Merita Bernik

PendahuluanSistem ekonomi dan dunia usaha (bisnis) sebagian besar beroperasi dengan sumber daya yang relatif terbatas. Sering terlihat, orang-orang, barang, komponen-komponen atau juga kertas kerja harus menunggu untuk memperoleh jasa pelayanan. Garis-garis tunggu ini, biasanya disebut sebagai "antrian" (Queues). Garis tunggu tersebut selalu berkembang karena adanya fasilitas pelayanan (Server) dimana pengadaan fasilitas tersebut cukup memerlukan biaya yang relatif mahal bila menginginkan dapat memenuhi pelayanan yang prima. Teori antrian diciptakan tahun 1909 oleh seorang ahli matematika dan juga insinyur, berkebangsaan Denmark bernama A.K. ERLANG, dengan menentukan jumlah optimal dari fasilitas telepon swiching untuk melayani permintaan yang terjadi.

PengertianDalam teori antrian terdapat istilah yang sering dipergunakan yaitu:Garis antrian : dimana orang, mobil atau konsumen yang lainnya harus mengantri atau menunggu giliranFasilitas pelayanan : dimana konsumen mendapatkan pelayanan yang diinginkanSistem antrian : terdiri dari garis antrian dan fasilitas pelayanan

NoSistemGaris tunggu atau antrianFasilitas pelayanan1Lapangan terbangPesawat menunggu di landasanLandasan di bandara 2BankNasabah Kasir3Pencucian mobilMobilTempat pencucian mobil4Bongkar muat barangKapal,trukFasilitas bongkar muatan5PerpustakaanAnggota perpustakaanPegawai perpustakaan

Tujuan teori antrianMenentukan tingkat pelayanan terbaik bagi sebuah organisasiSuatu tingkat pelayanan yang optimumTugas seorang manager harus mempertimbangkan 2 jenis biaya:Biaya harus menungguBiaya pelayananManager berhubungan dengan trade off antara biaya dalam memberikan pelayanan dengan biaya yang terjadi karena konsumen harus menunggu

Queuing Costs and Service LevelsCost of Operating Service FacilityService LevelTotal Expected CostCost of Providing ServiceCost of Waiting TimeOptimal Service Level

Berdasarkan grafik antara cost dengan level of service terlihat bahwaCost of providing service: semakin banyak level of service semakin besar cost of proving serviceCo: loket pembayaran di jalan tol, semakin banyak loket yang dibuka semakin besar biayanyaCost of waiting : semakin sedikit level of service semakin besar cost of waitingCo: antrian di bank, misalkan seseorang yang mengantri di bank karena sedikit loket yang dibuka, akhirnya dia tidak jadi menyimpan uangnya.

Karakteristik Sistem AntrianDisiplin antrian (pada urutan keberapa pelanggan akan dilayani)First come first servedLast come fisrt servedSifat populasi pelanggan (calling population)Finite (terbatas) mis: bengkel mobil yang hanya bersedia melayani 5 mobil/hariInfinite (tidak terbatas) mis: rumah makan padangTingkat kedatangan (seberapa sering pelanggan ada di antrian) biasanya berdistribusi poissonTingkat pelayanan (seberapa cepat pelanggan dilayani) biasanya berdistribusi eksponensial

Elemen Dari Sistem AntrianDistribusi kedatangan: Distribusi ini umumnya adalah distribusi poisson. Di dalam ilmu statistika, peluang terdapat sejumlah x yang datang pada satu periode waktu tertentu adalah , x = 0,1,2,Dimana:x = Jumlah kedatangan pada suatu periode waktu tertentu (baca: lambda) = tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktue = 2,7183 (tetapan/bilangan natural)

Panjang antrian: jumlah orang yang menunggu untuk dilayani, dimana Jumlahnya dapat bersifat terbatas maupun tak terbatas. Rancangan fasilitas pelayanan: yaitu elemen dari sususan channel atau server yang ditempatkan. Rancangan ini dapat bersifat tunggal, seri, paralel, maupun jaringan kerja.

Struktur AntrianBerdasarkan sifat proses pelayanannya serta fasilitas pelayanan yang ada dalam sistem, maka struktur antrian diklasifikasikan dalam berbagai kombinasi susunan saluran (Channel) dan phase. Chanel/saluran bisa bersifat banyak (multipel) atau sebuah (tunggal/single), demikian juga phase bisa tunggal atau banyak.Dimana saluran/channel dan phase dapat diartikan sebagai berikut :Saluran /Channel = jumlah jalur (tempat) untuk memasuki sistem pelayanan, yang juga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan.

Phase = Jumlah stasion pelayanan dimana para langganan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap

Jenis Antrian

Distribusi waktu pelayanan: Distribusi ini umumnya adalah distribusi eksponensial negatif. dimana : = tingkat pelayanan rata-rata per satuan waktut = waktu yang dibutuhkan dalam pelayanan, berupa variabel

Misalkan terdapat kasus dimana suatu system pelayanan dalam waktu satu jam, rata-rata dapat melayani sebanyak 60 pelanggan, maka nilai = 60 pelanggan/jam, atau 1 pelanggan/menit.

Disiplin antrian/disiplin pelayanan: yaitu bagaimana urutan pelayanan. Terdapat beberapa jenis disiplin antara lain:Disiplin yang bersifat umum, contoh: First in First Out (FIFO), Last in First Out (LIFO), service in random orderDisiplin pelayanan yang berdasarkan prioritas, contoh: Emergency First, Critical Condition First.

Perilaku manusia: dimana untuk antrian manusia berbeda perilakunya dibandingkan untuk antrian barang yang timbul karena sifat manusiawinya antara lain: RebutanPenolakanTidak menepati Janji

Kondisi steady state (keadaan tetap), yaitu bahwa kondisi antrian berada dalam tingkat keadaan tetap. Penjelasan lebih lengkap mengenai kondisi ini dibahas dalam analisa Markov, dimana dikatakan bahwa keadaan tetap merupakan tingkat rata-rata yang konstan yang dialami oleh suatu sistem setelah sejumlah periode waktu.

Kondisi yang umumnya ingin dicari dalam system antrian sebagai berikut:Bagaimana tingkat kesibukan dari fasilitas pelayanan, hal ini disimbolkan dengan huruf : (baca: rho)Bagaimana tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktu, hal ini disimbolkan dengan huruf : (baca: lambda)Bagaimana tingkat pelayanan rata-rata per satuan waktu, hal ini disimbolkan dengan huruf : (baca: miu)Berapa panjang antrian, hal ini disimbolkan dengan huruf : Lq

Berapa panjang di dalam sistem antrian (yang sedang antri dan yang sedang dilayani), hal ini disimbolkan dengan huruf : LsBerapa waktu tunggu, hal ini disimbolkan dengan huruf : WqBerapa waktu di dalam sistem antrian (waiting time in the system), hal ini disimbolkan dengan huruf : WsBerapa kemungkinan stasiun pelayanan menganggur, hal ini disimbolkan dengan huruf : P(0)Berapa kemungkinan terdapat n (orang/stasiun) di dalam sistem antrian, hal ini disimbolkan dengan huruf : P(n)

Notasi Lee & Kendall: Model Sistem Antrian (a/b/c); (d/e/f)Dalam model Lee & Kendall, sistem antrian dinotasikan dengan 6 komponen yaitu (a/b/c); (d/e/f), dimana arti dari masing-masing notasi adalah sebagai berikut:a : Menunjukkan distribusi kedatangan, dimana seperti telah dijelaskan di atas, distribusi kedatangan umumnya mengikuti distribusi poisson atau markovian. Distribusi ini diberi simbol (M).

b : Menunjukkan distribusi waktu pelayanan, notasi untuk masing-masing distribusi adalah:Eksponensial negatif (M)Deterministik (D)Kendall (G=general), untuk distribusi yang tidak spesifik

c : Menunjukkan banyaknya fasilitas pelayanan, dimana: c = 1 untuk server tunggal, c = 2 untuk server ganda, dst, sampai c = k untuk server sebanyak k buah.

d : Disiplin pelayanan, dimana umumnya adalah:FIFO (First in First Out)LIFO (last in First Out) Jika tidak disebut, maka diasumsikan GD=general disipline : Menunjukkan jumlah maksimum yang diizinkan berada di dalam sistem antrian (yang sedang antri ditambah yang sedang dilayani). Notasi untuk jumlah ini adalah:Panjang antrian yang bersifat terbatas (N) Panjang antrian yang tidak terbatas (=tak hingga).f : Menunjukkan sumber kedatangan, dimana sumber ini dinotasi sebagai berikut:Untuk sumber yang bersifat terbatas (N) Untuk sumber yang bersifat tidak terbatas (tak hingga=).

Model Pelayanan TunggalKarakteristik:Populasi pelanggan yang tidak terbatasDisiplin dimana yang datang pertama akan diberikan pelayanan yang pertama (first come first served)Tingkat kedatangan berdistribusi poissonWaktu pelayanan berdistribusi eksponensial

Model Pelayanan Tunggal (M/M/1);(GD//) : menunjukan tingkat kedatangan : menunjukan tingkat pelayananAsumsi : < pelanggan dilayani dengan tingkat kecepatan yang lebih tinggi dari tingkat kedatangan

Formula dalam Sistem Antrian untuk Pelayanan TunggalRata-rata jumlah pelanggan dalam suatu antrian ( jumlah pelanggan yang dilayani dan berada dalam baris antrian) adalahLs = / ( - )Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan antrian ( waktu untuk menunggu dan dilayani ) adalahW = 1 / ( - ) = Ls /

Formula Antrian untuk Pelayanan TunggalRata-rata jumlah pelanggan yang berada dalam antrian

Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani

Probabilitas bahwa pelayan sedang sibuk ( merupakan probabilitas seorang pelanggan harus menunggu) disebut dengan faktor utilitas = P = / Probabilitas bahwa pelayan sedang tidak sibuk

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam suatu sistem antrian adalah

Soal 1Dalam Fast Shop Market diketahui bahwa rata-rata pelanggan yang datang ke tempat kasir adalah 24 orang / jam, sedangkan rata-rata kasir dapat melayani pelanggan adalah 30 orang / jamTentukanlah:Po, Ls, Lq, W, Wq,

JawabPo = 0,20 yang berarti probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistemLs = 4 yang berarti terdapat rata-rata 4 pelanggan dalam sistem antrianLq = 3,2 yang berarti rata-rata 3,2 pelanggan dalam baris antrianW = 0,167 jam(10 menit) waktu rata-rata tiap pelanggan dalam sistemWq = 0,133 jam ( 8 menit) waktu rata-rata tiap pelanggan dalam baris antrian = 0,80 probabilitas pelayan akan sibuk dan pelanggan harus antri

Soal 2Manajer sebuah kios makan /restoran merasa prihatin dengan panjangnya antrian pelanggannya pada saat jam sibuk makan siang dan makan malam. Hal ini diketahui setelah melakukan wawancara dengan para langganannya, yang merasa tidak nyaman karena waktu tunggu yang terlalu lama sehingga banyak langganannya yang merencanakan untuk pindah ke kios makanan lainnya. Sehubungan dengan hal tadi, manajer menemui seorang konsultan untuk mengetahui kelemahan dan memperoleh advis. Dari pengalaman, diketahui bahwa tingkat kedatangan rata-rata langganan pada jam sibuk adalah 50 orang per jam, dan waktu pelayanan rata-rata adalah 1 menit. Apabila saudara dianggap sebagai konsultan, tentukan variabel-variabel yang berkaitan dengan masalah di atas !

JawabRata-rata banyaknya langganan pada periode sibuk = = 50 pelanggan/jamWaktu pelayanan rata-rata = 1/ = 1 menit = 1/60 jam, maka = 60 pelanggan/jam, selanjutnya kita dapat menghitung berbagai variabel untuk Model Antrian : M/M/1 dengan anggapan pada kios tersebut hanya ada seorang pelayan

Soal 3UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah: Tingkat intensitas (kegunaan) pelayananJumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistemJumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian

Jawaban SoalDiketahui: = 20, = 25Ditanyakan: 1). U?, 2). L?, 3). Lq ?, 4). W ?, 5). Wq ?Jawab:1). U = / = 20/25 =0,80Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktu yang dimilikinya dan pelanggan harus menunggu, sedangkan 20% dari waktunya (1-u) untuk istirahat (idle time)2). L = / ( ) = 20 / (25-20) = 4Angka 4 menunjukkan bahwa Ali mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam sistem3). Lq = 2 / ( ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan4). W = 1 / ( ) = 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menitJadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit5). Wq = / ( ) = 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau 9.6 menitJadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit

Pelanggan PDAM datang pada loket pembayaran dengan tingkat rata-rata 20 per jam secara rata-rata setiap pelanggan dilayani 2 menit. Hitunglah:Terdapat 10 pelanggan dalam sistem antrianRata-rata banyaknya pelanggan dalam sistemRata-rata banyaknya pelanggan yang sedang antriRata-rata waktu menunggu dalam sistemRata-rata waktu antriJawaban soal:Dik: Rata-rata kedatangan = 20 pelanggan per jamSetiap pelanggan dilayani 2 selama menit, dalam 1 jam pelayan dapat melayani pelanggan sebanyak = 60/2 = 30 pelanggan.Ditanyakan: 1). P10, 2). L?, 3). Lq?, 4). W?, 5). Wq?Jawab:1). P10 = [/ ]10. [1- (/ )]= [20/30]10.[1-(20/30)] = [2/3]10.[1/3] = 0,00578Kemungkinan terdapat 10 pelanggan dalam sistem antrian hanya 0,578%

Pelanggan yang datang ke sebuah pangkas rambut layanan tunggal, mengikuti proses Poisson dengan rataan waktu antar kedatangan berurutan 20 menit. Pelanggan memerlukan rata-rata 15 menit untuk di pangkas rambutnya. Hitunglah:Peluang/kemungkinan seorang pelanggan tidak harus menunggu untuk dilayaniRata-rata jumlah pelanggan yang datang ke pangkas rambut tersebutRata-rata waktu seorang pelanggan akan berada dalam pangkas rambut tersebut

Aplikasi model antrian single channel Sebuah perusahaan yang menyewakan furniture mempunyai satu gudang dengan satu mesin pengangkut yang dioperasikan oleh satu kelompok yang terdiri dari tiga orang tenaga kerja. Pemimpin perusahaan melihat pada jam-jam tertentu terjadi antrian truk tetapi di saat lain, petugas yang mengoperasikan mesin menganggur. Dari data yang telah lalu, diketahui rata-rata kedatangan 4 truk per jam, dan rata-rata pelayanan 6 truk per jam. Untuk mengatasi masalah tersebut, pimpinan perusahaan merencanakan untuk menambah kelompok tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin. Bagaimana dampak penambahan kelompok tenaga kerja terhadap biaya total yang dikeluarkan perusahaan jika biaya sewa truk $ 20 per jam, sedang upah tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin $ 6 per orang per jam. Diasumsukan jika perusahaan menggunakan dua kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 12 truk per jam dan jika perusahaan menggunakan tiga kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 18 truk per jam. 1 hari 8 jam kerja.

Karakteristik model antrianTujuan analisis antrian meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri, sehingga kita dapat mengidentifikasi karakteristik antrian yang terdiri dari: Rata-rata jumlah pelanggan dalam garis tunggu antrian (waiting lines), pelanggan menunggu pelayanan (sedang antri)Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem, pealanggan sedang antri dan yang sedang dilayaniRata-rata waktu antrianRata-rata waktu dalam sistemTingkat intensitas pelayanan (peluang pelayan sibuk menggunakan waktu untuk memberikan pelayanan)Biaya karena menambah fasilitas layanan Menambah fasilitas layananMenambah tenaga kerja

lanjutanAnalisis antrian pada kasus di atas adalah mana yang menghasilkan biaya total optimal apakah satu kelompok, dua kelompok atau tiga kelompok tenaga kerja.Identifikasi masalah: Kondisi awal (satu kelompok tenaga kerja terdiri 3 orang): Rata-rata kedatangan = 4 truk perjamRata-rata pelayanan = 6 truk perjamBiaya $ 6 per orang per jam, 3 orang $ 18Kondisi kedua (dua kelompok tenaga kerja terdiri 6 orang): Rata-rata kedatangan = 4 truk perjamRata-rata pelayanan = 12 truk perjamBiaya $ 6 per orang per jam, 6 orang $ 36Kondisi kedua (dua kelompok tenaga kerja terdiri 9 orang): Rata-rata kedatangan = 4 truk perjamRata-rata pelayanan = 18 truk perjamBiaya $ 9 per orang per jam, 6 orang $ 54

Langkah analisis:Kondisi awal (satu kelompok tenaga kerja):Rata-rata jumlah truk dalam antrian LqLq = 2 / ( ) = 42 / 6(6-4) = 1,333Rata-rata jumlah truk dalam sistem L L = / ( ) = 4 / (6-4) = 2Rata-rata waktu truk dalam antrian WqWq = / ( ) = 4 / 6(6-4) = 0.333Rata-rata waktu truk dalam sistem W W = 1 / ( ) = 1 / (6-4) = 0.5Tingkat intensitas pelayanan U U = / = 4 / 6 =0,667

lanjutanKondisi kedua (dua kelompok tenaga kerja):Rata-rata jumlah truk dalam antrian LqLq = 2 / ( ) = 42 / 12(12-4) = 0,167Rata-rata jumlah truk dalam sistem L L = / ( ) = 4 / (12-4) = 0,5Rata-rata waktu truk dalam antrian WqWq = / ( ) = 4 / 12(12-4) = 0.042Rata-rata waktu truk dalam sistem W W = 1 / ( ) = 1 / (12-4) = 0.125 Tingkat intensitas pelayanan U U = / = 4 / 12 =0,333

lanjutanKondisi ketiga (tiga kelompok tenaga kerja):Rata-rata jumlah truk dalam antrian LqLq = 2 / ( ) = 42 / 18(18-4) = 0,063Rata-rata jumlah truk dalam sistem L L = / ( ) = 4 / (18-4) = 0,286Rata-rata waktu truk dalam antrian WqWq = / ( ) = 4 / 18(18-4) = 0.016Rata-rata waktu truk dalam sistem W W = 1 / ( ) = 1 / (18-4) = 0.071 Tingkat intensitas pelayanan U U = / = 4 / 18 =0,222

lanjutanHasil analisis antrian secara ringkas adalah:

Karakteristik antrian1 kelompok tenaga kerja2 kelompok tenaga kerja3 kelompok tenaga kerjaRata-rata jumlah truk dalam antrian (Lq)Rata-rata jumlah truk dalam sistem (L)Rata-rata waktu truk dalam antrian (Wq) Rata-rata waktu truk dalam sistem (W)Probabilitas fasilitas Pelayanan sibuk (U)1,3332,0000.3330.5000,6670,1670,5000.0420.1250,3330,0630,2860.0160.0710,222

Analisis perbandingan total biaya pada tiap kelopokDari perhitungan biaya total seperti tampak pada tabel di atas terlihat bahwa biaya total paling rendah jika perusahaan mempekerjakan 2 kelompok tenaga kerja. Dengan demikian disarankan agar perusahaan tersebut menambah satu kelompok tenaga kerja.

Biaya Truk per hari Biaya tenaga kerja per hari Biaya total1 kelompok2 x 8 jam x $20 = $320 3 x $6 x 8 jam = $144 $464 2 kelompok0,5 x 8 jam x $20 = $ 80 6 x $6 x 8 jam = $288 $368 3 kelompok0,286 x 8 jam x $20 = 469 x $6 x 8 jam = $432 $478

Model Pelayanan GandaKarakteristik sama dengan pelayanan tunggalNotasi: : tingkat kedatangan ( rata-rata jumlah kedatangan per periode waktu) : tingkat pelayanan ( rata-rata jumlah orang yang dilayani per periode waktu per pelayanan/saluran)c : jumlah pelayan (saluran)

Equations: (M/M/c)Probablilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem tersebut ( para pelayan menganggur)

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian tersebutUntuk n > c

Untuk n < c

Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem antrian

Waktu rata-rata yang dibutuhkan pelanggan dalam sistem antrian

Jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian

Waktu rata-rata yang dibutuhkan pelanggan dalam antrian menunggu untuk dilayani

Probabilitas bahwa pelayan sedang sibuk (probabilitas seorang pelanggan harus menunggu) dikenal dengan faktor utilitas

Probabilitas seorang pelanggan yang datang dalam sistem tersebut harus menunggu untuk dilayani (probabilitas seluruh pelayan sibuk)

Soal 1Jika pada suatu toserba rata-rata pelanggan datang untuk minta dilayani oleh pramuniaga sebesar 10 pelanggan/jam, sedangkan rata-rata pelanggan yang dapat dilayani oleh pramuniaga sebanyak 4 orang/jam, dimana toserba tersebut hanya memiliki 3 orang pramuniaga, apabila menggunakan formula model pelayanan multipel, bagaimana karakteristik operasi bagian pelayanan tersebut?

JawabPo = 0,045 probabilitas tidak adanya pelanggan di bagian pelayananL = 6 pelanggan rata-rata dalam bagian pelayananW = 0,60 jam (36 Menit) waktu rata-rata per pelanggan di bagian pelayananLq = 3,5 pelanggan rata-rata yang menunggu untuk dilayaniWq = 0,35 jam (21 menit) waktu rata-rata menunggu per pelanggan dalam barisanPw = 0,703 probabilitas seorang pelanggan harus menunggu untuk dilayani

Apabila manajemen toserba tersebut menambah pramuniaga menjadi 4 orang apa yang akan terjadi?

Soal 2Sebuah Bank Swasta memperkerjakan sebanyak 3 karyawati di bagian kredit untuk menangani para pedagang yang akan memperoleh pinjaman modal. Waktu rata-rata yang dibutuhkan untuk menerima panggilan pedagang adalah 0,5 menit jika tidak ada waktu tunggu dengan pola pelayanan mengikuti Distribusi Eksponensial. Selama periode puncak yaitu selama 8 jam (dari pukul 8,oo - 16.oo), Bank menerima sebanyak 1750 pedagang yang akan memperoleh pinjaman dengan tingkat kedatangan mengikuti Distribusi Poisson.