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A Begriffe aus der Kombinatorik
Eine Permutation nN ist eine Anordnung von N Elementen in einer bestimmten Reihenfolge.
Die Anzahl InN I der Permutation en N verschiedener Elemente ist
InNI = N!.
Beispiel: Sitzordnung in einer Klasse
Befinden sich unter den N Elementen K gleiche (K ~ N), ist die Anzahl
In}:) I der Permutationen (mit Wiederholung)
In (K)1 = N! N K!'
Beispiel: 16 Sitzplatze werden mit je einer Tasche belegt. 4 der 16 Taschen sind gleich. Wie viele unterscheidbare Permutationen gibt es?
Antwort: Ini!) I = 14~!
Die Anzahl In}:1,K2, ... ,KM) I der Permutationen von N Elementen, die
sich in M Gruppen mit jeweils K 1 , K 2 , ••• ,KM gleichen Elementen CL;;;=l Km = N) einteilen lassen, ist
In}:1,K2, ... ,KM)1 = N! . K 1!· K 2 !··· KM!
Beispiel: Aus den fiinf Ziffern 4, 4, 5, 5, 5 lassen sich
In(2,3) I = ~ = 10 5 2!3!
verschiedene fiinfstellige Zahlen bilden.
A Begriffe aus der Kombinatorik 207
Eine Kombination C~K) ist eine Auswahl von K Elementen aus N Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge.
Die Anzahl I cW) I der Moglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen
K Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwahlen, wobei jedes der N Elemente hochstens einmal in einer Kombination auftreten darf (Kombination ohne Wiederholung), ist
Beispiel: Beim Lotto gibt es (~) Moglichkeiten 6 aus 49 Zahlen anzukreuzen.
Die AnzahIIC~K) I der Moglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen K
Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge, aber bei Zulassung belie big vieler Wiederholungen jedes der Elemente, auszuwahlen, ist
Beispiel: Mit K Wiirfeln sind
verschiedene Wiirfe moglich. Fiir 2 Wiirfel gilt also
Eine Variation V}{) ist eine Auswahl von K aus N Elementen unter Beachtung der Reihenfolge.
Die Anzahl IV}{) I der Moglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen
K unter Beachtung der Reihenfolge auszuwahlen, ist
208 A Begriffe aus der Kombinatorik
Beispiel: 30 Personen nehmen an einer Wahlveranstaltung teil. Wieviele Moglichkeiten gibt es, einen aus einem Vorsitzenden, seinem Stellvertreter, einem 1. und einem 2. Beisitzer bestehenden Wahlvorstand zu benennen?
Antwort: 4! C40) = 657720
Wenn von den N verschiedenen Elementen in einer Variation einzelne auch mehrfach auftreten diirfen, liegt eine Variation mit Wiederholung vor. Fiir ihre Anzahl gilt
Beispiel: Mit einem Byte (8 Bit) sind 28 = 256 verschiedene Zeichen darstellbar.
Die Ergebnisse dieses Anhangs sind in Bild A-I zusammengefafit dargestellt.
ohne Wiedemolung
mit Wiedemolung
Art der Auswahl von K aus N Elemanten (K:s;N)
Pennutationen Kombinationen
N! ( ~ ) N!
( N\K-l ) K!
Variationen
K!( ~ )
NK
Bild A-I: Kombinatorik, Anzahl der Moglichkeiten
B Die Fouriertransformation
Die Fouriertransformation ordnet einer Funktion x(t) aus einem Funktionenraum U eine Funktion X (J) aus einem anderen Funktionenraum V umkehrbar eindeutig zu. In der Technik wird x(t) haufig als Zeitfunktion interpretiert. D.h. x(t) ist ein reell- oder komplexwertiges Signal.
Definition B-1
Filr die integrierbare Funktion x(t) ist durch
00
X(J) = ! x(t)e-i211"/t dt (B-1)
-00
deren Fouriertransformierte gegeben.
Bemerkungen:
(i) Der Zusammenhang zwischen x(t) und X(J) wird kurz durch x(t) 0--. X(J) beschrieben.
(ii) Die Fouriertransformation ist zunachst nur fUr integrierbare Funktionen erklart. Diese Funktionen bilden einen Vektorraum L1. Durch den Satz von Plancherel ([KF75], S.436if.) kann die Fouriertransformation auch fUr den Raum L2 der technisch bedeutsamen quadratintegrablen Funktionen eingefiihrt werden. Signale x(t) E L2 besitzen endliche Energie. Dariiber hinaus kann die Definition der Fouriertransformation auch auf Distributionen erweitert werden ([WaI74], S.155 if.). Formal gilt iiberall die Definitionsgleichung (B-1), mit der wir im folgenden auch rechnen werden.
Die inverse Fouriertransformation X(J) ..-0 x(t) ist durch
00
x(t) = ! X (J)ei 21l"/t df (B-2)
-00
210 B Die FouriertransEormation
gegeben.
Es gelten folgende Rechenregeln der Fouriertransformation
1. Linearitat Flir beliebige Konstanten en und Signale xn(t}, 0 ::; n ::; N, gilt
2. Konjugiert komplexe Signale
x*(t} ~ X*(-f)
3. Symmetrieeigenschaften
x(-t} ~ X(-f)
Re {x(t)} gerade {:} Re {X (f}} gerade
Re {x(t)} ungerade {:} 1m {X(f)}
1m {x(t)} gerade {:} 1m {X(f)}
1m {x(t)} ungerade {:} Re{X(f)}
4. MaBstabsanderung, Skalierung Flir aile a E R, a "# 0, gilt
x(at} ~ ,!,X (~)
5. Zeitverschiebung Flir aile to E R gilt
x(t - to} ~ e-i21rlto X(f}
6. Modulation Flir aile 10 E R gilt
ei21rlotx(t} ~ X(f - lo}
ungerade
gerade
ungerade
B Die Fouriertransformation
7. Differentiation der Zeitfunktion
8. Differentiation der Fouriertransformierten
9. Integration der Zeitfunktion
t J x(r) dr o---e
-00
10. Faltungssatze Flir quadratintegrable Signale Xi(t)j i = 1,2j gilt
Xl(t) * X2(t) o---e Xl (f) . X 2(f)
Xl(t)· X2(t) o---e Xl (f) * X 2(f)
211
(B-3)
Mit Gleichung (B-3) wollen wir uns etwas naher beschaftigen. Zunachst ist durch * eine Operation, die Faltung der Signale Xl(t) und X2(t) heiBt, erklart. Ausfuhrlich schreibt sich die Faltung
00
Xl(t)*X2(t) = J xdr)x2(t-r)dr. -00
GemaB (B-3) wird aus der Faltung zweier Signale im Zeit bereich im Frequenzbereich das Produkt der zugehorigen Fouriertransformierten. Wir betrachten ein Zeit signal s(t) mit Fouriertransformierter S(f) und eine Fouriertransformierte
H(f) = . {I fur If I ~ ~ o flir If I > ~
(B-4)
Die Funktion H(f) charakterisiert einen (idealen) TiefpaB, d.h. ein System, das aIle Frequenzen If I ~ ~ unbeeinfluBt laBt und aIle Frequenzen If I > ~ vollstandig unterdruckt. Dies wird z.E. durch die
212 B Die Fouriertransformation
Gtiltigkeit von
SU) . H(f) ~ { S~) fur
fur
III ~ ~ III > ~
deutlich. Bezeichnen wir mit h(t) die inverse Fouriertransformierte von H(f), die sich aus Tabelle B-1 bestimmen laf3t, erhalten wir mit (B-3)
S(f) . H(f) = U(f) e----<> u(t) = s(t) * h(t).
Die Faltung 00
u(t) = s(t) * h(t) = I s(r)h(t - r) dr -00
stellt das durch (ideale) Tiefpaf3filterung aus s(t) hervorgehende Signal dar. Die hier diskutierten Zusammenhange sind in Bild B-1 skizziert.
-etlh, ~, A, -B/2 B/2 -B/2 B/2 -B/2 B/2
Frequenzbereich S (fl. H 1ft = u 1ft
I I I Zeitbereich s Itt • h Itt = u Itt
Bild B-1: Idealer Tiefpaf3
Die Funktion
GU) ~ { ~ 10 - ~ ~ III ~ 10 + ~ sonst
mit B « 10 charakterisiert einen (idealen) BandpaB. Dieses System lli.f3t aIle Frequenzen, die von 10 hochstens einen Abstand von 1f besitzen, unbeeinfiuBt und unterdriickt alle anderen Frequenzen.
B Die Fouriertransformation
1 0-----. ° (f) 1 1
cos (211" fot) 0-----. 20(f + fo) + 20(f - fo)
{If. If I < F
Fsi(1I"Ft) 0-----. X(f) = ur "2 o fUr If I > f
x(t) = 0-----. Tsi(1I" fT) {I fur It I < f o fur It I > f
1 1 2o(t + to) + 2o(t - to) 0-----. cos(211" fto)
° ( t) 0-----. 1
sin(27r fot) 0-----. ~o(f + fo) - ~o(f - fo)
x(t) = { 1 fur t > 0 1 1
0-----. -o(f) + -. -o fur t < 0 2 J211" f
-altl 0 0-----. 2a
x(t) = { e~.'
{ te-at
x(t) = 0
e ,a> a2 +(27rf)2
fur t > 0 1 , a > 0 0-----. ·2 f
furt<O a+J1I"
furt>O 1 , a > 0 0-----. 2
fur t < 0 (a + j27r f)
00
1 .. f - 0-----. - J sIgn 1I"t 1
j sign t 0-----. -1I"f
x(t) =.!:. ! x('x~ d,X 0-----. (-jsignf)X(f) 11" t-/\
-00
00 1 00
L o(t - mT) 0-----. T L ° (i - ;) m=-oo m=-oo
Tabelle B-1: Korrespondenzen zur Fouriertransformation
213
C Die ~-Distribution
Urn sowohl stetige als auch diskrete Zufallsvariablen einheitlich behandeln zu konnen, ist die Einffihrung der 8-Distribution notwendig (vergleiche (4.1-12)). Dieser, auch in [Pap91] verfolgte Ansatz ist zwar rnathernatisch nicht korrekt, erweist sich jedoch ffir die Praxis als nfitzlich.
Mit der 8-Distribution 8(X') kann einern Punkt X' = (Xl,X2, ... , XN)T
irn N-dh~ensionalen Raurn lRN die Masse 1 zugeordnet werden, d.h. es gilt
! 8(X') dX' = l. (C-1)
RN
Genauer betrachtet ist die 8-Distribution ein stetiges lineares Funktional [Wa174J, das jeder Funktion <p(X') seines Definitionsbereichs gernaB der Gleichung
! 8 (X') <p(X') dX' = <p(O) (C-2)
RN
ihren Wert irn Ursprung zuordnet. Darfiber hinaus ergeben sich die Identitaten
! 8(X' - X'o)<p(X') dX' = ! 8(X')<p(X' + X'o) dX' RN RN
(C-3)
1 -= ~<p(o), a ~ o. (C-4)
C Die is-Distribution 215
Bemerkungen:
(i) Uber die Forderungen, die die Funktion <p(i) in (C-2) erftillen muB, gibt die Distributionentheorie Auskunft [Wa174]. 1m vorliegenden Buch wird stets davon ausgegangen, daB die verwendeten Funktionen <p(i) so beschaffen sind, daB (C-2) gilt.
(ii) Es wird empfohlen, als Ubung die Gleichungen (C-I) bis (C-4) fUr den Fall N = 1 aufzuschreiben und zu interpretieren!
Die 8-Distribution laBt sich fUr N = 1 z.B. durch eine Folge von Rechteckpulsen
o ftir Ixl > a/2 ,a>O
1 ftir Ixl ~ a/2
approximieren (Bild C-I). Betrachtet man namlich die in einer Umgebung des Ursprungs stetige Funktion <p(x), ergibt sich
00
lim ~ I reet (:.) <p(x) dx a--+O a a
-00
~
hm - <p(x) dx . I! a--+O a
-"-2
00
<p(O) = 8(x )<p(X) dx (C-2) ! -00
216 C Die IS-Distribution
A 1 (x) a reet a
1 a=-
24
1 a=-
12
1 a=-
2 a=l
-----;------;-----~U-----+---~_+------+x
1 2
-2
Bild C-1: Approximation der o-Distribution durch Rechteckimpulse (N = 1)
D Tabelle der Standardnormalverteilung
I x II <p{x) II x II <p{x) II x II <p{x) II 0,00 0,5000000 0,38 0,6480272 0,76 0,7763727
0,02 0,5079783 0,40 0,6554217 0,78 0,7823045
0,04 0,5159534 0,42 0,6627572 0,80 0,7881446
0,06 0,5239221 0,44 0,6700314 0,82 0,7938919
0,08 0,5318813 0,46 0,6772418 0,84 0,7995458
O,lO 0,5398278 0,48 0,6843863 0,86 0,8051054
0,12 0,5477584 0,50 0,6914624 0,88 0,8105703
0,14 0,5556700 0,52 0,6984682 0,90 0,8159398
0,16 0,5635594 0,54 0,7054014 0,92 0,8212136
0,18 0,5714237 0,56 0,7122602 0,94 0,8263912
0,20 0,5792597 0,58 0,7190426 0,96 0,8314723
0,22 0,5870644 0,60 0,7257468 0,98 0,8364569
0,24 0,5948348 0,62 0,7323711 1,00 0,8413447
0,26 0,6025681 0,64 0,7389137 1,02 0,8461357
0,28 0,6102612 0,66 0,7453730 1,04 0,8508300
0,30 0,6179114 0,68 0,7517477 1,06 0,8554277
0,32 0,6255158 0,70 0,7580363 1,08 0,8599289
0,34 0,6330717 0,72 0,7642375 1,10 0,8643339
0,36 0,6405764 0,74 0,7703500 1,12 0,8686431
218 D Tabelle der Standardnormalverteilung
I x II ~(x) II x II ~(x) II x II ~(x) II 1,14 0,8728568 1,64 0,9494974 2,14 0,9838~26
1,16 0,8769755 1,66 0,9515427 2,16 0,9846136
1,18 0,8809998 1,68 0,9535213 2,18 0,9853712
1,20 0,8849303 1,70 0,9554345 2,20 0,9860965
1,22 0,8887675 1,72 0,9572837 2,22 0,9867906
1,24 0,8925123 1,74 0,9590704 2,24 0,9874545
1,26 0,8961653 1,76 0,9607960 2,26 0,9880893
1,28 0,8997274 1,78 0,9624620 2,28 0,9886961
1,30 0,9031995 1,80 0,9640696 2,30 0,9892758
1,32 0,9065824 1,82 0,9656204 2,32 0,9898295
1,34 0,9098773 1,84 0,9671158 2,34 0,9903581
1,36 0,9130850 1,86 0,9685572 2,36 0,9908625
1,38 0,9162066 1,88 0,9699459 2,38 0,9913436
1,40 0,9192433 1,90 0,9712834 2,40 0,9918024
1,42 0,9221961 1,92 0,9725710 2,42 0,9922397
1,44 0,9250663 1,94 0,9738101 2,44 0,9926563
1,46 0,9278549 1,96 0,9750021 2,46 0,9930531
1,48 0,9305633 1,98 0,9761482 2,48 0,9934308
1,50 0,9331927 2,00 0,9772498 2,50 0,9937903
1,52 0,9357445 2,02 0,9783083 2,52 0,9941322
1,54 0,9382198 2,04 0,9793248 2,54 0,9944573
1,56 0,9406200 2,06 0,9803007 2,56 0,9947663
1,58 0,9429465 2,08 0,9812372 2,58 0,9950599
1,60 0,9452007 2,10 0,9821355 2,60 0,9953388
1,62 0,9473838 2,12 0,9829969 2,62 0,9956035
D Tabelle der Standardnormalverteilung 219
I x II ~(x) II x II ~(x) II x II ~(x) II 2,64 0,9958546 3,10 0,9990323 4,10 0,9999793
2,66 0,9960929 3,15 0,9991836 4,15 0,9999833
2,68 0,9963188 3,20 0,9993128 4,20 0,9999866
2,70 0,9965330 3,25 0,9994229 4,25 0,9999893
2,72 0,9967359 3,30 0,9995165 4,30 0,9999914
2,74 0,9969280 3,35 0,9995959 4,35 0,9999931
2,76 0,9971099 3,40 0,9996630 4,40 0,9999945
2,78 0,9972820 3,45 0,9997197 4,45 0,9999957
2,80 0,9974448 3,50 0,9997673 4,50 0,9999966
2,82 0,9975988 3,55 0,9998073 4,55 0,9999973
2,84 0,9977443 3,60 0,9998408 4,60 0,9999978
2,86 0,9978817 3,65 0,9998688 4,65 0,9999983
2,88 0,9980116 3,70 0,9998922 4,70 0,9999986
2,90 0,9981341 3,75 0,9999115 4,75 0,9999989
2,92 0,9982498 3,80 0,9999276 4,80 0,9999992
2,94 0,9983589 3,85 0,9999409 4,85 0,9999993
2,96 0,9984618 3,90 0,9999519 4,90 0,9999995
2,98 0,9985587 3,95 0,9999609 4,95 0,9999996
3,00 0,9986501 4,00 0,9999683 5,00 0,9999997
3,05 0,9988557 4,05 0,9999743
Die Werte sind hinter der 7. Nachkommastelle abgeschnitten.
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Index
absolutes zentrales Moment k-ter Ordnung, 59
absorbierender Zustand, 189 Autokorrelationsfolge eines zeit
diskreten Zufallsprozesses, 165
Autokorrelationsfunktion, 155 Autokorrelationsfunktion eines er
godischen Prozesses, 161 Autokovarianzfolge eines zeit dis
kreten Zufallsprozesses, 165
Autokovarianzfunktion, 156 Autokovarianzfunktion eines er
godischen Prozesses, 162
BandpaB, 212 Bernoullisches Versuchsschema,
77
charakteristische Funktion, 60
de MORGANsche Formeln, 8 8-Distribution, 214 Dichte,41
bedingte, 109 mehrdimensionale, 105
DifIerenz von Mengen, 6 Dispersion, 57 Durchschnitt,6
Eigenschaften von Verteilungsfunk-tionen,39
Elementarereignis, 5 Energiesignale, 162 Ereignis,5
entgegengesetztes, 6 Komplement, 7 Negation, 7 sicheres,5 Teilereignis,6 unmogliches, 5
Ereignisdisjunktion vollstandige, 14
Ereignisse disjunkte, 8 unabhangige, 31 unvereinbare,8 vollstandig unabhangige, 32 zufallige, 1
Ergebnisraum endlicher, 5
Ergebnisse, 5 Ergodenhypothese, 160 ergodisch beziiglich g, 161 Erlangdichte, 197 Erwartungswert,54
bedingter, 11 0 erzeugende Funktion, 62
Faltung, 211 Fehlerfunktion
INDEX
gauBsche, 92 komplementare, 93
Formel von Bayes, 30 Formel von der totalen Wahr
scheinlichkeit, 30 Formel von der totalen Wahr
scheinlichkeit fUr Dichten, 110
Fouriertransformation, 209 inverse, 209 Rechenregeln der, 210
Fouriertransformierte, 209
Galtonsches Brett, 132 Gammafunktion, 95 GauBprozeB, 156 gemeinsam stationare stochasti
sche Prozesse, 157
Haufigkeit absolute, 9 relative, 9
Eigenschaften, 10
Indikatorfunktion, 124 innere Zustande, 189
Kolmogoroffsche Axiome, 14 Kombination, 207 Korrelationskoeffizient, 111 Kovarianz, 111 Kovarianz komplexer Zufallsva
riablen, 119 Kovarianzmatrix, 113 Kreuz-Leist ungsdichtespektrum ge
meinsam stationarer Prozesse, 164
Kreuzkovarianzfunktion, 157 Kreuzkovarianzfunktion gemein
sam ergodischer Prozesse, 162
223
Kreuzkorrelationsfunktion, 157 Kreuzkorrelationsfunktion gemein
sam ergodischer Prozesse, 162
k-tes Moment, 56 k-tes Moment eines ergodischen
Prozesses, 161 k-tes Moment eines zeitdiskreten
Zufallsprozesses, 165 k-tes zentrales Moment, 56 k-tes zentrales Moment eines er
godischen Prozesses, 161
Leistungsdichtespektrum eines stationaren stochastischen Prozesses, 163
Leistungssignale, 162 Leistungsdichtespektrum zeit dis
kreter stationarer Pro-zesse, 165
Markoffkette, 183 absorbierende, 189 homogene, 184
Markoffscher ProzeB, 182 Median, 59 mehrdimensionale Verteil ungsfunk-
tion, 105 Mittelwert, 54 mittlere Ankunftsrate, 179 mittlere Leistung, 155 mittlere Leistung zeitdiskreter Pro
zesse, 165 mittleres Leistungsdichtespektrum
eines zyklostationaren Prozesses, 194
Modalwert, 59 Multiplikationsregel fUr Wahrschein
lichkeiten, 28
224
Normalverteilung, 58,90 k-tes zentrales Moment, 91 charakteristische Funktion,
91 Erwartungswert, 91 Varianz, 91 zweidimensionale, 106
orthogonale stochastische Prozesse, 158
Periodische Signale, 162 Permutation, 206 PoissonprozeB, 177 p-tes Quantil, 59
Q-Funktion,93
Rand,189 Randdichten, 108 Rayleigh-Verteilung, 122
Satz von Bayes ffir Dichten, 110 Scharmittelwert, 154 schwach stationar, 155 u-Algebra, 12
Borelsche, 14 Standardabweichung,57 Standardnormalverteilung, 42
zweidimensionale, 107 stochastische Matrix, 184 stochastische Prozesse
gemeinsam stationare, 157 unkorrelierte, 158
stochastische Vektoren, 184 stochastischer ProzeB, 152
ergodischer, 160 komplexer, 158 normaler, 156 Pfad,152
INDEX
Realisierung, 152 Scharmittelwert, 154 schwach stationarer, 155 stark stationarer, 153 Stationaritat, 156 Zeitmittelwert, 160 zyklostarionarer, 193
TiefpaB, 211
Ubergangsgraph, 186 Ubergangswahrscheinlichkeiten k
ter Stufe, 183
Varianz, 57 Variation, 207 Vereinigung, 6 Verteilungsfunktion, 38
Eigenschaften, 39 Verteilungsfunktion einer mehr
dimensionalen Zufallsvariablen, 105
Wahrscheinlichkeit, 11, 15 a posteriori, 30 a priori, 30 bedingte,27 Konvergenz in, 126
Wahrscheinlichkeitselement, 43 Wahrscheinlichkeitsraum, 15 weiBes GauBsches Rauschen, 174
zeitdiskrete Zufallsprozesse, 165 Autokorrelationsfolge, 165 Autokovarianzfolge, 165 k-tes Moment, 165 mittlere Leistung, 165 stationare, 165
Leistungsdichtespektrum, 165
INDEX
zeitlicher Mittelwert der Reali-sierung x(t), 160
Zeitmittelwert, 160 Zeitparametermenge, 183 Zufallsexperiment, 5
Laplacesches, 11 Zufallsvariable,38
Erwartungswert, 54 absolutes zentrales Moment
k-ter Ordnung, 59 cauchyverteilte, 53 charakteristische Funktion,
60 diskrete, 40 Dispersion, 57 erzeugende Funktion, 62 exponentialverteilte, 89 gau6verteilte, 90 gleichverteilte, 87 komplexe, 118 mehrdimensionale, 104 nichtzentral x~-verteilte, 123 normalverteilte, 90 poissonverteilte, 82 rayleighverteilte, 96, 122 riceverteilte, 123 stetige,40 unabhangige, 111 unkorrelierte, 112 verallgemeinert riceverteilte,
123 verallgemeinert rayleighver
teilte, 122 weibullverteilte,95 zentral x~-verteilte, 122
Zustand, 189 Zustandsmege, 183 zweidimensionale Normalvertei-
lung, 106
225
zweidimensionale Standardnormalverteilung, 107
zyklostarionarer stochastischer Proze6, 193
zyklostationarer Proze6 mittleres Leistungsdichtespek
trum, 194