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TEMA 9:

ALGUNOS TIPOS DE

FUNCIONES:

RECTA, PARÁBOLA, HIPÉRBOLA

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.1. RECTAS

RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES

La ecuación de una recta horizontal es

y = k

La ecuación de una recta vertical es

x = k

FUNCIÓN LINEAL O DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Una función es lineal de proporcionalidad directa si al

multiplicar la variable independiente x por un número, la

variable dependiente y queda multiplicada por dicho número.

y = m x

m es la pendiente de la recta, es decir, la inclinación que tiene

respecto al eje x.

Si m es positiva la recta es creciente.

Si m es negativa la recta es decreciente.

FUNCIÓN AFÍN

Una función es afín si su ecuación es del tipo

y = m x + n

m es la pendiente de la recta

Si m es positiva la recta es creciente.

Si m es negativa la recta es decreciente.

n es la ordenada en el origen (valor en el que

corta al eje y)

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LA ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

La ecuación punto-pendiente de la recta es y – y1 = m ( x – x1 )

Donde ( x1, y1 ) son las coordenadas de un punto de la recta y m es la pendiente.

EJEMPLO

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y t iene como pendiente m = -2.

y – y1 = m ( x – x1 )

y – 5 = - 2 ( x – 1) y – 5 = -2x + 2 y = - 2x + 7

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Para calcular los puntos de corte con el eje y le damos a la x el valor 0 ( x = 0 ) y calculamos la y.

Para calcular los puntos de corte con el eje x le damos a la y el valor 0 ( y = 0 ) y despejamos la x.

EJEMPLO

Halla los puntos de corte con los ejes de la recta y = 2x + 2.

Puntos de corte con el eje y Puntos de corte con el eje

x = 0 y = 0

y =

punto ( 0 , 2 ) punto ( -1 , 0 )

RECTAS PARALELAS

Las rectas paralelas son aquellas rectas que tienen la

misma pendiente, es decir, el mismo valor de la m.

Recíprocamente, si dos rectas tienen el mismo valor de la

pendiente, son paralelas.

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.2. FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es la que está definida por un polinomio de segundo grado.

Su forma es:

Su representación gráfica es una parábola que tiene:

Un vértice en el punto cuya coordenada x es

Un eje de simetría vertical en donde xV es la coordenada x del vértice de la

parábola, es decir,

Están definidas para todos los números reales

Son continuas

Son simétricas con respecto a un eje que pasa por el vértice

Por un lado del vértice son creciente y por otro decrecientes

Si a es positiva el vértice es un mínimo y la parábola es convexa

Si a es negativa el vértice es un máximo y la parábola es cóncava

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Para calcular los puntos de corte con el eje y le damos a la x el valor 0 ( x = 0 ) y calculamos la y.

Para calcular los puntos de corte con el eje x le damos a la y el valor 0 ( y = 0 ) y resolvemos la

ecuación de segundo grado que nos queda para calcular los valores de la x. Puede tener:

Dos soluciones: la parábola corta al eje x en dos puntos

Una solución: la parábola corta al eje x en un punto

Ninguna solución: la parábola no corta al eje x en ningún punto

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EJEMPLO:

Calcular los puntos de corte con los ejes de la parábola y = x² - 4x + 3

Puntos de corte con el eje OX

y = 0

x² - 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)

Punto de corte con el eje OY

x = 0

(0, 3)

.3. HIPÉRBOLAS

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Una función es de proporcionalidad inversa si al multiplicar la variable independiente s por un número,

la variable dependiente y queda dividida por dicho número. Su ecuación es:

y =

Su representación gráfica es una hipérbola

Es discontinua en x=0

Tiene como asíntotas los ejes de coordenadas

Es simétrica respecto al origen de coordenadas O ( 0,0 )

Si k es positiva la hipérbola está en el 1º y 3º cuadrante y es decreciente

Si k es negativa la hipérbola está en el 2º y 4º cuadrante y es creciente