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8. Vektoren
A =
3
2
1
aaa
oder A =
z
y
x
aaa
oder A =
zyx
Allgemein ist ein Vektor ein geordnetes n-Tupel, das bestimmten Rechenregeln unterliegt. Wir beschränken uns aber zunächst auf den dreidimensionalen euklidischen Raum 3. Dort ist ein Vektor A ein geordnetes Tripel, dessen Komponenten reelle Zahlen sind.
Ortsvektor oder Polarvektor
A = B a1 = b1 a2 = b2 a3 = b3
|A| = 23
22
21 aaa
8.1 Vektoraddition
A + B = C oder
3
2
1
aaa
+
3
2
1
bbb
=
33
22
11
bababa
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + 0 = A = 0 + A 0 =
000
A + B = 0 B = - A =
A + (-B) = A - B
A - B ≠ B – A
(A - B) - C ≠ A - (B - C)
3
2
1
a-a-a-
3
2
1
aaa
8.2 Skalarmultiplikation
A =
A = A
A) = ()A = A
(A ± B) = A ± B
( ± )A = A ± A
|A| = | |23
22
21 aaa
/4
A
y
x
B
C
D
L
j
3
2
5
8.2 Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D. Berechnen Sie daraus L und |L|.
8.3 Einheitsvektor
A|A| A0 = |A| |A0| = 1
koordinatenfreie Darstellung: A = |A| A0
Die Relation "X besitzt dieselbe Richtung wie Y “ist eine Äquivalenzrelation. X = Y mit > 0
X0 =
001
Y0 =
010
Z0 =
100
A = axX0 + ayY0 + azZ0 =
z
y
x
aaa
8.4 Skalarprodukt (inneres Produkt)
A B C ist nicht definiert: (A B) C ≠ A (B C)
kein neutrales Element 1 mit A 1 = A
kein Inverses A-1 mit A A-1 = 1
A / B ist nicht definiert.
Aus C = A / B würde C B = A folgen.
3
2
1
aaa
3
2
1
bbb
= a1b1 + a2b2 + a3b3
3 3
A B = B A
A (B ± C) = (A B) ± (A C)
AA|A| =
8.1 A =
21-
3, B =
011
, C =
42-2-
.
Berechnen Sie: A (B - C) (A + C) B (A B) C |A| A0
Nach dem Kosinussatz gilt
|A - B|2 = |A|2 + |B|2 - 2|A||B|cosj
(a1 - b1)2 + (a2 - b2)2 + (a3 - b3)2 = a1
2 + a22 + a3
2 + b12 + b2
2 + b32 - 2|A||B|cosj
-2a1b1 - 2a2b2 - 2a3b3 = - 2|A||B|cosj A B = |A||B|cosj
cosj = |||| BA
BA
Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ ein.
A
B
A - B
j
cosj = |||| BA
BA
Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ ein.
Es gilt also für B = X0
cos = |||| 0
0
XAXA
= ||
0
AXA =
|| Axa
ax = |A|cos
A = |A|
coscoscos
Es gilt also für B = X0
cos = |||| 0
0
XAXA
= ||
0
AXA =
|| Axa
ax = |A|cos
A = |A|
coscoscos
(a0x)2 + (a0
y)2 + (a0z)2 = 1
Winkelsatz des Pythagoras
cos2 + cos2 + cos2 = 1
cosj = |||| BA
BA
A·B = |A|·|B|·cosj
A B = 0
A B = |A||B|
A B = -|A||B|
B
AB B
A0k A0
j = kj Kroneckersches -Symbol:
kj = sonst0
für1{ jk
A1
A2
A30
0
0
Leopold Kronecker (1823 – 1891)
A B = A B1 = |A||B1|
Projektion von B auf A B1 = (B A0) A0
8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der Würfeldiagonale und der Seitendiagonale, a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen, b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen.
8.4 Berechnen Sie A, B, |A|, , .
8.3 Berechnen Sie den Winkel zwischen der Würfeldiagonale und der Seitendiagonale, a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen, b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen.
8.5 a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide. Die Spitze liegt 60 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D.b) Legen Sie den Punkt B 20 Einheiten tiefer und den Punkt D 30 Einheiten höher und berechnen Sie alles neu.
8.5 Kreuzprodukt (äußeres Produkt) 3 3 3
A B = X0(aybz - azby) + Y0(azbx - axbz) + Z0(axby - aybx)
3
2
1
aaa
3
2
1
bbb
=
1221
3113
2332
babababababa
Zyklische Vertauschung der Indizes x y z x ... bzw. 1 2 3 1 ...
A 0 = 0 = 0 ADas Kreuzprodukt ist antikommutativ:
A B = -(B A)
A (B ± C) = (A B) ± (A C)
Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ:
0 = (X0 X0) Y0 X0 (X0 Y0) = X0 Z0 = -Y0
|A B| = |A B2| = |A||B2|
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren
X0 Y0 = Z0
Rechte-Hand-Regel
A B = N0|A||B|sinj
|A B| = |A||B|sinj
|A B| = |A B2| = |A||B2|
X0 Y0 = Z0
Rechte-Hand-Regel
A B = N0|A||B|sinj
|A B| = |A||B|sinj
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren
Das Spatprodukt
(A B) C
kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt.
Volumen eines aus drei Vektoren gebildeten Spates oder Parallelepipeds. Von sechs Parallelogrammflächen begrenztes Prisma.
Fläche |A B| = |A||B|sin(A, B) und Höhe N0 C
= (B C) A = A (B C)
8.6 Parallelverschiebung
B =
z
y
x
bbb
A =
z
y
x
aaa
A' =
z
y
x
a'a'a'
ax = a'x + bx ay = a'y + by az = a'z + bz
8.6 Parallelverschiebung
B =
z
y
x
bbb
A =
z
y
x
aaa
A' =
z
y
x
a'a'a'
ax = a'x + bx a'x = ax - bx ay = a'y + by a'y = ay - by az = a'z + bz a'z = az - bz
Die in K' konzentrische Kugel x'2 + y'2 + z'2 = r2 beschreibt man in K durch (der Radius r bleibt unverändert) (x - bx)2 + (y - by)2 + (z - bz)2 = r2 = 0
8.7 Polarkoordinaten
|A| = 222zyx aaa
= arccos(az/|A|) j = arctan(ay/ax)
ax = |A| sincosjay = |A| sinsinj az = |A| cos
8.8 Vektorraum
Ein Vektorraum (V, K, s) über dem Körper K ist eine abelsche Gruppe (V, +) zusammen mit einer Skalarmultiplikation s, d.h. einer Abbildung s: KV V.
Wir schreiben für das Bild s(, A) auch A oder A.
Für diese Abbildung gilt, wenn A, B V und , K und 1 das Einselement des Körpers K ist:
( + )A = A + A(A + B) = A + B()A = ( A)1A = A = A1
Beispiele für V: Menge aller Punkte des 3 Menge aller Abbildungen f: