上海八中 许颖

2009年 12月 11日

用加减消元法解二元线性方程组

.

,

222

111

cybxa

cybxa (1)(2)

:(1) 2b ,212121 bcybbxba

:(2) 1b ,121212 bcybbxba

，得两式相减消去 y ;12211221 bcbcxbaba ）（

，得类似地，消去 x ,21122112 cacaybaba ）（

:(1) 2a ,212121 acyabxaa

:(2) 1a ,121212 acyabxaa

,12211221 cacaybaba ）（

时，当 01221 baba 方程组的解为

，1221

1221

baba

bcbcx

.1221

1221

baba

cacay

由方程组的四个系数确定 .

引入记号 表示算式 22

11

ba

ba1221 baba

即 22

11

ba

ba1221 baba

称记号 为二阶行列式。 22

11

ba

ba 二行二列

1221 baba 是上述行列式的展开式。

其计算的结果叫做行列式的值。

1. 行列式的定义

1a 1b

2b2a

主对角线

副对角线21ba .12ba

对角线法则

2. 行列式的计算方法

1. 既是一种记号，也是一种特定的运算。

22

11

ba

ba

。122122

11.2 bababa

ba

3. 行列式的元素位置不能随意改变。

二元一次方程组

.

,

222

111

cybxa

cybxa

时，当 01221 baba 方程组的解为

分母可以用行列式 表示，

那么 x,y的分子可以用行列式表示吗？如何表示？22

11

ba

ba

x的分子表示为 y的分子表示为22

11

bc

bc

22

11

ca

ca

3. 用二阶行列式表示二元一次方程组的解

，1221

1221

baba

bcbcx

.1221

1221

baba

cacay

22

11

bc

bc

二元一次方程组

.

,

222

111

cybxa

cybxa

22

11

ba

ba系数行列式22

11

ba

baD= Dx=

22

11

ba

ba

22

11

ca

caDy=

D

Dy

D

Dx

y

x

当 D0时，方程组有唯一解

行列式 D 是由方程组中未知数 x， y的系数组成，通常被叫做系数行列式，行列式 Dx 是用方程组的常数项 c1,c2 替代行列式 D中的 x的系数 a1,a2 ；行列式 Dy 是用方程组的常数项 c1,c2 替代行列式 D中的 y的系数 b1,b2 。

阅读 P88至 89 页上关于行列式的概念以及如何用行列式来表示二元一次方程组的解。

例 1 ：展开并化简下列行列式：

28

151）（

28

512）（

cossin

sincos3

）（

11

11)4( 2

aa

a

= 52­81=2 = 12­85 =­38

由 (１ )(２ ) 可知，行列式中元素的位置是不能随意改变的。

=cos(­cos) ­sinsin

=­1

= (a­1)(a2+a+1)­(­1)1

=a3

解 :

12

23 D )4(3 ,07

11

212 xD ,14

12

123yD ,21

D

Dx x ,2

714

D

Dy

y .3721

将原方程组化为

12

1223

yx

yx

。原方程组的解为

-3

2

y

x

例例 22 ：：

.012

,1223

yx

yx求行列式解二元线性方程组

1. 当方程组不是标准形式时，应先化为标准

形式，再求 D， Dx， Dy 。

2. 当 D0 时，方程组有唯一解。

3. 引入行列式解线性方程组，使得方程组的解

格式化、程序化，便于计算机的编程。

1. 用行列式解下列二元一次方程组：

012

053

yx

yx

解：方程组化为

12

53

yx

yx

0721

13

D

1121

15

xD 2

11

53yD

7

11

D

Dx x

7

2

D

Dy

y

方程组的解为

标准形式

有唯一解的充要条件

2. 将下列各式用行列式表示：

（ 1） ab+mn;

（ 2） sincos+cossin.

解：（ 1 ） ab+mn=

（ 2） sincos+cossin=

bm

na ）或

10

0(

mnab

答案不唯一。

10

0sincoscossin

二元一次方程组

.

,

222

111

cybxa

cybxa

22

11

22

11

22

11

22

11

0

ba

ba

ca

ca

D

Dy

ba

ba

bc

bc

D

Dx

时，D当

y

x

计算的结果是确定的、唯一的；

行列式的表示可以不同；

1. 二阶行列式的展开法则： 对角线法则

22

11

ba

ba1221 baba

2. 用二阶行列式来解二元一次方程组

二元一次方程组

.

,

222

111

cybxa

cybxa

22

11

22

11

22

11 ,,ca

caD

bc

bcD

ba

baD yx

D

Dy

D

Dx

D

y

x

时，当 0

1 、必做题：练习册 P51/1,2(2)(3)、 3

2 、思考题：(A) 算式 b2­4ac可用怎样的二阶行列式来表示？(B) 二阶行列式的值为零时，行列式中的元素有何特征？3 、选做题：设有平行四边形 OACB ，顶点 O 在坐标原点，

点 A、 B 的坐标分别为 (a1,b1)， (a2,b2) ，

试证：平行四边形 OACB 的面积为 . 22

11

ba

ba

O

A

BC

x

y