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Shin NakamuraShin Nakamura(Center for Quantum (Center for Quantum SpacetimeSpacetime
((CQUeSTCQUeST) , ) , SogangSogang Univ.) Univ.)
Ref.: S. Kinoshita, S. Mukohyama, S.N. and K. Oda. arXiv:0807.3797
A Holographic A Holographic Dual of Dual of BjorkenBjorken FlowFlow
AdS/CFTある種のd次元強結合ゲージ理論の量子論はd+1次元古典重力理論と等価である。 (Maldacena
1998)
5次元の漸近的にAdSな時空
boundary4次元の
AdS5
“Holography”
4d N=4 Super Yang-Millsat large-Nc,λ»1
典型的対応
AdS5×S5 古典SUGRA5d
ゲージ理論プラズマの記述
N=4 SYMのdeconfinement
phaseは5次元AdS
black holeを用いて記述される。
(Witten
1998)
温度
:Hawking温度エントロピー:horizonの面積
強結合ゲージ理論プラズマを記述するもう一つの方法。
ゲージ理論プラズマの物理
ブラックホールの物理
AdS/CFTのdictionrary
4次元ゲージ理論の Tμν
に関するsource
重力側の作用 ゲージ理論の有効作用
境界があるので、境界条件の関数
operatorに対するsourceの関数
例えば境界上のgμν
ゲージ理論のstress tensorの期待値を
重力理論を用いて計算できる。
(GKP-Witten
1998)
これで作用を偏微分
流体力学
Stress tensorなど、保存currentの時間発展
を記述する有効理論
重力がstress tensorの期待値を計算
できるのであれば、ゲージ理論プラズマの流体力学をも記述できると期待するのは自然。
ここではN=4 SYMのBjorken
flowを記述するAdS/CFTモデルを提出する。
Bjorken FlowBjorken
flowとはRHIC等加速器実験で生成される
Quark-gluon plasma
(QGP)の最も基本的かつ単純な膨張モデルである。(Bjorken
1983)
• 一次元膨張• boost不変性
特徴:
対称性が高いため、状態方程式が得られれば、プラズマの相対論的流体方程式を解くことができる。
Image
http://www.bnl.gov/RHIC/heavy_ion.htmFor the movie:
Bjorken
flow の local rest frame(LRF)
τ=const.
y=const.22222⊥++−= dxdydds ττ
yxyt sinh,cosh 1 ττ ==
単純化するためここでは
初期条件は 手で与える。
Minkowski
spacetime
x1:衝突軸
t:時間
Rapidity
Proper-time
この座標ではBjorken
flowが
静止して見える。
Boost不変性:y方向の並進不変性
Bjorken
flowをAdS/CFTで
記述できるか?
Bjorken
flow:時間変化する膨張する系
時間変化するblack holeを考える必要があり、non-trivialである。
この仕事では、初めてBjorken
flowのAdS/CFT(“time-dependent”
black hole)による矛盾のない
記述に成功した。
時空を求めるには?
•
5次元Einstein方程式(負の宇宙項)を解く。
•
境界条件としてはBjorken
flowのlocal rest frame 上のmetricを使用。
•
この条件のもとで5次元時空から読み取られる stress tensorが対角的になるように要請。
•
τ-2/3を単位としてEinstein方程式を展開し、order by orderで逐次時空を決定していく。
22222⊥++−= dxdydds ττ
流体力学からの示唆
Penrose diagram
boundaryfuture
even
t hori
zon
past event horizon
singularity
dynamicalapparent
horizon
trapped region
un-trapped region
同一時刻面
Eddingtong-Finkelstein座標で定式化
Cf. Janik-Peschanski
(2005)on the Fefferman-Graham coordinates.
5次元時空 (to the order of τ-2/3)
( ) 222212222222 )(12 ⊥−− ++++−= xderdyrerdrddards ccb rττττ
{ }
...)1log(21
)log()log()arctan(31
...1
...3)1(321
3/23
2440
21
21
21
3/21
3/25
40
41
4144
1 +⎟⎠⎞−−−
⎜⎝⎛ +−−+−=
++
−=
+−++
−−=
−−
−
−
−−
τη
τξ
τηξξ
ξ
π
uuw
wuwuuww
c
ub
uuwwuuwagauge 自由度
5次元時空がhorizon近傍でregularとなる唯一の場合:
.31
0 w=η( ) )(regular21
)(3)19(4 3/43/4
2202 −− ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−−
= ττημνρλ O
wuwuwR
3/1τru ≡ 境界条件のみでは決まらない積分定数
積分定数η0
の意味
Stress tensor
を時空から読み取ってη0の意味を解釈
w31
0 =ηπ
η41
=s
Kovtun-Son-Starinets
(2004)による有名な結果と一致。同様に、任意の次数の輸送係数を決定することが出来る。
η0
は shear viscosity ηに比例する。より具体的には
成果の概観
large-Nc, λ=∞のN=4 SYM プラズマのBjorken
flowを記述する5次元時空を求めた。
5次元重力 流体力学
• 流体方程式
• 状態方程式
• 輸送係数
• 構成方程式漸近的にAdS5となる時間変化
する時空 .....)( +−++= μννμμννμμν ησε uugPuuT
0=∇ μνμT
0=μμT
粘性、緩和時間など
• Boundary近傍の
Einstein方程式
• Horizon近傍の
時空の正則性
(宇宙検閲仮説?)
我々の仕事で成し得た事
•
Janikらの既存の仕事ではτ-2/3展開の3次で近似が破綻す る問題があった。→我々のモデルではall orderで近似が破 綻せずにworkすることを証明。
•
時空にapparent horizonが存在すること(すなわちevent horizonが存在すること)を初めて証明。→時空は ”time-
dependent”
black hole。
•
時間変化するAdS/CFTの(恐らく最初の)具体的かつ well-definedな例。
•
Janikらの方法に比べて、近似のより低い次数で輸送係 数を決定する方法を示した。Projected Riemann tensor
AdS/CFTで記述する利点は?
例えば、異常粘性、プラズマ不安定性、乱流など、平衡からより離れた系の現象を記述するための思わぬヒントが重力理論に潜んでいるかも知れない。
Bjorekn
flowの記述はこの方向の第一歩である。
重力理論一般相対性理論
Einstein以来、最も精力的に
研究されている分野の一つ
ゲージ理論
流体力学AdS/CFT
平衡の概念を必要としない
皆さんと議論したいこと
•
Bjorken
flowをする流体が重力の言葉で用意できました。
→これを用いて具体的に何を計算すべきでしょうか?
•
時間依存するモデルを作った動機は非平衡系を記述することに あります。
→例えば、時間変化するプラズマの不安定性を見るに は何を見たら良いでしょうか?
N=4 SYMのBjorken
flowを記述するsetupは作りました。
Supplement
MotivationRHIC: Relativistic Heavy Ion Collider
(@ Brookhaven National Laboratory)
http://www.bnl.gov/RHIC/inside_1.htm
Heavy ion:e.g. 197Au
~200GeV.
Similar exp. atLHC: ALICE/CMS
NNS
Shear viscosity
Lv
AF η=
L
v
v=0
fluid
Viscosity: 粘性度
Shear: 剪断
Strong interaction Small viscosity
How to obtain the geometry?Solution to the super-gravity equationwith appropriate
boundary conditions
and initial conditions.
• The 4d geometry
where the YM theory lives.• The initial stress tensor
of the YM fluid.
Time-dependent solutions
5d Einstein equation with Λ<0
General relativity as hydrodynamics
5d Geometry
GKP-Witten
prescription(AdS/CFT dictionary)
Described by hydrodynamics.
Time evolution
of (the
long-range modes
of) stress tensor
Hydrodynamics
comes out of the gravity!
time-dependent
4d Stress tensortime-dependent
Hydrodynamics
Summary of our work
• hydrodynamic equation(energy-momentum
conservation)• equation of state
(conformal invariance)
• transport coefficients
Our model
5d Einstein’s eq. atthe vicinity of theboundary
(viscosity, relaxation time…)
Reguarity
aroundthe horizon
Related to thermal equilibrium
Physical parameters
from Cosmic Censorship.
Our system: Bjorken flow
•
(Almost) one-dimensional expansion.•
We have boost symmetry
in the CRR.
Relativistically
accelerated heavy nuclei
After collision
Velocity of light
Central Rapidity Region
(CRR)
Time dependence of the physical quantities are written by the proper time.
Velocity of light
(Bjorken
1983)
A standard modelof QGP fluid
Stress tensor on LRFThe stress tensor becomes diagonal:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
−=
τη
τη
τη
μν
τε
32
32
342
00000000)(0000
pp
pT
energy density
shear viscositypressure
If the stress tensor is diagonalyou are on the flow.
Our dual geometry
( ) 222212222222 )(12 ⊥−− ++++−= xderdyrerdrddards ccb rττττ
• Parametrization
(Eddington-Finkelstein
type):
• r
is the radial (5th) direction, the boundary is at r = ∞.
• the boundary condition (LRF): a→1, b→0, c→0, at r= ∞.
The Einstein’s equation
Differential equations for a, b, c.Difficult to get the exact solution.
Approximation:Hydrodynamics:τ-2/3
expansion works for Bjorken
flow.
Gravity dual:τ-2/3
expansion, with r fixed?
We found that τ-2/3
expansion
with u=rτ1/3
fixed
works well.
Expansion around equilibrium.
( ) 222212222222 )(12 ⊥−− ++++−= xderdyrerdrddards ccb rττττ
......)()()( 3/42
3/210 +++= −− ττ uauauaa
Similar for b and c.Solve the equation order by order.
The zeroth-order solution (at the leading order)
)(2)(
1 2222243/1
422
⊥+++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= xddyrdrdd
rwrds rττττ
• This reproduces the correct
zeroth-order stress tensor of the Bjorken
flow.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +== K3/40
1τ
εεττT
• We have an apparent horizon.
( )44129 wueF −
−+ −−=θθ trapped region
if u<w.
The location of the apparent horizon: u=w+O(τ-2/3
)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 2
2
04
83π
ε cNwThis is u
Normalized product of expansions
The (event) horizon is necessary
( ) )(958 3/28
82 −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= τμνρλ O
uwR
We have a physical singularity
at the origin.
However, this is hidden
by the apparent horizonat u=w
hence the event horizon
(outside it).
Not
a naked singularity.
HIgher-order results:• From the regularity of the 2nd-order geometry, “relaxation time”
is uniquely determined.
consistent
with Heller-Janik, Baier
et. al., and Bhattacharyya et. al.
Furthermore, we can show by using
induction that the same mechanism
holds to
arbitrary higher order.
No
un-removable singularity
likeBenincasa-Buchel-heller-Janik, arXiv:0712.2025.
Our model is totally well-defined.
Non-staticity
of the loal
geometryProjected Weyl
tensor
....334
....34
3/24
40
5
4
4
4
3/25
4
4
4
1
1
21
21
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
+−=
−
−
τη
τ
uw
uw
uwC
uw
uwC
yxyx
xxxx
An-isotropy
evolves
in time.
The dual geometry is not static, if we includedissipation.
Area of the apparent hrizon
....2
3 3/203
3 +−= −τηwwAap
Consistent
with the time evolution of theentropy density to the first order.
entropy creation due to disspation
What we have done•
Gravity dual of the Bjorken
flow on an Eddington-
Finkelstein
type coordinates.
•
Presence
of the apparent horizon
and the event horizon: a dynamical black hole.
•
Transport coefficients
from the absence of naked singularity.
•
Our late-time expansion
is consistent
and the geometry can be regular for all orders.
Advertisement
•
Our model provides the first consistent gravity dual
of the Bjorken
flow.
(cf. Heller-Loganayagam-Spalinski-Surowka-Vazquez, arXiv:0805.3774)
•
Our model is a concrete well-defined example
of time-dependent AdS/CFT
based on a well-controled
approximation.
I hope thatI hope
that the gravity dual provides a computational
method beyond
what we already know.
I hope that:
Einstein + Penrose > Kubo + Landau?
Challenging problems:Description of phenomena that appear only in time-dependent systems, such as
• anomalous viscosty• turbulence• ………
For the details
•
Please take a look at our paper arXiv:0807.3797.
•
Please feel free to make a contact with me.