MIGUNANI. M.KOM

PROBABILITAS DAN NILAI HARAPAN

Pendahuluan

Didalam keadaan dimana informasi tidak lengkap dan data hanya perkiraan saja, maka pembuat keputusan akan membuat keputusan dalam ketidak pastian (uncertainty).

Untuk mengukur ketidak pastian tersebut harus dipergunakan konsep nilai kemungkinan atau probabilitas (probablity concepts).

Contoh keputusan yang tidak pasti, misalnya : Investasi dalam bentuk deposito atau saham danareksa Memasuki pasar baru atau tetap di pasar lama Menaikkan harga agar keuntungan besar atau harga

tetap

Ketidak Pastian dan Hasil Eksperimen

Suatu proses disebut acak apabila hasil proses tersebut tidak diketahui hasilnya dengan pasti. Misalnya melempar uang Rp. 500, yang terlihat gambar

( B ) atau bukan gambar ( Β ). Contoh lain dalam eksplorasi dalam pengeboran tanah

akan diperoleh apakah Minyak (M), Gas (G) atau bukan Minyak dan Gas ( MG )

Seluruh kemungkinan hasil tersebut disebut dengan sampel.

Kejadian (event) merupakan himpunan bagian (sub set) yaitu bagian ruang sampel.

Contoh

Jika sebuah dadu dilempar, maka kemungkinan keluar mata dadu enam yaitu 1,2,3,4,5,6. Misalkan e1,e2,e3,e4,e5,e6 merupakan elementary event sebagai hasil pelemparan dadu tersebut.

Titik Sampel kemungkinan mata dadu yang muncul. S = {e1,e2,e3,e4,e5,e6} = ada 6 titik sampel A = Kejadian jika mata genap yang keluar = {e2,e4,e6} = ada tiga titik sampel B = Kejadian jika yang keluar mata 5 dan 6

= {e5,e6} = ada dua titik sampel AB = {e6} = ada satu titik sampel

Probabilitas suatu kejadian A atau disebut P(A) adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti. Maka P(A) = banyaknya elemen subset yang

membentuk A / seluruh elemen dalam set.Misalnya pada kasus pelemparan dadu

S = {e1,e2,e3,e4,e5,e6} = ada 6 titik sampel A = Kejadian jika mata genap yang keluar = {e2,e4,e6} = ada 3 titik sampel Maka Probabilitas Kejadian A => P(A) = 3/6 = 0,5

Misalnya dalam kasus pengendalian mutu produk ada 100 buah barang yang diperiksa ternyata ada 15 yang rusak. Jika kita mengambil 1 barang rusak secara acak (A), maka berapa probabilitasnya ? Seluruh Elemen Set = n = 100 Banyaknya elemen yang rusak /subset = X = 15 Maka Probabilitas A = P(A) = X/n = 15/100 = 0,15

Jadi kemungkinan memperoleh barang rusak adalak 0,15 Namun, jika X = O (tidak ada barang rusak) Maka P(A) = O/n = O Namun, jika X=n=100 (semua barang rusak) Maka P(A) = n/n = 100/100 = 1

Contoh Soal

Pada Kasus Mata DaduS = {e1,e2,e3,e4,e5,e6} = ada 6 titik sampelA = Kejadian jika mata genap yang keluar

= {e2,e4,e6} = ada 3 titik sampelB = Kejadian jika mata 5 dan 6 yang keluar

= {e5,e6} = ada 2 titik sampel

Berapa Probabilitas P(B) ? Berapa Probabilitas P(AB) ? Berapa Probabilitas P(AuB) ? Berapa Probabilitas P(AnB) ? Berapa Probabilitas P(S) ?

Kejadian Majemuk dan Probabilitas Bersayarat

Kejadian disebut saling meniadakan (mutually exclusive) antara A dan B Apabila P(AUB) = P(A) + P(B)

Kejadian disebut tak saling meniadakan (not mutually exclusive) antara A dan B Apabila P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Jika terdapat “sejumlah kejadian“ yang disebut “n” yaitu A1, A2, A3...An Maka P(A) = P(A1 U A2 U ... U Ai ... U An) = 1

1)(1

n

iiAP

Jika A dan B Bebas (independent) P(AB) = P(A) P(B)

Jika A dan B Tak Bebas (dependent) P(AB) = P(A) P(B/A) atau P(AB) = P(A) P(A/B) P(A/B) = dibaca probabilitas bahwa kejadian A terjadi

“dengan syarat” kejadian B terjadi P(B/A) = dibaca probabilitas bahwa kejadian B terjadi

“dengan syarat” kejadian A terjadi Maka P(A/B) dan P(B/A) disebut probabilitas

bersyarat, dimana :

)(

)()/(

BP

ABPBAP

)(

)()/(

AP

ABPABP

Contoh Kasus

1. Dari seratus orang mahasiswa yang mengikuti matakuliah TPK , ada 20 orang mendapat nilai A, 30 orang mendapat nilai B, 30 orang nilai C, dan 20 orang nilai D. Dari seratus orang tersebut yang lunas uang kuliahnya 65 (L) dan 35 orang belum lunas (L).A. Berapakah probabilitasnya mahasiswa yang sudah lunas

uang kuliahnya (L) dan mendapat nilai B atau berapa probabilitasnya bahwa ia mendapat nilai B dengan syarat dia sudah lunas uang kuliahnya ?

B. Berapakah probabilitasnya mahasiswa yang mendapatkan nilai C, dan belum lunas uang kuliahnya (L) atau berapakah probabilitasnya bahwa dia belum lunas uang kuliahnya dengan syarat bahwa dia mendapat nilai C.

Distribusi Hasil Ujian TPK

Nilai Lunas Belum Lunas JumlahA 20 0 20B 15 15 30C 25 5 30D 5 15 20

65 35 100

Untuk menjawab pertanyaan A, bahwa mahasiswa tersebut diketahui sudah lunas uang kuliahnya, lalu ditanya berapa probabilitasnya bahwa dia mendapat nilai B, jadi yang ditanya P (B/L) bukan P(B).

Jawab A

23,013

3

65

15

100/65

100/15

)(

)()/(

LP

BLPLBP

Probabilitas Mahasiswa yang mendapat nilai (B), dengan syarat sudah Lunas (L) uang kuliahnya

Maka Probabilitas Mahasiswa yang mendapat nilai (B) saja, tanpa syarat sudah lunas uang kuliahnya

30,010

3

100

30

)(

)()(

LP

BPBP

Distribusi Hasil Ujian TPK

Nilai Lunas Belum Lunas JumlahA 20 0 20B 15 15 30C 25 5 30D 5 15 20

65 35 100

Untuk menjawab pertanyaan B, bahwa mahasiswa tersebut diketahui mendapat nilai C, dan berapa probabilitasnya bahwa dia belum lunas uang kuliahnya, jadi yang ditanya adalah P (L/C) bukan P(L).

Jawab B

17,06

1

30

5

100/30

100/5

)(

)/()/(

CP

CLPCLP

Probabilitas Mahasiswa yang Belum Lunas (L) uang kuliahnya, dengan syarat mendapat nilai (C)

Contoh 2

2. Pimpinan sebuah bank mengelompokkan peminjaman kredit sebagian nasabah menjadi 3 kelompok yaitu Baik (B), Sedang (S) dan Jelek (J). Berdasarkan data peminjaman yang lalu 60% termasuk B, 30% termasuk S dan 10% J. Berdasarkan pusat riset bank , probabilitas nasabah mengembalikan kredit tepat pada waktunya bagi nasabah kategori B 90%, kategori S 50%, dan kategori J hanya 20%

Pertanyaan

1) Pimpinan bank ingin mengetahui berapa probabilitas seorang nasabah yang dipilih secara acak yang termasuk kategori sedang dan mengembalikan kredit tepat pada waktunya ?

2) Berapakah kemungkinan bahwa seorang nasabah akan mengembalikan kredit tepat pada waktunya ?

3) Berapakah probabilitasnya bahwa nasabah termasuk baik dengan syarat bahwa dia tepat mengembalikan kreditnya ?

Diagram Pohon Probabilitas

B=Baik, S=Sedang, J=Jelek, T=Tepat waktu, T= Tidak tepat waktu

Jawab 1

1. Nasabah yang mengembalikan kredit tepat pada waktunya (T), bisa tergolong B (baik), S (sedang) atau J (jelek). Sehingga probabilitas yang kategori sedang dan mengembalikan kredit tepat pada waktunya adalah :

15,0)50,0)(30,0()/()()()( STPSPSTPTSP

TJTSTBT B S J

Jawab 2

2. Nasabah yang mengembalikan kredit tepat pada waktunya.

Proses perhitungan diatas melibatkan probabilitas bersama (joint probability). Karena itu pada umumnya perhitungan akan lebih mudah apabila kita membuat tabel probabilitas terlebih dahulu.

Tabel probabilitas bersama tersebut dapat diperoleh dengan menuliskan nilai-nilai probabilitas yang sudah diketahui, misalnya dalam contoh ini probabilitas nasabah berkategori B,S,J masing-masing sebesar 0,60; 0,30; 0,20

)()()()( TJPTSPTBPTP )/()()/()()/()()( JTPJPSTPSPBTPBPTP

71,0)20,0)(10,0()50,0)(3,0()90,0)(60,0()( TP

Tabel Probabilitas Bersama

Probabilitas BersamaKategori

B S JT(tepat waktu) a b c dT(tak tepat waktu) e f g h

0,60 0,30 0,10 Selanjutnya mengisi kotak a sampai dengan h yang masing kosong berdasarkan angka-angka yang sudah diketahui.1)Kotak (a) harus diisi P(TB) = nasabah yang baik dan tepat mengembalikan kredit.2)Kotak (b) harus diisi P(TS) = Nasabah yang sedang dan tepat mengembalikan kredit. Dan seterusnya untuk kotak lainya.

Nilai Probabilitas Masing-masing Sel

02,0)20,0)(10,0()(

)/()()()(

15,0)50,0)(30,0()(

)/()()()(

54,0)90,0)(60,0()(

)/()()()(

TJPc

JTPJPJTPTJPc

TSPb

STPSPSTPTSPb

TBPa

BTPBPBTPTBPa

08,0)80,0)(10,0()(

)/()()()(

15,0)50,0)(30,0()(

)/()()()(

06,0)10,0)(60,0()(

)/()()()(

JTPg

JTPJPTJPJTPg

STPf

STPSPTSPSTPf

BTPe

BTPBPTBPBTPe

29,008,015,006,0

)()(

71,002,015,054,0

)()(

h

JTSTBTPTPh

d

TJTSTBPTPd

Tabel Probabilitas Lengkap

Probabilitas Bersama (Proses Perhitungan)Kategori

B S JT(tepat waktu) 0,54 0,15 0,02 0,71T(tak tepat waktu) 0,06 0,15 0,08 0,29

0,60 0,30 0,20 1,00

Dengan menggunakan tabel diatas kita dapat menjawab pertanyaan No.3 Berapa probabilitasnya bahwa nasabah termasuk baik dengan syarat dia tepat mengembaliakan kreditnya

76,071,0

54,0

)(

)()/(

TP

BTPTBP

Kesimpulan

Dapat simpulkan bahwa jika kita mengetahui seorang nasabah mengembalikan kredit tepat waktu maka probabilitas bahwa dia akan termasuk dalam kategori B adalah sebesar 0,76.

Bandingkan jika kita sama sekali belum mengetahui perihal pengembalian kredit yang dilakukan nasabah, dimana pada kondisi ini kita hanya mengetahui bahwa kategori baik hanya 0,60.

Pada umumnya dalam menghadapi suatu persoalan, pengambil keputusan telah mempunyai informasi awal, baik dalam bentuk subjektif maupun objektif.

Harapan Matematika

Jika X = variabel acak (random variable), maka variabel yang diambil oleh X sukar diramalkan sebab nilai tersebut tidak pasti.

Misalnya jika dilempar sebuah dadu, dan X = mata dadu yang muncul dibagian atas, maka nilai X akan berupa 1,2,3,4,5, dan 6, sehingga nilai probabilitas masin-masing mata dadu sama yaitu 1/6.

6atau ..., 2,atau 1,6/1)( XX iiP

Contoh Lain

Sebuah agen tunggal mobil mercy juga tidak secara pasti mengetahui permintaan mobil selama 1 minggu, nol-kah, satu-kah, dua-kah dst.

Misalnya berdasarkan pengalaman mempunyai tabel frekwensi permintaan mobil selam satu minggu sekaligus. Jika X=banyaknya permintaan mobil mercy, maka berdasarkan pengalaman diperoleh tabel berikut :X P(X=x) = p(x)

x1 1/8x2 3/8x3 3/8x4 1/8

Jika disediakan mobil 3 unit, jangan-jangan tak ada permintaan mobil, sebaliknya kalau sama-sekali tak disediakan, ternyata ada permintaan 3 mobil maka dia akan sangat kecewa sekali.

Oleh kare itu dia menyediakan mobil sebanyak “nilai harapan “ (expected value) yang bisa dianggap sebagai rata-rata permintaan.

Nilai harapan = jumlah hasil kali setiap variabel dengan probabilitasnya.

k

ikkii xxxxxxx PPXPPXE

12211

)(...)()()( )(

Berdasarkan permasalahan diatas maka mobil yang harus disediakan (nilai harapannya) adalah

k

iii xxxxxxxx PPPPXE

1332211)()()()( )(

2)n (dibulatka 1,5 12/8 8 / 3)63(0 )(

(1/8) 3 (3/8) 2 (3/8) 1 (1/8) 0 )(

(P3) 3 P(2) 2 P(1) 1 P(0) 0)(

XE

XE

XE

Kesimpulan

Jadi agen mobil tunggal itu memutuskan untuk menyediakan mobil 2 buah. Dengan pertimbangan jika ada 3 permintaan hanya 1 yang tidak bisa dilayani.

Nilai harapan atau nilai rata-rata bukan nilai individu dari variabel akan tetapi merupakan nilai ringkasan untuk mewakili suatu kelompok nilai.

Dalam teori pengambilan keputusan, nilai harapan (expected payoff) merupakan salah satu kriteria untuk dasar pengambilan keputusan.

Untuk nilai-nilai menguntungkan (laba, kemenangan, penjualan, ekspor) dipilih nilai harapan yang besar, sedangkan untuk hal-hal yang tidak menguntungkan (rugi , pengeluaran, utang, biaya) dipilih yang nilai harapanya terkecil.

Contoh Kasus

Seorang ahli geologi (geologis) dari suatu perusahaan minyak, akan memutuskan melakukan pengeboran minyak. Diketahui sebelumnya, probabilitas untuk memperoleh minyak berhasil (H) sebesar 0,20 dan akan gagal (G), dan tak memperoleh minyak sebesar 0,80. Sebelum keputusan diambil akan dilakukan suatu eksperimen menggunakan pencatatan seismograf. Hasil eksperimen berupa diketemukan 3 kejadian yang sangat menentukan berhasil tidaknya pengeboran, yaitu : Kejadian R1, tak terdapat struktur geologis Kejadian R2, struktur geologis terbuka Kejadian R3, struktur geologi tertutup

Berdasarkan kejadian masa lampau, probabilitas = kejadian dari ketiga kejadian dapat memperoleh minyak yaitu berhasil (H) masing-masing 0,30; 0,36; 0,34. Tidak memperoleh minyak /gagal (G) masing-masing 0,68; 0,28, 0,04; Informasi eksperimen ini sebagai informasi tambahahan.

Jika H = kejadian memperoleh minyak Jika G = Kejadian tak memperoleh minyak Hitung = P(R1), P(R2), P(R3), P(H/R1), P(H/R2) dan P(H/R3) ?