A Caixa de Edgeworth - dthenriques.orgfree.comdthenriques.orgfree.com/MicroeconomiaII.pdf · David Henriques F.E.U.N.L. Microeconomia II 3 Não há equilíbrio em x, pois apesar das

David Henriques F.E.U.N.L.

Microeconomia II 1

MICROECONOMIA II

1) Equilíbrio Geral e Bem-Estar 1.1) Economia de troca pura; equilíbrio Walrasiano. Equilíbrio Geral: analisa-se como as condições de procura e oferta interagem em diversos mercados para determinar os preços de diversos bens. A Caixa de Edgeworth

- A caixa de Edgeworth pode ser utilizada para análise de troca de 2 bens entre 2 agentes. Exemplos:

2 bens: bananas e cocos. 2 consumidores: Robinson e Friday. Com preferências R ; F e dotações: WR = );( R

cR

b WW ; WF = );( Fc

Fb WW

- Cabazes de consumo: XR = );( c

RbR XX

XF = );( cF

bF XX

bF

bR

bF

bR WWXX

cF

cR

cF

cR WWXX

Montante total de cocos na economia Montante total de bananas na economia dotação inicial

Região de vantagens mútuas, é a região onde ambos os agentes ficam melhor se fizerem trocas entre si (atingem níveis de utilidade superiores).

F

R

w

cFW

cRW

bRW b

FW


Microeconomia II 2

Região de vantagens mútuas 1.ª Propriedade: os agentes só deixam de efectuar trocas quando as curvas de indiferença forem tangentes.

Razão de troca = c

b

PP

Curvas de indiferença R.O. (restrição orçamental) Equilíbrio R.O. de um agente:

Rcc

Rbb

Rcc

Rbb wPwPxPxP <=> R

cRb

c

bRc

Rb

c

b wwPPxx

PP

2.ª Propriedade: x e w estão sobre a restrição orçamental. É equilíbrio dotação

Caso em que não há equilíbrio (diferentes pontos de intersecção entre as C.I. e a R.O.)

dotação

w (dotação inicial)

x

x

W

W

R.O.

R.O.


Microeconomia II 3

Não há equilíbrio em x, pois apesar das curvas de indiferença serem tangentes entre si, estas não são tangentes com a R.O. nesse ponto. (as curvas de indiferença são cortadas nesse ponto).

dotação Alocações Pareto Eficientes

X é eficiente no sentido forte se não existir outra afectação admissível y tal que: Yi ≥ Xi, i e i Yi >i Xi X é eficiente no sentido fraco se não existir outra afectação admissível y tal que: Yi >i Xi, i Logo, conclui-se desde já que um x que é fortemente eficiente é também de certeza fracamente eficiente.

Teorema: Se as preferências forem monotónicas e contínuas então x fortemente eficiente <=> x fracamente eficiente.

Prova (do outro sentido da equivalência) Seja x fracamente eficiente, mostremos que é também fortemente eficiente. Suponhamos que não é, ou seja, y admissível, tal que: Yi ≥ Xi, i e i Yi >i Xi Para chegar a uma contradição basta mostrar que afectação admissível Zi, tal que: Zi >i Xi, i

Robinson Friday

tira-se este vector

xR xF

yF

yR

zR

zF

Adiciona-se o vector retirado ao Friday

W R.O.

x


Microeconomia II 4

ZR = YR + (YF-ZF), sendo (YF-ZF) o vector que se retirou ao Friday e atribuiu ao Robinson; provando-se assim que se as preferências forem monotónicas e contínuas então x fortemente eficiente <=> x fracamente eficiente. - Descrição (características) de uma alocação Pareto eficiente: 1) não há forma de todos os agentes ficarem melhor; 2) não há forma de tornar um agente melhor sem deixar alguém pior; 3) todos os ganhos com trocas foram já esgotados; 4) não há vantagens mútuas. - Movimento de Pareto: X -> Y, quando temos pelo menos um agente estritamente melhor, sem que nenhum esteja pior. - Eficiência à Pareto, condições geométricas para um ponto ser eficiente à Pareto: 1) Curvas de nível serem tangentes; 2) ser ponto interior da Caixa de Edgeworth. Se as curvas não forem tangentes num ponto interior é porque se cruzam, logo, ao

cruzarem-se, geram uma região de vantagens mútuas, logo o ponto onde se cruzam não é eficiente à Pareto.

NOTA: é possível ter equilíbrio de Pareto em pontos de fronteira da caixa de Edgeworth, quando um consumidor consome zero de um bem, onde as curvas de indiferença não são tangentes.

- o conjunto de todos os pontos eficientes à Pareto na caixa de Edgeworth é conhecido como – a CURVA DO CONTRACTO.

Curvas de indiferença do agente A

Curvas de indiferença do agente B

Curva do contracto

Os pontos de eficiência à Pareto não dependem do ponto de dotação, excepto na dimensão da caixa de Edgeworth (a dimensão é determinada pela dotação total dos agentes participantes na economia). Trocas no mercado Assume-se um mercado competitivo; 2 tipos de consumidores: A e B 2 bens: bem 1 e bem 2

A

B


Microeconomia II 5

Afectação admissível: 1111BABA WWXX

2222BABA WWXX

O leiloeiro define os preços, se: XD => P sobe (caso de excesso de procura) XS => P desce (caso de excesso de oferta)

Exemplo:

Neste caso, temos: XS bem 1 -> P1 diminui

XD bem 2 -> P2 aumenta Em equilíbrio:

2

12,12,1 P

PTMSTMS BA

Destas condições é de onde se retira o preço de equilíbrio (P*)

Excesso de Procura = 0 Procura Bruta dos agentes A e B, respectivamente: );( 21

AA XX ; );( 21BB XX .

Procura líquida ou excesso de procura (caso do agente A): 111AAA WXe

Se 01 Ae , está a comprar. Se 01 Ae , está a vender.

(o caso para o agente B é similar)

Para preços arbitrários (P1;P2) não há a garantia que a oferta seja igual à procura, ou seja, o montante que o agente A quer comprar / vender não é necessariamente igual ao montante que o B quer vender / comprar. Isto implica que a procura total de um bem, seja diferente ao montante total desse bem na economia – MERCADO EM DESEQUILÍBRIO. É necessário um reajuste de preços até que a procura iguale a oferta. Caso de Equilíbrio de mercado ou Equilíbrio Walrasiano ou Equilíbrio num mercado competitivo.

A*

B*

W

2

1

PP

A

B


Microeconomia II 6

Equilíbrio Walrasiano: o valor de excesso da procura agregada é zero (procura iguala a oferta em todos os mercados). É um par (X, P) onde X é uma afectação de cabazes,

),;,( Fc

Fb

Rc

Rb XXXXX e

c

b

PPP

tal que: FRFR WWXX

XR maximiza UR s.a. Rc

Rb

c

bRc

Rb

c

b wwPPxx

PP

XF maximiza UF s.a. Fc

Fb

c

bFc

Fb

c

b wwPPxx

PP

- Podem existir diversos equilíbrios Walrasianos, esses equilíbrios são dados pela intersecção das curvas de oferta-preço ou curva de consumo-preço). Exemplo de um contínuo de equilíbrios Walrasianos: Curva de consumo-preço, diz-nos para cada preço, quanto é que o consumidor

quer consumir.

O ponto de equilíbrio é dado também pela intersecção das curvas de consumo-preço. O ponto onde se dá a intersecção das curvas de consumo-preço é também onde as curvas de indiferença de ambos os consumidores são tangentes. R.O.’s, em que cada recta representa um rácio de preços diferente.

Lei de Walras

111BA eee e 222

BA eee

CCPB

CCPA

CCPB

CCPA

A

B


Microeconomia II 7

Em equilíbrio:

011 BA ee 022 BA ee

A lei de Walras diz que: P1.e1 + P2.e2 0 -> o valor do excesso da procura agregada é igual a zero. Prove-se essa equação (a lei de Walras) R.O. do agente A é:

0][][0][][ 22

11

222

111

22

11

22

11 AAAAAAAAAA ePePwxPwxPwPwPxPxP

R.O. do agente B é:

0][][0][][ 22

11

222

111

22

11

22

11 BBBBBBBBBB ePePwxPwxPwPwPxPxP

Então, somando ambas as R.O. dos agentes, ficamos com a seguinte expressão:

00][][ 22

11

222

111 ePePeePeeP BABA c.q.d.

Pela lei de Walras sabemos que desde que o valor do excesso de procura de cada

agente seja igual a zero, então o valor da soma dos excessos de procura dos agentes é também igual a zero.

Lei de Walras é válida para todos os preços desde que seja respeitada a R.O. Se o excesso de procura de um mercado é igual a zero – significa que esse

mercado está em equilíbrio - algebricamente fica: e1 = 0, de acordo com a Lei de Walras, sabemos que P1.e1 + P2.e2 = 0

P1.(0) + P2.e2 = 0 P2.e2 = 0 se P2 > 0, logo e2 = 0 Com este resultado, sabemos que se num grupo de 2 mercados, se um dos mercados está em equilíbrio (ou seja, a soma dos excessos de procura nesse mercado é zero), então de certeza que o 2º mercado também está. Em geral, K mercados, se (K-1) estão em equilíbrio Késimo também em equilíbrio.

Existem (K-1) preços com K bens, pois o que interessa são os preços relativos que se podem definir todos em relação a apenas um bem.

NOTA: Fórmula que se verifica sempre quer para preços de equilíbrio ou não:

PeePeePeeP BABABA ,0)()()( 333

222

111 (para todo o preço)

Equilíbrio e Eficiência

Uma vez atingido o equilíbrio competitivo, os agentes não vão querer mais trocas,

isto pode ser explicado porque os cabazes que o agente A prefere não intersectam os cabazes que o B prefere, isto significa que não há alocações que ambos os agentes prefiram ao equilíbrio de mercado competitivo logo o equilíbrio de mercado competitivo é Pareto eficiente.


Microeconomia II 8

Vejamos a demonstração algébrica (pelo método da contradição): Suponha-se um equilíbrio de mercado que não é Pareto eficiente; então existirá uma

alocação que será melhor para os agentes do que o ponto onde estão agora, ou seja:

1111BABA wwyy ),(),( 2121

AAAA xxyy 2222BABA wwyy ),(),( 2121

BBBB xxyy

Mas por hipótese, assume-se que cada agente no equilíbrio de mercado tem o melhor cabaz inicial possível. Então se ),( 21

AA yy é melhor que ),( 21AA xx é porque terá que

custar mais do que este último.

22

11

22

11

22

11

22

11

BBBB

AAAA

wPwPyPyPwPwPyPyP

Juntando as 2 equações, fica:

)()()()(

)()()()(22

211

122

211

1

222

111

222

111

BABABABA

BABABABA

wwPwwPwwPwwPwwPwwPyyPyyP

O que é uma contradição! Logo, o equilíbrio x é eficiente à Pareto. Ou seja, todos os equilíbrios concorrenciais são Pareto eficientes. Teoremas de Bem-Estar

1º Teorema do Bem-Estar

(x,p) equilíbrio Walrasiano x eficiente (no sentido fraco). Todos os equilíbrios concorrenciais são Pareto eficientes, pois todos os ganhos

com as trocas são esgotados. Prova simples, supondo: preferências convexas e que as superfícies de indiferença

não intersectam os eixos e utilidade diferenciável.

F

F

R

R

UmgUmg

PP

UmgUmg

2

1

1

1

2

1 Eficiência

Qualquer dotação inicial W, desde que

sobre a R.O. vai ter como equilíbrio o ponto x – isto acontece porque se um dos agentes possuir mais de um bem, respeitando a R.O. vai necessariamente possuir menos do outro bem, sendo o equilíbrio sempre o mesmo.

X1

X2

F

R R.O.

x


Microeconomia II 9

O 1º Teorema do Bem-Estar garante apenas que equilíbrios de concorrência perfeita são eficientes, podendo ser ou não socialmente justos.

Equilíbrio concorrencial Eficiência Pareto Assume-se que:

1) Os agentes tendem sempre a maximizar o seu bem-estar (a “mão-invisível” de Adam Smith), caso contrário estamos perante uma externalidade, podendo não se atingir um equilíbrio eficiente à Pareto. (Exemplo: quando um agente A, se preocupa com o consumo do agente B); 2) Agentes comportam-se competitivamente; 3) 1º Teorema do Bem-Estar só é relevante em equilíbrio competitivo, ou seja, quando os agentes são muito pequenos em relação ao mercado. - Sendo um problema que envolve muitas pessoas, é importante para os agentes (que actuam num mercado competitivo) saberem os preços para tomarem as suas decisões de consumo. Para a tomada de decisão de “o que consumir”, a única informação que o agente necessita, são os preços. - Geometricamente, as afectações eficientes são pontos de tangencia das curvas de indiferença dos agentes – porque nesses pontos é impossível criar uma região de vantagens mútuas. - Para o caso genérico, n consumidores e l bens (NOTA: na página 8, está a demonstração para o caso de 2 bens e 2 consumidores, vamos agora generalizar)

Seja (x,p) equilíbrio walrasiano, suponhamos que x não é eficiente no sentido fraco, ou seja, existe uma afectação admissível que:

ii

ii

i YXY , não pode satisfazer a R.O. a preços P, ou seja,

iil

ill

iil

ill

i wwPwPyyPyP ,........ 11111111 -> para o consumidor i Então, para a economia (com todos os consumidores), a inequação fica:

i

n

i

il

n

i

ill

n

i

in

i

il

n

i

ill

n

i

i wwPwPyyPyP

,........11

111

1111

111

11

Mas se Y admissível

n

i

iK

n

i

iK wy

11, qualquer que seja o bem K, o que contradiz a

inequação de cima! (basta fazer a substituição na inequação e facilmente se atinge uma contradição). Sendo as utilidades diferenciáveis a prova seria mais simples (2 bens), eficiência

jiji TMSTMS ,, ,em equilíbrio PTMS i , em que P é a razão de trocas.

A TMS terá de ser igual para todos os agentes, pois TMS = razão de troca. Caso com mais de 2 bens Equilíbrio Eficiência

,kil

ik P

UmgUmg

consumidor i, bem k ,jl

jk

il

ik

UmgUmg

UmgUmg

par de consumidores i,j,

bem K.


Microeconomia II 10


Nem todas as soluções eficientes à Pareto podem ser equilíbrio de mercado.

Exemplo:

X é eficiente à Pareto, mas não é equilíbrio.

As procuras óptimas dos agentes A e B não coincidem.

- agente A, quer o cabaz Y. - agente B, quer o cabaz X.

2º Teorema do Bem-Estar: se todos os agentes tiverem preferências convexas, contínuas e monotónicas então haverá sempre um preço relativo para o qual uma alocação Pareto eficiente é equilíbrio de mercado. x >> o eficiente ),(:, pxpw é equilíbrio para w.

O 2º Teorema de Bem-Estar diz que sob determinadas condições, qualquer ponto eficiente à Pareto pode ser um equilíbrio competitivo. Os problemas de distribuição (equidade) e eficiência podem ser separados. Podemos redistribuir as dotações de bens para determinar quanta riqueza os agentes têm e então usar os preços para indicar a escassez relativa. O Estado pode redistribuir as dotações através de impostos. NOTA: Se o Estado taxar consoante as escolhas do consumidor, então poderão obter-se resultados ineficientes, uma vez que o imposto vai afectar as escolhas marginais dos consumidores.

Para não afectar as escolhas do consumidor, o Estado deve cobrar um imposto lump-sum. Não interessa como são redistribuídas as dotações, o ponto de equilíbrio será determinado pelas forças de mercado, sendo Pareto eficiente.

Se a redistribuição for feita com base na transferência de apenas um bem de um agente para outro, isto vai levar a ineficiência, pois estão a alterar-se as escolhas marginais dos agentes, a forma eficiente é simplesmente o imposto lump-sum.

O 2º Teorema dá a ideia que sem mexer nos preços (ou seja, mantendo o declive da R.O.) podemos redistribuir as dotações que vamos obter sempre o mesmo equilíbrio.

Enquanto as preferências forem convexas, então qualquer ponto eficiente à Pareto pode ser suportado como um equilíbrio competitivo. Primeiramente faz-se a redistribuição, depois é deixar o mercado funcionar. O preço relativo antes e depois da redistribuição de dotações pode ser diferente.

R.O.

x

y

A

Curva de indiferença A

Curva de indiferença B

B


Microeconomia II 11


Dada uma função bem-estar social W(uR,uF) que seja monotónica, um maximizante x do bem-estar social é eficiente. Seja x, solução de Max W(uR(xR);uF(xF)) s.a. xR+xF = r , em que r são os recursos totais da economia, então x é eficiente.

Prova do 3º teorema por contradição: suponhamos que x não é eficiente no sentido fraco então y admissível: i

ii xy , e para algum i, iii xy , (pelo menos

um indivíduo), logo, W(uR(yR);uF(yF)) > W(uR(xR);uF(xF)) -> o que constitui uma contradição! Resumindo: Se x maximiza W(u1,…..,un) s.a rxi , então x é eficiente. 4º Teorema do Bem-Estar

Supondo utilidades côncavas, crescentes, contínuas, com superfície de

indiferença que não toque nos eixos. x eficiente a : x maximiza i

iiuaw s.a i

i rx

Dado x >> o eficiente, existe um vector a de pesos, tal que x maximiza a função bem estar social. -> Se as utilidades individuais forem estritamente côncavas, então a Fronteira de Possibilidades de Utilidade é também estritamente côncava.

A F.P.U. dá-nos os pares (uF, uR) tais que uR = Max ),( Rc

Rb

R xxU s.a

FRcc

Rbb

FF

Fc

Fb

F uxrxrUuxxU

),(),(xR + xF = r

x

declive R

F

aa

F

R uF

uR


Microeconomia II 12

Demonstrações Se as utilidades forem côncavas, qualquer afectação eficiente maximiza

uma soma ponderada (com o vector a de preços) das utilidades individuais. Utilidades côncavas => Curvas de indiferença convexas e FPU côncavas. Pelas condições descritas acima podemos utilizar o 2º Teorema. Pelo 2º Teorema ),(:, pxpw é equilíbrio para w então pxu i

ii .)(

Verificando:

n

ii

n

iii

i

n

ii

n

ii

ii

pxpwxUL

pwpxas

xUMax

11

11

)(

.

)(

Obtendo-se como C.P.O. pxu ii

i )(

A nível de bem-estar social, temos agora o seguinte problema

n

ii

n

ii

ii

rxas

xuaMax

1

1

.

)(..

A soma das procuras deve ser igual ao total de recursos existentes na economia.

n

ii

n

ii

ii rxxuaL

11)( , em que µ é o vector de multiplicadores de Lagrange do

problema. Analisando as C.P.O. do problema, encontramos:

)( ii

i xua

Sabemos que as C.P.O. têm que coincidir, logo: µ = P e iia1

.

No caso da história do Robinson e do Friday, a função de bem-estar social ficaria com a

seguinte expressão: FF

RR

FF

RR UUWUaUaW .1.1..

.Re._

estarbemisodectaUaa

awUUaUaW R

F

R

F

FFF

RR

declive = R

F

F

R

F

R

aa

1

1

, considerando o espaço (UF,UR).

UR

UF

(UR,UF)

Concluindo: Se as utilidades forem côncavas, sendo as CI convexas e contínuas, então existirá sempre um preço relativo P, para o qual uma alocação Pareto eficiente é equilíbrio de mercado (2º T. Bem-Estar). Assim, dado um x eficiente, a sua imagem em utilidade vai ser um ponto da FPU, onde se atinja a iso-bem-estar mais alta, que corresponde ao ponto da FPU cuja derivada é igual

a F

R

aa

(o declive da F.Bem-Estar Social).

F

R

aa

declive


Microeconomia II 13

Provar que a FPU tem de ser côncava se as utilidades forem côncavas. Se a FPU não for côncava não podemos afirmar o 4º Teorema.

_

);(.

),(

FRcc

Rbb

F

Rc

Rb

RR

uxrxruas

xxUMaxu

Queremos provar que 0_

2

_2

R

R

ud

ud , ou seja, que a

FPU é côncava.

'

'

'

'

_

''

''

_

_

_

);(

0

0

0

0

0

...

);(),(

Fc

Rc

Fb

Rb

FRcc

Rbb

F

Fc

Rc

Fb

Rb

Rc

Rb

F

R

FRcc

Rbb

FRc

Rb

R

uu

uu

uxrxru

uuuu

LxL

xLOPC

ud

ud

uxrxruxxuL

Pelo 2º Teorema, x é eficiente sendo as CPO do problema

cF

cR

Fc

Rc

bF

bR

Fb

Rb

cFF

ccRR

c

bFF

bbRR

b

c

b

n

ii

n

iii

i

PP

uu

PP

uu

PuPu

PuPu

LxLxLOPC

wpxpasxUMax

.

.

.

.

.,.

.,.

0

0

0

...

...)(

'

'

'

'

''

''

11

Das C.P.O. tiramos que F

R

é o declive da FPU, considerando o espaço (UR, UF).

µR é o multiplicador de Lagrange do problema do Robinson; µF é o multiplicador de Lagrange do problema do Friday; λ é o multiplicador de Lagrange do problema de maximização das utilidades (FPU) verificado atrás.

O declive da FPU é λ, então para se demonstrar a concavidade da FPU, basta

agora mostrar que 0_

F

ud

d . Como λ depende positivamente de µF e negativamente de

µR, é o mesmo que mostrar 0,0__

F

R

F

F

ud

d

ud

d , significa que a utilidade marginal do


Microeconomia II 14

rendimento do Friday é decrescente com o seu rendimento, ou seja, algebricamente

equivale a escrever 0F

F

dmd .

Vejamos o porquê de tal suceder:

A função inversa (do problema de maximização de utilidade) será a minimização da despesa

F

FF

FFF

FF

F

ud

dmuxu

xPum

_

_

_

)(

.min)(

Daqui tiramos que FF

1 ; logo, mostrar que µF decresce com uF é o mesmo que

mostrar que FF

F

F

porquedud

1,0 .

00

00

00

....min))((.

_

'

'

_

FF

Fc

Fcc

Fb

Fbb

FFF

FF

uuL

uPxL

upxL

OPCdespesadedeproblemadoaLagrangeanxuuxPL

Para determinarmos as 2ªs derivadas destas variáveis que estão definidas

implicitamente na 1ª derivada da função utilidade, utilizemos o teorema da função implícita. (rever Teorema da Função Implícita)

100

0_

_

_

''

'''''

'''''

FF

F

Fc

F

Fb

Fc

Fb

Fc

Fcc

FFcb

F

Fb

Fbc

FFbb

F

u

u

xu

x

uuuuuuuu

Para determinar a variável que nos interessa F

F

u_

, utilizemos a regra de Cramer (rever

método de resolução de sistemas pela regra de Cramer e propriedades de determinantes).

F

F

F

FFx

FF

dmud

mpuMaxu

_

_

É o multiplicador de Lagrange do problema de minimização de despesa.

Ficamos com um sistema de 3 equações e 3 variáveis: FF

cFb xx ,,

Teorema da Função Implícita

Fx

fx

Fy

Fx

Fy

fx JJJJJJ ...)( 1


Microeconomia II 15

0

1

)(.1

0

)(

100

)(

''

'''''

'''''

2''''''

''

'''''

'''''

2

''

''''

''''

2

_

Fc

Fb

Fc

Fcc

Fcb

Fb

Fbc

Fbb

F

Fbc

Fcc

FbbF

Fc

Fb

F

FcF

ccFcb

F

FbF

bcFbb

F

FFc

Fb

Fcc

Fcb

Fbc

Fbb

F

F

F

UUUUUUUU

UUU

UU

UUU

UUU

UUUUUU

u

Para se mostrar que 0_

F

F

u

, basta verificar se numerador e denominador têm o mesmo sinal.

o Numerador é positivo Sabendo que a utilidade do Friday é estritamente côncava, logo a hessiana terá de ser definida negativa. Isto implica que |H1| < 0 e |H2| > 0, ou seja, =>

0)(.,0 2'''''''' Fbc

Fcc

Fbb

Fbb UUUU . A concavidade estrita da função utilidade garante

que o numerador é positivo. o Denominador é positivo

0...2)(

)..(..).(0

'''''''2'''

'''''''''''2'''

''

'''''

'''''

Fb

Fcc

Fc

Fb

Fbc

Fc

Fbb

Fb

Fcc

Fc

Fbc

Fb

Fc

Fb

Fbc

Fc

Fbb

Fc

Fb

Fc

Fcc

Fcb

Fb

Fbc

Fbb

UUUUUUU

UUUUUUUUUUUU

UUUUUU

A garantia de que este determinante é positivo vem do facto de assumirmos que

as CI são convexas e logo 02

2

db

cd . Graficamente observamos:

O Teorema da F. Implícita diz-nos que '

'

c

b

UU

dbdc

, logo

0)(

...2.)(

)(......)(

,)(

..(

3'

'''''''''2'

3'

'''''''''''''2'

2

2

2'

'

''''''

'

''''''

2

2

Fc

Fb

Fcc

Fc

Fb

Fbc

Fbb

Fc

Fc

Fb

Fcc

Fc

Fcb

Fb

Fc

Fb

Fbc

Fbb

Fc

Fc

Fc

FbF

ccFcb

FbF

c

FbF

bcFbb

Fc

UUUUUUUU

UUUUUUUUUUU

dbcd

entãoU

UUUUUU

UUUU

dbcd

Comprovando-se assim que ...0log0tan,0___

dqcud

doeud

dtoporu

FF

F

F

, em

que λ representa o declive da FPU, FR .

NOTA:

2''2''''''

''''''''

)()(.

..Fcb

Fcb

Fcb

Fcb

Fbc

Fbc

Fcb

Fbc

UUUUUUUU

derivadas cruzadas são iguais

b

c

CI

NOTA:

dbdcUU

dbdU F

bcFbb

Fb .''''

'


Microeconomia II 16

1.2) Eficiência de Pareto; monopólio e o core. Monopólio Agente A vai determinar o preço, enquanto o agente B, vai decidir qual a

quantidade a comprar (para o preço estabelecido); Supõe-se que A conhece a curva de procura de B e vai escolher os preços de

modo a ficar o melhor possível; Curva de oferta-preço: representa todas as escolhas óptimas do consumidor para

cada preço – descreve o comportamento da procura de B. Agente A quer maximizar a sua utilidade, então este ponto é dado pela tangencia

entre a curva de indiferença de A (monopolista) e a curva de oferta-preço de B (comportamento concorrencial).

Se a curva de oferta-preço de B cortar a C.I. de A, então vai existir um equilíbrio preferível para A.

Uma vez determinado o ponto de equilíbrio monopolístico (X), determinam-se os preços (declive da recta que une X a W).

Em geral, o equilíbrio monopolístico não é eficiente, isto porque a C.I. de A (do monopolista) não é tangente à C.I. de B, criando uma região de vantagens mútuas.

-> região de vantagens mútuas (logo, não é eficiente à Pareto). O monopolista venderia mais se baixasse o preço, mas teria uma grande perda em termos de vendas inframarginais, daí que opte por vender menos unidades, mas a um preço mais elevado cada uma.

Monopólio de discriminação perfeita (1º grau)

Cada unidade é vendida ao agente que mais a valorizar; Só o agente A é que ganha com as trocas em monopólio com discriminação O equilíbrio do monopólio com discriminação perfeita é eficiente à Pareto.

X -> é o equilíbrio do monopólio com discriminação perfeita

Curva indiferença B

Curva indiferença A

W

C. Oferta-preço de B

X

R.O. com declive 2

1

PP

A Monopolista

B - Comport. concorrencial

W

X

A Monopolista (perfeito)

B - Comport. concorrencial

R.O. com declive 2

1

PP

Curva indiferença A

Curva indiferença B


Microeconomia II 17

Vejamos a resolução analítica de equilíbrios eficientes à Pareto (caso de monopólio com discriminação perfeita, em que o agente B tem utilidade inicial como um dado fixo).

MaxBBAA xxxx },,,{ 2121

),( 21AAA xxU s.a

222

111

21 ),(

wxxwxx

uxxu

BA

BA

BBB

),( 21AAA xxuL λ )()()),(( 222

2111

121 wxxwxxuxxu BABABBB

-> é o multiplicar de Lagrange da restrição da utilidade;

1 -> é o multiplicar de Lagrange da restrição do recurso 1 (de W1);

2 -> é o multiplicar de Lagrange da restrição do recurso 2 (de W2); C.P.O.

No caso, em que ambos os agentes estão a maximizar as suas funções de utilidade, temos que:

2

1

2

1

PP

xU

xU

A

A

A

A

2

1

2

1

PP

xU

xU

B

B

B

B

, então é como se 2

1

2

1

PP

. Os multiplicadores de

Lagrange 1 e 2 são também conhecidos por preço sombra ou preços de eficiência. Estabilidade Social de Equilíbrio. O core. Seja S uma coligação, ou seja, um subconjunto de consumidores S bloqueia uma

afectação x via uma afectação y se: 1º) SxY i

ii

i , 2º)

Si

i

Si

i wy

Core: da economia é o conjunto das afectações não bloqueáveis. São os pontos,

socialmente estáveis, considera as 3 restrições das 3 coligações (no caso de 2 agentes).

2

1

2

1

,

2

1

2

1

,

21

21

B

B

B

B

BXX

A

A

A

A

AXX

xU

xU

TMS

xU

xU

TMS

BB

AA

0

0

0

0

222

111

222

111

B

B

B

B

B

B

A

A

A

A

A

A

xU

xL

xU

xL

xU

xL

xU

xL


Microeconomia II 18

1) apenas pelo F. 3 tipos de coligações possíveis: 2) apenas pelo R. 3) pelos 2 agentes.

1) Apenas pelo F 2) Apenas pelo R Friday é capaz de bloquear todo os R é capaz de bloquear todos os pontos acima da sua curva de indi- pontos abaixo da sua curva de indi- ferença inicial (que passa em w). ferença inicial (que passa em w). 3) Pelos 2 agentes

Curva do contrato: é o conjunto de pontos não bloqueáveis pela coligação.

Pontos de CORE Pontos de core (consideram todas as restrições)

Debreu-Scarf (1963), provaram a conjectura de Edgeworth. Quando aumenta o nº de agentes, o core tende a diminuir. No limite, quando há infinitos agentes (um grande número de agentes), o CORE da economia é o ponto de equilíbrio.

R

F

R

F

w w

R

F

R

F


Microeconomia II 19

1.3) Economias com produção

1 consumidor, 1 empresa, 2 bens (cocos ( c ) e horas de trabalho, que é considerado um bem mal).

MaxTC },{

U s.a função de produção

Assume-se uma função de produção com rendimentos decrescentes à escala, ou seja, o produto marginal do trabalho diminui;

O ponto óptimo é dado pela tangencia entre curvas de indiferença do Robinson e a função de produção; é o ponto onde o produto marginal de uma hora extra de trabalho igual a TMS entre lazer e cocos.

Separando o problema em duas partes, temos: -> Problema da empresa (o produtor) Max = Pc.C-w.T s.a função de produção NOTA: Pc = 1 (por hipótese); w = salário nominal horário TP(w) -> procura de trabalho Resolvendo a equação em ordem a C, fica:

T

C

T*

Função de produção

Curva de indiferença

C*

CP

TP

C

T


Curvas de iso-lucro


Microeconomia II 20

C = + wL -> curvas de iso-lucro -> Problema do consumidor Max U s.a R.O. (restrição orçamental) R.O.: Pc.C = w.T + Em que Pc = 1 (por hipótese) e o lado direito da equação corresponde ao rendimento total do consumidor. NOTA: C.I. são positivamente inclinadas, pois o trabalho é visto como um bem “mal” e cocos são um bem. Em equilíbrio: TC (w) = TP (w), resultando num w* (salário de equilíbrio)

Isolucro e R.O. têm exactamente o mesmo declive.

X é simultaneamente óptimo de consumo e de produção. Desde que: TMS L,C = w e Pmg L = w, logo os declives das C.I. e da função de produção serão os mesmos.

Numa economia de mercado, as empresas olham simplesmente para os preços dos bens para tomar as suas decisões (produzindo mais ou menos output);

C

T TC

CC W

Lucro = *

C.I.

R.O.

R.O.

C.I. C

T

Lucro = *

TC = TP

CC = CP W x



Microeconomia II 21

No caso anterior, em que havia 1 só input e a Pmg L = w que é decrescente à escala então estamos numa situação de rendimentos decrescentes à escala.

Quando a tecnologia é de rendimentos constantes à escala, isto implica que numa empresa competitiva o lucro seja zero, isto porque se o >0 então a empresa quereria expandir o output indefinitivamente; se <0, a empresa preferia produzir zero.

Com uma tecnologia de rendimentos crescentes à escala, a empresa quererá

produzir mais (procurando maximizar o lucro), mas isto será incompatível com a procura pelo output e pela oferta de input dos consumidores. Não há preço para o qual a maximização das utilidades do consumidor iguale a maximização do lucro da empresa.

Com rendimentos crescentes à escala (da f. de produção) a alocação eficiente à Pareto não pode ser obtida num mercado competitivo (em mercados competitivos a longo prazo, as empresas trabalham com rendimentos constantes à escala) – rendimentos crescentes à escala são um exemplo de não convexidade – rever noções de espaço convexo e conexo.

Para preferências e tecnologias convexas, as únicas coisas que os agentes necessitam de saber para tomar decisões eficientes são: 1) os preços; 2) TMS.

C

T

C.I. R.O. = função de produção com rend. constantes à escala.

T*

C*

C

T

C.I.

função de produção com rend. crescentes à escala.

T*

C*


Microeconomia II 22

No caso de preferências não-convexas, para a decisão do equilíbrio são necessários:1) os preços, 2) o declive da f. produção e das curvas de indiferença.

Produção e o 1º Teorema do Bem-Estar Se todas as empresas tiverem um comportamento competitivo, então o equilíbrio

competitivo é Pareto eficiente. Este resultado, tem no entanto alguns impedimentos: a) Não tem nada a ver com distribuição; a maximização do lucro relaciona-se

apenas com eficiência e não justiça! b) Este resultado só é válido para mercados competitivos, ou seja, ficam de fora

empresas em função de produção de rendimentos crescentes à escala; c) O resultado assume que a produção de uma empresa não tem impacto noutras

empresas, ou seja, que não há externalidades de produção; por outro lado, assume-se também que não afecta directamente as possibilidades de consumo dos consumidores, logo, não há externalidades no consumo.

Produção e o 2º Teorema do Bem-Estar Sob determinadas condições (preferências convexas, contínuas e monotónicas),

qualquer ponto eficiente à Pareto pode ser um equilíbrio competitivo, sendo este resultado válido também para economia com produção, desde que a função de produção seja côncava isoquantas convexas, logo, as funções de produção de rendimentos crescentes à escala não são abrangidas por este teorema.

O 2º Teorema do Bem-Estar funciona bem para rendimentos constantes e decrescentes à escala. Em geral só é necessário fazer uma redistribuição das dotações entre os consumidores para suportar diferentes alocações Pareto eficientes. Fronteira de Possibilidades de Produção (F.P.P.)

2 consumidores, 2 empresas e 2 bens.

NOTA: TMT = Taxa Marginal de Transformação TMT tem o mesmo declive que a Restrição Orçamental.

Y

X F.P.P.

x_

y_ B

A w

x declive = TMT = y

x

PP


Microeconomia II 23

Pontos sobre a F.P.P. são pontos eficientes, pois não é possível aumentar a produção de um bem sem diminuir a quantidade produzida do outro bem. A F.P.P. analisa o tradeoff entre 2 outputs possíveis de produzir numa economia. A forma da FPP vai depender das tecnologias utilizadas.

Exemplo: se a tecnologia for de rendimentos constantes à escala, então a F.P.P. vai ser uma função linear.

Suponhamos que Robinson consegue produzir: -> 10 Peixes em 1hora ou -> 20 cocos em 1hora LC – designa o nº de horas a apanhar cocos; LP – designa o nº de horas a apanhar peixes.

R vai produzir 20 LC + 10 LP

Se LTotal = 10, então

C

P

PC

L20L10

10LL

CP

20

10

101020

CL

PL

PC

C

P

é a F.P.P. do Robinson

A F.P.P. dá-nos todas as combinações de output possíveis entre os 2 bens. O declive da F.P.P. é a Taxa Marginal de Transformação (TMT), isto é, diz-nos o quanto o agente tem de abdicar de um bem se decidir consumir mais do outro.

Neste caso,

2

220020)1010(101020

PC

PCPCPC

Ou seja, para aumentar o consumo em 1unidade de peixe, terá de abdicar de 2 unidades de cocos.

Vantagem comparativa

Suponhamos que surge outro trabalhador (Friday) que tem a seguinte tecnologia: 20P em 1hora ou 10C em 1hora

C

P

PC

L10L20

10LL

CP

102010

10

20

PC

CL

PL

P

P

F.P.P. do Friday

5,0

210010)2010(

PC

PCPC


Microeconomia II 24

Isto significa, que para aumentar o consumo em 1unidade de peixe, terá de dispensar 0,5 unidade de coco. Resumindo:

Robinson se despender 1 unidade de peixe, ganha 2 de coco; Friday se despender 1 unidade de peixe, ganha 0,5 de coco.

Conclui-se que o Robinson tem vantagem comparativa em coco e o Friday tem vantagem comparativa em peixe.

Até às 200 unid. de peixe será sempre o Friday a produzir, pois possui vantagem comparativa em peixe, só se a procura for superior a 200 é que o Robinson produz peixe também. O simétrico se passa para os cocos: até aos 200 de cocos, será sempre o Robinson a produzir, só a partir dessa quantidade é que o Friday produz cocos também, isto porque o Robinson tem vantagem comparativa em cocos.

Se o Robinson quisesse comprar peixe ao Friday, estaria disposto a pagar no máximo (limite) 2 unid. de coco, porque é esse o custo de oportunidade que ele próprio tem em produzir peixe. Por outro lado, o Friday está disposto a aceitar no mínimo 0,5 unid. de coco por 1 peixe, visto ser este o seu custo de oportunidade.

O preço relativo vai estar sempre entre os 2 custos de oportunidade dos agentes: 25,0 P .

NOTA: David Ricardo, defendia que os países deveriam importar consoante as vantagens comparativas de cada nação -> especialização de cada país num dado produto. Eficiência à Pareto

- 2 bens: b, c - 2 consumidores: R, F Tecnologia - 2 inputs: L, K

Recursos da economia: __

, KL (são dados) Uma afectação (bR,cR,bF,cF,LB,KB,LC,KC) é eficiente se resolver um problema do tipo:

C C C

P P P

-2

-2 -0,5

-0,5

200

100

200

100 200

200

300

300

),(),(

cc

bb

KLccKLbb


Microeconomia II 25

Max UR(bR,cR)

s.a UF(bF,cF) = _

FU bR + bF = b(Lb, Kb) cR + cF = c (Lc, Kc) T (bR + bF; cR + cF) = 0

Lb + Lc = _L X1 ; X2

Kb + Kc = _K

Pontos de eficiência na produção são aqueles em que há tangencia entre as isoquantas. Curva do contracto Isoquantas

Resolvendo o problema analiticamente:

Em equilíbrio TMSR = TMSF = TMT, isto significa que a taxa pela qual um

agente esteja disposto a substituir um bem por outro deve ser igual à taxa a que se transforma um bem noutro.

Eficiência no consumo: TMSR = TMTF Eficiência na produção: TMSTb=TMSTc Output mix eficiente: TMSi = TMT

-> Empresa que produz b e c usando K e L Consumidores compram bens e vendem inputs

B

C

x

L

K

L

K

w

_K

_L

dbdc

cT

bT

cU

bU

RR

RR

00

00

00

00

...]0),([]),([),(

_

FF

F

F

FF

F

F

RR

R

R

RR

R

R

FRFRFFFFRRR

cT

cU

cL

bT

bU

bL

cT

cU

cL

bT

bU

bL

OPCccbbTucbUcbUL

dbdc

cT

bT

cU

bU

FF

FF


Microeconomia II 26

Problema da empresa )()(),(.),(.

},,,{

cbcbccc

bbb

KLKL

KKrLLwKLcPKLbPMaxccbb

Problema do consumidor ),(

},{

RRR

cb

cbUMaxRR

s.a __

.. KrLwcPbP Rc

Rb

Equilíbrio é um par (afectação, preço) tal que a empresa maximiza o lucro, os consumidores maximizam a utilidade e os mercados esvaziam-se. Ou seja,

),(),(

ccFR

bbFR

KLcccKLbbb

C.P.O para problema da empresa

Então,

C.P.O. para problema do Robinson

TMSR = c

b

PP

TMT = ?

~c (

~b ) = Max c(Lc,Kc)

s.a b( ),__

cc LKLL =~b

L(Lc,Kc,λ) = c(Lc,Kc) – λ[b( ),__

cc LKLL -~b ]

rPmgPK

wPmgPL

rPmgPK

wPmgPL

cKcc

cLcc

bKbb

bLbb

0

0

0

0

cK

cL

c

cc

bK

bL

b

bb

PmgPmg

Pr

Pw

TMST

PmgPmg

Pr

Pw

TMST

b

c

~b

~c

~__

),(0

0)1(0

0)1(0

...

bLKLLbL

PmgPmgKL

PmgPmgLL

OPC

cc

bK

cKc

bL

cLc

TMT

PmgPmg

PmgPmg

bK

cK

bL

cL


Microeconomia II 27

c

b

b

cbL

cL

PP

Pw

Pw

PmgPmg

-> o declive da RO = TMT = TMS (em equilíbrio)

Cada consumidor valoriza bananas em termos de cocos = custo de oportunidade de produzir coco.

Se |TMT| > |TMS|, haveria uma ineficiência, passando a solução por reduzir o nº de bananas produzidas e aumentar cocos.

Se uma economia estiver a operar numa posição onde TMSi TMT, então esse ponto não é Pareto eficiente! Pois nesse ponto a taxa pela qual o agente está disposto a fazer trocas entre os bens 1 e 2 é diferente da taxa a que o bem 1 é transformado no bem 2.

Exemplo: TMS1,2 = 1, significa que o agente está disposto a substituir o bem 1 pelo bem 2 numa base de 1 para 1. TMT1,2 = 2, significa que ceder 1 unidade do bem 1, permite à sociedade produzir 2 unidades do bem 2.

Então o agente vai querer reduzir a quantidade do bem 1 e receber 2 unidades do bem 2 por cada uma que desistir do bem 1; pois o agente valoriza de igual modo o bem 1 e o bem 2, preferindo então ter 2 unidades do bem 2 a 1 unidade do bem 1.

Deste modo, sempre que TMS TMT haverá hipótese de o agente ficar melhor através de trocas que faça, logo só haverá eficiência à Pareto quando TMS = TMT.

Em equilíbrio os preços dos 2 bens dão a TMT e o custo de oportunidade. - A única informação que necessita de ser comunicada entre empresas e consumidores, são os preços dos bens (forma de medir a escassez). - se as empresas adoptarem um comportamento concorrencial e os consumidores escolherem um cabaz de consumo que maximize a sua utilidade então estamos perante uma alocação eficiente à Pareto. Monopsónio

Monopsónio: é um mercado com um único comprador. A análise de um monopsonista é similar à de um monopolista; No estudo de um monopsónio vamos assumir que o comprador (monopsonista)

produz output que será vendido num mercado competitivo – é price maker no input e price taker no output.

Função de produção: f(x) = y Como o monopsonista afecta os preços do input, então ao contratar x unidades,

pagará w(x); em que w(x) é uma função oferta (que é crescente por definição), desta forma, quantas mais unidades de x contratar, mais pagará por cada uma delas.

w(x) -> oferta do input x (trabalho)

w(x)

x


Microeconomia II 28

Problema de maximização do lucro do monopsonista

xxwxfpMaxx

).()(.

p – o preço do output é dado exogenamente (price taker do output) p.f(x) é a receita w(x).x são os os custos Condição de maximização: Prod. Receita Mgx = Cmgx - Como o mercado de output é perfeitamente concorrencial em que o preço de venda é P, então o Produto de Receita Marginal pode ser definido como P. MRPx = Rmgx * Produto marginal de x = P.Prod.Mgx (é a variação na receita, proveniente de uma variação unitária no input). (NOTA: neste caso, Rmgx é P, pois estamos numa situação de concorrência perfeita.) - Qual o Cmgx? Custos = w(x).x

xxwwMC

xCwxxwC x

(NOTA: rever conceitos básicos de

derivação.)

Interpretação da expressão do custo marginal: quando a empresa aumenta o emprego do factor x terá de pagar w x a mais pelo factor, mas por outro lado há o factor de aumento do preço do input (devido ao aumento da procura visto que o monopsonista fez variar o preço) em xw.

Podemos também escrever o Cmgx a depender da elasticidade de oferta do factor, ficando:

]11[]1[

wxw

wxwCmg x , em que designa a elasticidade da oferta,

sendo sempre maior que zero, visto a oferta ser uma função positivamente inclinada. [NOTA: , quando a curva da oferta é perfeitamente elástica, é o caso de um mercado de concorrência perfeita.] -> Vejamos agora o caso, em que o monopsonista enfrenta uma curva de oferta do tipo:

W(x) = a + bx Então o custo total será dado pela expressão: C(x) = w(x).x = ax + bx2 Sendo Cmgx = bxax

C 2

A solução do problema do monopsonista é dada pela intersecção do Cmgx e o valor do produto marginal. Graficamente verifica-se:

w(x)

x

W(x) = a + b.x (oferta invertida)

X*

W* Procura = P. Prd Mgx

Cmgx = a + 2b.x


Microeconomia II 29

A intersecção do Cmgx com a procura define a quantidade de x* contratada. Uma vez definida x*, o preço é dado na curva de oferta. Será empregado um menor número de x* do que no mercado competitivo. O monopsonista opera a um nível que é ineficiente à Pareto! Exemplo: impacto do salário mínimo num mercado monopsonista vs num mercado competitivo. emprego diminui => aumenta desemprego. emprego aumentou com a entrada de um

salário mínimo.

Impondo um salário mínimo num monopsónio é possível que este aumente o emprego (ver no gráfico do mercado monopsonista quando o governo define w como

sendo cw_

). Quando o governo define o salário mínimo, o monopsonista percebe que

poderá contratar trabalhadores a um salário constante cw_

(visto que o número de trabalhadores contratados já não influencia o salário, ou seja, o Cmg L), graficamente o novo custo marginal da empresa monopsonista será (supondo um w

abaixo do

equilíbrio).

CmgL0 antes da implementação do

salário mínimo

CmgL1, depois da implementação

do salário mínimo

A implementação do salário mínimo torna o CmgL constante até^L .

- Caso em que a empresa é competitiva no output e monopsonista no mercado de input.

w(x)

L

Procura

oferta

w(x)

Procura = P.Pmg L

oferta

L

Cmg L Mercado

competitivo Mercado

Monopsonista

Lm w Lm Lc Lc

cw_

wm

wc

_w

_w -> designa o salário mínimo

L

w

Procura = P.Pmg L

oferta

Cmg L0

L* ^L

Cmg L1


Microeconomia II 30

Problema de maximização do lucro desta empresa:

]11)[(

]1)[()()()(.0)().()(.0

).()(.

''''

xw

dxdw

wxxwxxwxwxfpxwxxwxfp

x

xxwxfpMaxx

No caso de monopsónio, a elasticidade oferta não é infinita (só em concorrência

perfeita é que ), logo ]11)[()(. '

xwxfp em que w(x) < w(x) ]11[

.

1.4) Funções de bem-estar social Axiomas sobre a relação de preferências 1) completa: assume-se que quaisquer 2 cabazes podem ser comparados, isto é,

entre qualquer cabaz X e qualquer cabaz Y podem-se estabelecer relações (x1,x2) (y1,y2) ou (y1,y2) (x1,x2) ou (x1,x2) ~ (y1,y2).

2) reflexiva: assume-se que qualquer cabaz é pelo menos tão bom como ele próprio: (x1,x2) (x1,x2), como consequência (x1,x2) ~ (x1,x2).

3) transitividade: se (x1,x2) (y1,y2) e (y1,y2) (z1,z2) então assume-se que (x1,x2) (z1,z2).

- Como se pretende fazer uma escolha do melhor cabaz entre X, Y ou Z o axioma da transitividade é necessário que se verifique, caso contrário poderá ser impossível encontrar o melhor cabaz para as preferências de um consumidor. Função de bem-estar social

W(ui(x), … ,un(x)), 0

iuW , ou seja, se a utilidade de um agente aumentar, temos a

certeza que a função de bem-estar social não vai diminuir (mantendo todas as outras utilidade constantes). Exemplos de funções de utilidade:

W(u1, …,un) =

n

iiu

1

W(u1, …,un) =

n

iiii aua

10, , utilidades ponderadas, sendo ai os ponderadores

W(u1, …,un) = },...,min{ 1 nuu , quando o bem-estar social é avaliado pelo individuo que tem a menor das utilidades. Funções de bem-estar social (características)

- Preferências não são bem-comportadas, pois não respeitam a transitividade. - Não existindo transitividade, não haverá uma “melhor” resposta (escolha) entre as alternativas X, Y e Z – a escolha da sociedade vai depender de qual o critério de decisão, desta forma consoante o critério de decisão utilizado poderão obter-se diferentes alternativas e a ordem de preferência ser manipulada;


Microeconomia II 31

Exemplo: Se X Y para 75 pessoas e YX para 25 pessoas Preferências sociais não completas se o critério de decisão for XY se Xi i Yi, i Maximização do Bem-Estar n consumidores; k bens; x = (x1,x2,x3,…,xn)

X1 = montante total de x1 na economia. … Xk = montante total de xk na economia. O problema de maximização do bem-estar social, fica: Max ))(),...,(( 1 xuxuW n s.a Propriedades do máximo do bem-estar social

Alocação do máximo do bem-estar, deve ser Pareto eficiente. Se não for então é possível encontrar um outro ponto em que pelo menos um agente fique estritamente melhor e os restantes agentes pelo menos tão bem quanto antes.

Exemplo do caso de 2 agentes:

Qualquer ponto sobre a FPU, é eficiente à Pareto. Qualquer ponto da FPU pode ser máximo dependendo da Função de utilidade social. FPU -> Fronteira de Possibilidades de Utilidade

Asssim qualquer ponto que maximize uma função bem-estar social é eficiente à Pareto. E qualquer alocação eficiente à Pareto, é um máximo para alguma função de bem-estar social.

Qualquer máximo de bem-estar é eficiente à Pareto e qualquer alocação eficiente à Pareto é um máximo de bem-estar (assumindo sempre que não há externalidades no consumo).

Todos os equilíbrios competitivos são eficientes à Pareto e sob determinadas condições de convexidade, todos os pontos Pareto eficientes são equilíbrios competitivos (ver 2º Teorema do Bem-Estar, pg. 10). Logo, todos os máximos de bem-estar são equilíbrios competitivos e todos os equilíbrios competitivos são máximos para alguma função de bem-estar.

kki

i

Xx

Xx...

11

u1

u2

u*1

u*2

Curvas de iso-bem-estar 2

Curvas de iso-bem-estar 1


Microeconomia II 32

- No entanto, nem todos os pontos eficientes à Pareto são justos (distribuição não é justa). Mesmo com alocações iniciais simétricas, métodos de troca arbitrários podem não levar a uma alocação justa; só o mercado garante uma alocação justa!

Um equilíbrio competitivo com uma divisão igualitária das dotações (entre 2 agentes) garante uma alocação justa. Suponhamos que A prefere o cabaz B, então: ),(),( 2121

BBAAA xxxx , mas se A prefere o cabaz B e o seu cabaz é já melhor que podia adquirir aos preços (p1,p2), significa que B custa mais que o cabaz A, ou seja, 2

21

12

21

1 .... BBAA XPXPWPWP , o que é uma contradição, pois A e B começaram com iguais dotações! 1) Externalidades e Bens públicos 2.1) Externalidades no consumo e na produção

Externalidade no consumo: acontece quando um consumidor se preocupa com o consumo de outro agente. a) Externalidades negativas no consumo: poluição dos automóveis junto do

local onde se reside; estar junto a um fumador no restaurante. b) Externalidades positivas no consumo: quando por exemplo o meu vizinho

faz um jardim que fica ao lado da minha casa (melhoramento paisagístico e ambiental).

Externalidade na produção: surge quando as possibilidades de produção de uma empresa são influenciadas pela escolha da outra empresa / consumidor. a) Externalidade positiva na produção: quando a produção de uma empresa

afecta positivamente a produção de outra empresa. b) Externalidade negativa na produção: quando a produção de uma empresa,

afecta negativamente a produção de outra empresa (caso da poluição). - Até aqui tínhamos sempre assumido que os mercados em concorrência perfeita seriam capazes de atingir eficiência à Pareto quando não estavam presentes externalidades; dado que na presença destas, nada nos garante que o equilíbrio de mercado seja Pareto eficiente. Fumadores e não fumadores (um exemplo)

Indivíduos A e B partilham o mesmo espaço; 2 bens: dinheiro (que é um bem para ambos os agentes) e fumo (que é

bem apenas para o agente A, sendo um “mal” para o agente B). O agente B quer dinheiro e ar limpo. Dado que o fumo é um bem que é

consumido pelos 2 agentes simultaneamente, o agente B pode consumir mais “ar puro” e ficar melhor quando A reduz o consumo de bem “fumo”.

Assume-se que ambos têm a mesma quantia de dinheiro.

Na dotação w, o agente B tem direito a ar limpo.

Na dotação w’ , o agente A pode fumar o que quiser.

w’ fumo

w

B

A dinheiro

x’

x C.I. B

C.I. A


Microeconomia II 33

A dotação de partida influencia o equilíbrio a que se vai chegar, por outro lado a dotação inicial vai depender de como o direito está definido.

o O direito pode ser o de A fumar o que quiser ou o B ter o direito a todo o ar limpo ou então haver o direito de fumar até um determinado montante.

Se um agente tem o direito a ar limpo, significa que pode consumir todo o ar limpo ou pode vender esse direito (total ou parcialmente).

Caso em que B tem direito a ar limpo: dotação inicial é o ponto w, e A não tem

o direito a fumar. Mas se B assim o entender poderá trocar uma parte do seu direito por outro bem (neste caso, por dinheiro). Uma alocação eficiente à Pareto é aquela em que nenhum consumidor poderá ficar melhor, sem piorar o estado de outro agente sendo um ponto caracterizado pelas condições de tangencia entre C.I. dos 2 agentes.

Caso em que A tem direito a fumar, dotação w’, não é um ponto eficiente à Pareto, logo os agentes irão efectuar trocas entre si até atingir a condição de tangencia entre C.I. (corresponde ao ponto x’).

- Tanto x como x’ são pontos de eficiência à Pareto, apenas diferem porque há dotações iniciais diferentes. Apesar de x e x’ serem ambos eficientes e igualmente satisfatórios: o agente A está melhor em x’ e B está melhor em x. - Deixando o mercado funcionar, os agentes acabam por atingir um equilíbrio eficiente à Pareto – um ponto na curva do contrato, a posição exacta na curva dependerá da dotação inicial que é definida pelos direitos de propriedade. O preço relativo de um bem em termos de outro é o de equilíbrio quando a oferta iguala a procura. Assim, tal como nos casos standard, os preços competitivos medem a TMS1,2. - Desde que os direitos estejam bem definidos, o mercado pode resolver o problema da externalidade. O único problema surge quando os direitos de propriedade não estão bem definidos.

o Exemplo: o agente A pensa que tem o direito a fumar e o B pensa que tem o direito a ar limpo – surgem dificuldades de negociar no mercado. Nos casos em que os direitos de propriedade não estão bem definidos os equilíbrios são ineficientes, havendo forma de ambas as partes ficarem melhor.

Preferências quasi-lineares e o Teorema de Coase Enquanto os direitos de propriedade estiverem bem definidos, as trocas entre os

agentes resultam numa alocação eficiente da externalidade. Em geral, o montante de externalidade que é gerado na solução eficiente vai depender da definição dos direitos de propriedade.

Mas há casos especiais em que o equilíbrio é independente da definição dos direitos de propriedade, é o caso em que os agentes têm preferências quasi-lineares. Para estas preferências qualquer solução eficiente gerará um mesmo montante de externalidade (entenda-se como externalidade o bem que prejudica o consumo de outro agente).


Microeconomia II 34

Exemplo do fumo:

As C.I. são deslocações na horizontal de ambos os agentes, neste caso, o equilíbrio eficiente à Pareto gerará sempre o mesmo montante de fumo, independentemente da dotação inicial; apesar disso vai ser diferente o montante de dinheiro possuído por cada agente. - Teorema de Coase: diz que sob determinadas condições (preferências serem quasi-lineares) o montante de bem / externalidade é independente da distribuição dos direitos de propriedade. Desta forma, uma realocação da dotação inicial não afecta a quantidade de externalidade gerada. Teorema de Coase é válido se não existir “efeito rendimento”, isto porque a procura do bem que gera externalidade não depende do rendimento, daí que a realocação das dotações não altere a quantidade óptima do bem causador da externalidade, apenas afecta a distribuição da riqueza. O Teorema de Coase é aplicável tanto em externalidades na produção como no consumo. F. utilidade do fumador

UF = v(f) + d'

1v

TMS F

'

1)( ~

_~

vv NFNF TMSdffU

Curva do contracto

TMSF = TMSNF (...))(')(')('

1)('

1 _~

_~

fvffv

ffvfvf = a (constante)

fumo B

A dinheiro

Curva do contracto

C.I. A

C.I. B

w’

Não fumador

Fumador dinheiro

f_

x’ x

w


Microeconomia II 35

Externalidade na produção 2 empresas: S - produtora de aço, na quantidade s, mas também produz uma quantidade de poluição x; F – empresa do pescador que produz a quantidade de peixe de f e é afectada pela produção de x.

),(

),(

xfxs

f

S

C

C

Neste caso, o aumento da quantidade de poluição aumenta os custos da empresa F, mas diminui os custos da metalúrgica.

0

xCS 0

xC f

Problema de maximização do lucro da metalúrgica

),(.},{

xsCsp sssxs

Max , em que escolhe s e x.

Problema de maximização do lucro do pescador

),(.}{

xfCfp ffff

Max , em que escolhe f.

- Vamos considerar que a metalúrgica pode produzir a poluição que quiser (escolhendo esta, o nível de x), enquanto o pescador toma o (x) nível de poluição como algo dado (que está fora do controlo).

C.P.O. para a metalúrgica (assumindo-se um mercado concorrencial no output) Rmg = Cmg, num mercado perfeitamente competitivo P = Cmg (em geral)

xC

xC

x

sCP

ssss

ss

s

000

0

É o BMx (benefício marginal de a metalúrgica produzir mais poluição), ou seja, por cada unidade de x produzida, a metalúrgica reduz os custos, logo o Cmgx metalúrgica é cada vez menor. C.P.O. para o pescador

O pescador preocupa-se com a emissão de poluição mas não tem controlo sobre esta, enquanto a metalúrgica apenas

se preocupa com o seu lucro não tem em conta o custo que está a causar ao pescador. - O aumento do custo de pescar associado ao aumento de poluição é parte do custo social de produzir aço, sendo este ignorado pela metalúrgica. Em geral, espera-se que a metalúrgica produza uma poluição acima do que é socialmente desejável, visto que ela ignora os custos que causa a outros agentes.

Função de custo da empresa metalúrgica (S) Função de custo da empresa F

fC

Pf

ff

f

0


Microeconomia II 36

Representação gráfica: -> Uma das formas de atingir o socialmente óptimo é fundindo as 2 empresas. Se passa a haver apenas 1 empresa, deixa de haver necessidade, visto que a externalidade só existe quando uma empresa afecta a produção de outra. Diz-se que a externalidade foi internalizada. Depois da fusão, o problema da coligação é:

-> significa que a empresa conjunta tem em conta o efeito

da poluição no custo marginal de produzir peixe e produzir aço. Neste caso é tido em conta o custo social de produzir mais poluição. -> Quando a metalúrgica actuava sozinha, o montante de x produzido, era determinado por:

0),(0 ** xsCmg

xC

ss

-> Quando há coligação, a condição de óptimo (da quantidade de externalidade) é:

00

fsfs CmgCmg

xC

xC

Para se atingir um nível de eficiência à Pareto é necessário minimizar o custo

social de poluir, deste modo, a soma dos Cmg das 2 empresas deve ser igual a zero. No

Preço

Poluição emitida

Cmgx xC f

^x Montante socialmente optimo

x* Óptimo privado

-Cmgs = Cmgf

Bmgx = -Cmgx = x

Cs

xC

xC

x

fC

pf

sc

ps

OPC

xfcxscfpsp

fs

ff

ss

fsfsxfs

Max

00

0

0

...

),(),(..},,{


Microeconomia II 37

nível de poluição eficiente, o montante que a empresa de aço esta disposta a pagar por uma unidade adicional deve ser igual ao custo social gerado por essa poluição extra. Problema de maximização do lucro conjunto: s.a

0][

x

Cx

C fm

Bmgx = -x

C f

, no caso em que ambas as empresas têm o mesmo peso no , o 1

0][

0

fC

p

mCP

mCp

ff

mm

mm

ou seja, BMx = CMx, neste caso 1

ou seja, BMx = xCmg

onde m

f

aa

, é o rácio dos pesos dos 2 agentes.

Interpretação das condições – IMPOSTO DE PIGOU

Uma das interpretações que sugere a correcção da perda de eficiência gerada pela

externalidade é a de que a empresa metalúrgica enfrenta o preço errado para a poluição, visto que não tem em conta o impacto sobre o pescador. A situação pode ser corrigida fazendo com que o poluidor “sinta” o verdadeiro custo de poluir, por exemplo através de um imposto t – Imposto de Pigou.

Implementando um imposto o problema da metalúrgica fica:

txxscsp ssxs

Max ),(.},{

(como se houvesse um acréscimo nos custos)

= BMx

ff

mxfm

Max_

},,{

0

},,{

xC

xC

Max

fm

fmxfm

0)()(

},,{

xC

ax

Ca

aaMax

ff

mm

ffmmxfm

xCtt

xC

x

sCp

s

OPC

ss

ss

00

00

..


Microeconomia II 38

Então, t = x

C f

= imposto de Pigou

No entanto, há um problema em obter a informação verídica para avaliar os custos privados do pescador. O pescador poderá dizer que tem mais custos do que na realidade, a fim de a outra empresa diminuir o x produzido (quanto menor for x, melhor será para o pescador). O pescador individualmente fica melhor quando x está abaixo do óptimo social e a metalúrgica fica melhor individualmente quando x está acima do óptimo social. - Outra interpretação é que para resolver o problema da obtenção da informação verídica se vai criar um mercado para a poluição (a externalidade). O problema da externalidade é que o poluidor enfrenta um preço zero para a poluição que produz, do ponto de vista social a poluição te um preço negativo. - Para a criação de um mercado para a externalidade é necessário saber qual a dotação inicial, ou seja, quem tem o direito legal (a ter água limpa ou poder-se poluir). -> Caso em que o pescador tem direito a água limpa O pescador pode então desfrutar do seu direito ou vende-lo (parcial ou totalmente). Problema de maximização do lucro da metalúrgica

00

00

...),(.

rx

Cx

mCp

m

OPCrxxmcmpMax

mm

mm

m

mmm

Em que r é o preço a pagar por cada unidade de poluição desejada pela metalúrgica. Problema de maximização do lucro do pescador

00

00

...),(.

rx

Cx

fC

pf

OPCrxxfcfpMax

ff

ff

f

fff

(é como se o pescador estivesse a vender o direito que tem a água limpa)

Ou seja, BMx = r = Cmgx = x

C f

, esta condição diz-nos que o custo marginal da

metalúrgica reduzir a poluição deve ser igual ao benefício marginal para o pescador da redução da poluição.

-> Caso em que a metalúrgica tem direito a poluir até _x .

Problema de maximização do lucro da metalúrgica


Microeconomia II 39

xC

qqx

Cx

mCp

m

OPCxxqxmcmpMax

mmm

mm

m

mmm

00

00

...)(),(.

_

A metalúrgica vai ter de ser compensada por poluir menos, enquanto o pescador terá de pagar para ter água limpa; a água limpa pode ser vista como um input para o pescador. Problema de maximização do lucro do pescador

xC

qqx

Cx

fC

pf

OPC

xxqxfcfpMax

fff

ff

f

fff

00

00

...

)(),(._

xC

qx

C fm

-> Condição de optimalidade

- No caso de externalidades na produção, o óptimo é independente de quem possui os direitos de propriedade à partida, só é afectada a distribuição dos lucros. Isto acontece porque as condições de optimalidade são as mesmas, independentemente de quem possui os direitos – Teorema de Coase. Funções lucro são quasi-lineares. Pescador: ),(. xffff cfp

Metalúrgica: ),(. xmmmm cmp

Enquanto existir diferença entre MBx e MCx é possível efectuar uma melhoria de Kaldor!

x* é melhor que outro nível de x, se estivermos em x0 podemos ter um movimento no sentido de Kaldor. Só no ponto x* é que é impossível alguém ganhar depois de ter compensado os outros dos prejuízos.

x

Preço

xCMB m

x

x

MCx x

Cf

x* x0


Microeconomia II 40

- Reafectação de eficiência é uma melhoria no sentido Kaldor, se os que ganham conseguem compensar os que perdem e ainda ficam melhor. Parte-se sempre do princípio que estas reafectações são feitas sem custos de negociação. Sinais de mercado

- Se as acções de uma empresa afectam a outra e estas ficam melhor se fizerem uma coligação, atingem lucros conjuntos mais elevados do que a soma individual, porque a externalidade é tida em conta pela empresa. - Quando o lucro conjunto das empresas é superior à soma dos lucros individuais, isso é um sinal de mercado para as empresas se fundirem. Tragédia dos comuns

- Se os direitos de propriedade não estiverem bem definidos, o equilíbrio das interacções económicas será ineficiente. - Vamos considerar o caso em que existe 1 terreno que pode ser explorado de 2 mecanismos diferentes: 1) solução de propriedade privada; 2) solução de livre acesso aos aldeãos. Custo de 1 vaca -> a A quantidade de leite produzido por cada vaca, depende do nº de vacas a pastar

no campo -> f(c) [função produção de leite em função do nº de vacas c] F(c)/c = é o nº de litros de leite que cada vaca produz em média.

Problema: qual o nº de vacas no campo que maximiza o total de riqueza.

aPmgacfc

cacf

c

cMax

0)('0

.)(

NOTA: asumiu-se que o preço do output é 1.

Enquanto a produtividade marginal de mais 1 vaca for superior ao seu preço de

aquisição (a) então vale a pena comprar mais 1 vaca. Quando a Produtividade marginal for igual ao custo de aquisição de mais 1 vaca, então o proprietário deixa de adquirir mais vacas -> solução para 1 só proprietário, que decide o nº de vacas que quer.

Mas no caso de exploração comum de um terreno, existem c vacas a pastar no

terreno, quando se adiciona mais 1 vaca o output total fica f(c+1) e o nº total de vacas é (c+1), então a receita gerada por cada vaca em média é F(c+1)/c+1 .

Enquanto (F(c+1)/c+1) > a é rentável adquirir mais vacas, visto que o valor do output excede o seu custo. Os aldeãos vão comprar vacas até que

0)()( ^^

^

^

cacfac

cf . A regra de decisão de um indivíduo para adquirir uma vaca

(para pastar em terras comuns) é a de ver se o valor accf

)( , no entanto, a entrada de

xx MCMB x

m

fx MC

aa

MB

OPC

...s.a ffmm aa

ff

mMax_

Max


Microeconomia II 41

mais uma vaca para pasto leva à diminuição de média de output por vaca, ou seja, reduz o output de todas as outras vacas. Visto que cada um dos agentes não terá o impacto do custo social numa terra comum, a tendência será esta ser sobre-explorada (o equilíbrio ser superior ao socialmente óptimo).

- Na propriedade privada não há externalidade, porque é só um indivíduo que controla o nº de vacas a pastar no campo. Ineficiências resultam apenas de situações em que não há forma de excluir os outros de usarem algo. - Outra solução é a implementação de um sistema de regras que poderia levar a um equilíbrio mais eficiente (neste caso a imposição de um limite ao nº de vacas a frequentar o campo). Em situações em que a lei não está bem definida ou é ambígua, a tragédia dos comuns pode surgir facilmente, sendo a tendência geral de uma propriedade comum ser sobre-utilizada. 2.3) Provisão de bens públicos Bens Públicos: são bens que podem ser consumidos por diversos agentes simultaneamente: 1) não existe rivalidade no consumo; 2) impossibilidade de exclusão. - Muitos dos bens públicos são fornecidos pelo Estado, alguns exemplos:

Ruas e passeios a que todos os agentes têm acesso; Defesa nacional em que todo o país é protegido.

- Bens públicos são um exemplo de uma externalidade particular de consumo, em que todos consomem o mesmo montante de bem. Quando fornecer um bem público? Na abordagem desta questão, vamos analisar um caso em que 2 agentes (que

habitam o mesmo apartamento) estão a decidir comprar ou não uma TV. A TV pode ser vista como um bem público para os 2 agentes. Valerá a pena ou não adquirir uma TV?

w1 e w2 são as dotações iniciais dos agentes (a sua riqueza); g1 e g2 são as contribuições de cada agente para a compra da TV; x1 e x2 é o quanto sobra a cada agente depois de adquirir a TV.

AP MP

Output de equilíbrio

Output eficiente

a = custo de 1 vaca

MP -> Prod. mg AP -> Produção

média

Dado que o produto médio por vaca está a diminuir, isso significa que o produto marginal está sempre abaixo do Produto médio => o n.º de vacas ( c ) em que o Pmg iguala a é inferior ao nº de vacas quando AP = a.

O campo está a ser sobre-utilizado se não se implantarem restrições ao seu uso.


Microeconomia II 42

As R.O. ficam: R.O.1: x1 + g1 = w1 custo da TV = c, logo g1 + g2 c -> representa a tecnolo- R.O.2: x2 + g2 = w2 gia, pela qual pode ser adquirida a TV.

A utilidade dos agentes vai depender do bem público (G) e quanto sobra de riqueza (x) para consumo privado.

u1(x1,G), em que G = 0, caso em que não adquire a TV. Ou G = 1, caso em que se adquire a TV u2 (x2, G) em que G = 0 ou G = 1

O G (montante de bem público) será sempre igual para ambos, visto que é impossível discriminar o consumo. A valorização da TV poderá ser muito diferente para cada um, dependendo da sua função utilidade. É necessário saber qual o preço de reserva (o preço r tal que, o agente fica indiferente entre pagar r e ter a TV ou ter o dinheiro r e não ter TV) que cada pessoa está disposta a dar.

Sejam r1 e r2 os preços de reserva dos agentes 1 e 2.

Então u1(w1-r1, 1) = u1(w1, 0), a equação descreve o montante máximo que a pessoa 1 está disposta a pagar para ter a TV.

u2(w2-r2, 1) = u2(w2, 0), para o agente 2. Em geral, o r (preço de reserva) vai depender da riqueza possuída pelo agente. No

problema da aquisição da TV só há 2 soluções possíveis: 1) A TV não é adquirida, em que a alocação é (w1, w2, 0), ou seja, a riqueza de

cada um é gasta apenas em consumo privado; 2) A TV é comprada, e a situação é (x1, x2, 1) em que x1 = w1 – g1 e x2 = w2 – g2.

A TV só será adquirida quando o esquema de pagamento (g1, g2) for melhor para as

2 pessoas do que se não tivessem TV, ou seja, é necessário que haja um movimento de Pareto. Será um movimento de Pareto, a aquisição da TV, se: u1(w1,0) < u1(x1, 1) u2(w2,0) < u2(x2, 1) Então, u1(w1 - r1,1) = u1(w1, 0) < u1(x1,1) = u1(w1 – g1, 1). Sabendo que mais consumo privado aumenta a utilidade, podemos concluir que: w1 – r1 < w1 – g1 e w2 – r2 < w2 – g2 r1 > g1 e r2 > g2 (são condições necessárias para adquirir um bem). São condições que se têm de verificar para uma alocação (w1, w2, 0) seja ineficiente à Pareto, ou seja, o quanto cada pessoa irá contribuir para a compra da TV terá de ser menor que o seu preço de reserva, caso contrário não se garante a compra da TV. - Se o consumidor adquire o bem por menos que a sua valorização máxima para pagar, então a aquisição traz benefícios para o consumidor. Verificando r1 > g1 e r2 > g2, então r1 + r2 > g1 + g2 = c -> é condição suficiente para adquirir o bem, para ser um movimento de Pareto. A soma das vontades de pagar (preços de reserva) devem exceder o custo do bem a adquirir. r1 + r2 c

Conclui-se que a o pagamento do bem público tem de obedecer às seguintes condições: (r1 g1 e r2 g2) e g1 + g2 = c


Microeconomia II 43

NOTAS: 1) se a soma dos preços de reserva exceder o custo da TV então existirá sempre um esquema de

pagamento tal que, ambas as pessoas ficarão melhor se possuírem o bem público. 2) Em geral, a provisão do bem público vai depender da distribuição da riqueza, visto que o preço de

reserva de cada agente é condicionado pela sua riqueza. É possível que para algumas distribuições de riqueza r1 + r2 > c e para outras r1 + r2 < c.

Caso especial de preferência quasi-linear Em geral a provisão do bem público depende da distribuição da riqueza (da dotação

inicial). Mas há casos em que a provisão do bem público é independente da distribuição da riqueza – caso quando os agentes têm preferências quasi-lineares.

Significa que as funções terão o seguinte aspecto: u1(x1, G) = x1 + v1(G) u2(x2, G) = x2 + v2(G) 0 -> não se adquire o bem público Em que G = 1 -> adquire-se o bem público u1(w1-r1,1) = w1 – r1 + v1(1) = u1(w1,0) = w1 + 0 u2(w2-r2,1) = w2 – r2 + v2(1) = u2(w1,0) = w2 + 0

Assumindo que v1(0) = v2(0) = 0 w1 – r1 + v1(1) = w1 r1 = v1(1) => w2 – r2 + v2(1) = w2 r2 = v2(1)

Nestas expressões, verificamos que os preços de reserva não dependem do rendimento inicial, a provisão óptima do bem público é independente da riqueza – na realidade existem 2 restrições: r1 w1 e r2 w2, ou seja, o agente tem que ter a riqueza suficiente para pagar o bem, daí que o seu preço de reserva, no máximo só pode ser igual à sua riqueza. Provisão privada e bem público

Como já visto, a aquisição do bem público será eficiente à Pareto se a soma das

vontades de pagar dos agentes exceder o custo do bem púlico – isto resolve o problema de eficiência; no entanto a forma como o bem público vai ser pago depende do método adoptado de tomar decisões conjuntas.

Se ambos os agentes revelarem a sua verdadeira vontade de pagar, facilmente se chegará a um acordo. Mas sob determinadas circunstâncias, os agentes podem não ter incentivos a revelarem o quando estão dispostos a pagar na realidade.

Exemplo: 2 agentes que valorizam um bem público num valor superior ao seu custo, que

algebricamente corresponde a escrever: r1 > c e r2 > c


Microeconomia II 44

No entanto o agente 1 pode dizer que valoriza 0 o bem público para que seja o agente 2 a pagar a totalidade do bem público. Mas o agente 2 pode pensar da mesma forma! Este é o problema vulgarmente conhecido de Free Riding: em que cada pessoa espera que seja o outro a pagar o bem público unilateralmente. Como depois todos terão acesso ao bem público (não é possível efectuar discriminação, cada pessoa terá incentivo a pagar o menos possível). Os agentes vão tender a subavaliar o bem público pois não querem pagar (ou querem pagar pouco) por um bem público. Assim, a provisão do bem público é inferior à socialmente óptima, dado que os agentes escondem a verdadeira valorização. Exemplo:

o 1 apartamento; o 2 pessoas; o 2 bens: TV e dinheiro

2 \ 1 Compra Não compra

Compra 600; 600 800; 400 Não compra 400; 800 500; 500

Assume-se que não há possibilidade de exclusão do acesso à TV e que cada agente tem uma

decisão independente do outro. Diferentes níveis de Bens públicos

- Depois de se resolver o problema de se comprar o bem público ou não, é necessário resolver o problema de qual a quantidade óptima a adquirir de bem público. Exemplo: 2 bens: um privado x e um público G; 2 consumidores; x1 e x2 modem os consumos privados dos agentes 1 e 2 respectivamente; G mede a quantidade / qualidade de bem público adquirido; c(G) é a função custo do bem público.

O problema a resolver é:

2121

_

222

11},,{

)(),(

),(21

wwGcxxuGxu

GxuMaxGxx

Cada um valoriza a TV em 300€ e tem riqueza 500€. O custo da TV é de 400€.

É o equilíbrio eficiente à Pareto, mas não é o equilibrio deste jogo.

Vai ser o equilíbrio -> (não compra, não compra) É a estratégia dominante!

s.a

0)(),(),(0

0),(0

0),(0

C.P.O.]w-w-c(G)x[x-]u-G),(x[u),(

1211

2

22

2

1

11

1

2121

_

22211

GGc

GGxu

GGxu

GL

xGxu

xL

xGxu

xL

GxuL

Gc

Gu

Gu

xu

xu

21

2

2

1

1

1.


Microeconomia II 45

)(2,

1

2

2

2

1

1

1

21GCmgTMSTMS

Gc

xu

Gu

xu

Gu

xGx

-> condição de optimalidade

!TMS1| + |TMS2| = Cmg(G) -> Pode ser interpretado como a medida de vontade

de pagar (marginal) por mais 1 unidade de bem público. Enquanto a vontade de pagar marginal for superior ao seu custo marginal, então, adquire-se mais bem público.

Para o bem público: a soma das TMS deve igualar o custo marginal. Para o bem privado: a TMS de cada pessoa deve igualar o custo marginal. Isto

porque no bem privado cada pessoa consome diferentes montantes do bem privado, mas todas as pessoas fazem a mesma valorização na margem!

No caso do bem público, cada pessoa consome um montante fixo de G, mas na margem cada agente tem uma valorização diferente. Análise gráfica para cada um dos bens:

1) Bem público

2) Bem privado Preferências quasi-lineares e Bens públicos

- Em geral, o montante de bem público será diferente para diferentes alocações do bem privado. Mas se os consumidores tiverem preferências quasi-lineares, há apenas um montante de bem público que satisfaz os consumidores, independentemente da riqueza inicial. Funções quasi-lineares => ui(xi,G) = xi + vi(G) Se Pmgxi = 1, logo a

P TMS

TMS1

G

TMS2

Cmg

G*

TMS1 + TMS2

P TMS

Procura agregada

Cmg

x*

A procura por bens públicos é a soma vertical das TMS dos consumidores.

A procura agregada é a soma horizontal das TMS dos consumidores.

TMS1

TMS2

GGv

xGxu

GGxu

TMS

GGv

xGxu

GGxu

TMS

)(),(

),(

)(),(

),(

2

2

22

22

2

1

1

11

11

1

x


Microeconomia II 46

Então, )()()(

)( 2121 GCmg

GGv

GGvGCmgTMSTMS

Em que G se define sem depender de x1 e x2, logo se retirarmos um montante arbitrário de um bem privado de um dos agentes e darmos ao outro, as TMS não se alteram e logo pela equação de optimalidade para o bem público, verificamos que o montante de G vai ser o mesmo.

No caso das preferências quasi-lineares, todas as alocações Pareto eficientes são encontradas reajustando / redistribuindo o bem privado. O montante de bem público fica fixo para um dado nível de eficiência. Exemplo de um mal público

1 metalúrgica e 2 pescadores; a poluição é vista como um mal público; x é o montante de poluição; f1 e f2 é o montante de peixe pescado pelo pescador 1 e 2 respectivamente; m é o montante de ferro produzido.

O problema a resolver é o de maximização do lucro das 3 empresas (a fim de se determinar qual o montante de poluição socialmente óptimo).

CmgBmg

mm

ffmmxffm

xC

xC

xC

xC

xC

xC

x

OPC

xfcfpxfcfpxmcmpMax

2121

222111},,,{

00

...

),(.),(.),(.21

(analisámos apenas a condição mais relevante). Verificamos que Bmgx = Cmg1

x + Cmg2x

Problema do free-rider (análise gráfica e analítica)

]g-x-[w

),(

1111

111

2

_

111},{ 11

uLwgx

ggxuUMaxgx

restriçãoLgu

gL

xu

xL

0

10

10

1

1

1

1

1

1

|TMS1| = 1 |TMS2| = 1

s.a

121 ,

1

1

1

1

xxTMS

gu

xu


Microeconomia II 47

Visto um bem público ser aquele que todas as pessoas consomem o mesmo montante, então a sua provisão quando é aumentada por um dos agentes os restantes tendem logo a diminuir. Em geral, há uma quantidade abaixo do óptimo de bem público num equilíbrio voluntário em relação à provisão eficiente do bem público. 2.4) Equilíbrio de Lindahl; a revelação de preferências Equilíbrio de Lindahl: há uma quantidade de bem público, mas preços diferentes a pagar por cada indivíduo. Equilíbrio (x1,x2,G,p1,p2), em que cada consumidor paga um preço pi pelo bem público de acordo com a sua TMSi. p1 + p2 = c’

Se todos os custos de fornecimento do bem público forem variáveis (não há custos fixos) e cobrarmos um preço a cada indivíduo de acordo com a sua TMSi a receita obtida será igual aos custos variáveis.

Há uma forma de garantir que as pessoas estão a revelar a sua verdadeira

valorização do bem público, no entanto para que este processo funcione as preferências têm que ser quasi-lineares, o que implica que há apenas um único montante óptimo de bem público, a questão é encontrá-lo.

3) Escolha intertemporal e sob incerteza 3.1) Escolha intertemporal

2 períodos: 1 e 2 1 bem dotações de cada período: m1 e m2 consumos de cada período: c1 e c2; taxa de juro r

Se poupar, c2 = m2 + (m1 – c1)(1 + r), a inclinação da R.O. é –(1 + r), mas supõe-se que o agente só pode emprestar, não pode pedir emprestado. Graficamente fica:

x1

G = g1 C.I.1

G

x

Contribuinte unilateral para a aquisição do bem público

Free-Rider

x1

G

G

x

C.I.2


Microeconomia II 48

Supondo que o agente já pode pedir emprestado, o novo gráfico é: c2 = m2 - (c1 – m1)(1 + r) ou seja, c2 = m2 + (m1 – c1)(1 + r) c1>m1 -> pede

emprestado e no 2º período terá de pagar o que pediu emprestado + o juro; analiticamente paga (c1-m1)(1+r).

Se m1 > c1 -> empresta e ganha juro com o que empresta, ou seja, no 2º período tem mais rendimento (m1-c1)(1+r) Se c1 = m1 => c2 = m2, logo o consumidor está a consumir a própria dotação. A escolha do ponto óptimo na restrição intertemporal depende da função utilidade do agente – preferências intertemporais U(c1,c2). A restrição orçamental / intertemporal, fica: (1 + r)c1 + c2 = (1 + r)m1 + m2 c1 + c2/1+r = m1 + m2/1+r Graficamente obtemos: A restrição intertemporal

passa sempre pelo ponto de dotação e tem declive –(r + 1).

m1

Ponto de dotação

m2

C1

C2 c2 = m2 + (m1 – c1)(1 + r)

m1

m2

C1

C2

W (dotação)

Devedor (pede emprestado)

Credor (poupa)

Expressa a restrição intertemporal em termos de valor presente: p1 = 1 p2 = 1/1+r

Expressa a restrição intertemporal em termos de valor futuro: p1 = 1 + r p2 = 1

m2

m1

-(1+r) C1

C2

W (dotação)

m1 + m2/1+r

(1 + r)m1 + m2


Microeconomia II 49

Estática comparada Dada a restrição intertemporal e as preferências do consumidor por c1 e c2, podemos

então determinar a escolha óptima de consumo (c1, c2). Se na escolha óptima: c1 < m1 => empresta na 1º período c1 > m1 => pede emprestado no 1º período

Para um devedor: Para um credor: c1 > m1 c1 < m1

Reacções a variações na taxa de juro r

Se consumidor for credor e r aumentar => continua credor de certeza (é como se o preço do consumo presente aumentasse)

Se é credor e r aumenta, então o novo ponto óptimo nunca poderá estar à direita da dotação – pelo princípio da preferência revelada.

Pontos à direita da dotação estavam disponíveis para ser óptimo e no entanto foi escolhido um ponto à esquerda, se com a nova restrição intertemporal os pontos à direita da dotação estão a um nível mais baixo ainda de c2, então por certo que também não serão escolhidos.

O novo ponto óptimo terá de ficar necessariamente fora da velha região de restrição intertemporal (fica de certeza à esquerda da dotação).

Se consumidor for devedor e r diminuir => continua devedor de certeza, pelos princípios da preferência revelada.

Se consumidor for credor e r diminui => tanto poderá ficar credor como poderá passar a devedor (efeito incerto).

Se consumidor for devedor e r aumentar => tanto poderá passar a credor, como ficar devedor (efeito incerto).

- As preferências reveladas podem também ser vitais para fazer julgamentos sobre a variação do bem-estar do consumidor quando as taxas de juro variam.

a) Se consumidor é devedor e r aumentar, então se este permanecer devedor de certeza que irá ficar pior em termos de bem-estar (utilidade mais baixa).

b) Se consumidor é credor e r diminuir, mantendo-se credor ficará por certo pior.

C2 C2

C1 C1

m2

w

c1 c1

c2

W (dotação)

m1 m1

m2

c2

C1

C2

w

m1

m2

1

0


Microeconomia II 50

Equação de Slutsky e Escolha Intertemporal - A equação de Slutsky pode ser utilizada para decompor a variação na procura devida a uma variação da taxa de juro, em efeito rendimento e efeito substituição (e efeito dotação). Se r aumentar, vejamos o que acontece ao consumo em cada período. Em termos e valor futuro, a nossa restrição intertemporal é: (1 + r)c1 + c2 = (1 + r)m1 + m2, ou seja, o preço de c1 aumenta quando r aumenta. Equação de Slutsky:

mCcm

pC

pC mSt

1

111

1

1

1 )(

(?) (ef. Subst.) (?) (+ se bem normal) (-) (- se bem inferior) [rever equação de Slutsky da Microeconomia I, para melhor compreensão de como surge a equação.] Para um devedor:

c1 > m1 m1 – c1 < 0, então a equação de Slutsky fica:

)()(

)(

1

)(11

)(1

1

)(1

1 )(

mCcm

pC

pC mSt

O efeito total vai ser negativo.

Interpretação económica para o resultado ser negativo: se r aumenta, para um devedor isso significa que terá de pagar mais juro no futuro por mais consumo actual, isso leva o consumidor a consumir menos hoje. Para um credor:

m1-c1 > 0, então o efeito é ambíguo na equação de Slutsky, não se sabe qual dos efeitos vai dominar, c1 poderá aumentar ou diminuir. Interpretação económica do resultado: o credor ao verificar um aumento de r, este aumento pode dar-lhe tanto rendimento que ele acaba por consumir mais do período presente (se dominar o efeito rendimento). Mas se for o efeito substituição a dominar então ele diminuirá o consumo, visto que pagam mais por cada unidade de c1 que ele vender. Inflação

Assumindo que preço de hoje é 1, p1 = 1 e preço de amanha é p2. p1(1 + r)c1 + p2c2 = p1(1 + r)m1 + p2m2 p2c2 = p2m2 + (1 + r)(m1 – c1)

)(111

222 cm

prmc

-> na forma de valor futuro.

NOTAS: O sinal de (m1-c1) vai depender se o consumidor é credor ou devedor no 1º período. Bem normal significa que se o rendimento aumenta, a procura pelo bem também vai aumentar. Ef. Substituição é sempre negativo.


Microeconomia II 51

Taxa de juro real é tal que 2

11p

r , sendo p2 = 1 + Π, em que Π é a taxa de

inflação, então

11111

11

111 rrrr

Para taxas de inflação baixas e válidas a seguinte expressão:

1r

.

Para taxas de inflação baixas e válidas a seguinte expressão r r é a taxa de juro nominal e Π é a taxa de inflação.

Analisando o valor presente para diversos períodos

Assumindo r constante, uma restrição intertemporal a 3 períodos tem a seguinte forma (visto como valor presente):

232

1232

1 )1(1)1(1 rm

rmm

rc

rcc

, é como se o preço do consumo no

período t em termos do consumo actual fosse dado pela expressão 1)1(1

tt r

p .

Se a taxa de juro variar de período para período então a restrição intertemporal fica:

)1)(1(1)1)(1(1 21

3

1

21

21

3

1

21 rr

mr

mmrr

cr

cc

Critério do Valor Presente

Valor actualizado é a única maneira correcta de converter pagamentos em moeda actual. - Independentemente das preferências dos consumidores por diferentes períodos do consumo, o consumidor preferirá sempre ter um valor presente mais alto do que um valor presente mais baixo pois permitirá atingir níveis de utilidade mais altos, além de todos os pontos disponíveis anteriormente (a nova restrição sendo maior) traz novas opções de escolha para o consumidor. - Uma das aplicações do V.A. é fazer a valorização do rendimento oferecido por diferentes investimentos – comparar investimentos. Para decidir qual o melhor, basta calcular qual dos investimentos tem maior valor presente, visto que quanto maior for o valor presente maior será o espaço de possibilidades de oportunidade. Critério maior valor presente: uma dotação com maior valor presente dá ao consumidor mais possibilidades de consumo em cada período desde que possa emprestar ou endividar-se às taxas de juro de mercado.

C1

C2

m’1

w’1 w0

m1

m’2

Valores presentes mais altos alargam o espaço de oportunidades de escolha levando a níveis de utilidade mais elevados. c

m2


Microeconomia II 52

Projectos com custos (p1,p2) e receitas (r1,r2). Temos que verificar se o valor presente do rendimento excede o valor presente

dos custos.

rpp

rrr

112

12

1 , se a desigualdade não se verificar então não vale a pena investir.

De outra forma (através do valor presente líquido):

01

2211

rprpr

Taxa interna de rentabilidade i: V.P.(i) = 0

r > i => VP(r) < 0 r < i => VP(r) > 0 Quando r > i não vale a pena investir Legenda: procura de fundos para investimento Obrigações Obrigações são uma forma de as empresas e o governo pedirem dinheiro emprestado

em troca de um dado montante de dinheiro x até uma certa data T (data de maturidade), em que nessa altura o devedor paga ao detentor das obrigações o valor facial das obrigações.

Valor presente = TrF

rx

rx

)1(...

)1(1 2

O valor presente do empréstimo obrigacionista diminui se a taxa de juro subir. Isto acontece porque quando r aumenta, o preço de €1 futuro diminui (com menos moeda no presente obtenho €1 no futuro, visto que r aumentou) -> o mercado obrigacionista flutua à medida que r se altera.

Perpetuidades Quando as obrigações dão origem a pagamentos permanentes, em que o valor facial

nunca é devolvido. Valor Presente de uma perpetuidade:

r

K

Teoria de Keynes: quando a taxa de juro aumenta, há projectos que deixam de se realizar, isto porque:

a) quem tem dinheiro vai preferir receber r (taxa de juro) em vez de i (taxa de rentabilidade);

b) quem vai pedir emprestado vai ver encarecido o seu crédito, se r > i, então não vale a pena investir.


Microeconomia II 53

rxVP

rx

rrVP

rx

rVPVPx

rVP

rVP

rx

rxVP

1111

1111

11...

r)(1x

r1xx

11

...)1(1

2

2

NOTA: Fórmula da soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica

1,.

1,1

1.

1

1

runS

rr

ruS

n

n

n

- Se o preço de um instrumento é menor que o seu VAL, então o instrumento deve ser comprado. Exemplos:

o Se tenho no banco 5; o preço do activo financeiro é 5, mas gera 10 amanha, vendo amanha ao preço de 10 e reconstituo o depósito bancário e ganho 5.

o Se tenho 10 no banco; o preço do activo é 10, mas o activo vale 5 amanha, então não devo comprar o activo.

NOTA Venda a descoberto ou “short sale”: situação em que recebo hoje o preço do activo 10 e pago amanha 5 (prometo a venda de um activo, mas que ainda não possuo). Em equilíbrio não há vendas a descoberto, pois caso isso acontecesse o indivíduo vendedor quereria vender infinitos activos. Impostos Impostos aplicam-se sobre os rendimentos, logo se m aumenta em m , também

o imposto aumentará em t .m Se fizer um investimento (ou empréstimo) x e tiver uma rendibilidade r.x, terei

de pagar t.r.x ao Estado; logo a minha taxa de juro líquida é (1-t).r.x. Do lado de quem pede emprestado, se tiver uma dedução de t no valor do juro

que terá de pagar, então o custo total de pedir emprestado x será: r.x – t.r.x = (1-t).r.x - Um imposto sobre a poupança irá fazer diminuir a poupança, mas ao subsidiar os empréstimos o montante de capital a ser pedido emprestado vai aumentar.

- A taxa de juro mede o custo de oportunidade dos fundos – o valor da 2ª melhor alternativa para dar uso ao dinheiro. Mercado de activos

Taxas de retorno

- Parte-se do seguinte princípio: se não há incerteza sobre o cash flow dado por cada activo, então todos os activos têm de ter a mesma taxa de retorno. Caso contrário (se as taxas) em que um activo tem uma taxa de retorno maior, leva a que ninguém compre o


Microeconomia II 54

activo com uma taxa de retorno menor. Em equilíbrio as taxas de retorno têm de ser iguais entre activos, assumindo que não existe incerteza. - 2 activos: A e B

o A, tem preço corrente p0, dentro de um ano tem preço p1 (em que os agentes têm certeza dos 2 preços e durante o ano não haverão dividendos).

o B, investimento que paga taxa de juro r. Questão: Investir €1 em A ou B?

a) Se €1 em A: p0.K = 1 => compra K = 1/p0 unidades de A, logo dentro de 1 ano,

recebe: 0

11. p

pkp .

b) Se 1€ em B, receberia (1 + r) passado 1 ano. Em equilíbrio: 0

11ppr , ou seja,

rpp

1

10 , verifica-se então que o valor corrente do activo tem de ser igual ao

retorno actualizado ao valor presente. Caso a igualdade não seja respeitada, então haverá uma forma de fazer dinheiro.

-> Se 1 + r > 0

1

pp , as pessoas que possuem o activo A vão vende-lo por p0 no 1º período

e investir no activo B que tem maior rendibilidade. No período seguinte o investimento em B valerá p0(1 + r) que é maior que p1. Esta desigualdade garante que os agentes no 2º período terão dinheiro suficiente para adquirir de volta, ao preço de p1 sobrando-lhes ainda dinheiro extra (lucro).

0)1(: 10 prp Nesta situação o agente realiza uma arbitragem – vendeu um activo, comprou outro, restituiu o que tinha do activo A e a ainda conseguiu ter lucro. Arbitragem: os preços e retorno dos activos são tais que se pode encontrar uma carteira que realize ganhos certos no futuro. Em equilíbrio não há oportunidades de arbitragem.

Se o agente não fosse dotado de A, venderia a descoberto A, receberia hoje p0, investiria esse montante em B e recebia dentro de 1 ano p0(1 + r) ao banco, mas pode vender o activo A ao preço p1.

0)1(: 01 rpp Sempre que existirem oportunidades de arbitragem, o próprio mercado encarrega-se de eliminá-lo, visto que o activo que todos procurarão adquirir vai aumentar o preço (devido ao excesso de procura), por outro lado o activo que ninguém quer, vai diminuir o preço, aumentando a rendibilidade, havendo convergência na rendibilidade dos 2 activos até que se verifique a igualdade, desaparecendo a possibilidade de arbitragem. Activos com retorno no consumo Há activos cujo payoff além de monetário é também em termos de consumo. Exemplo: habitação Além de ser um investimento que gera retorno (através da apreciação) dá

também um retorno em termos de consumo – a renda implícita que o agente


Microeconomia II 55

recebe por possuir a casa; é como se o agente recebesse uma renda anual pela casa (visto que o agente podia estar a arrendar a casa);

A casa custou P (custo inicial); Apreciação anual da casa = A Renda anual = T

Taxa de retorno = P

AT , a taxa de retorno total tem em consideração a taxa de retorno

do consumo (PT ) e a taxa de retorno do investimento (

PA ).

Se r for a taxa de retorno de outro activo financeiro, em equilíbrio:

PrATrP

AT .

-> Se PrAT . , então o retorno total da casa é menor que o retorno do investimento financeiro. Não compraria a casa, seria preferível colocar o dinheiro no banco. -> Se PrAT . , então o retorno total da casa é superior ao do investimento financeiro. Preferível comprar a casa, pois sabe que o retorno obtido é superior ao que teve se pusesse o dinheiro no Banco.

Em geral o retorno financeiro da casa,PA , é menor que r. Os activos com uma parte

de retorno em consumo, em equilíbrio terão uma taxa de retorno financeiro menor que os activos puramente financeiros, isto porque parte do preço do activo de consumo reflecte o retorno do consumo que a pessoa tem, só pelo facto de possuir esse bem. Impostos e retornos de activos

- Os impostos são também uma forma de ajustar as diferenças de retorno entre activos, eliminando a arbitragem. Exemplo: activo A paga imposto t sobre o retorno gerado (r b); o activo B está ausente de imposto e gera retorno re. Em equilíbrio, terá de suceder que (1 – t)r b = re. - O retorno depois do pagamento de impostos de cada activo deve ser igual, caso contrário haveria espaço para arbitragem. - Se os activos são taxados de forma diferente, ou têm características de risco diferentes, então devemos comparar as suas taxas de retorno depois de aplicado o imposto ou as suas taxas de retorno ajustadas ao risco. Aplicações Exemplo: Quando cortar as árvores?

- Supondo que o tamanho da floresta (é medido em termos de quantidade de madeira extraída) expresso numa função tempo, F(t). O preço da madeira é constante. A taxa de crescimento do retorno das árvores (que são o activo) começa alta e vai gradualmente diminuindo.

- Se o mercado da madeira for perfeitamente concorrencial quanto deve a floresta ser cortada? R.: Quando a tx de crescimento do retorno da floresta (o activo) for igual à tx de juro! Antes de t* a floresta está a ganhar uma taxa de retorno mais alta que a do banco, depois

t*

Tx. de crescimento de retorno do activo

r*

Tx. de crescimento da riqueza

r


Microeconomia II 56

de t* a taxa de retorno da floresta é menor que a taxa de retorno do banco (que é a taxa de juro). O ponto óptimo para cortar a floresta é quando a sua taxa de crescimento iguala r.

Algebricamente:

Valor actualizado = TrTF

)1()(

, queremos encontrar T que maximiza o V.A.L.

Problema de Max V.A.

)(.)()()1(

)()( ..

.TFe

eTFTV

nrTFTV Tr

TrnT

, assume-se que a floresta cresce a uma

taxa constante.

)()('0)(.)('0)(..)('0)(' ..

TFTFrTFrTFTFerTFeTV TrTr , ou seja,

no óptimo de T, a taxa de juro r tem de igualar a taxa de crescimento da floresta. 3.3) Incerteza Exemplo (caso concreto) Dotação inicial de 35000 mas pode perder 10000 se houver um incentivo com probabilidade de 1%. 25000 (estado mau) 35000 (estado bom) - Comprar um seguro é uma forma de alterar a distribuição de probabilidade.

1 unidade de seguro: prémio de seguro a pagar = 1 (quer se dê ou não o sinistro)

a seguradora paga 100 em caso de sinistro.

T

Retorno total

Investimento apenas na floresta

Tempo

Investimento apenas no banco Investimento 1º na

floresta; 2º no banco. O tempo óptimo para cortar a floresta é quando esta iguala a taxa de juro no banco.

1%

99%

É a distribuição de probabilidade


Microeconomia II 57

Então se a pessoa decidir assegurar 10000, pagará 100 unidades de seguro. A nova distribuição de probabilidade fica: Em geral, se comprar K unidades de seguro e pagar γ como prémio unitário, a função distribuição fica:

Normalizando cada unidade paga 1 em caso de sinistro, o prémio seria agora 100

_ .

Compraria kK 100_

Para atingir pontos à esquerda da dotação w (com mais consumo em bom estado e menos em mau estado), em vez de comprar, teria de vender seguro contra a perda. - O seguro permite alterar a função distribuição probabilidade. - O mapa de indiferença é que vai determinar quanto de seguro é que o agente vai comprar; podendo existir agentes muito conservadores que escolhem ter muito seguro ou agentes que gostam de risco e não gastam dinheiro em seguro. Funções utilidade e probabilidade

- Em geral, a forma como uma pessoa valoriza o consumo nos vários estados vai depender da probabilidade que cada estado tem de se verificar. Então a função utilidade vai depender das probabilidades e dos níveis de consumo, assume-se que as probabilidades são P(c1) = π1; P(c2) = π2 em que π1 + π2 = 1 -> são acontecimentos mutuamente exclusivos

1%

99% 34900 (<>)

34900 (*) (*) 35000 – 10000 + 10000 - 100 = 34900 (perda) (seguro) (prémio) (<>) 35000 – 100 = 34900 (prémio)

1%

99%

35000 – γK + 100K – 10000 = 25000 + 100K - γK

35000 – γK

Consumo no mau estado

Consumo no bom estado

w

25000 25000 – (1-__

) k

35000 - __

k

Inclinação: )1()1(

_

_

__

__

k

k

35000

São probabilidades subjectivas dadas a cada estado de natureza


Microeconomia II 58

Exemplos de preferências: U(cm, cb) = πm.v(cm) + π b.v(cb) ou U(c1, c2) = 2121

121 ln)1(ln),(ln. ccccucc

Utilidade esperada

Se um dos estados de consumo é certo, por exemplo se π = 1 => Função de utilidade é apenas v(c1). π1.(v(c1)) + π2.(v(c2)) -> representa a utilidade média ou a utilidade esperada ou função Von Neumann-Morgenstern. A propriedade da utilidade esperada só existe para funções do tipo π1.(v(c1)) + π2.(v(c2)); esta propriedade só se mantém em transformações monotónicas do tipo v(u) = au + b, para qualquer outro tipo de transformações monotónicas essa propriedade é destruída. Porquê a utilidade esperada é razoável?

- Em escolha sob incerteza há um género de independência natural entre diferentes resultados pois eles são consumidos separadamente (em diferentes estados de natureza); - As escolhas que as pessoas pensam fazer num estado de natureza devem ser independentes das escolhas que eles pensam fazer no outro estado de natureza – Hipótese da Independência. Verificando a independência, a função utilidade tem de ter a seguinte forma: U(c1, c2, c3) = π1.u(c1) + π2.u(c2) + π3.u(c3) -> é a função de utilidade esperada. - A função de utilidade esperada satisfaz a propriedade que a TMS entre 2 bens é independente da quantidade que há do 3º bem.

))((

))((

2

212

1

11

2

12,1

ccu

ccu

cU

cU

TMS

Aversão ao risco

Para um consumidor adverso ao risco a utilidade do valor esperado do consumo / riqueza é maior que a utilidade esperada do consumo / riqueza.

)..()(.)(. bbmmbbmm ccvcvcv utilidade esperada utilidade do consumo do consumo esperado

Para agentes avessos ao risco, a sua função utilidade é estritamente côncava. Se a função fosse estritamente convexa então o agente era amante do risco, preferindo arriscar a lotaria.

Utilidade

Consumo

u(10)

u(15)

u(5) 0,5.u(5) + 0,5.u(15)

5 10 15

v


Microeconomia II 59

Voltando ao problema da seguradora. - consumidor tinha riqueza = 35000; - possibilidade de perda de 10000;

Custo do seguro: K._

, em que _

é o custo unitário e K é o nº de unidades asseguradas. Πm = 0,01 Πb = 0,99

No óptimo: _

_

1

TMS

Do ponto de vista do consumidor, a escolha óptima é

_

_

11

22

1/)().1(/)(.

ccu

ccuTMS

Do ponto de vista da seguradora

- Com probabilidade π terá que pagar _k e com probabilidade (1 - π) não paga nada.

- Independentemente do que aconteça ganha sempre um prémio de __

k , então o lucro

esperado será: Lucro = ______

0).1( kkkk No mercado concorrencial o lucro das seguradoras será nulo, ou seja

mbbmm

m

bm

mm cccvcvcv

cvTMS

kkLkkLucro

)(')('1)(').1(

)('000)(0

________

esta última equação diz-me que a utilidade marginal de 1 unidade monetária de rendimento se a perda ocorrer deve ser igual à utilidade marginal de 1 u.m. extra de rendimento se a perda não ocorrer. Para um agente que procura uma seguradora com lucro zero, então irá consumir onda as utilidades garantidas pelo consumo com lucro zero, logo irá consumir onde as utilidades garantidas pelo consumo em estado mau e estado bom são iguais, ou seja, os consumos têm de ser também iguais.

No caso do seguro: _____

10000)1(2500035000 kkk Seguro total

Utilidade

Consumo

v(cb)

πmv(cm) + πb.v(cb)

cb

v(cm)

Cm

πm(cm) + πb.(cb)

v(πm(cm) + πb.(cb))

v NOTA: A curvatura da função utilidade quanto mais acentuada for, maior será o risco. Quanto mais côncava a função utilidade,

maior a aversão ao risco; Quanto mais convexa a função utilidade,

maior a paixão ao risco. No caso intermédio, a função utilidade é linear, logo o agente é neutro do risco (indiferente ao risco).


Microeconomia II 60

Assumem-se 3 hipóteses: a) seguradora utiliza a mesma probabilidade que o consumidor; b) seguradoras fazem lucro zero; c) utilidades estritamente côncavas (consumidor avesso ao risco). Supondo tudo isto, o consumidor vai escolher comprar seguro total. Diversificação

Preço

(actual) Retornos com Sol

Retornos sem Sol

Acções de uma empresa de gabardinas

10 5 20

Acções de uma empresa de óculos de Sol

10 20 5

- Agente pretende investir 100 - P(Sol) = 0,5 P(Chuva) = 0,5 Agente tem 3 opções de investimento do seu dinheiro

1) Só em acções da empresa de óculos de Sol (10 acções), sendo o retorno de 0,5(200) + 0,5(50) = 125;

2) Só em acções da empresa de gabardinas (10 acções) o retorno será 0,5(50) + 0,5(200) = 125.

3) Investir 50 numa e 50 na outra empresa (5 acções em cada empresa), sendo o retorno: 0,5(100+25) + 0,5(25 + 100) = 125, mas com certeza!

- A conclusão a que chegamos é que a diversificação do investimento em 2 empresas permitiu uma redução do risco, mantendo o valor esperado! Neste caso, os 2 activos estavam perfeitamente negativamente correlacionados o que permitiu reduzir drasticamente o risco. No entanto, na realidade a maioria dos activos estão positivamente correlacionados, quando um aumenta os restantes também aumentam. Enquanto os preços dos activos não forem perfeitamente positivamente correlacionados, haverão ganhos em se fazer diversificação. Risk spreading

- O risco pode ser mitigado através de instituições financeiras tais como: 1) seguradoras; 2) mercado de acções e obrigações.

1) Seguradoras No exemplo do Seguro, a dotação inicial é de 35000 mas com probabilidade de 1% podia haver uma perda igual a 10000. Há 1000 indivíduos nesta situação. Em média haverão 10 perdas de 10000 por ano, ou seja, um prejuízo agregado de 100000 por ano; vamos supor que a probabilidade de algum incorrer numa perda não afecta a probabilidade que qualquer outro seja afectado (supõe-se independência dos riscos – havendo dependência entre os agentes de incorrerem em perda, é mais difícil de se constituir um fundo comum). - Cada individuo tem uma perda anual esperada de 1%(10000) = 100 , logo cada individuo estará disposto a pagar até 100 por ano, para se livrar do risco. - Os consumidores podem constituir um fundo comum, em que cada agente contribui anualmente com 100 (o correspondente à perda individual anual esperada), então gera-se uma receita anual social de 1000 * 100 = 100000. 100 * 1000 = 10 * 10000 contr.ind.*nºagentes = nº médio sinistros*perda por sinistro


Microeconomia II 61

- Em média dão-se 10 sinistros por ano, mas há anos que se dão mais e noutros menos; - Os agentes pagam 100 anualmente quer sejam sinistrados ou não e em média o fundo comum será suficiente para compensar perdas; este é um exemplo de risk spreading, em que cada consumidor dissemina o seu risco por todos os outros, reduzindo assim o seu risco.

2) Mercado de capitais e activos - Donos/fundadores das empresas querem disseminar o seu risco, constituindo sociedades por acções. Uma vez a empresa “partida” em acções, estas podem ser vendidas/compradas no mercado. Se a política da empresa não agradar ou for demasiada arriscada para o dono das acções então este pode vende-las no mercado a quem esteja disposto a aceitar esse risco por uma determinada contrapartida. - No entanto, ao contrário da constituição de fundos comuns/seguros, em que a perda era suportada por todos (quase não há risco no agregado) e não apenas pelo que sofria efectivamente a perda (visto não se saber quem era o próximo a acarretar com a perda), no mercado de acções há risco no agregado, pois num ano a empresa pode ir bem e noutro ir mal e os custos vão ser suportados por quem adquiriu as acções e não por todo o mercado. O mercado de acções é uma forma de transportar risco das pessoas que não o desejam para aqueles que estão dispostos a suportá-lo, desde que suficientemente compensados. Apesar do risco ser alto, pode ser proveitoso comprar essas acções desde que a rentabilidade das acções seja suficientemente alta que compense o risco para o indivíduo que as adquirir. - Suponhamos que o consumidor tem riqueza w e quer investir x num activo com risco. Este activo pode gerar um retorno de rg (no bom estado – activo valoriza) ou de r b (no mau estado). A riqueza do agente fica: - no bom estado: wg = (w-x) + x(1+rg) = w + x.rg - no mau estado: wb = (w-x) + x(1+r b) = w + x.r b Probabilidade do bom estado = π Probabilidade no mau estado = 1 – π Utilidade esperada do agente será: E[U(x)] = π.U(w + x.rg) + (1 – π).U(w + x.r b) O problema do consumidor é maximizar o seu valor esperado, determinando qual o valor óptimo de investimento.

)(}{

xUEMaxx

assume-se que o consumidor é avesso ao risco, logo u’’(w) < 0

(função é estritamente côncava). E’[U(x)] = π.U’(w + x.rg).rg + (1- π).U’(w + x.r b).r b E’’[U(x)] = π.U’’(w + x.rg).(rg)2 + (1- π).U’’(w + x.r b).r b2 < 0 A utilidade esperada será uma finção côncava de x, visto que E’’[U(x)] < 0, porque U’’(w) < 0.


Microeconomia II 62

Será que x deve ser positivo? Vamos verificar em 1º lugar se investir o 1º € traz benefício ou não para a utilidade esperada do indivíduo. Confirma-se pela 1º derivada no ponto x = 0. E[U’(0)] = π.U’(w).rg + (1 – π).U’(w).r b = U’(w).[ π.rg + (1 – π)r b] É o retorno esperado do activo Então podemos dizer que se o retorno esperado for 0, não vale a pena investir, ou seja, π.rg + (1 – π).r b 0 => não se investe. Se for positiva, significa que vale a pena investir pelo menos o 1º dólar. Para determinar qual o montante de investimento que maximiza a função utilidade fazemos: C.P.O. E[U’(x)] = 0 π.U’(w + x.rg).rg + (1 – π).U’(w + x.r b).r b = 0, sabemos que o x encontrado será um máximo global, visto a função ser estritamente côncava. NOTA: Resultado interessante verificado em que há um efeito positivo do imposto no investimento em activos de risco – investimento aumenta com imposto sobre activos de risco! 3.4) Activos de risco Mean Variance analysis (Tobin)

Vamos descrever as preferências dos indivíduos em termos de 2 indicadores estáticos: a média do activo (µw) e o desvio-padrão desse mesmo activo (σw).

S

swssW

S

sssw

w

W

1

22

1

)(

As escolhas são feitas apenas com base no valor esperado e variância / risco de cada activo, em que o valor esperado pode ser visto como um bem e a variância como um mal, partindo do principio que o agente é avesso ao risco. -> Suponha-se que o agente consumidor vai formar um portfolio constituído por um activo sem risco rf e outro com risco ms, em que πs é a probabilidade de ocorrência do estado s. rm -> o valor esperado do activo com risco. σm -> desvio-padrão do retorno.

E[U(x)] E[U(x)]

x Investimento

x Investimento

Caso em que x* = 0

x* x*

-> é uma medida do risco em que quanto maior for a variância, maior será o risco do activo.


Microeconomia II 63

Em geral, o consumidor vai gastar uma fracção x da sua riqueza no activo com risco e a fracção (1 – x) no activo livre de risco. O valor esperado da carteira de portfolio será:

S

sfmxfss

S

ssfsx rxrxrrxmxrxmxr

11).1(.)1(.)).1(.(

A variância do portfolio será:

m

xmxmx

m

S

ssms

S

ssmsx

S

ssfmfsx

S

ssxfsx

xxx

xrmxrxmx

rxrxrxmxrrxmx

22222

22

1

22

1

22

1

22

1

22

.

.)(.)..(

.)).1(.).1(.(.)).1(.(

- Em geral, vamos assumir que rm > rf, visto que um investidor avesso ao risco nunca escolherá um activo com menor rentabilidade esperada e um risco maior. Recta de mercado de capitais:

)( fmm

xfx rrrr

Tínhamos visto atrás que:

rx = x.rm + (1 - x)rf e m

xx

xm

fmfx

m

fmfmxxf

m

xmm

m

xxf

m

xm

m

xx

rrrr

rrrrrrrrrr

.

.)(..).1(.

declive da recta de capitais Desta forma o portfolio óptimo é dado pela tangencia entre a função utilidade e a

restrição, ou seja, m

fm rrUUTMS

//

Em equilíbrio, todos os agentes terão TMS iguais entre eles e com o declive da recta de capitais. O tradeoff entre risco e valor esperado terá de ser igual para todos os agentes.

m

fm rr

Rendimento médio

Desvio- -padrão σm σx

rm

rf

σ.rf = 0

A R.O. é como se representasse todas as combinações lineares possíveis entre o activo sem risco e o activo ms.

m

fm

rm

fm rrrr

f

. [rf não tem risco,

daí a sua variância ser igual a zero.]

rx


Microeconomia II 64

Sharpe-Lintman-Black C.A.P.M. – Capital Asset Pricing Model

Recomposição da carteira com (a)% investido no activo i, e (1 – a)% investido

na carteira de mercado. E(rp) = a.ri + (1 – a).rm σ2(rp) = a2.σ2

i + (1 – a)2.σ2m + 2a(1-a) σi, m

mimimmip

p

mip

aaara

r

rrarE

,,222 42222

)(21)(

)(

em equilíbrio a = 0, m

mmi

a

pmi

a

p

ar

rrarE

2

,

00

)(,

)(

O problema de maximizar o a, de forma a aumentar o rendimento da carteira,

sem aumentar o risco. Formalizando, s.a

Em geral a inclinação da fronteira é

_

)( prE

m

mmi

mi

p

p rrara

ar

a

OPC

2,

pp

/)(/)E(r

0)(

.)E(r...

Em equilíbrio a = 0, porque num mercado com apenas alguns retornos, já vimos atrás que todos os activos têm de ganhar o mesmo retorno, caso contrário haveria espaço para arbitragem, mas essa situação acaba por desaparecer com o ajustamento dos preços no mercado, até que todos os activos depois de ajustados no risco atinjam a mesma taxa de retorno. Daí que a = 0, em equilíbrio.

NOTA: ),(..2)(.)(.)( 21

22

2121 yxCovyVarxVaryxVar

_

}{

)(

)(

p

pa

r

rEMax ))(()(),(_

pp rrEaL

Rendimento médio

Desvio- -padrão

Curva de oportunidades na recomposição da carteira (é uma função que não é bem-comportada).

rf

É o multiplicador de Lagrange do problema de maximização


Microeconomia II 65

Tangencia

Modelo C.A.P.M. ri = rf + βi (preço do risco) Em que o prémio de risco é (rm - rf), ficando ri = rf + βi.(rm - rf) e βi = risco activo i/risco mercado

Em geral, o valor de um activo tende a depender muito mais da correlação do seu retorno com outros activos do que a sua própria variação;

Um activo que tenha um σi,m mais alto, significa que os activos são mais correlacionados e logo menos interessantes do ponto de vista da diversificação do risco, como tal tem de ser acompanhado de ri mais altos; σi,m↑ => ri↑

Se a covariância for negativa podemos admitir que o rendimento médio do activo i com risco seja inferior ao do rendimento médio sem risco.

4) Dualidade 4.1) Dualidade na teoria do consumidor L bens, U estritamente quase côncava, duas vezes diferenciável, superfícies de indiferença não tocam os eixos.

1) v(p,y) = Max(x) s.a P.x = y

v é a função utilidade indirecta Solução do problema x(p,y) é dada pela função procura ordinária ou Marshalliana. v(p,y) = U(x(p,y)) -> Utilidade máxima no ponto de soluções. Problema: maximizar a utilidade dada a despesa fixa.

2) e(p,u) = min P.x e -> é a função despesa

U(x) ≥_u

Solução: h(p,u) é dada pela procura Marshalliana. e(p,u) = p.h(p,u) => despesa mínima no ponto de solução.

Problema: minimizar a despesa sujeita a uma utilidade fixa.

2,

2,2

,2

2,

).(

)())(()(

m

mifmfi

fmm

mifmmimmifmmim

m

fm

m

mmi

mi

rrrr

rrrrrrrrrrrrrr

x1

x2

x1

x2

_u

Curvas de nível

Curva de nível

declive = -(p1/p2)

Linhas de iso-custo


Microeconomia II 66

e(p,v(p,y)) = y -> função despesa; v(p,e(p,u)) = u -> função utilidade indirecta; h(p,v(p,y)) = x.(p,y) -> procura hicksiana; x(p,e(p,u)) = h(p,u) -> procura marshalliana. Propriedades da função despesa:

e(tp,u) = t.e(p,u) função despesa é côncava em p, ou seja,

e(tp + (1 – t)p’, u) ≥ t.e(p,u) + (1 – t).e(p’,u) Demonstração:

),').1((~

upttphx , ou seja, e(tp + (1 – t)p’, u) = ~~xp

onde ').1(.~

ptptp

),'().1(),(.),')1(.(

),'().1(),(.').1(..

),').1((').1(),.(.

~~

~

upetupetuptpte

upetupetxptxpt

uptexptuptexpt

Logo, a função despesa é côncava.

Se aumento o preço, a despesa cresce mas a uma taxa decrescente – à medida que o preço do bem 1 sobe, o consumidor irá trocá-lo por outros bens, assim a despesa não cresce de uma forma linear.

),(),( uphp

upei

i

Prova pelo Teorema do Envelope: Max f(x,a) g(x,a) = 0 L = f(x,a) – λ[g(x,a)]

M(a) *xa

LaM

P

e


Microeconomia II 67

Aplicando e(p,u) = min P.x

u(x) = _u

A derivada da despesa em orden a pi é a coordenada i ésima da função hicksiana.

L = p.x – λ(U(x) - _u )

ii

xpL

Efeito substituição:

02

2

iUi

i

pe

ph

A concavidade da despesa explica o efeito substituição!

Problema 1 Função utilidade indirecta v(p,y) = Max u(x) solução x(p,y) é a procura Marshalliana s.a p.x = y v(p,y) = u(x(p,y)) Graficamente, o problema 1: Problema 2 Função despesa e(p,u) = min P.x solução h(p,u) é a procura hicksiana

s.a u(x) = _u e(p,u) = p.h(p,u)

Graficamente, o problema 2:

),(),(

uphpL

pe

iuphxii

x1

x2

x1(p,y)

x2(p,y)

y/p2

y/p1

v(p,y)

x1

x2

declive = -(p1/p2)

Curva de nível

h1(p,u)

h2(p,u)


Microeconomia II 68

Igualdades a verificar:

1) e(p,v(p,y)) = y 2) v(p,e(p,u)) = u 3) h(p,v(p,y)) = x(p,y) 4) x(p,e(p,u)) = h(p,u)

- O efeito substituição é o que está por trás desta concavidade no preço.

peuph

),( , pelo teorema do envelope, porque ),( uphxpL

pe

óptimoóptimo

L = p.x – λ[u(x) – u]

Para melhor compreensão e assimilação dos conteúdos, de seguinte ir-se-á apresentar um exemplo: U(x) = x1x2

Para achar a função utilidade indirecta. Procuras Marshallianas x1 = 12 p

y

x2 = 22 p

y

21

2

21 422),(

ppy

py

pyypv

-> função utilidade indirecta

Procuras hicksianas: L = p1.x1 + p2x2 – λ[x1x2 – u]

e é côncava em p, logo 2

2

pe

é semi-definida

negativa, nomeadamente iipe

,02

2

e

pi


Microeconomia II 69

Hicksianasocuras

pupx

pupx

pupx

pup

ux

pupx

xp

xup

xp

xp

xux

xxpp

xp

uxxL

xpxL

xpxL

despesadeimizaçãodeproblemadoOPC

Pr.

.

.

.

.

..

0

0

00

00

min...

2

_

12

1

_

21

2

_

12

1

_

2

_

2

1

_

21

11

1

_

2

11

22

1

_

2

12

12

2

1

_

21

122

211

Mas pelo Teorema do Envelope, para obter a procura hicksiana basta derivarmos a função despesa em ordem a cada preço. Isto porque, a função objectivo do problema de minimização da despesa é a função despesa e(p, v(p,y)) = y e no óptimo o ponto que maximiza a Lagrangeana também tem que maximizar a função objectivo que é precisamente a função despesa e(p,v(p,y)) = y. NOTA:

).(. 21

_

xxDouglasCobbumaserutilidadefdacasonoppu

hi

ji

e(p,u) = p1h1 + p2h2 = 21

_2 ppu

2

1

_

2

1

_

2

1

2

_

1

2

_

1

22

22

ppu

ppu

pe

ppu

ppu

pe

C.A.

12

_

12

_

12

_

2

1

_

21

2

_

1

2

),(

ppuppuppu

ppup

ppupupe


Microeconomia II 70

Identidade de Roy:

yypv

pypv

ypx ii

),(

),(

),(

1

Derivando em ordem a pi

yypvpypvypvphypxentãoe

peuphagora

yvpv

pe

pe

yv

pv

iii

i

ypvuiiii

),(),()),(,(),(),(

0.),(

No nosso exemplo:

.12...8

..4

42

4

1221

221

21

212

2

1 bemdonaMarshalliaprocuraaépy

ppyypp

ppy

ppy

yv

pv

utilidade marginal do rendimento que é também o λ (multiplicador de Lagrange do problema de maximização da utilidade).

.22 2

2 bemdonaMarshalliaprocuraaépy

yv

pv

Equação de Slutsky

yxx

pe

yxx

ph

pxjise

yx

xph

yx

hph

px

ph

pe

yx

px

uphupepx

yypxx

puph

pypx

ii

i

ii

i

i

i

i

ji

ypvui

jjypvui

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

jj

iypvui

j

i

j

..,

..

),()),(,(

),(),(),(

2

2

),(),(

),(

Se tivéssemos dotações

y = p.w

≤0 a função despesa é concava, devido ao ef. substituição


Microeconomia II 71

yx

xwph

wyx

yx

xph

py

yx

px

px j

jii

ji

jji

i

j

i

j

teconsyi

j

i

j

..

tan

- Mesmo para um bem normal, a procura marshalliana pode ser positivamente inclinada, se o consumidor for vendedor líquido do bem, ou seja,

.,0 inclinadantepositivameénaMarshalliaprocuraaentãooxweyx

iij

- Já a procura hicksiana nunca poderá em algum caso ser positivamente inclinada, pois o efeito substituição é sempre menor que zero. Excedente do consumidor

Se λ (multiplicador de Lagrange) fosse independente dos preços, significaria que o mesmo aumento do rendimento levaria a um mesmo aumento de utilidade, qualquer que fosse o ponto de partida (a inclinação original ou a razão de preços, mas geralmente não é assim.

≤ 0 ? depende se é vendedor ou comprador líquido.

? depende se o bem é normal ou inferior.

NOTA:

Bem normal: 0

yx j ;

Bem inferior: 0

yx j .

01p

'1p

x1(p,y)

x1

P1

'1

01

'1

01

11

11 .),(

),().,(

p

p

p

p

dpy

ypvp

ypvdpypxCS

01

'1

,(),(1.),(.1 '1

011

1

p

p

ypvypv

yv

dpp

ypv

yv

λ Utis por euro

Queda na utilidade – é a alteração do bem-estar medido em utis.

*

*

Admitindo que yv

é

independente dos preços, mas não é este o caso geral.

x1

x2

A

B yv

é crescente em p1.

Como se pode verificar no gráfico, o λ varia consoante o óptimo escolhido, ou seja, varia conforme a razão de preços. Nesta caso, para um mesmo aumento de rendimento, partindo do ponto B atinge-se uma utilidade mais elevada do que partindo do ponto

A. Daí que λB > λA.

AB yv

yv


Microeconomia II 72

Resumindo conceitos: Função utilidade indirecta Função despesa v(p,y) = Max u(x) s.a p.x = y

Solução: xi(p,y) =

yypv

pypv

i

),(

),(

Equação de Slutsky

yxx

ph

px i

jj

i

j

i

NOTA:

V.C. = Variação Compensatória - Variação compensatória: diz-nos o quanto dinheiro teríamos de dar ao consumidor depois de uma variação de preço, para que ele fique tão bem quanto antes da variação (pode ser obtido de 2 formas: à Hicks ou à Slutsky). C.V. é tal que v(p’,y0 + CV) = v(p0,y0) ou seja, y0 = e(p0,u0), logo CV = e(p1,u0) – e(p0,u0) - Variação equivalente: diz-nos quanto dinheiro o consumidor está disposto a dar no máximo para que não haja alterações de preços. É a variação no rendimento que é equivalente à mudança de preços em termos de variação de utilidade / cabaz de consumo. Legenda: Variação equivalente (V.E.) à Hicks.

e(p,u) = min p.x

s.a u(x) = _u

solução: i

i pupeuph

),(),(

x1

x2

B

V.C./p2 Se p1↑

C A

Se for Se for à à Hicks Slutsky

Se p1↑

x1

x2

A C

B

V.E./p2


Microeconomia II 73

V.E. é tal que v(p’,y0) = v(p0,y0 – V.E.), ou seja, y0 = e(p’,u’) onde u’ = v(p’,y0) y0 – V.E. = e(p0,u’), então V.E. = e(p’,u’) – e(p0,u’)

),'('..),(),'()','(),(),(

),(),(,).,(

00000

011

001

001

1

00

10

'1

01

upeyCVyupeyporqueuphypxuphypx

pupeuphporquedpuphVC i

p

pi

Pela equação de Slutsky

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

0

''1

01

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

tan

.,

,inf

)','(),(),'(

.)',(..

.

'1

'0

ph

pxtopor

Giffendebemfôrnãoseph

pxEntão

ph

pxeriorfossexSe

upeyuphypx

dpuphEV

ph

px

ph

pxnormalfôrxSe

yxx

ph

px

p

p

i

ii

i

i

i

i

NOTA:

)',()',()',(

),(),(

011

upeupeuph

uphp

upe

p

pi

ii

o

P1

x1

Para bem normal (x1 é normal): VC > XC

x1(p,y) h1(p,u’)

h1(p,u0)

P10

P1’

? -


Microeconomia II 74

Excedente do consumidor (tabela resumo):

BEM Normal Inferior

Subida de preço

V.C. ≥ ∆XC ≥ V.E. V.E. ≥ ∆XC ≥ V.C.

Descida de preço

V.E. ≥ ∆XC ≥ V.C. V.C. ≥ ∆XC ≥ V.E.

- Em geral, a VC ≠ VE, mas no caso das preferências quasi-lineares, as curvas de preferência são paralelas (distância entre curvas de indiferença é sempre a mesma). No caso deste tipo de preferência (as quasi-lineares) VE = VC = ∆XC. - Preferências quasi-lineares: u(x1,x2) = v(x1) + x2 Assumindo v’’< 0, sendo uma função invertível L (x1,x2,λ) = u(x1,x2) + λ[m – p1.x1 – p2.x2]

naMarshalliaocurappvx

ppxv

L

pxL

pxvxL

Pr)'(

)('

0

.10

.)('0

2

111

2

11

22

111

Sendo p2 = 1, vem λ = 1 4.2) Dualidade na teoria do produtor - Empresa que produz 1 bem usando n inputs. Toma os preços do bem e dos inputs como dados. Função de produção é f(x), com rendimentos decrescentes à escala, para que a função de produção seja côncava.

xwxfpMaxwp

x.)(.),(

p -> preço do output w -> preço dos inputs Solução: x(p,w) -> procura ordinária de inputs. Oferta: y(p,w) = f(x(p,w))

P1

x1 x1(p,y)

h1(p,u’)

h1(p,u0) P1

0

P1’

Não há efeito rendimento, x1 não depende de m.


Microeconomia II 75

Resolvendo o problema em duas fases: 1ª fase: Minimizamos as despesas de produção para cada nível de produção Min w.x s.a f(x) = y, em que y está fixo para um dado nível de produção C(w,y) é a função custo Solução: h(w,y) é a procura compensada C(w,y) = w.h(w,y)

),(.),(.),( wpxwwpypwp 2ª fase: Maximizar o lucro

),(. ywcypMax

y

Solução será y(p,w) é a função oferta x(p,w) = h(w,y(p,w)) são as procuras ordinárias pelos inputs. Pelo teorema do envelope

ii w

ywCywh

),(),( ??),(?),(

lasencontráComowpywpxi

Vejamos, L = w.x – λ[f(x) – y]

EnvelopeTóptimonoparâmetroaoordememderivadaaéywhwL

wC

ióptimoii

..),(

ofertafunçãowpyxf

p

agregprocurafwpxxw

óptimo

ióptimoii

),()(

..),(

Função procura ordinária e função oferta podem ser encontradas pelo teorema do envelope.

Exemplificando: Partindo da função de produção 3/1

23/1

1 .)( xxxf

inclinação = -2

1

ww

rectas de iso-custo

preço

y

p

F(x) = y

x1

x2

Cy

Em geral:

óptimox

x

ag

af

axgMaxaf

),()(


Microeconomia II 76

Determinar Função custo:

2/1

1

22/3*1

2/33/1

1

21

3/1

2

13/21

3/1

2

113/11

2/1

1

22/3*2

2

112

1

2

2

1

3/12

3/11

3/22

3/112

3/12

3/211

3/12

3/11

3/22

3/112

2

3/12

3/211

1

3/12

3/11221121

3/12

3/11

2211},{

.

.

.

0.31..

..31

.0

0.310

0..310

......),,(

..21

wwyx

wwyx

wwxy

wwxxy

wwyx

wwxx

xx

ww

xxy

xxw

xxw

xxyL

xxwxL

xxwxL

OPCxxyxwxwxxL

yxxas

xwxwMinxx

x1

* e x2* são as funções procura condicionadas.

A função custo vai ser dada pela seguinte expressão:

212/3

2/121

2/32/121

2/121

2/32/1

2

12/32

2/1

1

22/31

2

.2....),(

wwy

wwywwwwywwyw

wwywywC

Pelo Teorema do Envelope, sabemos que através da função custo podemos obter as funções procura condicionadas.

...

....).(.21.2

*2

2

12/3*2

2

*1

1

22/32

2/121

2/3*1

1

dqcxwwyx

wC

dqcxwwywwwyx

wC

- Função lucro:

21

2

212121 ..9..3..3.

23.2

wwpywwypwwywwy

yCustoCmgp y

Função oferta


Microeconomia II 77

- Procuras ordinárias:

21

31

213

21

2/3

21

2

21

3

21

3

21

2

221

3

2

221

31

22

133

2/3

21

2

1

21

..27.2).(

272..

..92),(

..

..27..27.2

..9.),(

.27),(

..27..3.

..9.),(

)),(,(),(

wwpwwpww

wwppwC

AC

wwp

wwp

wwppwp

wwpwpx

wwpwwp

wwp

wwwpx

wpywhwpx ii

),(..27

....273

12

21

3

1

21

2

21

2

wpxww

pw

wwpp

wwp

p

Procura ordinária x1(p,w) = h1(w,y(p,w))

11

2

21

2

1

1

1

1

1

1 ..wy

ywC

wC

wy

yh

wh

wx

Função lucro

C.A. *12

12

31

12

3

..27)1(

27x

wwpw

wp

Efeito substituição

Efeito output - mede a alteração da utilização do input 1 via alteração do output maximizador do lucro.

NOTA a) Efeito substituição é sempre negativo. NOTA b)

ii w

Ch

y0

_

p

Cmgy Preço

y

Y

B

A

x1

x2

Cmgy sobe ou desce quando w1 aumenta?

0

yhi , input normal

(Cmgy)A < (Cmgy)B


Microeconomia II 78

Max f(x) s.a w.x = m tem como multiplicador µ (é o inverso do multiplicar λ do problema de minimização de custos). Min w.x s.a f(x) = y µA > µB

Função lucro xwxfpMaxwpx

.)(.),(}{

Solução: procura ordinária x(p,w) = w

wp

),(

Oferta de output y(p,w) = )),((),( wpxfp

wp

Função custo C(w,y) = min w.x s.a f(x) = y Solução: procura compensada

ii cw

ywcyxh

),(),(

x(p,w) = h(w,y(p,w)) -> a procura ordinária é igual à procura compensada no output maximizador do lucro.

jiwy

yh

wh

wx

j

i

j

i

j

i

,.

jiyii

i

i

wycc

wx

)(

efeito output: alteração da procura do input é pela alteração do output.

Efeito substituição (é uma função côncava)

Cy

y

Preço

_

p

y0 y’

Se o input for normal

00

iyyiiyi CCentãoc

yh

Para um input normal quando w aumenta a

curva de custo marginal desloca-se para cima. Logo, y diminui, ou seja,

?0ji w

yéquantomaswy

NOTA: Cyi = Ciy > 0 derivadas cruzadas são iguais.


Microeconomia II 79

normalinputparaCC

wYentão

CC

wyywCp

yy

yi

jyy

yi

jy ,0,0),(

Cyi > 0, Cyy > 0

Então, 02

yy

iyii

yy

yiiyii

i

i

CC

CCC

CCwx

Se o input, for inferior 00

iyyiiyi CCentãoC

yh

Logo y aumenta, ou seja, 0

jwy

0

)inf(0,0

0,0),(

2

yy

iyii

yy

yiiyii

i

i

yyyi

yy

yi

jyy

yi

iy

CC

CCC

ccwxentão

eriorinputparaCC

CC

wYentão

CC

wyywcp

Quer se trate de um input normal ou de um input inferior, o efeito substituição e o efeito output têm sempre o mesmo sinal. Bem normal: quando o preço do input aumenta, o Cmg sobe, reduzindo o output. Como o input é normal isso reduz a sua utilização, logo o sinal do efeito output é igual ao efeito substituição (< 0). Bem inferior: quando aumenta o preço do input, o Cmg desce, aumentando o output. Como o input é inferior isso é acompanhado por uma diminuição do input, logo o efeito output é igual ao efeito substituição (> 0).

Input normal

Cmg crescente

Preço

y y0 y’

_

p

Output aumentou


Microeconomia II 80

Se o bem 1 é normal, o aumento de output (passagem para uma isoquanta mais alta) leva a um aumento da utilização do bem 1.

Para um bem inferior o aumento de output leva a uma redução na utilização do input 1. Cy é o multiplicador do problema min w.x e portanto é o inverso do multiplicador λ do s.a f(x) = y problema Max f(x). s.a w.x = y O λ dá-nos a eficácia de um aumento de despesa em termos de produção.

C

A

B

x2

x1

x1 normal, 0

yhi

0,)()(2

1

2

1

yiByAy

BAAB

CsejaouCC

ww

ww

x2

x1

x1 inferior, 0

yhi

B C

A

λA

λB

λA < λB, então (Cy)A > (Cy)B, ou seja, (Cy1) < 0 para bem inferior.

_

p

Y Y

Preço P

Dmercado

S’ S

Y0 Y’ Y’ Y0

Cy C’y

AC AC’


Microeconomia II 81

w1 aumenta, suponhamos x1 inferior.

0;. 1

1

2211

yx

wAC

yxwxwAC

Para um aumento de w1: -> Quer o bem seja normal ou inferior, o custo médio aumenta sempre.

As empresas mais penalizadas são aquelas que utilizam mais input 1, pois o custo médio aumenta mais – saem de mercado.

O output das empresas que ficam no mercado aumenta de y0 para y’ (individualmente) mas o output agregado diminui de y0 para y’, ou seja, a redução de output provocada pela saída de empresas é superior ao somatório do aumento de output nas empresas que ficam no mercado.

w1 aumenta, supondo x1 normal.

Y das que ficam sobe ou desce?

Não se sabe se o output das empresas que ficam aumenta ou diminui, tudo

depende do aumento do custo médio. yx

wAC i

i

- O input pode ser utilizado mais ou menos intensivamente a diferentes níveis de output. De certeza que o output agregado diminui, mas não sebemos o que acontece ao output individual. 5) Introdução aos Problemas de Informação Assimétrica - Até aqui tem-se assumido que todos os agentes têm perfeito conhecimento da qualidade e características dos produtos, a qualidade é fácil de se verificar (ou seja, não há um custo em se adquirir essas informações sobre os produtos); - Na realidade, a informação sobre a verdadeira qualidade do produto, pode ter um custo ou pode mesmo ser impossível de obtê-la – exemplo do mercado de trabalho em que é difícil distinguir um bom de um mau trabalhador; - Problemas de custo de informação surgem não só nas empresas mas também para os consumidores que têm de fazer escolhas quando adquirem bens – exemplo do mercado de carros usados, em que o comprador desconhece o estado do carro; - A informação assimétrica pode causar problemas de funcionamento de mercado.

Y0 Y’

S S’

D

Cmg

Y0 Y’

P

P

P P

Y Y Y

C’y Cy

Y0 Y’


Microeconomia II 82

The market for lemons (George Akerlof) Market for lemons: é um mercado em que os carros vendidos estão em mau estado, mas o comprador só sabe disso depois de o adquirir. Os vendedores conhecem o estado do carro, mas os compradores não! Considere-se um mercado de carros usados:

100 compradores; 100 vendedores; É de conhecimento geral que 50 dos carros à venda estão bons e os restantes 50

são de má qualidade. No entanto, a qualidade de cada carro só é conhecida por cada vendedor (os consumidores não sabem quais são os bons carros nem quais os maus).

Vendedores - dono de um carro mau está disposto a aceitar 1000€ mínimo para vendê-lo; - dono de um carro bom está disposto a aceitar 2000€ mínimo para vendê-lo. Compradores - dispostos a dar até 2400€ por um bom carro; - dispostos a dar até 1200€ por um mau carro. Se não houvesse assimetria de informação então os carros em mau estado seriam transaccionados entre 1000€ e 1200€ e os carros em bom estado seriam transaccionados entre 2000€ e 2400€. Mas se os consumidores não puderem observar a qualidade dos carros e assim não os conseguir distinguir, então os consumidores terão de dar um palpite de quando valerá o carro. Essa avaliação / palpite vai basear-se nas probabilidades de se achar um carro bom ou mau determinando-se o valor esperado do veículo. Sendo de conhecimento geral que P(carro bom) = P(carro mau) = 0,5 (por hipótese). O valor esperado do carro será = 0,5 * 1200€ + 0,5 * 2400€ = 1800€. Mas para o preço de 1800€ os vendedores de bons carros preferem sair de mercado (visto que só pretendem vender no mínimo por 2000€), logo, restam apenas carros de má qualidade no mercado! - Havendo apenas carros de má qualidade no mercado, os consumidores estarão dispostos a pagar apenas 1200€. O equilíbrio de mercado ocorrerá entre os 1000€ e 1200€, visto todos saberem que só os maus carros ficam no mercado. - Os carros em bom estado saem de mercado apesar de haver quem os queira vender e quem os queira adquirir; o mercado de carros de qualidade desaparece devido à externalidade causada por vendedores de maus carros. Quando um indivíduo tenta vender um mau carro vai afectar a percepção da qualidade de quem compra e logo o valor esperado de um carro vai diminuir aos olhos do consumidor. Quanto menor for o valor esperado, mais serão afectados os que querem vender bons carros, criando-se assim uma falha de mercado. Quantos mais carros de má qualidade estiverem no mercado, mais difícil se torna a venda de carros com boa qualidade.


Microeconomia II 83

Escolha da qualidade

Iremos de seguida considerar que a qualidade pode ser determinada pelos produtores no mercado das sombrinhas.

2 qualidades de sombrinhas; - Valorização dos consumidores:

de sombrinhas de alta qualidade: 14€ de sombrinhas de baixa qualidade: 8€.

No entanto é impossível dizer / saber qual a qualidade da sombrinha no acto de aquisição.

Custos de produção de sombrinhas: de alta qualidade: 11,50€ de baixa qualidade: 11,50€

- fracção de boas sombrinhas no mercado = q; - fracção de más sombrinhas no mercado = 1 – q. Valor esperado de uma sombrinha = p = 14q + 8(1 - q) Podem dar-se 3 casos:

1) Apenas são produzidas sombrinhas de baixa qualidade. Os consumidores valorizam estas sombrinhas em 8€, mas estas custam 11,50€ a ser produzidas, logo, nenhuma transacção ocorreria.

2) Apenas são produzidas sombrinhas de alta qualidade. Neste caso haveria excedente do consumidor, uma vez que os consumidores dão até 14€ / sombrinha e estas custam apenas 11,50€ a serem produzidas.

3) Ambas as qualidades são produzidas. Num mercado competitivo P = Cmg = 11,50€, logo a qualidade esperada pelos consumidores deverá ter um valor de pelo menos 11,50€. Algebricamente temos: 14q + 8(1 – q) ≥ 11,50€ 6q ≥ 3,5 q ≥ 7/12. A menor fracção de qualidade que satisfaz esta inequação é q = 7/12.

Como se pode verificar graficamente abaixo de q = 7/12, os consumidores têm sempre uma valorização (da sombrinha) menor que o custo de produção destes => não se irão vender sombrinhas se q < 7/12 => mercado desaparece. XP (excedente do produtor) = 0, sempre para qualquer nível de qualidade, visto

que o mercado é perfeitamente competitivo; XC (excedente do consumidor) varia consoante o nível de qualidade das

sombrinhas. Quanto maior a qualidade dos chapéus-de-chuva maior será o seu excedente.

Os custos de produção são iguais, assume-se que a indústria é competitiva.

P

q

P = 14q + 8(1 – q)

11,50€

7/12


Microeconomia II 84

- Suponhamos agora que o custo de produzir 1 sombrinha de boa qualidade é 11,50€ e custa 11€ a produzir uma de baixa qualidade.

q é a fracção de chapéus de alta qualidade; O mercado tem comportamento competitivo em que os produtores

individualmente pensam que terão um efeito negligenciável se produzirem chapéus de baixa qualidade. No entanto, todos os produtores vão pensar que têm um impacto negligenciável no mercado, fazendo com que a tendência seja a de todos produzirem apenas chapéus de má qualidade.

- A conclusão a retirarmos deste último modelo é que a possibilidade de produzir bens de baixa qualidade a custos mais baixos destruiu o mercado dos guarda-chuvas. Selecção adversa – Informação escondida

O caso anterior dos guarda-chuvas é de selecção adversa, em que bens de baixa

qualidade expulsam os bens de qualidade devido ao custo de adquirir a informação. Exemplo de selecção adversa – Companhia de seguros:

Companhia de seguros oferece seguro para o roubo de bicicletas; A incidência de roubos varia muito entre comunidades.

- Se o seguro aplicado pela seguradora for uma media, vai suceder que as pessoas das zonas mais calmas não compram o seguro, estas só estão dispostas a pagar um valor abaixo da média, enquanto as pessoas com incidência de roubo mais alta e que estão dispostas a pagar mais do que o preço média do seguro vão ser as únicas que querem o seguro.

Verifica-se assim que a média não é uma boa forma de fazer seguros, uma vez que só quererão fazer seguro os que têm um risco muito maior, gerando prejuízo para a seguradora.

Os assegurados de alto risco afastam os potenciais assegurados de baixo risco, visto que o preço do seguro vai ser mais alto.

- Uma possível solução para o problema dos seguros é o de fazer seguros com base na média de cada grupo de indivíduos. É possível fazer com que os indivíduos de baixo risco possam obter seguros mais baixos que os indivíduos de alto risco e todos possam beneficiar com os seguros. NOTA: os indivíduos de alto risco beneficiam com a presença de indivíduos com menor risco. Se a probabilidade de roubo fosse igual em todos os locais não haveria problema de selecção adversa. - Este é um caso em que impondo restrições (fazendo segmentação de mercado) é possível atingir pontos mais eficientes (movimentos de Pareto). Moral Hazard – Risco Moral. Acção escondida

- Se a probabilidade de roubo de uma bicicleta fosse igual em todos os locais, então não haveria problema de selecção adversa, mas a probabilidade de roubo poderia ser afectada por acções por parte dos donos, podendo estes ter mais cuidados ou não com a sua bicicleta.


Microeconomia II 85

Sem seguro, os consumidores têm mais cuidado, visto que são eles que suportam a perda na totalidade.

Por outro lado, se o seguro reembolsar tudo (na totalidade) então o indivíduo não tem incentivo a ter cuidado nenhum. É a falta de incentivo que gera o problema de risco moral, em que a seguradora não consegue controlar a acção / os cuidados que o segurado tem. Se a acção for observável então não há problema e a seguradora pode discriminar e aplicar diferentes preços aos segurados.

Solução para problema de “moral hazard”: não fazer seguros completos, para que

o segurado tenha também sempre alguma perda própria e assim seja “obrigado” a ter algum cuidado e tomar precauções. - O equilíbrio de uma situação com risco moral é diferente de um equilíbrio de mercado (em geral). Algumas conclusões e notas a reter: - Risco moral tem a ver quando uma das partes de mercado não observa as acções do outro lado. É um problema de acção escondida, em que geralmente a solução passa por um racionamento. - A selecção adversa, tem a ver com problemas de informação escondida, levando a que hajam poucas transacções devido à existência de bens em boas e más condições (não se conseguindo fazer a distinção); - Quanto menor a informação disponível, menor será a eficiência de mercado. Sinalização

Considere-se novamente o mercado de carros usados: - Os donos dos carros de boa qualidade têm um incentivo a tentar convencer os consumidores que de facto têm um bom carro, praticando acções que dão um sinal sobre a qualidade do carro – exemplo da garantia. Os bons carros podem dar garantia mas os carros de pior qualidade caso o façam terão depois um maior risco de serem devolvidos, não compensando aos donos dos carros de má qualidade dar a mesma garantia que os dos bons carros. - A sinalização ao ajudar os consumidores a distinguir os bons dos maus carros faz com que o mercado atinja uma melhor performance. Modelo simplificado sobre a educação como sinal (M. Spence)

- Trabalhador bom tem Pmg = a2 - Trabalhador mau tem Pmg = a1 e a2 > a1

b% dos trabalhadores são bons e (1-b)% são maus; Assume-se um mercado de trabalho competitivo; Função de produção, f(L1, L2) = a1.L1 + a2.L2 Se a qualidade do trabalho fosse observável então w1 = a1 aos maus

trabalhadores e w2 = a2 aos bons trabalhadores. Cada um seria pago pelo seu produto marginal.

Mas as empresas em geral não conseguem saber quem são os bons e os maus trabalhadores, então ofereceria um salário w = (1 - b).a1 + b.a2, desde que ambos os tipos de trabalhadores concordem em trabalhar por este salário não haveria problema de selecção adversa;


Microeconomia II 86

Suponhamos agora que há um sinal que distingue os tipos de trabalhadores: a educação.

e1 = nº de anos de educação do trabalhador 1; e2 = nº de anos de educação do trabalhador 2. Custos: c2.e2 = custo total da educação para trabalhador 2; c1.e1 = custo total da educação para trabalhador 1.

Assume-se que: a educação não afecta a produtividade e c2 < c1, significa que o Cmg de adquirir educação para um bom trabalhador é mais baixo que o Cmg para um mau trabalhador.

Suponhamos ainda que se exige um nível de escolaridade e* que satisfaz as

inequações: 12122

12*

1

12 , cceaaqueemc

aaec

aa

,

De maneira a que: a2 – a1 < c1.e*, em que o custo de adquirir mais educação para um trabalhador mau é superior ao benefício, o trabalhador mau nunca quererá “mascarar-se” de bom trabalhador, visto que tem grandes custos com isso, ficando a perder. a2 – a1 > c2.e*, o benefício de adquirir mais educação para o bom trabalhador é superior ao seu custo. Desta situação, verificamos que cada tipo de trabalhador se vai auto-discriminar ao dizer o nível de educação que tem. Educação é o sinal!

- Este equilíbrio de sinalização é conhecido por equilíbrio separador dado que no equilíbrio cada trabalhador vai fazer uma escolha que permite separá-lo / identificá-lo dos restantes. - Pooling equilibrium, é um equilíbrio em que cada tipo de trabalhador faria a mesma escolha. Exemplo: se c2 > c1, desta forma os trabalhadores mais aptos teriam maiores custos de educação => não há sinal!

No caso do equilíbrio separador, os trabalhadores mais aptos estão dispostos a pagar pela educação, não por um aumento da produtividade, mas apenas para se diferenciarem dos maus trabalhadores (pagam para adquirir o sinal). Neste equilíbrio, o sinal é um desperdício do ponto de vista social. Os trabalhadores bons só vão estudar mais, devido à existência / presença de maus trabalhadores (que provocam externalidade). Só por isso é que os bons trabalhadores vão estudar mais para enviar um sinal e assim dar a informação que são eles os melhores. Este investimento em educação só traz benefícios em termos individuais (aumento de salários) pois a nível social tudo fica na mesma (a produtividade é a mesma) – sinal é ineficiente.

- Os sinais podem ser benéficos ou maléficos do ponto de vista social. Incentivos Situação: suponha-se que há uma terra que para ser trabalhada é necessária a

contratação de mão-de-obra. O pagamento da mão-de-obra pode ser feito através de uma transferência lump-sum

(mas que não incentiva o trabalhador a produzir) ou tornar o pagamento do trabalhador dependente da produção (o que constitui maior incentivo a produzir).

Seja x, o esforço do trabalhador e y o output produzido, de maneira que y = f(x), Py = 1 -> por hipótese


Microeconomia II 87

s(y) -> é o salário do trabalhador - Dono da terra escolhe s(y) de modo a maximizar o lucro Π = y – s(y) Em que y depende de x, e x é uma escolha do trabalhador e não do principal. Se o

esforço exige um custo c(x) ao agente e tendo este uma utilidade _u como custo de

oportunidade, teremos a seguinte restrição de participação do agente:

s(f(x)) – c(x) ≥ _u , onde

_u é a remuneração na melhor alternativa.

Problema do principal

O principal gostaria que o agente escolhesse x que Ou seja ou seja, f’(x) = c’(x), logo Pmg(x) = Cmg(x). Mas como implementar esse nível de x* de esforço? É necessário que o agente dê incentivos ao trabalhador para que este escolha esforçar-se x* e nenhum outro nível de x. Temos assim a restrição de compatibilidade de incentivos: s(f(x*)) – c(x*) ≥ s(f(x)) – c(x), x

É esta restrição que garante que a utilidade de o trabalhador escolher x* terá de ser superior à de se esforçar em qualquer outro montante de x. Temos assim 2 restrições no esquema de incentivos que devem ser satisfeitas:

1) a utilidade do trabalho tem que ser pelo menos igual à sua melhor alternativa _u -

Restrição de participação. 2) Pmgx = Cmgx – Restrição de compatibilidade de incentivos.

Esquemas de incentivo – exemplos:

1) Renda - O dono da terra arrenda a terra por R, de maneira que o trabalhador fica com todo o produto que produz depois de pagar R. Neste esquema s(f(x)) = f(x) – R

O trabalhador )()()())((}{

xcRxfxcxfsMaxx

, o ponto óptimo x* vai ser

quando Pmgx = Cmgx, que é exactamente o que o dono quer. R é determinado na condição de participação.

f(x*) – c(x*) – R = _u R = f(x*) – c(x*) -

_u

Para que o esquema funcione é necessário que o trabalhador seja menos avesso ao risco do que o dono das terras caso contrário o esquema será ineficiente.

2) Trabalho assalariado Neste esquema o trabalhador recebe uma parte variável e uma parte fixa (K) no seu

salário. s(x) = w.x + K w = Pmg(x*) e K é determinado de modo a que o trabalhador seja indiferente entre

trabalhar aqui ou na sua melhor alternativa, ou seja, é determinado na sua restrição de participação.

_

)())((.

))(()(

uxcxfsas

xfsxfMax

,)()(_

}{uxcxfMax

x


Microeconomia II 88

Problema a resolver é:

)(.}{

xckxwMaxx

das C.P.O. tiramos que w = Cmg(x) e como w = Pmg(x),

então Pmg(x*) = Cmg(x*), que é a pretensão da empresa.

K tal que w.x* + K – c(x*) = _u => K* =

_u - w.x* + c(x*)

- O problema do trabalho assalariado é que requer a observação do montante de input trabalho. O salário ao basear-se no esforço feito pelo trabalhador, automaticamente exige supervisão que avalie o esforço feito.

3) Tomar ou largar Neste esquema paga-se B* se este se esforçar x* e paga zero *xx , B* pode ser

encontrado pela restrição de participação.

B* - c(x*) = _u => B* =

_u + c(x*), se x *x o trabalhador fica com 0 - c(x*), ou seja,

fica com uma utilidade de – c(x). A implementação deste esquema requer a supervisão do proprietário a fim de se verificar que o trabalhador de facto praticou o esforço acordado, por outro lado, caso o trabalhador seja avaliado pelo output produzido, tem de ser ele a suportar todo o risco (pode não conseguir concretizar o objectivo acordado por interferência de outros factores exógenos).

4) Partilha de colheita Na partilha de colheitas o trabalhador e o proprietário partilham as colheitas de

acordo com percentagens fixas. O trabalhador ficará com α% enquanto ao proprietário pertencerá ficar com (1 – α)%. - O salário do trabalhador vai ser s(x) = α.f(x) + F, em que F é a componente fixa do salário; α < 1. - O problema do trabalhador é

)()(.}{

xcFxfMaxx

Pmgx

Cmgx

W

x x*

x

B

B*

x*


Microeconomia II 89

Pelas C.P.O. verificamos que )()(.^^xCmgxPmg , que é claramente diferente de

Pmg(x*) = Cmg(x*) e logo conclui-se que neste esquema não sendo satisfeita a condição de eficiência, este nunca poderá ser uma forma óptima de incentivo, dado

*^

xx . - Para que o incentivo seja óptimo é necessário que o trabalhador seja um “residual claiment”, ou seja, o trabalhador deverá receber um produto igual ao seu custo de esforço e não apenas uma fracção α do custo pessoal que incorre ao trabalhar, só assim se pode garantir que se atinge o nível de esforço óptimo x*. - A partilha de colheitas acaba por ser uma solução intermédia entre a renda (com muito risco para o trabalhador) e o trabalho assalariado (que pode ser pouco produtivo quando não observado), dado que incentiva o trabalhador não só porque este ganha uma fracção do que produz mas também porque está a ser observado e por outro lado o trabalhador não suporta todo o risco num sistema de partilhas.


Microeconomia II 90

Notas finais sobre a sebenta Esta sebenta está organizada em cinco grandes partes, seguindo de perto o programa apresentado na cadeira de Microeconomia II. Toda a informação exposta nestas páginas tem por base dois pilares: em primeiro lugar os apontamentos retirados das aulas teóricas (e circunstancialmente em práticas) e em segundo plano é complementada pela bibliografia recomendada pelos docentes. Esta é uma sebenta que visa essencialmente os conteúdos teóricos da disciplina.

A utilização esporádica de alíneas (tópicos) e numerações no decorrer dos textos, justificam-se apenas por uma questão de melhor memorização, organização e entrosamento de conteúdos.

Por último, é importante relembrar que a sebenta não substitui

nenhuma aula teórica ou prática ou qualquer bibliografia recomendada pelo professor. Algumas abreviaturas / simbologia (vulgarmente utilizadas no contexto microeconómico): RO: Restrição Orçamental CI: Curvas de Indiferença TMS: Taxa Marginal de Substituição TMST: Taxa Marginal de Substituição Técnica TMT: Taxa Marginal de Transformação Pmgx: Produtividade Marginal do factor de produção x Cmg: Custo Marginal ou MC: Marginal Cost Bmg: Benefício Marginal ou MB: Marginal benefit Rmg: Receita Marginal ou MR: Marginal Revenue FPP: Fronteira de Possibilidades de Produção FPU: Fronteira de Possibilidades de Utilidade P: Preço XS: excesso de oferta XD: excesso de procura VC: Variação Compensatória VE: Variação Equivalente XC: Excedente do Consumidor ou CS: Consumer Surplus VA: Valor actualizado ou VAL: Valor Actualizado Líquido x >> o: x ponto interior da Caixa de Edgeworth (símbolo utilizado na pg. 10 e 11)

Documents

A Caixa de Edgeworth - dthenriques.orgfree.comdthenriques.orgfree.com/MicroeconomiaII.pdf · David Henriques F.E.U.N.L. Microeconomia II 3 Não há equilíbrio em x, pois apesar das