EquacoesDiferenciaisParciaiseoTeoremadeExistenciaeUnicidadeparaoProblemadeCauchy,casolinearCristianeC.F.Cintra1,LucianaB.Goecking21DiscentedocursodeMatematicaLicenciaturadaUniversidadeFederal
deAlfenas.2DocentedoInstitutodeCienciasExatasdaUniversidadeFederal
deAlfenas.Resumo: Seja de R2uma regiao aberta,Ium intervalo aberto
e a equacao linear de
primeiraordemnaohomogeneaemsuaformamaisgerala(x, y)ux +b(x, y)uy=
c(x, y)eacondicaoini-cial u((t), (t)) =f(t) emquea, b e c
saodeclasse C1emque contemacurvasuave=((t), (t)), t I,
chamadacurvainicial doproblema.
EstetipodeproblemaechamadoumProblemadeCauchy.
PararesolvermosesteproblemadeCauchyseradeimportanciafun-damental
oconceitodas curvas caractersticadaequacao, pois estas
representamopontodepartidanabuscadasolucaoparaoproblema.Tambem,veremosqueaformacomoascurvasca-ractersticasintersectamacurvainicial
((t), (t))dadadeterminaseoproblematerasolucao
unica,innitassolucoesouseasoluc aonaoexiste.
VeremosoTeoremadeExistenciaeUnici-dadequenosdaascondicoesnecessariasparaaexistenciaeunicidadedasolucaodoProblemadeCauchymencionado.EimportanteobservarqueoTeoremadeExistenciaeUnicidadenosgaranteapenas
resultados locais, jaqueocomportamentodas curvas caractersticas
longedacurvainicial podetornar-sedemasiadocomplexo.Palavras-chave:
Problemadevalorinicial,mudan
cadevariaveis,curvacaracterstica.Abstract: Itof R2isaopenregion, I
anopeninterval andthelinearequationof rstor-dernonhomogeneous inits
most general forma(x, y)ux+ b(x, y)uy=c(x, y)
andtheinitialconditionu((t), (t))=f(t)that a, bandcareC1classinthat
containsthesmothcurve=((t), (t)), t I, initial curveof problem.
Thistypeof problemiscalledaCauchyPro-blem.
TosolvethisCauchyproblemisfundamental theconcept of
characteristiccurvesof
theequation,sincetheserepresentthestartingpointinthesearchforsolutiontotheproblem.
Also,wewill
seethatthewayinwhichthecharacteristiccurvesintersecttheinitial
curve((t), (t))givendetermineswhethertheproblemwill
haveuniquesolution, endlesssolutionsorif theso-lutiondoes not
exist. We will see the Existence andUniqueness Theoremthat gives us
thenecessaryconditionsfortheexistenceanduniquenessofsolutionofCauchyProblemcited.
Itisimportant tonotethat
theExistenceandUniquenessTheoremguaranteesusjust local
results,since the behavior of the characteristic curves away from
the initial curve can become to complex.Keywords:
Initialvalueproblem,variablechanges,curvefeature.Correspondingauthor:
[email protected],Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56.
2012.CintraeGoecking(2012)
45IntroducaoAsEquacoesDiferenciaisParciais(EDPs)saoutilizadasparadescreveracontecimentosf-sicos,biologicos,entreoutros.
Daagranderelevanciadeseuestudo.DeacordocomBassanezi eJ unior(1988,
p. 2)...asEqua
coesDiferenciaistalvezsejamoramodamatematicaquetenhamaiorproximidadeeinteracoescomoutrasciencias.Muitosfenomenosqueocorremnaotica,
mecanica, biologia, entreoutros, podemsermo-delados por Equacoes
Diferenciais Parciais. AElasticidade e aDinamicados Fluidos,
[...]tiveramseudesenvolvimentoemcomumcomumagrandeeboapartedateoriamatematicadestasequacoes.(BASSANEZI;JUNIOR,1988,p.
469). Asolu caodein umerosproblemasdeimportancia pratica e cientca
em Mecanica do Meio Contnuo depende do desenvolvimento
dateoriadasEDPs.Considereaequa
caolineardeprimeiraordemnaohomogeneaa(x, y)ux + b(x, y)uy= c(x, y),
(x, y) u((t), (t)) = f(t), t Iemque R2eumaberto,a, b, c
C1(),Irepresentaumintervaloabertoe= ((t),
(t))eumaparametrizacaodeumacurvaqualquerem, denominadaCurvaInicial
doproblema.Estetipodeproblema
echamadoumProblemadeCauchy.OProblemadeCauchy
eumproblemaclassicodentrodateoriadasEquacoesDiferenciais.A.L.Cauchy(1789-1857)demonstrourigorosamentepelaprimeiravez,
eportres metodos diferentes, a existencia de solucoes para uma
vasta classe deEqua coesDiferenciaisqueinclui
essencialmentetodososmodelosconhecidos.(BASSANEZI;JUNIOR,1988,p.
9).Vamos ver como resolver problemas de Cauchy para equa coes
lineares de primeira ordem comduas variaveis independentes. Para
isto, estudaremos o Teorema de Existencia e Unicidade
paraocasolinearparaoProblemadeCauchy.
Esteteoremanosforneceraascondicoesnecessariasparaqueesteproblematenhasolu
caoeparaqueestaseja unica.ConceitosFundamentaisNotacoesSeja
Rnumabertoeu: Rumafun caodiferenciavel. Seu=u(x1, ..., xn)eumafun
caodevariasvariaveis, usaremosdiferentesnota
coesparaasderivadasparciaisdeu. Porexemplo,(i)ux1, ux1, x1u ou D1u
denota a derivada parcial de u em rela cao a primeira variavel
x1.(ii)2ux2x1, ux1x2, x2x1u ou
D2D1udenotaaderivadadeuprimeiroemrelacaoax1edepoisax2.(iii)2ux2i,
uxixi, 2xiu ou D2iu denota a derivada de segunda ordem de u com
rela cao a mesmavariavelxi.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56.
2012.CintraeGoecking(2012) 46EquacaoDiferencialParcialUma Equa cao
Diferencial Parcial (EDP) e uma equa cao que envolve variaveis
independentesx1, x2, ..., xn e derivadas parciais de uma funcao
(variavel dependente) u = u(x1, x2, ..., xn).
UmaEDPemnvariaveisindependentesx1, ..., xneumaequacaodaformaF
x1, ..., xn, u,uxi,2uxixj, ...,muxi1...xim
= 0 (1)emquex=(x1, .., xn) , querepresentaumsubconjuntoabertode
Rn, u: Reumafun caocomderivadasparciaisdeordemm.Obs.:
Umsubconjuntode Rneabertose, dadoqualquerx0 ,
existeumabolaabertaderaior >
0centradaemx0inteiramentecontidaem.ExemplosdeEDPs:1) ut= uxxx +
uux2) xux yuy= sen(xy)3) (ux)2x2+ ut=
0ClassicacaodeumaEDPUmaEDPpodeserclassicadasegundosuaordemelinearidade.AordemdeumaEDPedadapelasuaderivadaparcial
demaiorordem. DizemosqueaEDP (1) e linearse Fe linear em relacao a
u e a todas as suas derivadas parciais; caso contrarioaEDP
editanaolinear.Oexemplo1)eumaEDPlineardeterceiraordem, noexemplo2),
temosumaEDPlineardeprimeiraordemenoexemplo3),aEDP
enaolineardeprimeiraordem.UmaEDPlineardeprimeiraordempossuiaformageraln
j=1aj(x)Dju + b(x)u + c(x) = 0, (2)emquealgumdoscoecientesajnao
eidenticamentenulo.Janocasodeequacoesdesegundaordem,aformamaisgeraldeumaEDPlinear
en
i,j=1aij(x)DiDju +n
j=1bj(x)Dju + c(x)u + d(x) = 0, (3)emquealgumdoscoecientesaijnao
eidenticamentenulo.CasoaEDPpossuaduas variaveis independentes x, y,
as equacoes (2) e (3) podemserreescritas,respectivamente,A(x, y)ux
+ B(x, y)uy + C(x, y)u + D(x, y) = 0, (4)A(x, y)uxx + 2B(x, y)uxy +
C(x, y)uyy + D(x, y)ux + E(x, y)uy + F(x, y)u + G(x, y) = 0.
(5)Obs.: Aequacao(5)naocontemotermocomuyx, poisprocuramossolu
coesuquesaoduasvezescontinuamentediferenciaveisnaregiaodeinteressee,parataisfun
coes,uxy= uyx.UmaEDPlinear e ditahomogenea se otermoque
naocontemavariavel dependenteeidenticamente nulo. O exemplo 1) e de
uma EDP linear homogenea e no exemplo 2) temos
umaEDPlinearnaohomogenea.Asequacoes(4)e(5)setornamhomogeneasquandoasfun
coesD(x, y)eG(x,
y)saores-pectivamenteiguaisazero.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56.
2012.CintraeGoecking(2012) 47TresEDPsimportantes1) Aequacaode
Laplace,2ux2+2uy2= 0,eumaequacaolineardesegundaordemhomogenea.2)
Umaoutraequa caoimportante eaequacaounidimensional decalorut=
22ux2,ondeu=u(x, t), x R,
t>0e2eumaconstante.Eumaequacaodesegundaordem,linearehomogenea.3)
Aequacaounidimensional deonda2ut2=
c22ux2.etambemlinear,homogeneaedesegundaordem.Obs.:
Otermounidimensionalfazreferenciaaofatodexterdimensaoespacial1,enquantotrepresentaotempo.OOperadorDiferencialParcialLConsideremos
uma EDPde primeira ousegunda ordemcomnvariaveis independentesx1,
..., xn. Considerandoumaequacaodotipon
i,j=1aij(x)DiDju +n
j=1bj(x)Dju + c(x)u + d(x) = 0. (6)Denotaremosporkaordemdaequa c
ao, k=1ouk=2. Notequesek=1, entaoaij 0quaisquerquesejami, j {1,
..., n}eexistej, 1 j n,talquebj 0.Podemoscolocaraequa
cao(6)naformaLu = f, (7)emquef(x) = d(x)e(Lu)(x) =n
i,j=1aij(x)DiDju(x) +n
j=1bj(x)Dju(x) + c(x)u(x). (8)Acadafuncaoucorrespondeuma
unicafun caoLu. Assim,denimosooperador outrans-formacaoL. Considere
um subconjunto aberto de Rn, onde as fun coes aij, bje c, 1 i, j
n,saocontnuasemetomamvaloresreais. Denimos,entaoL : Ck() C() (9)u
LuondeLuedadopelaformula(8)eCk()eoconjuntodasfun coesu:
Rquesaokvezescontinuamentediferenciaveis.OoperadorLrepresentaumexemplodeumoperadordiferencial
parcial. Comoaequacao(6)elinear,
temosqueooperadorLdenidopor(8)eumoperadorlinear, istoe, Llevaafun
caoidenticamentenulanelamesmoeL(u + v) = Lu + Lv
(10)paraquaisqueru, vnodomniodeLequalquerescalar
R.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012)
48CurvasCaractersticasAseguir, vamos denir oconceitodeCurvas
Caractersticas, jaqueestas desempenhamimportantepapelnaobten
caodasolu caoparaoProblemadeCauchy. Paraisso,introduzimoso conceito
do Metodo das Caractersticas cuja ideia principal para resolver
equacoes de primeiraordem consiste em obter curvas ao longo das
quais a EDP se reduz a um sistema de EDOs que saoas curvas
caractersticas da equacao. Em seguida, a EDO obtida e integrada ao
longo das curvascaractersticasparaseobterasolu cao.
Podemosdizerqueaolongodascurvascaractersticas,aEDPsecomportacomoumaderivadatotalque,provavelmente,podeserintegrada.Vamos
aumexemplosimples paraentendimentodoconceitoedecomoobter as
curvascaractersticas.Considereaequa cao:ut + c(x, t)ux= 0
emR2()Se(x(t), t)
eumacurvaarbitrariadoplanoxt,aderivadadeuaolongodestacurva
edadaporddtu(x(t), t) = ut(x(t), t) + x
(t)ux(x(t), t)Por()temosquedudt= 0aolongodascurvasemquex
(t) = c(x,
t).Dondepodemosconcluirqueueconstanteaolongodascurvasx
(t)=c(x, t), ouseja, aEDP()foi reduzidaaEDOu
=0aolongodecurvascaractersticasdaequa caoquesaoascurvas(x(t),
t)quesatisfazemaEDOx
(t) = c(x, t).Paraobterasolu caoparaoproblema,
bastaintegraraEDOaolongodessascurvascarac-tersticas.
Dasegueadenicao.Denicao: Ascurvascaractersticasdaequacaout + c(x,
t)ux=0saoascurvassolucoesdaEDOx
(t) = c(x, t).Considerandoagoraoproblemaa(x, y)ux + b(x, y)uy=
0, (x, y) u((t), (t)) = f(t), t I,temosadeni caoaseguir.Denicao:
Seja um aberto de R2. As curvas caractersticas da equacao linear
homogenea deprimeiraordema(x, y)ux + b(x, y)uy= 0coma, b
C1()saoascurvasC(s) = ((s), (s)),solucoesdosistemadeEDOs
(s) = a((s), (s))
(s) = b((s), (s))Exemplo:
Usandoometododascaractersticasencontreasolucaoparaoproblemanaoho-mogeneo3ux
4uy= x2, (x, y) R2u
t, 34t
=t39 , t RPrimeiramente, vamos encontrar as curvas
caractersticas da equacao homogenea correspondente3ux 4uy=
0.Temosque
(s) = 3Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56.
2012.CintraeGoecking(2012) 49
(s) =
4DestesistemadeEDOs,vemosqueascurvascaractersticassaoasretas(s) =
3s + x0(s) = 4s + y0Denotando por (t) =((t), (t)) =(t,34t) a curva
inicial dada, vemos que os vetores(
(t),
(t))e(a((t), (t)), b((t), (t)))saoLinearmenteIndependentes,
paratodot R, oquesignicaqueuma
unicacurvacaractersticapassapeloponto((t), (t)).Entao,
podemoscobrirumavizinhancadacurvacomessascurvascaractersticasefazerasmudancasdevariaveisde(x,
y)para(s, t),t I,demodoquetenhamos(s) = x(s, t)(s) = y(s,
t)tomandocomopontosiniciaisparaestasretascaractersticasospontosaolongodaretainicialy=34tdadanoproblema,temosx(s)
= 3s + ty(s) = 4s +34tIntegrandoddsu(x(s), y(s)) = uxx
(s) + uyy
(s) = x2= (3s + t)2de0ates,obtemosu(x(s), y(s)) u(x(0), y(0))
=(3s + t)39t39u(x(s), y(s)) =(3s + t)39t39+ u(x(0), y(0))
=x3(s)9t39+t39=x3(s)9Portanto,asolu caoparaoproblema
ex39.OProblemadeCauchyNesta se cao, estudaremos equacoes lineares
de primeira ordem. Primeiramente sera
mostradooestudodeproblemasdeCauchyparaequacoeslinearessemdependenciaexplcitanavariaveldependente.
Depois,discutiremosocasogeraldesolucoesdeequa
coeslineares.OProblemadeCauchyEstamosestudandooproblemadeCauchyparaaEDPlineardaformaa(x,
y)ux + b(x, y)uy= c(x, y),
(11)emqueaincognitauapareceapenasnaparteprincipalde(11).Existe uma
relacao entre a curva inicial e a regiao aberta R2, onde queremos
que existasolucao e que ela seja unica: deve ser coberta por
caractersticas planas que intersectam
emapenasumponto.Parametrizandopor((t), (t)),t
I,nossoproblemaca:a(x, y)ux + b(x, y)uy= c(x, y), (12)u((t), (t)) =
f(t), t I, R2emque
eumabertoquecontem.HipotesessobreesteProblemadeCauchy:Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p.
44-56. 2012.CintraeGoecking(2012) 50(i) eumacurvasuave.(ii) f
C1(I)(iii) a, b, c
C1()eaebnaoseanulamsimultaneamenteem.Paragarantiraexistenciaeunicidadedoproblema(12)precisamos:
Acharascurvascaractersticasplanasde(12).
Garantirqueascurvascaractersticasintersectamacurvainicialemum
unicoponto.
Fazeralgumasmudancasdevariaveisquetransformemoproblema(12)emumproblemadevalorinicial
paraumaEDOdeprimeiraordemque, podeentao,
serresolvidacomastecnicasderesolu caoparaEDOs.Para resolver o
problema (12) devemos, primeiramente, achar as curvas
caractersticas planasdaequacao(11).Se Ce uma curva caracterstica
plana parametrizada por ((s), (s)), entao a derivada
totaldeuaolongoseCedds[u((s), (s))] =
(s)ux((s), (s)) +
(s)uy((s), (s)); (13)eaEDP(11)aolongodeCcaa((s), (s))ux((s),
(s)) + b((s), (s))uy((s), (s)) = c((s), (s)). (14)Logo,
paraqueoladoesquerdodaequacao(14)sejaigual
aqualquerumadasexpressoesem(13), eprecisoque,existaumn umeroreal(s)
= 0,paracadas,talque
(s) = a((s), (s))(s), (15)
(s) = b((s), (s))(s);Assim,aequa caocadds[u((s), (s))] =
(s)c((s), (s)). (16)Ascondicoes(15)signicamqueovetortangente
curvaCnoponto((s), (s))epara-leloaovetor(a((s), (s)), b((s), (s))).
Ecomumareparametrizacaoconvenienteascurvascaractersticasplanasde(11)satisfazem
(s) = a((s), (s)), (17)
(s) = b((s), (s)).que eumsistemadeEDOsdeinnitassolu
coes.Dado(x0, y0) edadoumpardecondi
coesiniciais,osistema(17)setorna
(s) = a((s), (s)), (18)
(s) = b((s), (s)).(s0) = x0, (s0) = y0.OTeoremade PicardparaEDOs
garante solucao unicapara(18). Asolu caoe
obtidaintegrando-seaolongodascurvascaractersticasplanasencontradasem(17).Aexistenciaeunicidadedoproblema(12)dependedecomoascaractersticasencontradasacimaintersectamacurvainicial.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p.
44-56. 2012.CintraeGoecking(2012)
51Senuncaetangente`ascurvascaractersticasplanas, ouseja,
seosvetores(,(t), ,(t))e(a((t), (t)), b((t), (t)))
nuncasaoparalelos, issogaranteuma
unicacurvacaractersticapassandopeloponto((t), (t)),que
easolucaode(18).Se uma unica caracterstica intersecta no ponto
((t), (t)), podemos cobrir uma
vizinhancadacurvaemexatamenteumponto.Issonospermitefazerumamudan
cadevariavelde(x, y)para(s, t).Denotandoacurvacaracterstica((s),
(s))por(x(s, t), y(s, t)),reescrevemos(18):xs(s, t) = a(x(s, t),
y(s, t)), (19)ys(s, t) = b(x(s, t), y(s, t)),x(0, t) = (t),y(0, t)
= (t)alemdisso,comoosvetores(
(t),
(t)) e (a((t), (t)), b((t),
(t)))saolinearmenteindependentes,amudan cadevariavelsera(s, t) =
u(x, y), (20)obtemos,pelaregradacadeia,s(s, t) =ux(x(s, t), y(s,
t))xs+uy(x(s, t), y(s, t))ys== a(x(s, t), y(s, t))ux(x(s, t), y(s,
t)) + b(x(s, t), y(s, t))uy(x(s, t), y(s, t)).
(21)SubstituindoaEDP(11)em(21),obtemoss= c(x(s, t), y(s,
t)).Alemdisso,acondicaoinicialdoproblema(12)ca(0, t) = f(t), t
I,Entao,oproblemaquesatisfaz es= c(x(s, t), y(s, t)), (22)(0, t) =
f(t), t I.Paracadat I xo, oproblema(22)eumproblemadevalorinicial
paraumaEDOdeprimeiraordem,cujasolu cao
eobtidaintegrandodiretamentede0as. Assim,obtemos(s, t) =
s0s(, t)d + (0, t) =
s0c(x(, t), y(, t))d + f(t) (23)Logo,asolucaonoponto(x0, y0) =
(x(s0, t0), y(s0, t0))
eobtidaintegrandoaEDPaolongodacaractersticaplanaquepassapor(x0,
y0)des = 0ates = s0.Como zemos uma mudan ca de variavel, para
voltar para u, dado (x0, y0), seja t0= t(x0, y0)es0= s(x0,
y0),ouseja,x0= x(s0, t0)ey0= y(s0,
t0);substituindo(20)em(23),obtemosu(x0, y0) = f(t0) +
s00c(x(s, t0), y(s, t0))ds. (24)Se u e solucao de (12), entao u
satisfaz (24), que por sua vez, e solucao de (12), logo a solu caoe
unica.Assim,acabamosdeprovaroteoremaaseguir.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p.
44-56. 2012.CintraeGoecking(2012)
52TeoremadeExistenciaeUnicidadeSejam R2aberto, I
Rumintervaloaberto, umacurvasuaveemparametrizadapor(t)=((t), (t)),t
I,f C1(I)ea, b, c C1(). Suponhaquea(x, y)2+ b(x, y)2=0,(x, y)
,e
a(((t), (t)) b((t), (t)),(t) ,(t)
= 0, t I.Entaooproblema(12)temuma
unicasolucaodeclasseC1emumavizinhancadacurvaemdadapor(24).Obs.:
Normalmente e mais facil achar as curvas caractersticas planas
diretamente e integrar aolongodessascurvasdoqueutilizaraf
ormula(24).Exemplo:ux 3uy= sen(x) + cos(y) (25)u(t, t) = p(t),comt
Repumafuncaodada.Primeiramente,vamosencontrarascurvascaractersticasplanasparaaEDPem(25).
Pro-curamos,entao,curvass ((s), (s))satisfazendo
(s) = 1
(s) = 3Assim,obtemos(s) = s + c x = s + c(s) = 3s + c y= 3s +
cPortanto, ascurvascaractersticasplanasparaaEDPem(25)saoasretasy=
3x + c.Comoacurvainicial earetay=
x,elaintersectacadacaractersticaplanaemexatamenteumponto.
Estamos,portanto,nascondicoesdoTeoremadeExistenciaeUnicidade.Dadoqualquerponto(x1,
y1) R2, eleestanaretay= 3x + condec=y1 + 3x1,
eestaretaintersectaacurvainicialnoponto(x0, y0)ondex0=y1 +
3x14Parametrizandoentaoaretapors (s, 3s + c),obtemos:u(x, y) u(x0,
y0) =
xy1+3x14(sen(s) + cos(3s + c)) ds u(x, y) =
xy1+3x14(sen(s) + cos(3s + c))ds + p(x0)Comastecnicasderesolu
caodeintegrais,chegamosaseguintesolucao:u(x, y) = cos(x) + cos
y + 3x4
13
sen(y) sen
y + 3x4
+ p
y + 3x4
.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.CintraeGoecking(2012)
53SolucaoGeralAgora,afuncaoincognitaunaoapareceapenasnaparteprincipaldaequa
caoa(x, y)ux + b(x, y)uy= c(x,
y)ConsidereooperadordiferenciallineardeprimeiraordemL = a(x, y)x+
b(x, y)y+ c(x, y)isto e,Lu = a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x,
y)uevamosestudaraequa caoLu = d(x, y) (26)coma, b, c,
dconstantesepertencentesaC().Para resolver a equacao (26), vamos
procurar uma mudanca de variavel (s, t) que transformeesta EDP em
uma equacao onde so apare ca a derivada em relacao a uma das
variaveis (no caso,s). Assim,poderemosresolveraequa
caocomosefosseumaEDO,xandoaoutravariavel.Vamosprocurarasolucaogeraldaequa
cao:ax + by + c= d (27)ondea, b, c, d Rea2+b2= 0. Vamos fazer a
mudan ca de variavel s = s(x, y), t = t(x,
y),comtconstanteaolongodascaractersticasplanas,demodoqueaequa
cao(27)queemumaformamaissimples.Assim,ascaractersticasplanasparaaequacaoacimasatisfazemx
(s) = a x(s) = as + c1y
(s) = b y(s) = bs +
c2Portanto,ascurvascaractersticasplanasparaaEDPem(27)saoasretasay
bx = k1,k1constanteeasretasortogonaisaestassaoasretasby +ax =
k2,k2constante. Tomandot = k1es = k2,obtemos:s = ax + by (28)t = bx
+ ayIsolandoxeyem(28),obtemos:x =as bta2+ b2y=bs + ata2+ b2exs=aa2+
b2ys=ba2+ b2Comamudan cadevariavelw(s, t) = (x, y),temos:ws (s, t)
= xxs + yys(29)Substituindoosvaloresdexseysem(29),aequa
cao(27)ca(a2+ b2)ws + cw = d. (30)Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56.
2012.CintraeGoecking(2012) 54Paracadatxo,aequa cao(30)
eumaEDOdeprimeriaordemcomfatorintegrante1a2+ b2exp
csa2+ b2
; (31)multiplicando(30)por(31),obtemos,s
w exp
csa2+ b2
=da2+ b2exp
csa2+ b2
.Sec = 0,asolucaogeralde(30) ew(s, t) =dc+ f(t) exp
csa2+ b2
easolu caogeralde(27) e(x, y) =dc+ f(bx + ay) exp
ca2+ b2(ax + by)
.Agora,sec = 0,asolucaogeralde(30) ew(s, t) =da2+ b2s +
f(t)easolu caogeralde(27) e(x, y) =da2+ b2(ax + by) + f(bx +
ay)ondef C1(R) earbitraria.DiscussaodosResultadosNestasecao,
seraodiscutidassitua
coesnasquaisoTeoremadeExistenciaeUnicidadenaoevalidoparaProblemasdeCauchy.Voltandoaoproblema(12)a(x,
y)ux + b(x, y)uy= c(x, y),u((t), (t)) = f(t), t
I,(i)Veremosoqueaconteceseacurvainicialeumacurvacaractersticaplana.Paratanto,
primeiramentedeniremos oqueeumacurvacaractersticaespacial eoquee a
superfcie solu cao. Uma curva caracterstica para o problema (12) e
uma curva suaves((s), (s), (s))R3que temtangente no ponto ((s),
(s), (s)) paralela ao vetor(a((s), (s)), b((s), (s)), c(((s),
(s)));ouseja,, , satisfazem
(s) = a((s), (s)),
(s) = b((s), (s)),
(s) = c((s), (s)).Quando a curva inicial nao e tangente `as
curvas caractersticas planas, a superfcie solucaoe geradapelacurva:
t I((t), (t), f(t)) e pelas curvas caractersticas
emR3queintersectam.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56.
2012.CintraeGoecking(2012) 55Suponha que e uma caracterstica plana.
Discutiremos o caso em que e uma caractersticaeocasoemquenao
ecaracterstica.Discutiremosprimeiroocasoemque
eumacurvacaractersticaparaaEDP(12).
Sejaumacurvaplanaqualquerquenuncaetangente`ascaractersticasplanasequeintersectanoponto((s0),
(s0)),sejat (p(t), q(t))umaparametriza caodecom(p(0), q(0)) =
((s0), (s0))
(32)esejarumafuncaoarbitrariadeclasseC1satisfazendor(0) = f(s0).
(33)Comojavimos,oproblemaa(x, y)ux + b(x, y)uy= c(x, y) (34)u(p(t),
q(t)) = r(t)temuma unicasolucaouemumavizinhan cade; alemdisso,
asuperfciesolucaocontemacurva : t (p(t), q(t), r(t)) e contem todas
as caractersticas da EDP que intersectam .
Emparticular,asuperfciesolu caocontempois(p(o), q(0), r(0)) =
((s0), (s0), f(s0)) por(32)e(33).Portanto u e solucao de (12). O
problema tem innitas solucoes, pois existem uma
innidadedeescolhaspossveisparaacurvaeparaafun
caor.Veremos,agora,ocasoemquen ao
eumacaractersticapara(12).Suponha, por absurdo, que o problema (12)
tem solucao nesse caso: se u e solucao, qualquerquesejat
I,derivandoacondicaoinicialobtemos
(t)ux((t), (t)) +
(t)uy((t), (t)) = f
(t); (35)poroutrolado,aEDP(12)noponto((t), (t))caa((t),
(t))ux((t), (t)) + b((t), (t))uy((t), (t)) = c((t), (t));
(36)comparando(35)e(36)eusandoofatoqueosvetores(
(t),
(t))ea((t), (t)), b((t),
(t))saoparalelos(poisecaractersticaplana),obtemosqueosvetoresem
R3(
(t),
(t)) e (a((t), (t)), b((t), (t)), c((t),
(t)))tambemsaoparalelos,isto e,
eumacaracterstica,oquecontradizahipotese.Portanto,oproblema(12)naotemsolucaonestecaso.(ii)Veremosagoraoqueacontecequandoetangente
curvacaractersticaplana.Vamosresolveroproblema:ux(x, y) =
x2(37)u(x, x3) = f(x), x R.Nestecaso, as caractersticas planas
saoas retas y=c, c R, e, emboraacurvainicial: t R (t,
t3)sejatangente retay=0emt=0,
cadacaractersticaplanainterceptaemapenasumponto. Entao,
paraobterasolucao,
podemosintegraraolongodascurvascaractersticasplanas:u(x, y) =
x3yt2dt + f(x) =x33y3+ f(x).Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56.
2012.CintraeGoecking(2012)
56Mesmonocasoemquecadacaractersticaplanaintersectaemexatamenteumponto,podeocorrerqueamudan
cadevariavel(s, t) (x, y)naosejamaisdiferenciavele,
portanto,asolucaoencontradaintegrandoaolongodascaractersticasnao
edeclasseC1. Modicandooproblema(37):ux= 1u(x, x3) = f(x), x
R;Asolucao eu(x, y) =
x3ydt + f(x) = x 3y + f(x).Note que as caractersticas planas sao
as mesmas, mas essa solucao nao e diferenciavel em y=
0.ReferenciasBASSANEZI,R.C.;JUNIOR,W.C.F.EquacoesDiferenciaiscomAplicacoes.
SaoPaulo:Ed. HarbraLtda.,1988.BIEZUNER,R.J.Introdu
cao`asEquacoesDiferenciaisParciais. Notasdeaula. Disponvelem:
http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/iedp.pdf. Acessoem:
05out2012.CULLEN,M.R.;ZILL,D.G.EquacoesDiferenciais. Vol. 2,3.
ed.,SaoPaulo: Ed.
Pearson,2001.FERREIRA,A.P.ProblemadeCauchyparaEqua
coesDiferenciaisOrdinarias. In: XIEncontroAnual
deIniciacaoCientca,Maringa,PR:UniversidadeEstadualdeMaringa,2002.IORIO,V.EDP-UmcursodeGraduacao.
ColecaoMatematicaUniversitaria,2.ed.,RiodeJaneiro:
IMPA,2007.Sigmae,Alfenas,v.1,n.1,p. 44-56. 2012.
