9D Método de Trabjo y Energía

8/18/2019 9D Método de Trabjo y Energía

1/10

Método de Trabajo y Energía

Introducción

IntroducciónEn la solución de los problemas de cinétic

segunda ley de Newton.

En este capítulo se hará uso del método del

cinética que resulta útil para resolver cierto

dinámica

En el método de la segunda ley de New

ecuaciones instantáneas del movimiento

fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo co

éste.

El método trabajo – energía combina lo

cinemática con la segunda ley de Newton

El método trabajo-energía, suele constituir

de resolución del problema.

U: TRABAJO (W)P: FUERZA (F)T: ENERGIA CINETICA (EK )

ROBERTO GIL AGUILAR


2/10

*

En mecánica, una fuerza efectúa un trabajo solamente cuando el punto al cual está aplicada ePor ejemplo, cuando se aplica una fuerza constante P a una partícula que recorre en línea rcomo se indica en la figura

El trabajo que efectúa la fuerza P es, por definición el producto escalar

El trabajo efectuado por la fuerza es el producto del módulo d del desplazamiento po

cosϕ) de la fuerza sobre la dirección del desplazamiento.

Analizar el trabajo para diferentes valores de ϕ

En el SI la unidad de trabajo es el Joule ( 1 J = 1 N. m)

También simplemente: ft. lb ( pie.libra).

ROBERTO GIL AGUILAR 2

dPdPdP

cosdPdPU

zzyyxx


3/10

Cuando una FUERZA no es constante o el DESPLAZAMIENTO no sea rec

La ecuación (1) se puede expresar para calcular el trabajo efectuado por la fuerza en un

infinitesimal, dr, del desplazamiento.

donde dr = ds et = dxi + dyj + dzk Integrando la ec. camino de la partícula desde la posición 1 a la posicitrabajo efectuado por la fuerza

En algunos casos podremos descomponer la relación funcional entre FUERZA y DESPLAZAlas componentes de la fuerza (Pt o Px, Py y Pz ) ver FIG. Entonces, las integrales de la ecárea encerrada bajo la curva y se calculará.

ROBERTO GIL AGUILAR3

dzPdyPdxP

dsPcosdsPr d.PdU

zyx

t

PdyPdxP

dsPdUU

2

1

2

1

2

1

2

1

z

z zy

y yx

x x

s

st

2

121


4/10

TRABAJO EFECTUADO POR UNA FUERZA CONSTANTE

Cuando a un punto material se aplica una fuerza constante P = Px i + Py j + Pz k, la ec. (3) da elpor la FUERZA sobre el punto en la FORMA

Obsérvese que el valor del TRABAJO depende de las coordenadas de los ptos extremos del FORMA DE ESTE (TRAYECTORIA) VER FIGURA.

Cuando el trabajo efectuado por la fuerza es independiente de la trayectoria CONSERVATIVASEL PESO W de una partícula es un ejemplo de esta fuerzas, cuando los cuerpos se superficie de la TIERRA.La fuerza de gravedad es constante (Px = 0, Py = 0 y Pz = - W)

CUANDO Z2 > Z1 la partícula se mueve hacia arriba (sentido opuesto a la gravedad)

CUANDO Z2 < Z1 la partícula se mueve hacia abajo y el TRABAJO ES POSITIVO.

ROBERTO GIL AGUILAR4

yy(P)xx(P

PdyPdxPU

12y12x

zy

yyx

xx212

1

2

1


5/10

TRABAJO EFECTUADO POR UNA FUERZA DE UN RESORTE LINEAL SIN MASA

ROBERTO GIL AGUILAR

La FUERZA necesaria para estirar un resorte

directamente proporcional al alargamiento d

Si δ > 0, el resorte está estirado y la fuerza

Si δ < 0, el resorte está comprimido y la fue

k )ll(k P0

Cuando el resorte se UNE A UNA PARTÍCULA, La FUERZA que sobre ella se ejerce tidirección, pero sentido opuesto, que la que se ejerce sobre el resorte.

Si la partícula pasa de la posición 1 ( δ1 ) a la posición 2 (δ2 ), el TRABAJO efectuado por partícula será

)(k 2

1 dk U 21

2221

2

1

uw


6/10

* Teorema de las FUERZAS VIVAS El teorema de las fuerzas vivas se obtiene integrando la segunda LEY DE NEWTON respecto a la POSICIÓN. Consid«m» ver figura. La FUERZA R representa la resultante de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el punto NEWTON su componente tangencial es

DONDE

Aplicando la regla de la cadena para la derivación, la ec. (6) puede escribirse

El primer miembro de la ec. (8) es TRABAJO TOTAL efectuado por la FUERZA RESULTANTE y el segundo miembro ENMATERIAL la ec. (8) EXPRESA EL TEOREMA DE las fuerzas vivas

LA ENERGÍA CINÉTICA FINAL ES IGUAL A LA SUMA de su energía cinética inicial + el trabajo efectuado sobreexteriores.

ROBERTO GIL AGUILAR

(6) dt

dvmamR tt

Vecto: edsr d

Vect: edt

dsevv

t

tt

(8) mv2

1mv

2

1dvvmdsR

iatrayector ladelargoloaec.estaintegrandoúltimo,Por

(7) ds

dvmv

dt

ds

ds

dvmR

21

22

v

v

s

s t

t

2

1

2

1

f ii2112 TUT O UTT

Ek w


7/10

* PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1.- Una caja que pesa 80 N se desliza hacia abajo por una rampa según se indica en la figura. Si se suedel reposo a 3 m por encima de la base de la rampa y el coeficiente de rozamiento entre caja y rdeterminar la velocidad de la caja cuando llegue al punto más bajo de la rampa.

SOLUCIÓN Como la caja no se mueve en dirección y,

Los trabajos efectuados sobre la caja por las fuerzas normal, gravitatoria y de rozamiento cuando se desliza 3/rampa son.

ROBERTO GIL AGUILAR

2f f

i

0yy

v81,9

80

2

1T

ela,0Tesinicialcinéticaenergíasureposo,del partecajalaComo

8,00N(0,20)(40)F

serározamientodefuerzalatanto,Por

N4060cos Ndando,0maF

Resp. m/s22,7v

seao

v4,07727.7-240,00

lasdeteoremaeldaqueec.laenvaloresestosAplicando

J27,7dx600,1U

J240,0dx)60sen80(U

0)U(

f

2

f

3,464

0Ff i

3,464

0

o

gf i

Nf i


8/10

*

ROBERTO GIL AGUILAR

Solución a) En la figura (b) DCL, antes de entrar en contacto con el tope. Según la segunda LEY DE NEWTON

Luego, la fuerza de rozamiento será F = (0,25)(49,05) = 12,263 N

La energía cinética inicial del bloque es

Ti = ½ (5)(10)2 = 250,0 J

y la energía cinética cuando está a punto de chocar contra el tope es

Tf = ½ (5) vc2 = 2,500 vc

2

El trabajo efectuado por el rozamiento sobre el bloque cuando éste se desl

como la fuerza normal es perpendicular al movimiento, no efectúa trabajo.

teorema, se tiene

250,0 – 183,95 = 2,500 vc2 o sea vc = 5,14 m/s Resp.

183,95-dx263,12)U(15

0Ff i

J183,95-dx263,12)U(15

0Ff i


9/10

b. Una vez en contacto, el bloque y tope se moverán juntos. (Ver fig. c) DCL

Las FUERZAS NORMAL y de ROZAMIENTO siguen siendo N = 49,05 N y F = μk N = 12,263 N, respectinicial del bloque en esta fase del movimiento es vc = 5,14 m/s y la ENERGÍA CINÉTICA inicial será

Ti = ½ (5)(5,14)2

= 66,05 J

En el punto de máxima deformación del muelle, la VELOCIDAD del bloque es nula por tanto, la energtambién ( Tf = 0). EL TRABAJO que sobre el bloque efectúan el rozamiento y el muelle cuando aquél sadicional δmáx será

ROBERTO GIL AGUILAR

Resp. m0,251donde

01000-12,26-66,05

teoremaelSegún

1000d2000-U

12,263-dx263,12)U

máx

2máxmáx

máx2

0sf i

0 máxFf i

máx

máx


10/10

En las figuras b pueden verse DCL los bloques A y B, aplicando al bloque A la segunda LEY DE NEWTON

N = 50 N y la fuerza de rozamiento F = (0,4)(50) = 20 N.

El TRABAJO que el rozamiento efectúa sobre el bloque A durante su mov.

Cuando el bloque A recorre 1,8 m hacia la derecha, el bloque B desciende 1,8 m por lo

gravedad efectúa sobre el bloque B será

Ni la FUERZA NORMAL N ni el PESO del bloque A efectúan trabajo por ser perpendicular. Y las f

anulan por ser inextensible. Los bloques parten del reposo (Ti =0). En el instante final, la

bloques son iguales

Aplicando el TEOREMA

solución

J36dx20)U(1,8

0Ff i

2

f

2

f

2

f f v823,3v

81,9

25

2

1v

81,9

50

2

1T

J36dx20)U(1,8

0Ff i

m/s534,1 vseao v823,300,4500,360 f 2f

Documents

9D Método de Trabjo y Energía