85 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่12_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล2

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

สถตและการวเคราะหขอมล (เนอหาตอนท 12)

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โดย

ผชวยศาสตราจารย ดร.ณฐกาญจน ใจด

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล มจานวนตอนทงหมดรวม 27 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทนา เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทนา (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการนาเสนอขอมล - การสารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คากลางฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ตาแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน


2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมการคานวณทางสถต 1 - โปรแกรมการคานวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 - โปรแกรมการคานวณทางสถต 2

16. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 17. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 18. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 19. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 20. แบบฝกหด (พนฐาน 5) 21. แบบฝกหด (ขนสง) 22. สอปฏสมพนธ เรอง การนาเสนอขอมล 23. สอปฏสมพนธ เรอง การวดคากลางของขอมล 24. สอปฏสมพนธ เรอง การวดการกระจายของขอมล 25. สอปฏสมพนธ เรอง การแจกแจงปกต


3

26. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงเสนตรง 27. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงพาราโบลาและความสมพนธเชงชกาลง

คณะผจดทาหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนสาหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถตและการวเคราะหขอมล นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดทาไดดาเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


4

เรอง สถตและการวเคราะหขอมล (ความสมพนธระหวางขอมล 2) หมวด เนอหา ตอนท 12 (12/14) หวขอยอย ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. หาความสมพนธระหวางขอมลทกราฟเปนเสนตรงของขอมลทอยในรปอนกรมเวลาได 2. หาความสมพนธระหวางขอมลทกราฟเปนพาราโบลาและเอกซโพเนนเชยลของขอมล

ทอยในรปอนกรมเวลาได ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายและวธจดกระทาของขอมลทอยในรปอนกรมเวลาเพอใชในการแกปญหาได 2. อธบายวธการหาและหาความสมพนธระหวางขอมลทกราฟเปนเสนตรงของขอมลทอยในรป

อนกรมเวลาได 3. อธบายวธการหาและหาความสมพนธระหวางขอมลทกราฟเปนพาราโบลาและ

เอกซโพเนนเชยลของขอมลทอยในรปอนกรมเวลาได


5

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


6

ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา


7

ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

ในสอการสอนตอนน เราเรมดวยการใหความหมายของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา จากนนจงทบทวนเรองความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทไดศกษาไปแลวในสอการสอนเรองสถตและการวเคราะหขอมล เนอหาตอนท 11 ซงแบงความสมพนธดงกลาวเปน 2 ประเภทใหญ ๆ คอ

1. ความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟเปนเสนตรง 2. ความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟไมเปนเสนตรง

2.1 กราฟเปนพาราโบลา 2.2 กราฟเปนเอกซโพเนนเชยล

โดยในสอการสอนตอนน ยงคงศกษาความสมพนธทงหมดขางตน เพยงแตตวแปรอสระทเราศกษาในสอการสอนตอนนจะอยในรปของเวลา เชน เดอน ปพทธศกราช เปนตน

เพอความเขาใจยงขนจงไดยกตวอยางขอมลทอยในรปอนกรมเวลา ดงน


8

จากนนผเรยนจะไดชมตวอยางตอไปน ซงผสอนอาจใหผเรยนชวยกนคดหาคาตอบกอน

หลงจากทผเรยนไดพยายามคดหาคาตอบของตวอยางขางตน อาจมผเรยนหลายคนพบปญหาในเรองของการคานวณเนองจากตวเลขคอนขางสง จากนนผสอนจงใหผเรยนชมสอการสอนซงไดแนะนาวธการแกปญหาดงกลาว


9

ผลตางเปน 1 ผลตางเปน 1 ผลตางเปน 1 ผลตางเปน 1

เมอผเรยนไดชมตวอยางขางตนจบแลว ผสอนควรสรปและใหขอสงเกตผเรยนเพมเตม ดงน

it พ.ศ. แบบท 1 แบบท 2 2549 2550 2551 2552 2553

-2 -1 0 1 2

0 1 2 3 4

สมการความสมพนธ 15 19ˆ10 5

y t= + 15 4ˆ10 5

y t= +

ป พ.ศ. 2560 จะขายเครองจกร ไดประมาณ

15 19ˆ (9)10 5

y = + 17.3= 15 4ˆ (11) 17.310 5

y = + =


10

จากตารางจะพบวา 1. ผลตางของปพ.ศ.ของขอมลทอยตดกนจะมคาเทากนทกชวง(เทากบ 1) ดงนนการกาหนดคา it เราจง กาหนดใหผลตางของ it ของขอมลทอยตดกนมคาเทากนทกชวงเชนกน 2. ในการกาหนดคา it แบบท 1 และแบบท 2 ทาใหไดสมการความสมพนธทแตกตางกน แตคาประมาณทโจทย ตองการยงคงมคาเทากน ดงนนโจทยทอยในรปอนกรมเวลาสวนใหญจงไมไดใหหาสมการความสมพนธ เนองจากสมการทไดขนอยกบวธการกาหนดคา it ของแตละบคคล 3. ในการหาคาคงตว a และ b จากสมการ

1 1

n n

i ii iy a t nb

= =

= +∑ ∑

2

1 1 1

n n n

i i i ii i it y a t b t

= = =

= +∑ ∑ ∑

ถาเรากาหนดคา it แบบท 1 จะทาให 1

0n

iit

=

=∑ (เมอ n เปนจานวนค) ซงสงผลใหหาคาคงตว a และ b ได

จากสมการ

1

n

iiy nb

=

=∑

2

1 1

n n

i i ii it y a t

= =

=∑ ∑

ซงหาไดงายและสะดวกยงขน ดงนน ถาขอมลทกาหนดใหมจานวนชวงเวลาทนามาสรางความสมพนธเปน จานวนค เราจงกาหนดคา it แบบท 1 นนคอ ใหขอมลตวทอยตรงกลางมคาเปน 0 และขอมลตวทอยถดขน ไปกอนหนามคาเปน -1, -2, -3, … ตามลาดบ และขอมลทอยถดลงมามคาเปน 1, 2, 3, … ตามลาดบ

สาหรบตวอยางตอไปน เปนตวอยางทจานวนชวงเวลาเปนจานวนค ดงนนการกาหนดคา it เพอให

10

n

iit

=

=∑ สามารถทาไดโดย กาหนดใหสองชวงเวลาทอยตรงกลางมคาเปน -1 และ 1 จากนนใหขอมลตวทอยถด

ขนไปจาก -1 มคาเปน -3, -5, -7, … ตามลาดบ ทานองเดยวกน กาหนดใหขอมลตวทอยถดจาก 1 มคาเปน 3, 5, 7, … ตามลาดบ


11

จากนนผสอนอาจใหผเรยนฝกทาตวอยางตอไปน ตวอยาง ขอมลแสดงจานวนประชากรของประเทศไทย ตงแตป พ.ศ. 2545 - 2551

พ.ศ. จานวนประชากร (ลานคน) 2545 62.80 2546 63.08 2547 61.97 2548 62.42 2549 62.83 2550 63.04 2551 63.39

จงใชความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเสนตรงเพอประมาณจานวนประชากรในป พ.ศ. 2560


12

วธทา พ.ศ. it iy i it y 2

it 2545 -3 62.80 -188.40 9 2546 -2 63.08 -126.16 4 2547 -1 61.97 -61.97 1 2548 0 62.42 0 0 2549 1 62.83 62.83 1 2550 2 63.04 126.08 4 2551 3 63.39 190.17 9

7

1i

it

=

=∑ 0 7

1i

iy

=

=∑ 439.53 7

1i i

it y

=

=∑ 2.55 7

2

1i

it

=

=∑ 28

หาคาคงตว a และ b จากสมการ

1 1

n n

i ii iy a t nb

= =

= +∑ ∑

2

1 1 1

n n n

i i i ii i it y a t b t

= = =

= +∑ ∑ ∑

ทาใหไดวา 439.53 7b= และ 2.55 28a= ดงนน 439.53 62.79

7b = = และ 2.55 0.09

28a = ≈

ทาใหไดวา สมการความสมพนธ คอ ˆ 0.09 62.79y t= + ในป พ.ศ. 2560 ( t = 12) จะไดวา ˆ 0.09(12) 62.79 63.87y = + = นนคอ ในป พ.ศ. 2560 ประเทศไทยจะมประชากรประมาณ 63.87 ลานคน


13

สาหรบตวอยางตอไปนเปนตวอยางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลทกราฟเปนเอกซโพเนนเชยล

ขอสงเกต สาหรบตวอยางขางตน จะเหนวาขอมลจานวนแมลงในแตละเดอนมคาคอนขางสง ซงจะทาใหการคานวณมความยงยาก ดงนนเราจงเปลยนหนวยของจานวนแมลงเปนพนตวเพอใหงายตอการคานวณ


14

เพอใหผเรยนเขาใจเรองเชงฟงกชนระหวางขอมลทกราฟเปนเอกซโพเนนเชยลไดดยงขน ผสอนควรใหผเรยนทาตวอยางตอไปนเพมเตม ตวอยาง กาหนดขอมลแสดงจานวนแบคทเรยชนดหนงในจานเพาะเชอ ในป พ.ศ. 2554 ดงน

จงใชความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟเปนเอกซโพเนนเชยลเพอประมาณจานวนแบคทเรยในเดอนพฤษภาคม 2555 วธทา เนองจากจานวนแบคทเรยทโจทยกาหนดใหมคาสง ดงนนจงปรบหนวยเปนแสนตว ดงน จากนนนาขอมลทไดมาเขยนแผนภาพการกระจายเพอดแนวโนมความสมพนธ

เดอน จานวนแบคทเรย(ตว) มกราคม 680,000 มนาคม 740,000

พฤษภาคม 820,000 กรกฎาคม 940,000 กนยายน 1,150,000

เดอน จานวนแบคทเรย(แสนตว) มกราคม 6.8 มนาคม 7.4

พฤษภาคม 8.2 กรกฎาคม 9.4 กนยายน 11.5


15

จานวนแบคทเรย(แสนตว) ม.ค. ม.ค. พ.ค. ก.ค. ก.ย. เดอน

จากนนสรางตารางเพอใชในการหาคาคงตว ,a b ดงน

เดอน it iy log iy logi it y 2it

มกราคม -2 6.8 0.8325 -1.6650 4 มนาคม -1 7.4 0.8692 -0.8692 1

พฤษภาคม 0 8.2 0.9138 0 0 กรกฎาคม 1 9.4 0.9731 0.9731 1 กนยายน 2 11.5 1.0607 2.1214 4

5

1i

it

=

=∑ 0 5

1i

iy

=

=∑ 43.3 5

1log i

iy

=

=∑ 4.6493 5

1logi i

it y

=

=∑ 0.5603 5

2

1i

it

=

=∑ 10

หาคาคงตว ,a b จากสมการ 5 5

1 1log 5log (log )i i

i iy a b t

= =

= +∑ ∑ 5 5 5

2

1 1 1log log (log )i i i i

i i it y a t b t

= = =

= +∑ ∑ ∑


16

นาขอมลในตารางมาแทนคา จะไดวา 4.6493 5log a= 4.6493log 0.93

5a = ≈

0.5603 10logb= 0.5603log 0.05610

b = ≈ ดงนน ˆlog log logy a t b= + 0.93 0.056t= +

ดงนน เดอนพฤษภาคม 2555 ( 6t = ) ไดวา ˆlog y 0.93 0.056(6)= + 1.266= นนคอ 1.266ˆ 10 18.45y = ≈ ดงนน จานวนแบคทเรยในเดอนพฤษภาคม 2555 มอยประมาณ 1,845,000 ตว หมายเหต จากตวอยางขางตน ผสอนควรยาผเรยนวาจานวนแบคทเรยทตองการประมาณคาคอ y ไมใช ˆlog y

สาหรบตวอยางสดทายในสอการสอนนเปนตวอยางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลทกราฟเปน

พาราโบลา


17

หมายเหต จากตวอยางขางตน ผเรยนจะสงเกตวา การกาหนด it ทเหมาะสม นนคอ 1

0n

iit

=

=∑ และ 3

1

0n

iit

=

=∑จะทาใหหาคาคงตว ,a b และ c ของสมการพาราโบลา 2y at bt c= + + ไดงายยงขน นนคอ 2

1 1 1

n n n

i i ii i iy a t b t nc

= = =

= + +∑ ∑ ∑ 2

1 1

n n

i ii iy a t nc

= =

= +∑ ∑

3 2

1 1 1 1

n n n n

i i i i ii i i it y a t b t c t

= = = =

= + +∑ ∑ ∑ ∑ 2

1 1

n n

i i ii it y b t

= =

=∑ ∑

2 4 3 2

1 1 1 1

n n n n

i i i i ii i i it y a t b t c t

= = = =

= + +∑ ∑ ∑ ∑ 2 4 2

1 1 1

n n n

i i i ii i it y a t c t

= = =

= +∑ ∑ ∑


18

แบบฝกหดเพมเตม

เรอง ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

1. ขอมลแสดงมลคาการสงออกสนคาระหวางประเทศของไทย ป พ.ศ. 2547-2553

พ.ศ. 2547 2548 2549 2550 2551 2552 2553 มลคาการสงออก (ลานลานบาท)

3.87 4.44 4.94 5.30 5.85 5.19 6.18

ทมา : ศนยเทคโนโลยสารสนเทศและการสอสาร สานกงานปลดกระทรวงพาณชย จงใชความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเสนตรงเพอประมาณมลคาการสงออกในป พ.ศ. 2564 2. ขอมลแสดงจานวนผปวยนอกจากสถานบรการสาธารณสขของกระทรวงสาธารณสข จงหวดเชยงใหม พ.ศ. 2549-2552

ทมา : สานกงานปลดกระทรวงสาธารณสข กระทรวงสาธารณสข จงใชความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟเปนพาราโบลาเพอประมาณจานวนผปวยนอก จงหวดเชยงใหม ในป พ.ศ. 2553 3. ขอมลแสดงปรมาณสตวนาจดจากการเพาะเลยง ป พ.ศ. 2548-2552 ทมา : กรมประมง จงใชความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟเปนเอกซโพเนนเชยลเพอประมาณปรมาณสตวนาจดจากการ เพาะเลยงในป พ.ศ. 2557

พ.ศ. 2549 2550 2551 2552 จานวนผปวยนอก

(ลานคน) 4.12 4.94 4.92 4.70

พ.ศ. 2548 2549 2550 2551 2552 ปรมาณสตวนาจด

(1,000 ตน) 539.4 527.4 525.1 522.5 521.9


19

4. ถาขอมลแสดงรายไดของบรษทแหงหนงในป พ.ศ. 2554 มความสมพนธแบบเสนตรง ดงขอมลในตาราง ตอไปน จงประมาณรายไดในแตละเดอนของบรษทแหงนในป พ.ศ. 2555 5. ถาขอมลแสดงปรมาณขาวหอมมะลทรานคาขาวแหงหนงขายไดในปนมความสมพนธแบบเสนตรง ดงขอมลในตารางตอไปน

จงประมาณปรมาณขาวหอมมะลทรานคาขาวแหงนขายไดในเดอนธนวาคมปเดยวกน

เดอน ม.ค. ก.พ. ม.ค. เม.ย. พ.ค. ม.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค. รายได

(ลานบาท) 1.2 1.5 1.8 2.0 2.4 2.8 3.1 3.5 4.0 4.1 4.4 4.9

เดอน ม.ค. ก.พ. เม.ย. พ.ค. ม.ย. ส.ค. ปรมาณ

(กโลกรม) 1,250 1,500 1,850 2,100 2,300 2,650


20

สรปสาระสาคญประจาตอน


21

สรปสาระสาคญประจาตอน

ในสอการสอนตอนน เราใหความหมายของขอมลทอยในรปอนกรมเวลาและศกษาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลทกราฟเปนเสนตรง พาราโบลาและเอกซโพเนนเชยล โดยแนวคดหลกคอการกาหนดคา

it ใหเหมาะสม นนคอ 1

0n

iit

=

=∑ ซงทาใหงายและสะดวกในการหาคาคงตว ,a b และ c ซงวธการกาหนดคา it

นน สามารถพจารณาไดดงน 1. ถาขอมลทกาหนดใหมจานวนชวงเวลาทนามาสรางความสมพนธเปนจานวนค เรากาหนดคา it โดย ใหขอมลตวทอยตรงกลางมคาเปน 0 และขอมลตวทอยถดขนไปกอนหนามคาเปน -1, -2, -3, …

ตามลาดบ และขอมลทอยถดลงมามคาเปน 1, 2, 3, … ตามลาดบ 2. ถาขอมลทกาหนดใหมจานวนชวงเวลาทนามาสรางความสมพนธเปนจานวนค เรา กาหนดคา it โดย กาหนดใหสองชวงเวลาทอยตรงกลางมคาเปน -1 และ 1 จากนนใหขอมลตวทอยถดขนไปจาก -1 ม คาเปน -3, -5, -7, … ตามลาดบ ทานองเดยวกน กาหนดใหขอมลตวทอยถดจาก 1 มคาเปน 3, 5, 7, … ตามลาดบ


22

เอกสารอางอง

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน (2553) หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6. พมพครงท 7. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว


23

ภาคผนวก เฉลยแบบฝกหด


24

เฉลยแบบฝกหด เรอง ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

1. 9.78 ลานลานบาท 2. 3,800,000 คน 3. 5.691110 ตน, 500,160 ตน

4.

5. 3,475 กโลกรม

เดอน ม.ค. ก.พ. ม.ค. เม.ย. พ.ค. ม.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค. รายได

(ลานบาท) 5.17 5.51 5.84 6.18 6.52 6.86 7.19 7.53 7.87 8.20 8.54 8.88


25

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร

จานวน 92 ตอน


26

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 92 ตอน

เรอง ตอน

บทนา เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต

เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

เซต

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร บทนา เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

การใหเหตผลและตรรกศาสตร

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง บทนา เรอง จานวนจรง สมบตของจานวนจรง การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ เทคนคการแกอสมการ คาสมบรณ การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจานวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

จานวนจรง

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ บทนา เรอง ทฤษฎจานวนเบองตน

การหารลงตวและจานวนเฉพาะทฤษฎจานวนเบองตน

ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย บทนา เรอง ความสมพนธและฟงกชน ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


27


โดเมนและเรนจ อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ความสมพนธและฟงกชน

ฟงกชนประกอบ

บทนา เรอง ฟงกชนชกาลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกกาลง ฟงกชนชกาลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชกาลง

ฟงกชนชกาลงและฟงกชนลอการทม

อสมการลอการทม

บทนา เรอง ตรโกณมต อตราสวนตรโกณมต เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย ฟงกชนตรโกณมต 1 ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3 กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

ตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน บทนา เรอง กาหนดการเชงเสน

การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร กาหนดการเชงเสน

การหาคาสดขด

บทนา เรอง ลาดบและอนกรม

ลาดบ

การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของลาดบ

ผลบวกยอย อนกรม

ลาดบและอนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


28


บทนา เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

การนบและความนาจะเปน .

ความนาจะเปน 2

บทนา เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทนา เนอหา แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ คะแนนมาตรฐาน



โปรแกรมการคานวณทางสถต 1

สถตและการวเคราะหขอมล

โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การถอดรากทสาม เสนตรงลอมเสนโคง

โครงงานคณตศาสตร

กระเบองทยดหดได

Documents

85 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่12_ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล2