8-1

8. Mathematicaを使ってみよう

8.1. Mathmaticaの特徴

数式処理

数値ではなく，数式を使った演算が可能である．

グラフィックス

数式をすぐにグラフ化できる

プログラミング

今回の授業では扱わないが，プログラミングが可能である．（プログラミングの文法は C 言語とほぼ同じで

す．C 言語をある程度しっていて興味のある人は，試してみてください）

8.2. クイックスタート

8.2.1. Mathematicaの起動

Mathematica を起動するには，[スタート]メニュ

ーか ら [ プ ロ グ ラ ム ] → [Mathematica4] →

[Mathematica4]をクリックします．すると右図の

ように Mathematica が起動します．

8.2.2. 数式の入力と評価

まず，「１＋１」と入力して，[Shift]キーを押しな

がら[Enter]キーを押してみましょう．初めだけ

少し時間がかかりますが，

In[1]:= 1+1

Out[1]= 2

と表示されるはずです．

（注意）

・ 入力した数式の評価を行うためには，常に[Shift]キーを押しながら[Enter]キーを押します．単に[Enter]キ

ーを押すと前の行からの入力の続きと判断されます．

・ 「 In[1]:= 」等は Mathematica が勝手に表示するもので入力してはいけません．

次に「x+x」と入力して，[Shift]キーを押しながら[Enter]キーを押して見ましょう．今度は，

In[2]:= x+x

Out[2]= 2 x

と表示されるはずです．このように Mathematica は数値以外の数式を扱うことができます．

8.2.3. 計算結果の保存

計算結果を初めて保存する時は，プルダウンメニューの[File]から[Save As…]をクリックします．すると図 8-1 の

[名前を付けて保存]ダイアログが開くので，適当な名前をつけて（図 8-1 の例では，「test1」にしてあります），

[保存する場所]で自分のホームディレクトリである[Nafs の Sxxxxx（Y:）]が選択されていることを確かめてから，

8-2

[保存]ボタンをクリックします．

２回目以降，保存する場合はプルダウンメニューの[File]から[Save]をクリックします．

図 8-1

8.2.4. Mathematicaの終了

Mathematica を終了するためには，プルダ

ウンメニューの[File]から[Exit]をクリックす

るか，タイトルバー（右図）の左上の[X]ボタンをクリックします．

8.3. Mathematicaのコマンド

8.3.1. 演算コマンド

四則演算

足算，引き算，掛け算，割り算はそれぞれ‘+，-，*，/’で行える．また( )も使うことができる．但し‘[ ]’は関数の

引数とみなされるので使ってはいけない．

(例) 1+1，1/3，2*x，x/y，(1+2)*3

冪級数は‘＾’を使う

(例) 2^4

その他の組み込み関数

関数 Mathematica の表記 関数 Mathematica の表記

x Sqrt[x] log x Ｌｏｇ［ｘ］

e x Ｅｘｐ［ｘ］

1sin x ArcSin[x]

sin x Ｓｉｎ［ｘ］ 1cos x

ＡｒｃＣｏｓ［ｘ］

cos x Ｃｏｓ［ｘ］ 1tan x

ＡｒｃＴａｎ［ｘ］

tan x Ｔａｎ［ｘ］ | |x Ａｂｓ［ｘ］

Mathematica は大文字・小文字を区別する．組み込み関数は全て大文字で始まることに注意．

8-3

組み込まれている定数

定数 Mathematica の表記 定数 Mathematica の表記

Pi ∞ Infinity

8.3.2. 2次元グラフィックス

陽関数のグラフ

Plot[f,{x,xmin,xmax}(,option-> value)]

これは，x の関数 f を x の値が xmin から xmax までプロットすることを示します．‘（ ）’内は作図のオプションで

省略できることを示します．

(例) ｓｉｎx のプロット

Plot[ Sin[x], {x,0,2 Pi} ]

（例） 上と同じで，y 方向の範囲を-2 から２にした例

Plot[ Sin[x], {x,-Pi,Pi},

PlotRange->{-2,2} ]

(例) 外枠をつけて，x，y というラベルをつけた例

Plot[ Sin[x], {x, 0, 2*Pi},

Frame->True,FrameLabel->{x,y} ]

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

[問題１]

(1) 2xey のグラフを 44 x で書きなさい．

(2) x

xy

sin のグラフを 44 x で書きなさい（グラフ全体が入るようにすること）．

8-4

陰関数のグラフ

陰関数をプロットするコマンドは，

ContourPlot[ f, {x, xmin, xmax}, {y,ymin,ymax},(options) ]

です．

（例） 122 yx のグラフ

ContourPlot [x^2+y^2 == 1, {x, -2,

2},{y,-2,2} ]

プロットする数式の等号は 2 つ重ねる（「= =」と書く）

ことに注意．コンピュータでは「=」は「右辺を左辺に代

入する」という意味で使うのでこれと区別するために，

等号を重ねて書く．

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

[問題２]

(1) )1( 242 xxy のグラフを 22 x で書きなさい．

(2) 06 22224 yyxyxx のグラフを 44 x で書きなさい．

(3) 124 4224 yyxx のグラフを 44 x で書きなさい．

(4) 122 4224 yyxx のグラフを 44 x で書きなさい．

2 次元アニメーションの作成

アニメーションを作るためのコマンドは，

Animate[変数を含んだ描画関数，{変数名，変数の最小値，変数の最大値，変数の増分}]

です．

（例） 半径が 0から１まで 0.1づつ増えていく円のアニメーションを作る

Animate[ContourPlot[x^2+y^2==a^2,{x,-2,2},{y,-2,2}],

{a,0,1,0.1}]

解説: ContourPlot[x^2+y^2==a^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]

この部分はすでに勉強した円を各部分です．ただし半径は a で変数に

なっています． Animate 関数の中で半径を 0 から 1 まで 0.1 づつ増や

して行きます．それを指定しているのが，

{a,0,1,0.1}

の部分です．

このままでは，図がカクカクするのでもう少し描画するメッシュを細かくし

ましょう．そのためのオプションが「PlotPoints」です．

Animate[ContourPlot[x^2 + y^2 = = a^2, {x, -2, 2}, {y, -2, 2},

PlotPoints -> 100], {a, 0, 1, 0.1}]

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

8-5

[問題３] 陽関数のアニメーション．波の伝播( )( txf でかける関数は波の伝播を示すことを目で確かめる)

(1) )(sin tx のグラフを 1010 x ， 5.15.1 y の範囲で時間 t を 0 から 10 まで 0.5 づつ増やし

た時の変化をアニメーションにしなさい．

(2) 2)( txe のグラフを 22 x ， 5.15.1 y の範囲で時間 t を 0 から 4 まで 0.2 づつ増やした時の変

化をアニメーションにしなさい．

[問題 4] 陰関数のアニメーション

（1） 232 axxy のグラフを 44 x ， 55 y の範囲で aを-2から 2まで 0.1づつ増やした時の変

化をアニメーションにしなさい．

（2） 22222 4)1( bxyx のグラフを 22 x ， 22 y の範囲で b を 0.1 から 2 まで 0.1 づつ

増やした時の変化をアニメーションにしなさい．

8-6

8.3.3. 3次元グラフ

3 次元グラフ

Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},(,option-> value)]

これは，x，ｙの関数 f を x の値が xmin から xmax まで， ｙの値が ymin から ymax までの範囲で計算し z=f(x,y)

のグラフをかきます．‘（ ）’内は作図のオプションで省略できることを示します．

(例) z=sinx*cosx を-< x <，-< y < の範囲でプロットす

る．

Plot3D[Sin[x]*Cos[y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi}]

密度グラフ

DensityPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}(,option->value)]

密度グラフは値の大きさを色の濃淡で表すことで 3 次元のグラフを２次元にプロットするグラフです．上のコマン

ドは，x，ｙの関数 fを x の値が xmin から xmax まで， ｙの値が ymin から ymax までの範囲で計算し z の値の大

きさを濃淡で示すことで２次元グラフをかきます．‘（ ）’内は作図のオプションで省略できることを示します．

(例) z=sinx*cosx を-< x < ，-< y < の範囲でプロットす

る．

DensityPlot[Sin[x]*Cos[y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi}]

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

等高線グラフ

ContourPlot［ｆ，｛ｘ，ｘｍｉｎ，ｘｍａｘ｝,｛ｙ，ymin，ｙｍａｘ｝（，ｏｐｔｉｏｎ -> ｖａｌｕｅ）］

等高線グラフは密度グラフに似ていますが，値の大きさが同じ点を結んだ線を引くことで 3 次元のグラフを２次

元にプロットするグラフです．上のコマンドは，x，ｙの関数 fを x の値が xmin から xmax まで， y の値が ymin か

ら ymax までの範囲で計算し z=f(x,y)の値の大きさが同じ点を結んだ線を引き２次元グラフをかきます．‘（ ）’

内は作図のオプションで省略できることを示します．

(例) z=sinx*cosx を-< x < ，-< y < の範囲でプロットす

る．

ContourPlot[Sin[x]*Cos[y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi}]

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

8-7

（問題 5） )( 22 yxe の３次元グラフを-2 < x < 2，-2 < y < 2 の範囲で書きなさい．また等高線図を書きなさい．

（応用例） 点電荷の作るポテンシャルと電場

以下では，原点に１Cの電荷を置いたときにできる x-y面内のポテンシャルと電場の図を作成する例を示す．簡

単のために， 14 0 とする．

ポテンシャルは，r

zyx1

4

1),,(

0 で与えられるので，

x-y 面内では ，22

1),,(

yxzyx

となる （但し ，

14 0 とした）．これを 88 x ， 88 y で3次元

でプロットする.

Phi1=1/Sqrt[x^2+y^2]

Plot3D[Phi1,{x,-8,8},{y,-8,8}]

このままでは，値域が狭いので 20 でプロットすること

にしよう．

Plot3D[Phi1,{x,-8,8},{y,-8,8},PlotRange->{0,2}]

さらに，メッシュが荒いので，x-y面を 40x40で切って表示す

ることにする．

Plot3D[Phi1,{x,-8,8},{y,-8,8},PlotRange->{0,2},

PlotPoints->40]

等高線図を書いてみよう．

ContourPlot[Phi1,{x,-8,8},{y,-8,8},

PlotRange->{0,2},PlotPoints->40]

-5

0

5

-5

0

5

0.1

0.2

0.3

0.4

-5

0

5

-5

0

5

-5

0

5

0

0.5

1

1.5

2

-5

0

5

-5

0

5

-5

0

5

0

0.5

1

1.5

2

-5

0

5

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

8-8

等高線が見やすいように色塗りをやめる．後で電場と重ねて

描くために，「g1」という名前をつけておく．

g1=ContourPlot[Phi1,{x,-8,8},{y,-8,8},

PlotRange->{0,2},PlotPoints->40,

ContourShading->False]

電場を書いてみよう．電場 E は， gradE で与えられ

る．Mathematicaでは関数の勾配を描画するために，

GradientFieldPlot[]

という関数が用意されている．これを使うためには最初に一

度だけ，

<<VectorFieldPlots`

とする必要がある．ここで[ ` ]はバッククウォートでクウォート

[ ‘ ]（７の上のキー）ではありません．バッククウォートは「シ

フトキーを押しながら＠キーを押して」入力します．

(注) 「General::obspkg: VectorFieldPlots`はサポートされなくなりました．ロ

ードしようとしているレガシーバージョンは，現在の Mathematica 機能と衝突を起

す可能性があります．更新情報については Compatibility Guide をご覧くださ

い． >>」というエラーメッセージが出ますが，新しいバージョンのバグなので気に

しないで下さい．

ここではメッシュを 20x20に切って勾配をプロットすることにす

る．

g2=GradientFieldPlot[-Phi1,{x,-8,8},{y,-8,8},

ScaleFunction->(.6&),PlotPoints->20]

最後に，ポテンシャルと電場を重ねて描いてみよう．

Show[g1,g2,PlotRange->{{-8,8},{-8,8}}]

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

（問題６） 上の例に倣って， 2x と 2x にそれぞれ１C の電荷を置いたときの x-y 面内でのポテンシャル

の等高線と電場を重ねて描きなさい．但し 14 0 とする．

（問題７） 上の例に倣って， 2x と 2x にそれぞれ-1Cと１Cの電荷を置いたときの x-y面内でのポテンシ

ャルの等高線と電場を重ねて描きなさい．但し 14 0 とする．

8-9

8.3.4. 式の変換

式の展開

Expand［expr］

式 expr を展開する．

(例) 2)1( x を展開する

Expand[(x+1)^2]

1 + 2 x + x２

因数分解

Factor[expr]

式 expr を因数分解する．

(例) 221 xx を因数分解する

Factor[1 + 2 x + x^2]

( 1 + x )2

式の簡約

Simplify[expr]

式 expr をなるべく簡単な形に変換する．

(例) 221 xx を簡単にする

Simplify[1 + 2 x + x^2]

( 1 + x )2

通分

Together[expr]

分数式の和 expr を通分する

(例) yx /1/1 を通分する

Together［1/x + 1/y］

x y

x y

部分分数展開

Apart[expr]

分数式 expr を部分分数に変換する

(例) xyyx

yx

1

23を部分分数に展開する

Apart[(3+2x+y)/(1+x+y+x y)]

1

1 x

2

1 y

（問題 8）次の式を因数分解しないさい

（1）4224 bbaa (2) abccba 3333 (3)

3333)( cbacba

8.3.5. 関数の極限

Limit[f,x->x0]

は x の関数 fの x->x0の極限 fxx 0

lim

を求めます．

（例） x

xxe

lim を求める．

Limit[x*Exp[-x],x->Infinity]

0

(問題 9) x

x

x

sinlim

0を求めなさい．

(問題 10)

x

x x

11lim を求めなさい．

8-10

8.3.6. テーラー展開

Series[f(x),{x,x0,n}]

は xの関数 f(x)の x=x0の周りのテーラー展開を n次まで求めます．

(例) sinx を x=0 のまわりに 5次まで展開し，その結果をグラフにして sinx のグラフと比較する．

In[1]:= u=Series[Sin[x],{x,0,5}]

Out[1]= x

x3

6

x5

120O x

6

In[2]:= u=Normal[u]

Out[2]= x-

x3

6+

x5

120

In[3]:=Plot[{Sin[x],u},{x,0,Pi}]

Out[3]=

-Graphics-

（問題 11） xeの x=0のまわりでのテイラー展開を１次から３次まで求め，

xeと一緒にプロットし

展開次数が上がれば近似が良くなることを確認しなさい．

8.3.7. 級数和

Sum[ｆ，{i,imin.imax}]

級数 f(i)を iが iminから imaxまでの合計をもとめ

る．

(例) 自然数を１から１０まで合計する．

Sum[i,{i,1,10}]

55

（問題 12）

1

1

iniを n=1,2,3,4 についてもとめ，n=1 の時だけ発散することを確認しなさい

（問題 13）

0n

nx を求めなさい

8.3.8. 微分・積分

偏微分

D[f,x]

関数 fの xについての偏微分を求める．

(例) xsin の x についての偏微分

D[Sin[x],x]

Cos[x]

高階偏微分

D[f,{x,n}]

関数 fの xについての n階微分

(例) nx の x についての 3階微分

D[x^n,{x,3}]

2 n 1 n n x3 n

8-11

多重偏微分

D[f,x,y,...]

関数 fの x，y，．．．についての多重偏微分

(例) xysin の x，y についての多重偏微分

D[Sin[x*y],x,y]

Cos[x y] - x y Sin[x y]

不定積分

Integrate[f,x]

関数 fの xについての不定積分

(例） xsin の xについての不定積分

Integrate[Sin[x],x]

-Cos[x]

定積分

Integrate[f,{x,xmin,xmax}]

関数 fの xminから xmax までの定積分

(例) xsin の x0 での定積分

Integrate[Sin[x]^2,{x,0,Pi}]

2

数値定積分

NIntegrate[f,{x,xmin,xmax}]

関数 fの xminから xmax までの数値定積分

(例) x2sin の x0 での定積分

NIntegrate[Sin[x]^2,{x,0,Pi}]

1.5708

（問題１４）関数22

1)(

yxxf

について次の偏微分を求めなさい．

(1) xf (2) yf (3) xxf (4) xyf (5) yyf

（問題１５）以下の不定積分を求めなさい．

(1) xdxlog (2) xdxe x sin (3) dxxx 12

（問題１６）以下の定積分を求めなさい

(1)

0

2

dxe x (2) dxx

x

sin

8.3.9. 方程式の解

1 元方程式

Solve[{lhs == rhs},x]

は lhs=rhs という方程式を変数 x について解きま

す．

「==」は「=」を２つ書くことに注意

(例) x x2 1 0 を xについて解く．

Solve[x^2+x+1==0,x]

x 11 3

, x 12 3

8-12

多元連立方程式

Solve[{lhs1 == rhs1,lhs2==rhs2,...},{x,y,...}]

は lhs1=rhs1，lhs2=rhs2，．．．という x，y，．．．

についての連立方程式を解きます．

(例) 連立方程式3 5

3

x y

x y

を解く

Solve[{3 x+y==5,x+y==3},{x,y}]

{{x -> 1, y -> 2}}

（問題１７）質量 m1の質点が速さ v1で，静止している質量 m2の質点に完全弾性衝突し，それぞれ v2と v3

の速さで動き始めた時，運動量保存則と運動エネルギー保存則から，

2

32

2

21

2

11

322111

2

1

2

1

2

1vmvmvm

vmvmvm

が成り立つ．この方程式を解いて v2と v3を求めなさい。

8.3.10. 微分方程式

DSolve[eqns,y[x],x]

は xの関数 y についての微分方程式 eqns を解きます．

単振動の例

(例１)微分方程式 )('' txx を解く．

「''」はダブルクオーテーションではなく，「'」

を２つ書く

(例 2)微分方程式 )('' txx を初期条件 ,1)0( x

1)0(' x のもとに解いて答えを u に代入する．

結果を 20 x でプロットする．

DSolve[x''[t]==-x[t],x[t],t]

{x[t] -> C[1] Cos[t] + C[2] Sin[t]}

u=DSolve[{x''[t]==-x[t],x[0]==1,x'[0]==1},

ｘ[t],t]

{{x[t] -> Cos[t] + Sin[t]}}

Plot[Evaluate[x[t]]/.u, {t,0,2 Pi}]

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

8-13

( 例 3) 連 立 微 分 方 程 式 )()(' txty ，

)()(' tytx )を初期条件 0)0( y ， 1)0( x のも

とに解く

DSolve[{y'[t]==x[t],x'[t]==-y[t],x[0]==1,

y[0]==0},{x[t],y[t]},t]

{{x[t] -> Cos[t], y[t] -> Sin[t]}}

（問題１８） )()(')('' txtxtx を初期条件 1)0( x ， 0)0(' x の下で解き，結果を 40 t でプ

ロットしなさい．グラフが全て見えるように工夫すること．

（問題１９） ttxtx sin)(4.0)('' を初期条件 1)0( x ， 0)0(' x の下で解き，結果を 1000 t で

プロットしなさい．