a b c a b c + + = + + ( ) ( ) a b c a b ⋅ ⋅ = ⋅ c · Skup N ima najmanji element (broj 1), a svaki sljede ći element dobijemo tako da prethodnog uve ćamo za 1. Za svaki prirodan

SVEUČILIŠTE U ZADRU MATEMATIKA ODJEL ZA EKONOMIJU UVOD

Josipa Perkov, prof., predavač - 1 -

Brojeve kojima prebrajamo predmete i pojave u svojoj okolini nazivamo prirodnim

brojevima. Skup prirodnih brojeva obilježavamo oznakom N.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n, ...}

Skup N ima najmanji element (broj 1), a svaki sljedeći element dobijemo tako da

prethodnog uvećamo za 1. Za svaki prirodan broj n ≠ 1 postoji prirodni broj koji je njegov

prethodnik, n − 1. Svaki prirodni broj n ima i sljedbenika, n + 1. Zbog ovog svojstva

kažemo da je skup prirodnih brojeva prebrojiv. Prirodne brojeve oblika 2n, gdje je n bilo

koji prirodan broj, nazivamo parnim brojevima, a prirodne brojeve oblika 2n-1 nazivamo

neparnim brojevima.

n 2n 2n-1

1 2 1

2 4 3

3 6 5

4 8 7

… … …

Ako su a i b prirodni brojevi zbroj a + b, kao i umnožak a · b je opet prirodan broj. Zato

se kaže da je skup N zatvoren prema zbrajanju i množenju svojih elemenata. Za te

operacije vrijede sljedeća svojstva, tj. za svaka tri prirodna broja a, b, c vrijedi:

1. ( ) ( )

( ) ( )

⋅⋅=⋅⋅

++=++

cbacba

cbacba asocijativnost zbrajanja, odnosno množenja,

2.

⋅=⋅

+=+

abba

abba komutativnost zbrajanja, odnosno množenja,

3. ( ) cbcacba ⋅+⋅=⋅+ distributivnost množenja prema zbrajanju,

4. Ako je a < b tada je a + c < b +c i a · c < b · c.



Primjer 1: S jedne strane školskog hodnika nalaze se 4 učionice. Jedna je učionica dugačka

7m, druga 8m, a preostale dvije imaju duljinu po 6m. Koliko kvadratnih metara parketa treba

za prekrivanje podova tih učionica širine 5m?

Nacrtajmo tlocrt učionica:

5 5 5 5

7 8 6 6

Možemo izračunati površinu svake učionice:

2

2

2

2

3056

3056

4058

3557

mmm

mmm

mmm

mmm

=⋅

=⋅

=⋅

=⋅

Zbroj površina podova svih učionica je

22222 13530304035 mmmmm =+++

Manje bismo imali računanja da smo zbroj duljina svih učionica pomnožili njihovim

širinama:

2135527

276687

mmm

mmmmm

=⋅

=+++

Primjerom smo potvrdili korisnost primjene zakona distributivnosti množenja prirodnih

brojeva prema zbrajanju: ( ) 5668756565857 ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅

◄

Razlika bilo kojih dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Proširimo li skup N

takvim brojevima da se razlika svakih dvaju brojeva nalazi u tom skupu, dobivamo skup

cijelih brojeva Z:

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Skup cijelih brojeva čine pozitivni brojevi: 1, 2, 3, …, negativni brojevi: -1, -2, -3, …, i

broj 0. Skup Z nema niti najmanji niti najveći element. Dva su cijela broja suprotni

brojevi ako im je zbroj 0.



Primjer 2:

Izračunajmo vrijednost izraza: [ ])2(3)(2)2(3 yxyxyx −−−−+ ako je x = 2, y = -1.

Uvrstimo zadane brojeve umjesto x i y:

[ ]))1(22(3))1(2(2))1(22(3 −⋅−−−−−−+⋅ .

Prvo obavljamo operaciju množenja, budući je množenje operacija višeg reda, vodeći računa

o zagradama. Umnožak dva cijela broja istog predznaka je pozitivan cijeli broj, a umnožak

dva cijela broja suprotnih predznaka je negativan cijeli broj.

[ ])22(3))1(2(2))1(4(3 +−−−−−+ .

Poštujući prioritet zagrada, izvršimo zbrajanja u okruglim zagradama.

[ ] [ ]12323343)12(2))1(4(3 −⋅−⋅=⋅−+−−+ .

Sada ponovno izvršimo naznačena množenja:

[ ] 1569)6(91269 =+=−−=−− .

◄

Kvocijent dvaju cijelih brojeva nije nužno cijeli broj. Tako npr.

∈= 43:12 Z, ali ∉3:13 Z.

Proširimo skup Z takvim brojevima da rezultati dijeljenja cijelih brojeva budu elementi

tog novog skupa. Ako je m∈ Z djeljenik (dividend), a n ∈ Z djelitelj (divizor) n ≠ 0,

onda njihov kvocijent zapisujemo u obliku razlomka n

m. Ovdje m zovemo brojnikom, a

n nazivnikom tog razlomka. Brojevi koje možemo napisati u obliku razlomka čine skup

racionalnih brojeva

Q =

≠∈ 0,,| nZnmn

m.

Uočimo da nazivnik ne može biti nula (dijeljenje s nulom nije definirano u skupu Q).

Razlomak proširujemo tako da mu i brojnik i nazivnik pomnožimo istim cijelim brojem

različitim od nule.

Razlomak kratimo tako da mu i brojnik i nazivnik podijelimo istim cijelim brojem

različitim od nule.



Skup Q je uređen. To znači da svaka dva racionalna broja možemo međusobno

usporediti. Naime, za bilo koje a, b ∈ Q vrijedi samo jedna od triju sljedećih tvrdnji:

a < b ili a = b ili a > b.

Dva su racionalna broja međusobno recipročna ako im je umnožak 1.

Razlomke možemo zbrajati ako imaju jednake nazivnike i tada je zbroj razlomak

nazivnika koji je jednak nazivnicima pribrojnika, a brojnik mu je jednak zbroju brojnika

zadanih razlomaka: b

ca

b

c

b

a +=+ , 0≠b . Ako se radi o zbrajanju razlomaka različitih

nazivnika prvo ih moramo svesti na razlomke jednakih nazivnika. Pri tome za nazivnik

zbroja biramo najmanji zajednički nazivnik danih razlomaka.

Oduzimanje razlomaka svodi se na zbrajanje suprotnih brojeva.

Umnožak dvaju razlomaka je razlomak čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik

umnožak nazivnika zadanih razlomaka: ,db

ca

d

c

b

a

⋅

⋅=⋅ 0,0 ≠≠ db .

Kvocijent dvaju razlomaka je umnožak prvog razlomka (djeljenika) i recipročne

vrijednosti drugog razlomka (djelitelja): ,:cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

⋅

⋅=⋅= 0,0,0 ≠≠≠ cdb .

Kvocijent dvaju razlomaka ponekad je napisan i kao dvojni razlomak. Neka su a, b, c, d

brojevi i neka su b, c, d ≠ 0. Izraz

d

cb

a

nazivamo dvojnim razlomkom. Brojevi a i d su

vanjski članovi, a brojevi b i c su unutarnji članovi dvojnog razlomka. Očigledno je:

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

d

cb

a

⋅

⋅=⋅== : .



Razlikujemo dvije vrste razlomaka: prave i neprave.

Ako su m, n∈ N i m < n, onda je razlomak n

m pravi razlomak.

Ako su m, n∈ N i m > n, onda je razlomak n

m nepravi razlomak.

Mješoviti broj c

ba je zbroj prirodnog broja i pravog razlomka. Pretvaramo ga u

razlomak tako da cijeli broj množimo nazivnikom i tom umnošku dodamo brojnik, tj.

,c

bca

c

ba

+⋅= 0≠c .

Racionalne brojeve zapisujemo i u decimalnom obliku. Decimalni se zapis racionalnog

broja zapisanog u obliku razlomka dobije dijeljenjem brojnika nazivnikom. Decimalni

zapis može biti konačan i beskonačan. Ako se nakon konačnog broja dijeljenja brojnika

nazivnikom dobije ostatak 0, decimalni zapis racionalnog broja je konačan decimalni

broj. Ako se prilikom dijeljenja jedna znamenka ili skupina znamenaka beskonačno

ponavlja, zapis je beskonačan, što bilježimo tako da iznad decimalnih mjesta koja se

ponavljaju stavljamo točke.

Konačan decimalni broj pretvaramo u decimalni razlomak. To je razlomak čiji je nazivnik

potencija broja 10: 3

0.3 ,10

= 25 5

2.5 ,10 2

= =1000

7007.0 = . Prva dva razlomka imaju u

nazivniku broj 10, jer decimalni zapis ima jedno decimalno mjesto. Treći razlomak u

nazivniku ima 3101000 = , jer decimalni broj ima tri decimalna mjesta.

Zadatak 1. Izračunajte:

a) 5

2

5

4

5

21 +− , b)

18

5

3

1

9

2+− , c)

−−−−

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1.

Rješenje:

a) 15

5

5

247

5

2

5

4

5

7

5

2

5

4

5

251

5

2

5

4

5

21 ==

+−=+−=+−

+⋅=+−

b) 6

1

18

3

18

5

18

6

18

4

18

5

3

1

9

23(:

3(:

6(

6(

2(

2(

==+−=+−⋅

⋅

⋅

⋅



c)

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1

2 4 8 16 32 2 4 8 32 2 4 8 32

1 1 4 1 1 1 3 1 8 3 1 5 16 5 11

2 4 32 2 4 32 2 32 2 32 32 32

− − − − − = − − − = − − − =

− − − = − − = − − = − = − = =

�


a) 7

5

3

2⋅ , b)

+⋅

−+

2

1

10

1

3

1

7

3

21

8, c)

25

7:

15

14, d)

⋅−

−⋅

77

6

9

55

7

4:

12

1

14

9

6

7.

Rješenje:

a) 21

10

73

52

7

5

3

2=

⋅

⋅=⋅

b) 7

2

1

2

7

1

)10:10(

)3:6(

)3:21(

)10:10(

10

6

21

10

10

51

21

798

2

1

10

1

3

1

7

3

21

8=⋅=⋅=⋅=

+⋅

−+=

+⋅

−+

c) 25

7:

15

14 =

3

10

1

5

3

2

)7:7(

)5:25(

)5:15(

)7:14(

7

25

15

14=⋅=⋅=⋅

d)

7 9 1 4 55 6 (7 : 7) (9 : 3) 1 4 (55 :11) (6 : 3): :

6 14 12 7 9 77 (6 :3) (14 : 7) 12 7 (9 : 3) (77 :11)

1 3 1 4 5 2 3 1 4 10 9 1 12 10 8 2: : : :

2 2 12 7 3 7 4 12 7 21 12 21 12 21

8 21 (8 : 2)

12 2 (12

⋅ − − ⋅ = ⋅ − − ⋅ =

− − = ⋅ − − ⋅ = − − = = =

= ⋅ =(21: 3) 4 7

7:3) (2 : 2) 4 1

⋅ = ⋅ =

�


a)

2

157

12

, b)

3

1

6

56

1

3

2

+

−

, c)

9

1

3

19

1

3

1

:

4

1

2

14

1

2

1

2−

+

−

+

⋅ .

Rješenje:



a) 35

8

57

24

)3:15(7

2)3:12(

157

212

2

157

12

=⋅

⋅=

⋅

⋅=

⋅

⋅=

b) 7

3

76

63

6

76

3

6

256

14

3

1

6

56

1

3

2

=⋅

⋅==

+

−

=

+

−

c)

1 1 3 1 41 1 2 1 33 4 4 9 3 2 13 9 9 92 4 4 42 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 3 3

1 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 4 9 2 1 1 22 4 3 9 4 9 4 9

++++

⋅ ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

− − ⋅ ⋅− −

�

Zadatak 4. Pretvori u razlomak:

a) 0.2, b) 0.005, c) 25.25.

Rješenje:

a) 5

1

10

22.0 ==

b) 200

1

1000

5005.0 ==

c) 4

101

20

505

100

252525.25 ===

�

Zadatak 5. Izračunaj:

a) 2% od 74, b) 8% od 2

7.

Rješenje:

Postotak – stoti dio nečega. Označava se oznakom %.

a) 2% od 74 znači 48.125:3725

3774

50

174

100

2===⋅=⋅

b) 8% od 2

7 znači 28.025:7

25

7

2

7

25

2

2

7

100

8===⋅=⋅

�



Postoje brojevi koji se ne mogu prikazati u obliku razlomka kojem su i brojnik i nazivnik

cijeli brojevi, tj. brojevi koji nisu racionalni. Takve brojeve nazivamo iracionalnim

brojevima koji čine skup iracionalnih brojeva, a označavamo s I. Iracionalni brojevi se

dijele na algebarske iracionalne i transcedentne iracionalne brojeve.

Algebarski iracionalni brojevi su iracionalni brojevi koji su rješenje neke algebarske

jednadžbe s cijelim koeficijentima. Algebarska jednadžba 22=x nema rješenje u skupu

racionalnih brojeva, tj. ne postoji takav racionalan broj čiji je kvadrat jednak broju 2.

Primjer 3: Pokažimo da 2 nije racionalan broj

Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da 2 jest racionalan broj. Ako je 2 racionalan

broj, možemo ga zapisati u obliku razlomka

2n

m= ,

gdje su m, n relativno prosti prirodni brojevi, tj. takvi da im je najveća zajednička mjera.

Kvadrirajmo gornju jednadžbu i pomnožimo je nazivnikom:

2

2

2n

m=

222 mn = .

Vidimo da je 2m paran broj, jer se može prikazati kao umnožak broja 2 i broja 2

n . S druge

strane, mora biti tada i sam broj m paran, jer kvadrat neparnog broja ne može biti paran broj.

Tada postoji cijeli broj p takav da je m = 2p. Ako u jednadžbu 222 mn = stavimo umjesto m

broj 2p, dobijemo:

222 4)2(2 ppn == .

Nakon dijeljenja s 2 dobivamo:

22 2 pn = ,

a to znači da je 2n paran broj, što opet znači da je i n paran broj. Dakle, i m i n su parni

brojevi, a to znači da im je zajednička mjera 2. To je u kontradikciji s pretpostavkom da su m i

n relativno prosti. Kontradikcija proizlazi iz pretpostavke da je 2 racionalan broj, pa tu

pretpostavku moramo odbaciti i prihvatiti suprotno: 2 nije racionalan broj.

◄



Transcedentni iracionalni brojevi su iracionalni brojevi koji nisu algebarski iracionalni

brojevi. Takvi su na primjer brojevi π, e, ln2, …

Očito je da skupovi Q i I nemaju zajedničkih elemenata, pa je njihov presjek prazan skup,

tj. Q ∩ I = Ø.

Unija skupa racionalnih brojeva Q i skupa iracionalnih brojeva I je skup realnih brojeva

R:

R = Q ∪ I.

Realne brojeve možemo međusobno uspoređivati. Za realni broj a kažemo da je manji od

realnog broja b i pišemo

a < b

ako je razlika ab − pozitivan broj. Tvrdnju a < b možemo zapisati i ovako: ab > , i

kažemo da je realni broj b veći od realnog broja a.

Ako za dva realna broja a i b vrijedi a < b, onda točka pridružena broju a leži na

brojevnom pravcu lijevo od točke pridružene točki b.

Osim znakova < i > u uporabi su znakovi ≤ (manji ili jednak) i ≥ (veći ili jednak).

Interval S je podskup skupa realnih brojeva koji ima svojstvo da za sve a, b ∈ S i x∈R

takve da je bxa << slijedi x∈S. Razlikujemo: otvorene, poluotvorene (ili

poluzatvorene) i zatvorene intervale.

Primjer 4:

• 7,3 je otvoreni interval koji sadrži sve realne brojeve veće od 3 (ne i broj 3), a

manje od 7 (broj 7 ne pripada tom intervalu). Za svaki realni broj x koji pripada tom

intervalu možemo pisati: 7,3∈x ili 3 < x < 7.



∞,4 ili +∞,4 je otvoreni interval koji sadrži sve brojeve veće od 4 (ne i broj 4).

Za takve brojeve x vrijedi nejednakost: x > 4.

2,∞− je otvoreni interval koji sadrži sve realne brojeve manje od broja 2. Za svaki

element x ovog skupa vrijedi nejednakost x < 2.

• ]2,∞− je lijevi poluotvoreni (desni poluzatvoreni) interval kojem pripadaju svi

realni brojevi manji od broja 2, ali i broj 2. Za svaki x iz tog intervala vrijedi: 2≤x .

]1,5 −− je lijevi poluotvoreni (desni poluzatvoreni) interval, ili jednostavno

poluotvoreni interval, kojemu pripada njegova desna stranica, dok lijeva ne. Za svaki

∈x ]1,5 −− vrijedi: 15 −≤<− x .

[ 6,0 je lijevi poluzatvoreni ili desni poluotvoreni interval. Za ∈x [ 6,0 vrijedi

60 <≤ x .

• [ ]101,1 je primjer zatvorenog intervala (segmenta), koji sadrži sve realne brojeve veće

od 1 i manje od 101, ali i brojeve 1 i 101. Za svaki realni broj x iz tog segmenta

možemo pisati: 1011 ≤≤ x .

◄

Zadatak 5. Prikažite na brojevnom pravcu i zapišite u obliku intervala:

a) 3−<x , b) 5≤x , c) 4−≥x , d) 33 <<− x , e) 65 <≤ x .

Rješenje:

a) 3,−∞−

b) ]5,∞−



c) [ ∞+− ,4

d) 3,3−

e) [ 6,5

�

Za realni broj a definiramo kvadrat broja a: aaa ⋅=2 , kub broja a: aaaa ⋅⋅=

3 i

općenito n-tu potenciju broja a:

...na a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ,

gdje je n prirodan broj. U potenciji na , a nazivamo bazom, a n eksponentom potencije.

Po definiciji je: 10=a . Vrijedi:

1,

m

nn mnn

a a aa

−= = .

Potencije zbrajamo samo ako imaju jednake baze i jednake eksponente i to tako da

potenciju množimo zbrojem njihovih koeficijenata: nnnayxyaxa )( +=+

Potencije jednakih baza množimo tako da bazu potenciramo zbrojem njihovih

eksponenata: nmnmaaa

+=⋅

Potencije jednakih baza dijelimo tako da bazu potenciramo razlikom eksponenata

djeljenika i djelitelja: nmnmaaa

−=:

Potenciju potenciramo tako da bazu potenciramo umnoškom eksponenata: ( ) nmnm aa ⋅=

n puta



VAŽNE FORMULE:

KVADRAT ZBROJA (RAZLIKE): ( )2 2 22a b a ab b± = ± +

KUB ZBROJA (RAZLIKE): ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b± = ± + ±

RAZLIKA KVADRATA: ))((22bababa +−=−

ZBROJ KUBOVA: ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +

RAZLIKA KUBOVA: ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +


a) 9)3(7)3(4 2+−⋅−−⋅ , b) [ ] [ ] 44235523 )1()4(:)4()4()1()5(:)5()5( −⋅−−−−−−⋅−−−− .

Rješenje:

a) 663036921949)3(7)3(4 2=+=++⋅=+−⋅−−⋅

b)

3 2 55 3 2 44( 5) ( 5) : ( 5) ( 1) ( 4) ( 4) : ( 4) ( 1) − − − − ⋅ − − − − − − ⋅ − =

[ ] [ ]125 25 : ( 5) ( 1) 64 16 : ( 4) 1 150 : 5 ( 80) : ( 4) 30 20 50= − − − ⋅ − − − − − ⋅ = − − − − = − − = −

�


a) aaaaaa 65114516 222−+++− , b) )2(4)2(3 baba −++ ,

c) 6:)3018(4:)420( yxyx +−− .

Rješenje:

a) 222222 25025)6115()5416(65114516 aaaaaaaaaaa =⋅+=−+−+++=−+++−

b) bababababa 2114863)2(4)2(3 +=−++=−++

c) yxyxyxyxyx 625356:)3018(4:)420( −=−−−=+−−

�


a) 34 325 aaa ⋅⋅ , b) )23)(54( −− xx ,

c) )423)(34( 2−++ aaa , d) bababa xxx −+−

−−− )1()1()1( 2 .

Rješenje:

a) 834 30325 aaaa =⋅⋅

b) 1023121015812)23)(54( 22+−=+−−=−− xxxxxxx



c) 12101712126916812)423)(34( 232232−−+=−++−+=−++ aaaaaaaaaaa

d) ababababababa xxxxx 3)()2()(2 )1()1()1()1()1( −=−=−−−−+++−−+−

�

Zadatak 9. Podijeli:

a) 3234 7:21 baba , b) 2

234

5

102015

m

mmm +−, c) 637132 : −+−−+

⋅ababa

xxx .

Rješenje:

a) 20233243234 33)7:21(7:21 ababababa ===−−

b) 2435

10

5

20

5

15

5

102015 22

2

2

3

2

4

2

234

+−=+−=+−

mmm

m

m

m

m

m

m

mmm

c) 122637132)63()7()132(637132 : ++−+−+−+−−+−+−+−+−−+===⋅

bababaababaababaxxxxxx

�

Zadatak 10. Potenciraj:

a) 4

27

2

3

yx , b) 62345 )2(:)4( xyyx , c) [ ] [ ]abba yxyx 226 )(:)( ++ .

Rješenje:

a) 828424744

27

16

81

2

3

2

3yxyxyx =

=

⋅⋅

b) 909126121562345 64:64)2(:)4( xyxyxyxxyyx ===

c) [ ] [ ] babababba yxyxyxyxyx 10212226 )()(:)()(:)( +=++=++

�

Zadatak 11. Izvrši naznačene računske operacije:

a) 2222 32 −−−+− xxxx , b)

⋅

⋅

−

−−

−

− 0

1

31

1

4

2

7

6:

7

3

49

2

b

a

b

a

b

a

b

a.

Rješenje:

a) 22222222 25)11()32(32 −−−−−=−−++=−+− xxxxxxxx

b)2 1 1 2 4 3 5 3 5 2

4 1 3 0 3

2 3 6 2 3 6 1 6 6 6 7: : :

49 7 7 49 7 1 7 343 7 343 6 49

a a a a a b b ab ab b ab ab

b b b b a a b

− −

− − −

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ =

�



Zadatak 12. Kvadriraj:

a) 2)2( +x , b) 22 )23( −x , c) 2222 )2(2)42( +−− xx .

Rješenje:

a) 44222)2( 2222++=+⋅⋅+=+ xxxxx

b) 41292232)3()23( 24222222+−=+⋅⋅−=− xxxxx

c) 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2(2 4) 2( 2) 4 16 16 2( 4 4) 4 16 16 2 8 8 2 24 8x x x x x x x x x x x x− − + = − + − + + = − + − − − = − +

�

Za svaki realni broj 0≥a i n∈N postoji jedinstven x∈R, 0≥x takav da vrijedi

axn

= . Taj se broj označava s n a ( n-ti korijen iz a ), a nazivamo radikandom, a n je

eksponent korijena. Posebno, eksponent drugog (kvadratnog) korijena ne pišemo:

aa =2 , a ako je eksponent 1, korijen ne pišemo: aa =1 . Ako zamijenimo x sa n a

dobivamo: ( ) aan

n = .

Neka su a,b∈R, 0, ≥ba , n,m,p∈N. Pogledajmo množenje, dijeljenje,

skraćivanje(proširivanje), potenciranje i korjenovanje korijena.

1. Neka su 0, ≥ba i n∈N . Za množenje korijena vrijedi: nnn baba ⋅=⋅ .

Umnožak n-tih korijena jednak je n-tom korijenu umnoška radikanada.

2. Neka su 0, ≥ba i n∈N . Za dijeljenje korijena vrijedi: nnn baba :: = , 0≠b .

Količnik n-tih korijena jednak je n-tom korijenu količnika radikanada.

3. Neka je 0≥a , n, m, p∈N. Korijen možemo proširivati: pn pmn m

aa⋅ ⋅

= i skraćivati:

n mpn pmaa =

⋅ ⋅ .

Korijen proširujemo (kratimo) tako da eksponent korijena i eksponent radikanda

pomnožimo (podijelimo) istim brojem.

4. Neka je 0≥a , n, m∈N. Tada za potenciranje korijena vrijedi: ( ) n mm

n aa = .

Korijen potenciramo tako da mu potenciramo radikand.

5. Za korjenovanje korijena vrijedi: nmm n aa ⋅=

m-ti korijen iz n-tog korijena realnog broja 0≥a jednak je nm ⋅ -tom korijenu broja a.



Zadatak 13. Korjenuj:

a) 81 , b) 49

121900 ⋅, c) 3 8− , d) 4 16 .

Rješenje:

a) 9981 2==

b) 7

330

7

1130

49

121900

49

121900=

⋅=

⋅=

⋅

c) 2)2(8 3 33 −=−=−

d) 2216 4 44 ==

�

Zadatak 14. Djelomično korjenuj:

a) 20 , b) 18 , c) 3 16 , d) 4 5a , e) 5 1032a .

Rješenje:

a) 52545420 ⋅=⋅=⋅=

b) 23292918 =⋅=⋅=

c) 33333 22282816 =⋅=⋅=

d) 444 44 44 5aaaaaaa ⋅=⋅=⋅=

e) ( ) 25 525 55 1055 10 223232 aaaa =⋅=⋅=

�

Zadatak 15. Unesi pod korijen:

a) 32 , b) aa , c) 32bb ⋅

Rješenje:

a) 12343232 2=⋅=⋅=

b) 32aaaaa =⋅=

c) 3 73 63 3232 )( bbbbbbb =⋅=⋅=⋅

�



Zadatak 16. Racionaliziraj:

a) 2

1, b)

23

2, c)

23

1

−, d)

25

25

+

−.

Rješenje:

a) 2

2

2

2

2

2

2

1

2

12

==⋅=

b) 3

2

23

22

43

22

2

2

23

2

23

2=

⋅==⋅=

c) ( ) ( )

2323

23

23

23

23

23

23

1

23

122

+=−

+=

−

+=

+

+⋅

−=

−

d)

( )

( ) ( )

( ) ( )2 2 2

2 2

5 2 5 2 5 2 25 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 7 2 10

5 2 3 35 2 5 2 5 2 5 2

− − ⋅ ⋅ +− − − − ⋅ + −= ⋅ = = = =

−+ + − −

�

Zadatak 17. Izračunaj:

a) 72262573 −+− , b) 33 332323 −++ , c) 23

23

23

23

+

−+

−

+.

Rješenje:

a) 27)2625()7273(72262573 +=+−+−=−+−

b) 33333 333)332()323(332323 +=−++=−++

c)

( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 6 2 3 2 6 23 2 3 210

3 23 2 3 2 3 2 3 2

+ + + − − + + + − ++ −+ = = =

−− + − +

�

Zadatak 18. Pomnoži ili podijeli:

a) 666 543 ⋅⋅ , b) 33 2:16 , c) 3 aa ⋅ , d) 4 33 2 : xx .

Rješenje:

a) 66666 60543543 =⋅⋅=⋅⋅

b) 282:162:16 3333 ===



c) 6 56 236 26 323 232 33 aaaaaaaaa =⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅

d) 12 112 9812 912 834 3343 424 33 2 :::: −⋅ ⋅⋅ ⋅==== xxxxxxxxx

�

Neke polinome moguće je zapisati u obliku umnoška. Kažemo da smo tada polinom

rastavili na faktore. Pri tome često rabimo formule za kvadrat binoma, kub binoma,

razliku kvadrata, razliku kubova, zbroj kubova i slične.

IZLUČIVANJE ZAJEDNIČKOG FAKTORA

Ako svaki član nekog polinoma sadrži isti faktor, možemo taj faktor izlučiti. Npr. svaki

član trinoma

acaba −+ 23

sadrži faktor a, pa taj faktor možemo izlučiti:

)23(23 cbaacaba −+=−+ .

Da bismo se uvjerili u ispravnost postupka, pomnožimo zagradu na desnoj strani gornje

jednakosti s a. Zbog distributivnosti množenja prema zbrajanju realnih brojeva zaista

dobivamo trinom s lijeve strane.

Primjer 5: Izlučimo zajednički faktor u sljedećim izrazima:

a) aaa 73 24+− , b) 436235 25 bababa +− ,

c) xxx 52015 23+− , d) 10563 23

−+− xxx .

a) )73(73 324+−=+− aaaaaa ,

b) )25(25 3332436235 abbababababa +−=+−

Ako izlučujemo potenciju, potražimo onu koja ima najmanji eksponent, jer je takva zajednički

faktor svake potencije većeg eksponenta. Da bismo saznali što ostaje nakon izlučivanja

zajedničkog faktora, svaki član zadanog polinoma dijelimo izlučenim faktorom. Tako smo

podijelili:

.:

,2:2

,5:5

3243

33262

33235

abbaba

bbaba

ababa

=

−=−

=



c) )143(552015 223+−=+− xxxxxx .

Ako je zajednički faktor cijeli član, onda na tom mjestu u zagradi stoji 1. Broj članova

polinoma u zagradi mora biti jednak broju članova zadanog polinoma.

d) Grupirat ćemo dva i dva člana. Iz prva dva člana možemo izlučiti 23x , a iz zadnja dva

člana 5:

)53)(2()2(5)2(310563 2223+−=−+−=−+− xxxxxxxx .

◄

RASTAV KVADRATNOG TRINOMA NA FAKTORE

Kvadratni trinom qpxx ++2 , gdje su p i q realni brojevi, možemo faktorizirati ako

postoje realni brojevi m i n takvi da vrijedi: i m n p m n q+ = ⋅ = . Tada možemo polazni

kvadratni trinom zapisati u obliku: mnxnmx +++ )(2 , a njega možemo rastaviti na

faktore: )()(2 mxnmxxmnnxmxx +++=+++ ,

Odnosno: ))((2nxmxqpxx ++=++ .

Primjer 6: Rastavimo kvadratne trinome na faktore: a) 1072++ xx , b) 62

−− xx .

a) Pitamo se postoje li dva cijela broja kojih je zbroj 7, a umnožak 10. Umnožak 10 imaju: 1 i

10, -1 i -10, 2 i 5, te -2 i -5.Od tih parova odabiremo onaj čiji je zbroj 7, a to su 2 i 5. Imamo:

)5)(2()2(5)2(1052107 22++=+++=+++=++ xxxxxxxxxx .

b) Za rastav trinoma 62−− xx na faktore, tražimo cijele brojeve kojih je umnožak -6. Takvi

su -2 i 3, 2 i -3, 1 i -6, te -1 i 6. Od tih parova brojeva odabiremo onaj par kojih je zbroj -1, a

to su brojevi 2 i -3. Sada srednji član zadanog trinoma (-x) možemo zapisati kao 2x - 3x:

)3)(2()2(3)2(6326 22−+=+−+=−−+=−− xxxxxxxxxx .

◄

KVADRAT BINOMA

Formule za kvadrat binoma možemo napisati i ovako:

222

222

)(2

,)(2

bababa

bababa

−=+−

+=++

i primijeniti pri faktorizaciji.



Primjer 7: Rastavimo na faktore: a) 25102++ xx , b) 144 2

+− aa .

a) 2222 )5(5522510 +=+⋅⋅+=++ xxxxx ,

b) 2222 )12(1122)2(144 −=+⋅⋅−=+− aaaaa .

◄

KUB BINOMA

Pri faktoriziranju polinoma možemo rabiti formule za kub binoma:

( )

( ) .33

,3333223

33223

bababbaa

bababbaa

−=−+−

+=+++

Primjer 8: Rastavimo na faktore: a) ,6128 963 xxx +++ b) xxxx −+−234 33 .

a) 333323323963 )2()()(232326128 xxxxxxx +=+⋅⋅+⋅⋅+=+++ ,

b) .)1()133(33 323234−=−+−=−+− xxxxxxxxxx

◄

RAZLIKA KVADRATA

Formula razlike kvadrata može se u obliku

))((22bababa +−=−

rabiti pri rastavu polinoma na faktore.

Primjer 9: Rastavimo na faktore: a) 225 a− , b) 81

14−x , c) 22 )23()32( xx −−+ .

a) )5)(5(25 2 aaa +−=− ,

b) )9

1)(

3

1)(

3

1()

9

1)(

9

1(

81

1 2224+−−=+−=− xxxxxx ,

c)

[ ] [ ]=−++⋅−−+=−−+ )23()32()23()32()23()32( 22 xxxxxx

).5)(15()2332)(2332( +−=−+++−+= xxxxxx

◄



U zadacima rastava polinoma na faktore ponekad je potrebno koristiti i formule za razliku ili

za zbroj kubova:

).)((

),)((2233

2233

babababa

babababa

+−+=+

++−=−

Zadatak 19. Izlučite zajednički faktor:

a) ,62 ba − b) ,64 2 xyx + c) ,64854 23 abaa −+

d) ),32(6)32(2−−− aaaa e) .222 yxxyx −+−

Rješenje:

a) )3(262 baba −=−

b) )32(264 2 yxxxyx +=+

c) )189(664854 223−+=−+ abaaabaa

d) )6)(32()32(6)32(2−−=−−− aaaaaaa

e) )2)(()(2)()22()(22 22+−=−+−=−+−=−+− xyxyxyxxyxxyxyxxyx

�

Zadatak 20. Napišite sljedeće kvadratne trinome kao umnožak dvaju binoma:

a) 652++ xx , b) 45142

+− xx , c) 822−+ aa .

Rješenje:

a) )3)(2()2(3)2(63265 22++=+++=+++=++ xxxxxxxxxx

b) )9)(5()5(9)5(45954514 22−−=−−−=+−−=+− xxxxxxxxxx

c) )4)(2()2(4)2(84282 22+−=−+−=−+−=−+ aaaaaaaaaa

�

Zadatak 21. Rastavi sljedeće izraze na faktore:

a) 22 4914 baba +− , b) 223 2 abbaa ++ , c) 281 a− ,

d) 22 )5()4( −−− aa , e) 643+a , f) 11025 22

−−+ xyyx .

Rješenje:

a) 22222 )7()7(724914 babbaababa −=+⋅⋅−=+−

b) 222223 )()2(2 baababaaabbaa +⋅=++⋅=++



c) )9)(9(981 222 aaaa +−=−=−

d)

[ ] [ ] 92)54)(54()5()4()5()4()5()4( 22−=−+−+−−=−+−⋅−−−=−−− aaaaaaaaaaa

e) )164)(4(464 2333+−+=+=+ aaaaa

f)

=−−=−+−=−−+222222 1)5(1)2510(11025 yxyxyxxyyx

[ ] [ ] )15)(15(1)5(1)5( +−−−=+−⋅−−= yxyxyxyx .

�

Razlomak čiji je brojnik i nazivnik polinom nazivamo algebarskim razlomkom. Pri tom

valja voditi računa da nazivnik mora biti različit od nule. Tako je npr. razlomak ab

5

definiran za svaki a,b∈R osim za 0=a ili 0=b . Razlomak 1

1

+

−

a

a je definiran za svaki

a∈R \ {1}, dok je 92

−x

x definiran za svaki x∈R \ {-3,3}, jer mora biti 092

≠−x , tj.

{ }3,3−∉x . Svojstva računskih operacija u skupu racionalnih brojeva prenose se i na

algebarske razlomke. Razlomak kratimo tako da mu i brojnik i nazivnik dijelimo istim

brojem ili algebarskim izrazom različitim od nule. Da bismo mogli izvršiti kraćenje,

potrebno je faktorizirati i brojnik i nazivnik.

Primjer 10: Skratimo razlomke: a) aba

ab

−2

, b) 1

12

3

−

−

a

a, c)

2510

1582

2

+−

+−

aa

aa.

a) ba

b

baa

ab

aba

ab

−=

−=

− )(2

b) 1

1

)1)(1(

)1)(1(

1

1 22

2

3

+

++=

+−

++−=

−

−

a

aa

aa

aaa

a

a

c) 5

3

)5)(5(

)5)(3(

)5(

)3(5)3(

)5(

1553

2510

15822

2

2

2

−

−=

−−

−−=

−

−−−=

−

+−−=

+−

+−

a

a

aa

aa

a

aaa

a

aaa

aa

aa

◄



Algebarske razlomke proširujemo tako da brojnik i nazivnik pomnožimo istim brojem ili

algebarskim izrazom različitim od nule.

Primjer 11:

Proširimo razlomke 22

2

22,

1,

ba

a

abaaba

b

−+− tako da im nazivnici budu jednaki.

Najprije ćemo zadane nazivnike rastaviti na faktore:

),(2 baaaba −=− ),(2 baaaba +=+ ).)((22 bababa +−=−

Uočimo da će zajednički nazivnik biti višekratnik gornjih izraza, a to je ))(( babaa +− . Zato

prvi razlomak proširujemo s ba + , drugi s ba − , a treći s a:

.))(())((

;))(()(

11

;))((

)(

)(

32

22

2

2

2

babaa

a

baba

a

ba

a

babaa

ba

baaaba

babaa

bab

baa

b

aba

b

+−=

+−=

−

+−

−=

+=

+

+−

+=

−=

−

◄

Algebarske razlomke zbrajamo (i oduzimamo) tako da ih svodimo na zajednički

nazivnik, a onda brojnike zbrojimo. Zajednički je nazivnik dvaju ili više razlomaka

najmanji zajednički višekratnik njihovih nazivnika.

Primjer 12: Zbrojimo:

a) 1

2

2

3

−+

+ xx, b) ,

22

22

ba

ba

ba

ba

−

+−

−

+

c) 22

322

++

+ xxx, d)

2

2

2

3

4

42

−−

++

− xxx

x.

a) Budući da su nazivnici x + 2 i x – 1 relativno prosti, to je najmanji zajednički nazivnik

navedena oba razlomka jednak njihovu umnošku.

)1)(2(

15

)1)(2(

4233

)1)(2(

)2(2)1(3

1

2

2

3

−+

+=

−+

++−=

−+

++−=

−+

+ xx

x

xx

xx

xx

xx

xx

b) Kako je najmanji zajednički višekratnik nazivnika a – b i (a – b)(a + b) jednak

(a – b)(a +b) to je



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

( ) ( ) 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

a b a b a b a b a b a b a ab b a b ab

a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

+ + + + + − + + + − −− = − = = =

− − − − + − + − + − +

c) Uočimo da je )1(2+=+ xxxx , a )1(222 +=+ xx , pa je najmanji zajednički nazivnik tih

nazivnika jednak )1(2 +xx . Zato je

)1(2

34

)1(2

322

)1(2

3

)1(

2

22

322 +

+=

+

+⋅=

++

+=

++

+ xx

x

xx

x

xxxxxx

d) Kako je )2)(2(42+−=− xxx , to je najmanji zajednički nazivnik od 2,2,42

−+− xxx

jednak (x – 2)(x + 2), pa je

=−

−+

++−

=−

−+

+− 2

2

2

3

)2)(2(

4

2

2

2

3

4

42 xxxx

x

xxx

x

=+−

−=

+−

−−−+=

+−

+−−+=

)2)(2(

105

)2)(2(

42634

)2)(2(

)2(2)2(34

xx

x

xx

xxx

xx

xxx 5( 2) 5

( 2)( 2) 2

x

x x x

−=

− + +.

◄

Algebarske razlomke množimo tako da (nakon eventualnog kraćenja) množimo brojnik

brojnikom, nazivnik nazivnikom.

Primjer 13: Pomnožimo: a) 2

93

9

42

2

+

−⋅

−

−

x

x

x

x, b)

8

16

4

653

2

2

2

−

−⋅

−

+−

x

x

xx

xx.

Najprije rastavimo na faktore sve polinome u oba razlomka, zatim skratimo i napokon

pomnožimo razlomke.

a) 3

)2(3

2

)3(3

)3)(3(

)2)(2(

2

93

9

42

2

+

−=

+

−⋅

+−

+−=

+

−⋅

−

−

x

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

b)

=++−

+−⋅

−

+−−=

−

−⋅

−

+−

)42)(2(

)4)(4(

)4(

632

8

16

4

652

2

3

2

2

2

xxx

xx

xx

xxx

x

x

xx

xx

=++−

+⋅

−−=

++−

+⋅

−−−=

)42)(2(

4)3)(2(

)42)(2(

4)2(3)2(22

xxx

x

x

xx

xxx

x

x

xxx

)42(

)4)(3(

42

4322

++

+−=

++

+⋅

−=

xxx

xx

xx

x

x

x

◄



Algebarske razlomke dijelimo tako da prvi razlomak množimo recipročnom vrijednošću

drugog razlomka. Pri tome se, kao kod racionalnih brojeva, recipročna vrijednost dobije

zamjenom mjesta brojnika i nazivnika. Prije množenja, ako je moguće, razlomke treba

kratiti.

Primjer 14: Podijelimo: a) 84

4:

4

209 2

2

2

−

−

−

+−

x

xx

x

xx , b)

2793

279327

27

2

2

3

3

+−

++

+

−

xx

xx

x

a

.

a)

=−

−⋅

+−

+−−=

−

−⋅

−

+−=

−

−

−

+−

)4(

)2(4

)2)(2(

2054

4

84

4

209

84

4:

4

209 2

22

22

2

2

xx

x

xx

xxx

xx

x

x

xx

x

xx

x

xx

)2(

)5(44

2

5

)4(

4

2

)5)(4(

)4(

4

2

)4(5)4(

+

−=⋅

+

−=

−⋅

+

−−=

−⋅

+

−−−=

xx

x

xx

x

xxx

xx

xxx

xxx

b)

3

3

)93(3)93)(3(

)93(3)93)(3(

)93(3

)93(3

)93)(3(

)93)(3(

2793

279327

27

22

22

2

2

2

2

2

2

3

3

+

−=

++⋅+−+

+−⋅++−=

+−

++

+−+

++−

=

+−

++

+

−

a

a

aaaaa

aaaaa

aa

aa

aaa

aaa

aa

aa

a

a

◄

Zadatak 22. Skratite:

a) )()(

)()(3

32

yxyx

yxyx

−+

−+, b)

5344

5344

baba

baba

+

−, c)

76

782

2

−−

+−

aa

aa.

Rješenje:

a) yx

yx

yxyx

yxyx

+

−=

−+

−+2

3

32 )(

)()(

)()(

b) ba

ba

baba

baba

baba

baba

+

−=

+

−=

+

−

)(

)(43

43

5344

5344

c) 1

1

)1)(7(

)1)(7(

)1(7)1(

)1(7)1(

77

77

76

782

2

2

2

+

−=

+−

−−=

+−+

−−−=

−−+

+−−=

−−

+−

a

a

aa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aa

aa

�




a) 2

1

6

3

3

−−

−+

aaa, b)

2

2

2

2

bab

bab

aba

aba

+

−−

−

+ , c)

32

3

3

3

992

352

−+

−−

+−

−

xxxx

x

Rješenje:

a) 06

0

6

3332

6

)1(3)3(2

2

1

6

3

3==

+−−+=

−−−+=

−−

−+

aaaaaaaaa

b)

=+−

−−+=

+

−−

−

+=

+

−−

−

+=

+

−−

−

+

))((

)()(

)(

)(

)(

)( 22

2

2

2

2

baba

baba

ba

ba

ba

ba

bab

bab

baa

baa

bab

bab

aba

aba

))((

4

))((

22

))((

)2(2 22222222

baba

ab

baba

babababa

baba

babababa

+−=

+−

−+−++=

+−

+−−++=

c)

3

1

)3)(32(

32

)3)(32(

939635

)3)(32(

)3(3)32(335

32

3

3

3

)3)(32(

35

32

3

3

3

)32(3)32(

3532

3

3

3

9632

35

32

3

3

3

992

3522

−=

−−

−=

−−

−++−−=

−−

−+−−−=

=−

+−

−−−

−=

−+

−−

−−−

−=

=−

+−

−+−−

−=

−+

−−

+−

−

xxx

x

xx

xxx

xx

xxx

xxxx

x

xxxxx

x

xxxxx

x

xxxx

x

�

Zadatak 24. Pomnožite:

a) 107

4

1

562

2

2

2

+−

−⋅

−

+−

aa

a

a

aa, b)

34

322

34

2234 2

xyx

yxyyx

xyx

yxyxx

+

++⋅

+

+−.

Rješenje:

a)

1

2

)5)(2(

)2)(2(

)1)(1(

)5)(1(

)2(5)2(

)2)(2(

)1)(1(

)1(5)1(

1052

)2)(2(

)1)(1(

55

107

4

1

562

2

2

2

2

2

+

+=

−−

+−⋅

+−

−−=

−−−

+−⋅

+−

−−−=

=+−−

+−⋅

+−

+−−=

+−

−⋅

−

+−

a

a

aa

aa

aa

aa

aaa

aa

aa

aaa

aaa

aa

aa

aaa

aa

a

a

aa

b)

2222

2

22

22

33

22

33

222

34

322

34

2234

))((

)(

))((

)(

)2(

)(

)(2

yxyx

y

yxyxyx

yxy

yxyxyx

yxyx

yxx

yxyxy

yxx

yxyxx

xyx

yxyyx

xyx

yxyxx

+−=

+−+

+⋅

+−+

+−=

=+

++⋅

+

+−=

+

++⋅

+

+−

�



Zadatak 25. Podijelite:

a) xx

xyx

x

yx

−

+

−

−2

2

2

22

:1

, b) b

a

aba

bab

ba

ba::

2

2

+

−

+

− , c)

22

2

54

22

:yx

xyx

yyx

xyyx

+

−

−

− .

Rješenje:

a) 1)(

)1(

)1)(1(

))((

1:

1 2

2

2

22

2

2

2

22

−

−=

+

−⋅

+−

+−=

+

−⋅

−

−=

−

+

−

−

x

yx

yxx

xx

xx

yxyx

xyx

xx

x

yx

xx

xyx

x

yx

b) 1)(

)(::

2

2

2

2

=⋅−

+⋅

+

−=⋅

−

+⋅

+

−=

+

−

+

−

a

b

bab

baa

ba

ba

a

b

bab

aba

ba

ba

b

a

aba

bab

ba

ba

c)

222222

22

22

442

22

54

22

22

2

54

22

1

))((

)()(

)(:

yxyxyx

yx

yxx

yx

yxy

yxxy

xyx

yx

yyx

xyyx

yx

xyx

yyx

xyyx

+=

+−

+=

=−

+⋅

−

−=

−

+⋅

−

−=

+

−

−

−

�


a) 22

22

4

4:

2

2

2

2

yx

yx

yx

yx

yx

yx

−

+

+

−+

−

+, b)

aaa

a

aaa

a 1:

44

2

2

4

2

422

++

−⋅

−+

−

+ .

Rješenje:

a)

24

)4(2

4

28

4

)2)(2(

)2)(2(

4444

4

4

)2)(2(

)2)(2()2)(2(

4

4:

2

2

2

2

22

22

22

22

22

2222

22

22

22

22

=+

+=

+

+=

+

+−⋅

+−

+−+++=

=+

−⋅

+−

−−+++=

−

+

+

−+

−

+

yx

yx

yx

yx

yx

yxyx

yxyx

yxyxyxyx

yx

yx

yxyx

yxyxyxyx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

b)

1)2(

)2(

1)2(

144

1)2(

2

)2(

4)4(

1)2(

2

)2(

4

2

41:

44

2

2

4

2

4

2

2

2

2

2

222

=+

⋅+

=⋅+

⋅++

=⋅+

−⋅

−

++=

=⋅+

−⋅

−+

−

+=

++

−⋅

−+

−

+

a

a

a

aa

aa

aaa

a

a

aa

aa

a

a

a

aaa

a

aaa

a

aaa

a

�

Documents

a b c a b c + + = + + ( ) ( ) a b c a b ⋅ ⋅ = ⋅ c · Skup N ima najmanji element (broj 1), a svaki sljede ći element dobijemo tako da prethodnog uve ćamo za 1. Za svaki prirodan