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Grupos EspaciaisCombinaes dos retculos de Bravais com os grupos pontuais, para cada um dos sistemas cristalinos, mais as substituies possveis dos eixos e planos pelos eixos helicoidais e planos com deslizamento.
Total: 230 grupos espaciais
Nomenclatura compreende:
- tipo do retculo: P, I, F, C (ou A ou B), R - simetria
Total : 230 grupos espaciais
73 Grupos Espaciais Simples - combinaes diretas entre os tipos de retculos e os Grupos Pontuais
157 Grupos Espaciais derivados destes substituies de eixos e planos por eixos helicoidais e planos com deslizamento
Sistema
Grupos Pontuais
Retculos
Grupos Espaciais P1
1 P
Triclnico
1
P1
Monoclinico ( 90o)
2 m 2/m
P C
P2 C2 Pm Cm P2/m C2/m
P21 Pc Cc P21/m P2/c P21/c C2/c
Sistema
Grupos Pontuais 222
Retculos
Grupos Espaciais
P222 P212121 C222 C2221 Pmmm Pnnn Pbam Cmmm Immm Fmmm Pmma Pnna Pban Cccm Ibam Fddd
P21212 P2221 I222 I212121 Pmmn Pccn Pbcn Cmma Ibca
F222
mmm P C I F
Pmna Pnma Pnnm Pccm Pcca Pbac Pbcm Cmcm Cmca Ccca
Ortorrmbico
mm2
Pmm2 Pma2 Pmc21 Pna21 Cmm2 Ccc2 Imm2 Ima2 Fmm2 Fdd2
Pnc2 Pcc2 Pba2 Pmn21 Pca21 Cmc21 Iba2
Pnn2
Exemplo1: grupo espacial P222 (projeo no plano ab)
1o Passo: identificar o sistema e caracterizar a simetria
- sistema ortorrmbico, a b, = 90o, simetria 222 na origem+
- posio inicial x y z (quadrante positivo)
2o Passo: aplicar os operadores de simetria+
+
-
3o Passo: completar a projeo dos pontos gerados pois a mesma simetria da origem se repete nos demais vrtices.
+
+
+
+
-
-
+
+
+
+
-
-
4o Passo: completar os elementos de simetria presentes
+
+
+
+
-
-
+
+
+
+
-
-
5o Passo: determinar as coordenadas das posies gerais
4 x y z, -x y -z, -x -y z , x -y -z
6o Passo: identificar as posies especiais possveis e substituir os valores nas posies gerais para obter o nmero de posies geradas.Sobre eixos de ordem 2 Sobre cruzamentos 222 1 1 1 1 1 1 1 1 222 222 222 222 222 222 222 222 000 1/2 0 0 0 1/2 0 1/2 1/2 0 0 0 1/2 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 00z, x 0 0, 0 y 0, 1/2 0 z, 0 1/2 z, 1/2 y 0, x 1/2 0, 1/2 1/2 z, 0 y 1/2, x 0 1/2, 1/2 y 1/2, x 1/2 1/2, 0 0 -z -x 0 0 0 -y 0 1/2 0 -z 0 1/2 -z 1/2 -y 0 -x 1/2 0 1/2 1/2 -z 0 -y 1/2 -x 0 1/2 1/2 -y 1/2 -x 1/2 1/2
Exemplo2: grupo espacial C222 (projeo no plano ab)
1o ao 4o Passo: so os mesmos do grupo espacial P222.5o Passo: repetir a simetria da origem na centragem, lembrando que retculo C implica numa translao (1/2 1/2 0 ).
+
+ +
+
+
-
+ +
+
+
+
-
-
6o Passo: identificar os elementos de simetria da centragem+
+ +
+
+
-
+ +
+
+
+
-
-
7o Passo: determinar as posies gerais(000, 1/2 1/2 0) + 8 x y z, -x y -z, -x -y z , x -y -z
ou8 x y z, -x y -z, -x -y z , x -y -z, 1/2+x 1/2+y z, 1/2-x 1/2+y -z, 1/2-x 1/2-y z, 1/2+x 1/2-y -z
6o Passo: identificar as posies especiais possveis e substituir os valores nas posies gerais para obter o nmero de posies geradas.Sobre cruzamentos 222 2 2 2 2 222 222 222 222 0 0 0, 1/2 1/2 0 1/2 0 0, 0 1/2 0 0 0 1/2, 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1/2, 0 1/2 1/2
Sobre eixos de ordem 2 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 00z, 0 1/2 z, x 0 0, x 0 1/2, 0 y 0, 0 y 1/2, 1/4 1/4 z, 0 0 -z, 1/2 1/2 z, 0 1/2 -z, 1/2 0 z, -x 0 0, 1/2+x 1/2 0, -x 0 1/2, 1/2+x 1/2 1/2, 0 -y 0, 1/2 1/2+y 0, 0 -y 1/2, 1/2 1/2+y 1/2, 1/4 3/4 -z, 3/4 3/4 z, 1/2 1/2 -z 1/2 0 -z 1/2-x 1/2 0 1/2-x 1/2 1/2 1/2 1/2-y 0 1/2 1/2-y 1/2 3/4 1/4 -z
Exemplo3: grupo espacial Ama2 (projeo no plano ab, origem 1 a 2)
+
1o Passo
+
2o
Passo
+
,
,+
+
+ +
+
3o Passo
+ +
,
,
+ + + +
,
,++
+
+
+
4o Passo+ +
,
,++
+ + +
,
,++
+
+ +
1/2+
+
5o
Passo+ +
,
,
+ 1/2 + 1/2+ +
,
, +1/2
+1/2 + + + 1/2
,
,++
+
,6o Passo
7o Passo
Determinar as coordenadas das posies gerais (0 0 0, 0 1/2 1/2) +
8 x y z, -x -y z, 1/2-x y z, 1/2+x -y z
8o Passo
Determinar as posies especiais lembrando que elementos de simetria com translao so proibidos para posio especial.
4 m 4 2
1/4 y z, 3/4 -y z 0 0 z, 1/2 0 z
Exemplo4: grupo espacial P121/c1 (projeo no plano ab) 1o Passo+
1/2 +
,
1/2 +
, , , ,
1/2+
, , , ,
1/4
1/4
+1/4 1/4
2o Passo1/2+ , +
1/2 -
1/2 +
1/4
1/4
+1/4 1/4
1/2 +
,
1/2 +
1/2+
+1/4 1/4
3o
e
4o
Passos1/2+ , 1/2 +
1/2 +
1/4
1/4
+
Como podemos observar o centro de inverso aparece fora da origem e em 1/4 de z. Devemos ento recomear colocando o centro de inverso na origem.
Refazendo a nova projeo com o centro de inverso na origem fica:-
,+ 1/2+
,
-1/2
-
,+
1/4
1/4
1/4
1/4
-
,+ 1/2 +
,
-1/2 -
,+
1/4
1/4
5o Passo
Posies gerais: 4 x y z, -x -y -z, x 1/2-y 1/2+z, -x 1/2+y 1/2-z
6o Passo
Posies especiais:
2 1 0 0 0, 0 1/2 1/2 2 1 1/2 0 0, 1/2 1/2 1/2 2 1 0 1/2 0, 0 0 1/2 2 1 1/2 1/2 0, 1/2 0 1/2
Exemplo5: grupo espacial P41 (projeo no plano ab)
1o Passo
2o Passo
3o e 4o Passos
5o Passo:
Posies gerais:
4 x y z, -y x 1/4+z , -x -y 1/2+z, y -x 3/4 +z
6o Passo
Posies especiais:
No tem posies especiais pois s tem simetria com translao.