A Γυμνασίου

Σερίφης Κων/νος Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου

1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο

1.1 ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. 1 . α) Στις παρακάτω προτάσεις να γράψτε μέσα στην παρένθεση τον κατάλληλο φυσικό αριθμό που μπορεί να αντικαταστήσει τις υπογραμμισμένες λέξεις.

• Είκοσι ( ) μαθητές μιας τάξης. … • Ο έκτος ( ) μήνας του χρόνου …. • Η αξία ενός αυτοκινήτου είναι δέκα χιλιάδες ευρώ ( )…… • Ο χρόνος του ταξιδιού ήταν πέντε ( ) ώρες….. • Τα τέσσερα ( ) χρόνια έχουν χίλιες τετρακόσιες εξήντα μία ( ) ημέρες…. • Κάτι που κινείται με την ταχύτητα του φωτός, σε μια ( ) ώρα , μπορεί να διανύσει απόσταση

ίση με ένα δισεκατομμύριο ογδόντα εκατομμύρια ( ) χιλιόμετρα. • Κανένας ( ) μαθητής δεν βαθμολογήθηκε κάτω από δέκα πέντε ( ) • Το φεγγάρι απέχει από τη γη τριακόσιες ογδόντα τέσσερις χιλιάδες ( ) χιλιόμετρα.

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα γράφοντας τους αριθμούς που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα ταξινομημένους σε άρτιους και περιττούς: ΑΡΤΙΟΙ ΠΕΡΙΤΤΟΙ γ) Να τοποθετήσετε τους αριθμούς από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο , (Αύξουσα σειρά), βάζοντας ανάμεσά τους το κατάλληλο σύμβολο. 2. Στις παρακάτω προτάσεις βάλτε σε κύκλο το Σ, αν η πρόταση είναι σωστή και το Λ, αν η πρόταση είναι λάθος.

• Το 0 είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός. Σ Λ • Οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι. Σ Λ • Ο προηγούμενος ενός περιττού είναι περιττός . Σ Λ • Ο επόμενος ενός άρτιου είναι περιττός Σ Λ • Ο δέκατος στη σειρά φυσικός αριθμός είναι το 10 Σ Λ

3. Αντιστοιχίσετε το κάθε γράμμα της αλφαβήτου με την σειρά που αυτό έχει στην αλφάβητο: ΓΡΑΜΜΑ α φ υ σ ι κ ο ω ΣΕΙΡΑ 4.

Δισεκατομμύρια

Εκατοντάδες

Εκατομμύρια

Δεκάδες




Χιλιάδες

Δεκάδες

Χιλιάδες

Χιλιάδες


Δεκάδες

Μονάδες

1 0 0 1 5 3 0 2 6 9 0 9 0 9 0 1 2 3 4 5 6 7 1 0 0 0 2 0 5 5 7 3 4 0 5 8 0 0 6 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5

Γράψτε με λέξεις τους αριθμούς της κάθε γραμμής του παραπάνω πίνακα.


2

5. Τοποθετήστε στον παρακάτω πίνακα τους αριθμούς: α) τετρακόσια τέσσερα β) χίλια ενενήντα γ) τριάντα χιλιάδες επτακόσια οδόντα ένα δ) τρία δισεκατομμύρια επτακόσια επτά εκατομμύρια ενενήντα οκτώ χιλιάδες σαράντα ένα ε) δύο χιλιάδες τέσσερα

Δισεκατομμύρια



Δεκάδες




Χιλιάδες

Δεκάδες

Χιλιάδες

Χιλιάδες


Δεκάδες

Μονάδες

6. Στις παρακάτω ερωτήσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση βάζοντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα της απάντησης:

• Στη σειρά των αριθμών 0, 2, 4, 6, 8, ….. ποιος είναι ο έκτος αριθμός μετά το 0 ; Α. Το 6 Β. Το 10 Γ. Το 12 Δ. Το 14 • Ποιος άρτιος αριθμός είναι μεταξύ του 2001 και του 2004 ; Α. Το 2002 Β. Το 2003 Γ. Το 2001 Δ. Το 2004 • Μεταξύ δύο διαδοχικών άρτιων φυσικών αριθμών υπάρχει πάντα…. Α. Το 0 Β. Ένας άρτιος Γ. Ένας περιττός Δ. Το 2 • Ο 21ος αιώνας αρχίζει την 1η Ιανουαρίου του …. Α. 2001 Β. 2000 Γ. 1999 Δ.. 1900 • Ποιος είναι ο 4ος περιττός μετά το 2; Α. Το 8 Β. Το 11 Γ. Το 5 Δ. Το 9

7. Γράψτε όλους τους τριψήφιους φυσικούς αριθμούς που μπορούν να γίνουν με τα ψηφία 1, 2, 3, χρησιμοποιώντας μια φορά το καθένα. 8. Πόσοι είναι οι διψήφιοι φυσικοί αριθμοί που ένα τουλάχιστον ψηφίο τους είναι 5 ; 9. Πόσοι είναι οι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί που έχουν ίδιο το ψηφίο των μονάδων και των εκατοντάδων; 10. Πόσα ψηφία θα χρειαστούμε για να γράψουμε όλους τους διψήφιους και τριψήφιους φυσικούς αριθμούς; (Σημ.: Για το 10χρειαζόμαστε 2 ψηφία , για το 11 άλλα 2 κ.ο.κ.)


3

1.2 ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. 1. Στις παρακάτω προτάσεις να γράψτε μέσα στην παρένθεση τον κατάλληλο δεκαδικό αριθμό που μπορεί να αντικαταστήσει τις υπογραμμισμένες λέξεις.

• Τα 135 λεπτά του ευρώ είναι ισοδύναμα με 1 ευρώ και 35 εκατοστά του ευρώ ( ). • Η θερμοκρασία είναι είκοσι πέντε και τρία δέκατα ( )βαθμοί Κελσίου . • Η ακτίνα του ατόμου του νερού είναι ένα εκατομμυριοστό ( ) του χιλιοστού ( ) του

μέτρου. • Τα πορτοκάλια ζύγιζαν δυόμισι ( ) κιλά . • Η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων είναι τριάντα πέντε ( ) χιλιόμετρα .

2. Τοποθετήστε τους αριθμούς της άσκησης 1 στον παρακάτω πίνακα. ΑΡΙΘΜΟΙ 3. Να τοποθετήσετε τους αριθμούς του παραπάνω πίνακα στον παρακάτω πίνακα . ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΒΑΖΕΤΑΙ 4. Στις παρακάτω προτάσεις βάλτε σε κύκλο το Σ, αν η πρόταση είναι σωστή και το Λ, αν η πρόταση είναι λάθος.

• Οι δεκαδικοί αριθμοί είναι φυσικοί. Σ Λ • Οι φυσικοί αριθμοί είναι δεκαδικοί. Σ Λ • Το μισό ενός μεγέθους είναι το 0,5 αυτού του μεγέθους . Σ Λ • Μεταξύ δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών υπάρχουν άπειροι δεκαδικοί . Σ Λ • Το ψηφίο των χιλιοστών ενός αριθμού είναι ίσο με τα χιλιοστά που έχει ο αριθμός Σ Λ

5. Μετρήσαμε ένα βάρος και βρήκαμε ότι είναι 5,374 κιλά. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση βάζοντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράμμα. α) Ποιο είναι το ψηφίο των χιλιοστών του βάρους; Α. Το 0 Β. Το 1 Γ. Το 0,001 Δ. Το 4 β) Πόσα χιλιοστά είναι το βάρος που μετρήσαμε; Α. 4 Β. 5374 Γ. 374 Δ.. 74 γ) Πόσα εκατοστά είναι το βάρος που μετρήσαμε; Α. 4 Β. 537,4 Γ. 37,4 Δ.. 37


4

6. Γράψτε στη δεύτερη γραμμή του παρακάτω πίνακα την τάξη του υπογραμμισμένου ψηφίου. Αριθμός 2543,385 2543,385 2543,385 2543,385 2543,385 2543,385 Τάξη υπογραμμισμένου ψηφίου

7. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: Αριθμός 3021,495 6,037 749,63 1256,4 0,10034 2001 Ψηφίο μονάδων Ψηφίο χιλιοστών Ψηφίο χιλιάδων Ψηφίο δεκάτων 8. Ένας αριθμός έχει το ίδιο ακέραιο και δεκαδικό μέρος .Η μεγαλύτερη τάξη των ψηφίων του είναι οι χιλιάδες. Τα ψηφία των εκατοντάδων και των δεκάδων είναι 0 .Τα ψηφία των δεκάτων και των δεκάκις χιλιοστών είναι 2. Ποιος είναι ο αριθμός; 9. Να γράψετε τον αριθμό για τον οποίο γνωρίζουμε ότι το ακέραιο μέρος του έχει ψηφία διαδοχικούς άρτιους κατά αύξουσα σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά και το δεκαδικό του μέρος έχει ψηφία διαδοχικούς περιττούς κατά φθίνουσα σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά.. 10. Να γράψετε τον αριθμό για τον οποίο ισχύουν τα παρακάτω: Έχει ψηφίο μονάδων το 5. Όλα τα ψηφία του είναι διαφορετικά. Τα ψηφία του είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί με αύξουσα σειρά από τα δεξιά προς τα αριστερά.

1.3 ΔΙΑΤΑΞΗ ΑΡΙΘΜΩΝ.

1. Γράψτε τους δύο μεγαλύτερους φυσικούς αριθμούς που δεν ξεπερνούν το 2002. 2. Στη δεύτερη στήλη του παρακάτω πίνακα βάλτε το σύμβολο, (< , > , =) , το οποίο είναι απαραίτητο για την σύγκριση των αριθμών που βρίσκονται στην πρώτη και στη τρίτη στήλη του πίνακα.

1ος αριθμός < ή > ή = 2ος αριθμός 531 531,00 0,123 0,321 97,654 97,645 2756 2,757 79,0700 79,07 4,56 45,600 802,003 803,002

3. α) Γράψτε πέντε αριθμούς μεταξύ του 0 και του 1 με την σειρά που δείχνει το σχήμα: 0<………..<…………<…………<………….<…………<1 β) Γράψτε πέντε αριθμούς μεταξύ του 1,1 και του 1,2 με την σειρά που δείχνει το σχήμα: 1,1<………..<…………<…………<………….<…………<1,2 γ) Γράψτε πέντε αριθμούς μεταξύ του 2,41 και του 2,42 με την σειρά που δείχνει το σχήμα:


5

2,41<………..<…………<…………<………….<…………<2,42 4. α) Γράψτε όλους τους φυσικούς αριθμούς μεταξύ του 7,32 και του 10,001 β) Γράψτε όλους τους φυσικούς αριθμούς που είναι μικρότεροι του 5 γ) Γράψτε όλους τους φυσικούς διψήφιους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 97. 5. Γράψτε τοποθετώντας τους με τη σειρά από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο τους αριθμούς: χίλια, εκατό, ένα χιλιοστό, ένα δέκατο, ένα δεκάκις χιλιοστό, ένα εκατοστό, δέκα, ένα εκατοντάκις χιλιοστό, ένα εκατομμυριοστό. 6. Γράψτε έναν αριθμό μεταξύ των αριθμών 1,111 και 1,1111.

1.4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ.

1. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιοι αριθμοί .Απαντήστε γράφοντας ΝΑΙ στην δεύτερη στήλη , εφ’ όσον μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε αυτούς τους αριθμούς, και γράφοντας ΟΧΙ, εφ’ όσον αυτό δεν είναι δυνατόν.

ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΤΟΝ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΟΥΜΕ

ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΗΛΕΦΩΝΟΥ ΤΙΜΗ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ ΤΑΧΥΔΡΟΜΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΗΛΙΚΙΑ ΒΑΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ

2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟ ΨΗΦΙΟ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΔΕΚΑΔΩΝ ΕΚΑΤΟΝΤΑΔΩΝ ΧΙΛΙΑΔΩΝ 5632,7 19845,382 9529,85 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟ ΨΗΦΙΟ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΕΚΑΤΩΝ ΕΚΑΤΟΣΤΩΝ ΧΙΛΙΟΣΤΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ 0,1456 5,6483 9,9999 4. Δίνεται ο αριθμός 49…3. Να τοποθετήσετε στο κενό τον μικρότερο φυσικό αριθμό ώστε αν στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 49…3 στην εκατοντάδα να πάρουμε τον αριθμό 5000. 5. Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν στρογγυλοποιηθούν στην δεκάδα δίνουν τον αριθμό 500.


6

6. Να βρείτε πόσοι είναι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι όταν στρογγυλοποιηθούν στην εκατοντάδα δίνουν αποτέλεσμα τον αριθμό 1000. Γράψτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται αυτοί οι αριθμοί. 7. Να βρείτε τον φυσικό αριθμό ο οποίος έχει ψηφίο μονάδων το 9 και όταν στρογγυλοποιείται στην δεκάδα την εκατοντάδα και την χιλιάδα δίνει αποτέλεσμα 2000.


7

1.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΝΙΣΩΣΗΣ.

1. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις χρησιμοποιώντας ένα ή περισσότερα γράμματα - μεταβλητές : Ένας φυσικός αριθμός ….. Δύο αριθμοί …., ….. Δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί …., ……. Ένας αριθμός μεταξύ του 1 και του 10 : 1<…..<10 Τρεις διαδοχικοί άρτιοι φυσικοί αριθμοί ….., ………., ……….. Πληρώσαμε …… ευρώ για να αγοράσουμε ένα βιβλίο Η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι ….. χιλιόμετρα την ώρα. Ο Φίλιππος έχει …. ευρώ και η Κλεοπάτρα 5,30 ευρώ λιγότερα δηλαδή ……….. Αγοράσαμε …… τετράδια με 1,32 ευρώ το ένα και πληρώσαμε ……….. ευρώ. 2. Στο πενταπλάσιο ενός αριθμού προσθέτουμε το 2 και βρίσκουμε 17. α) Ποια από τις παρακάτω 4 ισότητες περιγράφει με μαθηματικό τρόπο, (εξίσωση), την παραπάνω πρόταση; Α. 5.2 + χ = 17 Β. 5 + χ +2 = 17 Γ. 5.χ + 2 = 17 Δ. χ.2 + 5 = 17 β) Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς επαληθεύει την ισότητα που βρήκατε Α. 7 Β. 10 Γ. 3 Δ. 6 3. Με την βοήθεια των μεταβλητών και των πράξεων μεταξύ των αριθμών να γράψετε τις ισότητες ή τις παραστάσεις που προκύπτουν από τις παρακάτω προτάσεις Σ’ έναν αριθμό πολλαπλασιάζουμε το 2 και στο γινόμενο προσθέτουμε το 3 …………………………………. Αυξάνουμε έναν αριθμό κατά 8 και βρίσκουμε το τριπλάσιο του αριθμού . …………………………………. Προσθέτουμε δύο αριθμούς που διαφέρουν κατά 2 μονάδες. …………………………………. Το διπλάσιο ενός αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα του αριθμού αυτού με το 5 …………………………………. Από το 27 αφαιρούμε έναν αριθμό και βρίσκουμε τον διπλάσιο του αριθμού που αφαιρέσαμε. …………………………………. 4. Να γράψετε με προτάσεις το νόημα των παρακάτω ισοτήτων ή παραστάσεων ή ανισοτήτων. 3.χ ……………………………………………………………………………………… 3.χ + 5 ……………………………………………………………………………………. 3.χ + 5 = 11 ……………………………………………………………………………….. χ – 2 ………………………………………………………………………………………. 2.κ + 1<8 …………………………………………………………………………………. ω + (ω+1) + (ω+2) ,όπου ω ένας φυσικός αριθμός. …………………………………………………………………………………………….. 5. Αν με χ παραστήσουμε έναν άρτιο φυσικό αριθμό τότε α) Πως θα παραστήσουμε τον επόμενο και πως τον προηγούμενό του; Τι αριθμοί θα είναι αυτοί; β) Πως θα παραστήσουμε τον επόμενο άρτιο φυσικό αριθμό και πώς τον προηγούμενο;


8

6. Α. Στην πρώτη γραμμή του παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής κ. Στην δεύτερη γραμμή του πίνακα γίνεται αντικατάσταση των τιμών του κ στην παράσταση 2.κ .Στην τρίτη γραμμή του πίνακα δίνονται οι τιμές της παράστασης 2.κ . κ 0 1 2 1000 1001 2.κ 2.0 2.3 2.7 2.κ 0 20 18 2004 110 α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα β) Οι αριθμοί της τρίτης στήλης είναι άρτιοι ή περιττοί ; γ) Κάποιος ισχυρίζεται ότι μπορούμε να παραστήσουμε έναν άρτιο φυσικό αριθμό με την παράσταση 2.κ, με κ να παριστάνει κάποιον φυσικό αριθμό. Μπορείτε να βρείτε κάποιον άρτιο φυσικό αριθμό που δεν μπορεί να παρασταθεί με την μορφή 2.κ για να μπορέσουμε να καταρρίψουμε τον ισχυρισμό του; Β. Στην πρώτη γραμμή του παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής κ. Στην δεύτερη γραμμή του πίνακα γίνεται αντικατάσταση των τιμών του κ στην παράσταση 2.κ + 1 .Στην τρίτη γραμμή του πίνακα δίνονται οι τιμές της παράστασης 2.κ +1 . κ 0 1 2 1000 1001 2.κ +1 2.0 +1 2.3 +1 2.7 +1 2.κ +1 1 21 19 1999 111 α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα β) Οι αριθμοί της τρίτης στήλης είναι άρτιοι ή περιττοί ; γ) Κάποιος ισχυρίζεται ότι μπορούμε να παραστήσουμε έναν περιττό φυσικό αριθμό με την παράσταση 2.κ +1 , με κ να παριστάνει κάποιον φυσικό αριθμό. Μπορείτε να βρείτε κάποιον περιττό φυσικό αριθμό που δεν μπορεί να παρασταθεί με την μορφή 2.κ +1 για να μπορέσουμε να καταρρίψουμε τον ισχυρισμό του; 7. Αν με χ και ψ παραστήσουμε τα μήκη των πλευρών των παρακάτω σχημάτων να γράψετε μία παράσταση που να μας δίνει την περίμετρό τους. 8. Δύο φυσικοί αριθμοί έχουν γινόμενο 16. Αν συμβολίσουμε α τον έναν και β τον άλλο τότε: α) Ποια ισότητα προκύπτει για τους α και β ; β) Βρείτε τις τιμές που μπορούν να πάρουν οι α , β συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα α β

Π= ………….

x

x

x

x

Π= ……

ψ

χ χ

ψ


9

9. Σκεφτείτε τρεις αριθμούς ώστε ο δεύτερος να είναι μεγαλύτερος κατά δύο μονάδες από τον πρώτο και ο τρίτος κατά πεντέμισι μονάδες μεγαλύτερος από τον δεύτερο. α) Αν ο πρώτος είναι ο χ ποιος θα είναι ο δεύτερος και ποιος ο τρίτος; β) Αν ο δεύτερος είναι ο χ ποιος θα είναι ο πρώτος και ποιος ο τρίτος; γ) Αν ο τρίτος είναι ο χ ποιος θα είναι ο πρώτος και ποιος ο δεύτερος; 10. Κάποιος, το έτος 2020μ.χ. θα έχει ηλικία χ χρονών. Γράψτε την παράσταση που μας δείχνει πριν πόσα χρόνια από σήμερα έχει γεννηθεί. 11. Ένας καλός τρόπος κατανόησης των εξισώσεων και των ανισώσεων είναι η ζυγαριά – παλάντζα : Αποτελείται από δύο μεταλλικούς δίσκους που κρέμονται στην άκρη μιας δοκού η οποία στηρίζεται στο κέντρο της από μια κατακόρυφη ράβδο. Αν τοποθετήσουμε στους δύο δίσκους της ζυγαριάς δύο αντικείμενα Α και Β με το ίδιο βάρος η δοκός θα ισορροπήσει σε οριζόντια θέση δείχνοντάς μας ότι τα αντικείμενα Α και Β είναι ίσα, (σε βάρος), δηλαδή Α = Β….εξίσωση. Αν, τα αντικείμενα δεν έχουν το ίδιο βάρος και η δοκός γείρει προς το μέρος του δίσκου που έχουμε τοποθετήσει το αντικείμενο Β τότε καταλαβαίνουμε ότι το αντικείμενο Β είναι βαρύτερο του αντικειμένου Α ……. Α < Β …. ανίσωση. Αν η δοκός γείρει προς το μέρος του δίσκου που έχουμε τοποθετήσει το αντικείμενο Α τότε καταλαβαίνουμε ότι το αντικείμενο Α είναι βαρύτερο του αντικειμένου Β ……. Α > Β…..ανίσωση. Να ένα πρόβλημα εξίσωσης: Δύο τούβλα ζυγίζουν όσο ένα τούβλο και 1,2 κιλά. Πόσο ζυγίζει το τούβλο; Διαδικασία επίλυσης του προβλήματος: Φανταζόμαστε μια ζυγαριά (=, <, >) Τοποθετούμε δύο τούβλα στον ένα δίσκο της και στον άλλο δίσκο: ένα τούβλο και ένα βάρος 1,2 κιλών. Η ζυγαριά θα ισορροπήσει. Γράφουμε : Έστω χ το βάρος του ενός τούβλου τότε 2.χ = χ + 1,2 Βρήκαμε έτσι την εξίσωση που προκύπτει από τα δεδομένα του προβλήματος. Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να απαντήσουμε στο ζητούμενο του προβλήματος: Αφαιρούμε από τον κάθε δίσκο της ζυγαριάς το ένα τούβλο . Αφού αφαιρέσαμε το ίδιο βάρος είναι λογικό ότι η ζυγαριά θα ισορροπήσει πάλι. Ποια είναι η καινούργια εξίσωση; Τι μας δείχνει; Εφαρμόστε παρόμοια διαδικασία για να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα: Α. Ένα τούβλο ζυγίζει όσο, μισό τούβλο και ένα κιλό. Πόσο ζυγίζει το τούβλο; Β. Τοποθετήσαμε στον ένα δίσκο μιας ζυγαριάς ένα αντικείμενο βάρους χ και στον άλλο δίσκο της βάρος 1 κιλού και παρατηρήσαμε ότι η ζυγαριά γέρνει προς τη μεριά του αντικειμένου. Κατόπιν τοποθετήσαμε στον δίσκο που είχαμε το βάρος του ενός κιλού μισό ακόμη κιλό και παρατηρήσαμε ότι η ζυγαριά έγερνε προς τη μεριά του βάρους των 1,5 κιλών. Συμπληρώστε την διπλή ανίσωση ……..<…..<……. που προκύπτει από τα δεδομένα του προβλήματος. Στρογγυλοποιώντας το βάρος του αντικειμένου στη μονάδα ποια θα είναι η απάντησή μας για το βάρος του; Γ. Μια τηλεόραση 14΄΄ μαζί με το τηλεχειριστήριό της κοστίζει 100 ευρώ. Η τηλεόραση κοστίζει όσο 9 τηλεχειριστήριά της. Έστω χ ευρώ κοστίζει το τηλεχειριστήριο. Τοποθετήσετε στον ένα δίσκο της ζυγαριάς την αξία της τηλεόρασης και του τηλεχειριστηρίου με την βοήθεια της μεταβλητής χ. Τι πρέπει να βάλουμε στον άλλο δίσκο για να ισορροπήσει η ζυγαριά; Ποια είναι η εξίσωση που προκύπτει από αυτή την ισορροπία;


10

Ποια είναι η λύση της εξίσωσης; Τελικά πόσο κοστίζει η τηλεόραση και πόσο το τηλεχειριστήριό της; Δ. Ο πατέρας του Χρήστου είναι 25 χρόνια μεγαλύτερός του και ο Χρήστος 3 χρόνια μεγαλύτερος από τον αδερφό του. Έστω χ η ηλικία του Χρήστου π η ηλικία του πατέρα του και α η ηλικία του αδερφού του. Αν στον ένα δίσκο της ζυγαριάς βάλουμε τα χρόνια του πατέρα του Χρήστου, δηλαδή το π, και στον άλλο δίσκο της ζυγαριάς τα χρόνια του Χρήστου χ, πόσα χρόνια πρέπει να προσθέσουμε ακόμη στο δίσκο που βάλαμε το χ ώστε να έχουμε ισορροπία; Ποια είναι η εξίσωση που προκύπτει από αυτή την ισορροπία; Αν στον ένα δίσκο της ζυγαριάς βάλουμε τα χρόνια του πατέρα του Χρήστου, δηλαδή το π, και στον άλλο δίσκο της ζυγαριάς τα χρόνια του αδερφού του Χρήστου α πόσα χρόνια πρέπει να προσθέσουμε ακόμη στο δίσκο που βάλαμε το α ώστε να έχουμε ισορροπία; Ποια είναι η εξίσωση που προκύπτει από αυτή την ισορροπία; Αν στον ένα δίσκο της ζυγαριάς βάλουμε τα χρόνια του πατέρα του Χρήστου, δηλαδή το π, και στον άλλο δίσκο της ζυγαριάς τα χρόνια του Χρήστου χ, πόσα χρόνια πρέπει να αφαιρέσουμε από το δίσκο που βάλαμε το π, ώστε να έχουμε ισορροπία; Ποια είναι η εξίσωση που προκύπτει από αυτή την ισορροπία; Αν στον ένα δίσκο της ζυγαριάς βάλουμε τα χρόνια του πατέρα του Χρήστου, δηλαδή το π, και στον άλλο δίσκο της ζυγαριάς τα χρόνια του αδερφού του Χρήστου α πόσα χρόνια πρέπει αφαιρέσουμε από το δίσκο που βάλαμε το π , ώστε να έχουμε ισορροπία; Ποια είναι η εξίσωση που προκύπτει από αυτή την ισορροπία; Με παρόμοιο τρόπο ποιες εξισώσεις προκύπτουν για τις ηλικίες του Χρήστου και του αδερφού του;


11

1.6 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ.

1. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δύο ή περισσοτέρων αριθμών λέγεται ………………. και οι αριθμοί που προσθέτουμε λέγονται …………………………………………………………. Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης δύο αριθμών λέγεται ……………… , ο αριθμός από τον οποίο αφαιρούμε τον άλλο λέγεται ……………. και αυτός που αφαιρείται λέγεται ……………… 2. Βάλτε σε κύκλο το Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και το Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος: Στην πρόσθεση δύο ή περισσοτέρων αριθμών δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία θα προσθέσουμε τους αριθμούς. …….. Σωστό ή Λάθος ; Σε μια παράσταση που έχει προσθέσεις και αφαιρέσεις αριθμών δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία θα κάνουμε τις πράξεις. …….. Σωστό ή Λάθος ; Για δύο αριθμούς α και β ισχύει: α + β = β + α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για δύο αριθμούς α και β ισχύει: α - β = β - α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α + 0 = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α - 0 = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: 0 - α = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α - α = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α - α = 0 …….. Σωστό ή Λάθος ; 3. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Αν χ + α = β τότε χ = …….. Αν α + χ = β τότε χ = …….. Αν χ - α = β τότε χ = …….. Αν α - χ = β τότε χ = …….. 4.Α. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα Αριθμός α

5,1 857 2,635 1000,5 0,359 100 751 48,03 0,01 7,55

Αριθμός β

2,4 643 1,932 1000,5 0,0359 0,99 248 48,003 0,001 1,45

Άθροισμα α + β

Διαφορά α - β


12

4.Β. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα Αριθμός α

10 24 9,7 5,935 15,4

Αριθμός β

150 54 3,5 1001

Άθροισμα α + β

15 310 10 7 30,8 100

Διαφορά α - β

4 10` 0 1001 0

5. α) Βρείτε τα παρακάτω αποτελέσματα στρογγυλοποιώντας τους αριθμούς στην εκατοντάδα: Α1 = 537 + 684 + 319 = …… Α2 = 1354 + 572 +5043 +2956 = ……… Α3 = 83,5 +942,39 +997,45 = ……… β) Βρείτε τα παρακάτω αποτελέσματα στρογγυλοποιώντας τους αριθμούς στο δέκατο: Α1 = 5,37 + 6,58 + 3,19 = …… Α2 = 13,54 + 0,45 +50,43 +1,56 = ……… Α3 = 57,6 +942,39 +999,96 = ……… γ) Βρείτε τα παρακάτω αποτελέσματα στρογγυλοποιώντας τους αριθμούς στην χιλιάδα: Α1 = 1537 - 684 = …… Α2 = 121354 - 1472 +5043 -2956 = ……… Α3 = 8923,5 +1942,39 - 1997,45 = ……… 6. Βρείτε τα παρακάτω αποτελέσματα αναζητώντας τον ποιο εύκολο για σας τρόπο: Α1 = 1537 - 537 = …… Α2 = 1+2+3+12+13+14 = ……… Α3 = 560 +375 + 140 + 25 + 1000 = ……… Α4 = 27 + 1 + 72 Α5 = ( 1356,897 + 5326,42 +485697542,3214) - (485697542,3214 +1356,897 + 5326,42) =…. 7. Βρείτε τα παρακάτω αποτελέσματα με τον τρόπο που σας δείχνει το παράδειγμα: 63 + 7 + 5 – 8 +3 – 1 = 70 + 5 – 8 + 3 –1 = 75 – 8 + 3 – 1 = 67 + 3 – 1 = 70 – 1 = 69 Α1 = 48 + 53 + 62 – 51 – 43 = …….+ 62 – 51 – 43 = …….– 51 – 43 = ……. – 43 = ……. Α2 = 375 – 47 –163 + 1356 – 987 = ………–163 + 1356 – 987 =……+ 1356 – 987 = .…..-987=… Α3 = 1526 – 326 + 1200 – 400 + 2 = ……… Α4 = 15,26 – 3,26 + 0,12 – 4 + 0,88 – 9 = ……… Α5 = 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 – 0,00009 = ………


13

8. Συμπληρώστε τις τελίτσες με τα ψηφία που χρειάζεται:

.99.2..3653

+

37,....,892,84

−

2.6.9472.9245.7

+

33,.3..,7502,4.

−

.00029.7..9225.9

+

9. Εξετάστε αν τα παρακάτω τετράγωνα είναι «μαγικά» , δηλαδή αν το άθροισμα κάθε διαγωνίου κάθε γραμμής και κάθε στήλης τους είναι το ίδιο.

30 100 20 51 37 12

40 50 60 22 28 50

80 0 70 27 35 38

75 48 25 52 14 15 16 20

55 30 43 72 19 21 13 12

43 78 49 30 23 17 18 7

27 44 83 46 9 12 18 26

10. α.) Φτιάξτε μόνοι σας «μαγικά» τετράγωνα 3χ3: Στα παρακάτω τετράγωνα, βάλτε στα γραμμοσκιασμένα τετραγωνάκια τρεις αριθμούς προσέχοντας τα εξής: Το άθροισμα οποιονδήποτε δύο από αυτούς τους αριθμούς να είναι μεγαλύτερο από τον τρίτο. Τον μεγαλύτερο από τους τρεις αριθμούς τον τοποθετούμε στο κεντρικό τετραγωνάκι. Υπολογίσετε κατόπιν , το τριπλάσιο του αριθμού που βάλατε στο κεντρικό τετραγωνάκι. Υπολογίστε τέλος, τους αριθμούς που πρέπει να βάλετε στα υπόλοιπα τετραγωνάκια ώστε το τετράγωνο να γίνει «μαγικό», με άθροισμα γραμμών στηλών και διαγωνίων, ίσο με το τριπλάσιο του αριθμού που βάλατε στο κεντρικό τετραγωνάκι.


14

β.) Φτιάξτε μόνοι σας «μαγικά» τετράγωνα 4χ4: Βάλτε στη θέση των μεταβλητών α, β, γ, δ , χ, ψ αριθμούς και αφού εκτελέσετε τις πράξεις, εκεί όπου υπάρχουν, τοποθετήστε τους αριθμούς στο διπλανό τετράγωνο:Αυτό πρέπει να γίνει «μαγικό»!

α β γ δ

δ+χ γ-χ β+χ α-χ

β+ψ α+ψ δ-ψ γ-ψ

γ-χ-ψ δ+χ-ψ α-χ+ψ β+χ+ψ

α β γ δ

δ+χ γ-χ β+χ α-χ

β+ψ α+ψ δ-ψ γ-ψ

γ-χ-ψ δ+χ-ψ α-χ+ψ β+χ+ψ

11. Να βρείτε τον αριθμό χ στις παρακάτω εξισώσεις, με τον τρόπο που φαίνεται στα παραδείγματα : 12. Αν α = 350 , β = 53, γ = 21,5 να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = α + β + γ Β = α – β – γ Γ = β – γ + α

Παράδειγμα 1. χ + 3 = 5 χ = 5 – 3 χ = 2

Παράδειγμα 2. χ – 3 = 5 χ = 5 + 3 χ = 8

Παράδειγμα 3. 8 – χ = 5 χ = 8 – 5 χ = 3

Εξίσωση 1. χ + 7 = 20

Εξίσωση 2. χ – 7 = 1

Εξίσωση 3. 2,5 – χ = 2

Εξίσωση 4. χ + 0,002 = 0,1

Εξίσωση 5. χ + (7 –3,5) = 20

Εξίσωση 6. χ – (7+2) = 1

Εξίσωση 7. (2,5 +3) – χ = 2 +1,75


15

13. Αν χ + ψ = 25 και ψ + ω =15 να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = χ + 37 +ψ +5 – (14 + ψ + 12 +ω) Β = χ + 2ψ + ω 14. Υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Χ = 47,8 + 3,2 –1,5 – 0,5 Ψ = Χ –31,3 +0,3 Ω = Χ – Ψ +19,5 15. Να βρείτε έναν αριθμό αν γνωρίζουμε ότι: Προσθέτοντας το 39 βρίσκουμε άθροισμα 83 Απαντάμε ως εξής : Έστω χ ο αριθμός τότε χ + 39 = 83 οπότε χ = 83 –39 άρα χ = ….. Προσθέτοντας το 45 βρίσκουμε άθροισμα 100 ……………………………………………………………………………………………… Προσθέτοντας το 2,345 βρίσκουμε άθροισμα 5,143 ……………………………………………………………………………………………… Αφαιρώντας από αυτόν το 55 βρίσκουμε 9 ……………………………………………………………………………………………… Αφαιρώντας από αυτόν το 5,5 βρίσκουμε 9,4 ……………………………………………………………………………………………… Αφαιρώντας αυτόν από το 5,5 βρίσκουμε 3 ……………………………………………………………………………………………… Αφαιρώντας αυτόν από το 32 βρίσκουμε 12,3 ……………………………………………………………………………………………… 16. Κάποιος μαθητής θέλει να αγοράσει ένα βιβλίο και μερικά τετράδια. Το κόστος του βιβλίου είναι 9,36 ευρώ και το κόστος των τετραδίων είναι 3,25 ευρώ. Έχει μαζί του 15 ευρώ. Πόσα ευρώ θα περισσέψουν στο μαθητή μετά την αγορά; 17. Σε μια ημερήσια εκδρομή του σχολείου ο Μανόλης έφυγε από το σπίτι του στις 07:00 το πρωί και επέστρεψε στις 10:00 το βράδυ. Το λεωφορείο έφυγε από το σχολείο για τον προορισμό της εκδρομής στις 08:00 το πρωί. Έφτασε στον προορισμό του, κάνοντας μιάμιση ώρα στάση, στις 01:00 το μεσημέρι. Στην επιστροφή το λεωφορείο αναχώρησε στις 05:00 το απόγευμα και κάνοντας μισή ώρα στάση επέστρεψε στο σχολείο στις 09:00 το βράδυ. α) Πόσες ώρες έλειψε από το σπίτι του ο Μανόλης; β) Πόσες ώρες ήταν μέσα στο λεωφορείο; (Δεν υπολογίζουμε τις στάσεις) 18. Ένας μανάβης πούλησε την Δευτέρα και την Τρίτη 37 κιλά πορτοκάλια , (και τις δυο μέρες). Την Τετάρτη πούλησε όσα την Τρίτη και την Πέμπτη όσα είχε πουλήσει την Δευτέρα. Την Παρασκευή πούλησε 3 κιλά λιγότερα απ’ ότι την Πέμπτη και το Σάββατο 8 κιλά περισσότερα απ’ ότι την Τετάρτη. Πόσα κιλά πούλησε συνολικά όλη την εβδομάδα. 19. Ένα φορτηγό έχει απόβαρο 3,7 τόνους και μεταφέρει φορτίο 0,2 τόνων λιγότερο από το απόβαρό του. Πόσους τόνους λιγότερο φορτίο έπρεπε να μεταφέρει για να περάσει από μια γέφυρα η οποία έχει περιορισμό : « μέγιστο επιτρεπόμενο φορτίο 7 τόνοι» ; Γράψτε μια παράσταση, με την βοήθεια των δεδομένων, το αποτέλεσμα της οποίας να δίνει την απάντηση του προβλήματος.


16

20. Κάποιος ζήτησε από τα τρία παιδιά του να του πουν τι δώρο θα ήθελαν στα γενέθλιά τους . Η αξία και των τριών δώρων θα έπρεπε να είναι ίση. Τα δώρα θα μπορούσαν να είναι είτε κάποια παιχνίδια είτε χρήματα είτε και παιχνίδια και χρήματα. Ο πρώτος ζήτησε από τον πατέρα του ένα ποδήλατο. Ο δεύτερος ζήτησε ένα cd ενός παιχνιδιού για τον υπολογιστή και 50 ευρώ. Ο τρίτος ζήτησε 85 ευρώ. Υπολογίζοντας την αξία των δώρων ο πατέρας τους βρήκε ότι το ποδήλατο κοστίζει 5 ευρώ παραπάνω από το δώρο του που ζήτησε ο δεύτερος και 5 ευρώ λιγότερο από το δώρο που ζήτησε ο τρίτος. Έτσι, αγόρασε το ποδήλατο και το cd που του ζήτησαν οι δύο πρώτοι, αλλά δεν έδωσε 50 ευρώ στον δεύτερο ούτε 85 στον τρίτο. α) Βρείτε την αξία του ποδηλάτου. β) Βρείτε πόσα χρήματα πρέπει να δώσει στον δεύτερο και πόσα στον τρίτο. γ) Βρείτε την αξία του cd. δ) Πόσα χρήματα ήταν η αξία και των τριών δώρων. 21. Η μητέρα του Νίκου αγόρασε από το μανάβικο μήλα πορτοκάλια και μπανάνες. Όλα μαζί ζύγιζαν 7 κιλά. Τα μήλα και τα πορτοκάλια μαζί ζύγιζαν 4κιλά . Οι μπανάνες και τα μήλα μαζί ζύγιζαν 5 κιλά. Πόσα κιλά ζύγιζαν τα μήλα , πόσα κιλά τα πορτοκάλια και πόσα κιλά οι μπανάνες;


17

1.7 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ. 1. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο ή περισσοτέρων αριθμών λέγεται ………………. και οι αριθμοί που προσθέτουμε λέγονται ……………………. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών λέγεται ……………… , ο αριθμός τον οποίο διαιρούμε λέγεται ……………. και αυτός με τον οποίο διαιρούμε λέγεται ……………… 2. Βάλτε σε κύκλο το Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και το Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος: Στο γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία θα πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς. …….. Σωστό ή Λάθος ; Σε μια παράσταση που έχει μόνο πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις αριθμών δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία θα κάνουμε τις πράξεις. …….. Σωστό ή Λάθος ; Για δύο αριθμούς α και β ισχύει: α . β = β . α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για δύο αριθμούς α και β ισχύει: α : β = β : α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α . 0 = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α . 0 = 0 …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: 0 : α = 0 …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α : 0 = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α : 0 = 0 …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α . 1 = α …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α : α = 1 …….. Σωστό ή Λάθος ; Για τον αριθμό α ισχύει: α : 1 = 1 …….. Σωστό ή Λάθος ; 3. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Αν χ . α = β τότε χ = …….. Αν α . χ = β τότε χ = …….. Αν χ : α = β τότε χ = …….. Αν α : χ = β τότε χ = …….. 4.Α. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα Αριθμός α

5,1 857 2,635 1000,5 0,359 100 751 48,03 340,75 7,55

Αριθμός β

100 10 1000 10 10000 100 1000 100 10000 10

Αριθμός γ

00,1 0,1 0,001 0,1 0,0001 0,01 0,001 0,01 0,0001 0,1

Γινόμενο α.β

Γινόμενο α.γ

Γινόμενο β.γ


18

4.Β. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα Αριθμός α

32,45 350 745 2 75 3,04

Αριθμός β

100 10000 10

Αριθμός γ

0,1

Γινόμενο α.β

3245 7450000 750 47500 32 27000 1

Γινόμενο α.γ

0,35 0,2 0,0000304


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5.Α. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

Αριθμός α

500 347,25 3,5 35000 0,42 5 1000 538 4935,48

Αριθμός β

100 1000 10 10000 100 10 1000 100 1000

Αριθμός γ

0,01 0,001 0,1 0,001 0,01 0,1 0,001 0,01 0,001

Πηλίκο α:β

Πηλίκο α:γ


5.Β. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

Αριθμός α

40 3 57,12 87,5 4850

Αριθμός β

10 1000

Αριθμός γ

0,01 0,1

Πηλίκο α:β

4 0,5712 4,5 0,4850 6,3

Πηλίκο α:γ

3000 8750 37000 740


1 1 1 1 1 1 1 1 1

6. Γράψτε σε μορφή γινομένου τα παρακάτω αθροίσματα: α) χ+χ+χ+χ+χ = ……. β) α + α = ….. γ) α + 2α = …………. = ……. δ) 5χ + 2χ = ……………………….. = ……. ε) 12 +12 +12 +12 +12 = …..


19

7. α) Υπολόγισε το άθροισμα όλων των μονοψήφιων αριθμών. β) Υπολόγισε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών. γ) Υπολόγισε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών. 8. Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα με τον πιο εύκολο τρόπο. Γ1 = 2 . 3,5 . 5 = Γ2 = 7 . 15 . 2 = Γ3 = 38 . 25 . 4 = Γ4 = 2,5 . 25,31 . 400 = Γ5 =0,01 . 374,63 . 125 . 8 = Γ6 = 800 . 500 . 0,08 .0,02 = 9. Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα γνωρίζοντας ότι 218 . 37 = 8066 Γ1 = 2180 . 370 = Γ2 = 2,18 . 37 = Γ3 = 2,18 . 3,7 = Γ4 = 2180 . 3,7 = Γ5 =21800 . 0,37 = Γ6 = 0,218 . 3700 = 10. Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα και πηλίκα:

Αριθμός α Αριθμός β Γινόμενο α . β Πηλίκο α : β 273 3 1377 17 10,35 2,3 8,192 50 46,184 46 5490 18

11. Να βρείτε τον αριθμό χ στις παρακάτω εξισώσεις, με τον τρόπο που φαίνεται στα παραδείγματα :

Παράδειγμα 1. 3χ = 30 χ = 30 : 3 χ = 10

Παράδειγμα 2. χ : 3 = 10 χ = 10 . 3 χ = 30

Παράδειγμα 3. 8 : χ = 2 χ = 8 : 2 χ = 4

Εξίσωση 1. 7χ = 28

Εξίσωση 2. χ : 25 = 40

Εξίσωση 3. 2,5 : χ = 250

Εξίσωση 4. 0,35χ = 70

Εξίσωση 5. (7 : 3,5)χ = 20

Εξίσωση 6. χ : (7 . 2) = 32

Εξίσωση 7. (8 . 17) : χ = 136


20

12. Να βρείτε τον αριθμό χ στις παρακάτω εξισώσεις, με τον τρόπο που φαίνεται στα παραδείγματα : 13. α.) Ο «μαγικός» πολλαπλασιασμός με το 11 Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα:

α Διψήφιος αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του δεν ξεπερνά το 9

Τριψήφιος αριθμός : Τα δύο ακραία ψηφία είναι τα ψηφία του διψήφιου της 1ης στήλης και το μεσαίο είναι το άθροισμα των ψηφίων του διψήφιου

11α Γινόμενο του διψήφιου αριθμού της 1ης στήλης με τον αριθμό 11

23 253 253 11 12 17 26 43 81

Παράδειγμα 1. 3χ - 4 = 26 3χ = 26 + 4 3χ = 30 χ = 30:3 χ = 10

Παράδειγμα 2. 2χ + 3 = 15 2χ = 15 - 3 2χ = 12 χ = 12:2 χ = 6

Παράδειγμα 3. 8 - 5χ = 2 5χ = 8 - 2 5χ = 6 χ = 6:5 χ = 1,2

Εξίσωση 1. 2χ -7 = 2,35

Εξίσωση 2. 3χ + 25 = 40

Εξίσωση 3. 25,5 - 4χ = 2,50

Εξίσωση 4. 0,01χ - 5 = 73

Εξίσωση 5. (7 + 3,5)χ + 4 = 25

Εξίσωση 6. 101 - 100χ =100

Εξίσωση 7. 8 . 5 - 7χ = 12


21

β) Προσπαθήσετε να κάνετε μόνοι σας έναν «μαγικό» πολλαπλασιασμό με το 111 α Διψήφιος αριθμός που το άθροισμα των ψηφίων του δεν ξεπερνά το 9

; ;

111α Γινόμενο του διψήφιου αριθμού της 1ης στήλης με τον αριθμό 111

14. Συμπληρώστε τις τελίτσες με τα ψηφία που χρειάζεται:

3 7 7 5 6 2 3 8 6 4 χ … χ … … χ … … … … … 1 … … … 2 … … 2 8 … … 2 3 0 …. … … … … … … … …

15. Να κάνετε τις πράξεις προσέχοντας, εκεί όπου χρειάζεται, την σειρά τους. Α = 3 . 5 . 9 – 105 :3 Β = 2,3 . 4 + 7 . 9 : 3 – 2001:2001 Γ = (7 + 5) : (3 . 2) + 4 . 2,5 : 100 Δ = 12,5 . 4 . 8 . 0,25 .3,67 Ε = (1253 . 37652 . 2956 – 12,53 . 3765200 . 2956) . 38459 .2546897123 Ζ = (3,421 . 25000 . 48) : (480 . 3421 .2,5) 16. Γνωρίζουμε ότι για να υπολογίσουμε την επιφάνεια ενός ορθογωνίου που έχει πλάτος α και μήκος β πολλαπλασιάζουμε το μήκος του με το πλάτος του. Δηλαδή (εμβαδό ορθογωνίου διαστάσεων α , β ) = α . β Θέλουμε να στρώσουμε με πλακάκια δύο ορθογώνιες επιφάνειες Ε1 και Ε2. Η επιφάνεια Ε1 έχει διαστάσεις 4 μέτρα πλάτος και 15 μέτρα μήκος. Η επιφάνεια Ε2 έχει διαστάσεις 5 μέτρα πλάτος και 12,6 μέτρα μήκος. Διαθέτουμε 4000 πλακάκια με διαστάσεις 0,20 μέτρα μήκος και 0,15 μέτρα πλάτος. α) Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι οι δύο επιφάνειες Ε1 και Ε2; β) Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι όλα τα πλακάκια; γ) Φτάνουν τα πλακάκια για να καλύψουμε τις δύο επιφάνειες; Αν όχι πόσα πλακάκια ακόμη θα χρειαστούμε; δ) Γράψτε μια παράσταση, η οποία να περιέχει όλους τους αριθμούς των δεδομένων του προβλήματος και τις κατάλληλες πράξεις που προκύπτουν από τα δεδομένα, και το αποτέλεσμά της να δίνει την απάντηση του τελευταίου ερωτήματος.


22

17. Αγοράζοντας 3 κιλά πορτοκάλια και 2 κιλά μήλα πληρώνουμε 4,40 ευρώ. Αγοράζοντας 2 κιλά πορτοκάλια και 2 κιλά μήλα πληρώνουμε 3,40 ευρώ. α) Πόσο κοστίζει το 1 κιλό πορτοκάλια και πόσο κοστίζει το ένα κιλό μήλα; β) Πόσο θα πληρώσουμε αγοράζοντας 4 κιλά πορτοκάλια και 3 κιλά μήλα; γ) Μπορείτε να απαντήσετε στο β) ερώτημα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το α); 18. Κάποιος κτηνοτρόφος εκτρέφει κουνέλια και κότες. Συνολικά αυτά τα ζώα είναι 350. Τα πόδια των ζώων είναι συνολικά 1000. α) Αν όλα τα ζώα ήταν κότες πόσα θα ήταν τα πόδια τους; β) Πόσα κουνέλια και πόσες κότες έχει ο κτηνοτρόφος; 19. Σ΄ έναν ποδοσφαιρικό αγώνα οι 22 παίκτες και ο διαιτητής ανταλλάσσουν χειραψίες. Δεν ανταλλάσσουν χειραψία παίκτες της ίδιας ομάδας. Πόσες χειραψίες ανταλλάσσονται συνολικά. 20. Σε μια συνάντηση 15 φίλων ανταλλάσσονται μεταξύ τους χειραψίες. Πόσες χειραψίες ανταλλάσσονται συνολικά; 21. Δύο αυτοκίνητα ξεκινούν από διαφορετικές πόλεις Α και Β, με προορισμό τις πόλεις Β και Α αντίστοιχα, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους 350 χιλιόμετρα. Αυτός που ξεκίνησε από την πόλη Α κινείται με μέση ταχύτητα 75 χιλιομέτρων την ώρα. Τα δύο αυτοκίνητα συναντιούνται σε 2,2 ώρες. α) Πόση είναι η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου που ξεκίνησε από την πόλη Β; β) Πόση ώρα θα κάνουν να φτάσουν στον προορισμό τους; 22. Αριστερά και δεξιά ενός δρόμου και από την αρχή του θα τοποθετηθούν κολόνες φωτισμού σε απόσταση 30 μέτρων η μία από την άλλη. α) Αν ο δρόμος είναι 30 μέτρα πόσες κολόνες πρέπει να τοποθετηθούν; β) Αν ο δρόμος είναι 60 μέτρα πόσες κολόνες πρέπει να τοποθετηθούν; γ) Αν ο δρόμος είναι 2370 μέτρα πόσες κολόνες πρέπει να τοποθετηθούν; 23. α) Πόσο θα αυξηθεί το άθροισμα 4 αριθμών αν τον καθέναν αυτούς τον αυξήσουμε κατά χ; β) Αυξήσαμε τον καθέναν από 4 αριθμούς κατά χ και το άθροισμά τους αυξήθηκε κατά 430. Να υπολογίσετε το χ. 24. Αν κάποιος έμπορος αγοράσει 15 κουτιά με “άγραφα” cd που το καθένα περιέχει 10 cd και 7 συσκευασίες που η καθεμιά περιέχει 15 cd θα πληρώσει συνολικά 146,25 ευρώ. α) Πόσο πρέπει να πουλάει το κάθε cd ώστε πουλώντας 150 cd να έχει αποσβεστεί το κόστος αγοράς τους; β) Πόσο θα είναι το κέρδος του αν πουλάει το κάθε cd τόσο όσο βρήκατε στο α ερώτημα; 25. Ένα ορθογώνιο που έχει διαστάσεις χ , ψ έχει εμβαδόν Ε = χ .ψ Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 5 τετραγωνικά μέτρα Να βρείτε το εμβαδόν ενός άλλου ορθογωνίου που η μία διάστασή του είναι τετραπλάσια της μιας διάστασης που έχει το πρώτο και η άλλη τριπλάσια της άλλης διάστασης του πρώτου.


23

26. Απ’ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 100 τετραγωνικών μέτρων και μήκος , πλάτος δύο φυσικούς αριθμούς ποιο έχει την πιο μικρή περίμετρο;


24

1.8 Η ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ.

1. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις α .(β + γ) = ….. + …. . α . β – α . γ = α . (… - …. ) (α + β) . (γ + δ) = α . (… + …) + β . (…+….) = ……+……+……+……. 2 . α + 2 . β = 2 . (…+…) α + 2 . α = (…+….) . α = …… 5 . α – 2 . α = (… – …. ) . α = …….. 7 . χ + 3 . χ – χ = (…+….. -…..) . χ = …… α . χ + α . ψ + β . χ + β . ψ = α .(…+….) + β . (….+….) = (…..+…..) . (….+….) 2. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις με δύο τρόπους όπως στο παράδειγμα: Παράδειγμα: 14 . (7 + 4) Παράσταση 1: 3,5 . (2 + 4) Παράσταση 2 : 75 . (10 + 4) Παράσταση 3 : 31 . (13 – 3) Παράσταση 4 : 143 . (100 – 10 )

Τρόπος 1ος . 14 . (7+4) = = 14 . 7 + 14 . 4 = = 98 + 56 = 154

Τρόπος 2ος . 14 . (7+4) = = 14 . 11 = 156

Τρόπος 1ος .









25

3. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα όπως στα παραδείγματα: 4. Να γράψετε τους υπογραμμισμένους αριθμούς ως γινόμενο δύο άλλων αριθμών ώστε να γίνεται η επιμεριστική ιδιότητα και κατόπιν να την εφαρμόστε, (όπως στο α). α) 2χ + 4ψ = 2χ + 2 .2ψ = 2 . ( χ + 2ψ) β) 3χ – 9ψ = γ) 5α + 10β = δ) 6κ + 18 = ε) 25 – 10ψ = στ) 30α + 40β = 5. Γνωρίζοντας ότι 23 . 45 = 1035 υπολογίστε τις παραστάσεις, εφαρμόζοντας όταν χρειαστεί την επιμεριστική ιδιότητα: α) (20 + 3) . 45 β) 40 . 23 + 5 . 23 γ) 11 . 45 + 12 . 45 δ) 23 . (58 – 13) ε) 55 . 45 – 32 . 45 στ) 23 .105 – 23 . 60

Παράδειγμα 1: 15 . 5 = (10 + 5 ) . 5 =10 . 5 + 5 . 5 = 50 + 25 = 75

Παράδειγμα 2: 15 . 99 = 15 . (100 – 1) = 15 . 100 – 15 . 1 = 1500 – 15 =1485

Γινόμενο 1: 25 . 39 =

Γινόμενο 2: 12 . 15 =

Γινόμενο 3: 17 . 6




Γινόμενο 7: 3,01 . 7

Γινόμενο 8: 4,25 . 40



Γινόμενο 11: 15,8 . 9

Γινόμενο 12: 153 . 80


26

6. Γνωρίζοντας ότι α – β = 5 και χ + ψ = 6 να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Π1 = 2α – 2β +5χ +5ψ Π2 = 3 . (χ + ψ + 5α) – 15β Π3 = 2α + 3α - 5β + 7χ + 2ψ +5ψ Π4 = α – β + χ + 8ψ – 3ψ + 4χ Π5 = χα – χβ +ψα – ψβ 7. Απλοποιήστε τις παρακάτω παραστάσεις όπως σας δείχνει το παράδειγμα: 8. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά α cm, οπότε η περίμετρός του θα είναι 4α cm. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: Αν αυξήσουμε την πλευρά του κατά 5cm , τότε το τετράγωνο που θα προκύψει θα έχει πλευρά ………cm και περίμετρο …..(……….) cm = …………….. cm, οπότε η περίμετρός του αυξάνεται κατά ….. cm. Αν μειώσουμε την πλευρά του κατά 2cm , τότε το τετράγωνο που θα προκύψει θα έχει πλευρά ………cm και περίμετρο …..(……….) cm = …………….. cm, οπότε η περίμετρός του μειώνεται κατά ….. cm. 9. Ένα βιβλιοπωλείο πουλάει μια συσκευασία που περιέχει 3 τετράδια 5 μολύβια και 2 γομολάστιχες. Μια μέρα πούλησε 6 τέτοιες συσκευασίες. Πόσα σχολικά είδη (:τετράδια, μολύβια, γομολάστιχες) πουλήθηκαν; Να λύσετε το πρόβλημα με δύο τρόπους, γράφοντας κάθε φορά την παράσταση, που αιτιολογεί τον τρόπο με τον οποίο λύνουμε το πρόβλημα. 10. Ένας τριψήφιος αριθμός έχει ψηφίο εκατοντάδων τον αριθμό χ ,ψηφίο δεκάδων τον αριθμό ψ και ψηφίο μονάδων τον αριθμό ω. α) Γράψτε μια παράσταση το αποτέλεσμα της οποίας θα είναι ο τριψήφιος αριθμός. β) Γράψτε μια παράσταση το αποτέλεσμα της οποίας θα είναι ο διψήφιος αριθμός με ψηφίο δεκάδων τον αριθμό ψ και ψηφίο μονάδων τον αριθμό ω. γ) Γράψτε μια παράσταση το αποτέλεσμα της οποίας θα είναι το άθροισμα : του τριψήφιου αριθμού, του 90 – πλάσιου του αριθμού ω και του 9-πλασίου του διψήφιου αριθμού . δ) Υπολογίστε την παράσταση που βρήκατε στο γ ερώτημα, αν γνωρίζετε ότι το άθροισμα των ψηφίων του τριψήφιου αριθμού είναι 20. 11. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 11. Να υπολογίσετε το άθροισμα αυτού του διψήφιου και του διψήφιου που προκύπτει, από αυτόν, αν αλλάξουμε την θέση των ψηφίων του.

Παράδειγμα 1: 3χ + 7χ – χ = (3 + 7 – 1)χ = (10 –1)χ = 9χ

Παράσταση 1: α + 2α +4α =

Παράσταση 2: 15χ –12χ + 7χ =

Παράσταση 3: 2,5ω +3,1ω - ω =

Παράσταση 4: 48ψ – 32ψ - ψ =


27

1.9 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. 1. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις α . α . α = …… α2 = ………… α . α . β . β . β = ………. 2α.2α.2α.2α = ……… α5 = ……………… 2. Στις παρακάτω ερωτήσεις επέλεξε τη σωστή απάντηση. Στο γινόμενο α .α .α …….α ο παράγοντας α υπάρχει 2001 φορές. Αυτό το γινόμενο μπορεί να γραφεί σε μορφή δύναμης ως εξής:……. Α. 2001α Β. α2000 Γ. 2001α Δ. α2001 Το άθροισμα 2 + 2 +2 + 2 μπορεί να γραφεί ως δύναμη του 2 ως εξής: Α. 24 Β. 22 Γ. 23 Δ. Δεν μπορεί να γραφεί ως δύναμη του 2. Το γινόμενο 52 . 53 μπορεί να γραφτεί ως δύναμη του 5 ως εξής: Α. 55 Β. 56 Γ. 59 Δ. Δεν μπορεί να γραφεί ως δύναμη του 5. 3. α) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας

Αριθμός α α 0 1 2 3 10 0,2 0,3

Τετράγωνο του α α2 9

Κύβος του α α3

Τέταρτη δύναμη του α α4 16

Πέμπτη δύναμη του α α5

β) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας

Αριθμός α α

Τετράγωνο του α α2 16 10000

Κύβος του α α3 125 1

Τέταρτη δύναμη του α α4 0,0001

Πέμπτη δύναμη του α α5 100000 0,00243

4. α) Να υπολογίσετε τα τετράγωνα όλων των αριθμών από το 1 έως και το 20. β) Ποιών αριθμών τετράγωνα είναι οι αριθμοί.: 196 = ….2 , 19600 = …….2 , 1,96 = ….2 , 2500 = …..2 , 40000 = ……2


28

5. Να τοποθετήσετε από την μικρότερη προς την μεγαλύτερη τις παρακάτω δυνάμεις του 2 και του 0,2: 21 , 0,21 , 22 , 0,22 , 23 , 0,23 , 24 , 0,24 6. Να γράψετε τον αριθμό 64 ως δύναμη με βάση το 2, το 4, το 8, και το 64 7. Να προσπαθήσετε να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μιας μόνο δύναμης όπως στα παραδείγματα: 8. Να κάνετε με τη σωστή σειρά τις πράξεις και να υπολογίσετε τα αποτελέσματα των παρακάτω παραστάσεων: Π1 = 52. 4 – 42.5 – 2,5 . 22 Π2 = 23.5 – 32. 4 - 22 Π3 = (3+22)2 + 72 + 2 - 102 Π4 = 2 . 103 + 1 – 2001 Π5 = 3 . 103+2 . 102+12001. 10 9. Γνωρίζουμε ότι ένας τετραψήφιος αριθμός που έχει χ το ψηφίο των χιλιάδων ψ το ψηφίο των εκατοντάδων ω το ψηφίο των δεκάδων και φ το ψηφίο των μονάδων γράφεται στη μορφή, (ανεπτυγμένη μορφή), ως εξής: χ.1000 + ψ.100 + ω.10 + φ.1 ή ισοδύναμα χ.103 + ψ.102 + ω.101 + φ.1 . Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα :

ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΝΕΠΤΥΓΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

3625 50268 374 100254 5.103 + 2.102 + 2.101 + 7.1 9.102 + 2.1 2.103 + 2.1

Παράδειγμα 1: α2 . α3 = α . α . α .α .α = = α5

Παράσταση 1: α4 . α3 =

Παράσταση 2: (α4)2 =

Παράσταση 3: α3 .(α3)2 =

Παράσταση 4: (α2 . α1)3 =

Παράδειγμα 2: (α2)3 = (α2). (α2). (α2) = α .α .α .α .α .α = α6


29

10. ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

α) Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνεται ένας αριθμός μεγαλύτερος του 10. Στην δεύτερη στήλη του πίνακα γράφουμε αυτόν τον αριθμό ως γινόμενο ενός αριθμού μεταξύ του 1 και του 10 και κάποιου από τους αριθμούς 10 , 100 , 1000 , …… Στην τρίτη στήλη του πίνακα γράφουμε αυτόν τον αριθμό ως γινόμενο ενός αριθμού μεταξύ του 1 και του 10 και κάποιας κατάλληλης δύναμης του 10, (101, 102, 103,…..). Η μορφή του αριθμού στην τρίτη στήλη λέγεται τυποποιημένη μορφή. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ 10, 100, 1000, ……

ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

37812 3,7812. 10000 3,7812. 104 56321 1246890 352 2000 700000000 2,1.106

3,75. 1000 2,345.102 1345000000000 9,9. 109

1. 1000000000 2,5 . 1000000

β) Στον παρακάτω πίνακα υπάρχουν κάποια στοιχεία για τον ήλιο και τους πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος. Οι πλανήτες είναι τοποθετημένοι κατά αύξουσα σειρά απόστασής τους από τον ήλιο.

Ήλιος , Πλανήτης Μάζα ήλιου, πλανήτη σε κιλά (Τυποποιημένη μορφή)

Ακτίνα ήλιου, πλανήτη σε χιλιόμετρα (Τυποποιημένη μορφή)

Ήλιος 1,991. 1030 6,966. 105 Ερμής 3,303. 1023 2,4397. 103

Αφροδίτη 4,869 . 1024 6,0518 . 103

Γη 5,97 . 1024 6,378 . 103

Άρης 6,421 . 1023 3,397 . 103

Δίας 1,9 . 1027 7,1492 . 104 Κρόνος 5,688 . 1026 6,0266 . 104 Ουρανός 8,686 . 1025 2,5559 . 104

Ποσειδώνας 1,024 . 1026 2,4746 . 104

Πλούτωνας 1,29 . 1022 1,16 . 103

Με την βοήθεια αυτού του πίνακα συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Μικρότερη ακτίνα και μάζα έχει ο πλανήτης ………………. Μεγαλύτερη ακτίνα και μάζα έχει ο πλανήτης ……………… Ο ήλιος έχει 1,991. 1030 : 5,97 . 1024 = ………… φορές την μάζα της Γης Η ακτίνα του Δία είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα της Γης κατά 7,1492 . 104 - 6,378 . 103 =………………… χιλιόμετρα.


30

Τοποθετούμε τους πλανήτες κατά αύξουσα σειρά σύμφωνα με την μάζα που έχουν: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Τοποθετούμε τους πλανήτες κατά αύξουσα σειρά σύμφωνα με την ακτίνα που έχουν: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 11. Έστω α , χ τα ψηφία των χιλιάδων β , ψ τα ψηφία των εκατοντάδων γ , ω τα ψηφία των δεκάδων και δ , ω τα ψηφία των μονάδων δύο τετραψήφιων αριθμών. α) Γράψτε τους αριθμούς αυτούς σε ανεπτυγμένη μορφή β) Με την προϋπόθεση ότι τα ψηφία της κάθε τάξης των αριθμών αυτών έχουν άθροισμα που δεν ξεπερνά το 9 και με την βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας να γράψετε σε ανεπτυγμένη μορφή το άθροισμα των δύο αριθμών. γ) Αν το άθροισμα των ψηφίων της ίδιας τάξης των δύο αριθμών είναι ίσο με το 9 να υπολογίσετε το άθροισμα του αθροίσματος των δύο αριθμών και του 1 και να το γράψετε σε δύναμη του 10. 12. Τον αριθμό 9 μπορούμε να τον γράψουμε: 9 = 101 – 1 . Τον αριθμό 99 μπορούμε να τον γράψουμε: 99 = 102 – 1 α) Με τον ίδιο τρόπο να γράψετε τους αριθμούς: 999 = , 9999 = , 9999….9 (:2001 εννιάρια ) = β) Υπολογίστε το άθροισμα Α = 9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 + 999999 13. α) Να γράψετε σε δύναμη του αβ το γινόμενο: α. β . α3 . β5 . α2 β) Να γράψετε σε δύναμη του 10 το γινόμενο: 5. 2 . 53 . 25 . 52 14. Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας και των δυνάμεων να μετατρέψετε σε γινόμενο τις παραστάσεις: Α = α2 + αβ Β = αβ – β2 Γ = αβ2 +α2β Δ = α3χ – α2ψ +β3χ – β3ψ


31

1.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ, Ε.Κ.Π. 1. Γράψτε Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος. Το 0 είναι το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο όλων των φυσικών αριθμών………….. Το 0 είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δύο φυσικών αριθμών ……………… Τα πολλαπλάσια του 2 είναι όλοι οι άρτιοι φυσικοί αριθμοί. …………………… Τα πολλαπλάσια του 3 είναι περιττοί φυσικοί αριθμοί. ………………. Το 3 είναι πολλαπλάσιο του 9. ……………. Το 5 είναι πολλαπλάσιο του 0. ……………. Το 2001 δεν είναι πολλαπλάσιο του 2, αλλά είναι πολλαπλάσιο του 3. ………….. Τα πολλαπλάσια του 1 είναι όλοι οι φυσικοί αριθμοί. ………… 2. Γράψτε με τη βοήθεια της μεταβλητής κ τον συμβολισμό του πολλαπλασίου του 2 και των πολλαπλασίων του 3 ,κατόπιν συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Τιμές της μεταβλητής κ

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Πολλαπλάσια του 2


Κοινά Πολλαπλάσια του 2 και του 3

Ε.Κ.Π.(2 , 3) 3. Γράψτε με τη βοήθεια της μεταβλητής κ τον συμβολισμό των πολλαπλασίων του 3 των πολλαπλασίων 4 και των πολλαπλασίων του 6,κατόπιν συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Τιμές της μεταβλητής κ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12




Κοινά Πολλαπλάσια του 3 του 4 και του 6

Ε.Κ.Π.(3 , 4 , 6) 4. α) Γράψτε Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος.: Ένας φυσικός αριθμός α είναι πολλαπλάσιο του 1 ……….. β) Γράψτε τα πρώτα 5 πολλαπλάσια του φυσικού αριθμού α. …….., ………. , …………, ……….., ……………


32

γ) Βρείτε το Ε.Κ.Π.(1 , α ) δ) Ποιο είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 2002 και του 1; 5. α) Γράψτε Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος.: Όλοι οι φυσικοί αριθμοί έχουν πολλαπλάσιο τον εαυτό τους. ………… β) Συμπληρώστε την πρόταση : Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 2 και ενός άρτιου αριθμού α είναι ο αριθμός ….. γ) Ποιο είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 2 του 4 και του 8; 6. α) Βρείτε τα παρακάτω Ελάχιστα Κοινά Πολλαπλάσια Ε.Κ.Π.(2 , 4) , Ε.Κ.Π.(5,20) , Ε.Κ.Π.(7 , 28) , Ε.Κ.Π.(12 , 48) β) Έστω α , β δύο φυσικοί αριθμοί ώστε ο β να είναι πολλαπλάσιο του α . Ποιο είναι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του α και του β; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 7. α) Βρείτε τα πρώτα 15 πολλαπλάσια του 2. Βρείτε τα πρώτα 10 πολλαπλάσια του 3. Βρείτε τα κοινά πολλαπλάσια του 2 και του 3 . Βρείτε το Ε.Κ.Π.(2 , 3). Βρείτε τα πολλαπλάσια του Ε.Κ.Π.(2 , 3). Τι παρατηρείτε; β) Βρείτε τα 6 πρώτα κοινά πολλαπλάσια του 5 και του 8. 8. Ο πλανήτης Άρης έχει δύο δορυφόρους τον Φόβο και τον Δείμο. Ο Φόβος απέχει από τον Άρη 9000 χιλιόμετρα και ο Δείμος 23000 χιλιόμετρα. Κάποιος αστρονόμος, στις 30 Ιουνίου 2001 παρατήρησε ότι ο Δείμος ο Φόβος και ο Άρης ήταν , μ’ αυτήν την σειρά, στην ίδια ευθεία. Ο αστρονόμος γνωρίζει ακόμη ότι ο Δείμος περιφέρεται γύρω από τον Άρη σε 30 ώρες και ο Φόβος σε 8 ώρες. Μπορείτε να βοηθήσετε τον αστρονόμο να υπολογίσει κάθε πόσες ώρες παρατηρείται το ίδιο φαινόμενο;


33

1.11 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ, Μ.Κ.Δ. . 1. Γράψτε Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος. Κάθε φυσικός αριθμός διαιρείται από το 0. …………… Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί το 0. …………. Το 1 είναι διαιρέτης όλων των φυσικών αριθμών. ………….. Το 2 είναι διαιρέτης όλων των φυσικών αριθμών. …………. Το 2 είναι διαιρέτης όλων των περιττών φυσικών αριθμών. ………. Το 2 είναι διαιρέτης όλων των άρτιων φυσικών αριθμών. ………….. Το 3 διαιρεί το Ε.Κ.Π.(3 , α ) , όπου α κάποιος φυσικός αριθμός. ………. 2. Δίνονται οι αριθμοί: 2002 , 1110 , 324535 , 360 , 47 , 387 , 445 , 3312 Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Οι αριθμοί …….., ……., ………., …….. ..έχουν παράγοντα τον αριθμό 2 Οι αριθμοί …….., ……., ………., ……….. έχουν παράγοντα τον αριθμό 5 Οι αριθμοί …….., ……., ………., …….. έχουν παράγοντα τον αριθμό 3 Οι αριθμοί …….., ……., ………., έχουν παράγοντα τον αριθμό 9 Οι αριθμοί ………, ……….. έχουν παράγοντες τους αριθμούς 2 και 5 Ο αριθμός ………… έχει παράγοντες του αριθμούς 2 , 3 , 5 , 9. Ο αριθμός ………. είναι πρώτος. 3. α) Βρείτε τον διψήφιο αριθμό που διαιρείται με τους αριθμούς 2 , 3 , 5 , 9 συγχρόνως. β) Βρείτε όλους τους τριψήφιους αριθμούς που διαιρούνται συγχρόνως με τους αριθμούς 2 , 3 , 5 , 9. 4. Δίνονται οι αριθμοί: 9ν , 9ν – 3 , 6ν , 6ν + 2 , 40ν , 40ν + 5μ – 5 με ν , μ φυσικοί αριθμοί α) Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Οι αριθμοί …….., ……., ………., έχουν παράγοντα τον αριθμό 2 Οι αριθμοί …….., ……., έχουν παράγοντα τον αριθμό 5 Οι αριθμοί …….., ……., ………., έχουν παράγοντα τον αριθμό 3 Οι αριθμοί …….., ……., έχουν παράγοντα τον αριθμό 9 β) Να δικαιολογήσετε γιατί ο αριθμός 40ν + 5μ – 5 έχει παράγοντα τον αριθμό 5. 5. Γνωρίζουμε ότι ισχύει : Ένας φυσικός αριθμός α έχει παράγοντα ή διαιρέτη έναν φυσικό αριθμό β διαφορετικό του 0 όταν ο α μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο του β με κάποιον κατάλληλο φυσικό αριθμό. Παράδειγμα ο αριθμός 18 έχει παράγοντα ή διαιρέτη τον φυσικό αριθμό 6 αφού 18=6. 3 α) Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Ο αριθμός 24 έχει παράγοντα ή διαιρέτη τον αριθμό 4 αφού …………… Ο αριθμός 80 έχει παράγοντα ή διαιρέτη τον αριθμό 8 αφού …………… Ο αριθμός 120 έχει παράγοντα ή διαιρέτη τον αριθμό 15 αφού ……………


34

β) Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας να δικαιολογήσετε ότι ο αριθμός 7 είναι παράγοντας ή διαιρέτης του αριθμού 7α + 7β , καθώς και του αριθμού 14α – 28β με α , β κατάλληλους φυσικού αριθμούς. 6. α) Βρείτε τους πρώτους φυσικούς αριθμούς μέχρι το 50. β) Υπάρχουν άρτιοι αριθμοί οι οποίοι είναι και πρώτοι; Αν ναι ποιοι είναι; 7.Α. Δίνονται οι αριθμοί 36 , 24. α) Να βρείτε τους διαιρέτες τους. β) Να βρείτε τους κοινούς διαιρέτες τους. γ) Να βρείτε τον ΜΚΔ τους. 7.Β. Δίνονται οι αριθμοί 18 , 27 , 108. α) Να βρείτε τους διαιρέτες τους. β) Να βρείτε τους κοινούς διαιρέτες τους. γ) Να βρείτε τον ΜΚΔ τους. 8. Γράψτε Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος. Οι αριθμοί 32 και 135 είναι πρώτοι μεταξύ τους . ………….. Οι αριθμοί 32 και 135 είναι πρώτοι. ………….. Ο αριθμός 32 έχει μόνον έναν πρώτο παράγοντα. ………….. Ο αριθμός 135 έχει μόνον έναν πρώτο παράγοντα. ………….. 9. α) Βρείτε τους ΜΚΔ: ΜΚΔ (5 , 11) = ….. ΜΚΔ (1 , 6 , 8) = ….. ΜΚΔ ( 6 , 12) = …… β) Συμπληρώστε τις προτάσεις: Ένας πρώτος αριθμός έχει διαιρέτες ή παράγοντες μόνον το …. και τον ………….. Δύο πρώτοι και διαφορετικοί αριθμοί έχουν ΜΚΔ τον αριθμό …. Ο ΜΚΔ του αριθμού 1 και του φυσικού αριθμού ν είναι ο αριθμός ….. Ο ΜΚΔ του φυσικού αριθμού α και ενός πολλαπλασίου του α είναι ίσος με ……. 10. Ένα τμήμα μαθητών της Α΄ Γυμνασίου έχει 24 μαθητές και ένα τμήμα μαθητών της Β΄ Γυμνασίου έχει 16 μαθητές α) Γράψτε όλους τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να χωρίσουμε τους μαθητές της κάθε τάξης σε ομάδες, (με ίσο αριθμό μαθητών η κάθε μια). Πόσους μαθητές θα έχει η κάθε ομάδα ;


35

Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ομάδες μαθητών

Αριθμός μαθητών σε κάθε ομάδα

Ομάδες μαθητών

Αριθμός μαθητών σε κάθε ομάδα

β) Τι είναι ο αριθμός των μαθητών της κάθε ομάδας μιας τάξης για τον συνολικό αριθμό των μαθητών αυτής της τάξης; γ) Αν, από τις παραπάνω ομάδες, επιλέξουμε δύο ομάδες , μία από κάθε τάξη, με τον ίδιο αριθμό μαθητών, ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός μαθητών από κάθε τάξη που μπορεί να επιλεγεί .Τι είναι αυτός ο αριθμός για τον συνολικό αριθμό των μαθητών της κάθε τάξης; Με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεγεί η ομάδα της Α΄ Γυμνασίου και με πόσους η ομάδα της Β΄ Γυμνασίου; 11. Ένας χορευτικός όμιλος αποτελείται από 30 κορίτσια και 18 αγόρια. Ο καθηγητής του ομίλου θέλει, για τις ανάγκες κάποιου χορού, να φτιάξει ομάδες με αγόρια και κορίτσια Κάθε ομάδα πρέπει να έχει τον ίδιο αριθμό αγοριών και τον ίδιο αριθμό κοριτσιών. Πόσες το πολύ ομάδες μπορεί να φτιάξει; Πόσα κορίτσια και πόσα αγόρια θα έχει κάθε ομάδα; 12. ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ α) Να αναλύσετε τους αριθμούς 36 , 60 , 200 , 256 , 729 , 30030 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. β) Το ΕΚΠ δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών μπορεί να βρεθεί με τον εξής τρόπο: Αναλύουμε τους αριθμούς , (των οποίων θέλουμε το ΕΚΠ), σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Βρίσκουμε το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που εμφανίζονται στους αριθμούς υψωμένων στην μεγαλύτερη δύναμη με την οποία ο κάθε παράγοντας εμφανίζεται. Αν κάποιος παράγοντας εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές λαμβάνεται υπ’ όψιν μόνο μια φορά. Αυτό το γινόμενο που βρήκαμε είναι το ΕΚΠ αυτών των αριθμών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Βρείτε το ΕΚΠ( 24 , 45). Απάντηση : Η ανάλυση του 24 και του 45 μας δίνει: 24 = 23.3 , 45 = 32.5 . Άρα ΕΚΠ( 24 , 45) = 23.32.5 = 8. 9. 5 = 40. 9 = 360. Βρείτε με την ίδια διαδικασία τα παρακάτω ΕΚΠ: ΕΚΠ( 54 , 20) ΕΚΠ( 8 , 30 , 27) ΕΚΠ( 250 , 75) ΕΚΠ(154 , 98 ,49) ΕΚΠ( 4 , 6 , 18) γ) Ο ΜΚΔ δύο ή περισσοτέρων φυσικών αριθμών μπορεί να βρεθεί με τον εξής τρόπο: Αναλύουμε τους αριθμούς , (των οποίων θέλουμε το ΜΚΔ), σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Βρίσκουμε το γινόμενο των κοινών μόνο πρώτων παραγόντων που εμφανίζονται στους αριθμούς υψωμένων στην μικρότερη δύναμη με την οποία ο κάθε παράγοντας εμφανίζεται. Αυτό το γινόμενο που βρήκαμε είναι ο ΜΚΔ αυτών των αριθμών.


36

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Βρείτε τον ΜΚΔ(18 , 30). Απάντηση : Η ανάλυση του 18 και του 30 μας δίνει: 18 = 2. 32 , 30 = 2.3.5 . Άρα ΜΚΔ (18 , 30) = 2.3 =6 Βρείτε με την ίδια διαδικασία τους παρακάτω ΜΚΔ: ΜΚΔ( 54 , 90) ΜΚΔ(120 ,288) ΜΚΔ( 150 , 75 , 250) ΜΚΔ(111 , 78 ) ΜΚΔ( 43 ,28) δ) Στο προηγούμενο ερώτημα διαιρέστε τους αριθμούς των οποίων βρήκατε τον ΜΚΔ με τον ΜΚΔ τους . Κατόπιν βρείτε τον ΜΚΔ των πηλίκων που προέκυψαν από τις διαιρέσεις αυτές. Τι παρατηρείτε; Απαντήστε όπως στο παράδειγμα. (π.χ.: ΜΚΔ(8 , 12) = 4. Έχουμε 8:4 = 2 , 12:4 = 3 Άρα ΜΚΔ(2 , 3) = 1 Παρατήρηση: Τα πηλίκα που προέκυψαν είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους – δεν έχουν κοινούς παράγοντες.) 13.Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 4. α) Ποιες δυνάμεις του 10 είναι πολλαπλάσια του 100; (Επιλέξτε την σωστή απάντηση από τις παρακάτω) Α. Όλες οι δυνάμεις του 10. Β. Οι δυνάμεις του 10 με εκθέτη μεγαλύτερο ή ίσο του 2. Γ. Οι δυνάμεις του 10 με εκθέτη μεγαλύτερο ή ίσο του 3. Δ. Καμιά δύναμη του 10. β) Αναλύστε το 100 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και δικαιολογήστε ότι διαιρείτε με το 4. γ) Γράψτε , χρησιμοποιώντας μεταβλητές για ψηφία , έναν τριψήφιο και κατόπιν έναν τετραψήφιο αριθμό σε ανεπτυγμένη μορφή και δικαιολογήστε την πρόταση: «Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του διαιρείται με το 4» δ) Να επαναλάβετε το γ) ερώτημα για έναν αριθμό με ν ψηφία. ε) ΔΙΣΕΚΤΑ ΕΤΗ: Οι άνθρωποι αναγκάστηκαν να καθιερώσουν τα δίσεκτα έτη , δηλαδή έτη με μια ημέρα παραπάνω από τα υπόλοιπα η οποία προστίθεται στον Φεβρουάριο, για τον εξής λόγο: Η Γη μας εκτελεί μια περιφορά γύρω από τον ήλιο σε 365,25 ημέρες. Εξαιτίας αυτής της πλήρης περιφοράς δημιουργούνται στη γη οι 4 εποχές. Το έτος είναι ακριβώς αυτός ο χρόνος. Το έτος που όρισαν οι άνθρωποι έχει διάρκεια 365 ημέρες. Σ’ αυτόν τον χρόνο όμως η γη «δεν προλαβαίνει να ολοκληρώσει» την περιφορά της γύρω από τον ήλιο. «Μένει» πιο πίσω κατά 0,25·24=6 ώρες κάθε χρόνο. Έτσι αν υποθέσουμε, ότι τα Χριστούγεννα του 1280 γιορταζόταν, στην Ελλάδα, τον χειμώνα, τότε μετά από 720 χρόνια , δηλαδή το 2000, τα Χριστούγεννα θα τα γιορτάζαμε καλοκαίρι! αφού η γη θα «χρειαζόταν» ακόμη 720·6 ώρες = 4320 ώρες = 432024׃ ημέρες = 180 ημέρες για να ολοκληρώσει τις 720 πλήρεις περιστροφές της γύρω από τον ήλιο που άρχισε να κάνει τον χειμώνα του 1280. Για να λύσουν αυτό το πρόβλημα οι άνθρωποι χρειαζόταν να προσθέσουν 0,25 ημέρες κάθε χρόνο ή 0,25·4=1ημέρα κάθε 4 χρόνια. Τα έτη που επέλεξαν για να προσθέσουν αυτή τη μια ημέρα έπρεπε να είναι πολλαπλάσια του 4 (12 , 8 , 4 , 0 ׃ , …….).

• Εξετάστε ποια από τα έτη 2002 , 2004 , 2034 , 1992 , είναι δίσεκτα. • Πόσες ημέρες θα είχε ο Φεβρουάριος αν η περιφορά της γης γύρω από τον ήλιο γινόταν σε

365,75 ημέρες; Σ’ αυτή την περίπτωση θα μπορούσαμε να λύσουμε το πρόβλημα διαφορετικά;


37

1.12 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ. 1. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψτε την ισότητα της ευκλείδειας διαίρεσης Δ = δ. π + υ , σε κάθε περίπτωση. 135 : 45 167 : 5 839 : 40 1520 : 24 2003 : 4 2. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν ευκλείδειες διαιρέσεις . Στην περίπτωση που έχετε ευκλείδεια διαίρεση γράψτε ποιος είναι ο Δ (Διαιρετέος) , ποιος ο δ (διαιρέτης), ποιο το π (πηλίκο) και ποιο το υ (υπόλοιπο). 129 = 6. 20 + 9 245 = 20. 12 +5 85 = 17 . 5 37,2 = 5. 7 +2,2 414 = 45. 9 + 9 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα , σύμφωνα με την ισότητα της ευκλείδειας διαίρεσης. Διαιρετέος 2001 2002 2003 διαιρέτης 6 5 8 400 πηλίκο 5 400 5 υπόλοιπο 4 5 4. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα , σύμφωνα με την ισότητα της ευκλείδειας διαίρεσης αν ο Διαιρετέος είναι ένας φυσικός αριθμός α.

διαιρέτης υπόλοιπα της διαίρεσης του α με τον διαιρέτη

πηλίκα της διαίρεσης του α με τον διαιρέτη

Ισότητα ευκλείδειας διαίρεσης

κ 2 κ λ λ 3 λ μ μ μ 4

μ ρ ρ ρ ρ

5

ρ


38

β) Να γράψετε τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν διαιρούνται με το 2 δίνουν πηλίκο 11 Να γράψετε τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν διαιρούνται με το 3 δίνουν πηλίκο 15 Να γράψετε τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν διαιρούνται με το 4 δίνουν πηλίκο 25 Να γράψετε τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι όταν διαιρούνται με το 5 δίνουν πηλίκο 18 5. α) Τι ημέρα θα έχουμε 30 ημέρες μετά την Δευτέρα ; β) Τι μήνα θα έχουμε 50 μήνες μετά τον Ιανουάριο ; γ) Τοποθετούμε 59 μαθητές σε τετράδες. Πόσοι μαθητές περισσεύουν; 6. Δύο φυσικοί αριθμοί α και β όταν διαιρούνται με το 4 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο υ. Έστω κ , λ τα αντίστοιχα πηλίκα των διαιρέσεων των α και β με το 4. α) Να γράψετε τις ισότητες της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το 4 και του β με το 4. β) Να δικαιολογήσετε με την βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας ότι το άθροισμα των α και β είναι άρτιος αριθμός. 7. Παρατηρήστε τις ισότητες: 35 = 3.10 + 5 , 87 = 8.10 + 7 , 983 = 98.10 + 3 , 5684 = 568.10 +4 , 31028 = 3102.10 + 8 Συμπληρώστε με τον ίδιο τρόπο τις ισότητες: 76 = ..….. +…. , 562 = ..……….. +…. , 7621 = ..……….. +…. ,834765 = ..……….. +…. α) Είναι ευκλείδειες διαιρέσεις οι παραπάνω ισότητες με τον ίδιο πάντα διαιρέτη; β) Ποιο είναι το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης ενός αριθμού με το 10; γ) Ποιο είναι το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης των δυνάμεων του 5 με το 10; δ) Ποιο είναι το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης των δυνάμεων του 9 με το 10; 8. Τοποθετώντας τους μαθητές ενός σχολείου σε εξάδες ή πεντάδες ή εννιάδες , περισσεύουν πάντα 3 μαθητές. Γνωρίζουμε ακόμη ότι ο αριθμός των μαθητών του σχολείου είναι διψήφιος. α) Αν χ είναι ο αριθμός των μαθητών, πόσους μαθητές πρέπει να αφαιρέσουμε ώστε να μην περισσεύει κανένας μαθητής αν αυτοί τοποθετηθούν σε εξάδες ή πεντάδες ή εννιάδες; Πόσοι μαθητές μένουν; Ποιών αριθμών πολλαπλάσιο θα είναι αυτός ο αριθμός; β) Βρείτε τον αριθμό των μαθητών. 9. Ένας ελαιοπαραγωγός έβαλε λάδι σε 160 δοχεία των 16 κιλών και του περίσσεψαν 10 κιλά λάδι. α) Αν έβαζε το λάδι σε δοχεία των 18 κιλών θα του περίσσευε λάδι; Πόσα δοχεία θα χρειαζόταν; β) Με τη βοήθεια της ισότητας της ευκλείδειας διαίρεσης και της επιμεριστικής ιδιότητας δικαιολογήστε ότι αν έβαζε το λάδι σε δοχεία των 5 κιλών δεν θα του περίσσευε λάδι.


39

10. Ένας τρόπος να βρίσκουμε τον ΜΚΔ δύο αριθμών α και β με α <β είναι ο εξής: Βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του β με τον α, έστω ότι αυτό είναι το υ1 ,(υ1<α) Βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το υ1, έστω ότι αυτό είναι το υ2 , (υ2<υ1) Βρίσκουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του υ1 με το υ2, έστω ότι αυτό είναι το υ3 , (υ2<υ1) ……………………………………………………………………………………………………… Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να βρούμε υπόλοιπο 0. Αν υν είναι το τελευταίο υπόλοιπο πριν το 0 τότε ισχύει: ΜΚΔ(α , β) = υν. Συνοπτικά αυτή η διαδικασία φαίνεται ως εξής: α β α υ1 υ1 υ2 …………… .………….. υν 0 Συμπέρασμα: ΜΚΔ(α , β) = υν ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Βρείτε τον ΜΚΔ (18 , 24) 18 24 (………… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 24 με το 18 είναι το 6 …….) 18 6 (………… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 18 με το 6 είναι το 0 ….) 0 6 ……Αρα ΜΚΔ (18 , 24) = 6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Βρείτε τον ΜΚΔ (78 , 111) 78 111 (……… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 111με το 78 είναι το 33…….) 78 33 (…… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 78 με το 33 είναι το 12….) 12 33 (…… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 33 με το 12 είναι το 9 …….) 12 9 (…… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 12 με το 9 είναι το 3 …….) 3 9 (………… Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 9 με το 3 είναι το 0 …….) 3 0 ……..Άρα ΜΚΔ( 78 , 111) = 3 Να βρείτε με τον ίδιο τρόπο τους ΜΚΔ : ΜΚΔ (35 , 60) ΜΚΔ ( 36 ,120) ΜΚΔ (56 , 64 , 80) ΜΚΔ ( 180 , 216 , 36) 11. Δύο θέματα του 61ου Πανελλήνιου μαθητικού διαγωνισμού (Ο ΘΑΛΗΣ) της Ε.Μ.Ε. (2000 – 2001) Α. Ο φυσικός αριθμός χ είναι άρτιος και όταν διαιρείται με το 7 δίνει υπόλοιπο 2 . Να βρεθεί ο αριθμός αυτός , αν γνωρίζουμε ότι είναι μεταξύ των αριθμών 512 και 521. Β. Σε μια Βαλκανική συνάντηση Νέων συμμετείχαν 199 παιδιά από 9 διαφορετικές χώρες. Να δικαιολογήσετε το γεγονός ότι τουλάχιστον μία χώρα είχε στην αποστολή της 12 τουλάχιστον παιδιά του ίδιου φύλλου.


40

1.13 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.

Υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων. α) 16·5 +18:3 - 92 - 2 β) 48:16 + 5·15 – 3·25 - 15 γ) 62 – 5·6 – 9:3 δ) 100:12,5 – 23 + 22 ε) 0,35: 7 + 5·0,01 + 72:10

2. Υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων. α) 4· (5 + 8) – (19 + 2·3)·2 + (1 + 32)2 – 1 β) 0,32(24+34 +3) +24·4 –1 γ) (6 – 2 )32׃(6·5 – 25) – (42 + 32)22+ 16׃ δ) 5 + 2(3,93 – 0,3׃)23 - 32 – 2(0,5·20) – 2 ε) (13 + 23 + 33 - 62)2001 + 13 + 23 + 33 + 43 + 0,050,01׃

3. Υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων. α) χ2 + 72 + 14χ – (χ + 7)2 , όταν χ = 3 β) (α – β )2 + 2αβ – α2 – β2 , όταν α = 0,5 και β = 0,3 γ) χ2 – ψ2 – (χ –ψ)(χ + ψ) , όταν χ = 7 και ψ = 4 δ) (κ – λ )(κ2 + κλ + λ2) – (κ3 – λ3) , όταν κ = 5 και λ = 4 ε) (ρ – μ)3 + 3ρμ(ρ – μ) + μ3– ρ3 , όταν ρ = 6 και μ = 5

4. Υπολογίστε την τιμή της παρακάτω αριθμητικής παράστασης όταν α = 4 , β = 3 , γ = 2 Π = α3 + β3 + γ3 – 3αβγ – 0,5(α + β + γ)[(α – β)2 + (β – γ)2 + (α – γ)2] + 83,5αβγ

5. Αν α = 2·(8,133׃)·2·(0,01 – 1,12) + 0,1׃0,36 + 5 και β = [(53 – 4·3,5)62 – 3׃]2000 α) Υπολογίστε την τιμή της μεταβλητής χ αν ׃

• χ + β = α • χ – α = β • α – χ = β • 2α + 2β – χ = 0 • (α + β)χ = 55 • α ׃ χ = 3β • 2βχ = α

β) Με την βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Π = 196,4α+4β +4α +196,4β

6. Αν αβ = 5 και αγ = 3 υπολογίστε την τιμή των παραστάσεων : Π1 = α (β + γ) + α (β – γ) Π2 = (αβ)2 + (αγ)2 – 2α2βγ – [α (β – γ)]2 Π3 = α4 (β + γ) (β – γ)βγ

7. Αν το τετράγωνο ενός αριθμού α καθώς και το τετραπλάσιο ενός αριθμού β είναι ίσα με τον κύβο του 4 να υπολογίσετε, (με δύο! τρόπους), την τιμή της παράστασης Π = 64 + α2 – (32 – 1)β + 4(α2

- β) + 22 -142


1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας.

1 .

α) Στην παραπάνω εικόνα οι χρωματιστοί δείκτες μας δείχνουν κάποιους αριθμούς. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα. Χρώμα δείκτη Κόκκινο Μπλε Πράσινο Κίτρινο Αριθμός που αντιστοιχεί

β) Η εικόνα παριστάνει ένα στροφόμετρο , το οποίο δείχνει τις στροφές που κάνει η μηχανή μιας μοτοσικλέτας. Για να υπολογιστούν οι στροφές της μηχανής πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό που δείχνει ο δείκτης με το 100. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα. Χρώμα δείκτη Κόκκινο Μπλε Πράσινο Κίτρινο

Στροφές μηχανής γ) Ο οδηγός της μοτοσικλέτας πρέπει να προσέχει ώστε ο δείκτης του στροφόμετρου να μην ξεπεράσει τους αριθμούς που βρίσκονται στην πορτοκαλί και κόκκινη περιοχή του στροφόμετρου, γιατί υπάρχει κίνδυνος βλάβης της μηχανής. Μέχρι πόσες χιλιάδες στροφές πρέπει να οδηγεί ο μοτοσικλετιστής. 2 . Γνωρίζουμε ότι η θερμοκρασία του ανθρώπινου σώματος βρίσκεται μεταξύ των 35 και 45 βαθμών Κελσίου . α) Να κάνετε ένα τμήμα ευθείας στα άκρα του οποίου να τοποθετήσετε τους αριθμούς 35 και 45 και ενδιάμεσα όλους τους ακεραίους μεταξύ του 35 και του 45. β) Στο προηγούμενο ευθύγραμμο τμήμα να σημειώσετε την φυσιολογική θερμοκρασία του ανθρώπινου σώματος που είναι 36,5 βαθμοί Κελσίου.


2

3 . Ο Β Α Δ Γ

Στο σημείο Ο του παραπάνω άξονα αντιστοιχούμε τον αριθμό 0 και στο σημείο του Α τον αριθμό 1. α) Να βρείτε ποιους αριθμούς αντιστοιχούμε στα σημεία του Β , Γ , Δ. β) Να βάλετε πάνω στον άξονα

• Το σημείο Ε που αντιστοιχεί στον αριθμό 0,5 • Το σημείο Ζ που αντιστοιχεί στον αριθμό 1,1 • Το σημείο Η που αντιστοιχεί στον αριθμό 1,9 • Το σημείο Θ που αντιστοιχεί στον αριθμό 0,8 • Το σημείο Ι που αντιστοιχεί στον αριθμό 0,3 • Το σημείο Κ που αντιστοιχεί στον αριθμό 1,3

4 . Ο Β Α Δ Γ

Στο σημείο Ο του παραπάνω άξονα αντιστοιχούμε τον αριθμό 0 και στο σημείο του Γ τον αριθμό 200. α) Να βρείτε ποιους αριθμούς αντιστοιχούμε στα σημεία του Β , Α , Δ. β) Να βάλετε πάνω στον άξονα

• Το σημείο Ε που αντιστοιχεί στον αριθμό 40 • Το σημείο Ζ που αντιστοιχεί στον αριθμό 120 • Το σημείο Η που αντιστοιχεί στον αριθμό 180 • Το σημείο Θ που αντιστοιχεί στον αριθμό 70 • Το σημείο Ι που αντιστοιχεί στον αριθμό 30 • Το σημείο Κ που αντιστοιχεί στον αριθμό 140

5 . Ο Β Α Δ Γ

Στο σημείο Ο του παραπάνω άξονα αντιστοιχούμε τον αριθμό 0 και στο σημείο του Β τον αριθμό 50. α) Να βρείτε ποιους αριθμούς αντιστοιχούμε στα σημεία του Α , Γ , Δ. β) Να βάλετε πάνω στον άξονα

• Το σημείο Ε που αντιστοιχεί στον αριθμό 75 • Το σημείο Ζ που αντιστοιχεί στον αριθμό 300 • Το σημείο Η που αντιστοιχεί στον αριθμό 475 • Το σημείο Θ που αντιστοιχεί στον αριθμό 150 • Το σημείο Ι που αντιστοιχεί στον αριθμό 400 • Το σημείο Κ που αντιστοιχεί στον αριθμό 125


3

6 . Ο Β Α Δ Γ

Στο σημείο Ο του παραπάνω άξονα αντιστοιχούμε τον αριθμό 1 και στο σημείο του Δ τον αριθμό 1,15. α) Να βρείτε ποιους αριθμούς αντιστοιχούμε στα σημεία του Β , Γ , Α. β) Να βάλετε πάνω στον άξονα

• Το σημείο Ε που αντιστοιχεί στον αριθμό 1,05 • Το σημείο Ζ που αντιστοιχεί στον αριθμό 1,11 • Το σημείο Η που αντιστοιχεί στον αριθμό 1,19 • Το σημείο Θ που αντιστοιχεί στον αριθμό 1,08 • Το σημείο Ι που αντιστοιχεί στον αριθμό 1,03 • Το σημείο Κ που αντιστοιχεί στον αριθμό 1,13

7 . Σε κατάλληλο άξονα με αρχή το σημείο Ο όπου θα αντιστοιχίσετε τον αριθμό 0 να τοποθετήσετε τους διψήφιους αριθμούς που διαιρούνται με το 5. 8 . Σε κατάλληλο άξονα με αρχή το σημείο Ο όπου θα αντιστοιχίσετε την χρονιά γέννησή σας να τοποθετήσετε το χρόνο που διανύουμε καθώς και την χρονιά που θα είστε 20 χρονών. 9 . Σε κατάλληλο άξονα με αρχή το σημείο Ο όπου θα αντιστοιχίσετε τον αριθμό 0 να τοποθετήσετε τα κοινά διψήφια πολλαπλάσια του 9 και του 2. 10 . Δύο πόλεις Α και Β απέχουν μεταξύ τους 300 χιλιόμετρα. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την πόλη Α με προορισμό την πόλη Β. Το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 90 χιλιομέτρων την ώρα. Θεωρούμε τον δρόμο που συνδέει τις δύο πόλεις ευθεία. α) Να κάνετε έναν άξονα ώστε η πόλη Α να είναι η αρχή του. Μονάδα του άξονα να θεωρήσετε τα 30 χιλιόμετρα. Πάνω στον άξονα να τοποθετήσετε την πόλη Β. β) Να σημειώσετε πάνω στον άξονα τις θέσεις του αυτοκινήτου κάθε μία ώρα. γ) Να υπολογίσετε με την βοήθεια του άξονα το χρόνο στον οποίο το αυτοκίνητο θα φτάσει στον προορισμό του.


4

2.2 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. 1 .

α) Στο παραπάνω ορθογώνιο σύστημα αξόνων να τοποθετήσετε τα σημεία: Α (1 , 3 ) Β ( 2 , 2 ) Γ ( 4 , 5 ) Δ ( 8 , 7 ) Ε ( 10 , 1) Ζ ( 1 , 10 ) β) Στο παραπάνω ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σημειώσετε και να γράψετε τις συντεταγμένες 5 σημείων που έχουν τετμημένη 0 και τεταγμένη φυσικό αριθμό. Που βρίσκονται αυτά τα σημεία; γ) Στο παραπάνω ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σημειώσετε και να γράψετε τις συντεταγμένες 5 σημείων που έχουν τεταγμένη 0 και τετμημένη φυσικό αριθμό. Που βρίσκονται αυτά τα σημεία;

Ο χ

ψ

1

1


5

2 .

Ο

χ

ψ

10

1

Α

Ζ

Ε

Δ

Γ

Β

Στο παραπάνω ορθογώνιο σύστημα αξόνων έχουμε τοποθετήσει τα σημεία: Α , Β , Γ , Δ , Ε , Ζ . Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

Σημείο Α Β Γ Δ Ε Ζ Συντεταγμένες


6

3 .

Στο παραπάνω ορθογώνιο σύστημα αξόνων έχουμε τοποθετήσει τα σημεία Α και Β. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (10 , 10) οι συντεταγμένες του σημείου Β είναι: Β (….. , ……) β) Αν οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (1 , 1) οι συντεταγμένες του σημείου Β είναι: Β (….. , ……) γ) Αν οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (1 , 1000) οι συντεταγμένες του σημείου Β είναι: Β (….. , ……) δ) Αν οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (100 , 1) οι συντεταγμένες του σημείου Β είναι: Β (….. , ……) ε) Αν οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (3 , 4) οι συντεταγμένες του σημείου Β είναι: Β (….. , ……)

Ο χ

ψ Α

Β


7

4 .

α) Στο παραπάνω ορθογώνιο σύστημα αξόνων να τοποθετήσετε τα σημεία που έχουν συντεταγμένες ίσους ακεραίους αριθμούς. Κατόπιν να ενώσετε αυτά τα σημεία. (Η γραμμή που σχηματίστηκε πρέπει να είναι ευθεία). β) Στο ίδιο ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σημειώσετε τα σημεία που οι συντεταγμένες τους είναι φυσικοί αριθμοί με άθροισμα 10 και να τα ενώσετε με μια ευθεία. Σε ποιο σημείο αυτή η ευθεία τέμνει την ευθεία του α ερωτήματος;

Ο χ

ψ

1

1


8

5 .

Ο

χ

ψ

1

1

Στο παραπάνω ορθογώνιο σύστημα αξόνων να γράψετε τις συντεταγμένες των κορυφών των τριών σχημάτων 6. Σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα σημεία Α ( 3 , χ+2) και Β (ψ-1 , 5) βρίσκονται στην ίδια θέση. Να βρείτε τις τιμές των χ , ψ. 7. Να κάνετε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο να τοποθετήσετε τα σημεία Α( χ-3 , 5) , Β ( 7 , ψ-2) , Γ ( χ , ψ ) και Δ (ψ2+1 , 2χ-2) αν γνωρίζετε ότι τα σημεία Α και Β βρίσκονται πάνω στους άξονες. 8. Για τις μεταβλητές χ και ψ ισχύει η ισότητα: χ-ψ =2. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. Τιμή της χ 2 6 Τιμή της ψ 3 2

β) Να κάνετε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο να τοποθετήσετε 4 σημεία με συντεταγμένες (χ ,ψ) που επαληθεύουν την ισότητα χ-ψ =2.


9

2.3 Μέτρηση μήκους –Μονάδες μέτρησης-Περίμετρος σχημάτων.

1 . Α Β Γ Δ

Ε Ζ Η Θ Κ

Λ

ΝΜ

Παραπάνω βλέπετε 6 ευθύγραμμα τμήματα. • Αν χρησιμοποιήσουμε σαν μονάδα μέτρησης το μήκος του ευθύγραμμου

τμήματος ΑΒ και το ονομάσουμε α τότε: ΑΒ = α , ΓΔ = …….. , ΕΖ = …….. , ΗΘ = …….. , ΚΛ = …….. , ΜΝ = ….. (Συμπληρώστε τα κενά ώστε να δείχνουν τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων).

• Αν χρησιμοποιήσουμε σαν μονάδα μέτρησης το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ και το ονομάσουμε α τότε:

ΑΒ = ……. , ΓΔ = …….. , ΕΖ = …….. , ΗΘ = …….. , ΚΛ = α , ΜΝ = ….. (Συμπληρώστε τα κενά ώστε να δείχνουν τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων).

• Αν χρησιμοποιήσουμε σαν μονάδα μέτρησης το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΕΖ και το ονομάσουμε α τότε:

ΑΒ =……. , ΓΔ = …….. , ΕΖ = α , ΗΘ = …….. , ΚΛ = …….. , ΜΝ = ….. (Συμπληρώστε τα κενά ώστε να δείχνουν τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων). 2. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

ΣΧΗΜΑ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ Τετράγωνο με πλευρά μήκους α

Π =…………….

Ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά μήκους α

Π =…………….

Εξάγωνο με πλευρές μήκους α

Π =…………….

Ορθογώνιο με δύο πλευρές ίσες με α και δύο πλευρές ίσες με 2α

Π =…………….


10

3. Να γράψετε από την μικρότερη προς την μεγαλύτερη τις παρακάτω μονάδες μέτρησης μήκους. 1 mm , 1 m , 1 Km , 1 dm , 1 cm , 1 dam , 1 hm , 1 μίλι (= 1,609 Km) , 1 ναυτικό μίλι (= 1,852 Km) , 1 ft (1 πόδι = 30,48 cm). 4. Να μετατρέψετε σε μέτρα όλες τις μονάδες μέτρησης μήκους της άσκησης 3. 5. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

mm cm dm m 750

35,1 1,2 0,314 45 180

78,9 100 1

6. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

m dam hm Km 2450

300 0,2 7,125 0,5 1800

359 10 44,44

7. Να μετατρέψετε σε μέτρα τα παρακάτω μήκη , όπως στο παράδειγμα. Παράδειγμα: 3 Km 75 m 43 dm = 3000 m + 75 m +4,3 m = 3079,3 m.

• 0,6 Km 43 m 510 cm =........................................... = ………….. • 6,54 Km 405 m 7369 mm =..................................... ................. = ………….. • 75 dm 350 cm 7500 mm =................................................... = ………….. • 85 m 72 dm 4000 mm = ....................................................= ......................


11

8.

Γι να μετατρέψουμε ….. …..Πράξη που κάνουμε A. m σε dm 1. Πολλαπλασιάζουμε με 10 Β. dm σε m 2. Πολλαπλασιάζουμε με 100 Γ. m σε Km 3. Πολλαπλασιάζουμε με 1000 Δ. m σε mm 4. Διαιρούμε με 10 Ε. m σε cm 5. Διαιρούμε με 100

6. Διαιρούμε με 1000 Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης του παραπάνω πίνακα σε ένα μόνο στοιχείο της δεύτερης στήλης του συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα.

Α Β Γ Δ Ε

9. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά 25 cm. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά 0,18 m. Ένα ορθογώνιο έχει μήκος 2 dm και πλάτος 170 mm. α) Να βρείτε τις περιμέτρους των παραπάνω σχημάτων. β) Μικρότερη περίμετρο έχει το Α. Τρίγωνο Β. Τετράγωνο Γ. Ορθογώνιο. Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 10. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις 2,5 dm η μία και 30 cm η άλλη. Να υπολογίσετε σε mm την πλευρά ενός τετραγώνου που έχει περίμετρο ίση με την περίμετρο του ορθογωνίου. 11. Ένα αεροπλάνο πετάει στον εναέριο χώρο της Ελλάδος σε ύψος 10000 ft. Το υψηλότερο βουνό της Ελλάδος είναι ο Όλυμπος με ύψος 2,92 Km. Είναι ασφαλής η πτήση του αεροπλάνου; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (Δίνεται ότι 1 ft = 30,48 cm). 12. Το λιμάνι της Λήμνου απέχει από το λιμάνι της Θεσσαλονίκης 150 ναυτικά μίλια. Ένα καράβι ξεκινάει από τη Λήμνο με ταχύτητα 37 Km την ώρα και προορισμό την Θεσσαλονίκη. Να υπολογίσετε με προσέγγιση δεκάτου πόσες ώρες χρειάζεται το καράβι για να φτάσει στον προορισμό του. (Δίνεται ότι 1 ναυτικό μίλι = 1852 m) 13. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις α και 2α και έχει περίμετρο ίση με την περίμετρο ενός τετραγώνου πλευράς 6 cm. α) Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι: Α. 6 cm. B. 3α. Γ. 6α.. Δ. 4α. (Επιλέξτε την σωστή απάντηση). β) Να βρεθεί η μικρότερη πλευρά του ορθογωνίου.


12

14. Ο Μανόλης έχει μια μετροταινία 2 m , η οποία από την πολλή χρήση έχει επιμηκυνθεί, (ομοιόμορφα), κατά 2 cm. α) Διαθέτουμε μια «καλή» μετροταινία 2 m. Αν ανοίξουμε τις δύο μετροταινίες προς την ίδια κατεύθυνση , τοποθετώντας την αρχή της μιας δίπλα στην αρχή της άλλης , τότε θα διαπιστώσουμε ότι:

• Η ένδειξη του 1 m της ταινίας του Μανόλη αντιστοιχεί στην ένδειξη 1m και ……cm της «καλής» μετροταινίας.

• Η ένδειξη του 1 dm της ταινίας του Μανόλη αντιστοιχεί στην ένδειξη 1dm και ……mm της «καλής» μετροταινίας.

• Η ένδειξη του 1 cm της ταινίας του Μανόλη αντιστοιχεί στην ένδειξη 1cm και ……mm της «καλής» μετροταινίας. (Συμπληρώστε τα κενά των παραπάνω προτάσεων). β) Αν ο Μανόλης με την μετροταινία του μετρήσει μια απόσταση και βρει ότι είναι 5m, πόσο θα είναι η πραγματική απόσταση; γ) Αν ο Μανόλης με την μετροταινία του μετρήσει μια απόσταση που στην πραγματικότητα είναι 10,1 m , πόσο θα βρει ότι είναι; 15. Το καγκουρό με 100 μεγάλα άλματα μπορεί να καλύψει μια απόσταση 0,7 Km. Αν σε δύο λεπτά το καγκουρό κάνει 40 άλματα πόση απόσταση μπορεί να καλύψει σε μισή ώρα.

.


13

2.4 Μέτρηση Επιφανειών –Μονάδες μέτρησης-Εμβαδά σχημάτων.

1 .

α β

Ε1 Ε2

Ε4

γ

Ε3

Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Μονάδα μέτρησης α β γ

Ε1 Ε2 Ε3

Επιφάνεια

Ε4 2. Να κάνετε m2 τα παρακάτω εμβαδά: 0,035 Km2 = 350 dm2 = 1750 cm2 = 35000 mm2 = 3,56 στρ. =


14

3. Συμπληρώστε τα κενά: 0,0000023 Km2 = ……..m2 = ………..dm2 = ………..cm2 = ...........................mm2

0,125 στρ. = …….. m2 = ………….. dm2

0,3 m2 = ...............cm2 = .........................mm2

47500 mm2 = ................cm2 = ................dm2 = ................m2

265000 dm2 = ..............m2 = .............στρ. 2 Km2 = ……………….m2 = …………….στρ. 4. Να κάνετε m2 τα παρακάτω εμβαδά: 2 m2 45dm2 = 28 dm2 28 cm2 28 mm2 = 3 στρ. 213 m2 750 dm2 = 1 m2 10 dm2 100 cm2 1000 mm2 = 5. Να κάνετε στρ. τα παρακάτω εμβαδά.: 5 Km2 + 78000m2 + 2200000 dm2

8600 m2 + 24000000 cm2

350000 dm2 + 4500000000 mm2

6.

Γι να μετατρέψουμε ….. …..Πράξη που κάνουμε A. m2 σε dm2 1. Πολλαπλασιάζουμε με 106

Β. dm2 σε m2 2. Πολλαπλασιάζουμε με 100 Γ. m2 σε Km2 3. Πολλαπλασιάζουμε με 1000 Δ. m2 σε mm2 4. Διαιρούμε με 106

Ε. m2 σε στρ. 5. Διαιρούμε με 100 6. Διαιρούμε με 1000

Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης του παραπάνω πίνακα σε ένα μόνο στοιχείο της δεύτερης στήλης του συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα.

Α Β Γ Δ Ε

7. Να τοποθετήσετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα παρακάτω εμβαδά. Ε1 = 5 στρ. 256 m2 , E2 = 5,256 m2 , E3 = 5000 m2 256000 dm2

8. Πόσο είναι το κόστος ενός οικοπέδου 2 στρεμμάτων και 530 m2 αν το 1 m2 κοστίζει 25 ευρώ.


15

9. Διαθέτουμε μια μετροταινία που το κάθε μέτρο της υπολείπεται του πραγματικού μέτρου κατά ένα εκατοστό. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α) Το κάθε μέτρο που μετράμε με την μετροταινία αυτήστην πραγματικότητα είναι ……. m

β) Το κάθε m2 που μετράμε με την μετροταινία αυτή στην πραγματικότητα είναι ………. m2

γ) Τα 9,801στρ. αν μετρηθούν από την μετροταινία θα είναι ………..στρ. 10. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των επιφανειών της άσκησης 1 , αν γνωρίζετε ότι το τετράγωνο α έχει πλευρά 1,5 cm. 11. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

ΣΧΗΜΑ ΕΜΒΑΔΟ Τετράγωνο με πλευρά μήκους α

Ε =…………….

Ορθογώνιο με διαστάσεις α και β

Ε =…………….

Ορθογώνιο με δύο πλευρές ίσες με α και δύο πλευρές ίσες με 2α

Ε =…………….

Ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές α και β

Ε =…………….

12.

Το διπλανό σχήμα αποτελείται από ίσα τετράγωνα . Το εμβαδόν του είναι 100 cm2

Επιλέξτε την σωστή περίμετρό του. Α.: 20 cm. Β.: 25 cm. Γ.: 30 cm. Δ.: 40 cm. E.: 50 cm. (Ε.Μ.Ε. ΘΑΛΗΣ 1991)


16

13. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

Πλευρά α

Πλευρά β

Περίμετρος 2α+2β

Εμβαδό αβ

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ A 2 cm 0,03 m ………cm ……..cm2

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ B 5 dm …….dm ............dm 2000cm2

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ Γ ……. 7 cm 3 dm ……..cm2

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ A ……..m ……..m ……..m 49 m2

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ B ……..mm ……..mm 20 mm ……..mm2

14. α) Να υπολογίσετε τις περιμέτρους όλων των ορθογωνίων, (και τετραγώνων), με πλευρές που τα μήκη τους είναι φυσικοί αριθμοί σε m και εμβαδό 100 m2. Κατόπιν τοποθετήστε τις περιμέτρους από την μικρότερη προς την μεγαλύτερη. β) Ποιο από όλα τα ορθογώνια, (ή τετράγωνα), έχει την μικρότερη περίμετρο; γ) Αν θέλαμε να περιφράξουμε μια ορθογώνια περιοχή 100 m2 , τι διαστάσεις θα έπρεπε να επιλέξουμε ώστε το κόστος της περίφραξης να είναι το μικρότερο; 15. α) Να υπολογίσετε τα εμβαδά όλων των ορθογωνίων, (και τετραγώνων), με πλευρές που τα μήκη τους είναι φυσικοί αριθμοί σε m και έχουν περίμετρο 10 m. Κατόπιν τοποθετήστε τα εμβαδά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο. β) Ποιο από όλα τα ορθογώνια ,(ή τετράγωνα), έχει το μεγαλύτερο εμβαδό; γ) Αν θέλαμε να περιφράξουμε μια ορθογώνια περιοχή , διαθέτοντας10 m συρματόπλεγμα , τι διαστάσεις θα έπρεπε να επιλέξουμε ώστε η περιοχή που θα περιφράξουμε να έχει το μεγαλύτερο εμβαδό; 16. Να υπολογίσετε το εμβαδό ενός ορθογωνίου που η περίμετρός του είναι ίση με την περίμετρο ενός τετραγώνου με εμβαδό 36 cm2 και η μια πλευρά του είναι διπλάσια της άλλης. 17. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις 5 cm και 8 cm. Αυξάνουμε τις δύο πλευρές του που είναι 8 cm κατά χ cm και έτσι προκύπτει ένα καινούργιο ορθογώνιο. α) Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις:

• Το αρχικό ορθογώνιο έχει περίμετρο Π = …….cm και εμβαδό Ε = ……..cm2 • To δεύτερο ορθογώνιο έχει διαστάσεις …….. και ………. • Το δεύτερο ορθογώνιο έχει περίμετρο Π = 2·…. +2·(……..) = ……………..=

………. (Να εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα) • Το δεύτερο ορθογώνιο έχει εμβαδό Ε = ……· (………) = …………..

β) Να γράψετε την αύξηση της περιμέτρου και του εμβαδού του ορθογωνίου. γ) Να υπολογίσετε το χ αν γνωρίζετε ότι η περίμετρος του δεύτερου ορθογωνίου είναι 30 cm.


17

δ) Να υπολογίσετε το χ αν γνωρίζετε ότι το εμβαδό του δεύτερου ορθογωνίου είναι 55 cm2. 18. Το παρακάτω σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο . Το τετράγωνο και το ορθογώνιο έχουν το ίδιο εμβαδό, ενώ η μια πλευρά του ορθογωνίου είναι ίση με το μισό της πλευράς του τετραγώνου. Αν το εμβαδό του σχήματος είναι 0,18 dm2, να υπολογίσετε την περίμετρό του σε cm. 19. Θέλουμε να στρώσουμε με πλακάκια δύο δάπεδα σχήματος ορθογωνίου. Το πρώτο ορθογώνιο έχει διαστάσεις 6 m και 10 m. Το δεύτερο 25 dm και 4 m. Το κάθε πλακάκι έχει σχήμα ορθογωνίου με διαστάσεις 2 dm και 2,5 dm. Τα πλακάκια κοστίζουν 12 ευρώ το m2. Η εργασία για το στρώσιμο κοστίζει 10 ευρώ το m2. α) Να υπολογίσετε πόσα πλακάκια θα χρειαστούν για την πλακόστρωση των δαπέδων. β) Να υπολογίσετε το συνολικό κόστος για την πλακόστρωση των δαπέδων. 20. Κόβουμε ένα τετράγωνο φύλλο χαρτί στη μέση και προκύπτουν δύο ορθογώνια. Καθένα από τα δύο ορθογώνια το κόβουμε στη μέση ώστε να πάρουμε τετράγωνα, τα οποία κόβουμε ξανά στη μέση και προκύπτουν ορθογώνια που το καθένα έχει εμβαδό 3,125 cm2. Να υπολογίσετε την πλευρά του αρχικού τετραγώνου.


18

2.5 Μέτρηση Χώρου –Μονάδες μέτρησης-Όγκοι σχημάτων.

1 .

Σ1

Σ2

β

α γ Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Μονάδα μέτρησης α β γ

Σ1 Σ2 Σ3

Χώρος

Σχήματος

2. Να κάνετε m3 τους παρακάτω όγκους: 5800 dm3 = 3500000 cm3 = 1750000000 mm3 = 0,000005 Km3 = 3. Συμπληρώστε τα κενά: 0,0000055 m3 = ……..dm3 = …........……..cm3 = ………................mm3

Σ3

0,125 l. = …….. ml = …………...... mm3

300000 ml = ...............l = ......................... m3

4750000000 mm3 = ................cm3 = ................dm3 = ................m3


19

4. Να κάνετε m3 τους παρακάτω όγκους: 2 m3 450dm3 = 28000 dm3 280000 cm3 2800000 mm3 = 5. Να κάνετε l τους παρακάτω όγκους: 5 m3 + 780 dm3 + 220000 cm3

8,6 m3 + 2400000 mm3

0,35 m3 + 450000 ml 6.

Γι να μετατρέψουμε ….. …..Πράξη που κάνουμε A. m3 σε dm3 1. Πολλαπλασιάζουμε με 106

Β. dm3 σε m3 2. Πολλαπλασιάζουμε με 109

Γ. m3 σε cm3 3. Πολλαπλασιάζουμε με 1000 Δ. mm3 σε dm3 4. Διαιρούμε με 106

Ε. m3 σε mm3 5. Διαιρούμε με 109

6. Διαιρούμε με 1000 Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης του παραπάνω πίνακα σε ένα μόνο στοιχείο της δεύτερης στήλης του συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα.

Α Β Γ Δ Ε

7. Να τοποθετήσετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους παρακάτω όγκους: V1 = 5 l 256 ml , V2 = 5,256 m3 , V3 = 5000 dm3 256000 mm3


ΣΧΗΜΑ ΟΓΚΟΣ Κύβος με ακμή μήκους α

V =…………….

Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις α , β , γ

V =…………….


20

Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση τετράγωνο πλευράς α

και ύψος 2α V =…………….


Πλευρά βάσης α

Πλευρά βάσης

β Ύψος γ

Εμβαδό βάσης

Όγκος

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕΔΟ

A 3 cm 0,02 m 0,5 dm ……..cm2 .........cm3


Β 4dm …….dm 3 dm 2000cm2 ………l


Γ ……. 8 cm 3 dm ……..cm2 2400 ml


Δ (ΒΑΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ)

……..m ……..m ……..m 100 m2 500 m3


Ε (ΒΑΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ)

……..mm ……..mm 20 mm ……..mm2 0,5 cm3

10. α) Να βρείτε τον όγκο ενός κύβου, αν η συνολική του επιφάνεια είναι 216 cm3. β) Να βρείτε τον όγκο και την συνολική επιφάνεια ενός κύβου, αν το συνολικό μήκος των ακμών του είναι 120 cm3. 11. Να βρείτε τον όγκο ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση τετράγωνο, αν η περίμετρος της βάσης του είναι ίση με 0,8 dm και η συνολική του επιφάνεια είναι 48cm2

. 12. Να βρείτε το εμβαδό της βάσης ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με ύψος 4 cm και όγκο ίσο με τον όγκο ενός κύβου ακμής 20 mm.


21

13. Έχουμε 5 κύβους ακμής 3 cm. Να εξετάσετε αν αυτοί χωρούν σε ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις 9 cm , 5cm , 3 cm. 14. Μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις βάσης 2,5 m , 2 m και ύψος 1,5 m γεμίζει με νερό από μια βρύση. Η παροχή της βρύσης είναι 5 l νερό σε ένα λεπτό. α) Να υπολογίσετε σε πόσες ώρες η δεξαμενή θα γεμίσει. β) Να υπολογίσετε το ύψος του νερού στη δεξαμενή σε 10 ώρες. 15. Θέλουμε να κατασκευάσουμε, με λαμαρίνα, ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, με βάση τετράγωνο πλευράς α cm, και ύψος β cm, (α , β φυσικοί αριθμοί). Ο όγκος του κουτιού πρέπει να είναι 0,1 l . α) Να βρείτε τις διαστάσεις των 4 κουτιών που μπορούμε να κατασκευάσουμε. β) Ποιο από τα 4 κουτιά πρέπει να επιλέξουμε να κατασκευάσουμε, ώστε το κόστος κατασκευής του να είναι το μικρότερο. (Σημείωση: Το κόστος κατασκευής του κουτιού εξαρτάται από την επιφάνεια της λαμαρίνας που θα χρησιμοποιήσουμε). 16. Ένας κύβος έχει ακμή α cm. Να υπολογίσετε πόσες φορές θα μεγαλώσει η συνολική του επιφάνεια και πόσες φορές ο όγκος του αν : α) Διπλασιάσουμε την ακμή του. β) Τριπλασιάσουμε την ακμή του. γ) Διπλασιάσουμε το ύψος του και αφήσουμε την ίδια βάση.


22

2.6 Μέτρηση Μάζας –Μονάδες μέτρησης. 1. Τοποθετήστε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα παρακάτω βάρη: 1 Kg , 100 g , 10000 mg , 0,01 t. 2. Συμπληρώστε τα κενά:

• 2,5 Kg = ………g = …………………..mg • 350 g = ……….Kg • 0,025 t = ............. Kg = .......................... g • 64000 mg = .....................Kg

3. Να μετατρέψτε σε Kg τα παρακάτω βάρη :

• 25 Kg 254 g = ………… • 0,32 t 5000 g = ………… • 3 Kg 60 g 6 mg = ............. • 500 g 500 mg = ................

4. Πυκνότητα ενός υλικού ονομάζουμε το μέγεθος που μας δείχνει πόση μάζα από αυτό το υλικό καταλαμβάνει χώρο ίσο με μια μονάδα όγκου. Στην συσκευασία ενός υλικού διαβάζουμε ότι η πυκνότητά του είναι 3 g ανά cm3. α) Πόσο χώρο καταλαμβάνουν τα 3 Kg αυτού του υλικού. β) Αν το υλικό αυτό έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις 2 cm , 20 cm και 30 cm , πόση θα είναι η μάζα του; 5. Η μητέρα του Φίλιππα για να φτιάξει ένα γλυκό πρέπει να ζυγίσει 500 g αλεύρι. Διαθέτει μια απλή ζυγαριά και τα εξής σταθμά: Ένα των 750 g και ένα του 1 kg. Με ποιόν τρόπο θα ζυγίσει το αλεύρι που χρειάζεται; (Μπορεί να κάνει περισσότερες από μια ζυγίσεις). 6. Ένα φορτηγό έχει απόβαρο 4,75 t. Μεταφέρει μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, γεμάτη με νερό . Οι διαστάσεις της δεξαμενής είναι: 4 m , 2 m , 1,5 m. και το βάρος της , (χωρίς το νερό), 250 Kg. Να υπολογίσετε το μικτό βάρος του φορτηγού αν γνωρίζετε ότι η πυκνότητα του νερού είναι 1 Kg ανά l. 7. Ένα κουτί έχει 500 όμοια καρφιά και ζυγίζει 3,55 Kg. Το βάρος του κουτιού είναι 50 g. Με τη βοήθεια μιας ζυγαριάς , (ακριβείας), πώς θα πάρουμε 110 καρφιά.


23

2.7 Μέτρηση Χρόνου –Μονάδες μέτρησης. 1. Να υπολογίσετε την ηλικία σας στην αρχή του επόμενου χρόνου. (Χρόνια , μήνες , ημέρες). 2. Συμπληρώστε τα κενά:

• 2 h 30 min = …… h = ……… min = ………s. • 1 h 15 min 1800 s = ………….s = …………..min = ………….h. • 0,1 h 6 min 480 s = ………… s = ……………min = ……..h.

3. Σε ένα ιδιωτικό γυμνάσιο τα μαθήματα ξεκινούν στις 08:15 και τελειώνουν στις 15:25. Ενδιάμεσα υπάρχουν 7 δεκάλεπτα διαλείμματα. Γίνονται 8 ίσης διάρκειας διδακτικές ώρες. Να υπολογίσετε την διάρκεια της κάθε διδακτικής ώρας. 4. Ο ήλιος βρίσκεται σε απόσταση 150.000.000 Km από τη γη (:1 Αστρονομική μονάδα). Ένα σωματίδιο που εκπέμπεται από τον ήλιο κινείται με την ταχύτητα του φωτός , που είναι 300.000 Km το δευτερόλεπτο και φτάνει στη γη. Υπολογίστε το χρόνο, σε s και min, που χρειάστηκε το σωματίδιο για να φτάσει στη γη. 5. Ένα ρολόι δείχνει 11:15 π.μ. Υπολογίστε την ώρα που θα δείχνει το ρολόι μετά από: α) 8 h β) 12 h και 15 min. γ) 18 h και 30 min . δ) 24 h και 50 min. 6. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα και τις διαφορές των παρακάτω χρόνων: α) t1 = 5 h 10 min 38 s , t2 = 3 h 7 min 24 s. β) t1 = 2 h 50 min 45 s , t2 = 58 min 50 s. γ) t1 = 3 d 17 h 30 min , t2 = 1 d 20 h 10 min 24 s. 7. Η Σελήνη χρειάζεται 29,53 ημέρες για να κάνει μια περιφορά γύρω από τη Γη. α) Να μετατρέψετε τον χρόνο περιφοράς της Σελήνης σε συμμιγή αριθμό (: ημέρες , ώρες , λεπτά και δευτερόλεπτα). β) Κάποιος την 1/06/2002 στις 23:00:00 παρατηρεί από κάποιο σημείο της Γης την Σελήνη. Υπολογίστε πότε την επόμενη φορά, (μόνο νύχτα), που αυτός θα ξαναδεί την ίδια ακριβώς περιοχή της Σελήνης .


24


1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ΟΚΛΑΣΜΑΤΑ

3.1 Η έννοια του κλάσματος 3.2 Το κλάσμα σαν πηλίκο φυσικών αριθμών

3.3 Ισοδύναμα κλάσματα 3.10 Δεκαδικά κλάσματα

3.11 Τροπή κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό

1. Στις παρακάτω ράβδους να χρωματίσετε το μέρος τους που περιγράφεται από το αντίστοιχο κλάσμα α)

161

β)

162

γ)

1614

δ) 168

ε) 81

στ) 82

ζ) 84

η) 41

θ) 42

ι) 21


2

2. Να γράψετε τα κλάσματα της άσκησης 1 που είναι ισοδύναμα με:

α) το 21 β) το

41 γ) το

81

3. Αν το μήκος της κάθε ράβδου της άσκησης 1 είναι 1m να βρείτε σεmm το μήκος των τμημάτων που χρωματίσατε συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα.

ΤΜΗΜΑ ΜΗΚΟΣ 4. Να συμπληρώσετε τους παρανομαστές των παρακάτω κλασμάτων:

Α. Το 1 λεπτό του € είναι ίσο με .....1 €

Β. Τα 10 λεπτά του € είναι ίσα με .....1 €

Γ. Τα 20 λεπτά του € είναι ίσα με .....1 €

Δ. Το μισό € είναι ίσο με .....1 €

Ε. Το 1mm είναι ίσο με .....1 m

ΣΤ. Το 1cm είναι ίσο με .....1 m

Ζ. Το 1dm είναι ίσο με .....1 m

H. Το 1g. είναι ίσο με .....1 kg.

5. Να συμπληρώσετε τους παρανομαστές των παρακάτω κλασμάτων:

Α. Τα 2 λεπτά του € είναι ίσα με .....1 €

Β. Τα 10 λεπτά του € είναι ίσα με .....5 €

Γ. Τα 50 λεπτά του € είναι ίσα με .....1 €

Δ. Το μισό € είναι ίσο με .....1 €

Ε. Τα 5mm είναι ίσα με .....1 m


3

ΣΤ. Τα 50cm είναι ίσα με .....1 m

Ζ. Τα 2dm είναι ίσα με .....1 m

H. Τα 100g. είναι ίσα με .....1 kg.

6. Να γράψετε σε δεκαδικούς αριθμούς τα κλάσματα των ασκήσεων 4 και 5.

7. Στις παρακάτω προτάσεις σημειώστε Σ αν θεωρείτε σωστή την πρόταση και Λ

αν την θεωρείτε λανθασμένη

• Για να βρούμε τα 43 ενός μεγέθους χωρίζουμε το μέγεθος σε 3 ίσα μέρη

και παίρνουμε τα 4.

• Για να βρούμε τα 43 ενός μεγέθους χωρίζουμε το μέγεθος σε 4 ίσα μέρη

και παίρνουμε τα 3.

• Το 0,5 ενός μεγέθους είναι ίσο με τα 42 αυτού.

• Τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρανομαστή είναι ισοδύναμα.

• Δεν υπάρχει κλάσμα που να είναι 0 ο παρανομαστής του.

• Δεν υπάρχει κλάσμα που να είναι 0 ο αριθμητής του.

• Τα κλάσματα με ίσους όρους είναι ίσα με το 1.

8. α) Χρωματίστε τα 45 της μιας ράβδου

β) Χρωματίστε τα 47 της μιας ράβδου


4

γ) Χρωματίστε τα 57 της μιας ράβδου

γ) Χρωματίστε τα 39 της μιας ράβδου

δ) Χρωματίστε τα 29 της μιας ράβδου

9. Αν το μήκος κάθε ράβδου της άσκησης 8 έχει μήκος 1m να γράψετε το μέρος

που χρωματίσατε σε εκατοστά συμπληρώνοντας τον πίνακα:

ΤΜΗΜΑ α β γ δ ε ΜΗΚΟΣ 10. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις με τον κατάλληλο αριθμό.

• Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι ίσος με τον παρανομαστή του τότε αυτό είναι ίσο με τον αριθμό …..

• Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι διπλάσιος από τον παρανομαστή τότε αυτό το κλάσμα είναι ίσο με τον αριθμό …..

• Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι τριπλάσιος από τον παρανομαστή τότε αυτό το κλάσμα είναι ίσο με τον αριθμό …..

• Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι δεκαπλάσιος από τον παρανομαστή τότε αυτό το κλάσμα είναι ίσο με τον αριθμό …..

11. Μοιράζουμε 289 € σε 50 άτομα.

α) Να γράψετε σε κλάσμα τα € που θα πάρει ο καθένας β) Να γράψετε σε δεκαδικό αριθμό τα € που θα πάρει ο καθένας γ) Να βρείτε με ποιον τρόπο θα δώσουμε στον καθένα όσο το δυνατό λιγότερα κέρματα.

12. Θέλουμε να μοιράσουμε δύο πίτσες σε τρία άτομα

α) Σε πόσα το λιγότερο ίσα κομμάτια θα κόψουμε την κάθε πίτσα ώστε να την μοιραστούν εξίσου τα τρία άτομα; β) Ποιο μέρος της πίτσας θα πάρει ο καθένας; γ) Ποιο μέρος από τις δύο πίτσες θα πάρει ο καθένας;


5

13. Να γράψετε με τη μορφή κλάσματος τους παρακάτω αριθμούς:

• 5 ........

=

• 0,1........

=

• 0........

=

• 1 ........

=

• 0,7 ........

=

• 1,5 ........

=

14. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση (τα κλάσματα έχουν όρους φυσικούς αριθμούς).

• Στο κλάσμα x3 η μεταβλητή x δεν μπορεί να πάρει σαν τιμή τον αριθμό

Α: 0 Β: 1 Γ: 3 Δ: 4

• Στο κλάσμα 1

7−x

η μεταβλητή x δεν μπορεί να πάρει σαν τιμές τους

αριθμούς: Α: 8 , 2 Β: 7 , 8 Γ: 0 , 1 Δ: 2 , 3

• Στο κλάσμα x

x−+

23 η μεταβλητή x μπορεί να είναι ο αριθμός:

Α: 2 Β: 3 Γ: 4 Δ: 0

• Το κλάσμα 11

−−

xx είναι ίσο με το 1:

Α: Πάντα Β: Μόνο αν x φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1

15. Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει το κλάσμα x

x−+

312 στο οποίο οι όροι του

είναι φυσικοί αριθμοί.


6

16. Να βρείτε την τιμή της μεταβλητής x (αναλυτικά), στις παρακάτω εξισώσεις:

α) 02

1=

−x

β) 12

1=

−x

γ) 22

1=

−x

δ) 23

7=

− x

ε) 15

32=

−x

στ) 06

23=

−x

17. Να κάνετε τους παρακάτω δεκαδικούς κλάσματα με παρανομαστές δυνάμεις του

10 (1,10,100,1000,….). Κατόπιν με τη διαδικασία της απλοποίησης να μετατραπούν σε ανάγωγα.

• 0,5 • 0,6 • 1,25 • 0,25 • 0,3 • 2,5 • 0,125 • 0,45 • 4,75 • 0,4 • 0,175 • 8,125 • 0,75

18. Να κάνετε δεκαδικούς τα παρακάτω κλάσματα αφού πρώτα τα κάνετε δεκαδικά

κλάσματα, (δηλαδή κλάσματα με παρανομαστή 10,100,1000…) πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο αριθμό τους όρους των:

• 51 •

503 •

2543 •

249 •

87

• 47 •

1258 •

2019 •

500387 •

25011

19. Να κάνετε δεκαδικούς τα παρακάτω κλάσματα κάνοντας τις διαιρέσεις. Στην

περίπτωση που η διαίρεση είναι ατελής βρείτε το πηλίκο με προσέγγιση χιλιοστού.

• 2

13 • 8

13 • 32 •

71

• 429 •

31 •

65 •

158


7

20. α) Να κάνετε ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων το10, το 100 και το 1000 και να συμπληρώσετε τον πίνακα. ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ 10 100 1000 β) Να κάνετε ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τους αριθμούς 40, 50, 20, 8, 125, 200 και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: ΑΡΙΘΜΟΣ

ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΠΟΥ ΛΕΙΠΕΙ ΑΠΟ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΓΙΑ ΝΑ ΓΙΝΕΙ 10,100,1000

40 50 20 8 125 200 γ) Να κάνετε δεκαδικά τα κλάσματα:

2001,

1251,

81,

201,

501,

401

δ) Από τα προηγούμενα ερωτήματα μπορείτε να καταλάβετε ποια κλάσματα γίνονται δεκαδικά; 21. α) Να βρείτε τους παρακάτω Μ.Κ.Δ.:

• ΜΚΔ (6, 15)=…… • ΜΚΔ (8, 20)=…… • ΜΚΔ (15, 45)=…… • ΜΚΔ (44, 47)=…… • ΜΚΔ (168, 144)=…….


8

β) Να κάνετε ανάγωγα τα παρακάτω κλάματα διαιρώντας τους αυτών με κατάλληλο αριθμό

• 156 •

4744

• 8

20 • 168144

• 4315

22. Εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα αβ+αγ=α(β+γ), αβ-αγ=α(β-γ) να κάνετε

απλοποίηση στα παρακάτω κλάσματα:

• xx

x32

2+

• aaaa

253+−

• ββ33 +

+aa •

βαβ

3322

−−a

• 222

1+−+−βαβα •

8422

++α

αα

23. Να βρείτε τον αριθμό που παριστάνει η μεταβλητή x στα παρακάτω ισοδύναμα

κλάσματα:

α) 42

3 x= : x=…..

β) x28

37= : x=…..

γ)20

141 −=

x : x=…..

δ) x8

2540

= : x=….

ε) 2

11435 +

=x : x=…..

24. Κάνοντας την ιδιότητα ¨χιαστί¨ να υπολογίσετε αναλυτικά την μεταβλητή x στα

παρακάτω ισοδύναμα κλάσματα

• x2

3015

= • 106

15=

x

• 825

=x

• 43

2=

x

• 62

310

=x

• 36

21=

+x


9

25. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) x

x 22= β)

254 xx=

26. α) Αν αβ=γδ τότε:

........

.........

........

........

=

=

=

=

βδαγδβγa

β) Αν 2α=3β τότε

........

.......

=

=

αββa

27. Αν ισχύει λψχ==

34 βρείτε την τιμή του κλάσματος

ψχψχ

−+

28. Αν 5=ψχ να δείξετε ότι το κλάσμα

ψχψχ

++ 3 είναι ισοδύναμο με το κλάσμα

34

29. Να υπολογίσετε τους αγνώστους λ, χ, ψ, ω για τους οποίους γνωρίζουμε ότι:

λωψ===

432x και χ+ψ+ω=18

30. α) Δείξτε ότι το 1989 έχει παράγοντα το 13

β) Απλοποιήστε το κλάσμα 19892002


10

3.4 Σύγκριση κλασμάτων

1. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: • Ένα κλάσμα είναι μικρότερο του 1 όταν ο αριθμητής του είναι ……………από τον παρανομαστή του.

• Ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο του 1 όταν ο αριθμητής του είναι ………………. από τον παρανομαστή του.

• Μεταξύ κλασμάτων με τον ίδιο παρανομαστή (ομώνυμα), μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει ……………….. αριθμητή.

• Μεταξύ κλασμάτων με τον ίδιο αριθμητή μικρότερο είναι αυτό που έχει ……………….. παρανομαστή.

2. Βάλτε σε σειρά τα παρακάτω κλάσματα με διάταξη από το μικρότερο προς το

μεγαλύτερο.

α) 0,37,

32,

34,

31,1

β) 0,511,

56,

54,

52,

57,

53,1

γ) 0,53,

23,

73,1

3. α) Να βρείτε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 2, 4, 5, 10

β) Να κάνετε ομώνυμα τα κλάσματα της α΄ στήλης του παρακάτω πίνακα συμπληρώνοντας τη δεύτερη στήλη αυτού. ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ - ΟΜΩΝΥΜΑ

21

43

54

109

γ) Βάλτε σε διάταξη από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα κλάματα της α΄ στήλης του προηγούμενου πίνακα.


11

4. α) Να βρείτε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 2, 5, 10

β) Να κάνετε τα κλάσματα της α’ στήλης του παρακάτω πίνακα ισοδύναμα μα κλάσματα που να έχουν τον ίδιο αριθμητή και να τα γράψετε στη β’ στήλη του. ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ

32

65

1110

γ) Βάλτε σε διάταξη από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα κλάσματα της α’ στήλης του παραπάνω πίνακα.

5. Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά με ένα κατάλληλο κλάσμα:

• 54................

51

⟨⟨

• 89................

87

⟨⟨

• 31................

51

⟨⟨

• 53................

73

⟨⟨

• 1................32

⟨⟨

6. Γράψτε Σ στο τέλος ης πρότασης αν αυτή είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος.

• Μεταξύ των κλασμάτων 21 και

31 δεν υπάρχει άλλο κλάσμα.

• Το κλάσμα 37 είναι μεγαλύτερο του 2.

• Το κλάσμα 37 είναι μικρότερο του 1.

• Μεταξύ των κλασμάτων 21 και

31 υπάρχουν άπειρα κλάσματα.


12

7. Να βρείτε μεταξύ ποιων φυσικών αριθμών βρίσκονται τα κλάσματα που δίνονται παρακάτω:

• ........31........:

31

⟨⟨

• ........27........:

27

⟨⟨

• ........34........:

34

⟨⟨

• ........11

100........:11

100⟨⟨

8. Δίνονται τα κλάσματα : 20032004,

20032000,

20012004,

20012000

α) Ποια από αυτά είναι μικρότερα του 1 β) Ποια από αυτά είναι μεγαλύτερα του 1 γ) Βάλτε τα κλάσματα σε διάταξη από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο.

9. Αν α είναι ένα αριθμός μεγαλύτερος του 1 να συγκρίνετε με την μονάδα τα παρακάτω κλάσματα.

121065,1,1,

212,

20022001

++−+

++

aa

aaa

aa

aa

10. Αν α, β, γ διαδοχικοί αριθμοί με 1<α<β<γ να συγκρίνετε με το 1 τα παρακάτω

κλάσματα:

γβ

γα

βα

αγ

αγ

β,3,1,

2,,1 ++

+


13

3.5 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 3.6 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

1. Στις παρακάτω προτάσεις – ισότητες να σημειώσετε Σ αν η πρόταση είναι σωστή

και Λ αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

• Ο αριθμός 3,257 είναι το αποτέλεσμα του αθροίσματος: 1000

7100

51023 +++

• 1+=+

αββα

• αββα=

+

• 1+=+

βα

ββα

• 1−=−

βα

ββα

• Με το άθροισμα

975 + παριστάνουμε τον μικτό αριθμό

975 ή το κλάσμα

952

9795=

+⋅

2. Αν 2002=βα να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

Α= ββα + Β=

ββα −

Γ= ββα 2+ Δ=

ββα 2−


14

3. Να συμπληρώσετε τη δεύτερη στήλη του πίνακα γράφοντας το κλάσμα που πρέπει να προστεθεί στο κλάσμα της πρώτης στήλης ώστε το άθροισμα τους να είναι 1:

Α’ ΚΛΑΣΜΑ Β’ ΚΛΑΣΜΑ

ΑΘΡΟΙΣΜΑ

31

1

52

1

117

1

43

1

4. Να συμπληρώσετε τη δεύτερη στήλη του πίνακα γράφοντας το κλάσμα που πρέπει να αφαιρεθεί από το κλάσμα της α’ στήλης ώστε η διαφορά τους να είναι ίση με 1:

Α’ ΚΛΑΣΜΑ Β’

ΚΛΑΣΜΑ ΔΙΑΦΟΡΑ

35

1

27

1

1011

1

20012002

1

5. α) Να κάνετε μικτούς αριθμούς τα κλάσματα: 423,

23,

49,

35

β) Να τοποθετήσετε πάνω σε ένα άξονα τα κλάματα 423,

23,

49,

35


15

6. α) Να υπολογίσετε την περίμετρο ενός τριγώνου με πλευρές mmm52,

21,

32

β) Η περίμετρος ενός τριγώνου είναι dm37 . Οι δύο πλευρές του είναι 1dm και

.67 dm Να υπολογίσετε την τρίτη πλευρά του.

7. Να βρείτε την τιμή της μεταβλητής x στις παρακάτω περιπτώσεις:

α) 32

52=+x

β) 41

31=−x

γ) 237 =− x

δ) )61

31

21

=⎜⎝⎛ −−x

8. Να υπολογίσετε το άθροισμα: 7255

4229

2011

61

91

81

71

61

51

41

31

21

++++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

9. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

721

91

81

421

71

61

201

51

41

61

31

21

10. Αν το άθροισμα αβ

βα+ είναι ίσο με

23 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

ββα

αβα ++

+=Π


16

3.7 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

1. Σημειώστε Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν η πρόταση είναι λανθασμένη

• Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα πρέπει πρώτα να τα κάνουμε ομώνυμα. • Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με ένα κλάσμα πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή του κλάσματος με αυτό τον αριθμό

• Για να βρούμε τα 32 ενός αριθμού πολλαπλασιάζουμε αυτόν τον αριθμό με το

32 .

• Το γινόμενο ενός κλάσματος με το 1 είναι ίσο με το ίδιο κλάσμα. • Το γινόμενο ενός κλάσματος με το 0 είναι ίσο με 1.

2. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

• Το 31 του αριθμού 4 είναι ίσο με .........4

31

=⋅

• Τα 23 του αριθμού 10 είναι ίσα με ..........10

23

=⋅

• Τα 87 του αριθμού 20 είναι ίσα με ..........20

87

=⋅

• Τα 1011 του αριθμού 5 είναι ίσα με ............5

1011

=⋅

3. Να υπολογίσετε με τη βοήθεια του γινομένου ……..

α) Το 3πλάσιο του κλάσματος 53

β) Το 31 του κλάσματος

53

γ) Το μισό του κλάσματος 58

δ) Το διπλάσιο του κλάσματος 45


17

4. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:

200220022001

65

54

43

32

21

217

21

21

21

334

214

313

32

1412

23

31

3123

22

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Γ

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Β

−⋅+⋅=Α

5. Αν 61,

23

=+=+ βαψχ να υπολογίσετε με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας την τιμή

των παραστάσεων;

βψβχαψαχ

ψχ

+++=Β

⋅+⋅=Α31

31

6. Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−⋅=Β

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=Α

161

81

41

21116

21

313

101

535

7. α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

511

411

311

211

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

200220011

511

411

311

211

8. Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδό ενός ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι το μήκος του

είναι cm35 και το πλάτος του είναι ίσο με τα

23 του μήκους του.


18

9. Να υπολογίσετε την περίμετρο ενός τετραγώνου με εμβαδό ίσο με 2

8125 m

10. Ένα αυτοκίνητο κάνει 40km σε 32 ώρες.

α) Να υπολογίσετε πόσα λεπτά είναι οι 32 ώρες

β) Πόσα km κάνει το αυτοκίνητο σε 1min. γ) Πόσα km κάνει το αυτοκίνητο

• σε 43 ώρες

• σε 1 ώρα

3.8 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

1. Να συμπληρώσετε τις προτάσεις:

• Αντίστροφοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν γινόμενο ………….. • Ο μοναδικός αριθμός που δεν έχει αντίστροφο είναι το ………… • Ο αντίστροφος του αριθμού 1 είναι ο αριθμός …………

2. Σημειώστε Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν η πρόταση είναι λανθασμένη:

• Ο αντίστροφος του αριθμού α είναι ο αριθμός a1 εφόσον α≠0

• Ο αντίστροφος του 513 είναι ο αριθμός

35

• Ο αντίστροφος του 513 είναι ο αριθμός

165

• Ο αντίστροφος του 32 είναι ο αριθμός 1,5

• Ο αντίστροφος του 5 είναι ο αριθμός 102

3. Να βρεθούν οι αριθμοί χ,ψ αν γνωρίζετε ότι είναι αντίστροφοι και ότι ισχύει χ(ψ+1)=3

(Υπ: Να κάνετε επιμεριστική ιδιότητα)

4. Αν α,β αντίστροφοι αριθμοί υπολογίστε την τιμή της παράστασης: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

aa 1β

5. Να υπολογίσετε την περίμετρο ενός τετραγώνου αν το εμβαδό του είναι ίσο με το εμβαδό ενός

ορθογωνίου με διαστάσεις που έχουν μήκος αριθμούς αντίστροφους: (Σημ.: Τα μήκη είναι μετρημένα σε m.)


19

3.9 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 13 =⋅ x

β) 132

=⋅ x

γ) 73

75

=⋅ x

δ) 31:

41

=x

ε) 101

52:5 −=x

στ) 52132 =⋅+ x

2. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

Α=211− Γ=

211

11

1

−+

Β=

211

1

− Δ=

211

11

11

1

−+

−

3. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

Α= Β=( )[ 20022 93:1 ⋅ ] 3:31

:31 2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

Γ=32:

313:5 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ Δ=

41:5:

45

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4. Να υπολογίσετε τις τιμές των κλασμάτων:

Α=

31

21

31

21

+

− Β=

156

531

−

−


20

Γ=2

149

32

−⋅ Δ= 20022001

325

51:

35

−

5. α) Αν τα 32 ενός μεγέθους χωριστούν σε 3 ίσα μέρη τότε ποιο κλάσμα του μεγέθους είναι το

καθένα από τα 3 ίσα μέρη.

β) Τα 32 ενός χρηματικού ποσού μοιράστηκαν εξίσου σε 3 άτομα. Το καθένα πήρε 100€.

Πόσο ήταν το χρηματικό ποσό;

6. Ένα αυτοκίνητο σε 35 h έκανε μια απόσταση 100km. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του

αυτοκινήτου. (Σημ.: Ταχύτητα του αυτοκινήτου εννοούμε την απόσταση που κάνει σε1h).

7. Μια βρύση γεμίζει τα 32 μιας δεξαμενής σε 4 ώρες.

α) Να βρείτε ποιο μέρος της δεξαμενής γεμίζει η δεξαμενή σε 1 ώρα. β) Σε πόσες ώρες η βρύση θα γεμίσει την δεξαμενή.

8. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει περίμετρο 2m. Να υπολογίσετε την πλευρά και το εμβαδό ενός

τετραγώνου που έχει περίμετρο ίση με την πλευρά του τριγώνου.

9. Η συνολική επιφάνεια ενός κύβου ακμής α είναι ίση με 61 m2. Να υπολογίσετε την ακμή α

του κύβου καθώς και τον όγκο του.

10. Αν α=21,

32

=β να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Π=βαβα

βα+−

− 1:22


21

3.12 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΣΟΣΤΟΥ

1. Να αντιστοιχήσετε τα κλάσματα της α’ στήλης του παρακάτω πίνακα, με τα ποσοστά της β’ στήλης του ώστε να είναι ισοδύναμα.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ

Α.52 1. 75%

Β.43 2. 50%

Γ.21 3. 20%

Δ.253 4. 12%

Ε.408 5. 40%

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ

Α Β Γ Δ Ε

2. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε οι δεκαδικοί να γίνουν ποσοστά:

• 0,02= • 0,3333= • 1,15= • 0,2= • 0,0015= • 2,37= • 0,035= • 0,5= • 1,25= • 0,35= • 0,75= • 2=

3. Να κάνετε τα ποσοστά που δίνονται παρακάτω ανάγωγα κλάσματα:

• 5%=…………. • 30%=…………. • 25%=…………. • 10%=…………. • 40%=…………. • 7.5%=…………


22

4. Να σκιαγραφήσετε το μέρος του σχήματος που παριστάνει το ποσοστό που σας δίνεται σε κάθε περίπτωση:

α) 25%

β) 12,5% γ) 4%

5. Με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

ΧΡΩΜΑ ΠΟΣΟΣΤΟ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ

6. Να γράψετε Σ αν είναι σωστή και Λ αν είναι λανθασμένη κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις:

• Το 30% του 1 λίτρου είναι ίσο με 30ml. • Το 30% του 1m είναι ίσο με 3dm. • Το 2,5% των 4m είναι ίσο με 10m. • Το 3% των 5€ είναι ίσο με 150 λεπτά. • Το 40% των 40 μαθητών είναι ίσο με 20 μαθητές.


23

7. Η τιμή ενός προϊόντος την 1/1/2002 ήταν 200€. Στις 5/1/2002 έγινε μείωση της τιμής του κατά

15%. Στις 10/1/2002 η τιμή του αυξάνεται κατά 15%. Η τιμή του προϊόντος επανήλθε στα 200€; Δικαιολογήστε την απάντηση σας.

8. Η Γ’ τάξη ενός ενιαίου λυκείου έχει 80 μαθητές. Το 40% αυτών των μαθητών είναι αγόρια. Το

60% των κοριτσιών ατής της τάξης ακολουθούν θεωρητική κατεύθυνση. Να υπολογίσετε: α) Το ποσοστό των κοριτσιών αυτής της τάξης. β) Το ποσοστό των μαθητών αυτής της τάξης που είναι κορίτσια και ακολουθούν θεωρητική κατεύθυνση. γ) Τα κορίτσια της θεωρητικής κατεύθυνσης.

9. Η αρχική τιμή ενός προϊόντος είναι x €. Σ’ αυτή την τιμή κάνουμε μια αύξηση ή μείωση σε ποσοστό α%. Η τελική τιμή του προϊόντος είναι ψ€. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

ΑΡΧΙΚΗ ΤΙΜΗ

x ΠΟΣΟΣΤΟ ΑΥΞΗΣΗΣ

α% ΠΟΣΟΣΤΟ ΜΕΙΩΣΗΣ

α% ΑΥΞΗΣΗ Ή ΜΕΙΩΣΗ ΤΕΛΙΚΗ ΤΙΜΗ

ψ 20 10%

20 10%

60 20%

60 20%

X 10% xx 1,010010

=⋅ 1,1x

X 10% xx 1,0

10010

=⋅ 0,9x

10% 270

10% 253

10. Αγοράσαμε με έκπτωση 20% ένα ζευγάρι παπούτσια και πληρώσαμε 48€.

α) Αν x€ ήταν η αρχική τιμή των παπουτσιών τότε το ποσό που πληρώσαμε είναι: Α: 20%x Β: 0,8x Γ: 1,2x Δ: x Επιλέξτε βάζοντας σε κύκλο τη σωστή απάντηση. β) Να υπολογίσετε την αρχική τιμή των παπουτσιών καθώς και το ποσό της έκπτωσης.


24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

1. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: • Στα ανάλογα ποσά οι τιμές του ενός με τις αντίστοιχες του άλλου έχουν σταθερό……….. • Τα ζευγάρια των αντίστοιχων τιμών δυο ανάλογων ποσών αν παρασταθούν με σημεία ενός επιπέδου τότε θα σχηματιστεί ……………..

• Αν (α,β) ένα ζευγάρι τιμών δυο ανάλογων ποσών τότε και τα ζευγάρια (2α,…..), (3α,…..), (4α,…..) αποτελούν ζευγάρια τιμών των ίδιων ποσών.

• Κλίμακα ενός σχεδίου ή ενός χάρτη ονομάζουμε το ……………………… ………………………………………………………………………………..

• Σ’ ένα σχέδιο ή σε ένα χάρτη που σχεδιάζουμε με κλίμακα κ ο λόγος της απόστασης δυο σημείων στο σχέδιο ή στο χάρτη προς την πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι πάντα ίσος με ……………………….

• Αν χ+ψ+ω=6 και α+β+γ=3 τότε ............===γω

βψ

ax

2. Αν το ζευγάρι (10,20) παριστάνει ένα ζευγάρι αντίστοιχων τιμών δυο ανάλογων ποσών τότε:

α) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω ζευγάρια ώστε να αποτελούν ζευγάρια αντίστοιχων τιμών αυτών των ποσών: (5,…..), (……,40), (……,30), (40,…..) β) Να τοποθετήσετε τα παραπάνω ζευγάρια με σημεία κατάλληλου ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων και να τα ενώσετε. γ) Εξετάστε αν τα παρακάτω ζευγάρια είναι ζευγάρια αντίστοιχων τιμών αυτών των ποσών: (1, 2), (8, 4), (α, 2α), (0.5α, α)

3. Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση S σε χρόνο t με ταχύτητα 80km/h.

α) Εξετάστε αν τα ποσά απόσταση S χρόνος t είναι ανάλογα. β) Από τα δεδομένα του προβλήματος ποιο ζευγάρι τιμών για τα ποσά S και t σας δίνεται;

γ) Με ποιον αριθμό θα είναι ίσος ο λόγος tS ;

δ) Να βρείτε το S αν γνωρίζετε ότι t=2h, t= h23 , t= .

43 h

ε) Να βρείτε το t αν γνωρίζετε ότι S=200km, S=300km, S=100km.


25

4. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά α, περίμετρο Π και εμβαδό Ε. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τιμές δικής σας επιλογής. ΠΛΕΥΡΑ α ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ Π ΕΜΒΑΔΟ Ε β) Σημειώστε Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος.

• Τα ποσά α και Π είναι ανάλογα • Τα ποσά α και Ε είναι ανάλογα

γ) Με τι ισούται ο λόγος αΠ ; Είναι σταθερός;

Με τι ισούται ο λόγος αΕ ; Είναι σταθερός;

5. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει σταθερή βάση τετράγωνο πλευράς 3cm, ύψος h, όγκο V

και παράπλευρη επιφάνεια Ε. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τιμές δικής σας επιλογής:

ΥΨΟΣ h ΟΓΚΟΣ V ΠΑΡΑΠΛΕΥΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε

β) Σημειώστε Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος.

• Τα ποσά h και V είναι ανάλογα. • Τα ποσά h και Ε είναι ανάλογα.

γ) Με τι ισούται ο λόγος hV ; Είναι σταθερός;

Με τι ισούται ο λόγος hΕ ; Είναι σταθερός;

6. Ένα πλοίο ξεκινάει από ένα νησί Α με προορισμό ένα νησί Β και με ταχύτητα 25 ναυτικά μίλια

την ώρα. Ο καπετάνιος του πλοίου μετρώντας την απόσταση των νησιών σε έναν ναυτικό χάρτη

κλίμακας 1000000

1 διαπιστώνει ότι η απόσταση τους είναι 4,63cm. Να υπολογίσετε σε πόσο

χρόνο το πλοίο θα φτάσει στο νησί Β; (Σημ.: 1 ναυτικό μίλι = 1,852km.)


26

7. Ένα σχέδιο σμικρύνεται 3 φορές ώστε κάθε φορά να γίνεται το μισό της προηγούμενης. Έστω x

η απόσταση δύο σημείων στο αρχικό σχέδιο, και α, β, γ οι αποστάσεις των δύο αυτών σημείων μετά τις τρεις διαδοχικές σμικρύνσεις.

α) Υπολογίστε τους λόγους: βγ

αβ ,,

xa

β) Το γινόμενο των λόγων βγ

αβ ,,

xa είναι ίσο με δυο από τα παρακάτω κλάσματα:

Α: 21 Β:

81 Γ:

χγ Δ:

41 Ε:

18

Ποια είναι αυτά; γ) Ποια είναι η κλίμακα του τελικού σχεδίου; δ) Πόσο είναι η μείωση της απόστασης των δύο σημείων και πόσο % μειώθηκε η απόσταση σε σχέση με την αρχική;

8. α) Ένα μέγεθος x αυξάνεται κατά 20% και γίνεται ίσο με ψ. Να εξετάσετε αν τα ποσά x και ψ είναι ανάλογα και να υπολογίσετε το λόγο των αντίστοιχων τιμών τους. β) Ένα μέγεθος x αυξάνεται κατά 40% και γίνεται ίσο με α. Κατόπιν το α αυξάνεται κατά 50% και γίνεται ίσο με β.

Ορθ. Ισοσκελές τρίγωνο

• Να υπολογίσετε τους λόγους xa και

αβ

• Να υπολογίσετε το λόγο χβ

• Πόσο % αυξήθηκε το μέγεθος x;

9. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα γράφοντας στα κελιά της δεύτερης στήλης του Σ αν έχουμε σμίκρυνση και Μ αν έχουμε μεγέθυνση και στα κελιά της τρίτης στήλης πόσες φορές έχει σμικρυνθεί ή έχει μεγεθυνθεί το σχέδιο.

ΚΛΙΜΑΚΑ ΣΧΕΔΙΟΥ ΣΜΙΚΡΥΝΣΗ Ή ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΠΟΣΟ ΣΜΙΚΡΥΝ. Ή ΜΕΓΕΘΥΝ

101

3:1 5:10 3:9

10. Τα παρακάτω σχέδια έχουν σχεδιαστεί με κλίμακα 101 . Να υπολογίσετε τις πραγματικές τους

επιφάνειες, μετρώντας με το υποδεκάμετρο τις διαστάσεις τους. Τετράγωνο

Ορθογώνιο


27

11. α) Να συμπληρώσετε την αναλογία: ..............

===γω

βψ

αχ

β) Το άθροισμα τριών αριθμών χ, ψ, ω είναι 60. Οι αριθμοί χ, ψ, ω είναι ανάλογοι των αριθμών 1, 2, 3. Να υπολογίσετε τους τρεις αριθμούς χ, ψ, ω.

12. Να υπολογίσετε τις πλευρές και το εμβαδόν ενός ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι η περίμετρος του

είναι ίση με 30cm και οι πλευρές του είναι ανάλογες των αριθμών 2 και 3.

13. Αν για τους αριθμούς χ, ψ ισχύουν: 3x+2ψ=42 και λψ==

35x τότε:

α) Υπολογίστε τον αριθμό λ. β) Υπολογίστε τους αριθμούς χ, ψ.

14. Αν οι αριθμοί α, β είναι ανάλογοι των αριθμών 3, 5 τότε:

α) Γράψτε την ισότητα των λόγων που προκύπτει β) Αν ο κάθε λόγος του α’ ερωτήματος είναι λ να εκφράσετε σε σχέση με το λ τους αριθμούς α και β.

γ) Υπολογίστε τους λόγους: βαβα

βαβ

+−

++

326,

6532a

15. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει περίμετρο 28cm. Έστω αcm είναι το μήκος καθεμιάς από τις ίσες

πλευρές του και βcm το μήκος της βάσης. Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β αν γνωρίζετε ότι είναι ανάλογοι προς τους αριθμούς 5 και 4 αντίστοιχα.

16. α) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:5 . Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 2 cm και η πραγματική

απόσταση αυτών των σημείων είναι χ cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων; β) Ένας χάρτης έχει κλίμακα 1:500 000 . Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 5 cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι χ cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων σε Km; γ) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:50 . Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι χ cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι 600 cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η αυτών των σημείων στο σχέδιο; δ) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:χ . Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 2 cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι 5 m, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει.

Ποια είναι η κλίμακα του σχεδίου;

Documents

A Γυμνασίου