第 9 章 电路的频率响应

9.1 频域网络函数和频率响应9.2 简单 RC 电路的频率特性9.3 串联谐振电路9.4 并联谐振电路

重点

1. 网络函数和频率特性；2. 串、并联谐振的概念；

9.1 频域网络函数9.1 频域网络函数当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、

容抗将跟随频率变化，从而导致电路的工作状态亦跟随频率变化。因此，分析研究电路和系统的频率特性就显得格外重要。

频率特性 电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，称为电路和系统的频率特性，又称频率响应。

1. 网络函数 H（ jω）的定义

在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作用时，网络中某一处的响应（电压或电流）与网络输入之比，称为该响应的网络函数。

)j(

)j()j(

def

E

RH

2. 网络函数 H(jω) 的物理意义

驱动点函数 线性网络

)j( I)j( U

)j(

)j()j(

I

UH

策动点阻抗

策动点导纳

激励是电流源，响应是电压

激励是电压源，响应是电流

)j(

)j()j(

U

IH

线性网络

)j( I)j( U

转移函数 (传递函数 )

)j(1 U 线性网络

)j(2 U

)j(1 I )j(2 I

转移导纳

转移阻抗

转移电压比

转移电流比

激励是电压源 激励是电流源

)j(1 U 线性网络

)j(2 U

)j(1 I )j(2 I

)j(

)j()j(

1

2

I

UH

)j(

)j()j(

1

2

U

IH

)j(

)j()j(

1

2

U

UH

)j(

)j()j(

1

2

I

IH

注意 H(j) 与网络的结构、参数值有关，与输入、输出变量的类型以及端口对的相互位置有关，与输入、输出幅值无关。因此网络函数是网络性质的一种体现。

H(j) 是一个复数，它的频率特性分为两个部分：模与频率的关系 |~)(j| H幅频特性

幅角与频率的关系 ~)(j相频特性

网络函数可以用相量法中任一分析求解方法获得。

例 求图示电路的网络函数 2 S/I US/LU U和

L

.U

1U 2

jω

+

_

+_

jω

22I1I

2I

解 列网孔方程解电流 2I

1 2 S(2 j ) 2I I U

0)j4(2 21 II

S2 2

2

4 (j ) j6

UI

2 S 2

2/

4 j6I U

S 2

j2/

4 j6LU U

转移导纳

转移电压比

①以网络函数中 jω 的最高次方的次数定义网络函数的阶数。

)j()j()j( EHR

注意

②由网络函数能求得网络在任意正弦输入时的端口正弦响应，即有

)j(

)j()j(

E

RH

9.2 RC 电路的频率特性

9.2.1 一阶 RC 低通滤波电路

RCC

R

CU

UH

j1

1

j1

j1

)j(1

2

令转折角频率： 11

C RC

ω

图示 RC 串联电路，其负载端开路时电容电压对输入电压的转移电压比为 :

画出的幅频和相频特性曲线，如图 (b) 和 (c) 所示。曲线表明图 (a) 电路具有低通滤波特性和移相特性，相移范围为 0° 到 -90° 。

RCC

R

CU

UH

j1

1

j1

j1

)j(1

2

A 0.01 0.1 .707 1 2 10 100 1000

20logA/dB -40 -20 -3.0 0 6.0 20 40 60

电子和通信工程中所使用信号的频率动态范围很大，例如从1021010Hz 。

常画出 20log|H(j)| 和 () 相对于对数频率坐标的特性曲线，这种曲线称为波特图。

横坐标采用相对频率 /C ，使曲线具有一定的通用性。幅频特性曲线

的纵坐标采用分贝 (dB) 作为单位。 |H(j)| 与 20log|H(j)| (dB) 之间关系如表所示。

画出的波特图如图所示 .

当 =C 时， 20log|H(jC)|=-3dB ，常用振幅从最大值下降到 3dB 的频

率来定义滤波电路的通频带宽度 ( 简称带宽 ) 。例如，上图所示低通滤波器的带宽

是 0 到 C 。

9.2.2 一阶 RC 高通滤波电路

RC

RC

CR

R

U

UH

j1

j

j1

)j(1

2

令

τRCω

11C

对图 (a) 所示 RC 串联电路，电阻电压对输入电压的转移电压比为 :

当 =C 时， 20log|H(jC)|=-3dB ，我们说此高通滤波电路的带宽

从 C 到∞。

3. 二阶 RC 低通滤波电路

RCCRU

UH

j31

1)j(

2221

2

RCCR

CR

U

UH

j31)j(

222

222

1

2

4. 二阶 RC 高通滤波电路

RCCR

RC

U

UH

j31

j)j(

2221

2

5. 二阶 RC 带通滤波电路

RC

10

9.3 串联谐振电路 如图 9-1 电路中，回路在外加电压 us=USm sinωt 作用下，电路中的复阻抗为：

)1

(C

LjRXjR

图 9-1 串联谐振电路

Z=

当改变电源频率，或者改变 L 、 C 的值时都会使回路中电流达到最大值，使电抗 =0 ，电路呈电阻性，此时我们就说电路发生谐振 。 由 于 是R 、 L 、 C 元件串联，所以又叫串联谐振。

CL

1

Z

U

jXR

U

CLjR

UI sss

)

1(

外加电压 uS=USm sinωt ，应用复数计算法得回路电流为：

其中，阻抗 zjeZZ

2222 )1

(C

LRXRZ

为阻抗的模 ,

Z

RC

Larctg

R

XarctgZ

1

Z

。

为阻抗的角。

在某一特定频率时，若回路满足下列条件：

CLX

00

1

则电流 为最大值，回路发生谐振。R

UII S

0

所以上式称为串联电路发生谐振的条件。即当串联回路中容抗等于感抗时，称回路发生了串联谐振。这时频率称为串联谐振频率，用fo 表示，相应的角频率用 ωo 表示，发生串联谐振的角频率 ωo 和频率分别为：

HzLC

fsradLC

2

1/

100 或

串联谐振电路具有如下特性：

（ 1 ）谐振时，回路电抗 X=0 ，阻抗 Z=R 为最小值 , 且为纯电阻。而在其他频率时，回路电抗X≠0 ，当外加电压的频率 ω>ω0 时， ωL> ，回路呈感性，当 ω<ω0 时，回路呈容性。

ss

oco

ss

oLo

UCR

jCjR

U

CjIU

UR

LjLj

R

ULjIU

000

000

111

（ 2 ）谐振时，回路电流最大，即 , 且电流

与外加电压 同相。

（ 3 ）电感及电容两端电压模值相等，且等于外加电压的 Q 倍。

C1

R

UI S

0 0

I

SU

9.1.1 频率特性

通常把 ω0L/R （或 1/ω0CR ）称为回路的品质因素，用 Q 表示。串联揩振时， 、 、 、 与 的相位关系如

图 9-2 所示。0

RU

LOU

COU

OU

OI

通常，回路的 Q 值可达几十到几百，谐振时电感线圈和电容两端的电压可以比信号源电压大几十到几百倍，所以又叫电压谐振。

从图 9-2 可以看出， 超前

为 90° ， 滞后 为 90° ， 与 相位相反。 图 9-2 串联谐振时电

压和电流相量图

LOU

OI

COU

OI

LOU

COU

9.1.2 通频带

（ 1 ） 谐振曲线

回路中电流幅值与外加电压频率之间的关系曲线称为谐振曲线。

在任意频率下回路电流 与谐振时回路电流

之比为 :

)(1

1

)(1

1

)1

(1

1

0

0

0

0

0

jQRL

j

RC

Lj

I

I

o

(4) 谐振时，能量只在 R 上消耗，电容和电感之间进行磁场能量和电场能量的转换，电源和电路之间没有能量转换。

I

0I

20

0

2 )(1

1

Q

I

I

o

jI

I

O

1

1

式中， ξ=Q （ ）具有失谐振量的含义，称

为广义失谐量。模为：

O

O

据上式可以作出相应的谐振曲线，如图 9-3 所示。

图 9-4 串联谐振时的通频带 图 9-3 串联谐振时谐振曲线

（ 2 ） 通频带

当外加信号电压的幅值不变，频率改变为ω=ω1 或 ω=ω2 ，此时回路电流等于谐振值的 倍，如图 9-4 所示。 ω2-ω1 称为回路的通频带，其绝对值为：

2

1

2△ ω0 。 7=ω2-ω1 或 2△ f0 。 7=f2-f1

ω1 （ f1 ）和 ω2 （ f2 ）为通频带的边界角频率（或边界频率）。

回路中相对通频带为：

Qf

f

Q o

1212 7.0

0

7.0

或

可见，通频带与回路的品质因素 Q 成反比， Q 愈高，谐振曲线愈尖锐，回路的选择性愈好，但通频带愈窄。因此，对串联振荡回路来说，两者存在着矛盾。

9.4 并联谐振电路9.4.1 并联谐振 串联谐振回路适用于信号源内阻等于零或很小的情况，如果信号源内阻很大，采用串联谐振电路将严重地降低回路的品质因素，使选择性显著变坏（通频带过宽）。这样就必须采用并联谐振回路。

在图 9-4 R-L-C 并联电路中，电路的总导纳 Y 为：

jBG

XXj

R

jXjXR

YYYY

CL

CL

CLR

)11

(1

111

图 9-4 R-L-C 并联谐振电路 其导纳模为：

22

)11

(1

CL XXRY

相应的阻抗模：

22 )11

()1

(

1

CL XXR

Z

可以看出：只有当 XL=XC 时 |Z|=R ，电路呈电阻性。由于 R-L-C 并联，所以这时又称为并联谐振。故并联谐振的条件是 XL=XC ，即当 ω0L=

时发生并联谐振。其谐振频率为：

LCf

LCo

2

110 或

CO1

并联谐振电路的特点为：（ 1 ） XL=XC ， |Z|=R ，电路阻抗为纯电阻性。（ 2 ）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时

， 总电流最小，其值为：

R

U

Z

UIO

（ 3 ）电感和电容上电流相等，其电流为总电流的Q 倍，即：

式中 Q 称为并联谐振电路的品质因素，其值为：

000

QIL

R

R

U

L

UII LC

CRL

RQ O

O

因为纯电阻电路，故总电流与电源电压同相。并联谐振电路的电流及各电压相位关系如图 9-5 所示。

图 9-5 并联谐振时电压和电流相量图

（ 4 ）谐振时激励电流全部通过电阻支路，电感与电容支路的电流大小相等，相位相反，使图 9-6 中 A 、 B 间相当于开路，所以并联谐振又称为电流谐振。

9.4.2 电感线圈和电容器的并联谐振电路

工程上广泛应用电感线圈与电容器组成并联谐振电路，由于实际电感线圈的电阻不可忽略，与电容器并联时，其电路模型如图 9-6 所示。 图 9-6 电感与电容的并联谐振电路

其相应的回路阻抗为：

)1

(

1)(

1

1)(

CjLjR

CjLjR

CjLjR

CjLjR

Z

图 9-7 L C 并联谐振时电压电流相量图

从图相量中看出

即：

整理后：

sinRLC II

2222L

L

Lc XR

X

XR

U

X

U

20

20

0 )( LR

LC

上式就是发生谐振的条件。可以得到谐振时的角频率为：

2

2

0

1

L

R

LC

其电压电流相量图如图 9-7 所示

可以看出，不论 R 、 L 、 ω 为何值，调节电

容量 C 总可以达到谐振，但要调节激励频率使

电路发生谐振，必须使 （ ω0才有可能为

实数），即 R< 。在 时，并联谐振

的近似条件为 。

01

2

2

L

R

LC

C

L2

21

L

R

LC远大于

CL 0

0

1

品质因素： Q=ω0 L/R=1/ω0CR

谐振特点： I0=Us/R （最大）

UR=Us

Z0=R( 最小 )

UL0=UC0=QUs

小 结

sradLC

/1

0

1 、在 RLC 串联谐振电路中其谐振角频率为：

2 、在 RLC 并联谐振电路中其谐振角频率 (频率 )为：

LCf

LCo

2

110 或

谐振特点：

（ 1 ） XL=XC ， |Z|=R ，电路阻抗为纯电阻性。

（ 2 ）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时，

总电流最小，其值为： R

U

Z

UIO

总电流与电源电压同相。

3 、在电感和电容并联的谐振电路中谐振角频率 :

品质因素 Q=ω0 L/R=1/ω0CR=

谐振特点 Z0= R0 =L/RC=Q ( 最大 )

sradLC

/1

0

R

CL

CL

U0 = R0Is

IC0=IL0=QIs