846.уроки развивающей математики 5–6 классы задачи математического кружка

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

УДК 372.851 ББК 74.262.21я72

Г68

Печатается по решению редакционно-издательского совета Межрегионального центра инновационных технологий в образовании

Книга входит в серию учебных и учебно-методических пособий «Из опыта работы Лицея № 21 г. Кирова. Математика»

Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор А. С. Махнев;

доктор педагогических наук, профессор Г. Н. Некрасова; кандидат педагогических наук, доцент Н. А. Зеленина;

учитель математики высшей квалификационной категории, заслуженный учитель Российской Федерации Н. А. Баранова

Горев П. М., Утёмов В. В.

Г68 Уроки развивающей математики. 5–6 классы: Задачи математиче-ского кружка: Учебное пособие. – Киров: Изд-во МЦИТО, 2014. – 207 с.

ISBN 978-5-906642-03-5

Учебное пособие представляет собой сборник задач и материалов для проведе-ния дополнительных занятий по математике в 5–6-х классах общеобразователь-ной школы. В нём содержатся подборки задач как для занятий кружка по матема-тике, так и для самостоятельной работы учащихся во внеурочное время.

Книга предназначена в первую очередь для учеников 5–6-х классов, желающих повысить уровень своих знаний по математике, привить себе стойкий интерес к предмету, приобщиться к опыту творческой деятельности, направленной на ори-гинальное, сильное мышление.

Пособие может быть интересно также учителям математики, студентам педа-гогических направлений подготовки и всем тем, кто находится в творческом по-иске новых возможностей педагогической деятельности в области математики.

УДК 372.851 ББК 74.262.21я72

ISBN 978-5-906642-03-5 © АНО ДПО «Межрегиональный центр иннова-ционных технологий в образовании», 2014

© Горев П. М., Утёмов В. В., 2014


3

Предисловие для учеников, желающих знать больше о математике

Дорогой друг! У тебя в руках книга, которую мы назвали «Уроки развивающей математики: Задачи математического кружка». Это учебная книга, хотя она и не похожа на привыч-ный тебе учебник по математике.

Мы написали её для тех ребят, которые с увлечением за-нимаются математикой. Если ты считаешь себя таковым – это книга для тебя! В ней ты найдёшь огромное количество мате-матических задач, которые принято называть «нестандарт-ными», игр, головоломок и других многочисленных занима-тельных материалов по математике.

Но обо всём по порядку. В первой части книги содержится тридцать серий, каждая

из которых состоит из шести задач. Среди этих заданий ты обязательно найдёшь задачу, решаемую арифметическим спо-собом, задачи логического и комбинаторного1 характера, за-дачу, связанную с геометрическими фигурами, и задачу на смекалку. Решение этих задач позволит тебе всесторонне раз-вить твои математические способности.

Вторая часть посвящена отдельным идеям и методам ма-тематики, представленным в виде подборок задач на опреде-лённую тему. Решая эти задачи, важно запоминать не ход их решения, а ту общую идею, которая в них заложена. Большин-ство заданий этой части относятся к олимпиадным математи-ческим задачам, которые могут встретиться тебе на соревно-ваниях различных уровней.

В третьей части собраны задачи, позволяющие тебе про-явить смекалку и сообразительность. В таких упражнениях требуется не только догадка, но и крепкая логика – один из главных атрибутов мышления настоящего математика.

1 Комбинаторика – раздел математики, связанный с изучением количества комби-наций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из задан-ного конечного множества.


4

Математические экперименты, описанные в четвёртой ча-сти книги в форме последовательных заданий, позволят тебе понять, что математика не оторвана от жизни, она встреча-ется в ней на каждом шагу.

Наши художники специально для тебя в пятой части книги представили наиболее интересные задачи в форме се-рий рисунков. Полагаем, что такие задачи решать тебе будет ещё более интересно.

Шестая часть вобрала в себя многочисленные задачи, ко-торые можно встретить в сборниках головоломок. Это специ-альные задания, позволяющие развить сильное мышление при их самостоятельном выполнении. Мы полагаем, что эта часть книги предназначена для домашней работы.

Изготовив головоломки, описание которых содержится в седьмой части книги, и выполнив задания с ними, ты оку-нёшься в мир необычной математики, требующей ко всему прочему развитого воображения и фантазии.

Восьмая часть содержит разнообразные занимательные материалы: правила математических игр и интересные мате-матические находки. Это лишь то немногое, что можно в пол-ной мере почерпнуть из тех книг, список которых представлен в конце нашего учебного пособия.

Особое значение имеет девятая часть книги. В ней со-браны задачи открытого типа – специальные задания, ответы на которые могут быть неоднозначными. Здесь нет един-ственно правильного ответа: решение либо подходит к усло-вию задачи, либо нет. Для решения таких задач нужны сме-калка, воображение, логика и фантазия.

Полагаем, что это учебное пособие будет полезным для твоего всестороннего математического развития и станет от-правной точкой в нелёгком пути к покорению вершин мате-матического знания. Дерзай! Творческих успехов тебе!

Твои авторы


5


6

Если хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

Дьёрдь Пойа,

венгерский математик


7

Первая серия задач

Задачи Ответы

1. Напиши наибольшее число, состав-ленное из пяти различных цифр:

1, 9, 5, 3, 7.

2. Расшифруй каждое слово, поменяв порядок следования букв:

1) САИВЛ; 2) РЕОХ; 3) ШПАУК; 4) ШРАУГ.

Какое слово лишнее?

3. В соревнованиях по бегу Антон, Бо-рис и Валентин заняли первые три ме-ста. Какое место занял каждый из ре-бят, если Борис занял не второе и не третье, а Валентин – не третье место?

4. Раздели фигуру, изображенную справа, по линиям сетки на три одина-ковые по форме и размерам части.

5. Пакет пряников и связка баранок вместе весят 9 кг, а два пакета пряни-

ков и связка баранок – 13 кг. Сколько весит один пакет пряников и сколько весит одна связка баранок?

6. Было 5 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на три части. Всего стало 9 частей. Сколько листов бумаги разрезали?


8

Вторая серия задач


7. Лифт поднимается с первого этажа на третий за 7 секунд. За какое время он поднимется с первого этажа на девятый?

8. В коробке лежат 8 красных, 15 синих и 17 жёлтых шариков. Какое наимень-шее количество шариков нужно до-стать из коробки, чтобы среди них наверняка было не менее 3 синих?

9. Куб со стороной 10 см окрасили сна-ружи красной краской, а затем разрезали его на маленькие кубики со стороной 1 см. Сколько при этом получилось куби-ков ровно с двумя красными гранями?

10. Сколько существует двузначных натуральных чисел, у которых первая цифра меньше второй?

11. Из числа 12345123451234512345 вычеркни 10 цифр так, чтобы осталось наименьшее возможное число.

12. Дедка вдвое сильнее бабки, бабка втрое сильнее внучки, внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее кошки, кошка вшестеро сильнее мышки. Дедка, бабка, внучка, Жучка и кошка

вместе с мышкой могут вытащить репку, а без мышки – не могут. Сколько надо позвать мы-шек, чтобы они смогли сами вытащить репку?


9

Третья серия задач


13. Каждая из трёх девочек – Катя, Галя и Оля – спрятала одну из игрушек: медве-жонка, зайчика, слоника. Катя не прятала зайчика, Оля не прятала ни зай-чика, ни медвежонка. Кто какую игрушку спрятал?

14. 2 кошки за 2 часа съедают 2 мышки. Сколько мышек съедят 4 кошки за 4 часа?

15. Раскрась несколько клеток в квад-рате 4×4 так, чтобы в каждом столбце было закрашено чётное число клеток, а в каждой строке – нечётное количе-ство клеток.

16. Выпиши все трёхзначные нату-ральные числа, сумма цифр которых равна 4.

17. Если бы школьник купил 11 тетра-дей, то у него осталось бы 5 рублей. А для покупки 15 тетрадей ему не хва-тило 7 рублей. Сколько денег было у школьника?

18. На одном берегу реки 3 взрослых и 2 мальчика. Как всем пе-реправиться на другой берег, если лодка вме-щает одного взрослого или двух мальчиков?


10

Четвёртая серия задач


19. Сколько существует двузначных чисел, в записи каждого из которых хотя бы раз встречается цифра 7?

20. С помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 запиши самое большое и самое маленькое ше-стизначные числа, если: а) каждую цифру можно использовать сколько угодно раз; б) каждую из цифр нужно использо-вать хотя бы один раз.

21. Разрежь квадрат на четыре одина-ковые по форме и размерам части так, чтобы в каждой из них была ровно одна чёрная клетка.

22. В классе 32 ученика. Из них 18 за-нимаются в секции легкой атлетики, 10 – в секции плавания и 5 – в обеих секциях. Сколько учащихся этого класса не занимаются ни в одной из этих секций?

23. На складе есть краска в ёмкостях по 16 кг, 17 кг и 40 кг. Можно ли выдать 140 кг этой краски, не переливая её?

24. Трое рыбаков имеют общую лодку. У каждого есть свой замок и ключ к нему. Как прикрепить лодку к берегу, чтобы каждый из рыбаков мог ей поль-зоваться, открыв только свой замок?


11

Пятая серия задач


25. Сколько концов у 4 палок? У 5 па-лок? У 4 с половиной палок?

26. Машина прошла 50 000 км. При этом четыре её колеса и одно запасное износились одинаково. Какое рас-стояние прошло каж-дое из пяти её колёс?

27. Из какого количества трёхзначных чисел вычёркиванием одной цифры можно получить число 52?

28. Раздели фигуру на рисунке на че-тыре одинаковые по форме и размерам части.

29. Три шарика – белый, чёрный и зелё-ный – помещены по одному в три ящика. На одном из них написано «белый», на другом – «чёрный», на третьем – «белый или чёрный». Ни одна надпись не соот-ветствует действительности. Где какой шарик находится?

30. Числа от 1 до 9 расположи в квад-ратиках так, чтобы были верными все неравенства.

> >

> <

< >

< <

> <

> >


12

Шестая серия задач


31. Отцу 41 год, старшему сыну 13 лет, дочери 10 лет, а младшему сыну 6 лет. Через сколько лет отцу будет столько лет, сколько его детям вместе взятым?

32. Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна цифра 5?

33. Человек разглядывает портрет. «Чей это портрет Вы рассматриваете?» – спрашивают у него, и человек отвечает: «В семье я рос один как перст. И всё ж

отец того, кто на порт-рете, – сын моего отца. Вы не ослышались, всё верно – сын!» Чей портрет он разглядывает?

34. Сосчитай, сколько треугольников в фигуре, изображённой на рисунке.

35. Два ученика хотели купить моро-женое. У одного не хватило десяти руб-лей, у другого двух рублей. Тогда они сложили свои деньги вместе, и всё равно им не хватило на покупку даже одной порции. Сколько стоила одна порция мороженого?

36. Расставь в пустые квадраты числа от 1 до 12 так, чтобы сумма чисел на каждой стороне большого квадрата была равна 22.

22


13

Седьмая серия задач


37. Подряд стоит 6 стаканов: 3 с водой и 3 пустых. Взяв лишь один стакан, до-бейся, чтобы пустые и полные стаканы чередовались.

38. Расставь в кружочках числа от 1 до 7 так, чтобы сумма чисел на каждой из трёх прямых и на каждой из двух окружностей была равна 12.

39. За контрольную работу Света, Люда и Ира получили не двойки, но разные оценки. На вопросы однокласс-ников они все ответили по-разному: «У Светы пятёрка», «У Люды не тройка», «У Иры не пять». Оказалось, что из всех ответов верен только один, а два дру-гие ложные. Какую оценку получила каждая девочка?

40. Десять одинаковых монет обра-зуют треугольник, направленный вниз. Переложи ровно три монеты так, чтобы получился треугольник, направленный вверх?

41. Четыре утёнка и пять гусят весят 4 кг 100 г, а пять утят и четыре гу-сёнка весят 4 кг. Сколько весит 1 утёнок?

42. Продолжи числовой ряд: 0, 3, 8, 15, 24...

1 коп

1 коп

1 коп

1 коп

1 коп

1 коп

1 коп

1 коп

1 коп

1 коп


14

Восьмая серия задач


43. В колбу поместили бактерию. Каж-дую минуту число бактерий удваива-ется. Через три часа колба заполнилась бактериями. В какой момент бактери-ями была заполнена половина колбы?

44. Расставь в треугольниках числа от 4 до 12 так, чтобы сумма чисел в каж-дом из трёх шестиугольников равня-лась 50.

45. У Артёма по математике вдвое больше пятёрок, чем четвёрок. Сколько у Артёма четвёрок, если всего у него 12 отметок?

46. В парке есть треугольная клумба, в вершинах посажены кусты роз. Как, не пересаживая розы, увеличить площадь клумбы, сохранив при этом её перво-начальную форму? Нарисуй.

47. Гном разложил свои сокровища в три сундука разного цвета, стоящих у стены: в один – драгоценные камни, в другой – золотые монеты, в третий – ма-гические книги. Он помнит, что красный сундук находится правее, чем камни, и что книги – правее красного сундука. В каком сундуке лежат книги, если зелё-ный сундук стоит левее синего?

48. Можно ли, взявшись двумя руками за концы верёвки и не отпуская их, за-вязать на ней узел?

2 1

3

13


15

Девятая серия задач


49. Сумма двух чисел равна 385. Одно из них оканчивается нулём. Если 0 за-черкнуть, то получится второе число. Какие это числа?

50. Расставь в каждом маленьком тре-угольнике числа от 4 до 10 так, чтобы в каждом из четырёх больших треуголь-ников сумма чисел была равна 25.

51. В классе все дети изучают англий-ский или французский язык. Из них 17 человек изучают английский язык, 15 человек – французский, а 8 человек изучают оба языка одновременно. Сколько учащихся в классе?

52. Переложи три спички так, чтобы спираль раскручивалась в другую сто-рону.

53. Родительский комитет купил на покраску пола в классе 4 банки краски по 3 кг в каждой. Длина класса 8 м, ши-рина 6 м. Хватит ли краски, если на 1 кв. м идёт 250 г?

54. Раздели 50 руб-лей на две части так, чтобы одна часть была больше другой в 99 раз.

2

1 3


16

Десятая серия задач


55. Если этот день не идёт вслед за по-недельником и не перед четвергом, а завтра не воскресенье и вчера было не воскресенье, а послезавтра будет не суббота и позавчера была не среда, то что это за день?

56. Сколько всего существует трёх-значных чисел, все цифры которых чётные?

57. В ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором на 10 кг меньше, чем в двух других вме-сте. Сколько орехов в третьем ящике?

58. Спичечный рак ползет вверх. Пере-ложи три спички так, чтобы он полз вниз.

59. Колю, Сашу и Юру допрашивали в полиции в связи с кражей велосипеда. Коля сказал, что велосипед украл Саша. Саша заявил, что он невиновен. Юра сказал, что и он не вор. Полицей-ский знал, что только один из этих троих говорит правду, а двое лгут. Так кто же украл велосипед?

60. В кошельке лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак; что это за монеты?


17

Одиннадцатая серия задач


61. В ящике лежит 10 упаковок, в каж-дой упаковке – 20 спичечных короб-ков, в каждом коробке – 50 спичек. Сколько всего спичек?

62. Расставь в пустых квадратах числа от 1 до 11 так, чтобы сумма трёх чисел на каждой прямой была равна 18.

63. Некоторые перчатки шьют из кожи. Все новые кожаные изделия не-много жмут, но некоторые со време-нем делаются мягче. Какие из утвер-ждений верны? а) Все перчатки не-много жмут, пока они новые. б) Неко-торые перчатки со временем стано-вятся мягче. в) Только мягкая, не-много поношенная кожа используется для изготовления перчаток.

64. Соедини девять точек четырьмя прямыми линиями, не отрывая каран-даша от бумаги.

65. Ящик с сардинами весит 18 кг, а 6 ящиков с килькой весят столько, сколько два ящика с сардинами. Сколько весит ящик с килькой?

66. В одной стопке лежат 100 билетов с последовательными номерами, воз-растающими сверху вниз, причём ниж-ний билет имеет номер 234567. Сверху по одному взято 42 билета. Билет с ка-ким номером взят последним?

• • • • • • • • •


18

Двенадцатая серия задач


67. Сумма уменьшаемого, вычитае-мого и разности равна 2012. Найди уменьшаемое.

68. Сколько всего четырёхзначных чи-сел, в которых все цифры различны и при этом цифры 4 и 5 стоят рядом?

69. В пяти мисках 100 орехов. В первой и второй мисках вместе 52 ореха, во второй и третьей – 43, в третьей и чет-вёртой – 34, в четвёртой и пятой – 30. Сколько орехов каждой миске?

70. Расположи шесть карандашей так, чтобы они образовывали 4 равносто-ронних треугольника.

71. Фараон спросил: «Кто са-мый могущественный из бо-гов?» «Не я», – ответил Гор. «Анубис», – сказала Исида. «Исида говорит неправду», – сказал Анубис.

Фараон знал, что только один из богов го-ворит правду, а два других лукавят. Кто же самый могущественный из богов?

72. У каждого марсианина по 3 руки. Могут ли 13 мар-сиан взяться за руки так, чтобы не оставалось сво-бодных рук?


19

Тринадцатая серия задач


73. Яхта отправилась в плавание в по-недельник в полдень. Плавание будет продолжаться 80 часов. В какой день и час яхта вернётся обратно?

74. Украли Василису Прекрасную. По-ехал Иван-царевич выручать её. Встре-тил Змея Горыныча, Бабу-ягу, Кощея Бессмертного и Лешего. Иван-царевич знал, что один из них украл Василису. Он спрашивает: «Кто украл Василису?» Змей Горыныч, Баба-яга и Кощей отве-тили: «Не я», а Леший: «Не знаю». По-том оказалось, что двое из них сказали правду, а двое – неправду. Знает ли Ле-ший, кто украл Василису?

75. Раздели изображённую фигуру на 4 равные части.

76. Шесть карасей легче пяти окуней, но тяжелее десяти лещей. Что тяжелее: два карася или три леща?

77. Сколько есть трёхзначных чисел, в записи которых использована хотя бы одна цифра 2?

78. Ира, Наташа, Алёша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алёша – больше, чем Витя. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?


20

Четырнадцатая серия задач


79. Кот в сапогах наловил щук: он поймал четыре щуки и еще половину улова. Сколько щук пой-мал Кот в сапогах?

80. В киоске около школы продаётся мороженое двух видов: «Спортивное» и «Мальвина». На перемене 24 ученика успели купить мороженое. При этом 15 из них купили «Спортивное», а 17 – мороженое «Мальвина». Сколько чело-век купили мороженое обоих сортов?

81. Есть 10 монет: две по 2 тугрика, две по 3 тугрика, две по 5 тугриков, две по 10 тугриков, одна по 15 тугриков и одна по 20 тугриков. Размести их в кружоч-ках звезды так, чтобы сумма на каждой из пяти прямых была одна и та же.

82. В магазин привезли 223 л подсол-нечного масла во флягах по 10 л и 17 л. Сколько было фляг?

83. Дети сложили из кубиков такую фи-гуру, что если посмотреть на неё спе-реди, то видно 10 кубиков, а если сбоку – 7. Какое наименьшее количество куби-ков могло быть в такой фигуре?

84. Если прикрыть рукой половину ци-ферблата часов, то сумма закрытых чи-сел будет равна сумме оставшихся от-крытыми. Какие числа надо закрыть?


21

Пятнадцатая серия задач


85. Два разбойника делят добычу. Как они должны это сделать, чтобы никто не мог пожаловаться, что другой обма-нул его при дележе?

86. Сколько существует четырёхзнач-ных чисел, у которых в чётных разрядах стоят одинаковые цифры?

87. Раздели фигуру на 4 одинаковые ча-сти по линиям сетки так, чтобы в каж-дой части был кружок.

88. 9 одинаковых конструкторов вме-сте содержат меньше 100 деталей, а 12 таких же конструкторов – больше 130 деталей. Сколько деталей в одном конструкторе?

89. От прямоугольной полоски длиной 54 см и шириной 16 см последовательно отрезают квадраты одним прямоли-нейным разрезом. Сколько таких квад-ратов получится?

90. Есть три ящика: ящик с апельсинами, ящик с ябло-ками и ящик со смесью яблок и апельсинов. Таблички с ука-занием, что внутри, перепу-тали; теперь все таблички не на своём месте. Разрешается

сунуть руку в ящик и вытащить оттуда 1 предмет. Как узнать, в каком ящике что лежит?


22

Шестнадцатая серия задач


91. В двух пачках 30 тетрадей. Когда из первой пачки переложили во вторую две тетради, в первой стало вдвое меньше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

92. Разрежь невыпуклый четырёх-угольник на 6 частей двумя прямыми.

93. Сколько карандашей надо взять в темноте из коробки с 7 красными и 5 синими карандашами, чтобы было взято не меньше двух красных и не меньше трёх синих?

94. Сколько можно записать четырёх-значных чисел, у которых первая цифра чётная, а последняя нечётная?

95. Петя лжёт по понедельникам, втор-никам и средам, а в остальные дни гово-рит только правду. Выясни, в какие дни недели Петя может заявить: а) «Я лгал вчера». б) «Я буду лгать завтра». в) «Я лгал вчера и буду лгать завтра».

96. За книгу заплатили 100 рублей, и осталось заплатить ещё столько,

сколько осталось бы за-платить, если бы за неё за-платили столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит книга?


23

Семнадцатая серия задач


97. У Саши, Маши и Даши вместе 11 воздушных шариков. У Саши – на 2 шарика меньше, чем у Даши, а у Маши – на 1 шарик больше, чем у Даши. Сколько шариков у Даши?

98. Расположи 6 точек на 4 отрезках, чтобы на каждом отрезке было 3 точки.

99. Из какого количества четырёхзнач-ных чисел вычёркиванием одной цифры можно получить число 342?

100. Женщина собрала в саду яблоки. Чтобы выйти из сада, ей пришлось пройти через 4 двери, каждую из кото-рых охранял свирепый стражник, от-биравший половину яблок. Домой она принесла 10 яблок. Сколько яблок награбили стражники?

101. На столе лежат четыре карточки с надписями (о том, что на обратных сто-ронах, ничего не известно). Какие кар-точки надо перевернуть, чтобы узнать, правда ли, что если на какой-то стороне карточки написано чётное число, то на другой стороне – гласная буква?

102. У мальчика столько же сестёр, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестёр, чем братьев. Сколько в этой семье мальчиков и сколько девочек?

А Б 1 2


24

Восемнадцатая серия задач


103. У овец и кур вместе 36 голов и 100 ног. Сколько овец?

104. Раздели прямоугольник 49 на две равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

105. Сколько существует четырёхзнач-ных чисел, в которых есть цифра 5, а остальные цифры – разные?

106. На корабле 20 пиратов. По крайней мере один из них честен. В каждой паре пиратов хотя бы один любитель врать. Сколько честных пиратов?

107. Задумано трёхзначное число, у ко-торого с любым из чисел 543, 142 и 562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано?

108. Два путешественника подошли к реке. На берегу обнаружилась лодка, спо-собная перевезти лишь од-ного человека. Тем не ме-нее они смогли перепра-виться через реку и про-должить путешествие. Могло ли так быть?


25

Девятнадцатая серия задач


109. Один сказал другому: «Дай мне две сливы, тогда будет у нас слив по-ровну». На что тот ответил: «Нет, лучше ты дай мне две сливы – тогда у меня будет вдвое больше, чем у тебя». Сколько слив было у каждого?

110. Один из попугаев всегда говорит правду, другой всегда врёт, а третий – хитрец – иногда говорит правду, а ино-гда врёт. На вопрос «Кто Кеша?» они ответили: Гоша: «Лжец». Кеша: «Я хитрец!» Рома: «Абсолютно честный попугай». Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

111. Раскрась некоторые клетки доски 8×8 так, чтобы у каждой клетки были закрашены ровно две соседние.

112. На какие цифры может оканчи-ваться квадрат целого числа?

113. Если к половине моих лет приба-вить 7, то получите мой возраст 13 лет тому назад. Сколько мне лет?

114. Каждый десятый ма-тематик – философ. Каж-дый сотый философ – ма-тематик. Кого больше: философов или матема-тиков?


26

Двадцатая серия задач


115. Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

116. Сколько существует четырёхзнач-ных чисел, в которых цифры идут в по-рядке возрастания?

117. В стране три города: Правдин, Лгунов и Переменск. Жители Прав-дина всегда говорят правду, Лгунова – лгут, а жители Переменска строго по-переменно лгут и говорят правду. По-жарным позвонили: «У нас в городе по-жар!» – «Где горит?» – «В Переменске». Пожарные уверены, что пожар есть. Куда им ехать?

118. На гранях кубика написаны 6 раз-личных цифр. Сумма цифр на противо-положных гранях одна и та же для каж-дой пары параллельных граней. Ка-ковы остальные цифры, если три видны на рисунке?

119. Отцу столько лет, сколько сыну и дочери вместе; сын вдвое старше сестры и на 20 лет моложе отца. Сколько лет каждому?

120. Какое слово зашифровано в числе 222122111121, если каждая буква за-менена её номером в алфавите?


27

Двадцать первая серия задач


121. Некоторое число уменьшили на 7, потом уменьшили в 10 раз и получили число, которое на 34 меньше исход-ного. Найди исходное число.

122. В коробке лежат воздушные ша-рики: 10 красных и 10 синих. Продавец не глядя достает по одному шарику. Сколько шариков ему надо вытащить, чтобы среди них обязательно нашлась пара шариков одного цвета?

123. На острове Буяне четыре королев-ства, причём каждое граничит с тремя остальными. Нарисуй карту острова так, как её себе представляешь.

124. В кабине лифта 20-этажного дома есть две кнопки. При нажатии на одну из них лифт поднимается на 13 этажей, а при нажатии на другую – опускается на 8 этажей. Как попасть с 13-го этажа на 8-й?

125. – У Вовы больше ты-сячи книг, – сказал Ваня. – Нет, книг у него меньше тысячи, – возразила Аня. – Одна-то книга у него наверняка есть, – сказала Маня. Если истинно только одно из этих утверждений, сколько книг у Вовы?

126. Сколько воскресений может быть в году?


28

Двадцать вторая серия задач


127. Сумма пяти нечётных последова-тельных чисел равна 555. Найди эти числа.

128. Сколько существует четырёхзнач-ных чисел, у которых цифра десятков чётна, а цифра сотен нечётна?

129. Разрежь этот квадрат вдоль линий на 4 части одинакового размера и одной формы так, чтобы каждая из частей со-держала по звёздочке и по крестику.

130. Учительнице подарили букет цве-тов. Ребята высказывали различные предположения: цветы принесли Ан-дрей и Борис, Андрей и Даша, Андрей и Сергей, Борис и Даша, Борис и Володя, Володя и Галя, Галя и Даша. Учитель-ница сказала, что в одном из предполо-жений одно имя названо верно, а дру-гое – неверно. Во всех остальных пред-положениях оба имени названы не-верно. Кто принёс цветы?

131. Мальчик и поросёнок весят как 5 ящиков. Поросёнок весит как 4 кошки. Две кошки и поросёнок весят как 3 ящика. Сколько кошек уравновесят мальчика?

132. В одном месяце три среды при-шлось на чётные числа. Какого числа в этом месяце будет первое воскресенье?


29

Двадцать третья серия задач


133. Отец старше сына в 4 раза. Через 20 лет он будет старше сына в 2 раза. Сколько сейчас лет отцу?

134. Учитель задал на уроке сложную задачу. Число мальчиков, решивших

её, оказалось равным числу девочек, её не ре-шивших. Кого в классе больше: учеников, решив-ших задачу, или девочек?

135. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 50?

136. Винтик и Шпунтик сложили па-раллелепипед из двух одинаковых ку-биков. Площадь поверхности паралле-лепипеда равна 90 см2. Чему равен объём этого параллелепипеда?

137. Лошадь съедает копну сена за двое суток, корова – за трое, овца – за 6 суток. За какое время съедят копну сена лошадь, корова и овца вместе?

138. Встретились три охотника и сва-рили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй – одну, а у третьего крупы не было. Но зато он дал товари-щам 5 патронов в качестве платы за кашу. Все ели поровну. Как следует разделить патроны между первым и вторым охотниками?


30

Двадцать четвёртая серия задач


139. Некто сказал: «Когда я проживу ещё половину, да треть, да четверть моих лет, мне станет 100 лет». Сколько ему лет?

140. Расположи числа от 1 до 12 в квад-раты на рисунке справа так, чтобы сумма чисел в каждом кольце была равна 28.

141. В комнате находятся десять чело-век, некоторые из них всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. На каждом из них надета чёрная или бе-лая шапка. Каждый из них сказал: «Среди остальных девяти человек (всех, кроме меня) ровно трое носят чёрные шапки». Сколько из них может быть лжецами?

142. Перемножили 50 троек. Получили число A. Перемножили 100 двоек. По-лучили число B. Что больше: A или B – и почему?

143. На двух параллельных прямых шесть точек: две точки – на верхней, че-тыре точки – на нижней. Сколько раз-личных треугольников с вершинами в этих точках можно нарисовать?

144. Все натуральные числа от 1 000 до 2 000 записаны подряд. Сколько раз в этом ряду после нечётной цифры идёт чётная?

10

11 9

8


31

Двадцать пятая серия задач


145. После того как Маша съела поло-вину персиков из банки, уровень ком-пота понизился на одну треть. На ка-кую часть (от нового уровня) пони-зится уровень компота, если съесть по-ловину оставшихся персиков?

146. Рядом сидят мальчик и девочка. – Я мальчик, – говорит черноволосый ребёнок. – Я девочка, – говорит рыжий ребёнок. Если хотя бы кто-то из них врёт, кто мальчик, а кто девочка?

147. Сколькими способами можно раз-ложить в два кармана пять купюр до-стоинством в 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей?

148. На сковородке лежат два квадрат-ных блина, как показано на рисунке. Можно ли их рассечь одним прямоли-нейным разрезом на две равные части каждый?

149. Пароход шёл от Нижнего Новго-рода до Астрахани 5 суток, а обратно 7 суток. Сколько времени плывут плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

150. Кузнец соединил 5 це-пей по 3 звена в каждой в одну цепь, раскрыв 4 кольца и снова их заковав. Нельзя

ли было выполнить работу быстрее?


32

Двадцать шестая серия задач


151. Я отпил 1/6 чашки кофе и долил её молоком. Затем выпил 1/3 чашки и долил её молоком. Потом я выпил пол-чашки и опять долил её молоком. Наконец я выпил полную чашку. Чего я выпил больше: кофе или молока?

152. В урне лежат 10 жетонов с чис-лами 1, 2, 3, ... , 10. Из неё вынимают три жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел равна 9?

153. Золотошвея разместила 20 учениц в комнатах дома. По вечерам она проверяла, чтобы в комнатах на каждой стороне дома было 7 девушек. Однажды в гости к ним пришли 4 подружки. Размести всех, чтобы золотошвея насчитала вдоль каждой сто-роны опять по 7 девушек.

154. За сутки до дождя Петин кот всегда чихает. Сегодня кот чихнул. «Завтра бу-дет дождь», – подумал Петя. Прав ли он?

155. Одна монета лежит неподвижно, а другая такая же монета катится вокруг неё. Сколько раз она обернётся вокруг своего центра, прежде чем вернётся в исходное положение?

156. В гости пришли 6 человек в галошах разного размера. Расходились по одному, и некоторые надевали галоши большего размера. Сколько могло остаться гостей, не сумевших надеть галоши?

2 3 2

3 3

2 3 2

5 РУБЛЕЙ

5 РУБЛЕЙ


33

Двадцать седьмая серия задач


157. Когда Коля был молод, как Оля, годом меньше было тётушке Поле, чем Коле теперь вместе с Олей. Сколько лет было Коле, когда тётушка Поля была в возрасте Коли?

158. Митя и Витя взвесили свои порт-фели. Весы показали 3 кг и 2 кг. Когда они положили на весы оба портфеля, весы показали 6 кг. – Разве два плюс три равно шести? – воскликнул Витя. – У весов сдвинута шкала, – ответил Митя. Сколько весили портфели на са-мом деле?

159. На рисунке изображена фигура. Одним прямым разрезом подели её на 2 части и составь из них квадрат.

160. Во скольких девятизначных чис-лах все цифры различны?

161. У Ивана было 3 лепёшки, а у Петра – 4. Прохожий присоединился к

их трапезе, заплатив 70 рублей. Все ели по-ровну. Как следует рас-пределить деньги между Петром и Иваном?

162. Три разбойника делят добычу. Как они должны это сделать, чтобы никто не мог пожаловаться, что другие обманули его при дележе?


34

Двадцать восьмая серия задач


163. Моему брату через 2 года будет вдвое больше лет, чем ему было 2 года назад, а моя сестра через 3 года будет втрое старше, чем 3 года назад. Кто из них старше?

164. Прямоугольник разделён на 4 прямоугольника, площади трёх равны 2, 4 и 6 см2. Найди площадь четвёртого прямоугольника.

165. Назови все двузначные числа, кото-рые одновременно являются и квадра-тами, и кубами натуральных чисел.

166. «У меня в деревне есть несколько птиц, – рассказывал Павел. – Все они, кроме двух, утки, все, кроме двух, цып-лята и все, кроме двух, гуси. Сколько же у меня птиц?»

167. Летела стая одно-головых сороконожек и трёхголовых драконов. Вместе у них 648 ног и

39 голов. Сколько ног у дракона?

168. В стозначном числе 1234678901234567890…1234567890

вычеркнули все цифры на нечётных ме-стах. В полученном пятидесятизначном числе снова вычеркнули все цифры на нечётных местах. Вычеркивание про-должалось, пока не осталась одна цифра. Какая это цифра?

2 4

6


35

Двадцать девятая серия задач


169. Чтобы определить расстояние от дома до школы, Сергей шёл равномер-ным шагом и полпути считал шаги па-

рами, а полпути – трой-ками, причём пар получи-лось на 250 больше, чем троек. Сколько шагов до школы?

170. С помощью цифр 0, 1, 3, 5 запиши са-мое большое и самое маленькое пя-тизначные числа, в которых каждая цифра используется хотя бы один раз.

171. На рисунке – три фотографии од-ного и того же кубика. Сколько различ-ных кубиков можно изготовить по ним?

172. Из лагеря вышли пять туристов: Вася, Галя, Толя, Лена и Миша. Толя идёт впереди Миши. Лена впереди Васи, но позади Миши. Галя впереди Толи. В ка-ком порядке идут ребята?

173. Один человек купил 30 птиц за 30 монет. Из этих птиц за каждых трёх

воробьёв уплачена одна монета, за каждые две горлицы – также одна монета и за каждого го-лубя – 2 монеты. Сколько было птиц каждого вида?

174. На сколько сумма всех чётных чи-сел первой тысячи больше суммы всех нечётных чисел той же тысячи?


36

Тридцатая серия задач


175. Произведение четырёх последо-вательных чисел равно 360. Что это за числа?

176. Сколько раз к наибольшему дву-значному числу надо прибавить наибольшее трёхзначное число, чтобы получить наибольшее пятизначное?

177. Нарисуй круг с точкой в центре, не отрывая карандаша от бумаги и не ис-пользуя ластик.

178. По лесу гуляли бабушка с внучкой, да папа с мамой, да дочка с отцом, да тётя с племянницей, да сестра с сестрой. Сколько человек гуляли по лесу?

179. Пиранья считается сытой, если съест трёх других пираний. В пруд выпустили несколько пираний. Через день

осталась только одна сытая рыбка, при-чём ровно 100 пираний погибли сы-тыми. Какое наименьшее число рыб могло быть выпущено в пруд вначале?

180. Раздели 7 полных, 7 пустых и 7 по-лупустых бочек мёда между тремя куп-цами, чтобы всем досталось поровну и бочек, и мёда. (Мёд из бочки в бочку не пе-реливать!)


37


38

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.

Василий Петрович Ермаков,

российский математик и механик


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

39

Разберём все варианты 181. Незнайка пытался записать все примеры на сложение трёх однозначных чисел, чтобы в резуль-тате получилось 20 (некоторые слагаемые могут быть одинаковыми), но он всё время ошибался. По-моги ему решить эту задачу.

182. В числе 3 728 954 106 зачеркни три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили наименьшее семизначное число.

183. Три богатыря – Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович, защищая от нашествия родную землю, срубили Змею Горынычу все 13 голов. Больше всех срубил Илья Муромец, а меньше всех – Алёша Попович. Сколько голов мог срубить каждый из них?

184. На сколько частей можно разделить квадрат тремя пря-мыми линиями?

185. Двенадцать человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несёт по два хлеба, женщина – по половине хлеба, а ребёнок – по четверти хлеба, причём в переносе участвуют все 12 чело-век. Сколько мужчин, сколько женщин и сколько детей?

186. В составлении 40 задач приняло участие 30 студентов со всех пяти курсов. Любые два студента-однокурсника придумали одинако-вое число задач. Любые два студента разных курсов придумали разное число задач. Сколько человек придумали одну задачу? 187. Несколько косточек из набора домино уложили так, как показано на рисунке. Определи расположение косточек: где проходят границы между ними?


40

188. Белочка собрала 21 орех и разложила их на кучки так, что количество орехов в них выража-лось последовательными числами. Укажи воз-можные варианты решения.

189. Студент за пять лет сдал 31 экзамен. В каждом следую-щем году он сдавал больше, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом. Сколько экзаме-нов было на первом курсе?

«Табличная» логика 190. Встретились три подруги – Ира Белова, Надя Краснова и Оля Чернова. На одной из них было надето чёрное платье, на другой – красное, на третьей – белое. Девочка в белом платье го-ворит Черновой: «Нам надо поменяться плать-ями, а то цвета наших платьев не соответствуют фамилиям». Кто в какое платье одет?

191. В одной школе учатся три друга: Сергей, Коля и Максим. Их фамилии Петров, Семёнов и Иванов. Сергей учится в пятом классе, мама Коли инженер. Иванов учится в шестом классе, его мама бухгалтер. Сергей и Семёнов болеют за разные фут-больные клубы. Как зовут Петрова, Семёнова и Иванова?

192. На одном заводе работают три друга: сле-сарь, токарь и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семёнов. У слесаря нет ни братьев, ни сестёр, он самый младший из друзей. Семёнов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назови фамилии слесаря, токаря и сварщика.


41

193. За первое место в турнире по теннису бо-ролись Женя, Костя и Андрей. Они приехали из Сочи, Москвы и Балашихи. Первую партию играли Андрей и спортсмен из Сочи. Вторую партию играл Женя с теннисистом из Бала-шихи, а Андрей наблюдал за встречей. Из ка-кого города был каждый теннисист?

194. В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на три?

195. На королевских соревнованиях во Франции первые четыре места заняли Атос, Портос, Арамис и д’Артаньян. Сумма мест, за-нятых Атосом, Портосом и д’Артаньяном, равна 6. Сумма мест, за-нятых Портосом и Арамисом, тоже равна 6. Портос занял место более высокое, чем Атос. Кто из мушкетёров какое место занял?

196. В доме живут Воронов, Павлов, Журавлёв и Синицын. Один из них – математик, другой – художник, третий – писатель, четвёр-тый – баянист. Ни Воронов, ни Журавлёв не умеют играть на баяне. Воронов не знаком с художником. Писатель и художник в воскре-сенье уезжают на дачу к Павлову. Писатель собирается написать очерк о Синицыне и Воронове. Кто есть кто по профессии?

197. В школе работают три учителя: Воронов, Соколов и Коршу-нов. Каждый из них преподаёт два предмета, поэтому в расписа-нии есть математика, физика, химия, история, литература и ан-глийский язык. Коршунов – самый молодой из преподавателей. Учитель химии старше учителя истории. Все трое – учитель хи-мии, физики и Соколов – занимаются спор-том. Когда между учителем литературы и английского языка возникает спор, Коршу-нов тоже принимает участие в споре. Соко-лов не преподаёт ни английский язык, ни математику. Кто из них какой предмет пре-подаёт?


42

198. Мастер спорта Седов, кандидат в мастера спорта Чернов и перворазрядник Рыжов встре-тились в клубе перед тренировкой. – Обратите внимание, заметил черноволосый, – один из нас седой, другой – рыжий, третий – чер-новолосый. Но ни у одного из нас цвет волос не совпадает с фамилией. Забавно, не правда ли? – Ты прав, – подтвердил мастер спорта. Какого цвета волосы у кандидата в мастера спорта?

199. На даче поселились пятеро мальчиков: Андрюша, Боря, Во-лодя, Гена и Дима. Все были разного возраста: одному был 1 год, другому 2 года, остальным 3, 4 и 5 лет. Володя был самым малень-ким, Диме было столько лет, сколько Андрюше и Гене вместе, причём Андрюша старше Гены. Сколько лет каждому мальчику?

200. Четыре юных филателиста: Митя, Толя и Петя с Сашей – купили почтовые марки. Каждый из них покупал марки только одной страны, причём двое из них купили финские марки, один – болгарские и один – чешские. Известно, что Митя и Толя купили марки двух разных стран.

Марки разных стран купили Митя с Сашей, Петя с Сашей, Петя с Митей и Толя с Сашей. Кроме этого известно, что Митя купил не болгарские марки. Определи, марки каких стран купил каждый из них.

Эффект «плюс-минус один» 201. Бревно распилили на 8 частей. Сколько сделали распилов?

202. Расстояние между столбами изгороди равно 5 м. Сколько столбов необходимо для того, чтобы огородить треугольный участок со сторонами 20 м, 20 м и 30 м?


43

203. Улитка лезет на 10-метровый столб. За день она поднимается на 6 м, а за ночь сползает на 5 м. На какой день она доберётся до вер-шины столба?

204. Сколько всего двузначных чисел? А трёхзначных?

205. В ряд записаны числа: 15, 16, 17, … , 39, 40. Сколько их всего?

206. Каникулы у студента начались 2 июля, а закончились 29 августа. Сколько длились каникулы?

207. На каждой перемене Робин-Бобин съе-дает по мороженому. За неделю (с понедель-ника по субботу) было 30 уроков. Сколько всего мороженых съел Робин?

208. Какие 500 идущих подряд чисел надо выписать, чтобы всего было записано 2014 цифр?

209. Сколько раз минутная стрелка обгонит часо-вую в промежуток времени от одной секунды по-сле полуночи до одной секунды до полудня?

210*. На доске написано k чисел: n, n – 1, n – 2, … Ка-кое число последнее?

211*. Сколько есть натуральных чисел, больших m, но меньших n?

212. Коля и Толя пилили брёвна на дрова. После того как они сделали 42 распила, получилось 57 чурок. Сколько было брё-вен первоначально?

213. Дана последовательность: 1–2–1–2–1–2–…–1–2–1–2–1. Всего между цифрами расставлено 100 минусов. Сколько написано единичек и сколько двоечек?

214. Клетчатый квадрат 2×2 со стороной клетки в одну спичку складывается из 12 спичек (см. рису-нок). А сколько спичек уйдёт на клетчатый квад-рат 20×20?


44

215. Мама испекла три вкусных торта. Каждый торт состоял из нескольких коржей, между ко-торыми был слой клубничного или вишнёвого крема. Алёша заметил, что всего на приготов-ление ушло 20 коржей и 10 кремовых слоёв были клубничными. Сколько мама сделала вишнёвых слоёв крема?

Запутанные истории 216. Три клоуна – Бим, Бом и Бам – вышли на арену цирка в красной, зелёной и синей рубаш-ках. Их туфли также были этих трёх цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были крас-ными. Бам был в зелёных туфлях и рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

217. Четыре заядлых рыболова – Фадеев, Авдеев, Матвеев и Гордеев – поймали по 10 рыб. Каждый выловил разное (от 1 до 4) и отличное от других рыбаков число разных рыб: щук, саза-нов, судаков и окуней. 1) Число щук, пойманных Матвеевым, равно числу окуней, пойманных Гордеевым. 2) Число щук, пойманных Гордеевым, отличается от числа

окуней, пойманных Авдеевым. 3) Число окуней, пойманных Авдеевым, равно числу судаков, пойманных Матвеевым. 4) Гордеев поймал четырёх щук. 5) Число судаков, пойманных Матвеевым, не равно числу сазанов, пойманных Фадеевым.

6) Авдеев поймал двух сазанов. 7) Число сазанов, пойманных Фадеевым, равно числу судаков, пойманных Авдеевым. 8) Фадеев поймал одного окуня. Определи, сколько рыб каждого из четырёх видов было пой-мано рыбаками в отдельности.


45

218. В четырёх школах были организованы жи-вые уголки – по 10 зверей в каждом. Питомцами ребят были белки, кролики, ежи и черепахи. В каждом живом уголке было разное число раз-ных зверей – от одного до четырёх, а в разных уголках – разное число одних и тех же зверей. В школе № 1 белок, в школе № 2 кроликов и в школе № 3 ежей было не по два. В школе № 1, в школе № 3 и в школе № 4 кроликов было не по одному. В школах № 2, № 3 и № 4 белок было не три. В школах № 1 и № 3 черепах было не две и не четыре. В школе № 1 кроликов было меньше четырёх. В школе № 4 черепаха была не одна. Сколько и каких зверей было в каждой школе?

219. Отец дал каждой из своих пяти дочерей по 800 рублей на покупки. – Я хочу, чтобы к 8 Марта каждая из вас купила подарки для тёти Нади, тёти Дины, тёти Розы и тёти Сони. Каждый подарок должен стоить либо 100 рублей, либо ровно в несколько раз больше. Каждая из вас должна по-разному распределить 800 рублей на четыре подарка. Подарки для каждой из тёту-шек должны в сумме стоить одинаково.

Люся истратила на подарок для тёти Нади больше денег, чем на подарки для всех остальных трёх женщин вместе взятых. Клара израсходо-вала на подарки для тёти Сони и тёти Розы столько же денег, сколько Люся истратила на по-купки для тёти Нади и тёти Дины. Самый дорогой

подарок Марины предназначался для тёти Дины, а Лена са-мый дорогой из своих подарков преподнесла тёте Розе. Пятую дочь звали Светлана. Как израсходовала каждая девочка свои деньги? 220. Три подруги – Надя, Валя и Маша – вышли гулять в белом, красном и чёрном платьях. Их туфли были тех же трёх цветов, но


46

только у Нади цвета туфель и платья совпадают. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были чёрными, а Маша была в красных туфлях. Определите цвета платьев и туфель каждой из них.

221. Андрей, Саша и Дима поймали каждый по 6 рыб. В улове были щуки, окуни и караси. Каждый поймал разное число рыб разных ви-дов. У Саши щук, у Андрея окуней, у Димы ка-расей было не два. У Димы окунь был не один. У Саши и Димы щук было не три. Сколько рыб каждого вида поймал каждый из ребят?

222. На Новый год ребятам подарили игрушки: четыре мяча и три обруча. Витя и Коля получили разные предметы. Юра и Петя – разные. Петя и Ваня – одинаковые. Ваня и Лёша – раз-ные. Коля и Юра – одинаковые. Юра и Федя – разные. Опреде-лите, кому какие игрушки достались.

Анализ задачи с конца 223. Я задумал число, умножил его на два, прибавил три и по-лучил 17. Какое число я задумал?

224. Учёные вывели новую разновидность бактерий. Каждую секунду любая бактерия делится на две. В ходе эксперимента было выяснено, что если в про-бирку поместить одну бактерию, то через 64 секунды пробирка заполнится. Через какое время заполнится пробирка, если в неё поместить шестнадцать бактерий?

225. С числами можно выполнять следующие операции: умно-жать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли из 1 получить 74?

226. В буфете выстроилась очередь за булоч-ками. Повара задерживались, и в каждый проме-жуток между стоящими успело влезть по чело-веку. Булочки всё ещё не начали выдавать, и во


47

все промежутки опять влезло по человеку. Тут наконец при-несли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояло в очереди первоначально?

227. Путешественник в первый день прошёл пятую часть всего пути и ещё 2 км. Во второй день он прошёл половину остатка и ещё 1 км. В третий день – четверть оставшегося рас-

стояния и ещё 3 км. Остальные 18 км пришлись на четвёртый день. Найдите длину пути.

228. Над озёрами летели гуси. На каждом сади-лась половина гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озёрах. Сколько было гусей?

229. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих денег второму, потом второй проиграл по-ловину своих денег первому, потом снова первый проиграл половину своих денег второму. В результате у первого оказалось 15 монет, у второго – 33. Сколько монет было у первого пирата до игры?

230. 8 богатырей вели бой со Змеем Горынычем. В каждой схватке погибала половина живых богатырей, но каждый бога-тырь в каждой схватке (даже если он погибал) срубал по голове у Змея. Во время передышек между схватками на месте двух живых голов появлялась третья. Так продолжалось до тех пор, пока в живых не остался один Илья Муромец, он-то и одолел проклятого. Сколько же было схваток и сколько голов у Змея вначале?

231. Мама положила на стол сливы и сказала де-тям, чтобы они, вернувшись из школы, разде-лили их поровну. Первой пришла Аня, взяла треть слив и ушла. Потом пришёл Саша, взял

треть оставшихся слив и тоже ушёл. Потом пришёл Дима и


48

взял 4 сливы – треть от тех слив, которые он увидел. Сколько слив оставила мама?

232. В 15-литровые ведра налито соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 литров воды. Разрешается перелить из любого ведра в любое другое вдвое больше воды, чем в нём уже есть. Можно ли со-брать всю воду в одном ведре?

Переливания 233. Имеются два пустых бидона – трёхлитровый и пятилит-ровый. Как, пользуясь этими бидонами, набрать из реки ровно 1 л воды?

234. Есть два ведра: одно ёмкостью 9 л, другое – 4 л. Как с их помощью набрать из речки ровно а) 5 л; б) 1 л; в) 6 л воды?

235. Есть два ведра: одно ёмкостью 15 л, другое – 16 л. Как с их помощью набрать из речки ровно 8 л воды?

236. Есть две штуки песочных часов: на 7 и на 11 минут. Каша должна вариться 15 минут. Как это сделать?

237. Из полного 8-литрового ведра с молоком отлить 4 л в 5-литровый сосуд. Есть ещё пустой 3-литровый кувшин. На землю молоко выливать нельзя!

238. Таня стоит на берегу речки. У неё есть два глиняных кувшина: один – на 5 л, а про второй Таня помнит лишь то, что он вмещает то ли 3, то ли 4 л. Помоги Тане определить ёмкость второго кувшина.

239. Как из бочки с квасом налить ровно 3 л, поль-зуясь пустыми ведром 9 л и бидоном 5 л?

240. Имеются три бочонка вместимостью 6 вё-дер, 3 ведра и 7 вёдер. В первом и третьем содер-жится соответственно 4 и 6 вёдер кваса. Как,


49

пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас по-ровну на две части?

241. Какое наименьшее число переливаний необ-ходимо для того, чтобы с помощью 7- и 11-литро-вых сосудов и крана с водой отмерить 2 л?

242. Можно ли с помощью песочных часов на 7 и 11 минут отмерить 2 минуты?

243. Можно ли, пользуясь двумя пустыми вёдрами объёмом 9 л и 12 л, набрать из речки ровно 4 л воды?

Правила комбинаторики 244. Начиная от цифры 2 в центре, можно сформировать число 2009, двигаясь от кружка к кружку, если они касаются друг друга. Сколькими различными путями можно проследовать, чтобы получить 2009?

245. В магазине «Канцтовары» продаются 5 разных видов фломастеров, 3 разных вида авторучек и 4 разных вида карандашей.

а) Сколькими способами можно купить там один пишущий инструмент? б) Сколькими способами можно купить набор «фломастер + авторучка»? в) Сколькими способами можно купить набор «фломастер + авторучка + карандаш»?

г) Сколькими способами можно купить набор из двух различ-ных пишущих предметов?

246. В Стране чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 до-роги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

2

0 0

0 0

0 0

9 9 9

9 9 9

9 9

9 9

9 9


50

247. В Стране чудес построили еще один город – Г – и несколько новых до-рог. Сколькими способами можно те-перь добраться из города А в город В?

248. В магазине «Канцтовары» по-преж-нему продаются 5 видов фломастеров, 3 вида авторучек и 4 вида карандашей. Известно, что один из фломастеров, одна из авторучек и один из карандашей изготовлены фирмой «Паркер». Сколькими способами можно купить набор «флома-стер + авторучка + карандаш», в котором: а) нет предметов, изготовленных фирмой «Паркер»; б) 1 предмет, изготовленный фирмой «Паркер»; в) 2 предмета, изготовленных фирмой «Паркер»; г) 3 предмета, изготовленных фирмой «Паркер»?

249. а) Забор состоит из 10 досок. У маляра Васи есть краска четырёх различных цветов. Сколь-кими способами он может покрасить лишь одну доску забора? б) В бригаде маляров кроме Васи есть ещё маляры Люся и Нюся. Сколькими способами кто-то из маля-ров может покрасить одну доску забора? в) Вася, Люся и Нюся работают с поне-

дельника по пятницу. Сколькими способами кто-то из них может покрасить одну доску забора в рабо-чий день недели?

250. Рассмотрим шестизначные числа. а) Сколько их всего? б) Сколько чисел, все цифры которых нечётны? в) Сколько чисел, все цифры которых имеют одинаковую чёт-ность? г) Сколько чисел, все цифры которых разные? д) Сколько чисел, в которых любые две соседние цифры раз-личны?


51

251. В левом нижнем углу шахматной доски 5×5 стоит фишка. За один ход фишку разре-шается передвинуть на одну клетку вправо или вверх. В каждой клетке записывается число способов передвижения фишки из начального положения в данную клетку. Ка-кое число записано в правом верхнем углу?

252. Заяц прыгает в одном направлении по разделённой на клетки полосе. За один прыжок он может сместиться либо на одну, либо на две клетки. Сколькими способами может заяц добраться с 1-й клетки на 12-ю?

253. а) Фишка стоит в левой нижней клетке доски 5×5 и может передвигаться в трёх направлениях. Сколькими способами она мо-жет пройти в верхнюю правую клетку? б) А сколько существует путей, которыми фишка не проходит через заштрихованную клетку? 254. 10 городов соединены доро-гами с односторонним движе-нием. Сколькими способами можно проехать из города A в го-род B?

255. Попугай Иннокентий знает следующие слова: филин, кот, таракан, поёт, бежит, стучит, спит, говорливый, мудрый, уса-тый. Он может произносить такие фразы:

прилагательное + существительное + глагол .

Например, «Мудрый таракан поёт». Сколько разных фраз мо-жет сказать Кеша?

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

?

?


52

256. У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуще-ствить честный обмен?

Круги Эйлера 257. На стол бросили две салфетки 10×10 см так, как показано на рисунке. Они покрыли площадь стола, равную 172 см2. Какова площадь их перекрытия?

258. Некоторые ребята из класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Сти-ляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый ост-ров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

259. В классе 35 учеников. 20 из них занимаются в математиче-ском кружке, 11 – в биологическом, а 10 ничем не занимаются. Сколько ребят занимаются и математикой, и биологией?

260. Среди школьников пятого класса прово-дилось анкетирование по любимым мульт-фильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гно-мов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и телёнок». Всего в классе 38 человек. «Бело-снежку и семь гномов» выбрал 21 ученик, среди которых трое назвали ещё «Волк и телёнок», шестеро – «Губка Боб Квадрат-ные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мульт-фильм «Волк и телёнок» назвали 13 ребят, среди которых пя-теро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек вы-брали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?


53

261. В лагере отдыхают 100 детей. Из-вестно, что 6 из них занимаются в драм-кружке, 20 – спортсмены и 25 поют в хоре. При этом 3 спортсмена занимаются в драм-кружке, 6 человек занимаются спортом и поют в хоре, 2 артиста из драмкружка поют в хоре, а 1 человек успевает заниматься

всем – и театром, и спортом, и пением. Сколько человек не за-нимается ничем из перечисленного?

262. Каждый из 37 членов строительной бригады владеет хотя бы одной из трёх специальностей: плотника, каменщика, монтажника. Известно, что в бригаде 15 плотников, 13 каменщиков и 16 мон-тажников, причём 2 члена бригады владеют специ-альностями плотника и каменщика, 3 – плотника и монтажника и 4 – каменщика и монтажника. Сколько рабочих владеет всеми тремя специальностями? Только одной специальностью? Сколько монтажников не яв-ляется плотниками?

263. Задача Льюиса Кэрролла. В жестокой схватке участвовало 100 пиратов. После драки выясни-лось, что 70 из них потеряло ногу, 75 – глаз, 80 – руку и 85 – ухо. Сколько пиратов наверняка поте-ряло и ногу, и глаз, и руку, и ухо? 264. В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупа-

телей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купило диски и Максим, и Земфиры? 265. Каждый из 25 учащихся класса изучает хотя бы один из двух языков – английский и немецкий. Известно, что 17 чело-век изучает английский язык, а 12 человек – немецкий. Сколько учеников изучает оба этих языка?

266. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон.


54

Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочи-тал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

267. В классе 36 учеников. Известно, что среди них спортсменов – 21, занимающихся в кружках – 20, учащихся без троек – 22, причём каждый уче-

ник входит в какую-нибудь из перечисленных категорий. Спортсменов и занимающихся в кружках – 11, спортсменов и уча-щихся без троек – 12, занимающихся в кружках и учащихся без троек – 13. Сколько учеников, одновременно занимающихся в кружках и спортом, учится без троек?

268. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздо-ровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 человек, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трёх – 3. Сколько ребят не умеет кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Игровые ситуации Начнём с игр-шуток, в которых результат не зависит от дей-ствий игроков.

269. Двое по очереди ломают шоколадку 6×8. За ход разрешается сделать прямоли-нейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет в этой игре: тот, кто ломает первым, или тот, кто бу-дет ломать вторым?

270. Имеются три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие; проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.


55

В следующих игровых ситуациях необходимо придумать стра-тегию, позволяющую одному из игроков гарантированно выиг-рать вне зависимости от действий другого игрока.

271. Два игрока по очереди кладут по одной шашке на круг-лый стол. Класть шашки друг на друга нельзя. Шашки одина-кового размера, и их достаточно, чтобы закрыть ими весь стол. Выигравшим считается тот, кто положит шашку на последнее свободное место на столе. Докажи, что начинающий при пра-вильной игре выигрывает.

272. а) На столе лежат две кучки шаров, по 30 шаров в каждой кучке. Два игрока по оче-реди берут со стола любое число шаров, но при одном ходе из какой-либо одной кучки. Выигравшим считается тот, кто берёт со стола последние шары. Кто и как выигры-вает при правильной игре? б) А если на столе три кучки по 30 шаров?

в) А если на столе две кучки: в одной 30 шаров, в другой – 40?

273. На окружности отмечены 20 точек. Два иг-рока по очереди соединяют их отрезками, со-блюдая следующие правила: 1) нельзя соеди-нять две точки, если хотя бы одна из них уже со-единена с какой-нибудь другой; 2) нельзя пере-секать уже проведённые отрезки. Выигравшим считается тот, кто проведёт последний отрезок. Кто и как выиграет при правильной игре?

274. Имеются равенства: * = *, * + * = *, * + * + * = *. Два игрока по очереди вписывают вместо звёздочек числа. Каждый из них может

написать любое число вместо любой свободной звёздочки. До-кажи, что начинающий всегда может добиться того, чтобы все равенства выполнялись.


56

275. В ряд выписаны числа от 1 до 100. Два игрока по очереди расставляют любой из знаков «+», «–», «×» между этими чис-лами. Первый игрок желает, чтобы значение окончательного выражения было чётным, второй – нечётным. Кто выигрывает при правильной игре?

276. На столе лежат 60 монет. Два игрока по очереди берут со стола 1, 2, 3 или 4 монеты. Выигравшим считается тот, кто возьмёт со стола последние монеты. Кто выигрывает при правильной игре?

277. У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За один ход разрешается оторвать либо один ле-песток, либо два рядом растущих лепестка. Про-игрывает тот, кто не может сделать ход.

278. На доске написано число 0. Аня и Ваня по очереди прибавляют к нему число от 1 до 9. Выигравшим счи-тается тот, после хода которого получилось число 100. а) Кто и как выигрывает при правильной игре? б) Кто выиграет, если разрешено прибавлять число от 1 до 8?

279. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается до-писать ещё одно натуральное число — разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она ещё не встречалась. Про-игрывает тот, кто не может сделать ход.

Метод «от противного» 280. Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажи, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

281. Дано 11 целых чисел. Докажи, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 10.

282. Прямоугольник 5×9 разрезали на 10 прямоугольников с целочисленными сторонами. Докажи, что среди них обяза-тельно найдутся два одинаковых.


57

283. В классе 25 учеников. Докажи, что хотя бы трое из них родились в один месяц года.

284. Докажи, что в любой компании из 10 человек найдутся двое, имеющие одина-ковое количество знакомых.

285. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 6×6 из чисел +1, –1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим диа-гоналям были различны. Узнает ли Буратино эту тайну?

286. В классе 30 учеников. Во время контрольной работы Петя сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажи, что найдутся три ученика, сделавшие одинаковое число ошибок.

287. Можно ли в клетках таблицы 8×8 рас-ставить числа от 1 до 64 так, чтобы разность (из большего вычитаем меньшее) между числами в соседних по стороне клетках была не более 4?

288. Сможет ли Петя разложить 44 монеты по 10 карманам так, чтобы количество монет в каждом кармане было бы различным?

289. В городе Белонебыль живёт 5 многоглазок. Вместе у них всего 21 глаз. Докажи, что хотя бы у одной многоглазки не менее 5 глаз.

290. На плоскости провели 10 прямых, проходящих через одну точку. Докажи, что найдутся две прямые, угол между кото-рыми не превосходит 18°.

Разумный перебор 291. В январе некоторого года было четыре по-недельника и четыре пятницы. Каким днём не-дели было 20-е число этого месяца?


58

292. Отметь 10 точек, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой.

293. Замени во фразе «И ВСЕ ЖЕ ОН НЕ ПРАВ» каж-дую из десяти букв И, В, С, Е, Ж, О, Н, П, Р, А одной из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (разные буквы заменяются на разные цифры) так, чтобы все слова превратились в десятичные записи точных квадратов.

294. Философы Тун и Бол начали спор, выдвинув по одному тезису каждый. Далее по очереди каж-дый может либо повторить, без пропуска, абсо-лютно все свои ранее произнесённые фразы (даже если придётся повториться), или же повто-рить только что прослушанную речь другого, до-бавив к ней одну свою фразу. Проигрывает тот, кто впервые в своём выступлении произнесёт более 10 фраз подряд. Кто переспорит?

295. Первая слева цифра десятизначного числа равна числу еди-ниц в записи этого числа, вторая – числу двоек, третья – числу троек, четвертая – числу четверок, … , девятая – числу девяток, десятая – числу нулей. Найди это число.

296. Расшифруй ребусы (одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные – разным). А И С Т E I N S А И С Т E I N S К Н И Г А + А И С Т + E I N S С И Н И Ц А + К Н И Г А А И С Т E I N S + С И Н И Ц А К Н И Г А А И С Т E I N S П Т И Ч К И Н А У К А С Т А Я F U N F

297. Записаны подряд двадцать пятерок: 5 5 5 … 5 5. Поставь между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы сумма равнялась 1000.

298. Расставь числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в таблицу 3×3 так, чтобы суммы чисел в любом ряду из трёх клеток (по вертикали, го-ризонтали или диагонали) были одинаковы.


59

299. В каком году тринадцатое число никогда не приходится на пятницу?

300. Поставь вместо многото-чий числа, чтобы получилось истинное высказывание: «В этом предложении цифра 0

встречается … раз, цифра 1 – … раз, 2 – … раз, 3 – … раз, 4 – … раз, 5 – … раз, 6 – … раз, 7 – … раз, 8 – … раз, 9 – … раз».

Остров рыцарей и лжецов

Мы попали на остров рыцарей и лжецов. Ры-цари всегда говорят только правду, лжецы всё время лгут. Путешествуя по такому острову, можно столкнуться с такими ситуациями.

301. Если человек произносит фразу «Я лжец», то может ли он быть уроженцем острова рыцарей и лжецов?

302. Абориген Тим в присутствии другого аборигена Тома за-явил: «По крайней мере, один из нас – лжец». Кто же они?

303. Каждый из собравшихся на площади жителей заявил остальным: «Все вы – лжецы». Сколько рыцарей среди них?

304. а) За круглым столом сидят рыцари и лжецы, всего 20 че-ловек. Каждый из них заявил своему соседу слева: «Ты лжец», на что получил ответ: «Сам ты лжец». Сколько рыцарей и сколько лжецов сидит за столом? б) Могла ли быть такая ситуация, если за столом 25 человек?

305. Ты попал на развилку двух дорог. Ка-кой вопрос нужно задать аборигену, чтобы узнать, куда ведёт каждая из дорог – в го-род лжецов или в город рыцарей?


60

306. На местном языке слова «да» и «нет» звучат как «тип» и «топ», но неизвестно, какое из них чему соответствует. а) Как, задав аборигену один вопрос, выяснить, лжец он или рыцарь? б) Какой вопрос нужно задать аборигену, чтобы он обязательно ответил «тип»?

307. Встретились трое – лжец, рыцарь и турист, ко-торый может и говорить правду, и лгать. Каждый из них сказал следующее. Первый: «Я – турист». Вто-рой: «Первый и третий иногда говорят правду». Третий: «Второй – турист». Определи, кто есть кто.

308. Каждый из 7 сидящих за круглым столом сказал: «Мои со-седи – лжец и рыцарь». Кто за столом?

309. Какой вопрос ты задал бы жителю острова, чтобы узнать, живёт ли у него дома ручной крокодил?

310. Есть две шкатулки: в одной лежит белый шар, в другой – чёрный. Если заключённый, не заглядывая внутрь, выбирает шкатулку с белым шаром, то его отпускают. Охранник знает, в какой шкатулке белый шар, но говорит правду через день, а че-рез день – лжёт. Охранника можно подкупить, и он ответит на один-единственный вопрос. Какой вопрос должен задать за-ключённый, чтобы узнать, в какой шкатулке лежит белый шар?

Чётность

311. Вдоль забора растёт 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?

312. Расставь вместо звёздочек цифры от 1 до 9 так, чтобы никакая цифра не повторялась и все равенства были верными.

* + * = *

* + * = *

* + * = *


61

313. а) Можно ли разменять 25 тугриков при помощи десяти ку-пюр достоинством 1, 3 и 5 тугриков? б) Можно ли разменять 500 рублей при помощи 15 купюр достоинством 10 и 50 рублей?

314. В ряд выписаны числа: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. Можно ли рас-ставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение по-лученного выражения было равно нулю?

315. Петя купил общую тетрадь объемом 96 ли-стов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

316. Разность двух целых чисел умножили на их произведе-ние. Могло ли получиться число 43045?

317. Николай с сыном и Пётр с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько же рыб, сколько его сын, а Пётр – втрое больше, чем его сын. Всего поймали 25 рыб. Сколько рыб поймал Николай?

318. Кузнечик прыгает по прямой, причём в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сто-рону, во второй раз – на 2 см и так далее. До-кажи, что после 125 прыжков он не может ока-заться там, где начинал.

319. На главной диагонали доски 10×10 стоит 10 шашек (все в разных клетках). За один ход разрешается выбрать любую пару шашек и передвинуть каждую из них на одну клетку вниз. Можно ли за несколько таких ходов поставить все шашки на нижнюю горизонталь доски?

320. В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги так, чтобы из каждого города выхо-дило ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с прика-зом короля?


62

321. В наборе 20 кругов и 45 треугольников. Два одинаковых предмета можно заменять кругом, а два разных – треугольни-ком. Может ли после серии таких замен остаться один круг?

322. Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?

Подсчёт двумя способами

323. Можно ли расставить числа в квадратной таблице 5×5 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была положительной, а в каждом столбце – отрицательной?

324. а) Можно ли расставить числа в таблице 6×9 так, чтобы в каждом столбце была сумма по 10, а в каждой строке – по 20?

б) В прямоугольной таблице 8 столбцов, сумма в каждом столбце – по 10, а в каждой строке – по 20. Сколько в таблице строк?

325. В конференции участвовали 19 ученых. По-сле конференции каждый из них отправил 2 или 4 письма участникам этой конференции. Могло ли получиться так, что каждый участник полу-чил по 3 письма? (Письма на почте не теряют!)

326. Взяли несколько одинаковых правильных треугольников и вершины каждого из них пометили цифрами 1, 2 и 3. Затем их сложили в стопку. Могло ли оказаться, что сумма чисел, находя-щихся в каждом углу, равна 55?

327. Две команды разыграли первенство отряда по десятиборью, причём за победу в каждом из ви-дов команда получала 4 очка, за ничью – 2 очка и за проигрыш – 1 очко. Вместе обе команды набрали 46 очков. Сколько было ничьих?


63

328. У марсиан бывает не только 2, 1 или 0 рук, как у людей, а любое число. Все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажи, что число нечётноруких марсиан чётно.

329. Средний возраст 11 игроков футбольной ко-манды – 22 года. Во время матча один игрок полу-чил травму и ушёл с поля. Средний возраст остав-шихся – 21 год. Сколько лет пострадавшему?

330. В стране Карабасии живут карабасы и бара-басы. Каждый карабас дружит с шестью карабасами и девятью барабасами. Каждый барабас дружит с десятью карабасами и семью барабасами. Кого в этой стране больше – карабасов или барабасов?

331. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов: бе-лых шестиугольников и чёрных пятиугольни-ков. Каждый чёрный лоскут граничит с пятью белыми, а каждый белый – с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутов белого цвета?

332. У царя Гороха I было три сына. Каждый из его потомков либо умер во младенчестве, либо правил государством и также имел трёх сыновей. Известно, что последним правителем был Го-рох XVII. Сколько потомков царя Гороха умерло во младенчестве?

333. На столе лежали две колоды по 36 карт в каж-дой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды посчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (т. е. сколько карт между се-мерками червей, между дамами пик и т. д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?

334. Первый разбойник взял 100 рублей и 20-ю часть остав-шейся добычи, второй взял 200 рублей и 20-ю часть остатка,


64

третий – 300 рублей и 20-ю часть остатка, и так далее. Оказалось, что добычу поделили по-ровну. Сколько разбойников и какова добыча? 335. Можно ли в таблицу 5×5 записать числа 1, 2, 3, … , 25 так, чтобы в каждой строке сумма нескольких записанных чисел была равна сумме остальных чисел этой строки?

336. Взяли десять одинаковых квадратов и вершины каждого из них пометили цифрами 1, 2, 3 и 4. Затем их сложили в стопку. Могло ли оказаться, что сумма чисел, находящихся в каждом углу, равна 24?

337. Четыре девочки – Катя, Лена, Маша и Нина – участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую песню исполняли три де-вочки. Катя спела 8 песен – больше, чем каждая из остальных, а Лена – 5 песен – меньше, чем каждая из остальных дево-чек. Сколько песен было спето?

338. В классе, где я учился, каждый мальчик дружил с тремя девочками, а каждая девочка – с двумя мальчиками. При этом в классе был 31 ученик и стояло 19 парт. Сколько учеников было в моём классе?

Принцип крайнего Часто ключом к решению задачи явля-ется правило – «рассмотрите край-нее». Для чисел это может быть наибольшее или наименьшее из них, для геометрических объектов – крайние точки, отрезки наибольшей или наименьшей длины, фигуры наиболь-шей или наименьшей площади.


65

Идея 1. Нужным свойством часто обладает крайний (наиболь-ший, наименьший) объект. Идея 2. Узкое место. Крайними свойствами может обладать и объект, с виду расположенный в середине. Идея 3. Цепочку рассуждений выгодно начать с края, с узкого места.

339. По кругу выписано несколько натуральных чисел, каждое из которых не превосходит одного из соседних с ним. Докажи, что среди этих чисел точно есть хотя бы два равных.

340. На шахматной доске стоит несколько ладей. Докажи, что найдётся ладья, бьющая не более двух других.

341. 8 грибников собрали 37 грибов, причём никакие двое не собрали поровну. Докажи, что какие-то двое из них собрали больше, чем какие-то пятеро.

342. Семь грибников собрали вместе 59 гри-бов, причём каждый собрал разное количе-ство. Докажи, что какие-то три грибника со-брали вместе не менее 33 грибов.

343. а) Можно ли натуральные числа от 1 до 99 выписать в строчку так, чтобы разность любых двух соседних чисел (из большего вычитается меньшее) была не меньше 50? б) Тот же вопрос для чисел от 1 до 100.

344. Шахматная доска разбита на домино. Докажите, что какая-то пара домино обра-зует квадратик 2×2.

345. По кругу написано 20 чисел, так что каждое равно полусумме своих соседей. До-кажи, что все написанные числа равны.

346. 25 астрономов на двадцати пяти разных планетах наблю-дают друг за другом, причём каждый наблюдает за ближай-шим к нему (среди расстояний между планетами нет одинако-вых). Докажи, что а) есть две планеты, астрономы которых


66

наблюдают друг за другом; б) хотя бы за одним астрономом никто не наблюдает.

347. Кубик Рубика 3×3×3 надо распилить на единичные кубики. После распила части можно перекладывать и прикладывать так, чтобы можно было пилить несколько частей одновременно. Докажи, что понадобится не менее 6 прямых распилов.

348. На шахматной доске стоит несколько ферзей. Обязательно ли найдётся ферзь, бью-щий не более трех других?

349. а) Можно ли натуральные числа от 1 до 11 выписать в строку так, чтобы разность любых двух соседних (из большего вычитается меньшее) была равна либо 2, либо 3? б) То же самое, но числа надо выписать по кругу.

350. Во всех клетках бесконечной клетчатой плоскости рас-ставлены крестики и нолики с выполнением следующего условия: у каждого крестика среди соседей больше крестиков, чем ноликов (соседними считаются все клетки, имеющие с рассматриваемой хотя бы одну общую точку). Докажите, что крестиков бесконечно много.

351. Домик ручной черной крысы составлен из 216 одинаковых кубиков 1×1×1, сложенных в куб 6×6×6. Одной гранью куб приставлен к стене. Каждый день крыса живёт в одном ку-бике и в полночь меняет место жительства на соседний кубик. Сначала она меняет этаж, в следующую ночь – приближается или удаля-

ется от стены, потом – перемещается на этаже вдоль стены. По-том направления повторяются в том же порядке. Может ли крыса в течение 216 дней пожить во всех 216 кубиках?


67

Чашечные весы У чашечных весов есть две чашки. Если грузы на чашках одинаковы, весы покажут равен-ство, иначе покажут, какая чашка тяжелее.

352. У Кирилла были гири 1, 2, 4, 8, 16 и 32 г. а) На левую чашку весов он положил кон-фету весом 25 г. Какие гири ему надо положить на правую чашку, чтобы уравновесить конфету? б) На левую чашку весов он положил конфету весом 25 г и ещё часть гирь, на правую – все остальные гири. Определи, где ка-кая гиря лежит.

353. а) Есть три одинаковые с виду монеты. Из-вестно, что ровно одна из них фальшивая (но неиз-вестно какая). Известно, что настоящие монеты ве-сят одинаково, а фальшивая чуть-чуть легче. Как за одно взвешивание определить фальшивую монету?

б) Есть 9 одинаковых с виду монет. Известно, что ровно одна из них фальшивая (но неизвестно какая). Известно, что настоящие монеты весят одинаково, а фальшивая чуть-чуть легче. Как за два взвешивания определить фальшивую монету?

354. а) Есть 4 пакета разного веса. Сколько взвешиваний (без гирь) надо, чтобы опреде-лить самый лёгкий пакет? б) Есть 4 пакета разного веса. Сколько взве-шиваний (без гирь) надо, чтобы определить и самый лёгкий, и самый тяжёлый пакеты? в) Как за 5 взвешиваний можно было бы раз-ложить эти пакеты по весу?

355. Есть 5 камней разного веса. Сколько взвешиваний (без гирь) надо, чтобы определить самый лёгкий и самый тяжёлый камни?


68

356. Какие 4 гири надо заказать, чтобы с их помощью можно было взвесить пред-меты весом 1, 2, 3, … , 15 г? (Гири при взве-шивании разрешается класть только на одну чашку.)

357. Какие 3 гири надо заказать, чтобы с их помощью можно было взвесить предметы весом 1, 2, 3, … , 13 г? (Гири при взве-шивании разрешается класть на обе чашки.)

358. Известно, что из четырёх деталей три весят одинаково, а четвёртая по весу отличается (но не-известно, легче она или тяжелее). Как найти её за два взвешивания?

359. Известно, что 14 из 15 одинаковых с виду монет весят оди-наково, а одна отличается от них по весу. Как за два взвешива-ния определить, легче она или тяжелее (находить её не надо)?

360. Есть большой пакет с сахаром, чашечные весы и гирька в 1 г. Как можно быстрее отвесь 100 г сахара.

361. Девять гирек разложены в ряд по весу (слева – самая лёгкая, справа – самая тяжёлая). Коля утверждает, что среди этих гирь можно вы-брать три так, чтобы одна из них была тяжелее, чем две другие вместе. Как Аня за одно взвеши-вание может проверить, прав Коля или нет?

362. Среди 35 монет одна фальшивая. Как с помощью чашеч-ных весов определить, легче она или тяжелее настоящей? Сколько потребуется взвешиваний?

363. На складе лежат в большом количестве ширлы, мырлы и дырлы. Ширла состоит из пяти шашек, мырла – из трёх машек, дырла – из двух дашек. Все шашки одинаковы, машки – тоже, оди-наковы и все дашки. У Васи есть чашечные весы без гирь, и он хочет за одно взвешивание узнать,


69

что тяжелее: две шашки или машка с дашкой. К сожалению, все изделия, имеющиеся на складе, неразборные. Помогите Васе!

364. Имеется 6 одинаковых с виду гирек массой 1, 2, 3, 4, 5 и 6 г соответственно. На гирьках сделали надписи: 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г и 6 г. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без других гирек проверить правильность всех шести надписей?

Оценка плюс пример 365. Какое наименьшее число ладей могут побить все пустые поля шахматной доски?

366. Каким наименьшим количеством монет в 3 и 5 копеек можно набрать сумму в 37 копеек?

367. Какое наибольшее число прямоугольников 1×5 можно вырезать из квадрата 8×8?

368. Сумма нескольких различных натуральных слагаемых равна 50. Каково наибольшее число сла-гаемых?

369. За какое наименьшее количество ходов можно пе-ревести шахматного коня из левой нижней в правую верхнюю клетку доски размером а) 10×10; б) 8×8?

370. Квадрат 10×10 хотят покрыть квадратами 3×3 со сторо-нами, параллельными сторонам большого квадрата. Каким наименьшим числом квадратов 3×3 можно обойтись?

371. Какое наибольшее число клеточек на доске 8×8 можно за-красить в чёрный цвет так, чтобы в любом уголке из трёх кле-точек была хотя бы одна незакрашенная клетка?

372. Дан решетчатый парал-лелепипед, где длина каж-дого отрезка равна 1 см. В точке A сидит муха. Какое наибольшее расстояние она A

B


70

может пройти по пути в точку B, не проходя ни через какую точку дважды?

373. Какое наибольшее число слонов можно рас-ставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

374. Товарищу Бендеру требуется доста-вить в Нью-Васюки несколько бочек с апельсинами общей массой 10 т. Каждая бочка весит не более 1 т. Какого наимень-шего количества трёхтонок для этого заведомо хватит? (Трёх-тонка – машина грузоподъёмностью 3 тонны.)

375. Есть 10 одинаковых с виду монет. Известно, что одна из них фальшивая (легче других), а все остальные весят одина-ково. За какое наименьшее число взвешиваний можно навер-няка определить фальшивую монету?

376. На какое наибольшее число частей можно разрезать тремя прямыми разрезами а) батон; б) блин? (Перекладывать куски нельзя.)

377. Какое наибольшее количество прямоугольников 1×4 можно вырезать из квадрата 18×18?

378. Расстановка королей на шахматной доске назы-вается «правильной», если ни один из них не бьёт другого и каждое поле доски либо находится под боем, либо занято одним из королей. Какое макси-мальное и какое минимальное количество королей может быть в «правильной» расстановке?

379. Стороны сетки 6×6 являются бикфордовыми шнурами. Четыре запала нужно разместить так, чтобы после их одновре-менного возгорания вся сетка сгорела за наименьшее время. Чему равно это время, если сторона маленького квадратика сгорает за одну секунду?


71

Принцип Дирихле 380. Докажи, что: а) среди любых 11 целых чисел найдутся два, оканчивающихся одной и той же цифрой; б) среди любых 10 натуральных чисел найдутся два, начинающихся одной и той же цифрой; в) среди любых 8 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 7.

381. Саша был на этой неделе 4 раза в школе и умудрился по-лучить 17 двоек. Докажи, что в один из дней он получил не ме-нее 5 двоек.

382. У мальчика Феди есть шесть кубиков, на всех гранях которых написаны буквы русского алфавита. Докажи, что какая-то буква встреча-ется дважды.

383. К празднику зал украсили 50 воздушными шариками. Докажи, что среди них найдутся либо 8 одноцветных, либо 8 шариков разных цветов.

384. В магазин привезли 25 ящиков яблок трёх сор-тов. В каждом ящике лежат яблоки одного сорта. Продавец утверждает, что у него нет девяти ящи-ков с яблоками одного сорта. Не ошибся ли он?

385. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему а) 16 лет;

б) 17 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

386. Несколько футбольных команд проводит турнир в один круг. Докажи, что в любой момент турнира найдутся команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое количество матчей.

387. На далекой планете, имеющей форму шара, суша зани-мает более половины поверхности планеты. Докажи, что можно вырыть прямой туннель, проходящий через центр пла-неты и соединяющий сушу с сушей. 388. В школе учатся 400 учеников. Докажи, что хотя бы двое из них отмечают день рождения в один и тот же день.


72

389. 65 школьников написали 3 контрольные работы. За каж-дую контрольную работу ставилась одна из оценок: «2», «3», «4» или «5». Докажите, что найдутся школьники, написавшие все контрольные работы одинаково.

390. На доске написано 20 чисел. Дока-жите, что из них можно выбрать не-сколько, сумма которых делится на 19.

391. Докажи, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Инвариант 392. На столе стоят 50 стаканов, из них 25 – вверх дном. Можно ли, переворачивая по два стакана, по-ставить все стаканы правильно?

393. На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с неё два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вы-растет ещё один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

394. В одной клетке квадратной таблицы 4×4 стоит знак минус, а в остальных – плюсы. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке или в одном столбце. Докажи, что, сколько бы мы ни проводили таких пере-мен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.

395. Чёрный ящик работает так: любые три числа a, b и c, попадающие в него, он перера-батывает в числа a + b – c, b + c – a, c + a – b. Можно ли с помощью этого ящика из чисел 1, 3, 8 получить числа –1, 3, 9?


73

396. На 44 деревьях, расположенных по кругу, си-дело по одному весёлому чижу. Время от времени какие-то два чижа перелетают: один по часовой стрелке, а другой – против, каждый – на соседнее де-рево. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?

397. Кузнечик прыгает: а) по прямой на 1 метр вправо или влево; б) по плоскости, каждым прыжком перемещаясь на 1 м на север, юг, запад или восток; в) по узлам клетчатой плоскости, каждым прыжком перемещаясь по диагонали одной из клеток. Может ли он вернуться в исходную точку через 25 прыжков?

398. Круг разделён на 6 секторов, и в каждом написано число. Разрешается одновременно увеличивать на 1 числа в любых двух сосед-них секторах. Можно ли сделать все 6 чисел равными, если вначале они такие: а) 1, 0, 0, 0, 0, 0; б) 1, 0, 1, 0, 0, 0 (именно в таком порядке)?

399. По окружности были расставлены 200 единиц. Каждую ми-нуту в течение часа Федя выбирал какие-нибудь 12 подряд иду-щих чисел, менял знак у каждого из них и записывал их на те же места в обратном порядке. Докажи, что если после этого поме-нять знак у 100 чисел, идущих через одно, то на окружности бу-дет ровно 100 единиц.

400. Есть куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-нибудь кучи, где лежит более од-ного камня, выкидывают один камень на по-мойку, а затем любую кучу делят на две произ-вольные части. Можно ли через несколько ходов получить лишь кучи, состоящие из трёх камней?

401. Даны три числа: 2000, 2001, 2002. За ход разрешается за-менить числа a, b, c на ab/c, ac/b, bc/a. Можно ли через не-сколько ходов получить числа 1000, 2001, 2002?


74

402. В капище храма бога Инварианта по кругу подвешено 12 бутылок, 11 из которых висят гор-лышком вверх, а оставшаяся – горлышком вниз. Жрец утверждает, что если вместо неё перевер-нутой окажется соседняя бутылка, то стоит ожи-дать крупных неприятностей: а) если добиться этого, переворачивая по 6 соседних бутылок, то

будет гром и молния; б) если это сделать, переворачивая по 5 со-седних бутылок, то будет землетрясение; в) по 4 – наводнение; г) по 3 – конец света. Какие стихийные бедствия жрец может вы-звать? 403. На доске написаны числа от 1 до 100. Разрешается сте-реть любые два числа и написать вместо них их разность. Мо-жет ли после 99 таких операций остаться число 1?

404. На острове Серобуромалин живут ха-мелеоны: 13 серых, 15 бурых и 17 малино-вых. Если два хамелеона разных цветов встречаются, то они оба меняют свой цвет на третий. Может ли случиться, что в некоторый момент все хамелеоны на острове станут одного цвета?

405. На доске написаны числа 4, 5 и 6. Разреша-ется стереть любые два числа a и b и записать вместо них числа (3a – b)/2 и (3b – a)/2. Можно ли через несколько операций получить числа 7, 8 и 9?

Раскраски 406. Можно ли обойти хромой ладьёй (хромая ладья может ходить только на одну клетку) все клетки доски 8×8, начав в левом нижнем углу и закончив в правом верхнем углу?

407. Можно ли разрезать шахматную доску без левой нижней и правой верхней угловых клеток на доминошки 1×2?


75

408. Можно ли шахматную доску разре-зать на 15 вертикальных и 17 горизон-тальных доминошек?

409. На каждой клетке доски 7×7 сидит жук. а) В некоторый момент времени все жуки переползают на соседние по стороне клетки. Докажи, что при этом окажется

хотя бы одна пустая клетка. б) В некоторый момент времени все жуки переползают на соседние по диагонали клетки. До-кажи, что при этом найдётся хотя бы 7 свободных клеток.

410. Пете подарили набор «Юный паркетчик», состо-ящий из 120 триминошек. Хулиган Вася заменил одну из них на уголок из трёх клеток. Сможет ли Петя сложить прямоугольник 20×18?

411. Можно ли доску 5×7 покрыть уголками из трёх клеток в несколько слоёв так, чтобы каждая была покрыта одним и тем же количеством уголков?

412. Можно ли разрезать на фигурки указанного справа вида: а) квадрат 8×8, б) квадрат 10×10?

413. На шахматной доске стоит несколько ко-ролей. Докажи, что их можно раскрасить в че-тыре цвета так, чтобы короли одного цвета не били друг друга.

414. Можно ли прямоугольниками 4×1 покрыть доску 11×11 так, что только центральное поле останется непокрытым?

415. Из доски 5×5 вырезали одну клетку так, что остаток можно разрезать на прямоугольники 3×1. Где могла находиться выре-занная клетка?

416. На доске 10×10 для «морского боя» стоит трёхпалубный корабль. Какое наименьшее число выстрелов необходимо произвести, чтобы наверняка ранить его?


76

417. Можно ли расставить в клетках квадрата 8×8 числа от 1 до 64 так, чтобы число в каждой клетке было или больше всех

чисел, стоящих в соседних по стороне клетках, или меньше всех этих чисел?

418. Конь вышел с некоторого поля шахматной доски и через некоторое число ходов вернулся на это же поле. Докажи, что он сделал чётное число ходов.

419. В фирме 1111 сотрудников. Каждый из них обязан отработать в году 7 дней подряд на уборке территории. Докажи, что найдется 7 дней в году (не обязательно иду-щих подряд), что на уборке в этот день ра-ботало нечётное число сотрудников.

420. Дан куб 6×6×6. Докажи, что его нельзя разбить на параллелепипеды 4×1×1.

421. Докажи, что числа от 40 до 99 нельзя разбить на группы по 4 числа так, чтобы числа каждой группы в одном разряде совпадали, а цифры другого разряда шли бы подряд, напри-мер (54, 55, 56, 57); (44, 54, 64, 74). 422. На каждой клетке треугольной доски 5 5 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки переползают на соседние по стороне клетки этой доски. Докажи, что после этого найдутся по крайней мере 5 пустых клеток.

423. Можно ли разрезать квадрат 10×10 на фигурки указанного вида?

424. Можно ли три грани кубика 4×4×4, имеющие общую вер-шину, оклеить шестнадцатью полосками 3×1?

425. Фигура «заяц» ходит либо на одну клетку вниз, либо на одну клетку по диагонали вверх-вправо или вверх-влево. За какое минимальное число ходов она обойдёт доску 7×7 и вер-нётся на исходное поле?


77


78

Нет ничего дороже для человека того, чтобы хорошо мыслить.

Лев Николаевич Толстой,

русский писатель


79

Железная логика! 426. Двухколёсный велосипед проехал 10 км. Сколько кило-метров проехало каждое колесо?

427. Оля делит круглый торт между девя-тью друзьями. Себе Оля тоже хочет оста-вить кусочек торта. Она сделала пять пря-мых разрезов от края и до края торта, при-чём все они прошли через середину круга. Достанется ли Оле кусочек торта?

428. Сможет ли Оля разделить круглый торт на 8 кусков тремя прямыми разрезами?

429. Скорый фирменный поезд «Вятка» отправ-ляется из Москвы в Киров в 19 ч 45 мин. А в 20 ч 35 мин навстречу ему отправляется такой же по-езд из Кирова в Москву. Какой из поездов будет находиться ближе к столице нашей Родины го-роду-герою Москве в момент встречи в Нижнем

Новгороде в 2 ч ночного времени?

430. Почему парикмахер охотнее подстрижёт двух футболи-стов, чем одного волейболиста?

431. Лёва похвастался, что может угадать счёт перед началом баскетбольного матча между командами двух школ. Лёва ока-зался прав. Почему?

432. В товарищеском матче по баскетболу встречались две ко-манды. Матч окончился со счётом 82 : 78, но при этом ни один баскетболист не забросил в корзину ни одного мяча. Как такое может быть?

433. Бизнесмен Фома писал о себе: «Пальцев у меня двадцать пять на одной руке да на другой столько же, да на ногах десять». С каким школь-ным предметом был не в ладах очень взрослый бизнесмен Фома в пору своего детства?


80

Трудно не догадаться! 434. Датчане любят говорить: «У нас всё лучше, чем в Швеции: климат, природа, народ, исто-рия... и только одно у шведов лучше». Что это?

435. Сегодня не воскресенье, а завтра не среда. Вчера была не пятница, а позавчера был не понедельник. Завтра не воскресенье, и вчера было не воскресенье. Послезавтра не суббота и не воскресенье. Вчера был не понедельник и не среда. Позавчера была не среда, а завтра не вторник. Да и сегодня не среда. Ка-кой же сегодня день недели, если учесть, что одно утвержде-ние в списке ложно?

436. В некоторых штатах США наказуемо одно преступление. Людей, которые пытаются его совершить, сажают в тюрьму, но людей, которые успешно совершили его, никогда не нака-зывают. Что это за преступление?

437. Дворник работает по вторникам, пятни-цам и нечётным числам. Какое наибольшее количество дней подряд он может работать?

438. Преподаватель логики повесил на дверь своего класса следующую записку: «Сего-дняшний урок отменяется. Следующий урок

состоится в час дня по прошествии трех дней со дня, который наступит на два дня раньше дня, который будет на день раньше завтра». Когда же будет следующий урок?

439. Некий мистер Смит ехал в машине вме-сте со своим сыном Артуром. Их машина по-пала в катастрофу. Отец погиб на месте, а сын в тяжёлом состоянии доставлен в бли-жайшую больницу. Взглянув на пострадав-шего, дежурный хирург побледнел и сказал: «Я не могу оперировать его. Ведь это же мой сын Артур!» Как ты это объяснишь?


81

Задачи на сообразительность 440. В квадрате со стороной 6 клеток размести без наложений четыре одинаковые фигуры в виде буквы «Е» (букву справа можно поворачивать и симмет-рично отражать).

441. Серёжа любит подсчитывать сумму цифр на табло электронных часов. Например, если часы показывают 21:17, Сережа получает число 11. Какую наибольшую сумму он может получить?

442. На рисунке АС = 10 см, BD = 15 см и AD = 22 см. Чему равна длина отрезка ВС? А B С D 443. Из 18 спичек составлена фигура, изобра-жённая на рисунке справа. Убери 4 спички так, чтобы всего осталось 5 треугольников.

444. В следующих математических словах пе-репутались буквы. Восстанови эти слова. 1) ЯПАРЯМ. 2) СЫТЧАЯ. 3) СОЛИЧ. 4) ЕЛЕДЛИТЬ. 5) ЕРПИМТЕР. 6) МАМУС. 7) ЗАРСТОНЬ. 8) КРААДВТ. 9) СДЕТЬЯ. 10) СИМУН.

445. Восстанови пример на умножение справа.

446. Между четырьмя семёрками вставь знаки действий и скобки так, чтобы получить после-довательно числа от 1 до 10. В некоторых слу-чаях знаки можно не вставлять, можно оста-вить число 77 или 777 и т. д.

447. Как-то в 2006 году у Маши спросили: «Ко-гда ты родилась?» «Позавчера мне было ещё только 9 лет, а в будущем году мне уже испол-нится 12», – ответила Маша. Узнай дату рожде-ния Маши и дату, когда ей был задан вопрос.

* 2 * 3

* *

* * * 8 7

* * * * *

2 * 0 0 4 *


82

А ну-ка, смекни! 448. У Петра Ивановича 7 дочерей, и у каждой из них есть брат. Сколько детей у Петра Ивановича?

449. Умный, но ленивый математик наблю-дал, как его жена собирает яблоки: количе-ство яблок в корзине удваивалось каждую минуту, и корзинка наполнилась ровно в полдень. Сколько было времени, когда кор-зинка была наполовину пустой?

450. У двух человек было два квадратных торта. Каждый сде-лал на своём торте по два прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого – четыре. Как это могло быть?

451. В двух кошельках лежат две монеты, при-чём в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как так может быть?

452. Сколько земли будет в яме шириной 2 м, длиной 2 м и глубиной 2 м?

453. Каждый вечер четыре волшебника задают друг другу во-прос: «Что вы снимаете в последнюю очередь, собираясь ло-житься спать?» А ты знаешь ответ?

454. Гриша никак не мог вспомнить, какая гора была самой высокой в мире до тех пор, пока не была точно определена высота Эвере-ста. А ты знаешь?

455. У этого животного голова, как у кошки, хвост, как у кошки, оно любит ту же еду, что и кошка. Но это не кошка. Что это за зверь?

456. Тебе дали это, это и сейчас принадлежит тебе. Ты его ни-когда никому не передавал, но им пользуются все твои знако-мые. Что это такое?


83

Найди закономерность 457. Продолжи ряд: а) 77, 49, 36, 18; б) 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6; в) 101, 112, 131, 415.

458. Какое число должно стоять вместо звёздочки: 11, 23, *, 95, 191? Как ты его нашёл?

459. Отгадай закономерность: 1, 11, 21, 1211, 111221, …

460. Какое число лишнее? Оно не обладает свойством, которым об-ладают остальные числа: 9678, 4572, 5261, 5133, 3527, 6895, 7768.

461. Вновь назначенный директор завода ре-шил запомнить номера телефонов начальни-ков цехов. Рассматривая список их телефон-ных номеров и фамилий, он заметил, что фа-милии руководителей цехов и номера их теле-фонов находятся в определенной взаимо-

связи. И директор без труда справился со своей задачей. Вот не-которые фамилии и номера телефонов: Авербах – 7122, Бурый – 5210, Ерохин – 6614, Галич – 5424, Дорончук – 8511. Какой номер телефона имеет сотрудник по фамилии Огнёв?

462. Начнём считать пальцы на правой руке: пер-вый – мизинец, второй – безымянный, тре-тий – средний, четвёртый – указательный, пя-тый – большой, шестой – снова указательный, седьмой – снова средний, восьмой – безымянный, девятый – мизинец, десятый – безымянный и т. д. Какой палец будет по счёту 2013-м?

463. Было взято 10 листов бумаги. Некоторые ли-сты разрезали на 10 частей, затем некоторые из получившихся кусков вновь разрезали на 10 ча-стей и т. д. На каком-то этапе подсчитали общее ко-личество получившихся листов бумаги. Оказалось, их всего 1 386. Правильно ли подсчитали количе-ство листов?


84

Разные задачи на сообразительность 464. В квадрате со стороной 8 клеток размести без наложений восемь одинаковых фигур в виде буквы «П».

465. Какое словосочетание из двух слов зашиф-ровано числами 191316815166 915115106, если каждая буква заменена её номером в алфавите?

466. Восстанови пример справа.

467. На рисунке ниже изображены два одинаковых стакана, в которые налито одинаковое количество воды. Чему равна высота уровня воды х, если высота стакана равна 10 см?

468. Вычисли:

?20142014

20142014201420142014

469. Сколько треугольников на рисунке имеет такую же площадь, как и целая клетка?

470. Угадай закономерность форм фигурок ниже. Какую фигурку следует поставить следу-ющей? А после неё? 471. Если двенадцать человек, работая по восемь часов в день, должны выкопать яму глубиной в десять с половиной миль, сколько времени пройдёт – считая и воскресные дни! – прежде чем они положат свои лопаты?

472. Остап Бендер решил дать сеанс одновременной игры Кар-пову и Каспарову. Один из них должен играть белыми, а другой – чёрными. Остап уверен, что он или сведёт вничью обе партии, или одну выиграет, а другую проиграет. Как он собирается играть?


85

Задачи-шутки 473. В корзине лежат 5 яблок. Разделите их между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яб-локу и одно яблоко осталось в корзине.

474. В комнате четыре угла. В каждом углу сидит кошка. Напротив каждой кошки по три кошки. На хвосте каждой кошки по одной кошке. Сколько же всего кошек в комнате?

475. Экипаж, запряжённый тройкой лошадей, проехал за час 15 км. С какой скоростью бежала каждая лошадь?

476. У родителей 5 сыновей. У каждого из них есть сестра. Сколько всего детей в семье?

477. Два отца и два сына съели за завтраком три яйца, причём каждому досталось целое яйцо. Как это могло случиться?

478. Сколько в доме животных, если все они, кроме двух, со-баки, все, кроме двух, кошки и все, кроме двух, попугаи?

479. Когда скворцы сели по одному на дерево, одному скворцу не хватило дерева, а когда на каждое дерево сели по 2 скворца, одно дерево осталось свободно. Сколько было скворцов?

480. Сколько граней у неочинённого шестигран-ного карандаша?

481. Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, а профессор в разговоре не участвует. Может ли так быть?

482. Шел паломник в Иерусалим и встретил трёх странников. Каждый из них нёс 3 мешка, в каждом мешке – 3 кота. Сколько живых существ двигалось в Иерусалим?

483. Двое пошли – два рубля нашли. Четверо пойдут – много ли рублей найдут?


86

Мастерская озарения 484. Бумеранг можно бросить так, что он вер-нётся обратно, не коснувшись никакой твёр-дой поверхности. А можно ли так бросить тен-нисный мяч?

485. Школьники из московской гимназии отправились на экс-курсию в Волоколамск. Один из них, рассказывая дома об этой поездке, нарисовал картинку. Можно ли по ней определить, куда едет автобус – в Москву или в Волоколамск?

486. Найдите площади заштрихованных фигур, изображённых слева. Сторона квадрата равна 1. На левом рисунке дуги проведены из двух противопо-ложных вершин квадрата. На правом рисунке по-луокружности построены на сторонах квадрата.

487. Фигура на рисунке справа состоит из од-них квадратов. Найдите сторону левого ниж-него, если сторона самого маленького равна 1.

488. Доску размером 8×8 разрезали на четыре части и сложили из них прямоугольник разме-ром 5×13. Откуда появилась лишняя клетка?

Москва Волоколамск


87

Простые вопросы 489. Есть 6 монет, из которых две фальши-вые, весящие меньше настоящих. За три взве-шивания определи обе фальшивые монеты.

490. Можно ли числа от 1 до 10 разбить на две группы по 5 чисел так, чтобы суммы чи-сел в обеих группах были одинаковые?

491. Сколько разломов надо сделать, чтобы разло-мить шоколадку 3×8 на отдельные квадратики?

492. Девять точек в узлах клеток об-разуют квадрат. Какое наименьшее число точек можно к ним прибавить, чтобы получился новый квадрат, со-держащий имеющиеся точки?

493. Как полностью заполнить плос-кость одинаковыми пятиугольниками?

494. Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алеше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотые и 3 серебряные. Каж-дому досталось по 2 монеты. Илья Муро-мец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие – Алеше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумай

вопрос, на который Илья Муромец ответит «да», «нет» или «не знаю» и по ответу на который ты сможешь понять, какие мо-неты ему достались.

495. Раскрась плоскость в три цвета так, чтобы на любой прямой были точки не бо-лее чем двух цветов, а каждый цвет был бы использован.


88

И снова разные задачи 496. Можно ли в прямоугольной таблице расста-вить натуральные числа так, чтобы в каждом столбце сумма чисел была больше 100, а в каждой строке – меньше 5?

497. Как посадить 9 деревьев так, чтобы получи-лось 10 прямых рядов по три дерева в каждом?

498. Два человека бегут вниз по ступеням эскалатора метро, идущего вниз. Один бежит в два раза быстрее другого. Кто из них насчитает больше ступенек?

499. У Кощея есть куб, в каждой вершине которого по алмазу. Известен вес каждого алмаза: от 1 до 8 карат. Кощей предлагает Ивану-царевичу следующую игру: он называет сумму весов алмазов на каждом ребре. Если после этого Иван сможет правильно определить, в какой вершине какой алмаз, то он получает драго-ценный куб, а если нет, то распрощается с жизнью.

Стоит ли Ивану соглашаться на такую игру?

500. Ученики двух шестых классов купили 427 учебников. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было шестиклассников и сколько учебников купил каждый из них?

501. В гостях у кролика Винни-Пух съел несколько банок варенья, причём их число было меньше 20. После каждой третьей банки Винни-Пух вытирал пот со лба. После каждой пятой – говорил: «Не пора ли нам домой?» После последней банки он одно-временно вытер пот со лба и сказал: «Не пора ли нам домой?» На сколько банок варенья стало меньше в кла-довке у кролика после того, как он проводил гостя?

502. В классе проводилась олимпиада по математике. После олим-пиады одна девочка сказала: «Первое место занял Миша, а Олег был вторым». Другая девочка сказала: «Миша был вторым, а Лена была первой». На это учитель заметил, что каждая девочка один раз сказала правду, а второй – нет. Как распределились места?


89


90

Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства.

Леонардо да Винчи,

итальянский художник, учёный, изобретатель и писатель


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D1%83%D0%B4%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%87%D1%91%D0%BD%D1%8B%D0%B9

91

Эксперименты с полоской бумаги Задание 1. Возьми две полоски бумаги примерно 30 см в длину и 3 см в ширину. Склей из них два кольца: одно простое и одно перекрученное (которое называ-ется лентой Мёбиуса, в честь немецкого геометра и астронома) так, как пока-зано на рисунке справа. Представь муравья, ползущего по внешней поверхности простого кольца. Удастся ли ему попасть на внутреннюю поверхность, не переползая через край? Конечно, нет! А если он будет ползти по перекрученному кольцу? По-пробуй провести непрерывную линию по одной из сторон перекрученного кольца (как будто это путь муравья). Что получилось?

Задание 2. Разрежь простое кольцо ножницами вдоль (см. рисунок). Что получилось? А теперь разрежь вдоль перекрученное на пол-оборота кольцо (ленту Мёбиуса). Что теперь по-лучилось?

Продолжай перекручивание полоски бумаги, увеличивая пе-ред склеиванием число полуоборотов на один, и разрезай вдоль. Свои наблюдения запиши по схеме. 1. Сколько полуоборотов сделано? 2. Сколько колец получилось? 3. Какие они по величине в сравнении с первоначальным? 4. Как сцеплены кольца между собой?

Задание 3. Склей ленту Мёбиуса шири-ной 5 см. Что получится, если разрезать её вдоль, отступив от края сначала на 1 см, затем на 2 см, на 3 см, на 4 см?


92

Задание 4. Приготовь два кольца: одно про-стое и одно перекрученное. Склей их, как по-казано на рисунке слева, а затем оба разрежь вдоль. Каков результат разрезания?

Задание 5 (творческое). Какие ещё опыты с кольцами ты можешь предложить?

Площади клетчатых фигур Для выполнения заданий тебе понадобятся обычный лист клетчатой бумаги, линейка и карандаш (или ручка). Площадью фигуры будем называть количество клеток, в ней умещающихся. Например, у изобра-жённой на рисунке справа фигуры площадь равна 6 клеткам. Площадь не обязательно должна быть целым числом. Задание 1. Найди площади изображённых фигур.

Задание 2. 1) Начерти на клетчатой бумаге квадраты, пло-щади которых равны 1, 4, 9, 16, 25 клеткам. 2) Начерти прямоугольники (не являющиеся квадратами!), площади которых равны 4, 6, 16 клеткам. 3) Проведи в каждой из построенных фигур диагональ. Оче-видно, она разделит фигуру пополам – на два равных тре-угольника, а значит, и её площадь тоже. Какими будут пло-щади получившихся треугольников?

Задание 3. Докажи, что площадь квадрата на ри-сунке справа равна 13 клеткам. Подсказка: раздели предварительно внешний квадрат на прямоугольники меньшего размера так, чтобы сто-роны указанного квадрата были их диагоналями.

Задание 4. Начерти на листе клетчатой бумаги квадраты, пло-щади которых равны 2, 5, 8, 10, 17 клеткам.


93

Подсказка: используй результат предыдущего зада-ния в тех случаях, когда площадь выражается нечёт-ным числом.

Задание 5. Какая часть площади фигур, изобра-жённых на рисунке, закрашена?

Задание 6. Найди площади фигур, изображённых на клетча-той бумаге.

Задание 7. Противопо-ложные стороны ше-стиугольника, изобра-жённого на рисунке, равны. Взяв три вер-шины шестиугольника через одну, получим треугольник. Докажи, что площадь этого треугольника равна половине площади шестиугольника.


94

Невозможные объекты Мы привыкли верить фотографиям, чертежам и рисункам, по-лагая, что они всегда соответствуют какой-то действи-тельности: реальной (например, куб) или вымышленной (например, эльф; отсутствие эльфов в мире не означает, что они не могут в принципе существовать). А вот нарисовать то, чего вообще не может быть, не так-то просто! Существует огромный класс так называемых «невозможных фигур», ошибочно или умышленно нарисованных с ошибками передачи перспективы, в результате чего возникают забав-ные визуальные эффекты.

Задание 1. Изучи рисунки. Объясни, что с ними не так: почему изображённые объекты не могут существовать?


95

Задание 2. На следующих двух картинах Мориса Эшера также изображены невозможные объекты. В чём же их невозможность?

Задание 3. В чём заключается невозможность фотографий объ-ектов, изображённых на титульных листах к частям этой книги?

Задание 4. Изучи фотографии, «разоблачающие» возмож-ность невозможных фигур. Подумай, как были получены фо-тографии на титульных листах к частям этой книги?

Один из невозмож-ных объектов уве-ковечен в виде статуи в Перте (Австралия). Он воздвигнут в парке Клайзебрук в 1999 году, и те-перь все проезжа-ющие мимо могут видеть следую-щую невозможную фигуру.


96

Кривые дракона Возьми длинную полоску бумаги, её левый конец пометь точкой. Сверни её пополам, чтобы точка оказалась закрытой, потом ещё пополам (правый конец накладываем на левый). Разверни её теперь так, чтобы линии сгибов были отчётливо видны, и по-ложи на стол. Точка должна быть слева. Получилась полоса: Изгибы идут в следующем порядке: вниз – вниз – вверх. Обозна-чим это так: Н Н В. Сложим полоску три раза пополам. Получится полоса:

Изгибы идут так: Н Н В Н Н В В. Задание 1. Теперь сложи полоску четыре и пять раз и запиши, как будут чередоваться изгибы. Должны получиться цепочки:

Н Н В Н Н В В Н Н Н В В Н В В Н Н В Н Н В В Н Н Н В В Н В В Н Н Н В Н Н В В В Н Н В В Н В В.

Задание 2. Изучи и проверь закономерности. 1) Число изгибов нечётное, причём если на каком-то шаге их было k, то на следующем будет 2k + 1. 2) В середине всегда Н, а сгибы до этого среднего Н такие же, как и на предыдущем шаге. 3) И, самое главное: буквы, равноудаленные от среднего Н, все-гда различны. Учитывая эти закономерности, можно последовательно выпи-сывать коды для полосок, сложенных любое число раз. Общее правило для перехода от одного кода к другому: берём имею-щийся код, приписываем к нему букву Н (под ней можно поста-вить точку) и выписываем в обратном порядке буквы, предше-ствующие этому Н, заменяя Н на В и наоборот.


97

Заменим теперь в коде Н на Л (левый поворот), а В на П (правый поворот), возьмём лист клетчатой бумаги и проведём верти-кальную чёрточку по стороне одной клетки. Теперь продолжим чертить согласно командам кода и поворачивать последова-тельно налево и направо на 90 градусов. Задание 3. Нарисуй кривые, соответствующие одному, двум, трём и четырём складываниям. Проверь результат. Задание 4. Попробуй нарисовать кривую для пяти складыва-ний, используя уже имеющуюся для четырёх. Каждую последующую (по количеству сгибов) кривую можно по-лучить с помощью кальки, поворачивая всю уже имеющуюся кри-вую на 90 градусов по часовой стрелке вокруг конца этой линии. Этим способом можно строить любые кривые дракона. Задание 5. Построй кривую, соответствующую шести сгибам полоски, из кривой в пять сгибов и обрисуй её контуром дра-кона. Задание 6. Нарисуй разно-цветными карандашами четы-рёх драконов, «вырастающих» из одной точки (первая чёр-точка для одного идёт вверх, у второго – влево, у третьего – вниз, а у четвёртого – вправо). Эти драконы получаются из исходного при помощи трёх последовательных поворотов на 90 градусов. Драконы не пе-ресекаются и последовательно заполняют весь лист бумаги.


98

Не отрывая карандаша Задание 1. Попытайся нарисовать одним росчерком каждую из следующих семи фигур. Помни требования: начертить все линии заданной фигуры, не отрывая карандаша от бумаги, не делая ни-каких лишних штрихов и не проводя дважды ни одной линии.

Попытки вычерчивания непрерывной линией этих фигур при-водят к неодинаковым результатам. Некоторые фигуры уда-ётся вычерчивать, с какой бы точки ни начать вести первую линию. Другие вычерчиваются одним росчерком лишь в тех случаях, когда начинают с определённых узлов. Третьи вовсе не поддаются вычерчиванию одной непрерывной линией. В чём же причина? Существуют ли признаки, позволяющие уста-новить заранее, поддаётся ли данная фигура вычерчиванию од-ним росчерком, и если да, то с какой точки следует начинать? Будем называть узлы фигуры чётными, если в них сходится чётное число линий, и нечётными в противном случае.

Задание 2. Попробуй объяснить следующие факты. 1) Если все узлы фигуры чётные, то её можно вычертить одним росчерком, начи-ная с любой точки фигуры.

2) Если в фигуре ровно два нечётных узла, то её можно вы-чертить, начиная с любого из них и заканчивая в другом. 3) Если в фигуре больше двух нечётных узлов, то одним рос-черком фигуру нарисовать нельзя.

Задание 3. Пользуясь этими фактами, изобрази, если это воз-можно, следующие фигуры, не отрывая карандаша от бумаги.


99

Задание 4. Издавна среди жителей Кё-нигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам че-рез реку Преголя, не проходя ни по од-ному из них дважды? Многие кёниг-сбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Впрочем, доказать или опровергнуть возможность существо-вания такого маршрута никто не мог. А ты сможешь? Задание 5. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям (на рисунке справа линии обозначают заборы) так, чтобы при этом пере-лезть через каждый забор ровно один раз?


100

Голодная коза Занятие посвящено козам. Они прожорливы и съедают всё, до чего могут дотянуться. Поэтому коз держат на привязи.

Задание 1. Нарисуй участок луга, который выест коза, если: а) она привязана верёвкой к одиноко стоящему на лугу колышку; б) верёвка, прицепленная к ошейнику козы, вторым кон-цом с петлёй свободно перемещается по ве-рёвке, натянутой между двумя колышками.

Задание 2. Дима прогуливался по лугу, держа козу на поводке длиной 1 м. Его путь проходил по сторонам прямоугольника 3×5 м. Нарисуй участок, на котором могла побывать при этом коза, находившаяся на привязи.

Задание 3. Удержи козу на участке, имеющем форму, приведённую на рисунке справа (привяжи козу с по-мощью верёвок и колышков так, чтобы она могла съесть траву лишь внутри этого участка; огоражи-вать участок колышками нельзя!).

Задание 4. Удержи козу: а) в полукруге; б) квадрате; в) пря-моугольнике; г) параллелограмме.

Задание 5. Удержи козу: а) в треугольнике; б) пра-вильном шестиугольнике.

Введём в действие собак: будем привязывать их к колышкам, а они будут мешать козе есть траву.

Задание 6. а) Как с помощью одной собаки удержать козу в кольце? б) А как – в полукруге? в) Удержи двумя собаками козу в полукольце. г) Можно ли удержать козу в полу-кольце одной собакой? д) Как с помощью одной со-баки удержать козу в полумесяце? е) Удержи непри-вязанную козу с помощью собак в треугольнике.


101


102

Особенно нравилась математика верностью и очевидностью своих рассуждений.

Рене Декарт,

французский философ, математик, механик и физик


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BE%D1%84

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA

103

Завтрак Винни-Пуха2

Гуси-лебеди

2 Рисунки к задачам М. Колдыбаевой и Е. Трапицыной.

Винни-Пух решил позавтра-кать. Он налил себе стакан чая

и добавил сливок из большого

кувшина.

Вдруг он понял, что хочет чай без сливок,

и недолго думая…

…вылил из ста-кана в кувшин

столько же чая, сколько взял

оттуда сливок.

Но, конечно же, чай от сливок не отделился.

Тогда Винни-Пух задумался.

Чего же получилось больше: чая в кув-

шине или сливок в стакане?

Летела стая гусей, а навстречу им

один гусь. Здравствуйте, 100 гусей!

Нет, нас не 100 гусей!

Если бы нас было ещё столько,

да ещё пол-столько,

да ещё четверть столько, да ты,

гусь… Вот тогда

было бы нас 100 гусей, а

теперь…

Вот и рас-считай, сколько

нас?


104

Кто же всегда говорит правду?

Задача туриста

Каждый из четырёх гномов – Беня, Сеня, Веня, Женя –

либо всегда говорит правду, либо всегда врёт.

– Ты врун, Веня.

– Сам ты врун, Беня.

– Да оба они вруны!

– Впрочем, Женя, и ты

тоже.

Кто всегда говорит правду?

В следующем месяце я первый вторник провёл в Варшаве.

А первый вторник после первого понедельника – в Берлине. Какого числа и какого месяца я был

в каждом из этих городов?

я провёл в Петербурге.

Первый вторник одного

из месяцев

Первый вторник после первого

понедельника – в Софии.


105

Иван-царевич и Змей Горыныч

Емелина работа

Собрался Иван-царе-вич на бой со Змеем

Горынычем, трехгла-вым и треххвостым.

Вот тебе

меч-кладенец.

Одним ударом можешь ты срубить либо одну голову,

либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста.

Запомни: срубишь го-лову – новая вырастет.

… срубишь хвост – два новых вырастут…

…срубишь два хвоста – голова

вырастет…

срубишь две головы – ничего не вырастет.

За сколько ударов Иван-царевич отрубит у Змея все головы и хвосты?

Какую часть времени он не работал?

третью часть

времени слушал гусли.

шестую часть вре-мени рубил дрова,

четвёртую часть времени ловил щук, В тече-

ние своего

рабочего дня

Емеля поло-вину

времени чистил

печь, Проснувшись утром, Емеля решил,

что пора бы и поработать.


106

Крестьянин и чёрт

Дед Мороз и Снегурочка

Идёт крестьянин и плачется:

– Эхма! Заела нужда совсем! Вот в кармане

только несколько

грошей, да и те сейчас нужно

отдать. Право, хоть бы

кто помог.

Вдруг откуда ни возьмись

чёрт. Я тебе помогу… Перей-

дёшь через мост – у тебя вдвое больше денег.

Только, чур, каждый раз – мне 24 копейки.

Перешёл первый раз. Денег – вдвое больше.

24 ко-пейки – чёрту.

Перешёл через мост вто-рой раз. Денег снова стало вдвое больше.

Отсчи-тал 24

копейки чёрту.

остался без ко-пейки.

Сколько денег

было у крестья-нина сна-

чала?

Перешёл третий раз.

Но только оказа-лось денег ровно 24 копейки, кото-рые он должен от-

дать чёрту. Отдал он их и

Пошёл Дед Мороз искать похищен-ную Бабой-ягой

Снегурочку.

Навстречу ему Леший .

Знаю я дорогу к Бабе Яге, случалось, заходил я к

ней. Шёл я туда четыре дня и четыре ночи. За

первые сутки я прошёл треть пути – прямой до-

рогой на север.

Потом повернул на запад, сутки пробирался лесом и

прошёл вдвое меньше.

Третьи сутки я шёл лесом, уже на юг, и вышел на прямую

дорогу, ведущую на восток. Прошагал я

по ней сутки 100 вёрст и попал к Яге.

Ты ходок такой же резвый, как и я. Иди, глядишь, на пятый день будешь у Яги.

Нет! Если все так, как ты

говоришь, то уже завтра я увижу свою внучку.

Прав ли он? Сколько

верст про-шёл Леший

и сколько думает пройти

Дед Мороз?


107

Насреддин и арбузы

Русские богатыри

Добрыня: «Это сделал Алёша Попович. Я

знаю, где жил Соловей-разбойник».

– Негоже хвастать. Поэтому мы решили,

что каждый из нас будет трижды речь держать. Два раза

скажет правду, а еди-ножды слукавит. По-сле этого сам решай, кто поймал Соловья-

разбойника.

Однажды князь Вла-димир при-звал к себе трёх бога-

тырей… – Кто из вас поймал Со-ловья-раз-бойника?

Добрыня: ««Много на Руси храбрых

воинов».

Алёша: «Я давно хотел совершить

подвиг. Это не я сделал. Илья в это время был в

другом месте».

Илья: «Это сделал не я. Это сделал Алёша Попо-вич. Я был в это время в

другом месте».

Насреддин и его друг Али, отдав последние деньги за землю и воду, поехали на базар прода-

вать урожай арбузов. У Али было 104 арбуза, у Насреддина – 17.

У городских ворот их остано-вили стражники и потребовали налог за ввоз арбузов в Бухару.

Узнав величину налога и цену на арбузы на базаре, Али отдал стражникам 19 арбузов, при этом переплатил 1 таньга.

Получите с меня три арбуза.

С тебя ещё 1 таньга.

Я освобождаю

тебя от долга моему другу Али и беру его

на себя.

Так сколько же стоит арбуз? Кувшин моих мыслей

показывает дно.


108


109


110

Сравнение математических фигур и величин служит материалом для игр и обучения мудрости.

Иоганн Генрих Песталоцци,

швейцарский педагог


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D0%BD%D0%BD

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BD%D1%80%D0%B8%D1%85

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B2%D0%B5%D0%B9%D1%86%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B3

111

Дома и калитки 503. На одном участке располо-жены три домика, а в ограде сде-ланы три калитки. Проложи от каж-дой калитки дорожку к домику с тем же номером так, чтобы до-рожки не пересекались.

Где пройдут провода? 504. Архитекторы, рабо-тавшие над проектом но-вого общественного зда-ния, предложили крышу необычной формы, кото-рая была бы прочной, светлой и нарядной. В ней даже была предусмотрена одна непрерывная линия для электрической про-водки. Найди её.

Раскачивающийся медвежонок коала 505. Проследи за движением шкивов, приводных ремней и рычагов, когда медвежонок коала тянет за веревку, и попытайся определить, куда движется груз в каждом из пронумерованных прямоугольников – вверх или вниз. Тот, кто знаком с техникой, должен предположить, что вес медвежонка ко-ала достаточен, чтобы преодолеть тре-ние во всех шестерёнках, а также вес всех пронумерованных грузов.


112

Японская поговорка 506. Здесь зашифрована символами, имитирующими японские иеро-глифы, японская поговорка, иден-тичная русской «И на старуху бы-вает проруха». При расшифровке следует учитывать, что чтение идёт справа налево (в направлении

стрелки), что каж-дый столбик – слово, а каждый символ – буква. Что это за поговорка?

Кошки и собаки 507. Три умные собаки и три хитрые кошки после обоюдо-острых контактов оказались на противоположных площад-ках сквера и занялись реше-нием очень важной для обеих сторон задачи: как им поме-няться друг с другом местами, но чтобы при этом не возникло новых потасовок и чтобы не только не встречаться друг с другом, но даже не оказы-ваться на соседних площадках?

В результате была избрана следующая стратегия: собаки и кошки сидят на площадках, но время от времени либо кошка, либо собака бежит по аллее на соседнюю площадку.

Кошки считают, что совместными усилиями за 32 пере-бежки (их и собачьих вместе) они смогут поменяться с соба-ками местами. Собаки с ними не согласны. Кто прав?


113

Разъезд паровозов 508. На рисунке показан железнодорожный разъезд, на кото-ром находятся два поезда – А и Б. Как пропустить поезд А впе-ред, если в поезде Б 10 вагонов, а в тупике Т помещается только 5 вагонов и один паровоз?

Пара лабиринтов

509. В первом лабиринте нарисуй путь, соединяющий старт и финиш. Во втором – соедини два чёрных квадрата.


114

Фигурный рак 510. Перед тобой рак, составлен-ный из различных геометрических фигур. Перерисуй его на плотную бумагу, разрежь по линиям на ча-сти и попытайся составить из всех частей сразу две фигуры – круг и рядом квадрат.

Лабиринт Дедала 511. По преданию, Дедал со-здал этот лабиринт, чтобы за-ключить Минотавра. Если бы проходы лабиринта были в метр шириной, а стены – по 30 см толщиной, единствен-ный ведущий из него путь имел бы длину более кило-метра. Вероятней всего, что любой человек скорее умер бы от голода или жажды, прежде чем отыскал бы выход.

Продолжи цепочку 512. Определи закономерность расположения чисел и запиши в соответствии с ней ещё 2 числа.

5 10 15 20 25 30 6 9 12 15 18 21 3 7 11 15 19 23 9 1 7 1 5 1

12 14 13 15 14 16 16 12 15 11 14 10 25 24 22 21 19 18 3 4 6 9 13 18


115

4 5 8 9 12 13 25 25 21 21 17 17 1 2 4 8 16 32 21 18 16 13 11 8

1 4 9 16 25 36 15 16 14 17 13 18 21 18 16 15 12 10 4 8 10 20 22 44

Пропавшая звезда 513. Несколько треугольников и че-тырехугольников образовали слож-ный узор, в котором скрывается равноконечная звезда. Сможешь ли ты найти, где эта звезда спряталась?

Шнуровка тапочек 514. Спортивные тапочки шнуруются так, как показано на рисунке. Нарисуй, как может выгля-деть шнуровка изнутри. Постарайся указать три различных варианта.

Три кольца 515. Ты можешь разъединить эти три верё-вочных кольца, только перерезав среднее. Если ты перережешь одно из крайних колец, то два оставшихся будут по-прежнему свя-заны. А попробуй связать три кольца так, чтобы, перерезав любое из них, два осталь-ных тоже высвободились.


116

Беседка Розамунды 516. Беседка Розамунды – знаме-нитый архитектурный лабиринт в Англии.

Итак, найди путь к беседке, расположенной в парке, изобра-жённом на рисунке. Быть может, для сокращения времени тебе не-бесполезен будет совет начать по-иски от беседки и найти лучше вы-ход из этого коварного парка, чем начинать со входа. Впрочем, при наличии свободного времени это безразлично.

Взломай код

517. Каждая буква алфавита представлена каким-то числом:

А Ж Н Ф Ы

Б З О Х Ь

В И П Ц Э

Г Й Р Ч Ю

Д К С Ш Я

Е Л Т Щ

Ё М У Ъ

1) Определи эти числа (найти код), если слово ГИД записыва-ется как 6 12 7, а слово СОН как 21 18 17. 2) Прочти фразу: 16 18 15 18 7 8 26 17 3 27 12 17 3 13 7 20 23 6 23 34 11 3 7 3 27 23. 3) Вспомни какую-нибудь пословицу, в которой используются числа, и запиши её с помощью кода.


117

Детективная история3 518. Проанализируй ситуацию и попробуй догадаться, почему инспектор Варнике решил, что Мюллер лжёт.

– Наконец-то Вы пришли, инспектор, – с радостью в голосе проговорил Мюллер. – Скорее освободите меня. Мои силы уже на исходе. Какой-то негодяй ворвался сегодня ночью в мою квартиру, связал меня и похитил драгоценности жены. Хотя мы застрахо-ваны, но хорошо бы, если бы Вы нашли преступника раньше, чем об этой истории узнает моя жена. Она сейчас как раз в отъезде.

– Расскажите мне обо всем, что случилось дальше, – попросил инспектор Варнике, освобождая между тем Мюллера от верёвок.

– Это было ужасно, – простонал Мюллер. – Час за часом проходил в томительном ожидании доброго духа, который мог бы меня освободить. Рано утром я услышал, как почтальон просунул газету в дверную щель для писем. Я начал кричать, умоляя позвонить в полицию. Видимо, он и сообщил Вам о слу-чившемся. И вот Вы здесь.

Инспектор Варнике на мгновение задумался, а затем сказал: – Известно ли Вам, Мюллер, что полагается за попытку

обмануть страховую компанию? Наказание понесете не только Вы, но и Ваша жена. Ведь это она, очевидно, так забот-ливо привязала Вас к стулу. Ей, как соучастнице, тоже не удастся выйти сухой из воды. 3 Задачи с запутанными детективными историями про инспектора Варнике можно найти в большом количестве в книге: Болховитинов В. Н., Колтовой Б. И., Лаговский И. К. Твоё свободное время. Занимательные задачи, опыты, игры. М.: Дет. лит., 1975. 464 с.


118

Непослушный глобус 519. Заполни пустые клетки сквэрворда: в каждой вертикали,

горизонтали и двух больших диа-гоналях все буквы слова ГЛОБУС должны присут-ствовать ровно по одному разу.

Кто из них левша? 520. Кто из изобра-жённых людей левша? Почему ты так считаешь?

Четыре стакана

521. Три пустых стакана находятся на рас-стоянии 13 см друг от друга. Если взять три линейки длиной 12 см каждая, то сможешь ли ты так положить их на пустые стаканы, чтобы получился достаточно крепкий мо-стик, который смог бы выдержать на себе четвёртый стакан, наполненный водой? Воду из этого стакана выливать нельзя!

Г Л О Б У С

Л У Г

Г О Л


119

Подопытная крыса 522. Эту крысу протестировали на сообразительность. Как ты дума-ешь, нашла ли она нужные дыры, чтобы пролезть внутрь, и нужные трубы, чтобы выбраться из ящика в нижнем левом углу?

Лабиринт из кубиков

523. Начни двигаться с цифры 1 в середине картинки и далее – по кубикам с номерами от 2 до 9 (по нарастающей). Далее иди по кубикам с номерами от 9 до 1 (по убывающей). Затем опять по кубикам от 1 до 9 и так далее. В результате ты должен выйти из лабиринта в нулевом кубике.


120

Сколько? 524. Сколько кругов ты можешь насчитать на картинке справа? 525. А сколько треугольников на картинке внизу?

Урок каллиграфии 526. Каллиграфия требует большого внимания. Япон-ский студент за безукориз-ненную копию получает 25 баллов. За каждую допу-щенную ошибку отметка снижается на 1 балл. Сколько баллов получит сту-дент, сделавший эту копию?


121

Два цветка 527. Перед тобой два цветка, каждый из кото-рых состоит из 4 лепест-ков. Из всех этих кусоч-ков нужно собрать круг. Да, именно круг, причём полноценный. Нужно ис-пользовать все лепестки и части стебля, но так, чтобы они не накладыва-лись друг на друга при создании круга.

Как освободить вишни?

528. В почтовой открытке сде-ланы две прорези, а между ними вырезан кружочек. Этот кружо-чек меньше, чем изображённые на рисунке вишни. Отделите вишни от открытки, не порвав её и не повредив вишни. При этом есть вишни нельзя!

Пример с фигурами

529. Замените фигуры цифрами (одинаковые фигуры – одинако-выми цифрами, разные – разными) так, чтобы пример был верным.


122

Сколько весит деталь? 530. Из заготовки, имевшей форму правиль-ного куба, была сделана деталь, показанная на рисунке. Удастся ли тебе вычислить, сколько весит деталь, если заготовка весила 250 г? Шесть отверстий на поверхностях де-тали – сквозные.

Лишняя рыбка 531. Из этих пяти рыбок одна лишняя. Какая?

Сообразительные сыщики 532. Три сыщика гнались за преступниками. Следы привели их к подвалу. Укрепив на выступе стены канат, сыщики спустились в подвал. Не успели они осмотреться, как раздался злорад-ный смех, и верёвка, свисавшая из окна, исчезла. Как же выбраться наверх? Прикинув высоту под-вала, сыщики решили построить пирамиду, став друг на друга. Но как ни старался самый лёгкий из них достать до окна, ему это не удавалось. И не хватало всего каких-нибудь 5 см. Оставалось только смириться со своим положением и ждать помощи. Но вдруг один воскликнул: «Я нашёл выход!» Что придумал этот сыщик?


123

Так говорил Демокрит 533. Прочитай зашифрованный афо-

ризм Демокрита.

В зоопарке

534. На плане зоопарка точками отме-чены клетки с животными. Смотритель обошёл все клетки, чтобы почистить их. Начал он с клетки, отмеченной звёздоч-кой, и обошёл одну за другой все клетки, как занятые, так и свободные. По диаго-налям он не ходил и на заштрихованных клетках не был, так как там помещались разные строения. Закончив обход, смотритель оказался в той же клетке, с которой начал путь. Каков был путь?

Неразрывная цепочка

535. Перерисуй фрагменты на плотную бумагу, разрежь их и сложи так, чтобы цепь не была разорванной.


124

Разноцветный квадрат 536. Закрась клетки доски 5×5 в пять цветов так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждом выделенном блоке все цвета встречались по одному разу.

Сколько узлов?

537. Сколько узлов завяжется, если потянуть за концы верёвки?

Прогулка по городу

538. Прогуляйтесь по эстакадам геометрического города от площади 1 к площади 2.


125

Отдели коз от капусты 539. Проведи три прямые линии так, чтобы отделить коз от капусты.

Сколько кубиков

540. Сколько кубиков нужно, чтобы сложить фигуру, изображён-ную справа?

Какой ящик тяжелее?

541. Вот два одинаковых ящика в форме куба. В левый положен боль-шой железный шар, диаметр кото-рого равен высоте ящика. Правый ящик заполнен маленькими желез-ными шариками, уложенными так, как показано на рисунке. Ка-кой ящик тяжелее?

Оригинальный календарь 542. В окне одного магазина я увидел оригинальный настоль-ный календарь. Дату указывали цифры на передних гранях двух кубиков. На каждой грани кубика стоит по одной цифре от


126

0 до 9. Переставляя кубики, можно изобразить на календаре любую дату – от 01, 02, 03, ... до 31. Какие цифры скрыты на невидимых гранях ку-биков? Ответ на этот вопрос несколько труд-нее, чем может показаться на первый взгляд.

Ещё один лабиринт из кубиков

543. В этом лабиринте можно передвигаться с одного кубика на другой только в том случае, если количество точек на гра-нях совпадает. Но можно переходить на любую из его видимых граней. Найди путь от центрального кубика до кубика с тремя пустыми гранями.

Сколько белых клеток? 544. Если наложить друг на друга три квадрата, сколько ста-нет белых клеток?


127

Найди одинаковые фигуры 545. В каждом из трёх рядов две фигуры одинаковые. Найди их.

Лабиринт с числами 546. Как попасть в центр лаби-ринта, начиная с любой его сто-роны? При этом нельзя передви-гаться по диагонали и можно про-

ходить только через комнаты с чётными но-мерами, ко-торые де-лятся на 3.

Костяшки домино

547. Поменяй местами две пары костяшек так, чтобы сумма очков в каждом из трёх горизон-тальных и каждом из трёх вертикальных ря-дов стала равной 15.


128

Волшебные кубики 548. Какой из этих трёх кубиков можно сложить из развертки ку-бика, изображённой вверху?

Задача про заключенных 549. В одной далёкой стране в тюремном заключении находи-лись 100 человек. Однажды начальник тюрьмы собрал их всех вместе и сказал:

– У вас появилась прекрасная возможность выйти на свободу! Но для этого каждого из вас мы посадим в одиночную камеру, из которой нет никакой связи с другими заключенными, и сыграем с вами в игру. Если вы выиграете, то все выйдете на свободу, если проиграете – вас скор-мят крокодилам. Условия игры простые. В одну

из пустых комнат мы поставили лампу, сейчас она выключена. В эту комнату надзиратели будут вводить вас по одному. Вы может включать или выключать лампу, можете к ней не прика-саться. Любые попытки произвести какие-либо другие дей-ствия будут сразу же пресекаться. При этом будьте уверены, что каждого из вас обязательно когда-ни-будь приведут в комнату с лампой, и, более того, после каждого привода вы можете быть уверены, что он не последний.

Игра закончится, как только один из вас скажет: «В этой комнате побывал каждый из 100 заключённых хотя бы по одному разу». Мы проверим, прав ли он, и либо выпустим всех


129

вас, либо скормим крокодилам. У вас есть десять минут, чтобы до-говориться о своих действиях, после чего мы начнём игру.

О чём должны договориться заключенные, чтобы навер-няка выйти на свободу?

Президентская головоломка 560. Чем занята эта маленькая девочка? Воз-можно, она пытается ускорить время и по-раньше получить рождественские подарки. А может быть, она пытается решить знаме-нитую «президентскую головоломку».

Состоит эта головоломка в следующем. Американский президент Улисс Грант всту-пил в должность в 1869 году, Джералд Форд покинул президентский пост в 1977 году.

А теперь отыщи две даты (имеются в виду годы), расположенные между этими двумя событиями. Каждая из этих дат должна чи-таться одинаково даже при условии, что ты перевернёшь её «вверх ногами».

И снова лабиринт

561. Найди дорогу в ла-биринте окружностей и шести-угольников узора.


130

Охлаждение теплового двигателя 562. Разработчики нового теплового двига-теля поставили эксперимент, чтобы вы-явить эффективность различных смазочно-охлаждающих жидкостей. Горячая вода (в чёрных трубах) несёт тепло в систему со ско-ростью 111 условных единиц в час.

Различные пробные смазочно-охлаждающие

жидкости текут по сосед-ним трубам, образующим кольцо вокруг каждой чёр-ной трубы, и отводят тепло со скоростью, которая за-висит от их собственных технических характери-стик. При условии, что по-дача тепла в каждой чёр-ной трубе должна быть уравновешена отводом тепла с помощью окружаю-щего её кольца охлаждаю-щих труб, заполни недоста-ющие числовые значения на схеме всей эксперимен-тальной установки.

Фальшивые монеты

563. Имеется 10 кучек монет по 10 монет в каж-дой. Одна из кучек целиком состоит из фальши-вых монет, но какая именно – неизвестно. Изве-стен лишь вес настоящей монеты, и, кроме того, установлено, что каждая фальшивая монета на один грамм тяжелее, чем нужно. Монеты можно


131

взвешивать на пружинных весах. Какое мини-мальное число взвешиваний необходимо про-извести, чтобы отыскать кучку, целиком состо-ящую из фальшивых монет?

Задание для робота 564. Робот получил задание со-единить проводами на этой схеме каждые два кружочка с одинаковыми условными обо-значениями. Линии нигде не должны пересекаться, а

кружочки внутри схемы не должны быть исполь-зованы два-жды. Сможешь ли ты найти решение?

Мечта пирата 565. О чем может мечтать старый морской волк, давно отошедший от дел? Да все о том же: морских далях и экзотических островах. А что ещё ему остаётся?

И вот сидит наш мечтательный пират в своём кресле и старательно вяжет – петелька к петельке – воз-душного змея. Такого змея, который сможет унести его на просторы ми-лых сердцу южных морей. А мы тем


132

временем можем присмотреться к этой конструкции и попы-таться сосчитать, из скольких квадратов и треугольников со-стоит воздушный змей пирата?

В сумме – тысяча 566. От А к Б ведёт много различных дорог. И среди них лишь одна, кото-рая проходит через кружки с чис-лами, дающими в сумме 1 000. Найди этот путь.

Квадратные суммы 567. Последовательно складывая нечётные числа, мы каждый раз получаем квадрат натурального числа:

1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 …

Обоснуй эту закономерность, глядя на изображённый на рисунке квадрат, составленный из уголков.

Чему равна сумма чисел 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2005 + 2013?

Разные фигуры 568. Разрежь квадрат со стороной 12 см на четыре различные фигуры, периметр каждой из которых равен 40 см.


133

Что здесь написано? 569. Попробуй мысленно «передвинуть» фургончики по соот-ветствующим линиям на свои места (в квадратики внизу). По-лучится фраза. Какая?

Сцепленные кольца 570. Какое кольцо нужно разъединить, чтобы освободить остальные?

Сумасшедшие мухи

571. Две мухи Машка и Наташка сели в пол-день на стрелки часов (Машка – на часовую, Наташка – на минутную) и поехали таким об-разом: если какая-то стрелка обгоняет дру-гую, то Машка и Наташка, сидящие на этих стрелках, меняются местами. Сколько кругов проедет каждая из них до полуночи и на какой стрелке каждая из мух приедет на финиш?


134

По какому плану? 572. По какому из четырёх планов построен этот дом?

Попробуй отыскать 573. Сколько правильных пяти-конечных звёзд ты сможешь найти в линиях этого замысло-ватого узора?

Как пройти? 574. Разведчику нужно так пройти через лес, чтобы его не заметил ни один из наблюдателей. Укажи ему правиль-ный путь.


135

Загадочный алфавит 575. Найди путь из левого верх-него угла в правый нижний (от «А» до «Я»), который проходит по од-

ному разу по каждой букве алфавита. Хо-дить разрешается только на соседнюю букву по вертикали или горизонтали.

Отпечатки стакана 576. Посетитель бара оставил на стойке три отпечатка донышка своего стакана, сделав их так аккуратно, что каждая окружность прохо-дит через центры двух других. Бармен пола-гает, что общая часть всех трёх кругов (на ри-сунке она заштрихована) составляет четверть площади круга, а посетитель считает, что пло-щадь общей части больше. Кто из них прав?

Загадочный талисман

577. Знаешь ли ты о знаменитом фокуснике Бруно Мухлевайте? Нет? О, это был известней-ший фокусник своего времени, но после одного инцидента слава его стала утихать. Давай раз-берёмся в этой истории и поможем Бруно снова радовать нас своими головокружительными фокусами!

В одном из карточных фокусов Мухлевайте уронил свой за-гадочный талисман, и тот разлетелся вдребезги. Что же делать?

Выходит – восстанавливать. С помощью реконструктора Джона Обломайся они восстановили талисман. Но, к сожале-нию, былая волшебная сила к талисману не вернулась. Совсем

А О Д Т Ч З У А Р И Щ Ш Й П К Ю Ю Й Н Ы Ж Е Щ Т П Г Л Ц Ь Ъ Э Б Ч И Б Ш Г Ъ Ф Л Д М Ь Ж Н Э С Е Х Ё Ц О Ы Ф Р С В К З В Ё М Х Я


136

опечалился фокусник Мухлевайте. Тогда он пошёл к гадалке Обдиралиной в надежде, что та подскажет ему, как починить талисман. И его надежды оправдались!

Гадалка Обдиралина долго рассматривала его руку и по-сле долгого молчания сказала: «Тебе, фокусник, чтобы восста-новить свой талисман, нужно внимательно посмотреть на ту работу, что сделал Обломайся. В ней ты должен расставить цифры от 1 до 9 так, чтобы их сумма на каждой стороне тре-угольника составляла 17. Только учти, что цифры на краях этого головоломного треугольника тоже идут в расчёт».

Итак, помоги фокуснику вернуть былую силу.

Набор карточек

578. На столе лежат кар-точки. Можно ли убрать двенадцать карточек так, чтобы сумма чисел на оставшихся была равна 50?

11 23 13 5 23

21 15 7 35 29

15 3 1 17 27


137


138

Высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Норберт Винер,

американский учёный, математик и философ


139

Танграм

Перед тобой игра-головоломка «Тан-грам». Она появилась несколько тысяч лет назад в Китае. Вероятно, первоначально ча-сти квадрата служили для демонстрации геометрических фигур: прямоугольника, па-раллелограмма, трапеции (узнай, какие это фигуры, и составь их!).

С течением времени было замечено, что из частей квадрата можно составить очень много фигур-силуэтов самой причудли-вой формы, употребляя для составления каждой фигуры все семь частей квадрата.

Вырежи из плотного картона квадрат и разрежь его на ча-сти, как показано на рисунке вверху. Составь из всех частей квадрата фигуры, изображённые ниже.

КУРИЦА ТРУБКА ПОРОСЁНОК

ЗАЯЦ ГУСЬ КЛАНЯЮЩИЙСЯ ЧЕЛОВЕК


140

Топологическая головоломка

Эту головоломку несложно сде-лать из куска картона, верёвки и ко-лечка таких размеров, чтобы оно не проходило через центральное от-верстие. Чем больше кусок картона и тяжелее верёвка, тем легче произ-водить соответствующие манипу-ляции. Задача заключается в том, чтобы переместить кольцо из петли A в петлю В, не разрезая верёвки и не отвязывая её концов.

Следует обратить внимание на то, что если один конец ве-рёвки проходит под петлёй Х, а другой – над ней (см. верхний рисунок), то задача не имеет решения.

Попробуй и ты решить эту несложную задачку!

Колумбово яйцо

Колумбово яйцо – это фигура, контур

которой похож на яйцо и которая разрезана на 10 частей – это обычные треугольники, треугольники с одной округлой стороной и трапеции с одной округлой стороной, что позволяет составлять силуэты птиц, чело-века, животных, развивая наблюдатель-ность и геометрическое воображение.

Для изготовления головоломки можно использовать цветной картон, разрезанный так, как показано на схеме.

При создании силуэтов, показанных ниже, нужно использовать все части голово-ломки, присоединяя одну к другой без нало-жений.


141

«Колумбово яйцо» – это выражение вошло во многие европейские языки из сочине-ния «История Нового Света», написанного итальянским пу-тешественником Джироламо Бенцони.

В нём говорится, что, когда Христофор Колумб рассказы-вал, будучи на обеде у карди-нала Мендосы, о своём откры-тии Америки, один из гостей кардинала воскликнул: «Да ведь это так просто!» Тогда Ко-лумб предложил ему решить вроде бы тоже простую задачу – поставить яйцо вертикально. Тот, как ни старался, не смог этого сделать; тогда Колумб, стук-нув тупым концом яйца о стол, приплюснул скорлупу у основа-ния и поставил яйцо на стол. И сказал: «Да, это действительно очень просто».

Сейчас выражение часто используется иносказательно: неожиданный, смелый выход из затруднительного положе-ния или неординарное, остроумное решение сложной задачи.

Квадрат

Одна сторона квадрата 4×4

окрашена в серый цвет, другая – в белый. Сверни этот квадрат так, чтобы получился квадрат 3×3 с та-ким расположением тёмных и светлых клеточек, как показано на рисунках справа.

1. 2.

3. 4.


142

Монгольская игра

Монгольская игра – одна из самых древ-них классических головоломок. Она представ-ляет собой квадрат, разрезанный на 11 ча-стей: 2 квадрата, один большой прямоуголь-ник, 4 маленьких прямоугольника, 4 тре-угольника.

Суть игры – собирать всевозможные фигурки из данных элементов по прин-ципу мозаики по образцу-контуру. В состав каждой фигурки должны входить все одиннадцать частей, при этом они не должны пере-крываться.

Колючки

Головоломка, придуманная из-вестным изобретателем В. И. Крас-ноуховым, состоит из пластины с отверстием в форме шестиуголь-ника и четырёх одинаковых дета-лей, похожих на колючки. Требу-ется расположить колючки внутри

шестиугольника. Колючки не должны перекры-вать друг друга или выходить за границы шести-угольника.


143

Пентамино

Пентамино – одна из са-мых популярных мировых головоломок; пик её попу-лярности пришёлся на конец 60-х годов прошлого века. В эту головоломку могут иг-рать и дети, и взрослые.

Запатентовал голово-ломку “Pentomino” Соломон Вольф Голомб, житель Бал-тимора, математик и инже-нер, профессор универси-тета Южной Калифорнии.

Игра содержит плоские фигуры, каждая из которых со-стоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между со-бой сторонами, отсюда и название. Существует ещё версия го-ловоломок тетрамино, состоящих из четырёх квадратов, от этой игры и произошел известный «Тетрис».

Игровой набор «Пентамино» состоит из 12 фигурок. Каж-дая фигура обозначается латинской буквой, форму которой она напоминает. При решении задач и головоломок фигурки можно вертеть и переворачивать, поэтому при изготовлении игры своими руками элементы необходимо делать двухсто-ронними.

Для изготовления элементов пентамино необходимо: нарисовать каждый элемент на твёрдом картоне или

пластике; рисовать лучше каждый элемент по отдельности, не складывая в прямоугольник, – так вырезать будет легче;

вырезать первую фигуру “U” и проверить размеры; да-лее вырезать все остальные элементы, проверяя, чтобы они спокойно входили в элемент “U” своими выпуклыми частями;

оклеить фигурки с двух сторон цветной бумагой. Задание 1. Самая распространённая задача – сложить из

всех фигурок прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур


144

включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов.

Задание 2. Из элементов можно складывать различные фигуры, симметричные узоры, буквы алфавита, цифры. Пред-лагаем тебе сложить следующие четыре фигуры: утку, кошку, слона и бабочку – и придумать свои забавные картинки из пентамино.


145


146

Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным.

Блез Паскаль, французский философ,

писатель, математик и физик


147

Математико (итальянская игра)

Для игры нарежь из картона или плотной бумаги 52 не-большие карточки и на каждой из них напиши по одному числу: на четырёх карточках по 1, на следующих четырёх по 2, затем на четырёх по 3 и т. д. Последним написанным числом, очевидно, будет 13.

Количество играющих не ограничено. Каждый играющий берёт себе листок бумаги с 25 клетками в форме квадрата 5×5 и карандаш. Один из играющих (ведущий) берёт колоду при-готовленных карточек с числами, растасовывает её, затем от-крывает первую карточку и объявляет написанное на ней число. Каждый из играющих записывает это число в одну из клеток на своём листке бумаги. После того как число вписано, перемещать его в другую клетку запрещается. Затем ведущий объявляет число, написанное на следующей карточке, играю-щие опять вписывают его в любую из свободных клеток сво-его листа и т. д.

Игра прекращается, когда будут заполнены все 25 клеток. Тогда результат каждого из участников оценивается некото-рым числом очков, зависящим от способа размещения чисел в клетках квадрата. Победителем будет считаться тот, у кого окажется больше очков. Подсчет очков производится по сле-дующей таблице.

Комбинация чисел Ряд или столбец

По диа-гонали

За 2 одинаковых числа 10 20 За 2 пары одинаковых чисел 20 30 За 3 одинаковых числа 40 50 За 3 одинаковых числа и 2 других одинаковых числа 80 90 За 4 одинаковых числа 160 170 За 5 последовательных чисел, но не обязательно по по-рядку расположенных

50 60

За три раза по 1 и два раза по 13 100 110 За числа 1, 13, 12, 11 и 10, но не обязательно по порядку расположенных

150 160

За 4 единицы 200 210


148

Фотограф4

«Таблица умножения» на пальцах

Умножение на 9 Положи обе руки на стол ладонями

вниз. Тогда мизинец левой руки пусть будет первым пальцем, безымянный – вторым, средний – третьим и т. д., большой палец правой руки – шестым и т. д., мизинец правой руки – десятым пальцем обеих рук. Эти пальцы явля-ются безошибочным счётчиком.

Примеры: 9 × 5 = 45. Чтобы решить это на пальцах, ты только дол-

жен посмотреть, сколько пальцев от 5-го пальца налево и сколько направо: 4 пальца слева – это 4 десятка, 5 справа – это 5 единиц, значит, ответ будет 45.

9 × 7 = 63. От 7-го пальца налево 6, а направо 3 пальца, значит, 63.

9 × 9 = 81. От 9-го пальца налево 8, а направо 1 палец, значит, 81.

4 Здесь и далее в подобных заданиях необходимо найти ровно десять различий на двух внешне похожих картинках. Задания заимствованы с ресурса http://rebzi.ru/10-differences.


149

9 × 1 = 9. От первого пальца налево нет ни одного пальца, значит, десятков в ответе не будет, направо 9 пальцев – 9 единиц.

Поупражняйся в таком умножении и научи тех, кто плохо усваивает таблицу умножения на 9.

Умножение чисел 6, 7, 8, 9 Для этого способа умножения надо уметь сгибать необходи-

мое число пальцев, протянутые пальцы означают десятки, коли-чество их складывают, согнутые пальцы – единицы, их перемно-жают. Например, 7 × 8.

Решение. На одной руке протягиваем столько пальцев, на сколько единиц первое число больше 5 (7 – 5 = 2 – два пальца),

на другой руке протягиваем 8 – 5 = 3. Находим число десятков: 2 де-сятка + 3 десятка = 5 десятков. Чтобы по-лучить единицы, перемножаем 3 × 2 (3 пальца согнуты на одной руке и два пальца – на другой), получаем 6 единиц. Значит, 7 × 8 = 56.

Проверь, как действует такой приём для других примеров на умножение.

Очередь к зубному


150

Математический кроссворд

По горизонтали: 2. Знак математического действия. 4. За-пись одной или нескольких цифр. 5. Часть прямой, соединяю-щая две точки. 7. Многоугольник. 8. Математическое дей-ствие. 9. Старинная мера длины.

По вертикали: 1. Часть прямой. 2. Геометрическая фигура. 3. Математическое действие. 6. Упражнения, выполняемые с по-мощью рассуждений и вычислений. 7. Число разрядов в классе.

В лунопарке


151

Арифметический лабиринт

Лабиринт вычерчивается в виде концентрических кругов с воротами. В воротах стоят числа. Проходя в ворота, надо про-извести с числами любое действие, но рассчитать их так, чтобы, придя в центр, получить в результате вычислений число, стоящее в центре.

Досчитай до 82


152

Индеец

Точки

«Точки» («Города») – игра на клетча-той бумаге для двух человек. Соперники по очереди ставят по одной точке на пе-ресечении линий листа (пункте) в клетку, каждый своим цветом.

Первый ход каждого игрока происходит в центральной части поля. Последующие ходы могут быть в любой пункт, если только он не в окружённой области. Возможности пропускать ход нет.

При создании непрерывной (по вертикали, горизонтали, диагонали) замкнутой линии образуется область. Если внутри неё есть точки противника (при этом могут быть пункты, не занятые чьими-либо точками), то это считается областью окружения, в которую далее запрещено ставить точку любому из игроков. Если точек соперника нет, то область свободная и в неё можно ставить точки. При появлении в свободной обла-сти точки соперника свободная область будет считаться обла-стью окружения при условии, что точка соперника не была за-вершающей в его окружении. Точки, попавшие в область окру-жения, далее не участвуют в образовании линий для окруже-ния. Точки, поставленные на краю поля, не окружаются.


153

Партия заканчивается, когда не осталось свободных мест, по взаимному согласию игроков, либо когда один из игроков отказывается делать ход, останавливая игру.

Если игрок A останавливает игру, то его оппоненту даётся фиксирован-ное время, в течение которого он бу-дет ставить точки один, доокружая свободные точки игрока А. По истече-нии этого времени игра заканчива-ется автоматически.

Победа определяется при подсчёте окружённых точек (по-беждает игрок, который окружил большее число точек сопер-ника) или по взаимному согласию игроков.

Археологи

Восточный способ умножения

В школах России обычно учат умножению чисел в столбик. Это требует знания таблицы умножения. Однако в восточных школах учат более оригинальному и лёгкому способу умноже-ния. Его можно назвать умножением «для ленивых».

Допустим, нам нужно умножить 21 на 13. Для этого нам нужно изобразить линиями эти числа.


154

Чтобы «нарисовать» первое дву-значное число, нужно начертить па-раллельные линии: сначала две, за-тем через некоторое расстояние одну. Изобразим второе число 13 ли-ниями, перпендикулярными уже нарисованным: сначала 1, затем 3.

Теперь у нас образовались три группы пересечений (то-чек) этих всех линий (если представить себе ромб, то первая группа – левая вершина, вторая группа – верхняя и нижняя, а третья – правая вершина): в первой 2 точки, во второй – 7, а в третьей – 3. Получаем результат – 273. Проверь!

Аналогично умножаются трёхзнач-ные числа, но здесь есть 2 нюанса: групп пересечений получится 5 и количество пересечений может получиться больше девяти. С первым нюансом всё понятно, а вот как быть со вторым? Здесь тоже всё

просто: цифру десятков в числе количе-ства пересечений прибавляем к цифре количества пересечений, которое мы записали слева. Рассмотрим этот случай на примере умножения 321 на 123 (изучи фотографию, проверь результат).

Русская изба


155

Математические слова

Разгадай зашифрованные математические слова.

Робот


156

Быки и коровы

«Быки и коровы» – логическая игра, для ко-торой достаточно иметь бумагу, ручку; уметь считать и сопоставлять результаты.

Играют двое. Каждый задумывает и запи-сывает тайное четырёхзначное число с непо-вторяющимися цифрами.

Игрок, который начинает игру по жребию, делает попытку отгадать число. Попытка – это четырёхзнач-ное число с неповторяющимися цифрами, сообщаемое про-тивнику. Противник сообщает в ответ, сколько цифр угадано без совпадения с их позициями в тайном числе и сколько уга-дано вплоть до позиции в тайном числе.

Например, задумано тайное число «3219». Попытка: «2310». Результат: две «коровы» (две цифры:

«2» и «3» – угаданы на неверных позициях) и один «бык» (одна цифра «1» угадана вплоть до позиции).

Игроки делают попытки угадать по очереди. Побеждает тот, кто угадает число первым.

Алхимик


157

Три приёма быстрого счёта

1. Быстрое возведение в квадрат Существует очень простой приём быстрого возведения в

квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5. Для этого нужно цифру десятков умножить на ближайшее большее це-лое число и к произведению приписать 25. Например, 352 = 1225, т. е. 25 приписано к произведению 3 на 4; 852 = 7225, т. е. 25 приписано к произведению 8 на 9.

2. Ещё одно правило, связанное с возведением в квадрат Очень легко запомнить квадраты таких чисел, как 11, 111,

1111 и т. д.: 112 = 121; 1112 = 12321; 11112 = 1234321 и т. д.

3. Другие степени числа 11 Если тебе понадобится вычислить другие (кроме квад-

рата) степени числа 11, то для этого может быть использован треугольник Паскаля.

Треугольником Паскаля называют схему расположения чисел в виде тре-угольника, в котором все числа на пра-вой и левой сторонах равны 1, а все остальные – сумме двух чисел, находя-щихся в строке выше над тем или иным числом правее и левее.

Цифры, расположенные в третьей, четвёртой и пятой стро-ках, образуют число, представляющее собой вторую, третью и четвертую степени числа 11. Следовательно, для нахождения ис-комой степени следует нарисовать треугольник Паскаля с соот-ветствующим количеством строк, что сделать совсем не сложно.

Топологическая игра

Эту замечательную игру, в которой приходится соединять

точки линиями, придумал профессор Д. Гейл. Она также из-вестна под именем «Построй мостик» (англ. Bridge-It).


158

Правила игры. На прямоугольном поле изображены узлы двух квадратных решёток, вдвинутых друг в друга: узлы од-ной решётки чёрные, а узлы второй – бе-лые. За один ход разрешается соединять отрезком прямой две соседние точки сво-его цвета по вертикали или горизонтали.

Первый игрок наносит ломаную чёрным карандашом, соединяя чёрные точки.

Второй игрок наносит свою ломаную цветным каранда-шом, соединяя белые точки.

Цель первого игрока – соединить не-прерывной ломаной левый и правый края поля. Цель второго игрока – соеди-нить верхний и нижний края поля.

Победителем считается тот, кто пер-вым соединит непрерывной линией свои края поля. На рисунке слева показан слу-чай, когда победителем стал игрок с цвет-ным карандашом (показан пунктиром).

Весёлый автобус


159

Куда девался воин?5

Головоломка «Убирайся с земного шара» Сэма Лойда, ко-торую он запатентовал в 1896 году, является одной из самых знаменитых, основан-ных на оптическом обмане. К карточке с изображением зем-ного шара, которая свободно вращается вокруг центра, при-креплены фрагменты 13 фигур китайских воинов. Недостаю-щие фрагменты их фигур – на другой карточке, которая неподвижно зафиксирована под первой. Медленно вращай

верхнюю кар-точку, и один из китайцев полно-стью исчезнет из поля зрения. Ко-торый из них ис-чез и куда он делся?

Фокус «Кто что взял?»

Этот старинный фокус можно показать на 24 спичках, ко-

торые складываются кучкой рядом с тремя небольшими пред-метами, скажем, монетой, кольцом и ключиком. В фокусе про-сят принять участие трёх зрителей (будем называть их

5 Задачи с исчезающими фигурами и фокусами можно найти в книге: Гарднер М. Математические чудеса и тайны: Математические фокусы и головоломки. М.: Наука, 1978. 128 с.


160

условно 1, 2, 3). Первый зритель получает одну спичку, второй – две, третий – три. Ты поворачиваешься к ним спиной и про-сишь каждого взять по вещице из лежа-щих на столе (обозначим их А, Б и В).

Предложи теперь зрителю, держащему предмет А, взять ровно столько спичек из числа оставшихся в кучке, сколько у него на руках. Зри-тель, взявший В, пусть возьмёт дважды столько спичек, сколько у него на руках. Последнему зри-телю, взявшему предмет В, предложи взять че-тырежды столько спичек, сколько у него на ру-ках. После этого пусть все три зрителя положат свои предметы и спички в карманы.

Обернувшись к зрителям и взглянув на оставшиеся спички, ты сразу же говоришь каждому зрителю, какой предмет он взял.

Объяснение. Если остаётся одна спичка, то зрители 1, 2 и 3 взяли соответственно предметы А, Б и В (именно в таком по-рядке). Если осталось 2 спички, то порядок предметов будет Б, А, В. Если осталось 3 спички, то А, В, Б. Если 4 спички, то кто-то ошибся, так как подобный остаток невозможен. Если 5, то поря-док предметов будет Б, В, А. Если 6, то В, А, Б. Если 7, то В, Б, А.

Удобным мнемоническим средством будет список слов, со-гласные буквы которых (в порядке их написания) соответ-ствуют начальным буквам названий трёх выбранных предме-тов. Так, например, если показывать фокус с ложкой, вилкой и ножом, то можно предложить следующий список слов: 1. Ли-ВеНь. 2. ВоЛаН. 3. ЛеНиВец. 5. ВаНиЛь. 6. НаЛиВка. 7. НеВоЛя.

Здесь буква «Л» должна обозначать ложку, «В» – вилку, «Н» – нож. Буквы расположены в словах в порядке, соответствующем по-рядку предметов. Числа, стоящие перед сло-вами, обозначают число оставшихся спичек.


161

Счастливый человек

Числобус

Заполни клетки

числобуса числами: 1437; 1862; 2786; 2962; 3805; 3864; 4181; 4236; 5294; 5347; 5695; 5710; 7521; 8686; 9168; 9873; 12633; 18961; 24174; 32729; 39047; 42532; 58613; 65490; 66230; 66484; 72562; 80653; 94893; 124136; 315941; 673070; 725472; 871527; 904251; 1481356; 2864091; 5292871; 5423759; 6789314; 8323156; 8592546; 9174806.


162

Меандр

Дети, увлекающиеся этой игрой, потом хорошо разбираются в геометрии. Вот почему мы настоя-тельно советуем родителям изготовить из картона её детальки – плитки (они показаны на рисунке слева).

Их должно быть 24 штуки. Кроме того, нужно нарисовать ещё игровое поле в виде доски 5×5.

Плитки раскладывают на доске, оставляя одну клетку незанятой. Ходы делаются по очереди. Первый ход делается по жребию.

Игрок, которому принадлежит ход, передвигает плитку или полоску из двух, трёх или четырёх плиток, распо-ложенных по вертикали или горизон-тали (во время хода плитки не поворачиваются ни на какой угол).

Выигрывает тот, кто первым сложит узор, в котором по крайней мере три плитки образуют непрерывную линию (или путь), соединяющую два края доски: либо противоположные, либо сходящиеся в одном углу.

В троллейбусе


163

Считай, не сбейся!

На картинке справа – чис-ловая путаница: каждое из чи-сел от 1 до 50 на ней изобра-жено дважды. Попытайся

отыскать пары одина-ковых чисел, следуя от 1 до 50, за как можно мень-шее время.

Гонки

Игра очень увлекательна. Она разви-вает умение мыслить геометрическими и кинематическими образами.

Для игры нужны только лист клетчатой бумаги и две ручки или

два карандаша разного цвета. Перед нача-лом игры чертят «трек», например такой, как на рисунке. Обычно чертят каждый раз заново (не подкладывая копирки), потому что случайный характер рисунка придаёт игре каждый раз новизну.

Все играющие (их может быть два, три и даже четыре че-ловека) ставят точки в начале трека (на старте). Определяют, кто делает первый ход. Дальше ходы делаются по очереди.

Тот из играющих, кто ходит, определяет прежде всего оче-редное следующее положение своей машины. Пусть в прошлый раз он сдвинул машину на три клетки вперёд и на одну вправо. Тогда он откладывает этот же ход от текущего положения своей


164

машины и ставит там (мысленно) точку. Конечное положение машины – в ней или в любой соседней к ней клетке из восьми (по вертикали, по горизон-тали и по диагоналям). Теперь предыдущее и новое положение машины он соединяет ручкой (или ка-рандашом) своего цвета.

Для первого хода принято считать, что предыду-щий был «нулевым», то есть машина играющего сдвигается мак-симум на одну клетку. Если все 9 клеток, куда может переме-ститься машина, лежат за пределами трека, то считается, что «ма-шина врезалась в трек и разбилась». Игрок выбывает из игры.

Машины должны пройти весь трек, побеждает тот, чья ма-шина первой пересечёт линию финиша.

Рыбак

Флексагон

Флексагоны – это многоугольники, сложенные из полосок

бумаги, которые обладают удивительным свойством: при пе-регибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу.


165

На рисунке показано, как сделать флексагон сред-ней сложности. Возьми по-лоску бумаги длиной 50 см и шириной 3–4 см и раздели её на 19 равносторонних треугольников. С лицевой стороны полоски впиши в треугольники цифры 1, 2, 3, с изнаночной – 4, 5, 6, как на рисунке. По одному тре-угольнику с каждой сто-роны остается незаполнен-ным. Сложи полоску «змейкой» так, чтобы треугольники на её изнаночной стороне, обозначенные одинаковыми цифрами, наложились друг на друга. Полученную заготовку сложи по линии АБ, подогнув левую часть вниз. Эту фигуру сложи по ли-нии ВГ, отогнув её нижнюю часть от себя и подсунув треуголь-ник с цифрой 3 вниз. Последний треугольник с цифрой 1 при-клей к оборотной стороне первого треугольника. Получится плоский правильный шестиугольник.

Если каждую поверхность флексагона разрисовать раз-ными красками, тогда, раскрывая флексагон, ты каждый раз будешь получать новые геометрические узоры. Сколько их? Шесть? Нет, гораздо больше! Найди все возможные узоры.

Интересно играть с флексагоном, угадывая, какая цифра сейчас появится. Посоревнуйся с друзьями, кто найдёт зага-данную цифру за наименьшее число ходов. Есть правило, зная которое ты всегда будешь выигрывать. Попробуй найти его!

Цифровые стихи

Современный цифровой век принес нам новый вид поэзии –

цифровые стихи – стихи в числах и без единого слова. Когда точно возник этот вид поэзии, сказать трудно. Одни утверждают, что


166

цифровые стихи появились благодаря творчеству программи-стов, которые стремятся все оцифровать. Другие утверждают, что мода на стихи в числах пришла к нам с Запада в 90-е годы XX века. Третьи говорят, что баловались написанием веселых цифровых стихов еще в школе задолго до всеобщей компьютеризации.

В цифровой поэзии используют только числительные. А для экономии места так числами и записывают. Однако по форме это настоящие стихи.

В цифровых стихотворениях есть и рифма, и ритм, и размер. Единственное, что в них может от-сутствовать, – это смысл. Но в цифровой поэзии смысл далеко не главная составляющая, поэтому без него можно вполне обойтись. Как выглядят цифро-вые стихи? Например, вот так, как показано справа.

Читать цифровые стихи надо вслух и с выражением. По-пробуй, это очень просто. Достаточно произносить написан-ные числа и уловить ритм. Не стоит думать, что цифровые стихи примитивнее традиционных стихотворений. Стихи в числах разделяют на жанры, определяют размер и пр. Бывают весёлые цифровые стихи, грустные цифровые стихи, стихи классиков в числах и т. д. Вот, к примеру, стихи Пушкина: 17 30 48 140 10 01 126 138 140 3 501 Или стихи Маяковского: 2 46 38 1 116 14 20! 15 14 21 14 0 17 Чувствуешь характерный для каждого поэта тон? А вот, например, хайку в цифрах: 127 148 230. 14 12 20? 0…

Сравни весёлые стихи в цифрах: 2 15 42 42 15 37 08 5 20 20 20! 7 14 100 0 2 0 0 13 37 08 5 20 20 20! И грустные цифровые стихи: 511 16 5 20 337 712 19 2000047

145 4 8 16 9 33 15 98 4 243


167

Дедушка Джамбей

Две лисы и двадцать кур

На поле указанной формы нахо-дятся две лисы и 20 кур. Куры могут перемещаться на один шаг вверх, влево или вправо, но не назад и не по диагонали. Лисы также могут переме-щаться только на один шаг, но также и вверх – как вниз, влево и вправо. Лиса может съесть курицу – как в игре в шашки: если в горизонтальном или вертикальном направлении за курицей на один шаг следует свободное поле, то лиса перепрыгивает через курицу и берёт её. Лисы всегда обязаны есть, и, когда у них есть выбор, они обя-заны осуществлять наиболее длинное поедание. Если два при-ёма пищи имеют одинаковую длину, осуществляется один из них – по выбору лисы. Игрок перемещает кур. Партнёры играют по очереди, причём куры начинают. Они выигрывают партию, если девяти из них удаётся занять 9 полей, образующих верх-ний квадрат игры. Начальное положение кур и лис изображено


168

на рисунке. Лисы выигрывают, если им удаётся съесть 12 кур, так как тогда оставшихся кур недостаточно, чтобы занять 9 верхних полей.

Слабое звено

Сыграем в игру «Слабое звено»? Правила со-

всем простые: отвечать надо быстро, не разду-мывая и не тратя понапрасну время. А главное – не мошенничать!

1. Ты участвуешь в соревнованиях и обогнал бегуна, зани-мающего вторую позицию. Какую позицию ты теперь занима-ешь?

Ответ. Если ты ответил, что ты теперь первый – ты абсолютно не прав. Ты обогнал вто-рого бегуна и занял его место, так что ты теперь на второй позиции. Попробуй не ошибиться во втором вопросе.

2. Ты обогнал последнего бегуна. На какой позиции ты те-перь находишься?

Ответ. Если ты ответил – на предпоследнем, ты опять абсолютно не прав. Подумай. Как можно обогнать бегуна, иду-щего последним? Если ты бежишь за ним, значит, он не послед-ний. Ответ – это невозможно.

3. Возьми 1000. Прибавь 40. Прибавь ещё раз тысячу. Прибавь 30. Ещё 1000. Плюс 20. Плюс 1000. И плюс 10. Что получилось?

Ответ. Опять неверно. Правильный ответ 4100. Попробуй пересчитать на калькуляторе. Сегодня точно не твой день. Но, может быть, получится с последним вопросом?

4. У отца Мэри есть пять дочерей: Чача, Чече, Чичи, Чочо. Как зовут пятую дочь? Отвечай быстро.

Ответ. Чучу? Нет! Конечно, её зовут Мэри. Прочти ещё раз вопрос!


169


170

Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то и в жизни он всегда будет только подражать, копировать.

Лев Николаевич Толстой,

русский писатель


171

Упражнения с карточками 579. Используя все пять карточек с рисунка, составь примеры так, чтобы получилось 20; чтобы полу-чилось 14. Какие ещё примеры можно составить, используя эти карточки?

Больше, чем кажется! 580. Покажи, как надо расположить отрезок с рисунка так, чтобы можно было насчитать больше 10 отрезков. Новые де-ления ставить нельзя.

Числа спрятались 581. В слове столица спряталось число 100. Запиши слова, в которых спрятались числа 3, 5 или 7.

Всего три цифры

582. Мы используем для записи любого числа десять знаков – цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. У древних римлян для обозначения чисел до пяти тысяч использовались семь знаков: I, V, X, L, C, D, M.

Как с помощью всего трёх знаков записать любое число? Придумай три необычные цифры и покажи, как с их помощью записать любое число.

Новый взгляд на цифры 583. Посмотри на изображения цифр, кото-рыми мы пользуемся. В изображении цифры 1 – один угол, цифры 2 – два угла, цифры 3 –

9 9 2 + +


172

три угла. Подумай, как по такому закону изобразить цифры 4, 8 и 0. Придумай свой способ записи цифр, объясняющий их.

Квадратные дырки

584. С помощью обычной дрели можно свер-лить круглые отверстия. А можно ли с её помо-щью просверлить квадратное отверстие? Как это сделать? Предложи несколько вариантов.

Эй, фигуры, стройся в ряд!

585. Нарисуй пропущенные фигуры. Запиши принцип, кото-рым ты пользовался.

Составь свой ряд фигур и напиши, по какому принципу он построен.

Числа не для счёта

586. Порой в жизни мы не выполняем арифмети-ческие операции с числами: вряд ли кто-то ска-жет, что знания отличника равны сумме знаний двоечника и троечника (5 = 2 + 3), или что бы вы сказали о человеке, который занимается сложе-

нием цифр в телефонных номерах? Приведи 3–4 примера, где числа используются в жизни не для вычислений.

Время и шнурки 587. Представь, что у тебя есть два разных по длине куска быстрогорящего шнура. Каждый из них горит в течение ровно одного часа, но неравномерно: есть фрагменты, которые горят


173

быстро, а есть такие, которые горят мед-ленно. Каким образом можно узнать, что прошло ровно 45 минут, используя только эти два куска шнура и зажигалку? Предложи по возможности несколько вариантов.

Развёртка куба

588. Привычная развёртка куба требует по-лоски бумаги шириной не менее трёх квад-ратов-граней. Можно ли сделать развёртку куба из полоски бумаги шириной в два квадрата? А меньше? Нарисуй и объясни.

Злой волшебник Местамименяйка

589. Злой волшебник Местамименяйка ска-зал людям: «В математике в любом равен-стве правую и левую части можно поменять местами: 2 + 3 = 5 то же самое, что и 5 = 2 + 3. Поэтому теперь в любом предложении, ска-занном вами, слова сами будут меняться ме-стами». Света сказала Борису: «Вчера мы хо-дили в кино», а Борис услышал: «Мы вчера ходили в кино».

Как ты думаешь, всегда ли теперь люди смогут понять то, что им говорят? Приведи 2–3 примера, доказывающих твоё мнение.

Счёт без чисел

590. Древние люди не умели считать. Но пастухи всегда знали, все ли овцы вернулись вечером в загон. Напиши, как, не умея счи-тать, проверить, все ли овцы на месте. При-веди несколько примеров.


174

Катящийся карандаш 591. Прикрепим карандаш к колесу так, как пока-зано на рисунке. Будем катить колесо вдоль стены. Какой след оставит карандаш на стене? Нарисуй.

Как или вдоль чего нужно катить колесо, чтобы след карандаша был линией с разрывами?

О пицце

592. Возьмём квадратную пиццу и свернём её в трубочку. Как, сделав один прямолинейный раз-рез, получить две части? Три части? Ещё больше частей? Сколько частей пиццы можно получить, если делить её двумя прямолинейными разре-зами? Объясни, как это сделать.

Крепкая дружба

593. Если куб дружит с числом, то квадрат может дружить с 51, а отрезок – с 1. С чем тогда могут дружить остальные цифры? Предложи несколько вариантов.

Неизвестный язык

594. На планете Х есть всего две цифры: ◊ и ∆.

Нам пришло числовое сообщение от них: ∆ ◊∆ ◊◊∆ ∆◊.

Учёным удалось расшифровать, что ◊ – это 0, ∆ – это 1, ◊◊ – это 2, ◊∆ – это 3, ∆◊ – это 4, ∆∆ – это 5. Получается, что они нам передали: 1 3 7 4.

Как мы должны передать в ответ число 34, чтобы они поняли, что это не две цифры 3 и 4, а именно число? Запиши свои рассуждения.


175

Жидкость в километрах 595. Мы привыкли измерять длину метрами, вес – килограммами, объём – литрами. А может быть, удобнее измерять объём метрами, а длину – кило-граммами? Предложи варианты, как можно изме-рять объём жидкости в метрах. Предложи вари-анты, как можно измерять длину в килограммах.

Шифрулька 596. Изучи интересную таблицу.

А Б В 1 Цифра 3 2 5 2 Форма Круг Квадрат Треугольник 3 Операция Сложение Вычитание Вокруг

Её забыл волшебник Шифрулька, который всё вокруг шифрует. Скажешь ему: «Число 5», он ответит: «1А3А1Б». Нарисуешь , а он в ответ: «2А3В2Б». Подумай, как Шиф-рулька зашифрует словосочетание «число 7».

А что волшебник ответит на рисунок ? Какие ещё словосочетания, рисунки и как мог зашифро-

вать волшебник с помощью этой таблицы?

История арифметики

597. Из истории арифметики мы знаем, что сна-чала людям было известно только сложение чи-сел, а уже затем появилось умножение. Сложение было нужно для подсчета овец после объедине-ния стада, подсчёта собранного урожая за не-сколько дней. Как ты думаешь, с чем связано по-явление умножения?


176

Ровный, как шар

598. Шар – удивительное геометрическое тело. Про него говорят, что он постоянной ширины, и, как бы мы на него ни смотрели, всегда будем ви-деть одно и то же. Нарисуй ещё хотя бы одно та-кое удивительное тело или опиши его.

Вытянутая точка

599. Ваня нашёл старую сломанную подзорную трубу, которая каждую точку превращает в пря-мую, а каждую прямую – в точку.

Что увидит Ваня в трубе, если на рисунке изображена точка на прямой; две точки на пря-мой? На что он смотрит, если видит три точки на прямой? Предложи свои варианты использования этой не-обычной подзорной трубы.

Египетская пирамида 600. На уроке истории рассказали удиви-тельный факт: оказывается, каждая египет-ская пирамида построена идеально ровно, а верхушка пирамиды – прямо по её центру.

Как древние строители, не имея совре-менных измерительных инструментов, так

точно вычислили расположение центра пирамиды? Помни: линейки, уровня и других инструментов у них не было.

Короткий кран

601. Петя после школы зашёл к своему папе на работу. Он строит многоэтажные дома. Дом почти построен, осталось сделать только крышу. Но вот проблема: строительный кран не может поднять на такую высоту нужные материалы – не


177

хватает длины стрелы. И сами строители не в силах их поднять – слишком тяжёлые.

Вечером папа вернулся с работы и расска-зал Пете, что крышу достроили. Подумай, как строителям удалось поднять материалы наверх.

Весы из котелка 602. Вася с друзьями пошли в поход. Они останови-лись около озера, насобирали много вкусных ягод. Как узнать, сколько весят ягоды? Вася задумался: с собой у них есть только котелок и кусок мыла в за-водской упаковке.

Предложи способ найти вес собранных ягод с помощью имеющихся подручных средств.

Проблемная операция 603. Любая математическая операция связана с решением какой-нибудь проблемы.

Например, раньше людям было известно лишь сложение, а уже затем появилось умноже-ние. Для операции сложения возникла про-блема: нужно было многократно складывать одинаковые сла-гаемые (например, при подсчёте клеточек в прямоугольнике).

Как ты думаешь, с чем было связано появление операции вычитания? Объясни свои догадки.

Вспомни ещё какую-нибудь математическую операцию и догадайся, как она появилась.

Язык камушков 604. С инопланетянами мы можем общаться, скорее всего, только на языке чисел. Представь, что ты встретил иноплане-тян, а в руках у тебя – горстка камушков. Как с их помощью по-казать наличие интеллекта и обменяться информацией?

Как сообщить, из скольких человек состоит твоя семья?


178

Как сообщить, что на Земле живёт много людей? Как сообщить, что в кабинете стульев столько же, сколько

учеников? А что бы ты ещё мог сообщить с помощью камушков вне-

земному существу?

Цифробуквопутаница 605. Однажды буквы перепутались с циф-рами и числами: вместо цифры «1» стала писаться буква «А», вместо цифры «2» – буква «Б», вместо цифры «3» – буква «В» и т. д. Хватит ли теперь букв в русском ал-фавите, чтобы составить любое число?

Какое число может обозначать теперь слово «АБА»? Пред-ложи не менее двух вариантов и поясни их.

Куб из соломинок

606. Интересную головоломку придумал Го-вард Флейшер: он соединил 12 соломинок (трубочек) одинаковой длины ниткой и полу-чил куб (см. рисунок). Эта конструкция легко деформируется. Нарисуй 3–4 варианта гео-метрических фигур, которые могут полу-читься при её деформации.

Проделки волшебника 607. Волшебник Перевёртыш пытается изменить геометрические фигуры: все точки растягивает в отрезки, а отрезки, наоборот, сжимает в точки.

Как ни старался волшебник заколдовать тре-угольник, он остался таким, каким был, выдер-жал колдовство. Приведи примеры фигур, кото-рые тоже выдержат колдовство.

Приведи примеры фигур, которые не выдер-жат колдовства и превратятся в другие фигуры.


179

Круги на воде 608. Наверняка ты не раз видел круги, которые образуются от брошенного в спокойную воду камня. И это понятно: от камня волна идёт с одинаковой скоростью по воде во все стороны, вот и получаются круги. А как обстоит дело в воде текучей, ко-гда камень брошен в воду быстрой реки? Какую форму будут иметь волны? Объясни свою точку зрения.

Гласные сбежали

609. Перед тобой буквы К, Л, Ч, К. Вставь гласные буквы, чтобы получились слова. Запиши их. Используй в словах все перечисленные согласные буквы в данной последовательно-сти. Например: КУЛЁЧЕК.

Буквенная арифметика

610. Если дано МАМА и КИТЫ, тогда 1 + 1 = МАКИ,

если дано ПИЛЫ и КИТЫ, тогда 1 + 1 = ПИКИ, если дано ШУРУП и РЫБА, тогда 1 + 2 = ШУБА. На что нужно заменить знаки вопроса, чтобы сохранился тот же принцип получения новых слов: если дано ? и ?, то получилось 2 + 1 = ПАПА, если дано ? и ? и ?, то получилось 1 + 2 + 2 = ГИТАРА, если дано ? и ? и ?, то получилось 2 + 1 + 2 = ТОРПЕДА.

Предложи 2–3 своих варианта таких загадок.

Слова в клеточках

611. Каждое из слов уточка и опять можно записать в двух клеточках, как по-казано на рисунке.

Запиши в клеточки слова семья и исток. Придумай и запиши в клеточки свои слова.

у . о 5


180

Из мухи сделали слона… 612. Вовочка решил поиграть со словами. Он утверждает, что, каждый раз меняя в слове только одну букву, можно составлять целые цепочки осмысленных слов.

Например, из «мухи» можно сделать «слона» как это показано на рисунке.

Напиши, как из «папы» получить «лису». Придумай свои цепочки слов.

Арифметическая грамматика 613. Оказывается, можно складывать, вычитать и умножать не только числа, но и слова и их части!

Например: КАР + ТО + ФЕЛЬДШЕР – ДШЕР = КАРТОФЕЛЬ. Запиши результат вычисления: ГРУША – ША + 2 × (ПАР – АР) + АВРАЛ – ВРАЛ = … Придумай свои арифметические выражения со словами.

Кругозвучие

614. Существуют слова, которые при быстром их повторении превращаются в другие слова.

Попробуй быстро произнести несколько раз подряд слово «марка»: маркамаркамарка-марка… Можно услышать слово «комар»!

Такие слова называются кругозвучиями. Попробуй проделать то же самое со словами «мышка» или

«омлет». Какие ещё кругозвучия ты можешь предложить?

Огромное дерево

615. Нарисуй очень-очень большое дерево. Но помни: места на листочке мало! Поэтому используй свою смекалку.


181

Китайская азбука Морзе 616. Азбука Морзе – это система двух знаков для замещения букв алфавита по особым пра-вилам для передачи сообщений.

Известно, однако, что китайские иеро-глифы – это не буквы, а знаки понятий. Один знак – «дом», дру-гой – «дерево», третий – «смотреть» и т. д. Как, на твой взгляд, китайским радистам удаётся передавать сообщения?

Проблема паучка

617. Две опоры стоят далеко друг от друга. Под-скажи паучку, как натянуть между ними первую нить. Придумай три способа.

Самый-самый 618. Нарисуй на одном листе самого быстрого человека, а на другом – самого медленного.

Примеры изменений 619. Когда горит свеча, меняются: размер, форма и масса свечи; размер и форма пламени; температура воздуха в комнате; подставка под свечой (покрыва-ется воском)… А что изменяется при кипении воды?

Герда спасает Кая 620. Чтобы спасти Кая, Герда пришла в замок Снежной Коро-левы. Слуги тщательно осматривали всех входящих: нет ли чего горячего или горящего, что может навредить Королеве? А для Герды это единственный способ уничтожить Снежную Королеву. Как же Герде пронести что-нибудь горячее или го-рящее, чтобы слуги этого не заметили?


182

Огромная киска в маленькой миске 621. Нарисуй сюжет стихотворения.

Жила-была огромная киска В маленькой миске. За одну минуту съедала Половину вокзала. Вот какая огромная киска В маленькой миске.

И быстро, и медленно

622. Возьми три листа. На первом нарисуй нечто очень быст-рое, на втором – очень медленное, а на третьем – и очень быст-рое, и очень медленное одновременно.

Эффект бумеранга 623. Представь, что ты кидаешь шарик, а он воз-вращается к тебе, как бумеранг. Опиши, при каких условиях это может произойти.

Необычные часы 624. Нарисуй такие часы, которыми удобно было бы пользоваться даже человеку, который не знает цифр и не умеет считать.

Кубические овощи и фрукты

625. Во многих странах ведутся исследования по выведению овощей и фруктов в форме ку-бов или параллелепипедов. Такая форма удобна для транспортировки. Предложи и нарисуй хотя бы два способа, которые позво-

лили бы вырастить овощи или фрукты такой формы.


183

Потеря измерения 626. Нарисуй мир, в котором пропали все измерительные при-боры (линейка, весы и т. д.).

Числа без цифр 627. Злой волшебник отправил Славу в прошлое – в то время, когда люди не умели считать и не знали цифр. Помоги Славе объяснить местным жителям, что он прибыл из 2014 года.

Искажения без разрыва

628. Попробуй разгадать принцип работы удиви-тельной подзорной трубы, глядя в которую на чашку можно увидеть кольцо; глядя на гантели – два бруска. А что можно увидеть в трубе, глядя, например, на карнавальную маску? Предложи свои варианты использования трубы.

Скорость роста баобаба

629. Дома у Василисы в горшке посажен баобаб. Василиса очень любопытная и хочет знать, насколько быстро он растёт. Помоги ей опреде-лить скорость роста растения.

Не расцепляя рук 630. Представь, что всё вокруг состоит из ма-леньких человечков, которые крепко дер-жатся за руки. Например, колесо можно пред-ставить так, как нарисовано справа.


184

Если человечки будут менять своё по-ложение, не расцепляя рук, то, например, из чашки может получиться гиря.

Представь, что следующие объекты тоже состоят из ма-леньких человечков, которые не расцепляют рук. Какие пре-вращения могут произойти с цепью? С картонной коробкой? Приведи свои примеры.

Считаем ворон 631. В городе часто можно наблюдать большие стаи птиц, пролетающих с высокой скоростью. Подсчитать непосредственно число птиц в стае не удастся – их много, да и скорость велика. Предложи способ, позволяющий как можно точ-нее определить число птиц в стае.

Нулевой посёлок 632. Как-то в Нулевой посёлок, в котором жили только Нули, зашли Математические знаки, чтобы заселить новых жителей.

Сначала взялся за работу знак Минус: 0 – 0 = 0, даже 0 – 0 – 0 = 0. Потом попытался знак Плюс: 0 + 0 = 0, даже 0 + 0 + 0 = 0. Затем попро-

бовал и знак Умножить: 0 · 0 = 0, даже 0 · 0 · 0 = 0. «Что же это за дела? – Удивился один из Нулей. – Отнимали –

и ничего не вычли. Складывали – и ничего не добавили. Умно-жали – и не преумножили. Как теперь поступить?»

Предложи свои варианты действия с нулями, после кото-рых можно получить не ноль.

Полёт мухи 633. Нарисуй муху так, чтобы всем было понятно, что она передвигается и с очень большой, и с очень маленькой скоростью.


185

Ручеёк из светлячков 634. Представь, что солнечный лучик – это то-ненький ручеёк, но не воды, а малюсеньких свет-лячков. Опиши закономерности движения такого ручейка (например, как они могут менять движе-ние при отражении от предметов).

Древние цифры 635. Уже в древности людям приходилось сталкиваться с большими числами, запомнить которые трудно или даже не-возможно. Поэтому нужно было придумать, как их записы-вать. В разных странах это делалось по-разному. Очень разно-образна и замысловата запись чисел у разных народов!

Например, в Древнем Китае использовалась цифровая за-пись чисел. Так выглядели древние китайские цифры:

Подумай, как могла выглядеть китайская цифра «ноль». Придумай принцип записи больших чисел китайскими

цифрами. Запиши число 2014.

Почти пи

636. В математике много интересных чисел, которые удобны для использования. Напри-мер, если измерить длину арены любого цирка (арена – это окружность) и разделить на расстояние от её края до центра арены (ра-

диус), то всегда будет получаться одно и то же число – число пи. Предложи новое интересное для математики число, опи-сав, как его можно найти и что в нём интересного.


186

Видимый звук 637. Считается, что звук – это ощущение. Звуко-вые волны улавливаются слуховым органом и вызывают в нём раздражение. Иногда, не слыша звук, мы можем представлять его, наблюдая за тем или иным объектом.

Изобрази картинку для каждого звука, чтобы можно было понять, что нарисован именно этот звук. Приведи свои примеры.

Давненько не было дождя!

638. Представь, что ты вернулся в далекое про-шлое, когда ещё не знали, что такое цифры, и не умели считать. Как узнать, было ли два дня назад солнце? А неделю назад шёл дождь? (Помни: не-деля – это семь дней, поэтому они тоже не могли

её так называть.) Что ещё ты бы спросил?

Солнечная проекция 639. Посмотри на фотографию. Можно за-метить, что прямоугольник (железный за-бор) отбрасывает тень, по форме похожую на треугольник.

Предложи свои варианты возможных теней этого забора (например, тень от за-бора превратилась в отрезок или тень от за-бора стала квадратной).

Измерим информацию 640. Каждый день мы что-то видим, слышим, ощущаем, то есть получаем информацию. Иногда мы получаем очень много информации, а иногда её недостаточно. Как измерить, сколько информации мы получили? Мы умеем измерять время, массу,


187

объём и даже научились измерять количество энергии. А вот информацию измерить сложнее.

Предложи свой оригинальный способ сравнения инфор-мации по весу.

Хватаем точки 641. В математике много геометрических фигур: квадраты, треугольники… Представь, что перед тобой квадрат с диагоналями. Если взять за точку А и потащить вверх, то можно заметить, что перед тобой появится тело, называющееся пирамидой.

Придумай разные варианты движения точки или точек, чтобы из геометрических фигур полу-чались интересные объёмные тела (например, из круга – цилиндр, из восьмиугольника – куб).

Вращающийся круг

642. Представь, что у тебя есть круг, вырезанный из картона. Если его быстро вращать вокруг от-резка 1, то можно увидеть шар.

Опиши (или нарисуй), какую фигуру можно бу-дет увидеть, если круг вращать вокруг пронумерованных от-резков. Предложи свои варианты вращения круга.

Плавкие колёса

643. Летом бывают очень жаркие дни. За горо-дом на обочинах останавливаются большегруз-ные машины, чтобы остудить шины, нагретые до очень высокой температуры. Шины в такую

погоду быстро нагреваются от трения об асфальт, и сцепление с дорогой становится хуже.

Предложи несколько реалистичных вариантов, что нужно сделать водителям, чтобы меньше останавливаться для охла-ждения шин.

А

А

1 2

3


188

Площадь страны

644. Ты наверняка уже научился пользоваться гео-графической картой. Как можно узнать по ней пло-щадь какой-нибудь страны как можно точнее?

Сложное сложение

645. Витя отправился в прошлое – в то время, когда люди не умели складывать и даже не знали цифр. Помоги Вите объяс-нить местным жителям, что сумма чисел 2 и 3 равна 5.

Бумажная трубочка

646. Если скрутить лист бумаги, то получится много-слойная трубочка, в которую можно легко засунуть палец и вынуть его обратно. Если покрутить за ко-нец трубочки в направлении свёртывания бумаги, то её слои сожмутся и достать палец будет сложно. Где в жизни можно применить этот эффект?

Грибные весы 647. Семён и его друзья пошли в поход. Насобирав грибов, они дошли до реки и решили отдохнуть. Тут Семён вскрикнул: «Я знаю, как определить, сколько весят собранные нами грибы, хотя у нас с собой только пачки печенья да вёдра». Что мог предложить Семён?

Число волос 648. Коля прочитал, что каждый волос человека живёт примерно 1 000 дней, а потом выпадает. В среднем в день выпадает 100 волос и столько же появляется новых. Как Коле, используя эти дан-ные, посчитать число волос у человека?


189

Цифровая последовательность 649. Компьютер – уникальное устройство, кото-рое позволяет общаться с друзьями, играть, смот-реть фильмы и работать с документами. Чтобы хранить обычную картинку или музыкальное произведение в памяти компьютера, их необхо-димо представить в цифровом виде.

Предложи несколько способов, как можно картинку или музыкальный файл однозначно представить в виде последо-вательности цифр.

Несуществующий размер 650. Как ты знаешь, в сказках бывает всё. Даже то, чего нет в обычной жизни, например, несуществующий размер. Как это могло бы выглядеть? Нарисуй. По рисунку должно быть по-нятно, что такого размера не существует.


190

Несколько слов о кружках по математике

Подходы к математическому образованию школьников в современ-ной педагогической науке предполагают создание условий для всесто-роннего формирования активной творческой личности, заинтересован-ной в успехе своего труда, умеющей ставить и решать проблемные задачи как в учебной, так и в повседневной деятельности. Большая часть этих требований может быть достигнута наиболее эффективно, если в обра-зовательном процессе будет создан целостный методический комплекс, включающий наравне с качественным основным математическим обра-зованием систему дополнительного образования школьников.

Система дополнительного математического образования может со-держать различные компоненты6, среди которых наиболее значимыми являются занятия математического кружка в одном из предусмотренных форматов, система математических соревнований, школьная математи-ческая печать, работа пришкольного математического лагеря. Все эти формы являются взаимопроникающими и работают на единую систему задач: привитие учащимся интереса к предмету, развитие их математи-ческого кругозора, творческих способностей, формирование навыков са-мостоятельной работы, что определяет в целом повышение качества ма-тематической подготовки школьников.

Основным содержательным компонентом обозначенной системы, бесспорно, являются занятия математического кружка. Традиционно сложилось, что к участию в кружке привлекаются наиболее заинтере-сованные и способные учащиеся. Это определяет и формат его прове-дения. Так, М. Б. Балк7 дает развернутую методику проведения занятий кружка по математике, сводящуюся в целом к обсуждению той или иной тематики с докладами участников кружка. И. С. Петраков8 пред-лагает следующую структуру занятия кружка:

доклад одного из участников кружка на 5–10 минут по истории мате-матики, сообщение руководителя или участника кружка по теме занятия;

решение задач повышенной сложности; решение задач занимательного характера и задач на смекалку; ознакомление участников кружка с задачами, предлагавшимися

при поступлении в вузы; ответы на вопросы учащихся.

6 Например: Горев П. М. Приобщение к математическому творчеству: Дополнительное ма-тематическое образование. Saarbrucken: LAPLAMBERT Academic Publishing, 2012. 156 с. 7 Балк М. Б. Организация и содержание внеклассных занятий по математике. М.: ГУПИ МП РСФСР, 1956. 248 с. 8 Петраков И. С. Математические кружки в 8–10 классах. М.: Просвещение, 1987. 224 с.


191

Примерно тех же взглядов придерживается и А. В. Фарков9. Однако такие формы проведения занятий кружка подходят скорее для уча-щихся старших классов с высоким уровнем мотивации к занятиям.

Мы же, следуя рекомендациям авторов книги «Ленинградские ма-тематические кружки»10, начинаем внеклассную работу по математике с учащимися младшего возраста – учениками 5-х классов, а в некоторых случаях и более младших ступеней обучения (3–4-е классы).

Еще одним аргументом, способствовавшим в значительной мере пересмотру наших взглядов на структуру кружка, явилась возмож-ность проведения занятий с целым классом без какого-либо отбора учащихся. Такие занятия проводятся один раз в неделю и являются связующим звеном между основным и дополнительным (в традицион-ном понимании) образованием школьников, расширяя и углубляя их знания по предмету. Очевидно, что в таком случае форма работы должна быть максимально приближена к урочной, но сводить занятия кружка полностью к ней (естественно, с другим содержанием) абсо-лютно нецелесообразно – перед нами стоят другие задачи.

Вернемся еще раз к рекомендациям авторов книги «Ленинград-ские математические кружки», выделив из них те, которыми мы руко-водствовались при разработке структуры кружковых занятий:

неправильно заниматься со школьниками младших классов одной темой в течение продолжительного промежутка времени; даже в рамках одного занятия полезно иногда сменить направление деятельности;

необходимо постоянно возвращаться к пройденному; это можно делать, предлагая задачи на олимпиадах и других соревнованиях;

необходимо постоянно обращаться к нестандартным и «спор-тивным» формам проведения занятий.

Учитывая эти рекомендации и собственные соображения, мы разра-ботали систему дополнительных занятий по математике под общим названием «Час развивающей математики», имеющую циклическую структуру и состоящую из пяти этапов: решение задач по специально раз-работанному пособию; решение задач в форме соревнования; урок экспе-риментальной математики; семинар по внеклассному чтению; урок акту-ализации научного творчества.

Остановимся на каждом из них подробнее. Занятия по решению задач могут быть построены по-разному. Один из вариантов – решение задач, не имеющих общей тематики.

Такое занятие организуется как самостоятельная работа детей над одной 9 Фарков А. В. Внеклассная работа по математике. 5–11 классы. М.: Айрис-пресс, 2008. 288 с. 10 Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки. Киров: АСА, 1994. 272 с.


192

из серий задач первой части настоящего пособия с последующим фрон-тальным обсуждением различных вариантов решения этих задач. Каж-дая серия состоит из шести задач, среди которых есть задача, решаемая арифметическим способом, задачи логического и комбинаторного харак-тера, задача, связанная с геометрическими фигурами, и задача на сме-калку. Важным при такой работе является акцент на вопросе «Почему именно так решили задачу?». Оставшееся на занятии время можно посвя-тить математической игре из восьмой части пособия или задачам-голо-воломкам, которые размещены в шестой части этой книги.

Другой вариант организации занятия по решению задач – темати-ческое занятие по заданиям «олимпиадной» математики. В пособии этому посвящена вторая часть. В ней содержатся отдельные идеи и ме-тоды математики, представленные в виде подборок задач на опреде-лённую тему и разделенные на две части: задачи для совместного с учителем обсуждения в классе (до черты) и для самостоятельного до-машнего обдумывания (после черты) с проверкой на следующем заня-тии по решению задач.

Возможны и другие многочисленные варианты организации заня-тий по решению математических задач, однако здесь мы не останавли-ваемся на них, отдавая право выбора форм учителю-практику.

Решение задач в форме соревнования расширяет и дополняет разо-бранную на первом этапе задачную тематику. Целью таких занятий яв-ляется создание духа соревновательности, так необходимого при куль-тивировании интереса школьников к предмету. Здесь нужно выбирать такие формы соревнований, чтобы они были не продолжительны по времени, поскольку учащиеся 5–6-х классов быстро утомляются даже при проведении занятий в игровой форме. Нами практикуются, напри-мер, «Математическая карусель», «Математический брейн-ринг», «Ма-тематический хоккей», «Перестрелка», «Рыбалка» и др.11 Такие сорев-нования могут быть проведены как в рамках занятия, так и после уро-ков.

Уроки экспериментальной математики направлены на реализа-цию деятельностного подхода в обучении математике, а именно на обучение через эксперимент. Например, здесь может быть использован как арифметический, так и геометрический материал, требующий от школьников постановки гипотезы, следующей из неполной индукции перебора частных случаев. Такие уроки могут быть организованы с ис-пользованием четвертой части настоящего пособия. Также на таких

11 О них пойдет речь в готовящемся пособии «Математические соревнования в лет-нем пришкольном лагере. 5–6 классы: Сборник дидактических материалов» серии «Из опыта работы Лицея № 21 г. Кирова. Математика».


193

уроках школьникам может быть предложено самостоятельное изго-товление головоломок комбинаторного (таких как, например, «Тан-грам») или топологического (например, веревочных головоломок) ха-рактера. Описания некоторых головоломок с инструкциями по изго-товлению содержатся в седьмой части книги.

Семинар по внеклассному чтению предполагает в большей степени активизацию самостоятельной работы учащихся. Частично материал подбирается учителем, но должен быть расширен и дополнен учеником самостоятельно при использовании рекомендованного педагогом списка литературы или материалами глобальной сети Интернет. Доклады школьников заслушиваются, дополняются другими учениками и резю-мируются учителем. Основная цель таких занятий – знакомство уча-щихся с историей математики и ее выдающимися деятелями.

Уроки актуализации научного творчества, пожалуй, являются са-мым неожиданным этапом в проведении дополнительных занятий по математике. Они строятся не только на математическом материале и направлены на знакомство учащихся с основными идеями и методами научного творчества, в частности с элементами теории решения изоб-ретательских задач (ТРИЗ)12. Так, школьники знакомятся с методом проб и ошибок, морфологическим анализом, методом «наоборот», идеей идеального конечного результата, приемами разрешения проти-воречий и генерирования идей, методами системного мышления и многим другим. Методика и адаптированные для младших школьни-ков задания содержатся в разработанных нами курсах научного твор-чества, указанных в библиографическом списке.

Таким образом, циклическая пятиэтапная модель дополнитель-ных занятий по математике в совокупности с качественным основным образовательным процессом наиболее целостно, на наш взгляд, реали-зует задачи математического образования младших школьников. Ре-зультатом такой работы становятся регулярные победы учащихся на соревнованиях городского, областного уровней, значительные успехи в овладении предметом.

Перспективное направление совершенствования предложенной мо-дели мы видим в дополнении ее аспектами, связанными с широким внед-рением технологий удаленного обучения, а именно: дистанционного со-провождения деятельности учащихся в течение образовательного пери-ода и расширения модели на несколько учебных заведений с реализацией сетевого взаимодействия педагогов и разработчиков программ.

12 Горев П. М., Утёмов В. В. Научное творчество: Практическое руководство по раз-витию креативного мышления. Методы и приемы ТРИЗ. М.: Книжный дом «ЛИБРО-КОМ», 2014. 112 с.


194

Библиографический список Книги с задачами, головоломками, играми, фокусами и другими полезными материалами для внеклассного чтения по математике

500 задач на сообразительность: Книга для детей и родителей. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1998. – 320 с.

Агаханов Н. Х., Богданов И. И., Кожевников П. А. и др. Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 1. – М.: Просвещение, 2008. – 192 с.

Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Всероссийские олим-пиады. Вып. 2. – М.: Просвещение, 2009. – 159 с.

Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. 6–11 классы. – М.: Просвещение, 2010. – 192 с.

Агаханов Н. Х., Подлипский О. К., Рубанов И. С. Математика. Всерос-сийские олимпиады. Вып. 3. – М.: Просвещение, 2011. – 207 с.

Акимова С. Занимательная математика. – СПб.: Тригон, 1997. – 608 с. Аленков Ю. А. 650 головоломок и задач на сообразительность. – М.:

АСТ, 2005. – 285 с. Аменицкий Н. Н., Сахаров И. П. Забавная арифметика. – М.: Просве-

щение, 2008. – 144 с. Арнольд В. И. Задачи для детей от 5 до 15 лет. – М.: МЦНМО, 2004. – 16 с. Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. – М.: Наука,

1975. – 112 с. Баврин И. И., Фрибус Е. А. Старинные задачи. – М.: Просвещение,

1994. – 128 с. Байиф Ж.-К. Логические задачи. – М.: Мир, 1983. – 172 с. Балаян Э. Н. 1001 олимпиадная и занимательная задача по матема-

тике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2007. – 364 с. Балаян Э. Н. 700 лучших олимпиадных и занимательных задач по

математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2013. – 201 с. Барр С. Россыпи головоломок. – М.: Мир, 1987. – 415 с. Бахтина Т. П. Раз задачка, два задачка… – Минск: Аверсэв, 2008. – 219 с. Блум Р. Математические задачки. – М.: Астрель, 2006. – 92 с. Болховитинов В. Н., Колтовой Б. И., Лаговский И. К. Твоё свободное

время. Занимательные задачи, опыты, игры. – М.: Дет. лит., 1975. – 464 с. Большая книга головоломок / Д. А. Гусев, М. Гарднер, Л. Кинг и др. –

М.: Астрель, 2008. – 478 с. Брэгдон А., Феллоуз Л. Игры для ума. – М.: Эксмо, 2002. – 128 с. Быльцов С. Логические головоломки и задачи. Занимательная ма-

тематика для всей семьи. – СПб.: Питер, 2010. – 160 с.


195

Быльцов С. Математические игры, пасьянсы и фокусы. Заниматель-ная математика для всей семьи. – СПб.: Питер, 2010. – 160 с.

Быльцов С. Ф. Занимательная математика. – СПб.: Питер, 2005. – 352 с. Галкин Е. В. Нестандартные задачи по математике: Задачи логиче-

ского характера. – М.: Просвещение, 1996. – 160 с. Гамов Г., Стерн М. Занимательная математика. – Ижевск: Науч.-изд.

центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 88 с. Гарднер М. Есть идея! – М.: Мир, 1982. – 305 с. Гарднер М. Крестики-нолики. – М.: Мир, 1988. – 352 с. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир,

1999. – 447 с. Гарднер М. Математические досуги. – М.: Мир, 2000. – 443 с. Гарднер М. Математические новеллы. – М.: Мир, 2000. – 415 с. Гарднер М. Математические чудеса и тайны: Математические фо-

кусы и головоломки. – М.: Наука, 1978. – 128 с. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математи-

ческие кружки. – Киров: Изд-во «АСА», 1994. – 272 с. Гик Е. Я. Занимательные математические игры. – М.: Знание, 1987. – 160 с. Головоломки своими руками / Сост. Н. Н. Докучаева. – СПб.: Кри-

сталл, 1997. – 224 с. Горбачев Н. В. Сборник олимпиадных задач по математике. – М.:

МЦНМО, 2004. – 560 с. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. –

М.: Просвещение, 1999. – 287 с. Доморяд А. П. Математические игры и развлечения. – М.: Гос. изд-

во физ.-мат. лит., 1961. – 268 с. Дышинский Е. А. Игротека математического кружка. – М.: Просве-

щение, 1970. – 141 с. Дьюдени Г. Кентерберийские головоломки. – М.: Мир, 1979. – 353 с. Дьюдени Г. Э. 200 знаменитых головоломок мира. – М.: АСТ, 1999. – 352 с. Дьюдени Г. Э. 520 головоломок. – М.: Мир, 2000. – 333 с. Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание. – М.: МЦНМО, 2002. – 120 с. Еленьский Щ. По следам Пифагора. – М.: Детгиз, 1961. – 488 с. Зайкин М. И. Математический тренинг: Развиваем комбинацион-

ные способности. – М.: ВЛАДОС, 1996. – 176 с. Занимательные дидактические материалы по математике: Сбор-

ник заданий / Авт.-сост. В. В. Трошин. – М.: Глобус, 2008. – 298 с. Занимательные дидактические материалы по математике: Сборник

заданий. Выпуск 2 / Авт.-сост. В. В. Трошин. – М.: Глобус, 2008. – 282 с. Звёздные головоломки. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1998. – 112 с. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982. – 208 с. Иоффе Э. Математика для всех. – М.: УНИВЕР-ПРЕСС, 2005. – 464 с.


196

Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные за-дачи. – М.: МЦНМО, 2004. – 96 с.

Картер Ф., Рассел К. Логические головоломки. – М.: Астрель, 2007. – 223 с. Коваль С. От развлечения к знаниям: Математическая смесь. – Вар-

шава, 1972. – 538 с. Козлова Е. Г. Сказки и подсказки (задачи для математического

кружка). – М.: МЦНМО, 2006. – 165 с. Коликов А. Ф., Коликов А. В. Изобретательность в вычислениях. – М.:

Дрофа, 2003. – 80 с. Конфорович А. Г. Математика лабиринта. – Киев: Рад. шк., 1987. – 136 с. Кордемский Б. А. Математическая смекалка. – М.: Изд. дом «ОНИКС»,

2000. – 576 с. Кордемский Б. А. Математические завлекалки. – М.: Изд. дом

«ОНИКС», 2000. – 512 с. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Математи-

ческие головоломки и задачи для любознательных. – М.: Просвещение, 1996. – 159 с.

Кордемский Б. А., Русалев Н. В. Удивительный квадрат. – М.: Столе-тие, 1994. – 160 с.

Костромина С. Загадки, ребусы, лабиринты и головоломки. 100 волшебных игр для развития ребенка. – М.: АСТ, 2009. – 160 с.

Латотин Л. А., Ситкевич И. И., Чеботаревский Б. Д. Решаем нестан-дартные задачи: 5-й кл. – Минск: Нар. асвета, 2005. – 143 с.

Летчиков А. В. Принцип Дирихле. Задачи с указаниями и решени-ями. – Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1992. – 108 с.

Лихтарников Л. М. Занимательные логические задачи. – СПб.: Лань, 1996. – 125 с.

Лихтарников Л. М. Числовые ребусы и способы их решения. – СПб.: Лань, 1996. – 125 с.

Лойд С. Математическая мозаика. – М.: Рипол, 1995. – 352 с. Лоповок Л. М. Математика на досуге. – М.: Просвещение, 1981. – 158 с. Магия чисел и фигур. Занимательные материалы по математике /

Авт.-сост. В. В. Трошин. – М.: Глобус, 2007. – 382 с. Мадер В. В. Математический детектив. – М.: Мнемозина, 2008. – 111 с. Минскин Е. М. От игры к знаниям: Развивающие и познавательные

игры младших школьников. – М.: Просвещение, 1982. – 192 с. Мочалов Л. П. Головоломки и занимательные задачи. – М.: Физ.-мат.

лит., 2006. – 192 с. Мочалов Л. П. Головоломки. – М.: Просвещение, 1996. – 190 с. Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка. – М.: Дрофа,

2006. – 270 с.


197

Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи на смекалку. – М.: Дрофа, 2003. – 240 с.

Новые олимпиады по математике / Авт.-сост. И. С. Маркова. – Ро-стов-на-Дону: Феникс, 2005. – 315 с.

Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. Старинные занима-тельные задачи. – М.: Дрофа, 2006. – 173 с.

Ончукова Л. В. Введение в логику. Логические операции. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. – 124 с.

Ончукова Л. В. Введение в логику. Некоторые методы решения ло-гических задач. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. – 68 с.

Ончукова Л. В. Элементы логики. Логические методы на уроках ма-тематики. – Киров: Изд-во ВГПУ, 2001. – 64 с.

Ончукова Л. В. Элементы логики. Логические операции. – Киров: Изд-во ВГПУ, 2002. – 88 с.

Перельман Я. И. Весёлые задачи. – М.: Астрель, 2003. – 287 с. Перельман Я. И. Живая математика: Математические рассказы и

головоломки. – М.: Наука, 1967. – 160 с. Перельман Я. И. Занимательная арифметика. – М.: ТРИАДА-ЛИ-

ТЕРА, 1994. –168 с. Пять минут на размышление. – М.: Госкультпросветиздат, 1950. – 330 с. Ржевский С. В. Математические развлечения. – Киев: ЕУФИМБ,

1999. – 124 с. Рутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат, 1990. – 128 с. Савин А. П. Математические миниатюры: Занимательная матема-

тика для детей. – М.: Дет. лит., 1998. – 175 с. Самые весёлые головоломки. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1998. – 112 с. Самые трудные головоломки из старинных журналов. – М.: АСТ-

ПРЕСС, 1998. – 96 с. Спивак А. В. Математический праздник. – М.: Бюро Квантум, 2004. – 288 с. Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике. – М.: Просвеще-

ние, 2002. – 207 с. Сухин И. Г. 800 новых логических и математических головоломок. –

М.: Астрель, 2003. – 270 с. Фарков А. В. Математические кружки в школе. 5–8 классы. – М.: Ай-

рис-пресс, 2008. – 144 с. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5–11 классы. –

М.: Айрис-пресс, 2005. – 176 с. Фарков А. В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5–11

классы. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 128 с. Харди Дж. Головоломки, нелепицы, обманки. – М.: АСТ-ПРЕСС,

1998. – 96 с. Шарыгин И. Ф. Математический винегрет. – М.: Мир, 2002. – 221 с.


198

Шарыгин И. Ф. Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие кани-кулы. – М.: Дрофа, 2003. – 224 с.

Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. 5–6 классы. – М.: Дрофа, 2001. – 192 с.

Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Задачи на смекалку. – М.: Просвещение, 2003. – 95 с.

Шевкин А. В. Школьная математическая олимпиада. Задачи и реше-ния. Вып. 1. – М.: ИЛЕКСА, 2008. – 30 с.

Шрайнер А. А. Задачи районных математических олимпиад Новоси-бирской области. – Новосибирск, 2000. – 169 с.

Энциклопедия головоломок: Книга для детей и родителей. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1998. – 320 с.

Ященко И. В. Приглашение на Математический праздник. – М.: МЦНМО, 2009. – 140 с.

Книги с творческими задачами

Гин А. А. Задачи-сказки от кота Потряскина. – М.: Вита-Пресс, 2002. – 80 с. Гин А. А. Сказки-изобреталки от кота Потряскина. – М.: Вита-Пресс,

2010. – 80 с. Гин А. А., Андржеевская И. Ю. 150 творческих задач о том, что нас

окружает. – М.: Вита-Пресс, 2010. – 216 с. Гин А. А., Андржеевская И. Ю. Как не стать добычей // Серия «Биб-

лиотека Мир 2.0» Кн. 3. – М.: Вита-Пресс, 2012. – 160 с. Гин А. А., Андржеевская И. Ю. Хищники нападают // Серия «Библио-

тека Мир 2.0» Кн. 2. – М.: Вита-Пресс, 2012. – 176 с. Гин А. А., Кавтрев А. Ф. Объяснить необъяснимое // Серия «Библио-

тека Мир 2.0» Кн. 1. – М.: Вита-Пресс, 2012. – 176 с. Горев П. М., Утёмов В. В. Волшебные сны Совёнка. – Киров: Изд-во

ВятГГУ, 2012. – 138 с. Горев П. М., Утёмов В. В. Летнее расследование Совёнка. – Киров:

Изд-во «О-Краткое», 2014. – 136 с. Горев П. М., Утёмов В. В. Полёт к горизонтам творчества. – Киров:

Изд-во «О-Краткое», 2012. – 112 с. Горев П. М., Утёмов В. В. Путешествие в Страну творчества. – Киров:

Изд-во ВятГГУ, 2013. – 116 с. Горев П. М., Утёмов В. В. Творческие прогулки под звёздами. – Ки-

ров: Изд-во МЦИТО, 2014. – 123 с. Горев П. М., Утёмов В. В. Формула творчества: Решаем открытые за-

дачи. Материалы эвристической олимпиады «Совёнок». – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2011. – 288 с.

Горев П. М., Утёмов В. В. Школа Совёнка: На пути к творческому мышлению. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2011. – 114 с.


199

Горев П. М., Утёмов В. В. Экспедиция в мир творчества. – Киров: Изд-во «О-Краткое», 2013. – 128 с.

Горев П. М., Утёмов В. В. Учимся вместе с Совёнком: Эвристические методы мышления и активизации творчества. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2012. – 112 с.

Горев П. М., Утёмов В. В., Зиновкина М. М. Летнее путешествие с Со-вёнком. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2013. – 174 с.

Гурин Ю. В. Загадки от Шерлока Холмса. – М.: Олма Медиа Групп, 2010. – 176 с.

Иванов Г. И. Формулы творчества, или Как научиться изобретать. – М.: Просвещение, 1994. – 208 с.

Иванов Г. И. Денис-изобретатель: Рассказы и задачи для развития творческого мышления. – М.: Речь, 2010. – 112 с.

Саламатов Ю. П. Как стать изобретателем. – М.: Просвещение, 2006. – 272 с.

Фаер С. А., Тимохов В. И. Полцарства за идею! // Серия «Библиотека Мир 2.0» Кн. 4. – М.: Вита-Пресс, 2013. – 96 с.

Шустерман М. Н., Шустерман З. Г. Колобок и все-все-все, или Как рас-крыть в ребенке творца. – М.: Речь, 2006. – 144 с.

Шустерман М. Н., Шустерман З. Г. Новые приключения Колобка, или Развитие талантливого мышления ребенка. – М.: Речь, 2006. – 208 с.

Некоторые полезные интернет-ресурсы

Сайт «Задачи по математике» – http://www.problems.ru. Сайт архива номеров научно-популярного физико-математиче-

ского журнала для школьников «Квант» – http://kvant.mccme.ru. Сайт Кировского центра дополнительного образования одарен-

ных школьников – http://cdoosh.ru. Сайт клуба «Математический гуру» – http://www.mathguru.ru. Сайт математических конкурсов и олимпиад Республики Татар-

стан – http://www.kazan-math.info. Сайт Международного математического конкурса «Кенгуру» –

http://mathkang.ru. Сайт Межрегионального центра инновационных технологий в об-

разовании – http://www.covenok.ru. Сайт Московского центра непрерывного математического образо-

вания – http://www.mccme.ru. Сайт с материалами по математике – http://www.math.ru.


200

Оглавление Предисловие для учеников, желающих знать больше о математике ....................................................... 3

Часть первая. Тридцать серий развивающих задач ............................................................ 5

Первая серия задач .......................................................................................................... 7 Вторая серия задач .......................................................................................................... 8 Третья серия задач .......................................................................................................... 9 Четвёртая серия задач ................................................................................................ 10 Пятая серия задач .......................................................................................................... 11 Шестая серия задач ...................................................................................................... 12 Седьмая серия задач .................................................................................................... 13 Восьмая серия задач .................................................................................................... 14 Девятая серия задач ..................................................................................................... 15 Десятая серия задач ..................................................................................................... 16 Одиннадцатая серия задач ....................................................................................... 17 Двенадцатая серия задач .......................................................................................... 18 Тринадцатая серия задач .......................................................................................... 19 Четырнадцатая серия задач .................................................................................... 20 Пятнадцатая серия задач .......................................................................................... 21 Шестнадцатая серия задач ....................................................................................... 22 Семнадцатая серия задач .......................................................................................... 23 Восемнадцатая серия задач ..................................................................................... 24 Девятнадцатая серия задач ..................................................................................... 25 Двадцатая серия задач................................................................................................ 26 Двадцать первая серия задач .................................................................................. 27 Двадцать вторая серия задач .................................................................................. 28 Двадцать третья серия задач .................................................................................. 29 Двадцать четвёртая серия задач .......................................................................... 30 Двадцать пятая серия задач .................................................................................... 31 Двадцать шестая серия задач ................................................................................. 32 Двадцать седьмая серия задач ............................................................................... 33 Двадцать восьмая серия задач ............................................................................... 34 Двадцать девятая серия задач ............................................................................... 35 Тридцатая серия задач ............................................................................................... 36

Часть вторая. Идеи и методы математики в задачах ....................................................... 37

Разберём все варианты .............................................................................................. 39 «Табличная» логика ..................................................................................................... 40 Эффект «плюс-минус один» ..................................................................................... 42


201

Запутанные истории .................................................................................................... 44 Анализ задачи с конца ................................................................................................ 46 Переливания .................................................................................................................... 48 Правила комбинаторики ........................................................................................... 49 Круги Эйлера .................................................................................................................... 52 Игровые ситуации ......................................................................................................... 54 Метод «от противного» .............................................................................................. 56 Разумный перебор ........................................................................................................ 57 Остров рыцарей и лжецов ........................................................................................ 59 Чётность.............................................................................................................................. 60 Подсчёт двумя способами ......................................................................................... 62 Принцип крайнего ........................................................................................................ 64 Чашечные весы ............................................................................................................... 67 Оценка плюс пример .................................................................................................... 69 Принцип Дирихле .......................................................................................................... 71 Инвариант .......................................................................................................................... 72 Раскраски ........................................................................................................................... 74

Часть третья. Задачи на логику, смекалку и сообразительность ............................... 77

Железная логика! .......................................................................................................... 79 Трудно не догадаться! ................................................................................................ 80 Задачи на сообразительность ................................................................................ 81 А ну-ка, смекни! .............................................................................................................. 82 Найди закономерность ............................................................................................... 83 Разные задачи на сообразительность ............................................................... 84 Задачи-шутки .................................................................................................................. 85 Мастерская озарения ................................................................................................... 86 Простые вопросы ........................................................................................................... 87 И снова разные задачи ................................................................................................ 88

Часть четвёртая. Математические эксперименты ................................................................... 89

Эксперименты с полоской бумаги ....................................................................... 91 Площади клетчатых фигур ...................................................................................... 92 Невозможные объекты .............................................................................................. 94 Кривые дракона ............................................................................................................. 96 Не отрывая карандаша ............................................................................................... 98 Голодная коза ................................................................................................................ 100

Часть пятая. Десять задач в рисунках ................................................................................. 101

Завтрак Винни-Пуха ..............................................................................................103 Гуси-лебеди ................................................................................................................ 103 Кто же всегда говорит правду? ....................................................................... 104


202

Задача туриста ......................................................................................................... 104 Иван-царевич и Змей Горыныч ...................................................................... 105 Емелина работа ........................................................................................................ 105 Крестьянин и чёрт ................................................................................................. 106 Дед Мороз и Снегурочка ..................................................................................... 106 Насреддин и арбузы .............................................................................................. 107 Русские богатыри ................................................................................................... 107

Часть шестая. Увлекательные задания для развития сильного мышления ....... 109

Дома и калитки ............................................................................................................. 111 Где пройдут провода? ............................................................................................... 111 Раскачивающийся медвежонок коала ............................................................. 111 Японская поговорка ................................................................................................... 112 Кошки и собаки ............................................................................................................. 112 Разъезд паровозов ...................................................................................................... 113 Пара лабиринтов .......................................................................................................... 113 Фигурный рак ................................................................................................................ 114 Лабиринт Дедала ......................................................................................................... 114 Продолжи цепочку ...................................................................................................... 114 Пропавшая звезда ....................................................................................................... 115 Шнуровка тапочек ...................................................................................................... 115 Три кольца ....................................................................................................................... 115 Беседка Розамунды..................................................................................................... 116 Взломай код .................................................................................................................... 116 Детективная история ................................................................................................ 117 Непослушный глобус ................................................................................................. 118 Кто из них левша? ....................................................................................................... 118 Четыре стакана ............................................................................................................. 118 Подопытная крыса ...................................................................................................... 119 Лабиринт из кубиков ................................................................................................ 119 Сколько? ............................................................................................................................ 120 Урок каллиграфии ...................................................................................................... 120 Два цветка ........................................................................................................................ 121 Как освободить вишни? ........................................................................................... 121 Пример с фигурами .................................................................................................... 121 Сколько весит деталь? .............................................................................................. 122 Лишняя рыбка ............................................................................................................... 122 Сообразительные сыщики ..................................................................................... 122 Так говорил Демокрит .............................................................................................. 123 В зоопарке ........................................................................................................................ 123 Неразрывная цепочка ............................................................................................... 123 Разноцветный квадрат ............................................................................................. 124 Сколько узлов? .............................................................................................................. 124


203

Прогулка по городу .................................................................................................... 124 Отдели коз от капусты ............................................................................................. 125 Сколько кубиков .......................................................................................................... 125 Какой ящик тяжелее? ................................................................................................ 125 Оригинальный календарь ...................................................................................... 125 Ещё один лабиринт из кубиков ........................................................................... 126 Сколько белых клеток? ............................................................................................ 126 Найди одинаковые фигуры ................................................................................... 127 Лабиринт с числами ................................................................................................... 127 Костяшки домино ........................................................................................................ 127 Волшебные кубики ..................................................................................................... 128 Задача про заключённых ........................................................................................ 128 Президентская головоломка ................................................................................. 129 И снова лабиринт ........................................................................................................ 129 Охлаждение теплового двигателя ..................................................................... 130 Фальшивые монеты ................................................................................................... 130 Задание для робота .................................................................................................... 131 Мечта пирата .................................................................................................................. 131 В сумме – тысяча .......................................................................................................... 132 Квадратные суммы ..................................................................................................... 132 Разные фигуры.............................................................................................................. 132 Что здесь написано? ................................................................................................... 133 Сцепленные кольца .................................................................................................... 133 Сумасшедшие мухи ..................................................................................................... 133 По какому плану? ......................................................................................................... 134 Попробуй отыскать .................................................................................................... 134 Как пройти? .................................................................................................................... 134 Загадочный алфавит ................................................................................................. 135 Отпечатки стакана ...................................................................................................... 135 Загадочный талисман ............................................................................................... 135 Набор карточек ............................................................................................................. 136

Часть седьмая. Головоломки своими руками ....................................................................... 137

Танграм ............................................................................................................................. 139 Топологическая головоломка .............................................................................. 140 Колумбово яйцо ............................................................................................................ 140 Квадрат .............................................................................................................................. 141 Монгольская игра ........................................................................................................ 142 Колючки ............................................................................................................................ 142 Пентамино ....................................................................................................................... 143

Часть восьмая. Занимательные материалы для внеклассной работы ..................... 145

Математико (итальянская игра)......................................................................... 147


204

Фотограф .......................................................................................................................... 148 Таблица умножения на пальцах .......................................................................... 148 Очередь к зубному ...................................................................................................... 149 Математический кроссворд................................................................................... 150 В лунопарке .................................................................................................................... 150 Арифметический лабиринт ................................................................................... 151 Досчитай до 82 .............................................................................................................. 151 Индеец................................................................................................................................ 152 Точки .................................................................................................................................. 152 Археологи ......................................................................................................................... 153 Восточный способ умножения ............................................................................. 153 Русская изба ................................................................................................................... 154 Математические слова ............................................................................................. 155 Робот ................................................................................................................................... 155 Быки и коровы .............................................................................................................. 156 Алхимик ............................................................................................................................ 156 Три приёма быстрого счёта ................................................................................... 157 Топологическая игра ................................................................................................. 157 Весёлый автобус .......................................................................................................... 158 Куда девался воин? ..................................................................................................... 159 Фокус «Кто что взял?» .............................................................................................. 159 Счастливый человек .................................................................................................. 161 Числобус ........................................................................................................................... 161 Меандр ............................................................................................................................... 162 В троллейбусе ................................................................................................................ 162 Считай, не сбейся! ........................................................................................................ 163 Гонки .................................................................................................................................. 163 Рыбак .................................................................................................................................. 164 Флексагон ........................................................................................................................ 164 Цифровые стихи ........................................................................................................... 165 Дедушка Джамбей ....................................................................................................... 167 Две лисы и двадцать кур ......................................................................................... 167 Слабое звено ................................................................................................................... 168

Часть девятая. Творческие задания математического и лингвистического характера ................................................................... 169

Упражнения с карточками ..................................................................................... 171 Больше, чем кажется! ............................................................................................... 171 Числа спрятались ........................................................................................................ 171 Всего три цифры .......................................................................................................... 171 Новый взгляд на цифры .......................................................................................... 171 Квадратные дырки ..................................................................................................... 172 Эй, фигуры, стройся в ряд! ..................................................................................... 172


205

Числа не для счёта ...................................................................................................... 172 Время и шнурки ............................................................................................................ 172 Развёртка куба .............................................................................................................. 173 Злой волшебник Местамименяйка.................................................................... 173 Счёт без чисел ............................................................................................................... 173 Катящийся карандаш ................................................................................................ 174 О пицце .............................................................................................................................. 174 Крепкая дружба ............................................................................................................ 174 Неизвестный язык ..................................................................................................... 174 Жидкость в километрах........................................................................................... 175 Шифрулька ...................................................................................................................... 175 История арифметики ................................................................................................ 175 Ровный, как шар ........................................................................................................... 176 Вытянутая точка .......................................................................................................... 176 Египетская пирамида ................................................................................................ 176 Короткий кран .............................................................................................................. 176 Весы из котелка ............................................................................................................ 177 Проблемная операция ............................................................................................. 177 Язык камушков ............................................................................................................. 177 Цифробуквопутаница .............................................................................................. 178 Куб из соломинок ........................................................................................................ 178 Проделки волшебника .............................................................................................. 178 Круги на воде ................................................................................................................. 179 Гласные сбежали .......................................................................................................... 179 Буквенная арифметика ............................................................................................ 179 Слова в клеточках ........................................................................................................ 179 Из мухи сделали слона… .......................................................................................... 180 Арифметическая грамматика ............................................................................... 180 Кругозвучие .................................................................................................................... 180 Огромное дерево .......................................................................................................... 180 Китайская азбука Морзе .......................................................................................... 181 Проблема паучка .......................................................................................................... 181 Самый-самый ................................................................................................................. 181 Примеры изменений ................................................................................................. 181 Герда спасает Кая ........................................................................................................ 181 Огромная киска в маленькой миске ................................................................. 182 И быстро, и медленно ................................................................................................ 182 Эффект бумеранга .......................................................................................................182 Необычные часы .......................................................................................................... 182 Кубические овощи и фрукты ................................................................................ 182 Потеря измерения ....................................................................................................... 183 Числа без цифр .............................................................................................................. 183 Искажения без разрыва ........................................................................................... 183 Скорость роста баобаба ............................................................................................ 183


206

Не расцепляя рук ......................................................................................................... 183 Считаем ворон ...............................................................................................................184 Нулевой посёлок .......................................................................................................... 184 Полёт мухи....................................................................................................................... 184 Ручеёк из светлячков ................................................................................................ 185 Древние цифры ............................................................................................................. 185 Почти пи ........................................................................................................................... 185 Видимый звук ................................................................................................................ 186 Давненько не было дождя! ..................................................................................... 186 Солнечная проекция .................................................................................................. 186 Измерим информацию ............................................................................................. 186 Хватаем точки ................................................................................................................ 187 Вращающийся круг ..................................................................................................... 187 Плавкие колёса ............................................................................................................. 187 Площадь страны ........................................................................................................... 188 Сложное сложение ...................................................................................................... 188 Бумажная трубочка .................................................................................................... 188 Грибные весы ................................................................................................................. 188 Число волос ..................................................................................................................... 188 Цифровая последовательность ........................................................................... 189 Несуществующий размер ........................................................................................ 189

Несколько слов о кружках по математике ............................................ 190

Библиографический список ......................................................................... 194


207

Учебное издание

Горев Павел Михайлович Утёмов Вячеслав Викторович

Уроки развивающей математики 5–6 классы

Задачи математического кружка

Редактор Ю. Болдырева Макет и обложка П. Горев

Подписано в печать 20.05.2014. Формат 60x84/16.

Гарнитура «Cambria». Бумага офсетная. Усл. п. л. 13,0. Тираж 500 экз. Заказ № .

Издательство АНО ДПО «Межрегиональный центр инновационных технологий в образовании»

610035, г. Киров, ул. Калинина, 38, оф. 318 Тел.: 8(8332) 22-05-74


208


Documents

846.уроки развивающей математики 5–6 классы задачи математического кружка