§9.7 抛物线基础知识 自主学习

要点梳理1. 抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （ Fl ）的距 离 的点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛物线的 ，直线 l 叫做抛物线的 .

相等

焦点 准线

2. 抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 O （ 0 ， 0 ）

)0(

22

p

pxy

)0(

22

p

pxy

)0(

22

p

pyx

)0(

22

p

pyx

对称轴 y=0 x=0

焦点

离心率 e=1

准线方程

范围开口方向 向右 向左 向上 向下

焦半径

0,2p

F

0,2p

F

2,0p

F

2,0p

F

2p

x 2p

x 2p

y 2p

y

R,0 yx R,0 yx R,0 xy R,0 xy

20p

x

PF

20p

x

PF

20p

y

PF

20p

y

PF

基础自测1. 抛物线 y=-2x2 的准线方程是 （ ）

A.x= B.x= C.y= D.y=

解析 抛物线方程为 x2=- y,

∴p= , 准线方程为 y= .

21

21

81

81

D

21

41

81

2. 若 a∈R, 则“ a＞ 3” 是“方程 y2=(a2-9)x 表示开

口向右的抛物线”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 由抛物线 y2=(a2-9)x 开口向右可得 a2-9 ＞ 0 ，即得 a ＞ 3 或 a ＜ -3, ∴“a ＞ 3” 是“方程 y2=(a2-9)x 表示开口向右的 抛物线”的充分不必要条件，故应选 A.

A

3. （ 2009· 湖南）抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是

（ ）

A.(2,0) B.(-2,0)

C.(4,0) D.(-4,0)

解析 ∵ y2=-8x,∴p=-4,∴ 焦点坐标为 (-2,0).

B

4. 设 a≠0,a∈R, 则抛物线 y=4ax2 的焦点坐标为（ ） A.(a,0) B.(0,a)

C. D. 随 a 的符号而定

解析 抛物线标准方程为 x2= y,

当 a ＞ 0 时， p= ，焦点坐标为 ;

当 a ＜ 0 时， p=- ，焦点坐标为

a161

,0

C

a41

a81

a161

,0

a81

.161

,0

a

5. （ 2009· 宁夏，海南）已知抛物线 C 的顶点在坐 标原点，焦点为 F （ 1 ， 0 ），直线 l 与抛物线 C

相交 于 A ， B 两点，若 AB 的中点为（ 2 ， 2 ） , 则直线l 的

方程为 . 解析 因为抛物线顶点在原点，焦点 F （ 1 ， 0 ）， 故抛物线方程为 y2=4x, 设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),

则 y =4x1,y =4x2.

∴(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),

∴kAB= =1,

∴ 直线 AB 的方程为 y-2=x-2, 即 y=x.

y=x

21

22

21

4yy

题型一 抛物线的定义【例 1 】已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F ，点 P 是抛

物 线上的动点，又有点 A （ 3 ， 2 ） . （ 1 ）求 |PA|+|PF| 的最小值，并求出取最小值 时 P 点的坐标；

（ 2 ）求点 P 到点 B 的距离与点 P

到直线

x=- 的距离之和的最小值 .

1,21

21

题型分类 深度剖析

（ 1）由定义知，抛物线上点 P到焦点

F的距离等于点 P到准线 l的距离 d，求 |PA|+|PF|的

问题可转化为 |PA|+d 的问题 .（ 2）把点 P到直线的距离转化为到焦点的距离即可解决 .解 （ 1 ）将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x, 得 y=± .

思维启迪

6

∵ ＞ 2,∴A 在抛物线内部 .设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d,由定义知 |PA|+|PF|=|PA|+d,当 PA⊥l 时， |PA|+d 最小，最小值为 ，即 |PA|+|PF| 的最小值为 , 此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x ，得 x=2,∴ 点 P 坐标为（ 2 ， 2 ） .（ 2 ）由于直线 x=- 即为抛物线的准线，故 |PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF| ，当且仅当 B 、 P 、 F 共线时取等号 .

而 |BF|=∴|PB|+d 的最小值为 .

6

21

27

27

21

2

.2121

21 2

2

探究提高 重视定义在解题中的应用 ,灵活地进行 抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转 化 .“看到准线想焦点 ,看到焦点想准线”，这是 解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 .

设 P 是曲线 y2=4x 上的一个动点 . （ 1 ）求点 P 到点 A （ -1 ， 1 ）的距离与点 P 到直

线 x=-1 的距离之和的最小值； （ 2 ）若 B （ 3 ， 2 ），点 F 是抛物线的焦点，求 |PB|+|PF| 的最小值 .

知能迁移 1

解 （ 1 ）如图所示，易知抛物线的焦点为 F(1,0), 准线是 x=-1 ，由抛物线的定义知：点 P 到直线x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离 . 于是 , 问题转化为：在曲线上求一点 P, 使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F （ 1 ， 0 ）的距离之和最小 . 显然 ,连结 AF 交曲线于 P 点，故最小值为 ，即 .122 5

（ 2 ）如图所示，自 B 作 BQ 垂直准

线于 Q ，交抛物线于 P1 ，连接 P1F

此时， |P1Q|=|P1F| ，

那么， |PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|

=|BQ|=4 ，即最小值为 4.

题型二 抛物线的标准方程及几何性质【例 2 】已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上， 又知此抛物线上的一点 A （ m,-3 ）到焦点 F 的距 离为 5 ，求 m 的值，并写出此抛物线的方程 .

因点 A （ m,-3 ）在直线 y=-3 上，所以 抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情 况，必须分类讨论 .

思维启迪

解 ①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x2=-2py (p ＞ 0) ，这时准线方程为 y= ,由抛物线定义知 -(-3)=5, 解得 p=4,∴ 抛物线方程为 x2=-8y,这时将点 A （ m,-3 ）代入方程，得 m=±2 .② 若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为 y2=2ax (a≠0) ，从 p=|a| 知准线方程可统一

成 x=- 的形式，于是从题设有

解此方程组可得四组解

2p

2p

6

2a

,

92

52

am

ma

∴y2=2x,m= ;y2=-2x,m=- ;

y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .

.21

9,

21

9,

29

1,

29

1

4

4

3

3

2

2

1

1

m

a

m

a

m

a

m

a

29

29

21

21

探究提高 抛物线的标准方程有四种，在求解过程中 ,首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式 ,若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为x2=ay (a≠0) 或 y2=ax (a≠0), 然后利用待定系数法和已知条件求解 .

根据下列条件求抛物线的标准方程 . （ 1 ）抛物线的焦点是双曲线 16x2-9y2=144 的左 顶点； （ 2 ）过点 P （ 2 ， -4 ） .

知能迁移 2

解 （ 1 ）双曲线方程化为 左顶点为（ -3 ， 0 ） ,由题意设抛物线方程为y2=-2px (p ＞ 0) 且 - =-3,∴p=6 ，∴方程为 y2=-12x.（ 2 ）由于 P （ 2 ， -4 ）在第四象限且对称轴为坐

标轴，可设方程为 y2=mx 或 x2=ny,代入 P 点坐标求得 m=8 ， n=-1 ，∴ 所求抛物线方程为 y2=8x 或 x2=-y.

,1169

22

yx

2p

题型三 直线与抛物线的位置关系【例 3 】 (14 分 ) （ 2008· 山东） 如图所示 , 设抛物线方程为 x2=2py (p ＞ 0),M 为直线 y=-2p 上 任意一点 , 过 M 引抛物线的切线 , 切点分别为 A,B. (1) 求证 :A,M,B 三点的横坐标成等差数列 ; (2) 已知当 M 点的坐标为 (2,-2p) 时 ,|AB|=4 . 求此时抛物线的方程 .

10

(1) 证明 由题意设

x1 ＜ x2,

M （ x0,-2p ） .

由 x2=2py 得 y= , 则 y′= ,

所以 kMA= ,kMB= . 2 分

因此 , 直线 MA 的方程为 y+2p= (x-x0),

直线 MB 的方程为 y+2p= (x-x0).

所以 , ①

② 4 分

,2,,

2,

22

2

21

1

px

xBpx

xA

px2

2

px

p

x1px2

p

x1

px2

),(22 01

121 xx

px

ppx

),(22 02

222 xx

px

ppx

由①、②得 =x1+x2-x0 ，

因此， x0= 即 2x0=x1+x2.

所以 A 、 M 、 B 三点的横坐标成等差数列 . 6 分（ 2 ）解 由（ 1 ）知，当 x0=2 时，

将其代入①、②，并整理得：x -4x1-4p2=0 ， x -4x2-4p2=0 ，

所以， x1 、 x2 是方程 x2-4x-4p2=0 的两根， 8 分

因此， x1+x2=4 ， x1x2=-4p2 ，

又 kAB=

221 xx

,2

21 xx

21

22

,2

22 021

12

21

22

p

x

pxx

xxpx

px

所以 kAB= . 10 分

由弦长公式得

|AB|=

又 |AB|=4 ，所以 p=1 或 p=2 ，

因此所求抛物线方程为 x2=2y 或 x2=4y. 14 分

p2

212

212 4)(1 xxxxk

.16164

1 22

pp

10

探究提高 （ 1）标准形式的抛物线上点一般设高次

项变量，如本题设抛物线上点的坐标为 形式，

就减少了变量，使运算量减小；（ 2）处理多个变量问题时，常常应用整体代换技巧，消去变量；（ 3）利用韦达定理简化两点间距离公式是直线与圆锥曲线弦长问题常用的运算技巧 .

px

x2,

2

知能迁移 3 已知动圆过定点 F （ 0 ， 2 ），且与定直 线 L ： y=-2 相切 . （ 1 ）求动圆圆心的轨迹 C 的方程； （ 2 ）若 AB 是轨迹 C 的动弦，且 AB 过 F （ 0 ，2 ）， 分别以 A 、 B 为切点作轨迹 C 的切线，设两切线交 点为 Q ，证明： AQ⊥BQ. （ 1 ）解 依题意，圆心的轨迹是以 F （ 0,2 ）为焦 点， L ： y=-2 为准线的抛物线， 因为抛物线焦点到准线距离等于 4 ， 所以圆心的轨迹方程是 x2=8y.

（ 2 ）证明 因为直线 AB 与 x 轴不垂直，设 AB ： y=kx+2.A(x1,y1),B(x2,y2).

由

可得 x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16.

抛物线方程为 y= x2, 求导得 y′= x.所以过抛物线上 A 、 B 两点的切线斜率分别是

k1= x1,k2= x2,k1k2= x1· x2

= x1·x2=-1.

所以 AQ⊥BQ.

,81

,2

2xy

kxy

81

41

41

41

41

41

161

方法与技巧1. 焦半径： x0+ ; 通径长为 2p.

注：过焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的 通径 .2. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与 抛物线交于 A （ x1 ， y1 ）， B （ x2 ， y2 ），则

(1)y1y2=-p2 ， x1x2= ；

(2) 若直线 AB 的倾斜角为 , 则 |AB|= ；

(3) 若 F 为抛物线焦点，则有

2p

4

2p

2sin

2p

.211pBFAF

思想方法 感悟提高

失误与防范

1. 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p

值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是

标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断

是哪一种标准方程 .

2.注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题 .

一、选择题1. 过抛物线 y=ax2(a＞ 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线

于 A 、 B 两点，若线段 AF 、 BF 的长分别为 m 、 n ，则

等于 （ ）

A. B. C.2a D.

解析 取通径 AB ，则 m=n= , 故

定时检测

nmmn

a21

a41

4a

B

a21

.41anm

mn

2. 已知点 M （ 1 ， 0 ），直线 l:x=-1, 点 B 是 l 上的动

点，过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BM 的垂直平分

线交于点 P ，则点 P 的轨迹是 （ ） A. 抛物线 B.椭圆 C. 双曲线的一支 D. 直线 解析 P 在 BM 的垂直平分线上，故 |PB|=|PM|. 又 PB⊥l, 因而点 P 到直线 l 的距离等于 P 到 M 的距

离，所以点 P 的轨迹是抛物线 .

A

3. 如图，过抛物线 y2=2px (p＞ 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A 、 B ，交其准线于点 C ，若 |BC|=2|BF| ，且 |AF|=3, 则 此抛物线的方程为 （ ）

A.y2= B.y2=3x

C.y2= D.y2=9x

x23

x29

解析 由抛物线定义， |BF| 等于 B 到准线的距离，由 |BC|=2|BF| 得∠ BCM=30°，又 |AF|=3 ，

从而 A 在抛物线上，

代入抛物线方程 y2=2px, 解得 p= .答案 B

,233

,23

2

pA

23

4. 已知抛物线 y2=2px(p＞ 0) 与双曲线 （ a＞ 0,b＞ 0 ）有相同的焦点 F ，点 A 是两曲线

的交 点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为 （ ）

A. B. +1

C. +1 D.

12

2

2

2

b

y

a

x

3

215

2

2122

解析 ∵ F

又∵ c= ，即 p=2c,∴A （ c ， 2c ） .

代入双曲线方程，化简，

∴e2-2e-1=0.∵e ＞ 1 ，∴ e= +1.

答案 B

.,2

,0,2

p

pA

p

2p

2

5. （ 2009· 山东）设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0) 的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△ OAF （ O 为坐标原点）的面积为 4 ，则抛物线方程为

（ ） A.y2=±4x B.y2=±8x C.y2=4x D.y2=8x

解析 y2=ax 的焦点坐标为 , 过焦点且斜率

为 2 的直线方程为 y=2 ，令 x=0 得 y=- .

∴ ∴a2=64,∴a=±8.

B

0,4a

4a

x2a

,4242

1 aa

6. （ 2008·辽宁）已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个

动点 , 则点 P 到点（ 0 ， 2 ）的距离与点 P 到该抛物

线准线的距离之和的最小值为 （ ）

A. B.3 C. D. 解析 如图所示，由抛物线的定 义知，点 P 到准线 x=- 的距离 d 等于点 P 到焦点的距离 |PF|. 因此点 P 到点（ 0 ， 2 ）的距离与 点 P 到准线的距离之和可转化为 点 P 到点（ 0,2 ）的距离与点 P 到 点 F 的距离之和 , 其最小值为点 M （ 0 ， 2 ）到点 的距离，则距离之和的最小 值为

217

529A

21

0,21

F

.217

41

4

二、填空题7. 已知抛物线型拱的顶点距离水面 2米时，测量水 面宽为 8米，当水面上升 米后，水面的宽度是 米 .

解析 设抛物线方程为 x2=-2py, 将（ 4 ， -2 ）代

入方程得 16=-2p· （ -2 ），解得 2p=8.

故方程为 x2=-8y ，水面上升 米，则 y=- ,

代入方程，得 x2=-8· =12 ， x=±2 .

故水面宽 4 米 .

21

4

21

23

23

3

3

3

8. 过抛物线 y2=2px （ p ＞ 0 ）的焦点 F 作直线 l ，交抛

物线于 A ， B 两点，交其准线于 C 点 . 若 =3 , 则直线 l 的斜率为 .

解析 由抛物线定义 ,|BF| 等于 B 到准线距离

|BB1|,

在△ CBB1 中， sin∠BCB1=

故直线 l 的斜率为 k=±2 .

CB BF±2 2

,31

BC

BF

2

9. 抛物线 y2=2x 上的两点 A 、 B 到焦点的距离之和是

5 ，则线段 AB 中点到 y 轴的距离是 .

解析 由抛物线定义可得， A 、 B 到准线 x=-

的距离之和也是 5 ，从而线段 AB 中点到准线距

离是 ，故 AB 中点到 y 轴的距离是

2

21

25

.221

25

三、解答题10. 如图所示，已知 F （ 0 ， 1 ）， 直线 l:y=-2, 圆 C ： x2+(y-3)2=1. （ 1 ）若动点 M 到点 F 的距离比它到 直线 l 的距离小 1 ，求动点 M 的轨迹 方程 E ； （ 2 ）过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线，切点为 A 、B ，要使四边形 PACB 的面积 S 最小，求点 P 的坐

标及 S 的最小值 .

解 （ 1 ）设 M （ x,y ），得 =|y+2|-1.

当 y≥-2 时，化简得 x2=4y;

当 y＜ -2 时，有 x2=8y+8, 则 y≥-1 与 y＜ -2矛盾，

故舍去 .

∴ 点 M 的轨迹 E 的方程为 x2=4y.

（ 2 ）设 P （ x,y),∵S=2S△PAC,|AC|=1,

∴ 若要 S 最小，则要 S△PAC 最小 .

要 S△PAC= |PA| 最小，即 |PA| 最小 .

∵|PC|2=1+|PA|2 ，

22 )1( yx

21

又∵ |PC|2=x2+ （ y-3 ） 2=4y+ （ y-3 ） 2

= （ y-1 ） 2+8 ，

当 y=1 时， ∴ Smin= ，

此时点 P 的坐标为（ ±2,1 ） .

7,82min PC

11. 如图所示，倾斜角为 的直 线经过抛物线 y2=8x 的焦点 F ， 且与抛物线交于 A 、 B 两点 . （ 1 ）求抛物线焦点 F 的坐标及 准线 l 的方程； （ 2 ）若 为锐角，作线段 AB 的 垂直平分线 m 交 x 轴于点 P ，证明 |FP|-|FP|cos2

为定值，并求此定值 .

（ 1 ）解 由已知得 2p=8,∴ =2,

∴ 抛物线的焦点坐标为 F(2 ， 0), 准线方程为 x=-2.

（ 2 ）证明 设 A （ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ），直

线

AB 的斜率为 k=tan , 则直线方程为 y=k(x-2),

将此式代入 y2=8x, 得 k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,

故 xA+xB=

记直线 m 与 AB 的交点为 E （ xE,yE) ，则

2p

,)2(4

2

2

k

k

,4

)2(,)2(2

2 2

2

kxky

k

kxxx EE

BAE

故直线 m 的方程为 y-

令 y=0, 得点 P 的横坐标 xP=

故 |FP|=xP-2=

∴|FP|-|FP|cos 2 = (1-cos 2 )

为定值 .

,4214

2

2

k

kx

kk

,442

2

2

k

k

,sin

4)1(422

2

k

k

2sin

4

,8sin

sin242

2

12. 如图 , 过点 F （ 1,0 ）的直线 l 与抛 物线 C ： y2=4x 交于 A 、 B 两点 . （ 1 ）若 |AB|=8 ，求直线 AB 的 方程； （ 2 ）记抛物线 C 的准线为 l′ ， 设直线 OA 、 OB 分别交 l′ 于点 N 、 M ，求 · 的值 .

OM ON

解 （ 1 ）设 A （ x1 ， y1 ）， B （ x2 ， y2 ）， |AB|=

8,即 x1+x2+p=8,∴x1+x2=6.

∵|AB| ＞ 2p,∴ 直线 l 的斜率存在，设其方程为

y=k(x-1).

由方程组

消去 y, 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

∴x1+x2= 即 得 k=±1.

∴ 直线 AB 的方程是 x-y-1=0 或 x+y-1=0.

),1(

,42

xky

xy

,42

2

2

k

k ,6

422

2

k

k

（ 2 ）①当直线 l 的斜率不存在时，

=x1x2+y1y2=1-4=-3.

② 当直线 l 的斜率存在时，

由（ 1 ）知， x1x2=1,y1y2=-

设 M （ -1 ， y3 ） ,N(-1,y4),B,O ， M 三点共线，

∴ 同理可得 y4=-

∴ = （ -1 ， y3 ） · （ -1 ， y4 ）

=1+y3y4=1+

综上， =-3.

OBOAONOM

,416 21 xx

,1 2

23

2

23

x

yy

x

yy

.

1

1

x

y

ONOM

.321

21 xx

yy

ONOM 返回