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Notas de Topologia Geral
Jorge Mujica
Disciplina ministrada no IMECC-UNICAMP
durante o primeiro semestre de 2005
Sumario
1. Teoria de conjuntos................................................................1
2. Espacos metricos....................................................................4
3. Espacos topologicos................................................................7
4. Aderencia e interior de um conjunto......................................9
5. Sistemas de vizinhancas........................................................12
6. Bases para os abertos............................................................16
7. Subespacos............................................................................18
8. Funcoes contnuas.................................................................20
9. Produtos infinitos e o axioma da escolha.............................23
10. O espaco produto...............................................................25
11. O espaco quociente.............................................................29
12. Convergencia de sequencias................................................32
13. Convergencia de redes........................................................34
14. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo............................38
15. Convergencia de filtros.......................................................42
16. Espacos de Hausdorff..........................................................47
17. Espacos regulares................................................................50
18. Espacos normais.................................................................52
19. Espacos completamente regulares.......................................58
20. Primeiro e segundo axioma de enumerabilidade.................63
21. Espacos compactos.............................................................69
22. Espacos localmente compactos...........................................76
23. A compactificacao de Alexandroff......................................79
24. A compactificacao de Stone-Cech.......................................81
25. Espacos metrizaveis............................................................84
26. Espacos conexos..................................................................8727. Componentes conexas.........................................................91
28. Espacos conexos por caminhos............................................93
29. Homotopia...........................................................................96
30. O grupo fundamental..........................................................99
31. O grupo fundamental do crculo unitario..........................103
Bibliografia..............................................................................108
1. Teoria de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, diremos que A e subconjunto de B, e escrever-emos A B, se cada elemento de A pertence a B, ou seja se x A implicax B.
Diremos que A e igual a B, e escreveremos A = B, se A e B tem os mesmoselementos, ou seja se A B e B A.
A uniao, a intersecao, e a diferenca de dois conjuntos A e B e definida por
A B = {x : x A ou x B},
A B = {x : x A e x B},A \B = {x : x A e x / B}.
Se estamos considerando subconjuntos de um conjunto fixo X, entao o conjuntoX \A e chamado de complementar de A em X, e e denotado por Ac.
A uniao e a intersecao de uma famlia de conjuntos Ai (i I) e definida poriI
Ai = {x : x Ai para algum i I},
iI
Ai = {x : x Ai para todo i I}.
Dado um conjunto X, P(X) denota o conjunto formado pelos subconjuntosde X, ou seja
P(X) = {A : A X}. denota o conjunto vazio. N denota o conjunto dos numeros naturais, ou
seja o conjunto dos inteiros positivos. Z denota o conjunto dos inteiros. Qdenota o conjunto dos numeros racionais. R denota o conjunto dos numerosreais. C denota o conjunto dos numeros complexos.
O produto cartesiano XY de dois conjuntos X e Y e o conjunto dos paresordenados (x, y) tais que x X e y Y . O produto cartesiano X1 ... Xnde n conjuntos X1,...,Xn e o conjunto das n-tuplas (x1, ..., xn) tais que xi Xipara i = 1, ..., n. Escreveremos Xn em lugar de X ...X (n vezes).
Uma funcao ou aplicacao f de X em Y , denotada por f : X Y , euma regra que associa a cada elemento x X um unico elemento f(x) Y . O conjunto X e chamado de domnio de f . O conjunto Y e chamado decontradomnio de f .
f e dita injetiva se f(x1) = f(x2) implica x1 = x2. f e dita sobrejetiva separa cada y Y existe x X tal que f(x) = y. f e dita bijetiva se e injetiva esobrejetiva. Se f : X Y e bijetiva, a funcao inversa f1 : Y X e definidapor f1(y) = x se f(x) = y.
O grafico de f e o conjunto
Gf = {(x, y) X Y : y = f(x)}.
1
Dados A X e B Y , a imagem de A e a imagem inversa de B sao osconjuntos
f(A) = {y Y : y = f(x) para algum x A},f1(B) = {x X : f(x) B}.
Dadas duas aplicacoes f : X Y e g : Y Z, a aplicacao compostag f : X Z e definida por g f(x) = g(f(x)) para todo x X.
Uma relacao R num conjunto X e um subconjunto R de X X. Comfrequencia escreveremos xRy se (x, y) R.
Uma relacao R em X e dita reflexiva se xRx para todo x X. R e ditasimetrica se xRy implica yRx. R e dita transitiva se xRy e yRz implicamxRz. Diremos que R e uma relacao de equivalencia se R e reflexiva, simetricae transitiva.
Exerccios
1.A. Se Ai X para cada i I, prove las leis de De Morgan:
(a) X \iI
Ai =iI
(X \Ai).
(b) X \iI
Ai =iI
(X \Ai).
1.B. Seja f : X Y uma aplicacao. Dados B Y e Bi Y para cadai I, prove que:
(a) f1(iI
Bi) =iI
f1(Bi).
(b) f1(iI
Bi) =iI
f1(Bi).
(c) f1(Y \B) = X \ f1(B).
1.C. Seja f : X Y uma aplicacao. Dados A X e Ai X para cadai I, prove que:
(a) f(iI
Ai) =iI
f(Ai).
(b) f(iI
Ai) iI
f(Ai), com igualdade se f for injetiva.
(c) f(X \A) Y \ f(A) se f for injetiva.(c) f(X \A) Y \ f(A) se f for sobrejetiva.
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1.D. (a) De exemplo de uma aplicacao f : X Y e conjuntos A1, A2 Xtais que f(A1 A2) 6= f(A1) f(A2).
(b) De exemplo de uma aplicacao f : X Y e um conjunto A X tal quef(X \A) 6= Y \ f(A).
1.E. Seja f : X Y uma aplicacao. Dados A X e B Y , prove que:
(a) A f1(f(A)), com igualdade se f for injetiva.
(b) f(f1(B)) B, com igualdade se f for sobrejetiva.
1.F. (a) De exemplo de uma aplicacao f : X Y e um conjunto A X talque A 6= f1(f(A)).
(b) De exemplo de uma aplicacao f : X Y e um conjunto B Y tal quef(f1(B)) 6= B.
1.G. Sejam f : X Y e g : Y X aplicacoes tais que g f(x) = x paratodo x X. Prove que f e injetiva e g e sobrejetiva.
3
2. Espacos metricos
2.1. Definicao. Seja X um conjunto. Uma funcao d : X X R echamada de metrica se verifica as seguintes propriedades para x, y, z X:
(a) d(x, y) 0;(b) d(x, y) = 0 se e so se x = y;(c) d(x, y) = d(y, x);(d) d(x, z) d(x, y) + d(y, z);A desigualdade (d) e chamada de desigualdade triangular. O par (X, d) e
chamado de espaco metrico. Com frequencia falaremos do espaco metrico X emlugar do espaco metrico (X, d).
2.2. Exemplos.(a) X = R, d(x, y) = |x y|.
(b) X = Rn, d(x, y) =n
j=1(xj yj)2. Esta e a metrica euclideana.
(c) X = Rn, d(x, y) =n
j=1 |xj yj |.(d) X = Rn, d(x, y) = max{|x1 y1|, ..., |xn yn|}.Em (b),(c) e (d), x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn).
(e) Se X e um conjunto qualquer, entao a metrica d : X X R definidapor d(x, y) = 1 se x 6= y e d(x, y) = 0 se x = y, e chamada de metrica discreta.
(f) Seja (X, d) um espaco metrico, e seja S X. Entao S e um espacometrico com a metrica induzida dS , ou seja dS(x, y) = d(x, y) para todo x, y S.
2.3. Definicao. Seja X um espaco metrico. Dados a X e r > 0,consideremos os conjuntos
B(a; r) = {x X : d(x, a) < r},B[a; r] = {x X : d(x, a r}.
O conjunto B(a; r) e chamado de bola aberta de centro a e raio r. O conjuntoB[a; r] e chamado de bola fechada de centro a e raio r.
2.4. Definicao. Seja X um espaco metrico. Um conjunto U X e ditoaberto em X se para cada a U existe r > 0 tal que B(a; r) U . Um conjuntoF X e dito fechado em X se X \ F e aberto.
2.5. Exemplos. (a) Cada bola aberta e um subconjunto aberto.(b) Cada bola fechada e um subconjunto fechado.
Demonstracao. (a) Seja x B(a; r). Usando a desigualdade triangular efacil verificar que
B(x; r d(x, a)) B(a; r),e portanto B(a; r) e aberto.
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(b) Para provar que B[a; r] e fechado, basta provar que X \B[a; r] e aberto.Seja x X \B[a; r]. Usando a desigualdade triangular nao e dificil provar, porabsurdo, que
B(x; d(x, a) r) X \B[a; r],e portanto X \B[a; r] e aberto.
2.6. Proposicao. Seja X um espaco metrico. Entao:(a) e X sao abertos.(b) A uniao de uma famlia arbitraria de abertos e um aberto.(c) A intersecao de uma famlia finita de abertos e um aberto.
Demonstracao. (a) e claro.(b) Seja Ui aberto em X para cada i I, e seja a
iI Ui. Entao a Ui0
para algum i0 I. Como Ui0 e aberto, existe r > 0 tal que B(a; r) Ui0 . LogoB(a; r) iI Ui e iI Ui e aberto.
(c) Seja Ui aberto em X para cada i I, sendo I finito. Seja a iI Ui, ou
seja a Ui para cada i I. Para cada i I existe ri > 0 tal que B(a; ri) Ui.Seja r = miniIri. Segue que B(a; r)
iI Ui e
iI Ui e aberto.
2.7. Corolario. Seja X um espaco metrico. Entao:(a) X e sao fechados.(b) A intersecao de uma famlia arbitraria de fechados e um fechado.(c) A uniao de uma famlia finita de fechados e um fechado.
Demonstracao. Basta aplicar a Proposicao 2.6 e as leis de De Morgan.
2.8. Definicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos metrico. Diremosque f e contnua num ponto a X se dado > 0, podemos achar > 0 tal que
dX(x, a) < implica dY (f(x), f(a)) < ,
ou sejaf(BX(a; )) BY (f(a); ).
Diremos que f e contnua se for contnua em cada ponto de X. Denotaremospor C(X;Y ) o conjunto de todas as funcoes contnuas f : X Y . Se Y = R,escreveremos C(X) em lugar de C(X;R).
2.9. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaof e contnua num ponto a X se e so se, para cada aberto V de Y contendof(a), existe um aberto U de X contendo a tal que f(U) V .
Demonstracao. (): Seja V um aberto de Y contendo f(a). Seja > 0tal que BY (f(a); ) V . Por hipotese existe > 0 tal que f(BX(a; )) BY (f(a); ). Logo basta tomar U = BX(a; ).
(): Dado > 0, seja V = BY (f(a); ). Por hipotese existe um aberto Ude X contendo a tal que f(U) V . Seja > 0 tal que BX(a; ) U . Segueque f(BX(a; )) BY (f(a); ).
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2.10. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaoas seguintes condicoes sao equivalentes:
(a) f e contnua.(b) f1(V ) e aberto em X para cada aberto V de Y .(c) f1(B) e fechado em X para cada fechado B de Y .
Demonstracao. (a) (b): Seja V um aberto de Y . Pela Proposicao 2.9,para cada a f1(V ), existe um aberto Ua de X contendo a tal que f(Ua) V ,ou seja Ua f1(V ). Segue que
f1(V ) ={Ua : a f1(V )}
e aberto em X.(b) (a): Basta provar que f e contnua em cada a X. Seja a X, e
seja V um aberto de Y contendo f(a). Por hipotese f1(V ) e um aberto deX contendo a, e f(f1(V )) V pelo Exerccio 1.G. Pela Proposicao 2.9 f econtnua em a.
A equivalencia (b) (c) e consequencia direta do Exerccio 1.B(c).
Exerccios
2.A. Prove que as seguintes funcoes sao metricas em C[a, b]:(a) d(f, g) = sup{|f(x) g(x)| : a x b}.(b) d(f, g) =
ba|f(x) g(x)|dx.
2.B. Seja X um espaco metrico.(a) Prove a desigualdade
|d(x, a) d(y, a)| d(x, y) para todo x, y, a X.(b) Prove que, para cada a X a funcao x X d(x, a) R e contnua.(c) Prove que a esfera
S(a; r) = {x X : d(x, a) = r}e um subconjunto fechado.
2.C. Seja X um espaco metrico, e seja S X, com a metrica induzida.(a) Dados a S e r > 0, prove que BS(a; r) = S BX(a; r).(b) Prove que um conjunto U S e aberto em S se e so se existe um aberto
V de X tal que U = S V .2.D. Seja X = R, e seja S = Z, com a metrica induzida. Prove que cada
subconjunto de S e aberto em S.
2.E. (a) De exemplo de uma sequencia de abertos de R cuja intersecao naoseja um aberto.
(b) De exemplo de uma sequencia de fechados de R cuja uniao nao seja umfechado.
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3. Espacos topologicos
3.1. Definicao. Seja X um conjunto. Chamaremos de topologia em Xuma famlia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:
(a) e X pertencem a .(b) A uniao de uma famlia arbitraria de membros de pertence a .(c) A intersecao de uma famlia finita de membros de pertence a .Os membros de sao chamados de abertos. O par (X, ) e chamado de
espaco topologico. Com frequencia diremos que X e um espaco topologico.
3.2. Exemplos.(a) Se (X, d) e um espaco metrico, entao segue da Proposicao 2.6 que os
abertos de (X, d) formam uma topologia d em X.
(b) Se X = Rn, entao a topologia d dada pela metrica euclideana
d(x, y) =
nj=1
(xj yj)2
e chamada de topologia usual.
(c) Seja X um conjunto qualquer, e seja a famlia de todos os subconjuntosde X. Claramente e uma topologia em X, chamada de topologia discreta.
(d) Seja X um conjunto qualquer, e seja = {, X}. Claramente e umatopologia em X, chamada de topologia trivial.
3.3. Definicao. Diremos que um espaco topologico (X, ) e metrizavel seexistir uma metrica d em X tal que = d.
Notemos que a topologia discreta e sempre metrizavel, e vem dada pelametrica discreta.
3.4. Definicao. Dadas duas topologias 1 e 2 num conjunto X, diremosque 1 e mais fraca que 2, ou que 2 e mais forte que 1, ou que 2 e mais finaque 1 se 1 2.
A topologia trivial em X e mais fraca que qualquer outra topologia em X.A topologia discreta em X e mais fina que qualquer outra topologia em X.
3.5. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que um conjuntoF X e fechado se X \ F e aberto.
3.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao:(a) X e sao fechados.(b) A intersecao de uma famlia arbitraria de fechados e um fechado.(c) A uniao de uma famlia finita de fechados e um fechado.
Demonstracao. Basta aplicar as leis de de Morgan.
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Reciprocamente temos:
3.7. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja F uma famlia de subcon-juntos de X com as seguintes propriedades:
(a) X e pertencem a F .(b) A intersecao de uma famlia arbitraria de membros de F pertence a F .(c) A uniao de uma famlia finita de membros de F pertence a F .Seja = {X \ F : F F}. Entao e uma topologia em X, e F coincide
com a famlia dos fechados de (X, ).
Demonstracao. Basta aplicar as leis de De Morgan.
Exerccios
3.A. Prove que as metricas dos Exemplos 2.2(b), 2.2(c) e 2.2(d) definem amesma topologia em Rn.
3.B. Seja X = {a, b}, com a 6= b, e seja
= {, {a}, X}.
Prove que e uma topologia em X. O espaco (X, ) e chamado de espaco deSierpinski.
3.C. Seja X um conjunto, e seja
F = {X} {F X : F e finito}.
Prove que F e a famlia de fechados de uma topologia em X, conhecida comotopologia cofinita. Voce reconhece esta topologia quando X e finito?
3.D. Seja X um conjunto, e seja
F = {X} {F X : F e enumeravel}.
Prove que F e a famlia de fechados de uma topologia em X, conhecida comotopologia coenumeravel. Voce reconhece esta topologia quando X e enume-ravel?
3.E. Seja X um conjunto, seja A X, e seja
A = {} {U : A U X}.
(a) Prove que A e uma topologia em X.(b) Descreva os fechados de (X, A).(c) Voce reconhece A quando A = e quando A = X?
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4. Aderencia e interior de um conjunto
4.1. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja A X. Chamaremosde aderencia de A o conjunto
A ={F X : F e fechado e F A}.
Claramente A e o menor subconjunto fechado de X que contem A.
4.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao a aplicacao A Atem as seguintes propriedades:
(a) A A.(b) A = A.(c) = .(d) A B = A B.(e) A e fechado se e so se A = A.
Demonstracao. (a) e obvio.
(b) Por (a) A A. E como A e um fechado contendo A, segue que A A.(c) Como e um fechado contendo , segue que .(d) Antes de provar (d) notemos que
A B implica A B.
Como A A B e B A B, segue que A A B e B A B. LogoA B A B. Por outro lado A B e um fechado contendo A B. LogoA B A B.
(e) e obvio.
Reciprocamente temos:
4.3. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja A P(X) A P(X)uma aplicacao com as seguintes propriedades:
(a) A A.(b) A = A.(c) = .(d) A B = A B.Seja F = {A X : A = A}. Entao F e a famlia de fechados de uma
topologia em X. A e a aderencia de A para cada A X.Demonstracao. Utilizaremos a Proposicao 3.7. E claro que X F . E
segue de (c) que F .Segue de (d) que a uniao de dois membros de F pertence a F .
9
Antes de provar que qualquer intersecao de membros de F pertence a F ,provemos que
() A B implica A B.De fato usando (d) vemos que:
A B B = A (B \A) B = A (B \A) B A.
Seja Ai F para cada i I. Entao
iI Ai Ai, e portanto
iI Ai Ai = Ai para cada i I. Logo
iI Ai
iI Ai, e segue que
iI Ai F .
Assim F e a famlia de fechados para uma topologia em X. Para provarque A e a aderencia de A com relacao a , fixemos A X. Segue de (*) que
A F = F para cada F F tal que F A,
e portantoA
{F F : F A}.
Por outro lado segue de (a) e (b) que A F e A A. Logo{F F : F A} A.
Isto prova que A e a aderencia de A.
4.4. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja A X. Chamaremosde interior de A o conjunto
A ={U X : U e aberto e U A}.
Claramente A e o maior subconjunto aberto de X que esta contido em A. Asvezes escreveremos
A em lugar de A.
4.5. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja A X. Entao:
X \A = (X \A) e X \A = (X \A).
Demonstracao. Basta aplicar as leis de De Morgan.
Deixamos como exerccio as demonstracoes das duas proposicoes seguintes.Elas podem ser demonstradas diretamente, ou podem ser deduzidas das Proposicoes4.2 e 4.3 utilizando a Proposicao 4.5 e as leis de De Morgan.
4.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao a aplicacao A Atem as seguintes propriedades:
(a) A A.(b) A = A.(c) X = X.(d) (A B) = A B.
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(e) A e aberto se e so se A = A.
4.7. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja A P(X) A P(X)uma aplicacao com as seguintes propriedades:
(a) A A.(b) A = A.(c) X = X.(d) (A B) = A B.Seja = {A X : A = A}. Entao e uma topologia em X. A e o
interior de A para cada A X.
Exerccios
4.A. Seja X um espaco topologico, com a topologia cofinita do Exerccio3.C.
(a) Descreva A para cada A X.(b) Descreva A para cada A X.4.B. Seja X um conjunto, seja A X, e seja A a topologia do Exerccio
3.E.(a) Descreva B para cada B X.(b) Descreva B para cada B X.4.C. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que (A B) A B para todo A,B X.(b) De exemplo de conjuntos A,B R tais que (A B) 6= A B.4.D. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que (A B) A B para todo A,B X.(b) De exemplo de conjuntos A,B R tais que (A B) 6= A B.4.E. Dado A X, chamaremos de fronteira de A o conjunto
A = A (X \A).
(a) Prove que A = A A.(b) Prove que A = A \ A.4.F. Para cada A N seja
A = {kn : n A, k N}.
(a) Prove que a aplicacao A A tem as propriedades da Proposicao 4.3, edefine portanto uma topologia em N.
(b) Descreva os fechados de (N, ).(c) Descreva os abertos de (N, ).
11
5. Sistemas de vizinhancas
5.1. Definicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja x X.Diremos que um conjunto U X e uma vizinhanca de x se x U. Ux denotao conjunto de todas as vizinhancas de x.
5.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio. Entao os con-juntos Ux tem as seguintes propriedades:
(a) x U para cada U Ux.(b) Se U, V Ux, entao U V Ux.(c) Dado U Ux, existe V Ux, V U , tal que U Uy para cada y V .(d) Se U Ux e U V X, entao V Ux.(e) Um conjunto U X e aberto se e so se U Ux para cada x U .Demonstracao. (a) Se U Ux, entao x U U .(b) Se U, V Ux, entao x U V = (U V ). Logo U V Ux.(c) Dado U Ux, seja V = U. Se y V = U, entao U Uy.(d) Se U Ux e U V X, entao x U V . Logo V Ux.(e) Se U e aberto, entao U = U. Segue que U Ux para cada x U .
Reciprocamente suponhamos que U Ux para cada x U . Segue que U = U.Logo U e aberto.
Reciprocamente temos:
5.3. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Para cada x X sejaUx uma famlia nao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:
(a) x U para cada U Ux.(b) Se U, V Ux, entao U V Ux.(c) Dado U Ux, existe V Ux, V U , tal que U Uy para cada y V .(d) Se U Ux e U V X, entao V Ux.Seja
= {U X : U Ux para cada x U}.Entao e uma topologia em X, e Ux e o sistema de vizinhancas de x em (X, )para cada x X.
Demonstracao. Primeiro provaremos que e uma topologia em X.E claro que . Para provar que X , seja x X, e seja U Ux. Como
U X, segue de (d) que X Ux. Logo X .Seja Ui para cada i I, e seja x
iI Ui. Entao x Ui para algum
i I. Como Ui , temos que Ui Ux. Como Ui
iI Ui, segue de (d) queiI Ui Ux. Logo
iI Ui .
Sejam U, V , e seja x U V . Entao U, V Ux, e segue de (b) queU V Ux. Logo U V .
12
A seguir provaremos que cada vizinhanca de x pertence a Ux. Seja U umavizinhanca de x. Entao x U. Como U , segue que U Ux. ComoU U , segue de (d) que U Ux.
Finalmente provaremos que cada U Ux e uma vizinhanca de x. SejaU Ux, e seja V = {y U : U Uy}. Segue de (a) que x U , e como U Ux,vemos que x V .
A seguir veremos que V . Dado y V , temos que U Uy. Por (c) existeW Uy, W U , tal que U Uz para todo z W . Segue entao de (a) queW V . Segue de (d) que V Uy. Logo V .
Como x V e V , segue que x U. Logo U e uma vizinhanca de x.5.4. Definicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja x X.
Diremos que uma famlia Bx Ux e uma base de vizinhancas de x se cadaU Ux contem algum V Bx.
5.5. Exemplos.(a) Seja X um espaco topologico, seja x X, e seja
Bx = {U Ux : U e aberto}.Entao Bx e uma base de vizinhancas de x.
(b) Seja X um espaco metrico, seja x X, e sejaBx = {B(x; r) : r > 0}.
Ent ao Bx e uma base de vizinhancas de x.(c) Seja X um espaco metrico, seja x X, e seja
Bx = {B[x; r] : r > 0}.Entao Bx e uma base de vizinhancas de x.
5.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja Bx umabase de vizinhancas de x, para cada x X. Entao:
(a) x U para cada U Bx.(b) Dados U, V Bx, existe W Bx tal que W U V .(c) Dado U Bx, existe V Bx, V U , tal que para cada y V existe
W By tal que W U .(d) Um conjunto U X e aberto se e so se para cada x U existe V Bx
tal que V U .Demonstracao. As afirmac oes (a), (b), (c) e (d) seguem diretamente das
afirmacoes (a), (b), (c) e (e) na Proposicao 5.2.
Reciprocamente temos:
5.7. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Para cada x X sejaBx uma famlia nao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:
13
(a) x U para cada U Bx.(b) Dados U, V Bx, existe W Bx tal que W U V .(c) Dado U Bx, existe V Bx, V U , tal que para cada y V existe
W By tal que W U .Seja
= {U X : para cada x U existe V Bx tal que V U}.
Entao e uma topologia em X e Bx e uma base de vizinhancas de x em(X, ) para cada x X.
Demonstracao. Para cada x X seja
Ux = {U X : U V para algum V Bx}.
E claro que as famlias Ux verificam as propriedades (a), (b), (c) e (d) daProposicao 5.3, e que
= {U X : U Ux para cada x U}.
Pela Proposicao 5.3 e uma topologia em X e Ux e o sistema de vizinhancasde x em (X, ) para cada X X. Segue que Bx e uma base de vizinhancas dex em (X, ) para cada x X.
A proposicao seguinte e muito util. Ela caracteriza abertos, fechados, aderenciade um conjunto e interior de um conjunto em termos de bases de vizinhancas.
5.8. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, seja A X, eseja Bx uma base de vizinhancas de x, para cada x X.Entao:
(a) A e aberto se e so se para cada x A existe V Bx tal que V A.(b) A e fechado se e so se para cada x / A, existe V Bx tal que V A = .(c) A = {x X : V A 6= para cada V Bx}.(d) A = {x X : V A para algum V Bx}.Demonstraccao. Ja vimos (a) na Proposicao 5.6(d). (b) e consequencia
imediata de (a).
(c) Lembremos que
A ={F X : F fechado, F A}.
Se x / A, entao por (b) existe V Bx tal que V A = . Reciprocamentesuponhamos que exista V Bx tal que V A = . Entao x V e A X \V X \ V . Como X \ V e fechado, segue que A X \ V . Logo x / A.
(d) Pela Proposicao 4.5, X \ A = (X \A). Se B denota o conjunto dadireita em (d), entao usando (c) segue que
x / A x (X \A) V (X \A) 6= para cada V Bx
14
V 6 A para cada V Bx x / B.
5.9. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que X satisfazo primeiro axioma de enumerabilidade se cada x X admite uma base devizinhancas Bx que e enumeravel.
5.10. Exemplo. Cada espaco metrico satisfaz o primeiro axioma de enu-merabilidade.
Exerccios
5.A. Seja X um espaco topologico, seja A X, e seja Bx uma base devizinhancas de x para cada x X. Prove que
A = {x X : V A 6= e V (X \A) 6= para cada V Bx}.
5.B. Dados f C[a, b] e r > 0, seja
U(f, r) = {g C[a, b] : |g(x) f(x) < r para todo x [a, b]}.
Prove que os conjuntos U(f, r), com r > 0 formam uma base de vizinhancas def no espaco metrico C[a, b] do Exerccio 2.A(a).
5.C. Dados f C[a, b], A [a, b], A finito, e r > 0, seja
V (f,A, r) = {g C[a, b] : |g(x) f(x)| < r para todo x A}.
Prove que os conjuntos V (f,A, r), com A [a, b], A finito, e r > 0, formam umabase de vizinhancas de f para uma certa topologia em C[a, b]. Esta topologia emais fraca que a topologia do exerccio anterior.
5.D. Seja X um espaco topologico e seja A X. Diremos que um pontox X e um ponto de acumulacao de A se dado U Ux existe a U A,com a 6= x. A denota o conjunto dos pontos de acumulacao de A. Prove queA = A A.
5.E. De exemplo de um conjunto A R tal que os seguintes conjuntossejam todos diferentes entre si:
A, A,A,
A,
A,
A,
A .
15
6. Bases para os abertos
6.1. Definicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Diremos que umafamlia B e uma base para se dado U existe C B tal que
U ={V : V C}.
6.2. Exemplos.(a) Os intervalos (a, b), com a < b em R, formam uma base para a topologia
usual em R.
(b) Se (X, d) e um espaco metrico, entao as bolas B(a; r), com a X er > 0, formam uma base para a topologia d.
(c) Se (X, ) e um espaco topologico discreto, entao B = {{x} : x X} euma base para .
6.3. Proposicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Uma famlia B e uma base para se e so se, dados U e x U , existe V B tal quex V U .
Esta proposicao e consequencia imediata da definicao.
6.4. Proposicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Uma famlia B euma base para se e so se, para cada x X, a famlia
Bx = {V B : x V }e uma base de vizinhancas de x.
Esta proposicao e consequencia facil da proposicao anterior.
6.5. Proposicao. Seja (X, ) um espaco topologico, e seja B uma basepara . Entao:
(a) X ={V : V B}.
(b) Dados x X e U, V B tais que x U V , existe W B tal quex W U V .
Demonstracao. (a) e consequencia imediata da definicao de base. (b) econsequencia da Proposicao 6.4, junto com a Proposicao 5.6.
Reciprocamente temos:
6.6. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja B uma famlia de subcon-juntos de X com as seguintes propriedades:
(a) X ={V : V B}.
(b) Dados x X e U, V B tais que x U V , existe W B tal quex W U V .
Seja a famlia de todos os conjuntos da forma
U ={V : V C}, com C B.
16
Entao e uma topologia em X, e B e uma base para .Demonstracao. E claro que = {V : V } . E X por (a).Seja Ui para cada i I, ou seja
Ui ={V : V Ci}, com Ci B
para cada i I. Entao iI
Ui ={V : V
iI
Ci} .
Finalmente sejam U1, U2 , ou seja
Ui ={V1 : V1 C1}, U2 =
{V2 : V2 C2},
com C1, C2 B. Entao
U1 U2 ={V1 V2 : V1 C1, V2 C2}.
Segue de (b) que cada intersecao V1 V2 e uniao de membros de B. Segue queU1 U2 .
Temos provado qur e uma topologia em X. E claro que B e uma base para .
6.7. Definicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Diremos que (X, )satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se existe uma base B para quee enumeravel.
6.8. Exemplo. R satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade: os inter-valos (a, b) com a < b racionais, formam uma base para os abertos.
Exerccios
6.A. Prove que o segundo axioma de enumerabilidade implica o primeiro.
6.B. Prove que os intervalos (a,), com a R, formam uma base parauma topologia 1 em R, mais fraca que a topologia usual. Prove que (R, 1)satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.
6.C. Prove que os intervalos [a, b), com a < b em R, formam uma base parauma topologia 2 em R, mais fina que a topologia usual. (R, 2) e conhecidocomo a reta de Sorgenfrey.
6.D. Seja (X, ) um espaco topologico. Diremos que uma famlia C euma subbase para se as intersecoes finitas de membros de C formam uma basepara . Prove que os intervalos (a,), com a R, junto com os intervalos(, b), com b R, formam uma subbase para a topologia usual em R.
17
7. Subespacos
7.1. Definicao. Seja (X, ) um espaco topologico, e seja S X. E claroque a famlia
S = {S U : U }e uma topologia em S, que chamaremos de topologia induzida. Diremos que(S, S) e um subespaco de (X, ), ou simplesmente que S e um subespaco de X.
7.2. Exemplos.(a) Z, com a topologia induzida por R, e um espaco topologico discreto.
(b) R e um subespaco de R2.
7.3. Proposicao. Seja S um subespaco de um espaco topologico X. Entao:(a) U e aberto em S se e so se U = S U1, sendo U1 aberto em X.(b) F e fechado em S se e so se F = S F1, sendo F1 fechado em X.(c) Se A S, entao AS = S AX .(d) Se x S, entao U e vizinhanca de x em S se e so se U = S U1, sendo
U1 uma vizinhanca de x em X.
Demonstracao. (a) e a propria definicao.
(b) Usando (a) vemos que: F e fechado em S S \ F e aberto em S S \ F = S U1, com U1 aberto em X F = S (X \ U1), com U1 aberto emX F = S F1, com F1 fechado em X.
(c) Usando (b) vemos que:
AS={F : F fechado em S, F A}
={S F1 : F1 fechado em X, F1 A} = S AX .
(d) Seja U1 uma vizinhanca de x em X. Entao existe um aberto V1 em Xtal que x V1 U1. Logo x S V1 S U1. Como S V1 e aberto em S,segue que S U1 e uma vizinhanca de x em S.
Reciprocamente seja U uma vizinhanca de x em S. Entao existe um abertoV de S tal que x V U . Entao V = S V1, com V1 aberto em X. Seja
U1 = V1 (U \ V ).
EntaoS U1 = V (U \ V ) = U.
Como x V1 U1, segue que U1 e uma vizinhanca de x em X.
18
Exerccios
7.A. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X.(a) Se X tem a topologia discreta, prove que S tambem tem a topologia
discreta.(b) SeX tem a topologia trivial, prove que S tambem tem a topologia trivial.
7.B. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X. Se X emetrizavel, prove que S e metrizavel tambem.
Sugestao: Use o Exerccio 2.C.
7.C. Seja X um espaco topologico, seja S um subespaco de X, e seja x S.(a) Se Bx e uma base de vizinhancas de x em X, prove que a famlia {SU :
U Bx} e uma base de vizinhancas de x em S.(b) Se X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz
o mesmo axioma.
7.D. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X.(a) Se B e uma base para a topologia de X, prove que a famlia {S U :
U B} e uma base para a topologia de S.(b) Se X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz
o mesmo axioma.
19
8. Funcoes contnuas
8.1. Definicao. Seja f : X Y , sendoX e Y espacos topologicos. Diremosque f e contnua num ponto a X se para cada aberto V de Y contendo f(a),existe um aberto U de X contendo a tal que f(U) V . Diremos que f econtnua se for contnua em cada pontos de X. Denotaremos por C(X;Y ) oconjunto de todas as funcoes contnuas f : X Y . Se Y = R, escreveremosC(X) em lugar de C(X;R).
8.2. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos topologicos.Seja Ba uma base de vizinhancas de um ponto a X, e seja Bf(a) uma base devizinhancas de f(a). Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:
(a) f e contnua em a.(b) Para cada V Uf(a), existe U Ua tal que f(U) V .(c) Para cada V Bf(a), existe U Ba tal que f(U) V .Demonstracao. (a) (b): Seja V Uf(a). Seja V1 um aberto de Y
contendo f(a) tal que V1 V . Por (a) existe um aberto U1 de X contendo atal que f(U1) V1 V . E claro que U1 Ua.
(b) (c): Seja V Bf(a). Por (b) existe U Ua tal que f(U) V . SejaU1 Ba tal que U1 U . Entao f(U1) f(U) V .
(c) (a): Seja V um aberto de Y contendo f(a). Seja V1 Bf(a) tal queV1 V . Por (c) existe U1 Ba tal que f(U1) V1. Seja U um aberto de Xcontendo a tal que U U1. Entao f(U) f(U1) V1 V .
8.3. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos topologicos.Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:
(a) f e contnua.(b) f1(V ) e aberto em X para cada aberto V de Y .(c) f1(B) e fechado em X para cada fechado B de Y .
Demonstracao. Basta repetir a demonstracao da Proposicao 2.10.
8.4. Proposicao. Sejam f : X Y e g : Y Z, sendo X, Y e Z espacostopologicos. Se f e contnua num ponto a X e g e contnua em f(a), entaog f e contnua em a.
Demonstracao. Utilizaremos a Proposicao 8.2. Seja W Ugf(a). Comog e contnua em f(a), existe V Uf(a) tal que g(V ) W . Como f e contnuaem a, existe U Ua tal que f(U) V . Segue que g(f(U)) g(V ) W .
8.5. Corolario. Sejam f : X Y e g : Y Z, sendo X, Y e Z espacostopologicos. Se f e g sao contnuas, entao g f e contnua tambem.
8.6. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja S um subespacode X. Se f : X Y e contnua, entao a restricao f |S : S Y e contnuatambem.
20
Demonstracao. Seja V um aberto de Y . Como f e contnua, f1(V ) eaberto em X. Segue que (f |S)1(V ) = S f1(V ) e aberto em S.
8.7. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos. Suponhamos que X =S1 S2, onde S1 e S2 sao ambos abertos ou ambos fechados. Seja f : X Yuma funcao tal que f |S1 : S1 Y e f |S2 : S2 Y sao contnuas. Entao f econtnua.
Demonstracao. Suponhamos S1 e S2 abertos. Seja V um aberto de Y .Como f |S1 e contnua, (f |S1)1(V ) = S1 f1(V ) e aberto em S1. Como f |S2e contnua, (f |S2)1(V ) = S2 f1(V ) e aberto em S2. Segue que
S1 f1(V ) = S1 U1 e S2 f1(V ) = S2(V ) U2,sendo U1 e U2 abertos em X. Como X = S1 S2, segue que
f1(V ) = (S1 f1(V )) (S2 f1(V )) = (S1 U1) (S2 U2)e aberto em X.
Deixamos como exerccio a demonstracao do caso em que S1 e S2 sao fecha-dos.
8.8. Definicao. Sejam X e Y espacos topologicos.(a) Diremos que f : X Y e um homeomorfismo se f e bijetiva e f e f1
sao contnuas.(b) Diremos que f : X Y e um mergulho se f e um homeomorfismo entre
X e o subespaco f(X) de Y .(c) Diremos que f : X Y e aberta se f(U) e aberto em Y para cada aberto
U de X.(d) Diremos que f : X Y e fechada se f(A) e fechado em Y para cada
fechado A de X.
O resultado seguinte e consequencia facil das definicoes e resultados anteri-ores.
8.9. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X Yuma funcao bijetiva. Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:
(a) f e um homeomorfismo.(b) f e contnua e aberta.(c) f e contnua e fechada.
Exerccios
X e Y denotam espacos topologicos.
8.A. Seja B uma base para a topologia de Y . Prove que uma funcao f :X Y e contnua se e so se f1(V ) e aberto em X para cada V B.
8.B. Prove que uma funcao f : X Y e contnua se e so se f(A) f(A)para cada A X.
21
8.C. Prove que cada funcao constante f : X Y e contnua.8.D. Prove que se f : X R e g : X R sao contnuas num ponto a X,
entao as funcoes f + g e fg sao tambem contnuas em a.
8.E. Dado A X, a funcao caracterstica A : X R e definida porA(x) = 1 se x A e A(x) = 0 se x / A. Prove que a funcao A e contnua see so se A e aberto e fechado.
8.F. Seja X = N, com a topologia do Exerccio 4.F. Prove que uma funcaof : X X e contnua se e so se, cada vez que m divide n, tem-se que f(m)divide f(n).
8.G. Diremos que um conjunto D X e denso em X se D = X. Sejaf : X R uma funcao contnua tal que f(x) = 0 para todo x num subconjuntodenso D X. Prove que f(x) = 0 para todo x X.
8.H. Prove que os seguintes pares de intervalos sao homeomorfos entre si:(a) (a, b) e (0, 1).(b) (1,) e (0, 1).(c) (pi/2, pi/2) e (,).Use (a), (b) e (c) para provar que todos os intervalos abertos de R sao
homeomorfos entre si.
8.I. Seja f : X R. Diremos que f e semicontnua inferiormente sef1(a,) e aberto em X para cada a R. Diremos que f e semicontnuasuperiormente se f1(, b) e aberto em X para cada b R. Prove que f econtnua se e so se f e semicontnua inferiormente e semicontnua superiormente.
8.J. Seja A X.(a) Prove que A : X R e semicontnua inferiormente se e so se A e
aberto.(b) Prove que A : X R e semicontnua superiormente se e so se A e
fechado.
22
9. Produtos infinitos e o axioma da escolha
9.1. Definicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de conjuntos.Chamaremos de produto cartesiano da famlia {Xi : i I} o conjunto
iIXi = {x : I
iI
Xi : x(i) Xi para cada i I}.
Escreveremos xi em lugar de x(i) para cada x
iI e i I. Para cada j Ia projecao pij e definida por
pij : x iI
Xi xj Xj .
Cada x iI Xi e usualmente denotado por (xi)iI .Mesmo que cada Xi seja nao vazio, nao e claro que o produto
iI Xi seja
nao vazio. Isto e consequencia do axioma seguinte.
9.2. Axioma da escolha. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia deconjuntos disjuntos nao vazios. Entao existe uma funcao f : I iI Xi talque f(i) Xi para cada i I. A funcao f e chamada de funcao escolha.
9.3. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de conjuntosnao vazios. Entao o produto cartesiano
iI Xi e nao vazio.
Demonstracao. Se os conjuntos Xi fossem disjuntos, a conclusao seriaconsequencia imediata do axioma da escolha. No caso geral definamos Yi =Xi {i} para cada i I. E claro que {Yi : i I} e uma famlia nao vazia deconjuntos disjuntos nao vazios. Pelo axioma da escolha existe uma funcao f :I iI Yi tal que f(i) Yi para cada i I. Podemos escrever f(i) = (xi, i),com xi Xi para cada i I. Se definimos x(i) = xi para cada i I, entaox iI Xi.
Temos provado que o axioma da escolha implica a Proposicao 9.3. Mas eclaro que a Proposicao 9.3 implica o axioma da escolha. Assim o axioma daescolha e a Proposicao 9.3 sao equivalentes.
Vamos ilustrar o uso do axioma da escolha com um exemplo do dia a dia.Seja I um conjunto infinito, e seja Xi um par de sapatos para cada i I. Nestecaso nao precisamos do axioma da escolha para garantir que o produto
iI Xi
e nao vazio. Se definimos x(i) como sendo aquele sapato em Xi que correspondeao pe direito para cada i I, entao e claro que a funcao x : I iI Xi assimdefinida pertence a
iI Xi. Por outro lado seja Yi um par de meias para
cada i I. Como em geral nao ha como distinguir entre as duas meias de ummesmo par, nao temos como definir uma funcao y : I iI Yi que pertencaao produto
iI Yi sem usar o axioma da escolha.
23
Exerccios
9.A. Prove que o axioma da escolha e equivalente a` afirmacao seguinte: Seja{Xi : i I} uma famlia nao vazia de conjuntos disjuntos nao vazios. Entaoexiste um conjunto Y iI Xi tal que Y Xi contem um unico elemento paracada i I.
O exerccio seguinte mostra como conciliar a definicao usual de produtoscartesianos finitos, que vimos na Secao 1, com a definicao de produtos carte-sianos infinitos.
9.B. Sabemos que, dados n conjuntos X1, ..., Xn, o produto cartesiano X1...Xn e dado por
X1 ...Xn = {(x1, ..., xn) : xi Xi para i = 1, ..., n}.
Seja
(X1 ...Xn) = {x : {1, ..., n} X1 ...Xn : x(i) Xi para i = 1, ..., n}.
Ache uma aplicacao bijetiva entre X1 ...Xn e (X1 ...Xn).
24
10. O espaco produto
10.1. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, e seja X =
iI Xi. Seja
B = {iI
Ui : Ui e aberto em Xi para cada i I}.
Entao B e base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia dascaixas.
Demonstracao. E claro que B verifica as condicoes (a) e (b) da Proposicao6.6.
Se I = {1, ..., n} e Xi = R para cada i I, entao e claro que a topologiadas caixas coincide com a topologia usual em Rn. Mas se I e um conjuntoinfinito, entao a topologia das caixas, mesmo sendo bastante natural, e poucoconveniente. Mais adiante veremos varias propriedades P tais que, embora cadaXi tenha a propriedade P, o produto
iI Xi, com a topologia das caixas, nao
tem a propriedade P. Por essa razao a topologia usual no produto
iI Xi vemdada pela proposicao seguinte.
10.2. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, e seja X =
iI Xi. Seja B a famlia de todos os
produtos
iI Ui tais que:(a) Ui e aberto em Xi para cada i I;(b) Ui = Xi para cada i I \ J , com J I, J finito.Entao B e base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia
produto.
Demonstracao. E facil verificar que B verifica as condicoes (a) e (b) daProposicao 6.6. E conveniente notar que cada U B pode ser escrito na forma
U = (jJ
Uj) (iI\J
Xi) =jJ
pi1j (Uj).
10.3. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, e seja X =
iI Xi. A topologia produto e a topologia
mais fraca em X tal que todas as projecoes pij : X Xj sao contnuas.Demonstracao. Seja p a topologia produto. Se Uj e aberto em Xj , entao
pi1j (Uj) pertence a B, e e portanto aberto em (X, p). Logo pij : X Xj econtnua para cada j I.
Seja uma topologia em X tal que pij : (X, ) Xj e contnua para cadaj I. Provaremos que p . Para isso basta provar que cada U B pertencea . Se U B, entao
U =jJ
pi1j (Uj),
25
com J finito e Uj aberto em Xj para cada j J . Segue que pi1j (Uj) e abertoem (X, ) para cada j J , e dai U e aberto em (X, ).
A menos que digamos o contrario, sempre consideraremos o produto carte-siano
iI Xi com a topologia produto.
10.4. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos, e seja X =
iI Xi. Seja Y um espaco topologico, e seja g : Y
X. Entao a funcao g e contnua se e so se a funcao composta pij g : Y Xje contnua para cada j I.
Demonstracao. A implicacao e imediata.() Suponhamos que pij g : Y Xj seja contnua para cada j I. Para
provar que g : Y X e contnua, basta provar que g1(U) e aberto em Y paracada U B. Se U B, entao
U =jJ
pi1j (Uj),
com J finito e Uj aberto em Xj para cada j J . Logo
g1(U) =jJ
g1(pi1j (Uj)) =iI
(pij g)1(Uj).
Como pij g : Y Xj e contnua para cada j, segue que g1(U) e aberto emY .
Os resultados anteriores motivam o conceito seguinte:
10.5. Proposicao. Seja X um conjunto, seja {Xi : i I} uma famlia deespacos topologicos, e seja fi : X Xi para cada i I. Seja
B = {jJ
f1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}.
Entao:(a) B e base para uma topologia w em X.(b) w e a topologia mais fraca em X tal que fi : X Xi e contnua para
cada i I.(c) Se Y e um espaco topologico, entao uma funcao g : Y X e contnua
se e so se fi g : Y Xi e contnua para cada i I.Diremos que w e a topologia fraca em X definida pela famlia de funcoes
{fi : i I}.Demonstracao. Nao e difcil adaptar as demonstracoes dos resultados
anteriores.
10.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico, que tem a topologiafraca definida por uma famlia de funcoes fi : X Xi (i I). Seja S um
26
subespaco topologico de X. Entao S tem a topologia fraca definida pela famliade restricoes fi|S : S Xi (i I).
Demonstracao. Nos sabemos que
BX = {jJ
f1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}
e base para a topologia de X, e que
BS = {S jJ
f1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}
e base para a topologia de S. Como
S jJ
f1j (Uj) =jJ
S f1j (Uj =jJ
(fj |S)1(Uj),
vemos que S tem a topologia fraca definida pela famlia de restricoes fi|S : S Xi (i I).
10.7. Definicao. Seja fi : X Xi para cada i I. Diremos que a famlia{fi : i I} separa os pontos de X se dados x 6= y em X, existe i I tal quefi(x) 6= fi(y).
A proposicao seguinte da condicoes necessarias e suficientes para que umespaco topologico seja homeomorfo a um subespaco de um espaco produto.
10.8. Proposicao. Seja fi : X Xi para cada i I, sendo X e cada Xiespacos topologicos. Seja
: x X (fi(x))iI iI
Xi.
Entao e um mergulho se e so se se verificam as seguintes condicoes:(a) A famlia {fi : i I} separa os pontos de X.(b) X tem a topologia fraca definida pela famlia {fi : i I}.A aplicacao e chamada de avaliacao.
Demonstracao. Notemos que pii = fi, para cada i.() Por hipotese e um homeomorfismo entre X e o subespaco (X) de
iI Xi.Como e injetivo, e claro que {fi : i I} separa os pontos de X.Pela Proposicao 10.6 (X) tem a topologia fraca definida pela famlia de
restricoespii|(X) : (X) Xi.
Como : X (X) e um homeomorfismo, segue que X tem a topologia fracadefinida pela famlia de funcoes
(pii|(X)) = fi : X Xi.
27
() Como {fi : i I} separa os pontos de X, e claro que e injetivo.Segue de (b) que pii = fi : X Xi e contnua para cada i I. Logo
: X iI Xi e contnua. Para provar que e um mergulho provaremos que : X (X) e aberta. Por (b) a famlia
B = {jJ
f1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}
e uma base para X. Seja U =jJ f
1j (Uj) B. Entao
U =jJ
(pij )1(Uj) =jJ
1(pi1j (Uj)).
Como e injetiva,
(U) =jJ
(1(pi1j (Uj))) =jJ
(X) pi1j (Uj) = (X) jJ
pi1j (Uj).
Logo (U) e aberto em (X), como queriamos.
Exerccios
10.A. Seja {Xi : i I} uma famlia de espacos topologicos, e seja X =iI Xi. Prove que cada projecao pii : X Xi e uma funcao aberta.10.B. Prove que as projecoes canonicas em R2 nao sao funcoes fechadas.
10.C. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacos topologicos naovazios, e seja X =
iI Xi. Prove que cada Xi e homeomorfo a um subespaco
de X.
10.D. Um espaco topologico X e dito nao trivial se tiver pelo menos doispontos, e trivial em caso contrario. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia deespacos topologicos nao vazios. Suponhamos que exista J , 6= J I tal queXi e trivial para todo i I \ J . Prove que
iI Xi e homeomorfo a
jJ Xj .
10.E. Se i < i para cada i I, prove que o produto
iI [i, i] ehomeomorfo ao produto [0, 1]I .
10.F. Seja S um subespaco de um espaco topologico X. Prove que a topolo-gia de X coincide com a topologia fraca definida pela inclusao S X.
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11. O espaco quociente
11.1. Proposicao. Seja X um espaco topologico, seja Y um conjunto, eseja pi : X Y uma aplicacao sobrejetiva. Entao a colecao
pi = {V Y : pi1(V ) e aberto em X}e uma topologia em Y , que chamaremos de topologia quociente definida por pi.
A demonstracao e simples e e deixada como exerccio.
11.2. Definicao. Diremos que pi : X Y e uma aplicacao quociente seX e um espaco topologico, pi : X Y e uma aplicacao sobrejetiva e Y tem atopologia quociente definida por pi.
11.3. Proposicao. Seja pi : X Y uma aplicacao quociente. Entaoa topologia quociente e a topologia mais fina em Y tal que a aplicacao pi econtnua.
A proposicao e consequencia imediata da definicao de pi.
11.4. Proposicao. Seja pi : X Y uma aplicacao quociente e seja Z umespaco topologico. Entao uma funcao g : Y Z e contnua se e so se a funcaocomposta g pi : X Z e contnua.
Demonstracao. A implicacao e imediata. Para provar a implicacaooposta, sejaW um aberto de Z. Como gpi e contnua, temos que (gpi)1(W ) =pi1(g1(W )) e aberto em X. Segue que g1(W ) e aberto em Y .
11.5. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja pi : X Yuma aplicacao sobrejetiva e contnua. Se pi e aberta ou fechada, entao a topologia de Y coincide com a topologia quociente pi.
Demonstracao. Suponhamos que pi seja aberta. Como pi e contnua, eclaro que pi. Para provar que pi , seja V pi. Entao pi1(V ) e abertoem X. Como pi e aberta e sobrejetiva, segue que V = pi(pi1(V )) .
Quando pi e fechada, a demonstracao e parecida.
11.6. Exemplo. Seja
S1 = {(x, y) R2 : x2 + y2 = 1}e seja
pi : t [0, 2pi] (cost, sent) S1.Claramente pi e sobrejetiva e contnua. Usando resultados de compacidade emRn nao e difcil provar que pi e fechada. Logo S1 tem a topologia quocientedefinida por pi.
11.7. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Seja D uma famlia desubconjuntos disjuntos de X cuja uniao e X. Seja
D = {A D :{A : A A} e aberto em X}.
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Entao D e uma topologia em D. Diremos que D e uma decomposicao de X.Dado x X seja P (x) o unico elemento de D que contem x. A aplicacaoP : X D assim definida e chamada de aplicacao decomposicao.
Demonstracao. E claro que ,D D.Se Ai D para cada i I, entao
iI Ai D, pois
{A : A iIAi} =
iI
{A : A Ai}
e aberto em X.Se A,B D, entao A B D, pois
{C : C A B} = ({A : A A}) (
{B : B B}
e aberto em X. Para provar a igualdade anterior e necessario observar que seA,B D e A B 6= , entao A = B.
11.8. Proposicao. Toda aplicacao decomposicao P : X D e umaaplicacao quociente.
Demonstracao. Se A D, e claro que
P1(A) = {x X : P (x) A} ={A : A A}.
Segue queD = {A D : P1(A) e aberto em X}.
Logo D e a topologia quociente definida por P .
Reciprocamente temos o resultado seguinte.
11.9. Proposicao. Seja pi : X Y uma aplicacao quociente. Entao existeuma aplicaao decomposicao P : X D e existe um homeomorfismo f : Y Dtal que f pi = P .
Demonstracao. Seja
D = {pi1(y) : y Y }.Como pi e sobrejetiva, e claro que D e uma decomposicao de X. Seja P : X Da aplicacao canonica. Seja f : Y D definida por f(y) = pi1(y) para caday Y . E claro que f e bijetiva. Como f(pi(x)) = pi1(pi(x)) contem x, segueque f(pi(x)) = P (x) para cada x X.
Como f pi = P e contnua, segue que f e contnua. E como f1 P = pi econtnua, segue que f1 e contnua.
11.10. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja uma relacao deequivalencia em X. A decomposicao D formada pelas classes de equivalenciadefinidas pela relacao e denotada por X/ e e chamada de espaco de iden-tificacao de X modulo .
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11.11. Exemplos.(a) Ja vimos que o crculo unitario S1 e um quociente do intervalo [0, 2pi].
AquiD = {{x} : 0 < x < 2pi} {{0, 2pi}}.
Para x, y [0, 2pi], tem-se que x y se x y e um multiplo inteiro de 2pi.(b) Seja X = [0, 2pi] [0, 2pi]. Dados (x1, y1), (x2, y2) X, definamos
(x1, y1) (x2, y2) se x1 x2 e um multiplo inteiro de 2pi e y1 = y2. Entao e uma relacao de equivalencia em X e o espaco de identificacao X/ ehomeomorfo ao cilindro S1 [0, 2pi]. A aplicacao quociente vem dada por
pi : (x, y) [0, 2pi] [0, 2pi] ((cosx, senx), y) S1 [0, 2pi].
(c) SejaX = [0, 2pi][0, 2pi]. Dados (x1, y1), (x2, y2) X definamos (x1, y1) (x2, y2) se x1x2 e um multiplo inteiro de 2pi e y1 = y2 ou se x1 = x2 e y1 y2e um multiplo inteiro de 2pi. Neste caso X/ e homeomorfo ao toro S1 S1.A aplicacao quociente vem dada por
pi : (x, y) [0, 2pi] [0, 2pi] ((cosx, senx), (cosy, seny)) S1 S1.
(d) Seja X = [0, 2pi] [0, 2pi]. Dados (x1, y1), (x2, y2) X definamos(x1, y1) (x2, y2) se x1 x2 e um multiplo inteiro de 2pi e y1 + y2 = 2pi.Neste caso X/ e homeomorfo a` fita de Mobius.
Exerccios
11.A. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja pi : X Y uma aplicacaosobrejetiva. Prove que e condicao necessaria e suficiente para que pi seja umaaplicacao quociente que B seja fechado em Y se e so se pi1(B) e fechado emX.
11.B. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja pi : X Y uma aplicacaocontnua. Se existir uma aplicacao contnua : Y X tal que pi (y) = ypara todo y Y , prove que pi e uma aplicacao quociente.
11.C. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja pi : X Y uma aplicacaoquociente.
(a) Prove que pi e aberta se e so se pi1(pi(U)) e aberto em X para cadaaberto U de X.
(b) Prove que pi e fechada se e so se pi1(pi(A)) e fechado em X para cadafechado A de X.
11.D. Seja X = [0, 1], com a topologia induzida por R. Seja Y = {0, 1}, eseja pi : X Y a funcao caracterstica do intervalo [1/2, 1].
(a) Prove que a topologia quociente pi em Y vem dada por pi = {, Y, {0}}.Y e o espaco de Sierpinski, que encontramos no Exerccio 3.B.
(b) Prove que pi nao e aberta nem fechada.
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12. Convergencia de sequencias
12.1. Definicao. Seja X um espaco metrico. Diremos que uma sequencia(xn)n=1 X converge a um ponto x X se dado > 0 existe n0 N tal qued(xn, x) < para todo n n0. Neste caso escreveremos xn x.
12.2. Proposicao. Seja X um espaco metrico, e sejam A X e x X.Tem-se que x A se e so se existe uma sequencia (xn)n=1 A que converge ax.
Demonstracao. Pela Proposicao 5.8 x A se e so se A B(x; ) 6= paracada > 0.
() Se x A, entao existe xn AB(x; 1/n) para cada n N. Segue quexn x.
() Suponhamos que exista (xn)n=1 A tal que xn x. Entao, dado > 0existe n0 N tal que d(xn, x) < para todo n n0. Segue que AB(x; ) 6= para todo > 0. Logo x A.
12.3. Corolario. Seja X um espaco metrico, e seja A X. Entao A efechado se e so se, cada vez que (xn)n=1 A e xn x, entao x A.
12.4. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaof e contnua num ponto a X se e so se, cada vez que xn a em X, entaof(xn) f(a) em Y .
Demonstracao. () Se f e contnua em a, entao, dado > 0, existe > 0tal que f(B(a; )) B(f(a); ). Se xn a, existe n0 N tal que d(xn, a) < para todo n n0. Segue que d(f(xn), f(a)) < para todo n n0. Logof(xn) f(a).
() Se f nao e contnua em a, entao existe > 0 tal que para cada > 0tem-se que f(B(a; )) 6 B(f(a); ). Em particular para cada n N existexn B(a; 1/n) tal que f(xn) / B(f(a); ). Segue que xn a em X, masf(xn) 6 f(a) em Y .
12.5. Definicao. SejaX um espaco topologico. Diremos que uma sequencia(xn)n=1 X converge a um ponto x X se dado U Ux existe n0 N talque xn U para todo n n0. Neste caso escreveremos xn x.
Na definicao anterior podemos trocar o sistema de vizinhancas Ux por qual-quer base de vizinhancas Bx.
12.6. Definicao. Seja (xn)n=1 uma sequencia em X. Chamaremos desubsequencia de (xn)n=1 qualquer sequencia da forma (xnk)
k=1, sendo (nk)
k=1
uma sequencia estritamente crescente em N.
Exerccios
X e Y denotam espacos topologicos.
12.A. Se (xn)n=1 converge a x, prove que qualquer subsequencia (xnk)k=1
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tambem converge a x.
12.B. Seja A X.(a) Prove que, se existir uma sequencia (xn)n=1 A tal que xn x, entao
x A.(b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade.
Prove que, se x A, entao existe uma sequencia (xn)n=1 A tal que xn x.12.C. Seja f : X Y , e seja a X.(a) Prove que, se f e contnua em a, entao, cada vez que xn a em X,
tem-se que f(xn) f(a) em Y .(b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade.
Prove que, se cada vez que xn a em X tem-se que f(xn) f(a) em Y , entaof e contnua em a.
12.D. Seja X =
iI Xi o produto cartesiano de uma famlia de espacostopologicos. Prove que xn x em X se e so se pii(xn) pii(x) em Xi paracada i I.
12.E. Seja X = RR. Prove que fn f em X se e so se fn(t) f(t) emR para cada t R.
12.F. Seja X = RR e seja M = {A : A R, A finito} X.(a) Prove que R M .(b) Prove que nao existe nenhuma sequencia (An)
n=1 M tal que An
R.(c) Prove que X nao satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.
12.G. Seja (xn)n=1 uma sequencia emX e seja x X. Se cada subsequenciade (xn)n=1 admite uma subsequencia que converge a x, prove que (xn)
n=1
converge a x.
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13. Convergencia de redes
13.1. Definicao. Um conjunto , junto com uma relacao , e chamado deconjunto dirigido se verifica as seguintes propriedades:
(a) para todo .(b) Se e , entao .(c) Dados , , existe tal que e .13.2. Exemplos.(a) N, com a relacao de ordem usual, e um conjunto dirigido.
(b) Seja X um espaco topologico, e seja x X. Se definimos U V quandoU V , entao o sistema de vizinhancas Ux e um conjunto dirigido. De maneiraanaloga, qualquer base de vizinhancas Bx e um conjunto dirigido.
13.3. Definicao. Seja X um espaco topologico.(a) Chamaremos de rede em X qualquer funcao da forma x : X, sendo
um conjunto dirigido. Escreveremos x em lugar de x(), e falaremos da rede(x).
(b) Diremos que a rede (x) converge a um ponto x X se dada U Ux,existe 0 I tal que x U para todo 0. Neste caso escreveremos x x.
E claro que a definicao em (b) nao muda se trocamos o sistema de vizinhancasUx por qualquer base de vizinhancas Bx.
13.4. Exemplos. Seja X um espaco topologico.(a) Qualquer sequencia em X e uma rede, e a convergencia de redes gener-
aliza a convergencia de sequencias.
(b) Seja x X. Se escolhemos xU U para cada U Ux, entao (xU )UUxe uma rede em X que converge a x.
(c) Seja x X, e seja Bx uma base de vizinhancas de x. Se escolhemosxU U para cada U Bx, entao (xU )UBx e uma rede em X que converge a x.
Notemos que, nos Exemplos 13.4(b) e 13.4(c) estamos usando a Proposicao9.3, ou seja o axioma da escolha.
O resultado seguinte generaliza a Proposicao 12.2.
13.5. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e sejam A X e x X.Tem-se que x A se e so se existe uma rede (x) A que converge a x.
Demonstracao. Pela Proposicao 5.8, x A se e so se U A 6= para cadaU Ux.
() Se x A, podemos escolher xU U A para cada U Ux. Entao arede (xU )UUx esta contida em A e converge a x.
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() Seja (x) uma rede em A que converge a x. Dado U Ux, existe0 tal que x U para todo 0. Em particular x0 U A. Segueque x A.
O resultado seguinte generaliza a Proposicao 12.4.
13.6. Proposicao. Seja f : X Y , sendo X e Y espacos topologicos.Entao f e contnua num ponto x X se e so se, para cada rede (x) queconverge a x em X, a rede (f(x)) converge a f(x) em Y .
Demonstracao. Pela Proposicao 8.2, f e contnua em x se e so se, dadoV Uf(x), existe U Ux tal que f(U) V .
() Suponhamos que f seja contnua em x. Seja (x) uma rede em Xque converge a x. Entao, dada V Uf(x), existe U Ux tal que f(U) V .Seja 0 tal que x U para todo 0. Entao f(x) f(U) V paratodo 0. Logo f(x) f(x).
() Suponhamos que f nao seja contnua em x. Entao existe V Uf(x) talque f(U) 6 V para todo U Ux. Se escolhemos xU U tal que f(xU ) / Vpara cada U Ux, entao xU x, mas f(xU ) 6 f(x).
13.7. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, e seja X =
iI Xi. Entao uma rede (x) converge
a x em X se e so se a rede (pii(x)) converge a pii(x) em Xi para cada i I.
Demonstracao. () Se x x em X, entao pii(x) pii(x) em Xi, paracada i I, pois cada pii e contnua.
() Suponhamos que pii(x) pii(x) para cada i I. Seja U uma vizin-hanca aberta basica de x em X, ou seja
x U =jJ
pi1j (Uj), com J finito, Uj aberto em Xj .
Para cada j J pij(x) Uj . Logo existe j tal que
pij(x) Uj para todo j .
Como e um conjunto dirigido existe 0 tal que 0 j para cada j J .Segue que
x jJ
pi1j (Uj) para todo 0.
Logo x x.13.8. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x) uma rede
em X. Diremos que x X e um ponto de acumulacao de (x) se dadosU Ux e 0 , existe , 0, tal que x U .
Se (x) converge a x, e claro que x e ponto de acumulacao de (x).
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13.9. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja x : X umarede em X. Chamaremos de subrede de x : X qualquer rede da formax : M X, sendo M um conjunto dirigido, e sendo : M uma funcaocom as seguintes propriedades:
(a) 1 2 implica (1) (2) ( e crescente);(b) dado , existe M tal que () ( e cofinal).A subrede x : M X sera denotada por (x())M .13.10. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x) uma
rede em X. Entao x X e um ponto de acumulacao de (x) se e so seexiste uma subrede de (x) que converge a x.
Demonstracao. () Seja (x())M uma subrede de (x) que con-verge a x. Sejam U Ux e 0 dados. Por um lado existe 1 M tal que(1) 0. Por outro lado existe 2 M tal que x() U para todo 2.Seja M tal que 1 e 2. Segue que () (1) 0 e x() U .Logo x e ponto de acumulacao de (x).
() Seja x um ponto de acumulacao de (x). Seja
M = {(,U) Ux : x U}.
Definamos (1, U1) (2, U2) se 1 2 e U1 U2. Claramente M e umconjunto dirigido. Definamos : M por (,U) = . Claramente(x())M e uma subrede de (x). Provaremos que x() x. SejaU0 Ux. Como x e ponto de acumulacao de (x), existe 0 tal quex0 U . Entao (0, U0) M e e claro que x U0 para todo (,U) M talque (,U) (0, U0). Ou seja x() x.
13.11. Definicao. Diremos que uma rede (x) em X e uma redeuniversal ou ultrarede se dado A X existe 0 tal que
{x : 0} A ou {x : 0} X \A.
E claro que toda rede constante e uma rede universal, chamada de redeuniversal trivial.
13.12. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x) uma redeuniversal em X. Se x e um ponto de acumulacao de (x), entao (x)converge a x.
Demonstracao. Seja U Ux. Como (x) e rede universal, existe0 tal que
{x : 0} U ou {x : 0} X \ U.
Como x e ponto de acumulacao de (x), existe 0 tal que x U . Segueque
{x : 0} U.
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Logo x x.
Exerccios
13.A. Se uma rede (x) converge a x, prove que qualquer subrede de(x) tambem converge a x.
13.B. Se x e ponto de acumulacao de uma subrede de (x), prove que xe ponto de acumulacao de (x).
13.C. Seja x um ponto de acumulacao de uma rede (x) no produtoX =
iI Xi. Prove que pii(x) e ponto de acumulacao da rede (pii(x)) em
Xi para cada i I.13.D. Seja (x) uma rede em X, e seja x X. Se cada subrede de
(x) admite uma subrede que converge a x, prove que (x) converge ax.
13.E. Prove que cada subrede de uma rede universal e uma rede universal.
13.F. Seja f : X Y . Se (x) e uma rede universal em X, prove que(f(x)) e uma rede universal em Y .
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14. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo
14.1. Definicao. Chamaremos de relacao de ordem parcial num conjuntoX uma relacao em X com as seguintes propriedades:
(a) x x para todo x X ( e reflexiva);(b) se x y e y x, entao x = y ( e antisimetrica);(c) se x y e y z, entao x z ( e transitiva).Neste caso diremos que X e um conjunto parcialmente ordenado.
Diremos que e uma relacao de ordem total se alem de verificar (a), (b) e(c), tambem verifica
(d) dados x, y X, tem-se que x y ou y x.Neste caso diremos que X e um conjunto totalmente ordenado.
14.2. Exemplos.(a) Se X e um conjunto, entao a relacao de inclusao e uma relacao de ordem
parcial em P(X).(b) A relacao de ordem usual em R e uma relacao de ordem total.
14.3. Definicao. Seja X um conjunto parcialmente ordenado, e seja A X.
(a) Se existir a0 A tal que a0 a para todo a A, diremos que a0 e oelemento mnimo de A. De maneira analoga definimos elemento maximo.
(b) Se existir a0 A tal que a = a0 sempre que a A e a a0, diremosque a0 e um elemento minimal de A. De maneira analoga definimos elementominimal.
(c) Se existir c X tal que c a para todo a A, diremos que A e limitadoinferiormente e que c e uma cota inferior de A. De maneira analoga definimosconjunto limitado superiormente e cota superior.
(d) Diremos que A e uma cadeia em X se A e totalmente ordenado sob arelacao de ordem parcial induzida por X.
(e) Diremos que A e bem ordenado se cada subconjunto nao vazio de Apossui um elemento mnimo.
14.4. Exemplos.(a) N, com a ordem usual, e um conjunto bem ordenado.(b) R, com a ordem usual, e um conjunto totalmente ordenado, que nao e
bem ordenado: o intervalo aberto (a, b) nao possui elemento mnimo.
14.5. Lema de Zorn. Seja X um conjunto parcialmente ordenado naovazio tal que cada cadeia em X e limitada superiormente. Entao X possui pelomenos um elemento maximal.
14.6. Teorema de Zermelo. Cada conjunto nao vazio pode ser bemordenado.
38
14.7. Teorema. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:(a) O axioma da escolha.(b) O lema de Zorn.(c) O teorema de Zermelo.
Demonstracao. (b) (c): Seja X um conjunto nao vazio. Seja F a famliade todos os pares (A,A) tais que 6= A X e (A,A) e um conjunto bemordenado. E facil verificar que F e um conjunto parcialmente ordenado naovazio se definimos (A,A) (B,B) quando:
(i) A B;(ii) se x, y A, entao x A y se e so se x B y;(iii) se x A e y B \A, entao x B y.Provaremos que cada cadeia em F e limitada superiormente. De fato, seja
{(Ai,Ai) : i I} uma cadeia em F , e seja A =iI Ai. Dados x, y A
definamos x A y se x, y Ai e x Ai y. E facil verificar que a relacao A estabem definida, e e uma relacao de ordem parcial em A. Afirmamos que (A,A)e um conjunto bem ordenado. Seja 6= B A, e seja
J = {j I : B Aj 6= }.
Notemos que A coincide com Ai em Ai para cada i I. Como (Ai,Ai)e bem ordenado para cada i I, segue que todos os conjuntos B Aj , comj J , tem o mesmo elemento mnimo, que denotaremos por b0. Segue que b0 eo elemento mnimo de B. Logo (A,A) e bem ordenado, ou seja pertence a F .Agora e claro que (A,A) e uma cota superior da cadeia {(Ai,Ai) : i I}.
Pelo lema de Zorn, F possui pelo menos um elemento maximal (A,A).Segue da maximalidade de (A,A) que A = X. Logo (X,X) e um conjuntobem ordenado.
(c) (a): Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de conjuntos nao vazios.Pelo teorema de Zermelo, existe uma boa ordenacao para
iI Xi. Para cada
i I seja f(i) o elemento mnimo de Xi. Entao f
iI Xi.
(a) (b): Esta e a implicacao mais difcil de provar. Seja X um conjuntoparcialmente ordenado nao vazio no qual cada cadeia e limitada superiormente.
Seja X a famlia de todas as cadeias de X. Entao X e um conjunto parcial-mente ordenado nao vazio, por inclusao de conjuntos.
A estrategia da demonstracao e trabalhar com a famlia de conjuntos X , quee parcialmente ordenada por inclusao, em lugar de trabalhar com o conjuntoparcialmente ordenado abstrato X. Depois de provar que X possui um elementomaximal, sera facil provar que X possui um elemento maximal.
O primeiro passo e caracterizar os elementos maximais de X . Para cadaC X seja
C = {x X : C {x} X}.E claro que C C. Alem disso, C e maximal em X se e so se C = C.
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Pelo axioma da escolha, existe uma funcao f : P(X) \ {} X tal quef(A) A para cada A P(X) \ {}.
Seja g : X X definida por:
g(C) = C se C = C,
g(C) = C {f(C \ C)} se C 6= C.A funcao g esta bem definida, pois se C 6= C, entao f(C \C) C \C, e portantoC {f(C \ C)} X . Alem disso, C e maximal em X se e so se g(C) = C.
Diremos que uma famlia T X e uma torre se:(i) T ;(ii) se C T , entao g(C) T ;(iii) se C e uma cadeia em T , entao C T .E claro que X e uma torre. E claro que a intersecao de uma famlia de torres
e uma torre. Seja T0 a intersecao de todas as torres de X . Entao T0 e a menortorre de X . Nosso proximo objetivo e provar que T0 e uma cadeia em X . Istovai nos dar muito trabalho.
Diremos que C T0 e comparavel se dado D T0, tem-se que C D ouD C.
Para provar que T0 e cadeia, basta provar que cada C T0 e comparavel.Para provar que cada C T0 e comparavel, basta provar que os conjuntos
comparaveis em T0 formam uma torre.E claro que e comparavel. E claro tambem que se C e uma cadeia de
conjuntos comparaveis, entao C e comparavel. O mais difcil vai ser provar
que se C e comparavel, entao g(C) e comparavel tambem.
Fixemos C T0, C comparavel.Afirmamos que se D T0 e D C, D 6= C, entao g(D) C. Como T0 e
torre, g(D) T0. Como C e comparavel, tem-se que g(D) C ou C g(D),C 6= g(D). Mas C g(D), C 6= g(D) e impossvel, pois D C, D 6= C eg(D) = D ou g(D) = D {x}.
SejaU = {D T0 : D C ou g(C) D}.
Afirmamos que U e uma torre. E claro que U . E claro tambem quese D e uma cadeia em U , entao D U . Falta provar que se D U , entaog(D) U . Ha tres possibilidades:
(i) D C, D 6= C. Neste caso ja sabemos que g(D) C, e portantog(D) U .
(ii) D = C. Neste caso g(D) = g(C), e portanto g(D) U .(iii) g(C) D. Neste caso g(D) D g(C), e portanto g(D) U .Como U e torre e U T0, segue que U = T0. Logo, dado D T0 = U ,
tem-se que D C g(C) ou g(C) D. Logo g(C) e comparavel.
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Temos provado assim que os conjuntos comparaveis de T0 formam uma torre.Segue que cada C T0 e comparavel, e dai T0 e uma cadeia em X .
Como T0 e torre, temos que C0 := T0 T0. Como T0 e torre, temos que
g(C0) T0, e portanto g(C0) = C0. Logo C0 e maximal em X .Por hipotese existe m X tal que c m para todo c C0. Como C0 e uma
cadeia maximal, e claro que m C0.Afirmamos que m e um elemento maximal em X. De fato seja n X, com
m n. Como C0 e uma cadeia maximal, segue que n C0. Logo n m, eportanto n = m. Isto completa a demonstracao.
Exerccios.
14.A. Seja X = {n N : n 2}. Dados m,n X, definamos m n se mdivide n.
(a) Prove que e uma relacap de ordem parcial em X.(b) Prove que, dada uma cadeia C X e um elemento n C, existe apenas
um numero finito de elementos n1, ..., nk C que dividem n.(c) Prove que cada cadeia C X e limitada inferiormente.(d) Identifique os elementos minimais de X.
14.B. Seja (X,) um conjunto totalmente ordenado com pelo menos doiselementos. Dados x, y X, escreveremos x < y se x y e x 6= y.
(a) Prove que os conjuntos {x X : a < x}, com a X, junto com osconjuntos {x X : x < b}, com b X, formam uma sub-base para umatopologia em X, chamada de topologia da ordem.
(b) Prove que a topologia usual em R coincide com a topologia da ordemusual em R.
14.C. Seja E um espaco vetorial, E 6= {0}. Usando o lema de Zorn proveque cada subconjunto linearmente independente de E esta contido em algumabase de E.
14.D. Sejam E e F espacos vetoriais sobre o mesmo corpo, seja E0 umsubespaco vetorial de E, e seja T0 : E0 F uma aplicacao linear. Use o lemade Zorn para provar a existencia de uma aplicacao linear T : E F tal queTx = T0x para todo x E0.
14.E. Seja A um anel comutativo com elemento unidade. Um conjuntoI A e chamado de ideal se verifica as seguintes condicoes:
(a) x y I para todo x, y I;(b) xy I para todo x I, y A.Um ideal I 6= A e chamado de ideal proprio. Um ideal proprio que nao esta
contido em nenhum outro ideal proprio e chamado de ideal maximal. Use o lemade Zorn para provar que cada ideal proprio de A esta contido em algum idealmaximal.
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15. Convergencia de filtros
15.1. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio. Diremos que uma famlianao vazia F P(X) e um filtro em X se verifica as seguintes condicoes:
(a) A 6= para todo A F ;(b) se A,B F , entao A B F ;(c) se A F e A B X, entao B F .15.2. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio. Diremos que uma famlia
nao vazia B P(X) e uma base de filtro em X se a famliaF = {A X : A B para algum B B}
e um filtro em X. Neste caso diremos que F e o filtro gerado por B.E claro que todo filtro em X e uma base de filtro em X.
15.3. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Uma famlia naovazia B P(X) e uma base de filtro em X se e so se se verificam as seguintescondicoes:
(a) A 6= para todo A B;(b) dados A,B B, existe C B tal que C A B.Demonstracao. () Suponhamos que a famlia
F = {A X : A B para algum B B}seja um filtro em X. E claro que B F , e portanto (a) vale. Para provar (b)sejam A,B B F . Entao A B F , e dai A B C para algum C B.
() Supondo (a) e (b) queremos provar que a famliaF = {A X : A B para algum B B}
e um filtro em X.Seja A F . Entao A B para algum B B. Como B 6= , segue que
A 6= .Sejam A1, A2 F . Entao A1 B1 e A2 B2, com B1, B2 B. Existe
B3 B tal que B3 B1 B2. Segue que A1 A2 B1 B2 B3, e portantoA1 A2 F .
Finalmente sejam A1 F e A1 A2 X. A1 B1 para algum B1 B.Segue que A2 A1 B1, e portanto A2 F .
15.4. Exemplos.(a) Seja X um conjunto, seja 6= B X, e seja B = {B}. E claro que B e
uma base de filtro em X. O filtro gerado por B e a famlia F = {A : B A X}.
(b) Seja X um espaco topologico, e seja x X. Entao o sistema de vizin-hancas Ux e um filtro em X. Qualquer base de vizinhancas Bx e uma base defiltro em X que gera o filtro Ux.
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(c) A famlia B = {(a,) : a R} e uma base de filtro em R.15.5. Definicao. Uma base de filtro B em X e dita fixa se B 6= , e livre
seB = .Seja F o filtro gerado por B. E claro que F e fixo se e so se B e fixa.Os filtros ou bases de filtro dos Exemplos 15.4 (a) e 15.4 (b) sao fixos. A
base de filtro do Exemplo 15.4 (c) e livre.
15.6. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja B uma base de filtroem X. Diremos que B converge a um ponto x X, e escreveremos B x, sedado U Ux, existe B B tal que B U .
E claro que um filtro F converge a x se e so se Ux F . E claro tambem queuma base de filtro B converge a x se e so se o filtro gerado por B converge a x.
Trabalhar com filtros ou com bases de filtro e equivalente. Em geral, escolher-emos um ou outro, de maneira que os enunciados fiquem maissimples.
15.7. Exemplos. Seja X um espaco topologico, e seja x X. Entaoo sistema de vizinhancas Ux converge a x. Qualquer base de vizinhancas Bxconverge a x.
15.8. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e sejam E X e x X.Tem-se que x E se e so se existe um filtro F em X tal que E F e F x.
Demonstrac ao. Sabemos que x E se e so se U E 6= para todoU Ux.
() Seja F um filtro em X tal que E F e F x. Como F x, tem-seque Ux F . Segue que U E F , e portanto U E 6= para todo U Ux.Logo x E.
() Suponhamos que x E. Seja
B = {U E : U Ux}.
E claro que B e uma base de filtro em X, e que B x. Seja F o filtro geradopor B. E claro que E F e F x.
15.9. Proposicao. Seja B uma base de filtro em X, e seja f : X Y umafuncao qualquer. Entao a famlia
f(B) = {f(B) : B B}
e uma base de filtro em Y .
Demonstracao: exerccio.
15.10. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X Y .Entao f e contnua num ponto x X se e so se f(B) f(x) para cada basede filtro B em X que converge a x.
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Demonstracao. Sabemos que f e contnua em x se e so se, dado V Uf(x),existe U Ux tal que f(U) V .
() Suponhamos que f seja contnua em x, e seja B uma base de filtro emX que converge a x. Dada V Uf(x), existe U Ux tal que f(U) V . ComoB x, existe B B tal que B U . Segue que f(B) f(U) V , e portantof(B) f(x).
() Suponhamos que f(B) f(x) para cada base de filtro B que convergea x. Como em particular Ux x, tem-se que f(Ux) f(x). Logo, dadaV Uf(x), existe U Ux tal que f(U) V . Logo f e contnua em x.
15.11. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, seja X =
iI Xi, e seja B uma base de filtro em X.
Entao B converge a x em X se e so se pii(B) converge a pii(x) em Xi para cadai I.
Demonstracao. () Se B x em X, entao pii(B) pii(x) em Xi, paracada i I, pois cada pii e contnua.
() Suponhamos que pii(B) pii(x) em Xi para cada i I. Seja U umavizinhanca aberta basica de x em X, ou seja
x U =jJ
pi1j (Uj), com J finito, Uj aberto em Xj .
Como pij(B) pij(x), existe Bj B tal que pij(Bj) Uj , para cada j J . SejaB B tal que B jJ Bj . Entao
B jJ
Bj jJ
pi1j (Uj) = U.
Logo B x.15.12. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja B uma base de
filtro em X. Diremos que x X e um ponto de acumulacao de B se U B 6= para todo U Ux e B B, ou seja se x
{B : B B}.Se B converge a x, e claro que x e ponto de acumulacao de B. E claro que x
e ponto de acumulacao de B se e so se x e ponto de acumulacao do filtro geradopor B.
15.13. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja F um filtro emX. Entao x e um ponto de acumulacao de F se e so se existe um filtro G Fque converge a x.
Demonstracao. () Seja G um filtro em X tal que G F e G x. EntaoUx G, e dai segue que U A 6= para todo U Ux e A F . Logo x e pontode acumulacao de F .
() Suponhamos que x seja ponto de acumulacao de F . Seja
B = {U A : U Ux, A F}.
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E claro que B e uma base de filtro em X que converge a x. Seja G o filtro geradopor B. E claro que G F e G x.
15.14. Definicao. Diremos que F e um ultrafiltro em X se F e um filtromaximal em X, ou seja, cada vez que existir um filtro G em X tal que F G,tem-se que F = G.
15.15. Proposicao. Um filtro F em X e um ultrafiltro se e so se, dadoE X, tem-se que E F ou X \ E F .
Demonstracao. () Suponhamos que, dado E X, tem-se que E Fou X \ E F . Suponhamos que exista um filtro G em X tal que F G eF 6= G. Seja E G \ F . Segue que X \E F G. Logo = E (X \E) G,absurdo.
() Seja F um ultrafiltro em X, e seja E X. Dado A F , e claro queA E 6= ou A (X \ E) 6= . Consideremos dois casos.
Primeiro suponhamos que A E 6= para todo A F . SejaB = {A E : A F}.
E claro que B e uma base de filtro em X. Seja G o filtro gerado por B. E claroque F G e E G. Como F e ultrafiltro, tem-se que F = G. Segue que E F .
A seguir suponhamos que A0E = para algum A0 F . Entao A0 X\E,e segue que X \ E F .
15.16. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja F um ultrafiltroem X. Se x e um ponto de acumulacao de F , entao F converge a x.
Demonstracao. Suponhamos que x seja ponto de acumulacao de F , ouseja U A 6= para todo U Ux e A F .
Afirmamos que Ux F . De fato, suponhamos que exista U Ux, comU / F . Teriamos que X \ U F , e portanto U (X \ U) 6= , absurdo. LogoUx F , e portanto F x.
15.17. Proposicao. Cada filtro em X esta contido em algum ultrafiltro.
Demonstracao. Seja P a famlia de todos os filtros G em X tais queG F . P e um conjunto parcialmente ordenado por inclusao de conjuntos.Seja {Gi : i I} uma cadeia em P. E claro que
iI Gi e um filtro em X, e
e portanto uma cota superior para a cadeia {Gi : i I}. Pelo lema de Zorn Ppossui pelo menos um elemento maximal G. Segue que G e um ultrafiltro em Xque contem F .
Exerccios
15.A. Seja B uma base de filtro em X e seja f : X Y uma funcaoqualquer. Prove que a famlia
f(B) = {f(B) : B B}
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e uma base de filtro em Y .
15.B. Seja A uma base de filtro em X e seja B uma base de filtro em Y .(a) Prove que a famlia
C = {AB : A A, B B}
e uma base de filtro em X Y .(b) Prove que C (x, y) se e so se A x e B y.15.C. Seja
B = {(a,) : a R}.Pelo Exerccio 6.D B e base para uma topologia em R. Pelo Exemplo 15.4 Be uma base de filtro em R. Prove que B x para cada x R.
15.D. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita do Exerccio3.C. Seja
G = {A X : X \A e finito}.(a) Prove que G e um filtro em X.(b) Prove que G x para cada x X.15.E. Seja (x) uma rede em X, e seja B = {B : }, onde B =
{x : } para cada .(a) Prove que B e uma base de filtro em X, que chamaremos de base de filtro
gerada por (x).(b) Prove que x x se e so se B x.(c) Prove que x e ponto de acumulacao de (x) se e so se x e ponto de
acumulacao de B.(d) Prove que (x) e uma rede universal se e so se o filtro gerado por B
e um ultrafiltro.
15.F. Seja B uma base de filtro em X, e seja
= {(a,A) : a A B}.
(a) Prove que e um conjunto dirigido se definimos (a,A) (b, B) quandoA B. A rede x : X definida por x(a,A) = a e chamada de rede geradapor B, e e denotada por (x).
(b) Prove que B x se e so se x x.(c) Prove que x e ponto de acumulacao de B se e so se x e ponto de acu-
mulacao de (x).(d) Prove que o filtro gerado por B e um ultrafiltro se e so se (x) e uma
rede universal.
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16. Espacos de Hausdorff
16.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco T0 sedados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhanca de um deles que naocontem o outro.
16.2. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco T0.(b) Seja X um espaco topologico trivial, com pelo menos dois pontos. Entao
X nao e um espaco T0.
16.3. Proposicao. Um espaco topologico X e um espaco T0 se e so se,dados a, b X, com a 6= b, tem-se que {a} 6= {b}.
Demonstracao. () Seja X um espaco T0, e sejam a, b X, a 6= b. Seexistir U Ua tal que b / U , entao a {a}, mas a / {b}. Se existir V Ub talque a / V , entao b {b}, mas b / {a}. Em ambos casos {a} 6= {b}.
() Suponhamos que X nao seja um espaco T0. Entao existem a, b X,com a 6= b, tais que b U para cada U Ua, e a V para cada V Ub. Logoa {b} e b {a}. Segue que {a} = {b}.
16.4. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco T1 sedados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhanca de cada um deles quenao contem o outro.
E claro que cada espaco T1 e um espaco T0.
16.5. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco T1.(b) O espaco de Sierpinski e um espaco T0, mas nao e um espaco T1.
16.6. Proposicao. Um espaco topologico X e um espaco T1 se e so se cadasubconjunto unitario de X e fechado.
Demonstracao. () Seja X um espaco T1, e seja a X. Para cada b X,com b 6= a, existe V Ub tal que a / V . Segue que X \ {a} e aberto, ou seja{a} e fechado.
() Suponhamos que {a} seja fechado para cada a X. Dados a, b X,com a 6= b, sejam U = X \ {b} e V = X \ {a}. Entao U e V sao abertos, a U ,b / U , b V , a / V .
16.7. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco deHausdorff ou um espaco T2 se dados a, b X, com a 6= b, existem U Ua eV Ub, com U V = .
E claro que cada espaco T2 e um espaco T1.
16.8. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco de Hausdorff.(b) Cada espaco metrico e um espaco de Hausdorff.
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(c) Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Entao X e umespaco T1, mas nao e um espaco T2. Deixamos a demonstracao como exerccio.
16.9. Proposicao. Para um espaco topologico X as seguintes condicoessao equivalentes:
(a) X e Hausdorff.(b) Cada rede convergente em X tem um limite unico.(c) Cada filtro convergente em X tem um limite unico.
Demonstracao. (a) (b): Suponhamos que X seja Hausdorff, e seja(x) uma rede em X que converge a x e a y, com x 6= y. Sejam U Ux eV Uy, com U V = . Como x x, existe 1 tal que x U para todo 1. Como x y, existe 2 tal que x V para todo 2. Seja tal que 1 e 2. Entao x U V , contradicao.
(b) (a): Suponhamos que X nao seja Hausdorff. Entao existem x, y X,com x 6= y, tais que U V 6= para todo U Ux e V Uy. Seja xUV U Vpara cada U Ux e V Uy. Segue que (xUV )(U,V )UxUy e uma rede em Xque converge a x e a y, com x 6= y.
(a) (c): Suponhamos que X seja Hausdorff, e seja F um filtro em X queconverge a x e a y, com x 6= y. Sejam U Ux e V Uy, com U V = . ComoF x, tem-se que U Ux F . Como F y, tem-se que V Uy F . LogoU V F , absurdo, pois U V = .
(c) (a): Suponhamos que X nao seja Hausdorff. Entao existem x, y X,com x 6= y, tais que U V 6= para todo U Ux e V Uy. Seja
B = {U V : U Ux, V Uy}.
E claro que B e uma base de filtro em X. Seja F o filtro gerado por B. E claroque Ux F e Uy F . Logo F converge a x e a y, com x 6= y.
16.10. Proposicao. Cada subespaco de um espaco de Hausdorff e umespaco de Hausdorff.
Demonstracao. Seja X um espaco de Hausdorff, e seja S um subespacode X. Sejam a, b S, com a 6= b. Como X e Hausdorff, existem abertos U1 eV1 em X tais que a U1, b V1 e U1V1 = . Sejam U = SU1 e V = SV1.Entao U e V sao abertos em S, a U , b V e U V = .
16.11. Proposicao. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios. Entao o produto X =
iI Xi e Hausdorff se e so se
cada Xi e Hausdorff.
Demonstracao. () Esta implicacao segue da Proposicao 16.10 e doExerccio 10.C.
() Suponhamos que cada Xi seja Hausdorff, e sejam a, b X, com a 6= b.Escrevamos a = (ai)iI , b = (bi)iI . Como a 6= b, existe i I tal que ai 6= bi.Como Xi e Hausdorff, existem abertos Ui e Vi em Xi tais que ai Ui, bi Vi e
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Ui Vi = . Sejam U = pi1i (Ui) e V = pi1i (Vi). Entao U e V sao abertos emX, a U , b V e U V = .
16.12. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, com Y Hausdorff.Sejam f e g duas funcoes contnuas de X em Y tais que f(x) = g(x) para todox num subconjunto denso D X. Entao f(x) = g(x) para todo x X.
Demonstracao. Como X = D, para cada x X, existe uma rede (xi)iI D tal que xi x. Como f e g sao contnuas, segue que f(xi) f(x) e g(xi)g(x). Como f(xi) = g(xi) para todo i I, e Y e Hausdorff, a Proposicao 16.9garante que f(x) = g(x).
Exerccios
16.A. Seja X = N, com a topologia do Exerccio 4.F. Prove que X e umespaco T0, mas nao e um espaco T1.
16.B. Prove que cada subespaco de um espaco T0 (resp. T1) e um espacoT0 (resp. T1).
16.C. Seja {Xi : i I} uma famlia nao vazia de espacos topologicos naovazios. Prove que o produto X =
iI Xi e um espaco T0 (resp. T1) se e so se
cada Xi e um espaco T0 (resp. T1).
16.D. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X Y uma aplicacaosobrejetiva e fechada. Prove que se X e um espaco T1, entao Y tambem e umespaco T1.
16.E. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que Xe um espaco T1, mas nao e um espaco T2.
16.F. Seja X um espaco de Hausdorff. Dados n pontos distintos x1, ..., xn X, prove que existem n abertos disjuntos U1, ..., Un X tais que xj Uj paraj = 1, ..., n.
16.G. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que X e um espaco T1 se e so se, para cada a X tem-se que{U : U Ua} = {a}.(b) Prove que X e um espaco T2 se e so se, para cada a X tem-se que{U : U Ua} = {a}.16.H. Prove que um espaco topologico X e Hausdorff se e so se o conjunto
D = {(x, x) : x X} e fechado em X X.16.I. Sejam X e Y espacos topologicos, com Y Hausdorff. Sejam f e g duas
funcoes contnuas de X em Y .(a) Prove que o conjunto {x X : f(x) = g(x)} e fechado em X.(b) Use (a) para dar outra demonstracao da Proposicao 16.12.
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17. Espacos regulares
17.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e regular se dadosum fechado A em X e um ponto b / A, existem abertos disjuntos U , V em Xtais que A U e b V . Diremos que X e um espaco T3 se X e um espaco T1que e regular.
E claro que cada espaco T3 e um espaco T2.
17.2. Exemplos.(a) Cada espaco discreto e um espaco T3.
(b) Cada espaco metrico e um espaco T3. A demonstracao e deixada comoexerccio.
(c) Seja X um espaco topologico trivial, com pelo menos dois pontos. EntaoX e regular, mas nao e um espaco T3.
(d) O espaco de Sierspinski nao e regular. A demonstracao e deixada comoexerccio.
17.3. Proposicao. Para um espaco topologico X as seguintes condicoessao equivalentes:
(a) X e regular.(b) Dados um abert