Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
9. Kombinované namáhání O kombinovaném namáhání nosníku mluvíme, když průřez namáhán nějakou
kombinací vnitřních sil:
Nx – normálová síla
My,Mz – ohybové momenty
Mx = Mk – kroutící moment
Vnitřní síly dostaneme integrací napětí
A
xy dAzM
A
xy dAyM
A
xx dAN
A
xtkx dAMM
Mx = Mk
My
Mz
z
y
x
Nx
Šikmý ohyb – kombinace namáhání dvěma ohybovými momenty
Jsou-li souřadné osy y a z totožné s hlavními centrálními osami setrvačnosti a
průřez je namáhán ohybovými momenty My a Mz, lze pro výsledné normálové
napětí napsat
z
z
y
y
xxxI
yM
I
zM
Analogie s prostým ohybem pro osu y.
9.1. Kombinace tahu nebo tlaku s ohybem
Výsledný účinek vnějších sil nahrazuje z jedné strany průřezu ekvivalentně síla
N, jejíž paprsek neprochází těžištěm C, ale je kolmý k průřezu.
Tah: A
Nx
Ohyb: je vyvolán dvojicí sil N, jedná se o tzv. šikmý ohyb
z
y
ey
ez
ez
N
C
e
yzzy eNMeNM
eNM
Normálové napětí pro šikmý ohyb:
yI
eNz
I
eN
z
y
y
zx
Výsledné napětí – součet napětí od tahu a šikmého ohybu:
yI
eNz
I
eN
A
N
z
y
y
zx
kde
2yy iAI 2
zz iAI
Potom
y
i
ez
i
e
A
N
z
y
y
zx 22
1
V daném průřezu jsou hodnoty N, A, ey, ez, iy, iz konstantní a proto se
normálové napětí x mění v průřezu lineárně.
Geometrické místo bodů v nichž je normálové napětí nulové - neutrální osa,
určíme z podmínky
0x => 0122
zi
ey
i
e
y
z
z
y
Neutrální osa neprochází tedy těžištěm, může mít obecně šikmý směr a protíná
osy y a z v bodech (p,0) a (0,q) a dělí průřez na část taženou a tlačenou
0102
pi
e
z
y
=>
y
z
e
ip
2
obdobně
0102
qi
e
y
z
=>
z
y
e
iq
2
z
y
(y1,z1)
(y2,z2)
-p
-q
n.o. × P
1
2
Ze znamének úseku je patrno, že neutrální osa protíná každou souřadnicovou
osu na opačné straně těžiště, než je působiště síly N.
Působiště síly N se nazývá dle účinku centrum tahu nebo tlaku.
Z polohy neutrální osy vyplývá, že celý kvadrant, v němž je působiště síly, je
vždy namáhán napětím téhož znaménka jako normálová síla.
Největší (maximální) hodnota tahu a tlaku vzniká v krajních bodech
průřezu, nejvíce vzdálených od neutrální osy.
Označíme-li souřadnice těchto bodů (y1,z1) a (y2,z2) bude max. tahové a tlakové
napětí
tah
1 12121
z
i
ey
i
e
A
N
y
z
z
y
ak tl
1 22222
z
i
ey
i
e
A
N
y
z
z
y
Často žádáme, aby byl celý průřez tlačen. Část průřezu, v němž musí ležet
působiště vnější síly tak, aby byla celá plocha průřezu pouze tlačena (případně
tlačena), se nazývá jádro průřezu.
Def.: Jádro průřezu je množina tlakových center, při kterých je celý
průřez tlačen nebo tažen.
Jádrový obrazec obsahuje těžiště průřezu. Bude-li tlakové (tahové)
centrum ležet na hranici jádra, neutrální osa se bude dotýkat obrysu
průřezu.
Proto strany jádrového obrazce můžeme sestrojit jako neutrální osy
k tlakovým (tahovým) centrům, která umístíme do vrcholů obrysů průřezu.
Je-li průřez mnohoúhelníkem, je mnohoúhelníkem také jádrový průřez.
Při hledání jádra průřezu je třeba doplnit nekonvexní
obrazec průřezu na konvexní obrazec.
nekonvexní
obrazec
konvexní
obrazec
Př.1. Jádro průřezu obdélníka
Tlakové (tahové) centrum
umístíme postupně do vrcholů
1,2,3 a 4 a nalezneme
odpovídající neutrální osy.
Vrchol 1
2
2
he
be zy
Poloměry setrvačnosti
12
12
12
3
2 h
bh
bh
A
Ii
y
y
12
12
12
3
2 b
bh
hb
A
Ii zz
y
z
b
h
n1
n2
n3
n4
1 2
3 4
h/6
b/6
Potom
Obdobně pro vrcholy 2,3 a 4.
6
2
12
2
2h
h
h
e
iq
z
y
6
2
12
2
2b
b
b
e
ip
y
z
Př.2. Jádro průřezu kruhu
Jádro průřezu určíme opět s využitím
duality tak, že neutrální osy k tlakovým
centrům ležících na obrysu průřezu
považujeme za tečny k obrysům jádra.
Např. tlakovému centru v bodě
rzyA ,01 odpovídá neutrální osa n1,
přičemž úseky, které vytíná na hlavních
souřadnicových osách y a z, vyplývají ze
vztahu
0122
zi
ey
i
e
y
z
z
y
Při poloměru setrvačnosti kruhu
44
2
2
422 r
r
rii zy
z
y
r r
Ak nk
A1
r/4
r/4
n1
Potom dostáváme
44
04
2
1
2
1
r
r
r
q
r
p
Neutrální osy odpovídající různým polohám bodu kiAi ,....2,1 a vzdálené o
hodnotu
, který je jádrem daného kruhového průřezu.
Př.3 Jádro rovnoramenného trojúhelníka
z
y
3
1 2
n2 n1
n3 h/12
h/6
b/12 b/12
b/2 b/2
2h/3
h/3
18
24 01
22
22
22
hi
biz
i
ey
i
eyz
y
z
z
y
0102
pi
e
z
y pro 0
2
y
z
e
ipqz
0102
qi
e
y
z pro 0
2
z
y
e
iqpy
Tlaková centra
3,
21
hb ;
12
2
24
2
2b
b
b
e
ip
y
z
6
3
18
2
2h
h
h
e
iq
z
y
3,
22
hb ;
12
2
24
2
2b
b
b
e
ip
y
z
6
3
18
2
2h
h
h
e
iq
z
y
3
2,03
h ;
0
24
2
2
b
e
ip
y
z 12
3
2
18
2
2h
h
h
e
iq
z
y
9.2. Kombinace ohyb a kroucení
Volné kroucení platí pouze pro kruhový průřez a mezikruží.
ohyb zI
M
y
y
x kroucení p
ktx
I
M,
dov
y
xW
M dov
k
ktx
W
M ,
kde
21
64
44p
zy
I
D
dDII
32
1
2
164
4
3
44
D
dD
D
D
dD
W
D
d
16
1
2
132
2
4
3
44
D
dD
D
D
dD
D
IW
p
k
9.3. Kombinace tah nebo tlak a kroucení
tah (tlak) dovxA
N kroucení dov
k
ktx
W
M ,
Pro kruhový průřez
2
4
D
Nx
3max
16
D
M k
64642
44 DDI p
16
2
323
4
D
D
D
Wk