A DESIGUALDADE DE CHEBYCHEV

HÉLIO BERNARDO LOPES

O PROBLEMA

Seja X uma variável aleatória contínua, definida em R, com função densidade de probabilidade dada por:

1

20 2

0 0 2

x x

x

,

,

O valor médio de X - o seu primeiro momento ordinário, portanto - e o seu segundo momento ordinário valem, respectivamente:

E X x xdx

E X x xdx

12

0

243

2 2 12

0

2

2

pelo que a variância de X toma o valor:

V X E X E X 2 22

24

3

2

9

Admita-se, agora, que se pretende calcular a seguinte probabilidade:

P X

4

3

2

3.

Ora, tendo-se:

X X

4

3

2

3

4 2

3

4 2

3

o valor da probabilidade procurada vale:

12

4 23

4 23

0 629xdx~

,

Esta é, pois, uma estimativa da probabilidade de que a variável aleatória X assuma valores no intervalo:

4 2

3

4 2

3

,

centrado no valor médio de X :

E X X 4

3

e de semi-amplitude igual ao desvio-padrão de X :

X 2

3

Neste caso, foi possível obter o valor da probabilidade procurada, conseguido com a precisão que se entendeu, dado ser conhecida a distribuição da variável aleatória X em causa.

Pode, porém, acontecer que se conheçam o valor médio e o desvio-padrão da variável aleatória, mas se desconheça a correspondente distribuição, o que impossibilita o cálculo tal como anteriormente

apresentado. É para uma situação deste tipo que a Desigualdade de Chebychev se mostra de enorme utilidade.

Este importante instrumento da Teoria da Probabilidade é válido para uma qualquer variável aleatória, com a única condição de ser finito o valor da respectiva variância, o que acarreta que os dois primeiros momentos ordinários o sejam também.

Este resultado é válido, por igual, para o caso de distribuições discretas, mas acarreta, em qualquer caso e como seria sempre de esperar, uma imprecisão na estimativa achada para a probabilidade do acontecimento em causa.

A DESIGUALDADE DE MARKOV

A Desigualdade de Markov, cuja demonstração se omite aqui, mas que pode encontrar-se nos manuais dos autores portugueses mais consagrados, constitui o suporte para se chegar à Desigualdade de Chebychev.

Seja, então, g X( ) uma função mensurável da variável aleatória X ,

e que não assuma valores negativos, ou seja, g X( )³0. Então, se

existir o valor médio de g X( ) , E g X( ) , ter-se-á que:

c R , P g X c

E g X

c( )

( )³

Torna-se, assim, evidente que, no caso de se ter:

g X X( )

a Desigualdade de Markov conduz ao seu corolário:

P X c

E X

c³

Retomando o exemplo da distribuição inicial, facilmente se pode mostrar que:

P X xdx x³

4

3

1

401

24

3

2

24

3

2, (5).

Em contrapartida, se se desconhecesse a distribuição da variável aleatória X , e se recorresse ao anterior resultado, particularização da Desigualdade de Markov, obter-se-ia:

P X ³

4

31

4343

o que, sendo inteiramente evidente, seria, por igual, de uma completa inutilidade, dado que a probabilidade de um qualquer acontecimento não pode assumir um valor superior à unidade.

A DESIGUALDADE DE CHEBYCHEV

A partir da Desigualdade de Markov, tome-se:

g X X c tX X( ) ( ) 2 2 2

onde X e X são, respectivamente, o valor médio e o desvio-padrão

de X , e onde t R . Virá, então, por substituição na Desigualdade de Markov:

P X t

E X

t t tX X

X

X

X

X

( )( )

³

2 2 2

2

2 2

2

2 2 2

1

ou seja:

P X ttX X ³ 112

Esta expressão, ou a imediatamente anterior, constitui a importante Desigualdade de Chebychev, para o caso de uma única variável aleatória.

O que a última expressão mostra é que a probabilidade de que a variável aleatória X assuma valores num intervalo centrado no valor

médio de X e com semi-amplitude t X , é, no mínimo, de:

112 t

Seja, então, estimar:

P X P X P X

4

3

1

3

4

3

2

2

2

315

3,

Se se conhecer a distribuição de X , esta probabilidade vale:

P X xdx

1

5

30 41

21

53

, , ( ).

Contudo, se essa distribuição for desconhecida, e se recorrer à Desigualdade de Chebychev, virá, dado ser:

t 2

2

que a mesma fornece:

P X

³

4

3

2

2

2

31

1

2

2

12

o que, sendo naturalmente evidente, é também cabalmente inútil. Ou seja, 1 é o limite mínimo para a probabilidade procurada.

Note-se que se pode deduzir, a partir da Desigualdade de Markov, uma outra propriedade mais particular, mas exigindo o conhecimento de maior informação.

Assim, se para a variável aleatória X se conhecer o momento

absoluto ordinário de ordem r R , tem-se que é válido o resultado:

P X c

E X

c

r

r³

onde c R . Veja-se, como aplicação do que acaba de referir-se, o seguinte

EXEMPLO. Suponha-se, então, que se conhece o momento absoluto ordinário de quinta ordem, cujo valor é:

E X 5 9 14 ,

e se pretende calcular:

P X ³

3

2

Deitando mão da anterior propriedade, ter-se-á:

P X ³

3

2

9 14

3

2

1 205

,,

Ora, se a distribuição fosse conhecida, o valor da probabilidade em causa seria:

P X xdx³

3

2

7

160 43751

2

2

32

,

o que mostra que o limite superior conseguido anteriormente, sendo evidente, está muito longe de trazer o que quer que seja de útil como informação. É, tal como se disse anteriormente, o preço a pagar pelo facto de se desconhecer a distribuição da variável aleatória em causa, e também pelo distanciamento da distribuição em estudo face ao modelo gaussiano.

O que já pôde perceber-se é que, ao nível do exemplo inicialmente considerado, a Desigualdade de Chebychev se mostrou bastante redundante, já que a informação que produziu foi relativamente inútil. Tal é, claro está, o custo que a sua generalidade comporta.

O único caminho para melhorar o valor das suas contribuições é o de restringir o conjunto das distribuições a que se aplica, havendo necessidade de se conhecer, ao menos, que o seu comportamento tem maior proximidade com o de tipo gaussiano. Uma tal melhoria também pode conseguir-se, contudo, se forem conhecidos momentos de ordem superior à segunda. É o que se passa com o caso de uma variável aleatória de valor médio nulo, 0 ,

variância 2 , e se for conhecido o momento absoluto ordinário de quarta ordem:

44E X

obtendo-se, então:

P X tt t

³

44

44 4 2 42

com t 1 .

Veja-se, agora, um outro caso, já numa situação muito mais próxima do modelo gaussiano, que se apresenta com o seguinte

EXEMPLO. Seja, então, uma variável aleatória, X , normal, de valor médio e variância, respectivamente, 6 e 0,36:

X N~ ; , .6 0 36

Nestas circunstâncias, o desvio-padrão de X vale:

X 0 6, .

Se se pretender calcular a probabilidade do acontecimento:

X 6 1

virá, recorrendo à tabela da lei normal reduzida:

P X 6 1 0 905, .

Em contrapartida, se se desconhecer a distribuição de X e se recorrer à Desigualdade de Chebychev, obter-se-á:

P X P X

³

6 1 61

0 60 6 1

1

1

0 6

0 642,,

,

,

dado ter-se aqui:

t 1

0 61 6

,,( ). ·

Por aqui se vê, pois, que a Desigualdade de Chebychev forneceu um limite mínimo para a probabilidade procurada, embora muito distante do valor estimado no caso de ser conhecida a distribuição da variável aleatória em estudo, agora com um comportamento muito mais próximo do gaussiano que no caso do exemplo anterior.

UM CASO PARTICULAR IMPORTANTE

Admita-se, agora, que se possuem n variáveis aleatórias, semelhantes e independentes, cada uma com valor médio e variância

2 , sendo n N.

A média aritmética das n variáveis aleatórias é a nova variável aleatória:

X

X

n

ii

n

1

cujo valor médio e variância são, respectivamente:

E X

V Xn

2

Recorrendo à Desigualdade de Markov, mas tomando agora a nova função g : R®R, definida por:

g X X 2

para a qual:

E Xn

22

virá:

P X tnt

P X tnt

³ ³

2 2 2

2

2 2 2

1

1

( )

A expressão (1) é, pois, a da Desigualdade de Chebychev, quando a variável aleatória em causa é a média aritmética de n variáveis aleatórias, semelhantes e independentes, situação que se coloca frequentemente na prática. A este propósito, veja-se o seguinte

EXEMPLO. Tomando, ainda, os dados do anterior exemplo, e admitindo que se tomou uma amostra de dimensão 100 da referida população, mas desconhecendo que se está perante uma distribuição normal, ter-se-á:

E X

V X

60 36

1000 0036

,,

pelo que será:

X0 06, .

Se neste caso se pretender estimar um valor para a probabilidade do acontecimento:

X 6 1

virá:

P X P X

³

6 1 61

0 060 06 1

1

1001

0 06

0 9999642,,

,

,

Esta é uma estimativa do mínimo da probabilidade procurada. De facto, se se soubesse que:

X N ZX

N~ ; ,,

~ ;6 0 00366

0 060 1

tirar-se-ia da tabela da lei normal reduzida que:

P X 6 1 1.

A maior aproximação entre a anterior estimativa, 0,999964, e o valor real, quando se conhece a distribuição, deve-se ao facto de se ter usado uma amostra já grande, através da distribuição da sua média aritmética. ·

UM SEGUNDO CASO PARTICULAR IMPORTANTE

A Desigualdade de Chebychev a que se chegou inicialmente refere-se a um intervalo centrado no valor médio da variável aleatória em causa.

Podem considerar-se, contudo, intervalos centrados num valor real qualquer, , não necessariamente coincidente com o valor médio.

Retomando a Desigualdade de Markov e fazendo:

g X X( ) 2

ter-se-á:

P X t

E X

t ³

2 2 2

2

2 2

ou seja:

P X tE X

t ³

2

2 2

ou ainda:

P X tE X E X E

t ³

2 2

2 2

2

ou, finalmente:

P X t

t t ³

12

2

2 2

2( )

dado que o primeiro momento central de X é nulo:

E X 0

e que:

E 2 2

E X 2 2 .

A expressão (2) pode tomar a forma:

P X t

t t ³

112

2

2 2

3( )

onde (3) fornece uma estimativa do limite inferior da probabilidade de Xassumir valores no intervalo:

t t,

centrado em e não em .

De igual modo, se se tiver a função:

g X X 2

a Desigualdade de Chebychev virá neste outro formato:

P X t

nt t ³

112

2

2 2

que é também de muito fácil obtenção.

UM TERCEIRO CASO PARTICULAR IMPORTANTE

A Desigualdade de Chebychev pode apresentar-se de um modo mais geral. Considerem-se, então, nN, variáveis aleatórias

independentes, X i , ( i = 1,..., n ), todas elas de média nula, 0 , e

variância, i2 , ( i = 1,...,n ).

Seja, agora, a variável aleatória:

X X X Xn ii

n

11

para a qual se tem:

E X E X X n ii

n

n

21

2 2

1

2

.

Sejam, então, os acontecimentos:

D X t

D X X t

D X X t

n

n

n n n

1 1

2 1 2

1

.........................................

A Desigualdade de Chebychev garante, então, que:

P D D Dt

P Dtn i

i

n

1 2 21

211

11

³

³

...

Trata-se de uma propriedade de essencial interesse para a obtenção de uma condição suficiente para a conhecida lei forte dos grandes números.

O CASO ESTOCÁSTICO

O conceito de processo estocástico constitui, pode dizer-se assim, uma generalização do de variável aleatória. De facto, o processo estocástico mais não é que um conjunto de variáveis aleatórias, todas

igualmente distribuídas, mas cada uma delas dependente de um parâmetro definido em certo domínio.

Para certo valor desse parâmetro obtém-se uma variável aleatória, com a referida distribuição. Em contrapartida, para certo valor da variável aleatória, obtém-se uma função do parâmetro antes referido, definido no domínio considerado.

Ao domínio onde se encontra definido o parâmetro considerado dá-se o nome de conjunto-índice do processo estocástico correspondente.

De um modo geral, os casos mais importantes são aqueles em que o parâmetro do processo estocástico é a variável tempo. Se o conjunto-índice é o conjunto dos números naturais, N, ou o dos inteiros, Z, ou uma sua parte própria, o processo estocástico diz-se de parâmetro discreto. Se o conjunto-índice é o corpo real, ou uma sua parte própria, o processo estocástico designa-se de parâmetro contínuo.

Também no caso de um processo estocástico:

X t t T( ):

onde t é o parâmetro do processo, com valores no domínioT , se pode considerar uma função de valor médio do processo estocástico.

Em torno desta função de valor médio dispõem-se, para um e outro lado, as diversas realizações do processo estocástico, cada uma definida para um certo valor de t T .

É, então, possível mostrar que, se o processo estocástico:

X t t a b( ): ,

for diferenciável em média quadrática, e fazendo:

g t E X t

g t E X t

1

21

2

2

21

2

( ) ( )

( ) ( )'

se tem:

E X t g a g b g t g t dt

t a b a

b

sup ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .,

2

12

12

1 2

1

2

E desta propriedade se pode obter, como corolário, a Desigualdade de Markov para o caso dum processo estocástico nas condições indicadas:

c R ,

P X t c

E X t

ct a b

t a bsup ( )

sup ( )

,

,

2

2

Se for m t( ) a função de valor médio do processo estocástico X t( ) , pode obter-se a Desigualdade de Chebychev para o caso de um processo estocástico nas condições referidas, ou seja:

P X t m t cc

dt

cX a X b X t X ta

b

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )'

³

1

2

2 2

2 2

onde t a,b e c R . Trata-se, pois, de um limite inferior para a probabilidade de o processo estocástico se situar no interior de certa região centrada na sua função de valor médio.

Se se considerarem duas realizações do processo estocástico em causa, sejam X e Y , ambas com valor médio nulo e variância unitária, e se for o coeficiente de correlação entre as duas realizações - variáveis aleatórias, portanto -, pode mostrar-se que se tem:

E max X Y, 1 1 2

e também que:

P X E X t Y E Y ttX Y ³ ³

1 1 2

2

E é claro que se forY constante, será 0 , obtendo-se, então, a expressão já antes achada para a Desigualdade de Chebychev no caso de uma só variável aleatória:

P X E X ttX ³ 12

Fica assim tratada a Desigualdade Chebychev mas numa variedade muito mais vasta de situações que as normalmente contempladas nos textos de uso corrente ao nível dos cursos de licenciatura onde o tema está usualmente presente.

BIBLIOGRAFIA

MELLO, F. Galvão de (1993): Probabilidades e Estatística, Conceitos e Métodos Fundamentais - Volume I, Escolar Editora, Lisboa.

MURTEIRA, Bento José Ferreira (1990): Probabilidades e Estatística - Volume I, 2ª Edição Revista, Editora McGraw-Hill de Portugal, Lda..

OLIVEIRA, J. Tiago de (1990): Probabilidades e Estatística: Conceitos, Métodos e Aplicações, Volume I, Editora McGraw-Hill de Portugal, Lda..

PARZEN, Emanuel (1972): Processos Estocasticos, Paraninfo, Madrid.