837.pdf

ОГЛАВЛЕНИЕ

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 5

Введение. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 7

Г л а в а 1. Экспериментальное и расчетное исследованиенеравномерного сверхзвукового течения в каналах . .. .. . 14

1.1. Анализ существующих методов исследования силы тре-ния при сверхзвуковом течении в каналах . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 14

1.2. Выбор экспериментального метода исследования силытрения и описание экспериментальной установки. .. .. .. .. .. . 16

1.3. Экспериментальное исследование силы трения в цилин-дрическом канале при равномерном сверхзвуковом тече-нии . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 24

1.4. Сравнение результатов расчета турбулентного погранич-ного слоя в канале с результатами проведенных экспери-ментов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 33

1.5. Экспериментальное исследование силы трения в каналев случае неравномерного сверхзвукового течения . .. .. .. .. .. . 39

Г л а в а 2. Экспериментальное исследование перехода сверх-звукового течения в канале в дозвуковое. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 49

2.1. Основные закономерности перехода сверхзвукового тече-ния в канале в дозвуковое. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 49

2.2. Условия образования псевдоскачка в канале . .. .. .. .. .. .. .. .. . 522.3. Продольный градиент статического давления в канале

в области псевдоскачка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 662.4. Длина области перехода сверхзвукового течения в канале

в дозвуковое . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 732.5. Экспериментальное исследование пульсаций полного дав-

ления в области псевдоскачка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 762.6. Экспериментальное исследование силы трения в канале

при наличии псевдоскачка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 81

Г л а в а 3. Приближенные методы расчета псевдоскачка . .. .. . 883.1. Обзор существующих методов расчета псевдоскачка в ка-

нале . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 883.2. Интегральный метод расчета псевдоскачка в канале на

основе диссипативной модели . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 943.3.Метод расчета пульсационных характеристик в области

псевдоскачка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1043.4. Влияние параметров течения во входных устройствах на

характеристики течения в канале . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 110

Г л а в а 4. Математические модели процессов вязко-невязкого взаимодействия и отрыва во внутреннихтечениях . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 112

4.1. Исследование перехода от закритического к докритиче-скому режиму течения в следе за пластиной . .. .. .. .. .. .. .. .. . 113

4.2. Композитная модель псевдоскачка, использующая модельтурбулентности Коважного–Ни–Секундова . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 123

4 Оглавление

4.3. Исследование процессов вязко-невязкого взаимодействияв канале . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 125

Г л а в а 5. Численные исследования процессов торможениясверхзвуковых течений в каналах . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 136

5.1. Система уравнений и метод расчета. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1385.2. Результаты расчетов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 143

Список литературы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 157

Книга посвящаетсяпамяти выдающихся российских ученых-механиков

Николая Егоровича Жуковскогои Леонида Ивановича Седова

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время проблема торможения вязкого сверхзву-кового потока в каналах привлекает исследователей в связис важностью этой задачи для современных и перспективныхвоздушно-реактивных двигателей (ВРД) и аэродинамическихтруб.

При проектировании ВРД вопросы учета влияния вязкостипотока на характеристики и параметры двигателя являются весь-ма существенными [1-3].

Известно [1], что для прямоточных ВРД с небольшим числомМаха полета (M < 3) сила трения в камере сгорания непосред-ственно слабо влияет на тягово-экономические характеристикиэтих двигателей, потери на трение в которых составляют толькодоли процента (0,1–0,6%) от выходного импульса. Однако вяз-кость в условиях существенной неодномерности течения в кана-ле определяет полноту сгорания и границы устойчивого горенияв камере сгорания.

Для высокоскоростных прямоточных воздушно-реактивныхдвигателей, в тракте которого скорость везде сверхзвуковая,летающих при больших числах Маха (M > 6), потери на трениев камере сгорания определяют уровень тягово-экономическиххарактеристик. Эти потери могут составлять 80% от всех потерьтяги, и их влияние усиливается по мере увеличения числа Ма-ха полета. Однако на режиме разгона этого аппарата (M < 6)в тракте двигателя может иметь место торможение потока додозвуковых скоростей. В этом случае из-за наличия погранично-го слоя на стенках камеры торможение до дозвуковых скоростейможет происходить не в прямом скачке уплотнения, а в такназываемом псевдоскачке, физические процессы в котором опре-деляют выбор проточной части двигателя. При таком режиметечения в тракте двигателя потери полного давления определя-ются турбулентной диссипацией, а потери на трение становятсянезначительными.

Таким образом, для высокоскоростных прямоточных воздуш-но-реактивных двигателей весьма существенным является точ-

8 Введение

ность определения потерь на трение и знание физических про-цессов в области перехода сверхзвукового потока в дозвуковоетечение для расчета тягово-экономических характеристик длявсего диапазона чисел M полета. Эта задача является актуальнойтакже с точки зрения организации горения и охлаждения трактадвигателей [3].

Актуальность изучения течения типа псевдоскачка обуслов-лена также тем, что такое течение наблюдается в сверхзвуковыхдиффузорах аэродинамических труб, в воздухозаборниках само-летов [3], а также в газоводах некоторых типов двигателей.

Процессы торможения сверхзвуковых течений в каналах,несмотря на долголетние предшествующие исследования, всееще остаются во многих аспектах terra incognita газовой динами-ки. Причина этого видимо лежит в области практики. Пока дляконструкторов эти явления не были важны или мало проявля-лись в работе двигательных установок или других газодинамиче-ских устройств, достаточно было иметь некоторую эмпирическуюинформацию или располагать набором приближенных методов,предсказывающих интегральные характеристики процессов.

Ситуация определенно изменилась за последние 10 –15 лет,когда на повестку дня встала разработка новых поколений авиа-ционных и ракетных воздушно-реактивных двигателей, рассчи-танных на работу при больших сверхзвуковых скоростях. Теперьпотребовалось иметь более детальную информацию, не толькоинтегральную, но и локальную, о газодинамических процессах,сопровождающих торможение высокоскоростных потоков в кана-лах.

Эта информация была необходима также и потому, что потре-бовалось управлять процессами торможения. Одной из ключевыхпроблем стало создание модели — физической и/или математи-ческой, на основе которой можно было бы предлагать методыуправления, определять границы устойчивой работы газодинами-ческих устройств, да и вообще конструировать такие устройства.

Как писал Л.И. Седов — «исследовать явление — значит со-здать его модель. . .». Можно было бы надеяться на современныйуровень развития вычислительной гидродинамики и считать, чторешение уравнений Навье–Стокса и будет служить такой моде-лью. Но и здесь остается достаточно вопросов, связанных с моде-лированием турбулентности, с нахождением критериев подобия,да и вообще с обоснованием (на физическом и математическомуровнях) постановок задач.

Представляется поэтому, что продвижение в пониманиисложного явления может быть обеспечено за счет сочетания

Введение 9

экспериментальных, вычислительных и теоретических методовисследования процессов торможения сверхзвуковых теченийв каналах.

Именно эти методы и представлены в настоящей книге. Боль-шая часть результатов получена при непосредственном участииавторов, вместе с тем включены данные и других авторов,позволяющие дать наиболее подробную картину современногосостояния исследований.

При исследовании дозвуковых течений ситуация оказывает-ся более простой. Входящий в канал поток содержит располо-женные на стенках пограничные слои, толщина которых растетв продольном направлении и при достаточной длине канала онисливаются, формируя течение Пуазейля (ламинарное или турбу-лентное). При этом торможение течения у стенок требует разгонатечения в невязком ядре (для выполнения условия сохранениярасхода). При этом разгоне поперечный размер невязкого ядрауменьшается, что в сумме с увеличивающимися толщинами по-граничных слоев обеспечивает выполнение сохранения толщиныканала (если это канал с параллельными стенками. В любомслучае течение такого типа по определению Крокко являетсядокритическим или способным передавать возмущения вверх попотоку.

Совсем иная ситуация возникает при входе в канал сверхзву-кового потока. Здесь также на стенках образуются пограничныеслои. Но прежнего баланса между развитием пограничных слоеви невязкого сверхзвукового ядра уже нет. Режим реализующего-ся течения, по определению Крокко, уже может быть закритиче-ским (сверхзвуковым в среднем), и может иметь место переходв дозвуковое течение под влиянием каких либо причин на выходе(дросселирования, энерговыделения, выдува массы и т. д.). Пере-ход, как показывают эксперименты, происходит через сложнуюструктуру скачков и областей отрывного пристеночного течения,называемую в целом псевдоскачком. Интересно, что, когда по-граничный слой на стенках канала отсасывался, формирующийсяв канале скачок был близок к прямому. То есть образованиепсевдоскачка целиком связано с проявлением сил вязкости приодновременном проявлении газодинамических эффектов невяз-ких течений.

С пограничными слоями связано явление отрыва. В условияхвнешнего обтекания известны соотношения, определяющие усло-вия образования отрыва, и параметры зон отрывных течений.При малых интенсивностях возникающих в канале скачков воз-можно безотрывное обтекание (для ламинарных и турбулентных

10 Введение

режимов течения это разные интенсивности или разные допусти-мые числа Маха).

При увеличении числа Маха возникает ситуация, при кото-рой возникающий отрыв (если его параметры такие же, как и дляотрыва во внешнем течении) должен был бы обязательно запи-рать течение в канале и формировать выбитую ударную волну.Вместе с тем эксперименты показывают, что этого не происходит,по крайней мере в определенном диапазоне изменения парамет-ров. Ясно, что при значительном повышении давления на выходеиз канала режим с выбитой волной обязательно реализуется.Но возникает вопрос о том, что происходит в промежуточномдиапазоне изменения параметров.

Фотографии структуры течения показывают, что, во-первых,трансформируется система скачков — они приобретаютλ-образную или x-образную структуру. При этом возникающиеградиенты могут быть такими, при которых отрыв пограничногослоя еще не возникает. Понятно, что могут быть и другиережимы, при которых, все-таки, образуется отрыв. При этом,если бы он был таким, какой возникает во внешних течениях,это снова приводило бы к запиранию потока. Следовательно,в канале возникают (могут возникать) другие режимы отрывныхтечений. Главное их отличие состоит в меньших поперечныхразмерах (меньших углах отхода слоя смешения). Какимобразом может реализоваться такая ситуация? Ответ, видимо,единствен — только в условиях возникновения нестационарноготечения в пограничных слоях. Нестационарное течение возника-ет и в невязком ядре, но там влияние организованных пульсацийотносительно мало, в отличие от течения в пограничных слоях.

Как модель можно было бы предположить возникновениерэлеевского режима течения в пограничном слое. Для этого нуж-но было бы обеспечить колебательное движение стенок каналав продольном направлении и обеспечить определенные значенияамплитуды и частоты колебаний. В силу отсутствия нелинейныхконвективных членов в уравнениях пограничного слоя никакогоотрыва с изменением поперечных масштабов пограничного слояне возникнет, хотя и будут наблюдаться в течение определен-ных временных интервалов возвратные течения. Воздействие натакой пограничный слой ударных волн не приведет к возникно-вению отрыва (если выполнены соотношения между интенсивно-стью волны и параметрами колебаний).

Другой возможный вариант связан с возникновением пуль-саций давления (при отсутствии колебаний стенки), наклады-ваемых на некоторое среднее движение. Причиной появления

Введение 11

таких пульсаций могут быть нестационарные процессы в областиприсоединения пограничного слоя, которые будут существенноменять структуру области возвратных (или колебательных) дви-жений. Косвенно в пользу такого предположения свидетельству-ют как результаты экспериментов, так и найденные вычислите-лями граничные условия, которые соответствуют не условиямприлипания на стенке, а условиям развития струйных течений,при которых на стенке ставятся условия равенства нулю нор-мальных производных. Конечно, эти условия следует считатьприближенными, и они будет подробно обсуждаться в последу-ющих разделах книги.

Следует отметить, что исследование течения типа псевдо-скачка может быть использовано и для изучения актуальнойпроблемы современной газовой динамики — проблемы взаимо-действия вязких диссипативных слоев с внешним сверхзвуковымпотоком.

Большие положительные градиенты статического давлениявдоль тракта двигателя, неравномерное распределение парамет-ров потока в поперечных сечениях приводят к тому, что в насто-ящее время для расчета параметров течения в двигателе в боль-шинстве случае используются эмпирические методы, основанныена экспериментальных данных, полученных на моделях в аэро-динамических трубах и в натурных испытаниях. Следует иметьв виду, что эксперимент в ряде случаев ограничен в возможно-сти моделирования натурных условий полета. Если в некоторыхслучаях количественную оценку можно получить при помощиэмпирических данных о потерях в процессе торможения, то дляуправления процессом торможения необходимо иметь бо́льшуюинформацию (например, об изменении профилей параметров),чем дают одномерные методы расчета.

Вопросу торможения вязкого сверхзвукового потока в ка-налах посвящено достаточно много работ экспериментальногои теоретического плана. Обобщение этих результатов позволилополучить некоторые эмпирические зависимости для расчета ха-рактеристик силовых установок летательных аппаратов [1, 2].

Теоретические работы в основном посвящены вопросу рас-чета течения невязкого сверхзвукового потока в каналах [4, 5]и вязкого — в рамках теории пограничного слоя [6]. Однакорасчет потерь в рамках теории пограничного слоя возможенпри наличии безударного входа в канал и при незначительномпродольном градиенте статического давления. В случае неравно-мерного потока на входе, поток осредняют и дальнейший расчет

12 Введение

ведут, учитывая некоторое среднее число Маха, подставляя егов уравнения пограничного слоя [7, 8].

Следует отметить, что использование в расчетных методахсреднего числа M, эквивалентного числу M равномерного потокав уравнениях пограничного слоя, требует детальной эксперимен-тальной проверки.

Такое состояние теории и эксперимента сложных процессоввязкого взаимодействия в каналах ВРД приводит к необходи-мости на первом этапе применения простых (модельных) под-ходов к вопросу изучения физических особенностей при тор-можении вязкого сверхзвукового потока. Построение моделейдолжно быть основано на моделировании характерных физиче-ских процессов в каналах при наличии вязкого взаимодействия,учитывать их основные свойства и служить основой для решенияконкретных задач.

Однако в общем случае удовлетворить всем этим требова-ниям очень сложно, поскольку картина течения в канале дви-гателя в каждом конкретном его исполнении будет иметь отли-чительные особенности. Поэтому, с одной стороны, обращениек моделям должно предполагать некоторое сужение их областиприменимости, а с другой стороны приходится использовать бо-лее простые способы моделирования течения, но отражающиеобщий характер физических процессов вязкого взаимодействияв каналах.

Перечисленные соображения определили круг рассмотренныхвопросов, их связь и последовательность представления резуль-татов.

Целью настоящей работы является исследование процессовторможения сверхзвукового течения в цилиндрических и слабо-расширяющихся каналах при наличии вязкого взаимодействияи создание расчетного метода исследования таких течений.

Сущность предлагаемого в работе подхода состоит в исполь-зовании и развитии экспериментальных, расчетных, полуэмпи-рических методов исследования турбулентных течений для изу-чения характеристик и профилей параметров в схематическихканалах ВРД при течении вязкого сверхзвукового потока.

Работа состоит из введения и пяти глав.Первая глава посвящена экспериментальному и расчетному

исследованию профилей параметров и сил трения о стенку кана-ла при течении в нем как равномерного, так и неравномерного(со скачками уплотнения) сверхзвукового потока. Дается описа-ние новой экспериментальной установки (защищенной авторскимсвидетельством), на которой исследовались такие течения. На

Введение 13

основании экспериментальных результатов, полученных весовымспособом, предложена простая зависимость для расчета потерьна трение в канале при течении в нем неравномерного сверхзву-кового потока.

В главе 2 рассмотрено течение типа псевдоскачка. Опреде-лены условия образования такого течения в каналах и показанаего связь с обычным отрывом турбулентного пограничного слояна свободной поверхности. Экспериментально получены профилипараметров (скорости, пульсации давления, профили полногодавления) и величины сил трения.

В главе 3 приводится двухпараметрическая бесскачковаямодель псевдоскачка. Проведено сравнение результатов расче-та и измерений профилей параметров в области псевдоскачкав плоских и осесимметричных каналах. Приведен пример расчетапсевдоскачка применительно к каналам слива пограничного слоя

В четвертой главе представлены результаты исследованияпроцессов торможения в каналах на основе математических мо-делей, построенных с использованием асимптотических методов.

Наконец, пятая глава содержит результаты численных ис-следований внутренних течений на основе полных уравненийНавье–Стокса с использованием моделей турбулентности.

Авторы выражают благодарность своим коллегам Волощен-ко О.В., Дубинскому С.В., Коваленко А.А., Пензину В.И. заучастие в проведенных исследованиях.

Авторы выражают признательность Российскому фонду фун-даментальных исследований (грант 06-01-14075-д) за поддержкупубликации этой книги.

Г л а в а 1

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ И РАСЧЕТНОЕ

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОМЕРНОГО

СВЕРХЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ

1.1. Анализ существующих методов исследованиясилы трения при сверхзвуковом течении в каналах

Экспериментальные методы определения силы трения о стен-ки при наличии потока газа можно разделить на две группы.К первой группе относятся прямые методы измерения силы тре-ния, а ко второй—косвенные.

Наибольшее применение и соответствующую разработку ука-занных методов в настоящее время можно найти в решении задачвнешней аэродинамики. В ряде случаев названные методы можнотакже применить и при решении задач внутренней аэродинами-ки. При этом выбор метода зависит от особенностей теченияв канале.

К основным факторам, определяющим выбор метода исследо-вания можно отнести следующие характеристики течения:

• величина и знак продольного градиента давления;• равномерное или неравномерное течение в канале;• ламинарный или турбулентный режим течения;• особенности тепло- и массообмена в каналах;• дозвуковой, сверхзвуковой или смешанный характер тече-ния.

В случае дозвукового течения в канале пригодны практическивсе существующие методы измерения силы трения потока о стен-ку канала, а выбор того или иного метода будет обусловливатьсятребуемой точностью измерения искомой величины.

Существенные ограничения на применимость названных ме-тодов накладывает сверхзвуковая скорость течения в канале.В случае равномерного на входе течения в канале и незначи-тельного продольного градиента статического давления успешноприменяются, например, следующие методы:

• поверхностные трубки, например трубка Престона, с по-мощью которой определяется скоростной напор и с ис-

1.1. Анализ методов исследования силы трения 15

пользованием местных параметров течения вычисляютсяпо известной формуле напряжения трения на поверхно-сти [9–12];

• метод выступов, основанный на использовании разностистатического давления перед ступенькой малой высоты (по-рядка 0,02 мм) [9];

• пленочные датчики для измерения теплопередачи с по-верхности, по которой определяется напряжение трения,при этом необходимо знать характер связи теплопередачии трения [13];

• диффузионный метод, основанный на существовании ана-логии процессов теплопередачи и диффузии [9]. В этомслучае напряжение трения может быть выражено не черезобычное, а особое число Нуссельта, характеризующее про-цесс диффузии в данном конкретном случае;

• метод, основанный на применении уравнения количествадвижения (измерения профиля скорости у стенки канала).Этот метод пригоден как для гладких, так и для шерохова-тых поверхностей;

• плавающие элементы для определения силы трения весо-вым способом, для чего необходимо выделить элемент по-верхности диаметром 10–20 мм с малым зазором, не более0,1 мм [14–16].

В том случае, когда в сверхзвуковом потоке существуютскачки уплотнения, отрывы пограничного слоя и существенныеградиенты статического давления, применение изложенных вы-ше методов становится затруднительным и требует кропотливойэкспериментальной проверки, чтобы снять сомнения в правиль-ности полученных в эксперименте результатов. К примеру, в ра-боте [17] при исследовании силы трения в области переходасверхзвукового потока в дозвуковой при наличии существенногоположительного продольного градиента статического давлениябыл использован плавающий элемент. В результате измеренийоказалось, что напряжение трения в зоне отрыва пограничногослоя намного (в 3 раза) больше, чем в области чисто сверхзву-кового течения, что вызывает сомнения в точности измереннойвеличины.

В случае неравномерного сверхзвукового потока в каналеи наличия существенного вязкого взаимодействия возможно при-менение некоторых из перечисленных методов определения на-пряжения трения, но при условии заранее известной картинытечения в канале. Однако, как правило, эта картина заранее неизвестна и, кроме того, она в большинстве случаев нестационар-

16 Гл. 1. Экспериментальное исследование неравномерного течения

на, что резко ограничивает применение большинства известныхметодов. Следует также отметить, что в случае так называемогоструктурного подхода к исследованию картины течения сверх-звукового потока в канале метод локального исследования напря-жения трения вполне пригоден, но это влечет за собой большиематериальные затраты. Действительно, если мы и будем заранеезнать структуру течения (например, по снимку, полученномутеневым прибором), потребуется большое количество датчиковили много модификаций исследуемых моделей, которые будутобеспечивать измерения в более или менее благоприятных дляработы датчиков областях, однако эта картина течения будеткаждый раз изменяться с изменением условий на входе иливыходе канала, что ведет за собой некоторые технические труд-ности в обеспечении измерений на каждом конкретном режиме.

Таким образом, исходя из краткого анализа существующихметодов измерения пристенного трения можно сделать вывод,что самым предпочтительным методом является метод непосред-ственного измерения силы трения, если предусмотреть при этомнеобходимые условия работы плавающего элемента в неравно-мерном потоке. Решение этого вопроса дается в следующемпараграфе.

1.2. Выбор экспериментального метода исследованиясилы трения и описание экспериментальной установки

В анализе существующих экспериментальных методов опре-деления силы трения при течении сжимаемого вязкого газав каналах показано, что наиболее приемлемым методом яв-ляется непосредственное измерение силы трения (прямой ме-тод). Учитывая существенную неравномерность течения в об-ласти сильного вязкого взаимодействия, одним из авторов бы-ла предложена некоторая модификация уже известного подхо-да—непосредственного измерения силы трения в локальных ме-стах канала путем выделения части исследуемого канала. Притаком подходе оказалось возможным создать принципиально от-личающуюся от известных установку, позволяющую исследоватьтечения с существенной неравномерностью. Дело в том, чтопри больших продольных градиентах статического давления настенке канала и несимметричности течения возможны неблаго-приятные воздействия на локальный плавающий элемент, осо-бенно его перекос, что зачастую приводит к ошибке измеряемойсилы трения при изменении режима течения в канале. Чтобыизбежать этого, было предложено сделать плавающий элемент

1.2. Выбор метода исследования силы трения 17

Рис. 1.1. Установка для измерения силы трения сверхзвукового потока о стенкиканала

таким, чтобы на его работу не могла влиять несимметричностьпроцесса взаимодействия ядра и диссипативного пристеночногослоя при наличии существенного продольного градиента статиче-ского давления [18]. В нашем случае плавающий элемент пред-ставляет собой цилиндр заранее выбранной длины (длина обу-словлена назначением и целью эксперимента) и является частьюисследуемого канала. Чтобы избежать влияния на результатызамеров силы трения давления на торцы плавающего элемента,обе торцевые части такого цилиндра заострены, а соединение егос основным каналом выполнено при помощи телескопических со-единений. Таким образом, плавающий элемент—это цилиндри-ческий отсек, который воспринимает некоторую интегральнуюсилу трения. При стремлении длины цилиндра к некоторой ма-лой величине эта сила будет стремиться к величине, измереннойлокальным плавающим элементом. Длина такого цилиндра могла

меняться в пределахh

D= 0,1–25. Конструктивно плавающий ци-

линдр устанавливался таким образом, что один (нижний) торецжестко крепился на весовом элементе, а другой (верхний) торец


Рис. 1.2. Схема измерений параметров на установке

был свободным и создавал между собой и остальным каналомверхнее телескопическое соединение.

На рис. 1.1 представлена конструкция тензометрических ве-сов и плавающего элемента и его соединение с основным кана-лом. Поскольку исследуемый канал располагался на установкевертикально, а плавающий элемент был жестко закреплен ниж-ним торцом на весовом элементе, то под действием силы трения,возникающей при течении в канале газа, воспринималась толь-ко ее вертикальная составляющая. Методические исследованияпоказали, что поперечные силы в проведенных исследованияхотсутствуют.

Схема экспериментальной установки для измерения силытрения в канале приведена на рис. 1.2. Установка состоит из сле-дующих элементов (рис. 1.1): исследуемого канала 1; сменныхсверхзвуковых (дозвуковых) сопл 2; отсека вдува 3; дросселяканала ; тензорезисторных весов 4, а также систем: антиобле-денения, подачи воздуха высокого и низкого давления, выхлопаи шумоглушения, измерений рабочих параметров.

В качестве экспериментального канала использовалась соби-раемая из стальных или дюралевых отсеков цилиндрическая тру-ба с внутренним диаметром D = 81,5 мм. Установка позволялаизменять длину канала от 3D до 25D. Внутренняя поверхность


стальных труб обрабатывалась только резцом, а дюралевых до-полнительно шлифовалась. Относительная шероховатость этих

труб соответственно была равна:h

D= 1, 25 · 10−4 и h

D= 2 · 10−5,

где h—высота шероховатости.Экспериментальный канал был снабжен приемными отвер-

стиями для измерения статического давления, которые распола-гались вдоль образующей цилиндра с шагом 50 мм. Для бо-лее подробного изучения распределения статического давленияотдельные участки канала были дренированы с шагом 10 мм.В некоторых отсеках имелись отверстия для установки гребе-нок и насадок полного давления. Для получения сверхзвуковогопотока на входе в канал использовались профилированные и ко-нические сопла, параметры которых приведены в табл. 1:

Т а б л иц а 1.1

Тип сопла dсг, мм Mг Mp γ∗, град

профилированное 48 2,6 2,6 0

профилированное 36 3,2 3,2 0

профилированное 27,4 3,8 3,8 0

профилированное 27,4 3,0 3,0 0

коническое 27 3,82 3,58 13

коническое 27 3,82 3,31 19

коническое 27 3,82 2,97 26

коническое 27 4,17 3,8 14

где γ∗ — угол наклона образующей сопла. Число Mг определенопо геометрии сопла

q(Mг) =(

dcr

D

)2, (1.1)

где q(Mг)—приведенный расход. Число Mp получено в резуль-тате осреднения параметров потока по поперечному сечениюканала при сохранении массы и импульса

z(Mp) = z(Mг) · cos2 γ∗

2, (1.2)

где z(Mp)—газодинамическая функция импульса.Отсек вдува 3 (рис. 1.1) представляет собой цилиндр с по-

лостью (коллектором), которая через перфорированную стенку


канала сообщалась с внутренней полостью исследуемого канала.Количество отверстий в перфорации могло быть различным.

Весовой элемент 4 представляет собой четырехмостный ци-линдрический элемент, изготовленный из стали марки 4ОХГСА.На каждом мосте были наклеены тензорезисторы, которые былисоединены в электрической цепи так, что показания каждо-го тензорезистора регистрировались раздельно. Показания двухверхних тензорезисторов регистрировались на шлейфовом ос-циллографе К20-22, а показания двух нижних—на регистраторе2АР-2.

Таким образом происходило дублирование регистрации по-казаний, что увеличивало надежность измерений. Кроме того,во время эксперимента измерялось распределение статическогодавления вдоль канала, которое регистрировалось групповымрегистрирующим манометром ГРМ с классом точности 0.5, дав-ление в форкамере сопла p0ф и температура воздуха T0ф.

Следует отметить, что в некоторых случаях, когда давлениевнутри канала было достаточным для создания сверхкритиче-ского перепада давлений в нижнем телескопическом соедине-нии, происходило образование льда в зазорах уплотнения. Приэтом либо возникало существенное трение в телескопическомсоединении, либо лед блокировал последнее. Этот эффект уда-лось устранить при помощи подачи маленьких струек метиловогоспирта на нижний торец плавающего ножа весового элементаво время эксперимента. Наличие льда в нижнем телескопиче-ском соединении контролировалось визуально и по показаниямрегистратора (при отсутствии льда в нижнем телескопическомсоединении после окончания эксперимента весы возвращалисьв «нулевое» положение). Поскольку верхний торец канала нахо-дился в свободном состоянии и соединялся с системой выхлопаустановки при помощи верхнего телескопического соединения,во время эксперимента контролировался момент касания иссле-дуемого канала с выхлопным диффузором при помощи электро-контакта с записью на шлейфовый осциллограф одновременнос записью величины силы трения.

Питание установки воздухом происходило от баллонной си-стемы (p0б = 200 атм) с последующим понижением до необходи-мого давления в ресивере сопла.

Подготовка установки к проведению эксперимента заключа-лась в установке необходимого сопла, исследуемого канала, цен-тровке канала и калибровке весов. Калибровка весов производи-лась путем нагружения весового элемента калиброванными гру-зами и регистрацией показаний на осциллографе и регистраторе.


Рис. 1.3

Для иллюстрации на рис. 1.3 представлен результат одной изкалибровок весового элемента. Как видно из графика, совпадениепоказаний при прямом и обратном нагружении удовлетворитель-ное. В случае несовпадения этих показаний производилось регу-лирование нижнего телескопического соединения путем центров-ки всего весового элемента на фланце сопла. После калибровкиустановленного весового элемента производилось присоединениеисследуемого канала и регулировка верхнего телескопическогосоединения. Необходимый зазор в верхнем телескопическом со-единении достигался путем центровки выхлопного диффузорапри помощи установочных винтов (см. рис. 1.1). После такойцентровки канала проверялось его свободное перемещение от-носительно вертикальной оси. Установив начальное значениена регистраторе («ноль» весов), производили кратковременноенагружение канала и на регистраторе проверялось возвраще-ние начальных показаний. Быстрое возвращение регистраторав начальное положение свидетельствовало о том, что установкаподготовлена к работе.

Приведем теперь анализ погрешностей, связанных с кон-структивной особенностью установки—наличием телескопиче-ских соединений. Имеются три основных источника погрешно-стей:

• трение в верхнем и нижнем телескопическом соединенияхво время работы установки;


f,кг

0,02 с

( )а

( )б Трение есть

Трения нет

0

Рис. 1.4

• паразитные силы, действующие на торцы взвешиваемогоканала, возникающие из-за наличия протока воздуха черезщели;

• наличие уступов в телескопических соединениях, в некото-рой степени изменяющих картину течения в канале из-заналичия зон отрыва потока перед или за ними.

На рис. 1.4 представлен фрагмент записи на ленте осцил-лографа момента касания, а в верхнем телескопическом соеди-нении и силы трения (б). Видно, что из-за большой частоты(f ∼ 400 Гц) касания телескопического соединения с исследуе-мым каналом, влияния касания на измеряемую силу трения ненаблюдается.

В конструкции модели предусмотрено максимальное умень-шение паразитных сил с помощью уменьшения щелей в телеско-пических соединениях. Кроме того, торцы испытываемых отсековзатачивались с углом наклона образующей ω = 70◦ (см. рис. 1.1).В этом случае втекающий в зазор или вытекающий из зазоравоздух, имеющий отличное от атмосферного давление, действуетна минимальную площадь поперечного сечения и, следовательно,создает некоторую паразитную силу.

С целью оценки паразитных сил были проведены специаль-ные методические исследования. В первом случае производилосьвакуумирование полости исследуемого канала при отсутствииподачи воздуха через сопло с помощью эжектора. В этом слу-чае течение в зазорах было критическим, при этом паразитнаясила не превышала предела точности регистратора. Во второмслучае с помощью специального приспособления (грибообразнойзаглушки, рис. 1.5) изолировались отдельно верхнее или нижнеетелескопические соединения и производилось повышение давле-ния (до критического перепада давления в зазорах) в соответ-ствующем телескопическом соединении. На рис. 1.5. представ-лены результаты экспериментальной проверки работы верхнего


f, кг

1,2

1,0

0,2

0,8

0,6

0,4

0 1 2 3 4 5 6 8p, бар

- Верхнее соединение- Нижнее соединение

7

а) б)

Рис. 1.5. Тарировка телескопических соединений

и нижнего телескопических соединений при неблагоприятныхусловиях работы. Видно, что эффект разности давлений на верх-нем и нижнем торцах практически отсутствует вследствие мало-сти площадей верхнего и нижнего торцов плавающего элемента.

Для оценки влияния на силу трения отрывных зон околоступенек телескопических соединений была сделана оценка про-тяженности зон отрыва потока в этом месте. Предполагается, чтов этих зонах трение отсутствует, принималось, что погрешностьв измеряемом соплом трении равна отношению суммарной длинызоны отрыва к полной длине испытуемого отсека канала.

Высоты передней и задней ступенек были соответственноравны 0,5 и 1,0 мм. При определении длины отрывной зонысчиталось, что вдув или отсос газа через зазор отсутствует. Повопросу об отрыве потоков у уступов имеется многочисленнаялитература, при данной оценке использовались результаты ра-бот [19, 20]. Оценка показала, что максимальная протяженностьзон отрыва потока не превышает 0,1D. Таким образом, приизменении длины канала от 3 до 25 калибров занижение силытрения не превышает соответственно 3,3–0,4%. В действительно-сти погрешность, по-видимому, еще меньше, поскольку верхняяотрывная зона, по-видимому, вообще отсутствует из-за наличиявытекания газа через зазор. Относительная погрешность приизмерении силы трения δ изменялась в пределах 0,002–0,015.Оценка производилась при числе Рейнольдса ReD = 7 · 106.Класс точности весового прибора был 0,3. Минимальное значе-


ние δ соответствует длине исследуемого каналаl

D= 23 и числу

Mp = 2,6 , а максимальное значение δ было при значенииl

D= 4

и числе Mp = 3,8.

1.3. Экспериментальное исследование силы тренияв цилиндрическом канале при равномерном

сверхзвуковом течении

Основной целью изложенного выше эксперимента была про-верка работоспособности установки для измерения силы тре-ния. Дело в том, что в настоящее время существуют отдельныеэксперименты по определению коэффициентов трения, а так-же существуют некоторые методы расчета коэффициентов Cfв рамках уравнений пограничного слоя, что дает возможностьсравнить получаемые на установке результаты с имеющимисяв литературе [21].

Равномерный поток на входе в канал формировался с по-мощью профилированных сопл с числами Mp=Mг = 2,6; 3,0;3,2; 3,8. Воздух, поступающий в сопло, не подогревался. Экс-перименты проводились при адиабатической стенке, темпера-

турный фактор gw = Tw

T0=0,92, где Tw — температура стенки.

Рис. 1.6

Поскольку входв канал был почтибезударным, проис-ходило постепенноенарастание погра-ничного слоя настенках канала и наопределенной длинеслой заполнял всепоперечное сечениеканала. При этомпроисходило посте-пенное торможение

сверхзвукового течения в канале. На рис.1.6 представленораспределение статического давления по длине канала.

Режим течения в канале характеризуется числом Рейнольдса,рассчитанным по диаметру канала и среднемассовой скороститечения,

ReD =uсрD

ν= GD

μwgF, (1.3)

1.3. Исследование силы трения в цилиндрическом канале 25

Рис. 1.7

где G—расход воздуха через канал, D—внутренний диа-метр канала, F —площадь поперечного сечения канала,μw —коэффициент вязкости газа, определенный по темпера-туре стенки канала. На основании многочисленных данных,полученных исследователями в изучении вопросов теплооб-мена при течении в трубах [22], можно считать, что приReD � 2000 течение в трубе является ламинарным, а приReD > 104 —турбулентным. В нашем случае экспериментальныеисследования проводились как в переходной области, таки при турбулентном режиме течения в канале. Турбулентныйпограничный слой устанавливался практически уже на срезесопла. На рис. 1.7 представлены профили скорости, измеренныена срезе сопла и в канале на различных расстояниях отсреза сопла. Видно, что относительный профиль скоростиболее пологий в центральной части трубы и резко изменяетсявблизи стенки, при этом показатель степени профиля находится

в пределах17–19.

Непосредственно измеряемая сила трения пропорциональнадавлению в форкамере сопла. Для иллюстрации этого на рис. 1.8приведены результаты измерений силы трения канала длинойL

D= 24 при числе Mг = 2,6 при изменении давления в форкамере

сопла от 3 · 105 до 22 · 105 Па. Следует отметить, что в процессеработы установки приходилось несколько раз заменять выходя-щие из строя тензодатчики новыми, что не влияло на работувесового элемента. На рис. 1.8 различными значками отмечены


Рис. 1.8

значения силы трения, измеренные в разное время. Видна хоро-шая повторяемость результатов измерений силы трения, которыеприведены в настоящей работе в виде, удобном для практическо-го использования. Дело в том, что при обычном представлениирезультатов в виде распределения по длине канала коэффици-ента Cf для оценки потери импульса потока в канале нужнознать местные параметры потока, что не всегда удобно. Поэтомуитоговые результаты в настоящей работе представлены в видекоэффициента потери входного импульса

ξ =FтрJ0, (1.4)

где Fтр —непосредственно измеряемая сила трения в канале,J0 = Gu + pF —полный импульс потока на входе в канал.

На рис. 1.9–1.15 приведены измеренные на тензометрическихвесах значения коэффициента потери импульса ξ в зависимостиот числа ReD в диапазоне чисел Mг = 2,6–3,8 и длин канала4D–24D при Ks = 1,25 · 10−4 и 2 · 10−5. При числе ReD < 106

величина ξ заметно изменяется, по-видимому из-за возникнове-ния переходного режима течения в пограничном слое в началеканала.


Рис. 1.9

5

Рис. 1.10

Рис. 1.11

Из экспериментальных результатов, представленных нарис. 1.15, видно, что в области чисел ReD < 106 значениякоэффициента потери импульса ξ существенным образомзависят от числа ReD, однако уже в области чисел ReD > 106

величина ξ стремится к постоянному значению. Представленныеэкспериментальные данные на рис. 1.9–1.15 показывают, чтов случае шероховатых труб величина ξ с увеличением ReD


Рис. 1.12

Рис. 1.13

Рис. 1.14

остается постоянной, а в случае гладких—незначительноуменьшается.

Характер зависимости ξ = ξ(ReD) говорит о частичном (длягладких труб) и полном (для шероховатых) проявлении шерохо-


Рис. 1.15

Рис. 1.16

ватости, подробно изученном для течений несжимаемой жидко-сти в трубах [23].

В связи с такой зависимостью ξ = ξ(ReD) в рассмотренномдиапазоне чисел ReD имеется практически единая зависимость

ξ = ξ(

L

D

)для каждого из раcсмотренных сопл (см. рис. 1.16).

Характерной особенностью этого графика (рис. 1.16) явля-

ется то, что при ReD > 106 и длинах канала 2<L

D<25 зави-

симость ξ = ξ(

L

D

)близка к линейной как для гладких, так

и для шероховатых труб. Линейность указанной зависимостиозначает, что напряжение трения τw при течении сверхзвукового

потока в канале, начиная с некоторого значенияL

D, постоянно

вдоль него. Увеличение местного коэффициента трения Cf , свя-занное с уменьшением числа M вдоль трубы, компенсируется


Рис. 1.17

уменьшением скоростного напора. Этот результат позволяет прирасчете потерь на трение использовать средний коэффициент Cf ,аналогично случаю течения несжимаемой жидкости:

Cf = 2τw

ρu2=2Fтрρu2

S, (1.5)

гдеρu2

2— скоростной напор, определенный по среднемассовой

скорости, S—площадь внутренней поверхности канала.Подставляя в выражение (1.5) значение силы трения Fтр

и используя газодинамические функции, получим:

Cf = γ + 14γ

z(λн)λн

ξ

D. (1.6)

Рассмотрим влияние шероховатости и сжимаемости газа на зна-чения Cf . На рис. 1.17 приведены значения отношения Cfдля шероховатой и гладкой поверхности канала при различныхчислах Mг и числе ReD = 7 · 106. Там же штриховой линиейнанесено значение этого отношения для несжимаемой жидкости,взятое из работы [23]. Из рисунка видно, что в рассмотренномдиапазоне чисел Mг влияние шероховатости на коэффициенттрения Cf проявляется так же, как и в несжимаемой жидкости.

На рис. 1.18 в зависимости от числа Маха приведены мак-

симальные и минимальные (не зависимые отL

D, ReD и Ks)

значения отношения Cf/Cf0. Здесь Cf0 — коэффициент сопро-тивления трения для несжимаемой жидкости. На том же рисункедля примера приведена одна из эмпирических зависимостей изработы [24], полученная на основании опытов на пластине

Cf

Cf0= β1−(1+α)n, (1.7)


Рис. 1.18

где β =(1+ re

γ − 12

M2p

)−1, α—показатель степени в формуле

для вязкости, n—показатель степени в степенном законе зави-симости скорости в пограничном слое от поперечной координаты(принимался равным

17

), re—коэффициент восстановления тем-

пературы (принимался равным 0,9). Из приведенных результатовследует, что эта зависимость достаточно хорошо отражает влия-ние сжимаемости при течении газа в канале.

Таким образом, для расчета силы трения в канале достаточноопределить коэффициент трения для несжимаемой жидкости Cf0при известных значениях ReD и Ks и затем ввести поправку насжимаемость в зависимости от величины Mp.

Определим теперь абсолютные значения местных коэффици-ентов трения Cf для гладких труб и сравним их с результатами,полученными различными авторами в экспериментах как с тру-бами, так и с пластинами. При известной величине ξ среднеезначение коэффициента скорости λ и, соответственно, числаМаха вдоль трубы (для сравнения с результатами работы [24])определится из выражения:

z(λi) = (1− ξΣ)z(λн), (1.8)

где ξΣ = ξ + ξc, ξ и ξc—соответственно коэффициенты потериимпульса в трубе и сопле. Коэффициент потери импульса в соплеξ определялся расчетным путем по методу, изложенному в рабо-те [30], и в исследуемом диапазоне не превышал 0,3%.


Рис. 1.19

Рис. 1.20

Местный коэффициент сопротивления трения по аналогиис (1.6) будет равен:

Cf = 2τw

ρu2= γ + 1

4γz(λi)λi

dξ

d(L/D). (1.9)

На рис. 1.19 для трех значений Mг приведены зависимостиCf = Cf (L/D). Для сравнения на графике приведены значенияCf , взятые из работы [26], которые определены по распределе-нию статического давления на стенке. График показывает, чтов последнем случае имеет место большой разброс значений Cf ,даже при равномерном потоке на входе в канал.

При сравнении коэффициентов сопротивления трения Cf длятрубы и пластины скоростной напор определялся по параметрам

1.4. Сравнение результатов расчета турбулентного пограничного слоя 33

в ядре потока, а за характерный размер принималась толщинапотери импульса

δ∗∗ ≈ ζD

4. (1.10)

Экспериментальные значения Cf = Cf (ReD) для трубы, получен-ные в настоящей работе, а также данные ряда авторов [26, 27]для пластины, согласующиеся с теоретическими расчетами, при-ведены на рис. 1.20.

Таким образом, полученные значения коэффициентов тренияCf на данной установке весовым способом удовлетворительно со-ответствуют величинам, полученным другими авторами, и в рядеслучаев (как, например, в сравнении с результатами работы [26])дают более надежные результаты как в качественном, так и в ко-личественном отношении.

1.4. Сравнение результатов расчета турбулентногопограничного слоя в канале с результатами

проведенных экспериментов

Надежность данных по коэффициенту потери импульса в ка-нале должна подтверждаться путем сравнения с ранее получен-ными экспериментальными результатами других авторов, а так-же с результатами расчета. Сравнение экспериментальных зна-чений Cf , полученных в данной работе, приведено на рис. 1.20.

Для расчета равномерного сверхзвукового течения в каналебыли использованы известные методы расчета пограничного слояв задачах внешней аэродинамики в соплах с учетом некоторыхособенностей течения в каналах. Особенностью сверхзвуковыхтечений в каналах является то, что торможение потока являетсясущественно неодномерным, особенно на основном участке те-чения. Если на начальном участке течения происходит незначи-тельное воздействие пристеночного диссипативного слоя на ядро,то по мере нарастания пограничного слоя это воздействие растети, в конце концов, может резко изменить физическую картинутечения.

В нашем случае сравниваются экспериментальные и расчет-ные данные только для начального участка течения в канале.

Можно считать, что во входном участке канала пограничныйслой развивается так, как и при внешнем обтекании тела. Тогда,для расчета тепломассообмена и трения во входном участке ка-нала можно использовать имеющиеся методы расчета турбулент-ного пограничного слоя. Однако в рассматриваемом случае кроме

2 И.И. Липатов


толщины турбулентного пограничного слоя искомым параметромявляется и скорость газа на внешней границе пограничного слоя,в отличие от задач внешней аэродинамики, где градиент давле-ния задается. Для определения этой скорости в случае каналаимеется дополнительное соотношение—уравнение постоянстварасхода по длине канала.

Таким образом, принимается двухслойная модель течения,согласно которой поток состоит из невязкого ядра, течение в ко-тором описывается одномерными уравнениями, и пристеночноготурбулентного пограничного слоя. Предполагается, что в каналеимеет место турбулентный характер течения в пограничном слое.Для изолированного канала с безударным входом такой харак-тер течения обеспечивается турбулизующим свойством входнойкромки конечной толщины, а в случае присоединенного возду-ховода—наличием начального участка канала с турбулентнымпограничным слоем в сопле.

Рассмотрим течение на начальном участке цилиндрическогоканала F = const (геометрия канала может быть выбрана про-извольной, в нашем случае выбрана соответствующей проведен-ному эксперименту). Распределение скорости и температуры навходе в канал принимались равномерными. Считается, что дина-мический и тепловой турбулентные пограничные слои нарастаютс начального участка канала одновременно.

Уравнение неразрывности запишем в виде

ρ01u01 = 2

R0∫

0

ρu dr = const, (1.11)

где ρ01 и u01 —плотность и скорость газа в начальном сеченииканала, R0 —радиус трубы.

Исходя из предположения, что диссипативная область воз-действует на ядро течения путем уменьшения сечения канала натолщину вытеснения δ∗, можно записать уравнение, определяю-щее изменение поперечного сечения ядра:

ρ01u01 = ρiui

(1− 2

δ∗

R0

), (1.12)

где ρi и ui—плотность и скорость в ядре течения.Таким образом, используя уравнение импульсов и энергии

для турбулентного пограничного слоя, можно определить всенеобходимые параметры течения в канале.

Для определения толщины пограничного слоя можно вос-пользоваться методикой, предложенной В.С.Авдуевским [30].


Следует указать на то, что выбор методики обусловливался чистопрактическими соображениями (методически более разработани имеет большое практическое применение во многих приклад-ных задачах), такую же операцию можно проделать, используядругие методы [32–35].

Уравнение импульсов для турбулентного пограничного слояможно записать в следующем виде [30]:

d

dx

(R0ρ1u

21δ

∗∗)5/4 + 54H

du1dx

1u1

(R0u

21δ

∗∗)5/4 =

= 54R5/40 ρwμ1/4w u

9/41 D(x) . (1.13)

Уравнение энергии для турбулентного пограничного слоя можнозаписать в виде [30]:

d

dx(R0ρ1u1(J0 − Jw)δ∗∗T )5/4 =

= 54A(x)(

δ∗∗T

δ∗∗)1,2

R5/40 μ1/4w (Je − Jw)(J0 − Jw)ρwu1 . (1.14)

Здесь δ∗∗T —толщина потери энергии, δ∗∗—толщина потери им-пульса, μ—вязкость газа, Je—энтальпия торможения, опреде-

ленная при адиабатической стенке, H = δ∗∗T

δ∗∗—формпараметр

Параметры с индексом «w» соответствуют условиям на стен-ке, параметры с индексом «1»—набегающему потоку, параметрыс индексом «0»—условиям торможения, параметры с индексом«e»—соответствуют условиям на теплоизолированной стенке.

Функциональные зависимости для напряжения трения D(x)и удельных тепловых потоков A(x) имеют вид:

D(x) = 0, 013(

Tw

Te

)0,49(1+ γ − 1

2reM2

1)0,137, (1.15)

A(x) = 0, 013Pr−27/40w Jw0

(1+ γ − 1

2M21

)0,137 (Je − Jw

J0 − Jw

)1/8,

(1.16)где re = 0,75, γ = 1,4, Prw —число Прандтля, определенное попараметрам при температуре стенки, M1 —число Маха потоканад пограничным слоем.

При линеаризации уравнений (1.13) и (1.14) использовалисьвсе предположения, принятые в работе [30].

2*


Полная система уравнений для решения задачи о течениивязкого сверхзвукового потока в канале F = const будет иметьвид:

d

dxδ∗∗ = ρwμ1/4w D(x)

ρ5/41 u

1/41 δ∗1/4

− (2+ H)δ∗∗

u1

du

dx− δ∗∗

ρ

dρ

dx− δ∗∗

R0

dR0

dx,

d

dxδ∗∗T = A(x) (δ∗∗T /δ∗∗) ρwμ1/4w D(x)

ρ5/4u1/4δ∗1/4T

δ∗∗T

δ∗∗Pr0,6w

Je − Jw

J0 − Jw−

−δ∗∗T

u

dρ

dx− δ∗∗T

R0

dR0

dx,

du

dx= 2δ∗∗

ρR0 (1− 2Hδ∗∗/R0)2

dH

dx+ 2H

ρR0 (1− 2Hδ∗∗/R0)2

dδ∗∗

dx−

− ρ0u0

ρ2 (1− 2Hδ∗∗/R0)2

dρ

dx,

dH

dx={

2u

ργ−1

[97

Tw

T0

γ − 12γ

ργ0

P0+ γ − 1

2γργ0

P0

]+

+ 2u

ργ−1

[97

γ − 12γ

ργ0

P0

(1− Tw

T0

)]−

− 2uδ∗∗7/8T

δ∗∗7/8ργ−1

[97

γ − 12γ

ργ0

P0

(1− Tw

T0

)]}du

dx−

−{

(γ − 1)u2

ργ−1

[97

Tw

T0

γ − 12γ

ργ0

P0+ γ − 1

2γργ0

P0

]+

+u2(γ − 1)ργ

[97

γ − 12γ

(1− Tw

T0

)]−

− (γ − 1)δ∗∗7/8T u2

δ∗∗7/8ργ

[97

Tw

T0

ργ0

P0

(1− Tw

T0

)]}dρ

dx−

−{981− Tw/T0

δ∗∗7/8T δ∗∗7/8

+ 916

u21(γ − 1)ργ0

δ∗∗7/8T ργ−1γδ∗∗7/8P0

(1− Tw

T0

)}dδ∗∗T

dx+

+{98

δ∗∗7/8T

δ∗∗7/8

(1− Tw

T0

)+ 98

δ∗∗7/8T

δ∗∗7/8u21

ργ−10

γ − 1γ

ργ0

P0

(1− Tw

T0

)}dδ∗∗

dx,


Рис. 1.21

dρ

dx= −du

dx

F1F2, (1.17)

F1 =ρ∞ργ

0u

γp0ργ−1 {1+

[(γ − 1)ργ

0u2] / [2γp0ρ

γ−1]}γ/(γ−1) ,

F2 = 1− (γ − 1)2γ

ργ0u

2

p0ργ−1 {1+

[(γ − 1)ργ

0u2] / [2γp0ρ

γ−1]}γ/(γ−1) .

Система уравнений (1.17) решена численно методом Рунге–Кутты.

Основные результаты проведенных расчетов приведены в ви-де зависимостей коэффициента потери импульса ξ от безразмер-ных параметров

x

D, ReD, Mp и представлены на рис. 1.21 и 1.22.

Расчет параметров пограничного слоя производился и по ме-тодам, предложенным в работах [29, 33, 34], результаты расчетовпо методам [29, 33] представлены на этих же рисунках. Следуетотметить, что работы [33, 34] близки по своим идеям, заложен-ным в основу метода расчета, а работа [29] заметно отличаетсяот цитируемых выше (основана на использовании предельныхзаконов трения и теплообмена).

В настоящее время для расчета характеристик пограничногослоя получили большое распространение конечно–разностныеметоды. Преимущество конечно–разностных методов над инте-гральными заключается в быстроте реализации счета, а такжевозможности последующего усложнения используемой физиче-ской модели. В частности, могут быть использованы различныемодели турбулентности вместо обычной гипотезы Прандтля. Длярасчета пограничного слоя в канале при течениях с заданным


Рис. 1.22

градиентом давления и с учетом тепло- и массообмена на стенкебыл использован конечно-разностный метод, описанный в рабо-те [28], который был модифицирован в [35]. Модификация каса-лась выбора двух констант, определяющих длину пути смешенияв формуле Прандтля. Эти константы были выбраны из условиясоответствия результатов расчета экспериментально измереннымпрофилям скорости и результатам весовых измерений силы тре-ния в цилиндрическом канале.

Результаты расчета по этому методу представлены также нарис. 21 и 22. Из рассмотрения рис. 20 и 21 видно, что результатырасчетов по всем рассмотренным методам достаточно удовлетво-рительно согласуются с данными, полученными в эксперименте.Отличие по коэффициенту потери импульса не превышает 5–6%

приL

D< 15.

Как видно из рис. 21 и 22, при больших значенияхL

D> 15

наблюдается отклонение результатов расчета от эксперименталь-ных данных. Это объясняется тем, что при указанных значенияхL

Dпограничные слои на стенке канала близки к смыканию, т. е.

наступает конец начального участка течения (рис. 7).Таким образом, проведенный анализ позволяет сделать вывод

о том, что на начальном участке канала (при условии равно-мерного течения на входе) можно рассчитать величину силытрения, используя двухслойную модель, согласно которой потокв канале состоит из одномерного невязкого ядра и пограничногослоя у стенки с использованием уравнений импульса и энергиидля турбулентного пограничного слоя, предложенных в рассмот-ренных выше работах.

1.5. Исследование силы трения в канале 39

1.5. Экспериментальное исследование силы тренияв канале в случае неравномерного сверхзвукового

течения

Как было показано выше, в случае безударного входа пото-ка в канал определение коэффициента трения Cf в канале непредставляет особых затруднений. Для расчета потери импульсав канале можно воспользоваться экспериментальными или рас-четными данными.

Отличная картина наблюдается, если течение в канале сопро-вождается существенной неравномерностью потока. Такая карти-на обычно наблюдается в каналах сверхзвуковых воздухозабор-ников, камерах сгорания двигателей, компрессорах и турбинах.

Расчет потерь импульса при наличии в канале неравномер-ного сверхзвукового течения в канале создавалось коническимисоплами (см. табл. 1). На рис. 1.23 приведено распределениечисла Маха вдоль образующей конических сопл, определенноепо величине отношения

p

p0. Там же нанесены расчетные значения

среднего по сечению числа Маха с учетом коничности теченияв сопле по формуле (1.2).

Из графика видно, что экспериментальные точки соответ-ствуют этим кривым и, следовательно, осреднение потока зави-симостью (1.2) справедливо. На выходе из сопла γ∗ = 26◦ имеет

место отрыв потока (экспериментальная точка при(

d

dкр

)2=

= 8,2), поскольку при развороте его в скачке уплотнения привтекании в канал повышение давления больше, чем предельныйперепад, который может выдержать турбулентный пограничный

Рис. 1.23


�� рад

�� радp

p

pp0ф

0,03

0,02

0,01

0 5 10 15 20 x D/

�

x

D

27

-

-

Рис. 1.24

слой при Mг = 3,8. Оценка изменения силы, действующей насопло, из-за наличия отрыва показывает, что полный импульспри этом увеличивается на 0,6%, что соответствует изменениюMср примерно на ΔM ≈ 0,15. В дальнейших рассмотрениях ука-занное увеличение импульса не будет учитываться.

На рис. 1.24 и 1.25 приведено распределение вдоль каналастатического давления, отнесенного к давлению в конце соп-ла. Отсеки канала в этом случае соединялись непосредственнос соплом, без телескопического соединения, с целью исключитьвлияние последнего на распределение давления. Из рис. 1.24и 1.25 видно, что в случае конического сопла имеет место нерав-номерность статического давления вдоль канала. Для рассмот-ренного сопла закон изменения p имеет волнообразный характер,

причем длина волны λ ≈ 2, 5D. При длине каналаL

D> 15 коле-

бание статического давления вдоль образующей незначительно.На этих длинах пограничный слой на стенке практически смы-кается.

Продольное распределение статического давления можнопредставить в виде средней линии (штриховая линия нарис. 1.25). Интересно отметить, что в начальном сечении, гдепотери в скачках уплотнения и за счет трения практическиотсутствуют, статическое давление в этом «осредненном» потокепочти в 1,4 раза больше, чем в исходном неравномерном потоке,что соответствует уменьшению числа Маха от Mг = 3,8 доMp = 3,53, получающемуся по зависимости (1.2).

Профили скорости в поперечном сечении также существенноотличаются для рассмотренных двух видов течения. Распределе-ние числа Маха в поперечных сечениях канала при различных

длинахL

Dприведено на рис. 1.26. Из этого рисунка видны


Рис. 1.25

�� M = 3,82p

+1

0

�

0 1 2 3 4 M

- / = 0- 4,92- 5,52- 11,04- 16,58- 26

x D

Рис. 1.26

характерные провалы в профиле чисел Маха, которые связаныс наличием дисков Маха в ядре потока.

На рис. 1.27 приведены для иллюстрации значения стати-ческого давления, отнесенного к полному давлению на входев канал, для гладких и шероховатых труб при наличии те-лескопического соединения. Рассмотрение рисунка показывает,что наличие переднего телескопического соединения приводитк некоторому увеличению неравномерности статического дав-ления при использовании профилированных сопл, однако этанеравномерность имеет местный характер. Уменьшение среднегочисла Маха потока из-за сужения в телескопическом соединениине превышает ΔM ≈ 0, 1.

Основные измерения продольного распределения статическо-го давления были проведены в шероховатых трубах. Количестводренажных точек на гладких трубах было небольшим. Тем неменее, из рис. 1.27 видно, что в конце шероховатого каналастатическое давление несколько больше, чем для гладкого.


pp0ф

0,06

0,04

0,02

0 5 10 15 20 x D/

M = 3,2г

p K= 27,03 = 1,25 10 �

p K= 28,4 = 2 100ф

�s

s0ф

-

-

Рис. 1.27

Как уже упоминалось, одной из работ, в которой изучалосьвлияние скачков уплотнения на трение при течении в каналенеравномерного сверхзвукового потока, является работа [26].В ней показано, что сила трения, приложенная к стенкам ка-нала, увеличивается, если при неизменных площадях критиче-ского и выходного сечений конического сопла увеличивать уголобразующей сопла. В цитируемой работе установлено, что приизменении угла γ∗ от 0 до 9 градусов (Mг ≈ 2,5) сила трениявозрастает почти в 1,5 раза и достигает значения, соответствую-щего уровню для несжимаемой жидкости. Однако используемыйв цитируемой работе метод определения коэффициентов тренияпо продольному распределению давления весьма неточен (см.рис. 1.19), и поэтому надежность полученных результатов вызы-вает сомнение.

В настоящей работе был рассмотрен более широкий диапазонизменения углов наклона образующей сопла: γ∗ = 0− 26◦. ЧислаMp для конических сопл были также выше, чем в работе [26],так как при этом влияние сжимаемости газа проявляется болеесильно.

На рис. 1.28–1.33 приведены полученные весовым способомзависимости коэффициентов потери импульса ξ от числа Mp навходе в канал для всех сопл, гладких и шероховатых каналовразличной длины. Для конических сопл число Mp вычислялосьпо формуле (1.2).

На рис. 1.34 приведены зависимости ξ от длины канала дляразличных сопл при ReD = 6,3 · 106. Характерной особенностьютаких графиков является линейность зависимости ξ = ξ

(L

D

)при

ReD > 106 (по крайней мере приL

D� 10) независимо от степени

шероховатости труб.На рис. 1.35 и 1.36 приведены значения коэффициента потери

импульса ξ, полученные для различных длин канала в зави-


Рис. 1.28

Рис. 1.29

Рис. 1.30

симости от числа Mp для профилированных сопл (зачерненныезначки).

Рассмотрение этих графиков позволяет сделать вывод, чтозначения коэффициента потери импульса ξ для профилирован-ных и конических сопл практически совпадают при одинаковых


Рис. 1.31

Рис. 1.32

Рис. 1.33

числах ReD, если число Mp конического сопла равно Mг профи-лированного.

Иными словами, неравномерный поток со скачками уплотне-ния при определении потерь импульса потока в канале можно


Рис. 1.34

}}коническиесопла

профилирован-ные сопла

эксперимент

2,5 3,0 3,5 4,0 Mp

0,06

0,04

0,02

0

�

K = 2 10 �

s

L D/ = 2415,4

4,410

Рис. 1.35

}}коническиесопла

профилирован-ные сопла


2,5 3,0 3,5 4,0 Mp

0,06

0,04

0,02

0

�

0,08

K = 1,25 10 �

s

L D/ = 24

15,4

10

4,4

Рис. 1.36

заменить равномерным, имеющим тот же импульс и расход. Приэтом сила трения не изменится. Влияние скачков уплотнения,


таким образом, проявляется в уменьшении числа Маха за скач-ками и, следовательно, в уменьшении влияния сжимаемости.

Необходимо отметить, что сказанное справедливо при рас-

смотрении достаточно длинных каналовL

D� 4, в которых ре-

ализуется «осреднение» потока. На меньших длинах разбросэкспериментальных точек увеличивается, вероятно в этом случаенеобходимо детально рассматривать структуру течения для по-лучения соответствия с экспериментальными данными, как этобыло сделано в работе [67].

Увеличение угла наклона образующей сопла приводит, каквидно из рис. 1.35 и 1.36 к увеличению коэффициента потериимпульса ξ. Однако, при достижении некоторого предельногоугла γ∗ величина ξ начинает уменьшаться (рис. 1.35 и 1.36,Mp = 2,9, γ∗ = 26◦). Это связано с возникновением отрыва по-тока от стенок канала. Если считать, что увеличение коэффи-циента трения Cf при наличии скачков уплотнения объясняетсятолько изменением сжимаемости, то максимальное увеличениеCf будет иметь место в случае, когда скачки уплотнения имеютнаибольшую интенсивность, а число Mp = Mpmin.

Возникновение отрыва сопровождается уменьшением значе-ния Cf , не говоря уже о самой зоне отрыва, где сила тренияблизка к нулю.

Исходя из этого условия, оценим предельное увеличение ко-эффициента трения Cf из-за скачков уплотнения. Примем услов-но, что течение вблизи угловой точки перехода от коническогосопла к трубе близко к плоскому. Отношение давлений в косомскачке уплотнения будет равно:

p2p1

= 76M2

p sin2 γ∗ − 16

. (1.18)

С другой стороны, предельное отношение давлений в турбу-лентном пограничном слое по одной из известных эмпирическихзависимостей, например [39], равно:(

p2p1

)кр

= 0,515+ 0,675Mp . (1.19)

Приравнивая правые части формул (1.18) и (1.19), получимвыражение для определения предельного угла наклона скачкауплотнения

sin2 γ∗ = 1Mp

(0, 585

1Mp

+ 0, 578)

.


Cf

( )Cf ��

1,4

1,2

1,0

0 10 20 30�� град

по работе [26]

Рис. 1.37

Зная величину γ∗max для произвольного значения Mp, определим

угол наклона образующей сопла γ∗ и затем по зависимости (1.20)получим величину числа Mp, которая и определяет влияниесжимаемости.

На рис. 1.18 штриховой линией нанесено отношениеCf

Cf0с учетом предельного влияния скачков уплотнения. Из рисункавидно, что это влияние сравнительно невелико в связи с тем, чтос помощью скачков уплотнения невозможно затормозить потокдо значений, близких к Mp ≈ 1 и, следовательно, сжимаемостьизменяется немного. Например, при Mp = 4 максимальное уве-личение силы трения не превышает 20%. При меньших числахMp это влияние еще меньше.

Приведем сравнение полученных результатов с результатами

опытов работы [26]. На рис. 1.37 приведено отношениеCf

Cf0для

сопл с учетом наклона образующей γ∗ = 13◦, 19◦, 26◦ и длине

испытуемого каналаL

D= 24 к аналогичной величине для про-

филированного сопла с Mг = 3,8 (величина Cf выбрана среднейдля ряда экспериментов). Сравнение графиков показывает, чтоданные работы [26] о влиянии скачков уплотнения на Cf завы-шены.

В заключение следует отметить, что настоящие экспериментыпроведены для одного класса течений: течения в цилиндрическомканале при использовании конических сопл. Очевидно, что напрактике может возникнуть множество других течений, когдарассматриваются плоские несимметричные потоки, в которыхнеравномерность создается некоторыми препятствиями, установ-ленными в канале, или тепло- и массоподводом.


Все эти обстоятельства требуют дополнительных исследова-ний. Однако полученный результат о влиянии скачков уплотне-ния на силу трения через изменение среднего числа Маха, т. е.влияние сжимаемости, позволяет предположить, что и в другихслучаях безотрывного течения влияние скачков уплотнения навеличину коэффициента потери импульса, по-видимому, каче-ственно будет таким же. Режим течения в каналах, когда тор-можение сверхзвукового потока происходит при существенныхпродольных градиентах статического давления с переходом к до-звуковому течению, будет рассмотрен в следующей главе.

Г л а в а 2

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

ПЕРЕХОДА СВЕРХЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ

В КАНАЛЕ В ДОЗВУКОВОЕ

2.1. Основные закономерности переходасверхзвукового течения в канале в дозвуковое

Рассмотренные в первой главе случаи течения сверхзвуковогопотока в канале, как равномерного, так и неравномерного, пока-зали, что этот процесс может протекать при умеренном продоль-ном градиенте статического давления, однако при исследованных

длинах канала(

L

D� 25)не происходит перехода сверхзвуково-

го потока в дозвуковой только за счет пристеночного трения.В то же время известно, что при определенных условиях дажев коротких каналах возможен переход сверхзвукового теченияв дозвуковое, как это можно наблюдать в трактах современныхВРД.

Общепринятая упрощенная схема торможения сверхзвуково-го потока в воздухозаборнике ВРД включает в себя торможениев скачках уплотнения (ударные потери), торможение в областивязкого взаимодействия невязкого ядра с пристеночным погра-ничным слоем и последующее торможение в дозвуковом дифф-фузоре. Много внимания уделяется вопросу изучения физиче-ских процессов, происходящих в области перехода сверхзвуко-вого течения в дозвуковое, с целью создания методов расчетатаких течений.

В отличие от прямого скачка уплотнения (в невязком потоке)в реальных течениях, из-за наличия пограничного слоя, областьперехода сверхзвукового потока в дозвуковое течение, форми-рующаяся при взаимодействии турбулентного пограничного слояи скачков уплотнения, занимает некоторую длину. При доста-точно толстых пограничных слоях, имеющих место, например,в длинных трубах, протяженность области перехода сверхзвуко-вого потока в дозвуковое течение составляет несколько (5–10)диаметров трубы.

50 Гл. 2. Исследование перехода сверхзвукового течения в дозвуковое

M = 1,8

M = 1,6

M = 1,5

M = 3,0

M = 2,5

M = 2,0

а) б)

Рис. 2.1

Обычно среднее число Маха сверхзвукового потока в гор-ле современных сверхзвуковых воздухозаборников не превыша-ет 1,5 и на теневых фотографиях область перехода сверхзву-кового течения в дозвуковое наблюдается как чередующаясясистема мостообразных скачков уплотнения, постепенно перехо-дящая в зону турбулентного смешения. Такую же картину можнонаблюдать и при торможении сверхзвукового потока в длинныхтрубах, сверхзвуковых камерах сгорания ГПВРД, в каналах сли-ва пограничного слоя и т. д.

Для иллюстрации на рис. 2.1 приведены типичные снимкипроцесса торможения сверхзвукового потока в плоском каналевоздухозаборника. В начале области торможения наблюдаетсямостообразная (рис. 2.1, а) структура течения, постепенно пере-ходящая в зону турбулентного течения.

Статическое давление в этой области монотонно увеличива-ется до уровня, близкого к уровню давления за прямым скачкомуплотнения, при этом роль скачков уплотнения в увеличенииэнтропии при достаточно больших скоростях потока становитсяотносительно небольшой по сравнению с диссипацией энергиив слоях турбулентного перемешивания.

На рис. 2.2, а приведено обычное продольное распределе-ние статического давления в цилиндрической трубе, получаемоепри ее дросселировании на выходе. На рисунке обозначены:1—дросселирование трубы отсутствует; 2, 3, 4—кривые распре-деления статического давления на стенке трубы при различнойстепени дросселирования. При рассмотрении кривых видно, чтодавление, близкое к величине за прямым скачком уплотнения,достигается на длине, сравнимой с десятью диаметрами трубы.

2.1. Основные закономерности 51

lc

l'п

lп

II область

2

3

4

1

I область

М = 3,2гpp0ф

0,2

0,1

0 5 10 15 x D/

М = 3,2г

0,05

0 0,5 1,0 1,5l' D/п

III область

а)

б)

pp0ф

Рис. 2.2

Такую протяженную зону перехода, слабо зависящую от кон-кретных особенностей исходного течения, длина которой опре-деляется в основном закономерностями турбулентного смешенияи числом Маха перед областью торможения, в литературе (какв отечественной, так и в зарубежной) принято называть псевдо-скачком.

Следует отметить, что в каждом конкретном случае условияперехода могут быть различными с преобладанием ударных илидиссипативных эффектов (что определяется только эксперимен-


том), и применение термина «псевдоскачок» в некоторых случаяхбудет условным.

Основными характеристиками области перехода являются:• продольный положительный градиент статического давле-ния;

• профили скорости, полного давления, пульсации скоростив различных сечениях псевдоскачка;

• длина псевдоскачка;• величина пристенной силы трения в области псевдоскачка.

Очевидно, что перечисленные характеристики псевдоскачка су-щественным образом зависят от физических свойств газа, а так-же и от геометрии канала, в котором происходит это торможение.Существенно важным в поставленной задаче является вопросопределения необходимых и достаточных условий для образова-ния так называемого «псевдоскачка» в канале.

Для изучения физических процессов в области псевдоскачкав дальнейшем будут рассматриваться простые каналы (цилин-дрические трубы, плоские каналы, каналы со слабо изменяю-щейся геометрией) с тем, чтобы исключить побочные эффекты,влияющие каким-то образом на структуру течения в канале(острые кромки, слив пограничного слоя, различные препятствияи т. д.).

Подробный обзор зарубежной литературы, посвященной тео-ретическому и экспериментальному исследованию течений в об-ласти псевдоскачка, приведен в работе [39], а также в рабо-тах [40, 41]. Из отечественных исследований области переходаследует отметить экспериментальные работы [42, 45–49].

2.2. Условия образования псевдоскачка в канале

Взаимодействие между скачками уплотнения и турбулентнымпограничным слоем в условиях ограниченного пространства в на-стоящее время не поддается точному теоретическому решению.Известно, например, что явление отрыва турбулентного погра-ничного слоя на пластине не зависит от того, каким образомбыл достигнут продольный градиент статического давления (илиперепад давления), вызывающий отрыв [62, 65, 66].

Это явление, например, было проверено для сверхзвуковогообтекания ступенек и взаимодействия падающего скачка уплот-нения с турбулентным пограничным слоем. Профили продольно-го распределения статического давления, определяющие картинутечения в области отрыва турбулентного пограничного слоя, для

2.2. Условия образования псевдоскачка в канале 53

этих случаев практически совпали. В первом приближении про-фили продольного распределения статического давления передуступом и перед выдуваемыми струями также практически сов-падают [64].

Однако такая картина наблюдается до тех пор, пока на про-цесс отрыва пограничного слоя не будет влиять ограниченностьпространства. Величина повышения давления в зоне отрывав этих случаях будет несколько превышать величину давленияв зоне отрыва на плоской пластине (при прочих равных услови-ях) за счет неодномерности течения.

В случае увеличения давления в конце канала (например, привыделении тепла, массоподводе и т. п.), в котором существуетотрыв пограничного слоя, вызванный каким-то образом, происхо-дит передача возмущений вверх по потоку и область отрыва с по-степенным формированием у стенки дозвукового диссипативногослоя, и в конечном счете течение с отрывом пограничного слояпереходит в так называемый развитый псевдоскачок. Дальней-шая попытка увеличить давление в конце канала, превышающеевеличину давления за псевдоскачком, приводит к отрыву всеготечения в канале.

Ниже приведены результаты эксперимента, который прово-дился на установке, схема которой представлена на рис. 1.1,а отдельные сборки канала представлены на нижеприведенныхрисунках [50].

Простая модель представляла собой цилиндрический каналD = 81,4 мм, который заканчивался внезапным расширениемс диаметром D1 = 130 мм, в котором устанавливалась дрос-сельная заслонка. Длина основного канала (D = 81,4 мм) моглаизменяться от 3 до 20 калибров, а длина цилиндра с диаметромD1 = 130 мм оставалась неизменной и равнялась 9 калибрам(диаметрам канала). В некоторых вариантах производилась и та-кая сборка, когда за основным каналом следовал коническийканал с углом наклона образующей γ∗ = 10◦. Торможение потокаосуществлялось с помощью дроссельной заслонки. Эксперимен-ты проводились при числах Рейнольдса ReD = 0,7 · 106–2,0 · 106.

В экспериментах измерялось распределение статического дав-ления p вдоль одной образующей цилиндрического канала, пол-ное давление p′0 с помощью гребенки насадков и одиночныхнасадков полного давления с диаметром d = 0,8 мм. Чтобы об-наружить зоны обратных токов эти насадки были размещены нарасстоянии 1 мм от поверхности стенки и направлены по потоку.Малые дозвуковые скорости возвратного течения и сравнитель-но большие расстояния между трубками (≈ 20 d) исключают


сколько-нибудь существенные погрешности в измерениях, вызы-ваемые взаимным влиянием трубок. При безотрывном теченииони измеряли некоторое донное давление в торцевых частях на-садков. Величины давления, измеренные насадками, обозначенына рисунках как p0.

Остановимся вначале на результатах экспериментов, в кото-рых производилось дросселирование канала с внезапным расши-рением (γ∗ = 90◦).

Созданное повышенное давление у дросселя перестраивалотечение в канале D1 = 130 мм, приводило к увеличению дон-ного давления в месте внезапного расширения, которое, в своюочередь, воздействовало на течение в основном канале. Отрывпограничного слоя в месте внезапного расширения, по мереувеличения давления в конце канала, постепенно перемещалсявверх по потоку от места внезапного расширения.

На рис.2.3, 2.4 и 2.5 представлено продольное распределениестатического давления для чисел Mp = 2,6; 3,2 и для кониче-ского сопла Mг = 4,2 с углом наклона образующей γ∗ = 14◦.Из представленных рисунков можно видеть, что наклон кривыхпо мере перемещения по потоку существенно изменяется. Длячисла Mг = 3, 2 (рис. 2.4), для наглядности, на рисунке выделенучасток канала, начиная с 6 калибров, чтобы более подробно изу-чить трансформацию продольного градиента статического давле-ния. На этом же рисунке нанесено распределение статическогодавления, которое было получено перед кольцевой ступенькой(сплошные линии), установленной в одном случае на расстоянии8,5 калибров, а в другом на расстоянии 15 калибров от срезасопла при сохранении числа ReD = 1,45 · 106 (такое же и придросселировании канала без ступенек).

Из представленного сравнения видно, что продольные гради-енты статического давления перед ступенькой и без ступенькиблизки в месте внезапного расширения и существенным обра-зом отличаются на расстоянии 2,5 калибров от места внезап-ного расширения. Это, по-видимому, связано с трансформациейотрывного течения по мере дросселирования канала. Следуетотметить, что на рис. 2.4 круглыми значками обозначены точки,полученные при продвижении отрывного течения к срезу сопла(«прямой» ход) и треугольниками отмечен процесс продвиженияотрывного течения к месту внезапного расширения («обратный»ход).

Представим экспериментально полученное распределе-ние статического давления в виде безразмерного давления


Рис. 2.3

Рис. 2.4

p = p − p1p2 − p1

, где p1 — статическое давление перед областью

торможения, а p2 —давление в месте внезапного расширения.На рис. 2.6 для сопла Mг = 2,6 представлен экспериментальныйрезультат в такой обработке. Безразмерная длина x = x

D


pp0ф

ст

0,1

0,05

0 5 10 15 20 x D/

M = 4,2 ��г Внезапное

расширение

Рис. 2.5

1,0

0,5

0 5 10 15x D/

p p 1

2

p p

1

p2

p1

D

x p2

p1

pp

x D/

- 2,6- 3,5- 3,9- 4,3- 4,7- 5,2- 5,6- 6,0- 6,2

- 6,9- 6,6

- 7,0

p

p1

2

Рис. 2.6

отсчитывалась от места резкого повышения давления довнезапного расширения.


На рис. 2.6 можно видеть, что по мере увеличения отноше-ния

p2p1

наклон кривых p = f(x) существенно изменяется и при

достижении определенного значенияp2p1становится неизменным.

Таким образом, при достижении величиныp2p1, близкой к вели-

чине отношения давления в прямом скачке уплотнения, устанав-ливается течение, в котором продольный градиент статическогодавления не изменяется (с точностью до изменения среднегочисла Маха на этой длине).

В этом случае в канале устанавливается режим теченияразвитого псевдоскачка. Для рассмотренного сопла Mг = 2,6 та-кой режим течения устанавливался при перемещении отрывноготечения на расстоянии около 7 калибров от места внезапногорасширения.

Остановимся более подробно на анализе поведения отрывноготечения в канале и его переходе в развитый псевдоскачок придросселировании канала с коническим расширением γ∗ = 10◦и внезапным расширением γ∗ = 90◦ [50].

На рис. 2.7 и 2.8 показано распределение величинp

p0ф,

Δp = p0 − p

pи

p0p0ф

вдоль трубы для чисел Mг = 3,2 и Mг = 2,6.

Здесь p0ф —давление в форкамере сопла. Для числа Маха, рав-

ного 3,8, безразмерное расстояниеL

D, отсчитываемое от среза

сопла до места внезапного расширения, равно 5,5; а для числаMг = 2,6 безразмерное расстояние равно 11. На всех графикахкривые, обозначенные одинаково, соответствуют одному поло-жению области торможения. Положительное значение величиныΔp в каком-либо сечении означает наличие возвратного теченияи отрыва турбулентного пограничного слоя.

Каналу с расширяющимся участком с углом γ∗ = 10◦ соответ-ствуют светлые значки и сплошные линии, а каналу с участкомγ∗ = 90◦—зачерненные значки и штриховые линии.

Как видно из рис. 2.7, б, при отсутствии отрывного течениядонное давление на торце повернутого по потоку насадка зна-чительно меньше статического давления окружающего потока,что находится в соответствии с результатами эксперимента пообтеканию торцевых частей осесимметричных тел сверхзвуковымпотоком.

При увеличении степени дросселирования картина течения(рис. 2.7, б) резко изменяется. Область повышенного давления


Рис. 2.7

(рис. 2.7, а) в цилиндрическом канале содержит области отрывапограничного слоя (величина Δp становится положительной).Перемещение области повышенного давления вверх по потокусоответствует перемещению области обратных токов.

Однако определить длину отдельных зон с возвратным те-чением можно лишь весьма приближенно, вследствие малости


M = 2,6 / = 11L D ��г

7,5 8 9 100

0,1

0,2

pp0ф

x D/

p p p

0

�

��

��

7,5 8 9 10 x D/Рис. 2.8

величины Δp, а также большого расстояния между трубками.Графики рис. 2.7 и 2.8 позволяют проследить особенности транс-формации отрывного течения в короткой цилиндрической трубе

при сравнительно тонком пограничном слое(

δ

R≈ 0,2)и боль-

шом числе Mp.Отрыв пограничного слоя в расширяющемся канале, по мере

увеличения противодавления, перемещается в хвостовую частьцилиндрической трубы. Об этом говорит наличие зон обратныхтоков, однако уже при небольшом проникновении отрыва вглубьтрубы, он дробится на ряд мелких зон. При дальнейшем увели-чении противодавления зоны с возвратным течением могут вовсеисчезнуть на определенном участке и вновь возникнуть приразмещении зоны торможения в начале трубы, где пограничныйслой тонок. Последнее подтверждается характером кривых нарис. 2.7, б.

Следует отметить, что форма расширяющейся части трубыоказывает заметное влияние на формирование отрывного теченияв цилиндрической трубе. Из сравнения графиков на рис. 2.7, в


видно, что при внезапном расширении локальные зоны отрывараспространяются на большие расстояния вглубь трубы.

Измерение полного давления в конце цилиндрической трубы(при коническом окончании) гребенкой насадков полного давле-ния показало, что в момент проникновения отрыва в цилиндри-ческий канал обычный наполненный профиль давления транс-формируется в отрывной с областью пониженных полных дав-лений у стенки, Однако во всех случаях показания ближайшейк стенке трубки полного давления

(y

R= 0,065

)были больше

значений статического давления в этом же сечении, что говоритоб отсутствии возвратного течения на этом расстоянии от стенкитрубы.

Обратимся теперь к случаю меньшего числа Маха потокаи более толстого пограничного слоя. На рис. 2.8 приведены такие

же, как на рис. 2.7, графики для случая Mг = 2,6;L

D= 11;

γ∗ = 10◦. Картина течения по сравнению со случаем, рассмотрен-ным на рис. 2.7, существенно изменилась. Практически при всехзначениях противодавления и положениях области торможениявозвратное течение не наблюдается.

Полученные материалы экспериментального исследования,часть из которых приведена на рис. 2.8, можно объяснить следу-ющим образом.

Геометрические размеры зоны отрыва пограничного слояв свободном течении при заданных числе Маха и интенсивностипадающего скачка, вызывающего отрыв, определяется толщинойпограничного слоя перед ним. Известно, что высота зоны отрывав свободном потоке при большой интенсивности возмущенияпограничного слоя может быть значительно больше толщиныпограничного слоя. С другой стороны, высота отрывной зоныв трубе, определяющей сужение потока, не может быть большевеличины, определяемой условием запирания.

Очевидно, что высота зоны отрыва должна быть заведомоменьше h = R

(1−√g (Mср)

), где g (Mср)—газодинамическая

функция расхода, Mср — среднее число Маха перед зоной отрыва.Выражение для h получено в предположении изоэнтропическо-го торможения до скорости, соответствующей M = 1 в кана-ле, образованном кольцевой зоной отрыва. Элементарный рас-чет показывает, что для рассмотренных условий эксперимента(Mp = 2,6; 3,8) отрыв пограничного слоя, на который ограни-чивающие стенки канала не оказывают влияния и который мы


ppст

0ф

0,1

0,2

0 5 10 15 20x D/

M = 3,2 Re = 4 106

D

R

Mppст

0ф

0,1 0,23210

0,5

1,0

г

R

0

0,5

1,0

Рис. 2.9

назовем свободным отрывом, может возникнуть лишь при тол-

щине пограничного слояδ

R< 0,08–0,12.

При несоответствии размеров свободной отрывной зоныреально осуществимой, усиливающемся при уменьшении Mсри увеличении δ, отрывное течение в канале перестраивается,возникает система локальных отрывов. Эта система являетсяисточником турбулентных пульсаций скорости. В результатевозникает типичное течение в развитом псевдоскачке с пристен-ной диссипативной зоной.

Поля скорости в канале, измеренные координатником с на-садком полного и статического давления, установленным на рас-стоянии 3,5 калибров от места внезапного расширения канала,для чисел Mг = 3,2 и 3,8 приведены на рис. 2.9 и 2.10, соот-ветственно. На этих рисунках различные значки соответствуютразличному положению дросселя.

Из представленных рисунков видно, что по мере увеличенияпротиводавления происходит существенная трансформация про-


ppст

0ф

0,1

0,05

0 5 10 15 20x D/

Место установкикоординатника с

насадкомM = 3,8 Re = 2,5 10

6D

R

M ppст

0ф

0,05 0,13210

0,5

1,0

R

0

0,5

1,0

г

Рис. 2.10

филя скорости, а также профиля статического давления. Толькопри продвижении области торможения вглубь цилиндрическойтрубы на расстояние l > 10 статическое давление выравниваетсяпо сечению, т. е. тогда, когда возмущение давления проникаетна длину, равную длине развитого псевдоскачка, при меньшихдлинах наблюдается существенная неодномерность течения с ло-кальными зонами отрыва пограничного слоя. Таким образом,развитый псевдоскачок не может быть отождествлен с обычнымотрывом пограничного слоя.

Представляет интерес исследование величины продольногоградиента давления в начальной части псевдоскачка.

На рис. 2.11 приведены максимальные градиенты давления(d(p/p0ф)d(x/D)

)max

для чисел Mг = 2,6; 3,2; 3,8 и длины канала

L

D= 11 и 16,5. Числа ReD для каждого из чисел Маха, определя-

емые давлением в форкамере сопла, выбирались таким образом,


Рис. 2.11

чтобы зависимость толщины пограничного слоя от длины трубыбыла одинаковой. Из графика рис. 2.11 видно, что максимальныйпродольный градиент статического давления на стенке трубы,определяемый методом касательных к выровненному участкукривых распределения давления, быстро уменьшается по мерепродвижения области торможения вглубь трубы, оставаясь все-гда существенно меньше градиента давления в точке отрыватурбулентного пограничного слоя (штрих-пунктирная линия нарис. 2.11).

Как было сказано выше, в рассмотренных случаях на вы-ходе из основного канала создается условие, которое приводитк отрыву пограничного слоя, из-за чего повышается статическоедавление в конце канала. Из-за этого возмущения происходитпередача давления вверх по потоку через дозвуковую часть тур-булентного пограничного слоя.

На рис. 2.12 приведены результаты представленных вышеэкспериментов [61], а также имеющихся в литературе экс-периментов [55, 88] для зависимости длины распространениявозмущений от давления в конце канала. Оказалось, что этазависимость автомодельна в переменных(

p2p1, x(M2 − 1

)Re1/5D

)(2.1)

для широкого диапазона изменения параметров потока, гдеx = x

D—длина распространения возмущений вверх по потоку,


Mг

pp1

2

p1

p2x

x

p М = 3,2пр г

p М = 2,6пр г

Экспери-мент

- M = 3,8- 3,2- 2,6- 3,0- 2,7- 2,6- 2,65- 1,53- 2,0- 1,6

p

pp1

2

10

5

01 1,5 2 2,5 3lg [ Re M 1)]x ( D

0,212

{

{[88]

[55]

Рис. 2.12

отсчитываемая от сечения, где было инициировано это возмуще-ние, до места его распространения в канале x > lп.

Очевидно в том случае, когда длина канала существенноменьше необходимой длины для развитого псевдоскачка, какв работе [81], расслоение точек не наблюдается, в этом случаебудет возникать течение с отрывом пограничного слоя, протя-женность которого будет зависеть от величины числа Маха,толщины пограничного слоя и геометрии канала.

Для практических расчетов длины распространения возму-щений вверх по потоку можно воспользоваться аппроксимацион-ной зависимостью вида:

p2p1

=

√32γ

(γ + 1)3x1/2

Mср(M2ср − 1)

Re0,1D

[1− 2M2

срx

γ(γ − 1)(M2ср − 1)Re0,2D

]1/2.

(2.2)Полученный результат о существенно меньшем, чем при отрыве,продольном градиенте статического давления в начальной частипсевдоскачка делает обоснованным предположение о том, чтонаклон границы диссипативной зоны меньше наклона переднейграницы отрывной зоны.

С целью получения приближенной оценки наклона диссипа-тивной области в случае развитого псевдоскачка были проведеныследующие эксперименты: трубки полного давления были уста-новлены против потока с шагом 5 мм вдоль образующей такимобразом, что прямая, соединяющая входные отверстия, быланаклонена к образующей трубы под углом 6◦. Они представлялисобой некоторую наклонную гребенку полных давлений длинойΔl (рис. 2.13).


Рис. 2.13

При определенном значении противодавления диссипативнаяобласть захватывает наклонную гребенку. Если угол наклонаобласти больше 6◦, то падение давления по мере продвиженияпсевдоскачка будет отмечаться сначала в трубках, расположен-ных ниже по потоку. Расстояние между положениями псев-доскачка, при которых в одном случае диссипативная областьтолько подошла к гребенке, и в другом—полностью захватилаее, позволяет оценить наклон этой области в предположении, чтоона на этом участке прямолинейна. Очевидно, что давление с по-мощью такой гребенки измерялось с некоторой погрешностью,вызванной взаимным влиянием трубок, однако для установленияфакта, находится гребенка в диссипативной области или нет, этапогрешность не имеет значения.

На рис. 2.13 приведены результаты экспериментов для слу-чая, когда наклонная гребенка располагается на расстоянии14,5D от начала трубы. На этом графике нанесены значения какстатического, так и полного (измеряемого наклонной гребенкой)давления вдоль образующей трубы. Можно отметить некоторыережимы течения и соответствующие кривые зависимости полно-го и статического давления.

Эти кривые обозначены на рис. 2.13 последовательно циф-рами 1–3 и соответствуют определенному положению гребенкиотносительно псевдоскачка. При режиме 1 гребенка расположенаперед псевдоскачком. Зависимость полного давления определя-ется профилем скорости в невозмущенном пограничном слое (из-



менением δ по длине размещения гребенки можно пренебречь).Режим 2 соответствует случаю, когда гребенка частично захва-чена диссипативной областью псевдоскачка. Наконец, режим 3соответствует расположению гребенки целиком в диссипативномслое. При сравнительно небольшом перемещении псевдоскачкав канале полное давление может измениться в несколько раз.

Наличие режима 2 говорит о том, что наклон диссипативнойобласти более высок, чем наклон гребенки, однако посколькудля полного размещения гребенки в диссипативной области тре-буется перемещение псевдоскачка больше, чем на 20–25 мм, томожно заключить, что наклон этой области не превышает 8–9◦.Тем не менее, этот результат подтверждает высказанное предпо-ложение о том, что наклон диссипативной области в развитомпсевдоскачке меньше, чем в плоском отрыве. Например, в слу-чае течения перед ступенькой [66] наклон внутренней границыоторвавшегося пограничного слоя составляет 13◦.

Приведенные выше экспериментальные материалы указываютна некоторую общность и существенное различие течений в зонеотрыва турбулентного пограничного слоя и в развитом псевдо-скачке.

2.3. Продольный градиент статического давленияв канале в области псевдоскачка

Реализация перехода сверхзвукового потока в дозвуковое те-чение может осуществляться в условиях свободного обдува ка-нала или в условиях присоединенного воздуховода, с симметрич-ным или несимметричным пограничным слоем на входе, с остры-ми или тупыми входными кромками, с некоторыми элементамидля отсоса пограничного слоя или вдува перед началом тормо-жения, с турбулизаторами или без них на входе в канал. Такимобразом, анализ продольного градиента статического давленияна стенке канала должен проводиться с учетом особенностейтечения перед областью торможения.

Рассмотрим некоторый более простой случай, когда передобластью торможения имеет место симметричный турбулентныйпограничный слой достаточной толщины, полученный при сво-бодном обдуве (на некотором расстоянии от входа в канал) илина присоединенном воздуховоде с равномерными параметрамипотока.

При наличии перепада статического давления на входе (p1)и на выходе из канала (�p < 0) происходит торможение сверх-звукового потока, сопровождающееся повышением статического

2.3. Продольный градиент статического давления 67

давления на стенке канала. Следует заметить, что такой перепаддавления может также реализоваться и в очень длинном каналетолько за счет трения, обычно такой режим течения наступаетв зоне полностью развитого пограничного слоя. В проведенномэксперименте такой режим осуществлялся при длинах каналаL

D≈ 22 и числе Mг сопла, равном 2,6. Продольный профиль

статического давления некоторым образом отражает внутреннююструктуру течения в псевдоскачке.

При числах Mp > 1,6 можно заметить в начальной частипсевдоскачка распределение статического давления с наличием«плато», которое свойственно распределению статического дав-ления для свободного отрыва турбулентного пограничного слоя,например в области взаимодействия падающего скачка уплот-нения с пограничным слоем. С уменьшением числа Mp < 1,6такое ярко выраженное «плато» в распределении статическогодавления не наблюдается, однако еще сохраняется область с рез-

ким изменением продольного градиента давления(

lпD

< 0,5), что

также свойственно свободному отрыву пограничного слоя.Существующие двумерные эффекты в области псевдоскачка

искажают картину классического свободного отрыва турбулент-ного пограничного слоя и формируют новое течение, котороенесет в себе некоторые характерные черты, которые свойственныклассическим отрывам пограничного слоя, а также новые, кото-рые присущи псевдоскачку.

На расстоянииlпD

≈ 2 от начала повышения статического

давления происходит резкое изменение продольного градиентастатического давления, начинается плавное нарастание давления(почти с постоянным градиентом) и в области чисто турбулент-ного смешения продольный градиент существенно падает. Дляиллюстрации вышесказанного на рис. 2.14 представлено распре-деление статического давления в области псевдоскачка в диапа-зоне чисел M = 1,3–4,5, полученное в данной работе и в работахдругих авторов. На рисунке нанесены данные, полученные какв прямоугольных каналах, так и в круглых. Безразмерное давле-ние

p = pi − p

p2 − p1, (2.3)

где p1 —давление в начале псевдоскачка, p2 —в конце псевдо-скачка, а pi—текущее давление на стенке канала, нарастает

по длине канала (x = liD, где li—расстояние от начала псевдо-

скачка) неодинаково. Если для псевдоскачка при числе M = 1,3

3*


- M = 1,3- 1,5- 2,0- 2,6- 3,2- 3,8- 4,6

p

p2

p1

p

0 x D/1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

02 4 6 8 10 12 14 16 18 x D/

p p 1

2

p p

1

0

Рис. 2.14

свойственно резкое увеличение давления уже на первых двухкалибрах канала, то для псевдоскачка при числах M > 2 про-исходит более постепенное повышение давления. Известно, чтопри небольших скоростях потока перед псевдоскачком (M < 1,6)основное торможение течения происходит в так называемоммостообразном (λ-образном) скачке уплотнения, что приводитк быстрому нарастанию давления, и пологий участок в распре-делении давления занимает небольшую длину. На основаниианализа экспериментальных данных можно сделать вывод, чтодля мостообразного псевдоскачка доля повышения энтропии засчет ударных эффектов преобладает над диссипативными. Причислах M > 2 в псевдоскачке на теневых фотографиях течениячетко видна так называемая x-образная структура скачков уплот-нения (см. рис. 2.1), постепенно переходящая в мостообразную.В этом случае основное повышение энтропии происходит за счеттурбулентной диссипации.

Как было сказано выше, распределение статического давле-ния в области псевдоскачка в некоторой мере отражает внутрен-нюю структуру псевдоскачка, которую можно условно разбитьна три части (примерная схема представлена на рис. 2.15):1) небольшая по протяженности

(lп < 1)область взаимодей-

ствия (начальной λ-образной системы или x-образной), ха-рактеристики которой близки к характеристикам свободно-го отрыва турбулентного пограничного слоя («длина сво-бодного взаимодействия», см. рис. 2.2, б);

2) область постоянного продольного градиента статическо-го давления, где происходит обычное струйное смешение


Рис. 2.15

сверхзвукового ядра с пристеночной диссипативной обла-стью (рис. 2.2, а);

3) область чисто турбулентного смешения, где происхо-дит окончательное выравнивание профилей скорости(рис. 2.2, в).

Протяженность каждой из выделенных областей зависит оттолщины начального пограничного слоя и существенным обра-зом зависит от величины числа Маха перед областью торможе-ния.

Сравнивая полученные экспериментальные данные распреде-ления статического давления в области псевдоскачка для раз-личных чисел Mp (рис. 2.14), можно видеть, что предложен-ная в работе [47] аппроксимирующая зависимость достаточноудовлетворительно описывает все экспериментальные точки. Нарис. 2.16 p определено формулой (2.3), а

x = xi − x1xг − x1

, (2.4)

где x1 —координата начала области перехода, xг —координатаконца области псевдоскачка, xi—текущая продольная координа-та.


Рис. 2.16

pp0

i

0,24

0,20

0,16

0,12

0,08

0,04

0 5 10 15 20 x D/

M = 3,08г

- вдув из коллектора(по оси трубы)частичный сливпограничного слоя

- вдув со стенкитрубы- понижениедавления в ресивере}-

Рис. 2.17

Однако следует указать на то, что предложенная в рабо-те [47] корреляционная зависимость p = f(x) в виде кубическогополинома справедлива для так называемого развитого изоэнер-гетического псевдоскачка, т. е. такого режима течения, когдапроцесс перехода осуществляется в достаточно длинных каналахпостоянного сечения без процессов тепло- и массообмена.


На основании многочисленных экспериментов удалось обна-ружить, что продольное распределение статического давления настенке канала в области псевдоскачка не зависит от способадросселирования канала. На рис. 2.17 представлено распреде-ление статического давления в области псевдоскачка, которыйполучался различными способами дросселирования канала приMг = 3,08.

Из рассмотрения представленных результатов можно заклю-чить, что при длине канала, достаточной для размещения всегопсевдоскачка, продольное распределение статического давленияна стенке цилиндрического канала в первом приближении не за-висит от способа дросселирования. Можно только отметить, чтопри уменьшении длины канала L < lп эффективность струйногодросселирования при подаче воздуха по оси канала становитсянесколько выше, чем при подаче со стенок трубы.

Рассмотрим некоторые результаты, полученные при измере-нии профилей параметров в области псевдоскачка. Сложностьэкспериментального исследования полей полных и статическихдавлений заключается в большой чувствительности происходя-щих в псевдоскачке процессов к внешним воздействиям и в со-ответствующей нестабильности измеряемых параметров. Особен-ность существенным образом отражается на требованиях, предъ-являемых к измерительной аппаратуре.

На рис. 2.18 представлено распределение числа Маха в при-стенной области псевдоскачка (на трех расстояниях от стенки:r = r

R= 0,0125; 0,049; 0,123) и профили полных давлений в

различных сечениях псевдоскачка. Здесь Mi—текущее значениечисла Маха в области торможения, p0ф —давление в ресивересопла, p′0 —полное давление за прямым скачком уплотнения пе-ред насадком.

Представленное распределение чисел Маха в диссипатив-ной области псевдоскачка определяет внутреннюю структуру.На первых трех калибрах (по диаметру канала) длины областиперехода сверхзвукового течения в дозвуковое происходит рез-кое падение скорости до значения, равного скорости за прямымскачком уплотнения.

Резкое падение скорости в начальной части псевдоскачкаобусловлено взаимодействием скачков уплотнения ядра с погра-ничным слоем у стенки. В зоне первого x-образного пересече-ния скачков возможен отрыв пограничного слоя, наблюдаетсяобширная область длиной примерно в полтора калибра, котораяхарактеризуется пониженными скоростями (Mi < 0,1).


Рис. 2.18

Измеренные профили полных давлений в области псевдо-скачка имеют струйный (колоколообразный) характер. Из пред-ставленного экспериментального материала видно, что по мереудаления сечения от начала псевдоскачка струйные профили дав-ления постепенно трансформируются от неравномерных вначалек практически равномерным в конце. Измерение профилей ста-тического давления на различных расстояниях от начала псевдо-скачка показало, что вначале статическое давление по сечениюсущественно неравномерно. Этот результат указывает на то, что,на начальном участке псевдоскачка использование одномерногоподхода неправомерно.

Продольные распределения полного давления p0 в областипсевдоскачка (сопло Mг = 3,2) представлены на рис. 2.19. Сле-дует отметить, что в центре канала происходит резкое падениедавления, обусловленное наличием скачков уплотнения, однакозанимаемая часть сечения скачками уплотнения незначительна,в основном происходит плавное падение полного давления подлине псевдоскачка.

Таким образом, в области торможения сверхзвукового потокав дозвуковое течение происходит сложный газодинамическийпроцесс, сопровождающийся большим продольным градиентомдавления, с одной стороны, и, с другой, резким падением ско-

2.4. Длина области перехода 73

pp0ф

0

0,8

0,6

0,4

0,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l D/п

M = 3,2г

- r R/ = 1,0- 0 6,- 0 47,- 0 3,- 0 05,


Рис. 2.19

рости в пристенной области, что в конечном счете, вследствиеограниченности пространства, отличает процессы псевдоскачкаот известных процессов в обычных свободных отрывах турбу-лентного пограничного слоя.

2.4. Длина области перехода сверхзвукового теченияв канале в дозвуковое

Как сказано выше, одной из важнейших характеристик псев-доскачка является его длина. В ряде практических приложенийэта характеристика может иметь решающее значение.

Известно, что на эту длину существенно влияет число Mp

потока и толщина пограничного слоя в начале псевдоскачка. Приудалении последнего длина псевдоскачка стремится к нулю, си-стема замыкающих скачков уплотнения сжимается и образуетсяобычный прямой скачок уплотнения. С другой стороны, увели-чение толщины пограничного слоя перед системой замыкающихскачков уплотнения приводит к увеличению длины области пе-рехода.

Для иллюстрации вышесказанного на рис. 2.20 представленыполученные в эксперименте длины области перехода lп в зависи-мости от относительной толщины пограничного слоя δ для числаMp = 2,08 (плоский канал [57] и 3,0 (осесимметричный канал).

Из представленных результатов видно, что при достижениинекоторой величины относительной толщины пограничного слоядлина lп асимптотически выходит на постоянную величину, за-висящую только от значения числа Маха. В дипазоне чиселM = 1,8–3,0 эта величина близка к значению, равному 0,30,и для оценок возможных длин псевдоскачка в этом диапазоне


Рис. 2.20

можно воспользоваться аппроксимирующей зависимостью

lп = 4γγ − 1

M2 − 1

M2

(δ

R

)0,125. (2.5)

Остановимся на методах определения длины области переходасверхзвукового потока в дозвуковое течение.

Известно, что, помимо заметного влияния на длину псевдо-скачка значения числа Маха и относительной толщины погра-ничного слоя δ, существенное значение имеет геометрия кана-ла, особенно расширение. В случае канала постоянного сече-ния длина псевдоскачка может быть легко определена по местуизменения знака продольного градиента статического давления.В конце области перехода скорость потока достигает значе-ния, соответствующего скорости за прямым скачком уплотнения,и после этого сечения происходит обычный разгон дозвуковогопотока, где продольный градиент статического давления имеетотрицательное значение. Таким образом была определена длинапсевдоскачка в работах [45, 51, 53, 57, 71].

Некоторую сложность в определении длины псевдоскачкапредставляют каналы переменного сечения. В этом случае са-мым надежным является прямое измерение величины скоростив различных сечениях канала. Таким методом были определенызначения lп в работе [79].

Однако следует отметить, что такой метод очень трудоёмоки в ряде случаев представляет сложную техническую проблему.

2.4. Длина области перехода 75

Длину псевдоскачка в этом случае можно определитьрасчетным путем по имеющемуся продольному распределениюстатического давления на стенке канала. При этом предполагает-ся, что величина коэффициента трения Cf в конце псевдоскачкаравна величине коэффициента трения C ′

f , который определяетсяпо скорости за прямым скачком уплотнения.

Исходя из условия одномерности течения в начале и в концепсевдоскачка можно записать

dM2

M= −2[1+ (γ − 1)M2/2

]1− M2

dF

F+

+γM2 [1+ (γ − 1)M2/2

]1− M2 Cf

dF

F, (2.6)

dp

p= γM2

1− M2

dF

F− γM2 [1+ (γ − 1)M2/2

]2(1− M2) Cf

dF

F, (2.7)

где F —площадь поперечного сечения канала.

По имеющемуся значениюdp

pи F и заданному Cf можно

найти величинуdM2

M.

В работе [55] таким путем была определена длина псев-доскачка для числа Mp = 2, которая составила 12,5 калибровканала. Следует отметить, что определенная таким образом дли-на lп очень сильно зависит от величины выбранного коэффици-ента трения Cf , что, в свою очередь, сказывается на точностиопределения длины псевдоскачка. В ряде случаев предложенныйв работе [55] метод оказывается единственно возможным.

На рис. 2.21 представлены многочисленные эксперименталь-ные данные о длине псевдоскачка lп в зависимости от величинычисла Mp перед ним. Несмотря на существенный разброс экспе-риментальных данных можно отметить, что большинство точекуказывает на четкую зависимость от величины числа Mp. Присоставлении данного графика, где собраны экспериментальныерезультаты различных работ (как отечественных, так и зарубеж-ных), в настоящей работе не удалось (по ряду причин) точноопределить метод определения lп другими авторами, а такжев каждом случае величину относительной толщины погранич-ного слоя, что, по-видимому, некоторым образом, повлияло насогласованность экспериментальных результатов. Однако пред-ставляется, что такое обобщение (пусть даже в некоторой степе-


Рис. 2.21

ни условное) дает представление об общности всех эксперимен-тальных работ в области исследований псевдоскачка. На этомже графике представлены некоторые результаты расчетов длинlп, проведенные по аппроксимирующим зависимостям различныхавторов.

Приведенные данные на рис. 2.21 о длине псевдоскачка отно-сятся к такому случаю, когда перед псевдоскачком имеет местоосесимметричный пограничный слой.

2.5. Экспериментальное исследование пульсацийполного давления в области псевдоскачка

В последнее время наблюдается значительный интерес к фи-зическим исследованиям турбулентности в каналах. Большаячасть экспериментов проведена по исследованию турбулентностив каналах воздухозаборников летательных аппаратов, так какбыло обнаружено существенное влияние пульсаций полного дав-ления на противопомпажный запас компрессора [72–80, 84].

В работе [73] было поставлено параметрическое исследованиеинтенсивности пульсаций давления в схематических каналахи в моделях сверхзвуковых воздухозаборников. Было показано,

что в канале длиной L = L

D≈ 5 пульсации полного давления

неравномерны по сечению, причем максимумы пульсаций при-мерно соответствуют областям максимальных скоростей пото-ка в канале, а при длинах канала L > 10 пульсации полногодавления примерно равномерны по сечению. Однако большин-ство экспериментов было проведено для случая, когда торможе-ние сверхзвукового потока происходило в скачках уплотнения

2.5. Экспериментальное исследование пульсаций полного давления 77

с незначительной долей диссипативных эффектов. В то же времяизвестно, что при сверхзвуковых скоростях в канале порождениетурбулентных пульсаций в основном обусловлено вязким взаимо-действием между сверхзвуковым ядром и пристеночной диссипа-тивной областью. Интенсивность этих пульсаций и их профильсущественным образом зависят от характера течения в канале.Экспериментальные работы по измерению пульсаций полногодавления в псевдоскачке представлены в ряде работ [76, 77].

Проведенные эксперименты по измерению профилей скоростив области перехода сверхзвукового потока в дозвуковое течениепоказали, что на начальном участке псевдоскачка имеют местобольшие поперечные градиенты скорости. Предполагается, чтоиз-за градиента скорости в поперечном направлении происходитпереход энергии поступательного движения в энергию турбу-лентных пульсаций скорости, которая, в свою очередь, переходитв тепловую энергию за счет вязкости. Наличие турбулентныхпульсаций скорости приводит к возникновению больших турбу-лентных напряжений, которые выравнивают поля скорости вдольканала.

Таким образом, экспериментальное исследование турбулент-ных пульсаций скорости позволит более глубоко понять физи-ческие процессы, происходящие в области псевдоскачка, и по-строить расчетную модель, позволяющую, наряду со среднимипрофилями параметров, описать распределение пульсационныххарактеристик.

Эксперименты проводились при числах Mp = 2,6–3,8. ЧислоРейнольдса могло меняться в пределах (ReD = 6 · 106–8,0 · 106).Воздух поступал из системы высокого давления не подогретым,температурный фактор имел значение Tw = 0, 92. Для опре-деления характера течения исследуемый канал был снабженприемными отверстиями для измерения статического давленияс шагом H = 0,25D. Режим течения в канале с псевдоскачкомполучался при помощи струйного дросселя, который был уста-новлен в конце канала. Измерение пульсационной составляющейполного давления и основных ее характеристик проводилось пометодике, описанной в работе [84]. Пульсации полного давле-ния воспринимались комбинированным аэрометрическим насад-ком длиной L = 150 мм и преобразовывались в электрическийсигнал индуктивным датчиком типа ДМИ-П-0,6, включеннымв аппаратуру 4-АНЧ-15-М. C выхода аппаратуры сигнал черезфильтр поступал на комбинированный измеритель дисперсии σ2,временного масштаба T и коэффициента асимметрии S. Кроме


r R/

0,8

0,6

0,4

0,2

0 1 2 М

М = 3,2 Re = 2,8 106

г D

l = 0п-

- 0,3- 1,5- 2,5- 3,4- 4,2- 6,6- 7,2- 8,7- 10,2

Рис. 2.22

того была проведена запись процесса на ленте осциллографаМПО-2 с полосой пропускания 4000 Гц.

Относительная интенсивность пульсаций давления опреде-

лялась как εp =

√σ2Δp

p0, где p0 —давление, измеренное ком-

бинированным насадком. Безразмерный продольный масштабтурбулентности определялся по формуле lD = lD/D, где lD == uT , u—скорость за прямым скачком уплотнения [м/c], T —интегральный временной масштаб [c], D—диаметр канала [м].

На рис. 2.22 и 2.23 представлено распределение чисел Махав канале, полученное по показаниям насадка полного давленияp′0 и по величине статического давления, измеренного на стенкеканала. Построенные по осциллограммам амплитуды пульсацийполного давления, полученные для различных сечений псевдо-скачка, приведены на рис. 2.24, в.

На рис. 2.25, а представлена зависимость границ интенсив-ности пульсаций εp от числа Mp. Видно, что как минимальный,так и максимальный уровни εp растут с числом Mp перед псевдо-скачком. Уровень пульсаций εp для конического сопла (Mг=4,2;γ∗ = 14◦) удовлетворительно коррелирует с аналогичной зависи-мостью для профилированных сопл.

На рис. 2.25, б представлена зависимость безразмерного ли-нейного масштаба lD от длины псевдоскачка lп для различныхсечений по радиусу r. Видно, что линейный масштаб в началепсевдоскачка имеет размер порядка диаметра канала и постепен-

2.5. Экспериментальное исследование пульсаций полного давления 79

Рис. 2.23

- = 0- 1- 2- 5- 9

lп

M = 3г

0,050 0,1

0,2

0,6

0,4

r

Ap0ф

Рис. 2.24

но с увеличением lп уменьшается до обычного уровня порядка0,2D.

Эти данные показывают, что пульсации полного давленияв области псевдоскачка носят характер обычных турбулентныхпульсаций, имеющих место в течениях с неравномерными сред-ними скоростями, например в струях. Также видно, что пуль-сации имеют максимальные значения в области максимальныхградиентов средней скорости, что соответствует обычному меха-низму генерации турбулентных пульсаций в струйных течениях.Если в передней части псевдоскачка отмечается существеннаянеравномерность пульсаций по сечению, то ниже по потокупульсации за счет процессов турбулентного обмена распределя-ются более равномерно и заполняют все сечение канала. Послевыравнивания средних скоростей механизм генерации пульса-ций становится несущественным и пульсации затухают из-замолекулярной вязкости. Вообще говоря, при увеличении длины


Рис. 2.25

канала пульсации на оси не будут стремиться к нулю из-за ихдиффузии от турбулентных пристеночных областей и пульсациивыйдут на определенный постоянный уровень, однако в экспери-менте рассматривались длины от 5 до 15 калибров, для которыхпульсации, вызванные в области перехода сверхзвукового потокав дозвуковое течение, много больше пульсаций, создаваемыхвблизи стенок канала.

Анализируя экспериментально полученные спектры пульса-ций полного давления для псевдоскачка и сравнивая их со спек-трами, полученными за интерцепторами [78], и одновременнымиспектрами, полученными для каналов при наличии острых кро-мок на входе [77], обнаруживается существенное их отличие.Для спектра E(ω) при малых частотах ω отсутствует «полка»,которая обусловливается существованием в потоке последова-тельных вихрей с поперечным направлением вращения, вызван-ного наличием больших зон отрыва потока.

Можно сделать вывод, что характер пульсаций в псевдоскач-ке соответствует формированию их без существенного влияниязон отрыва потока (если таковые имеются), в то время как заинтерцептором или при наличии острых кромок очень важнымдля структуры пульсаций является наличие зон отрыва потока.При этом влияние отрывных зон [79, 81] распространяется дале-ко вниз по потоку, где отрыва уже нет.

2.6. Экспериментальное исследование силы трения 81

2.6. Экспериментальное исследование силы тренияв канале при наличии псевдоскачка

Многими авторами предполагалось, что в области переходасверхзвукового потока в дозвуковое течение трение о стенки ка-нала незначительно или вообще отсутствует [28, 82]. Проведен-ные в настоящей работе измерения полей скоростей в пристен-ной области псевдоскачка показали, что поток в этой областив основном дозвуковой, а зон возвратного течения существеннойпротяженности нет [56, 61, 82].

В предложенной Крокко [82] бесскачковой модели псевдо-скачка действительный профиль скоростей в поперечных сечени-ях заменяется ступенчатым профилем, а потерями полного дав-ления в ядре пренебрегают. Эта модель определяет осредненныепараметры потока в диссипативном слое при известном заранеезаконе изменения давления или скорости нарастания диссипациивдоль псевдоскачка. Течение в пристенном слое является дозву-ковым, без зон отрыва.

Таким образом, если предположить, что трение в псевдо-скачке определяется течением в диссипативном слое, то модельКрокко позволяет оценить силу трения о стенки в области псев-доскачка.

Одной из основных задач настоящей работы было непосред-ственное измерение на тензометрических весах силы трения,приложенной к стенке канала в различных частях псевдоскач-ка, расположенного на различных расстояниях от начала кана-ла. Эксперимент проводился с четырьмя каналами с длинами

L = L

D= 4,4; 7,1; 12,7 и 24.

Весовой элемент всегда располагался непосредственно за со-плом. Последовательность выполнения эксперимента была сле-дующей: сначала устанавливалось сверхзвуковое течение вдольканала, затем производились замеры силы трения при постепен-ном дросселировании канала и соответствующем перемещениипсевдоскачка вверх по потоку до момента, когда начало псевдо-скачка достигало переднего среза испытуемого отсека.

При проведении опыта измерялась сила трения при раз-личном характере течения в канале: сверхзвуковом, смешанномсверхзвуковом и дозвуковом и, практически, дозвуковом тече-нии за псевдоскачком (при длине канала больше длины псев-доскачка). Поскольку величина коэффициента потери импульсана участке сверхзвукового течения ξ была подробно исследована(см. главу 1), значение коэффициента потери импульса ξ в псев-


lсвL

�

0,06

0,04

0,02

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 0,9 lсвL

0,7

M = 2,6г

- Re = 2,1 103-

-,1 101,7 10

D6

6

6

L D/ = 24

- 4Re = 2, 10- 2 8- 4

, 1010

D6

6

6

L D/ = 12,7

Рис. 2.26

Рис. 2.27

доскачке ξп можно определить, вычитая из суммарного значениякоэффициента потери импульса по всему каналу ξΣ величину ξ.

На рис. 2.26, 2.27 и 2.28 приведены зависимости значениякоэффициента потери импульса ξ в канале заданной длины Lот места положения псевдоскачка (расстояния от начала каналадо начала псевдоскачка), т.е. длины сверхзвукового участка lc.Разброс точек на графиках в известной мере можно объяснитьнекоторой неточностью в определении длины lс, поскольку дре-нажные отверстия для измерения статического давления вдольканала были расположены с шагом 0,5D. Непосредственное рас-смотрение графиков позволяет сделать вывод об уменьшениисилы трения, приложенной к каналу по мере перемещения псев-доскачка вверх по потоку и, следовательно, о том, что в псевдо-скачке напряжение трения меньше, чем в сверхзвуковом потоке,имеющем тот же импульс и расход.

Таким образом, торможение потока в псевдоскачке, в отличиеот торможения сверхзвукового потока в цилиндрическом каналетакой же длины за счет трения, приводит к уменьшению на-


Рис. 2.28

пряжения трения. Следует отметить, что вывод о постоянственапряжения трения был получен для ограниченного диапазонаотносительных длин канала (L = 5–25) и чисел Mp = 2,5–3,8,при которых изменение числа Маха вдоль канала было срав-нительно небольшим. Кроме того, сравнение представленных нарис. 2.28 данных, для профилированных и конического сопл(γ∗ = 14◦), имеющих одинаковый импульс при одинаковом рас-

ходе, показывает, что зависимости ξ = ξ(

l

D

)для этих сопл

практически совпадают.Этот результат позволяет сделать вывод о том, что сила

трения в псевдоскачке, так же как и в сверхзвуковом потокев трубе, практически не зависит от того, является ли начальныйсверхзвуковой поток равномерным или неравномерным, при усло-вии, что импульсы этих потоков при одинаковом расходе равны.

На рис. 2.29, 2.30 и 2.31 приведены зависимости коэффи-циента потери импульса ξ на участке канала с псевдоскачкомв зависимости от длины последнего для различных длин каналаи различных сопл.

При длине большей, чем длина псевдоскачка, составляющаяпримерно десять калибров, в величину ξ включен коэффициентпотери импульса на участке канала за псевдоскачком, где имеетместо дозвуковое течение. На графиках использованы различные


Рис. 2.29

Рис. 2.30

значки для обозначения величин ξ, полученных путем вычитанияиз суммарного значения ξΣ значения ξ для сверхзвуковой части

канала(

lcD

> 0, светлые значки)и для значений ξп, полученных

непосредственным взвешиванием канала, занятого только псев-

доскачком(

lcD

= 0, темные значки).

Рассмотрение графиков показывает, что все эксперименталь-ные точки достаточно удовлетворительно (по крайней мере, приlпD

> 3) укладываются на линию, близкую к прямой. Следова-

тельно, можно заключить, что вдоль псевдоскачка напряжениетрения близко к постоянному. Этот вывод представляется вполнеестественным, поскольку течение в псевдоскачке у стенки дозву-ковое, а зоны отрыва пограничного слоя, находящиеся в началепсевдоскачка, по-видимому, занимают малую протяженность.


Точный расчет силы трения в псевдоскачке, вследствие недо-статочной изученности течения в нем, в настоящее время непредставляется возможным. Представляет интерес сравнить тре-ние в псевдоскачке с трением в гипотетическом дозвуковом по-токе за прямым скачком уплотнения. Приведенная скорость запрямым скачком равна

λп = 1λс, (2.8)

где λс —приведенная скорость перед прямым скачком уплотне-ния. Величина λс зависит от λп —приведенной скорости в началеканала.

Величину λс можно определить по уравнению количествадвижения, зная коэффициент потери импульса на сверхзвуковомучастке канала ξ:

λс = 12(1− ξ)z(λH) + 1

2

√(1− ξ)2z2 (λH) − 4 , (2.9)

средний коэффициент трения в дозвуковом потоке можно выра-зить следующим образом:

Cfп = 2τwп

ρпu2п

. (2.10)

В свою очередь средний скоростной напор можно выразить черезгазодинамические функции:

ρпu2п

2= γ

2

( 2γ + 1

)γ/(γ−1)p0пg(λп)λп. (2.11)

Коэффициент потери импульса в дозвуковом потоке, который,по-прежнему, будем относить к параметрам потока в канале,запишется:

ξn = τwпSпJп

= 4τwπDlп

πD2p0пf(λп)= 4

lпD

τwп

p0пf(λп). (2.12)

Подставляя значение τwп из (2.10) в (2.8), получим связь междуξп и Cfп

ξп = Cfп4lпD

γp0пg(λп)λпp0пf(λп)

( 2γ + 1

)γ/(γ−1)= 4γλпCfп

(γ + 1)z(λп)lпD

. (2.13)

Коэффициент Cfп можно представить в виде:

Cfп = Cf0Cfп

Cf0, (2.14)

где Cf0 —коэффициент трения для несжимаемой жидкости.


В случае шероховатой поверхности трубы, использованнойв эксперименте, когда имеет место полное проявление шерохова-тости, значение Cf0 можно определить по формуле Кармана:

Cf0 = 1

4(2 lg R

Ks+ 1,74)2 . (2.15)

Здесь Ks—высота бугорков шероховатости, R—радиус трубы.

ОтношениеCfп

Cf0зависит только от λп и для условий проведенного

эксперимента близко к единице.Таким образом, коэффициент потери импульса ξп в предпо-

ложении наличия прямого скачка уплотнения будет равен:

ξп = Cf0

(Cfп

Cf0

)4γλп

(γ + 1)z(λп)lпD

. (2.16)

В частном случае, когда псевдоскачок начинается непосредствен-но в начале канала, и при условии, что гипотетический прямойскачок уплотнения расположен в начале псевдоскачка (что, вооб-ще говоря, довольно произвольно), эта зависимость будет иметьвид:

ξп = Cf0

(Cfп

Cf0

)4γ

(γ + 1)λпz(λп)lпD

. (2.17)

Учитывая далее, что зависимость коэффициента потери импуль-са для сверхзвукового потока от среднего коэффициента тренияописывается выражением (1.6) получим отношение коэффициен-тов потери импульса псевдоскачка к сверхзвуковому при равен-стве длин lп и lс:

ξпξc

=Cfп/Cf0

Cf/Cf0

1

λ2п. (2.18)

Сравнение результатов эксперимента и расчета по уравнению

(2.17) приведено на рис. 2.32. Значение коэффициентаCfп

Cf0, учи-

тывающего сжимаемость, было принято таким же, как и в рабо-те [24].

Рассмотрение приведенного результата показывает, что тре-ние в псевдоскачке сравнительно немного превышает трениев дозвуковом потоке за прямым скачком уплотнения. Если при-нять, что прямой скачок располагается на некотором расстоя-нии от начала псевдоскачка, отмеченное расхождение несколькоуменьшится.

Результаты расчета коэффициента потери импульса в областипсевдоскачка по зависимости (2.17) приведены на рис. 2.29–2.31.


Рис. 2.31

Рис. 2.32

Видно, что простейшая модель течения—замена псевдоскачкапрямым скачком уплотнения—вполне пригодна для оценки силытрения в псевдоскачке.

Как уже ранее упоминалось, расчет с использованием моде-ли Крокко в предположении, что стенка обтекается равномер-ным потоком с параметрами, соответствующими диссипативномуслою, дает несколько заниженные значения коэффициента поте-ри импульса.

Г л а в а 3

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА

ПСЕВДОСКАЧКА

3.1. Обзор существующих методов расчетапсевдоскачка в канале

Существующие в настоящее время методы расчета теченийв области перехода сверхзвукового потока в дозвуковое течениеможно разбить условно на две группы. К первой группе отно-сятся так называемые полуэмпирические методы, основанные наразличных моделях турбулентности. Ко второй группе относятсяметоды, основанные на сращивании результатов расчета невяз-кого пространственного течения в канале и вязкого пристенногослоя.

Проведем краткий анализ существующих методов расчетапсевдоскачка в канале.

Первая попытка приближенного расчета псевдоскачка былапредпринята Крокко [82]. На основании экспериментальных ре-зультатов, полученных в работе [50], была предложена бесскач-ковая модель течения. Известно, что общее повышение давле-ния в псевдоскачке почти равно повышению давления в прямомскачке уплотнения, при этом статическое давление на стенкеканала непрерывно растет, а длина псевдоскачка зависит толькоот числа Маха и начальной толщины пограничного слоя. Кроккопредположил, что основной процесс диссипации энергии в псев-доскачке связан с потерями на турбулентное смешение. Анализэкспериментальных результатов показал, что повышение энтро-пии в скачках уплотнения незначительно. Крокко предположил,что течение в ядре псевдоскачка равномерное и изоэнтропиче-ское, заменяя при этом диссипативную область эквивалентнойобластью с осредненными параметрами. После этого, зная изэксперимента продольный градиент статического давления илискорость нарастания диссипативной зоны (пристенной области),можно определить изменение всех параметров в псевдоскачке.

3.1. Обзор существующих методов 89

Таким образом, предложенный метод расчета позволяет про-вести некоторый анализ только проведенных экспериментов.

Тем не менее, предложенный метод дал основное направлениев развитии безударных моделей псевдоскачка.

После работы Крокко появилось еще несколько работ [86,92–95], целью которых был количественный расчет измененияпараметров течения в области псевдоскачка.

В работе [93] приведено обобщение модели Крокко, состо-ящее в учете потерь полного давления в ядре псевдоскачка,а также в предположении степенных профилей для скорости.В этих случаях удовлетворить интегральным законам сохраненияпри всюду положительных скоростях в сечениях не удается, чторассматривалось как доказательство наличия отрывного харак-тера течения на начальном участке псевдоскачка.

Особого внимания заслуживает работа [92]. На основе ква-зиодномерной теории струйных течений, созданной Г. Ю. Сте-пановым, была сделана попытка рассчитать течение в областипсевдоскачка. В работе предложен метод расчета, пренебрегаю-щий влиянием скачков уплотнения и трением о стенки каналаи исходящий из отрывного характера течения на начальномучастке псевдоскачка. Используется однопараметрический про-филь скорости в слое смешения, система уравнений содержитинтегральные законы сохранения расхода и импульса, а такжедифференциальное уравнение импульса для параметров потокау стенки канала. Используется значение эмпирического пара-метра в формуле Прандтля для турбулентной вязкости как дляплоского ближнего следа. Область псевдоскачка разбивается натри участка вдоль канала, каждый из которых рассчитываетсяотдельно. При этом в ядре потока до смыкания слоев смешениятечение принимается изоэнтропическим. По указанной схемебыли проведены единичные расчеты, которые дали удовлетвори-тельное соответствие с экспериментом для длины псевдоскачка.К сожалению, в работе не было исследовано влияние начальнойтолщины пограничного слоя, которая входит в расчет в качественачального условия.

При расчетах по этому методу установлено, что в случае ма-лых чисел M � 1,8, при которых в области первого λ-образногоскачка имеет место отрыв пограничного слоя, получается, удо-влетворительное согласование расчета и эксперимента. При чис-лах M � 2,0 выявлено некоторое расхождение результатов расче-тов по методу, изложенному в работе [92], с экспериментальны-ми результатами в области вязкого взаимодействия (первая третьдлины псевдоскачка). Несмотря на это, метод представляет опре-

90 Гл. 3. Приближенные методы расчета псевдоскачка

деленный интерес для расчета параметров течения в воздухо-заборниках самолетов при M � 2,0, с некоторой модификацией,если принять модель течения в воздухозаборнике в соответствиис [96].

В работе [97] (которую можно рассматривать как продолже-ние [92]) рассмотрен приближенный одномерный метод расчетапо модифицированной модели Крокко. Расчет длины псевдо-скачка основан на теории взаимодействия сверхзвукового изоэн-тропического и пристенного вязкого потоков. Кроме уравненийнеразрывности и количества движения привлекалось уравнениедля коэффициента смешения в градиентном потоке [98]. В ра-боте получена зависимость между параметрами формы профиляскорости и приведенной скоростью на границе вязкого слоя.Проведено сравнение расчетных и опытных данных по длинепсевдоскачка. Наблюдается удовлетворительное согласование ре-зультатов расчета и эксперимента в области малых сверхзвуко-вых скоростей.

В последнее время, в связи с разработкой перспективных ги-перзвуковых воздушно-реактивных двигателей, актуальным во-просом является вопрос организации рабочего процесса горения,в котором также может наблюдаться течение типа псевдоскачка.Этому вопросу посвящены работы [60, 99].

Предложенный одним из авторов метод [94] был развит наслучай горения водородного топлива в области псевдоскачка.В работе [99] проводится расчетный анализ экспериментальныхданных по горению водорода в цилиндрической трубе на режимепсевдоскачка. Помимо введенного безразмерного профиля скоро-сти u(x), зависящего от некоторых функций a(x) и σ2(x) (описа-ние функций дано ниже в 3.2) вводится безразмерный профильконцентрации пассивной примеси c

[ac(x), σ2c (x), r

], аналогич-

ный профилю скорости. Это нужно для описания смешения стру-ек топлива, для чего и вводилась фиктивная пассивная примеськак индикатор вещества струи, не зависящего от протекающиххимических реакций.

Авторами получено удовлетворительное согласование резуль-татов расчета и эксперимента по продольному профилю статиче-ского давления и полноты сгорания. Показано, что при горениив псевдоскачке ширина слоя смешения увеличивается примернов три раза быстрее, чем при чисто сверхзвуковом горении, т. е.псевдоскачок приводит к значительной интенсификации процес-са смешения. Вследствие этого и полнота сгорания при наличиипсевдоскачка значительно выше, чем без него.


В работе [100] предпринята попытка рассчитать профильпараметров в области псевдоскачка в рамках уравнений парабо-лического типа.

Авторы работы [100] показывают, что в приближении по-граничного слоя между продольным градиентом статическогодавления, геометрией канала и профилем параметров в сечениисуществует однозначная связь.

В случае описания процессов, происходящих в псевдоскачке,параболическим уравнением, получена зависимость следующеговида

dp

dx= γp{Ri dR

dx+

R∫

0

[1

ρu2yi

∂

∂y

(yi ∂u

∂yμt

)− μt

ρuH

(∂u

∂y

)2−

− 1

yiρuH

∂

∂y

(yiμt

Prh

∂H

∂y

)yi

]dy

}⎛⎝R∫

0

(1− M2

ср

)M2ср

yidy

⎞⎠−1

. (3.1)

Здесь i = 0 соответствует плоскому, а i = 1—осесимметричномуслучаю течения, H—энтальпия потока, μt = ρνt—турбулентнаявязкость, Prh—турбулентное число Прандтля. Как указываетсяв работе [100], уравнение (3.1) справедливо только в том случае,если продольная скорость u не меняет своего знака в сечении,т. е. имеет место безотрывное течение в канале.

Более того, в указанном случае вообще отсутствует локаль-ная связь между параметрами течения в произвольном сеченииканала, так как для течения с зонами обратных токов, дажепри выполнении условий справедливости уравнений погранично-го слоя, параболический характер последних нарушается из-запередачи возмущений вверх по потоку через зоны обратныхтоков.

Согласно уравнению (3.1), знак интеграла

I =R∫

0

(1− M2

ср

)M2ср

yidy (3.2)

обусловливает знак продольного градиента статического давле-ния. Таким образом, в случае сверхзвукового (в среднем) тече-ния градиент статического давления отрицателен, а при дозвуко-вом течении градиент продольного статического давления поло-жителен. Как показала практика расчетов, область примененияполученного уравнения очень ограничена из-за члена уравнения,


содержащего первые производные от скорости и температурыв поперечном направлении, и в численных расчетах использо-вание полученного уравнения возможно при достаточно гладкихначальных условиях. Пример решения уравнения (3.1) будет данниже в 4.2.

Однако на практике в большинстве случаев профили скоро-сти близки к ступенчатым (струйные, колоколообразные). Этоуравнение можно использовать начиная с сечения, где среднеепо профилю число Маха Mср меньше единицы, т. е. когда ста-тическое давление в поперечном направлении выравнивается.

Обычно эта область течения составляет примерно13от общей

протяженности псевдоскачка.В последнее время предпринимались попытки построения

расчетного метода на основе структурного анализа течения в об-ласти псевдоскачка [101]. Однако следует указать на то, чтотечение в области псевдоскачка описывается эллиптическимиуравнениями, расчет которых в настоящее время для такогослучая очень затруднителен.

На основании проведенных экспериментов сейчас можнопредставить себе некоторую квазистационарную картину теченияв области псевдоскачка (рассматривается область малых чиселMн � 1,8). Принципиальным вопросом в «структурной» моделитечения является описание механизма возникновения первогоскачка уплотнения, после которого происходит разгон потокаи образование последующей цепочки мостообразных скачковуплотнения.

Если предположить, что этот скачок существует (это на-блюдается в эксперименте), то при достаточной его интенсивно-сти происходит отрыв пограничного слоя с образованием косогоскачка уплотнения. При отражении его от стенки при малых чис-лах Маха может реализоваться конфигурация Маха, которая прибольших числах Маха превращается в регулярное пересечение.Если принять угол отрыва турбулентного пограничного слоя рав-ным 10◦ (в действительности эта величина может быть другойили даже равной нулю), то переход от λ-образной конфигурациик x-образной происходит при Mp � 1, 8. Оторвавшийся погранич-ный слой образует диссипативную зону, которая взаимодействуетсо скачком уплотнения как свободная поверхность с заданнымдавлением. Если поток за отраженным от оси скачком уплот-нения сверхзвуковой, то в точке взаимодействия этого скачкауплотнения с поверхностью диссипативной зоны происходит по-ворот вектора скорости в направлении к стенке с образованием


волн Прандтля–Майера. В случае дозвуковых скоростей за скач-ком уплотнения в точке взаимодействия с диссипативной зонойповорот вектора скорости происходит по направлению к оси (см.рис. 2.15, б).

Существенно, что в обоих случаях происходит ускорениепотока после первого скачка. В случае дозвуковых скоростейза скачком число Маха увеличивается до единицы. Двумернаякартина течения в этом случае усложнена наличием разрываэнтропии, начинающегося в точке взаимодействия отраженногоот оси скачка уплотнения с поверхностью диссипативной зоны.Как в том, так и в другом случае торможение газа в диссипатив-ном слое из-за турбулентной вязкости приводит к увеличениюзоны пониженных скоростей, повышению давления вдоль гра-ницы диссипативной зоны и появлению в сверхзвуковом случаеволн сжатия, которые отражаясь от оси, приводят к образо-ванию нового скачка уплотнения. Ввиду малости чисел Махав ядре потока этот скачок оказывается близким к прямому,он же является причиной образования последующей цепочкискачков уплотнения. При достижении звуковой скорости во всемпоперечном сечении поток еще полностью не выравнивается,и процесс последующей диссипации определяется только турбу-лентной вязкостью.

Таким образом, поток у стенки характеризуется постепеннымповышением статического давления, в то время как давление наоси колеблется с уменьшающейся амплитудой по мере приближе-ния числа Маха к единице. Эти колебания связаны с переходомчерез скачки уплотнения, волны сжатия и разрежения. Суммар-ные потери в скачках уплотнения относительно невелики. Этикачественные выводы хорошо согласуются с экспериментальны-ми данными, и описанная структура течения хорошо видна нафотографиях течения, полученных с помощью теневых приборов.

Такова несколько упрощенная физическая модель теченияв области вязкого взаимодействия (начальная часть псевдоскач-ка). Но даже в этой постановке модель течения очень сложна дляаналитического описания и решения. Однако в последнее времяуже появляются работы, в которых предприняты попытки поизмеренному статическому давлению в диссипативной областивосстановить структуру течения в начальной области псевдо-скачка [55, 104].

Принципиально важной при таком подходе является задачао взаимодействии отраженного от стенки косого скачка уплот-нения с поверхностью диссипативной области, где непрерывныйповорот потока заменяется изломом с углом ω, который опре-


деляется путем итераций по экспериментальному распределениюстатического давления на стенке, при этом надо учесть, чтово всех случаях рассматривается явление в квазистационарномрежиме (см. работу [55]).

Таким образом, подход к решению такого сложного газоди-намического процесса, как псевдоскачок, является чрезвычайнотрудным и сложным, хотя он и более точен, однако диссипа-тивная модель псевдоскачка в настоящее время является болеемобильной и доступной для инженерного применения и можетбыть легко усовершенствована по мере уточнения наших пред-ставлений о природе турбулентности.

В следующих разделах будет изложена бесскачковая (дисси-пативная) модель псевдоскачка, развитая в настоящей работе,и ее применение в некоторых прикладных задачах.

3.2. Интегральный метод расчета псевдоскачкав канале на основе диссипативной модели

Рассматривается случай квазистационарного развитого псев-доскачка, имеющего место при достаточно толстых погранич-ных слоях, когда увеличением энтропии в системе λ-образныхи x-образных скачков уплотнения можно пренебречь.

Поскольку одномерные законы сохранения при пренебреже-нии молекулярным переносом включают только исходные зна-чения параметров потока и их значения за прямым скачкомуплотнения, то непрерывное изменение давления вдоль каналавозможно лишь при неравномерном распределении параметровпо сечению. При этом в бесскачковой модели псевдоскачка ме-ханизм увеличения энтропии вдоль канала состоит в том, чтовследствие наличия поперечных градиентов скорости происходитпереход энергии поступательного движения в энергию турбу-лентных пульсаций скорости, которая, в свою очередь, переходитв тепловую энергию за счет вязкости. Наличие турбулентныхпульсаций скорости приводит к возникновению больших турбу-лентных напряжений трения, приводящих к выравниванию полейскорости вдоль канала.

Если пренебречь влиянием пульсаций параметров при записиуравнений сохранения массы, импульса и энергии, что всегдаможно сделать, поскольку вклад пульсационных членов не пре-вышает нескольких процентов, то при известных распределенияхсредних значений параметров можно рассчитать увеличение эн-тропии вдоль канала, т.е. можно не рассматривать диссипациюиз-за пульсаций непосредственно, а следить за изменением рас-

3.2. Интегральный метод 95

пределений параметров вдоль канала, развивающихся под дей-ствием турбулентных напряжений.

Таким образом, задача определения длины псевдоскачка, рас-пределения давления вдоль канала и профилей параметров сво-дится к анализу струйной задачи развития профилей скоростиза счет турбулентной вязкости и может быть решена, если зако-номерности развития профилей известны (например, из экспери-мента).

Следует отметить, что для расчета пульсаций скорости в об-ласти псевдоскачка необходимо привлекать законы диссипациии диффузии кинетической энергии турбулентности, что будетсделано в 3.3.

Важным при построении струйной модели псевдоскачка яв-ляется вопрос о наличии зон возвратных течений вблизи стен-ки. Теоретическое выяснение этого вопроса требует привлечениядостаточно тонких методов анализа воздействия положительно-го градиента давления и скачков уплотнения на турбулентныйпограничный слой. Выводы, следующие из экспериментальныхданных, говорят о том, что для развитого псевдоскачка зоны об-ратных токов существенной протяженности отсутствуют. Пред-полагается, что течение в псевдоскачке безотрывное.

Для определения профилей средних параметров струйного те-чения необходимо задаваться неизвестными заранее турбулент-ными напряжениями. В интегральных методах предполагается,что турбулентные напряжения в потоке такие, что соответству-ющие им профили средней скорости, а также концентрациии температуры выражаются некоторыми зависящими от парамет-ров течения функциями, часть которых является эмпирическимии характеризуют турбулентный обмен импульса (концентрации,температуры) между различными частями потока (турбулентноетрение или турбулентное смешение), а другие находятся из ин-тегральных законов сохранения.

В отличие от обычных струйных течений, в которых проис-ходит выравнивание профилей параметров, в псевдоскачке про-фили скорости изменяются от практически равномерного сверх-звукового распределения через систему неравномерных профилейк практически равномерному дозвуковому распределению за пря-мым скачком уплотнения (с точностью до потерь на трение).

Представим скорость в области перехода сверхзвукового по-тока в дозвуковое течение в канале с переменной площадьюсечения в следующем виде:

u(x, r) = u0[ p(x) ]f [a(x), σ2(x), r], (3.3)


где f [a(x), σ2(x), r]—безразмерная функция радиуса r, в кото-рой a(x) и σ2(x)—некоторые функции, зависящие от продольнойкоординаты x, u0[ p(x) ]—функция давления, имеющая размер-ность скорости.

Пренебрежем изменением температуры торможения потока

T + u2

2cp= T ∗

0 = const. (3.4)

Это позволяет из уравнения состояния выразить плотность черезскорость и давление. По-видимому, это предположение при уме-ренных числах Маха потока вполне допустимо. Например, длятурбулентного пограничного слоя на теплоизолированной стенкепри Mн = 4 максимальное изменение температуры торможенияв потоке составляет ∼ 9% [102]. Аналогично, при смешениизатопленной сверхзвуковой струи при Mн = 2,6 максимальноеизменение температуры торможения на оси составляет 8% [102].

На распределение (3.3) накладываются два интегральныхограничения, являющиеся уравнениями расхода и импульса:

∫

F

ρudF = G0,

∫

F

(ρu2 + p)dF − Qтр = J0,(3.5)

где G0 и J0 —массовый расход и импульс потока в начальномсечении x = 0 псевдоскачка, Qтр —потеря импульса между зна-чениями x и x = 0 из-за трения от стенки канала.

При известных функциях u0[ p(x) ] и f [a(x), σ2(x), r] условия(3.5) позволяют определить по одной из функций a(x), σ2(x)или p(x) остальные две функции. Будем считать σ2(x) известнойфункцией, характеризующей турбулентный обмен импульса.

Если при отсутствии турбулентного обмена f =1, соотноше-ние (3.3) описывает обычное одномерное течение и при несу-щественном влиянии на скорость трения о стенки. Функцияu0[p(x)] определяется обычным образом через давление

u0[ p(x) ] =

√√√√ 2γγ − 1

R′T ∗0

[1−(

p

p∗0ф

)(γ−1)/γ], (3.6)


где T ∗0 и p∗0ф —параметры торможения исходного сверхзвукового

потока, R′—газовая постоянная, γ—показатель адиабаты (γ == 1,4).

В качестве функций f [a(x), σ2(x), r], аппроксимирующихбезразмерные профили скорости, используем двухпараметриче-ское семейство функций, являющееся решением нестационарногоуравнения переноса для осесимметричной задачи, описывающейразвитие профиля в области r � R

∂f

∂t= D0

(∂2f

∂r2+ 1

r

∂f

∂r

)(3.7)

при начальном и граничных условиях:

f = 1 при 0 � r < a,

f = 0 при a � r � R, (3.8)∂f

∂r

∣∣∣r=R

= 0,

где R—радиус канала, в котором имеет место переход сверх-звукового потока в дозвуковое течение (в общем случае R == R(x)), a—радиус источника, D0 —коэффициент, характери-зующий интенсивность переноса (в случае переноса концентра-ции—коэффициент диффузии), t—время.

Вместо переменной t удобно перейти к новой переменной

σ2 = 2D0t, (3.9)

где σ2 является дисперсией, принятой при описании турбулент-ной диффузии в безграничном пространстве и представляющейсобой среднеквадратичное отклонение частицы в поперечномнаправлении из-за пульсаций скорости [103]. В случае наличияграниц течения σ2 уже не является дисперсией в обычном пони-мании теории вероятности.

Решение уравнения переноса при указанных начальныхи граничных условиях, полученное обычным методом Фурье,имеет для осесимметричного случая следующий вид:

f [a(x), σ2(x), r] =

= a2

R2 +∞∑

n=1

2aI1(

μna

R

)RμnI20 (μn)

I0

(μnr

R

)exp(−μ2nσ2

2R2

), (3.10)

где I0 и I1 —функции Бесселя нулевого и первого порядка, μn—корни уравнения I1(μn) = 0.



Для плоского случая решение имеет вид

f [a(x), σ2(x), r] = A0 +∞∑

k=1

Ak exp(−k2π2σ2

2H2

)cos(

kπh

H

),

(3.11)где A0 и Ak —коэффициенты ряда, зависящие от начальныхусловий и выражающиеся через уравнения вида

A0 = 1H

a∫

0

ϕ(ξ)dξ, (3.12)

Ak = 2H

a∫

0

ϕ(ξ) cos(

kπξ

H

)dξ, (3.13)

где H—полувысота канала, h—текущая координата.При a < R (или a < H) и конечном значении σ2(x) функция

f [a(x), σ2(x), r] описывает колоколообразный профиль, имею-щий максимум на оси r = 0 и минимум при r = R или h = H,причем f(R) > 0, т.е. используемая аппроксимация не описываетпограничный слой и соответствует схеме течения без обратныхтоков.

Параметр σ2(x) характеризует «размытость» профиля ско-рости и процесс смешения. Аппроксимация профилей скоростифункциями, являющимися решением уравнений переноса, ши-роко применяется, например, в задачах о течениях за уступамив сверхзвуковом потоке, где для плоского случая скорость опи-сывается интегралами вероятности [104].

Следует отметить, что в этих задачах смешение в автомодель-ном плоском слое характеризуется эмпирической постоянной σ,являющейся отношением характерной ширины профиля скоростик продольному размеру смешения. Используемая в настоящей ра-боте дисперсия σ2(x) была введена для описания смешения плос-ких и осесимметричных струйных течений в работах [105, 106]и позволяет описывать и неавтомодельные струйные течения.

Связь между σ2(x) и параметром σ плоского автомодельногослоя смешения дается соотношением

σ(x) = σx. (3.14)


�

1,0

0,5

0 10 20 30 40 50 x

- М = 2,6- 3,2- 3,8

p

Рис. 3.1

Считая известной функцию σ(x), из законов сохранения, имею-щих после подстановки скорости и плотности вид

2πp(x)R′

R∫

0

u0(p)f [a(x), σ2(x), r]T0 − u20(p)f2[a(x), σ2(x), r]/ (2gCp)

rdr = G0, (3.15)

2πp(x)R′

R∫

0

u0(p)f [a(x), σ2(x), r]T0 − u20(p)f2[a(x), σ2(x), r]/ (2gCp)

rdr+

+ p(x)πR2 + Qтр = J0, (3.16)

можно определить функции a(x) и p(x) и профили всех парамет-ров.

Для определения σ2(x) были обработаны с помощью соот-ношений (3.15), (3.10) экспериментальные распределения дав-ления, полученные в настоящей работе; по известным из экс-перимента p(x) и Qтр определялось σ2(x). Было установлено,что в области псевдоскачка практически σ ≡ x (см. рис. 3.1).Поскольку в пристенной области псевдоскачка скорость мала,то предполагалось, что интенсивность обмена в зоне псевдоскач-ка должна быть близка к интенсивности обмена затопленныхструйных течений. В работе [104] для затопленного плоскогослоя смешения приведена эмпирическая зависимость, котораяпри использовании параметра смешения принимает вид

σ(x) = kx = 1

47,2Λ2 x при Mp > 1,4 , (3.17)

σ(x) = k0x = 112

x при Mp < 1,2 ,

4*


Рис. 3.2

где

Λ2 = u2

2CpT0. (3.18)

На рис. 3.2 приведена эта зависимость вместе с эксперимен-тальными данными Брауна и Рошко [107] и данными ра-бот [108, 109], а также указанной выше обработки опытов одногоиз авторов (число Mср — средняя величина в начальном сечениипсевдоскачка).

Далее в расчетах для σ2(x) использована эмпирическая за-висимость (3.17), в которой в качестве приведенной скоростииспользована ее средняя величина в начальном сечении псев-доскачка (x = 0), соответствующая сохранению потоков массы,импульса и энергии.

Сравнение результатов весовых измерений силы трения в об-ласти перехода сверхзвукового потока в дозвуковое течениес расчетами силы трения на основании метода работы [30] илис использованием эмпирического значения коэффициента сопро-тивления при использовании значений параметров над погранич-ным слоем, вычисленных по формулам, приведенным выше дляr = R, дает заниженные значения силы трения.

Это, по-видимому, связано с высоким уровнем турбулентно-сти над пограничным слоем в области псевдоскачка. Удовлетво-рительное соответствие с результатами эксперимента получает-ся, если в выражении для силы трения применять в качествепараметров потока осредненные по сечению скоростной потоки безразмерную скорость

ρu2

2= 12

[ρ∞u2∞ + p∞ − p − Qтр

] ≈ ρ∞u2∞2

+ p∞ − p

2(3.19)


Рис. 3.3

и использовать известные значения коэффициента трения

F = Cf (M)ρu2

2. (3.20)

На рис. 3.3 сплошными линиями приведены результаты рас-чета силы трения в области псевдоскачка вместе с даннымиэксперимента: кривая 1—расчет для начального числа Mp = 3,2по параметрам потока у стенки (r = R), кривая 2—расчет поосредненным параметрам.

На рис. 3.4 показано сравнение экспериментальных дан-ных, полученных в настоящей работе и обозначенных различны-ми значками, с результатами расчетов распределения давлениявдоль псевдоскачка, проведенных с использованием соотношения(2.16) без учета трения (кривая 1) и с учетом трения при вы-числении величины Cf по методике работы [56] для различныхрасстояний l′п псевдоскачка от начала цилиндрического канала(кривые 2 и 3) и чисел Mp в начале псевдоскачка.

На рис. 2.18 приведены вместе с результатами экспериментадля Mг = 3,2 результаты расчета распределения чисел Махавдоль псевдоскачка, полученные с использованием указанныхвыше зависимостей для σ2(x) с учетом трения о стенку, а такжевместе с расчетными профили давления в пристенной области,непосредственно замеренные с помощью насадка полного напо-ра p′0.

При расчетах учитывалось наличие прямого скачка переднасадком при сверхзвуковой скорости потока. Видно, что пред-ложенная схема расчета удовлетворительно описывает наблю-дающееся в экспериментах быстрое падение скорости в дис-сипативном слое на первых двух калибрах канала (от начала


Рис. 3.4

области перехода) до малых дозвуковых значений и последующеепостепенное ее увеличение.

На рис. 3.5 приведено сопоставление результатов расчетаи эксперимента работы [55] для плоского канала со слабымрасширением (γ∗

Σ = 18′ при числе Mp = 2 на входе в канал.Следует указать, что в данном случае для лучшего согласованиярасчета с экспериментом по определению продольного распре-деления статического давления на стенке пришлось несколькозанизить величину σ (на 7%).

Это, по-видимому, связано с некоторой особенностью теченияв плоском канале (неравномерное нарастание пограничного слоя


Рис. 3.5

на плоскостях, передача возмущений по углам, наличие острыхкромок на входе и т. п.).

Следует отметить, что приведенное сопоставление результа-тов эксперимента и расчета указывает на некоторое их несоот-ветствие в начальной части псевдоскачка. Это связано с тем,что в начале псевдоскачка течение существенно неоднороднои принятое предложение о постоянстве статического давленияв поперечном сечении канала не соответствует экспериментальнонаблюдаемому факту.

На рис. 2.21 приведены расчетные длины псевдоскачка lп,рассчитанные по предложенному методу, в зависимости от числаMp. Из рисунка видно некоторое расхождение результатов рас-чета с экспериментальными данными при малых числах Mp, ко-торое связано, по-видимому, с особенностью структуры течения


в начальной области псевдоскачка (λ-образный тип псевдоскач-ка).

В заключение можно отметить, что принятая двухпараметри-ческая аппроксимация профилей параметров в области псевдо-скачка удовлетворительно описывает физические процессы при-нятой модели, однако для реализации требует проведения расче-тов. Для качественной оценки профилей скорости и продольногораспределения статического давления в области псевдоскачкаможно воспользоваться аппроксимацией вида

λi

λ∞= 2R

1+ R2 exp(−ax2) + 1

λ2∞− 2

λ2∞x+ 1

λ2∞x2, (3.21)

где λi—текущее значение приведенной скорости, λ∞—приведенная скорость набегающего потока, R = r

R,

a—коэффициент показателя экспоненты, зависящий от числаMp.

При длине x > 1 представленная зависимость качественноописывает эволюцию профилей в классическом псевдоскачке, чтов ряде случаев бывает достаточно при оценке характера теченияв канале.

3.3. Метод расчета пульсационных характеристикв области псевдоскачка

Как было отмечено выше, для расчета пульсационных харак-теристик в области псевдоскачка необходимо привлекать урав-нения для диссипации и диффузии кинетической энергии турбу-лентности.

Экспериментально было показано, что пульсации полногодавления в области псевдоскачка носят характер обычных тур-булентных пульсаций и имеют максимальные значения в обла-сти максимальных градиентов средней скорости, что соответ-ствует обычному механизму генерации турбулентных пульсацийв струйных течениях. Также было установлено, что формирова-ние псевдоскачка происходит за счет взаимного влияния вязко-го пристеночного слоя и ядра потока со скачками уплотнения.При этом процессы переноса имеют в основном турбулентныйхарактер, что делает необходимым при теоретическом описаниипсевдоскачка привлекать современные полуэмпирические моделитурбулентности, которые для таких сложных условий течения,видимо, требуют определенной модификации.

3.3. Метод расчета пульсационных характеристик 105

С использованием описанной выше диссипативной моделипсевдоскачка, позволяющей вместе с интегральными законамисохранения получить непрерывную эволюцию профилей среднейскорости от равномерных сверхзвуковых через неравномерныеструйные до равномерных дозвуковых, совместно с уравнениямибаланса для турбулентной энергии E и турбулентной вязкостиνt был проведен расчет пульсационных характеристик в областипсевдоскачка.

В настоящей работе уравнение баланса турбулентной энергиииспользовалось в виде [111]:

∂ρ1−γuE

∂x+ ∂ρ1−γvE

∂y=

= ρ1−γνt

(∂u

∂y

)2− ρ1−γ E2

νta + 1

yiργ

∂

∂y

(yi νt

PrE

∂E

∂y

), (3.22)

где E = 12u′

iv′i—кинетическая энергия турбулентных пульсаций

в точке, приходящейся на единицу массы, νt—коэффициент тур-булентной вязкости, u, v—компоненты средней скорости, PrE —турбулентное число Прандтля, a—эмпирическая постоянная,определяющая скорость турбулентной диссипации.

В уравнение (3.22) входит коэффициент турбулентной вязко-сти νt. Для его определения будем использовать дополнительноеуравнение баланса величины g = E2/ν2t в следующем виде [111]:

∂ρ1−γug

∂x+ ∂ρ1−γvg

∂y=

= Cρ1−γg∣∣∣∂u

∂y

∣∣∣− ρ1−γg3/22a + 1

yiργ

∂

∂y

(yi νt

Prw

∂g

∂y

). (3.23)

Здесь C—эмпирическая постоянная, Prw —турбулентное числоПрандтля для завихренности, i = 0—для плоского случая, i == 1—для осесимметричного случая.

Проанализируем уравнения (3.22) и (3.23) с помощью инте-грального метода, являющегося развитием метода, изложенногов 3.2.

Профиль скорости u задается в функциональном виде, пред-ставленном зависимостями (3.10) и (3.11). Профиль турбулент-ной энергии E представим зависимостью

E(x, r)E0(x, r)

= exp[− (R − a)2

σ2

], (3.24)


где R, a, σ2 — те же относительные величины, что и в зависимо-сти (3.3)

Использование в зависимости (3.20) тех же величин σ2(x),и a(x) физически соответствует предположениям, что коэффи-циент диффузии D для энергии E примерно равен величинеD0, т. е. Pr = 1 и что максимум турбулентной энергии примернорасположен в точке максимального градиента средней скорости.

Определению подлежат следующие функции: p(x), a(x),νt(x), E0(x), σ2(x). Функции p(x), a(x) могут быть определеныиз интегральных законов сохранения импульса и расхода (3.5).Функции νt(x) и E0(x) можно определить из уравнений (3.22),(3.23) после их интегрирования по y от оси до стенки. Функцияσ2(x) определяется из интегрального закона сохраненияэнергии для осредненного течения. После соответствующихпреобразований в итоге имеем следующие уравнения:

dp

dx= A0 + a1

dσ

dx,

da

dx= B0 − b1

dσ

dx,

dνt

dx= C0 + C1

da

dx+ C2

dσ

dx+ C3

dp

dx, (3.25)

dE0

dx= D′ + d1

da

dx+ d2

dσ

dx+ d3

dp

dx,

dσ

dx= −K0 − K1

da

dx− K2

dp

dx.

Начальное условие для E0(x) имеет вид E0(x) = 1, чтоявляется необходимым для того, чтобы в начальном сечениипсевдоскачка величина E была конечной. Начальное значение νtпринималось равным величине турбулентной вязкости, экспери-ментально наблюдаемой в трубах:

νt

uD≈ 0, 005.

Константы C и a принимались равными 0,2 и 0,07 соответствен-но.

Систему уравнений (3.25) можно упростить, если уравнениедля νt заменить на следующее [105]:

νt = 1α

dσ2

dxu, (3.26)

где u—средняя скорость в сечении канала.Анализ экспериментальных данных, приведенных выше, по-

казал, что использование функциональной зависимости σ =


Рис. 3.6

= f(M), где M—среднее число Маха в сечении, как и в слу-чае затопленных струй, дает удовлетворительное соответствиес экспериментальными результатами для псевдоскачка, т. е. тур-булентные напряжения такие же, как и для затопленной сверх-звуковой струи. Поэтому уравнение для дисперсии также можноупростить:

σ = k∗x, (3.27)

где k∗—определяется по зависимости (3.17).Расчеты проводились как по полной системе уравнений

(3.25), так и по упрощенной, с использованием уравнений (3.26)или (3.27).

Для иллюстрации предложенного метода на рис. 3.6 пред-ставлено сравнение экспериментальных и расчетных значенийамплитуды пульсаций полного давления A, отнесенной к вели-чине статического давления, в двух сечениях псевдоскачка. Ам-плитуда пульсаций полного давления определялась следующимобразом.

Находилась интенсивность турбулентных пульсаций по зави-симости

ε =√2E

3u2, (3.28)

а амплитуда находилась по зависимости

A = 3γpM2срε, (3.29)


�� 2E

3u2

0,3

0,2

0,1

0 0,5 1r R/

2RMp

M = 3p

x

Mp

x2R

= 2

= 3

= 4

= 5

= 6

= 10

Рис. 3.7

где γ—показатель адиабаты, Mср — среднее число Mаха в сече-нии канала.

Из представленного результата видно, что предложенный ме-тод удовлетворительно описывает эволюцию пульсаций полногодавления по длине перехода сверхзвукового течения в дозвуко-вое. Следует отметить, что максимальное значение амплитудыA приходится на область, где происходят основные процессы,формирующие диссипативную пристеночную область. Эта об-ласть имеет незначительную протяженность по длине, равнуюпримерно двум калибрам, обычно здесь располагается началоλ-образной или x-образной системы скачков уплотнения, взаи-модействие этой начальной структуры скачков уплотнения с по-граничным слоем и обусловливает высокий уровень амплитудыпульсаций полного давления.

По мере продвижения вниз по потоку уровень амплитудыпадает и выходит на постоянный уровень, обусловленный ве-личиной начального числа Маха и относительной толщинойпограничного слоя. Интенсивность турбулентных пульсаций из-меняется таким же образом, что и амплитуда A. На рис. 3.7представлено расчетное распределение интенсивности пульсаций


Рис. 3.8

скорости ε в различных в различных сечениях псевдоскачка.Видно, что максимум интенсивности пульсаций скорости имеетместо на расстоянии lп ≈ 2. На длине lп > 10 профиль пуль-саций ε практически выравнивается, однако это выравниваниезаканчивается значительно позже, чем выравнивание профилейскорости.

На рис. 3.8 представлено изменение турбулентной вязкостипо длине псевдоскачка. Если на первых шести калибрах длиныпсевдоскачка наблюдается рост величины

νt

uD, то в конце псев-

доскачка эта величина становится практически постоянной.На основании приведенных результатов можно сделать вы-

вод, что предложенная дальнейшая модификация диссипативноймодели псевдоскачка с использованием уравнений для энергиитурбулентности удовлетворительно описывает экспериментальнонаблюдаемые профили параметров (давления, скорости, пульса-ций скорости), что позволяет надеяться на возможность ее при-менения для расчета вязких течений в рядке прикладных задач.Следует отметить, что вместо уравнений (3.22), (3.23) для E и νtможно использовать уравнения, приведенные в работе [110].

В заключение следует отметить, что как продольное распре-деление давления, так и пульсации скорости можно рассчитатьпо предложенной модели для случая так называемого «клас-сического» псевдоскачка (случай развитого пограничного слоя),а в случае тонкого пограничного слоя или области переходасверхзвукового потока в дозвуковое течение, сформированнойв коротком канале с острыми кромками на входе, по этомуметоду можно получить только качественные результаты.


3.4. Влияние параметров течения во входныхустройствах на характеристики течения в канале

В процессе организации эффективной работы прямоточно-го воздушно-реактивного двигателя немаловажную роль играетобеспечение эффективного взаимодействия течения в воздухоза-борнике и течения в камере сгорания. Цель состоит в реализациитаких схем, для которых сохраняется максимальная эффектив-ность режимов работы воздухозаборника во всем необходимомдиапазоне изменения режимов работы камеры сгорания.

В процессе работы воздушно-реактивного двигателя при под-воде тепла в камеру сгорания во внутреннем канале воздухо-заборника осуществляется переход от сверхзвукового режиматечения к дозвуковому в системе замыкающих скачков уплот-нения (псевдоскачке) с суммарной интенсивностью, примерносоответствующей прямому скачку уплотнения, и с протяженно-стью в несколько калибров канала. При дросселировании каналадвигателя за счет подачи топлива в камере сгорания или приуменьшении его выходного сечения эта система скачков уплот-нения перемещается вверх по потоку в канале воздухозаборника,практически не уменьшая своей протяженности и, обеспечиваямаксимальную эффективность работы воздухозаборника и каме-ры сгорания при расположении, наиболее близком к сечениюс минимальной площадью (так называемом горле воздухозабор-ника).

Однако в процессе изменения режимов работы камеры сго-рания возможно осуществление такой степени дросселированияканала воздухозаборника, когда замыкающая система скачковвыбивается из внутреннего канала и располагается перед входомв воздухозаборник, что приводит к резкому ухудшению каквнешних (лобового сопротивления), так и внутренних харак-теристик воздухозаборника (уровня восстановления давления),а следовательно, и к резкому снижению тяги двигателя или дажек полному нарушению его работы.

Предотвратить возможность возникновения такой ситуацииможно, если при достижении критической степени дроссели-рования, обеспечивающей размещение псевдоскачка в наиболееблизком к горлу положении, удается зафиксировать переднюючасть псевдоскачка, предотвращая его дальнейшее продвижениевверх по потоку, и осуществлять дальнейшее дросселированиепутем уменьшения длины псевдоскачка.

3.4. Влияние параметров течения на характеристики течения 111

В связи с этим, большой интерес представляет исследованиевозможных способов управления течением в псевдоскачке, поз-воляющих расширить допустимый диапазон дросселирования.

Такого рода методы имеет смысл изучать в течениях приотсутствии горения, моделируя тепловое дросселирование изме-нением геометрии выходного сечения, продолжая исследованияна горячих потоках на моделях реальных камер сгорания.

Г л а в а 4

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ

ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

И ОТРЫВА ВО ВНУТРЕННИХ ТЕЧЕНИЯХ

Создание математических моделей связано с использованиемупрощающих предположений, сделанных на основе анализа фи-зического эксперимента или математической задачи, содержащеймалые параметры. Таким малым параметром в рассматриваемойпроблеме является величина, обратная числу Рейнольдса. В тоже время большие значения числа Рейнольдса связаны с воз-никновением турбулентного режима течения и с необходимостьюиспользования неких полуэмпирических моделей. Ниже в дан-ной главе представлены результаты исследования ламинарныхтечений. Предполагается, что результаты, полученные на основеанализа ламинарных течений, могут послужить основой для раз-работки моделей процессов торможения турбулентных теченийв каналах. Кроме того, при больших скоростях потока числаРейнольдса перехода из ламинарного в турбулентный режимтечения могут быть достаточно большими, так что использованиеасимптотических методов и предположения о ламинарности неявляются взаимоисключающими.

Эксперименты показывают, что влияние вязкости и, в част-ности, отрыв пограничного слоя, оказываются принципиальноважными в формировании структуры псевдоскачка. Отрыв ла-минарного пограничного слоя во внешних сверхзвуковых тече-ниях изучен достаточно подробно, созданы математические мо-дели, найдены подтвержденные экспериментами параметры по-добия и выявлены основные существенные эффекты. В част-ности, принципиальным оказалось проявление эффектов силь-ного вязко-невязкого взаимодействия, локального или глобаль-ного. С исследованием внутренних отрывных течений ситуацияиная. Здесь эффекты вязко-невязкого взаимодействия играютеще бо́льшую роль. Дело в том, что возникновение отрываприводит к существенному изменению эффективной толщинывытеснения и к перераспределению давления в невязком ядре,которое в свою очередь оказывает влияние на пристеночнуюобласть течения. Следует подчеркнуть, что речь идет в основном

4.1. Переход от закритического к докритическому режиму 113

о таких течениях, где можно выделить невязкое ядро и при-стеночное течение, где эффекты вязкости существенны. Именнотакие течения характерны для прикладных задач газовой дина-мики воздушно-реактивных двигателей.

Экспериментальные исследования показали, что важную рольв развитии отрывных течений в каналах играют эффекты неста-ционарности. Согласно предварительным исследованиям учетэтих эффектов приводит к увеличению возмущения давленияв точке отрыва и к уменьшению продольного размера зон отрыва.

Представленные ниже модели относятся к описанию отдель-ных элементов течения в псевдоскачке или вообще к описа-нию процессов распространения возмущений в каналах. Вместес тем пока еще остается открытым вопрос об описании автоко-лебательных отрывных течений в каналах в условиях сильноговязко-невязкого взаимодействия, в частности вопрос о харак-терных частотах и о существенных механизмах возникновениятакого рода нестационарных процессов. Современный уровеньописания таких процессов связан с использованием полных урав-нений Навье–Стокса и их численным решением. Результаты та-ких решений приведены в заключительной главе.

В следующих двух параграфах представлены результаты ис-следования перехода в среднем сверхзвукового течения в среднемв дозвуковое, что в действительности имеет место при торможе-нии течений в каналах.

4.1. Исследование перехода от закритическогок докритическому режиму течения в следе за

пластиной

В данном параграфе обсуждается вопрос о транскритическомпереходе во внешних течениях. Эти результаты использованыв следующем параграфе для описания соответствующего перехо-да во внутренних течениях. Предполагается, что указанный пе-реход (изменение типа течения в среднем) происходит и в псев-доскачке.

В качестве примера выбрана задача симметричного обтеканияпластины конечной длины в режиме сильного вязко-невязкоговзаимодействия. Для метода ее решения существенны два обсто-ятельства.

Первое обстоятельство связано с характерным для этого ре-жима эффектом распространения возмущений вверх по потокуна расстояния, сравнимые с продольным размером обтекаемо-го тела. Это приводит к тому, что части потока, обтекающие

114 Гл. 4. Математические модели

M >> 1

Рис. 4.1

пластину сверху и снизу, испытывают взаимное эжектирующеевлияние, приводящее к разгону течения в окрестности заднейкромки. В связи с этим использование автомодельного решенияуравнений гиперзвукового пограничного слоя [112], справедливо-го для обтекания полубесконечной пластины, при расчете аэро-динамических характеристик пластины конечной длины являет-ся неоправданным. Получение корректного решения возможнолишь с учетом течения в следе.

Второе обстоятельство связано с наличием в решении осо-бенности типа «седла». Имеется в виду то сечение следа, гдеразгон струек тока приводит к смене докритического типа вза-имодействия на закритический. Отсюда следует необходимостьразработки такого численного метода, который позволил бы про-должить решение в область, лежащую ниже этого сечения, на-зываемого сечением «запирания».

Рассматривается течение около пластины и в следе за ней(рис. 4.1). Предполагается, что пластина расположена под ну-левым углом атаки в гиперзвуковом потоке совершенного газа.Предполагается, что число Рейнольдса велико, но не превосхо-дит критического значения при котором происходит ламинарно-турбулентный переход. Также предполагается, что реализуетсярежим сильного вязко-невязкого взаимодействия.

Система уравнений пограничного слоя имеет вид:

∂

∂x(ρu) + ∂

∂x(ρv) = 0, p = (γ − 1)

2γρ(h − u2), μ = h − u2,

ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y+ ∂p

∂x= ∂

∂y

(μ

∂u

∂y

),

∂p

∂y= 0, (4.1)

ρu∂h

∂x+ ρv

∂h

∂y= ∂

∂y

(μ

Pr∂u

∂y

)+ ∂

∂y

[μ(1− 1

Pr

)∂

∂y

(u2)],

y = 0, v = u = 0, h = hw (0 � x � 1),

y = 0, v = ∂u

∂y= ∂h

∂y= 0 (x > 1),

y = δ, u = h = 1 (x � 0).


Здесь γ—отношение удельных теплоемкостей совершенного га-за, Pr—число Прандтля.

Замыкающее систему условие для определения величины ин-дуцированного давления получается с использованием методакасательного клина:

p = (γ + 1)2

(dδ

dx

)2. (4.2)

Для численного решения задачи вводятся независимые перемен-ные, позволяющие не только исключить из уравнений (4.1) плот-ность, но и придать расчетной области прямоугольную форму.С вычислительной точки зрения удобно также использовать за-висимые переменные, учитывающие вид известного автомодель-ного решения Лиза–Стюартсона [112] в окрестности переднейкромки. Такими свойствами обладают переменные

X = x, Y = (γ − 1)2γ

x−1/4y∫

0

ρ dy,

V = xu∂Y

∂x+ (γ − 1)

2γx3/4ρν, U = u, (4.3)

H = h, Δ = x−3/4δ.

В этих переменных уравнения и краевые условия принимают вид:

VY + 14U + XUX = 0, (4.4)

XUUX + V UY + (γ − 1)2γ

(X

PX

P− 12

) (H − U2) = (γ − 1)

2γPUY Y ,

XUHX + V HY = (γ − 1)2γ Pr

PUY Y + (γ − 1)2γ

(1− 1

Pr

)P(U2)

Y Y,

Y = 0, V = U = 0, H = Hw (0 � X � 1),Y = 0, V = UY = HY = 0 (X > 1),

Y = ∞, U = H = 1 (X � 0),

Δ = 1P

∞∫

0

(H − U2) dY , P = (γ + 1)2

(XΔX + 34Δ)2.

В сформулированной задаче центральной является процедурапоиска такого распределения толщины эффективного тела, кото-рая была бы согласована с распределением давления. Процедурапоиска самосогласованной толщины описана в [114].


P*

X100,25

0,50

0,751'

3

1

2

Рис. 4.2

Результаты расчетов представлены таким образом, чтобы на-глядно продемонстрировать различие между обтеканием полу-бесконечной пластины и пластины конечной длины. Расчетыпроводились для одно-, двух- и трехатомного совершенного газа.Соответствующие кривые на рисунках отмечены цифрами 1, 2и 3. Кроме того, для одноатомного газа (γ = 5,3) проведенырасчеты с целью изучения влияния охлаждения поверхности нарешение. В этой серии расчетов температурный фактор принималнулевое значение. Соответствующие кривые отмечены цифрой 1со штрихом. Штриховыми кривыми изображены автомодельныерешения, т. е. решения задачи об обтекании полубесконечнойпластины. Индексом * отмечены функции, отнесенные к своемуавтомодельному значению. Все расчеты проводились для Pr = 1.Координата X = 1 соответствует задней кромке пластины. Дав-ление на правой границе расчетной области X = 2 поддержива-лось на постоянном уровне P ∗(2) = 0,25. Выбор такого достаточ-но низкого давления гарантирует от нежелательного появлениявозвратных струек тока около этой границы. Разумеется, этоприводит к местному разгону потока, но не оказывает влияния натечение около пластины и на протяжении большей части следа.

Из рассмотрения результатов следует, что смена условияприлипания на условие симметрии в сечении X = 1 на тол-щине вытеснения сказывается незначительно. Так, в этом сече-нии отличие ее от соответствующей автомодельной величины непревышает 1% для трехатомного газа и 2% для одноатомного.


Рис. 4.3

Еще меньше это отличие для обтекания одноатомным газомхолодной пластины. Гораздо более чувствительным к изменениюграничного условия около задней кромки оказывается статиче-ское давление (рис. 4.2). Уже на расстоянии около четвертикалибра до этой кромки происходит падение давления относи-тельно его значений для полубесконечной пластины. Это являет-ся следствием местного разгона течения, вызванного взаимнымэжектирующим влиянием частей потока, обтекающих пластинуснизу и сверху. Необычно выглядит эпюра P ∗(X) для холоднойпластины (кривая 1). При подходе к задней кромке относитель-ное давление незначительно увеличивается и только в следеначинает уменьшаться, что соответствует выводам, сделаннымв предыдущем параграфе. Естественно, что разгон струек токасопровождается ростом местного коэффициента поверхностноготрения c∗F (рис. 4.3). Обтекание холодной пластины сопровож-дается торможением струек тока при подходе к задней кромкеи незначительным уменьшением c∗F (кривая 1). Здесь же пред-ставлены распределения скорости Uw на оси следа. Наиболееинтенсивный ее рост наблюдается при обтекании пластины од-ноатомным газом.

Вычисление интеграла, определяющего тип течения (докри-тический или закритический), позволили установить, что тече-ние за нехолодной пластиной становится закритическим уже намалом расстоянии от задней кромки. Течение около холоднойпластины закритическое всюду.

Исследуем течение при переходе от закритического к докри-тическому режиму в следе за пластиной. Повышение давленияв следе, вызывающее торможение течения, может быть связано


с присутствием препятствия в следе или падением скачка уплот-нения на след. Численные эксперименты показали, что заданиев следе давления выше некоторого критического приводит к фор-мированию решения, которое можно трактовать как разрывное.Такой «скачок» сопровождается сменой типа взаимодействия надокритический с последующим плавным выходом давления назаданное значение [115, 116].

Предположим, что в течении в следе возникает скачкооб-разный переход от закритического к докритическому режиму.Поскольку численное решение получено на основе решения урав-нений взаимодействующего пограничного слоя, в рамках этой жемодели и проведено исследование свойств решения в окрестностискачка.

Параметры течения перед скачком и за ним обозначены ин-дексами «−» и «+» соответственно. Первое предположение, ко-торое делается при анализе,— малость характерного расстояния,на котором происходят быстрые изменения давления в основ-ном порядке, по сравнению с характерной длиной тела. Второепредположение, естественным образом вытекающее из первого,заключается в том, что толщина следа за скачком равна толщинеследа перед ним. В противном случае схема течения оказыва-ется несамосогласованной, так как изменение толщины следана малом расстоянии привело бы к большому индуцированномудавлению и отрыву пограничного слоя на пластине. Третье пред-положение связано с сохранением энтропии вдоль струек токапри прохождении ими скачка. Это предположение есть следствиеиспользования во всей расчетной области единой системы урав-нений (4.4). Появление разрывного решения связано с формиро-ванием области с большими локальными градиентами. В общемслучае течение в такой области описывается системой уравненийЭйлера; решение, полученное на основе исходной системы урав-нений, без выделения скачка, не удовлетворяет интегральномуусловию сохранения импульса. Действительно, при воздействииконечного (в масштабах, характерных для пограничного слояи следа) перепада давления площадь поперечного сечения произ-вольной струйки тока меняется в основном порядке. В этих усло-виях необходимо учитывать влияние распределения давления побоковой поверхности струйки тока. Такое влияние корректноучитывается в системе уравнений Эйлера, содержащей невы-рожденное уравнение поперечного импульса. Можно предложитьразличные процедуры нахождения связи между решениями слеваи справа от скачка; описание этих процедур выходит за рамкиданной работы.


Учет описанных предположений позволяет свести системууравнений (4.4) к виду, для которого существенно отсутствиечленов, описывающих диффузионные процессы. Быстрое измене-ние функций по продольной координате естественно сопровож-дается появлением больших продольных градиентов, в то времякак производные по нормали остаются в первом приближенииограниченными,

VY + 14U + XUX = 0,

XUUX + V UY + (γ − 1)2γ

(X

PX

P− 12

) (H − U2) = 0, (4.5)

XUHX + V HY = 0.

Переходя от переменных X,Y к переменным X,F , имеем

XUUX − 14FUUF + (γ − 1)

2γ

(X

PX

P− 12

) (H − U2) = 0,

XUHX − 14FHF = 0, F =

Y∫

0

UdY .(4.6)

Предположение о сохранении энтропии вдоль струек токапозволяет получить решение системы уравнений (4.6), связыва-ющее значения функций перед скачком и за ним:

H+ − U2+ = P

(γ−1)/γN (H− − U2

−), H+ = H− . (4.7)

Здесь параметр PN = P+

P−характеризует перепад давлений в

скачке. Первое из соотношений (4.7) можно интерпретироватькак рост температуры газа при прохождении через скачок, а вто-рое—как постоянство полной энтальпии вдоль фиксированнойструйки тока.

Рассмотрение не использованного до сих пор предположенияо постоянстве толщины следа при переходе через скачок даетвозможность сформулировать соотношение для определения такназываемого критического перепада давления P ∗

N , приводящегок смене закритического типа взаимодействия на докритический:

Y∫

0

(H− − U2

−)dY = P

−1/γN

Y∫

0

(H− − U 2

−)U−[

H− − P(γ−1)/γN

(H− − U 2

−)]dY . (4.8)

При малых перепадах давления такая смена возможна толькотам, где течение в следе в среднем трансзвуковое и где под


Рис. 4.4

воздействием малого возмущения давления изменение толщинысверхзвуковой части следа в точности компенсируется противо-положным по знаку изменением толщины дозвуковой части сле-да. В области развитого закритического течения изменение тол-щины сверхзвуковой части под воздействием малого возмущениядавления становится доминирующим и уже не компенсируетсяизменением толщины дозвуковой части. Воздействие конечногоперепада давления на закритическое течение приводит к иномуэффекту. Поскольку в дозвуковой части следа скоростной напорменьше, чем в сверхзвуковой, относительное изменение ее тол-щины может сравняться с изменением толщины сверхзвуковойчасти. Область применимости рассматриваемой модели ограни-чена перепадами давления, не приводящими к возникновениювозвратного течения, хотя такого рода режимы могут иметь ме-сто, например в пограничном слое около холодной поверхности.

Расчеты проводились для одноатомного совершенного газа

с отношением удельных теплоемкостей γ = 53при единичных

значениях числа Прандтля и температурного фактора поверх-ности. Штриховыми линиями на рисунках показаны соответ-ствующие автомодельные распределения функций течения околополубесконечной пластины. Разностная сетка имела следующиепараметры: размеры шагов в продольном и поперечном направ-лениях ΔX = 0,016, ΔY = 0,125 и соответствующие им числаузлов разностной сетки L = 125, M = 50. Разностная схемааппроксимировала уравнения с первым порядком точности попродольной координате и вторым порядком точности по попереч-ной координате.


На рис. 4.4 представлены продольные распределения ста-тического давления на пластине и в следе за ней. Эффектыраспространения возмущений вверх по потоку от задней кром-ки приводят к тому, что падение давления происходит вдольпластины достаточно плавно. Протяженность области влияниясоставляет для рассмотренных условий примерно четверть длиныпластины. Напротив, выход давления на заранее задаваемый направом краю расчетной области уровень (в дальнейшем будемназывать его противодавлением) происходит скачкообразно, т. е.основная доля прироста давления приходится на сравнительнокороткий по протяженности участок следа. С ростом противо-давления этот скачок перемещается по направлению к заднейкромке пластины, становясь при этом все более размазанным.Размазывание скачка объясняется ростом влияния сил вязкостипо мере приближения вдоль следа к задней кромке. Величинапротиводавления характеризуется параметром Pw. Этот параметрпредставляет собой отношение давления, задаваемого заранеев сечении следа на правой границе расчетной области, к томудавлению, которое сформировалось бы в этом же сечении, нопри обтекании полубесконечной пластины.

В отличие от давления толщина пограничного слоя, совпада-ющая на режиме сильного взаимодействия с толщиной вытесне-ния, слабо реагирует на изменение противодавления (рис. 4.5).Практически на всей длине тела она растет по известному трех-четвертному закону [112], и лишь в непосредственной окрестно-сти задней кромки ускорение потока приводит к незначительно-му ее падению по сравнению с автомодельным распределением.Повышение противодавления приводит к росту толщины вытес-нения следа.

Ускорение потока около задней кромки приводит к суще-ственному повышению местного коэффициента трения на по-верхности пластины (рис. 4.3). В рассматриваемом диапазонепротиводавлений распределение поверхностного трения остает-ся неизменным. Дело в том, что стекание потока с пластиныв след сопровождается интенсивным разгоном главным образомпристеночных струек тока. Это приводит к запиранию потокав сечении следа, расположенном на малом расстоянии от заднейкромки пластины. Возмущения из области, лежащей вниз потечению от этого сечения, вверх по потоку не распространяются.Именно этим объясняется независимость поверхностного тренияна пластине от противодавления (в исследованном диапазонеизменения параметра Pw).


Рис. 4.5

Рис. 4.6

Рост противодавления ведет к скачкообразному падению про-дольной скорости на оси следа (рис. 4.5), а при Pw = 2,75 величи-на этой скорости за скачком близка к нулю. На рис. 4.6 представ-лены линии постоянных значений числа Маха, посчитанного поместным значениям скорости звука и продольной составляющейвектора скорости. На нижней полуплоскости изображены изо-линии числа Маха при Pw = 2,25, на верхней—при Pw = 2,75.Дозвуковые области течения затемнены. Рост противодавленияприводит к переходу обширной области следа на дозвуковойрежим течения. При этом конфигурация дозвуковой области,примыкающей к пластине, остается неизменной. Интенсивныйразгон около задней кромки уже на малом расстоянии переводиттечение на сверхзвуковой режим.

4.2. Композитная модель псевдоскачка 123

4.2. Композитная модель псевдоскачка, использующаямодель турбулентности Коважного–Ни–Секундова

Результаты, полученные в предшествующем параграфе приописании внешних течений (течение в следе за пластиной),использованы для приближенного описания течения в канале,содержащего области закритического и докритического течений.Предполагается, что течение в канале описывается системойуравнений пограничного слоя (точного тонкого канала), а усло-вие сохранения массы (дополнительное условие для вертикаль-ной скорости, ставящееся на верхней стенке) позволяет опреде-лить градиент давления в каждом сечении канала (рис. 4.7).

Система уравнений, описывающая течение в канале, имеетвид

ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y+ 1

γM2∞

∂p

∂x= ∂

∂y

(ρνt

∂u

∂y

),

ρu∂g

∂x+ ρv

∂g

∂y= ∂

∂y

(ρνt

Pr∂g

∂y

)+ ∂

∂y

[(1− 1

Pr

)ρνt

∂

∂y

(u2

2

)],

(4.9)∂ρu

∂x+ ∂ρv

∂y= 0.

Предполагается, что течение в канале турбулентное;для описания турбулентной вязкости использовалась модельКоважного–Ни–Секундова [117]

ρu∂νt

∂x+ ρv

∂νt

∂y=

= αρνt

∣∣∣∂u

∂y

∣∣∣+ ξνt

(u

∂ρ

∂x+ v

∂ρ

∂y

)+ ∂

∂y

(γρνt

∂νt

∂y

), (4.10)

ρu∂E

∂x+ ρv

∂E

∂y=

= ρνt

(∂u

∂y

)2− ρAE2

νt+ ξE(u

∂ρ

∂x+ v

∂ρ

∂y

)+ ∂

∂y

(ρνt

PrE

∂E

∂y

),

α = 0,2, ξ = 23, γ = 2, A = 0,05, PrE = 0,75 .

В указанной постановке для стабильного режи-ма—докритического—задача решалась в работе [117], причем

на стенке ставилось условие проскальзывания(

∂f

∂n= 0), а не

условие прилипания, что позволяет не учитывать на данном


Областьтранскритического

перехода

L < 0 L > 0

Рис. 4.7

P

2

1

0 0,25 0,50 0,75 1XРис. 4.8

этапе проблемы, связанные с возможным появлением областейотрыва. Появление такого рода условия связано с проявлениемнестационарности, когда в пристеночном течении наблюдаютсяколебательные движения. В такой же постановке эта проблемарассмотрена в данном параграфе для случая перехода отзакритического в докритическое течение.

Решалась обратная задача, для которой в некотором сеченииканала задавались условия (4.7), предполагающие изоэнтропич-ность перехода. Результаты решения модельной обратной задачидля случая

u0 = 1− 0,9 · exp(−5γ), gw = 1, Pr = 0,75,H = 6, M∞ = 2, γ = 1,4.

представлены на рис. 4.8, где изображено распределение давле-ния, отнесенного к давлению на входе.

Для построения модели псевдоскачка, более приближеннойк реальности, необходимо учесть, во-первых, наличие попереч-ного перепада давления в зоне перехода, а во-вторых, влия-ние вязкости или во всей зоне перехода, или в пристеноч-ных слоях в присутствии процессов сильного нестационарноговязко-невязкого взаимодействия.

4.3. Исследование процессов вязко-невязкого взаимодействия 125

4.3. Исследование процессов вязко-невязкоговзаимодействия в канале

Проблема распространения и развития возмущений в каналахкроме академического интереса имеет, несомненно, и приклад-ное значение. В экспериментальных исследованиях из-за малойотносительной толщины пограничного слоя на стенках аэроди-намических труб влияние вязкости обычно не учитывается. В тоже время наличие пограничного слоя обеспечивает возможностьраспространения возмущений вверх по потоку, даже если невяз-кое течение сверхзвуковое.

Отмеченные эффекты принципиально важны также для тече-ний в перспективных воздушно-реактивных двигателях, в част-ности распространение возмущений по пограничным слоям мо-жет влиять на возникновение нерасчетных режимов, связанныхс образованием псевдоскачка.

Распространение возмущений вверх по потоку в сверхзвуко-вых течениях исследуется с начала пятидесятых годов. В [118]предложена линейная модель невязкого течения, модифици-рованная в [119, 120] для учета диссипативных эффектов.В [121, 122] создана линейная теория свободного взаимодей-ствия, позволившая описать самоиндуцированный отрыв лами-нарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. Процессывзаимодействия в каналах рассмотрены в [123–127].

Уравнения, описывающие течения со свободным взаимодей-ствием при относительно большом уровне возмущений, можносвести к более простым эволюционным уравнениям типа Бюр-герса, Бенджамина–Оно или Кортевега–деВриза. Режимы, длякоторых реализуется такие уровни возмущений, проанализирова-ны в [128–131]. Результаты исследования влияния возмущенийотносительно большой амплитуды в каналах представлены в ра-боте [132].

Постановка задачи. Предполагается, что в плоском каналереализуется сверхзвуковое течение, при котором на стенках рас-положены пограничные слои. Пусть на изначально невозмущен-ный сверхзвуковой поток в плоском канале, имеющем ширинуd, воздействует возмущение, инициируемое падением скачка напограничный слой на одной из стенок, или контур стенки де-формируется. Возмущения могут быть также индуцированы из-менениями давления на срезе сопла. Предполагается, что вноси-мые возмущения могут распространяться по пограничному слоювверх и вниз по потоку. Такого рода эффекты, как известно,существенно зависят от числа Маха, температуры поверхности


и состояния течения в пограничном слое (ламинарного или тур-булентного).

Вводятся следующие обозначения для координат, отсчитыва-емых вдоль поверхности и по нормали к поверхности канала,времени, компонент вектора скорости, плотности, давления, пол-

ной энтальпии, коэффициента вязкости: lx, ly,lt

u∞, u∞u, u∞v,

ρ∞ρ, ρ∞u2∞p, u2∞H

2, μ∞μ соответственно. Параметр l определяет

расстояние от входного сечения канала до области, где вносят-ся возмущения. Индекс ∞ относится к размерным параметрамневозмущенного набегающего потока. Предполагается, что число

Рейнольдса Re = ρ∞u∞l

mu∞велико, но не превосходит критического

значения, так что сохраняется ламинарный режим течения.В зависимости от соотношения геометрических параметров

и числа Re возможны различные режимы течения. Ниже рас-сматриваются такие режимы, для которых пограничные слои настенках имеют малую толщину по сравнению с шириной канала:d � lRe−1/2.

При воздействии возмущения давления с амплитудой Δp � 1меняется толщина вытеснения пограничного слоя, при этом ос-новной вклад в это изменение вносит пристеночная областьс малыми скоростями [121]. При нелинейном воздействии напристеночное течение изменения скорости можно оценить какΔu ∼ u ∼ Δp1/2. Эта оценка верна, если влияние сил вязкостиздесь в первом приближении несущественно. Ниже полученызначения амплитуд возмущения давления, при которых такойрежим имеет место.

При нелинейных изменениях скорости толщина пристеночнойобласти сдвигового течения также меняется в главном члене,что следует из условия сохранения расхода. Тогда из оценкидля продольной скорости y ∼ εu, ε = Re−1/2 следует и оценкадля изменения толщины вытеснения Δy ∼ εΔp1/2. При этомсущественно, что основная часть пограничного слоя с конечны-ми скоростями дает существенно меньший вклад в суммарноеизменение толщины вытеснения Δδ ∼ εΔp, поскольку измененияскорости здесь при малых амплитудах давления линейны.

Если возмущения, вносимые во внешний сверхзвуковой по-ток, можно оценить по формуле Аккерета и эти возмущенияимеют то же порядок, что и исходное возмущение давления,

инициирующее процессы взаимодействия, то Δp ∼ εΔp1/2

Δx. Усло-


вия, при которых линейная теория сверхзвуковых течений можетбыть использована для определения индуцированного возмуще-ния давления, будут выписаны ниже. Оценка для величиныдавления непосредственно определяет и длину области возму-щенного течения Δx ∼ ε

Δp1/2. Отсюда следует, что для всех ма-

лых возмущений давления длина области возмущенного теченияпревосходит толщину пограничного слоя, что и предопределяетвозможность использования формулы Аккерета для определенияиндуцированного возмущения давления.

Предположение о влиянии вязкости в области нелинейныхизменений скорости приводит к известным оценкам теории сво-бодного взаимодействия [121]. Ниже рассмотрен режим, длякоторого влияние вязкости в первом приближении несуществен-но. При малых возмущениях такой режим реализуется, еслиамплитуда давления удовлетворяет неравенству ε1/2 � Δp � 1.

В этих условиях в поле возмущенного течения можно выде-лить четыре характерные области. Область 1 содержит струйкитока невязкого сверхзвукового течения, характерный поперечныйразмер этой области определяется длиной этой области и накло-ном характеристик, тогда для конечных чисел Маха y1 ∼ ε

Δp1/2.

Эта оценка справедлива, если ширина канала d не меньше попорядку величины, чем характерная толщина области невязкого

течения. Таким образом, предполагается, чтоd

l� ε

Δp1/2. При

меньших значениях ширины канала для определения индуциро-ванного возмущения давления необходимо использовать гидрав-лическое приближение, где возмущение давления вычисляетсяиз условия сохранения расхода.

Область 2—это основная часть пограничного слоя. На днеэтой области расположена область нелинейных возмущений про-дольной скорости (область 3), в которой влияние вязкости в пер-вом приближении несущественно. Для учета влияния вязко-сти, необходимо ввести в рассмотрение область 4, поперечныйразмер которой оценивается из условия баланса сил вязкости

и инерции y4 ∼ ε3/2

Δp1/2. Следует отметить, что возможность суще-

ствования предполагаемой структуры течения зависит от суще-ствования безотрывного течения в локальном пограничном слое(область 4).

Ниже рассмотрены такие режимы течения, для которых ши-рина канала совпадает по порядку величины с поперечным раз-


мером области 1. Такое условие приводит к необходимости учетавоздействия течения вблизи одной стенки на течение вблизидругой стенки канала. При этом существенно, что характерноевремя в рассматриваемой области определяется как отношениепродольного размера, одинакового для всех рассматриваемыхобластей, к характерному времени. Поскольку наименьшие ве-личины продольной скорости характерны для областей 3 и 4,оказывается, что нестационарные процессы в областях 3 и 4сопровождаются квазистационарными процессами в областях 1

и 2(

t1 ∼ ε

Δp1/2, t3 ∼ ε

Δp

). Таким образом, любое возмущение,

индуцируемое течением вблизи нижней стенки, мгновенно (вмасштабе времени, характерном для пристеночного течения) пе-редается вдоль характеристики в невязком течении и воздейству-ет на течение около верхней стенки.

Решение в области 3 можно записать в следующем виде,основываясь на полученных выше оценках:

x = 1+ (ρ1/2w a1/2βΔp1/2)−1x3,y = ρ−1/2w a−1Δp1/2y3,

t = a−1/2β−1Δp−1t3,u(x, y, t, ε,Δp) = ρ−1/2w Δp1/2u3(x3, y3, t3) + ...,

v(x, y, t, ε,Δp) = ρ−1/2w a−1/2βΔp3/2v3(x3, y3, t3) + ...,

p(x, y, t, ε,Δp) = 1/(γM2∞) + Δp p3(x3, t3) + ...,

ρ = ρw + ...,

(4.11)

где параметр a определяется из решения для течения в невозму-

щенном пограничном слое: a = ∂u

∂yw. Следует отметить, что этот

параметр по порядку величины равен O(Re1/2).Подстановка выражений (4.11) в систему уравнений Навье–

Стокса в результате предельного перехода

Re → ∞, Δp → 0, ΔpRe1/4 → ∞ (4.12)

приводит к системе уравнений∂u3∂t3

+ u3∂u3∂x3

+ v3∂u3∂y3

+ ∂p3∂x3

= 0,

∂u3∂x3

+ ∂v3∂y3

= 0,

∂p3∂y3

= 0

(4.13)


с краевыми условиями

x3 → −∞; v3 = 0; u3 = y3. (4.14)

Отметим, что аналогичная система уравнений получается и дляверхней стенки. Будем обозначать индексом «−» решение длянижней стенки канала, а индексом «+»—для верхней. Решениеуравнений (4.13) ищем в виде

u3+(x3, y3+, t3) = y3+ + A3+(x3, t3) − A3−(x3 − Δ, t3),u3−(x3, y3−, t3) = y3− + A3−(x3, t3) − A3+(x3 − Δ, t3).

(4.15)

Физический смысл функций A—это взятая с обратным знакомвеличина изменения толщины вытеснения пограничного слоя.Параметр подобия Δ = ρ

1/2w a1/2β2Δp1/2dl−1 определяет расстоя-

ние между текущей точкой на одной из стенок и точкой, откудаприходит возмущение с противоположной стенки вдоль харак-теристики. Можно видеть, что к уменьшению этого параметраприводит нагревание поверхности, уменьшение поверхностноготрения, приближение числа Маха к единице и уменьшение ам-плитуды возмущения.

Подставляя (4.15) в (4.13) получим

∂(A3+ − B3−)∂t3

+ (A3+ − B3−)∂(A3+ − B3−)∂x3

+ ∂p3+∂x3

= 0,

∂(A3− − B3+)∂t3

+ (A3− − B3+)∂(A3− − B3+)∂x3

+ ∂p3−∂x3

= 0,(4.16)

гдеB3+ = A3+(x3 − Δ, t3),B3− = A3−(x3 − Δ, t3).

Распределения функций A3−, A3+ индуцируют во внешнемневязком потоке возмущение давления, которое можно найти изрешения для области 1, где возмущение давления удовлетворяетволновому уравнению. Решение волнового уравнения, учиты-вающее влияние возмущений, приходящих с противоположныхстенок канала, имеет вид

p3+(x3, t3) = − ∂

∂x3[A+(x3, t3) + A−(x3 − Δ, t3) − δw+(x3, t3)],

p3−(x3, t3) = − ∂

∂x3[A−(x3, t3) + A+(x3 − Δ, t3) − δw−(x3, t3)],

(4.17)где функции δw+ и δw− определяют изменение формы поверх-ности стенки канала в зависимости от продольной координатыи времени. Тогда уравнения (4.16), записанные для нижней



и верхней стенок канала, с учетом (4.17), приводят к системеуравнений

∂(A+− B−)∂t

+ (A+− B−)∂(A+− B−)

∂x= ∂2

∂x2(A++ B−+ δw+),

∂(A−− B+)∂t

+ (A−− B+)∂(A−− B+)∂x

= ∂2

∂x2(A−+ B++ δw−),

(4.18)в которой нижний индекс опущен.

Предполагается, что на больших расстояниях вверх по по-току от области взаимодействия возмущения отсутствуют, чемусоответствует следующее краевое условие

x = −∞, A± = 0. (4.19)

На больших расстояниях вниз по потоку ставятся условиявида

x = +∞,∂A±∂x

= 0 . (4.20)

или, если на правую границу приходит возмущение, ставитсяусловие отсутствия отражения от правой границы.

При больших значениях параметра Δ система уравнений(4.18) разделяется на два независимых уравнения Бюргерса,описывающих течение около верхней и нижней поверхностей. Та-кое разделение имеет место, если возмущение, например формыповерхности, ограничено в пространстве; тогда с противополож-ной стенки будет приходить сигнал из области, где возмущенияотсутствуют.

Система уравнений (4.18) описывает волновые процессы в ка-налах, которые могут включать в себя такие эффекты, как мно-гократное переотражение волн от стенок, распространение этихволн вниз и вверх по потоку и т. д.

Рассмотрим случай симметричного изменения поверхностистенок для возмущений вида

δw (|x| � L, t > 0) = cos(

πx

2L

), δw (|x| � L, t � 0) = 0,

δw(x, 0) = 0, δw+ = δw− = δw.(4.21)

Задача (4.18)–(4.21) решалась численно с использованием неяв-ной маршевой схемы, основанной на методе прогонки с итераци-ями. На рис. 4.9 приведено распределение давления при L = 300и при Δ = 150 для момента времени t ≈ 25. На расстоянииx0 = Δ от неровности формируется возмущенная зона, вызваннаяпадением волны от противоположного пограничного слоя.


p

0,02

0

��

��150 275 400 x

Рис. 4.9

p

0,02

0

��

��0 100 200 x

Рис. 4.10

В более длинной области при L = 500, Δ = 100, количествоволн, падающих на пограничный слой, соответственно увеличи-вается (рис. 4.10).

Таким образом, на некоторой длине рассматриваемой областина расстоянии Δ друг от друга формируются очаги возмущен-ного давления, вызванные волнами, отраженными от противопо-ложной стенки. До тех пор, пока эти очаги достаточно далекоразнесены в пространстве и не оказывают влияния друг на друга,решения в областях локализации возмущений эволюционируюттаким же образом, как и в вырожденной задаче (для незави-симых решений уравнений Бюргерса при больших значенияхпараметра подобия).

5*


p

0

��0 100 200 x

0,04

Рис. 4.11

По мере сужения канала (уменьшения параметра Δ) влияниепротивоположного пограничного слоя усиливается, и интенсив-ность возмущений, приходящих извне, увеличивается. Вслед-ствие этого очаги начинают сближаться друг с другом, постепен-но перерастая в непрерывно возмущенную область, протяжен-ность которой, в свою очередь, уменьшается.

Теперь зоны концентрации возмущений носят нелокальныйхарактер, и их взаимное влияние проявляется в том, что: 1) воз-мущения двигаются вниз по потоку в виде осцилляторных цугов;2) волны отсоединяются от неровности и двигаются по потокувверх.

Иллюстрацией этих выводов служат результаты расчетов,представленные на рис. 4.11, где приведена картина распределе-ния давления в непрерывно возмущенной области для моментавремени t ≈ 20.

Как было отмечено, протяженность области концентрациивозмущений обратно пропорциональна ширине канала. По мереуменьшения расстояния между взаимодействующими погранич-ными слоями зона появления возмущений всё теснее примыкаетк неровности вследствие смещения к ней очагов, индуцирован-ных отраженными волнами. В области расположения неровности,заданной условиями (4.21), существует решение в виде стоячейволны, как и в невырожденной задаче, и это дает основанияпредполагать, что предельное решение в зоне неровности суще-ствует при всех значениях параметра Δ.

Расчеты при минимальных значениях параметра Δ = 0,1 по-казали, что возмущения по направлению вниз от неровности во-обще перестают формироваться. Остается лишь установившееся


решение на самой неровности и затухающая волна, двигающаясявверх по потоку.

Результаты решения системы (4.18)–(4.20) показывают, чтопри усилении взаимовлияния пограничных слоев, расположен-ных на противоположных стенках канала, наблюдается переходот решений, типичных для уравнения Бюргерса, к более слож-ным решениям, когда от стоячей волны вниз по потоку уходятосцилляции, а вверх — волновые пакеты, что напоминает поведе-ние решений уравнения Кортевега–деВриза. Следует отметить,что неровность вида (4.21), индуцирующая возмущения в кана-ле, гладкая, и волновые пакеты, формирующиеся в полученныхрешениях, не являются реакцией системы на разрыв в начальныхданных

Рассмотрим решения, характеризующиеся образованиемуединенных волн при антисимметричных возмущениях поверх-ности.

Решение уравнения Бюргерса, описывающее течение прибольших расстояниях между стенками, характеризуется тем, чтов зоне источника сначала формируется, а затем убегает уеди-ненная волна, при наличии стационарного распределения вблизинеровности.

При трансформации уравнений Бюргерса в невырожденнуюсистему (сужении канала) на расстоянии Δ друг от друга по-являются локально возмущенные области, вызванные падениемволн давления с противоположной стенки.

Когда очаги возмущений разделены невозмущенной областьюи не оказывают влияния друг на друга при больших значенияхпараметра Δ, в зоне неровности скачок давления почти не пре-терпевает изменений, от каждой из локально возмущенных зонубегает уединенная волна (импульс), после чего решение там неизменяется.

Из анализа свойств уравнения Бюргерса известно, что принекоторой форме источника волна может бежать и вверх попотоку. Поставим теперь в задаче (4.18)— (4.20) такие усло-вия, при которых волны от неровности и от индуцированногоочага распространялись бы навстречу друг другу. Это можносделать, если рассмотреть задачу с антисимметричными началь-ными условиями, когда, например, на нижней стенке возникаетвыпуклая неровность вида (4.21), а на верхней—впадина такойже формы, т. е. δw+ = −δw−.

В этом случае от выпуклой неровности отделяется волнаи движется вниз по потоку, а волна из индуцированного очагараспространяется ей навстречу. Двигаясь с одинаковой скоро-


p

0

100 150 200 x

0,55

1,10

Рис. 4.12

стью, они встречаются на середине участка, разделяющего лока-лизованные области возмущений. Две волны сливаются в одну,имеющую удвоенную амплитуду, которая в свою очередь затемвновь разделяется на две одиночные волны. Разделившись, онисохраняют свои прежние формы и продолжают двигаться с тойже скоростью, что и до слияния. Вся эта эволюция проиллюстри-рована на рис. 4.12. Для сравнения изображено по два распре-деления, сплошная кривая соответствует более раннему моментувремени, штриховая—более позднему. Уединенная волна, рас-пространяющаяся вверх по потоку, прекращает свое движение,не достигнув области расположения неровности, где установив-шееся решение для давления представляет собой скачок.

Полученные результаты говорят о том, что рассматриваемыеуединенные волны без видимых изменений проходят сквозь воз-мущенные области и друг через друга, хотя в то же время такаяволна не может преодолеть область разрывного решения. Этопозволяет сделать некоторые предположения о влиянии началь-ных условий на формирование решений эволюционных уравне-ний.

Обтекание относительно гладкой неровности, когда разрывначинается не с функции, а лишь с ее производной, не приво-дит к формированию волн в широком канале. Наличие скачкадавления меняет картину. Решения уравнения Бюргерса свиде-тельствуют, что в этом случае от скачка могут отсоединятьсяуединенные волны. Пример же прохождения этих волн сквозьвозмущенные зоны иллюстрирует наиболее интересное свойствополученных решений—их солитонный характер.


На дне области нелинейно-возмущенного течения находитсялокальный пограничный слой. Решения для этого погранично-го слоя, равно как и для рассмотренной задачи, ограниченытакими режимами, при которых не возникает нестационарныйотрыв под влиянием заданного (полученного из решений задачи(4.18)–(4.20) градиента давления). Предварительные расчеты по-казали, что существует временной период, при котором течениеостается безотрывным и, следовательно, предположения о суще-ствовании решений сформулированной задачи выполняются.

Г л а в а 5

ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ

ТОРМОЖЕНИЯ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ

В КАНАЛАХ

Вопрос формирования течения при сверхзвуковых условияхна входе в канал при его дросселировании является предметоммноголетних активных экспериментальных исследований (см.,например, [56, 58, 82, 86, 101]). Были сделаны обобщения ре-зультатов экспериментальных исследований. На основе анализаэкспериментальных данных и физических предположений о ха-рактере течения были разработаны приближенные методики дляописания интегральных характеристик течения в канале присверхзвуковых условиях на входе при дросселировании кана-ла [60, 82, 94, 117, 133, 134]. Следует отметить, что упомянутыеметоды позволяют сделать оценки, необходимые для практиче-ских применений. Вместе с тем, и в настоящее время ощущаетсянеобходимость в данных по детальной структуре потока. Частич-но этот пробел может быть восполнен с использованием методоввычислительной аэродинамики.

Развитие методов математического моделирования течений,с одной стороны, а также прогресс в области вычислительнойтехники сделали возможным рассмотрение вышеупомянутой за-дачи без дополнительных предположений о характере теченияв канале. К числу основных постулатов, которые принималисьпри создании приближенных методик расчета, можно отнестиследующие. Во-первых, это предположение Крокко о том, чтоосновной вклад в необратимые потери вносит турбулентная дис-сипация, связанная со смешением пристеночных слоев с потокомв ядре, а роль собственно системы скачков в этом невели-ка [82]. Возникает также вопрос о существовании отрывных зон,которые могут образоваться при взаимодействии пограничногослоя на стенке со скачками уплотнения в ядре потока. Болеетого, были построены интегральные модели, основанные как напредположении о безотрывном течении в псевдоскачке [94], таки о существовании области отрыва внутри канала (см., напри-мер, [60, 134]). На основании полученных экспериментальныхданных можно говорить о достаточной универсальности реали-

Гл. 5. Численные исследования 137

зующейся структуры. При этом определенный интерес представ-ляет вопрос о влиянии самой «истории» выхода на соответству-ющий предельный режим (способ реализации соответствующегоперепада давления на входе и выходе из рассматриваемого участ-ка канала), о существовании гистерезиса (прямой ход с ростомотношения давлений и обратный ход при его уменьшении). Кро-ме того, при математическом моделировании необходимо учи-тывать возможность существования нестационарных пульсацийв потоке, которые обнаружены в эксперименте.

Перечисленные факторы требуют привлечения для описаниярассматриваемого класса течений полной нестационарной си-стемы уравнений Навье–Стокса, осредненной для турбулентныхрежимов течения. Методы прямого численного моделированияпредставляются в настоящее время чрезвычайно затратными.Особые требования при использовании осредненной системыуравнений предъявляются к модели турбулентности, посколькуэта модель должна быть достаточно универсальной. С учетомимеющихся экспериментальных данных и их физического ана-лиза, а также результатов применения упрощенных моделей дляописания течения модель турбулентности должна достаточнохорошо описывать как сверхзвуковой пограничный слой, в томчисле при взаимодействии со скачком уплотнения (включая от-рывные режимы), так и дозвуковой. Крайне важны возможностимодели для адекватного воспроизведения перемешивания неодно-родных потоков, реализующихся вблизи стенки канала и в ядре(в соответствии с гипотезой Крокко и всех последующих при-ближенных методик этот процесс является доминирующим). До-полнительная сложность связана с тем, что остается не вполневыясненным экспериментально вопрос о влиянии степени тур-булентности потока в трубе, в которой проводится эксперимент,на характеристики рассматриваемого течения. Все это делаетрассматриваемую задачу крайне сложной с точки зрения выборамодели турбулентности. Кроме того, безусловно, требуется де-тальный эксперимент для верификации самой математическоймодели.

Жесткие требования предъявляются также к используемымчисленным методам. Прежде всего, эти методы должны бытьработоспособными как в областях сверхзвукового течения соскачками уплотнения, так и дозвукового потока. Кроме того, рас-четная сетка должна обеспечивать передачу возмущений вверхпо потоку со сверхзвуковым ядром при повышении давленияна выходе из канала. Ключевым элементом при формированииитоговой газодинамической структуры является взаимодействие

138 Гл. 5. Численные исследования

скачка уплотнения с пограничным слоем. Существенным элемен-том этого взаимодействия может быть отрывная зона. Необхо-димость описания взаимодействия скачка уплотнения с погра-ничным слоем требует адекватного разрешения соответствующихобластей. Развитие турбулентного пограничного слоя в условияхнеблагоприятного градиента давления практически исключаетприменение закона стенки и требует разрешения ламинарно-го подслоя. Кроме того, в ядре потока возникают сдвиговыеслои при взаимодействии скачков уплотнения при образованииλ–структур. Таким образом, расчетный метод должен допускатьиспользование сеток, сильно различающихся по масштабу, сгу-щающихся в сдвиговых и пристеночных слоях, а также в областивзаимодействия скачка с пограничным слоем (в том числе, попродольной координате).

5.1. Система уравнений и метод расчета

Приведенные в данной работе результаты расчетов были по-лучены на основе интегрирования полной системы уравненийНавье–Стокса для плоских и осесимметричных течений [135].В случае турбулентных течений рассматривается осредненнаясистема уравнений. Для ее замыкания привлекается модель тур-булентности.

Система уравнений. Система уравнений Навье-Стокса в де-картовой системе координат может быть представлена в следую-щем виде:

∂U∂t

+ ∂F∂x

+ ∂G∂y

+ jRy

= 0, (5.1)

где U—вектор консервативных переменных, F и G—векторыпотоков, включающие также вязкие члены,

U =

⎛⎜⎝ ρρuρvρE

⎞⎟⎠ , F =

⎛⎜⎝ ρuρu2+p − τxx

ρuv − τxy

ρuH − uτxx − vτxy+qx

⎞⎟⎠ ,

G =

⎛⎜⎝ ρvρuv − τyx

ρv2+p − τyy

ρvH − uτyx − vτyy+qy

⎞⎟⎠ , H = h+(u2+v2)

2, (5.2)

5.1. Система уравнений и метод расчета 139

R =

⎛⎜⎝ ρvρuv − τxy

ρv2 − τyy + τϑϑρvH − vτyy − uτyx + qy

⎞⎟⎠ , E = e+(u2+v2)

2.

В приведенных выше соотношениях ρ—плотность, p—давление,u и v—компоненты вектора скорости, h и H—удельные энталь-пия и полная энтальпия, e и E—удельные внутренняя энергияи полная внутренняя энергия. В плоском случае j = 0, и j = 1в осесимметричном случае. Вязкие напряжения для ламинарныхтечений определяются следующим образом:

τxx = 2μ∂u

∂x− 23μ(

∂u

∂x+

∂v

∂y+ j

v

y

),

τyy = 2μ∂v

∂y− 23μ(

∂v

∂y+

∂u

∂x+ j

v

y

),

τxy = τyx = μ(

∂u

∂y+

∂v

∂x

),

τϑϑ = 2μv

y− 23μ(

∂u

∂x+ ∂v

∂y+ v

y

),

а тепловые потоки как:

qx = − μ

Pr∂h

∂x, qy = − μ

Pr∂h

∂y.

Предполагается, что газ является совершенным с постояннойтеплоемкостью. Тогда система уравнений замыкается с помощьюсоотношений

h = κ

κ − 1p

ρ,

p

ρ= RT ,

где κ – постоянная адиабаты, а R – газовая постоянная.В представленных уравнениях μ есть динамическая вязкость,

которая для воздуха зависит от температуры в соответствиис законом Сазерленда, а коэффициент теплопроводности λ выра-жается как

μcp

Pr. Число Прантля Pr принимается постоянным.

В случае турбулентного режима течения в осредненнойсистеме уравнений вместо динамического коэффициента вяз-кости вводится эффективная вязкость μ̃ = μ + ρνt, где νt—турбулентная вязкость. Аналогично, в уравнении энергии ис-пользуется

(μ

Pr+ ρνt

Prt

)вместо

μ

Pr, где Prt соответствует турбу-

лентным величинам.Для замыкания задачи в случае турбулентных течений

привлекаются алгебраическая модель турбулентности Baldwin–Lomax [136] или однопараметрическая дифференциальная мо-


дель турбулентности «νt—90», являющаяся развитием моде-ли [137] (см. также [138]). Уравнение для турбулентной вязкостив случае использования дифференциальной модели можно пред-ставить в следующем виде:

∂ρνt

∂t+ ∂ρuνt

∂x+ ∂ρvνt

∂y+ j

ρvνt

y= ∂

∂x

[ρ (c1νt + ν) ∂νt

∂x

]+

+ ∂

∂y

[ρ (c1νt + ν) ∂νt

∂y

]+ j

ρ (c1νt + ν) ∂νt

∂y

y+ c2ρνtG+

+c3νt

(u

∂ρ

∂x+ v

∂ρ

∂y

)− c4ρν2t

G2

a2− ρ

c5ν2t + c6νtν

S2 ,

(5.3)

c2 = c′2

(y4G2

(30νt)2 + y4G2

)jν2t + 11,2νtν + 12,8ν2

ν2t − 11,2νtν + 64ν2,

c1 c′2 c3 c4 c5 c6

2 0,2 0,7 5 3 50

G2 = 2(

∂u

∂x

)2+ 2(

∂v

∂y

)2+(

∂u

∂y+ ∂v

∂x

)2+ j(

v

y

)2.

Здесь a—скорость звука, S—минимальное расстояние достенки, ν—кинематический коэффициент вязкости. Первые тричлена в правой части уравнения отвечают за диффузию турбу-лентной вязкости, следующие два—за ее порождение. Предпо-следнее слагаемое отвечает за учет сжимаемости среды, и по-следнее ответственно за профиль турбулентной вязкости у стен-ки. Данная модель не использует закона стенки, и счет по нейидет по всей области. При этом на стенке при выполненииусловий прилипания турбулентная вязкость обращается в нуль.Данная модель является универсальной. Она предназначена длярасчета как пограничных слоев, так и струйных течений. Свой-ства и ограничения этой модели представлены в ряде публика-ций (см., например, [138]). К безусловным достоинствам даннойверсии рассмотренной модели относится тот факт, что даннаямодель хорошо вписывается в сложные алгоритмы численногорешения и, как показывает опыт, не накладывает дополнитель-ных ограничений на использование численных методов при ре-шении задач со сложной структурой потока.

5.1. Система уравнений и метод расчета 141

Вышеприведенная система уравнений решается численнос использованием программы FNAS2D, разработанной в ЦИ-АМ. Эта программа основывается на процедуре установленияпо времени для получения стационарного решения и на моди-фицированной версии схемы С. К. Годунова [5]. Предложеннаяранее модифицированная неявная схема для невязких и вязкихламинарных течений [139] в последующем [140] была обобщенадля расчета турбулентных режимов течения, в том числе и дляпотоков с химическими реакциями.

Приведем краткое описание используемого метода расчета.Метод реализуется на сетке, построенной в физической плос-кости без преобразования на каноническую расчетную область.Для каждой ячейки записывается система законов сохраненияс неявной аппроксимацией конвективных и вязких потоков че-рез границы ячейки с использованием приращений во времениосновных зависимых переменных fT = (ρ,u, v, p, νt). Для аппрок-симации конвективных потоков на границах ячеек, по-прежнему,как и в оригинальной схеме С.К. Годунова, используется реше-ние задачи о распаде произвольного разрыва. Предполагается,что конфигурация разрывов после распада на новом временномслое идентична конфигурации разрывов на известном времен-ном слое. Решение задачи о распаде на новом временном слоерассматривается в линейном приближении. Поэтому идентичныесоотношения связывают параметры на гранях ячеек с началь-ными параметрами задачи о распаде на известном временномслое с одной стороны и приращения по времени параметров награнях ячеек с соответствующими приращениями параметров повремени в центрах ячеек—с другой стороны. Если интенсив-ность образовавшихся разрывов велика, то на старом временномслое используется итерационный метод решения нелинейной за-дачи о распаде. Эти уточненные величины используются дляаппроксимации конвективных слагаемых на старом временномслое без коррекции так называемых больших величин на новомвременном слое.

Для того чтобы обеспечить повышенный порядок точностистационарного решения, на старом временном слое принимаютсякусочно-линейные распределения параметров на ячейке. С этойцелью определяются параметры в центрах граней ячеек при под-ходе слева и справа от соответствующей грани, которые исполь-зуются в качестве начальных условий для задачи о распаде про-извольного разрыва. Эти параметры находятся с помощью прин-ципа минимальных производных [141] или минимальных прира-щений, модифицированного на произвольные нерегулярные сет-


ки в соответствии с [142]. Принцип минимальных приращенийобеспечивает выполнение условия монотонности схемы повы-шенного порядка точности. Что касается определения большихвеличин для приращений параметров по времени, то без потериточности стационарного решения можно воспользоваться реше-нием задачи о распаде в предположении кусочно-постоянныхраспределений соответствующих приращений параметров в ячей-ках.

Вязкие напряжения и диффузионные потоки на гранях настаром временном слое аппроксимируются с помощью обобще-ния соответствующих центральных разностей на произвольныесетки. Вклад вязких слагаемых в разностный оператор на новомвременном слое учитывается приближенно, поскольку опуска-ется вклад некоторых точек, чтобы сохранить блочную пяти-диагональную структуру алгебраической системы уравнений длявектора приращений параметров по времени δf .

В результате неявной аппроксимации в соответствии с выше-изложенными принципами получается линейная система алгеб-раических уравнений для приращений основных параметров. Этасистема имеет следующую структуру:

Ai,jδfi−1,j + Bi,jδfi+1,j + Ci,jδfi,j++ Di,jδfi,j−1 + Ei,jδfi,j+1 = Ri,j . (5.4)

Здесь i и j—индексы для текущего центра ячейки, A, B, C, D,E—матрицы порядка (n,n), Ri,j —невязка стационарных урав-нений, n—количество газодинамических уравнений. Эта системарешается итерационным методом (внутренние итерации в отли-чие от глобальных итераций по времени) с помощью поточеч-ного метода Гаусса–Зейделя. При этом каждая итерация методаГаусса–Зейделя включает прямой и обратный проходы.

Необходимо заметить, что представленный метод обеспечива-ет второй порядок точности на регулярных равномерных сеткахи сохраняет аппроксимацию на произвольных нерегулярных сет-ках. В программу также включена возможность адаптации рас-четной сетки к особенностям течения. Адаптация производитсяс помощью подхода, основанного на так называемой «пружиннойаналогии» [143]. Рассмотренная версия неявного метода обес-печивает достаточно быструю сходимость численного решенияк стационарному, если оно существует, за счет выбора доста-точно большого, в сравнении с тем, который допускается дляявной схемы, шага интегрирования по времени. Если речь идето нестационарных течениях, то шаг интегрирования по времени

5.2. Результаты расчетов 143

должен выбираться исходя из характерного времени нестацио-нарного процесса. Если реализуется периодический режим те-чения, то используется следующий прием. Вначале достаточнобыстро осуществляется расчет со сравнительно большим шагомдо установления периодического режима течения. После этогонесколько периодов отсчитывается с таким шагом интегрирова-ния по времени, который позволяет разрешить характерный мас-штаб по времени. Следует отметить, что при уменьшении шагаинтегрирования по времени порядок точности данного методаприближается ко второму.

5.2. Результаты расчетов

Целью данного раздела является исследование детальнойструктуры модельных течений и их характеристик. Рассматрива-ются две задачи (плоская и осесимметричная) о дросселирова-нии канала при сверхзвуковых условиях на входе. В рассмотрен-ных примерах при заданных условиях на входе в трубу дроссе-лирование канала моделируется простейшим образом—заданиемпротиводавления (если это не оговорено особо). Более детальнопостановка граничных условий будет обсуждаться в каждой кон-кретной задаче.

Задача о дросселировании плоского канала. В первом при-мере анализируется плоское течение в канале, в котором засчет дросселирования на выходе осуществляется торможение додозвуковых условий. Этот пример представляет особый интересдля верификации расчетного метода. Дело в том, что условия за-дачи были выбраны в соответствии с конкретным экспериментом(см. [144–146]). Эксперимент проводился в симметричном ка-нале прямоугольного сечения. Ширина канала была постояннойи равнялась 76,2 мм при полувысоте канала в начальном сечении16,3 мм, а длина рабочей секции равнялась 753,8 мм. При этомканал слабо расширялся с углом наклона стенки 0,13 граду-са (см. рис. 5.1). В [145] для математического моделированияв приближении плоского канала было предложено использовать«вырезку» из рабочей секции, длина которой составляет 350 ммс тем же углом расширения канала. При этом полувысота каналав начальном сечении выделенной области составляет 16,875 мм.Толщина пограничного слоя по скорости на стенке канала в этомсечении по данным [145] равняется 5,4 мм. В начальном сечениичисло Маха в невозмущенном ядре потока M = 1,61, статическоедавление p = 46,8 кРа, а полная температура равняется 295◦К.Число Рейнольдса, определенное по параметрам в начальном


сечении, составляет Re=30000/мм. В выходном сечении рас-смотренной секции известно экспериментально измеренное придросселировании канала давление, равное 115 кРа.

Рис. 5.1. Схема экспериментальной установки и расчетная область

Для данного примера в качестве базовой была выбрана сетка,содержащая 300x70 ячеек со сгущением к стенке в поперечномнаправлении Y и с адаптацией сетки к положению системыскачков в направлении X. При этом ставилась задача разреше-ния сверхзвукового пограничного слоя, его дозвуковой областии попадания нескольких точек в ламинарный подслой. Вырезкаиз области измерений была сделана с учетом симметрии каналав поперечном направлении, и поэтому расчетная область ограни-чивалась плоскостью симметрии и стенкой. На входе в расчет-ную область, где поток является сверхзвуковым во всем сеченииза исключением дозвуковой пристеночной области пограничногослоя, задавались профили всех параметров (давления, плотности,скоростей и турбулентной вязкости). На стенке канала ставилисьусловия прилипания (обращения в нуль компонент скорости).Стенка предполагалась адиабатической. На плоскости симмет-рии формулировались соответствующие условия. Специальногорассмотрения требует постановка граничных условий в выходномсечении расчетной области. Дросселирование канала, как от-мечалось выше, моделируется заданием противодавления, изме-ренного в эксперименте для рассматриваемого режима течения.При этом в сверхзвуковом ядре потока, если оно существует,задавались мягкие условия сноса с учетом производных, опреде-ляемых внутри расчетной области. В дозвуковой зоне, котораяимеет место в начале процесса установления по времени тольков дозвуковой части пристеночного пограничного слоя, задает-ся противодавление. Если на выходе в процессе установленияобразуются локальные области дозвукового потока, то в нихиспользуется граничное условие в виде заданного статическогодавления, которое реализовалось в эксперименте. Это же усло-


S RS R

1,3

1,01,0

0,70,6

0,80,9

2,5

2,4

2,3

2,22,1

2,0

2,1

1,91,8

1,7

1,7

0 50 100 150 200 250 300

20

0 50 100 150 200 250 300

20

а)

б)

Рис. 5.2. Поля параметров: a) поле числа Маха; б) поле давления

вие выдерживается и в той ситуации, когда поток на выходестановится дозвуковым. Решение задачи прекращается послеуменьшения как интегральной, так и локальной невязок (праваячасть системы конечно-разностных уравнений (5.4)) с заданнойточностью. Для рассмотренной задачи имеет место установлениестационарного режима течения.

Расчеты проводились как с моделью турбулентности [136],так и с моделью А.Н. Секундова «νt–90». На рис. 5.2 изображе-ны поля чисел Маха и давления, полученные с использованиеммодели «νt–90». Поток, сверхзвуковой на входе, трансформиру-ется в дозвуковой в системе скачков и волн разрежения, вза-имодействующих с пограничным слоем. У стенки наблюдаетсялокальная отрывная зона. Здесь и далее точка отрыва обозначенабуквой S, а точка присоединения буквой R. На этом же рисункежирной кривой выделена звуковая линия. Сравнение распределе-ний статического давления вдоль плоскости симметрии и вдольстенки канала для двух моделей турбулентности показано нарис. 5.3. Если давление на стенке растет монотонным образом, тов ядре потока наблюдаются осцилляции, связанные с системойчередующихся волн сжатия и разрежения, существующих в тойобласти потока, где еще есть сверхзвуковые зоны. Видно, чтораспределение давления вдоль стенки для модели «νt–90» близкок экспериментальным данным. Результаты, представленные нарис. 5.2, свидетельствуют о том, что в области полностью дозву-кового потока давление в поперечном сечении меняется слабо.

Были проведены две серии методических расчетов на разныхсетках. Результаты, представленные на рис. 5.2, 5.3, полученына сетке, содержащей 300 ячеек по направлению X и 70 яче-


Рис. 5.3. Распределения давления вдоль стенки и плоскости симметрии канала

ек по направлению Y (сетка 300x70). Кроме того, что узлыданной сетки сгущались к стенке канала, было сделано ещеи сгущение к области повышенных градиентов давления по X(адаптация сетки в рамках методики, заложенной в программу),и на соответствующих рисунках результаты, полученные на этойсетке, помечены буквой a. В остальных вариантах первой серииметодических расчетов разбиение по направлению X было рав-номерным (100 и 200 ячеек) с сохранением распределения узловпо Y . Во второй серии методических расчетов для фиксирован-ного разбиения по X (300 ячеек) изменялось количество узловв направлении Y (дополнительно рассматривались варианты с 50и 100 ячейками). В последнем случае изменялся также размерминимальной ячейки у стенки канала.

Поля чисел Маха, полученные на разных сетках, представле-ны на рис. 5.4. Видно, что положение системы волн при измель-чении сетки изменяется не сильно, однако скачки разрешаютсялучше на более мелкой сетке. Размеры ядра потока, где имеетместо сверхзвуковая область, также воспроизводится достаточнохорошо на выбранных сетках. На рис. 5.5 приведены распреде-ления давления вдоль плоскости симметрии и по стенке каналадля первой серии расчетов с измельчением сетки по продольнойкоординате. При увеличении разбиения по продольному направ-лению пики в распределении давления по оси разрешаются луч-ше и становятся более резкими (рис. 5.5, а). Однако в характерераспределения давления по стенке различное количество ячеексказывается незначительно (см. рис. 5.5, б). Аналогичный выводо слабом влиянии измельчения расчетной сетки по поперечнойкоординате на распределение давления по стенке можно сделать


50 100 150 200 250 300

20

0

50 100 150 200 250 300

20

0

50 100 150 200 250 300

20

0

50 100 150 200 250 300

20

0

50 100 150 200 250 300

20

0

1,31,1 1,1

1,6

0,60,7

0,80,9

0,60,7

0,80,91,1

1,11,01,3

0,60,7

0,80,9

0,60,7

0,80,9

0,60,7

0,80,9

1,01,01,3

1,01,3

1,01,0

1,3

100 70

200 70

300 70

300 50

300 100

Рис. 5.4. Поля чисел Маха для разных сеток

также на основании результатов расчета второй серии, показан-ных на рис. 5.6. В целом можно сказать, что положение точки,где начинается интенсивный рост давления на стенке («голова»возмущенной области), изменяется при выбранных расчетныхсетках незначительно. Кроме того, и детальная структура по-тока, связанная с количеством «бочек» в ядре потока, такжевоспроизводится удовлетворительно на выбранной базовой сетке.Интересно отметить, что при использовании более грубых сеток,среди тех, которые рассматривались, длина возмущенной обла-сти увеличивается.

Сравнение результатов, полученных по модели «νt–90» и помодели [136] (см. рис. 5.3), свидетельствует о том, что при при-мерно одинаковом расположении «головы» возмущенной области(меньшем в случае модели [136]) количество «бочек» в ядре по-


Рис. 5.5. Распределения давления вдоль плоскости симметрии (а) и вдольстенки б для разных сеток

тока для двух рассмотренных моделей заметно отличается. Какпоказано в работе [145], результаты расчетов с использованиеммодели турбулентности [147] хорошо согласуются с эксперимен-тальными данными по количеству чередующихся волн сжатияи разрежения. Интересно заметить, что по количеству ячеексжатия — разрежения, которые фиксируются вдоль оси канала,результаты данных расчетов находятся в хорошем соответствиис результатами работы [145].


Рис. 5.6. Распределения давления вдоль плоскости симметрии (а) и вдольстенки б для разных сеток

О наличии отрывной зоны убедительно свидетельствует пове-дение коэффициента трения вдоль стенки канала, показанное нарис. 5.7. Сопоставление с кривой распределения давления вдольстенки на рис. 5.3 позволяет обратить внимание на характер-ную особенность поведения давления—тенденцию к реализацииполочки в области отрыва. Эта тенденция достаточно хорошовоспроизводится на всех рассмотренных расчетных сетках (см.рис. 5.5, б и 5.6, б). При внимательном рассмотрении эксперимен-тальных данных по распределению давления вдоль стенки также


мм

-0,04

Рис. 5.7. Распределение коэффициента трения

можно обнаружить проявление этой тенденции (см. рис. 5.3).Следует отметить, что наличие отрывной зоны было также за-фиксировано в расчетах, представленных в работе [145]. Зна-чения коэффициента трения на стенке в предотрывной областисверхзвукового потока и в области дозвукового потока за зо-ной отрыва достаточно хорошо согласуются с экспериментальны-ми данными. Следует отметить, что вычисление коэффициентатрения по экспериментально замеренным значениям продольнойкомпоненты скорости (с помощью лазер-доплеровского измери-теля скорости) в работе [145] не показало наличия отрывнойзоны. Авторы работ [144, 145] связывают это с погрешностьюпринятого способа определения коэффициента трения по изме-рениям в области больших градиентов поперечной компонентыскорости. Следовательно, факт реализации отрыва не получилнепосредственного подтверждения по результатам рассмотренно-го эксперимента.

В заключение обсуждения результатов данного экспериментаследует отметить, что выравнивание полей давления в попереч-ном направлении в области дозвукового потока не сопровож-дается выравниванием других параметров. Это подтверждаетсякак результатами рис. 5.2, а, где показаны поля чисел Маха,так и полями относительной температуры потока (отношениетемпературы к температуре потока в ядре на входе в канал),представленными на рис. 5.8. Таким образом, в дозвуковой частиканала поток остается существенно неоднородным.


0 50 100 150 200 250 300

201,40

1,35

1,30

1,251,20

1,05 1,15

Рис. 5.8. Поле температуры (отнесенной к температуре на входе в канал)

0 50 100 150 200 250 300

200,50 0,55 0,60

0,65 0,70

1,00

Рис. 5.9. Поле коэффициента восстановления полного давления

Особый интерес вызывает распределение необратимых потерьв канале при его дросселировании. С этой целью на рис. 5.9показаны поля коэффициента восстановления полного давления(отношение локального полного давления и полного давленияв ядре невозмущенного потока на входе в канал). Представ-ленные результаты свидетельствуют о том, что до области вза-имодействия основные потери сосредоточены в пристеночномпограничном слое. В возмущенной области следует обратитьвнимание на сравнительно высокий уровень потерь в отрыв-ной зоне. В ядре потока, включая область скачков уплотнения,потери невелики. Они не превышают потерь полного давленияв прямом скачке (коэффициент восстановления полного давленияв рассмотренном случае равен 0,89). Как показывает совместныйанализ полей коэффициента восстановления полного давления(рис. 5.9), чисел Маха (рис. 5.2, а) и температуры (рис. 5.8),основные потери сосредоточены в сдвиговом слое, расположен-ном между стенкой, с примыкающей к нему областью низкихскоростей и высокоскоростным ядром потока.

Возвращаясь к рис. 5.2, можно отметить, что реализующа-яся система скачков, по-видимому, может быть отнесена к такназываемой λ-структуре (см., например, [82]), поскольку перваяволновая структура содержит диск Маха небольшой протяжен-ности, а второй скачок является, по существу, нормальным. В тоже время известно (см., например, [82, 86]), что с увеличениемчисла M потока в начале области взаимодействия происходиттрансформация λ-структуры в x-образную структуру.

С целью воспроизведения отмеченного эффекта был про-веден дополнительный расчет при увеличенном числе M (при


сохранении статических давления и температуры) потока на вхо-де для канала той же высоты, но большей длины (700 мм),с приблизительно той же толщиной пограничного слоя на входе.Число M потока на левой границе расчетной области равнялось3,32. При этом число Рейнольдса, посчитанное по характернымпараметрам, принималось равным 60000/мм. Противодавлениезадавалось на уровне 527 кПа.

На рис. 5.10 показаны поля давления и чисел M, а нарис. 5.11—распределения давления, отнесенного к его величинев начальном сечении, вдоль стенки и плоскости симметрии кана-ла. Видно, что первая волновая структура является x-образной.Длина зоны, включающей чередующиеся по тракту области сжа-тия и разрежения, в этом случае существенно протяженнее посравнению с предшествующим примером для числа M = 1,61.Увеличение протяженности структуры при увеличении числа Mнаглядно видно из сопоставления распределений давлений постенке и вдоль плоскости симметрии, представленных для срав-ниваемых режимов на рис. 5.3 и 5.11 соответственно. Следуетотметить, что этот факт согласуется с тенденцией, отмеченной наоснове экспериментальных исследований (см., например, [86]).Распределение давления вдоль плоскости симметрии также сви-детельствует об увеличении числа чередующихся областей сжа-тия и разрежения в ядре потока при увеличении числа M.Обращает на себя внимание наличие достаточно протяженнойотрывной зоны. Этот факт подтверждается также распределе-нием коэффициента трения по стенке. Поведение звуковой ли-нии, показанной на рис. 5.10, а жирной кривой, а также линийуровня давления и числа Маха вплоть до области, где произо-шел переход к полностью дозвуковому потоку, демонстрируетналичие выраженной структуры волн сжатия и разрежения нетолько в сверхзвуковой зоне, но и в дозвуковой части областиперехода (от сверхзвукового течения к дозвуковому). При этомв дозвуковой части потока при наличии продольного градиентадавления в поперечном направлении давление меняется слабо.И только, практически, после перехода к дозвуковому потокудавление выравнивается в поперечном сечении канала.

Наличие выраженных волн сжатия и разрежения в дозву-ковой области приводит к качественным различиям в деталях,которые наблюдаются в распределениях давления вдоль стенкидля двух сравниваемых случаев. Как отмечалось выше, дляменьшего числа Маха обнаруживается тенденция к образованиюполочек в области отрыва. В случае большего числа M наблю-


Рис. 5.10. Поля параметров для M = 3

0 200 400 600

X, ì ì

0

4

8

12

0 200 400 x, мм 600

12

8

4

0

Рис. 5.11. Распределение давления (давление отнесено к давлению во входномсечении) (сплошная линия—ось канала, штриховая линия—стенка канала)

даются области небольшой протяженности, где давление вдольстенки падает.

Обнаруженные в расчетах тенденции, связанные с переходомот λ-структур к x-структурам и с увеличением длины областивосстановления давления при увеличении числа M на входе,качественно согласуются с экспериментальными фактами. Сле-дует отметить, что в первом примере отношение давлений навыходе и на входе в расчетную область составляет примерно 85%от степени повышения давления в прямом скачке, отвечающемчислу M = 1,61. Во втором примере для числа M = 3,32 этоотношение составляет приблизительно 89%.

Задача для осесимметричного канала. В данном приме-ре рассматривается течение в осесимметричном канале при егодросселировании. За основу был взят эксперимент, проведен-ный в ЦАГИ Г.Ф. Глотовым [148, 149]. Экспериментальные


Рис. 5.12. Схема экспериментальной установки

исследования проводились на присоединенном воздухопроводес осесимметричной моделью. Модель представляла собой тру-бу диаметром 106,68 мм и длиной 7,6 калибров. Число Махана входе в цилиндрический участок равнялось 2,34. На выхо-де была установлена камера Эйфеля с выхлопным диффузором(см. рис. 5.12). Испытания проводились на холодном воздухеT = 290К. При этом варьировалось давление в ресивере от 2 до5 бар. Число Рейнольдса, определенное по масштабу один метр,составляло порядка 107. В зависимости от перепада давленийв цилиндрическом канале устанавливались различные режимытечения. в данной работе приводится пример расчета такоготечения. Предварительно были апробированы различные спосо-бы задания граничных условий на выходной границе расчетнойобласти с тем, чтобы воспроизвести реальную ситуацию, когдана выходе из цилиндрического канала устанавливалась камераЭйфеля с выходным диффузором (выхлопной канал). В итогебыл выбран способ с моделированием на достаточно грубойсетке течения в выхлопном канале. В сечении открытого входазадавались параметры торможения внешней среды. На выходе издиффузора поддерживалось давление, равное давлению в окру-жающей среде. На входе в трубу задавались все параметры поданным эксперимента, в том числе и начальный пограничныйслой, толщина которого составляла 0,08 радиуса канала.

Распределения давления, отнесенного к давлению в ресивере,для двух характерных режимов показано на рис. 5.13. Здесьмаркеры соответствуют результатам эксперимента, а кривые 1и 2—результатам расчета. Кривая 2 и квадратики отвечаютслучаю, когда давление в ресивере составляет 2,6 бар. При этомсистема скачков заползает в канал на небольшое расстояниеи в распределении давления нет выраженного участка постоян-ного давления или даже его некоторого уменьшения к выходу изканала, характерного для развитого псевдоскачка. Второй режим(кривая 1 и треугольники) соответствует давлению в ресивере2,17 бар (большая степень повышения давления в цилиндри-ческой трубе). Данный режим соответствует режиму, близкомук развитому псевдоскачку. Степень повышения давления вдольстенки составляет при этом 0,9 от степени повышения давления


Рис. 5.13. Распределения статического давления, отнесенного к давлению тор-можения на входе в трубу: маркеры—эксперимент, кривые 1 и 2—расчет

Рис. 5.14. Поля чисел Маха

в прямом скачке. Поле чисел Маха для этого режима показанона рис. 5.14. Хорошо видна система скачков в голове структурыи протяженная отрывная зона. Результаты расчетов достаточнохорошо согласуются с данными экспериментов по распределениюдавления вдоль стенки.

Сравнение расчетных и экспериментальных данных свиде-тельствует о том, что общая длина возмущенной области и ос-новные детали изменения давления вдоль стенки воспроизводят-ся в расчетах достаточно хорошо. Но вместе с тем наблюдаетсяодно характерное различие непосредственно в области, где на-чинается рост давления на стенке. В расчетах этот рост заметнокруче, и наблюдается тенденция к образованию полочки, что ха-рактерно для отрывной области. В представленных эксперимен-тальных данных (особенно это заметно для большего перепададавления) наблюдается более плавный рост давления. Возможно,это отличие связано с возникновением нестационарных эффек-тов в голове возмущенной области, которые не воспроизводятсяв расчете.


Заключение. Представленные методические результаты сви-детельствуют о том, что методы математического моделированиямогут быть полезным инструментом при изучении рассматри-ваемого достаточно сложного класса течений. Математическаямодель основана на полной, осредненной для турбулентных ре-жимов течения, системе уравнений Навье-Стокса, которая за-мыкается при помощи полуэмпирической модели турбулентно-сти. При этом получаемые результаты, вообще говоря, чувстви-тельны к выбору модели турбулентности. Представляется, чтотребования к универсальности модели турбулентности являютсяключевыми для адекватного описания как интегральных харак-теристик течения, так и, особенно, структуры потока. Осталсяпрактически неисследованным вопрос о влиянии уровня турбу-лентных пульсаций во внешнем потоке на характеристики тече-ния. Вообще говоря, требуется чрезвычайно аккуратная верифи-кация расчетных методов, базирующаяся на тесном взаимодей-ствии с экспериментальными исследованиями, которая позволя-ет учесть особенности проведения экспериментов, «незначитель-ных» деталей проточного тракта, таких, например, как неболь-шие уступы в месте стыковки секций, состояние пограничногослоя, а также историю выхода на режим течения. Это особенноактуально при приближении к режиму так называемого разви-того псевдоскачка. Дело в том, что существует такой диапазонпротиводавления, когда малые его изменения приводят к зна-чительному увеличению длины псевдоскачка. Это своеобразнаяфизическая «некорректность» рассматриваемой задачи, посколь-ку малому изменению граничного условия отвечает значительноеизменение решения. Поэтому любые неточности модели турбу-лентности, погрешности счета, как и отступления от «идеально»заданных условий эксперимента могут привести в этой областиопределяющих параметров к сильному воздействию на численноерешение, а также на соответствие результатов расчета и экспе-римента.

Список литературы

1. Черный Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с.2. Internal Aerodynamics Manual. — Nort American Rockwell Corporation,Columbus Division Ohio, 1970, June.

3. Зуев В. С., Макарон В.Л. Теория прямоточных и ракетно-прямоточныхдвигателей. — М.: Машиностроение, 1970.

4. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. —М.: Наука, 1975.

5. Годунов С.К., Забродин А.В. и др. Численные решения многомерныхзадач газовой динамики. — М.: Наука, 1976.

6. Сборник «Механика». Численное решение задач гидромеханики под ре-дакцией Р. Рихтмайера. — М.: Мир, 1977.

7. Жданов В. Т., Фейман М.И., Курилкина А.И. Гиперзвуковые прямоточ-ные воздушно-реактивные двигатели (ГПВРД) // Обзор БНТИ ЦАГИ.1968. № 238.

8. Щетинков Е. С. О кусочно-одномерных моделях сверхзвукового горенияи псевдоскачка в канале // ФГВ. 1973. № 4.

9. Повх И.Л. Аэродинамический эксперимент в машиностроении. — М.:Машиностроение, 1974.

10. Preston J. H. The determination of turbulent skin friction by means of pitottubes // J. of the RAS. 1954. V. 58.

11. Winter K.G. Skin friction in turbulent boundary layers // Prog. AerospaceSci. 1977. V. 18. P. 1–57.

12. Оуэн, Беллхауз Измерение поверхностного трения в сверхзвуковых по-токах // Ракетная техника и космонавтика. 1970. № 7.

13. Dean W.R. // Proc. Com. Phil. Soc. 1950. V. 47.14. Прибор для исследования поверхностного трения в тонких пограничных

слоях // ЭИ ВИНИТИ, ИПС. 1972. № 20.15. Константинов Н.И. Сравнительное исследование напряжения трения на

поверхности тела // Труды ЛПИ. 1955. № 176.16. Смит, Эллиот. Измерение поверхностного трения при сильном взаимо-

действии // Ракетная техника и космонавтика. 1968. №11.17. Waltrup P. J., Cameron J.M. Wall shear and boundary–layer measurements

in shock separated flow // AIAAJ. V. 12. N 6.18. Острась В.Н., Пензин В.И., Ксенофонтов А.И., Клаус И. Г. Устройство

для измерения силы трения сверхзвукового потока о стенки канала.Авторское свидетельство. 1973. № 386579.

19. Zukoski E. E. Turbulent boundary layer separation in front of aforward–facing step // AIAA J. 1967. N 10.

20. Korst H.H. A theory for base pressures in transonic on supersonic flaw //J. Appl. Mech. 1956. V. 23. N 3.

21. Острась В.Н., Пензин В.И. Экспериментальное исследование силы, при-ложенной к внутренней поверхности цилиндрической трубы при течении

158 Список литературы

в ней неравномерного сверхзвукового потока, создаваемого коническимисоплами // Ученые записки ЦАГИ. 1972. Т. 3. № 4.

22. Исаченко В.П., Осипова В.Н., Сукомел А. С. Основы теплопередачи. —М.: Энергия, 1972.

23. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1969.24. Турбулентные течения и теплопередача / под ред. Линь Дзя-Цзяо. — М.:

ИЛ, 1963.25. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых пото-

ках. — М.: Наука, 1970.26. Keenan I. H., Neuman E. P. Measurements friction in a pipe for subsonic

and supersonic flow of air // J. Appl. Mech. 1949. V. 16. N 2.27. Kouls D, Gooddert E. E. Direct measurement of skin friction an a smooth

flat plate at supersonic speeds. Paper presented at 8-th Congr. Theoretic andAppl. Mech. Istanbul, 1952.

28. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. — М.: Наука, 1969.29. Кутателадзе С. С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбу-

лентном пограничном слое. — М.: Энергия, 1972.30. Авдуевский В. С. Метод расчета пространственного турбулентного по-

граничного слоя в сжимаемом газе // Изв. АН СССР Механика имашиностроение. 1962. № 4.

31. Романенко П.Н. Тепломассообмен и трение при градиентном течениижидкости. — М.: Энергия, 1971.

32. Острась В.Н., Шапошникова В. С., Эйсмонт В.А. О расчете сверхзву-ковых неадиабатических течений на начальном участке канала // Сб.«5-е чтения памяти Ф.А. Цандера». Рига, 1977.

33. Tucker M. // NACA TN. 1951. 2337.34. Белянин Н.Н. Расчет турбулентного пограничного слоя в сжимаемой

жидкости при Pr �= 1 // Труды ЦИАМ. 1958. № 326.35. Козлов В. Е., Острась В.Н., Эйсмонт В.А. Расчет сопротивления трения

на пористой стенке цилиндрического канала при вдуве инертного газа //Труды ЦАГИ. 1978. № 1943.

36. Гурылев В. Г., Трифонов А.К. Расчет характеристик воздухозаборниковс центральным телом // Труды ЦАГИ. 1967. Вып. 1082.

37. Патанкар С., Сполдинг Д. Тепло и массообмен в пограничном слое. —М.: Энергия, 1971.

38. Панов А.В., Швец С.Н. Прикладная механика и техническая физика.Т. 2. 1966. в. 1.

39. Берлянд А. Т., Глотов Г.Н., Острась В.Н., Толокина Т.К. Исследованиесверхзвуковых течений со срывными зонами // Обзор БНИ ЦАГИ. 1974.№ 437.

40. Воздухозаборники силовых установок летательных аппаратов для сверх-звуковых и гиперзвуковых скоростей полета // Обзор ОНТИ ЦАГИ.1972. № 375.

41. Исследование течений со срывными зонами // Обзор БНИ ЦАГИ. 1965.№ 129.

42. Зубков А.И., Сорокин Л.И. Влияние вязкости на течение в области пря-мого скачка уплотнения // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение.1961. № 1.

Список литературы 159

43. Гурылев В. Г., Трифонов А.К. Переход сверхзвукового течения в дозву-ковое в трубе с расширяющимся начальным участком // Ученые запискиЦАГИ. 1980. Т. 11, № 4. С. 80–89.

44. Penzin V. I. Experimental investigation of supersonic flows with separatedpigeons in ducts // Report AATDL–98–100. The Johns Hopkins University.APL. 1999.

45. Гурылев В. Г., Трифонов А.К. Псевдоскачок в простейшем воздухозабор-нике в виде цилиндрической трубы // Ученые записки ЦАГИ. 1976. Т. 7,№ 1.

46. Волощенко О.В., Острась В.Н., Серманов В.Н. Исследование теплооб-мена в области псевдоскачка // АН СССР. Пионеры освоения космоса исовременность. Сборник научных трудов. — М.: Наука, 1988.

47. Тарасов Ф.Ф. Исследование псевдоскачка в длинных каналах. КАИ.Диссертация. 1967.

48. Зимонт В.Л., Левин В.М., Мещеряков Е.А. Горение водорода в сверх-звуковом потоке в канале при наличии псевдоскачка // ФГВ. 1978. Т. 14,№ 4.

49. Кталхерман М. Г, Малахов В.М, Рубан Н.А. Псевдоскачок в прямо-точном канале постоянного сечения // Газодинамика течений в соплах идиффузорах. — Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. 1982.

50. Острась В.Н., Пензин В.И. Об изменениях характера отрывного те-чения, вызванного дросселированием сверхзвкового потока в канале //Ученые записки ЦАГИ. 1976. Т. 4, № 3.

51. Weise A. Uber die Strommungs ablosung durch Verdichtungsstobe // Tech-nische Berichte. 1943. Bd. 10, Heft 2.

52. Lukasiewicz J. Diffusers for supersonic wind tunnels // JAS. 1953. V. 20,N 9.

53. Баскарев Б.Н., Гилевич Д.Д., Острась В.Н. Расчет теплового режимаступенчатой камеры сгорания // Ученые записки ЦАГИ. 1985. Т. 16,№ 5.

54. Tamaki T, Tomita Y, Yamane R. A Study of pseudo–shock (1 st. Report,λ–type pseudo–shock) // Bull. of the JSME. 1970. V. 13, N 55.

55. Tamaki T, Tomita Y, Yamane R. A Study of pseudo–shock (2 st. Report,x–type pseudo–shock) // Bull. of the JSME. 1971. V. 14, N 74.

56. Острась В.Н., Пензин В.И. Экспериментальное исследование силы тре-ния в цилиндрическом канале при наличии псевдоскачка // Ученыезаписки ЦАГИ. 1974. Т. 5, № 2.

57. Lustwerk F. The influence of boundary–layer on the normal shock configu-ration // Meteor Report. 1950. N 61.

58. Гимранов Э. Г. Экспериментальное исследование процесса перехода те-чения сверхзвукового к дозвуковому в цилиндрическом канале // ТрудыУАИ. 1972. Вып. 30.

59. Chen R. Y., Williams J. C. On transition from supersonic to subsonic flowam low reynolds numbers in a tube // Прикладная механика. ТрудыАмериканского общества инженеров механиков / Пер. с англ. 1969. Т. 36.Сер. Е. № 2.

60. Щетинков Е. С. О кусочно-одномерных моделях сверхзвукового горенияв псевдоскачке в канале // Физика горения и взрыва, СО АН СССР. —Новосибирск. 1973. № 4.


61. Walther R, Sabelnikov V, Ostras V. New partnerships to meet hypersonicpropulsion challenges // Joint MTU-TsAGI Cooperation in Scramjet Tech-noly Development. AIAA–93–5017.

62. Чжен П. Отрывные течения. — М.: Мир, 1972. Т. 1, 2, 3.63. Бондарев Е.Н. Отрыв пограничного слоя на конических телах // Изв.

АН СССР. МЖГ. 1969. № 4.64. Пензин В.И. Экспериментальное исследование отрыва сверхзвукового

турбулентного пограничного слоя в цилиндрической трубе // Ученыезаписки ЦАГИ. 1974. Т. 5, № 4.

65. Богданов и Кеплер. Отрыв турбулентного пограничного слоя в сверхзву-ковом потоке // Вопросы ракетной техники. Т. 6, 56.

66. Zukoski E. E. Turbulent boyndary layer separation in front of forward–facingstep // AIAA J. 1972. N 70.

67. Волощенко О.В., Эйсмонт В.А. К вопросу о влиянии неравномерностисверхзвукового потока со скачками уплотнения на силу трения в плоскомканале // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. 5.

68. Voloshchenko O. et al. Supersonic combustion and gasdynamis of scramjet// ICAS–92–3.4.1.

69. Chue S.H. Pressure probes for fluid measurement // Pr. A Sci. 1975. V. 16,N 2. P. 147–223.

70. Петунин А.Н. Методы и техника измерения параметров газового пото-ка. — М.: Машиностроение, 1972.

71. Neuman E. P., Lustwerk F. J. // J. Appl. Mech. 1949. V. 16, N 2.72. Тарышкин А. Г., Старухин В.П. Экспериментальное исследование по-

граничного слоя в сверхзвуковом потоке на плоских тормозящих поверх-ностях с изломами образующих // Ученые записки ЦАГИ. 1975. Т. 6,№ 4.

73. Васильев В.И., Юденков Н.А., Богданов В. В. Исследование интенсив-ности турбулентных пульсаций потока в воздухозаборниках // ТрудыЦАГИ. 1971. Вып. 1327.

74. Кукинов А. Г. Работа лопаточной машины при наличии вихрей в набега-ющем потоке // Труды ЦАГИ. 1964. Вып. 903.

75. Зимонт В.Л. Влияние пульсаций потока на положение границы срыв-ных режимов работы одноступенчатого осевого компрессора // Ученыезаписки ЦАГИ. 1977. Т. 8, № 3.

76. Васильев В.И., Юденков Н.А. Исследование течения в плоском сверх-звуковом воздухозаборнике при работе на месте // Труды ЦАГИ. 1972.Вып. 1402.

77. Богданов В. В., Гурылев В. Г., Трифонов А.К. Пульсации полного давле-ния в потоке за псевдоскачком на входе простейшего воздухозаборникав виде цилиндрической трубы // Ученые записки ЦАГИ. 1977. Т. 8, № 3.

78. Влияние пульсаций потока в самолетных воздухозаборниках на работукомпрессора ТРД // Обзор ОНТИ ЦАГИ. 1973. № 400.

79. Пензин В.И. Псевдоскачок и отрывное течение в прямоугольных каналах// Ученые записки ЦАГИ. 1988. Т. 19, № 1.

80. Старухин В.П., Чевагин А.Ф. Влияние затупления входных кромок нахарактеристики плоских воздухозаборников // Ученые записки ЦАГИ.1994. Т. 25, № 1–2.

81. Roshko A. On the development of turbulent wakes from vortex strees //NACA. 1954. CR N 1191.


82. Крокко Л. Одномерное рассмотрение газовой динамики установившихсятечений // Основы газовой динамики / под ред. Эммонса. — М.: 1963.

83. Пензин В.И. Экспериментальное исследование торможения сверхзву-кового потока в расширяющихся прямоугольных каналах // ПрепринтЦАГИ. 1993. № 80.

84. Гаджиев Х. Р., Зимонт В.Л., Прасковский А.А. Экспериментальноеисследование влияния однородных турбулентных пульсаций скоростина положение границы устойчивых режимов двухступенчатого осевогокомпрессора // Отчет НИО–1 ЦАГИ. 1978. № 3421.

85. Пензин В.И. Экспериментальное исследование отрыва сверхзвуковоготурбулентного пограничного слоя в цилиндрической трубе // Ученыезаписки ЦАГИ. 1974. Т. 5, № 4.

86. Ikui T, Hatsvo K, Nagai M. The mechanism of pseudo–shock waves // Bull.of the JSME. 1974. V. 17, N 108.

87. NAVWEPS. Hanbook of supersonic aerodynamics. 1959. V. 6, N 17.88. Waltrup P. J., Billig F. S. Precombustion shock structure in scramjet engines

// AIAA Paper. N 72–1181.89. Back L.H., Cuffel R. F. Flow and heat trancfer measurements in a

pseudo–shock region with surface cooling // AIAA J. 1976. V. 14, N 12.90. Younahans J. L., Moore M.T., Collins T. P. Inlet flow flied simulation

techniques for ingine compressor testing // Aircraft Eng. 1970. N 11.P. 12–17.

91. Merkli P. E. Pressure recovery in rectangular constant area supesonicdiffusers // AIAA J. 1976. V. 14, N 2.

92. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Квазиодномерная теория взаимодействиятурбулентного следа со сверхзвуковым потоком в канале и струе // ТрудыИнститута механики МГУ. 1971. № 11.

93. Гурылев В. Г., Елисеев С.Н. К теории «псевдоскачка» на входном участкеканала // Ученые записки ЦАГИ. 1972. Т. 3, № 3.

94. Зимонт В.Л., Острась В.Н. Расчет псевдоскачка в цилиндрическомканале // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. 5, № 3.

95. Nedungadi A, Van Wie D.M. Understanding isolator performance peratingin the separation-shock mode // AIAA J. P. 2004–3832.

96. Николаев А. В. Течение во входном участке канала сверхзвукового диф-фузора при отрыве пограничного слоя головной волной // Ученые запискиЦАГИ. 1970. Т. 1, № 1.

97. Гимранов Э. Г. Соотношение параметров на псевдоскачке // Межвузов-ский научный сборник «Испытания авиационных двигателей». Уфа, 1975.№ 3.

98. Крокко Л., Лиз Л. Теория смешения для определения взаимодействиядиссипативного и почти изэнтропного потоков // Вопросы ракетной тех-ники. 1953. № 2.

99. Зимонт В.Л., Левин В.М., Мещеряков Е.А. Горение водорода в сверх-звуковом потоке в канале при наличии псевдоскачка // Отчет НИО–1ЦАГИ. 1977. № 204.

100. Козлов В. Е., Сабельников В.А. Расчет процесса торможения вязкогосверхзвукового потока газа в каналах // Известия АН СССР. МЖГ.1982. № 2.

101. Waltrup P. J., Billig F. S. Structure of shock waves in cylindrical ducts //AIAA J. 1973. V. 11, N 10.



102. Glassman I, James E.A. An unusual aerodynamic stagnation temperatureeffect // J. of the Spac. Scien. 1959. V. 26, N 6.

103. Монин А. С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. — М.: Наука,1965. Ч. 1.

104. Charwat A. F. Supersonic flows with imbedded separated regions // Advanesin Heat Transfer. / Ed. by Hartnett. 1970. V. 6.

105. Прудников А. Г., Сагалович В.И. Статистическое описание турбулентнойструи // ДАН СССР. 1962. Т. 144, № 6.

106. Прудников А. Г., Сагалович В.И. Статистическая модель струи и диф-фузионного факела // Кинетика и аэродинамика горения. — М.: Наука,1969.

107. Brown G, Roshko A. The effect of density difference on the turbulent mixinglayer // AGARD. Fluid dynamics panel specialists meeting on «Turbulentthe flows». London, England, 13-15 sept., 1971.

108. Мэдью, Рид. Турбулентное перемешивание струй сжимаемой жидкости// Ракетная техника и космонавтика. 1963. № 6.

109. Sirie M, Solignae I. Contribution a letude experimentalle de la couchesde mebange turbulent separated flows // AGARD. Conference Proceeding.1966. N 4.

110. Кузнецов В. Р., Лебедев А. Б., Секундов А.Н., Смирнова И.П. Расчеттурбулентного диффузионного факела горения с учетом пульсаций кон-центраций и архимедовых сил // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 6.

111. Сабельников В.А. Пульсации давления при однородной деформации од-нородной турбулентности // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. 5, № 4.

112. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. — М.: ИЛ,1962. — 607 с.

113. Нейланд В. Я. К теории взаимодействия с пограничным слоем для отрыв-ных двумерных и пространственных течений. Ч. 1. Пространственныетечения // Учен. зап. ЦАГИ. 1974. Т. 5. № 2. С. 70–79.

114. Коваленко А.А. Исследование отрыва пограничного слоя при взаимодей-ствии с гиперзвуковым потоком газа // Учен. зап. ЦАГИ. 1974. Т. 5.№ 6.

115. Дудин Г.Н., Липатов И.И. О закpитическом pежиме гипеpзвуковогообтекания тpеугольного кpыла // ПМТФ. 1985. № 3. С. 100–106.

116. Коваленко А.А., Липатов И.И. Исследование перехода от закритиче-ского к докритическому в следе за пластиной // ПМТФ. 1991. № 3.С. 72–77.

117. Козлов В. Е., Сабельников В.А. Численный метод расчета турбулентныхструйных течений в каналах в приближении пограничного слоя // Тр.ЦАГИ. 1979. Вып. 1982. C. 3–27.

118. Tsien H. S., Finston M. Interaction between parallel streams of subsonic andsupersonic velocity // J. Aeronaut. Sci. 1949. V. 16. N 9. P. 515–528.

119. Lighthill M. J. Reflection of a laminar boundary layer of a weak steadydisturbance to a supersonic stream, neglecting viscosity and heat conduction// Quart. J. Mech. and App. Math. 1950. V. 3. Pt. 3. P. 303–325.

120. Lighthill M. J. On boundary layers and upstream influence. II Supersonicflows without separation // Proc. of the Roy. Soc. London. Ser. A. 1953.V. 217. N 1131. P. 478–507.

121. Нейланд В.Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковыхтечений // Тр. ЦАГИ. 1974. Вып. 1529. — 125 с.


122. Stewartson K. Multistructured boundary layers on flat plates and relatedbodies // Advances in Applied Mechanics. — N.Y.: Acad. Press. 1974. V. 14.P. 145–239.

123. Smith F. T. Flow through constricted or dilated pipes and channels // Quart.J. Mech. Appl. Math. 1976. V. 29. Pt. 3. P. 343–376.

124. Smith F. T. Upstream interactions in channel flows // J. Fluid Mech. 1977.V. 79. Pt 4. P. 631–655.

125. Николаева Е.М., Тригуб В.Н. О самоиндуцированном взаимодействиипограничных слоев в плоском канале // Изв. РАН. МЖГ. 1995. № 4.С. 131–141.

126. Богданова Е. В., Рыжов О. С. О свободных колебаниях вязкой несжима-емой жидкости в полубесконечном канале // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 1.С. 64–72.

127. Рубан А.И., Тимошин С.Н. О распространении возмущений в погранич-ном слое на стенках плоского канала // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986.№ 3. С. 74–79.

128. Жук В.И., Рыжов О. С. О локально–невязких возмущениях в погранич-ном слое с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1982.Т. 263. № 1. C. 56–59.

129. Жук В.И., Попов С.П. Моделирование нелинейных волн в погра-ничных слоях на основе уравнения Бюргерса, Бенджамина–Оно иКортевега–ДеВриза // Мат. моделирование. 1990. Т. 2. № 7. С. 96–109.

130. Savenkov I. V. Wave packets, resonant interactions and soliton formation ininlet pipe flow // J. Fluid Mech. 1993. V. 252. P. 1–30.

131. Липатов И.И., Нейланд В. Я. К теории нестационарного отрыва и вза-имодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа // Учен.зап. ЦАГИ. 1987. Т. 18. № 1. С. 36–49.

132. Дубинский С. В., Липатов И.И. Распространение возмущений во внут-ренних течениях // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 2.

133. Третьяков П.К. Псевдоскачковый режим горения // ФГВ. 1993. Т. 29.№ 6. С. 34–38.

134. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течения. — М.:Наука. 1979. — 367 с.

135. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа. 2003. —840 с.

136. Baldwin B., Lomax H. Thin-layer approximation and algebraic model forseparated turbulent flows // AIAA J. 1978. P. 78–257.

137. Абрамович Г.Н., Крашенинников С.Ю., Секундов А.Н. Турбулентныетечения при воздействии объемных сил и неавтомодельности. — М.:Машиностроение. 1975. — 94 с.

138. Гуляев А.Н., Козлов В. Е., Cекундов А.Н. К созданию универсальнойоднопараметрической модели для турбулентной вязкости // Изв. РАН.МЖГ. 1993. № 4. С. 69.

139. Топеха Е.А., Копченов В.И. Неявная релаксационная конечно-разностнаясхема для системы уравнений Навье–Стокса // Методы исследованиягиперзвуковых летательных аппаратов. Сб. докл. ежегодной научнойШколы-семинара ЦАГИ «Механика жидкости и газа», 1992 г. — М.:ЦАГИ, 1994. Ч. 3. С. 9.1–9.10.

140. Gouskov O.V., Kopchenov V. I., Nikiforov D.A. Flow numerical simu-lation in the propulsion elements of aviation-space systems within full

6*


Navier–Stokes equations // Proc. Intern. Conf. Methods of AerophysicalResearch. Novosibirsk, 1994. Pt. 1. P. 104–109.

141. Колган В.П. Использование принципа минимальных производных припостроении конечно-разностных схем для расчета разрывных решенийгазовой динамики // Уч. зап. ЦАГИ. 1972. Т. 3. № 6. С. 68–77.

142. Тилляева Н.И. Обобщение модифицированной схемы С.К. Годунова напространственно-неоднородные сетки // Уч. зап. ЦАГИ. 1986. Т. 12. № 2.С. 18–26.

143. Baruzzi G. Structured mesh grid adapting ased on a spring analogy //Proceedings of the Conference of the CFD Society of Canada. Montreal,June 14-15, 1993. P. 425–436.

144. Carroll B., Dutton J. An LDV investigation of a multiple shock wave.Turbulent boundary layer interaction // AIAA Paper. 1989. N 89–0355.

145. Elmquist A.R. Еvaluation of a CFD code for analysis of normal–shock trains// AIAA 93–0292. 1993.

146. Carroll B., Dutton J. Turbulence phenomena in multiple normal shock wave.Turbulent boundary layer interaction // AIAA J. 1992. V. 30. N 1. P. 43.

147. Ramakrishnan S.V., Goldberg U. C. Versattility of an algebraic backflowturbulence model // AIAA 90–1485. 1990.

148. Глотов Г.Ф. Локальные дозвуковые зоны в сверхзвуковых струйныхтечениях // Известия РАН. МЖГ. 1998. № 1. С. 143–149.

149. Глотов Г.Ф., Гурылева Н.В., Иванькин М.А. Экспериментальное иссле-дование газотермодинамики течений в модельных каналах прямоточныхдвигателей // Проблемы аэрокосмической науки и техники. Жуковский.2000. № 1. C. 51–61.

Documents

837.pdf