a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling

opgave 11

0x

y

voorbeeld

Ox

y

Ox

y

Ox

y

Ox

y

opgave 12

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12

b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000

c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000

opgave 18

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling

opgave 11

0x

y

voorbeeld

Ox

y

Ox

y

Ox

y

Ox

y

opgave 12

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12

b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000

c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000

opgave 18

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling

opgave 11

0x

y

voorbeeld

Ox

y

Ox

y

Ox

y

Ox

y

opgave 12

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12

b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000

c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000

opgave 18

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling

opgave 11

0x

y

voorbeeld

Ox

y

Ox

y

Ox

y

Ox

y

opgave 12

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12

b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000

c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000

opgave 18

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling

opgave 11

0x

y

voorbeeld

Ox

y

Ox

y

Ox

y

Ox

y

opgave 12

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12

b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000

c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000

opgave 18

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling

opgave 11

0x

y

voorbeeld

Ox

y

Ox

y

Ox

y

Ox

y

opgave 12

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12

b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000

c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000

opgave 18

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling

opgave 11

0x

y

voorbeeld

Ox

y

Ox

y

Ox

y

Ox

y

opgave 12

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12

b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000

c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000

opgave 18

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

0x

y

voorbeeld

Ox

y

Ox

y

Ox

y

Ox

y

opgave 12

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12

b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000

c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000

opgave 18

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

Ox

y

Ox

y

Ox

y

Ox

y

opgave 12

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12

b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000

c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000

opgave 18

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12

b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000

c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000

opgave 18

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

a er zijn 4 hoogste puntent = 1 t = 5 t = 9 en t = 12

b 1 mei 2005 t = 41 okt 2005 t = 9vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N times 1000is 5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 + 5 = -35op 1 okt minder dan op 1 mei 35000

c 1 aug 2005 t = 71 febr 2006 t = 13vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is -20 + 5 ndash 10 + 5 + 40 ndash 30 = -10op 1 febr minder dan op 1 aug 10000

opgave 18

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

d 1 jan 2005 t = 01 aug 2005 t = 7vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N times 1000is 20 -5 ndash 15 ndash 10 + 5 ndash 10 ndash 15 = -30op 1 jan 2005 waren er475000 + 30000 = 505000 werkelozen

e 1 aug 2005 t = 71 dec 2005 t = 11vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N times 1000is - 20 + 5 ndash 10 + 5 = -20op 1 dec 2005 waren er 20000 minder20000475000 times 100 asymp 42 minder

opgave 18

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

a differentiequotieumlnt op [35]∆N = 7000 ndash 2500 = 4500∆t = 5 ndash 3 = 2∆N ∆t = 4500 2 = 2250

b gemiddelde verandering op [26]∆N = 8500 ndash 1000 = 7500∆t = 6 ndash 2 = 4∆N ∆t = 7500 4 = 1875

c op [34] is ∆N ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag

3

2500

5

7000

2

1000

6

8500

opgave 22

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

2

20

4

50

a de gemiddelde snelheid op [24]∆W = 50 ndash 20 = 30∆q = 4 ndash 2 = 2∆W ∆q = 30 2 = 1515 euro per stuk

b de gemiddelde snelheid op [46] ∆W = 20 ndash 50 = -30∆q = 6 ndash 4 = 2∆W ∆q = -30 2 = -15-15 euro per stuk

c teken de lijn door het punt (220) met een helling van 10deze lijn snijdt de grafiek ook in hetpunt (550)dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000

4 6

50

20

5

∙

opgave 27

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

x

y

0

fa voer in y1 = xsup3 - 3x + 5b gemiddelde toename op [13]

∆y = f(3) ndash f(1)∆y = 23 ndash 3 = 20∆x = 3 ndash 1 = 2∆y ∆x = 20 2 = 10

c differentieqoutieumlnt op [-24]∆y = f(4) ndash f(-2)∆y = 57 ndash 3 = 54∆x = 4 - -2 = 6∆y ∆x = 54 6 = 9

d hellingsgetal op [-31]∆y = f(1) ndash f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16∆x = 1 - -3 = 4rc = ∆y ∆x = 16 4 = 4

5

opgave 30

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

73

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

a voer in y1 = 37 + 45x(x2+70)1 mei om 1730 uur t = 55de optie dydx geeft

de snelheid is 018degC per uurb 2 mei om 800 uur t = 20

de optie dydx geeft

de snelheid is 007degC per uur

dydx x=55 asymp 018

dydx x=20 asymp -007

c optie maximumx asymp 837 en y asymp 397de maximale temperatuur is 397degCt = 837 1 mei om 2022 uurdus de griep is op zijn hoogtepuntop 1 mei om 2022 uur

d voer in y2 = 39optie intersectx asymp 373 en y asymp 18771877 ndash 373 = 1504dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan 15 uur boven 19degC

opgave 40

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

opgave 44a voer in y1 = -x2 ndash 2x + 8

= 2

dus de rc = 2b B(0 8) xB = 0

= -2

l y = -2x + bB(0 8)

l y = -2x + 8

[ ]dy

dx x=-2

B

[ ]dy

dx x=0

8 = -2 middot 0 + b

b = 8

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

opgave 44

c ∆x = 6

∆y = -12

rc = ∆y ∆x

rc = -12 6

rc = -2

R

T

∆x = 6

∆y = -12

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

a x lt -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op lsaquo -3 rsaquo

b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt

c f is stijgend op lsaquo -3 0 rsaquod hoogste punte schets y

xO

top

top

top

top

opgave 50

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

Casio OPTN ndash CALC ndash menuoptie ddx

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI) of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

f(x) = (5x + 7)(4 - 3x)

f(x) = 20x - 15xsup2 + 28 ndash 21x

f(x) = -15xsup2 - x + 28

frsquo(x) = 2 middot -15x - 1

frsquo(x) = -30x - 1

eerst haakjes wegwerken

dezelfde termen optellen

somregel van het differentieumlren

opgave 58aopgave 58a

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

k(x) = -3(x ndash 1)(5 ndash 9x) ndash 8(x ndash 7)

k(x) = -3(5x ndash 9xsup2 - 5 + 9x) ndash 8x + 56

k(x) = -15x + 27xsup2 + 15 ndash 27x ndash 8x + 56

k(x) = 27xsup2 - 50x + 71

krsquo(x) = 2 middot 27x ndash 50

krsquo(x) = 54x - 50

opgave 58d

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

f(x) = (3x ndash 1)(x2 + 5x)

f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 ndash 5x

f(x) = 3x3 + 14x2 ndash 5x

frsquo(x) = 3 middot 3x2 + 2 middot 14x ndash 5

frsquo(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 61a

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

a f(x) = 05x3 ndash 2x2 + 2frsquo(x) = 3 middot 05x2 ndash 2 middot 2x frsquo(x) = 15x2 ndash 4xstel k y = ax + bxA = 4a = frsquo(4) = 15 middot 42 ndash 4 middot 4 = 8dit geeft k y = 8x + by = f(4) = 05 middot 43 ndash 2 middot 42 + 2 = 2

dus k y = 8x - 30

2 = 8 middot 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 63

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

b stel m y = ax + bxB = -2a = frsquo(-2) = 15 middot (-2)2 ndash 4 middot -2 = 14dit geeft m y = 14x + by = f(-2) = 05 middot (-2)3 ndash 2 middot (-2)2 + 2 = -10

dus m y = 14x + 18

-10 = 14 middot -2 + b-10 = -28 + bb = 18

opgave 63

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

a f(x) = (x2 ndash 4)(x + 1)f(x) = x3 + x2 ndash 4x - 4 frsquo(x) = 3x2 + 2x - 4

b stel k y = ax + bxA = -3a = frsquo(-3) = 3 middot (-3)2 + 2 -3 - 4 = 17dit geeft k y = 17x + by = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 middot -3 ndash 4 = -10

dus k y = 17x + 41

-10 = 17 middot -3 + b-10 = -51 + bb = 41

opgave 65

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

c stel l y = ax + bde grafiek f snijdt de y-as in punt B xB = 0a = frsquo(0) = 3 middot 02 + 2 middot 0 - 4 = -4dit geeft l y = -4x + byB = f(0) = 03 + 02 ndash 4 middot 0 ndash 4 = -4B(0 -4)dus l y = -4x - 4

opgave 65

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

d de grafiek f snijdt de x-as y = 0f(x) = 0 (x2 ndash 4)(x + 1) = 0

x2 ndash 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1

dus xC = 2stel m y = ax + ba = frsquo(2) = 3 middot 22 + 2 middot 2 ndash 4 = 12dit geeft m y = 12x + b en C(2 0)

dus m y = 12x - 24

0 = 12 middot 2 + b0 = 24 + bb = -24

opgave 65

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

= 18x

= 0 ndash 15p2 = -15p2

= 0 ndash 6t = -6t

= 3a2 ndash 0 = 3a2

= = 3x2 + 7 ndash 6x = 3x2 ndash 6x + 7

= = 2x - 10

d(9x2 ndash 5p3)dx

d(9x2 ndash 5p3)dp

d(a3 ndash 3t2)dt

d(a3 ndash 3t2)da

d(x - 3)(x2 + 7)dx

d(x3 + 7x ndash 3x2 - 21)dx

d(x ndash 5)2

dxd(x2 ndash 10x + 25)

dx

opgave 69

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

N = 2t2 ndash 80t + 1400

a = 4t ndash 8010 juli om 1200 uur t = 95 = 4 95 ndash 80 = -42 -42 lt 0 N daalt dus de populatie neemt af

b = 04t ndash 80 = 04t = 80t = 20zie schets N is minimaal voor t = 20Nmin = 2 202 ndash 80 20 + 1400 = 600 insectent = 20 21 juli om 000 uur

dNdt

dNdt t = 95

dNdt

0 t

N

1400

20

opgave 74

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30

t = 29 N = 762

t = 30 N = 800

toename is 800 ndash 762 = 38 insecten

times 100 asymp 5038762

opgave 74

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

L = -0000069t3 + 0009t2 ndash 022t + 261a Lrsquo(t) = 3 -0000069t2 + 2 0009t ndash 022

Lrsquo(t) = -0000207t2 + 0018t ndash 022Lrsquo(25) = -0000207(25)2 + 0018 25 ndash 022 asymp 010de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen huneerste kind krijgen nam in 1975 toe met 010 jaar per jaar

b 1960 t = 10Lrsquo(10) = -0000207(10)2 + 0018 10 ndash 022 = -00607-00607 lt 0 de grafiek daalt voor t = 10 de gemiddelde leeftijd L neemt af

opgave 77

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49

c Lrsquo(t) = 0-0000207t2 + 0018t ndash 022 = 0voer in y1 = -0000207x2 + 0018x ndash 022neem Xmin = 0 en Xmax = 70optie zero of ROOTx asymp 147voer in y1 = -0000069x3 + 0009x2 ndash 022x + 261minimum bij t = 147dus in het jaar 1965 is L minimaal

d voer in y2 = 30optie intersectx asymp 568dus in het jaar 2007 0 t

L

147

opgave 77

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49