MAKALAH KALKULUS

APLIKASI TURUNAN

D

I

S

U

S

U

N

OLEH

NAMA: SANTO SIANTURI

NIM: 4113141072

KELAS: BIOLOGI DIK C 2011

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2011

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena

atas rahmat dan karuniaNya penulis dapat menyelesaiakan makalah ini tepat

waktu sesuai dengan waktu yang ditentukan.

Adapun yang menjadi judul makalah ini adalah APLIKASI TURUNAN,

dalam makalah ini membahas tentang fungsi turunan dan penggunaan turunan

dalam ilmu matematika, teknik, ekonomi, serta masalah sederhana yang

berhubungan langsung dengan kehidupan sehari-hari. Melalui makalah ini kita

dapat melihat betapa pentingnya aplikasi tururan dalam ilmu pengetahuan dan

ilmu keseharian.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dra. Hamidah

Nasution, M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah Kalkulus I, yang telah

memberikan bimbingan dan arahan kepada saya selama satu semester ini. Juga

kepada teman-teman (Biologi Dik C 2011) yang turut membantu dalam

pembuatan makalah ini.

Dalam makalah ini penulis juga menyadari masih banyak kekurangan

yang menyebabkan makalah ini menjadi tidak sempurna, baik dalam penulisan

maupun isinya, untuk ini dengan hati yang terbuka penulis menerima kritik dan

saran yang bersifat membangun.

Akhir kata, semoga makalah ini bermanfaat. Terima kasih.

Medan, 2011

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung)

adalah cabang ilmu matematikayang mencakup limit, turunan, integral, dan deret

takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan,

sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu

mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus

memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidangsains, ekonomi, dan teknik; serta

dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar

elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus

integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran

kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih

tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum

dinamakan analisis matematika.

Turunan merupakan salah satu bagian dari kalkulus yang mempunyai

peranan yang sangat besar baik dalam bidang–bidang lain maupun dalam

matematika itu sendiri. Dengan mempelajari turunan, maka dapat mempermudah

kita dalam menyelesaikan masalah–masalah yang berkaitan dengan fungsi,

integral dan bidang kalkulus lainnya. Turunan juga dapat digunakan untuk dapat

menggambarkan grafik suatu fungsi aljabar yaitu dengan menggunakan

penerapannya. Untuk menentukan turunan suatu fungsi biasanya digunakan

konsep limit. 

BAB 2

PEMBAHASAN

APLIKASI TURUNAN

I.1 Maksimum dan Minimum

Definisi:

Andaikan S, daerah asal dari f, mengandung titik c. Kita katakan bahwa:

f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;

f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;

f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau

minimum.

Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi

objektif.

Teorema A

Teorema keberadaan maksimum-minimum jika f pada selang tutup [a,b],

maka f mencapai nilai maksimum dan minimum disana.

Dimana terjadinya nilai ekstrim?

Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didedinisikan pada selang tertutup

seringkali terjadi pada titik-titik ujung.

Jika c sebuah titik tempat f’(c) = 0 kita sebut c titik stasioner. Pada titik

stasioner grafik f mendatar, karena garis singgung mendatar.

Jika c adalah titik didalam I tempat f aksen tidak ada, kita sebut c titik

singular yang berupa titik tempat grafik f berpojok tajam, garis singgung tegak,

atau berupa loncatan atau didekatnya grafik bergoyang sanagt buruk. Sembarang

titik dalam daerah asal fungsi f yang termasuk salah satu dari tipe ini disebut titik

kritis f.

Teorema B

Teorema titik kritis:

Andaikan f terdefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika (c) adalah nilai

ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:

Titik ujung dari I;

Titik stasioner dari f(f’(c)=0); atau

Titik singular dari f(f’(c) tidak ada)

Bukti:

f (c) berupa nilai maksimum f pada I dan andaikan c bukan titik ujung

ataupun titik singular.

Karena f(c) adalah nilai maksimum, maka f(x) ≥ f(c) untuk semua x dalam I yaitu

f(x) – f(c) ≤ 0

Jadi jika x < c, sehingga x-c < 0 maka

(1) f(x) – f(c) ≥ 0

x – c

sedangkan jika x > c, maka:

(2) f(x) – f(c) ≤ 0

x – c

Tetapi f’(c) ada, karena c bukan titik singular. Akibatnya bila kita biarkan x c¯

dalam (1) dan

x c+ dalam (2), kita memperoleh masing-masing f’(c) ≥ 0 dan f’(c) ≤ 0. kita

simpulkan

bahwa f’(c) = 0.

4.2 Kemonotonan dan kecekungan

Definisi:

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun).

Dapat katakan bahwa:

f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 < x2 f(x1) < f(x2)

f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 < x2 f(x1) > f(x2)

f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I.

Turunan pertama dan kemonotonan

Turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik f

dititik x. Kemudian jika f’(x) > 0 maka garis singgung naik kekanan. Dan jika

f’(x) < 0 maka garis singgung turun kekanan.

Teorema A

Teorema kemonotonan:

Andaikan f kontinue pada selang I dan terdefinisikan pada setiap titik-dalam dari

I.

Jika f’(x) > 0 semua x titik-dalam I, maka f naik pada I.

Jika f’(x) < 0 semua x titik-dalam I, maka f turun pada I

Turunan kedua dan kecekungan

Suatu fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang bergoyang. Jika

garis singgung berbelok secara tetap dalam arah yang berlawanan arah outaran

jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, dan jika garis singguang

berbelok searah putaran jarum jam, maka grafik cekung ke arah bawah.

Definisi kecekungan

Andaikan f terdiferensialkan pada selang terbuka I, kita mengatakan bahwa f (dan

grafiknya) cekung ke atas pada I jika f’ naik pada I, dan kita mengatakan bahwa f

cekung ke bawah pada I jika f’ turun pada I.

Teorema A

Teorema kecekungan:

Andaikan f terdeferensiasikan dua kali pada selang buka I.

Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I.

Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I.

Titik balik

Andaikan f kontinue di c, kita sebut (c.f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f

cekung keatas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.

GAMBAR

4.3 Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi

Andaikan S daerah asal dari f, mengandung titik c, dapat dikatakan bahwa:

f(c) adalah suatu nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval

(a,b) yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b)

simbol gabungan S;

f(c) adalah suatu nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval

(a,b) yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b)

simbol gabungan S;

f(c) adalah suatu nilai ekstrim lokal dari f jika kedua-duanya adalah

sebuah nilai maksimum lokal atau sebuah nilai minimum lokal.

Teorema A

Uji turunan pertama:

Andaikan f kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c.

Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x

dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal.

Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x

dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal.

Jika f(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim

lokal f.

Bukti (i)

Karena f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c), maka menurut teorema kemonotonan

f naik pada (a,c].

Karena f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f turun pada [c,b). Jadi f’(x) <

f’(c) untuk semua x dalam (a,b), kecuali tentu saja di x = c. Kita menyimpulkan

bahwa f(c) adalah maksimum lokal. Demikian juga untuk bukti (ii) dan (iii).

Teorema B

Uji Turunan kedua:

Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan

andaikan f’(c) = 0.

Jika f”(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

Jika f”(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

Bukti (i)

Dari definisi dapat dibuktikan bahwa:

f”(c) = =

Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat selang (ά,β) di sekitar c

dengan

f'(x) > 0 x ≠ c

Tetapi ketidaksamaan ini mengimplikasikan bahwa f’(x) > 0 untuk ά < x< c dan

f’(x) < 0 untuk c < x < β. Jadi menurut turunan uji pertama f’(c) adalah nilai

maksimum lokal.lebih Banyak

1. Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita

katakan bahwa :

i. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1

< x2 → f(x1) < f(x2)

ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1

> x2 → f(x1) > f(x2)

iii. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I

Teorema A

(Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat

dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I

i. Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I

ii. Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I

Turunan Pertama dan Kemonotonan

Ingat kembali bahwa turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari

garis singgung f dititik x, kemudian jika f’(x) > 0, garis singgung naik ke kanan,

serupa, jika f’(x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan. (Gambar A)

Turunan Kedua dan Kecekungan

Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang

(Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat

kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan

arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis

singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah pada I.

Teorema B

(Teorema kecekungan). Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang terbuka

(a,b).

i. Jika f’’(x) > 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke atas pada (a,b)

ii. Jika f’’(x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke bawah pada

(a,b)

Titik Balik

Andaikan f kontinu di c, kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika

f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.

grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan.

Gambar

soal :

Jika f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?

Penyelesaian:

Mencari turunan f

f’(x) = 3x2 + 12x + 9

= 3 (x2 + 4x + 3)

= 3 (x+3)(X+1)

Kita perlu menentukan (x +3) (x +1) > 0 dan (x +3) (x + 1) < 0 terdapat titik

pemisah -3 dan -1, membagi sumbu x atas tiga selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (-1,

∞). Dengan memakai titik uji -4, -2, 0 didapat f `(x) > 0 pada pertama dan akhir

selang dan f `(x) < 0 pada selang tengah.

Jadi, f naik pada (-∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun pada [-3, -1]

Grafik

f(-3) = 3

f(-1) = -1

f(0) = 3

2. Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa :

i. f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c

sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S

ii. f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c

sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S

iii. f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau

minimum lokal

Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan

nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika

turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada

pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.

GAMBAR MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL

Teorema A

(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada selang

terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

i. Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x

dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f

ii. Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x

dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f

iii. Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim

lokal f.

Teorema B

(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f’’ ada pada setiap

titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0

i. Jika f’’(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f

ii. Jika f’’(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f

soal :

Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 – 8x + 7 pada (-∞,∞)

penyelesaian:

fungsi polinom kontinu dimana-mana dan turunannya, f’(x) = 2x – 8, ada untuk

semua x. jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari

f’(x) = 0 yakni x = 4 karena f’(x) = 2(x-4) < 0 untuk x<0, f turun pada (-∞,4) dank

arena 2(x – 4)>0 untuuk x>0, f naik pada [4,∞) karena itu, f(4) = -9 adalah nilai

minimum lokal f, karena 4 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai

ekstrim lain. Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.

4. Lebih Banyak Masalah Maks-Min

Masalah yang dipelajari dalam pasal 4.1, biasanya menganggap bahwa

himpunan pada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu

fungsi berupa selang tertutup. Tetapi, selang-selang yang uncul dalam praktek

tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka.,

setengah tetutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika ita menerapkan

secara benar teori yang dikembangkan dalam pasal 4.3. Ingat dalam hati bahwa

maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum)

global.

Langkah-langkahnya:

1) Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang

sesui untuk besaran-besaran kunci

2) Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan

(diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut

3) Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu

dari variabel-variabel ini dan karenanya enyataka Q sebagai fungsi dari

satu variabel, misalnya x

4) Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang

5) Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling

sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0

6) Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberika

maksimum atau minimum

soal :

Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3 – 3x2+4 pada ( -

∞, ∞).

Penyelesaian :

f`(x) = 3x2 – 6x = x(3x – 6)

x=0 dan x= 2

f(2) = 0

f(0) = 4

fungsi memiliki nilai maksimum 4 (pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2)

5. Penerapan Ekonomik

Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita

menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika

ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga,

p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x. pendapatan

total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x p(x), banyak satuan kali harga

tiap satuan.

Untuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya

total C(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep

dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara

pendapatan dan biaya.

P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x)

Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.

Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x)

dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,…..dan sebagai

akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat

mempergunakan kalkulus, titik-titik tersebut kita hubungkan satu sama

lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C, dan P dapat dianggap

ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.

Penggunaaan Kata Marjinal

Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara

direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya

tambahan tiap satuan. Jika fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur

Utama ABC menanyakan nilai ∆C/∆X pada saat ∆x = 1. tetapi kita mengharapkan

bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai Lim

Pada saat x = 2000. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx,

turunn C terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai

dp/dx, pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.

soal :

andaikan C(x) = 6700 + 4,15x + 30x1/2 rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan

biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 4000

penyelesaian :

Biaya rata-rata : C(x)/x = (6700 + 4,15x + 30x 1/2) /x

Biaya marjinal : dC/dx = 4,15 + 30x -1/2

Pada X = 400 diperoleh

Biaya rata-rata = 22,4 x 400 = 8960

Biaya marjinal = 4,9 x 400 = 1960

Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi

400satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 400

hanya memerlukan biaya Rp. 1960.

6. Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

Definisi-definisi Cermat Limit bila x→ ± ∞

Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii

berikut.

Definisi:

(Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita

katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M

yang

x→∞

berpadanan sedemikian sehingga

X > M → │f(x) - L│ < ε

Definisi:

(Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c.

kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat

bilangan M yang

x→ -∞

berpadanan sedemikian sehingga

X < M → │f(x) – L│ < ε

Definisi:

(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap

bilangan

x→c+

positif M, berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga

0 < x – c < δ→ f(x) > M

Hubungan Terhadap Asimtot

Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah

asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical.

Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x)

jika

Lim f(x) = b atau Lim f(x) = b

x→∞ x→ -∞

Garis y = 0 adalah asimtot horizontal.

soal :

. lim 3x2 - 2x + 6 / 6x2 – 5x -9

x→ ~

lim 3x2/x2 – 2x/x2 + 6/x2 / 6x2/x3 – 5x/x2 + 9/x2 = 3/6 = 1/2

x→ ~

7. Penggambaran Grafik Canggih

Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik,

khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri

grafik. Kita dapat menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum

lokal, dan titik-titik balik. Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik

atau dimana cekung ke atas.

POLINOM. Polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk di gambar grafiknya, yang

berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalka 3

sampai 6. kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.

FUNGSI RASIONAL. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi

polinom, lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat

mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.

RINGKASAN METODE. Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat

pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat

membantu.

Langkah 1 :

Buat analisis pendahuluan sebagai berikut :

a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah

di bidang yang dikecualikan.

b. Uji kesemetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (apakah fungsi genap atau

ganjil?)

c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

d. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titk kritis dan untuk

mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.

e. Uji titik-titik kritis untuk maksimum atau minimum lokal.

f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke

atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik.

g. Cari asimtot-asimtot.

Langkah 2 :

Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik)

Langkah 3 :

Sketsakan grafik.

soal :

Sketsakan grafik f(x) = (2x5 – 30x3)/108

penyelesaian :

karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri

terhadap titik asal. Dengan menetapkan f(x) = 0 berarti {2x5 – 30x3}/108 = 0 dan

x3(2x2 – 30)/108 = 0

kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan 15 3,85 Kemudian kita

deferensialkan f’(x) = (10x4 – 90x2)/108 = {10x2 (x2-9)}/108

kita peroleh titik kritis -3, 0, 3

f(-3) = 3

f(0) = 0

f(3) = 12

kemudian kita deferensialkan kembali f”(x) = (40x3 -180x)/108 =

{x(40x2-180)}/108

kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0

f(-2.1) = 1.8

f(2.1) = -1.8

f(0) = 0

8.Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus – tidak begitu penting, tetapi sering

kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam

bahasa geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami.

Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis

singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling

sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C

sejajat talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian,

dan dalam Gambar 2 terdapat beberapa.

GAMBAR 1 dan 2

Teorema A

(Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup

[a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling

sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana

f(b) – f(a) / b – a = f’(c)

atau secara setara, dimana

f(b) – f(a) = f’(c) (b-a)

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua –x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C

sedemikian sehingga F(x) = G(x) + C

Untuk semua x dalam (a,b)

soal:

Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x2 – 3 pada

[1,3]

penyelesaian :

f’(x) = 2x

dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 = 4

jadi kita harus menyelesaikan 2C = 4 maka C = 2

jawaban tunggal adalah C = 2