Kvantno-mehanički model atoma

• Najprije je Luis de Broglie napravio materija-talas

hipotezu a onda su Erwin Schrodinger i Werner

Heisenberg odvojeno jedan od drugog i na različite

načine razvili novu teoriju o atomu. Iako sasvim različita

ova dva pristupa su se pokazala sasvim kompatibilnim.

• Nova teorija, nazvana KVANTNA MEHANIKA

objedinjuje talas-čestica dualnost u jedinstvenu

konzistentnu teoriju.

Valna/talasna priroda svjetlosti

ph

pc

h

1924. Louis de Broglie postavio hipotezu prema kojoj

svaka čestica koja se kreće osim čestičnih ima i valna

svojstva.

De Broglie-v talas/val

Talasni paket :

Sadrži broj talasa čija amplituda opisuje vjerovatnost nalaženja čestice na određenom mjestu.

Gdje je : talasna dužina, h : Planck-ova konst.

i m0 : masa čestice.

* http://www.wikipedia.org/

de Broglie-eva hipoteza

(1924 njegova PhD teza

za koju je 1929 dobio Nobel ovu nagradu

Prema relaciji ekvivalencije mase i energije :

Gdje je p : impuls i : frequencija.

Korištenjem E = h, dobije se

Difrakcija elektrona

ph

2

2

hpx

Interferencija snopa elektrona difraktovanih na dva procjepa

Dokazana je u Davisson-Germer’ovom eksperimentu 1927 godine :

Elektroni se puštaju na zaklon kroz dvije pukotine.

Elektron kao čestica ne bi mogao da se

difraktuje i interferira.

* http://www.wikipedia.org/

　 　 -

+

Međutim uočena je interferencija elektrona

To je dokazivalo talas-čestica dualnost.

pmv

c

vk

E

e

dVdV

tkci

V

2

2

2

1

Gustoća vjerovatnosti (da česticu nađemo na nekom mjestu)

Normiranje

Valni broj

Schrödinger-ova jednačina

.. Je uvedena 1926.g. kako bi se uveo elektron kao de Broglie-v talas :

E : vlastita vrijednost energije : talasna funkcija

* : compleksno konjugovana (tj., z = x + iy and z* = x - iy)

operator

de Broglie-ev talas

: normiranje

Vjerovatnost nalaženja čestice

0,02

02

2

2ˆˆˆ

ˆ

2

2

2

22

2

22

2

2

22

2

22

kx

Em

x

VEm

x

tiV

xm

tiE

Vxm

VTH

EH

Schrödingerova jednačina

Kvantno-mehanički model atoma

• Ova teorija se uspješno bavila spektrima koje emituju složeni atomi

čak i u sitnim detaljima. Ona objašnjava i relatvni intenzitet

spektralnih linija kao i to kako atomi formiraju molekule. Toliko je bila

uspješna u svim mogućim objašnjenjima do tada “neobjašnjivih”

fenomena da je postala opće prihvaćena fundamentalna teorija koja

leži u osnovi svakog fizikalnog procesa.

Kvantno-mehanički model atoma• Po ovom modelu atoma elektroni ne

postoje u jasno definiranim kružnim

orbitama kao u Bohr-ovom modelu.

Radi svoje valne prirode elektron

predstavlja oblak negativnog naboja.

Veličina i oblik elektronskog oblaka

može da se izračuna za dato stanje

atoma. Za osnovno stanje atoma

vodonika elektronski oblak je sferno

simetričan. Elektronski oblak ugrubo

određuje “veličinu” atoma; ali baš kao

što oblak nema preciznu granicu, tako

ni atomi nemaju jasnu granicu niti

dobro definiranu veličinu. Međutim,

nemaju svi elektronski oblaci sferni

oblik.

Elektronski oblak

Elektronski oblak• Elektronski oblak može da se interpretira bilo kao čestica ili kao talas.

Čestica je nešto što mislimo da je lokalizovano u prostoru – ima tačno

definirani položaj u svakom momentu. Nasuprot tome, talas je nešto što se

širi negdje u prostoru i elektronski oblak može tako da se interpretira.

• Međutim, elektronski oblak može da se interpretira i kao raspodjela

vjerovatnih položaja čestice. Ako bismo napravili 500 različitih mjerenja

položaja elektrona posmatrajući ga kao česticu, većina rezultata bi pala u

tačke velike vjerovatnosti (oblast veće gustine tačaka).

• Ovdje ne možemo odrediti putanju po kojoj bi se elektron kretao. Samo

možemo odrediti vjerovatnost njegovog nalaženja u raznim tačkama.

Matematička vrijednost ove vjerovatnosti leži između 0 i 1. Ovdje 0 znači

“nikad”, a 1 znači “uvijek”. Na primjer ako je vjerovatnost nalaženja

elektrona u okviru nekog radijusa 0,4, to znači 40% mogućnosti da se

elektron nađe u tom ptostoru.

Kvantno-mehanički model atoma

• Pojedinačni elektron može u raznim

trenucima biti detektovan bilo gdje u

ovom oblaku vjerovatnosti; on čak ima

i izvjesnu, mada veoma malu,

vjerovatnost da se nađe unutar jezgra.

Međutim, najčešće se kroz proračun

vjerovatnosti njegovog nalaženja na

nekom mjestu, detektuje na mjestima

koja su nagomilana oko udaljenosti od

jezgra koja odgovara prvom Bohr-

ovom radijusu i tu je elektronski oblak

vodikovog atoma u osnovnom stanju

najgušći. Elektronski oblak

Kvantni brojevi

Rješavanje Schrodingerove jednačine (r,,)=R(r)Y(,)

Rješenje za vodikov atom (svojstvene vrijednosti):

nlm=Rnl Ylm

220

42

2 8

1

h

eZm

nE en

n - glavni kvantni broj;

svi elektroni istog kvantnog broja n pripadaju istoj ljusci;

n=1 K

n=2 L

n=3 M

l- orbitalni kvantni broj

Bohrov model kružnih putanja ne može objasniti finu strukturu, ni Starkov ni

Zeemanov efekt.

Sommerfeld je proširio model na eliptički model atoma.

Valna mehanika pokazuje, umjesto Bohrovog L=nħ, da je:

Gdje orbitalni kvantni broj l može za određeni glavni kvantni broj n poprimiti ove vrijednosti:

l=0,1,2...n-1

Orbitalni kvantni broj određuje moment količine gibanje.

1 llL

l=0 sl=1 pl=2 d

Moguća stanja: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d ...

ml - magnetni kvantni broj

Elektron koji se oko jezgre čini zatvorenu strujnu petlju određenog magnetskog

momenta. Pretpostavimo da je staza kružnica polumjera r:

Ako imamo vanjsko magnetsko polje u smjeru z-osi, slijedi:

ml je magnetni kvantni broj. Za određeni l magnetni kvantni broj može poprimiti 2l+1

cjelobrojnih vrijednosti između –l i l, tj.

ml=0,1, 2,..., ± l

Lm

e

e

2

lz mL

Spin elektrona

Stern-Gerlachov eksperiment

2

1

2

12

3)1

ss mm

ssS

S

Spin ( moment količine kretanja elektrona)

Za fermione, spinskog kvantnog broja ½

Spinski kvantni brojevi (za fermione)

Ukupni moment količine kretanja:

)1(

jjJ

SLJ Russel-Sandersovo vezanje

1. Kretanje elektrona u atomu određeno je sa četiri kvantna broja.

2. U elektronskom omotaču elektroni su raspoređeni po tzv.

Paulijevom principu isključenja. Taj princip kaže da dva elektrona

u atomu ne mogu imati sva četiri kvantna broja jednaka.

Cijepanje spektralnih linija kada se atomi koji emitiraju svjetlost nalaze u

magnetnom polju opazio je 1896. Zeeman.

Cijepanje energetskih nivoa u magnetnom polju (EB=zB) uzrokuje cijepanje

spektralnih linija tj. Nastaje Zeemanov efekt.

Cijepanje energijskih nivoa tj. spektralnih linija u električnom polju je Starkov efekt.

Kako “vidjeti” atom?Skanujući elektronski mikroskop sa tuneliranjem

• No kako atom zaista «izgleda» nakon svega

čini se gotovo neumjesnim pitanjem. Atom,

naime, «izgleda» različito za različite

metode opažanja. Ako ga posmatramo

našim okom, onda atom ne postoji.

Međutim, čovjek je izumio mnoge osjetljive

instrumente kojima može opažati i ono što je

za njegovo oko nedostižno. Najpreciznije

«slike» pojedinačnih atoma dobijene su

pomoću tzv. skanujućeg elektronskog

mikroskopa sa tuneliranjem.

• Na slici su pronalazači STM-a (1981.g.)

George Bennig i H.Rohrer sa “komorom”

svoga izuma.

Skanujući elektronski mikroskop sa tuneliranjem

• Ovaj mikroskop koristi elektronsko

tuneliranje kako bi proizveo tako

precizne slike koje idu do nivoa

pojedinačnih atoma. U ovom mikroskopu

se izuzetno oštra provodna igla

primakne nekoj površini na izuzetno

malu distancu reda svega 1nm. Kada je

igla na pozitivnom potencijalu u odnosu

na površinu, elektroni mogu da tuneliraju

kroz površinsku barijeru potencijalne

energije i tako da dođu do igle. Kako

proračuni pokazuju vjerovatnost

tuneliranja, a time i struja tuneliranja

bitno zavise od širine L barijere (a to je

ovdje rastojanje između površine i vrha

igle).

Skanujući elektronski mikroskop sa tuneliranjem

• Igla se skenira preko površine i

u isto vrijeme se pomijera

okomito na površinu tako da

se održi stalna struja

tuneliranja. Pomijeranje igle se

registruje i nakon mnogo

paralelnih skeniranja može se

rekonstruisati izgled površine

Ovdje je bitno da se obezbijedi

izuzetno precizna kontrola

kretanja igle i njena izolacija

od vibracija.

Slike pojedinačnih atoma na STM-u

• Dodalno obojeni izgled atoma

joda koji su adsorbovani na

površini kristala platine.

• Ovdje žuti spot pri dnu slike

predstavlja mjesto gdje

nedostaje atom

Slika galijumovog arsenida GaAs na skanujućem elektronskom mikroskopu sa tuneliranjem

• Plave tačke su atomi galijuma

Ga, a crvene tačke su atomi

arsena As.

Još jedna STM slika

• Lijeva slika predstavlja

površinu kristala zlata

orjentacije (111).

• Na desnoj slici je ista površina

od bakra.

Krug prečnika 14 nm kojeg čine atomi željeza na bakarnoj površini: slika sa STM-a (Scanning

Tunneling Microscope)