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Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 1
UNIDADE 1
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
POTENCIAÇÃO
Definição
Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Sendo a R e a 0 e m Z. Tem-se que:
am = a. a. a. a. a..... a.m fatores
Casos Particulares
a0 = 1 para a 0a1 = a
a-n =1
a n
Propriedades
Se a e b são números reais e m e n, números inteiros,tem-se:
am.an = am + n
a
aa
m
n
m n
(am)n = am.n (a.b)n = an.bn
a
b
a
b
n n
n
Potência de base 10
Sabe-se que: 100 = 1101 = 10102 = 100103 = 1000
Então 10n = 100...........00n zeros
Observe ainda que: 10-1 =10
1= 0,1
10-2 =2
10
1= 0,01
10-3 =3
10
1= 0,001
Então 10 – n
= 0,000.............001n casas decimais
RADICIAÇÃO
Definição
b é a raiz n-ésima de a, se bn = a.
Representação
n a = b bn = a
Nomenclatura
Em n a = b, temos:n é o índicea é o radicando b é a raiz
Condição de existência
Em n a , se n for par, então é necessário que a seja maior ou igual a zero.
Se n for ímpar então n a sempre existe.
Propriedades
n.m an m a
n.p m.pa
n ma
n m
a
mna
nb
a
n b
n a
n a.bn b.n a
n
m
n maa
Racionalização de denominadores
Dada uma fração com denominador contendo radical,racionalizar o denominador é um processo no qual seobtém uma fração equivalente a primeira sem, no entanto,
com o radical no denominador.
1º CASO: O denominador é do tipon ma
Neste caso, multiplica-se numerador e denominador
pelo fator:n mna .
2º CASO: O denominador é do tipo ba Neste caso, multiplica-se numerador e denominador
Pelo fator: ba
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Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 2
Exercícios de Sala
1. Calcule:
a) 24 b) – 24 c) ( – 2)4
d) 17 e) 03 f) 2140
g) 3-2 h)
4
32
2. Transforme cada expressão em uma única potência debase 3.
a) 37 . 3-5 . 36 = b)3
3
53.
23
=
c) (34)2 = d)2
43 =
3. Calcule:
a) 25,0 b) 01,0
c) 3 125 d) 364
e)2
4 9 f) 242223250
4. Racionalize:
a)2
3b)
5
5c)
5 2
3d)
35
2
Tarefa Mínima
1. Determine o valor das expressões:
a) 34 b) – 34 c) ( – 3)4 d) 1201 e) 080 f) 5000
g) 4-2 h)
3
2
5i) 24 + 1201 + 03 + 40
j) 42
3
)
2
(2
4
2)( k)
12
23
32
2. Transforme cada expressão em uma única potência debase 2.
a) 25.23.27 b)4
2.)2(2
323
3. Sendo A = 2100, obtenha:
a) sucessor de A b) o dobro de Ac) quádruplo de A d) quadrado de A
e) metade de A f) raiz quadrada de A
4. Usando a definição, calcule o valor de cada uma dasraízes:
a) 4 625 b) 5 32 c) 5 0
d) 3 1 e)16
81f) 3 125,0
5. Racionalize:
a)2
5b)
3
6c)
3 5
2d)
23
5
Tarefa Complementar
6. O valor da expressão01,0
)1,0.(1003
é equivalente a:
a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 10
7. Assinale a soma dos números associados às proposições corretas:
01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102 02. O valor da expressão 5.108. 4.10-2 é 2.107 04. Se n é par, então a expressão ( – 1)2n + ( – 1)2n + 1 é
zero.08. A metade de 48 + 84 é 17.211
8. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064?
2 2 3 2 31 1 2 1 8
a) b) c) d) e)80 8 5 800 10
9. (FGV-SP) Qual o valor da expressão
,.....
.....1123
214212
bababa
bababa quando a = 10 3 e b = 10 2
a) 106 b) 10 2 c) 10 3 d) 10 9 e) 107
10. (FGV-SP) Simplificando a
expressão12
124
22
222nn
nnn
temos:
3
34d
3
82c
4
87b
4
3a ))))
11. (Cesgranrio) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então(abc)12 vale:
a) 9912 b) 9921/2 c) 9928 d) 9988 e) 9999
12. Determine a soma dos números associados às proposiçõescorretas:
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Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 3
01. A expressão
5
802045 é
equivalente a 153
02. O valor de 42222 é 2
04. O valor de 21
31
168 é 4
08. Racionalizando2
4obtém-se 2 2
16. A expressão3
5
5
3é igual a
15
158
13. Calculando35
1213
2:2
33, acha-se:
a) 32
b) 34
c) 36
d) 38 e) n.d.a.
14. (UEL-PR) A expressão 122
1
22
1é
equivalente a:
a) – 1 b) 2 – 2 c) 2 + 2
d) 2 – 1 e) 2 + 1
15. (UEL-PR) Seja o número real
x =15
522203500. Escrevendo x na forma x = a
+ b c , tem-se que a + b + c é igual a:
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
UNIDADE 2
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULORETÂNGULO
Considere o triângulo retângulo ABC
Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos:
___ ABeAC
____ são os catetos ___
BC é a hipotenusa
Ce
B são os ângulos agudos
Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos
agudos são complementares, ou seja, C
B = 90º
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entreo cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entreo cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.TANGENTE: tangente de um ângulo é o quocienteentre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
Sendo assim, temos que:
sen =a
bcos =
a
ctg =
c
b
Observação:
Se + = 90° tem-se que sen = cos
Tabela de arcos notáveis
Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suasalturas, dividimos o triângulo em dois triângulosretângulos congruentes.
Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal eobtemos dois triângulos retângulos isósceles.
Em resumo, temos:
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Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 4
Exercícios de Sala
1. (FUVEST) Obter o valor de x na figura:
2. No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é:
a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a.
3. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de mrio de margens paralelas e conseguem ver um bote B naoutra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos P1P2 = e BP2P1 = e que tg = 2 e tg = 4, a distânciaentre as margens (em metros) é:
Tarefa Mínima
1. Nas figuras abaixo, determinar o valor de x
a)
30°
X12
b)
60°
X
6
c)
45°
x
5
2. Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada aTorre de Pisa, um dos monumentos mais famosos domundo. Atualmente a torre faz, na sua inclinação, umângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cimada torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de
comprimento. A que distância se encontra o ponto maisalto da torre em relação ao solo?
(dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)
a) 55 metros b) 15 metros
c) 45 metros d) 42 metrose) 51 metros
3. (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construiruma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o
topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de4 3 m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo,em graus, que a rampa formará com o solo.
4. Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.
Tarefa Complementar
5. Com base na figura abaixo é correto afirmar:
01. h = 2 m
02. h = 3m04. a = (1 + 3 ) m08. O triângulo ACD é isósceles
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Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 5
16. O lado____
AC mede 6m
6. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea eparalela à costa. Num certo momento, um coqueiro situadona praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º comsua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica
posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco.Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20= 0,93; tg 20º = 0,36)
7. Determine o valor de x e y na figura abaixo:
8. (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observao topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Parasabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:
a) b cos b) a cos c) a send) b tg e) b sen
9. (UEPG-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B
localiza-se a leste de A, a distância
___
AB = 5 km. Nestemomento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, eleva meia hora para atingir o ponto D. A partir destesdados, assinale o que for
correto.
01.___
AC = 10km
02.___
AD = 2,5 km
04.____
BC = 5 3 km
08. O ângulo D A B ˆ mede 60°16. A velocidade média do barco é de 15km/h
10. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x
30° 60°
A
B
CD
AD = x DC= x - 38 BD = y
UNIDADE 3
TEOREMA DOS CO-SENOS
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um ladoé igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois
lados, menos duas vezes o produto das medidas desteslados pelo co-seno do ângulo formado por eles.
TEOREMA DOS SENOS
Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aossenos dos ângulos opostos. A razão de proporção é odiâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.
Exercícios de Sala
1. Determine o valor de x na figura abaixo:
2. (FUVEST) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o
ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine oraio da circunferência que circunscreve o triângulo
3. Determine o valor de x na figura abaixo
4. Determine o valor da diagonal BD do paralelogramoabaixo, é:
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Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 6
Tarefa Mínima
1. Determine o valor de x na figura abaixo:
2. (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75 2 cm. Amedida, em cm, do lado AB será:
A
B C
45° 30°
3. O triângulo ABC está inscrito na circunferência decentro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine asoma dos números associados às proposições verdadeiras:
75°
60°
O
A
B C
01. O triângulo ABC é equilátero02. o raio da circunferência vale 2cm
04.___
AB = 2 2 cm08. O comprimento da circunferência é 4 cm
4. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um
paralelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam umângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em
centímetros, mede:
a) 4 b) 11 c) 3
d) 13 e) 4 2
5. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e6. O co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4d) 2/3 e) 1/8
Tarefa Complementar
6. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BCmedem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e oângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:
a) ½ b) 2/3 c) 3/4d) 4/5 e) 5/6
7. (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um
triângulo ABC; seu lado___
BC é igual ao raio da
circunferência. O ângulo B Aˆ C mede:
a) 15° b) 30°c) 36° d) 45°e) 60°
8. (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passasucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante,quando o navio está em A, observa o farol L e mede o
ângulo L Aˆ C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica
o ângulo L B̂ C = 75°. Quantas milhas separam o farol doponto B?
a) 2 2 b) 3 c) 2 3 d) 3 2
e) 4 2
9. Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC = cm.Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC.
10. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD =
3cm, AB = 2cm, A D̂ C = 60° e A B̂ C = 90°.
A B
D
C
O perímetro do quadrilátero, em cm, é:
a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15
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Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 7
UNIDADE 4 e 5
INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIATRIGONOMÉTRICA
ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
Arco de uma circunferência é cada uma das partes queficam divididas uma circunferência por dois quaisquer deseus pontos.
A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo quepossui vértice no centro da circunferência).
Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano.
Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo
comprimento é igual a1
360do comprimento da
circunferência.
Logo, a circunferência tem 360º.Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos:
1º = 60' 1'= 60''
Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual aoraio da circunferência onde está contido.Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos.
Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus eradianos.
360º 2 rad
Portanto: 180º rad
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Quando numa circunferência de raio unitário se estabeleceum sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclotrigonométrico.
Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes
denominadas quadrantes.
ORIENTAÇÃONegativoHorário
PositivoHorário Anti
ARCOS CÔNGRUOS
Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entreseus valores é um múltiplo de 360º.
Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110..........
Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade ediferem apenas no número de voltas.
A expressão x = 30º + 360º . k, com k Z, é denominadaexpressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeiradeterminação positiva.
A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:
+ k . 360º, com k Z.
Se um arco mede radianos, a expressão geral dosarcos côngruos a ele é dada por:
+ k . 2 , com k Z.
SENO e CO-SENO DE UM ARCO
DEFINIÇÃO
Considere o arco que possui extremidades na origem dociclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde oângulo central .
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Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 8
Denomina-se sen a projeção do raio OM, pelaextremidade M do arco sobre o eixo y.Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eixo x.
2. Sinais
TABELA
Note que: – 1 sen 1 e – 1 cos 1
OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos épossível determinar os valores de seno e co-seno de arcosdo 2º, 3º e 4º quadrantes.
Equações trigonométricas num intervalo dado:
Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as
funções Trigonométricas em seus membros.São exemplos de equações trigonométricas:
1) sen x = 1
2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0
Não é possível estabelecer um método para resolver todasas equações trigonométricas, pois, existe uma infinidadedelas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos:
sen x = sen ax a k
x a k
2
2
(congruos)
(suplementares)
cos x = cos ax a k
a k
2
2
(congruos)
x (suplementares)
Exercícios de Sala
1. Expresse em radianos os seguintes arcos:
a) 300º b) 60º c) 12º
2. Um arco de 200° equivale em radianos a:
a)3
2b)
2
5c) 4 d)
9
10e) 6
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Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 9
3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva aexpressão geral dos arcos côngruos a:
a) 930º b)23
6rad
4. Determine o valor de:
a) sen 150°b) cos 150°c) sen 210°d) cos 210°e) sen 330°f) cos 330°
5. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5admite solução.
a) - 1 m 1
b) - 2 m 5c) 2 m 3d) 2 < m < 3e) 1 < m < 2
Tarefa Mínima
1. Obter a medida em graus dos seguintes arcos:
a)3
2
b)6
2. (UFMG) Transformando 7º30' em radianos, teremos:
a) /24b) /25c) /30d) 3 /25e) 5 /32
3. Determine o valor da expressão
180cos0sen
270sen.180cos0cos.90sen22
4. Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do:
a) 1º quadranteb) 2º quadrantec) 3º quadranted) 4º quadrante
e) n.d.a.
5. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para:
a) 2 m 3b) 1 m 4c) -1 m 1d) 2 < m < 3e) 0 m 1
6. Resolver, no intervalo 0 x < 2 , as seguintes
equações:
a) sen x = 1b) cos x = 0
c) sen x =2
1
d) cos x =2
2
7. Sabendo que 0 x < 2 , o conjunto solução daequação: sen 2 x 3sen x 4 = 0 é:
a) {90º}b) {-90º}c) {270º}d) {180º}e) {30º}
Tarefa Complementar
8. (Mack-SP) A menor determinação positiva de 4900º é:
a) 100° b) 140º c) 40º
d) 80º e) n.d.a.
9. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arcode 1000º?
a) 270º b) 280º c) 290ºd) 300º e) 310º
10. (SANTO AMARO-SP) Às 9 horas e 10 minutos, omenor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é:
a) 135º b) 140º c) 145ºd) 150º e) n.d.a.
11. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteirosde um relógio, às 23h45min, vale:
a) 189º30' b) 277º30' c) 270ºd) 254º45' e) 277º50'
12. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumirquando y
37 2senx
3, é:
13. (UFPA) O menor valor positivo que satisfaz a equação
2 sen x = 1 é:a) /6 b) /4 c) /3d) /2 e) n.d.a.
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Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 10
14. (UM-SP) O menor valor positivo de x para o qual
9- cos x =1
3é:
2
6 4 3 2 3a) b) c) d) e)
15. Determinar o número de soluções da equação2sen x cos x = sen x no intervalo 0 x < 2 .
UNIDADE 6
RELAÇÕES FUNDAMENTAL DATRIGONOMETRIA
sen2 + cos2 = 1 (Relação Fundamental)
A relação acima também vale para arcos com
extremidades fora do primeiro quadrante.
Exemplos: sen230° + cos230° = 1sen2130° + cos2130° = 1
Convém lembrar que se + = 90°, sen = cos .Logo, vale também relações do tipo:
sen2 50° + sen2 40° = 1sen 210° + sen2 80° = 1
TANGENTE DE UM ARCO
DEFINIÇÃO
Associa-se a circunferência trigonométrica mais um eixo,a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P decoordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM
ao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes.
SINAIS
TABELA
EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA
tg x = tg a x a k2
Exercícios de Sala
1. Sabendo que sen x =3
2e que x
2, calcule
cos x:
2. (FCChagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x =
2 a 1 são verdadeiras para todo x real, se e somentese:
a) a = 5 ou a = 1 b) a = -5 ou a = -1c) a = 5 ou a = 1 d) a = 1e) n.d.a.
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Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 11
3. Resolver no intervalo 0 x < 2 , a equação2cos2x = – 3sen x
4. Determina o valor de:
a) tg 120° b) tg 210° c) tg 330°
5. Resolva no intervalo 0 x < 2 as seguintes equações:
a) tg x =3
3b) tg2x – 1 = 0
Tarefa Mínima
1. No intervalo 22
3 x se sen x =
3
1, calcule
cos x.
2. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 0 2x na
equação: 1 cos2x + sen x = 0 é:
3. O valor de tg 315° + tg 225° é
4. (UFSC) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x |
5. Resolva as seguintes equações no intervalo 0 x < 2
a) tg x = 3
b) tg2x + tg x = 0
Tarefa Complementar
6. Determine m de modo que se obtenham
simultaneamente, sen x = m e cos x = m33
7. No intervalo 0 x < 2 , determine o número desoluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x.
8. (FURG-RS) O valor numérico da função f(x) = sen2x –
tg x + 2cos 3x para x =4
3é:
9. (PUC-RS) O valor numérico de
x
xtg
x
cos3
4
32
2sen
para x =3
é:
a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0
10. No intervalo 0 x < 2 , a equação 3 tg2x + tg x = 0possui quantas soluções?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
UNIDADE 7
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental)
As demais Relações Trigonométricas com as condições deexistência obedecidas são:
tg x =sen x
cos x cotg x = 1
tg x
sec x = 1
cos xcossec x =
xsen
1
A partir da relação sen2 x + cos2 x = 1 podemosestabelecer duas relações derivadas.
Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x temos:
1 + cotg2 x = cossec2 x
E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x temos:
tg2 x + 1 = sec2 x
Sinais das Funções Trigonométricas
1°Q 2°Q 3°Q 4°Qseno e cossecante + +cosseno e secante + +tangente e cotangente + +
Exercícios de Sala
1. Determine o valor de:
a) cossec 30° b) sec 30°
c) cotg 30° d) cossec 210°
e) sec 315° f) cotg 300°
2. Sendo sen =5
4e 2
2
3, calcular:
a) cos b) tg c) cotg
d) sec e) cosec
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Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 12
Tarefa Mínima
1. Determine o valor de:
a) sec 60o b) cossec 150o c) cotg 315o
2. (Faap-SP)Se sen x = 3/5, com x 4º quadrante,
então tg x é:
a) 3/4 b) 1/2c) 4/5 d) 3/4e) 4/5
3. ( UFSC ) Dados sen x =3
5e
2x , determine
o valor de: 32 tg x + 1
4. ( FGV-SP ) Simplificando-se a expressãosena tga coseca
cosa cotga seca
, obtém-se:
a) 0 b) sec2ac) sen2a d) 1e) tg2a
Tarefa Complementar
5. (UFSC)Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiroquadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:
6. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão:
sen30 cos120 cosec150 cotg330
sec300 tg60 cotg225
7. (UFCE) Para todo x 1º quadrante, a expressão(sec x - tg x)(sec x + tg x) sen2x é igual a:
a) cos2x b) 1 + sen2xc) cos x - sen x d) sec x + cos xe) n.d.a.
8. Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) correta(s).01. A medida em radianos de um arco de 225º é
6
11πrad.
02. A menor determinação positiva de um arco de1000° é 280°.
04. Os valores de m, de modo que a expressãosen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3].
08. sen x > cos x para44
x .
16. Se tg x = 4
3
e x 2
3
, então o valor de
sen x – cos x é igual a5
1.
32. Se sen x 0, então cosec x 0.64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para
0 x 2 é x =6
ou x =
6
5 .
9. (UFSC) Dado sen x =3
5e x 0
2, calcule o
valor numérico da expressão:
sec x cotgx cosecx tgx
6 senx cosec x
2
2
1
10. (FATEC) Se x e y são números reais tais que
y = x xtg x
xtgeex x
sec.sec2
4
, então:
a) y = ex b) y = ex(1 + tg x)
c) y = x
e x
cosd) y =
x
e x
sec
e) n.d.a.
UNIDADES 8 e 9
GEOMETRIA ANALÍTICAESTUDO DO PONTO
O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos emfunções, é composto por duas retas x e y perpendicularesentre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixodas abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas.Os dois eixos dividem o plano em quatro regiõesdenominadas quadrantes numerados no sentido anti-horário.
A cada ponto do plano cartesiano está associado um parordenado (x, y).
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Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 13
Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, ondeo número real xp é chamado abscissa do ponto e o númeroreal yp é chamado ordenada do ponto.
OBSERVAÇÕES
Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua
ordenada é nula.P (xp, 0) Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então suaabscissa é nula.
P (0, yp) Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantesímpares, então suas coordenadas são iguais
xp = yp
Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantespares, então suas coordenadas são simétricas.
xp = - yp
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no planocartesiano, a distância entre eles pode ser calculada emfunção de suas coordenadas. Observe a figura abaixo:
O triângulo ABC é retângulo em C, então:
AB AC BC2 2 2
Daí vem a fórmula que calcula a distância entre doispontos:
d x x y yAB B A B A2 2
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
Considere um segmento AB de extremidades A(xA, yA) eB(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto MédioM(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre ascoordenadas de A e B.
Observe a figura:
Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo,no eixo x tem-se:
xM xA = xB xM xx x
MA B
2
no eixo y tem-se:
yM yA = yB yM yy y
MA B
2
Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terão asseguintes coordenadas:
Mx x y yA B A B
2 2
ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO ASCOORDENADAS DO VÉRTICE
Considere o triângulo abaixo:
y
x
yC
x A
B
y A
x B
A
y B
xC
C
Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e Cpodemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por:
A =
1
1
1
.2
1
C C
B B
A A
y x
y x
y x
OBSERVAÇÕES:
O determinante
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
foi tomado em módulo,
pois a área é indicada por um número positivo.
Se o determinante
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
for nulo, dizemos
que os pontos estão alinhados.
Exercícios de Sala
1. Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine:
a) distância entre A e B
b) Ponto Médio do segmento AB
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Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 14
2. Sabe-se que o ponto P(a,2) é eqüidistante dos pontosA(3,1) e B(2,4). Calcule a abscissa a do ponto P.
3. Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3);C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triânguloABC é:
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 c) 7
4. Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices deum triângulo ABC. Calcule a área desse triângulo.
Tarefa Mínima
1. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa:
a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y.b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x.
c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dosquadrantes ímpares.d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes
pares.
e) o ponto ( 3 + 1, 3 + 1) pertence à bissetriz dosquadrantes pares.
2. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) eN(-1,7) do plano x0y vale:
3. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7)é 10. O valor de y é:
a) -1 b) 0 c) 1 ou 13d) -1 ou 10 e) 2 ou 12
4. ( Cescea-SP ) O ponto do eixo das abscissas,eqüidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é:
a) A(2,0) b) B(5,0) c) C(3,0)d) D(0,2) e) E(4,0)
5. Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4,7) e C(2, 1)
Tarefa Complementar
6. (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2),determine x sabendo que o ponto C é eqüidistante dospontos A e B.
7. (FCC-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos(1,3), (-2,-1) e (1, -2) é:
a) eqüilátero b) escalenoc) isósceles d) retângulo
e) n.d.a.
8. (PUC-SP) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor emmódulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo emB é:
9. (UFJF-MG) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontosmédios dos lados de um triângulo, quais são os seusvértices?
a) (-1,2), (5,0), (7,4)b) (2,2), (2,0), (4,4)c) (1,1), (3,1), (5,5)d) (3,1), (1,1), (3,5)
10. (UCP-RJ) A distância da origem do sistemacartesiano ao ponto médio do segmento de extremos(-2,-7) e (-4,1) é:
a) 3 b) 2 c) -3 d) 1 e) 3 2
11. (Mack-SP) A área de um triângulo é 25/2 e os seusvértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser:
a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 5
12. A área do polígono, cujos vértices consecutivos são:A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) emunidades de área, é:
UNIDADE 10
ESTUDO DA RETA
Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano umaequação. Com tal equação podemos determinar se umponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equaçãomerecem destaque:
A Equação GeralA Equação Reduzida
EQUAÇÃO GERAL DA RETA
A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de
alinhamento de 3 pontos.Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y).
A, B e P estão alinhados se e só se:
x y
x y
x y
A A
B B
1
1
1
0
Desenvolvendo 0
1
1
1
B B
A A
y x
y x
y x
temos:
x . yA + xA . yB + y . xB yA . xB x . yB y . xA = 0
(yA yB) x + (xB xA) y + xAyB xByA = 0a b c
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Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 15
Logo: ax + by + c = 0 equação geral da reta.
2. Equação Reduzida da Reta
Pode-se obter a equação reduzida da reta se isolando na
equação geral y.Veja: ax + by + c = 0by = ax c
ya
b
c
bsubstituindo
a
bpor m e
c
bpor n temos:
y = mx + n Equação Reduzida da Reta
No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angularda reta, e n o coeficiente linear da reta.
3. Coeficiente Angular e Linear da
Reta
Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m éo coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear dareta.Vejamos, agora, o significado geométrico deles.
COEFICIENTE LINEAR
O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta cortao eixo y.
COEFICIENTE ANGULAR
Define-se como coeficiente angular da reta a tangente doângulo , onde indica a inclinação da reta em relação aoeixo x.
m = tg ou
AxBx
Ay
By
m
CASOS PARTICULARES
Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo é igual a0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0.
Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo é igual a90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90ºnão é definido.
4. Equação do Feixe de Retas
Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dadoum ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Paraisso, usa-se a relação: y yo = m(x xo)
Exercícios de Sala
1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) eB(4, 9), determine:
a) equação geralb) equação reduzidac) coeficiente angular e linear da reta
2. Determine o coeficiente angular das retas abaixo:
a) r: 2x + 3y + 1 = 0
b)
c)
3. Determine a equação da reta representada pela figuraabaixo:
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Tarefa Mínima
1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) eB(2, - 3), determine:
a) equação geralb) equação reduzidac) coeficiente angular e linear da reta
2. Considere a reta r indicada pela figura abaixo
Assinale a soma dos números associados àsproposições corretas:
01. A equação da reta r é y = x – 102. o coeficiente linear da reta r é – 1
04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é45o
08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3)16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de
coordenadas (1,0)
3. Determine a equação da reta r indicada abaixo
4. (FGV-SP) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem àreta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é:
a) 3 b) 3,25 c) 2 13 d) 2 e) 9
5. (Fac. Moema-SP) O coeficiente linear e angular dareta 2x 3y + 1 = 0 são, respectivamente:
a) 2 e 3 b) 2/3 e 1c) 2/3 e 1/3 d) 1/3 e 2/3e) n.d.a.
Tarefa Complementar
6. A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e temcoeficiente angular 3.
7. Considere as retas r e s indicadas abaixo:
Determine a soma dos números associados às
proposições corretas:01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 002. A equação da reta s é x – y – 1 = 004. o ponto de intersecção das retas r e s possui
coordenadas (2, 1)08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3)
8. (UFSC) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0,e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam peloponto P(a,b). O valor de a + b é:
9. Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5,5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0.
10. (UFPR) No plano cartesiano os pontos A(1, -1),B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de umquadrado. É correto afirmar que:
01. a origen do sistema de coordenadas está no interiordo quadrado.
02. a reta r que passa por A e B tem coeficienteangular 1/2
04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém adiagonal BD do quadrado.
08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto(0, -4)
16. o centro do quadrado é o ponto (1,3)
UNIDADE 11
ESTUDO DA RETA
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETAS
No plano cartesiano duas retas r e s podem ser:ConcorrentesParalelasCoincidentes
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Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 17
Considere as retas r e s de equações:
r = m1x + n1 e s = m2x + n2
Assim, podemos ter as seguintes situações:
PARALELAS DISTINTAS:
m1 = m2 PARALELAS COINCIDENTES:m1 = m2 e n1 = n2
CONCORRENTESm1 m2
CONCORRENTES E PERPENDICULARES:m1 . m2 = 1
DISTÂNCIA DE PONTO À RETA
Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c =0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pelaexpressão:
Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a retar de equação 5x + 2y 6 = 0.
Resolução: 45
20
34
63.24.5
22d d d
Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades.
Exercícios de Sala
1. Considere a reta r indicada pela figura abaixo:
Determinar:
a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e éparalela à reta r.
b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e éperpendicular à reta r.
2. Determine a distância do ponto A(2, 3) à reta r deequação y = 2x + 5.
3. (UFSC) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky-5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s)proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto(1, -2) é 17.
02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam
no ponto 07
5é 25/7.
04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 .08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s
no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0.16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta
r é 20.
Tarefa Mínima
1. (UFRGS) As retas com equações respectivas 4x + 2y -4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0:
a) são paralelas
b) são coincidentesc) são concorrentes mas não perpendiculares.d) interceptam-se no 1º quadrante e são
perpendiculares.e) interceptam-se no 4º quadrante e são
perpendiculares.
2. A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e éparalela à reta de equação 5x + y = 0 é:
a) 5x + y + 10 = 0 b) – 5x + y + 10 = 0c) 5x – y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0e) – 5x + y – 10 = 0
3. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r ) x + 2 y + 3 = 0 e (s) ax +3 y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale:
a) – 2 b) 2 c) – 6 d) 6 e) – 3
4. Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) eC (4,1). A altura em relação à base BC mede:
5. (UEL-PR) A distância entre as retas de equações x - y
+ 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 2 se, e somente se:
a) k = 0 b) k = 4 c) k = 8d) k = 0 ou k = 8 e) k = -4 ou k = 8
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Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 18
Tarefa Complementar
6. (UFSC) Dados os pontos A(1, 1), B( 1, 3) e C(2, 7),determine a medida da altura do triângulo ABC relativa aolado BC.
7. (UFSC) De acordo com o gráfico abaixo, assinale
a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0.02. A reta s e a reta r são perpendiculares.04. As retas r e s se interceptam no ponto de
abscissa5
4.
08. A distância da origem do sistema de
coordenadas cartesianas à reta r é de2
2
unidades.16. A área da região do plano limitada pelas retas r,
s e pelo eixo das abscissas é igual a10
3
unidades de área.
8. (UFRGS) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) sãoextremidades de uma das diagonais de um quadrado. Aequação da reta suporte da outra diagonal é:
a) 2x - 3y - 1 = 0b) 2x + 3y - 7 = 0c) 3x + 2y - 8 = 0d) 3x - 2y - 4 = 0\
9. A medida da altura do trapézio cujos vértices são ospontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é:
10. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadasno gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x – 3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixodas abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t éperpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que:
01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0).
02. o ponto C é (0,2
3).
04. a distância entre r e s é 3.08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são,
respectivamente,2
1,
2
1e – 2.
16. a equação da reta t é y = – 2x + 6.32. a equação da reta horizontal que passa por A é
x = 0.64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3.
UNIDADE 12
GEOMETRIA ANALÍTICAESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
DEFINIÇÃO
Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos deum plano que se equidistam de um ponto C denominadocentro da circunferência. Essa distância é denominada raioda circunferência.
RC
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um pontogenérico pertencente à circunferência, a distância de C a Pé o raio da circunferência.
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Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 19
Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintesformas:
Equação Reduzida:
(x a)2 + (y b)2 = R2
Exemplo: Determine equação da circunferência de raio3 e centro C(2, 5):
Resolução: (x )2 + (y )2 = R2 (x 2)2 + (y 5)2 = 32
Logo, a equação procurada é: (x 2)2 + (y 5)2 = 9
CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuircentro na origem então a equação(x )2 + (y )2 = R2 fica reduzida a: x2 + y2 = R2
Equação Geral:
A Equação Geral da circunferência é obtidadesenvolvendo a equação reduzida. Veja:
(x a)2 + (y b)2 = R2 x2 2ax + a2 + y2 2by + b2 = R2 x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 R2 = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
onde: A = 2a; B = 2b; C = a2 + b2 R2
Exemplo: Determinar a equação geral da circunferênciade raio 3 e centro C(2, 5)
Resolução: (x )2 + (y )2 = R2 (x 2)2 + (y 5)2 = 32 (x 2)2 + (y 5)2 = 9x2 4x + 4 + y2 10y + 25 9 = 0
Logo, a equação geral é x2 + y2 4x 10y + 20 = 0
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Vamos comparar a equação de uma circunferência comuma equação do 2º grau completa.x2 + y2 + Kxy + Ax + By + C = 0
Sendo assim, essa equação só irá representar a equação deuma circunferência se e só se:
Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes dezero.Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0.A2 + B2 4AC > 0
POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA
Ponto e Reta
Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência
(x )2 + (y )2 = R2. Em relação a circunferência, oponto P pode assumir as seguintes posições:
Para determinar a posição do ponto P em relação acircunferência, substitui-se as coordenadas de P naequação da circunferência. Assim, podemos ter:
(xP )2 + (yP )2 R2 < 0 P interior àcircunferência
(xP )2 + (yP )2 R2 = 0 P pertence àcircunferência
(xP )2 + (yP )2 R2 > 0 P exterior àcircunferência
Reta e Circunferência
Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e umacircunferência (x )2 + (y )2 = R2 . Em relação àcircunferência, a reta pode assumir as seguintes posições:
Para determinar a posição da reta r em relação àcircunferência, substitui-se a equação da reta na equaçãoda circunferência. Assim, teremos uma equação do2º Grau. Então, se:
< 0 reta externa (não existe ponto de intersecção)
= 0 reta tangente (existe um ponto de intersecção)
> 0 reta secante (existe dois pontos deintersecção)
Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) sãoobtidos por um sistema de equações.
Exercícios de Sala
1. Determinar a equação da circunferência na formareduzida de centro C e raio R nos seguintes casos:
a) C(4, 7) e R = 2 b) C(2, -3) e R = 5
c) C(3, 0) e R = 5 d) C(0, 3) e R = 5 e) C(0, 0) e R = 3
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Matemática B Inclusão para a Vida
Pré-Vestibular da UFSC 20
2. A soma das coordenadas do centro da circunferência deequação x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, é:
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
3. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 -
2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6.Determine a soma dos números associados à(s)proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da
circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente.02. A circunferência C limita um círculo cuja área é
8 .04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar
que C e r são secantes.08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio
2 é tangente externamente à circunferência C.
16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode-se afirmar que o ponto P é exterior à C.
Tarefa Mínima
1. A equação da circunferência de centro C (-2,2) etangente aos eixos coordenados é:
a) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4c) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 2d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4
e) (x + 2)2
– (y – 2)2
= 4
2. (ACAFE-SC) A circunferência de equação x2 + y2 + 6x – 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é:
a) 2 b) – 3 c) 3d) – 2 e) – 1
3. O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 éum ponto localizado no:
a) primeiro quadrante b) segundo quadrantec) terceiro quadrante d) quarto quadrante
e) eixo x
4. (UECE) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é umacircunferência que tem o segmento MN como umdiâmetro, então a equação de C1 é:
a) x2 + y2 - 12x - 2y + 27 = 0b) x2 + y2 + 12x - 2y + 27 = 0c) x2 + y2 + 12x + 2y + 27 = 0d) x2 + y2 - 12x + 2y + 27 = 0
5. (PUC-SP) Seja a circunferência , de equação x2 + y2 -
4x = 0. Determinar a área da região limitada por .
a) 4 b) 2 c) 5
d) 3 e) n.d.a.Tarefa Complementar
6. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que aequação x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 represente umacircunferência, é:
a) 10 b) 12 c) 13d) 15 e) 16
7. (UFRGS) O eixo das abscissas determina no círculox2 + y2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento
8. (FGV-SP) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina nacircunferência x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda decomprimento igual a:
a) 3 b) 3 c) 2 3
d) 6 e) 2 2
9. Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo quea reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência.
a) 16 b) 4 c) 2d) 32 e) n.d.a.
10. (UFSC) Considere a circunferência C:
163422
y x e a reta r: 4 x + 3 y 10 = 0.
Assinale no cartão-resposta a soma dos números
associados à(s) proposição(ões) correta(s).
01. r C = .02. O centro de C é o ponto (3, 4).04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas
em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um)ponto.
08. A distância da reta r ao centro de C é menor doque 4.
16. A função y dada pela equação da reta r édecrescente.
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Inclusão para a vida Matemática B
Pré-Vestibular da UFSC 1
GABARITO
Unidade 11) a) 81 b) – 81 c) 81 d) 1 e) 0
f) 1 g)16
1h)
125
8 i) 18 j) – 5 k)
35/122) a) 215 b) 213
3) a) 2100 + 1 b) 2101 c) 2102 d) 2200 e)299 f) 250 4) a) 5 b) 2 c) 0 d) 1 e) 9/4f) – 0,5
5) a)2
25 b) 32 c)5
2523 d)
5( 23 )6) e7) 158) c9) d10) e11) e12) 3113) c14) d15) e
Unidade 2
1) a) 6 b) 3 c) 5 2 2) e3) 30°
4) x = 2 y = 2 3 5) 146) 180 m
7) x = 100 3 y = 1008) e 9) 31 10) 57
Unidade 3
1) 4 2 2) 753) 144) d5) e
6) b7) b8) a
9) 2 7 10) b
Unidades 4 e 51) a) 120° b) 30°2) a3) 2 4) b5) a
6) a) S =2
b) S =
2
3,
2
c) S =18
33,
6
7d)
4
7,
4
7) c8) c9) b10) c11) b12) 1313) c14) c15) 04
Unidade 6
1)3
22
2) 003) 004) 01
5) a) 4)3
4,
3b)
3 70
4 4, , ,
6) 017) 01
8) 2 9) b10) d
Unidade 71) a) 2 b) 2 c) – 12) a
3) 254) e5) 416) 017) a8) 869) 1210) c
Unidades 8 e 91) e2) 133) e
4) e5) 166) 087) c
8) 039) a10) e11) a12) 81
Unidade 101) a) 5x + y – 7 = 0 b) y = - 5x + 7c) – 5 e 72) 233) y = x 3 - 24) c5) d6) y = 3x – 27) 078) 559) 9010) 20
Unidade 111) c2) a3) c4)
2
25
5) d6) 047) 098) d9) 0210) 90
Unidade 121) a2) c3) a4) a5) a6) c7) 088) c9) a10) 28