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DINAMICA DEI FLUIDI VISCOSIDINAMICA DEI FLUIDI VISCOSI
Note del Corso di Meccanica dei Fluidi
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica - Facolt di Milano Bovisa
Sezioni A & B
A.A. 2000 / 2001
Prof. Alberto Guadagnini - Dr. Monica RivaDipartimento di Ingegneria Idraulica, Ambientale e del Rilevamento (DIIAR)
Politecnico di Milano, Piazza Leonardo da Vinci, 32, 20133 Milano- Italy
Dinamica dei Fluidi ViscosiDinamica dei Fluidi Viscosi
Deformazioni del fluido
Tensore degli sforzi
Fluidi Stokesiani
Equazione costitutiva dei fluidi Newtoniani
Equazione di Navier - Stokes
Moto in tubi cilindrici
Analisi deformazioni del fluidoAnalisi deformazioni del fluido
eq1
),d,d,d((P)
),,,()(P
0
0000
tzzyyxx
tzyx
+++=
=
vv
vvP (x+dx, y+dy, z+dx)
y
x
z
0
P0(x, y, z)
t = t0
zz
yy
xx
t,z,y,xt,z,y,xt,z,y,x
ddd000
0
+
+
+=vvv
vv
[ ]0
d0 t,z,y,xgradvxvv +=
Dove: [ ]zyx dddd =x Vettore riga
=
zw
zv
zu
yw
yv
yu
xw
xv
xu
grad vMatrice
Analisi deformazioni del fluidoAnalisi deformazioni del fluido
eq2
Riscrivendo i termini fuori diagonali di vgrad
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
=
zw
yw
yw
zv
xw
xw
zu
zv
zv
yw
yv
xv
xv
yu
zu
zu
xw
yu
yu
xv
xu
grad
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
v
+
+
+
+
+
+
=
zw
zv
yw
xw
zu
zv
yw
yv
xv
yu
zu
xw
yu
xv
xu
21
21
21
21
21
21
D
-
-
-
-
-
-
=
021
21
210
21
21
21
0
yw
zv
xw
zu
zv
yw
xv
yu
zu
xw
yu
xv
W
Tensore delle rotazioni rigideTensore delle velocit di deformazione
+= Dvgrad simmetricamatrice=DW= matrice emisimmetricaW
eq3
Significato fisico termini diagonali di Significato fisico termini diagonali di D
Analisi del caso di MOTO PIANOy
x
O dx
dy
Q
P
Q
P
R
txxu
dd
O velocit nulla (evidenzio solo le velocit relative)
xxv
v;xxu
u dd=
=P
yyv
xxv
v;yyu
xxu
u dddd
+
=
+
=Q
yyv
vyyu
u d;d
=
=R
Effetto di xu
Velocit di deformazione lineare lungo lasse x
x
txxu
x d
ddd
=e
xu
dtx
=ed
Allungamento unitario subito dal cilindretto di lunghezza infinitesima dx nel tempo dt
yv
dty
=ed
zw
dtz
=edAnalogamente per e
yv
zw
(Caso 3D)
eq4
Significato fisico termini diagonali di Significato fisico termini diagonali di D
La Velocit di deformazione per unit di volume
Nel caso 3D, leffetto dellazione simultanea delle componenti diagonali di consiste in una espansione di volume
D
zyxtzzw
ztyyv
ytxxu
x dddddddddddddW -
+
+
+=
tzyxttyv
zw
tyv
txu
zw
yv
zw
xu
yv
zw
dddddddddW
+
+
+
+
+
+
+=
Al primordine txu
yv
zw
dW
dW
+
+
+=
vdivxu
yv
zw
=
+
+
=W1
dtdW
Rappresenta la dilatazione volumetrica dellelemento di fluido, senza cambiamento di forma
Se il fluido incomprimibile 0=vdiv Nessuna variazione di volume
eq5
z
x
y
O P
R
kjiv
++
++
+= xxw
wxxv
vxxu
u dddP
kjiv wvu ++=0
kjiv
++
++
+= yyw
wyyv
vyyu
u dddR
dx
dy
dz
O P
u dt
v dt
txxv
dd
O
P
R
R
tyyu
dd
txv
d
tyu d
Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore D
Q
Q
txv
yu
d z d
+
-=gDeformazione dellangolo retto in O
+
-=g
xv
yu
td zd
Velocit con cui avviene la deformazione angolare
I termini extradiagonali del tensore rappresentano la velocit di deformazione angolare
eq6
Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore D
Caso particolarexv
yu
-=
La rotazione avviene senza deformazione (rotazione rigida) con velocit angolare:
0d
=gt
d z
O
u dt
v dt
txxv
dd
O
P
R
R
txv
d
tyu
d Q
tyxv
tyyu
dddd
-=
yu
xv
tx
txxv
-=
=
=wdd
dd
1) La velocit di deformazione angolare il doppio dei termini extradiagonali del tensore
2) I termini non nulli di descrivono la velocit di rotazione rigida dellelemento fluido
D
W
+
xv
yu
21
-
yu
xv
21
Analisi deformazioni del fluidoAnalisi deformazioni del fluido
eq7
In definitiva
kjix
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
= yzv
yw
xzu
xw
zyw
zv
xyu
xv
zxw
zu
yxv
yu
dd21
dd21
dd21
Od
( ) ( ) ( ) ( )000 dd xxxxxvxv D++= WMa:
xvx d21
d =W rot
( ) ( ) ( ) xvxxxvxv d rot 21
d 00 ++= D
Analisi deformazioni del fluidoAnalisi deformazioni del fluido
eq8
( )0xv la componente del vettore velocit che da luogo ad una traslazione rigida
xv d21
rot la componente del vettore velocit che da luogo ad una rotazione rigida con velocit angolare
Il tensore viene detto tensore delle velocit di rotazione rigide
vrot21
=vW
( )0d xx D la componente del vettore velocit che da luogo ad una deformazione locale. Il tensore viene detto tensore delle velocit di deformazione
D
Lelemento fluido nel suo moto subisce una traslazione, una rotazione rigida ed una deformazione
Fluido Fluido NewtonianoNewtoniano isotropoisotropo
eq9
stttsttts
=
FFFFFFFFF
=
zxy
xyz
yzx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
F Ip=F in statica
FStato di deformazione locale
Storia passata del fluido
Velocit della deformazione locale
1. Fenomeni in cui il ricordo degli stati di sollecitazione interna si estinguono rapidamente (si svolgono in durate maggiori della memoria)
2. Sforzi indipendenti dalle deformazioni
)(Df=F
Ip=FFluido
Stokesiano
Fluido Fluido NewtonianoNewtoniano isotropoisotropo
eq10
=
=
zz
yy
xx
zw
yv
xu
D000D000D
00
00
00
D
Anche deve assumere forma diagonale.
Infatti: rotazione rigida attorno allasse x
zz~yy~xx~ -=-==
x
y
z
z~
y~
x~
v
w~wv~v
u~u
-=-=
=( )( )( )( ) zzz~z~
yyy~y~
xxx~x~
zw
zw
z~w~
yv
yv
y~v~
xu
x~u~
DD
DD
DD
==
--=
=
==
--=
=
=
=
=
Nel nuovo sistema di riferimento ancora diagonale e presenta le medesime componenti
D
Terna di riferimento in modo tale che sia diagonaleD
F
Fluido Fluido NewtonianoNewtoniano isotropoisotropo
eq11
Le componenti del tensore sono identiche ed il legame funzionale non dipende dallorientamento degli assi
x
yy~
x~
xFy~x~xy F-=F
( )( )z~z~y~y~x~x~y~x~
zzyyxxxy
,,f
,,f
DDD
DDD
=F
=F
y~x~xy F=F
0=F=F y~x~xy
Fluido Fluido NewtonianoNewtoniano isotropoisotropo
eq12
-s-s
-s+
=
ss
s=
p000p000p
p000p000p
000000
z
y
x
z
y
x
F
Parte statica Tensore DEVIATORE DEGLI SFORZI (originato dal moto)
Legame lineare fra eF DFluido Newtoniano
zzzzyyzyxxzxz
zzyzyyyyxxyxy
zzxzyyxyxxxxx
DDD p
DDDp
DDDp
mmms
mmms
mmms
++=-
++=-
++=-Forma pi generale di legame lineare
Fluido Fluido NewtonianoNewtoniano isotropoisotropo
eq13
I coefficienti mij non sono tutti distinti, infatti cambiando 2 volte sistema di riferimento
Mutano le componenti di
e ma non i loro valoriF Dzz~~xy
~~yx~~
xz~zy~yx~
===
=== E cambiato solo il nome degli assi
x
y
z
y~~z~
x~~x~
z~~y~
z~~y~zz
~~z~~y~y~zz
x~~x~yx
~~x~~x~x~yy
y~~z~xy
~~y~~z~z~xx
s=s=s==
s=s=s==s=s=s==
DDD
DDDDDD
mxx = myy = mzz = - m -2 m
mxy = mxz = myx = myz = mzx = mzy = - m
convenzionalmente
Fluido Fluido NewtonianoNewtoniano isotropoisotropo
eq14
Possiamo quindi scrivere
( )
( )
( ) zzzzyyxxz
yyzzyyxxy
xxzzyyxxx
wvu
wvu
wvu
D2zyx
'D2'D'D' p
D2zyx
'D'D2'D'p
D2zyx
'D'D'D2'p
m-
+
+
m-=m+m-m-m-=-s
m-
+
+
m-=m-m+m-m-=-s
m-
+
+
m-=m-m-m+m-=-s
DII m-m-= 2div'p vf
( ) DI m-m-= 2div'p vf
Equazione costituiva dei fluidi Newtoniani
valida per qualunque terna di riferimento
Significato fisico di Significato fisico di mm
eq15
dt
d
21
2D2 yxzyxz xw
zu g
m=
+
m-=m-=t=f
y
x
z
O A
C
( ) kjiv
++
++
+== xxw
wxxv
vxxu
utt ddd0A
( ) kjiv wvutt ++== 00
( ) kjiv
++
++
+== zzw
wzzv
vzzu
utt ddd0C
dx
dy
dz
O A
u dt
w dt
txxw
dd
O
A
C
C
tzzu
dd
txw
d
tzu
d
+
-=g
xw
zu
dtd y
Legge di Newton
m viscosit dinamica
Significato fisico di Significato fisico di mm
eq16
z2div'p
y2div'p
x2div'p
m-m-=s
m-m-=s
m-m-=s
w
v
u
z
y
x
v
v
v
Esplicitiamo le componenti normali di sforzo
sx + sy + sz = 3p
invariante
+
+
--=++zyx
2div'3p3wvu
zyx mmsss v
0div32
' =
m+m v
1) fluido incomprimibile
2) Hp. di Stokes
0div =v
m-=m32
'
m: responsabile di dissipazioni energetiche in un fluido isotermo che subisce deformazioni angolari
m: legato a variazioni di volume
eq1
Equazione di moto del fluidi Equazione di moto del fluidi NewtonianiNewtoniani
eq17
DI m-
m+= 2div
32
p vF
( ) Fdiv=F
+F
+F
=-rzyx
AFzyx
( ) div=-r AF
m-
m+ DI 2div
32
p v
Eq. dei Momenti
Eq. Reologica (legame sforzi deformazioni)
[ ] ( )pgradppppdiv =
+
+
= kjizyx
I
( ) ( )vvv divgrad32
divgrad32
div32
div m=m=
m I
se m uniforme
eq1
Equazione di moto del fluidi Equazione di moto del fluidi NewtonianiNewtoniani
eq18
[ ] ( ) ( ) ( )++
+++
+ ++
m-=m- kjikjikji zzzyzxyzyyyxxzxyxx zyxDDDDDDDDD22div D
Sviluppiamo le componenti, ad esempio in direzione x si ottiene:
[ ]{ }
vdiv
21
21
21
21
21
212
21
21
21
21
2
21
21
2
DDD22div
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
xzu
yu
xu
zxw
yxv
xu
zu
yu
xu
zxw
zu
yxv
yu
xu
xu
zxw
zu
yxv
yu
xu
xw
zu
zxv
yu
yxu
x
zyxzxyxxx
x
m-
+
+
m-=
+
+
m-
+
+
m-=
++
+
+
+
m-=
+
+
+
+
m-=
+
+
+
+
m-=
+
+
m-=m- D
se m unifome
eq1
Equazione di moto del fluidi Equazione di moto del fluidi NewtonianiNewtoniani
eq19
Analogamente lungo le direzioni y e z si ottiene rispettivamente:
[ ]{ } vdiv2div 22
2
2
2
2
yzv
yv
xv
y
m-
+
+
m-=m- D
[ ]{ } vdiv2div 22
2
2
2
2
zzw
yw
xw
z
m-
+
+
m-=m- D
Sostituendo: ( ) ( ) ( )vvv divgraddivgrad32
p grad 2 m-m-m+=-r AF
In definitiva: [ ] ( )vv divgrad2div 2 m-m-=m- DLaplaciano
( ) ( ) vv 2divgrad31
p grad m-m-=-r AF Eq. Momenti + reologica
Eq. di Continuit
Eq. di Stato + Condizioni al contorno + Condizioni iniziali
0divdtd
=r+r
v
Per fluidi incomprimibili: 0div =v ( ) v2p grad m-=-r AF Eq. di Navier Stokes
Moto permanente laminare in un fluido viscoso incomprimibile Moto permanente laminare in un fluido viscoso incomprimibile (UNIFORME)(UNIFORME)
eq20
( ) v2p grad m-=-r AFProiezione lungo la traiettoria:
v pv 2m-
=
-
-rsdt
dsz
g v = modulo di v
Moto uniformesv
vv
ddv
+
=tt
Moto permanente
+
+
m-
=
g- 22
2
2
2
2 vvv
pbnsss
z
Moto uniforme
0vv
p
2
2
2
2
Moto permanente laminare in un fluido viscoso incomprimibile Moto permanente laminare in un fluido viscoso incomprimibile (UNIFORME)(UNIFORME)
eq21
z = 0
s
nbvmaxv
z
gp
z
gp
ds
g
+
-=p
J zs
J ds
+
gm
-=
- 22
2
2 vv
Hbns
J = costante lungo la traiettoria =
Integrando -= ss
sss 00
dJ dH
Si ottiene lequazione del moto in termini finiti H(s) - H(0)= - J s
Moto permanente in tubi cilindriciMoto permanente in tubi cilindrici
eq22
x
y
z
vx
Moto permanente
r, m uniformi e stazionarie
x: direzione e moto velocit
Eq. di continuit 0div =v 0v =
x
x vx = f (y, z)
tF
dd
p grad 2v
v r=m+-rEq. di Navier Stokes Proietto lungo le coordinate x,y,z
( )
( )
( ) 0
0
0v2
=+r
-
=+r-
=m++r
-
pgzz
pgzy
pgzx x
Dalle ultime due equazioni si evidenzia che il carico piezometrico h definito come
g+=
pzh
uniforme su ogni piano ortogonale allasse x
La pressione varia con legge idrostatica lungo ogni sezione trasversale della condotta
Moto permanente in tubi cilindriciMoto permanente in tubi cilindrici
eq23
0v2 =gm
+
g
+
- xp
zx
Come vx anche 2 vx indipendente da x
Il carico piezometrico varia lungo x in accordo con la proiezione lungo lasse xdellequazione di Navier Stokes
La variazione di carico piezometrico uniforme con x
Detto:
g
+-= pzx
J J costante lungo la condotta
Jv2mg
-= x
Per determinare la distribuzione della velocit longitudinale vx su ciascuna sezione trasversale bisogna integrare lequazione
Eq. di Poisson
Necessarie: la forma della sezione trasversale
le condizioni cinematiche al contorno
Moto permanente in tubi cilindrici a sezione circolareMoto permanente in tubi cilindrici a sezione circolare
eq24
Conviene ricorrere alle coordinate cilindriche
Jv1v1vv
v 22
22
2
2
22
mg-=
q
+
=
+
= xxxxx rr
rrzy
Integrando con la condizione al contorno
z
y r
qr0
vx = 0 per r = r0
Si ottiene ( )220J4v rrx -mg
= 20J4v rmaxx m
g= sullasse
4
0
DJ128
dv20
pm
g=p= rrQ x
r
Formula di Pouseuille
maxxrQ
v21
DJ32
V 220
=m
g=
p= velocit media
00 J2v
0
rr rrx g=
m-=t=
Sforzo tangenziale alla parete