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¿QUÉ ES UN RADIÁN?
Un ángulo de 1 radián corresponde al arco de circunferencia cuya longitud es su radio. Una circunferencia completa corresponde a 2π radianes.(aprox. 6,28 rad)
180º = 𝛑 radianes360º = 2· 𝛑 radianes
CAMBIO DE RADIANES A GRADOS
180º 𝛑 radianesx º 3𝛑/2 radianes
180%
𝑥% =𝜋𝑟𝑎𝑑3𝜋2 𝑟𝑎𝑑
;
180% ·3𝜋2 𝑟𝑎𝑑 = 𝑥% · 𝜋𝑟𝑎𝑑;
270% · 𝜋𝑟𝑎𝑑 = 𝑥% · 𝜋𝑟𝑎𝑑
x = 34%·55
= 270%
CAMBIO DE GRADOS A RADIANES
180º 𝛑 radianes120º x radianes
180%
120% =𝜋𝑟𝑎𝑑𝑥𝑟𝑎𝑑 ;180
% · 𝑥𝑟𝑎𝑑 = 120% · 𝜋𝑟𝑎𝑑;
x =120 · 𝜋180 = 2 ·
𝜋3 𝑟𝑎𝑑
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TRIGONOMETRÍA
0o180º
90o
270o
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RELACIONES EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
∝
h
c1
c2C1: cateto opuesto a C2: cateto contiguo a
∝∝
SENO: sen ∝ =cateto op. a ∝
hipotenusa =c1h
COSENO: cos ∝ = cateto cont. a ∝hipotenusa = c2
h
TANGENTE: tg ∝ = cateto op. a ∝cateto cont. = c1
c2
𝛽
s𝑒𝑛 ∝ = cos 𝛽
cos 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑡𝑔 𝛼 =1
𝑡𝑔(𝛽)
sen2 ∝ +cos2 ∝ =1
tg ∝ =sen(∝)cos(∝)
1+co𝑡𝑔2 ∝ = IJKLMN
𝑡𝑔2 ∝ + 1=1
𝑐𝑜𝑠3𝑥
DEMÁS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
SECANTE: sec(∝)=1/cos(∝)COSECANTE: cosec(∝)=1/sen(∝)COTANGENTE: cotg(∝)=1/tg(∝)
2. Sabiendo que sen∝=1/5, averigua el valor de las demás razones trigonométricas.(
∝ ánguloagudo
∝ ánguloagudo)
1. Averigua el seno y coseno del ángulo∝
∝6 cm
4 cm
0 ≤ s𝑒𝑛 ∝ ≤ 1
0 ≤ cos 𝛼 ≤ 1
Observa
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
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Resolver un triángulo es calcular las amplitudes de los tres ángulos y las longitudes de los tres lados.
1. Conocido un ángulo B y un lado del triángulo.
- Calcular el ángulo que falta (todos los ángulos deben sumar 180º).
- Despejar de la fórmula del seno o coseno alguno de los lados que faltan.
2. Conocido dos lados
- Calcular el tercer lado usando Pitágoras.
- Calcular alguna razón trigonométrica de algún ángulo agudo.
- Usar la calculadora para obtener el valor del ángulo.
- Calcular el ángulo que falta, sabiendo que los tres deben sumar 180º
b
c
aCAB
II I
1 y
x
III IV
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICARadio=1
x,y =(cos∝, sen∝)
∝
I II III IVseno + + - -
coseno + - - +tangente + - + -
∝ ∝
∝
II
III IV
Si x=seny ,y=arcsenx,
0º=360º
30º 45º 60º 90º 180º 270º
seno 0 12
2�
23�
21 0 -1
coseno 1 3�
22�
2
12
0 -1 0
II I
1 y
x
III IV
∝00
900
1800
3600
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−1 ≤ s𝑒𝑛 ∝ ≤ 1
−1 ≤ cos 𝛼 ≤ 1∝ á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎
ÁNGULOSCOMPLEMENTARIOSA+B=900
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ÁNGULOSSUPLEMENTARIOSA+B=1800
DIFERENCIADE1800A=1800+B
ÁNGULOSOPUESTOSA=-B
DIFERENCIADE900A=900+B
SUMAN2700A+B=2700
DIFERENCIADE2700A=2700+B
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
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TEOREMA DEL SENO
b
a B c
C A
𝑠𝑒𝑛𝐴𝑎 =
𝑠𝑒𝑛𝐵𝑏 =
𝑠𝑒𝑛𝐶𝑐
a2 = b2 + c2 - 2b·c·cosAb2 = a2 + c2 - 2a·c·cosBc2 = a2 + b2 - 2a·b·cosC
Á𝑟𝑒𝑎𝑑𝑒𝑙𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =12 · 𝑎 · 𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝐶
TEOREMA DEL COSENO
Ejemplo. En un triángulo conocemos:B = 30o, a = 4 cm y b = 5 cmcalcula los demás lados y ángulos
que faltan
Ejemplo. En un triángulo conocemos:B = 120o, a = 7 cm y c = 12 cmcalcula los demás lados y ángulos que
faltan
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SUMAS𝑠𝑒𝑛 𝐴 ± 𝐵 = 𝑠𝑒𝑛𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐵 ± 𝑐𝑜𝑠𝐴 · 𝑠𝑒𝑛𝐵cos 𝐴 ± 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴 · cos 𝐵 ∓ 𝑠𝑒𝑛𝐴 · 𝑠𝑒𝑛𝐵
𝑡𝑔 𝐴 ± 𝐵 =𝑡𝑔𝐴 ± 𝑡𝑔𝐵1 ∓ 𝑡𝑔𝐴 · 𝑡𝑔𝐵
𝑠𝑒𝑛 2𝐴 = 2𝑠𝑒𝑛𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐴cos 2𝐴 = (𝑐𝑜𝑠𝐴)3−(𝑠𝑒𝑛𝐴)3
𝑡𝑔 2𝐴 =2𝑡𝑔𝐴
1 − (𝑡𝑔𝐴)3
ÁNGULO DOBLE
ÁNGULO MITAD
𝑠𝑒𝑛𝐴2 = ±
1 − 𝑐𝑜𝑠𝐴2
�
cos `3= ± IabcJ`
3�
𝑠𝑒𝑛𝐴 + 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 2 · 𝑠𝑒𝑛 `ad3· 𝑐𝑜𝑠 `ed
3
𝑠𝑒𝑛𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 2 · 𝑐𝑜𝑠 `ad3· 𝑠𝑒𝑛 `ed
3
cos𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 2 · 𝑐𝑜𝑠 `ad3· 𝑐𝑜𝑠 `ed
3
cos𝐴 − 𝑐𝑜𝑠𝐵 = −2 · 𝑠𝑒𝑛 `ad3· 𝑠𝑒𝑛 `ed
3
𝑠𝑒𝑛𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐵 =12 · 𝑠𝑒𝑛 𝐴 + 𝐵 +
12 · 𝑠𝑒𝑛 𝐴 − 𝐵
𝑠𝑒𝑛𝐴 · 𝑠𝑒𝑛𝐵 =12 · 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 −
12 · 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵
cos𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐵 = I3· 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 + I
3· 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵
SUMAS Y DIFERENCIAS
PRODUCTOS
BACHILLERATO
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EJERCICIO: AVERIGUA EL SENO Y COSENO DE LOS SIGUIENTES ÁNGULOS: 30º, 60º, 90º,…
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AB
C
D
EJERCICIO: CALCULA EL VALOR DE LOS ÁNGULOS A, B, C Y D.APLICA LA DEFINICIÓN DEL SENO O COSENO Y CON AYUDA DE LA CALCULADORA OBTÉN EL VALOR DEL ÁNGULO. COMPRUÉBALO CON TU TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS.