1

5.แคลคลสเชงอนพนธและการใชอนพนธ 5.1 Convexity and Concavity , Maxima and Minima

Local and Global Extremum Concept

พจารณากราฟ a, b , และ c ขางลางน

เราพบวา กรณ กราฟ a เปนกราฟทวาดมาจากฟงกชนประเภท คาคงท (Constant Function) ดงนน กรณกราฟ b เปนกราฟทวาดมาจากฟงกชนประเภท ฟงกชนเพม สม าเสมอ (Strictly Increasing Function) ดงนนกราฟ C เปนกราฟทวาดมาจากฟงกชนประเภท โพลโนเมยล ทบทวนความจ า! ฟงกชนเพมสม าเสมอ (Strictly Increasing Function) หมายถง ฟงกชนท f(x) < f(y) ส าหรบทกคา x และ y เมอ x < y

2

การทดสอบโดยใชอนพนธอนดบ1 (First Derivative Test)

1. 2.

3

5.2 คาสงสดและคาต าสด 5.2.1 การใชอนพนธอนดบ 1

4

Example 1

5.2.2 การใชอนพนธอนดบ 2

5

กราฟ (a) เราพบวา กราฟ (b) เราพบวา

6

Example 2

7

5.3 แนวคดหนวยสดทายในทางเศรษฐศาสตร รายรบหนวยสดทาย(Marginal Revenue) คอการเปลยนแปลงของรายรบรวมเมอมการขายสนคาเพมขน 1 หนวย สวนตนทนหนวยสดทาย ((Marginal Cost) คอการเปลยนแปลงของตนทนรวมเมอมการผลตสนคาเพมขน 1 หนวย และเนองจากรายรบรวม TR และตนทนรวม TC ตางกเปนฟงกชนของระดบผลผลต Q เราจงสามารถเขยนความสมพนธไดดงน

หาก TR = TR (Q) , MR = dTR / dQ หาก TC = TR (Q) , MC = dTC / dQ

ในท านองเดยวกนกบการเขยนหนวยสดทายของฟงกชนอนๆทางเศรษฐศาสตรสามารถเขยนในรปฟงกชนรวมไดเชนกน Example 3

ถา 𝑇𝐶 = 𝑄2 + 5𝑄 + 72 แลว MC =

ถา 𝑇𝑅 = −3𝑄2 + 95𝑄

แลว MR = 5.4 ความสมพทธระหวางฟงกชนรวม หนวยสดทายและเฉลย ในทางเศรษฐศาสตร ความสมพนธระหวางวกฤตระหวางฟงกชนรวม หนวยสดทาย และเฉลยมความส าคญตอการตความหมายทางเศรษฐศาสตรเปนอยางยง เชน Example 4 ก าหนดใหฟงกชนตนทนรวม 𝑇𝐶 = 𝑄3 − 24𝑄2 + 600𝑄 ใหหาความสมพนธระหวางฟงกชนตนทนรวม เฉลยและหนวยสดทาย ขอสงเกต

1. MC ต าลงเมอ TC เวาและเพมขนในอตราทลดลง และ MC สงขนเมอ TC นนและเพมขนในอตราทเพมขน โดยMC จะอยทจดต าสดเมอ TC อยทจดเบยงเวาและมการเปลยนการเวา

2. AC ต าลงทวบรเวณท MC < AC อยทจดต าสดเมอ MC = AC และสงขนเมอ MC > AC

8

5.5 การหาคาเหมาะสมทสดของฟงกชน การหาคาเหมาะสมทสดของฟงกชนเปนกระบวนการในการหาคาสงสดหรอต าสดของฟงกชน

โดยสามารถท าไดโดยงายตามขนตอนดงน 1. หาอนพนธอนดบทหนงก าหนดคาเทากบศนย และแกหาจดวกฤต ขนตอนนเราเรยกวา

เงอนไขอนดบทหนง (First order condition) และเงอนไขจ าเปน (Necessary condition) 2. หาอนพนธอนดบทสอง แลวประเมนคาทจดวกฤต และตรวจเครองหมาย ถาเครองหมายท

จดวกฤต a 𝑓 ′′ (𝑎) > 0 นน (convex) , คาต าสดสมพทธ 𝑓 ′′ (𝑎) < 0 เวา (concave) , คาสงสดสมพทธ

𝑓 ′′ 𝑎 = 0 การทดสอบสรปผลไมได ขนตอนทใชทดสอบดวยอนพนธอนดบทสองนเรยกวา เงอนไขอนดบทสอง (Second order condition) และเงอนเพยงพอ (Sufficient condition) โดยสรปคอ

คาสงสดสมพทธ 𝑓 ′ 𝑎 = 0 𝑓 ′′ (𝑎) < 0

และ คาต าสดสมพทธ

𝑓 ′ 𝑎 = 0 𝑓 ′′ (𝑎) > 0

แบบฝกหด 1. ใหหาคาเหมาะทสดของฟงกชนตอไปนโดย (a) หาคาวกฤตทซงฟงกชนอยทคาเหมาะสมทสด (b) ทดสอบเงอนไขอนดบทสอง เพอแยกระหวางคาสงสดหรอต าสดสมพทธ (1) 𝑦 = 9𝑥2 + 16𝑥 − 74 (2) 𝑦 = −5𝑥2 + 90𝑥 − 73 (3) 𝑦 = (7 − 2𝑥)4 2. ใหหาฟงกชนหนวยสดทาย และฟงกชนเฉลยและประเมนคาทงสองท Q=2 และ Q=4 ของฟงกชน 𝑇𝐶 = 𝑄2 + 9𝑄 + 16 3. จงหาฟงกชน MR ซงสมพนธกบฟงกชนอปสงค P = -0.1Q + 25 และประเมนคา MR ท Q = 2 และ Q = 4

9

4.จงแสดงวารายรบหนวยสดทาย (MR) จะตองเทากบตนทนหนวยสดทาย (MC) ทระดบของผลผลตทใหก าไรสงสด 5.จงหาคาสงสดของฟงกชนรายรบรวม (TR) และก าไรรวม (𝜋) โดย (1) หาคาวกฤต (2) ทดสอบโดยใชเงอนไขอนดบทสอง และ (3) ค านวณหาคาสงสดของ TR และ 𝜋 (a). 𝑇𝑅 = 96𝑄 − 2𝑄2 (b) 𝜋 = −2𝑄3 − 15𝑄2 + 3000𝑄 − 1200

10

6. การหาผลเลศหรอคาเหมาะสมโดยไมมขอบเขต(กรณตวแปรอสระตวเดยว)

11

12

6.1 การหาคาเหมาะสมทสดของฟงกชน การหาคาเหมาะสมทสดของฟงกชนเปนกระบวนการในการหาคาสงสดหรอต าสดของฟงกชน

โดยสามารถท าไดโดยงายตามขนตอนดงน 3. หาอนพนธอนดบทหนงก าหนดคาเทากบศนย และแกหาจดวกฤต ขนตอนนเราเรยกวา

เงอนไขอนดบทหนง (First order condition) และเงอนไขจ าเปน (Necessary condition) 4. หาอนพนธอนดบทสอง แลวประเมนคาทจดวกฤต และตรวจเครองหมาย ถาเครองหมายท

จดวกฤต a 𝑓 ′′ (𝑎) > 0 นน (convex) , คาต าสดสมพทธ 𝑓 ′′ (𝑎) < 0 เวา (concave) , คาสงสดสมพทธ

𝑓 ′′ 𝑎 = 0 การทดสอบสรปผลไมได ขนตอนทใชทดสอบดวยอนพนธอนดบทสองนเรยกวา เงอนไขอนดบทสอง (Second order condition) และเงอนเพยงพอ (Sufficient condition) โดยสรปคอ

คาสงสดสมพทธ 𝑓 ′′ 𝑎 = 0 𝑓 ′′ (𝑎) < 0

และ คาต าสดสมพทธ

𝑓 ′′ 𝑎 = 0 𝑓 ′′ (𝑎) > 0

Example ใหหาคาเหมาะทสดของฟงกชนตอไปนโดย (a) หาคาวกฤตทซงฟงกชนอยทคาเหมาะสมทสด (b) ทดสอบเงอนไขอนดบทสอง เพอแยกระหวางคาสงสดหรอต าสดสมพทธ (1) 𝑦 = 5𝑥2 + 15𝑥 − 74 (2) 𝑦 = −5𝑥2 + 90𝑥 − 73 (3) 𝑦 = −2(𝑥 + 19)4

13

7.การหาอนพนธของฟงกชนทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตว

14

15

ตวอยางท 1

ตวอยางท 2

16

แบบฝกหด