AΛΓΕΒΡΑ (κεφ 3) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ÊåöÜëáéï 3ï

ÓõóôÞìáôá åîéóþóåùí

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει

να γνωρίζει:

� Να παριστάνει γραφικά τις λύσεις µιας εξίσωσης της µορφής

αx+β=γ µε ≠α 0 ή ≠β 0 .

� Να επιλύει αλγεβρικά και γραφικά ένα σύστηµα δύο γραµµικών

εξισώσεων µε δύο αγνώστους.

� Να επιλύει προβλήµατα µε την βοήθεια ενός συστήµατος δύο γραµ-

µικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους.

� Να επιλύει ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε τη µέθοδο

των οριζουσών.

� Να επιλύει ένα σύστηµα τριών γραµµικών εξισώσεων µε τρεις

αγνώστους µε τη µέθοδο των διαδοχικών απαλοιφών.

� Αν ένα τέτοιο σύστηµα έχει µοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει

άπειρο πλήθος λύσεων.

� Να επιλύει προβλήµατα µε τη βοήθεια ενός συστήµατος.

72. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο

Ìáèáßíïõìå

ôéò

áðïäåßîåéòÂÞìá 1

�� !

"�� #� ��$��#��%�� $�� &�'�(�%� ��%��!

� �� %�� $�� %��)��$��%��*��%+�� ,&-'�$(��

� �� %�� $�� %��)��$��%��*��%+�� ,&$'�-( ��

�� !

�� !��"�� # ��"$��%��&��%��&��'�� (�� ≠ )��≠ )��*��+

,��-.+

��.�� +�� /0� ��≠ -�� ≠ -� %�� !/��$�� %��%��0

0��1��-�$�� ≠ -!2+�� /0��0

-�� ⇔ �� ⇔ ��

�

Θεωρία 1

73.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

%� �%�� ##�#��1��$��*��%�� ,&-' �

�(

2��1��≠ -�$��-!�2+��/0��0

��-�� ⇔ �� ⇔ ��

��%� �%�� ##�#��1��$��

��*��%+�� ,&�

�'�-(

3��

1��≠ -�$��≠ -��+��%��/0��*� �0��3��⇔ ��4�

��(�

�

��%� �%�� !

�� !�� !�� !��"$�� # ��5"�� "�� #��5"�� "$��6!"� �� # �� "� �� !��$

�� #�*�� "$��7��"� �*5��"� �� #�*�� 8�� !��!�� !��"$

��9 �� $�� #��$��

�� 0��

=+=+

444

555

��

��

��: ��+�� #��$��#��&�'�(�%�� $�� %� �%��$�� !�;��#��+�� #��$�� +��

��6� ��# ��+�� $�� %� �%�� !

��7�� #�*�� +��*� �� %� ��$� ��%�� *�$�� !

��8%�� +�� 00�8��"� &��%+��9 ��(!2�8��*��#��!��%��&��%��9 ��(!3�8�� "� &��*��$+��(!<�8��!�� 8*��"�=>?@A>� &�� %��$��(!

,��B)+Θεωρία 2

74. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο

�65��8�� #8�� !"�� $��65��8�� 8C��"�# ��"� /��5��!"

�� $

��1�� +�� %��*� ��

��'��%� ��%�� !�:�� $�� +�� %� %�� %��!� � � /9C� �0

��"� ��+�� *��%��&��+��+��(�+�� %��*� ��%��#��&�'�(�%� ��%�� !�:�� *�� %�� &��!� �� +��(� �� $�� +�� %� � %�� %�%�� !� /9C� �2

�65�� #8�� $��7��"��*�"��5��"�� 5"�� "��

�� 5� ��$��D�� 8C�� !��"� /�

0�� /�

2� �� 5

�� 5�� !�� /�0�� /�

2$

��/�� +��*� ��$�� !��6� ��%��+�� %+��

��%��$��+%� �!0�"� ��5��"�"�� %��$��$�� !2�"� ��5��"�,��$�� %+��&�

5(��&�

4(�� %!*!��&�

5(� ��

��5�5��

4��

4�%� �%��$�%��'�� &�

5(�%��%��

5 ≠ -%�� &�

4(�%��%��

4!

��6��5�5��

4��

4�'�� 5"�� 5"��&�

5(�$��&�

4(!

,��B0+

,��B2+

x

y

0��

�1

x

y

0��2

��1��

�2

Θεωρία 3

Θεωρία 4

75.Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο

Από το σχολικό βιβλίο:

ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

σελ. 103-104: Α΄ Οµάδα: 3, 5, 6, 8

Β΄ Οµάδα: 1

σελ. 108-109: Α΄ Οµάδα: 2, 3, 4, 5

Β΄ Οµάδα: 2, 3, 4, 5

σελ. 113-114: Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4

Β΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4

Από το βιβλίο:

ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ”

Ενότητα ∆: Ασκήσεις:

207, 212, 218, 220, 226, 228

ÂÞìá 1

ÅðáíáëáìâÜíïõìå

ôéò áóêÞóåéò

"êëåéäéÜ"ÂÞìá 2

76. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

Ëýíïõìå

ðåñéóóüôåñåò

áóêÞóåéòÂÞìá 3

1. Αν η εξίσωση ( )24λ 9 x 2λ 3− = − (ε) είναι ταυτότητα δείξτε ότι το σύστη-

µα λx y 1

3x 2y 2

+ = + =

έχει άπειρες λύσεις τις οποίες και να βρείτε.

Λύση:

Η (ε) είναι ταυτότητα άρα:

22

9 3λ λ

4λ 9 0 34 2λ

3 3 22λ 3 0λ λ

2 2

= = ± − = ⇔ ⇔ ⇔ = − = = =

Οπότε το συστηµα (σ) γίνεται:

{ {33x 2y 2x y 1 2 2y

3x 2y 2 x23x 2y 2 3

3x 2y 2

+ =+ = − ⇔ ⇔ + = ⇔ = + = + =Άρα έχει απειρία λύσεων:

2 2y(x,y) ,y

3

− = µε y∈� .

2. Αν x 3y 1 2x y 5 0− + + + − = βρείτε τα x,y R∈ .

Λύση:

Επειδή α 0≥ για κάθε α ∈� η ισότητα x 3y 1 2x y 5 0− + + + − = δίνει:

x 3y 1 0 x 3y 1 2x 6y 2 7y 7 y 1

και και και και και

2x y 5 0 2x y 5 2x y 5 y 5 2x x 2

− + = − = − − + = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + − = + = + = = − =

3. Αν οι αριθµοί 3 και 1 είναι ρίζες της εξίσωσης (ε) 2

κx 3λx κ 1 0− + − =βρείτε τους κ,λ∈�

77.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

Λύση:

• Το 1 είναι ρίζα της (ε) άρα: κ 3λ κ 1 0 2κ 3λ 1− + − = ⇔ − =• Το 3 είναι ρίζα της (ε) άρα: 9κ 9λ κ 1 0 10κ 9λ 1− + − = ⇔ − =• Λύνουµε το σύστηµα:

14κ 2 κ

2κ 3λ 1 6κ 9λ 3 22κ 1

210κ 9λ 1 10κ 9λ 1 λλ3

3

= − = − − = − + = − ⇔ ⇔ ⇔− − = − = = = −

4. Αν το σύστηµα 2αx 3y β 5

3x αy 5β

− = − + =

έχει λύση την (x,y) (1,2)= βρείτε τα α,β∈� .

Λύση:

Το (x,y) (1,2)= είναι λύση του συστήµατος άρα:

4β 42α 6 β 5 2α β 1 2α β 1 β 1

β 13 2α 5β 2α 5β 3 2α 5β 3 α 1α

2

− = −− = − − = − + = − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ++ = − = − − = − ==

5. Αν τα συστήµατα: 1

2x 3y 8(σ )

αx 5βy 3

+ = − =

και 2

2αx 3βy 6(σ )

2x 5y 8

+ = − = −

έχουν κοινή λύση,

βρείτε τα α, β.

Λύση:

Έστω 0 0

(x ,y ) η κοινή λύση των 1 2

σ ,σ τότε ισχύουν:

0 0

0 0

0 0

0 0

2x 3y 8

αx 5βy 3

2αx 3βy 6

2x 5y 8

+ = − = + = − = −

Oπότε λύνοντας το σύστηµα:

00 0 0 0 0

00 0 0 0 00

8y 162x 3y 8 2x 3y 8 y 2

8 3y2x 5y 8 2x 5y 8 x 1x

2

=+ = + = = ⇔ ⇔ ⇔ −− = − − + = ==

βρήκαµε την µοναδική λύση των συστηµάτων 1 2

σ ,σ που είναι η 0 0

(x ,y ) (1,2)=οπότε οι άλλες δύο εξισώσεις δίνουν:


α 10β 3 2α 20β 6 26β 0 β 0

2α 6β 6 2α 6β 6 α 3 10β α 3

− = − + = − = = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = = + =

6. Λύστε το σύστηµα:2 x 1 y 2 4

2 x 1 3 y 2 10

− + + =

− + + =Λύση:

Θέτω x 1 ω, y 2 ρ− = + = οπότε το σύστηµα γίνεται:

2ρ 6 ρ 32ω ρ 4 2ω ρ 4

4 ρ 12ω 3ρ 10 2ω 3ρ 10 ω ω

2 2

= = + = − − = − ⇔ ⇔ ⇔ −+ = + = = = Οπότε:

1x 1 και y 2 3

2− = + =

1x 1

2− = ή

1x 1

2− = − και y + 2 = 3 ή y + 2 = -3

3x =

2 ή

1x =

2 και y =1 ή y 5= −

Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι οι:

3 3 1 1(x,y) = ,1 , (x,y) . 5 , (x,y) ,1 , (x,y) , 5

2 2 2 2

= − = = −

7. Ένα σώµα εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση και το διάστηµα S σε m που διανύει

σε κάθε χρονική στιγµή t σε sec δίνεται από την συνάρτηση 2S(t) αt βt= + .

i. Αν σε χρόνο 5sec το σώµα έχει διανύσει 40m ενώ σε χρόνο 7sec έχει

διανύσει 70m βρείτε τους α,β ∈� .

ii. Ποια χρονική στιγµή το σώµα θα έχει διανύσει 10m;

Λύση:

i. Ισχύουν 25α 5β 40 5α β 8 2α 2 α 1

49α 7β 70 7α β 10 β 8 5α β 3

+ = + = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ + = − − = − = − =

∆ηλαδή 2S(t ) t 3t= +

ii. Λύνουµε την εξίσωση:

3 3 49 3 7S(t ) 10 t 3t 10 t t t 2

2 2

− ± − ±= ⇔ + − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ή t 5= − .

∆ηλαδή σε 2 sec το σώµα θα έχει διανύσει 10m.


8. Μια οµάδα µαθητών έγραψε σ’ένα µάθηµα διαγώνισµα που έχει 20 ερω-

τήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση ο µαθητής έπαιρνε 5 µονάδες ενώ για

κάθε λάθος απάντηση έχανε 3 µονάδες. Ένας µαθητής έγραψε 52 µονάδες

σ’αυτό το διαγώνισµα. Βρείτε πόσες απαντήσεις του ήταν σωστές και πό-

σες λάθος.

Λύση:

Έστω, x ο αριθµός των σωστών απαντήσεων και y ο αριθµός των λανθασµένων

απαντήσεων, τότε: • x y 20+ = και • 5x 3y 52− =Λύνουµε τώρα το (σ):

x y 20 3x 3y 60 8x 112 x 14

5x 3y 52 5x 3y 52 y 20 x y 6

+ = + = = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − = = − =

9. Πρίν 16 χρόνια ο Α είχε διπλάσια ηλικία από την ηλικία του Β. Μετά από 11

χρόνια ο Β θα έχει 4/5 της ηλικίας του Α. Βρείτε τις ηλικίες τους σήµερα.

Λύση:

Έστω x η ηλικία του Α σήµερα και y η ηλικία του Β σήµερα, τότε:

• οι ηλικίες των Α,Β πριν από 16 χρόνια είναι x 16− και y 16− αντίστοιχα οπότε:

x 16 2(y 16) x 16 2y 32 x 2y 16− = − ⇔ − = − ⇔ − = −• οι ηλικίες των Α, Β µετά από 11 χρόνια είναι x 11, y 11+ + αντίστοιχα οπότε:

4y 11 (x 11) 5(y 11) 4(x 11) 5y 55 4x 44 4x 5x 11

5+ = + ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ − + = −

Λύνoυµε τώρα το σύστηµα:

x 2y 16 4x 8y 64 3y 75 y 25

4x 5y 11 4x 5y 11 x 2y 16 x 50 16 34

− = − − = − − = − = ⇔ ⇔ ⇔ − + = − − + = − = − = − =

10. Οι µαθητές Α και Β ρωτούν τον καθηγητή στο τέλος του 2ου τετράµη-

νου πόσες απουσίες έχουν και εκείνος απαντά: Ο λόγος των απουσιών του

Α προς τις απουσίες του Β είναι 4/7 ενώ χωρίς τις τελευταίες 9 απουσίες

είναι ίσος µε 1/2.

i. Βρείτε τις απουσίες των Α, Β.

ii. Πόσες πρέπει να δικαιολογήσουν αν το όριο είναι 50.

Λύση:

Έστω x οι απουσίες του Α και y του Β τότε:

• x 4

7x 4y 7x 4y 0y 7

= ⇔ = ⇔ − =


• x 9 1

2x 18 y 9 2x y 9y 9 2

− = ⇔ − = − ⇔ − =−

• Λύνουµε το σύστηµα: 7x 4y 0 7x 4y 0 x 36 x 36

2x y 9 8x 4y 36 y 2x 9 y 63

− = − = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ − = − + = − = − =

Άρα ο µαθητής Β πρέπει να δικαιολογήσει 63–50=13 απουσίες.

11. α. Λύστε και διερεύνηστε το σύστηµα: 2

2x κy 4

κx 2y κ

+ =

+ = (σ)

β. Αν (x0,y0) η µοναδική λύση του (σ) βρείτε το κ εφόσον ισχύει

0 0x 2y 1+ =Λύση:

α. Βρίσκουµε τις ορίζουσες: x yD,D ,D

( )2 22 κ

D 4 κ κ 4 (κ 2)(κ 2)κ 2

= = − = − − = − + −

( )3 3 2

x 2

4 κD 8 κ κ 8 (κ 2)(κ 2κ 4)

κ 2= = − = − − = − − + +

( )2

y 2

2 4D 2κ 4κ 2κ κ 2

κ κ= = − = −

Αν κ 2,2≠ − τότε D 0≠ και το (σ) έχει µοναδική λύση την:

( )2yx

2

DD ( 2) 2 4 2 ( 2)(x, y) , ,

D D ( 2)( 2) ( 2)( 2)

2 4 2,

2 2

− κ − κ + κ + κ κ −= = = − κ + κ − − κ + κ −

κ + κ + − κ κ + κ +

Αν κ 2= τότε D=0 και το (σ) γίνεται: { {2x 2y 4x y 2 x 2 y

2x 2y 4

+ =⇔ + = ⇔ = − + =

Άρα το (σ) έχει απειρία λύσεων την (x, y) (2 y, y) µε y= − ∈�

Αν κ 2= − τότε D= 0 και το (σ) γίνεται:

2x 2y 4 x y 2

2x 2y 4 x y 2

− = − = ⇔ − + = − = −

άρα είναι αδύνατο.


β. Λύνουµε την εξίσωση: 0 0

x 2y 1+ =2

2 2κ 2κ 4 2κ2 1 κ 2κ 4 4κ κ 2 κ 3κ 2 0

κ 2 κ 2

+ + −+ = ⇔ + + − = + ⇔ − + =+ +

( 3) 1 3 1κ κ κ 2 ή κ 1.

2 2

− − ± ±= ⇔ = ⇔ = = (Η κ 2= απορρίπτεται)

12. Λύστε και διευρευνήστε το σύστηµα: (λ 2)x 7(λ 3)y 35

x (λ 3)y λ

+ + − = + − =

(σ)

Λύση:

Βρίσκουµε τα x yD,D ,D

λ 2 7(λ 3)D (λ 2)(λ 3) 7(λ 3) (λ 3)(λ 2 7) (λ 3)(λ 5)

1 λ 3

+ −= = + − − − = − + − = − −

−

x

35 7(λ 3)D 35(λ 3) 7λ(λ 3) 7(λ 3)(5 λ) 7(λ 3)(λ 5)

λ λ 3

−= = − − − = − − = − − −

−

2y

λ 2 35D λ(λ 2) 35 λ 2λ 35 (λ 5)(λ 7)

1 λ

+= = + − = + − = − +

Αν λ 3,5≠ τότε D 0≠ και το (σ) έχει µοναδική λύση την:

yxDD 7(λ 3)(λ 5) (λ 5)(λ 7) λ 7

(x,y) , , 7,D D (λ 3)(λ 5) (λ 3)(λ 5) λ 3

− − − − + + = = = − − − − − −

Αν λ 3= τότε D=0 και το (σ) γίνεται:

5x 0y 35 x 0y 7

x 0y 3 x 0y 3

+ = + = ⇔ + = + =

άρα είναι αδύνατο.

Αν λ 5= τότε D=0 και το (σ) γίνεται:

{ {7x 14y 35 x 2y 5x 2y 5 x 5 2y

x 2y 5 x 2y 5

+ = + = ⇔ ⇔ + = ⇔ = − + = + =

Άρα το (σ) έχει απειρία λύσεων την (x, y) (5 2y, y) µε y= − ∈� .


13. ∆ίνεται ένα 2×××××2 γραµµικό σύστηµα µε άγνωστους x,y για το οποίο ισχύει:

x y

x y

2D D 4D

D 3D 5D

+ = − = − . Να βρείτε τη µοναδική λύση, αν γνωρίζετε ότι υπάρχει.

Λύση:

• Το (σ) έχει µοναδική λύση, άρα D 0≠ και yx

DD(x, y) ,

D D

= η µοναδική λύση του.

• Ισχύει:

yx

x y

x y yx

DD2 42D D 4D 2x y 4D D

D 3D 5D D x 3y 5D3 5

D D

+ =+ = + = ⇔ ⇔ ⇔ − = − − = − − = −

2x y 4 7y 14 y 2

2x 6y 10 x 3y 5 x 1

+ = = = ⇔ ⇔ − + = = − =

14. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y που έχει µοναδική

λύση ενώ ακόµα ισχύει, x y x yD D 3D 2D 3D 4D 0− − + + + = .

Να βρεθεί η µοναδική λύση του γραµµικού συστήµατος

Λύση:

• Το (σ) έχει µοναδική λύση άρα D 0≠ και yx

DD(x,y) ,

D D

=

η µοναδική λύση του.

• Ισχύει:x y

x y x yx y

D D 3D 0D D 3D 2D 3D 4D 0

2D 3D 4D 0

− − =− − + + + = ⇔ ⇔ + + =yx

x y

x y yx

DD3D D 3D 0 x y 3D D

2D 3D 4D D 2x 3y 4D2 3 4

D D

− =− − = − = ⇔ ⇔ ⇔ + = − + = − + = −

2x 2y 6 5y 10 y 2

2x 3y 4 x y 3 x 1

− + = − = − = − ⇔ ⇔ + = − = + =

15. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y που έχει µοναδική

λύση και για το οποίο ισχύουν 2x y 18+ = και 2 2x y x yD D 2D D+ = .


Λύση:

• Το (σ) έχει µοναδική λύση άρα D 0≠ και yx

DD(x,y) ,

D D

=

η µοναδική λύση του.

• Ισχύει: 2 2 2 2

x y x y x y x yD D 2D D D D 2D D 0+ = ⇔ + − = ⇔

( )2 yx

x y x y

DDD D 0 D D 0 0 x y 0

D D− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =

• Λύνουµε τώρα το (σ):2x y 18 3x 18 x 6

x y 0 y x y 6

+ = = = ⇔ ⇔ − = = =

16. Λύστε το σύστηµα:

1 19

x y

1 115

y z

1 112

z x

+ = + =

+ =

Λύση:

Προσθέτουµε κατά µέλη και τις τρείς εξισώσεις του συστήµατος και έχουµε:

1 1 1 1 1 12 36 18

x y z x y z

+ + = ⇔ + + =

(σ)

1. Από την (σ) αφαιρούµε κατά µέλη την 1η εξίσωση του συστήµατος και έχουµε:

1 1 1 1 1 1 118 9 9 1 9z z

x y z x y z 9+ + − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =


1 1 1 1 1 1 118 15 3 1 3x x

x y z y z x 3+ + − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =


1 1 1 1 1 1 118 12 6 1 6y y

x y z z x y 6+ + − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Άρα ( ) 1 1 1x,y,z , ,

3 6 9

= είναι η λύση του συστήµατος.

84. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

Ëýíïõìå

ìüíïé ìáòÂÞìá 4

1. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της

βασιλείας του θα ήταν ίσος µε το 1/8 του χρόνου της ζωής του. Αν όµως

πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος

της βασιλείας του θα ήταν ίσος µε το 1/2 του χρόνου της ζωής του. Να

βρείτε πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα βασίλεψε.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

2. ∆ύο φίλοι Α και Β συζητούν για την ηλικίας τους.

Ο Α λέει: Το διπλάσιο της ηλικίας µου µαζί µε το δικό σου µας δίνουν 50

χρόνια.

Ο Β λέει: Το τριπλάσιο της ηλικίας µου ισούται µε το διπλάσιο της ηλι-

κίας σου αυξήµενο κατά 5.

Βρείτε τις ηλικίες τους.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

85.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

3. Σε ένα ορθογώνιο η περίµετρος του είναι 26m. Αν η διάσταση του αυξηθεί

κατά 2m ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά 2m τότε το εµβαδόν του θα αυξηθεί

κατά 2m2. Βρείτε τις διαστάσεις του.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

4. ∆ύο τετράγωνα µε κέντρο Ο βρίσκονται το ένα µέσα στο άλλο. Η διαφορά

των περιµέτρων τους είναι 40m. Το εµβαδόν της επιφάνειας µεταξύ των

δύο τετραγώνων είναι ίσο µε 500m2. Βρείτε το εµβαδόν κάθε τετραγώνου.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

5. Στο διπλανό σχήµα η περίµετρος του ορθογω-

νίου είναι 36cm και τα µήκη x, y, z είναι ανάλο-

γα προς τους αριθµούς 4, 2, 3:

i. Βρείτε x, y, z,

ii. Βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου Κ∆Γ.

................................................................................


............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

6. ∆ύο θετικοί ακέραιοι έχουν άθροισµα 87. Αν προσθέσουµε το 12 σε κάθε

έναν απ’αυτους, ο ένας γίνεται διπλάσιος του άλλου. Βρείτε τους αριθµούς.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

7. Ηµίονος και όνος βαδίζουν φορτωµένοι σακιά. Ο όνος στενάζει από το

βάρος και ο ηµίονος του λέει: Τι κάνεις έτσι; Αν µου έδινες 1 από τα σακιά

θα είχα στην πλάτη µου τα διπλά από σένα ενώ αν έπαιρνες 1 από τα δικά

µου θα είχαµε και οι δύο τα ίδια. Πόσα σακιά είχε το καθένα ζώο;

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................


8. Μια άδεια δεξαµενή έχει όγκο 2m3. Μια αντλία παροχής νερού αρχίζει να

την γεµίζει µε ρυθµό 20lt min .

α. Να εκφράσετε τον όγκο V του νερού στην δεξαµενή συναρτήσει του

χρόνου t (σε min).

β. Βρείτε σε ποια χρονική στιγµή θα γεµίσει η δεξαµενή

γ. Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης V.

δ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της V.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

9. Σε µια κάλπη βρίσκονται 100 ψηφοδέλτια δυο κοµµάτων Α και Β. Αν

προστεθούν στην κάλπη 3 ψηφοδέλτια του Α και 2 του Β τότε τα ψηφο-

δέλτια του Α είναι διπλάσια των ψηφοδελτίων του Β. Πόσα ψηφοδέλτια

κάθε κόµµατος υπήρχαν αρχικά στην κάλπη;

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

10. Σε ένα γκαράζ υπάρχουν συνολικά 50 οχήµατα, αυτοκίνητα και ποδήλα-

τα. Αν όλα τα οχήµατα έχουν 164 ρόδες πόσα αυτοκίνητα και πόσα ποδή-

λατα υπάρχουν στο γκαράζ;


............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

11. ∆ίνονται τα σηµεία A(1,3), B(–2,–3) και Γ(λ–1,5). Βρείτε το λ ώστε τα Α,

Β, Γ να είναι συνευθειακά.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

12. ∆ύο κινητά κινούνται ευθύγραµµα στο επίπεδο το πρώτο από το σηµείο

Α(1,5) προς το σηµείο Β(–1,1) και το δεύτερο από το σηµείο Γ(0,–1)

προς το σηµείο ∆(2,1). Βρείτε το κοινό σηµείο της διαδροµής τους.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................


13. α. Λύστε και διερευνήστε το σύστηµα: y 2 λx

x 2λ y

− = − − = −

(σ)

β. Αν (x0,y0) η µοναδική λύση του συστήµατος βρείτε το λ εφόσον ισχύει 0 0y x≤

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

14. α. Λύστε και διερευνήστε το σύστηµα λx y 2

x λy 2λ

+ = + =

(σ)

β. Αν (x0,y0) η µοναδική λύση του (σ) λύστε την ανίσωση 0

0

y κ 11

κ 2 x

−>

− +

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

15. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y ώστε:

x yD 2 D 8 2D 8 0− + + + − = . Να λυθεί το σύστηµα.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................


............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

16. Αν για ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y ισχύει:

( )2 2 2x y xD D D 17 2 D 4D+ + + = − . Να λύσετε το σύστηµα.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

17. Αν η εξίσωση κ(x 2) λ(x 1) 3x− + + = είναι ταυτότητα και για το γραµµι-

κό 2×××××2 σύστηµα ισχύει: 2 2 2 2 2x y xD D D λD 4κD κ λ 10+ + − + = + − . Να λύ-

σετε το σύστηµα.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................


18. To άθροισµα των ψηφίων ενός τριψήφιου αριθµού είναι 6 και το

ψηφίων των µονάδων είναι 0. Αν αλλάξουµε τη θέση των ψηφίων

των εκατοντάδων και των δεκάδων του αριθµού, προκύπτει αριθµός

κατά 180 µεγαλύτερος. Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθµός.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

92. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4 ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáòÂÞìá 5

ΘΕΜΑ 1ο

Απαντήστε µε (Σ) αν είναι σωστό και µε (Λ) αν είναι λάθος τα παρακάτω

αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας.

α) Η εξίσωση (λ - 2)x + (λ +3)y = 5 παριστάνει πάντα ευθεία.

β) Το σύστηµα

23x + 5y = 1

4 x + 5y = 7 είναι γραµµικό.

γ) Ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους µπορεί να

έχει ακριβώς δύο λύσεις.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

ΘΕΜΑ 2ο

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την άποψή σας.

α) Η παράσταση Α = 23y2x2x −++− γίνεται ελάχιστη όταν:

Α) x = 2 και y = 4 Β) x = -2 και y = 1 Γ) x = 2 και y = -3

2

93.Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

β) Αν οι ευθείες y = 3x + 1, y = -2x +k τέµνονται στο σηµείο Α(-1,-2) τότε

το k είναι ίσο:

Α) k = 4, B) k = -3, Γ) k = 5, ∆) k = -4

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

ΘΕΜΑ 3ο

α. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(-2,3)

και Β(5,-1).

β. Να βρείτε της εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία

Α(–1, –5) και Β(2, 4). Αν το σηµείο

22M , λ - 3

3 ανήκει στην ευθεία

που βρήκατε να προσδιορίσετε την τιµή του πραγµατικού αριθµού λ.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

94. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο

ΘΕΜΑ 4ο

α.Ποιο σύστηµα παριστάνουν οι ευθείες ε1 και ε

2;

β. Αν για τις ρίζες ρ1, ρ

2 της δευτερεύουσας εξίσω-

σης:

( )2x y x yDW D D W D D 0− + + − = µε D, D

x, D

y οι

ορίζουσες ενός γραµµικού 2×××××2 συστήµατος µε άγνωστους x,y ισχύουν:

1 2ρ ,ρ 3= και 2 21 2ρ ρ 5+ = , λύστε το σύστηµα και µετά την εξίσωση.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

Documents

AΛΓΕΒΡΑ (κεφ 3) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ