91818950 Exercicios Resolvidos Hidraulica Basica

André Barcellos Ferreira – [email protected]

1 Universidade Federal do Espírito Santo

HIDRÁULICA BÁSICA – 4ª edição EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Exercícios propostos do capítulo 2: 2.7, 2.10, 2.14, 2.16, 2.20, 2.21, 2.23, 2.34, 2.35, 2.36. (pg. 1) Exercícios propostos do capítulo 3: 3.1, 3.7, 3.8, 3.10, 3.13. (pg. 7) Exercícios propostos do capítulo 4: 4.1, 4.4, 4.7 e 4.9. (pg. 11) Exercícios propostos do capítulo 5: 5.1, 5.2 5.4, 5.6, 5.8, 5.14. (pg. 16) Exercícios propostos do capítulo 6: 6.1, 6.2, 6.6. (pg. 22) Exercícios propostos do capítulo 8: 8.1, 8.2, 8.3, 84, 8.5, 8.6, 8.8, 8.10, 8.19, 8.20. (pg. 27) Exercícios propostos do capítulo 9: 9.5, 9.6, 9.8. (pg. 33) Exercícios propostos do capítulo 12: 12.7, 12.9, 12.13, 12.18. (pg. 35) 2.7 Água escoa em um tubo liso, εεεε = 0,0 mm, com um número de Reynolds igual a 106. Depois de vários anos de uso, observa-se que a metade da vazão original produz a mesma perda de carga original. Estime o valor da rugosidade relativa ao tubo deteriorado.1 J → perda de carga onde f → fator de atrito V → velocidade média Na situação final, J0(Q) = J(Q/2). Portanto:

( ) ( )2 2 2 20 0/ / 2

2 2 4

Q A Q Af f f Q f Q

D g D g A A

⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇔ =

( ) ( )

2 2 5,4 5,4

6 0,9 6 0,9

0,25 1 5,74 5,74log 2log

3,710 105,74 5,74

log log3,7 10 10

D

D

ε

ε

∴ = ⇔ = + ⇔

+

35

5,4 5,4 5,4

5,74 5,74 100 5,74 2,262 10100 (1 100) 8,370 10

3,7 3,7 27,02710 10 10D D D

ε ε ε −−− ⋅ ⇔ = + ⇔ = − ⇔ = = − ⋅

Resolvendo por um outro método, tem-se:

(antes) 2

11 4

V DQ

π⋅ ⋅=

21

1 1 2

L VH f

D g∆ =

(depois)

2 11

2V V=

2 2

2 12 1 2 1 2 14

2 2

L V L VH H f f f f

D g D g∆ = ∆ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ =

Recentemente, Swamee apresentou uma equação geral para o cálculo do fator de atrito,

válida para os escoamentos laminar, turbulento liso, turbulento rugoso e de transmissão, na

forma: 0,125168 6

0,9

64 5,74 25009,5 ln

Re 3,7 ReRef

y D yy

ε−

= + + −

Pela equação de Swamee, aplicada no tubo liso:

2

0,9

0,25

2 5,74log

3,7 Re

f VJ f

D g

D y

ε= =

+



( ) ( ) ( )0,125168 65 5 36,4 10 9,5 ln 2,28 10 2,5 10 0,011597f

−− − − = ⋅ + ⋅ − ⋅ =

Assim:

2 1 24 0,046388f f f= ⇒ = Pela equação do tubo rugoso:

1 12,04log 1,67 2,04log 1,67

20,046338

R D

f ε ε = + ⇒ = + ⇔

4,64298 2,04 log log2 1,67 1,4573 log log2 log 1,7584D D D

ε ε ε ⇔ = − + ⇔ = − ⇔ = ⇔

0,0174D

ε =

2.10 Em uma tubulação circular, a medida de velocidade do escoamento, a uma distância de parede igual a 0,5 R, em que R é o raio da seção, é igual a 90% da velocidade na linha central (velocidade máxima). Determine a relação entre a velocidade média V e a velocidade central vmáx, e a rugosidade relativa da tubulação. Sugestão: utilize o resultado do Exemplo 2.2 e as Equações 2.20 e 2.34.

Equação 2.20 ⇒ *

2,5lnmáxv V R

u y

− =

Equação 2.34 ⇒ 1 3,71

2logD

f ε =

Do Exemplo 2.2, *4,07 0,765máx máxv V u V v= + → =

* **

0,92,5ln 1,733 0,1 1,733 0,577

0,5máx máx

máx máxv v R

v u u vu R

− = = ⇔ = ⇔ =

Pela Equação 2.32 *

2,5ln 4,73V R

u ε

= +

, tem-se:

0,7652,5ln 4,73 ln 3,41 30,30 0,0165

0,577 2 2 2máx

máx

v D D D

v D

εε ε ε

= + ⇔ = ⇔ = ⇒ =

2.14 Em relação ao esquema de tubulações do exemplo 2.8, a partir de que vazão QB, solicitada pela rede de distribuição de água, o reservatório secundário, de sobras, passa a ser também abastecedor? Para aço soldado novo, C = 130 (Tabela 2.4). Pela Tabela 2.3, determina-se β (β1 = 1,345⋅103) No trecho AB: D1 = 6”, C = 130 e J1 = 1,12 m/100 m → β1 = 1,345⋅103

1,85 3 1,851 1 1 1 11,12 1,345 10 0,0216J Q Q Qβ= ∴ = ⋅ ∴ = m3/s

No trecho BC: D2 = 4”, C = 130, J2 = 1,12 m/100 m, β2 = 9,686⋅103

1,85 3 1,852 2 2 2 21,12 9,686 10 0,00745J Q Q Qβ= ∴ = ⋅ ∴ = m3/s

A diferença é consumida na rede: QB = 0,0216 – 0,00745 = 0,01415 m3/s = 14,2 l/s A cota piezométrica em A é CPA = 812,0 m. Em B é a cota menos a perda: CPB = CPA – ∆HAB = 812 – J1L1 = 812 – 0,0112⋅650 = 804,72 m A partir de que vazão QB o reservatório de sobras também é utilizado?



Neste caso, CPB < 800m

1812 800

0,0185650

HJ

L

∆ −= = = m/m

Aço soldado novo: C = 130 (tabela 2.4) D1 = 6”, C = 130, J1 = 1,85 m/100 m, β1 = 1,345⋅103

1,85 3 1,851 1 1 1 11,85 1,345 10 0,02836J Q Q Qβ= ∴ = ⋅ ⇔ = m3/s = 28,36 l/s

2800 800

0420

J−= =

Toda a vazão proveniente do reservatório superior é utilizada no abastecimento na iminência. Para que o reservatório inferior entre em operação, QB > 28,36 l/s. 2.16 Na tubulação da figura 2.10, de diâmetro 0,15 m, a carga de pressão disponível no ponto A vale 25 mH2O. Qual deve ser a vazão para que a carga de pressão disponível no ponto B seja 17 mH2O? A tubulação de aço soldado novo (C = 130) está no plano vertical.

Carga de pressão em CPA = 25 mH2O. Qual deve ser a vazão para que a carga de pressão em B seja CPB = 17 mH2O?

25AP

γ= m, 17BP

γ= m, zA = 0, zB = 5 m

2 2

,2 2

A A B BA B

P V P Vz z H

g gγ γ+ + = + + + ∆ vA = vB ⇒ 25 = 17 + 5 +∆H ⇔ ∆H = 3 mH2O

Pela tabela 2.3, β = 1,345⋅103 3

0,0191157,1

HJ

L

∆= = = m/m = 1,91 m/100 m

111,851,851,85

3

1,9128,9

1,345 10

JJ Q Qβ

β = ⇒ = = = ⋅

l/s

2.20 Em uma adutora de 150 mm de diâmetro, em aço soldado novo (εεεε = 0,10 mm), enterrada, está ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos, A e B, distanciados em 500 m. No ponto A, a cota piezométrica é 657,58 m e a vazão, de 38,88 l/s, e no ponto B, 643, 43 m e 31,81 l/s. A que distância do ponto A deverá estar localizado o vazamento? Repita o cálculo usando a fórmula de Hazen-Williams. D = 150 mm QA = 38,88 l/s QB = 31,81 l/s ε = 0,10 mm CPA = 657, 58 m L = 500 m CPB = 643,43 m

Fórmula universal da perda de carga: 2

;2

L VH f

D g∆ =

2

;2

fVJ

Dg= H L J∆ = ×

• A – C: 3

2

38,88 102,20

0,075A

AQ

vA π

−⋅= = =⋅

m/s; ƒA = 0,0191; 20,0191 2,20

0,03142 2 0,15 9,8

A AA

f VJ

Dg

⋅= = =⋅ ⋅

m/m

• B – C:



3

2

31,81 101,80

0,075B

BQ

vA π

−⋅= = =⋅

m/s; ƒB = 0,0193; 20,0193 1,80

0,02132 2 0,15 9,8

B BB

f VJ

Dg

⋅= = =⋅ ⋅

m/m

Pela ideia de que a energia total se mantém constante, e como o escoamento é constante, pode-se

usar a equação 2 2

,2 2

A A B BA B

p V p Vz z H

g gγ γ+ + = + + + ∆ onde .n

n np

z CPγ

+ = Colocando os valores

do problema, tem-se: 2 22,20 1,80

657,58 643,43 657,83 643,60 14,232 9,8 2 9,8

H H H+ = + + ∆ ⇔ = + ∆ ⇔ ∆ =⋅ ⋅

m

Sabe-se que a perda de carga total é devida à perda de carga nos pontos A e B. Assim:

( )0,0314 0,0213 500 14,23A B A A B B A AH H H J L J L L L∆ = ∆ + ∆ = + = ⋅ + ⋅ − = ⇔

3,580,0101 14,23 10,65 354,45

0,0101A AL L⇔ ⋅ = − ⇔ = = m

Pela fórmula de Hazen-Williams: J = βQ1,85, βA = βB = 1,345⋅103 JA = 1,345⋅103(38,88⋅10–3)1,85 → JA = 3,309 m/100 m JB = 1,345⋅103(31,81⋅10–3)1,85 → JB = 2,283 m/100 m Portanto: ∆HA + ∆HB = ∆H ⇔ JALA + JBLB = ∆H ⇔ 0,0314LA + 0,02283(500 – LA) = 14,2 ⇔

⇔ 14,23 500 0,02283

274,370,03309 0,02283AL

− ⋅= =−

m

2.21 Em uma tubulação horizontal de diâmetro igual a 150 mm, de ferro fundido em uso com cimento centrifugado, foi instalada em uma seção A uma mangueira plástica (piezômetro) e o nível d’água na mangueira alcançou a altura de 4,20 m. Em uma seção B, 120 m à jusante de A, o nível d’água em outro piezômetro alcançou a altura de 2,40 m. Determine a vazão. D = 150 mm = 0,15 m C = 130 Tabela 2.3 → β = 1,345⋅103

1,85J Qβ= ⋅ e H

JL

∆=

1,853

4,20 2,40 1,5100 0,0253

120,00 1,345 10J Q Q

− = → = ⇒ = ⋅ m3/s = 25,3 l/s

Outro método: D = 150 mm = 0,15 m CPA = 4,20 m CPB = 2,40 m DAB = 120 m VA = VB ⇒ 4,2 2,4 1,8H H= + ∆ ⇔ ∆ = m

1,80,015

120H J L J∆ = ⋅ ⇒ = =

1,85 1,85 4,37 1,85 4,371,85

1,85 4,37

0,015 130 0,1510,65

10,65 10,65

Q J C DJ Q

C D

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = =

1,85 32,878 10 0,0423Q −⇔ = ⋅ = m3/s = 42,3 l/s

2 2 2 2

2 2 2 2A A B B A B

A B A BP V P V V V

z z H CP CP Hg g g gγ γ

+ + = + + + ∆ ⇔ + = + + ∆



2.23 A ligação entre dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, é feita por duas tubulações em paralelo. A primeira, com 1500 m de comprimento, 300 mm de diâmetro, com fator de atrito f = 0,032, transporta uma vazão de 0,056 m3/s de água. Determine a vazão transportada pela segunda tubulação, com 3000 m de comprimento, 600 mm de diâmetro, e fator de atrito f = 0,024.

A perda de carga é a mesma:

1 2 1 1 2 2f fh h J L J L= ⇔ =

2

2 5

8 f QJ

g Dπ= ⇒

2 2 52 21 1 2 2

1 2 22 4 2 4 51 2

8 8 0,032 600 15000,056 0,259

0,024 300 3000

f Q f QL L Q

g D g Dπ π⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ = =⋅ ⋅

m3/s

Por outro método:

1. L1 = 1500 m 2. L2 = 3000 m D1 = 300 mm = 0,3 m D2 = 600 mm = 0,6 m f1 = 0,032 f2 = 0,024 Q1 = V1A1 Q2 = ?

21

1 0,07074

DA

π ⋅= = m2 22

2 0,28274

DA

π ⋅= =

11

1

0,7922Q

VA

= = m/s 22 2 2 2 2

2

3,5368Q

Q V A V QA

= ⋅ ⇔ = =

Tubulações em paralelo → ∆H1 = ∆H2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 22 2 2 2

f V f L V f L V f L V f L V f L VH J L H L

D g D g D g D g D D

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∆ = ⋅ ⇔ ∆ = = ∴ = ⇔ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 220,032 1500 0,7922 0,024 3000 3,5368

0,3 0,6

Q⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒

222 2

0,032 1500 0,7922 0,60,25864

0,3 0,024 3000 3,5368Q

⋅ ⋅ ⋅⇒ = =

⋅ ⋅ ⋅m3/s = 258,64 l/s

2.34 Uma tubulação de 0,30 m de diâmetro e 3,2 km de comprimento desce, com inclinação constante, de um reservatório cuja superfície está a uma altura de 150 m, para outro reservatório cuja superfície livre está a uma altitude de 120 m, conectando-se aos reservatórios em pontos situados 10 m abaixo de suas respectivas superfícies livres. A vazão através da linha não é satisfatória e instala-se uma bomba na altitude 135 m a fim de produzir o aumento de vazão desejado. Supondo que o fator de atrito da tubulação seja constante e igual a f = 0,020 e que o rendimento da bomba seja 80%, determine: a) a vazão original do sistema por gravidade; b) a potência necessária à bomba para recalcar uma vazão de 0,15 m3/s; c) as cargas de pressão imediatamente antes e depois da bomba, desprezando as perdas de carga localizadas e considerando a carga cinética na adutora; d) desenhe as linhas de energia e piezométrica após a instalação da bomba, nas condições do item anterior. (Sugestão: reveja a equação 1.36, observando os níveis d’água de montante e jusante.) a) hf = J⋅L =150 – 120 = 30 m

2 2 2 52 5

2 5

8 9,81 0,3030 30 30 0,117

8 8 0,020 3200

f Q gL Q D Q

f Lg D

π ππ

⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⇒ = = ⇒ =⋅ ⋅ ⋅

m3/s

b) Pot = ? para Q = 0,15 m3/s ⇒ Q = V⋅A ⇔ 2,1221Q

VA

= = onde 2

0,07074

DA

π= =



9,8 BQ H

Potη

⋅ ⋅=

22 3

2 2

4 1 0,020 3,2 10 4 0,15 1150 120

2 0,3 2 9,80,3a b c B

L Qz H z f H

D gDπ π ⋅ ⋅ ⋅ + = + ⇔ + = + ⇔ ⋅⋅

3 2 2

2 4

0,020 3,2 10 4 0,1530 19,01

0,3 0,3 2 9,8BH

π⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇔ = − + =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

9,8 19,01 0,1534,93

0,8Pot

⋅ ⋅∴ = = kW

c) 2 2

1 12 2A A antes A antes

A B A Bp V p V p

z z H z z Hg gγ γ γ

+ + = + + + ∆ ⇔ = + + ∆

1150 135antespH

γ∴ = + + ∆

onde: 2 2

10,02 533,33 2,1221

8,172 2 9,8 0,3

L VH f

D g

⋅ ⋅∆ = = =⋅ ⋅

6,83antesp

γ= mH2O

2 2

1 150 19,01 135 8,172 2

depois depoisA A BB A B

p pp V VH z z H

g gγ γ γ+ + + = + + + ∆ ⇔ = + − − ⇔

25,84depoisp

γ⇔ = mH2O

2.35 Na figura 2.14 os pontos A e B estão conectados a um reservatório mantido em nível constante e os pontos E e F conectados a outro reservatório também mantido em nível constante e mais baixo que o primeiro. Se a vazão no trecho AC é igual a 10 l/s de água, determine as vazões em todas as tubulações e o desnível H entre os reservatórios. A instalação está em um plano horizontal e o coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen-Willians, de todas as tubulações, vale C = 130. Despreze as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas das tubulações.

AC BCA B f fCP CP h h= ⇒ = 1,85 ( , )

Hazen Willians

J Q tabela D Cβ

−

= ⋅ →

1,85 1,85 3 1,85 3 1,858100 100 9,686 10 10 100 1,345 10 100AC AC AC BC BC BC BCQ L Q L Qβ β⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔

3 1,851,851,85

3

9,686 10 10509,83 29,07

1,345 10BCQ

⋅ ⋅⇔ = = =⋅

l/s



29,07 10 39,07CD BC ACQ Q Q= + = + = l/s

DEE F f f DFCP CP h h= ⇒ = ( , ) ( , )DE DF

DE DF

D C D C

β β=

=

1,85 1,85 1,85 1,85 1,85250100 100

200DF

DE DE DE DF DF DF DE DF DFDE

LQ L Q L Q Q Q

Lβ β⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = = ⇔

( )1,851,85 1,851,25 1,128DE DF DE DFQ Q Q Q⇔ = ⇒ =

Conservação da matéria ⇒ QDE + QDF = QCD 39,1 1,128 39,1 18,37DE DF DF DF DFQ Q Q Q Q⇔ + = ⇔ + = ⇒ = l/s ⇒ QDE = 20,73 l/s

AC CD DEA E f f fH CP CP h h h= − = + + ⇔

1,85 1,85 1,851

100 AC AC AC CD CD CD DE DE DEH Q L Q L Q Lβ β β = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇔

3 1,85 2 1,85 3 1,8519,686 10 0,01 100 3,312 10 0,0391 300 1,345 10 0,02073 200

100H ⇔ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇔

6,47H⇔ = m

2.36 Determine o valor da vazão QB, e a carga de pressão no ponto B, sabendo que o reservatório 1 abastece o reservatório 2 e que as perdas de carga unitárias nas duas tubulações são iguais. Material: aço soldado revestido com cimento centrifugado. Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas.

810 800

0,00758860 460AB BCJ J

−= = =+

m/m

Aço soldado revestido com cimento centrifugado. C = 130 β1 = 1,345⋅103, β2 = 9,686⋅103

1,85 3 1,850,758 1,345 10 0,0175AB AB AB ABJ Q Q Qβ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = m3/s = 17,5 l/s 1,85 3 1,850,758 9,686 10 0,00603BC BC BC ABJ Q Q Qβ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = m3/s = 6,03 l/s

QB = QAB – QBC ⇒ QB = 11,47 l/s Cota B = 810 – ∆HAB = 810 – JABLAB = 810 – 0,00758⋅860 = 803,48 m

803,48 780 23,48Bp

γ= − = mH2O

3.1 A instalação mostrada na Figura 3.17 tem diâmetro de 50 mm em ferro fundido com leve oxidação. Os coeficientes de perdas localizadas SAP: entrada e saída da tubulação K = 1,0, cotovelo 90° K = 0,9, curvas de 45º K = 0,2 e registro de ângulo, aberto, K = 5,0. Determine, usando a equação de Darcy-Weisbach: a) a vazão transportada; b) querendo-se reduzir a vazão para 1,96 l/s, pelo fechamento parcial do registro, calcule qual deve ser a perda de carga localizada no registro e seu comprimento equivalente.



2 2

1 1 2 21 2 ,

2 2

p V p Vz z perdas

g gγ γ+ + = + + + onde p1 = p2 =patm

1 2 50 45 5fperdas z z h h∴ = − = + ∆ = − = m

a) Fórmula de Darcy-Weisbach: 2 2 2 2

5,0 5,02 2 2 2

V L V V V LJL K H f K f K

g D g g g D + ⋅ = ∆ ⇒ + ⋅ = ⇔ + =∑ ∑ ∑

Ferro fundido com leve oxidação: ε = 0,30 mm (Tabela 2.2)

( ) ( )2 2 2,0 13,0 5,0 25,0

5,0 2 1,0 0,9 2 0,2 5,0 5,02 2 9,81 0,05

V L Vf K f

g D

+ + + + = ⇔ + ⋅ + + ⋅ + = ⇔∑ ⋅

( ) ( )2

2900 8,3 5,0 5,0 48,87 0,423 ,19,62

Vf f V⇔ + = ⇔ = + 0,30ε = mm, D = 50 mm

( ) ( )

2 2 21 3,71 1 1 1

2log2log 3,71 / 2log 3,71 0,05 / 0,0003 2log618,333

Df

Df ε ε = ⇔ = = = = ⋅

2

1

5,58 =

= 0,032

∴ 5,0 = 1,987V2 ⇔ V = 1,586 m/s ⇒ Q = V⋅A = 1,586⋅π⋅0,0252 = 3,114⋅10-3 m3/s

b) Q = 1,96 l/s ⇒ 2 2

4 4 0,001961,0

0,05

QV

Dπ π⋅= = =

⋅m/s

2 2 2

5,02 2 2

L V V V Lf K f K

D g g g D + = ⇔ +∑ ∑

ε = 0,30 mm, V = 1 m/s → f = 0,0341

( )2 2,0 13,0 5,0 25,01,00,034 2 1,0 0,9 2 0,2 5,0

2 9,81 0,05K

+ + +∴ + + ⋅ + + ⋅ = ⇔ ⋅

30,6 3,3 98,1 64,2K K⇔ + + = ⇒ =

2 21,064,2 3,27

2 2 9,81regV

h Kg

∆ = = =⋅

m

2 2 21,03,27 3,27 0,034 3,27

2 2 0,05 2 9,81eq eq

reg eq eq

L Lf V Vh JL L f

Dg D g

⋅∆ = ⇒ = ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ = ⇔ ⋅

94,35eqL ≅ m



3.7 A instalação hidráulica predial da figura está em um plano vertical e é toda em aço galvanizado novo com diâmetro de 1”, e alimentada por uma vazão de 2,0 l/s de água. Os cotovelos são de raio curto e os registros de gaveta. Determine qual deve ser o comprimento x para que as vazões que saem pelas extremidades A e B sejam iguais. Tabela 3.6 – Comprimentos equivalentes: cotovelo 90°_raio curto LE = 0,189 + 30,53D registro_gaveta aberta LE = 0,010 + 6,89D

Perdas de carga: 2,0 1,5 0,3 3,80ACL = + + = m

( ) ( )2 0,189 30,53 0,010 6,89 0,388 67,95 0,025 2,09CAEL D D= + + + = + ⋅ = m

0,5 0,3 (0,8 )CBL x x= + + = + m

( ) ( )2 0,189 30,53 0,010 1,89 2,09CBEL D D= + + + = m

Para que QA = QB, devemos ter:

( ) ( )1,5 3,80 2,09 2,09 0,80A BA T B Tz JL z JL J x J x+ = + ⇔ + ⋅ + = + + + ⇔

( )3,0 1,50J x x⇔ − = −

Hazen-Williams:

1,85

1,85 1,17 2 2

4 4 0,00169,81 2,04

0,025

V QJ V

C D Dπ π⋅= ⇒ = = =⋅

m/s

C = 125 (Tabela 2.4) 1,85

1,85 1,17

2,0469,81 0,2518

125 0,025J J= ⇒ = m/m

Logo: 0,2802 0,8406 1,50 1,83x x x+ = + ⇔ = m 3.8 Dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, são interligados em linha reta através de uma tubulação de 10 m de comprimento e diâmetro 50 mm, de P. V. C. rígido, como mostra o esquema da Figura 3.23. Admitindo que a única perda de carga localizada seja devido à presença de um registro de gaveta parcialmente fechado, cujo comprimento equivalente é LE = 20,0 m, e usando a fórmula de Hazen-Williams, adotando C = 145, determine: a) a vazão de canalização supondo que o registro esteja colocado no ponto A; b) idem, supondo o registro colocado no ponto B; c) máxima e mínima carga de pressão na linha, em mH2O, nos casos a e b; d) desenhe em escala as linhas piezométrica e de energia.



Equação da continuidade:

2 2

2 2A A B B

A Bp V p V

z z perdasg gγ γ

+ + = + + +

• pA = pB (os dois reservatórios com NA = 1,0 m) • vA = vB (vazão constante) perdas = zA – zB = 3,0 m

( )1,85 1,85

1,85 1,17 1,85 1,173,0 6,31 6,31 10,0 20,0 3

145 0,05T

V VJL L

C D= = ⋅ ⇔ ⋅ + = ⇔

⋅ ⋅

1,85 4,397 2,227V V⇔ = ⇒ = m/s 20,05

2,27 4,374

Q VAπ ⋅= = = l/s

a) A pressão é mínima no ponto mais alto e máxima no ponto mais baixo:

1,85 1,85

1,85 1,17 1,85 1,17

2,2276,81 6,81 0,1000

145 0,05

VJ

C D= = =

⋅ ⋅m/m

1

2

3 4

4

A

B

z m

z z

z z z

=== =

• 2 2 2

1 2 21 2 1 2( )

2 2 2A A A

E Eatm mín mín

p V p V p Vz z JL z z JL

g g gγ γ γ + + = + + + ⇒ = − − − ⇔

22,2271,0 0,1000 20,0 1,25

2 9,81A A

mín mín

p p

γ γ ⇔ = − − ⋅ ⇔ = − ⋅

m

• 2 2 2

1 4 41 4 1 4( )

2 2 2A A A

T Tatm máx mín

p V p V p Vz z JL z z JL

g g gγ γ γ + + = + + + ⇒ = − − − ⇔

22,2274,0 0,1000 30 0,75

2 9,81A A

mín máx

p p

γ γ = − − ⋅ ⇔ = ⋅

m

b) • 2 2 2 2

1 2 21 2 1 2

2,227( ) 1,0

2 2 2 2 9,81B B B

máx máx máx

p V p V p Vz z z z

g g gγ γ γ + + = + + ⇔ = − − = − ⇔ ⋅

0,75B

mín

p

γ ⇔ =

m

• 2 2 2

1 3 21 3 1 3( )

2 2 2B B B

ATM máx máx

p V p V p Vz z JL z z

g g gγ γ γ + + = + + + ⇔ = − − ⇔

22,2271,0 0,1000 10

2 9,81B

máx

p

γ ⇔ = − − ⋅ ⋅

= 2,75 m

3.10 Uma tubulação retilínea de 360 m de comprimento e 100 mm de diâmetro é ligada a um reservatório aberto para a atmosfera, com nível constante, mantido 15 m acima da saída da tubulação. A tubulação está fechada na saída por uma válvula, cujo comprimento



equivalente é de 7,5 m de comprimento da tubulação. Se a válvula é aberta instantaneamente, com escoamento livre, determine o tempo necessário para que a velocidade média atinja 98% da velocidade em condições de regime permanente. Assuma o fator de atrito f = 0,020 e adote como coeficiente de perda de carga na entrada K = 0,5. Sugestão: utilize a Equação 1.11 e a metodologia do problema 1.4.

Equação 1.11 → 2 2

1 1 2 21 2 122 2

p V p V L dVz z H

g g g dtγ γ+ + = + + + ∆ +

Comprimento equivalente na entrada:

Equação 3.16 → eL K

D f= ⇒

0,5 0,12,5

0,02eK D

Lf

⋅ ⋅= = = m

Equação 3.15 → 2

2eL V

H fD g

∆ = ⇒ 2 2(7,5 2,5 360)

(0,02) 740,1 2 2

V VH

g g

+ +∆ = =⋅

Equação da energia para A e B: 2 2 2

2 2 222 2 2

A AA A

p V p V L dV V L dVz z H z H

g g g dt g g dtγ γ+ + = + + + ∆ + ⇔ = + ∆ + ⇔

2 2215 74 36,7347 3,8265 36,7347 15 0

2 2

V V dV dVV

g g dt dt⇔ = + + ⇔ + − =

Resolvendo-se a equação diferencial, encontramos V(t). A partir de V(t), calculamos t. 3.13 Sabendo-se que as cargas de pressão disponíveis em A e B são iguais e que as diferenças entre as cargas de pressão em A e D é igual a 0,9 mH2O, determine o comprimento equivalente do registro colocado na tubulação de diâmetro único, assentada com uma inclinação de 2° em relação à horizontal, conforme a Figura 3.26.

2 2

0,92 2

A D A DA D D A A

p V p V p pz z H z z H z H

g gγ γ γ γ+ + = + + + ∆ ⇔ − = − + ∆ ⇔ = − + ∆

2 13,96 0,9 13,96 14,46400

hsen h H H° = ⇔ = ∴ = − + ∆ ⇔ ∆ =

0H JL∆ = onde 6,98

0,0349 14,86 0,0349 425,79200

J L L= = ∴ = ⇔ =

Como LAD = 400, Le = 25,79. 4.1 Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um trecho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm de diâmetro, ambos com o mesmo fator de atrito f = 0,028. A vazão total que entra no sistema é 0,025 m3/s e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazão de distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja nula. Determine a perda de carga total na adutora, desprezando as perdas localizadas ao longo da adutora.



F = 0,028

D1 = 0,15 m L1 = 1500 m D2 = 0,1 m L2 = 900 m Qm = 0,025 m3/s

5

1 2

1,042 10Q

qL L

−= = ⋅+

m3/ms

Para o trecho 1: 5 3 3

1 0,025 1,042 10 1500 9,375 10 /j m jQ Q q L Q m s− −= − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅

0,025 0,0093750,0171875

2 2m j

f f

Q QQ Q

+ += = ⇔ = m3/s

Pela equação universal: 2 2

315 5

0,0827 0,028 0,01718750,0827 9,008 10

0,15ff Q

J JD

−⋅ ⋅ ⋅= = ⇒ = ⋅ m/m

Assim:

1 1 1 1 13,512H J L H∆ = ⋅ ⇒ ∆ = m Para o trecho 2:

03m

j fQ

Q Q= → =

2 10,01443m J fQ Q Q= ⇒ = m3/s

2 2

325 5

0,0827 0,028 0,014430,0827 6,3528 10

0,15fQ

J f JD

−⋅ ⋅= = ⇒ = ⋅ m/m

2 2 2 2 5,717H J L H∆ = ⋅ ⇒ ∆ = m Finalmente:

1 2 19,229T TH H H H∆ = ∆ + ∆ ⇔ ∆ = m 4.4 Quando água é bombeada através de uma tubulação A, com uma vazão de 0,20 m3/s, a queda de pressão é de 60 kN/m2, e através de uma tubulação B, com uma vazão de 0,15 m3/s, a queda de pressão é de 50 kN/m2. Determine a queda de pressão que ocorre quando 0,17 m3/s de água são bombeados através das duas tubulações, se elas são conectadas (a) em série ou (b) em paralelo. Neste último caso, calcule as vazões em cada tubulação. Use a fórmula de Darcy-Weisbach. Tubulação A: QA = 0,20 m3/s ∆P = – 60 kN/m2

2 21 1 2 2

1 22 2

V p V pz z H

g gγ γ+ + = + + + ∆

31 2

3

. 60 10 606,1224

. 9,89,8 10A A A

V const p pH H H

z const γ γ→ ⋅− = ∆ ⇔ = ∆ ⇔ ∆ = =→ ⋅

m

2 2 2

5 5 50,0827 0,0827 6,1224 1850,801A A A A A A A A A

A A A

f L Q f L Q f L QH

D D D∆ = ⇒ = ⇒ =

Tubulação B: QB = 0,15 m3/s ∆P = – 50 nK/m2



2 21 2

2 2

p V p Vz z H

g gγ γ+ + = + + + ∆

. 50. 9,8A

V constH

z const

→∆ =

→

2

5 5

500,0287 2741,927

9,8B B B B B

B B

f L Q f L

D D= ⇒ =

a) Em série

QA = QB ∆H = ∆HA + ∆HB → ∆P = ∆PA + ∆PB

25

0,0827A A AA

A

P f LH Q

Dγ∆ ⋅∆ = = ⋅ ⋅

20,0827 1850,801 0,27 9,8AP∆ = ⋅ ⋅ ⋅

∆PA = 43,35 kN/m2

25

0,0827B B BB

B

P f LH Q

Dγ∆ ⋅∆ = = ⋅ ⋅

20,0827 2741,927 0,17 9,8BP∆ = ⋅ ⋅ ⋅

∆PB = 64,22 kN/m2 ∆P = 43,35 + 64,22 = 107,57 kN/m2 b) Em paralelo QA + QB = 0,17

2 2 2 2A B 5 5

H H 0,0827 0,0827 1850,801 2741,927A BA A B B A B

A B

L Lf Q f Q Q Q

D D∆ = ∆ ⇔ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔

43,021 52,363 1,217A B A BQ Q Q Q⇔ = ⇔ =

2,217 0,17 0,0767B BQ Q∴ = ⇔ = m3/s ⇒ QA = 1,217⋅0,0767 = 0,0933 m3/s

25

0,0827 0,0933 9,8 13,06A AA A

A

P f LH P H P P

Dγ

γ∆ ⋅∆ = ⇒ ∆ = ∆ ⋅ ⇔ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ ∆ = kN/m2

4.7 O sistema de distribuição de água mostrado na Figura 4.20 tem todas as tubulações do mesmo material. A vazão que sai do reservatório I é de 20 l/s. Entre os pontos B e C, existe uma distribuição em marcha com vazão por metro linear uniforme e igual a q = 0,01 l/(s.m). Assumindo um fator de atrito constante para todas as tubulações, f = 0,020 e desprezando as perdas localizadas e a carga cinética, determine: a) a carga piezométrica no ponto B; b) a carga de pressão disponível no ponto C, se a cota geométrica desse ponto é de 576,00 m; c) a vazão na tubulação de 4” de diâmetro.



Solução 1: 4” = 0,1 m (Caminho 1) 6” = 0,15 m (Caminho 2)

2 2

2 2A B

A Bp V p V

z z Hg gγ γ

+ + = + + + ∆ onde AA A

pCP z

γ= + e B

B Bp

CP zγ

= +

590 590A B B BCP CP H CP H CP H∴ = + ∆ ⇔ = + ∆ ⇔ = − ∆

Cálculo de ∆H:

2 2 21 21 25 5 5

1 2

0,0827 0,0827 0,0827f L f L f L

H Q Q QD D D

⋅ ⋅ ⋅∆ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔

2 21 2 1 25 5

800 7500,3514

0,1 0,15Q Q Q Q⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ =

Mas

1 2 20AQ Q Q+ = = l/s 2 21,3514 20 14,799Q Q⇒ = ⇔ = l/s = 1,48⋅10–2 m3/s

( )225

0,02 790590 0,0827 1,48 10 586,42

0,15BCP −⋅∴ = − ⋅ ⋅ = m

Solução 2: Tubo de 6” = 0,15 m e 4” = 0,10 m

1,85 1,856 4

6 4 6 6 4 4 1,85 4,87 1,85 4,8710,65 750 10,65 800

(0,15) (0,1)

Q QH H J L J L

C C∆ = ∆ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔

⋅ ⋅

1,85 1,851,85 1,85 1,85 1,856 46 4 6 44,87 4,87

750 8007.717.858,853 59.304.819,31 7,684

0,15 0,1

Q QQ Q Q Q⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔

6 43,011Q Q⇔ = Do enunciado, tem-se que Q4 + Q6 = 0,020. Portanto: Q4 = 4,986⋅10–3 m3/s Q6 = 15,014⋅10–3 m3/s Para as respectivas vazões, tem-se:

66 2

6

0,8496/ 4

QV

Dπ= = m/s

64 2

4

0,6348/ 4

QV

Dπ= = m/s

Na tubulação de 6” de diâmetro, tem-se: 2 2750 0,8496

0,02 3,68272 0,15 2AB AB

L VH f H

D g g∆ = = ⋅ ⋅ ⇒ ∆ = m

Equação da energia na superfície I e em B: 2 2

1 11 590 3,6827 586,3173

2 2B B

B AB B Bp V p V

z z H CP CPg gγ γ

+ + = + + + ∆ ⇔ = + ⇔ = m

b) 586,42 576 10,42B C C CB C

p p p pz z H H H

γ γ γ γ+ = + + ∆ ⇔ = + + ∆ ⇔ = − ∆

0,02 0,01

0,0152 2BC

m jF F

Q QQ Q

+ += = → = m3/s,



25

0,02 10000,0827 0,015 4,90

0,15H

⋅∴∆ = ⋅ ⋅ = m

10 42 4,9 5,52Cp

γ∴ = − − = mH2O

c) Da letra a, tem-se: Q1 = 0,3514Q2 = 0,3514⋅1,48⋅10–2 = 5,2⋅10–3 m3/s 4.9 No sistema de abastecimento d’água mostrado na Figura 4.21 faz parte de um sistema de distribuição de água em uma cidade, cuja rede se inicia no ponto B. Quando a carga de pressão disponível no ponto B for de 20 mH2O, determine a vazão no trecho AB e verifique se o reservatório II é abastecido ou abastecedor. Nesta situação, qual a vazão QB que está indo para a rede de distribuição? A partir de qual valor da carga de pressão em B a rede é abastecida somente pelo reservatório I? Material das tubulações: aço rebitado novo. Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas e utilize a fórmula de Hazen-Williams. Tabela 2.4 → C = 110 8” = 0,20 m 6” = 0,15 m

carga de pressão disponível no ponto B = 20 mH2O → 20Bp

γ= mH2O

740BB B

pCP z

γ= + = m → Em B a cota piezométrica é CPB = 740 m. Como este valor é maior

que a cota piezométrica do N. A. de II, este reservatório é abastecido. Por Hazen-Williams:

1,85 1,851,85

1,85 4,87 1,85 4,87

10,65 10,654,516

110 0,2AB AB

ABQ Q

J J QC D

⋅ ⋅= = ⇒ =⋅ ⋅

1,85 1,851050 4,516 4741,83AB AB AB AB ABH L J H Q Q∆ = ⋅ → ∆ = ⋅ = Equação da energia na superfície do reservatório I e em B:

2 21 1

1 754 720 20 142 2

B BB AB AB AB

p V p Vz z H H H

g gγ γ+ + = + + + ∆ ⇔ = + + ∆ ⇒ ∆ = m

Assim: 1,851,85 314 4741,83 2.95244663 10 0,04291AB ABQ Q −= ⋅ ⇒ = ⋅ = m3/s = 42,91 l/s

Como CPB > NAII, o reservatório II é abastecido, ou seja:

AB B BCQ Q Q= + C = 110, D = 6” ⇒ β = 1,831⋅103 (Tabela 2.3) Portanto:

1,85 1,8518,31BC BCJ Q J Qβ= ⋅ → = 1,85 1,85650 18,31 11901,5BC BCH L J H Q Q∆ = ⋅ → ∆ = ⋅ ⋅ =

Equação da energia superfície do reservatório II e em B: 2 2

2 22 2 720 20 735

2 2B B B

B AB B AB BCp V p V p

z z H z z H Hg gγ γ γ

+ + = + + + ∆ ⇔ + = + ∆ ⇔ + = + ∆ ⇔

5BCH⇔ ∆ = m



Assim: 1,85 1,855 11.901,5 14,95BC BCQ Q= ⇒ = l/s

Finalmente: 42,91 14,95 27,96B AB BC B BQ Q Q Q Q= − ⇔ = − ⇔ = l/s

Para a rede ser abastecida somente por I, a cota piezométrica em B deve ser igual ou maior que NA de II. Portanto:

735 735 15B BB B

p pCP z

γ γ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ mH2O

5.1 As curvas características de duas bombas, para uma determinada rotação constante, são mostradas na tabela a seguir. Uma dessas duas bombas deverá ser utilizada para bombear água através de uma tubulação de 0,10 m de diâmetro, 21 m de comprimento, fator de atrito f = 0,020 e altura geométrica de 3,2 m. Selecione a bomba mais indicada para o caso. Justifique. Para a bomba selecionada, qual a potência requerida? Despreze as perdas localizadas.

Q (m3/s) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036 Bba A H (m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9

ηηηη (%) 0 32 74 86 85 66 28 Bba B H (m) 16,2 13,6 11,9 11,6 10,7 9,0 6,4

ηηηη (%) 0 14 34 60 80 80 60

Para a tubulação, 2

25

0,08273,2 3473,4g g

F QE H H H L E Q

D

⋅ ⋅= + ∆ = + ⇒ = +

Para as vazões marcadas,

( )

( )

3 / 0,0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,03 0,036

3,20 3,32 3,70 4,32 5,20 6,33 7,70

Q m s

E m

Então, no ponto de funcionamento de A, Q1 = 0,030 m3/s → η1 = 66 % Q2 = 0,036 m3/s → η2 = 28 % QA = 0,033 m3/s Interpolando,

1 1

2 1 2 1

0,033 0,03 6647

0,036 0,03 28 66A A A

AQ Q

Q Q

η η η ηη η

− − − −= ⇒ = ∴ =− − − −

%

Fazendo o mesmo para o ponto B, tem-se: Q1 = 0,030 m3/s → η1 = 80 % Q2 = 0,036 m3/s → η2 = 60 % QA = 0,035 m3/s Interpolando, tem-se:

1 1

2 1 2 1

0,035 0,03 8063,33 %

0,036 0,03 60 80B B B

AQ Q

Q Q

η η η ηη η

− − − −= ⇒ = ∴ =− − − −

⇒ O melhor rendimento é o da bomba B. Para encontrar a potência requerida, usaremos o ponto (QB, HB) do funcionamento de B. Pela equação de B, tem-se:

2396,83 222,62 15,536BH Q Q= − − + Para Q = 0,035 m3/s, HB = 7,26 m. Com os valores de Q e H,

9800 0,035 7,263,93

0,6333

Q HPot

γη

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = kW



5.2 O esquema de bombeamento mostrado na Figura 5.21 é constituído de tubulações de aço com coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen-Williams C = 130. Da bomba até o ponto B, existe uma distribuição de vazão em marcha com taxa de distribuição constante e igual a q = 0,005 l/(SM). Para a curva característica da bomba, dada na figura, determine a vazão que chega ao reservatório superior e a cota piezométrica no ponto B. Despreze as perdas localizadas e a carga cinética.

( )

2 2A A C C

A C AC

C A AC AB AB BC BC

1,85 1,851 2

1,85 4,87 4,87

A BA f A 1

B A AB A 2

1,85A

1,85

P V P Vz E z H

2 2

E z z H E 5 J L J L

10,65 Q QE 5 1000 800

130 0,1524 0,1016

Q QQ Q Q 0,0025 Q

2Q Q qL Q 0,005 Q

Q 0,002510,65E 5

130

+ + + = + + + ∆γ γ

= − + ∆ ⇒ = + +

= + ⋅ + ⋅

+= = = − =

= − = − =

−= + ( )

( ) ( )

1,85A

4,87 4,87

1,85 1,85A A

Q 0,0051000 800

0,1524 0,1016

5 12.457,12 Q 0,0025 71.179,3 Q 0,005

− ⋅ + ⋅

= + − + −

Q 5 10 15 20 H 20 17,5 12,5 5 E 5,2 10,4 23,1 42,3 Interpolando:

( ) ( )

C B A AB

17,5 x 10,4 x12,7 17,5 x 5 10,4 x 222,25 12,7x 52 5x

17,5 12,5 10,4 23,1

x 15,7 m/ E H

10 y 17,5 15,710,y 1,8 y 11,8 Q

10 15 17,5 12,5

Q Q Q qL 11,8 5 6,8 /s

− −= ⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔− −

⇔ = = =− −= ⇔ = − ⇔ = =− −= = − = − =

ℓ

ℓ

A cota piezométrica em B é: 2 2

A A B BA B AB

1,85

B 1,85 4,87

F

B

P V P Vz E z H

2 2

10,65 0,009315,7 CP 1000

130 0,1524

11,8 6,8Q 9,3

2CP 15,7 2,2 13,5 m

+ + + = + + + ∆γ γ

= + ⋅ ⋅

+= =

= − =



5.4 Deseja-se recalcar 10 ℓ/s de água por meio de um sistema de tubulações, com as seguintes características: funcionamento contínuo 24 h, coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen-Williams C = 90, coeficiente da fórmula de Bresse K = 1,5 diâmetro de recalque igual ao diâmetro de sucção, comprimentos reais das tubulações de sucção e recalque, respectivamente, de 6,0 m e 674,0 m, comprimentos equivalentes das peças existentes nas tubulações de tubulação e recalque, respectivamente, de 43,40 m e 35,10 m, altura geométrica de 20 m. Com a curva característica de uma bomba, indicada na Figura 5.22, determine: a) Associando em paralelo duas destas bombas, obtém-se a vazão desejada? b) Em caso afirmativo, qual a vazão em cada bomba? c) Qual a vazão e a altura de elevação fornecidas por uma bomba isoladamente isolada no sistema? d) Que verificações devem ser feitas antes de escolher a bomba, de acordo com os pontos de funcionamento obtidos?

( ) ( )

AB BC

2 2A A C C

A C AC

AB T BC T

1,85 1,851,85

1,85 4,87 1,85 4,87

P V P Vz E z H

2 2

E 20 J L J L

10,65 Q 10,65 QE 20 6 43,40 647 35,1 20 19.438Q

90 0,15 90 0,15

+ + + = + + + ∆γ γ

= + +

= + + + + = +

Tabela para a bomba sozinha: Q 0 2 4 6 7 H 30 28,5 26 22 18,5 E 20 20,2 20,7 21,5 22 Tabela para as bombas em paralelo: Q 0 4 8 12 H 30 28,5 26 22 E 20 20,7 22,6 25,4 Interpolando:

( ) ( )

1,85 3

26 x 22,6 x2,8 2,6 x 4 22,6 x 72,8 2,8x 90,4 4x

26 22 22,6 25,4

x 24 m E

24 20 19.438Q Q 0,010 m /s (sim)

− −= ⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔− −

⇔ = =

∴ = + ⇔ =

b) 5 ℓ/s



c)

( ) ( )

1,85

26 x 22 x 21,5 x0,5 22 x 3,5 21,5 x 11 0,5x 75,25 3,5x

26 22 22 18,5 21,5 22

x 21,6 m H

21,6 20 19.438Q Q 6,2 /s (sim)

− − −= ⇔ ⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔− − −

⇔ = =

∴ = + ⇔ = ℓ

5.6 Considere um sistema de abastecimento de água por gravidade entre dois reservatórios mantidos em níveis constantes e iguais a 812,00 m e 800,00 m, ligados por uma tubulação de 6” de diâmetro, 1025 m de comprimento e fator de atrito f = 0,025. Desejando-se aumentar a capacidade de vazão do sistema, instalou-se, imediatamente na saída do reservatório superior, uma bomba centrífuga cuja curva característica é dada na tabela a seguir. Desprezando as perdas de carga localizadas e a perda de carga na sucção, determine a nova vazão recalcada. Observe que, no caso, a altura geométrica da Equação 5.38 é negativa. Q (m3/s) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036 H (m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9 η (%) 0 32 74 86 85 66 28

22

5

QE 12 H 12 JL 12 1025 0,0827f 12 25.777,72Q

0,1524= − + ∆ = − + = − + ⋅ = − +

Com uma equação para E chegamos à tabela: Q (m3/s) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036 H (m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9 E (m) –12 –11 –8,3 –3,6 2,8 11,2 21,4

Interpolando:

( ) ( )2

14,2 x 2,8 x8,4 14,2 x 4,5 2,8 x 119,28 8,4x 12,6 4,5x

14,2 9,7 2,8 11,2

x 10,22 10,22 12 25.777,72Q Q 29,3 / s

CP z E 812 10,22 822,22 m

− −= ⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔− −

⇔ = ⇒ = − + → == + = + =

ℓ

Q 0,024 0,030 H 14,2 9,7 Η 8 66 Interpolando para o rendimento, vem: 14,2 10,22 85 y

0,88 9 85 y y 77,08 %14,2 9,7 85 66

− −= ⇔ ⋅ = − ⇔ =− −

Portanto: 3 3HQ 9,8 10 10,22 29,3 10

Pot 3,8 kW0,7708

−γ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =η

5.8 Um sistema de bombeamento é constituído por duas bombas iguais instaladas em paralelo e com sucções independentes, com curva característica e curva do N. P. S. H. dadas na Figura 5.23. As tubulações de sucção e recalque tem diâmetro de 4”, fator de atrito f = 0,030 e os seguintes acessórios: na sucção, de 6,0 m de comprimento real, existe uma válvula de pé com crivo e uma curva 90° R/D = 1. O nível d’água no poço de sucção varia com o tempo, atingindo, no verão, uma cota máxima de 709,00 m e, no inverno, uma cota mínima de 706,00 m. A cota de instalação do eixo da bomba vale 710,00 m. verifique o comportamento do sistema no inverno e no verão, determinando os pontos de funcionamento do sistema (Q e H), os valores do N. P. S. H. disponível nas duas estações e o comportamento da bomba quanto à cavitação.. Assuma temperatura d’água, em média, igual a 20°C.



( )( )( )

( )

1

2

R

1 bomba: Q l/s 0 3 6 9 12 15 18

1 bomba: Q l/s 0 6 12 18 24 30 36

H m 24 22,5 20 17 13 7 0

NPSH m x 2,5 3,5 4,5 5 4,5 9

Válvula de pé com crivo → 1L 0,56 255,48D= +

Curva 90° R/D = 1 → 2L 0,115 15,53D= +

Válvula de retenção leve → 3L 0,247 79,43D= +

Registro de globo → 4L 0,01 340,27D= +

r

s

e 3 4 2S

re 1 2

L L L 2L 46,563 mL 6 mD 4" 0,1 m

L 70 mL L L 27,776 mf 0,030

T 20 C

= + + === =

== + ==

= °

( ) ( )[ ]

s rs r s e s r e r

22

5

H H H H L L J L L J

0,0827QH 6 27,776 70 45,563 H 37.051Q

D

∆ = ∆ + ∆ ⇔ ∆ = + + + ⇔

⇔ ∆ = + + + ⇔ ∆ =

Inverno: 2iE 13 37051Q= +

Verão: 2iE 10 37051Q= +

Q (l/s) 0 6 12 18 24 30 36 Ev 10 11,33 15,33 22 31,34 43,35 58,02 Ei 10 14,33 18,33 25 34,34 46,35 61,02

Verão: ( )( )( )

2 v

v v

v

Q l/s 12 Q 18

E m 15,33 H 22

H m 20 H 17

Inverno:

v vv

v vv

15,33 H 20 HH 18,55 m

15,33 22 20 17

12 Q 20 HQ 14,9 l/s

12 18 20 17

− −= ⇒ =− −

− −∴ = ⇒ =− −

i ii

i ii

18,33 H 20 HH 19,48 m

18,33 25 20 17

12 Q 20 HQ 13,04 l/s

12 18 20 17

− −= ⇒ =− −

− −∴ = ⇒ =− −



( )( )( )

2 i

v i

i

Q l/s 12 Q 18

E m 18,33 H 25

H m 20 H 17

Temos que a vd s

p pNPSH z H .

−= − − ∆γ

Pela tabela da página 158 – T = 20°C –

vp 0,24.=γ Portanto:

( ) ( ) ( )s

2 2

d s e 5 5

Q QNPSH 9,55 0,24 z L L 0,0827f 9,31 z 6 27,776 0,0827 0,03

D 0,1= − − − + = − − + ⋅

Inverno: i

2dNPSH 5,31 8379,8Q= −

Verão: v

2dNPSH 8,31 8379,8Q= −

v

i

r

1

d

d

d

Q 0 3 6 9 12 15 18

NPSH 8,31 8,23 8,01 7,63 7,10 6,42 5,59

NPSH 5,31 5,23 5,01 4,63 4,10 3,42 2,59

NPSH x 2,5 3,5 4,5 5 7,5 9

Verão:

i

r

máx

d v

d v

Q 12 Q 15

NPSH 7,1 y 6,42

NPSH 5 y 7,5

Inverno:

v

r

máx

d i

d i

Q 9 Q 12

NPSH 4,63 y 4,10

NPSH 4,5 y 5

⇒ Há cavitação, já que

máxv vQ Q> e máxi iQ Q .>

Calculando o NPSHd:

2i i

2vv

NPSH 5,31 8379,8Q Inverno: NPSH 3,88 m

Verão: NPSH 6,45 mNPSH 8,31 8379,8Q

= − =⇒

== −

5.14 Uma bomba centrífuga está montada em uma cota topográfica de 845,00 m, em uma instalação de recalque cuja tubulação de sucção tem 3,5 m de comprimento, 4” de diâmetro, em P. V. C. rígido, C = 150, constando de uma válvula de pé com crivo e um joelho 90°. Para um recalque de água na temperatura de 20°C e uma curva do N. P. S. H. requerido dada pala Figura 5.25, determine a máxima vazão a ser recalcada para a cavitação incipiente. Se a vazão recalcada for igual a 15 l/s, qual a folga do NPSH disponível e do NPSH requerido. Altura estática de sucção igual a 2,0 m e a bomba é não afogada.

v vv

máx vmáx

7,1 y 5 yy 6,65 m

7,1 6,42 5 7,5

12 Q 5 yQ 13,98 l/s

12 15 5 7,5

− −= ⇒ =− −

− −∴ = ⇒ =− −

i ii

máx imáx

4,63 y 4,5 yy 4,57 m

4,5 4,10 4,5 5

9 Q 4,5 yQ 9,42 l/s

9 12 4,5 5

− −= ⇒ =− −− −∴ = ⇒ =

− −



1

2

e

e

D 4” 0,1 m

C 1560

L 28,6 m

L 4,3 m

T 20°C

= ==

=

=

=

( )

( )

1 2

1,85

e e e 1,85 4,87

1,85

1,85 4,87

1,85

Q 10,65H L L L

C D

Q 10,65H 3,5 28,6 4,3

150 0,1

H 2708,2 Q

⋅∆ = + +⋅

⋅∆ = + +⋅

∆ = ⋅

a

a2

p 760 0,081h13,6

1000

h 845

p9,40 mH O

− = γ

↓ =

=γ

1,85a v v

d

v

1,85d

p p pNPSH z H 9,40 2 2708,2Q

Tabela da página 158p

T 20 C 0,24

NPSH 7,16 2708,2Q

−= − − ∆ = − − −γ γ

↓ = ° → =γ

= −

Q (l/s) 0 5 10 15 20 25 30 NPSHr (m) 0 0,6 1,2 2,8 5,2 7,6 11,2 NPSHd (m) 7,16 7,01 6,62 6,02 5,21 4,22 3,04 A interseção de NPSHr e NPSHd é em Q = 20 l/s. ⇒ Qmáx = 20 l/s. A folga para Q = 15 l/s é: Folga 6,02 2,8 3,22= − =

6.1 O sistema de recalque mostrado na Figura 6.9 faz parte de um projeto de irrigação que funciona 5 horas e meia por dia. O sistema possui as seguintes características: a) tubulação de sucção com 2,5 m de comprimento, constando de uma válvula de pé com crivo e uma curva 90º R/D = 1; b) uma bomba que mantém uma altura total de elevação de 41,90 m, para a vazão recalcada; c) uma caixa de passagem, em nível constante, com NA = 26,91 m; d) vazão de distribuição em marcha (vazão unitária de distribuição) constante a partir do ponto A igual a q = 0,02 /(sm). Determine: a) os diâmetros de recalque e sucção (adotar o mesmo) usando a Equação 5.18 (ver a Seção 5.4.3); b) a carga de pressão disponível imediatamente antes e depois da bomba; c) os diâmetros dos trechos AB e BC, sendo o ponto C uma ponta seca, vazão nula. Dimensione os diâmetros pelas vazões de montante de cada trecho; d) a potência do motor elétrico comercial. Dados: a) rendimento da bomba: 65%; b) material de todas as tubulações: ferro fundido novo (C=130); c) utilize a equação de Hazen-Williams; d) perdas de carga localizadas no recalque, desprezíveis.



a) A vazão de sucção é:

3(240 108) 9,96 10Q q −= + = ⋅ m3/s

Equação 5.18 → 34( ) 1,3 ( / ),rD m X Q m s= em que X é a fração do dia de funcionamento do

sistema. 5,5

0,22924

X = = e ( )0,02 240 108 6,96Q = ⋅ + = l = 6,96⋅10–3 m3/s

341,3 0,229 6,96 10 0,0750rD −∴ = ⋅ = m b) Equação da energia em NAI e imediatamente antes de B:

2 2 2 21 1

1 0 0 1,22 2 2 2

B B B B B BB m B m m

p V p V p V p Vz z H z H H

g g g gγ γ γ γ+ + = + + + ∆ ⇔ = + + + ∆ ⇔ = + + + ∆

3

2 3

6,96 101,57

/ 4 4,418 10B B

r

QV V

Dπ

−

−⋅= = ⇒ =

⋅ ⋅m/s

Tabela 3.6 → 1

2

( ) : 0,56 255,48 19,721

( ) : 0,115 15,53 1,31975

e

e

i Crivo L D

ii Curva L D

= + =

= + =

( ) ( )1 2

1,85

1,85 4,8723,541 10,65 0,945m s e e m

QH L L L J H

C D∆ = + + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ ∆ = m

( )21,57

0 1,2 0,945 2,272 9,8

B B

antes

p p

γ γ ∴ = + + + ⇒ = − ⋅

mH2O

Equação da energia em NAI e imediatamente depois de B:

( )2 2 2

1 11

1,571,2 0,945

2 2 2 9,8B B B

B mp V p V p

H z z H H IIg gγ γ γ

+ + + = + + + ∆ ⇔ = + + +⋅

Temos _ 2.3 41303,932 10

0,075TabelaC

D mβ

=→ = ⋅

=

( )1,854 31,85 3,932 10 6,96 10350 14

100 100j j j j jQ

H L J L Hβ

−⋅ ⋅ ⋅⋅∆ = = = ⋅ ⇔ ∆ = m

Como (26,91 0) 0,945 14 41,855j m m jH z z H H= − + ∆ + ∆ = − + + = m, voltando a II,

temos: 21,57

41,855 1,2 0,945 39,582 9,8

B B

depois

p p

γ γ = + + + ⇔ = ⋅

mH2O

c) Em A,



QA = 6,96⋅10–3 m3/s Em B,

( ) ( )3 5 36,96 10 2 10 240 2,16 10B A AB BQ Q q L Q− − −= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ m3/s

Pela Tabela 6.1, tem-se 6,96AQ = l/s < 3,14 l/s ⇒ DAB = 0,125 m. QB = 2,16 l/s < 3,14 l/s

⇒ DBC = 0,075 m d) Equação da energia em B e no NAII,

2 22 2

2 22 2B B B

B AB B ABp V p V p

z z H z z Hg gγ γ γ

+ + = + + + ∆ ⇔ = + + ∆ ⇔

26,91 16,71 BAB

pH

γ⇔ = + + ∆ (III)

Temos _ 2.3 31303,267 10

0,125TabelaC

D mβ

=→ = ⋅

=

( )1,853 31,85 240 3,267 10 2,16 100,092

100 100B

AB AB AB AB ABQ

H L J L Hβ

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅∆ = ⋅ = ⋅ = ⇒ ∆ =

Voltando a III, temos:

26,91 16,71 0,092 10,12B Bp p

γ γ= + + ⇔ = mH2O

e) 39,8 41,855 6,96 10

4,390,65

H QPot Pot

γη

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⇒ = kW

3 3 310 10 6,96 10 41,8555,97

75 75 0,65

H QPot Pot

η

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⇒ =⋅

cv

6.2 A rede de distribuição de água, representada na Figura 6.10, possui as seguintes características: a) os trechos BC, CE, EF, CD e EG têm uma vazão de distribuição em marcha constante e igual a q= 0,010 l/(sm) b) os pontos D, F e G são pontas secas; c) as cotas topográficas dos pontos são:

( ) 6,0 7,0 8,0 11,0 8,0 10,0 6,0

Ponto A B C D E F G

Cota m

Determine a cota do nível de água no reservatório, para que a mínima carga de pressão dinâmica na rede seja de 12 mH2O. Determine a máxima carga de pressão estática. Material das tubulações tem C = 130.



EXEMPLO 8.1 Estime o valor do fator de atrito f, do coeficiente de rugosidade C de Chézy e do coeficiente de rugosidade n de Manning em um canal largo de 1,50 m de profundidade, no qual as medidas de velocidades a 20 % e 80 % da altura d’água foram, respectivamente, v0,20 = 0,80 m/s e v0,80 = 1,20 m/s. Assuma distribuição de velocidade logarítmica na vertical, escoamento turbulento rugoso

e que a altura d’água é igual ao raio hidráulico. A Equação 2.31 *

8,48 2,5lnv R

u ε

= +

,

desenvolvida a partir da hipótese de perfil logarítmico, pode ser posta em forma mais conveniente como:

*

29,845,75log

v R

u ε =

Em que y é uma ordenada medida a partir do fundo e v, a velocidade pontual. Para y = 0,80h e y = 0,20h, fica:

0,80

*

23,875,75log

v h

u ε =

0,20

*

5,975,75log

v h

u ε =

Fazendo 0,80

0,20

vX

v= , dividindo uma equação pela outra e desenvolvendo, vem:

0,776 1,378log

1

h X

Xε− = −

Usando o conceito de diâmetro hidráulico, a velocidade média é dada pela equação 2.32

*

2,5ln 4,73V R

u ε

= +

, na forma:

*

25,75log 4,73 5,75log 4,73 5,75log 4,73 5,75log 6,46

2hV R D R h

u ε ε ε ε= + = + = + = +

Pela equação 2.26 *

8V

u f

=

, que relaciona a velocidade média com o fator de atrito,

tem-se:

*

8 0,776 1,378 2 1,4646,46

1 1

V X X

u f X X

− + = = + = − −

Para 1,20

1,5,0,80

X = = o fator de atrito vale f = 0,100 e da Equação 8.7

0 08 8

,h hg g

V R I V C R I Cf f

= ⇔ = ⇐ =

8 78,428

0,100

gC

f= = =

e, finalmente, como

h = Rh = 1,50 m e 1/6hR

Cn

=

o coeficiente de rugosidade de Manning vale n = 0,038. EXEMPLO 8.2 Determinar a altura d’água em uma galeria de águas pluviais, de concreto n = 0,013, diâmetro igual a 0,80 m, declividade de fundo I0 = 0,004 m/m, transportando uma vazão de 600 l/s em regime permanente e uniforme. O coeficiente dinâmico vale:



3/8 3/8

0

0,013 0,600,456

0,004

nQM

I

⋅= = =

Pela Equação 8.471

MD

K

=

:

11

0,4560,80 0,570K

K= ∴ =

Na Tabela 8.1, para K1 = 0,570, determina-se o valor da lâmina d’água relativa, isto é, a altura normal dividida pelo diâmetro. Para K1 0,570, tira-se y0/D = 0,625, e daí y0 = 0,50 m. EXEMPLO 8.3 Qual a relação entre as vazões transportadas, em regime permanente e uniforme, em uma galeria de águas pluviais, com lâmina d’água igual a 2/3 do diâmetro e a meia seção. Na Tabela 8.1, para lâminas d’água iguais a y0/D = 0,666 e y0/D = 0,50 m, os coeficientes K1 valem, respectivamente, 0,588 e 0,498.

Pela Equação 8.47

3/8

1 0

, em que M= ,M nQ

DK I

=

fórmula de Manning, como o

diâmetro é o mesmo, tem-se:

1 2 1

1 2 2

1,18M M M

K K M= ∴ =

e para a mesma declividade e rugosidade, fica: 3/8

1 1

2 2

1,18 1,56Q Q

Q Q

= ∴ =

EXEMPLO 8.4 Dimensione um canal trapezoidal dom taludes 2H:1V, declividade de fundo I0 = 0,0010 m/m, revestimento dos taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares, para transportar uma vazão Q = 6,5 m3/s. Utilize uma razão de aspecto m = b/y0 = 4. Calcule a velocidade média e verifique se a seção encontrada é de mínimo perímetro molhado. Na Tabela 8.5, determina-se o coeficiente de rugosidade n = 0,025. Na Tabela 8.2, determina-se o coeficiente de forma K, em função de m = 4 e Z = 2, e vale K = 1,796. O coeficiente dinâmico vale:

3/8 3/8

0

0,025 6,51,847

0,001

nQM

I

⋅= = =

Pela fórmula de Manning, Equação 8.39

3/8

00

, em que :M nQ

y MK I

= =

01,847

1,031,796

My

K= = = m

Então:

0

4 4,12b

m by

= = ∴ = m (largura do fundo)

A área molhada vale:

( ) ( )2 20 4 2 1,03 6,36A m Z y= + = + ⋅ = m2.



A velocidade média é igual a 6,5

1,026,36

QV

A= = = m/s.

Para que a seção dimensionada tenha o mínimo perímetro molhado, é necessário que seja verificada a Equação 8.53, isto é:

( ) ( )22 1 2 1 4 2 0,47 4m Z Z= + − = + − = ≠

Conclusão: a seção não é de mínimo perímetro molhado. 8.1 Um canal de drenagem, em terra com vegetação rasteira nos taludes e fundo, com taludes 2,5H:1V, declividade de fundo I0 = 30 cm/km foi dimensionado para uma determinada vazão de projeto Q0, tendo-se chegado a uma seção com largura de fundo b = 1,75 m e altura de água y0 = 1,40 m. a) Qual a vazão de projeto? b) A vazão encontrada é de mínimo perímetro molhado? c) Se o projeto deve ser refeito para uma vazão Q1 = 6,0 m3/s e a seção é retangular, em concreto, qual será a altura de água para uma largura de fundo igual ao dobro da anterior? Taludes 2,5H:1V → Z = 2,5 Q0: vazão de projeto I0 = 30 cm/km = 0,0003 m/m B= 1,75 m y0 = 1,4 m a) Q0 = ?

3/8

0

,nQ

MI

=

onde 0 1,4 1,423 1,9922M y K M= ⋅ ⇔ = ⋅ =

3/8 43/83/8

4 4

0,025 0,025 1,9922 3 101,78 1,9922 4,35

0,0253 10 3 10

Q QQ

−

− −

⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⋅ ⋅

m3/s

b) ( ) ( )2 22 1 2 1 2,5 2,5 0,3852 1,25m Z Z= + − = + − = ≠ ∴ não

c)

31 6,0 m /

0,014

' 2 3,5

Q s

seção circular

concreto n

b b

=

⇒ = = =

8/3 8/3 40

0,014 60,1717

3,5 3 10

n QK K

b I −

⋅ ⋅= ⇒ = =⋅

Pelo ábaco,

000,29 0,29 3,5 1,01

yy

b= ⇒ = ⋅ = m

8.2 Uma galeria de águas pluviais de 1,0 m de diâmetro, coeficiente de rugosidade de Manning n = 0,013 e declividade de fundo I0 = 2,5⋅⋅⋅⋅10–3 m/m transporta, em condições de regime permanente uniforme, uma vazão de 1,20 m3/s. a) Determine a altura d’água e a velocidade média. b) A tensão de cisalhamento média, no fundo, e a velocidade de atrito. c) Qual seria a capacidade de vazão da galeria, se ela funciona na condição de máxima vazão? D = 1,0 m N = 0,013 I0 = 2,5⋅10–3 m/m Q = 1,2 m3/s

0

1,751,25

1,4

bm

y= = =

0 ?y =



a) y0 = ? e V0 = ? 3/83/8

30

0,013 1,20,646

2,5 10

nQM

I −

⋅ ⇒ = = =

⋅

0,6460,646

1

MK

D= = =

000,85 0,82

ym y

D= = → = m

Pela Equação 8.58 2/3

2/3 1/20

11 ,

2,52

senV D I

n

θθ

= − ⋅

com 1 022cos 1 ,

y

Dθ − = −

tem-

se:

1 102 2 0,822cos 1 2cos 1 259,58

1

y

Dθ − − ⋅ = − = − = °

= 4,53 rad

( )2/3

1/22/3 31 4,531 2,5 10 1 1,53 1,14 1,74

2,52 0,013 4,53

senV V− = ⋅ − → = ⋅ = ⋅

m/s

b) 0 ,hR Iτ γ= onde 30

10,304 9810 0,304 2,5 10 7,46

4h

senD

R

θθ τ −

− = = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = Pa

* 0,086hu gR I= = m/s

c) Pela Equação 8.59 ( )5/3

8/3 1/20 2/3

1

20,2

senQ D I

n

θ θθ

− =

, tem-se:

( )5/33

2/3

5,28 5,2812,5 10 1,29

20,2 5,28

senQ

n− −

= ⋅ = m3/s

8.4 Um canal trapezoidal deve transportar, em regime uniforme, uma vazão de 3,25 m3/s, com uma declividade de fundo I0 = 0,0005 m/m trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado. A inclinação dos taludes é de 0,5H:1V e o revestimento será em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares. Determine a altura d’água, a largura de fundo e a tensão média de cisalhamento no fundo do canal. Trapézio: Q = 3,25 m3/s mínimo perímetro y0 = ? n = 0,025 I0 = 0,0005 m/m molhado b0 = ? z = 0,5 (MPM) τ = ?

3/83/80,025 3,25

1,620,0005

nQM

I

⋅ = = =

( )20 0

1,622 1 1,5

1,11,24

1,1

M My MPM m Z Z y

t tm

t

= → = + − = = =

==

m

20

, onde R21,24 1,9 m

1,51,59810 0,0005 3,7 N/m

2

h hy

R Ib b

m by

τ γ

τ

= ⋅ ⋅ == ⇒ = ⇔ =

= ⋅ ⋅ =



8.5 Dimensione um canal para irrigação, em terra, com vegetação rasteira no fundo e nos taludes, para transportar uma vazão de 0,75 m3/s, com declividade de fundo I0 = 0,0005 m/m, de modo que a velocidade média seja no máximo igual a 0,45 m/s. Inclinação dos taludes 3H:1V. n = 0,025 Q = 0,75 m3/s I0 = 0,0005 m/m

0,45 m/s 3V z≤ =

QV

A= 0

My

K=

0

0,94nQ

MI

= =

( )0 02A b y y= + ( )22 1 3 3 0,32 1,780m K= + − = ⇒ =

0,750,45 0,45

Q

A A≤ ⇔ ≤ 0

0,940,53

1,78y = = m

( ) ( )0 01 1

2 2 3 0,53 0,53 0,53 0,84272 2

A b b Zy y b b b= + + = + + ⋅ ⋅ = +

Mas 1,67A ≥ m2 ∴ 0,53 0,8427 1,67 1,56b b+ ≥ ⇔ ≥ m 8.6 Dimensione um canal trapezoidal, com taludes 2H:1V, declividade de fundo I0 = 0,001 m/m, com taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassada, em boas condições, para transportar em regime uniforme uma vazão de 8,0 m3/s, sujeita às seguintes condições: a) A máxima altura d’água deve ser de 1,15 m. b) A máxima velocidade média deve ser de 1,30 m/s. c) A máxima largura na superfície livre deve ser de 8,0 m. Canal trapezoidal (alvenaria em pedra argamassada, em boas condições): n = 0,030 Q = 8,0 m3/s I0 = 0,001 m/m y0 < 1,15 m vmáx < 1,30 m/s n < 8,0 m

0 1,15 1,15 1,6M

y KK

< ⇒ > ⇔ ≥ → da Tabela 8.2, 0

2,8b

my

= =

8 8 1,3 6,15máxQ V A v A A A= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇔ = ⇔ = m2 Mas

( ) 2 20 0 06,15 (2,8 2) 1,13A m Z y y y= + → = + ⇒ = m

00

2,8 2,8 2,8 1,13 3,164b

m b yy

= = ⇒ = = ⋅ = m

02 3,164 2 2 1,13 7,684B b Z y B= + ⋅ ⋅ → = + ⋅ ⋅ = m 8.8 Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituído por duas canalizações em série, com as seguintes características: Trecho 1 – Diâmetro: D1 = 150 mm

Declividade: I1 = 0,060 m/m Trecho 2 – Diâmetro: D2 = 200 mm Declividade: I2 = 0,007 m/m Determine a máxima e a mínima vazões no trecho para que se verifiquem as seguintes condições de norma: a) Máxima lâmina d’água: y = 0,75D b) Mínima lâmina d’água: y = 0,20D c) Máxima velocidade: V = 4,0 m/s

3/83/80,020 8

1,840,001

nQM

I

⋅ = = =



d) Mínima velocidade: V = 0,50 m/s Coeficiente de rugosidade de Mannin, n = 0,013.

Canalizações em série n = 0,013 ( )

1 0

2

22cos 1

8

y

D

D senA

θ

θ θ

− = −

−=

1

1

1:

D 150 mm = 0,15 m

I 0,060 m/m

Trecho

==

2

2

2:

200 mm = 0,2 m

I 0,007 m/m

Trecho

D ==

00,20 0,75D y D≤ ≤ Qmáx = ? e Qmín = ?

No caso de y0 = 0,20D, temos:

00 10,20 0,20 0,259

yy D K

D= ⇔ = → = ( )12cos 1 2 0,2 106,26 1,855 radθ −= − ⋅ = ° =

Em 1:

0,15 0,038850,259

MM= ⇒ =

3/83/8

11

0,013 0,03885 0,060,03885 0,0033

0,0130,06

QQ

⋅= ⇒ = =

m3/s

Em 2:

3/83/8

322

0,2 0,05180,259

0,013 0,0518 0,0070,0518 0,0024 m /s

0,0130,007

MM

QQ

= ⇔ =

⋅= ⇔ = =

Qmín em 1 ⇒ 0,0033 m3/s. Como a tubulação está em série, Qmín = 0,0033 m3/s.

Verificando se a vazão mínima atende ao intervalo de velocidade (0,5 m3/s ≤ V ≤ 4 m3/s), temos:

2

0,00330,36

0,00911mín

mínQ

QV

A= = = m3/s

No caso y0 = 0,75D, temos:

00 10,75 0,75 0,624

yy D K

D= ⇔ = → = ( )12cos 1 2 0,75 240 4,189 radθ −= − ⋅ = ° =

Em 1:

3/8

1 0

Q V A

M nQD M

K I

= ⋅

= =

( )23 3

20,2 1,855 1,855

9,11 10 m /s8

0,0024 0,26 m/s (ok!)

0,00911

senA

v

−−= = ⋅

∴ = =

( )23 3

10,15 1,855 1,855

2,52 10 m /s8

0,0033 1,31 m/s (ok!)

0,00252

senA

v

−−= = ⋅

∴ = =



0,15 0,09360,624

MM= ⇒ =

3/83/8

311

0,013 0,0936 0,060,0936 0,0083 m /s

0,0130,06

QQ

⋅= ⇒ = =

( )2 21 1

4,189 4,189 0,00830,15 0,01422 m 0,58 m/s (ok!)

8 0,01422

senA V

−= = ⇒ = =

Em 2:

0,2 0,12480,624

MM= ⇒ =

3/8

3/832

20,013 0,1248 0,007

0,1248 0,0250 m /s0,0130,007

QQ

⋅= ⇒ = = ( )2 2

2 14,189 4,189 0,025

0,2 0,0253 m 0,99 m/s (ok!)8 0,0253

senA V

−= = ⇒ = =

( )

11

0

0 0

0,0251,76 m/s (ok!)

0,01422

1 cos 2y 0,094 m2

0,035y 0,1125 (ok!)

máxQV

A

D

y

θ

= = =

−= =

≤ ≤

8.10 Determine a mínima declividade necessária para que um canal trapezoidal, taludes 4H:1V, transporte 6 m3/s de água, com uma velocidade média igual a 0,60 m/s. Coeficiente de rugosidade, n = 0,025. Z = 4 Q = 6 m3/s V = 0,60 m/s n = 0,025

0 ?mín

I =

Para que I0 seja mínimo, a seção deve ser de mínimo perímetro molhado. Portanto:

( ) ( )2 22 1 2 1 4 4 0,246m Z Z= + − = + − =

00

0,246b

m b yy

= ⇒ =

Voltando a A, tem-se: 20 04,246 10 1,53 my y= ⇔ =

Da Tabela 8.2, interpolando, para m = 0,246, vem K = 1,4465. Assim:

0 1,53 1,4465 2,213145M

y MK

= ⇒ = ⋅ =

3/8 24

0 3/80

0,025 6 0,025 62,213145 3,25 10 m/m

2,213145I

I− ⋅ ⋅= ⇔ = = ⋅

8.19 Um trecho de coletor de esgotos de uma cidade cuja rede está sendo remanejada tem 100 m de comprimento e um desnível de 0,80 m. Verifique se o diâmetro atual, de 200 mm, permite o escoamento de uma vazão de 18,6 ℓ/s. Em caso contrário, qual deve ser o novo diâmetro desse trecho? Determine a lâmina líquida correspondente e a velocidade média.

30,025 m /smáxQ =

2610 m

0,6

QQ V A A

V= ⋅ ⇒ = = =

( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 0 0 0

24 10

2 2

b B y b Z y yA b Zy y b y y

+ + ⋅ ⋅= = = + = + =



Material das tubulações: manilha cerâmica, n = 0,013. Adote como lâmina d’água máxima no coletor y0/D = 0,50.

Atualmente,

D = 200 mm Q = 18,6⋅10–3 m3/s n = 0,013

A máxima lâmina de água: y0 = 0,5D ∴ y0 = 0,1 m

Sendo 0y0,5,

D= da Tabela 8.1, temos K1 = 0,498

Sabemos que

( )3/8 3/8

8/31 1

1 0 0 0

M nQ nQ nQD , onde M DK DK

K I I I

= = ⇒ = ⇔ =

Atribuindo valores:

( )8/3 30,008Q 0,2 0,498 0,01466 m /s 14,67 l/s

0,013= × = =

Portanto, D = 200 mm não é suficiente para Q = 18,6 l/s. Então: 3/8 3/8

3

30

nQ 0,013 18,6 10M 0,1088

I 8 10

−

−

⋅ ⋅= = = ⋅

Como a relação y0/D não se altera, K1 = 0,498. Logo:

1

MD 0,2186 m

K= =

Como não existe esse diâmetro comercializado, D = 250 mm

00

y0,5 y 0,108 m

D= → =

Na seção circular:

( )1 1 102y 2 0,1082cos 1 2cos 1 2cos 0,01189 3,18 rad

D 0,2186− − −⋅ θ = − = − = =

( ) ( ) ( )2 2

3 20,2186 3,18 3,185,97 10 3,22 0,0192 m

8 8−− −

= = = ⋅ =D sen sen

Aθ θ

Portanto:

3Q 18,6 10V 0,97 m/s

A 0,0192

−⋅= = =

8.20 No projeto de um coletor de esgotos, verificou-se que, para atender à condição de esgotamento dos lotes adjacentes, ele deveria ter uma declividade de 0,015 m/m. Sendo 20 l/s a vazão de esgotos no fim do plano e 10 l/s a vazão atual (início de plano), determine: a) o diâmetro do coletor e a velocidade de escoamento, para o final do plano; b) a lâmina líquida atual e a correspondente velocidade média.

30I 0,8 m/100 m 8 10 m/m −= = ⋅



3 3

j

3 3m

Q 20 l/s 20 10 m /s

Q 10 l/s 10 10 m /s

−

−

= = ⋅

= = ⋅

( )1 102y2cos 1 2cos 0 rad

D− − θ = − = = π

a) D = ? e Vj = ?

1

MD

K=

3/8 3/832

0

nQ 0,013 20 10M 9,5 10

I 0,015

−− ⋅ ⋅= = = ⋅

29,95 10D 0,2 m 200 mm

0,498

−⋅⇒ = = =

( ) ( )2 220,2

0,0154 m8 8

− −= = =

D sen senA

θ θ π π

Com a área, temos a velocidade pela relação jj

QV :

A=

3j

j

Q 20 10V 1,29 m/s

A 0,0154

−⋅= = =

b) 3mQ 0,01 m /s=

3/8 3/83

0

nQ 0,013 10 10M 0,077

I 0,015

− ⋅ ⋅= = =

1

M 0,077D 0,155 m

K 0,498= = =

( ) ( )1 00

D 1 cos /2 0,155 1 cos /22y2cos 1 y 0,0775 m

D 2 2− − θ − π θ = − → = = =

( ) ( )2 23 20,155

9,43 10 m8 8

−− −= = = ⋅

D sen senA

θ θ π π

3

mm 3

Q 10 10V 1,06 m/s

A 9,43 10

−

−⋅= = =⋅

9.5 Em um projeto de um sistema de drenagem de águas pluviais, determinou-se que, para escoar uma vazão de 12 m3/s, era necessária uma galeria retangular em concreto, rugosidade n = 0,018, declividade de fundo I0 = 0,0022 m/m, com 3,0 m de largura, conforme a figura. Por imposição do cálculo estrutural, foi necessário dividir a seção em duas células de 1,5 m de largura com um septo no meio. Verifique se esta nova concepção estrutural tem condições hidráulicas de escoar a vazão de projeto, em condições de escoamento livre.

0I 0,015m/m=

0

1

n 0,013

y0,5

DK 0,498

=

=

=

Seção original Seção modificada



( )

T 1 2

2

h

2 ) Seção modificada

Q Q Q

n 0,018

b 1,5m 0,714

y 2,1

Área 1,5 2,1 3,15 m

P 1,5 2,1 2 6,3

A 3,15R 0,5 m

P 6,3

°= +

=

= = =

= ⋅ == + =

= = =

Manning:

2/3 2/3 31h 1

0

nQ 0,018 QA R 3,15 0,5 Q 5,17m /s

I 0,0022

⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇔ =

T 1 2 1

3T

Q Q Q 2Q

Q 2 5,17 10,34m /s

= + =

= ⋅ = Não tem condições.⇒

9.6 Uma galeria de águas pluviais de seção retangular escoa uma certa vazão, em escoamento uniforme, com uma largura de fundo igual a 0,90 m e altura d’água de 0,70 m. Em uma determinada seção, deverá haver uma mudança na geometria, passando para uma seção circular. Determine o diâmetro da seção circular para transportar a mesma vazão, com a mesma altura d’água, rugosidade e declividade de fundo.

0 0

r c

Retangular Circular

b 0,9 m D ?

y 0,7 m y 0,7 m

I I

= ⇒ == =

=

1°)

0

0,91,29 0,874

0,7= ⇒ = = → =b

m m Ky

0 0

3/8

0,7 0,874 0,61

0,61

= ⇒ = ⋅ = ⋅ =

= =

My M y K

K

nQM

I

2°)

2DA

4

π ⋅=

P D= π 2

hA D D

RP 4 D 4

π ⋅= = =π

3°)

( )2/32 2/3

8/32/3 2h

2,67

nQ D D DA R 0,61 0,27 0,79D

4 4 2,52I

D 0,86 D 0,95 m

π ⋅ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔

⇔ = ⇔ =

3

0

1 ) Seção original

Q 1 /s2 m

n 0,018

I 0,0022 m/m

b 3m

y 2,1 m

°

===

==

0

31,43

2,1= ⇒ = =b

m my



9.8 Qual deve ser a declividade de fundo de um canal trapezoidal com taludes 2H:1V, largura da base b = 3,0 m, para transportar uma vazão de 3,0 m3/s com velocidade média de 0,60 m/s. Coeficiente de rugosidade do fundo e taludes n = 0,018.

3

trapézio z 2

b 3 m

Q 3,0 m /s

V 0,6 m/s

n 0,018

→ ==

===

( ) ( )( )

2

2 2 2

2 2

3Q V A A 5 m

0,6

A m Z y e A 2 1 Z Z y

5 2 1 2 2 y y 1,42

= ⋅ → = =

= + = + −

∴ = + − ⇔ =

As principais partes constituintes de um vertedor são: a) Crista ou soleira é a parte superior da parede em que há contato com a lâmina vertente. Se o contato da lâmina se limitar, como nos orifícios de parede fina, a uma aresta biselada, o vertedor é de parede delgada; já se o contato ocorrer em um comprimento apreciável da parede, o vertedor é de parede espessa. b) Carga sobre a soleira h é a diferença de cota entre o nível d’água a montante, em uma região fora da curvatura da lâmina em que a distribuição de pressão é hidrostática, e o nível da soleira. Em geral, a uma distância a montante do vertedor igual a seis vezes a carga, a depressão da lâmina é desprezível. c) Altura do vertedor P é a diferença de cotas entre a soleira e o fundo do canal de chegada. d) Largura ou luz da soleira L é a dimensão da soleira através da qual há o escoamento. 12.7 Um vertedor retangular de parede fina com 1,0 m de largura, sem contrações laterais, é colocado juntamente com um vertedor triangular de 90º em uma mesma seção, de modo que o vértice do vertedor triangular esteja 0,15 m abaixo da soleira do vertedor retangular. Determinar: a) a carga no vertedor triangular quando as vazões em ambos os vertedores forem iguais; b) a carga no vertedor triangular quando a diferença de vazão entre o vertedor retangular e triangular for máxima. Utilizar a fórmula de Thomson e Francis. Fórmula de Francis → Q = 1,838bh3/2, onde Q → vazão em m³/s. b → largura do vertedor em metros. h → altura da lâmina d’água sobre a crista do vertedor em metros. Fórmula de Thomson → Q = 1,40h5/2

a) 1 21 vertedor retangular

, onde 2 triangular

Q Qvertedor

→=

→

Usando a fórmula de Thomson para o vertedor triangular e a fórmula de Francis para o vertedor retangular, tem-se:

3/8 =

nQM

I0 = M

yK

3/83/8

0

50

b 3m 2,11 K 1,5

y 1,42

M y K 1,42 1,5 2,13

nQ 0,018 3M 2,13

I I

I 5,17 10 m/m−

= = = ⇒ ≈

= ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⇒ =

∴ = ⋅



2 53/2 5/2

1 2 3

5 3 2 3

1,8381,838 1,40

1,4

0,58 0,45 0,0675 3,375 10 0

HQ Q L h H

h

H H H H −

= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔

⇔ − + − + ⋅ =

Observamos que a soma dos coeficientes é aproximadamente 1, o que nos leva a concluir que existe uma raiz próxima a este valor. Por tentativa e erro: H = 1,04 m b)( )1 2Q Q− é máxima

( ) ( ) ( )3/23/2 5/2 5/21 2 1,838 1,40 1,838 0,15 1,40 0

máx máx

dQ Q L h H H H

dH − = ⋅ ⋅ − ⋅ → − − = ⇔

( ) ( )1/2 3/2 2 3 2 32,757 0,15 3,5 7,6 0,15 3,5 3,5 7,6 1,14 0H H H H H H⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔

H = 0,7 m 12.9 Um vertedor retangular de parede fina, sem contrações laterais, é colocado em um canal retangular de 0,50 m de largura. No tempo t = 0, a carga H sobre a soleira é zero e, com o passar do tempo, varia conforme a equação H = 20⋅⋅⋅⋅t, com H (m) e t (min). Determinar o volume de água que passou pelo vertedor após 2 minutos. VERTEDOR RETANGULAR DE PAREDE FINA SEM CONTRAÇÕES_

equação de Bernoulli: ( )2 2 2

0 1 01 2

2 2 2

V V Vh h y V g y

g g g

+ = − + ∴ = +

0,5A h= ⋅ Volume vazão tempo velocidade área tempo= ⋅ = ⋅ ⋅ 12.14 Se a equação básica para um vertedor retangular, de soleira fina, sem contrações laterais, Equação 12.70, for usada para determinar a vazão por um vertedor de soleira espessa, de igual largura, qual deve ser o coeficiente de vazão Cd naquela equação? Despreze a carga cinética de aproximação.

Vertedor retangular de parede fina sem contrações → 3/222

3 dQ C g L h= ⋅ ⋅ ⋅ (Equação 12.70)

Vertedor de soleira espessa horizontal → 3/21,704dQ C b h= ⋅ ⋅ ⋅ (Equação 12.94) Igualando as duas equações, tem-se:

3/2 ' 3/22 22 1,704 2 1,704,

3 3d d dC g L h C b h C g⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ = admitindo ' 1dC =

2 12 1,704 0,577

3 3d dC g C⋅ = ⇒ = =

12.18 A captação de água para o abastecimento de uma cidade na qual o consumo é de 250 l/s (vazão de demanda) é feita num curso d’água onde a vazão mínima verificada (no período de estiagem) é de 700 l/s e a vazão máxima verificada (no período das cheias) é de 3800 l/s. Em decorrência de problemas de nível d’água na linha de sucção da estação de bombeamento, durante a época da estiagem, construiu-se à jusante do ponto de captação uma pequena barragem cujo vertedor de 3 m de soleira tem a forma de um perfil padrão WES, que foi desenhado para uma carga de projeto hd =0,50 m. Para o bom funcionamento das bombas, o nível mínimo d’água no ponto de captação deverá estar na cota de 100,00 m, conforme a Figura 12.51. Nestas condições, pergunta-se: a) Em que cota estará a crista do vertedor-extravasor?



b) Durante a época das enchentes, qual será a máxima cota do nível d’água?3/2

0,148

0,5 m

WES: 3,0 m2,215750 250 450 l/s

d

d

Q C L hh

Vertedor L hCQ h

= ⋅ ⋅=∗ =

= = − =

Sendo h a carga de trabalho, então:

a) 0,148 0,148

3/2 3/2 1,6480,45 0,50,45 2,215 3 0,183

0,5 3 2,215

hQ C L h h h h

⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ = ⋅ m

100 m N 99,817 mcrista cristaN h∴ + = ⇔ = b) Vazão = 3.800 l/s – 250 l/s = 3550 l/s

0,148 0,1483/2 1,6483,55 0,5

3,55 2,215 3 0,642 m0,5 3 2,215

NA ' 99,817 0,642 100,459 mmáx c máx

hh h h

N h NA

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ = ⋅

∴ = + = + ⇒ =

.

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91818950 Exercicios Resolvidos Hidraulica Basica