94036989-APUNTES-ESTRUCTURAS

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

La Universidad Católica de Loja

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

APUNTES DE CLASE

ESTRUCTURAS

Profesor: Ing. Humberto Ramírez Romero

Este cuadernillo se elaboró con la colaboración de los profesionales en formación:

MARLENE QUEZADA

VERÓNICA CARAGUAY

HUGO FEIJÓ

ALONSO JARAMILLO

PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Ing. Humberto Ramírez Romero - Docente

2

Año 2009

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

MODALIDAD CLÁSICA

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

Guía del Estudiante

ESTRUCTURAS

DATOS DE IDENTIFICACIÓN PROFESOR : Ing. Humberto Ramírez Romero TUTORÍA : TELÉFONO: 072570275 Ext. 2938 E-mail : [email protected]

Abril – Agosto 2009


3

Área Académica: Técnica Escuela: Ingeniería Civil

Nombre de la Materia: ESTRUCTURAS Paralelo: “A” Semestre en el que se imparte: Séptimo Tipo de materia: Troncal de carrera Número de créditos UTPL - ECTS: Seis (6) Horas clase por semana: 4 Día y horario de clases presenciales: Miércoles 9h00 a 13h00 Nro. de Aula: Conocimientos previos recomendados:

Equilibrio: Conceptos.- Deformación en vigas: Por fuerza axial, por fuerza cortante, por flexión, por torsión, por desplazamientos.- Vigas estáticamente indeterminadas: Cálculo de acciones de extremo.- Vigas continuas: Diagramas de fuerza cortante y momento flector.- Propiedades de los materiales: Módulo de elasticidad, módulo de corte.- Propiedades de las secciones: Área, inercia, constante de torsión.- Matrices: clases, propiedades, transpuesta, inversa, operaciones con matrices.-

A. COMPETENCIAS A DESARROLLAR Competencias específicas de la Carrera

- Concebir, proyectar, analizar y diseñar obras de ingeniería civil. - Construir, dirigir, supervisar e inspeccionar obras de ingeniería civil- - Utilizar tecnologías de la información, software y herramientas para la ingeniería civil. - Planificar y programar obras y servicios de ingeniería civil - Crear, innovar y emprender para contribuir al desarrollo tecnológico. - Aplicar conocimientos de las ciencias básicas y ciencias de la ingeniería civil. - Prevenir y evaluar los riesgos en las obras de ingeniería civil. - Identificar, evaluar e implementar las tecnologías más apropiadas para su entorno. - Interactuar con grupos multidisciplinarios y dar soluciones integrales de ingeniería civil. - Proyectar el desarrollo sostenible del entorno para generar bienestar común. - Abstracción espacial y representación gráfica.

Competencias genéricas de la UTPL

- Vivencia de los valores universales del Humanismo Cristiano - Capacidad de abstracción, análisis y síntesis - Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica - Conocimiento sobre el área de estudio y la profesión - Capacidad de comunicación oral y escrita - Capacidad de investigación - Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas - Capacidad de aprender a aprender como política de formación continua - Capacidad crítica y autocrítica


4

- Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas - Capacidad creativa e innovadora - Capacidad para organizar y planificar el tiempo - Capacidad de adaptación al cambio - Capacidad para tomar decisiones - Capacidad de trabajo en equipo - Habilidades interpersonales - Habilidad para trabajar en forma autónoma - Compromiso con la calidad - Capacidad de comunicación en el segundo idioma - Habilidades en el uso de las tecnologías TIC´S - Habilidad para trabajar en contextos internacionales - Responsabilidad social y compromiso ciudadano - Valoración y respeto por la diversidad y multiculturalidad - Compromiso ético - Motivación del logro


5

B. CONTENIDOS Y PLANIFICACIÓN GENERAL DE LA MATERIA

CA

PÍTU

LO

CONTENIDOS

SEM

AN

A

ACTIVIDADES PRESENCIALES ACTIVIDADES EXTRACLASE

Actividad

Núm

ero

de

hora

s

Actividad

Núm

ero

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hora

s

CA

PÍTU

LO1:

Cla

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1.1 Estructuras en el plano 1.1.1 Vigas continuas 1.1.2 Armaduras 1.1.3 Parrillas 1.1.4 Pórticos planos 1.2 Estructuras en el espacio 1.2.1 Armaduras 1.2.2 Marcos continuos 1.3 Estabilidad y determinación de las estructuras 1.3.1 Estabilidad 1.3.2 Determinación

Mar

zo 2

5

Identificar los diferentes tipos de estructuras. Cargas que se pueden aplicar. Principales acciones internas. Deformaciones y desplazamientos más importantes.

4

Elaborar hojas electrónicas para determinar peso de elementos estructurales y no estructurales por unidad de longitud, superficie o volumen, según el caso. Leer temas para siguiente clase

15

1.3.3 Estabilidad externa 1.3.4 Estabilidad interna 1.4Indeterminación cinemática 1.5 Deformaciones y desplazamientos 1.6 Acciones y desplazamientos 1.7 Equilibrio 1.8 Compatibilidad 1.9 Ecuaciones de acción y desplazamiento

Abr

il 1

Discusión de los temas propuestos. Resolver problemas sobre estabilidad externa.

4

Leer temas para siguiente clase. Resolver problemas propuestos sobre estabilidad externa

4

CA

PÍTU

LO 2

: In

trod

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odo

de

los

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plaz

am

ient

os

2.1 Método de la rigidez o de los desplazamientos 2.2 Definición del problema 2.3 Análisis de la estructura fija sujeta a las cargas 2.4 Análisis de la estructura fija para efectos de temperatura, deformaciones previas y desplazamientos de apoyo.

Abr

il 8 Discusión de los temas

propuestos. Resolver problemas sencillos aplicando siete pasos propuestos

4

Leer temas para siguiente clase. Resolver problemas sencillos aplicando siete pasos propuestos

6

2.5 Análisis de la estructura fija para valores unitarios de los desplazamientos. 2.6 Determinación de desplazamientos 2.7 Determinación de acciones de extremo y reacciones 2.8 Sistemas de cargas múltiples

Abr

il 15

Discusión de los temas propuestos. Resolver problemas sencillos aplicando siete pasos propuestos

4

Leer temas para siguiente clase. Resolver problemas sencillos aplicando siete pasos propuestos

6


6

CA

PÍTU

LO 3

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3.1 Rigidez de un miembro prismático A

bril

22

Discusión del tema propuesto.

4 Leer temas para siguiente clase 4

3.2 Rigidez de nudo total: Sj 3.3 Análisis de Cargas 3.4 Cálculo de resultados 3.5 Sistemas de numeración arbitrarios

Abr

il 29

Discusión del tema propuesto. Resolver problema hasta determinar acciones de extremo y reacciones.

4

Leer temas para siguiente clase. Resolver problemas de mayor grado de dificultad.

6

PRIMERA EVALUACIÓN

May

o 6

Evaluación de los temas tratados hasta el 29 de abril

4 Desarrollo de la evaluación

3.6 Análisis de vigas continuas: Ejercicio de aplicación

May

o 13

Discusión del tema propuesto. Resolver problema con más de un estado de carga

4

Leer temas para siguiente clase. Resolver problemas de mayor grado de dificultad utilizando ADES2007

7

3.7 Rigideces de miembros de armaduras planas 3.8 Análisis de armaduras planas

May

o 20

Discusión del tema propuesto. Resolver problema con más de un estado de carga.

4

Leer temas para siguiente clase. Resolver problemas de mayor grado de dificultad utilizando ADES2007.

7


7

CA

PÍTU

LO 4

: A

nális

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e Es

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l Mét

odo

de

los

Des

plaz

am

ient

os

4.1 Rigideces de miembros de marcos planos 4.2 Análisis de marcos planos 4.3 Ejercicio de aplicación

May

o 27


4


7

4.4 Rigideces de miembros de parrilla 4.5 Matriz de rigidez de miembros de parrilla 4.6 Análisis de parrillas

Juni

o 3 Discusión del tema

propuesto. Resolver problema con más de un estado de carga.

4

Leer temas para siguiente clase Resolver problemas de mayor grado de dificultad utilizando ADES2007.

7

4.7 Rigideces de miembros de armaduras en el espacio 4.8 Matriz de rigidez de miembros de armaduras en el espacio 4.9 Selección de ejes de miembros de armaduras 4.10 Análisis de armaduras en el espacio

Juni

o 10


4


8

4.11 Rigideces de miembros de marcos en el espacio 4.12 Matriz de rigidez de miembros de marcos en el espacio 4.13 Análisis de marcos en el espacio 4.14 Programas para el análisis de estructuras.

Juni

o 17


4

Leer temas para siguiente clase Resolver problemas de mayor grado de dificultad, utilizando programa ADES2007.

10

CA

PÍTU

LO 5

: A

nális

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Horiz

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ente

5.1 Adopción de un sistema de entrepiso. Peralte mínimo. 5.2 Determinación de la carga muerta de elementos estructurales y no estructurales. 5.3 Determinación de las cargas muerta y viva sobre las vigas. 5.4Predimensionamiento de vigas y columnas. 5.5 Determinación del centro de masa. 5.6 Cálculo sísmico estático del cortante basal de diseño.

Juni

o 24

Discusión del tema propuesto. Resolver parte del problema planteado

4

Leer temas para siguiente clase. Continuar resolución de problema planteado.

7

5.7Distribución vertical de fuerzas laterales. 5.8Análisis de la estructura. 5.9Chequeo de derivas de piso. 5.10Cálculo del período de vibración por el método 2 del CEC 2000.

Julio

1 Discusión del tema

propuesto. Resolver parte del problema planteado

4

Leer temas para siguiente clase. Continuar resolución de problema planteado.

7

SEGUNDA EVALUACIÓN

Julio

8

Evaluación de los temas tratados hasta julio 1 4


8

Fechas importantes:

Las tareas se recibirán semanalmente C. EVALUACIÓN DE LA MATERIA

ACTIVIDAD CRITERIOS INSTRUMENTO Peso Puntos

Conceptos de la materia

-Dominio de los conocimientos teóricos y operativos de la materia

Examen 60% 12

Pruebas de Control de Lectura Dominio de los temas Examen 20% 4

Realización trabajos

En cada trabajo se analizará: - Estructura - Calidad de la documentación - Originalidad -Ortografía y presentación

Tareas 20% 4

TOTAL 100% 20 puntos

D. RECUPERACIÓN

ACTIVIDAD A RECUPERAR INSTRUMENTO Puntos

Primera Evaluación Examen 12

Segunda Evaluación Examen 12

5.11 Nuevo cálculo del cortante basal de diseño. 5.12 Nueva distribución vertical de las fuerzas laterales. 5.13 Nuevo análisis de la estructura. 5.14 Nuevo chequeo de derivas de piso. 5.15Chequeo de la estabilidad de piso. 5.16Verificación de la posible formación de rótulas plásticas.

Julio

15 Discusión del tema

propuesto. Resolver parte del problema planteado

4

Continuar resolución de problema planteado.

11

TOTAL (horas) 68 112


9

E. RECURSOS A UTILIZAR PARA EL DESARROLLO DE LA MATERIA:

- Bibliografía Básica Autor Título Editorial País Año

URIBE ESCAMILLA, Jairo

Análisis de Estructuras

ECOE

Ediciones

Colombia

2000

- Bibliografía Complementaria

Autor Título Editorial País Año

GERE, James M, WEAVER, William Jr.

Análisis de Estructuras Reticulares

CECSA

México

1999

MALDONADO RONDÓN, Esperanza;

CHIA CHO, Gustavo

Análisis Sísmico de Edificaciones Universidad

Industrial de

Santander

Colombia 2004

Apuntes de clase Ecuador 2008

- Otros recursos

Programa ADES2007 (Programa gratuito desarrollado en la Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad Técnica Particular de Loja para uso académico) Hojas electrónicas elaboradas por el profesor o los estudiantes.

Loja, febrero 15 de 2009

Ing. Humberto Ramírez Romero DOCENTE DE LA UTPL


10

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE 1. Clasificación y características de las estructuras reticulares de acuerdo a su geometría. Gere James y Weaver William Jr, Análisis de Estructuras Reticulares, 1999, Capítulo 1, páginas 13 a 15.

Uribe Escamilla, Jairo, Análisis de Estructuras, Segunda Edición, 2000, Capítulo 1, páginas 8 a 10 2. Conceptos elementales del análisis de estructuras Gere James y Weaver William Jr, Análisis de Estructuras Reticulares, 1999, Capítulo 1, páginas 15 a 51

Uribe Escamilla, Jairo, Análisis de Estructuras, Segunda Edición, 2000, Capítulo 1, páginas 10 a 18

Sterling Kinney, Análisis Elemental de Estructuras, Capítulo 1, páginas 37 a 60 3. Introducción al método de los desplazamientos Gere James y Weaver William Jr, Análisis de Estructuras Reticulares, 1999, Capítulo 2, Páginas 99 a 113, 134 a 143.

Uribe Escamilla, Jairo, Análisis de Estructuras, Segunda Edición, 2000, Capítulo 11, páginas 426 a 586. 4. Análisis de estructuras reticulares por el método de los desplazamientos

Gere James y Weaver William Jr, Análisis de Estructuras Reticulares, 1999, Capítulo 4, páginas 225 a 322. Uribe Escamilla, Jairo, Análisis de Estructuras, Segunda Edición, 2000, Capítulo 11 PROGRAMA ADES2007 v 1.0 ACTIVIDADES RECOMENDADAS En la Resistencia de Materiales, se recomienda revisar métodos para determinar deflexiones en vigas, propiedades geométricas de las secciones, concepto de rigidez de una barra, cargas externas e internas, indeterminación y equilibrio, deformación axial y angular, deformación por torsión y por flexión, y demás temas afines. AUTOEVALUACIÓN Sin la consulta de textos ni apuntes de clase y con sólo la ayuda de un formulario y calculadora, resuelva problemas de estabilidad e indeterminación estática y dinámica. DESARROLLO DEL APRENDIZAJE


11

4. Análisis de estructuras reticulares por el método de los desplazamientos (continuación con parrillas, armaduras y pórticos espaciales)

Gere James y Weaver William Jr, Análisis de Estructuras Reticulares, 1999, Capítulo 4, páginas 225 a 322. Uribe Escamilla, Jairo, Análisis de Estructuras, Segunda Edición, 2000, Capítulo 11 PROGRAMA ADES2007 v 1.0 Maldonado Rondón Esperanza y Chia Cho Gustavo, Análisis Sísmico de Edificaciones, 2004, Capítulo , páginas ACTIVIDADES RECOMENDADAS Utilizando el Programa ADES2007 v.1.0, resolver por lo menos dos casos de vigas continuas, armaduras, pórticos planos, parrillas, armaduras espaciales y pórticos espaciales. AUTOEVALUACIÓN Sin la consulta de textos ni apuntes de clase y con sólo la ayuda de un formulario y calculadora, realice el análisis manual de una viga continua, de una armadura plana, de un pórtico plano y de un pórtico espacial pequeño. Verifique con el programa ADES2007 v 1.0

Todas las estructuras que se analizan en la asignatura de Estructuras se llaman estructuras reticulares y se dividen como muestra el siguiente esquema:

1 CLASIFICACIÓN Y CARACTERÍSTICAS DE LAS ESTRUCTURAS RETICULARES DE ACUERDO A SU GEOMETRÍA

CONCEPTOS ELEMENTALES DEL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS

Estructuras en el plano • Vigas Continuas • Pórticos Planos • Armaduras Planas • Parrillas

Estructuras Reticulares

Estructuras en el espacio • Armaduras Espaciales • Pórticos Espaciales


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Las estructuras reticulares están formadas por barras y nudos. Las barras son prismas mecánicos en los que predomina una dimensión con respecto a las otras dos. Los nudos son puntos de intersección de las barras, puntos de apoyo, puntos de cambio de sección y extremos libres de barras; pueden ser rígidos o articulados. Los apoyos pueden estar empotrados o fijos, articulados y deslizantes. Las cargas pueden ser fuerzas concentradas, distribuidas o pares. Las cargas sobre una estructura pueden clasificarse en: vivas, muertas y ambientales (sismo, viento, lluvia, nieve), y pueden ser puntuales o distribuidas.

Tipos de apoyos en el plano

Nudo Rígido

P P

Nudo Articulado

1.1 ESTRUCTURAS EN EL PLANO


13

Características de las estructuras 1.1.1 Viga Continua Una viga continua está formada por un miembro recto que tiene tres o más puntos de apoyo. Las fuerzas que se aplican a una viga se supone que actúan en un plano que contiene un eje de simetría de la sección transversal de la viga (un eje de simetría es también un eje principal de la sección transversal). Aún más, todos los pares exteriores que actúan sobre la viga tienen sus vectores de momento normales a este plano, y la viga se deforma en el mismo plano (el plano de flexión) y no sufre torsión. En cualquier sección de la viga pueden existir esfuerzos internos y, en el caso general, pueden incluir una fuerza axial, una fuerza cortante y un par de flexión.

1.1.2 Armadura plana Una armadura plana se idealiza como un sistema de miembros en un plano e interconectados en juntas articuladas. Todas las fuerzas aplicadas se consideran actuando en el plano de la

Viga continua Viga no continua

Articulación

Articulado: Restringe la traslación en X y Y. Permite el giro en Z

Deslizante o rodillo: Restringe la traslación en Y. Permite la traslación en X y el giro en Z.

Empotrado: Restringe las traslaciones en X e Y, y la rotación en Z.

Y

X

Z

Y

X Z

Y

X Z

Y

X Z


14

estructura, y todos los pares externos tienen sus vectores de momentos normales al plano, justo como en el caso de la viga. Las cargas pueden consistir de fuerzas concentradas aplicadas en los nudos, así como cargas que actúan en los propios miembros. Para propósitos de análisis, las últimas cargas pueden reemplazarse por cargas estáticamente equivalentes que actúan en las articulaciones. Luego, el análisis de una armadura sujeta únicamente a cargas en los nudos dará como resultado fuerzas axiales de tensión o de compresión en los miembros. Además de estas fuerzas axiales, existirán momentos flexionantes y fuerzas cortantes en aquellos miembros que tienen cargas que actúan directamente sobre ellos. La determinación de tales esfuerzos resultantes constituye el análisis completo de las fuerzas que actúan en los miembros de una armadura. 1.1.3 Parrilla: Una parrilla es una estructura plana compuesta de miembros continuos que se interceptan o se cruzan. En el último caso, las conexiones entre miembros se consideran a menudo como articuladas, en tanto que en el primer caso las conexiones se consideran rígidas. En tanto que en un marco plano las fuerzas aplicadas caen todas en el plano de la estructura, en el caso de una parrilla todas las fuerzas son normales al plano de la estructura y todos los pares tienen sus vectores en el plano de la parrilla. Esta orientación de la carga puede dar como resultado torsión así como flexión en algunos de los miembros. Se considera que cada miembro tiene dos ejes de simetría en su sección transversal, de modo que la flexión y la torsión toman lugar independientemente una de la otra.

1.1.4 Marcos o pórticos planos: Los marcos en el plano son el tipo más general de estructura reticular, tanto que no hay restricciones en la posición de los nudos, direcciones de los miembros o direcciones de las cargas. Los miembros individuales de un marco en el espacio pueden soportar fuerzas axiales internas, pares torsionantes, pares flexionantes en las dos direcciones principales de la sección transversal, y fuerzas cortantes en las dos direcciones principales. Se considera que los miembros

Y

X Z

Z Y

X


15

tienen dos ejes de simetría en la sección transversal, como se explicó anteriormente para la parrilla. Se supone a lo largo de la mayoría de las discusiones subsecuentes que las estructuras consideradas tienen miembros prismáticos, esto es, cada miembro tiene un eje recto y una sección transversal constante en toda su longitud.

Resumen estructuras en el plano:

Estructura Nudos Acciones Internas

Acciones Externas

Esfuerzos Deformaciones

Viga Continua

Rígidos Fuerza cortante y momento flector

Cargas pueden ser puntuales o repartida

Esfuerzo cortante y esfuerzo normal por flexión

Se producen en el plano de la estructura, son deformaciones por flexión (deflexiones o flechas) y por corte (cizallamiento).

Estructura Nudos Acciones Internas

Acciones Externas

Esfuerzos Deformaciones

Articulados Si las cargas actúan en el

Las cargas

Esfuerzo axial,

Se producen en el plano de la

W

Y

X

Z


16

Armadura plana

nudo, las acciones internas se reducen a fuerzas de tracción o compresión. Si es peso propio: fuerza cortante y momento flector.

pueden ser puntuales (en los nudos) o repartidas a lo largo de las barras

esfuerzo por flexión y esfuerzo cortante

estructura. Son deformaciones axiales, por flexión y por corte

Parrilla

Articulados o rígidos

Fuerzas cortantes y momentos flectores. Dependiendo de las cargas y pares pueden presentarse también momentos torsores.

Las fuerzas actúan de forma normal al plano de la estructura y los pares con su vector de momento en el plano de la parrilla

Los esfuerzos que se presentan son por corte, por flexión y por torsión.

Por flexión, por torsión y por corte

Marcos o pórticos planos

Rígidos Momentos flectores, fuerzas axiales y cortantes

Las fuerzas actúan en el plano de la estructura y los pares tienen su vector de momento normal a ese plano

Por flexión, axiales y por corte

Las deformaciones se dan en el plano de la estructura. Pueden ser por flexión, axiales y por corte


17

1.2.1 Armaduras espaciales: Son similares a una armadura en el plano, excepto que los miembros pueden tener cualesquier dirección. Las fuerzas que actúan en una armadura en el espacio pueden tener direcciones arbitrarias, pero cualquier par que actúa en un miembro debe tener su vector de momento perpendicular al eje del miembro. La razón de este requerimiento es que un miembro de una armadura es incapaz de soportar un momento flexionante. Nudos.- La armadura espacial es de nudos articulados Acciones externas.- Las fuerzas pueden tener direcciones arbitrarias, pero los pares deben tener su vector de momento perpendicular al eje del miembro. Acciones internas.- Fuerzas axiales, momentos flectores y fuerzas cortantes. Esfuerzos.- Esfuerzos axiales, por flexión y por corte. Deformaciones.- Las más importantes son las deformaciones axiales.

1.2.2 Marcos o pórticos en el espacio: Los marcos en el espacio son el tipo más general de estructuras, tanto que no hay restricción en la posición de los miembros, de los nudos ni las cargas. Nudos.- Rígidos Acciones externas.- Tanto fuerzas como pares pueden tener direcciones arbitrarias. Acciones internas.- Las acciones internas en un pórtico espacial pueden ser: fuerzas axiales, momentos flectores, momentos torsores y fuerzas cortantes. Esfuerzos.- En un pórtico espacial se presentan todos los esfuerzos: Por flexión, axiales, por torsión y corte. Deformaciones.- En orden de importancia, los esfuerzos que se presentan en un pórtico espacial son: Por flexión, axiales, por torsión y por corte.

En todos los tipos de estructuras, las deformaciones debidas a las fuerzas cortantes son insignificantes frente a la suma total de deformaciones.

1.2 ESTRUCTURAS EN EL ESPACIO


18


19

CLASIFICACIÓN DE LAS FUERZAS QUE ACTÚAN EN UNA ESTRUCTURA TIPO CRITERIO DE

CLASIFICACIÓN DIVISIÓN

E

X

T

E

R

N

A S

Modo de aplicación Estática Dinámica

Permanencia Momentánea Sostenida

Estabilidad Fija Fluctuante

Origen

Gravedad Muerta Viva

Presión hidrostática Viento Sismo Térmica

Extensión de la zona de aplicación

Concentrada

Repartida Uniforme Triangular Trapecial Parabólica

Lugar de aplicación y dirección

Elementos prismáticos

Centrada axial Excéntrica

Normal al

eje

Contenidas en un plano principal Fuera de una plano principal

Elementos laminares

L. planos

Normales al plano Tangentes al plano

L. curvos Normales a la superficie Tangentes a la superficie

I N T E R N A S

Efectos que producen

Axiales Cortantes Flectoras Torsoras

CONCEPTOS ELEMENTALES DEL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS


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ESTADOS DE CARGA Los códigos consideran en general los siguientes estados de carga:

- Carga muerta - Carga viva - Carga debida al viento - Presión de tierra - Presión de fluidos - Carga de impacto - Efectos de asentamiento - Efecto de flujo plástico de contracción o de cambios de temperatura - Carga sísmica - Carga de nieve

CARGA MUERTA.- Se refiere al peso propio de las estructuras muros o tabiques, pisos, losas, nivelado, cubierta, escaleras, equipo fijos, cielorraso, y todas aquellas cargas gravitacionales que no son causadas por la ocupación y uso de la edificación y que deben ser soportada por ella. CARGA VIVA.- Está compuesta por cargas gravitacionales de ocupación, móviles o movibles. Las normas especifican cargas mínimas vivas según el uso y partes de la edificación COMBINACIONES DE CARGAS Existen varias combinaciones de carga, de acuerdo al análisis de estructuras que se desea emplear. Al momento de diseñar una estructura, se debe tener en cuenta todas las combinaciones de carga, especialmente aquellas que nos arrojen un valor mayor de resistencia última, ya que son las que producirán el efecto más desfavorable sobre la estructura. Combinaciones de carga para el Método de la Resistencia última:

1.3.1 ESTABILIDAD Una estructura estable soportará cualquier sistema concebible de cargas aplicadas, resistiendo estas cargas elástica e inmediatamente a su aplicación. Frecuentemente una estructura inestable

U = 1.4 D U = 1.2 D + 1.6 L U = 1.2 D + 1 L ± 1 E U = 0.9 D ± 1 E

1.3 ESTABILIDAD Y DETERMINACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS


21

será estable bajo un sistema particular de cargas aplicadas; cuando se encuentra en esta situación se dice que la estructura está en equilibrio inestable.

Estructuras articuladas y marcos continuos.- Una armadura, o una estructura articulada, esta compuesta de eslabones o barras, que se suponen conectadas por pasadores carentes de fricción en las juntas, y dispuestas de tal manera que el área que se encuentra cerrada dentro de los contornos de la estructura se subdivide, por las barras, en figuras geométricas que generalmente son triángulos. Puesto que los pasadores en las juntas se suponen carentes de fricción, las barras de una estructura articulada se consideran, en la mayor parte de los casos, sujetas únicamente a cargas axiales. Estas se llaman los esfuerzos primarios. En realidad, naturalmente, las uniones están atornilladas, remachadas o soldadas. Consecuentemente, los miembros en una junta no tienen libertad para girar unos con relación a otros, como tienden a hacerlo cuando la estructura sufre alguna deflexión bajo una carga. Como resultado, se incluyen esfuerzos de flexión en las barras. Estas se conocen como esfuerzos secundarios (que se discutirán en una sección posterior) y, en algunos casos, son importantes. Un marco continuo es una estructura que depende, en parte, para su estabilidad y capacidad de soporte de carga, de la capacidad de una o más de sus juntas para resistir momentos. En otras palabras, una o más juntas son más o menos rígidas. Los miembros de un marco continuo están generalmente sujetos a cargas axiales. corte y momento. Una estructura, ya sea marco continuo o articulado, es estable o inestable, y determinado o indeterminado, dependiendo del número y disposiciones de las partes componentes internas y de las componentes de reacción externas. 1.3.2 DETERMINACIÓN Refiriéndose a una estructura en el plano, una estructura indeterminada puede definirse como aquella para la cual las componentes de reacción y esfuerzos no pueden determinarse completamente por la aplicación de las 3 ecuaciones de condición para equilibrio estático (∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑Fz=0). El grado de indeterminación para una estructura dada es el número de incógnitas (R), que se cuentan sobre el número de ecuaciones (e) de condición disponibles para la solución.

P


22

j

y

zx k

P

Es conveniente considerar

estabilidad y determinación como sigue: a) Con respecto a la reacción: esto es, estabilidad externa y determinación. b) Con respecto a los miembros: esto es, estabilidad interna y determinación. c) Una combinación de condiciones externas e internas; esto es, estabilidad total y

determinación total. Ejemplo:

GI = R - e

GI = 4 -2 = 2 1.3.3 ESTABILIDAD EXTERNA Y DETERMINACIÓN Se necesitan tres componentes de reacción, pero no siempre son suficientes, para la estabilidad externa de estructuras de dos dimensiones. Un soporte fijo suministrará las tres componentes de reacción, consistentes de una componente de momento y dos de fuerza, como se muestra en la Fig. 2-1 (a). Estas componentes de fuerza generalmente se toman como paralelas a los ejes horizontal y vertical. Un soporte de filo de cuchillo o de punta, como en la Fig. 2-1 (b), suministrará las dos componentes de fuerza pero no componentes de momento.

Como se indica en la Fig. 2-1 (c), solamente una componente de fuerza, normal al plano de acción de los rodillos, puede existir en un soporte de rodillos. Los rodillos se consideran capaces de transmitir una reacción que actúa con cualquier sentido en una dirección normal al plano. Si actúan tres componentes de reacción sobre una estructura bidimensional, la disposición de estos componentes es importante. Cuando, por ejemplo, las líneas de acción de las tres componentes son concurrentes, la estructura es inestable externamente debido a que, aun

Grado de Indeterminación = # componentes de reacción - # Ecuaciones disponibles

P


23

cuando probablemente no se presente colapso total, una rotación inicial pequeña con respecto al punto de concurrencia es posible antes de que se desarrolle una restricción elástica. La estructura será también inestable si las tres componentes de reacción tienen líneas de acción paralelas. . Si el número de componentes de reacción es menor que el número de ecuaciones de condición independientes para el equilibrio de la estructura entonces la estructura será externamente inestable. Si el número de componentes de reacción excede al número de ecuaciones de condición independientes para el equilibrio de la estructura, entonces la estructura es externamente indeterminada hasta el grado para el cual el número de componentes de reacción externa exceda al número de ecuaciones de condición. Estas ecuaciones de condición son: ∑H = 0, ∑V =0 y ∑M =0 aplicadas a la estructura en conjunto y, además, cualesquiera otras ecuaciones dadas por las particularidades de construcción tales como pasadores o eslabones internos (un eslabón consiste de una barra corta con un pasador en cada extremo). Siempre que una estructura sea externamente determinada y estable, el número de componentes de reacción será igual al número de tipos diferentes de movimiento que serían posibles si las componentes de reacción se eliminaran. Estos movimientos, que pueden ser de todo el cuerpo o movimientos relativos a las diversas partes, deben ser posibles sin la inducción de esfuerzos elásticos internos. Una ecuación de condición para la evaluación de las componentes de reacción, puede escribirse para cada tipo de movimiento previsto. Así pues, cada pasador insertado en una estructura en una posición tal que haga posible la rotación relativa de las partes de Ia estructura suministrará una ecuación de condición adicional para la evaluación de las componentes de reacción.

Fig. 2-2.

Considérese el caso de la viga voladiza-apoyada en la Fig. 2-2. Existen cinco componentes de reacción y, puesto que se dispone de tres ecuaciones de condición de la estática para equilibrio externo, la viga es externamente indeterminada en segundo grado. En la Fig. 2-3 se tiene una viga con extremos con pasadores pero cada extremo está montado sobre rodillos. El número de componentes de reacción independientes es uno menos que las tres requeridas para la estabilidad, y la viga es inestable.

Fig. 2-3 El marco continuo que se muestra en la Fig. 2-4 tiene seis componentes de reacción y consecuentemente es indeterminado externamente al tercer grado.


24

Fig. 2-4 En la Fig.2-5 se indica un marco continuo indeterminado externamente al sexto grado.

.

Fig. 2.5 En realidad, como se ha indicado previamente, cada ecuación de condición expresa una condición que debe llenarse con objeto de evitar un tipo particular de movimiento de una parte o de toda la estructura; tal movimiento se presenta sin resistencia elástica a las cargas aplicadas. Así pues, la Fig. 2-10, la satisfacción de las ecuaciones ∑H = O, ∑V = O y ∑M = O para la estructura como un todo asegurará efectivamente que la estructura en su totalidad no se moverá horizontal o verticalmente ni girará. Además, la satisfacción de la ecuación ∑M = O para la parte de la estructura en cualquier lado de los pasadores garantiza que estas porciones no giran con respecto a los pasadores. Finalmente, la satisfacción de ∑H = O para la porción de la estructura en cualquier lado de los pasadores evita el movimiento horizontal de una parte de la estructura con respecto a otra. Así pues, se forman cinco condiciones independientes que deben satisfacerse simultáneamente por las componentes de reacción con objeto de evitar los cinco movimientos posibles de la estructura. Se necesitan cinco componentes de reacción para esto. Menos que cinco componentes de reacción resultan en inestabilidad y más de cinco resultan en indeterminación, puesto que en este caso dos o más componentes de reacción cooperan para evitar uno de los movimientos posibles de la estructura. Con las ecuaciones de condición disponibles, será imposible determinar hasta qué grado evita este movimiento cada una de las componentes de reacción que intervienen.


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Si el número de componentes de reacción es igual al número de ecuaciones de condición, la estructura es generalmente pero no siempre, externamente determinada y estable. Es posible que exista la igualdad anterior entre componentes de reacción y ecuaciones de condición y resultar aun en una estructura inestable. Considérese, por ejemplo, la Fig. 2-11. Existen cuatro componentes de reacción y cuatro ecuaciones de condición; estas cuatro ecuaciones consisten de las tres ecuaciones de equilibrio estático aplicadas a la estructura en total y ∑M = O, para cualquier parte de la estructura, con respecto al pasador central. Cuando se aplica una carga, sin embargo, existirá un pequeño desplazamiento inicial que no será resistido elásticamente por la estructura. Consecuentemente, la definición para estructura estable, que especifica que la resistencia elástica inmediata se opone a una carga aplicada, no se satisface. Frecuentemente cuando esto ocurre la estructura se desploma. En este caso, el desplome no se presenta, ya que la estructura llega al reposo en alguna posición como se muestra por las líneas punteadas. Este tipo particular de inestabilidad, entonces, se clasifica como inestabilidad geométrica, un término que tiene significación en vista del hecho de que la inestabilidad existe realmente debido a la disposición geométrica de los miembros. Si las dos barras de la Fig. 2-11 se hubieran colocado originalmente en la posición punteada, la estructura hubiera sido estable.

Si R < e la estructura es inestable; Si R = e la estructura es generalmente estable y determinada externamente Si R > e la estructura es generalmente estable e indeterminada externamente


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Estructuras Móviles.- En la discusión precedente respecto a la indeterminación estática exterior, el número de acciones reactivas de una estructura se comparó con el número de ecuaciones de equilibrio estático para toda la estructura considerada como unidad. Si el número de reacciones excede el número de ecuaciones. La estructura es estáticamente indeterminada exteriormente; si son iguales, la estructura es determinada en su exterior. Sin embargo, se supuso tácitamente en la discusión que el arreglo geométrico de las reacciones es tal que evita que la estructura se mueva al estar bajo diferentes condiciones de carga. Por ejemplo, la viga mostrada en la Fig. 1-13a tiene tres reacciones, que es igual al número de ecuaciones de equilibrio estático para fuerzas en un plano. Es obvio, sin embargo que la viga se mueva a la izquierda cuando se aplique la carga P. Una estructura de este tipo se llama móvil. Otros ejemplos de estructuras móviles son el marco de la Fig. 1-13b y la armadura de la Fig. 1-13c. En la estructura de la Fig. 1-13b las tres fuerzas reactivas son concurrentes, ya que sus líneas de acción se intersectan en el punto O. Por lo tanto, el marco es móvil, ya que no puede soportar una carga tal corno la fuerza P que no actúa en el punto O. En la armadura de la Fig. 1-13c hay dos barras que son colineales en el nudo A, y no existe otra barra que se una en ese nudo. De nuevo, la estructura es móvil ya que es incapaz de soportar la carga P en su configuración inicial.


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De los ejemplos de estructuras móviles dados en la Fig. 1-13 es obvio que tanto los soportes como los miembros de cualquier estructura deben ser adecuados en número y arreglo geométrico para asegurar que la estructura sea inmóvil. Sólo estructuras que cumplan con estas condiciones serán consideradas para su análisis. Existen cuatro componentes de reacción en esta estructura, sin embargo no responde elástica e inmediatamente a la aplicación de las cargas. A este tipo de inestabilidad se la llama inestabilidad geométrica.


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1.3.4 ESTABILIDAD INTERNA Y DETERMINACIÓN Existen dudas sobre la conveniencia de considerar que pueda existir una condición de determinación o indeterminación interna en una estructura. De hecho, el que una estructura dada sea determinada o indeterminada internamente es principalmente de interés académico. En el análisis de una estructura indeterminada, la cuestión de indeterminación externa o interna es generalmente, incidental; solamente el grado de indeterminación total (esto es, la suma de los grados de indeterminación externa e interna) es de importancia principal. Sin embargo, se considera que es deseable una discusión de indeterminación interna como un camino para llegar a la consideración de la indeterminación total. La inestabilidad o estabilidad interna, sin embargo, y la habilidad para determinar qué condición existe en un caso dado, es de importancia práctica considerable. Las estructuras articuladas se considerarán primero en esta sección, seguidas de una discusión de marcos continuos. La decisión respecto a si una estructura articulada dada es determinada o indeterminada internamente, y el grado de indeterminación interna, dependerá de lo que se considere que constituye la determinación interna. Por lo tanto, es necesario establecer un concepto claro en cuanto a lo que se significa aquí por una estructura internamente determinada. Una estructura es determinada internamente si, con todas las componentes de reacciones necesarias para estabilidad externa conocidas y actuando sobre la estructura, es posible determinar todos los esfuerzos internos por la aplicación de las tres ecuaciones de condición para equilibrio estático. Primero, considérese la armadura Pratt que se muestra en la Fig. 2-12. Cada junta en la armadura arroja dos ecuaciones de condición, ∑H =0 y ∑V = 0, para la determinación de todas las fuerzas desconocidas que actúan en las juntas, incluyendo esfuerzos en barras y componentes de reacción. Esto resulta en la ecuación

2j = b + r donde j es el número de juntas y b es el número de barras. El valor de r, independientemente del número de componentes de reacciones que se obtenga por los diferentes soportes de la estructura debe ser el número de componentes de reacción requeridos para la estabilidad externa y la determinación externa. En otras palabras, puesto que no puede divorciarse una investigación de las condiciones internas completamente de una consideración de las componentes de reacción, éstas deben suponerse consistentes con la estabilidad y determinación externas puesto que, al hacerlo


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así, cualquier indicación de inestabilidad o indeterminación se deberá claramente a las condiciones internas. El valor apropiado para r, como se indica en la Sección 2-5, será el número de ecuaciones de condición disponibles para la evaluación de las componentes de reacción, puesto que este es también el número de las componentes de reacción necesarias para la estabilidad y determinación externas. El miembro de la izquierda de la ecuación, 2j, representa el número de ecuaciones de condición simultáneas, disponibles para la solución de los esfuerzos desconocidos de las barras y reacciones, b + r. La ecuación anterior expresa la relación entre el número de ecuaciones de condición disponibles para la solución y el número de esfuerzos en las barras y reacciones, y se escribe generalmente como

b = 2j – r

Se llama particularmente la atención al hecho de que la satisfacción de esta ecuación es una condición necesaria para determinación interna y estabilidad de una estructura articulada, pero no es suficiente. Para entender el significado de esta afirmación, considérese la armadura de la Fig. 2-12. El número de juntas son 12, el número de barras 21; y, substituyendo en la ecuación anterior,

21= 24 -3 =21

y la armadura es estable y determinada, de acuerdo con esta ecuación. Supóngase, sin embargo, que esta armadura se cambia como se muestra en la Fig. 2-13. El número de juntas es ahora 13 y el número de barras 23. Nuevamente la ecuación de condición se satisface. Es obvio sin embargo, de la inspección de la estructura, recordando que todas las juntas se consideran unidas por pasador, que el desplome resultará de la rotación de los miembros de las

cuerdas del tablero donde no existe diagonal. Es aparente, por lo tanto, que la satisfacción de la ecuación anterior no es una condición suficiente para la estabilidad interna de una estructura articulada. Además, es imposible determinar los esfuerzos en las dos diagonales usadas en la Fig. 2-13 por el uso de las tres ecuaciones de condición para equilibrio estático. Resulta aparente que cualquier


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corte vertical existente en el tablero que tiene dos diagonales cruzadas estará dividido (no necesariamente en forma igual) entre las dos diagonales. En otras palabras, se presentan dos trayectorias de esfuerzos posibles para la estabilidad del tablero, cuando solamente una es necesaria. Es imposible determinar en qué proporciones se dividirá este corte vertical entre las dos diagonales, con el uso de las tres ecuaciones de condición para equilibrio estático. Por lo tanto la estructura es indeterminada internamente al primer grado, además de ser internamente inestable. Consecuentemente, la ecuación de condición dada no es suficiente para determinación interna ni para estabilidad interna. Si se desea usar la ecuación de condición anterior (su uso es a veces necesario) entonces debe recordarse que la satisfacción de esta ecuación significa que la estructura en cuestión puede ser pero no necesariamente es, determinada y estable internamente. La decisión final de que la estructura sea determinada y estable deberá basarse sobre el sentido común y sobre una consideración de las trayectorias de esfuerzos. Si la ecuación de condición no se satisface, la estructura es inestable internamente, o indeterminada internamente, o, posiblemente ambas. Si b es menos que 2j - r la estructura es inestable internamente. Si b es mayor que 2j - r, la estructura es indeterminada internamente, generalmente hasta el grado indicado por el exceso de b sobre 2j - r. Considérese la pequeña estructura de la Fig. 2-14. Inspeccionándola es indeterminada externamente al primer grado. Para usarse en la ecuación b = 7, j = 5 y r = 3, puesto que es posible eliminar ya sea la componente horizontal de reacción (esto es, conectar cualesquiera de los soportes a rodillos que operan de manera que se pueda tener una componente de reacción hacia arriiba o hacia abajo, pero que no pueda existir una componente de reacción horizontal) y todavía tener estabilidad. Por lo tanto, en b = 2j - r, el resultado es

7= 2 x 5 -3 = 7

y la condición necesaria para estabilidad y determinación interna se satisfacen. La inspección de la estructura muestra que es estable. Por

Fig. 14 Fig.15


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lo tanto, si las componentes de reacción (podemos considerar que todas actúan) se conocen, es posible determinar todos los esfuerzos de las barras aplicando las tres ecuaciones para equilibrio estático, y esto, como se recordará, en esta discusión constituye determinación interna. En el caso de las torres de la Fig. 2-15, la primera tendencia es clasificarla como indeterminada externamente al primer grado, puesto que existen cuatro componentes de reacción. Actualmente, sin embargo, además de las tres ecuaciones de condición para el equilibrio estático, aplicadas a la estructura en conjunto, se tiene una cuarta condición por el hecho de que ∑M debe ser igual a cero para AB con respecto al pasador en B. La componente de reacción H, existirá cuando se aplique una acción, distinta de una fuerza vertical, a AB entre A y B. Para el objeto de criterio, o ecuación para indeterminación interna y estabilidad, b = 8, j = 6 y r = 4. Nuevamente se llama la atención al hecho de que, cuando se investiga la indeterminación y estabilidad internas r debe ser el número de componentes de reacción necesarias para la estabilidad externa y determinación externa. En el caso dado, la reacción H, es absolutamente necesaria para estabilidad y por lo tanto r = 4. La substitución en b = 2j - r

8 = 2 X 6 - 4 = 8 y la ecuación de condición necesaria para estabilidad y determinación interna se satisfacen. La inspección de la estructura establece la estabilidad interna y la determinación como un hecho. La armadura en voladizo soportada de la Fig. 2-16 es indeterminada externamente al segundo grado. En este caso, b = 18 (sin el miembro punteado AB), j = 11 y r = 4, puesto que H, y V, o H2 y H3 pueden quitarse y la estructura seguirá siendo estable. La substitución en b = 2j - r dará

18= 22-4=18

Indeterminación externa e interna combinadas


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La cuestión de indeterminación, externa o interna de una estructura, cuando cualquiera de las dos se considera independientemente de la otra, es en realidad académica. Esto es cierto debido a que las condiciones externas e internas no pueden divorciarse entre sí en un análisis, En otras palabras, si una estructura es externamente determinada e internamente indeterminada, las componentes de las reacciones se evaluarán generalmente antes de determinar los esfuerzos de las barras por otra parte, si una estructura es determinada internamente pero externamente indeterminada, no es posible la solución para las reacciones que sean independientes de los esfuerzos de las barras, Obviamente entonces, si una estructura es indeterminada tanto externa como internamente, tanto las reacciones como los esfuerzos de los miembros entran en la solución. Se encontrará que cuando una estructura indeterminada se analiza por un método que necesite la solución de ecuaciones simultaneas, se requiere una ecuación para cada grado de indeterminación, independientemente de que la determinación sea externa o interna. Resulta pues aparente que, en el análisis final, es la indeterminación total de la estructura la que interesa. Con este objeto, las ecuaciones consideradas anteriormente deben revisarse en cuanto a su interpretación o a su uso. En el caso de estructuras articuladas, la ecuación de criterio era

2j = b + r

La única revisión necesaria para utilizar esta ecuación al comprobar la indeterminación total, es el significado de r, que debe ahora considerarse, como el número total de componentes de reacción. Así pues, para la armadura continua que se rnuestra en la Fig. 2-21, j es 28, b es 53 y r es 5. La substitución arroja

2 X 28 ≠ 53 + 5 56 ≠ 58

y la estructura es totalmente indeterminada en el segundo grado. La ecuación para comprobar la indeterminación interna de una estructura continua ha sido dada como

D = 3n Que habría de revisarse para leer

D = 3n + r – 3

donde T es el número total de componentes de reacción y 3 representa las ecuaciones de condición suministradas por los requisitos de equilibrio estático de la estructura en conjunto.


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Armaduras planas de nudos articulados.-

Una armadura plana de nudos es estable internamente cuando se cumple:

Para la determinación interna deberá cumplirse:

Donde: j = número de nudos b = número de barras r = número de componentes de reacción necesarias para la estabilidad externa. El valor adecuado de r será el número de ecuaciones disponibles para la evaluación de las reacciones. Si designamos por b el número de barras que debe tener una armadura de nudos articulados y por m el número de miembros que realmente tiene, la estabilidad y determinación interna se investigan así:

b ≥ 2j - r

2j = b + r


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Pórticos Planos.- El estudio del grado de indeterminación interna (GII) de los pórticos planos tiene poca importancia práctica y puede hacerse fácilmente por inspección, pues basta aplicar la ecuación:

Donde: n = número de segmentos de área que se hallan completamente rodeados por elementos de marco (no se cuenta los segmentos adyacentes al suelo).

No se investiga la estabilidad interna de los pórticos, ya que todas las estructuras de nudos rígidos, son estables internamente. ESTABILIDAD Y DETERMINACIÓN TOTALES Estos dos aspectos, son los de mayor importancia en el análisis, pues se requiere una ecuación adicional para cada grado de indeterminación, independientemente de si ésta es interna o externa. La indeterminación total se puede encontrar sumando las indeterminaciones externa (GIE) e interna (GII) o modificando las ecuaciones dadas anteriormente: a) Armaduras de nudos articulados

b) Para Pórticos

1

23

Si m < b, la estructura es inestable internamente Si m = b, la estructura es estable y determinada internamente Si m > b, la estructura es estable e indeterminada internamente

GI I = 3n

GIT = GIE + GII GIT = m + R - 2j

GIT = GIE+GII GIT= 3n + (R – e)

n = 3


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El método de los desplazamientos trata de determinar los desplazamientos (traslaciones y giros); por lo tanto, no interesa calcular la indeterminación estática si no la indeterminación cinemática. En los pórticos comunes se suelen despreciar las deformaciones axiales de los miembros y, en consecuencia, se considera que en cada piso existen desplazamientos horizontales iguales para cada una de las columnas involucradas, a más de las rotaciones de los nudos. GRADOS DE LIBERTAD Armaduras (Ao) Pórticos Planos (Ao, Io) Vigas continuas (A∞, Io)

0 g.d.l

1 g.d.l

2 g.d.l

1 g.d.l

2 g.d.l

3 g.d.l

0 g.d.l

0 g.d.l

1.4 INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA (grados de libertad)


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Aα, Io = Axialmente indeformable, flexuralmente deformable. Ao , Io = Axial y flexuralmente deformable Aα , Iα = no se aplica

EJEMPLOS Ejemplo 1 Tipo: Armadura plana DATOS j = 4 (# de nudos) m = 5 (# de miembros) R = 4 (# componentes d reacción) e =3 (# ecuaciones existentes) r = 3 (# ecuaciones disponibles) 1. Estabilidad y determinación externa Como R>e es ESTABLE GIE = R-e = 4-3 =1 2. Estabilidad interna y determinación b = 2j - r = 2(4) – 3 = 5 Como b = m, es ESTABLE y DETERMINADO GII = m – b = 5 – 5 = 0 3. Estabilidad y determinación Total GIT = m + R - 2j= 5 + 4 -2 ( 4) = 1

1 g.d.l

1 g.d.l

2 g.d.l


37

GIT = GIE + GII =1+0 = 1 4. Grado de indeterminación cinemática GIC = # articulaciones x # g.d.l. de la articulación + # nudos x # g.d.l de nudos GIC = 2 x 0 + 2 x 2 =4 GIC = 4 g.d.l Ejemplo 2 Tipo: Armadura plana DATOS j = 6 R = 4 e = 4 ( 4 ecuaciones: ∑Fx, ∑Fy, ∑Fz y ∑M en el nudo) r = 4 m = 8 1. Estabilidad externa y Determinación R = e Estable GIE = R- e = 4 – 4 = 0 2).- Estabilidad Interna y Determinación b= 2j – r = 2*6 – 4 = 8 Como m ≥ b, entonces es ESTABLE GII = m - b = 8 - 8 = 0 3) Estabilidad y determinación totales GIT = m + R – 2*j = 8 + 4 – 2 ( 6) = 0 GIT = GIE + GII = 0+0 = 0 4) Grado de Indeterminación Cinemática GIC = # articulaciones x # g.d.l. de la articulación + # nudos x # g.d.l de nudos GIC = 1 (0) + 4 (2) = 8 g.d.l Ejemplo 3 Tipo: Armadura plana j = 4 m = 6 R = 3

M=0


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e = 3 r = 3 1. Estabilidad externa y Determinación GIE = R – e = 3 – 3 = 0 2. Estabilidad Interna y determinación b = 2xj - r = 2(4) – 3 =5 GII = m – b = 6 - 5 = 1 3. Estabilidad y determinación total GIT = m + R – 2xj = 6+3 – 2 (4 ) = 1 GIT = GIE + GII = 0 + 1 = 1 4. Grado de Indeterminación Cinemática GIC = # articulaciones x # g.d.l. de la articulación + # rodillos x # g.d.l de rodillos + # nudos x # g.d.l de nudos GIC = 1 x 0 + 1 (1) + 2 (2) = 5 g.d.l Ejemplo 4 Tipo: Armadura plana j = 24 m = 43 R = 6 e = 5( 5 ecuaciones: ∑Fx, ∑Fy, ∑Fz, ∑M en el nudo1 y ∑M en el nudo2) r = 5 1. Estabilidad externa y Determinación GIE = R – e = 6 – 5 = 1 2. Estabilidad Interna y determinación b = 2xj - r = 2(24) – 5 =43 GII = m – b = 43 - 43 = 1 3. Estabilidad y determinación total GIT = m + R – 2xj = 43 + 6 – 2 (24 ) = 1

M=0

M=0


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GIT = GIE + GII = 0 + 1 = 1 4. Grado de Indeterminación Cinemática GIC = # articulaciones x # g.d.l. de la articulación + # nudos x # g.d.l de nudos GIC = 1 x 0 + 24 (2) = 42 g.d.l Ejemplo 5 Tipo: Pórtico plano n = 3 (# de àreas) R = 9 e = 3 1. Estabilidad externa y Determinación GIE = R – e = 9 – 3 = 6 2. Estabilidad Interna y determinación GII = 3n = 3(3) =9 3. Estabilidad y determinación total GIT = 3n + (R – e) = GIT = 3(3) + (9 - 3) = 15 4. Grado de Indeterminación Cinemática GIC = # articulaciones x # g.d.l. de la articulación + # nudos x # g.d.l de nudos GIC = 3 (0) + 8 (3) = 24 g.d.l Cuando una estructura está bajo la acción de fuerzas, sus miembros sufren deformaciones (pequeños cambios en su forma) y, como consecuencia, los puntos dentro de la estructura se desplazan hacia nuevas posiciones. En general, todos los puntos de la estructura, excepto puntos de apoyo inmóviles, sufrirán dichos desplazamientos. Los desplazamientos en una estructura están causados por los efectos acumulados de las deformaciones de todos los elementos. Hay varios modos de calcular estos desplazamientos en las estructura reticulares, dependiendo del tipo deformación en consideración así como del tipo de estructura.

1

23

1.5 DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS


40

En cualquier estructura particular bajo investigación, no todos los tipos de deformaciones serán significantes en el cálculo de los desplazamientos. Por ejemplo, en vigas generalmente las únicas deformaciones importantes son las debidas a la flexión, y es usual ignorar las deformaciones males. Por supuesto, hay situaciones excepcionales en las que se requiere que las vigas soporten grandes cargas males, y bajo dichas circunstancias la deformación axial debe incluirse en el análisis. También es posible que las fuerzas axiales produzcan una acción de viga-columna la que tiene un efecto no lineal en los desplazamientos. Para armaduras de los tipos mostrados en las Figs. A-b y A-c, el análisis se efectúa en dos partes. Si los nudos de la armadura se idealizan como articulaciones y si todas las cargas actúan únicamente en los nudos, entonces el análisis involucra únicamente deformaciones axiales de los miembros. La segunda parte del análisis es para los efectos de las cargas que actúan sobre los miembros entre los nudos, y esta parte es esencialmente el análisis de vigas libremente apoyadas. Si los nudos de una estructura tipo armadura son realmente rígidos, entonces los miembros sufren flexión aunque todas las cargas actúen en los nudos. En tal caso, las deformaciones por flexión pueden llegar a ser importantes, y en este caso la estructura puede analizarse como un marco plano o uno en el espacio. En marcos planos (véase la Fig. A-d) las deformaciones significativas son por flexión y males. Si los miembros son esbeltos y no están triangulados en forma de armadura, las deformaciones de flexión son mucho más importantes que las males. Sin embargo, las contribuciones axiales deben incluirse en el análisis de un marco plano si existe alguna duda acerca de su importancia relativa. En estructuras de parrilla (Fig. A-e) las deformaciones por flexión siempre son importantes, pero las propiedades de las secciones transversales de los miembros y el método de fabricar los nudos determinan si se deben o no tomar en consideración las deformaciones por torsión.


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Fig. A La acumulación de deformación Interna se presenta como desplazamiento. Los términos "acción" y "desplazamiento" se utilizan para describir ciertos conceptos fundamentales en el análisis de estructuras. Una acción (llamada algunas veces una fuerza generalizada) es llamada más comúnmente fuerza o par. Sin embargo, una acción también puede ser una combinación de fuerzas y pares, una carga distribuida o una combinación de estas acciones. En tales casos combinados, sin embargo, es necesario que todas las fuerzas, pares y cargas distribuidas estén relacionadas una a otra de alguna manera definida, de modo que la combinación entera pueda denotarse por un solo símbolo. Por ejemplo, sí la carga en la viga simplemente apoyada AB mostrada en la Fig. 1-3 consiste de dos fuerzas iguales P, es posible considerar la combinación de las dos cargas como una acción sola y denotarla por un solo símbolo, tal como F. También es posible pensar en la combinación de las dos cargas más las dos reacciones R. y Rn en los apoyos como una sola acción, puesto que las cuatro fuerzas tienen una

1.6 ACCIONES Y DESPLAZAMIENTOS


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relación única la una con la otra. En una situación más generalizada, es posible, para un sistema de cargas muy complicado que actúe sobre una estructura, que se le trate como una sola acción si todas las componentes de la carga están relacionadas la una a la otra en una manera definida.

Además de las acciones externas a la estructura, es necesario tratar también con acciones internas. Estas acciones son las resultantes de las distribuciones de esfuerzos internos, e incluyen momentos flexionantes, fuerzas cortantes, fuerzas axiales y pares torsionantes. Dependiendo del tipo de análisis en particular, tales acciones pueden aparecer como una fuerza, un par, dos fuerzas o dos pares. Por ejemplo, al efectuar análisis del equilibrio estático de las estructuras estas acciones aparecen normalmente como fuerzas y pares solos, como se ilustra en la Fig. 1-4a. La viga en voladizo mostrada en la figura está sujeta en el extremo B a cargas en la forma de acciones P1, y M1. En el extremo fijo A la fuerza reactiva y el par reactivo se denominan RA y MA, respectivamente. Para poder distinguir estas reacciones de las cargas sobre la estructura, las reacciones están dibujadas con una línea que corta la flecha. Esta convención para identificar reac-ciones será seguida en todo el libro (véase también la Fig.1 -3 para una ilustración del uso de la convención). * Al calcular la fuerza axial N, el momento flexionante M, y la fuerza cortante V en cualquier sección de la viga en la Fig. 1-4a, tal como el punto medio, es necesario considerar el equilibrio estático de una porción de la viga. Una posibilidad es construir un diagrama de cuerpo libre de la mitad del lado derecho de la viga, como se muestra en la Fig. 1-4b. Si así se hace es evidente que cada una de las acciones internas aparece en el diagrama como una fuerza o un par.


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Existen situaciones, sin embargo, en las que las acciones internas aparecen como dos fuerzas o pares. Este caso ocurre con mucha fre-cuencia en el análisis estructural cuando se "suelta" algún punto de la estructura, como se muestra en la Fig. 1-5 para una viga contínua. Si se suelta el momento flexionante (o se elimina) en el nudo B de la viga, el resultado es el mismo que si colocásemos una articulación en ese nudo (véase la Fig. 1-5b). Por lo tanto, para tomar en consideración el momento flexionante ME en la viga, éste se debe considerar como estar formado por dos pares iguales, de sentido opuesto, MB, que actúan en las porciones del lado derecho así como del lado izquierdo con la articulación, corno se muestra en la Fig. 1-5c. En esta ilustración el momento MB se considera positivo de acuerdo con las direcciones que tiene en la figura, esto es, que el par que actúa en la porción izquierda de la viga es de sentido opuesto al de las manecillas del reloj y el par que actúa en el lado derecho de la viga tiene el sentido de las manecillas del reloj. Por lo tanto, para fines de analizar la viga de la Fig. 1-4c, el momento flexionante en el punto B puede tratarse como una sola acción formada por dos pares. Se encuentran situaciones similares con las fuerzas axiales, cortantes y con pares flexionantes, según se ilustra posteriormente en la discusión del método de análisis de la flexibilidad. Un segundo concepto básico es el de desplazamiento, que generalmente es una traslación o rotación en algún punto de una estructura. Una traslación se refiere a la distancia recorrida por un punto de una estructura, y una rotación significa el ángulo de rotación de la tangente a la curva elástica en un punto. Por ejemplo, en la viga voladiza de la Fig. 1-4c. la traslación ∆ del extremo de la viga y la rotación θ del extremo se consideran las dos como desplazamientos. Aún más, como en el caso de una acción, un desplazamiento también puede considerarse en sentido general como una combinación de traslaciones y rotaciones..


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Como un ejemplo, consideremos las rotaciones de la articulación en el punto B en la viga de dos claros de la Fig. 1-5c. La rotación del extremo derecho del miembro AB se denomina e" en tanto que la rotación del extremo izquierdo del miembro BC se denomina θ. Cada una de estas rotaciones está considerada como un desplazamiento. Aún más, la suma de las dos rotaciones, denominada θ, es también un desplazamiento. El ángulo θ puede considerarse como la rotación relativa en el punto B entre los extremos de los miembros AB y BC Otro ejemplo de desplazamientos es el mostrado en la Fig. 1-6, en donde un marco plano está sujeto a varias cargas. Las translacio-nes horizontales ∆A, ∆B y ∆C de los nudos A, B Y C, respectivamente, son desplazamientos, como también lo son las rotaciones θA, θB Y θc de estos nudos. Los desplazamientos de nudos de estos tipos juegan un papel importante en el análisis de estructuras reticulares. Frecuentemente es necesario en el análisis estructural tratar con acciones y desplazamientos que se corresponden unas a los otros. Se dice que las acciones y los desplazamientos se corresponden cuando son de un tipo análogo y están localizados en el mismo punto de una estructura. Por lo tanto, el desplazamiento correspondiente a una fuerza concentrada es una traslación de la estructura en el punto en donde la fuerza actúa, aunque el desplazamiento no necesariamente es causado por la fuerza. Aún más, eI desplazamiento correspondiente debe tomarse a lo largo de la línea de acción de la fuerza y debe tener la misma dirección que ella.


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Es así que en una estructura se pueden dar:

Traslación Frecuentemente en el análisis de estructuras es necesario contar con acción y desplazamiento que se corresponde unos a otros. Por ejemplo, una fuerza concentrada produce una traslación y un momento produce giro. Esto no significa que la translación sea producida únicamente por la fuerza por que el giro no se ha causado únicamente por el momento. Además la translación debe darse a lo largo de lo misma línea de acción de la fuerza y el giro.

Acción Fuerza

Momento

Giros

Desplazamientos

P1 M1 P1 M

V

M

V

M1

θθ

P M

D Dθ


46

P1

M1

M2

P2

D1D2

θ

θ1 Como se puede observar en la figura, en caso de tener más de una acción sobre el elemento, el desplazamiento total en cada punto, será igual a la suma de desplazamientos provocado por cada acción en ese punto. EL diagrama final es el que se muestra en la parte izquierda, mientras que los diagramas utilizados para cada acción, se muestran por separado en la parte derecha:

P1P2

D1 D2

P1

D11 D21

P2

D12 D22

1 2

Cada desplazamiento se denotará con subíndices. El primer subíndice se referirá al punto donde se efectuará el desplazamiento, y el segundo se referirá a la acción que causa el desplazamiento. Por ejemplo para el desplazamiento D12 tenemos:

(1) Quiere decir que el desplazamiento es en el punto 1. D 12 (2) Quiere decir que la acción que lo produce es la Fuerza 2.

P y D NO corresponde (D no está en la misma dirección que la Fuerza P) M ↔ Ө SI corresponde

P ↔ D SI corresponde M ↔ Ө SI corresponde

P1 ↔ D1 SI corresponden M1 ↔ Ө1 SI corresponden P1 y D2 NO corresponden M1 y Ө2 NO corresponden P2 ↔ D2 SI corresponden M2 ↔ Ө2 SI corresponden


47

Tomando en cuenta esta aclaración, tendríamos los siguientes desplazamientos en la viga de la figura anterior:

D11 = Corresponde al punto 1 (P1) y se debe a la acción P1 D21 = Corresponde al punto 2 (P2) y se debe a la acción P1

D12 = Corresponde al punto 1 (P1) y se debe a la acción P2 D22 = Corresponde al punto 2 (P2) y se debe a la acción P2

Por lo tanto, los desplazamientos finales serán:

D1 = D11 + D12 D2 = D21 + D22

D1 → P1 D1, es causado por P1 y P2 D2 → P2 D2, es causado por P1 y P2 Uno de los objetivos de cualquier análisis estructural es determinar varias acciones pertenecientes a la estructura tales como las reacciones en los apoyos y los esfuerzos internos resultantes (momento flexionante, fuerza cortante, etc.). Una solución correcta para cualquiera de estas cantidades debe satisfacer todas las condiciones de equilibrio estático, no sólo para toda la estructura, sino también para cualquier parte de ella tomada como un cuerpo libre. Consideremos ahora cualquier cuerpo libre sujeto a diferentes acciones. La resultante de todas las acciones puede ser una fuerza, un par o ambos. Si el cuerpo libre está en equilibrio estático, la resultante desaparece; esto es, el vector fuerza resultante y el vector momento resultante son ambos cero. Un vector en un espacio tridimensional siempre puede descomponerse en tres componentes en tres direcciones ortogonales, tales como las direcciones x, y y z. Si el vector fuerza resultante es igual a cero, también sus componentes deben ser igual a cero y, por lo tanto, se pueden obtener las siguientes ecuaciones de equilibrio estático:

∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑Fz=0 (1-1a)

En estas ecuaciones las expresiones ∑Fx, ∑Fy y ∑Fz son las sumas algebraicas de las componentes en x, y y z, respectivamente, de todos los vectores de fuerza que actúan en el cuerpo libre. Igualmente, si el vector momento resultante es igual a cero, las ecuaciones de momento del equilibrio estático son:

∑Mx=0 ∑My=0 ∑Fz=0 (1-1b)

1.7 EQUILIBRIO


48

en donde ∑Mx, ∑MY y ∑MZ, son las sumas algebraicas de los momentos respecto a los ejes x, y y z, respectivamente, de todos los pares y fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre. Las seis relaciones de la Ec. (1-1) representan las ecuaciones de equilibrio estático para acciones en tres dimensiones. Pueden aplicarse a cualquier cuerpo libre, tal como toda una estructura, una porción de ella, un miembro solo, o un nudo de una estructura. Cuando todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre están en un plano y todos los pares tienen sus vectores normales a ese plano, sólo son útiles tres de las seis ecuaciones de equilibrio. Suponiendo que las fuerzas están en el plano x-y, es obvio que las ecuaciones: ∑Fz = 0, ∑Mx = 0 Y ∑My = 0 se satisfacen automáticamente. Las ecuaciones restantes son:

∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑Mz=0 y estas ecuaciones son las condiciones de equilibrio estático para acciones en el plano x-y. En el método de análisis de la rigidez, las ecuaciones básicas que se tienen que resolver son aquellas que expresan las condiciones de

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN Este método se utiliza cuando el material es elástico (cumpla Ley de Hooke), los desplazamientos son pequeños, y no existe interacciones. El primero de estos requisitos significa que el material es perfectamente elástico y tiene una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación. El segundo requisito significa que todos los cálculos que involucran las dimensiones totales de la estructura pueden basarse en las dimensiones originales de ella. El tercer requisito implica que el efecto de fuerzas axiales en la flexión de los miembros es despreciable. Este requisito se refiere al hecho de que las fuerzas axiales en un miembro. aun en combinación con pequeñas deflexiones del miembro tienen un efecto en los momentos flexionantes. El efecto no es lineal y puede omitirse en el análisis cuando las fuerzas axiales (tensión o compresión) no son muy grandes. Cuando se satisfacen los tres requisitos listados anteriormente se dice que la estructura es linealmente elástica y se puede utilizar el principio de superposición. Como este principio es funda en los métodos de análisis de la flexibilidad y de la rigidez siempre se supondrá en las discusiones subsecuentes que las estructuras analizadas cumplen con dichos requisitos.

EN EL PLANO ∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑M = 0

EN EL ESPACIO ∑Fx = 0 ∑Mx = 0 ∑Fy = 0 ∑My = 0 ∑FZ = 0 ∑Mz = 0

1.8 COMPATIBILIDAD DE DESPLAZAMIENTOS


49

El principio de superposición es uno de los conceptos más importantes en el análisis estructural. Puede utilizarse siempre que existan relaciones lineales entre las acciones y los desplazamientos. Al utilizar el principio de superposición se supone que ciertas acciones y desplazamientos están impuestos en la estructura. Estas acciones y desplazamientos causan que se formen en la estructura otras acciones y desplazamientos. Por lo tanto, las primeras acciones y desplazamientos tienen la naturaleza de las causas, en tanto que las últimas son efectos. En general, el principio dice que los efectos producidos por varias causas pueden obtenerse combinando los efectos debidos a las causas individuales. Para ilustrar el uso del principio de superposición cuando las acciones son las causas, consideremos la viga de la Fig. 1-14a. Esta viga está sujeta a cargas A1, y A2 que producen varias acciones y desplazamiento en toda la estructura. Por ejemplo, las reacciones RA, RB y MB se desarrollan en los apoyos, y se produce en el centro del claro un desplazamiento D. Los efectos de las acciones A1 y A2 actuando separadamente se muestran en las Figs. 1-14b y 1-14c. En cada caso existe un desplazamiento en el centro del claro de la viga y reacción en los extremos. De acuerdo con el principio de superposición las acciones y los desplazamientos causados por A1 y A2 actuando separadamente (Figs. 1-14b y 1-14c) pueden combinarse para obtener las acciones y desplazamientos causados por A1 Y A2 actuando simultáneamente (Fig. 1-14a).

Un segundo ejemplo del principio de superpocición en los que los desplazamientos son la causa se da en la Fig. 1-15. La figura es e nuevo la via AB libremente apoyada en un extremo y empotrada en otro (véase Fig. 1-15a) cuando el extremo B de la viga se desplaza hacia abajo una distancia ∆ y, al mismo tiempo, gira un ángulo θ (véase la Fig. 1·15b), se desarrollan en la viga varias acciones y desplazamientos. Por ejemplo, las reacciones en cada extremo y el desplazamiento en el centro se muestran en la Fig. 1-15b. Las dos fjguras siguientes (Figs. 1-15c y 1-15d) muestran a la viga con los desplazamientos ∆ y θ ocurriendo separadamente. Las reacciones en los extremos y el desplazamiento en el centro se denoominan de nuevo mediante el uso de primas: una sola prima se utiliza para denominar cantidades causadas por el desplazamiento ∆ y dobles primas para cantidades causadas por la rotación θ. Este ejemplo ilustra cómo las acciones y desplazamientos causados por desplazamientos pueden superponerse. El mismo principio se aplica a cualquier otra acción y desplazamiento en la viga . El principio de superposición también puede utilizarse si las causa son acciones y desplazamientos. Por ejemplo la viga de la Fig. 1-15b podría estar sujeta a varias causas así como a los desplazamientos ∆ y θ. Luego las acciones y desplazamientos de la viga pueden obtenerse combinando aquellos debidos a cada cara y desplazamiento separadamente.


50

Las relaciones que existen entre las acciones y los desplazamientos juegan un papel importante en el análisis estructural y se utilizan extensivamente tanto en el método de la flexibilidad como en el de la rigidez. Un modo conveniente de expresar la relación entre las acciones que actúan en una estructura y los desplazamientos de ella es mediante ecuaciones y de acción y desplazamiento. Se obtiene una ilustración sencilla de tales ecuaciones considerando el resorte linealmente elástico mostrado en la figura a. La acción A comprime el resorte, produciendo, un desplazamiento D del extremo del resorte. La relación entre A y D puede expresarse por una ecuación de desplazamiento de la manera siguiente:

D= F x A

1.9 ECUACIONES DE ACCIÓN Y DESPLAZAMIENTOS


52

De lo que podemos observar, se deduce que una rigidez (S) representa una acción debida a un desplazamiento unitario, cuando los otros desplazamientos D2 y D3 son nulos. A continuación se presenta otro ejemplo más general: Tenemos una viga de dos vanos con tres apoyos: uno fijo y dos deslizantes, que está sujeta a 3 cargas, de la cual se deducirá las rigideces en forma matricial.

A1 A2

A3

D1

D2 θ

Utilizando el principio de superposición, cada uno de los desplazamientos puede expresarse como la suma de los desplazamientos debidos a las cargas A1 y A2 actuando separadamente. Por ejemplo el desplazamiento D1 está dado por la expresión

D1 = D11 + D12 + D13 en donde D11 es el desplazamiento correspondiente a A1 y causado por A1 D12 es el desplazamiento correspondiente a A1 y causado por A2 en D12 es el desplazamiento correspondiente a A1 y causado por A3. De modo similar se pueden escribir dos ecuaciones adicionales para D2 y D3. Cada uno de los desplazamientos que aparecen en los miembros de la derecha de estas ecuaciones es una función lineal de una de las cargas; esto es cada desplazamiento es una directamente proporcional a una de las cargas. Por ejemplo, D12 es un desplazamiento causado por A2 únicamente y es igual a A2 multiplicada por cierto coeficiente. Denominando dichos coeficientes mediante el símbolo F, es posible escribir ecuaciones para los desplazamientos D1, D2 y D3 explícitamente en términos de la carga, de la manera siguiente:

D1 = F11 x A1 + F12 x A2 + F13 x A3 D2 = F21 x A1+ F22 x A2 + F23 x A3 D3 = F31 x A1 + F32 x A2 +F33 x A3

En la primera de estas ecuaciones la expresión F11A1, representa el desplazamiento D11 la expresión F12 A2, representa el desplazamiento D12, y así sucesivamente. Cada miembro derecho de las ecuaciones anteriores es un desplazamiento que está escrito en la forma de un coeficiente multiplicado por la acción que produce el desplazamiento. Los coeficientes se llaman coeficientes de influencia de la flexibilidad, o más fácilmente, coeficientes de flexibilidad.


53

Cada coeficiente de flexibilidad F representa un desplazamiento causado por un valor unitario de una carga. Así el coeficiente F12 representa el desplazamiento correspondiente a la acción A1 y causado por un valor unitario de A1; el coeficiente F12 es el desplazamiento correspondiente a A1 y causado por un valor unitario de A2 y así sucesivamente.

En vez de expresar los desplazamientos en términos de las acciones como se hizo en la ecuación anterior es posible escribir ecuaciones de acción que expresen las acciones en términos de los desplazamientos. Tales ecuaciones pueden obtenerse, por ejemplo, resolviendo simultáneamente las ecuaciones de desplazamiento. Por lo tanto si la ecuación anterior se resuelve para las acciones en términos de los desplazamientos, las ecuaciones de acción resultantes tendrán la forma:

A1 = S11 x D1 + S12 x D2 + S13 x D3 A2 = S21 x D1+ S22 x D2 + S23 x D3 A3 = S31 x D1 + S32 x D2 +S33 x D3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×+×+××+×+××+××

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333232131

323222121

313 212111

3

2

1

D S D S D SD S D S D SD S D x S D S

AA

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

333231

232221

1312 11

3

2

1

S S SS S S

S S S

A A A

DDD

Se trata de proporcionar apoyos fijos para anular los desplazamientos. La interpretación física de los coeficientes de rigidez puede verse en las siguientes figuras:

[ ] [ ][ ]DSA =

Vector

Matriz Vector

A.-

A3

A2


54

B.- D2

Nótese que cada coeficiente de rigidez (S) es una reacción para la estructura fija y se muestra actuando en su dirección positiva, ya que es automáticamente la misma dirección que la de la acción correspondiente. Por lo tanto, si la dirección real de una de las rigideces es opuesto a la de la acción, el coeficiente tendrá un valor negativo al calculado. MATRIZ DE RIGIDEZ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++++++++++++

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnnnnn

nn

nn

nn

N DSDSDSDS

DSDSDSDSDSDSDSDS

DSDSDSDS

A

AAA

...............................................................................................................................

................

..............................

´´´´´´

3322

3333232131

2323222121

1313212111

3

2

1

C.- 0 0

1

S21S11

D. 0

1

S22

S12

S32


55

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++++++++++++

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnnnn

n

n

n

N SSSS

SSSSSSSSSSSS

A

AAA

...............................................................................................................................

................

..............................

´´´´´´

32

3333231

2232221

1131211

3

2

1

Ejercicio 1: La viga de en voladizo mostrado en la figura está sujeta a la acciones A1 y A2 en el extremo libre. Hallar su matriz de rigidez.

A1

A2

L

B D2

D1

Tenemos dos acciones que actúan:

[ ] [ ][ ]DSA =

Vector

Matriz Vector


56

∆

312

LEI∆

26

LEI∆

312

LEI∆

26

LEI∆

1

21S

11S

LEI θ

LEI θ4

26

LEI θ

26

LEI θ

θ

122S

12S

De esta manera tenemos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

SSSS

S ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

S46

612

2

23

2

En este capítulo se introducen los conceptos básicos del método de la rigidez (también llamados método del desplazamiento). Este método es aplicable generalmente a todos los tipos de estructura, incluyendo aquellos formados de vigas, columnas, placas, cascarones y otros elementos estructurales. Sin embargo, todas las estructuras que se analizarán son reticulares. Las estructuras reticulares son probablemente las más comúnmente encontradas en la práctica de la ingeniería y proporcionan ejemplos excelentes con los cuales ilustrar las ideas básicas de los métodos de la flexibilidad y de la rigidez. Ambos métodos son fundamentales en concepto e involucran formulaciones matemáticas similares, como se apuntará posteriormente. La formulación de los dos métodos se hace mediante álgebra matricial, ya que hace posible tratar en términos generales desde el principio, aunque los primeros problemas por resolver son muy sencillos y están formulados solamente para ilustrar los conceptos básicos. Sin embargo, la

INTRODUCCIÓN AL METODO DE LA RIGIDEZ O DE LOS DESPLAZAMIENTOS

2.1 MÉTODO DE LA RIGIDEZ O DE LOS DESPLAZAMIENTOS


57

expresión de los métodos en términos matriciales permite una generalización inmediata a estructuras muy complicadas, y ésta es una de las ventajas principales de la notación matricial. También, el uso de matrices, plantea el problema en una forma ideal para programación en una computadora digital. Este hecho representa probablemente la primera motivación para utilizar los métodos de la flexibilidad y de la rigidez en la forma que se utiliza. Finalmente, debe comprenderse que los métodos de la flexibilidad y de la rigidez pueden organizarse hasta formar un procedimiento altamente sistematizado para el análisis de una estructura. Una vez que se han comprendido los conceptos básicos del procedimiento, los métodos pueden aplicarse a estructuras de cualquier grado de dificultad. Así, el objetivo de los últimos capítulos es desarrollar procedimientos sistemáticos para analizar cada clase de estructuras reticulares incluyendo vigas, armaduras parrillas y marcos. El método contempla los siguientes pasos:

• Estructura bien definida:

• Definir las cargas :

• Cambios de temperatura • Deformaciones previas

• Desplazamientos de apoyo

Deformaciones

Tipo de estructura Posición de los nudos mediante coordenadas Tipo de nudos Tipo de miembros Posición tipo de apoyo

Carga viva Carga muerta Carga de sismo Carga debido al viento Carga repartida Carga Puntual; de superficie

Por flexión Por fuerza Axial Por torsión Por corte Se desprecia

2.2 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA


58

CREAMOS UNA ESTRUCTURA FIJA

• Determinar el grado de indeterminación cinemática. • Desplazamiento de nudo desconocido o grado de libertad • Proporcionar las fijaciones artificiales para anular los desplazamientos del nudo, y hacer

que sean igual a cero (0). Todas las cargas excepto aquellas que correspondan a los desplazamientos de nudos desconocidos se consideran aplicadas a la estructura fija y se evalúan las diversas acciones en la estructura.

w w

Las acciones a determinarse son las siguientes: ARL = Acciones reactivas correspondientes a las restricciones. AML = Acción de los extremos de los miembros debido a cargas. ADL = Acción de los desplazamientos desconocidos debido a las cargas. NOTA: Las acciones correspondientes a los desplazamientos de nudos se consideran posteriormente.

• Cambios de temperatura (T) • Deformaciones previas (P) • Desplazamiento de apoyo

ADT ART AMT

ADP ARP AMT

ADR ARR AMR

2.4 ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA FIJA PARA OTRAS CAUSAS

2.3 ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA FIJA SUJETA A LAS CARGAS


59

• Determinar Coeficientes de Rigidez (Sij = SDD) • Determinar Acciones de extremo (AMD) • Determinar Reacciones (ARD)

Ecuación que permite Determinar el desplazamiento

ASD *1−=

AM = Acciones en los extremos del miembro AR = Acciones en los apoyos

Ejercicio 1: 1. Definición del problema Tipo de estructura: Viga Apoyos: Rodillo y Empotramiento Tipo de carga: Uniformemente distribuida

w

L

A∞,IoA B

1. Estructura fija Grados de indeterminación cinemática

GIC = # rodillos x # g.d.l. de rodillo + empotramiento x # g.d.l de empotramiento GIC = 1 (1) + 1 (0) = 1 g.d.l

2.5 ANALISIS DE LA ESTRUCTURA FIJA PARA VALORES UNITARIOS DE LOS DESPLAZAMIENTOS DESCONOCIDOS.

2.6 DETERMINACIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS DESCONOCIDOS

2.7 DETERMINACIÓN DE ACCIONES FINALES DE EXTREMO Y REACCIONES


60

Proporcionamos empotramientos para fijar el desplazamiento en el rodillo

D1

2. Análisis de Estructura fija sujeta a cargas.

w

LMBAMAB

RA RB

w

3. Análisis de Estructura por otras causas No existen cambios de temperatura ni deformaciones previas 4. Análisis de Estructura fija para valores unitarios de desplazamientos desconocidos

D1

D1

MB

1

MB

MB

D1S11

5. Determinación de desplazamientos desconocidos (Para este caso) La ecuación de superposición es la siguiente:

1212

22wLMwLM

wLRwLR

BA

BA

==

==

[ ]11

3

1

21

1

)1(44812

4

4

SSL

EIM

EIwLDwL

LEID

MML

EIDM

B

BAA

B

=

=

=⇒=

=

=


61

Rigidez

0 = MBA + MB D1

Momento final en el nudo Desplazamiento total

Momentos en la estructura fija por cargas

La convención de signos y los desplazamientos serán iguales a:

+

MBA-wL/12

w

7. Determinación de las acciones finales de extremo de barra y de las reacciones

wA B

RA

w

MB1/2MB

RA=wL/2

RL

MMR

BB 21+

=

L

Ejercicio 2: 1. Definición del problema Tipo de estructura: Viga Apoyos: Articulación y Rodillos Tipo de carga: Puntuales

124

48

02

412

0

2

1

11

3

1

1

21

wLEILD

ASDEI

wLD

DEIwL

DMM BBA

=

=⇒=

=+−

=+

−

( )

85

82

62

432

3

2

wLR

wLwLR

LEI

LL

EIR

LM

R

A

A

B

=

+=

==

=


62

2. Estructura fija

• Grados de indeterminación cinemática GIC = articulación x # g.d.l de articulación + # rodillos x # g.d.l. de rodillo + GIC = 1 (1) + 2 (1) = 3 g.d.l

• Restringimos los momentos con empotramientos

P1 P2 P3P1 P2 P3

3. Análisis de la estructura fija

P1 P2 P3

L/2 L/2 L/2 L/2L L

A B C

D1 D2


63

P1P1L/8

P1/2

P1L/8

P1/2

P1P2L/8

P2/2

P2L/8

P2/2

ADL2ADL1

• Acciones de los extremos de miembros en las barras fijas debido a cargas (Matriz AML)

Momentos de Empotramiento

88821 LP

MLP

MPLM ==⇒=

Reacciones Isostáticas

2222

21

1P

RP

RPR ==⇒=

Matriz AML

V M V MAML= P1/2 P1L/8 P1/2 -P1L/8

P2/2 P2L/8 P2/2 -P2L/8

• Acciones de desplazamientos desconocidos debido a cargas (Matriz ADL)

Determino Momentos

88

88822

2

12211

LPLPADL

LPLPLPLPADL

−=−=

−=+−=

Matriz ADL

P1L/8 P2L/8 P2L/8

ADL1ADL2


64

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

8

82

12

LP

LPLP

ADL

• Acciones de reacción correspondientes a restricciones (incógnitas) (Matriz ARL)

ARL4ARL3ARL1

ARL2

Restringido en x por A∞

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

2

8

2

2

21

1

1

4

3

2

1

P

LPP

LP

P

ARL

ARL

ARL

ARL

ARL

4. No hay otras causas de desplazamiento 5. Análisis de estructura fija para valores unitarios de los desplazamientos conocidos

• Coeficientes de rigidez

S11 S21

S22S12

D1

D2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2212

2111

SSSS

S


65

6. Determinación de los desplazamientos desconocidos

ASD 1−= Podemos escribir 2 ecuaciones de superposición que expresan las condiciones pertenecientes a los momentos que actúan sobre la estructura original en los nudos B y C, que son las acciones en la estructura real, correspondientes D1 y D2 , llamados Ad1 y Ad2 respectivamente. Estas acciones son cero ( 0 ), excepto cuando se aplica una acción externa en el nudo correspondiente

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

02

1 MADAD

AD

Las ecuaciones generales de superposición serán:

1

1

00

θBB

BBA

mMDmM

+=+=

desplazamiento final

ación final en la viga original

acción de la estructura fija debido a cargas acción en la estructura fija debido a desplazamientos unitarios

10 θBB mM +=

contribuciones de las cargascontribuciones de lso desplazamientos

22212122

21211111

DSDSADLADDSDSADLAD

++=++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

2

1

2

1

DD

SSSS

ADLADL

ADAD

[ ] [ ] [ ][ ]DSADLAD += ADLADSD −=

( )ADLADSD −= −1

Tamaño de las matrices:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )libertaddegradoslibertaddegradosen

acdeestadoslibertaddegradosen

acdeestadosentosdesplazamied

SS

ADD

ADAD

××

××

××

=

=

=

arg

arg


66

AD: Matriz de acciones de la rigidez en la viga original correspondientes a los desplazamientos de nudo conocido ADL: Matriz de acciones en la estructura fija correspondientes a los nudos desconocidos causados por las cargas (todas las cargas excepto aquellas correspondientes a desplazamientos de nudos desconocidos). S: Matriz de rigidez correspondiente a los desplazamientos de nudos desconocidos

7. Determinamos acciones finales y reacciones Tenemos dos formas de hacerlo:

• Considerando consecutivamente cada miembro. • Efectuando cálculos de modo sistemático simultáneo con los cálculos para encontrar

desplazamientos. AM.- Matriz de acciones finales en los extremos del miembro AR.- Matriz de reacciones en la estructura real AML.- Matriz de acciones de extremo en la estructura fija. ARL.- Matriz de reacciones en la estructura fija AMD.- Matriz de acciones finales en lose extremos el miembro correspondiente a desplazamientos unitarios de los desplazamientos desconocidos. ARD.- Matriz de acciones correspondientes a las restricciones y debidas a desplazamientos unitarios de los desplazamientos desconocidos. Ecuaciones básicas del método:

SDADLADDARDARLAR

DAMDAMLAM

+=×+=

×+=

Ejercicio 3: E= 200Gpa=200x106KN I = 8x10-6m4

2.7 SISTEMAS DE CARGAS MULTIPLES


67

60003000

3000 6000

1 2 3

4m.

8KN.m 8KN.m

12KN 12KN

6000

4m.

1.5KN.m 1.5KN.m

1.5KN 1.5KN

3000

KNxR

KNNxwLM e

122

46000

8800012

4600012

2

1

==

====

KNNR

KNNxwLM e

5.115002

3000

5.115008

4300082

===

====

ADL1= -8+1.5 = -6.5ADL2= -1.5 = -1.5

-6.5-1.5ADL =

6000 60003000


68

160004

44

80002

2

80004

22

3200044

222

212

221

2111

====

===

===

=+=

EIEILEIS

EILEIS

EILEIS

LEI

LEIS

S11 S21 32000 8000S12 S22 8000 16000

S = =

3KN3KN 6KN0

03AD =

[ ]ADLADSD −= −1

AM4 AM6

AR4AR3

AR1

AR2 AM3 AM5

AM2

AM1

AM8

AM7

AM1 12AM2 8AM3 12

AML= AM4 = -8AM5 1.5AM6 1.5AM7 1.5AM8 -1.5


69

AR1AR= AR2 =

AR3AR4

6000 08000 0

-6000 0AMD= 16000 0

6000 600016000 8000-6000 -60008000 16000

6000 0

ARD = 8000 00 6000

-6000 -6000

13.5510.07

AM = 10.45-3.861.713.86

-1.39-3

13.55AR = 10.07

12.161.29

-3,86 3,86

1,3912,1613,5510,07

10,45 1,71

AUTOEVALUACIÓN Ejercicio 1: f’c=20 MPa fy=420 MPa EX=4700√f’c


70

5 KN/m

4m 6m0,25m

0,3m

Las ecuaciones básicas por el método de la rigidez fueron previamente discutidas, pero cuando únicamente tomamos en cuenta los efectos de carga sobre las estructuras, las ecuaciones para los desplazamientos del nudo, acciones de extreme de los miembros y reacciones son:

DAAADAAA

SDAA

RDRLR

MDMLM

DLD

+=+=

+=

En la primera de estas ecuaciones, el vector AD consiste de cargas correspondientes a los desplazamientos desconocidos D, el 'lector ADL está compuesto de acciones artificiales de restricción en la estructura fija correspondiente a los desplazamientos D y causadas por otras cargas que no sean las de AD, y la matriz de rigidez S corresponde a los desplazamientos D. En la segunda ecuación el vector AM; está formado por las acciones de extremo de los miembros en la estructura real, AML, es un vector de acciones de extremo de miembro en la estructura fija debidas a las cargas, y AMD es una matriz de acciones de extremo debidas a los valores unitarios de los desplazamientos de nudo. En la tercera ecuación, el vector AR representa las reacciones en los apoyos de la estructura real, ARL es el vector de las cantidades correspondientes en la estructura fija sujeta a las cargas, y ARD es una matriz de reacciones de apoyo debidas a los valores unitarios de los desplazamientos de nudo D. Cuando se resuelven problemas a mano, uno puede generar las matrices en las ecuaciones de arriba en cualquier forma conveniente sin pérdida de eficiencia como se vio en el capítulo anterior. Las ecuaciones son apropiadas para calcular ciertas acciones de extremo y reacciones de un miembro seleccionado en estructuras relativamente simples. Sin embargo, si la estructura por analizar es grande y complicada, no puede ser analizada a mano, porque los cálculos deben ser llevados a mano en una computadora digital. Para este efecto, se divide el proceso en fases, que no son iguales a las del capítulo anterior. La diferencia está en el hecho de que cuando se

3 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS RETICULARES POR EL MÉTODO DE LA RIGIDEZ O DE LOS DESPLAZAMIENTOS

4.1 CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO DE LA RIGIDEZ


71

usa una computadora se desea trabajar con todos los datos pertenecientes a la estructura desde el principio. Las fases a considerar son las siguientes: 4.1.1 Ordenar los datos de la estructura La información que se refiere a la estructura debe ser ordenada y registrada. Esta información incluye:

- Número de miembros - Número de nudos - Número de grado de libertad - Propiedades elásticas del material - La localización de los nudos de la estructura está especificada por medio de coordenadas

geométricas - Propiedades de las reacciones de cada miembro de la estructura (momento de inercia,

Área, Torsión, factor de forma) - Identificar condiciones de restricción de los apoyos

Para registrar esta información podemos utilizar los siguientes formatos:

x y z x y z

DATOS SOBRE NUDOS

Nº Nudos Coordenadas Restricciones

DATOS SOBRE MIEMROS

# DE MIEMBRO

j k AREA (m^2) L (m) INERCIA

COSENOS DIRECTORES EAx/L 12EI/L³ 6EI/L² 4EI/L 2EI/L

Cx Cy

L

XjXkCx −=

LYjYkCy −

=

4.1.2 Generación e inversión de la matriz rigidez La matriz de rigidez (S) es una propiedad inherente de la estructura y está basada únicamente en los datos de la misma. Es independiente del tipo de carga aplicada.


72

La matriz Sj se obtiene sumando las contribuciones de las matrices individuales de rigidez de los miembros. SJ = se llama matriz de rigidez de nudo total

SDD SDR

SRD SRRSJ =

4.1.3. Ordenar los datos de carga Se debe tomar en cuenta: - Determinar las cargas sobre miembros, para cada estado de carga por separado, las mismas que se obtienen indirectamente a partir de las acciones de empotramiento causadas por las cargas en los miembros. - Determinar las cargas de nudos para cada estado de cargas por separado. A = Cargas en nudos AE = Cargas en los miembros 4.1.4 Generación de Vectores Asociados con Cargas Las acciones de empotramiento debidas a cargas en los miembros se pueden convertir en cargas equivalentes de nudo. Estas cargas equivalentes de nudo se pueden sumar a las cargas reales para producir un problema en el que la estructura esta imaginariamente cargada tan solo en sus nudos. AD = ADL + S* D AM = AML + AMD * D AR = ARL + ARD * D 4.1.5 Cálculo de resultados En la fase final del análisis son calculados todos los desplazamientos de nudo, reacciones y acciones de extremo de miembro. . D = Desplazamientos AM = Acciones finales de extremo de barra. AR =Reacciones En esta fase hay también ciertas modificaciones al acercamiento previo. En particular, uno ejecuta el cálculo de las acciones de extremo de miembro, miembro por miembro, en vez de considerar la estructura como un todo. Tales cálculos requieren el uso de las matrices de rigidez de miembro.


73

Un coeficiente de rigidez en cualquier nudo de una estructura está compuesto por la suma de las rigideces de los miembros que concurren a ese nudo. Por eso, al generar la matriz de rigidez de nudo para una estructura, es conveniente sumar las rigideces de miembro en alguna forma sistemática. También es conveniente hacer uso de la matriz de rigidez de miembro al calcular las acciones finales AM en los extremos de un miembro después de haber sido encontrados los desplazamientos del nudo. Ciertas rigideces de miembro ya han sido usadas en problemas anteriores. Por ejemplo, las cantidades 4EI/L y 2EI/L han sido usadas repetidamente en análisis de vigas, y el término EAx/L ha aparecido en análisis de armaduras. En general, se requieren las rigideces de miembro de todos los tipos cuando se analizan estructuras por el método de la rigidez. Por lo tanto, todas las rigideces de un miembro prismático se dan para tenerlas a la mano en las siguientes discusiones.

j

ki

j

ki

Ym

Xm

Zm

j

k

i

Ym

4.2 RIGIDEZ DEL MIEMBRO PRISMÁTICO CON RESPECTO A EJES LOCALES


74

Se supone que el miembro está totalmente empotrado en ambos extremos (j y k). Los ejes Xm, Ym, Zm se llaman ejes locales, y son ortogonales. Están orientados con el miembro. El eje local Xm coincide con el eje longitudinal del miembro (centroidal) y es positivo en el sentido de j a k. El origen de coordenadas está en el extremo j. Los ejes Ym y Zm son ejes principales o sea los planos Xm, Ym y Xm son los planos principales de flexión. En el Análisis de estructuras planas (pórticos, parillas, armaduras) y, así como en el de estructura en el espacio (armaduras, pórticos) se requiere un juego de ejes proyectados con la estructura, llamados ejes globales

XmYm

Zm

Ym

ZmXm

Ys

ZsXs

EJEMPLO 1: Un miembro de pórtico espacial que tiene 6 posibles acciones por nudo, orientada con respecto a ejes locales. L = Longitud Ax = área de la sección transversal Iy = momento de Inercia con respecto al eje Ym Iz = Momento de Inercia con respecto al eje Zm Ix = J = constante de Torsión

X, Y, Z = ejes Globales


75

Xm

Ym

Zm

123

4

5

6

789

10

11

12

EJEMPLO 2: Obtener coeficientes de rigidez de SM: 1. Se induce un desplazamiento unitario correspondiente a “ 1” , manteniendo los demás en cero.

YM

ZM

XM

1

EAx/L -EAx/L

1

2S11S21

S31

S41

S51

S61

S71S81

S91

S101

S111

S121

LEA

SS x== 7111

2. Se induce un desplazamiento unitario correspondiente a “ 2” , manteniendo los demás en cero.


76

θ=TL/JGθ = 1T=JG/L

T

YM

ZM

XM

06EIZ/L2

6EIZ/L2

12EIZ/L212EIZ/L2

ji k

1

S12S22

S32

S42

S52

S62

S72S82

S92

S102

S11

S122

3. Del mismo modo se van induciendo desplazamientos unitarios para cada uno de las diferentes posibles acciones. A continuación se muestra los desplazamientos correspondientes a la acción “4”.

YM

XM

ZM

GIX/L

1

-GIX/L


77

S14

S74

S104

S84

S94

S114

S124

S24

S34

S44S54

S64

4. A continuación se muestra los desplazamientos correspondientes a la acción “5”

1

4EIy/L 2EIy/L

4EIy/L

6EIy/L -6EIy/L

5. A partir de los desplazamientos unitarios, se puede obtener la matriz SJ, que será igual:


78

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

=

<>

0060

2000

000

6000

00120

000

0060

4000

000

6000

00120

000

542.1

2

2

2

2

2

2

LEI

LEI

LGI

LEI

LEI

LEA

LEI

LEI

LGI

LEI

LEI

LEA

SJ

colcolcolcol

z

y

x

y

z

x

z

y

x

y

z

x

taradaer

Cinco columnas de 12 que tiene la matriz Sj de un miembro de pórtico espacial.

SM para un miembro de viga continua

YM

ZM

XM1 3

42j ki

L,E,Ao,I∞


Documents

94036989-APUNTES-ESTRUCTURAS