8 Triángulos. Propiedades 8 TRIÁNGULOS. PROPIEDADES · PDF fileUtilizar el teorema de ... En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para

8 Triángulos. Propiedades

230Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

En esta unidad se exponen conceptos absolutamente prácticos. El cálculo de distancias inaccesibles y el manejo de planos, mapas y ma-quetas despertarán el interés de los alumnos por el estudio de la geometría.

Lo fundamental es que los alumnos reconozcan la utilidad de los criterios de semejanza de triángulos y comprendan el teorema de Tales.

Es muy importante que identifiquen las rectas y los puntos notables de un triángulo, y valoren la necesidad de su aplicación en problemas de construcción y diseño.

Los contenidos de esta unidad parten de problemas contextualizados y resueltos. La exposición de cada epígrafe debe ir acompañada de la realización de los ejercicios que se proponen tanto en el epígrafe como en las páginas de actividades finales.

La metodología se ha diseñado incluyendo actividades integradas que permitirán al alumnado adquirir eficazmente varias competencias al mismo tiempo.

Comunicación lingüística (CL) Es la protagonista de toda la unidad, teniendo especial importancia en las secciones Matemáticas vivas y Lee y comprende las matemáticas del final del bloque.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla lo largo de toda la unidad. La interpretación de escenas tridimensionales es básica para que comprendan los distintos fenómenos y formas que se encuentran en la vida cotidiana.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Está presente en varias actividades en las que interpretarán fenómenos y problemas para elaborar respuestas y tomar decisiones.

Competencia aprender a aprender (CAA)En todas las secciones trataremos de que el alumno reconozca lo que sabe y lo que desconoce, lo que le interesa y lo que es capaz de aprender. Con el trabajo en equipo y las puestas en común se potenciarán las metas de su aprendizaje.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío) y en la sección de Matemáticas Vivas.

Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)Se integra a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas y Geometría en el arte.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 3 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

Objetivos

Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Describir las rectas y puntos notables de un triángulo.❚❚ Trazar las rectas notables de un triángulo.❚❚ Obtener los puntos notables de un triángulo.❚❚ Reconocer dos triángulos semejantes.❚❚ Conocer los criterios de semejanza de triángulos.❚❚ Identificar las condiciones necesarias para que se cumpla el teorema de Tales.

TRIÁNGULOS. PROPIEDADES8

231

8Triángulos. Propiedades

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

❚❚ Obtener las longitudes de segmentos proporcionales aplicando el teorema de Tales.❚❚ Reconocer triángulos colocados en posición de Tales.❚❚ Utilizar el teorema de Tales para calcular distancias o alturas inaccesibles.❚❚ Dividir un segmento en partes proporcionales.❚❚ Interpretar medidas reales a partir de planos, mapas y maquetas. ❚❚ Calcular la escala adecuada para representar situaciones reales.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando los triángulos y sus propiedades.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionados con los triángulos.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre triángulos, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con los triángulos, pueden acceder a las lecciones 1103, 1117 y 1119 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Rectas y puntos notables en un triángulo

1. Describir las rectas y puntos notables en un triángulo.

1.1. Traza las rectas y los puntos notables en un triángulo.

1.2. Reconoce en distintos contextos las propiedades de las rectas y los puntos notables de un triángulo.

1-4, 45, 46

5-840-4447-49

CLCMCTCDCSCCAACSIEECCEC

Semejanza de triángulosCriterios de semejanza de triángulos

2. Reconocer dos triángulos semejantes.

3. Conocer los criterios de semejanza de triángulos.

2.1. Identifica triángulos semejantes y su razón de semejanza.

3.1. Aplica los criterios de semejanza de triángulos y establece relaciones entre elementos homólogos de figuras semejantes.

9-1150, 51

12-1952-56

CLCMCTCSCCAACSIEECCEC

Teorema de Tales 4. Identificar condiciones necesarias para que se cumpla el teorema de Tales.

4.1. Obtiene longitudes de segmentos proporcionales.

4.2. Reconoce y calcula medidas de segmentos en triángulos colocados en posición de Tales.

20-22, 57G1

23, 2458, 59, 65

CLCMCT CSCCDCAACSIEECCEC

Aplicaciones del teorema de Tales

5. Utilizar el teorema de Tales para realizar medidas indirectas de elementos inaccesibles.

5.1. Calcula longitudes en diversos contextos.

5.2. Divide un segmento en partes proporcionales.

25, 28-31, 62-64, 66-6826, 2760, 61

CL CMCT CDCSCCAACSIEECCEC

Escalas y mapas 6. Interpretar medidas reales a partir de mapas, planos y maquetas.

6.1. Calcula la escala adecuada en la representación de medidas reales.

6.2. Interpreta medidas de longitudes y de superficies en situaciones de semejanza.

32, 34, 39, 70-72, 77

33, 35-3869, 73-76Matemáticas vivas 1-3Trabajo cooperativo

CLCMCTCSCCAACSIEECCEC


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Semejanza de triángulos • Criterios de semejanza de triángulos

4. Aplicaciones del teorema de Tales

¿Qué tienes que saber? • Semejanza de triángulos • Teorema de Tales • Escalas y mapas

Matemáticas vivasCartografía • Aplicación de la geometría la

realización de planos y mapas

AvanzaTeorema del cateto y de la altura

Geometría en el arteLa proporción aurea

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidadIdeas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. El estudio de la perspectiva

1. Rectas y puntos notables en un triángulo GeoGebra. Propiedades del baricentro

GeoGebra. Teorema de Tales

GeoGebra. Aplicaciones del teorema de Tales

3. Teorema de Tales

5. Escalas y mapas

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.esLecciones 1103, 1117 y 1119 de la web mismates.es

Practica+

Comprende y resuelve problemas


Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia cooperativa es Parejas de ejercitación/revisión, de David y Roger Johnson

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO232

233



Sugerencias didácticas

En esta unidad perfeccionaremos los conocimientos que deben tener los alumnos para realizar medidas indirectas donde aparezcan triángulos. El teorema de Tales comple-tará este conocimiento para la resolución de actividades y problemas contextualizados.

Haremos hincapié en la necesidad de realizar diseños grá-ficos que sean coherentes con la situación que deseemos analizar. Para ello utilizaremos regla, compás y transporta-dor de ángulos.

Al terminar la unidad es muy importante que nos asegure-mos de que los alumnos sean capaces de analizar e iden-tificar figuras semejantes, calculando la escala o razón de semejanza.

Contenido WEB. EL ESTUDIO DE LA PERSPECTIVA

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad. En este caso se explica el desarrollo del uso de la perspectiva para representar escenas tridimensionales sobre obje-tos planos. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Halla la razón entre estos números.

a) 20 y 10 b) 5 y 15 c) 21 y 7 d) 7 y 28

2. Averigua si los siguientes números forman una proporción y calcula, cuando sea posible, la razón de proporcionalidad.

a) 20, 10, 8 y 4 c) 21, 7, 9 y 2

b) 5, 15, 1 y 2 d) 7, 21, 5 y 15

3. Halla el cuarto proporcional en cada caso.

a) x

4=63

36 b)

2

x=6

3 c)

10

4=

x

36 d)

5

4=15

x

143

8 TRIÁNGULOS. PROPIEDADES

Las aplicaciones de la geometría permiten realizar multitud de actividades cotidianas. Por ejemplo, la representación de una región física en un mapa y su interpretación facilita la localización de personas o la realización de viajes de corta o larga duración, así como la gestión de los medios de transporte para viajeros y mercancías.

Además de la orientación, los conocimientos geométricos proporcionan herramientas para la estimación de distancias o alturas inaccesibles, como la de la torre Eiffel en París. En efecto, para calcular su altura, basta con medir la longitud de su sombra y estudiar la relación que existe entre triángulos semejantes.

Las aplicaciones en los campos de la arquitectura o la ingeniería a la hora de determinar ángulos y longitudes son innumerables.

Las aplicaciones de la geometría permiten realizar multitud de actividades cotidianas. Por ejemplo, la representación de una región física en un mapa y su interpretación facilita la localización de personas o la realización de viajes de corta o larga duración, así como la gestión de los medios de transporte para viajeros y mercancías.

Además de la orientación, los conocimientos geométricos proporcionan herramientas para la estimación de distancias o alturas inaccesibles, como la de la torre Eiffel en París. En efecto, para calcular su altura, basta con medir la longitud de su sombra y estudiar la relación que existe entre triángulos semejantes.

IDEAS PREVIAS

❚ Razón entre dos

números.

❚ Proporción y razón

de proporcionalidad.

❚ Cuarto proporcional.

Los avances matemáticos en la época del Renacimiento tuvieron su reflejo en el arte mediante el estudio de la perspectiva, que permite a los pintores dar profundidad espacial a un soporte plano y representar la realidad de una forma más cercana a nuestra percepción tridimensional.

Matemáticas en el día a día ][mac3e28

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Halla la razón entre estos números.

a) 20 y 10 b) 5 y 15 c) 21 y 7 d) 7 y 28

a) r =20

10= 2 b) r =

5

15=

1

3 c) r =

21

7= 3 d) r =

7

28=

1

4

2. Averigua si los siguientes números forman una proporción y calcula, cuando sea posible, la razón de proporcionalidad.

a) 20, 10, 8 y 4 c) 21, 7, 9 y 2

b) 5, 15, 1 y 2 d) 7, 21, 5 y 15

a) 20

10=

8

4= 2 → Forman una proporción y la razón de proporcionalidad es k = 2.

b) 5

15≠

1

2 → No forman una proporción.

c) 21

7≠

9

2 → No forman una proporción.

d) 7

21=

5

15=

1

3 → Forman una proporción y la razón de proporcionalidad es k =

1

3.

3. Halla el cuarto proporcional en cada caso.

a) x

4=

63

36 b)

2

x=

6

3 c)

10

4=

x

36 d)

5

4=

15

x

a) x

4=

63

36→ x =

63 ⋅ 4

36= 7 c)

10

4=

x

36→ x =

10 ⋅36

4= 90

b) 2

x=

6

3→ x =

2 ⋅3

6= 1 d)

5

4=

15

x→ x =

15 ⋅ 4

5= 12



1. Rectas y puntos notables en un triángulo

145

8Actividades8 Triángulos. Propiedades

144

Dibuja un triángulo acutángulo. Halla gráficamente sus rectas y puntos notables. Traza las circunferencias circunscrita e inscrita.

Determina gráficamente las rectas y puntos notables de un triángulo rectángulo. Dibuja también las circunferencias circunscrita e inscrita.

Dibuja un triángulo obtusángulo. Halla gráficamente sus rectas y puntos notables. Traza las circunferencias circunscrita e inscrita.

Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 8 cm, y el lado desigual, 5 cm. Determina gráficamente sus rectas y puntos notables. Dibuja también las circunferencias circunscrita e inscrita.

Los lados de un triángulo equilátero miden 5 cm. Halla gráficamente sus rectas y puntos notables. Traza las circunferencias circunscrita e inscrita. ¿Cómo son?

Determina la longitud del radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo e isósceles si su hipotenusa mide 8 cm.

Averigua donde debe colocarse una cuarta farola en esta plaza para que equidiste de las que ya están instaladas.

1

2

3

4

5

6

7

1. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULOUn escultor desea crear una escultura usando una lámina triangular con una varilla circular que pase por los tres vértices del triángulo. A continuación quiere incrustar otra varilla circular que pase por los tres lados del triángulo.

¿Cómo puede encontrar los centros y los radios de las circunferencias del diseño?

Si una circunferencia pasa por los tres vértices del triángulo, su centro estará a la misma distancia de ellos, su radio. Así, si dibujamos las mediatrices de los lados del triángulo, obtenemos tres rectas que se cortan en un punto.

Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus tres lados. Cada mediatriz es una recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio.

Se cortan en el circuncentro que es el centro de la circunferencia circunscrita.

Para dibujar la circunferencia que pasa por los tres lados, debemos encontrar el punto que equidista de las tres rectas que determinan el triángulo. Si dibujamos las bisectrices de los ángulos del triángulo obtenemos tres rectas que se cortan en un punto y su distancia a cada lado nos indica el radio.

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus tres ángulos. Cada bisectriz es una recta que pasa por un vértice y divide el ángulo correspondiente en dos partes iguales.

Se cortan en el incentro que es el centro de la circunferencia inscrita.

El escultor ha colocado su obra apoyando el triángulo sobre una varilla. ¿En qué punto la ha situado?

El triángulo está apoyado en su centro de gravedad y por eso se mantiene en equilibrio. Para determinar este punto, unimos los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto y obtenemos tres rectas secantes.

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y el punto medio de su lado opuesto.

Se cortan en el baricentro que es el centro de gravedad del triángulo.

El escultor ha elegido para su diseño un triángulo. Sabemos cómo determinar su área a partir de las longitudes de una base y su altura relativa, es decir, el segmento que determina la recta perpendicular cuando lo corta.

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado que pasan por su vértice opuesto.

Se cortan en el ortocentro.

Aprenderás a… ● Describir las rectas y puntos notables de un triángulo.

● Trazar las rectas notables de un triángulo.

● Obtener los puntos notables de un triángulo.

I

C

O

B

} Comprueba que el baricentro de un triángulo es un punto interior al mismo cuya distancia al vértice es el doble que la distancia al punto medio de su lado opuesto.

Solución

EJERCICIO RESUELTO

En cualquier triángulo, al menos tres de sus puntos notables están alineados, es decir, existe una recta que pasa por ellos. A esta recta se la llama la recta de Euler en honor al descubridor de esta propiedad.

Con la ayuda de GeoGebra, dibuja un triángulo y halla gráficamente sus rectas y puntos notables. Traza luego la recta de Euler, determinando qué puntos notables contiene.

8

Investiga

❚ Los puntos que equidistan de dos puntos están en la mediatriz del segmento que determinan.

❚ Los puntos que equidistan de dos rectas están en la bisectriz del ángulo que forman.

Recuerdamac3e29

Soluciones de las actividades1 Dibuja un triángulo acutángulo. Halla gráficamente sus rectas y puntos notables. Traza las circunferencias circunscrita e

inscrita.

•C

•I •B

•O

Mediatrices y circuncentro Bisectrices e incentro Medianas y baricentro Alturas y ortocentro


Conviene dibujar triángulos diferentes para recordar a los alumnos cómo se trazan las mediatrices y las medianas de los lados, y las bisectrices de los ángulos.

Pueden tener dificultad para comprender cómo se dibujan las tres alturas de un triángulo; es más, puede que piensen que un triángulo solo tiene una altura. Primero, dibujare-mos las alturas en varios triángulos acutángulos para des-pués explicar con detenimiento y rigurosidad cómo se han de trazar en triángulos obtusángulos.

Es recomendable el uso del programa GeoGebra para la presentación de estos conceptos. Podremos modificar los

vértices de un triángulo y los alumnos captarán con facilidad cómo varían en cada caso las rectas y los puntos notables.

GeoGebra. PROPIEDADES DEL BARICENTRO

En este recurso aparece un triángulo y, activando las casillas, pue-den verse los puntos medios de sus lados, las medianas y el bari-centro. También pueden mostrarse las distancias del baricentro a los vértices y a los puntos medios de los lados para comprobar la relación entre dichas distancias, independientemente del tipo de triángulo del que se trate.

Este recurso puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación del baricentro como punto notable del triángulo o para proponer a los alumnos que deduzcan las propiedades de este punto por sí mismos.

235



2 Determina gráficamente las rectas y puntos notables de un triángulo rectángulo. Dibuja también las circunferencias cir-cunscrita e inscrita.

•I •BC

•

O•

Mediatrices y circuncentro Bisectrices e incentro Medianas y baricentro Alturas y ortocentro3 Dibuja un triángulo obtusángulo. Halla gráficamente sus rectas y puntos notables. Traza las circunferencias circunscrita e

inscrita.

•I BC

O

••

•

Mediatrices y circuncentro Bisectrices e incentro Medianas y baricentro Alturas y ortocentro4 Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 8 cm, y el lado desigual, 5 cm. Determina gráficamente sus rectas y

puntos notables. Dibuja también las circunferencias circunscrita e inscrita.

C•

I•

B •O•

8 cm8 cm

5 cm

8 cm8 cm

5 cm

8 cm8 cm

5 cm

8 cm8 cm

5 cm

Mediatrices y circuncentro Bisectrices e incentro Medianas y baricentro Alturas y ortocentro 5 Los lados de un triángulo equilátero miden 5 cm. Halla gráficamente sus rectas y puntos notables. Traza las circunferencias

circunscrita e inscrita. ¿Cómo son?

Comprobar que los alumnos dibujan un triángulo equilátero de 5 cm de lado y trazan las mediatrices de sus lados, las bisectrices de sus ángulos, las medianas y las alturas. Ver que todas las rectas y todos los puntos notables coinciden.

Como las rectas y puntos notables coinciden, las circunferencias son concéntricas.6 Determina la longitud del radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo e isósceles si su hipotenusa mide

8 cm.

El circuncentro de un triángulo rectángulo isósceles coincide con el punto medio de la hipotenusa. Por tanto, el radio de la circunferencia circunscrita mide 4 cm.

7 Averigua dónde debe colocarse una cuarta farola en esta plaza para que equidiste de las que ya están instaladas.

La cuarta farola debe colocarse en el centro de la circunferencia que circunscribe a las tres farolas ya instaladas.

Investiga8 En cualquier triángulo, al menos tres de sus puntos notables están alineados, es decir, existe una recta que pasa por ellos.

A esta recta se la llama la recta de Euler en honor al descubridor de esta propiedad. Con la ayuda de GeoGebra, dibuja un triángulo y halla gráficamente sus rectas y puntos notables. Traza luego la recta de Euler, determinando qué puntos notables contiene.

Comprobar que los alumnos realizan la actividad correctamente.



2. Semejanza de triángulos

147


146

Los lados de un triángulo miden 3 cm, 7 cm y 9 cm. Calcula las dimensiones de otro triángulo semejante a él cuyo lado mayor mida 27 cm.

Indica razonadamente cuáles de los siguientes triángulos son semejantes y, en ese caso, calcula la razón de semejanza.

3 cm

4 cm

6 cm

7,5 cm

2,7 cm

3 cm

2,4 cm

5 cm

3,75 cm4,5 cm

5 cm

4 cm

Calcula la razón de proporcionalidad que relaciona dos triángulos semejantes si dos lados correspondientes miden a = 3 cm y a´ = 6 cm.

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 cm y 3 cm. Dibuja un triángulo semejante cuya razón de semejanza sea k = 4.

Las longitudes de los lados de un triángulo isósceles son 5 cm, 5 cm y 2 cm. Dibuja un triángulo semejante cuyo lado desigual mida 5 cm.

Halla la longitud de los lados desconocidos de estos triángulos semejantes.

4,2 cm

3 cm

a

b

1,5 cm

1,6 cm

Carmen mide 1,7 m y se ha fijado en que su sombra se extiende 2 m a la misma hora en que la sombra de una torre mide 85 m. ¿Cuál es la altura de la torre?

Dadas las medidas de los siguientes triángulos:

a´ = 3 mm b´ = 5 mm c´ = 4 mm

a´ = 4,5 mm b´ = 7,5 mm c´ = 6 mm

Decide si son triángulos semejantes y por qué.

Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo de 36º. Explica razonadamente si son semejantes.

Las amplitudes de dos ángulos de un triángulo son 45º y 35º. Otro triángulo tiene dos ángulos con una amplitud de 35º y 100º, respectivamente. ¿Puedes determinar si son semejantes? ¿Por qué?

9

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Aprenderás a… ● Reconocer dos triángulos semejantes.

● Conocer los criterios de semejanza de triángulos.

Presta atención

Al nombrar los lados de un triángulo, utilizamos la misma letra en minúscula, que indica el vértice opuesto.

A

b a

c B

C

Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.

Recuerda

2. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSJosé Manuel necesita averiguar la altura de uno de los árboles de su jardín. Tiene varios años y ha crecido mucho, así que no puede llegar hasta su copa. ¿Cómo puede calcular su altura?

Si nos fijamos en la barra de hierro de 1 m de altura que está clavada en el suelo, vemos que, al recibir la luz del sol, proyecta una sombra que mide 1,25 m y forma un triángulo rectángulo. Los otros dos ángulos son los que determinan los rayos de luz con el suelo y la vertical.

La altura del árbol, su sombra y la luz del sol también forman un triángulo rectángulo, y sus dos ángulos agudos coinciden con los del triángulo anterior, es decir, ambos triángulos tienen la misma forma pero distinto tamaño; son semejantes.

Así, sus lados correspondientes son proporcionales: 1,25

11=

1

h→ h = 8,8 m

Dos triángulos semejantes son aquellos que tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.

A = A´ B = B ´ C = C ´ a

a ´=

b

b ´=

c

c ´= k

La constante de proporcionalidad, k, se llama razón de semejanza.

Criterios de semejanza de triángulosPara determinar si dos triángulos son semejantes, comprobamos si verifican uno de los tres criterios de semejanza.

Dos triángulos son semejantes si:

❚ Criterio 1. Tienen los tres lados proporcionales.

❚ Criterio 2. Tienen dos ángulos iguales.

❚ Criterio 3. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman coincide.

} Indica razonadamente si estos triángulos son semejantes.

Solución

480

576=

500

600=

5

6→ Los triángulos tienen dos lados proporcionales.

Los ángulos que forman estos lados son iguales.

Aplicando el tercer criterio, establecemos que estos triángulos son semejantes.

EJERCICIO RESUELTO

480 mm

30º

500 mm

600 mm

30º576 mm

Dos figuras son semejantes si los segmentos definidos por dos puntos cualesquiera de una de ellas y los correspondientes puntos de la otra son proporcionales.

Para simplificar el proceso de establecer si dos figuras son semejantes, podemos recurrir a triangularlas, es decir, descomponerlas en triángulos.

a) Razona si dos polígonos regulares con el mismo número de lados son semejantes.

b) Dibuja dos polígonos regulares estrellados de cinco vértices y determina si son semejantes.

c) ¿Cómo puedes dibujar dos polígonos irregulares que sean semejantes?

19

Investiga

Soluciones de las actividades9 Los lados de un triángulo miden 3 cm, 7 cm y 9 cm. Calcula las dimensiones de otro triángulo semejante a él cuyo lado

mayor mida 27 cm.

Como los triángulos son semejantes, los lados tienen que ser proporcionales. Si los lados mayores miden 9 cm

y 27 cm respectivamente, la razón de semejanza es k =27

9= 3 . Por tanto, los otros lados del triángulo semejante medirán

3 ⋅ 3 = 9 cm y 7 ⋅ 3 = 21 cm.10 Indica razonadamente cuáles de los siguientes triángulos son semejantes y, en ese caso, calcula la razón de semejanza.

3 cm

4 cm

6 cm

7,5 cm

2,7 cm

3 cm

2,4 cm

5 cm

3,75 cm4,5 cm

5 cm

4 cm


El concepto de semejanza no es nuevo para los alumnos. En el curso han estudiado figuras semejantes y han utilizado el concepto de razón de semejanza.

En este epígrafe nos centraremos en la semejanza de trián-gulos. Para ello explicaremos los tres criterios de semejanza con ejemplos. De esta manera es de esperar que no ten-

drán dificultades a la hora de elegir el criterio adecuado en casa caso.

Es recomendable hablar también de figuras semejantes (proponer a los alumnos la actividad Investiga como cierre del epígrafe) y relacionar la razón de semejanza con la pro-porcionalidad numérica.

237



El triángulo gris es semejante al naranja y el verde es semejante al azul porque tienen los lados proporcionales. Calculamos

las razones de semejanza: k1 =4,5

2,7=

4

2,4=

5

3= 1,6

; k2 =7,5

6=

3,75

3=

5

4= 1,25

11 Calcula la razón de proporcionalidad que relaciona dos triángulos semejantes si dos lados correspondientes miden a = 3 cm y a’ = 6 cm.

k =6

3= 2

12 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 cm y 3 cm. Dibuja un triángulo semejante cuya razón de semejanza sea k = 4.

Como la razón de semejanza es k = 4, la longitud del lado correspondiente al que mide 2 cm es 2 ⋅ 4 = 8 cm, y la longitud del lado correspondiente al que mide 3 cm es 3 ⋅ 4 = 12 cm.

Comprobar que los alumnos dibujan un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 cm y 12 cm.13 Las longitudes de los lados de un triángulo isósceles son 5 cm, 5 cm y 2 cm. Dibuja un triángulo semejante cuyo lado

desigual mida 5 cm.

Los lados desiguales de los triángulos semejantes miden 5 cm y 2 cm. Entonces, la razón de semejanza es k =5

2= 2,5 .

Los lados iguales del triángulo medirán 5 ⋅ 2,5 = 12,5 cm.

Comprobar que los alumnos dibujan un triángulo isósceles de lados 12,5 cm, 12,5 cm y 5 cm.14 Halla la longitud de los lados desconocidos de estos triángulos semejantes.

4,2 cm

3 cm

a

b

1,5 cm

1,6 cm

La razón de semejanza es k =3

1,5= 2 .

a

1,6= 2 → a = 3,2 cm

4,2

b= 2 → b = 2,1 cm

15 Carmen mide 1,7 m y se ha fijado en que su sombra se extiende 2 m a la misma hora en que la sombra de una torre mide 85 m. ¿Cuál es la altura de la torre?

El triángulo que se forma con la altura de Carmen y la longitud de su sombra es semejante al que forma la torre y la longitud de su sombra.

La razón de proporcionalidad es k =85

2= 42,5 .

Llamamos h a la altura de la torre. Entonces: h

1,7= 42,5 → h = 72,25 m .

La altura de la torre es 72,25 m.16 Dadas las medidas de los siguientes triángulos:

a = 3 mm b = 5 mm c = 4 mm

a’ = 4,5 mm b’ = 7,5 mm c’ = 6 mm

Decide si son triángulos semejantes y por qué.

Para que sean semejantes, sus lados deben ser proporcionales.a’

a=b’

b=c ’

c→

4,5

3=

7,5

5=

6

4= 1,5 → Los triángulos son semejantes.

17 Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo de 36º. Explica razonadamente si son semejantes.

Para que sean semejantes, dos de sus ángulos tienen que ser iguales. Ambos tienen un ángulo agudo de 36º y, como son rectángulos, también uno de 90º. Luego son semejantes.



18 Las amplitudes de dos ángulos de un triángulo son 45º y 35º. Otro triángulo tiene dos ángulos con una amplitud de 35º y 100º, respectivamente. ¿Puedes determinar si son semejantes? ¿Por qué?

Como los ángulos de un triángulo suman 180º, el tercer ángulo del primer triángulo mide 180º − (45º + 35º) = 100º.

Los triángulos son semejantes ya que tienen dos ángulos iguales.

Investiga19 Dos figuras son semejantes si los segmentos definidos por dos puntos cualesquiera de una de ellas y los correspondientes

puntos de la otra son proporcionales.

Para simplificar el proceso de establecer si dos figuras son semejantes, podemos recurrir a triangularlas, es decir, descom-ponerlas en triángulos.

a) Razona si dos polígonos regulares con el mismo número de lados son semejantes.

b) Dibuja dos polígonos regulares estrellados de cinco vértices y determina si son semejantes.

c) ¿Cómo puedes dibujar dos polígonos irregulares que sean semejantes?

a) Podemos triangular cualquier polígono regular trazando las diagonales desde un vértice.

Por ejemplo, si dibujamos dos pentágonos regulares y trazamos las diagonales desde un vértice, observamos que los triángulos correspondientes tienen sus ángulos iguales; por tanto, son semejantes.

Al ser semejantes los triángulos que forman ambos polígonos, necesariamente los pentágonos también lo son.

Luego podemos afirmar que dos polígonos regulares con el mismo número de lados son semejantes.

b) Comprobar que los alumnos dibujan dos pentágonos regulares y trazan sus diagonales. Así, obtienen dos polígonos estrellados regulares formados por cinco triángulos y un pentágono regular. Como las dos figuras tienen los triángulos y el pentágono semejantes, las estrellas regulares de cinco puntas son semejantes.

c) Para dibujar dos polígonos irregulares semejantes, por ejemplo de razón k =1

3, dividimos el lado AB en 3 partes igua-

les y marcamos el punto B’ de forma que AB’ sea 1

3AB.

Desde el vértice A, trazamos semirrectas que pasen por cada vértice del polígono.

Desde B’ dibujamos una recta paralela al lado BC para obtener el vértice C’.

Procedemos de igual forma trazando desde C’ una paralela al lado CD.

El polígono AB’C’D’ es semejante al polígono ABCD y la razón de semejanza es k =1

3.

A B

C

D

A BB’ B’

D’C’

C

D

A B

C

D

239



3. Teorema de Tales

149


148

3. TEOREMA DE TALESTales (ca. 624-548 a. C.) nació en la ciudad de Mileto y fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del universo. Su interés por el estudio marcó el nacimiento del pensamiento científico.

Tales fue maestro de Pitágoras y se le atribuye el mérito de haber introducido en Grecia el interés por la Geometría. En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió los conocimientos geométricos que ellos poseían y que luego se dedicó a demostrar.

Según la leyenda, Tales visitó las pirámides de Guiza, construidas siglos antes. Sorprendido por tan inmensas construcciones, quiso averiguar su altura. Solucionó el problema utilizando la semejanza de triángulos y suponiendo que los rayos solares incidentes eran paralelos.

Teorema de Tales. Si dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes determinados sobre las rectas secantes son proporcionales.

Si nos fijamos en el dibujo, los triángulos OAA´ y OBB´ son semejantes por el tercer

criterio de semejanza, ya que tienen dos lados proporcionales y el ángulo O es el mismo para ambos. Diremos que estos triángulos están en posición de Tales.

Entonces: OA

OB=OA ´

OB ´=

AA ´

BB ´

Dos triángulos están en posición de Tales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a ese vértice son paralelos.

Dos triángulos en posición de Tales son semejantes, y dos triángulos semejantes siempre pueden colocarse en posición de Tales.

Aprenderás a… ● Identificar las condiciones necesarias para que se cumpla el teorema de Tales.

● Obtener las longitudes de segmentos proporcionales aplicando el teorema de Tales.

● Reconocer triángulos colocados en posición de Tales.

} Determina los valores de x e y.

Solución

Como las rectas de color naranja son paralelas, aplicamos el

teorema de Tales: OA

OA ´=

AB

A ´B ´=

BC

B Ć ÓA

OA ´=

AB

A ´B ´→

3

x=

2

1,5→ x = 2,25 cm

AB

A ´B ´=

BC

B Ć ´→

2

1,5=

y

6→ y = 8 cm

EJERCICIO RESUELTO

O

A

B

C

A’ B’ C’

3 cm

2 cm

y

x 1,5 cm 6 cm

Halla el valor de x, teniendo en cuenta que las rectas r, s y t son paralelas.

a) b)

20 cm

10 cm

r s t

14 cm

x

4 cm

8 cm5 cm

x

r s t

Determina las longitudes desconocidas en estas estructuras.

Al cortar una recta con las rectas r, s y t determinan dos segmentos que miden 4 cm y 8 cm. Si al cortar otra recta con las mismas rectas forman otros dos segmentos que miden 5 cm y 10 cm, ¿se puede afirmar que r, s y t son rectas paralelas? ¿Por qué?

20

21

22

Los segmentos AB y PQ son paralelos.

a) ¿Están los triángulos ABC y PQC en posición de Tales?

b) Calcula la longitud del segmento CQ.

23

} Determina la longitud de los lados desconocidos de estos triángulos.

Solución

Como los lados AA´ y BB´ son paralelos, aplicamos el teorema de Tales:

OA

OA ´=

AB

A ´B ´→

4,24

3=

2,83

x → x = 2 cm

Los triángulos OAA´ y OBB´ están en posición de Tales; entonces:

OA

OB=

AA ´

BB ´→

4,24

7,07=

3

y → y = 5 cm

EJERCICIO RESUELTO

A’ B’O

A

B

4,24 cm3 cm

x3 cm

y

2,83 cm

DESAFÍODemuestra que el segmento que une los puntos medios de dos de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad que él.

24

C

P Q

A B

8 cm

4 cm5 cm

x

Dadas las longitudes de tres segmentos, a, b y c, llamamos cuarto proporcional de ellos a la longitud del segmento d que verifica:

a

b=

c

d

Lenguaje matemático

mac3e30

Soluciones de las actividades20 Halla el valor de x, teniendo en cuenta que las rectas r, s y t son paralelas.

a) b)

20 cm

10 cm

r s t

14 cm

x

4 cm

8 cm5 cm

x

r s t

a) Aplicamos el teorema de Tales:

14

10=

20

x→ x = 14,29 cm

b) Aplicamos el teorema de Tales:

5

4=

8

x→ x = 6,4 cm


Pedir a los alumnos que dibujen dos rectas secantes y que tracen dos paralelas que las corten para demostrar el teo-rema de Tales gráficamente, aplicando el tercer criterio de semejanza de triángulos.

Es frecuente que los alumnos tiendan a memorizar las re-laciones de proporcionalidad y esto presenta una grave di-ficultad cuando se enfrentan a un problema. Por esto, es fundamental que aprendan a relacionar segmentos gene-rados por dos rectas secantes que son cortadas por rectas paralelas de forma gráfica.

No presentará ningún problema el reconocimiento de trián-gulos en posición de Tales.

GeoGebra. TEOREMA DE TALES

En este recurso se muestra la relación entre los segmentos corres-pondientes al cortar dos rectas secantes con dos rectas paralelas. Moviendo los puntos de corte se calculan las razones en cada caso, comprobando así que se verifica el teorema de Tales. Tam-bién se pueden mover los puntos P y Q para obtener otras rectas secantes y comprobar el teorema en estos casos.

Este recurso puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación del teorema o para proponer a los alumnos que verifiquen la rela-ción entre los segmentos correspondientes por sí mismos.



21 Determina las longitudes desconocidas en estas estructuras.

Calculamos la longitud del segmento A’B’ de la primera estructura aplicando el teorema de Tales:AB

A’B’=

CD

C ’D’→

20

A’B’=

60

104→ A’B’ = 34,6

cm

Calculamos la longitud del segmento A’B’ de la segunda estructura aplicando el teorema de Tales:AB

A’B’=

CD

C ’D’→

60

A’B’=

90

120→ A’B’ = 80 cm

22 Al cortar una recta con las rectas r, s y t determinan dos segmentos que miden 4 cm y 8 cm. Si al cortar otra recta con las mismas rectas forman otros dos segmentos que miden 5 cm y 10 cm, ¿se puede afirmar que r, s y t son rectas paralelas? ¿Por qué?

Serán paralelas si los segmentos que determinan son proporcionales.

Como 5

4=

10

8= 1,25 , los segmentos son proporcionales; por tanto podemos afirmar que r, s y t son rectas paralelas.

23 Los segmentos AB y PQ son paralelos.

a) ¿Están los triángulos ABC y PQC en posición de Tales?

b) Calcula la longitud del segmento CQ.

a) Los triángulos ABC y PQC están en posición de Tales porque tienen un vérti-ce común y los lados opuestos a ese vértice, PQ y AB, son paralelos.

b) CQ

CP=QB

PA→

x

8=

4

5→ x = 6,4 cm

Desafío24 Demuestra que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la

mitad que él.

• •

A B

NM

C

Dibujamos un triángulo ABC. Hallamos los puntos medios, M y N, de los segmentos AC y BC, y trazamos el segmento que los une.

• •

•A BP

NM

C

Desde N trazamos una paralela al lado AC y llamamos P al punto donde corta al lado AB.

Así hemos construido dos triángulos iguales porque:

1. Tienen un lado igual: CM = MA y MA = NP, luego CM = NP.

2. Dos ángulos contiguos son iguales: los ángulos contiguos al lado CM son respectivamente iguales a los ángulos contiguos al lado NP.

Por tanto el segmento MN es paralelo al lado AB y como PB = MN = AP → BP = AP

→ BP = 1

2AB

C

P Q

A B

8 cm

4 cm5 cm

x

241



4. Aplicaciones del teorema de Tales

151


150

Determina gráficamente los puntos que dividen un segmento de 5 cm en dos partes de forma que una de ellas mida el doble que la otra.

Para la reparación de un mueble de madera, un carpintero debe cortar un listón de madera de 50 cm de largo en 7 partes iguales. Explica cómo puede hacerlo y haz un dibujo que represente la situación.

Calcula la altura de la torre si el árbol mide 10 m.

Halla las longitudes de los segmentos a y b.

a

7 cm

6 cm

15 cm

b

Determina la distancia que separa los puntos A y B con los datos del dibujo. Halla también la separación que hay entre los puntos C y D.

A

B

C

DE 250 km12

0 km

60 km

45 k

m

26

27

28

29

30

4. APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALESEl teorema de Tales nos permite calcular la altura de un objeto a partir de su sombra o utilizando un espejo. Representamos en este dibujo la situación en la que pudo encontrarse Tales al calcular la altura de la pirámide de Keops.

Consideramos que la base de la pirámide es un cuadrado cuyos lados miden 230 m. Como la sombra a cierta hora del día se separa 122 m de la estructura, tenemos que: 115 + 122 = 237 m. Esta es la longitud de la base del triángulo que determinan la altura de la pirámide y los rayos del sol.

Al clavar en el suelo a esa misma hora un bastón que mide 1,7 m, podemos considerar el triángulo que forma junto con su sombra de 2,95 m y los rayos del sol.

Estos triángulos están en posición de Tales y, por tanto, son semejantes. Así,

determinamos la altura de la pirámide: h

237=

1,7

2,95→ h = 136,58 m

Aprenderás a… ● Utilizar el teorema de Tales para calcular distancias o alturas inaccesibles.

● Dividir un segmento en partes proporcionales.

} Utiliza el teorema de Tales para dividir un segmento, AB:

a) En tres partes iguales.

b) En dos partes proporcionales a 2 y a 3.

Solución

a)

b)

EJERCICIO RESUELTO

} Alberto, que tiene una estatura de 1,8 m, quiere averiguar la altura de una torre. Para ello, coloca un espejo a 2 m de distancia, entre él y la torre, de forma que puede ver la parte más alta de la misma reflejada en el espejo, que está a 6 m de su entrada. ¿Cuánto mide la torre?

Solución

Dibujamos la situación.

Comprobamos que los triángulos formados por las alturas, las visuales y las distancias al espejo son semejantes, ya que tienen dos ángulos iguales.

Por el teorema de Tales tenemos que:

h

1,8=

6

2→ h = 5,4 m

Entonces, la altura de la torre es de 5,4 m.

EJERCICIO RESUELTO

Con la ayuda del programa GeoGebra, dibuja un cuadrado, ABCD, cuyo lado mida 2 cm.

Determina el punto medio del lado AB y nómbralo con la letra M.

Dibuja la circunferencia de centro M que pasa por el vértice C.

Traza la recta, r, que contiene al lado AB y determina su punto de corte con la circunferencia anterior que dista menos del vértice B. Llámalo E.

Dibuja la recta perpendicular a r que pasa por E y la recta paralela a r que pasa por C.

Determina el punto de intersección de estas rectas y nómbralo con la letra F.

Dibuja el rectángulo AEFD y mide la longitud de sus lados. ¿Cuál es el valor de la razón de estas medidas? ¿Cómo se llama la proporción en la que se encuentran? ¿Qué nombre recibe el rectángulo que has dibujado?

31

Investiga

Halla la altura del edificio teniendo en cuenta las medidas indicadas en este dibujo.

25

mac3e31

mac3e32

Soluciones de las actividades25 Halla la altura del edificio teniendo en cuenta las medidas indicadas de este dibujo.

Llamamos h a la altura edificio.

Los triángulos formados son semejantes por tener dos ángulos iguales.

Como sus lados correspondientes son proporcionales:h

20=

1,65 + 1,35

4→

h

20=

3

4→ h = 15 m


Es importante que los alumnos reconozcan que el teorema de Tales va a ser imprescindible para realizar medidas indi-rectas de elementos inaccesibles en distintos contextos.

Las actividades propuestas pretenden desarrollar la actitud en los alumnos de curiosidad e indagación, así como el hábi-to de hacer representaciones gráficas adecuadas al contexto.

La división de un segmento en partes iguales o proporcio-nales a varios números dados nos servirá para justificar la utilidad del teorema de Tales.

Haremos hincapié en el análisis de los enunciados para en-contrar la estrategia que les llevará a la solución.

GeoGebra. APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES

En estos recursos se muestra, paso a paso, la división de un seg-mento en partes proporcionales. Activando las casillas se van rea-lizando las construcciones geométricas del ejercicio.

Este recurso puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación del procedimiento para dividir un segmento en partes proporcio-nales o para proponer a los alumnos que lo realicen siguiendo las indicaciones, utilizando el programa GeoGebra o con regla y compás.



26 Determina gráficamente los puntos que dividen un segmento de 5 cm en dos partes de forma que una de ellas mida el doble que la otra.

27 Para la reparación de un mueble de madera, un carpintero debe cortar un listón de madera de 50 cm de largo en 7 partes iguales. Explica cómo puede hacerlo y haz un dibujo que represente la situación.

• • • • • • • •

•

••

•

•

•

•

50 cmA B

Dibujamos el segmento AB de longitud 50 cm, y una semirrecta con origen en A.

Tomamos una medida como unidad y la marcamos 7 veces en la semirrecta.

Trazamos la recta que pasa por la última marca y el punto B.

Dibujamos las rectas paralelas a ella que pasan por las otras seis marcas.

El segmento AB queda dividido en 7 partes iguales.

28 Calcula la altura de la torre si el árbol mide 10 m.

El triángulo formado por la torre y su sombra, y el formado por el árbol y su sombra están en posición de Tales: tienen ángulo común y los lados opuestos al vértice son paralelos. Llamamos h a la altura de la torre.

h

20 + 12=

10

12→

h

32=

10

12→ h = 26,67 m

29 Halla las longitudes de los segmentos a y b.

Los triángulos están en posición de Tales.

b = 15 − 6 = 9 cm

a

b=

7

6→

a

9=

7

6→ a = 10,5 cm

30 Determina la distancia que separa los puntos A y D con los datos del dibujo. Halla también la separación que hay entre los puntos C y D.

Los triángulos están en posición de Tales. La distancia entre A y B es 120 km.

AC

AD=

AB

AE→

250

AD=

120

45→ AD = 93,75 km

CD = 250 − AD → CD = 250 − 93,75 = 156,25 km

Investiga31 Con la ayuda del programa GeoGebra, dibuja un cuadrado, ABCD, cuyo lado mida 2 cm. Determina el punto medio del

lado AB y nómbralo con la letra M. Dibuja la circunferencia de centro M que pasa por el vértice C. Traza la recta, r, que contiene al lado AB y determina su punto de corte con la circunferencia anterior que dista menos del vértice B. Llámalo E. Dibuja la recta perpendicular a r que pasa por E y la recta paralela a r que pasa por C. Determina el punto de intersección de estas rectas y nómbralo con la letra F. Dibuja el rectángulo AEFD y mide la longitud de sus lados. ¿Cuál es el valor de la razón de estas medidas? ¿Cómo se llama la proporción en la que se encuentran? ¿Qué nombre recibe el rectángulo que has dibujado?

•

• •

• •

• •

M

B

E F

C

DA

r

La razón de estas medidas es: AE

AD= 1,61…

La proporción en la que se encuentran se llama proporción áurea.

El rectángulo dibujado recibe el nombre de rectángulo áureo.

• • • •

•

•

•

5 cmA M N B

a

7 cm

6 cm

15 cm

b

A

B

C

DE 250 km12

0 km

60 km

45 k

m

243



5. Escalas y mapas

153


152

Calcula la escala de un plano en el que un segmento que mide 5 cm representa una longitud real de 75 m.

La distancia entre Santander y Cádiz, en línea recta, es de 800 km. Halla la longitud del segmento que une ambas ciudades en un mapa realizado a escala 1:1 500 000.

La distancia real, en línea recta, entre París y Bruselas es de 263,5 km. Determina la escala a la que se ha confeccionado el mapa.

Calcula las dimensiones de una habitación de 6 m de largo y 4 m de ancho en un plano a escala:

a) 1:200 b) 1:600

Este plano de una vivienda se ha diseñado a escala 1:200.

a) Mide las dimensiones del plano y calcula la superficie de la vivienda.

b) Halla las dimensiones del dormitorio que tiene dos camas.

Una parcela triangular está delimitada por vallas que miden 300 m, 400 m y 600 m, respectivamente. El propietario dispone de un plano a escala de la parcela en el que el lado más pequeño mide 6 cm. Determina la escala utilizada y halla las longitudes de los demás lados del triángulo.

De la maqueta de una vivienda en construcción hemos obtenido las siguientes medidas.medidas.

❚ Salón: 10 cm de largo 8 cm de ancho 7 cm de alto

❚ Dormitorio principal: 6 cm de largo 4 cm de ancho 7 cm de alto

❚ Cocina: 5 cm de largo 3 cm de ancho 7 cm de alto

❚ Baño: 4 cm de largo 3 cm de ancho 6 cm de alto

Si la maqueta se ha realizado a una escala 1

50, calcula las medidas reales de cada

habitación.

32

33

34

35

36

37

38

5. ESCALAS Y MAPASVioleta está preparando un viaje a Francia. Con la ayuda de este mapa quiere saber la distancia real, en línea recta, que separa Madrid y París.

Todos los mapas tienen un indicador del tamaño de la reproducción que se llama escala que nos permite calcular distancias reales tomando medidas sobre ellos.

La escala de este mapa es 1:26 350 000, esto significa que cada centímetro del plano equivale a 26 350 000 cm de distancia real.

Con una regla medimos la distancia entre las dos ciudades en el mapa y obtenemos 4 cm. Así, la distancia real es:

4 ⋅ 26 350 000 = 105 400 000 cm = 1 054 km

Para la realización de mapas, planos o maquetas, hay que reducir las dimensiones de los objetos en la realidad de forma proporcional. Así la representación tiene la misma forma, pero no el mismo tamaño que el objeto representado.

❚ Los mapas son dibujos a escala que representan la superficie de la Tierra o una parte de ella.

❚ Los planos son representaciones gráficas a escala de un terreno, de una población, de una vivienda, etc.

❚ Las maquetas son modelos tridimensionales, fabricados habitualmente en cartón, plástico, madera o metal, donde se reproducen a escala uno o varios objetos, como una escultura, una casa, una ciudad, un automóvil, un barco…

❚ La escala de un mapa, un plano o una maqueta indica la razón de semejanza que relaciona la distancia representada y la distancia real.

Escala =distancia en la representación

distancia en la realidad

Podemos encontrar la escala de una representación expresada como:

❚ Una relación. Por ejemplo, 1 cm corresponde a 1 km.

❚ Una razón. Por ejemplo, en forma de fracción o de cociente indicado:

1

50000 o 1:50 000

❚ Una gráfica donde sea posible medir directamente las distancias.

La escala expresa la relación existente entre longitudes reales y sus representaciones.

a) ¿Se puede determinar si una representación de un objeto es un mapa, un plano o una maqueta sabiendo la escala a la que se ha realizado? Razona tu respuesta.

b) ¿Cuál es la escala más adecuada para representar tu habitación?

c) Dibuja el plano de tu habitación con todos los elementos que contenga: cama, mesa, armario, etc.

39

Investiga

Aprenderás a… ● Interpretar medidas reales a partir de mapas, planos y maquetas.

● Calcular la escala adecuada para representar situaciones reales.

Madrid

París

0 527

Kilómetros

} Halla la escala de un plano en el que una distancia de 30 m en la realidad corresponde a un segmento que mide 3 cm. Expresa la escala en forma de razón.

Solución

La escala relaciona las distancias expresadas en la misma unidad de medida. Entonces: 30 m equivalen a 3 000 cm

Escala =3

3 000=

1

1000= 1: 1000

Por tanto, 1 cm de plano corresponden a 1 000 cm de la realidad.

EJERCICIO RESUELTO

0 15075

Kilómetros

1005025 125

Soluciones de las actividades32 Calcula la escala de un plano en el que un segmento que mide 5 cm representa una longitud real de 75 m.

75 m = 7 500 cm 5

7 500=

5

1500 → La escala es 1:1 500.

33 La distancia entre Santander y Cádiz, en línea recta, es de 800 km. Halla la longitud del segmento que une ambas ciuda-des en un mapa realizado a escala 1:1 500 000.

800 km = 80 000 000 cm1

1500 000=

x

80 000 000→ x = 53,33 cm La longitud del segmento que une ambas ciudades es 53,33 cm.

34 La distancia real, en línea recta, entre París y Bruselas es de 263,5 km. Determina la escala a la que se ha confeccionado el mapa.

La distancia en el mapa entre París y Bruselas es de 2 cm.

263,5 km = 26 350 000 cm

Calculamos la escala: 2

26 350 000=

1

13 175 000→ 1: 13 175 000

El mapa se ha confeccionado a escala 1:13 175 000.


Los alumnos ya han utilizado la escala para resolver proble-mas cotidianos sobre planos y mapas. Es importante que se-pan calcular dimensiones reales de medidas en situaciones de semejanza. Empezar a explicar el epígrafe partiendo de un mapa y proponiendo el cálculo de distancias entre ciudades.

Es conveniente que los alumnos sean capaces de expresar verbalmente qué es un mapa, un plano y una maqueta.

Prestar especial atención en el manejo de las escalas.



35 Calcula las dimensiones de una habitación de 6 m de largo y 4 m de ancho en un plano a escala:

a) 1:200 b) 1:600 6 m = 600 cm; 4 m = 400 cm

a) 600

200= 3 cm y

400

200= 2 cm → Las dimensiones en el plano son 3 cm de largo y 2 cm de ancho.

b) 600

600= 1 cm y

400

600= 0,67 cm → Las dimensiones en el plano son 1 cm de largo y 0,67 cm de ancho.

36 Este plano de una vivienda se ha diseñado a escala 1:200.

a) Mide las dimensiones del plano y calcula la superficie de la vivienda.

b) Halla las dimensiones del dormitorio que tiene dos camas.

a) Las dimensiones de la vivienda en el plano son 5,9 cm de largo y 3,3 cm de alto. Su superficie es 5,9 ⋅ 3,3 = 19,47 cm2.

5,9 ⋅ 200 = 1 180 cm = 11,8 m de largo; 3,3 ⋅ 200 = 660 cm = 6,6 m de ancho

La superficie real de la vivienda es 11,8 ⋅ 6,6 = 77,88 m2 .

b) El dormitorio de dos camas en el plano mide 2,3 cm de largo y 1,2 cm de ancho.

2,3 ⋅ 200 = 460 cm = 4,6 m de largo; 1,2 ⋅ 200 = 240 cm = 2,4 m de ancho37 Una parcela triangular está delimitada por vallas que miden 300 m, 400 m y 600 m, respectivamente. El propietario dis-

pone de un plano a escala de la parcela en el que el lado más pequeño mide 6 cm. Determina la escala utilizada y halla las longitudes de los demás lados del triángulo.

El lado más pequeño de la parcela mide en la realidad 300 m = 30 000 cm.

Hallamos la escala: 6

30000=

1

x→ x = 5000 . Por tanto, la escala utilizada ha sido 1:5 000.

400 m = 40 000 cm → 1

5000=

x

40000→ x = 8 cm 600 m = 60 000 cm →

1

5000=

x

60000→ x = 12 cm

En el plano, el lado mediano de la parcela mide 8 cm y el mayor, 12 cm.38 De la maqueta de una vivienda en construcción hemos obtenido

las siguientes medidas.

Si la maqueta se ha realizado a una escala 1

50, calcula las

medidas reales de cada habitación.

Salón: Largo → 50 ⋅ 10 = 500 cm = 5 m

Ancho → 50 ⋅ 8 = 400 cm = 4 m; Alto → 50 ⋅ 7 = 350 cm = 3,5 m

Dormitorio principal: Largo → 50 ⋅ 6 = 300 cm = 3 m; Ancho → 50 ⋅ 4 = 200 cm = 2 m; Alto → 50 ⋅ 7 = 350 cm = 3,5 m

Cocina: Largo → 50 ⋅ 5 = 250 cm = 2,5 m; Ancho → 50 ⋅ 3 = 150 cm = 1,5 m; Alto → 50 ⋅ 7 = 350 cm = 3,5 m

Baño: Largo → 50 ⋅ 4 = 200 cm = 2 m; Ancho → 50 ⋅ 3 = 150 cm = 1,5 m; Alto → 50 ⋅ 6 = 300 cm = 3 m

Investiga39 La escala expresa la relación existente entre longitudes reales y sus representaciones.

a) ¿Se puede determinar si una representación de un objeto es un mapa, un plano o una maqueta sabiendo la escala a la que se ha realizado? Razona tu respuesta.

b) ¿Cuál es la escala más adecuada para representar tu habitación?

c) Dibuja el plano de tu habitación con todos los elementos que contenga: cama, mesa, armario, etc.

a) Sí. La escala de un mapa es mayor que la de un plano y la representación en una maqueta tiene tres dimensiones.

b) Es la que permita dibujar la habitación en una hoja de tamaño DIN A4 (29,7 cm × 21 cm).

Si el dormitorio tiene, por ejemplo, 4 m de largo y 3 m de ancho, la escala debe ser 1:20. Así las dimensiones de la

habitación en el plano serían 400

20= 20 cm de largo y

300

20= 15 cm de ancho.

c) Respuesta abierta.

❚❚Salón:❚ 10 cm de largo 8 cm de ancho 7 cm de alto

❚❚Dormitorio principal:❚ 6 cm de largo 4 cm de ancho 7 cm de alto

❚❚Cocina:❚ 5 cm de largo 3 cm de ancho 7 cm de alto

❚❚Baño:❚ 4 cm de largo 3 cm de ancho 6 cm de alto

245




En esta sección se destacan los conceptos y procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido al ter-minar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Reconocer triángulos semejantes.

❚❚ Expresar la proporcionalidad entre segmentos generados por dos rectas secantes que son cortadas por rectas paralelas.

❚❚ Utilizar el teorema de Tales para el cálculo indirecto de longitudes e interpretar longitudes reales a partir de planos o mapas.

Actividades finalesSoluciones de las actividades40 Estas frases contienen errores. Cópialas en tu cuaderno, corrigiéndolas con las palabras adecuadas.

a) La recta que pasa por un vértice de un triángulo y por el punto medio del lado opuesto se llama mediatriz.b) La recta perpendicular a un lado de un triángulo que pasa por su punto medio es una mediana.c) El centro de la circunferencia circunscrita se llama incentro y se obtiene como punto de corte de las bisectrices.d) Las medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro.e) El baricentro es el punto de corte de las alturas de un triángulo.f) Las bisectrices de un triángulo son rectas perpendiculares a los lados que se cortan en un punto llamado ortocentro.a) La recta que pasa por un vértice de un triángulo y por el punto medio del lado opuesto se llama mediana.b) La recta perpendicular a un lado de un triángulo que pasa por su punto medio es una mediatriz.c) El centro de la circunferencia circunscrita se llama circuncentro y se obtiene como punto de corte de las mediatrices.d) Las medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro.e) El ortocentro es el punto de corte de las alturas de un triángulo.f) Las bisectrices de un triángulo son rectas perpendiculares a los lados que se cortan en un punto llamado incentro.

¿Qué tienes que saber?

154 155

¿QUÉ8 tienes que saber?Semejanza de triángulos

Dibuja un triángulo cuyos lados midan 16 cm, 30 cm y 34 cm, respectivamente. Dibuja otro triángulo semejante al anterior, sabiendo que la razón de semejanza entre ambos es k = 0,5. ¿Cuáles son las longitudes de los lados del segundo triángulo?

Calcula la razón de semejanza de estos pares de triángulos semejantes.

a) a´ = 5 m b´ = 4 m c´ = 8 m

a´ = 10 m b´ = 8 m c´ = 16 m

b) a´ = 21 m b´ = 14 m c´ = 21 m

a´ = 3 m b´ = 2 m c´ = 3 m

Encuentra los triángulos que son semejantes e indica el criterio de semejanza en el que te basas en cada caso. Las unidades están en centímetros.

3

4

5

48º

42º

15

80º

9

2

2

3

3

80º

5

3

6

8 10

Indica razonadamente si los siguientes pares de triángulos son semejantes.

a) A = 30º B = 30º C = 120º

a´ = 2 cm b´ = 2 cm c´ = 2 cm

b) A = 30º B = 40º

B ´ = 40º C ´ = 110º

c) a´ = 5 m b´ = 4 m c´ = 8 m

a´ = 15 m b´ = 24 m c´ = 10 m

d) a´ = 15 cm b´ = 4 cm c´ = 8 cm

a´ = 45 cm b´ = 24 cm c´ = 12 cm

Un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales cuya amplitud es de 35º. Otro triángulo isósceles tiene un ángulo que abarca un arco de 115º. Razona si estos dos triángulos son semejantes.

50

51

52

53

54

Rectas y puntos notables en un triángulo

Estas frases contienen errores. Cópialas en tu cuaderno, corrigiéndolas con las palabras adecuadas.

a) La recta que pasa por un vértice de un triángulo y por el punto medio del lado opuesto se llama mediatriz.

b) La recta perpendicular a un lado de un triángulo y que pasa por su punto medio es una mediana.

c) El centro de la circunferencia circunscrita se llama incentro y se obtiene como punto de corte de las bisectrices.

d) Las medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro.

e) El baricentro es el punto de corte de las alturas de un triángulo.

f) Las bisectrices de un triángulo son rectas perpendiculares a los lados que se cortan en un punto llamado ortocentro.

Describe el circuncentro y el incentro de un triángulo como un lugar geométrico.

¿Es el circuncentro de un triángulo obtusángulo un punto interior o exterior a él? ¿Y si el triángulo es rectángulo?

En un triángulo rectángulo e isósceles, ¿es la longitud de la altura relativa a la hipotenusa menor que la de los catetos? ¿Por qué?

La mediana que corta a la hipotenusa de un triángulo rectángulo e isósceles ¿tiene menor longitud que los catetos? Razona la respuesta.

Dibuja un triángulo que tenga por vértices A(1, 1), B(3, 6) y C(5, 1) y halla su baricentro. Recorta la figura obtenida y comprueba que puedes apoyar el triángulo sobre la punta de un lápiz colocándolo en ese punto.

Representa los triángulos de vértices:

a) A(14, 6), B(17, 1) y C(1, 6)

b) A(12, 9), B(18, 2) y C(1, 2)

c) A(−1, 2), B(0, 4) y C(4, 3)

Dibuja las tres alturas de cada uno y halla su punto de corte. ¿Cómo se llama este punto?

El baricentro de un triángulo divide a una mediana en dos segmentos. Si el menor de ellos mide 5 cm, ¿cuánto mide el otro?

Dibuja tres puntos que no estén alineados y traza la circunferencia que pasa por ellos. ¿Cómo se llama el centro de esta circunferencia?

Diseña un logo publicitario compuesto por un triángulo y sus circunferencias inscrita y circunscrita.

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

Determina si estos triángulos son semejantes y, en caso afirmativo, halla las longitudes de los lados desconocidos.

20º

120º

1,06 cm

2,7 cm

A

B C20º

40º5,4 cm

4 cm

a’

A’ B’

C’

c

Como la suma de los ángulos del triángulo es 180º:

20° + 120° + C = 180°→ C = 40°

Así, los dos triángulos tienen dos ángulos iguales y, por el segundo criterio, son semejantes.

Si los triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales:

2,7

5,4=c

4→ c = 2 cm

1,06

a ´=

2,7

5,4→ a ´ = 2,12 cm

Semejanza de triángulosTen en cuentaDos triángulos semejantes son aquellos que tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.

Criterios de semejanza

Dos triángulos son semejantes si cumplen uno de estos criterios.

❚ Criterio 1. Tienen los tres lados proporcionales.

❚ Criterio 2. Tienen dos ángulos iguales.

❚ Criterio 3. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman coincide.

Calcula las longitudes de los segmentos x e y.

OA

B

A’ B’C’

2 cmx

y

C

2,5 cm

3,2 cm

3 cm

st

r

Como las rectas r, s y t son paralelas, podemos aplicar el teorema de Tales:

OA

OA ´=

AB

A ´B ´=

BC

B Ć ´

OA

OA ´=

AB

A ´B ´→

x

3=

2

2,5→ x = 2,4 cm

AB

A ´B ´=

BC

B Ć ´→

2

2,5=

3,2

y→ y = 4 cm

Teorema de TalesTen en cuentaTeorema de Tales. Si dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes determinados sobre las rectas secantes son proporcionales.

La escala de un mapa es 1:100 000.

a) ¿A qué distancia real se encuentran dos puntos separados por 3 cm en el mapa?

b) Si la distancia, en línea recta, entre dos ciudades mide 65 km, ¿a qué distancia se encuentran estas en el mapa?

a) Si la distancia en el mapa es de 3 cm, la distancia real es:

3 ⋅ 100 000 = 300 000 cm = 3 km

b) Si la distancia real es de 65 km, la distancia en el mapa es:

65

100 000= 0,00065 km = 65 cm

Escalas y mapasTen en cuentaLa escala de un mapa, un plano o una maqueta indica la razón de semejanza que relaciona la distancia representada y la distancia real.

Actividades Finales 8



41 Describe el circuncentro y el incentro de un triángulo como un lugar geométrico.

El circuncentro es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los tres vértices de un triángulo.

El incentro es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los tres lados de un triángulo.42 ¿Es el circuncentro de un triángulo obtusángulo un punto interior o exterior a él? ¿Y si el triángulo es rectángulo?

El circuncentro de un triángulo obtusángulo es un punto exterior a él, y en un triángulo rectángulo está sobre la hipotenusa. 43 En un triángulo rectángulo e isósceles, ¿es la longitud de la altura relativa a la hipotenusa menor que la de los catetos?

¿Por qué?

Por el teorema de Pitágoras: a2 = b2 + b2 = 2b2

La altura h divide al triángulo en dos triángulos rectángulos iguales. En cada uno de ellos también se cumple el teorema

de Pitágoras: b2 =a

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ h2 → b2 =a2

4+ h2

Sustituimos a2 = 2b2 en la igualdad anterior: b2 =2b2

4+ h2 → h2 =

b2

2→ h =

b2

2=

1

2b → h < b

Luego la altura h es menor que los catetos. 44 La mediana que corta a la hipotenusa de un triángulo rectángulo e isósceles ¿tiene menor longitud que los catetos? Ra-

zona la respuesta.

La mediana que corta a la hipotenusa de un triángulo rectángulo e isósceles coincide con la altura relativa a la hipotenusa del mismo. Por tanto, y con el mismo razonamiento que en el ejercicio anterior, podemos afirmar que dicha mediana tiene menor longitud que los catetos.

45 Dibuja un triángulo que tenga por vértices A(1, 1), B(3, 6) y C(5, 1) y halla su baricentro. Recorta la figura obtenida y comprueba que puedes apoyar el triángulo sobre la punta de un lápiz colocándolo en ese punto.

• •

•

•

O 1

1

X

Y

B

(3, 6)

(5, 1)(1, 1)

Comprobar que los alumnos apoyan el triángulo que han dibujado sobre la punta de un lápiz colocándolo sobre el baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.

46 Representa los triángulos de vértices:

a) A(14, 6), B(17, 1) y C(1, 6) b) A(12, 9), B(18, 2) y C(1, 2) c) A(−1 , 2), B(0, 4) y C(4, 3)

Dibuja las tres alturas de cada uno y halla su punto de corte. ¿Cómo se llama este punto?

a) b) c)

•

•

••

O

2

2 X

Y

B

AC

••

••

O

2

2 X

Y

B

A

C

••

•

•

1

1 X

Y

OB

A

C

El punto donde se cortan las alturas se llama ortocentro.47 El baricentro de un triángulo divide a una mediana en dos segmentos. Si el menor de ellos mide 5 cm, ¿cuánto mide el otro?

El baricentro cumple que divide a la mediana en un punto tal que su distancia al vértice es doble que su distancia al punto medio del lado opuesto. Si el menor de esos dos segmentos es de 5 cm, el otro medirá 10 cm.

48 Dibuja tres puntos que no estén alineados y traza la circunferencia que pasa por ellos. ¿Cómo se llama el centro de esta circunferencia?

Comprobar que los alumnos dibujan tres puntos no alineados A, B y C, y los unen formando un triángulo. Después, hallan las medianas de su lados y trazan la circunferencia cuyo centro es el punto de estas rectas y cuyo radio es la distancia del centro a cualquiera de los vértices. El centro de la circunferencia se llama circuncentro.

247



49 Diseña un logo publicitario compuesto por un triángulo y sus circunferencias inscrita y circunscrita.

Respuesta abierta. 50 Dibuja un triángulo cuyos lados midan 16 cm, 30 cm y 34 cm, respectivamente. Dibuja otro triángulo semejante al an-

terior, sabiendo que la razón de semejanza entre ambos es k = 0,5. ¿Cuáles son las longitudes de los lados del segundo triángulo?

Comprobar que los alumnos dibujan un triángulo de lados 16 cm, 30 cm y 34 cm.

Como k = 0,5, comprobar que los alumnos dibujan otro triángulo semejante al anterior cuyos lados miden:

16 ⋅ 0,5 = 8 cm, 39 ⋅ 0,5 = 15 cm y 34 ⋅ 0,5 = 17 cm51 Calcula la razón de semejanza de estos pares de triángulos semejantes.

a) a’ = 5 m b’ = 4 m c’ = 8 m b) a’ = 21 m b’ = 14 m c’ = 21 m

a’ = 10 m b’ = 8 m c’ = 16 m a’ = 3 m b’ = 2 m c’ = 3 m

a) k =10

5=

8

4=

16

8= 2 b) k =

3

21=

2

14=

3

21=

1

752 Encuentra los triángulos que son semejantes e indica el criterio de semejanza en el que te basas en cada caso. Las unida-

des están en centímetros.

3

4

5

48º

42º

15

80º

9

2

2

3

3

80º

5

3

6

8 10

3

4

5

48º

42º

15

80º

9

2

2

3

3

80º

5

3

6

8 10

3

4

5

48º

42º

15

80º

9

2

2

3

3

80º

5

3

6

8 10

3

4

5

48º

42º

15

80º

9

2

2

3

3

80º

5

3

6

8 10

3

4

5

48º

42º

15

80º

9

2

2

3

3

80º

5

3

6

8 10

3

4

5

48º

42º

15

80º

9

2

2

3

3

80º

5

3

6

8 10

Son semejantes por tener los lados correspondientes proporcionales.

Son semejantes porque tienen dos lados iguales y el ángulo que for-man estos dos lados es de 42º en ambos triángulos (90º − 48º = 42º).

Son semejantes por tener dos lados propor-cionales y el ángulo que forman estos lados es igual en ambos triángulos.

53 Indica razonadamente si los siguientes pares de triángulos son semejantes.

a) A = 30º B = 30º C = 120º c) a’ = 5 cm b’ = 4 cm c’ = 8 cm

a’ = 2 cm b’ = 2 cm c’ = 2 cm a’ = 15 m b’ = 24 m c’ = 10 m

b) A = 30º B = 40º d) a’ = 15 cm b’ = 4 cm c’ = 8 cm

B ´ = 40º C ´ = 110º a’ = 45 cm b’ = 24 cm c’ = 12 cm

a) No son semejantes porque el triángulo de lados a’ = 2 cm, b’ = 2 cm y c’ = 2 cm, como es equilátero, tiene sus tres ángulos iguales.

b) El tercer ángulo en el triángulo ABC es C = 180º − (30º + 40º) = 110º.

El tercer ángulo en el triángulo A’B’C’ es A ´ = 180º − (40º + 110º) = 30º.

Los dos triángulos tienen sus ángulos iguales, por tanto, son semejantes.

c) 15

5≠

24

4≠

10

8 → Los lados no son proporcionales, por tanto, no son semejantes.

d) 45

15=

24

8=

12

4= 3 → Los lados son proporcionales, por tanto, son semejantes.

54 Un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales cuya amplitud es de 35º. Otro triángulo isósceles tiene un ángulo que abarca un arco de 115º. Razona si estos dos triángulos son semejantes.

Los ángulos del primer triángulo isósceles miden 35º, 35º y 180º − (35º + 35º) = 110º.

La medida de los otros dos ángulos del triángulo que abarca un arco de 115º es de (180º − 115º) : 2 = 32,5º cada uno.

Por tanto, no son semejantes.



55 Calcula la longitud de los lados del triángulo que se forma al unir los puntos medios de los lados de un triángulo, que miden 6 cm, 8 cm y 10 cm, respectivamente.

6 cm

8 cm

10 cm4 cm

5 cm 3 cm

Como 102 = 82 + 62, el triángulo es rectángulo.

Al unir los puntos medios se crea un triángulo semejante cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm.

56 Si dos triángulos son semejantes, ¿son sus perímetros proporcionales? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Qué relación existe entre sus áreas?

Llamamos a, b y c a los lados de un triángulo, y a’, b’ y c’ a los lados de un triángulo semejante a él.

Por ser semejantes, los lados de los triángulos y las alturas son proporcionales. Es decir:

a’ = a ⋅ r b’ = b ⋅ r c’ = c ⋅ r h’ = h ⋅ r

El cociente entre los lados correspondientes coincide con el valor de la razón: a ´

a=b ´

b=c ´

c=h ´

h= r

Si llamamos P al perímetro del triángulo de lados a, b y c, su medida es P = a + b + c.

Si llamamos P’ al perímetro del triángulo de lados a’, b’ y c’, su medida es:

P’ = a’ + b’ + c’= a ⋅ r + b ⋅ r + c ⋅ r = r ⋅ (a + b + c) = r ⋅ P

Por tanto P’ = r ⋅ P, es decir, los perímetros son proporcionales y su razón, o constante de proporcionalidad, es la misma

que la que existe entre los lados del triángulo: P ´

P= r

Veamos qué relación existe entre sus áreas.

Si A es el área del triángulo de lados a, b y c, se cumple que: A =b ⋅h

2

156 157

8 Triángulos. Propiedades Actividades Finales 8

Santiago ha hecho una fotocopia reducida al 60 % de un mapa realizado a escala 1:200 000.

a) ¿Qué escala tiene el mapa fotocopiado?

b) Calcula en cada mapa la longitud de un segmento que representa una distancia real de 20 km.

Halla la longitud de una maqueta de un autobús de viajeros que mide 13 m de largo, sabiendo que la escala es 1:200.

73

74

Calcula la sombra de la chica.

Determina la altura del molino de viento y la longitud, del segmento x, teniendo en cuenta que las medidas están expresadas en metros.

Escalas y mapas

En un mapa aparece esta escala gráfica.

0 60 120 180 240

Kilómetros

a) Expresa la escala en forma de razón.

b) Calcula la distancia real que existe entre dos pueblos que en el mapa distan 6 cm.

c) Si la distancia entre dos ciudades en el plano esde 4,5 cm, halla la distancia real.

Construye la escala gráfica que corresponde a las siguientes razones.

a) 1:200 b) 1:5 000

Con ayuda de un mapa de Bolivia, halla la distancia real, en línea recta, que separa La Paz y Sucre.

Dos pueblos, que se encuentran a 36 km en línea recta, están representados en un mapa en los extremos de un segmento que mide 7,2 cm. ¿Cuál es la escala utilizada en el mapa?

67

68

69

70

71

72

Explica cómo se divide un segmento que mide 15 cm:

a) En dos partes de forma que una sea el triple de la otra.

b) En partes proporcionales a 2, 3 y 5.

Las alturas de Berta y su amiga Carolina son de 1,65 m y 1,68 m, respectivamente. Si a las cuatro de la tarde la sombra de Berta mide 125 cm, ¿cuál será la longitud de la sombra de Carolina en ese preciso instante?

¿Cuál es la altura de un monumento cuya sombra mide 12 m justo cuando la sombra de una señal de tráfico de 2,5 m de altura mide 1,5 m?

Un observador ve reflejada en un espejo que está situado en el suelo la parte más alta de un edificio. Si el espejo se encuentra a 2,96 m del observador y a 10,66 m del edificio, calcula la altura del edificio sabiendo que los ojos del observador están a 1,58 m del suelo.

Determina las longitudes de los segmentos desconocidos en cada dibujo.

a) A

B

C C’

B’

3,5 cm

2 cm

7 cm

b)

A B C

C’

B’

12 cm9 cm

12 cm

Halla la altura del árbol más alto.

61

62

63

64

65

66

Calcula la longitud de los lados del triángulo que se forma al unir los puntos medios de los lados de un triángulo, que miden 6 cm, 8 cm y 10 cm, respectivamente.

Si dos triángulos son semejantes, ¿son sus perímetros proporcionales? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Qué relación existe entre sus áreas?

Teorema de Tales. Aplicaciones

Halla la longitud, x, del segmento en cada caso.

a) 1 cm 2,5 cm

3 cm

x

r s t

b) 1,2 cm

1,5 cm 5 cm

x

rs

t

Calcula las longitudes, en milímetros, de los segmentos desconocidos en la figura.

y

x

2,25

1,252,4

1,5

r

s

Averigua la longitud del segmento AE.

A B

D

C

E

9 cm

6 cm

15 cm

Divide gráficamente un segmento de 10 cm de longitud en 6 partes iguales.

55

56

57

58

59

60

Calcula las dimensiones reales de un coche si en su reproducción en una maqueta a escala 1:50 tiene estas medidas:

Las dimensiones de un campo de balonmano son 40 m de largo y 20 m de ancho. Traza el plano de uno en tu cuaderno de tal forma que 1 cm de la representación corresponda a 10 m del campo.

Para dibujar un plano de unas pistas deportivas situadas en un solar rectangular que mide 300 m de largo por 200 m de ancho, se puede utilizar una de estas escalas:

1:2 1:100 1:10 000

1:10 1:1 000 1:100 000

a) ¿Cuál de ellas es la más adecuada para que el plano aparezca completo si lo representamos en una hoja DIN A4 (29,7 cm × 21 cm)?

b) ¿Qué escala es la más conveniente si el plano debe ser lo más grande posible?

c) Dibuja un plano con la escala del apartado anterior y representa en él una pista de hockey sobre patines (40 m × 20 m) y una pista de baloncesto (28 m × 15 m).

75

76

77

249



Si llamamos A’ al área del triángulo de lados a’, b’ y c’, su medida es:

A ´ =b ´ ⋅ h ´

2=b ⋅ r ⋅h ⋅ r

2=b ⋅h

2r2 = A ⋅ r2

Por tanto, A’ = A ⋅ r2 y la relación entre las áreas es: A ´

A= r2

57 Halla la longitud, x, del segmento en cada caso.

a) b)

1 cm 2,5 cm

3 cm

x

r s t

1,2 cm

1,5 cm 5 cm

x

rs

t

a) 1

x=

2,5

3→ x = 1,2 cm b)

1,2

1,5=

x

5→ x = 6,25 cm

58 Calcula las longitudes, en milímetros, de los segmentos desconocidos en la figura.

y

x

2,25

1,252,4

1,5

r

s

Hallamos primero la medida del segmento x:2,25

x + 1,5=

1,25

1,5→ x + 1,5 = 2,7 → x = 2,7−1,5 = 1,2 mm

Calculamos la medida del segmento y:y

1,2=

2,4

1,5→ y = 1,92 mm

59 Averigua la longitud del segmento AE.

A B

D

C

E

9 cm

6 cm

15 cm

Los triángulos están en posición de Tales.BD

AE=

BC

AC→

9− 6

AE=

9

15→

3

AE=

9

15→ AE = 5 cm

60 Divide gráficamente un segmento de 10 cm en 6 partes iguales.

• • •• • • •

•

•

•

•

•

•

A M N O P Q B10 cm



61 Explica cómo se divide un segmento que mide 15 cm:

a) En dos partes de forma que una sea el triple de la otra.

b) En partes proporcionales a 2, 3 y 5.

a) Trazamos el segmento AB de 15 cm de longitud. Dibujamos una semirrecta con origen en el punto A. Tomamos una medida como unidad y la marcamos cuatro veces en la semirrecta. Trazamos la recta que pasa por la última marca y el punto B. Dibujamos las rectas paralelas a ella que pasan por las otras tres marcas.

El segmento AB queda dividido en cuatro partes iguales, AM, MN, NP, PB. El segmento AM mide el triple que MB.

b) Trazamos el segmento AB de 15 cm de longitud. Dibujamos una semirrecta con origen en el punto A. Tomamos una medida como unidad y la marcamos diez veces en la semirrecta. Trazamos la recta que pasa por la última marca y el punto B. Dibujamos las rectas paralelas a ella que pasan por las otras nueve marcas.

El segmento AB queda dividido en diez partes iguales, AM, MN, NP, PQ, QR, RS, ST, TV, VW, WB. Los segmentos AN, NR y RB son proporcionales a 2, 3 y 5, respectivamente.

62 Las alturas de Berta y su amiga Carolina son de 1,65 m y 1,68 m, respectivamente. Si a las cuatro de la tarde la sombra de Berta mide 125 cm, ¿cuál será la longitud de la sombra de Carolina en ese preciso instante?

125 cm = 1,25 m

Entre las alturas y sus sombras se cumple que: 1,65

1,25=

1,68

x→ x = 1,27 m La longitud de la sombra es de 1,27 m.

63 ¿Cuál es la altura de un monumento cuya sombra mide 12 m justo cuando la sombra de una señal de tráfico de 2,5 m de altura mide 1,5 m?

Entre las alturas y sus sombras se cumple que 2,5

1,5=

x

12→ x = 20 m La altura del monumento es de 20 m.

64 Un observador ve reflejada en un espejo que está situado en el suelo la parte más alta de un edificio. Si el espejo se en-cuentra a 2,96 m del observador y a 10,66 m del edificio, calcula la altura del edificio sabiendo que los ojos del observador están a 1,58 m del suelo.

La imagen corresponde a dos triángulos semejantes. Llamamos h a la altura del edificio.

Como sus lados correspondientes son proporcionales tenemos: h

1,58=

10,66

2,96→ h = 5,69 m

65 Determina las longitudes de los segmentos desconocidos en cada dibujo.

a) b)

A

B

C C’

B’

3,5 cm

2 cm

7 cm

A B C

C’

B’

12 cm9 cm

12 cm

a) AB’ → AB ´

AB=B Ć ´

BC→

AB ´

2=

7

3,5→ AB ´ = 4 cm

BB’ → Aplicamos el teorema de Pitágoras: BB ´ = 42 − 22 = 16− 4 = 12 = 3,46 cm

CC’ → CC ´

AC=BB ´

AB→

CC ´

2 + 3,5=

3,46

2→

CC ´

5,5=

3,46

2→ CC ´ = 9,515 cm

b) BC → BB ´

AB=CC ´

AC→

9

12=

12

AC→ AC = 16 cm → BC = AC − 12 = 16 − 12 = 4 cm

AB’ → Aplicamos el teorema de Pitágoras: AB ´ = 122 + 92 = 144 + 81 = 225 = 15 cm

B’C’ → B Ć ´

BC=

AB ´

AB→

B Ć ´

4=

15

12→ B Ć ´ = 5 cm

AC’ → AC’ = AB’ + B’C’= 15 + 5 = 20 cm

251



66 Halla la altura del árbol más alto.

Llamamos h a la altura del árbol grande y aplicamos el teorema de Tales.

h

15 + 10=

18

15→

h

25=

18

15→ h = 30 m

67 Calcula la sombra de la chica.

Se forman dos triángulos en posición de Tales. Entonces:

6

x + 4=

1,7

x→ 6 x = 1,7( x + 4) → 6 x = 1,7 x + 6,8

→ 4,3x = 6,8 → x = 1,58

La sombra de la chica mide 1,58 cm.

68 Determina la altura del molino de viento y la longitud, del segmento x, teniendo en cuenta que las medidas están expre-sadas en metros.

Calculamos la altura del molino, y.y

AB + BC=B ´B

AB→

y

5 + 1,5=

4,5

5→

y

6,5=

4,5

5→ y = 5,85 m

Hallamos la longitud del segmento x:x

AB=B Ć ´

BC→

x

5=

2,02

1,5→ x = 6,73 m

69 En un mapa aparece esta escala gráfica.

a) Expresa la escala en forma de razón.

b) Calcula la distancia real que existe entre dos pueblos que en el mapa distan 6 cm.

c) Si la distancia entre dos ciudades en el plano es de 4,5 cm, halla la distancia real.

a) 60 km = 6 000 000 cm → Escala = 1

6000000 c) 4,5 ⋅ 6 000 000 = 27 000 000 cm = 270 km

b) 6 ⋅ 6 000 000 = 36 000 000 cm = 360 km La distancia real son 270 km.

La distancia real son 360 km.

0 60 120 180 240

Kilómetros



70 Construye la escala gráfica que corresponde a las siguientes razones.

a) 1:200 b) 1:5 000

a) b)

0 800600400200 0 200 m150 m100 m50 m

1 cm

71 Con la ayuda de un mapa de Bolivia, halla la distancia real, en línea recta, que separa La Paz y Sucre.

NOTA: La resolución del problema dependerá de la escala a la que esté el mapa elegido.

La escala nos indica que 0,5 cm del mapa equivalen a 150 km en el plano, así la escala es 0,5

15000000=

1

30000000.

La distancia en el plano entre las dos ciudades es de 1,4 cm.

Sea x la distancia real. Entonces, 1

30000000=

1,4

x→ x = 42000000 cm = 420 km

La Paz y Sucre están a 420 km de distancia.72 Dos pueblos, que se encuentran a 36 km en línea recta, están representados en un mapa en los extremos de un segmento

que mide 7,2 cm. ¿Cuál es la escala utilizada en el mapa?

Escala = 7,2

3600000= 2 ⋅10−6 =

1

500000

73 Santiago ha hecho una fotocopia reducida al 60 % de un mapa realizado a escala 1:200 000.

a) ¿Qué escala tiene el mapa fotocopiado?

b) Calcula en cada mapa la longitud de un segmento que representa una distancia real de 20 km.

a) 1 cm al 60 % son 0,6 cm. Así, 0,6 cm representarán 200 000 cm.

Calculamos la escala.

0,6

200000=

1

x→ x = 333333,33 . Entonces, la escala es:

1

333333,33

b) 20 km = 2 000 000 cm

Sea x la distancia en el mapa.

En el mapa original, 1

200000=

x

2000000→ x = 10 . Entonces, la distancia en el mapa original es de 10 cm.

En el mapa reducido al 60 %, 1

333333,33=

x

2000000→ x = 6 . Luego, la distancia en el mapa reducido es de 6 cm.

74 Halla la longitud de una maqueta de un autobús de viajeros que mide 13 m de largo, sabiendo que la escala es 1:200.

El autobús mide 13 m = 1 300 cm. Sea x la longitud del autobús en la maqueta. 1

200=

x

1300→ x = 6,5 cm La longitud de la maqueta es 6,5 cm.

75 Calcula las dimensiones reales de un coche si en su reproducción en una maqueta a escala 1:50 tiene estas medidas:

Llamamos x al largo real: 1

50=

9

x→ x = 450 cm = 4,5 m

Sea y el ancho real: 1

50=

3,8

y→ y = 190 cm = 1,9 m

Llamamos z a la altura real: 1

50=

2,9

z→ z = 145 cm = 1,45 m

Las dimensiones del coche son 4,5 m de largo, 1,9 m de ancho y 1,45 m de alto.

253



76 Las dimensiones de un campo de balonmano son 40 m de largo y 20 m de ancho. Traza el plano de uno en tu cuaderno de tal forma que 1 cm de la representación corresponda a 10 m del campo.

40 m = 4 000 cm

20 m = 2 000 cm

Si 1 cm se corresponde con 10 m = 1 000 cm, la escala es 1:1 000.

Sea x la medida del largo en el plano. Entonces: 1

1000=

x

4 000→ x = 4 cm

Si llamamos y a la medida del ancho: 1

1000=

y

2000→ y = 2 cm

Comprobar que los alumnos dibujan un campo rectangular de 4 cm de largo y 2 cm de ancho.77 Para dibujar un plano de unas pistas deportivas situadas en un solar rectangular que mide 300 m de largo por 200 m de

ancho, se puede utilizar una de estas escalas:

1:2 1:10 1:100 1:1 000 1:10 000 1:100 000

a) ¿Cuál de ellas es la más adecuada para que el plano aparezca completo si lo representamos en una hoja DIN A4 (29,7 cm × 21 cm)?

b) ¿Qué escala es la más conveniente si el plano debe ser lo más grande posible?

c) Dibuja un plano con la escala del apartado anterior y representa en él un pista de hockey sobre patines (40 m × 20 m) y un campo de baloncesto (28 m × 15 m).

a) Calculamos las dimensiones del solar en centímetros.

300 m = 30 000 cm 200 m = 20 000 cm

Hallamos las dimensiones a escala 1:1 000.

1

1000=

x

30000→ x = 30 cm

1

1000=

x

20000→ x = 20 cm

Si aplicamos la escala 1:1 000 el solar mediría 30 cm de largo y 20 de ancho. No podríamos dibujarlo por completo en la hoja DIN A4.

Para que el plano aparezca completo, la escala más apropiada es 1:10 000. Calculamos las dimensiones del solar a esta escala.

1

10000=

x

30000→ x = 3 cm

1

10000=

x

20000→ x = 2 cm

Las dimensiones a escala 1:10 000 serían 3 cm de largo y 2 cm de ancho.

b) Si el plano debe ser lo más grande posible es preferible utilizar la escala 1:1 000, teniendo en cuenta que el solar lo disminuiríamos 0,3 cm de largo.

c) Calculamos las medidas de la pista de hockey sobre patines a escala 1:1 000.

40 m = 4 000 cm 20 m = 2 000 cm

Si x es el largo de la pista de hockey, se cumple que: 1

1000=

x

4 000→ x = 4 cm

Llamando y al ancho: 1

1000=

y

2000→ y = 2 cm

Comprobar que los alumnos dibujan una pista de hockey de 4 cm de largo y 2 cm de ancho.

Calculamos las medidas de la pista de baloncesto a escala 1:1 000.

28 m = 2 800 cm 15 m = 1 500 cm

Si x es el largo de la pista de baloncesto, se cumple que: 1

1000=

x

2800→ x = 2,8 cm

Llamando y al ancho: 1

1000=

y

1500→ y = 1,5 cm

Comprobar que los alumnos dibujan una pista de baloncesto de 2,8 cm de largo y 1,5 cm de ancho.



Matemáticas vivas

CartografíaSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana en la que tendrán que interpretar mapas y planos.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Utiliza el lenguaje matemático, Argumenta, Comunica o Resuelve.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Parejas de ejercitación/revisión, de David y Roger Johnson.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos se agruparán por parejas para representar en un plano a escala diferentes lugares de Sevilla. Cada alumno explicará a su compañero cómo resolver una de las actividades y el compañero validará la resolución. Se intercambian los papeles sucesivamente hasta terminar todas las actividades propuestas.

Soluciones de las actividades

Comprende1 Observa el plano antiguo de la ciudad de Barcelona y una vista actual de la ciudad.

a) Compara estas representaciones y explica en qué se diferencian.

b) ¿Cuál crees que es la importancia que tiene conocer la escala a la que se construyen?

c) ¿Qué otros datos consideras necesarios para que el plano o el mapa sean más completos?

a) Se diferencian en la escala de representación o nivel de detalle.

b) En los planos se pueden medir distancias, ángulos o superficies; por ello es imprescindible conocer la escala con la que se han dibujado.

8 MATEMÁTICAS VIVAS

158 159

8Cartografía

RELACIONA

La cartografía se basa en traducir e interpretar la realidad, utilizando un modelo matemático.

a. Explica los conceptos matemáticos en los que se basa la cartografía y cómo se aplican para la realización de mapas y planos.

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

b. ¿Qué elementos hacen que un plano o un mapa sean de mayor o menor calidad?

ARGUMENTA

2

La cartografía ha evolucionado desde el soporte en papel hasta los dispositivos electrónicos actuales, con la ventaja de que hoy se pueden almacenar superficies mucho más extensas, que además son más fáciles de manejar.

La combinación de la cartografía y los sistemas de localización vía satélite ha dado lugar a los dispositivos llamados navegadores GPS, que nos permiten conocer nuestra posición en cada momento sobre un punto del mapa, a la vez que nos guían por una ruta previamente elegida.

Sin embargo, el concepto de la cartografía sigue siendo el mismo, se trata de representar el terreno con sus accidentes geográficos, carreteras, poblaciones, etc., sobre una superficie plana a una escala reducida.

COMPRENDE

Observa el plano antiguo de la ciudad de Barcelona y una vista actual de la ciudad.

a. Compara estas representaciones y explica en qué se diferencian.

b. ¿Cuál crees que es la importancia que tiene conocer la escala a la que se construyen?

c. ¿Qué otros datos consideras necesarios para que el plano o el mapa sean más completos?

1

PIENSA Y RAZONA

COMUNICA

REFLEXIONA

Un mapa, además de servir para situarnos y en general para conocer las vías de comunicación y los accidentes geográficos del terreno que representa, también nos es útil para calcular distancias y medir longitudes y superficies.

Observa el plano de Sevilla, que está a escala 1:8 000.

a. Determina la distancia que hay que recorrer para cruzar el puente de Isabel II entre las dos orillas del río Guadalquivir.

b. Calcula la longitud real de la circunferencia de la plaza de toros de la Real Maestranza de Caballería.

c. Halla la distancia, en línea recta, desde el centro de la Maestranza hasta el centro de la Catedral.

d. Calcula la superficie real del triángulo que forman las calles que rodean la plaza de la Maestranza: calle Adriano, calle Antonia Díaz y paseo de Cristóbal Colón.

RESUELVE

3

TRABAJO

COOPERATIVO

255



c) Tanto en un plano como en un mapa es conveniente incluir una brújula que señale la orientación geográfica de la superficie que representan. Además, según el tipo y el uso que se le vaya a dar al mapa, el nivel de detalle determina la inclusión de símbolos que informan de carreteras, ferrocarriles, calles, edificios, servicios, etc.

Relaciona 2 La cartografía se basa en traducir e interpretar la realidad, utilizando un modelo matemático.

a) Explica los conceptos matemáticos en los que se basa la cartografía y cómo se aplican para la realización de mapas y planos.

b) ¿Qué elementos hacen que un plano o un mapa sean de mayor o menor calidad?

a) Los conceptos matemáticos se basan en la razón de semejanza entre la superficie real y la representada.

A esta razón se le llama escala y es una fracción cuyo numerador expresa el tamaño reducido a 1 y el denominador el tamaño real en las mismas unidades.

Para la realización de mapas se utiliza la proyección, que se basa en la transformación de los puntos de la superficie terrestre (estos tienen unas coordenadas geográficas) en puntos de una superficie plana

b) La calidad y precisión de un mapa y un plano están estrechamente relacionadas con la semejanza y la proporcionalidad.

Si el cociente o razón entre el tamaño al que se dibuja un plano o un mapa y el tamaño real, es decir, si la escala es grande, el dibujo se parece más al real, tendrá buena calidad.

Si la escala es pequeña, el tamaño de lo dibujado es mucho menor que la realidad, por tanto el detalle es menor y consecuentemente será de peor calidad.

Reflexiona 3 Un mapa, además de servir para situarnos y en general para conocer las vías de comunicación y los accidentes geográficos

del terreno que representa, también nos es útil para calcular distancias y medir longitudes y superficies.

Observa el plano de Sevilla, que está a escala 1:8 000.

a) Determina la distancia que hay que recorrer para cruzar el puente de Isabel II entre las dos orillas del río Guadalquivir.

b) Calcula la longitud real de la circunferencia de la plaza de toros de la Real Maestranza de Caballería.

c) Halla la distancia, en línea recta, desde el centro de la Maestranza hasta el centro de la Catedral.

d) Calcula la superficie real del triángulo que forman las calles que rodean la plaza de la Maestranza: calle Adriano, calle Antonia Díaz y paseo de Cristóbal Colón.

a) Midiendo con una regla, la longitud del puente es aproximadamente 2 cm. Calculamos la medida real.

2 ⋅ 8 000 = 16 000 cm = 160 m

Hay que recorrer 160 m.

b) Suponemos que la plaza de toros es circular. La medida aproximada de su diámetro sobre el plano es de 1,9 cm. Cal-culamos la medida real.

1,9 ⋅ 8 000 = 15 200 cm = 152 m

Por tanto, la longitud real de la circunferencia es L = πd = 3,14 ⋅ 152 = 477,28 m.



c) La medida con una regla desde el centro del ruedo hasta el icono de la Catedral es de 6 cm.

La distancia real es 6 ⋅ 8 000 = 48 000 cm = 480 m.

d) Podemos ver en el plano que las tres calles forman aproximadamente un triángulo rectángulo.

Sea a la longitud correspondiente a la calle Adriano, b a la calle Antonia Díaz, y c, al Paseo de Cristóbal Colón.

Las medidas en el plano son: a = 4,4 cm; b = 3 cm; c = 3 cm.

Calculamos las medidas reales.

a = 4,4 ⋅ 8 000 = 35 200 cm = 352 m

b = c = 3 ⋅ 8 000 = 24 000 cm= 240 m

Hallamos la superficie aproximada del triángulo que forman las calles que rodean a la plaza de la Maestranza.

A =b ⋅h

2=

240 ⋅240

2= 28800 m2

Trabajo cooperativo

Calculamos las medidas de los lugares a escala 1:3 000.

❚❚ La medida del puente en el plano es 2 cm de largo y 0,6 cm de ancho.

Calculamos las medidas reales del puente: 2 ⋅ 8 000 = 16 000 cm de largo y 0,6 ⋅ 8 000 = 4 800 cm de ancho.

Llamamos p1 al largo del puente y p2 al ancho. Hallamos estas medidas a escala 1:3 000.1

3000=

p1

16000→ p1 = 5,33 cm

1

3000=

p2

4 800→ p2 = 1,6 cm

La medida del puente en la nueva escala es 5,33 cm de largo y 1,6 cm de ancho.

❚❚ El diámetro de la plaza de toros mide 152 m = 15 200 cm. Si llamamos d a la medida en la escala 1:3 000 se cumple que 1

3000=

d

15200→ d = 5,07 cm

El diámetro de la plaza de toros en la nueva escala es 5,07 cm.

❚❚ La longitud correspondiente de la calle Antonia Díaz y el Paseo de Colón tienen la misma medida, 240 m = 24 000 cm. En

la nueva escala medirán: 24 000

3000= 8 cm

La longitud correspondiente de la calle Adriano mide 352 m = 35 200 cm. En el plano su medida será 35200

3000= 11,73 cm .

Los catetos del triángulo rectángulo que forman las calles que rodean la plaza de toros miden 8 cm y la hipotenusa, 11,73 cm.

❚❚ Las dimensiones de la Catedral en el plano a escala 1:8 000 son 1,5 cm de largo y 1,2 cm. Calculamos sus dimensiones reales: 1,5 ⋅ 8 000 = 12 000 cm; 1,2 ⋅ 8 000 = 9 600 cm.

Sus dimensiones en la nueva escala 1:3 000 serán 12000

3000= 4 cm de largo y

9600

3000= 3,2 cm de ancho.

El largo de la catedral en la nueva escala mide 4 cm, y el ancho, 3,2 cm.

Comprobar que los alumnos representan los lugares indicados en la actividad con las medidas que se han calculado.

257




160

AVANZA Teoremas del cateto y de la altura

Observa el triángulo rectángulo ABC y los triángulos DAC y DBA que se forman al trazar la altura relativa a la hipotenusa a. Llamamos m y n a las proyecciones de los catetos b y c, respectivamente, sobre la hipotenusa.

a

bc

n m

h

B B CD

A

CD

A

D

A

Los triángulos ABC y DAC son semejantes porque son rectángulos y tienen en común el ángulo C; por tanto, sus

lados correspondientes son proporcionales: a

b=

b

m→ b2 = a ⋅m

Análogamente, los triángulos ABC y DBA son semejantes porque son rectángulos y tienen en común el ángulo B;

así, sus lados correspondientes son proporcionales: a

c=c

n→ c2 = a ⋅n

También los triángulos DAC y DBA son semejantes porque son rectángulos y los ángulos B y C son complementarios.

Luego, sus lados correspondientes son proporcionales: h

m=n

h→ h2 = m ⋅n

A1. Dibuja un triángulo rectángulo, sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden m = 18 cm y n = 32 cm, respectivamente. ¿Cuál es la longitud de la altura de este triángulo?

A2. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden m = 4 cm y n = 9 cm. Calcula las longitudes de los catetos y de la altura de este triángulo.

Teorema del cateto. El cuadrado de un cateto de un triángulo rectángulo coincide con el producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre ella.

Teorema de la altura. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre ella.

Si dividimos un segmento en dos partes, la proporción que relaciona el segmento con la parte mayor es la misma que la que resulta al calcular el cociente de la parte mayor por la pequeña. Este valor es conocido como número de oro o proporción áurea.

φ =1+ 5

2= 1,61803…

Los griegos hicieron uso de la proporción áurea que respondía a su deseo de encontrar una relación y un orden como símbolo de vida y armonía. Fue Euclides el primero en hacer un estudio sobre el número áureo.

La proporción áurea está presente en numerosas obras de arte. Por ejemplo, Leonardo da Vinci se sirvió de esta proporción para representar el cuerpo humano en su Hombre de Vitruvio.

G1. Fíjate en el Hombre de Vitruvio y compara:

a) Su estatura y la distancia del ombligo a la punta de los dedos de los pies.

b) La longitud de los brazos extendidos y su altura.

GEOMETRÍA EN EL ARTE La proporción áurea


En la sección Avanza de esta unidad se introduce el teore-ma del cateto y el teorema de la altura.

Es importante que los alumnos entiendan que estos teo-remas son consecuencia de los criterios de semejanza de triángulos.

Es conveniente que manejen el proceso de modelación del problema para llegar al enunciado de cada uno de los teo-remas.


A1. Dibuja un triángulo rectángulo, sabiendo que las pro-yecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden m = 18 cm y n = 32 cm, respectivamente. ¿Cuál es la longitud de la altura de este triángulo?

Comprobar que los alumnos dibujan el triángulo co-rrectamente.

h2 = m ⋅ n = 18 ⋅ 32 = 576 → h = 576 = 24 cm

La altura mide 24 cm.

A2. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden m = 4 cm y n = 9 cm. Calcula las longitudes de los catetos y de la altura de este triángulo.

Calculamos la longitud de los catetos b y c, siendo a la hipotenusa.

b2 = a ⋅ m = (4 + 9) ⋅ 4 = 13 ⋅ 4 = 52 → b = 52 = 7,21 cm

c2 = a ⋅ n = (4 + 9) ⋅ 9 = 13 ⋅ 9 = 117 → c = 117 = 10,82 cm

Calculamos la altura del triángulo.

h2 = m ⋅ n = 4 ⋅ 9 = 36 → h = 36 = 6 cm

Geometría en el arte. La proporción áureaSugerencias didácticas

En esta sección se presenta a los alumnos un texto donde se define el número de oro y añade la importancia que a lo largo de la historia ha supuesto en la armonía arquitectónica.

A continuación, mediante un contexto geométrico, descubrirán el número áureo como cociente de medidas armónicas.

Proponer a los alumnos que, con la ayuda de una regla, tomen las medidas que se indican y contesten a las preguntas plan-teadas justificando los resultados obtenidos.


G1. Fíjate en el Hombre de Vitruvio y compara:

a) Su estatura y la distancia del omblio a la punta de los dedos de los pies.

b) La longitud de los brazos extendidos y su altura.

a) En el dibujo, la estatura del Hombre de Vitruvio mide 5,8 cm y la distancia del ombligo a la punta de los dedos, mide

3,4 cm. Al dividir estas dos medidas 5,8

3,4= 1,7 , observamos que es un valor muy parecido al número de oro.

b) El Hombre de Vitruvio está dibujado inscrito en un cuadrado. La longitud de sus brazos extendidos es igual a su altura.

Avanza. Teoremas del cateto y de la altura



1. Explica qué hay que hacer para dibujar la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita de este triángulo. Después, dibújalas.

•

•

•

Para dibujar la circunferencia inscrita, trazamos las bisectrices de los ángulos. El punto de corte de estas bisectrices es el centro de la circunferencia. Comprobar que los alumnos dibujan la circunferencia inscrita correctamente.

Para dibujar la circunferencia circunscrita, dibujamos las mediatrices de los lados. El punto de corte es el centro de la circunferencia. Comprobar que los alumnos dibujan la circun-ferencia circunscrita correctamente.

2. Observa la figura.

A

D E

B

C

7 cm

2 cm 3 cm

40º

40º

a) ¿Están los triángulos ABC y CDE en posición de Tales?

b) Halla la medida del segmento BE.

a) Sí, están en posición de Tales porque tienen un ángulo en común, C , y los lados opuestos a ese vértice, AB y DE, son paralelos.

b) BE

EC=

AD

DC→

BE

3=

7

2→ BE = 10,5 cm

3. Halla el valor de x teniendo en cuenta que las rectas r, s y t son paralelas.

r

s

x

t

2 cm

1 cm 1,6 cm

Como las rectas r, s y t son paralelas, aplicamos el teorema de Tales.2

1=

x

1,6→ x = 3,2 cm

4. Dibuja un segmento de 7 cm y divídelo en 5 partes iguales explicando cómo lo haces.

Comprobar que los alumnos dibujan un segmento AB de 7 cm de longitud. Después, trazan una semirrecta con origen en A. Toman una medida cualquiera como unidad y la marcan 5 veces en la semirrecta. Unen el punto B con la última marca de la semirrecta con origen en A. Dibujan rectas paralelas a ella que pasan por las otras cuatro marcas.

El segmento AB queda dividido en 5 partes iguales.

5. Calcula la altura de un árbol si su sombra mide 18,5 m y en ese mismo momento otro árbol de 2 m proyecta una sombra de 1,8 m.

Los árboles y sus sombras están en posición de Tales.

Sea x la altura del árbol.

x

18,5=

2

1,8→ x = 20,56 cm

La altura del árbol es 20,56 cm.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

259



1. Comprueba gráficamente si es cierta o falsa la siguiente afirmación:

En un triángulo ABC, la bisectriz de cada ángulo y la mediatriz del lado opuesto se cortan en un punto de la circunferencia circunscrita.

La afirmación es cierta.

Comprobar que los alumnos dibujan un triángulo cualquiera, trazan las mediatrices de sus lados y dibujan la circunferencia circunscrita.

Después, trazan las bisectrices de sus ángulos y prueban que el punto de corte de cada bisectriz y la mediatriz del lado opuesto se encuentra en la circunferencia.

2. Determina el valor de x.

3,7 cm5,3 cm

2,6 cm x

Los triángulos están en posición de Tales.5,3

3,7=

2,6

x→ x = 1,82 cm

3. Álvaro tiene una altura de 1,75 m. A la misma hora, su sombra mide 125 cm y las de sus tres hijos, 120 cm, 110 cm y 90 cm, respectivamente. ¿Cuáles son las estaturas de sus hijos?

1,75 m = 175 cm

Sean x, y, z las estaturas de sus tres hijos.

175

125=

x

120→ x = 168 cm = 1,68 m

175

125=

y

110→ y = 154 cm = 1,54 m

175

125=

z

90→ z = 126 cm = 1,26 m

Las estaturas de sus hijos son 1,68 m, 1,54 m y 1,26 m, respectivamente.

4. Dibuja un segmento de 7 cm y divídelo en partes proporcionales a 3 y 5, explicando cómo lo haces.

Comprobar que los alumnos trazan el segmento AB de 7 cm de longitud. Después dibujan una semirrecta con origen en el punto A. Toman una medida como unidad y la marcan 8 veces en la semirrecta, obteniendo el segmento AP de 3 unidades y el segmento PQ de 5 unidades. Trazan la recta que pasa por Q y B, y dibujan una recta paralela a ella que pase por P, obteniendo el punto R.

Los segmentos AR y RB son proporcionales a 3 y 5, respectivamente.

5. Una maqueta de un barco hecha a escala 1:50 mide 36 cm de largo, 26 cm de ancho y 8 cm de alto.

a) Halla las medidas reales del barco.

b) Calcula las medidas que tendrá en una maqueta a escala 1:80.

a) Como la escala es 1:50, el barco mide 36 ⋅ 50 = 1 800 cm = 18 m de largo, 26 ⋅ 50 = 1 300 cm = 13 m de ancho y

8 ⋅ 50 = 400 cm = 4 m de alto.

b) A escala 1:80 las medidas del barco son 1800

80= 22,5 cm de largo,

1300

80= 16,25 cm de ancho y

400

80= 5 cm de

alto.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

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