A

u



6. Posiciones relativas de dos rectas en el plano


53 Describe la posición relativa de estas rectas.

a) r: 2x + 5 y + 1 = 0

s: 4 x − 6 y + 8 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) r: x − y + 4 = 0

s: 2x − 2y + 8 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) r: x − 3 y = 0

s: 4 x −12y = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

d) r: 6 x + 2 y + 4 = 0

s: 3x + y + 5 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

a) 2

4≠

5

−6 → Secantes c)

1

4=−3

−12 → Coincidentes

b) 1

2=−1

−2=

4

8 → Coincidentes d)

6

3=

2

1≠

4

5 → Paralelas

54 Escribe la ecuación general de la recta que es paralela a la recta, r: x − 2y + 3 = 0 y que pasa por A(1, 5).

Por ser paralela tenemos que: x − 2y + C = 0

Por pasar por A resulta: 1 − 10 + C = 0 → C = 9

La recta pedida es: x − 2y + 9 = 0

Sugerencias didácticasLa representación gráfica de rectas nos permitirá presentar a los alumnos los criterios que determinan la posición relativa de dos rectas.

Es muy conveniente que reconozcan y calculen con destre-za un vector paralelo y un vector perpendicular a un vector conocido, así será sencillo enseñarles a determinar una recta paralela o perpendicular a otra.

Debemos realizar suficientes ejercicios en los que aparezcan rectas expresadas en sus diferentes formas, esto nos permitirá asentar conocimentos que los alumnos deben haber adquirido al terminar esta unidad

183


182

Describe la posición relativa de estas rectas.

a) r: 2x + 5 y + 1 = 0

s: 4 x − 6 y + 8 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) r: x − 3 y = 0

s: 4 x −12y = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) r: x − y + 4 = 0

s: 2x − 2y + 8 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

d) r: 6 x + 2 y + 4 = 0

s: 3x + y + 5 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Escribe la ecuación general de la recta que es paralela a la recta, r: x − 2y + 3 = 0 y que pasa por A(1, 5).

53

54

Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas.

a) r:x = 1− 3λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) r:x −1

4=

y − 3

1

s: y =1

3x + 5

s: y − 2 =

1

4( x + 3)

b) r: y = 4 x + 1 d) r: y + 1 = 3(x − 1)

s:x −1

1=

y + 1

4 s: 2x − 3y + 6 = 0

Una recta, r, tiene por vector director u = (−1, 1) y

pasa por el punto A(3, 2), y otra recta, s, tiene por vector director

v = (1, −1) y pasa por el punto

B(1, 4). Establece cuál es su posición relativa.

Determina la posición relativa de las rectas r y s, sabiendo que la recta r forma un ángulo de 45º con el eje de abscisas y que un vector director de la recta s es v = (−1, 1).

55

56

57

Comprueba la posición relativa de las rectas y halla su punto de corte en el caso de que exista.

a) r: 5 x − y + 5 = 0

s: 10 x − 2y + 10 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) r: ( x , y ) = (1, 2) + λ (3, 2)

s: 3x − y −1 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) r: 5 x − y + 1 = 0

s: x + 5y + 8 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Halla la ecuación de una recta paralela a r y que pase por el punto A(1, 2).

a) r: 2x − 3y − 1 = 0 c) r: 5x + 3y + 2 = 0

b) r: 2x + y + 1 = 0 d) r: x − 3y − 2 = 0

58

59

6. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

En un concurso de geometría, Ana contestó correctamente a la pregunta de cuál era la posición relativa de las rectas r y s en cada uno de estos dibujos:

En la siguiente pregunta le pedían escribir la definición para cada caso y escribió lo siguiente:

❚ Las rectas secantes tienen un único punto común.

❚ Las rectas paralelas no tienen ningún punto común.

❚ Las rectas coincidentes tienen infinitos puntos comunes.

En la tercera pregunta le proporcionaron los siguientes pares de rectas y tuvo que determinar la posición relativa entre ellas. Con este fin, procedió de la siguiente forma:

a) r: 2x − 3 y + 4 = 0

s: 4 x − 6 y + 8 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Como 2

4=−3

−6=

4

8 → son rectas coincidentes.

b) r: 2x − 3 y + 4 = 0

s: 4 x − 6 y + 1 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Al ser 2

4=−3

−6≠

4

1 → son rectas paralelas.

c) r: 2x − 3 y + 4 = 0

s: 5 x + y + 4 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Por cumplir que 2

5≠−3

1 → son rectas secantes.

¿En qué se basó Ana para contestar a esta última pregunta correctamente?

Cada par de rectas escritas en forma general conforma un sistema de ecuaciones lineales.

❚ En el apartado a), el sistema tiene infinitas soluciones: las rectas son coincidentes.

❚ La pareja de ecuaciones del apartado b) forma un sistema que no tiene solución: las rectas son paralelas.

❚ El sistema del apartado c) tiene una única solución: las rectas son secantes.

Si una recta, r: Ax + By + C = 0, tiene por vector director u = u1 , u2( ) y otra recta,

s: A´x + B´y + C´ = 0, tiene por vector director v = v1 , v2( ), se cumple:

r y sVectores

directoresPendientes

Coeficientes de la ecuación general

Coincidentesu2

u1

=v2

v1

IgualesA

A ´=

B

B ´=

C

C ´

Paralelasu2

u1

=v2

v1

IgualesA

A ´=

B

B ´≠

C

C ´

Secantesu2

u1

≠v2

v1

DistintasA

A ´≠

B

B ´

Aprenderás a… ● Reconocer la posición relativa entre rectas.

● Aplicar los criterios que determinan la posición relativa de dos rectas en el plano.

O X

Yr

s

Secantes

O X

Yr

s

Paralelas

O X

Y

r = s

Coincidentes

} Estudia la posición relativa de las rectas:

r:x = 3− λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

y s:x −1

1=

y + 1

2

Solución

Un vector director de la recta r es u = (−1, 1), y un

vector director de la recta s es v = (1, 2).

Como 1

−1≠

2

1, los vectores no son proporcionales,

por lo que las pendientes de las rectas no son iguales, y, por tanto, las rectas son secantes.

EJERCICIO RESUELTO

Halla un vector perpendicular a estas rectas.

a) 2x − 3y + 1 = 0 c) 5x − y + 1 = 0

b) x + 3y + 6 = 0 d) 2x + 3y + 4 = 0

Determina la ecuación de una recta que pase por el punto A(1, 2) y sea perpendicular a r.

a) r: 2x − 3y − 1 = 0 c) r: 5x + 3y + 2 = 0

b) r: 2x + y + 1 = 0 d) r: x − 3y − 2 = 0

Averigua el valor del coeficiente a para que la recta r: ax + y + 2 = 0 sea paralela a una recta, s, que forma un ángulo de 120º con el eje de abscisas.

60

61

62

} Determina un vector perpendicular a la recta r de ecuación: x − 4y + 2 = 0

Solución

Dada una recta Ax + By + C = 0, un vector perpendicular es el que tiene por coordenadas los coeficientes A y B, esto es:

v = ( A, B )

Así, un vector director de la recta r es:

u = (−B, A ) = (4, 1)

Por otro lado, uno de los vectores perpendiculares es:

⊥u = (1, – 4 )

EJERCICIO RESUELTO

u

v

r O 1

1

X

Y

DESAFÍOAverigua el valor de k para que las siguientes rectas sean paralelas.

a) r:x = 1− 3λy = 2 + 5λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

s: y − 2 =5

k( x + 3)

b) r: y = 2x + 1 s:x −1

k=

y − 3

2

c) r: 2x − 3y + 6 = 0 s: y − 2 =k

6( x + 3)

d) r: y = 5x − 1 s: 10x − ky + 6 = 0

63

353



55 Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas.

a) r:x = 1− 3λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) r: y = 4 x + 1 c) r:x −1

4=

y − 3

1 d) r: y + 1 = 3(x − 1)

s: y =1

3x + 5 s:

x −1

1=

y + 1

4 s: y − 2 =

1

4( x + 3) s: 2x − 3y + 6 = 0

a) Un vector director de la recta r es !u = (−3, 1) y un vector director de s es

!v = (3, 1) , y como

3

−3≠

1

1, los vectores no son

proporcionales, por lo que las pendientes de las rectas no son iguales, y las rectas son secantes.

b) La pendiente de ambas rectas es m = 4 por lo que pueden ser palalelas o coincidentes. Hallamos sus ecuaciones generales:

r : 4 x − y + 1 = 0

s : 4 x − y −5 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

, y como 4

4=−1

−1≠

1

−5 → Son rectas paralelas.

c) La pendiente de ambas rectas es m = 1

4, pueden ser palalelas o coincidentes. Hallamos sus ecuaciones generales:

r : x − 4 y + 11 = 0

s : x − 4 y + 11 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ Son rectas paralelas.

d) Las rectas son: r : 3x − y − 4 = 0

s : 2x − 3 y + 6 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

, como 3

2≠−1

−3 → Son rectas secantes.

56 Una recta, r, tiene por vector director u = (−1, 1) y pasa por el punto A(3, 2), y otra recta, s, tiene por vector director v = (1, 1)

y pasa por el punto B(1, 4). Establece cuál es su posición relativa.

r: x − 3

−1=

y − 2

1→ x + y −5 = 0 s:

x −1

1=

y − 4

−1→ x + y −5 = 0 Son rectas coincidentes.

57 Determina la posición relativa de las rectas r y s, sabiendo que la recta r forma un ángulo de 45º con el eje de abscisas y que un vector director de la recta s es

v = (−1, 1).

La pendiente de la recta r es mr = tg 45º = 1 y la recta s tiene por pendiente ms = −1. Son rectas secantes.

58 Comprueba la posición relativa de las rectas y halla su punto de corte en el caso de que exista.

a) r: 5 x − y + 5 = 0

s: 10 x − 2y + 10 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) r: ( x , y ) = (1, 2) + λ (3, 2)

s: 3x − y −1 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) r: 5 x − y + 1 = 0

s: x + 5y + 8 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

a) 5

10=−1

−2=

5

10 → Son rectas coincidentes.

b) Un vector director de r es !u = (3, 2) y un vector director de s es

!v = (1, 3), como

1

3≠

3

2, los vectores no son proporcionales,

por lo que las rectas son secantes. El punto de corte es la solución del sistema:

r :x −1

3=

y − 2

2s : 3x − y −1 = 0

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

→ 2x − 3 y + 4 = 0

3x − y −1 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ 2x − 3 y + 4 = 0

9 x − 3 y − 3 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ −7 x + 7 = 0 → x = 1 e y = 2 → (1, 2)

c) Como 5

1≠−1

5, las rectas son secantes. El punto de corte es la solución del sistema:

5 x − y + 1 = 0

x + 5y + 8 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ 25 x − 5y + 5 = 0

x + 5 y + 8 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ 26 x + 13 = 0 → x = −1

2

5 x − y + 1 = 0

x + 5y + 8 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ 5 x − y + 1 = 0

5 x + 25 y + 40 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ −26 y − 39 = 0 → y = −3

2

Las rectas se cortan en el punto −1

2,−

3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ .



59 Halla la ecuación de una recta paralela a r y que pase por el punto A(1, 2).

a) r: 2x − 3y − 1 = 0 c) r: 5x + 3y + 2 = 0

b) r: 2x + y + 1 = 0 d) r: x − 3y − 2 = 0

a) Por ser paralela a r : 2x − 3y + C = 0

Por pasar por A(1, 2): 2 ⋅ 1 − 3 · 2 + C = 0 → C = 4, la recta pedida es: 2x − 3y + 4 = 0

b) Será de la forma: 2x + y + C = 0

Por pasar por A(1, 2): 2 ⋅ 1 + 2 + C = 0 → C = −4, así, la recta pedida es: 2x + y − 4 = 0

c) Será de la forma: 5x + 3y + C = 0

Por pasar por A(1, 2): 5 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + C = 0 → C = −11, así, la recta pedida es: 5x + 3y −11 = 0

d) Será de la forma: x − 3y + C = 0

Por pasar por A(1, 2): 1 − 3 ⋅ 2 + C = 0 → C = 5, la recta pedida es, por tanto: x − 3y + 5 = 0

60 Halla un vector perpendicular a estas rectas.

a) 2x − 3y + 1 = 0 b) x + 3y + 6 = 0 c) 5x − y + 1 = 0 d) 2x + 3y + 4 = 0

a) !v = (2,− 3) b)

!v = (1, 3) c) !v = (5,−1) d)

!v = (2, 3)

61 Determina la ecuación de una recta que pase por el punto A(1, 2) y sea perpendicular a r.

a) r: 2x − 3y − 1 = 0 b) r: 2x + y + 1 = 0 c) r: 5x + 3y + 2 = 0 d) r: x − 3y − 2 = 0

Escribimos la ecuación continua de las rectas pedidas.

a) x −1

2=

y − 2

−3 b)

x −1

2=

y − 2

1 c)

x −1

5=

y − 2

3 d)

x −1

1=

y − 2

−3

62 Averigua el valor del coeficiente a para que la recta r: ax + y + 2 = 0 sea paralela a una recta, s, que forma un ángulo de 120º con el eje de abscisas.

Como tg 120º = − 3 y la pendiente de la recta r es m = −a: − 3 = −a → a = 3

Así la recta r que es paralela a la recta s tiene por ecuación: 3 x + y + 2 = 0

Desafío

63 Averigua el valor de k para que las siguientes rectas sean paralelas.

a) r:x = 1− 3λy = 2 + 5λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

s: y − 2 =5

k( x + 3) c) r: 2x − 3y + 6 = 0 s: y − 2 =

k

6( x + 3)

b) r: y = 2x + 1 s:x −1

k=

y − 3

2 d) r: y = 5x − 1 s: 10x − ky + 6 = 0

a) Un vector de la recta r es !u = (−3, 5) y un vector de la recta s es

!v = (k , 5) , para que sean rectas paralelas como tiene que

ser: k

−3=

5

5→ k = −3

b) La pendiente de la recta r es mr = 2 y la pendiente de s es ms = 2

k, para que sean rectas paralelas tiene que cumplirse:

2 = 2

k → k = 1

c) Un vector de la recta r es !u = (3, 2) y un vector de la recta s es

!v = (6, k ) , para que sean rectas paralelas como tiene que

ser: 6

3=

k

2→ k = 4

d) La pendiente de la recta r es mr = 5 y la pendiente de s es ms = 10

k, para que sean rectas paralelas tiene que cumplirse:

5 = 10

k → k = 2

355



Actividades finalesSoluciones de las actividades

64 Halla las coordenadas cartesianas y el módulo de los vectores representados.

a)

u

O 1

1

X

Y b)

uO 1

1

X

Y

65 Dados los puntos A(−1, 2), B(1, 1), C(1, −2) y D(−1, 0), halla las coordenadas cartesianas y el módulo de estos vectores.

a) AB

b) BA

c) CD

d) DC

a) AB! "!!

= (2, −1), AB! "!!

= 22 + (−1)2 = 5 c) BA! "!

= (−2, 1), BA! "!

= (−2)2 + 12 = 5

b) CD! "!!

= (−2, 2), CD! "!!

= (−2)2 + 22 = 2 2 d) DC! "!!

= (2, −2), DC! "!!

= 22 + (−2)2 = 2 2

a) !u = (3, 1)

!u = 32 + 12 = 10 u

b) !u = (1,− 2)

!u = 12 + (−2)2 = 5 u

¿Qué tienes que saber?

Sugerencias didácticasEn esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Hallar las coordenadas cartesianas y el módulo de un vector.

❚❚ Comprender gráfica y analíticamente el concepto de suma de vectores y el producto de un número real por un vector.

❚❚ Determinar la ecuación de una recta en todas las formas posibles.

❚❚ Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano.

185

Actividades Finales 8

184

¿QUÉ8 tienes que saber?Dibuja en tu cuaderno el vector de posición de cada punto e indica sus coordenadas.

Halla el argumento de cada vector.

a) u = 1, 3( ) c)

u = (2, 2)

b) u = 3, 1( ) d)

u = (−2,−2)

Si u = (1, 4) y

v = (−1, 2), averigua las coordenadas

de los siguientes vectores.

a) u +v c)

u−v

b) 2u +v d)

u−5

v

Si u = (5, 1),

v = (−1, 3) y w

= (−4, 2), halla las

coordenadas de estos vectores.

a) u +v + w

c) 2u−w

b) u + 3

v d)

u−v −w

70

71

72

73

Vectores

Halla las coordenadas cartesianas y el módulo de los vectores representados.

a) b)

u

O 1

1

X

Y

uO 1

1

X

Y

Dados los puntos del plano A(−1, 2), B(1, 1), C(1, −2) y D(−1, 0), halla las coordenadas cartesianas y el módulo de estos vectores.

a) AB

b) BA

c) CD

d) DC

Las coordenadas del vector AB

son (−3, 4). Si el punto extremo es B(2, −3), ¿cuáles son las coordenadas del punto A?

Halla las coordenadas de los vectores AB

y CD


O 1

1

X

Y

•

••

•

A

B

D

C

El gráfico representa cómo debería desarrollarse una partida con el juego de ordenador Snake. Las reglas hacen que no podamos movernos del punto A al punto C sin pasar por B, pero, por alguna razón, el juego está fallando y no pasa por todos los puntos, sino que se salta los puntos intermedios. Así, por ejemplo, va de A a C sin pasar por B, y de C a E sin pasar por D.

• ••

••

• •

• •

• • •

••• •

•

••

O 1

1

X

Y

A B

CDE

FG H

I J

K L MN

PQ

RS

T

Determina las coordenadas del vector AC

, así como del resto de los vectores que van de un punto a otro saltándose el punto intermedio.

Determina la distancia entre estos pares de puntos.

a) A(3, 4) y B(7, 1) b) C(−2, 1) y D(2, −2)

64

65

66

67

68

69

Los extremos de un segmento son A(1, −2) y B(5, 1). Averigua:

a) Las coordenadas cartesianas del vector fijo, AB

.

b) El módulo del vector.

a) AB

= b1 − a1, b2 − a2( ) = (5 − 1, 1 − (−2) = (4, 3)

b) AB

= 42 + 32 = 5

Dados los vectores u = (2, 1) y

v = (−1, 1), determina de forma gráfica y numérica:

a) u +v b) 2

ru

a) b)

u +v = (2 + (−1), 1+ 1) = (1, 2) 2

ru = (2 · 2, 2 ·1) = (4, 2)

Vectores. OperacionesTen en cuenta

Un vector fijo, AB

, es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A a1 , a2( ) y su extremo en el punto B b1 , b2( ) . Coordenadas cartesianas

AB

= b1 − a1 , b2 − a2( )Módulo de un vector

AB

= b1 − a1( )2 + b2 − a2( )2

Suma de vectores

Si u = u1 , u2( ) y

v = v1 , v2( )

u +v = u1 + v1 , u2 + v2( )

Producto

El producto de un número real, k, por u = u1 , u2( ) es el vector:

ku = ku1 , ku2( )

uv

v+u

O 1

1

X

Y

u

2u

O 1

1

X

Y

Expresa de distintas formas la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, −2) y tiene por vector director

u = (4, 3).

Vectorial ( x , y ) = (1,−2) + λ (4, 3) Punto-pendiente y + 2 =3

4( x −1)

Paramétricasx = 1+ 4λy = −2 + 3λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Explícita y =3

4x −

11

4

Continuax −1

4=

y + 2

3General o implícita 3x − 4y − 11 = 0

Ecuaciones de la rectaTen en cuenta ❚ Vectorial

x , y( ) = a1 , a2( ) + λ u1 , u2( )

❚ Paramétricas: x = a1 + λu1

y = a2 + λu2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

❚ Continua: x − a1

u1

=y − a2

u2

❚ Punto-pendiente

y − a2 =u2

u1

x − a1( )

❚ Explícita: y = mx + n ❚ General o implícita: Ax + By + C = 0

Determina la posición relativa de las rectas.

a) r: x − 3y + 4 = 0

s: 4 x + y + 8 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) r: 2x + 8y − 4 = 0

s: x + 4y − 2 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) r: 2x + 8y − 4 = 0

s: x + 4y + 1 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

a) Como 1

4≠−3

1, las rectas son secantes.

b) Al cumplirse que 2

1=

8

4=−4

−2, las rectas son coincidentes.

c) Al ser 2

1=

8

4≠−4

1, las rectas son paralelas.

Posiciones relativas de dos rectas en el planoTen en cuenta

r y s Coeficientes

CoincidentesA

A ´=

B

B ´=

C

C ´

ParalelasA

A ´=

B

B ´≠

C

C ´

SecantesA

A ´≠

B

B ´

•••

•

••

•O 1

1

X

Y

ABC

D

E FG

} Calcula las coordenadas del punto medio, M, de

un segmento cuyos extremos son A a1 , a2( ) y B b1 , b2( ) .

Solución

1 Dibujamos los extremos del segmento y marcamos el punto medio M.

2 Trazamos los vectores de posición de los

puntos A y B: OA

y OB

, respectivamente.

3 Hallamos el vector:

OA

+ OB

OMu ruuu

=1

2OAu ruu

+ OBu ruu( ) == 1

2a1 + b1 , a2 + b2( )

Así, las coordenadas del punto M son:

M =a1 + b1

2,

a2 + b2

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

EJERCICIO RESUELTO

•

••

O X

M

Y

A

B

•

••

O X

OB

OA

OA + OB

M

Y

A

B

•

••

O X

OB

OA

OA + OB

M

Y

A

B



66 Las coordenadas del vector AB

son (−3, 4). Si el punto extremo es B(2, −3), ¿cuáles son las coordenadas del punto A?

AB! "!!

= (2 − a1, −3 − a2) = (−3, 4) → 2 − a1 = −3 y −3 − a2 = 4, así el punto A es: A(5, −7)

67 Halla las coordenadas de los vectores AB

y CD


AB! "!!

= (−4, −3) y CD! "!!

= (−4, −3)

Son vectores equipolentes.

68 El gráfico representa cómo debería desarrollarse una partida con el juego de ordenador Snake. Las reglas hacen que no podamos mover-nos del punto A al punto C sin pasar por B, pero, por alguna razón, el juego está fallando y no pasa por todos los puntos, sino que se salta los puntos intermedios. Así, por ejemplo, va de A a C sin pasar por B, y de C a E sin pasar por D.

Determina las coordenadas del vector AC

, así como del resto de los vectores que van de un punto a otro saltándose el punto intermedio.

AC! "!!

= (2, 1) CE! "!

= (−2, 1) EG! "!!

= (1, 2) GI!"!

= (3, −2) IK!"!

= (1, 2) KM! "!!

= (2, 0)

MP! "!!

= (−1, −3) PR! "!

= (−2, −1) RT! "!

= (3, 1)

69 Determina la distancia entre estos pares de puntos.

a) A(3, 4) y B(7, 1) b) C(−2, 1) y D(2, −2)

a) d(A, B) = AB! "!!

= (7− 3)2 + (1− 4)2 = 25 = 5 u b) d(C, D) = CD! "!!

= (2− (−2))2 + (−2−1)2 = 25 = 5u

70 Dibuja en tu cuaderno el vector de posición de cada punto e indica sus coordenadas.

OA! "!!

= (3, 1) OE! "!!

= (−2, −2)

OB! "!!

= (2, 1) OF! "!!

= (1, −3)

OC! "!!

= (0, 2) OG! "!!

= (2, −1)

OD! "!!

= (−1, 3)

71 Halla el argumento de cada vector.

a) u = 1, 3( ) b)

u = 3, 1( ) c)

u = (2, 2) d)

u = (−2,−2)

a) tg α = 3 → α = arc tg 3 = 60º c) tg α = 1→ α = arc tg 1 = 45º

b) tg α =1

3→ α = arc tg

1

3= 30º d) tg α = 1→ α = arc tg 1 = 225º

72 Si u = (1, 4) y


a) u +v b) 2

u +v c)

u−v d)

u−5

v

a) !u +

!v = (1, 4) + (−1, 2) = (0, 6) c)

!u −

!v = (1, 4) + (1, −2) = (2, 2)

b) 2!u +

!v = 2(1, 4) + (−1, 2) = (1, 10) d)

!u − 5

!v = (1, 4) + (5, −10) = (6, −6)

73 Si u = (5, 1),

v = (−1, 3) y w

= (−4, 2), halla las coordenadas de estos vectores.

a) u +v + w

b) u + 3

v c) 2

u−w

d) u−v −w

a) !u +!v +"

w = (5, 1) + (−1, 3) + (−4, 2) = (0, 6) c) 2!u−"

w = 2(5, 1) + (4, −2) = (14, 0)

b) !u + 3

!v = (5, 1) + 3(−1, 3) = (2, 10) d)

!u−!v −"

w = (5, 1) + (1, −3) + (4, −2) = (10, −4)

O 1

1

X

Y

•

••

•

A

B

D

C

• ••

••

• •

• •

• • •

••• •

•

••

O 1

1

X

Y

A B

CDE

FG H

I J

K L MN

PQ

RS

T

•••

•

••

•O 1

1

X

Y

ABC

D

E FG

357



74 Determina las coordenadas del punto medio de los segmentos cuyos extremos se indican.

a) A(2, 4) y B(6, 0) b) C(−2, 1) y D(6, 5)

a) M =2 + 6

2,

4 + 0

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = (4, 2) b) M =

−2 + 6

2,1+ 5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = (2, 3)

75 El punto medio de un segmento de extremos A y B es el punto M(−1, 4). Si el punto A es (1, 3), averigua las coordenadas del punto B.

M =1+ b1

2,

3 + b2

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

= (−1, 4 ) →

1+ b1

2= −1

3 + b2

2= 4

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ B b1 , b2( ) = (−3, 5)

76 El punto medio del segmento de extremos A y B es M(−2, −2). Halla las coordenadas del punto A, sabiendo que el punto B es (1, −3).

M =a1 + 1

2,

a2 − 3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

= (−2,− 2) →

a1 + 1

2= −2

a2 − 3

2= −2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ A a1 , a2( ) = (−5, −1)

77 Determina las coordenadas de los vértices A´, B´ y C´ del triángulo creado al unir los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, −1), B(6, 5) y C(8, 1).

Llamamos A´, B´ y C´ a las coordenadas del los puntos medios de los lados BC, AC y AB respectivamente:

Los puntos son:

A ´ =6 + 8

2,

5 + 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = (7, 3)

B ´ =

0 + 8

2,−1+ 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = (4, 0)

C ´ =

0 + 6

2,−1+ 5

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = (3, 2)

186 187

8 Geometría analítica Actividades Finales 8

Posición relativa de rectas

Comprueba la posición relativa de las rectas y halla su punto de corte, si existe.

a) r: x − y + 3 = 0

s: 2x + 2 y + 6 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) r: ( x , y ) = (1, 1) + λ (1, 3)

s: 3x − y −5 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) r:

x +1

−1=

y − 3

1

s:x − 4

1=

y − 2

−1

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪Estudia la posición relativa de la recta r: y = 2x − 3 y la recta s, determinada por los puntos A(2, −4) y B(6, 4).

Escribe la ecuación general de una recta que pase por el punto A(1, −2) y sea paralela a r.

a) r: x − 3y − 8 = 0 c) r: 5x + y + 6 = 0

b) r: 2x + 5y + 1 = 0 d) r: x − 5y − 2 = 0

Determina la ecuación general de una recta que pase por el punto A(−1, 2) y sea perpendicular a r.

a) r: 2x − 5y + 1 = 0

b) r: 2x + 3y + 1 = 0

c) r: x + 6y + 2 = 0

d) r: x − y − 5 = 0

En un radar se observa el vuelo de dos aviones que se encuentran a la misma altura. Uno de ellos sigue la trayectoria determinada por la recta de ecuación x − 7y + 8 = 0, y el otro se halla en el punto de coordenadas P(−1, 9), desplazándose en la dirección del vector

u = (−7,−1) . Averigua si sus trayectorias

tienen algún punto común.

Encuentra el valor a, sabiendo que las rectas son paralelas:

r: ( x , y ) = (1, 5) + λ (−3, 4 )

s: 8 x + ay −1= 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

r: ( x , y ) = (1, 5) + λ (−3, 4 )

s: 8 x + ay −1= 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Determina el valor del coeficiente a para que las rectas r: x + ay − 9 = 0

s: 3x − y −1= 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

se corten en el punto A(1, 2).

Las rectas r: x + ay + 2 = 0

s: bx + y −14 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

se cortan en el punto

A(3, 5). Averigua el valor de a y de b.

Las rectas

r: x − y = 0

s: x + 4 y −10 = 0

t: 3x + 2 y − 20 = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

se cortan dos a dos

formando un triángulo. Halla las coordenadas de sus vértices.

103

104

105

106

107

108

109

110

111

Comprueba si los puntos A(1, 3), B(−1, −5) y C(2, 7) pertenecen a la misma recta.

Averigua si los siguientes puntos son los vértices de un triángulo.

a) A(−3, 4), B(−2, −2) y C(−1, 3).

b) A(1, 3), B(−3, −1) y C(2, 4).

c) A(−3, −1), B(1, −1) y C(1, 1).

d) A(−1, −2), B(0, −1) y C(3, 2).

Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(2, 4), B(−2, 6) y C(−4, −2). Averigua:

a) La ecuación general de la recta que contiene al lado AD.

b) Las coordenadas del punto D.

En la reforma de una vivienda, un fontanero está tratando de averiguar cuál es la trayectoria de una tubería. En el plano, realizado en papel cuadriculado, observa que la tubería debe pasar por el punto P(6, 5) y por el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2, 5) y B(4, 1). Ayuda al fontanero y determina la ecuación general que representa la trayectoria buscada.

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. Halla la ecuación general de la recta mediana que pasa por el vértice A en el triángulo A(2, 4), B(−2, 6) y C(−4, −2).

Un globo aerostático se eleva en la dirección que determinan dos vectores. Uno de ellos es

u = (0, 4),

generado por un quemador que funciona con gas (el aire del interior del globo se calienta, por lo que disminuye su densidad, el empuje que sufre es mayor que su peso y, de esta manera, el globo y su cesta ascienden). El otro vector es

v = (2, 0), generado por

una corriente de aire.

Si el globo se encuentra en el punto A(0, 0), determina la ecuación explícita de la recta que representa su trayectoria.

Escribe la ecuación de la recta que pasa por A(−3, 2) y por el punto común de las rectas r: 3x − y − 3 = 0 y s: x + 3y − 11 = 0.

Determina las ecuaciones generales de tres rectas que, al cortarse dos a dos, generan el triángulo que tiene por vértices A(2, 4), B(−2, 6) y C(−4, −2).

95

96

97

98

99

100

101

102

Averigua los puntos de corte de estas rectas con los ejes de coordenadas.

a) 6x − y + 2 = 0 b) x = −1+ λy = 4 + 2λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Determina el vector director y un punto por el que pase cada recta.

84

85

Determina las coordenadas del punto medio de los segmentos cuyos extremos se indican.

a) A(2, 4) y B(6, 0)

b) C(−2, 1) y D(6, 5)

El punto medio de un segmento de extremos A y B es el punto M(−1, 4). Si el punto A es (1, 3), averigua las coordenadas del punto B.

El punto medio del segmento de extremos A y B es M(−2, −2). Halla las coordenadas del punto A, sabiendo que el punto B es (1, −3).

Determina las coordenadas de los vértices A´, B´ y C´del triángulo creado al unir los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son los puntosA(0, −1), B(6, 5) y C(8, 1).

Ecuaciones de la recta

Determina la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y tiene la dirección del vector

u = (4, 1).

Observa la gráfica y escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de las rectas r y s.

r

s

O 1

1

X

Y

Una recta pasa por A(3, −2) y B(5, 1). Determina.

a) Su ecuación vectorial.

b) Sus ecuaciones paramétricas.

Dada la recta x = −2 + λy = 3− 4λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

, obtén:

a) Su ecuación continua.

b) Su ecuación punto-pendiente.

c) Su ecuación explícita.

d) Su ecuación general.

Comprueba si los puntos A(1, 1) y B(4, 1) pertenecen a la recta cuya ecuación es:

x = −1+ 4λy = 2− 2λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Comprueba si el punto A(3, 5) pertenece a alguna de las rectas propuestas.

a) x −1

2=

y −5

−1 c) y =

1

3x + 4

b) y + 1 = 6(x + 2) d) x − 4y + 17 = 0

74

75

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78

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81

82

83

a) x-13=

y-1

c) y =13x-1

b) y +1=3(x +2) d) x-3 y +6=0

Determina el valor de a para que la recta 2x + ay − 8 = 0 pase por el punto A(−1, 10).

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(4, 3) y B(−2, 0) en todas las formas posibles.

Escribe la ecuación general de la recta que:

a) Tiene por pendiente 2 y como ordenada en el origen 5.

b) Corta a los ejes de coordenadas en los puntos A(−3, 0) y B(0, −5).

c) Pasa por el punto A(−3, 2) y forma un ángulo de 45º con el eje de abscisas.

Representa y halla la ecuación de cada una de las rectas que cumplen estas condiciones.

a) Es paralela al eje X y pasa por el punto A(1, 5).

b) Pasa por A(1, 5) y es paralela al eje Y.

c) Pasa por A(2, −3) y B(5, −3).

d) El punto (0, 0) pertenece a la recta y, además, pasa por B(3, 0).

e) Los puntos A(5, −1) y B(5, 3) pertenecen a la recta.

f) Las coordenadas x e y de cada punto son iguales.

Dada la recta y = −2x + 8, determina:

a) Su ecuación general.

b) Su ecuación continua.

c) Su ecuación punto-pendiente.

d) El ángulo que forma con el eje de abscisas.

Escribe la ecuación de la recta x + 3y + 3 = 0 en todas las formas posibles.

Escribe la ecuación continua de la recta que pasa por C(2, 0) y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los puntos A(5, 2) y B(−1, 4).

Determina la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto P(−1, 3) y tiene la misma pendiente que la recta bisectriz del primer cuadrante.

Halla la ecuación general de una recta que pase por

el punto C(3, 1) y tenga por vector director AB

, donde A(1, 2) y B(4, 1).

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90

91

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93

94



78 Determina la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y tiene la dirección del vector

u = (4, 1).

La ecuación vectorial es: ( x , y ) = (1, 2) + λ (4, 1) ; y las ecuaciones paramétricas son: x = 1+ 4λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

79 Observa la gráfica y escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones para-métricas de las rectas r y s.

La recta r pasa por A(0, 2) y un vector director es: !u = (3, 1)

La ecuación vectorial es: ( x , y ) = (0, 2) + λ (3, 1)

Las ecuaciones paramétricas son: x = 0 + 3λy = 2 + λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

La recta s pasa por B(3, 0) y un vector director es: !v = (1, −1)

La ecuación vectorial es: ( x , y ) = (3, 0) + λ (1,−1) y las ecuaciones paramétricas son: x = 3 + λy = −λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

80 Una recta pasa por A(3, −2) y B(5, 1). Determina.

a) Su ecuación vectorial. b) Sus ecuaciones paramétricas.

El vector director es: !u = (2, 3)

a) ( x , y ) = (3,− 2) + λ (2, 3) b) x = 3 + 2λy = −2 + 3λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

81 Dada la recta x = −2 + λy = 3− 4λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

, obtén:

a) Su ecuación continua. c) Su ecuación explícita.

b) Su ecuación punto-pendiente. d) Su ecuación general.

a) x + 2

1=

y − 3

−4 b) y − 3 = −4( x + 2) c) y = −4 x −5 d) 4 x + y + 5 = 0

82 Comprueba si los puntos A(1, 1) y B(4, 1) pertenecen a la recta cuya ecuación es: x = −1+ 4λy = 2− 2λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Punto A: 1 = −1+ 4λ1 = 2− 2λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→λ =

1

2

λ =1

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ A(1, 1) pertenece a la recta.

Punto B: 4 = −1+ 4λ1 = 2− 2λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→λ =

5

4

λ =1

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ B(4, 1) no pertenece a la recta.

83 Comprueba si el punto A(3, 5) pertenece a alguna de las rectas propuestas.

a) x −1

2=

y −5

−1 b) y + 1 = 6(x + 2) c) y =

1

3x + 4 d) x − 4y + 17 = 0

a) 3−1

2≠

5−5

−1→ A(3, 5) no pertenece a la recta

x −1

2=

y −5

−1.

b) 5 + 1 ≠ 6(3 + 2) → A(3, 5) no pertenece a la recta y + 1 = 6(x + 2).

c) 5 =1

33 + 4 → A(3, 5) pertenece a la recta y =

1

3x + 4 .

d) 3 − 4 · 5 + 17 = 0 → A(3, 5) pertenece a la recta x − 4y + 17 = 0.

r

s

O 1

1

X

Y

359



84 Averigua los puntos de corte de estas rectas con los ejes de coordenadas.

a) 6x − y + 2 = 0 b) x = −1+ λy = 4 + 2λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

a) Corte con eje X cuando y = 0 → x = −1

3, corta en −

1

3, 0

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ .


b) Corte con eje X cuando y = 0 → → 0 = 4 + 2λ → λ = −2 , así x = −1+ (−2) = −3, corta en (−3, 0).

Corte con eje Y cuando x = 0 → → 0 = −1+ λ → λ = 1 e y = 4 + 2 (1) = 6, corta en (0, 6).

85 Determina el vector director y un punto por el que pase cada recta.

a) x-13=

y-1

c) y =13x-1

b) y +1=3(x +2) d) x-3 y +6=0

a) !u = (3, −1), A(1, 0) b)

!u = (1, 3), A(−2, −1) c)

!u = (3, 1), A(0, −1) d)

!u = (3, 1), A(0, 2)

86 Determina el valor de a para que la recta 2x + ay − 8 = 0 pase por el punto A(−1, 10).

Debe cumplir: 2(−1) + a ⋅10− 8 = 0 → a = 1

87 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(4, 3) y B(−2, 0) en todas las formas posibles.

Vectorial: ( x , y ) = (4, 3) + λ (−6,− 3) Punto-pendiente: y − 3 =1

2( x − 4)

Paramétricas: x = 4− 6λy = 3− 3λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Explícita: y =1

2x + 1

Continua: x − 4

−6=

y − 3

−3 General: x − 2y + 2 = 0

88 Escribe la ecuación general de la recta que:

a) Tiene por pendiente 2 y como ordenada en el origen 5.

b) Corta a los ejes de coordenadas en los puntos A(−3, 0) y B(0, −5).

c) Pasa por el punto A(−3, 2) y forma un ángulo de 45º con el eje de abscisas.

a) La ecuación punto-pendiente es: y − 5 = 2(x − 0) → La ecuación general es: 2x − y + 5 = 0

b) La ecuación continua es: x + 3

3=

y − 0

−5→ → − 5x − 15 = 3y → La ecuación general es: 5x + 3y + 15 = 0

c) La ecuación punto-pendiente es: y − 2 = tg 45º(x + 3) → y − 2 = 1(x + 3) → La general es: x − y + 5 = 0

89 Representa y halla la ecuación de cada una de las rectas que cumplen estas condiciones.

a) Es paralela al eje X y pasa por el punto A(1, 5).

b) Pasa por A(1, 5) y es paralela al eje Y.

c) Pasa por A(2, −3) y B(5, −3).

d) El punto (0, 0) pertenece a la recta y, además, pasa por B(3, 0).

e) Los puntos A(5, −1) y B(5, 3) pertenecen a la recta.

f) Las coordenadas x e y de cada punto son iguales.

a)

O 1

1

X

Y•A

y = 5 b)

O 2

1

X

Y•Ax = 1



c)

O 1

1

X

Y

••A B

y = –3

e)

O 1

1

X

Y•

•

B

A

x = 5

d)

O 1

1

X

Y

••B y = 0

f)

O 1

1

X

Y•

•

y = x

•

••

90 Dada la recta y = −2x + 8, determina:

a) Su ecuación general. c) Su ecuación punto-pendiente.

b) Su ecuación continua. d) El ángulo que forma con el eje de abscisas.

a) y = −2x + 8 → 2x + y − 8 = 0

b) Pasa por A(0, 8) y un vector director es: !u = (1,−2) →

x − 0

1=

y − 8

−2c) Partiendo de la ecuación continua, la ecuación punto-pendiente es: y − 8 = −2(x − 0)

d) La tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas es tgα = −2 → α = arc tg (− 2) = 116,56º

91 Escribe la ecuación de la recta x + 3y + 3 = 0 en todas las formas posibles.

Un punto de la recta es A(0, −1) y un vector director es !u = (−3, 1).

Vectorial: ( x , y ) = (0,−1) + λ (−3,1) Punto-pendiente: y + 1 = −1

3( x − 0)

Paramétricas: x = 0− 3λy = −1+ λ

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Explícita: y = −1

3x −1

Continua: x − 0

−3=

y + 1

1

92 Escribe la ecuación continua de la recta que pasa por C(2, 0) y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los puntos A(5, 2) y B(−1, 4).

El vector director será el mismo que el de la recta que pasa por A y B.

AB! "!!

= (−1 − 5, 4 − 2) = (−6, 2), así la recta es: x − 2

−6=

y − 0

293 Determina la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto P(−1, 3) y tiene la misma pendiente que la recta

bisectriz del primer cuadrante.

La pendiente de la recta bisectriz del primer cuadrante es m = 1 → La ecuación es: y − 3 = 1(x + 1)

94 Halla la ecuación general de una recta que pase por el punto C(3, 1) y tenga por vector director AB

, donde A(1, 2) y B(4, 1).

AB! "!!

= (4 − 1, 1 − 2) = (3, −1) → x − 3

3=

y −1

−1 → −x + 3 = 3y − 3 → La ecuación general es: x + 3y − 6 = 0

95 Comprueba si los puntos A(1, 3), B(−1, −5) y C(2, 7) pertenecen a la misma recta.

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B es : x −1

−2=

y − 3

−8

Comprobamos si C pertenece a la recta: 2−1

−2=

7− 3

−8 → Los tres puntos están alineados.

361



96 Averigua si los siguientes puntos son los vértices de un triángulo.

a) A(−3, 4), B(−2, −2) y C(−1, 3). c) A(−3, −1), B(1, −1) y C(1, 1).

b) A(1, 3), B(−3, −1) y C(2, 4). d) A(−1, −2), B(0, −1) y C(3, 2).

a) AB! "!!

= (1, −6) y AC! "!!

= (2, −1), como no son proporcionales, los tres puntos son vértices de un triángulo.

b) AB! "!!

= (−4, −4) y AC! "!!

= (1, 1), son vectores proporcionales, los tres puntos están alineados.

c) AB! "!!

= (4, 0) y AC! "!!

= (4, 2), como no son proporcionales, los tres puntos son vértices de un triángulo.

d) AB! "!!

= (1, 1) y AC! "!!

= (4, 4), son vectores proporcionales, los tres puntos no son vértices de un triángulo.

97 Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(2, 4), B(−2, 6) y C(−4, −2). Averigua:

a) La ecuación general de la recta que contiene al lado AD.

b) Las coordenadas del punto D.

a) La recta que contiene al lado AD pasa por el punto A y es paralela a la que contiene al lado BC.

Como BC! "!!

= (−2,−8) →x − 2

−2=

y − 4

−8→

x − 2

1=

y − 4

4→ 4 x − 8 = y − 4 → La recta es: 4 x − y − 4 = 0

b) Por ser un paralelogramo: AB! "!!

= DC! "!!

→ (−4, 2) = (−4 − d1, −2 − d2) → d1 = 0 y d2 = −4, así el punto es D(−4, 0).

98 En la reforma de una vivienda, un fontanero está tratando de averiguar cuál es la trayectoria de una tubería. En el plano, reali-zado en papel cuadriculado, observa que la tubería debe pasar por el punto P(6, 5) y por el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2, 5) y B(4, 1). Ayuda al fontanero y determina la ecuación general que representa la trayectoria buscada.

Calculamos el punto medio del segmento AB: MAB =2 + 4

2,

5 + 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = (3, 3)

La recta que pasa por P y M tiene por vector director PM! "!!

y su ecuación es: x − 6

3− 6=

y −5

3−5→ 2x − 3 y + 3 = 0

99 Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. Halla la ecuación general de la recta mediana que pasa por el vértice A en el triángulo A(2, 4), B(−2, 6) y C(−4, −2).

Calculamos el punto medio de B y C: MBC =−2− 4

2,6− 2

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = (−3, 2)

La recta que pasa por el vértice A y por MBC es: x − 2

−3− 2=

y − 4

2− 4→ 2x −5 y + 16 = 0

100 Un globo aerostático se eleva en la dirección que determinan dos vectores. Uno de ellos es u = (0, 4), generado por un que-

mador que funciona con gas (el aire del interior del globo se calienta, por lo que disminuye su densidad, el empuje que sufre es mayor que su peso y, de esta manera, el globo y su cesta ascienden). El otro vector es

v = (2, 0), generado por una corriente

de aire.

Si el globo se encuentra en el punto A(0, 0), determina la ecuación explícita de la recta que representa su trayectoria.

La trayectoria que seguirá el globo será la de la recta que contiene al vector !u +!v = (0, 4 ) + (2, 0) = (2, 4 ) .

Así la ecuación de la recta que representa la trayectoria es: x − 0

2=

y − 0

4→ y = 2x

101 Escribe la ecuación de la recta que pasa por A(−3, 2) y por el punto común de las rectas r: 3x − y − 3 = 0 y s: x + 3y − 11 = 0.

Resolvemos el sistema:

3x − y − 3 = 0

x + 3 y −11 = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x − y − 3 = 0

3x + 9 y − 33 = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −10 y + 30 = 0 → y = 3 , así: 3x − 3 − 3 = 0 → x = 2

El punto común de las rectas es B(2, 3) y la recta que pasa por A y B es: x + 3

2 + 3=

y − 2

3− 2→ x −5 y + 13 = 0



102 Determina las ecuaciones generales de tres rectas que, al cortarse dos a dos, generan el triángulo que tiene por vértices A(2, 4), B(−2, 6) y C(−4, −2).

La recta que contiene al lado AB, pasa por A(2, 4) y tiene vector director AB! "!!

= (4, 2): x − 2

4=

y − 4

2→ 2x − 4 y + 12 = 0 → x − 2 y + 6 = 0

La recta que contiene al lado AC, pasa por A(2, 4) y tiene vector director AC! "!!

= (−6, −6): x − 2

−6=

y − 4

−6→ x − y + 2 = 0

La recta que contiene al lado BC, pasa por B(−2, 6) y tiene vector director BC! "!!

= (−2, −8): x + 2

−2=

y − 6

−8→ 8 x − 2 y + 28 = 0 → 4 x − y + 14 = 0

103 Comprueba la posición relativa de las rectas y halla su punto de corte, si existe.

a) r: x − y + 3 = 0

s: 2x + 2 y + 6 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

b) r: ( x , y ) = (1, 1) + λ (1, 3)

s: 3x − y −5 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) r:

x +1

−1=

y − 3

1

s:x − 4

1=

y − 2

−1

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

a) 1

2≠−1

2→ r y s son secantes.

b) La ecuación general de la recta r es: x −1

1=

y −1

3→ 3x − y − 2 = 0 . Como

3

3=−1

−1≠−2

−5→ r y s son paralelas.

c) La ecuación general de la recta r es: x + y − 2 = 0, y la ecuación general de la recta s es: x + y − 6 = 0

Como 1

1=

1

1≠−2


104 Estudia la posición relativa de la recta r: y = 2x − 3 y la recta s, determinada por los puntos A(2, −4) y B(6, 4).

La recta r es: 2x − y − 3 = 0

La recta determinada por A y B es: x − 2

6− 2=

y + 4

4− (−4)→ 8 x − 4 y − 32 = 0 → s : 2x − y − 8 = 0

Como 2

2=−1

−1≠−3


105 Escribe la ecuación general de una recta que pase por el punto A(1, −2) y sea paralela a r.

a) r: x − 3y − 8 = 0 b) r: 2x + 5y + 1 = 0 c) r: 5x + y + 6 = 0 d) r: x − 5y − 2 = 0

a) !ur = (3, 1) →

x −1

3=

y + 2

1→ x − 3 y −7 = 0 c)

!ur = (−1, 5) →

x −1

−1=

y + 2

5→ 5 x + y − 3 = 0

b) !ur = (−5, 2) →

x −1

−5=

y + 2

2→ 2x + 5 y + 8 = 0 d)

!ur = (5,1) →

x −1

5=

y + 2

1→ x −5 y −11 = 0

106 Determina la ecuación general de una recta que pase por el punto A(−1, 2) y sea perpendicular a r.

a) r: 2x − 5y + 1 = 0 b) r: 2x + 3y + 1 = 0 c) r: x + 6y + 2 = 0 d) r: x − y − 5 = 0

a) ⊥!ur = (2,−5) →

x + 1

2=

y − 2

−5→ 5 x + 2 y + 1 = 0 c) ⊥

!ur = (1, 6) →

x + 1

1=

y − 2

6→ 6 x − y + 8 = 0

b) ⊥!ur = (2, 3) →

x + 1

2=

y − 2

3→ 3x − 2 y + 5 = 0 d) ⊥

!ur = (1,−1) →

x + 1

1=

y − 2

−1→ x + y −1 = 0

363



107 En un radar se observa el vuelo de dos aviones que se encuentran a la misma altura. Uno de ellos sigue la trayectoria determina-da por la recta de ecuación x − 7y + 8 = 0, y el otro se halla en el punto de coordenadas P(−1, 9), desplazándose en la dirección del vector

u = (−7,−1) . Averigua si sus trayectorias tienen algún punto común.

La trayectoria del avión que está en P y vuela en la dirección del vector !u = (−7,−1) es:

x + 1

−7=

y − 9

−1→ x −7 y + 64 = 0

Las rectas x − 7y + 8 = 0 y x −7 y + 64 = 0 son paralelas, así las trayectorias de los vuelos no tienen ningún punto común.

108 Encuentra el valor a, sabiendo que las rectas son paralelas: r: ( x , y ) = (1, 5) + λ (−3, 4 )

s: 8 x + ay −1= 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

r: ( x , y ) = (1, 5) + λ (−3, 4 )

s: 8 x + ay −1= 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Las rectas tienen por vectores directores !ur = (−3, 4 ) y

!us = (−a, 8) , respectivamente, y al ser paralelas sus vectores tienen

que ser proporcionales.

Esto es, −3

−a=

4

8→ a = 6 , y el vector de la recta s es:

!us = (−6, 8)

109 Determina el valor del coeficiente a para que las rectas r: x + ay − 9 = 0

s: 3x − y −1= 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

se corten en el punto A(1, 2).

El punto A debe pertenecer a la recta r : 1 + 2a − 9 = 0 → a = 4

110 Las rectas r: x + ay + 2 = 0

s: bx + y −14 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

se cortan en el punto A(3, 5). Averigua el valor de a y de b.

Ambas rectas pasan por el punto A(3, 5): 3 + 5a + 2 = 0

3b + 5−14 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ a = −1

b = 3

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

111 Las rectas

r: x − y = 0

s: x + 4 y −10 = 0

t: 3x + 2 y − 20 = 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

se cortan dos a dos formando un triángulo. Halla las coordenadas de sus vértices.

Vértice A, punto de corte de la recta r y la recta s:

x − y = 0

x + 4 y −10 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ −5 y + 10 = 0 → y = 2 y x = 2, el vértice A tiene por coordenadas: A(2, 2)

Vértice B, punto de corte de la recta s y la recta t:

x + 4 y −10 = 0

3x + 2 y − 20 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ 3x + 12 y − 30 = 0

3x + 2 y − 20 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ 10 y = −10 → y = 1 y x = 6, el vértice B es: B(6, 1)

Vértice C, punto de corte de la recta r y la recta t:

x − y = 0

3x + 2 y − 20 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ 3x − 3 y = 0

3x + 2 y − 20 = 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ −5 y + 20 = 0 → y = 4 y x = 4, el vértice C es: C(4, 4)



Sugerencias didácticasEn esta sección trabajamos de forma interdiscipliar competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situa-ción real en la que intervienen diferentes vectores que los alumnos deberán identificar.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competen-cias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Utiliza el lenguaje matemático, Piensa y razona, Representa, Resuelve o Argumenta.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Uno para todos, de Pere Pujolàs.

Los alumnos resolverán un problema simulado de la vida real, en el que utilizarán su conocimiento sobre vectores para poder obtener la solución.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos trabajarán en pequeños grupos. Resolverán un primer ejercicio o actividad consensuando la respuesta, y no podrán pasar al siguiente hasta que todo el grupo comprenda la situación y la resolución. El profesor preguntará a un miembro del grupo por la resolución. La calificación que obtenga será igual para el resto de miembros del equipo del alumno.


Comprende

1 Hemos visto que una magnitud escalar es aquella que se indica mediante un valor numérico y su correspondiente unidad. Una magnitud vectorial, por su parte, necesita una cantidad, formada por un número y su correspondiente unidad, y un sentido.

Tiempo, velocidad, masa, distancia, fuerza, área, aceleración o volumen son ejemplos de magnitudes.

a) ¿Qué datos necesitarías para definir cada una de las magnitudes anteriormente citadas?

b) ¿Cuáles son escalares y cuáles, vectoriales?

a) Tiempo: valor numérico y unidad Fuerza: valor numérico, unidad y sentido

Velocidad: valor numérico, unidad y sentido Área: valor numérico y unidad

Masa: valor numérico y unidad Aceleración: valor numérico, unidad y sentido

Distancia: valor numérico y unidad Volumen: valor numérico y unidad

Matemáticas vivas. Navegación

8 MATEMÁTICAS VIVAS 8Navegación

188 189

La acción del viento modifica la dirección del vuelo de una cometa o de un avión incluso. Por otro lado, la velocidad de la corriente de un río incide en la navegación de una barca.

RELACIONA

Imagínate que tienes que cruzar un río nadando para llegar al embarcadero. Tu velocidad es de 2 m/s, mientras que la velocidad de la corriente, que tiene dirección oeste-este, es de 8 m/s.

Si partes del punto de origen, O, en el sentido del vector

v = (0, 2), y la corriente del río lleva la

dirección del vector u = (8, 0). Responde a estas

cuestiones.

a. Si nadas en dirección perpendicular a la corriente, ¿llegarás al embarcadero?

b. ¿Qué coordenadas tiene el vector que representa la dirección que llevarás?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

c. Realiza un gráfico de tu trayectoria, sabiendo que el río tiene 150 m de ancho.

d. ¿En qué dirección deberías nadar para llegar justo al embarcadero? Representa la trayectoria que tendrías que seguir en este caso.

2

COMPRENDE

Hemos visto que una magnitud escalar es aquella que se indica mediante un valor numérico y su correspondiente unidad. Una magnitud vectorial, por su parte, necesita una cantidad, formada por un número y su correspondiente unidad, y un sentido.

Tiempo, velocidad, masa, distancia, fuerza, área, aceleración o volumen son ejemplos de magnitudes.

a. ¿Qué datos necesitarías para definir cada una de las magnitudes anteriormente citadas?

b. ¿Cuáles son escalares y cuáles, vectoriales?

1

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

PIENSA Y RAZONA

REPRESENTA

REFLEXIONA

Imagínate que se están realizando diferentes pruebas de natación en un río de 90 m de ancho.

I Tú has participado en una competición y has nadado con una velocidad constante de 1,5 m/s de forma perpendicular al caudal. Como la corriente te ha arrastrado río abajo, llegas a un punto de la orilla de enfrente que está 20 m hacia el este del punto de partida.

a. ¿Qué velocidad lleva la corriente?

b. ¿Cuántos metros te has desplazado en total, ayudado por la corriente, desde el punto de partida?

c. Describe gráficamente el vector director en la dirección que deberías haber tomado para llegar a la meta situada perpendicularmente al punto de salida.

II La siguiente prueba en la que vas a participar consiste en salir de una plataforma anclada al río de forma perpendicular a la corriente; tu nado, por tanto, discurrirá en la dirección del caudal. La meta está bajo un puente a 200 m de la plataforma.

a. Representa mediante vectores la trayectoria.

b. Si mantienes tu marca de velocidad de 1,5 m/s, ¿qué velocidad real alcanzarás en tu desplazamiento?

c. Calcula el tiempo que tardarás en realizar la prueba.

d. Para llegar a la meta en 1 min 10 s, ¿en cuánto deberías aumentar tu velocidad?

3

Para llegar a la meta en 1 min 10 s, ¿en cuánto deberías aumentar tu velocidad?

ARGUMENTA

TAREADisponéis de una barca con motor y queréis cruzar un río hasta el embarcadero que está justo enfrente. El ancho del río es de 400 m, queréis cruzarlo en 4 min, y la corriente tiene una velocidad de 3 km/h.

a) Dibujad los vectores que influyen en la navegación. ¿Qué coordenadas tendrá el vector director de la trayectoria que debéis seguir?

b) Determinad la velocidad a la que tenéis que navegar para llegar al embarcadero.

TRABAJO

COOPERATIVO

RESUELVE

REPRESENTA

365



b) Son magnitudes escalares: tiempo, masa, distancia, área y volumen

Son magnitudes vectoriales: velocidad, fuerza y aceleración

Al referirnos a sentido estamos hablando tanto de dirección como de sentido

Relaciona

2 Imagínate que tienes que cruzar un río nadando para llegar al em-barcadero. Tu velocidad es de 2 m/s, mientras que la velocidad de la corriente, que tiene dirección oeste-este, es de 8 m/s.

Si partes del punto de origen, O, en el sentido del vector v = (0, 2),

y la corriente del río lleva la dirección del vector u = (8, 0). Responde

a estas cuestiones.

a) Si nadas en dirección perpendicular a la corriente, ¿llegarás al embarcadero?

b) ¿Qué coordenadas tiene el vector que representa la dirección que llevarás?

c) Realiza un gráfico de tu trayectoria, sabiendo que el río tiene 150 m de ancho.

d) ¿En qué dirección deberías nadar para llegar justo al embarcadero? Representa la trayectoria que tendrías que seguir en este caso.

a) No llegarás al embarcadero.

b) El vector que representa la dirección es: !

w =!u +!v = (8, 0) + (0, 2) = (8, 2)

c)

O 100

50

L (m)

D (m)

d) En la dirección del vector !v = (−600, 150) .

Reflexiona

3 Imagínate que se están realizando diferentes pruebas de natación en un río de 90 m de ancho.

I Tú has participado en una competición y has nadado con una velocidad constante de 1,5 m/s de forma perpendicular al caudal. Como la corriente te ha arrastrado río abajo, llegas a un punto de la orilla de enfrente que está 20 m hacia el este del punto de partida.

a) ¿Qué velocidad lleva la corriente?

b) ¿Cuántos metros te has desplazado en total, ayudado por la corriente, desde el punto de partida?

c) Describe gráficamente el vector director en la dirección que deberías haber tomado para llegar a la meta situada perpen-dicularmente al punto de salida

a) Para recorrer 90 m a un velocidad de 1,5 m/s necesitamos 90

1,5 = 60 s. La velocidad del caudal del río podemos calcularla

dividiendo los 20 m que nos ha desplazado la corriente entre el tiempo que hemos nadado:

vcaudal =

20

60= 0,33 m/ s

b) Desplazamiento = 902 + 202 = 8 500 = 10 85 = 92,19 m

c)

O 0,33

1,5

corrienteu

v

L (m)

D (m)

nadador

w

!v = (−0,33; 1,5)

O 100

50 75u

v

L (m)

D (m)



II La siguiente prueba en la que vas a participar consiste en salir de una plataforma anclada al río de forma perpendicular a la corriente; tu nado, por tanto, discurrirá en la dirección del caudal. La meta está bajo un puente a 200 m de la plataforma.

a) Representa mediante vectores la trayectoria.

b) Si mantienes tu marca de velocidad de 1,5 m/s, ¿qué velocidad real alcanzarás en tu desplazamiento?

c) Calcula el tiempo que tardarás en realizar la prueba.

d) Para llegar a la meta en 1 min 10 s, ¿en cuánto deberías aumentar tu velocidad?

a)

O 0,33

1,5

u v

L (m)

D (m)w

El vector director de la trayectoria es: !

w =!u +!v = (0,33; 0) + (1,5; 0) = (1,83; 0)

b) v = 0,33 m/s + 1,5 m/s = 1,83 m/s

c) t =200 m

1,83 m/s= 109,28 s = 1 min 49 s

d) vtotal =200 m

70seg= 2,85 m /s vnadador = 2,85 m/s − 0,33 m/s = 2,52 m/s

Debería aumentar su velocidad en: 2,52 m/s – 1,5 m/s = 1,02 m/s

Trabajo cooperativo

a) La velocidad de la corriente es 3 km/h = 50 m/s.

Nuestra velocidad debe ser: 400 m

4 min= 100 m/min =

100 m

60 s= 1,66 m/s

El vector director de la trayectoria debe ser: !u = (−50; 1,66)

En 4 min = 240 s el desplazamiento del caudal habrá sido de: 240 · 50 = 12 000 m

Las coordenadas del vector trayectoria son (−12 000, 400).

b) Como ya hemos calculado en el apartado a) la velocidad a la que tenemos que navegar es de 1,66 m/s.

TAREADisponéis de una barca con motor y queréis cruzar un río hasta el embarcadero que está justo enfrente. El ancho del río es de 400 m, queréis cruzarlo en 4 min, y la corriente tiene una velocidad de 3 km/h.

a) Dibujad los vectores que influyen en la navegación. ¿Qué coordenadas tendrá el vector director de la trayectoria que debéis seguir?

b) Determinad la velocidad a la que tenéis que navegar para llegar al embarcadero.

367



Sugerencias didácticasEn la sección Avanza de esta unidad se introduce el producto escalar de vectores.

Los alumnos no conocen cómo se expresa un vector como combinación lineal de otros dos, por esto puede resultar com-plicado que entiendan cómo se obtiene la expresión analítica.

En las actividades de ampliación se proponen más ejercicios para que los alumnos practiquen y comprendan su significado.

Su aplicación y utilidad en la vida cotidiana se trabajará con mayor profundidad en cursos superiores.


A1. El módulo de un vector, u , es

u = 2 , mientras que otro vector,

v , tiene por módulo

v = 8 . Halla su producto escalar,

sabiendo que forman un ángulo de 45º.

!u ⋅!v = 2 ⋅ 8 ⋅ cos 45º = 2 ⋅2 2 ⋅

2

2= 4

A2. Determina el producto escalar de los vectores u = (1, 2) y

v = (3, 1).

!u ⋅"v = u1v1 + u2v2 = 1 · 3 + 2 · 1 = 5

A3. Halla el ángulo que forman los vectores: u = (1, 2) y

v = (3, 1)

cos α =1⋅3 + 2 ⋅1

5 ⋅ 10=

5

50=

5

5 2=

1

2=

2

2→ α = arc cos

2

2= 45º

Coordenadas en los medios de comunicaciónSugerencias didácticasPara finalizar la unidad se presenta una aplicación en la que intervienen magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Los alumnos podrán reconocer la necesidad de trabajar con vectores y coordenadas geográficas en la vida real.


C1. Busca en Internet alguna aplicación de radar de aviones en vuelo y realiza el seguimiento de uno de ellos. ¿En qué unidades vie-ne dada la altitud del avión? ¿Y la velocidad? Explica la equivalencia de las unidades en metros y metros/hora, respectivamente.

Altitud FT (pies) 1FT = 0,3048 m Velocidad = Kt (nudos) Kt = 1 852 m/h

C2. ¿Cómo se denominan los ejes que forman el sistema de coordenadas geográficas?

El sistema de coordenadas geográficas lo forman dos ejes que son circunferencias máximas:

❚ El ecuador.

❚ El meridiano que pasa por Greenwich, o meridiano 0°.

Avanza. Producto escalar de vectores


190

AVANZA Producto escalar de vectores

En la unidad hemos defi nido dos operaciones entre vectores cuyo resultado era un vector: la suma de vectores y el producto de un número real por un vector.

El producto escalar de dos vectores es otra operación entre vectores cuyo resultado es un número real.

Se defi ne el producto escalar entre u y

v como el módulo de uno de los vectores

multiplicado por la proyección del otro vector sobre él: u ⋅v =

uv cosα

Los vectores i = (1, 0) y

j = (0, 1), al ser perpendiculares entre sí y tener como

módulo 1, cumplen:i ⋅j =ij cos 90° = 0

j ⋅i =ji cos 90° = 0

i ⋅i =ii cos 0° = 1

j ⋅j =jj cos 0° = 1

Como los vectores u = u1 , u2( ) y

v = v1 , v2( ) se pueden expresar, respectivamente, de la forma

ru = u1

ri + u2

rj y

v = v1

i + v2

j , si operamos algebraicamente:

u ⋅v = u1

i + u2

j( ) ⋅ v1

i + v2

j( ) = u1v1

i ⋅i( ) + u1v2

i ⋅j( ) + u2v1

j ⋅i( ) + u2v2

j ⋅j( ) = u1v1 + u2v2

Así, podemos calcular el producto escalar de dos vectores de los que conocemos sus coordenadas mediante la expresión:

u ⋅v = u1v1 + u2v2

Si igualamos ambas expresiones: uv cosα = u1 ⋅v1 + u2 ⋅v2 → cosα =

u1 ⋅v1 + u2 ⋅v2uv

Esto nos permite calcular el ángulo que forman los vectores u y

v .

A1. El módulo de un vector, u , es

u = 2 , mientras

que otro vector, v , tiene por módulo

v = 8 .

Halla su producto escalar, sabiendo que forman un ángulo de 45º.

A2. Determina el producto escalar de los vectores u = (1, 2) y

v = (3, 1).

A3. Halla el ángulo que forman los vectores:u = (1, 2)

v = (3, 1)

Existen diferentes aplicaciones que nos muestran en tiempo real, con actualizaciones cada 10 s, los vuelos que están teniendo lugar en todo el mundo.

Con el cursor podemos seleccionar cualquier avión, y el programa nos proporciona sus coordenadas geográficas y su altura, la hora de salida y de llegada, el nombre de la compañía y el número de vuelo, así como la velocidad que lleva en cada instante e incluso una fotografía del avión en vuelo.

C1. Busca en Internet alguna aplicación de radar de aviones en vuelo y realiza el seguimiento de uno de ellos. ¿En qué unidades viene dada la altitud del avión? ¿Y la velocidad? Explica la equivalencia de las unidades en metros y metros/hora, respectivamente.

C2. ¿Cómo se denominan los ejes que forman el sistema de coordenadas geográfi cas?

COORDENADAS EN LOS MEDIOS DE COMUNICACIÓN

•| v | cos α u

vα

O 1

1

X

Y

ij

Cortesía de Flightradar24 (http://www.flightradar24.com/).

Documents

8 eometra analtica 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA · que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Material complementario ... GeoGebra