A Kerr-téridő geodetikusai

Elméleti Fizikai Iskola

Budapest

2008.08.25-30.

Bevezetés

A Kerr-metrika

A geodetikus egyenletek- megoldásuk – szeparáció- Killing-tenzor- geodetikus teljesség

Geodetikus görbék vizsgálata

- Kepler-pályák – időszerű

- Null pályák - Gravitációs lencsék – Einstein-gyűrűk

Ívelem - Kerr-Newman Tengelyszimmetrikus, töltött forrás gravitációs mezejét írja le

Boyer-Lindquist koordináták:

További paraméterek (összesen 7) az Einstein-Maxwell egyenletek általános, Petrov D típusú megoldásában: kozmológiai állandó, gyorsulás, mágneses töltés, NUT paraméter

tömegimp.mom/tömegtöltés

mae

Ívelem Tartományok a téridőben

1. Horizont: ∆ gyökei

0 = a Schwarzschild, 0, 2m

0 < a2 < m2 lassan forgó Kerr 0 < r± = m ± (m2 - a2)1/2 < 2m

a2 = m2 extrém Kerr r = m kétszeres gyök

a2 > m2 gyorsan forgó Kerr nincs valós gyök

2. Gyűrűszingularitás:

)0( e

0

0cos2222 ar

A görbületi invariánsok, pl. abcdabcdRRK

a = 0.8

e = 0

A geodetikus egyenlet

Töltött részecske mozgása a KN téridőben (Carter, 1968) μ: tömeg, ε: töltés

Kerr-koordináták:(a sokaság nagyobb részét fedik le)

τ sajátidő szerinti

kovariáns derivált

A Lagrange-függvény: · a λ (affin) paraméter szerinti derivált

A geodetikus egyenletek esetén teljesülnek,

ami a normálási feltétellel ekvivalens

A geodetikus egyenlet Az impulzus és a Hamilton-függvény:

H nem függ λ-tól, ezért megmaradó(a részecske nyugalmi tömege)

A legegyszerűbb vektorpotenciál,amiből ugyanaz a térerősség-tenzorszármazik:

Az impulzus és az inverz metrika:

A geodetikus egyenlet A Hamilton-függvény:

energia

impulzusmomentum

Megmaradó mennyiségek:H = H(r,θ)

Schwarzschild-téridőben

4 Killing-vektor: ∂/∂t + gömbszimmetriából adódók+ geodetikusokra mindig létező mozg.áll:

Imp.mom iránya → egyenlítői mozgás

A geodetikus egyenlet

A szeparációs állandó pozitív

A hatás bevezetése nélkül látható, hogy ezen mennyiségek Hamilton-függvénnyel vett Poisson-zárójele eltűnik

További megmaradó mennyiségek?

Vizsgáljuk a Hamilton-Jacobi-egyenletet!

Ha létezik szeparálható megoldás, akkor

Felhasználva, hogy

A geodetikus egyenlet Az egyenletek megoldása:

Ezek segítségével kifejezhetők a mozgásegyenletek:

Boyer-Lindquist koordináták:

Geodetikus teljesség

A mozgásegyenletek integrál-alakja:

A geodetikus teljes, ha a λ affin paraméter

tetszőleges értéket felvehet a görbe mentén.

Ez teljesül, kivéve, ha elérjük a szingularitást,

vagy az integrálok divergensek:

∆ = 0 és Θ = R = 0

Θ = R = 0: λ teszőlegesen nagy lehet, kivéve,

ha r = cos(θ) = 0 teljesül

∆ = 0: a geodetikusok folytathatók egy másik

térképre

Killing-tenzor

Szimmetrikus, m-edrendű tenzor, ami kielégíti a Killing-egyenletet

Carter néhány héttel az előző eredmények megadása után meghatározta azt az általános metrikaalakot, amiből szeparálható mozgásegyenletek adódnak.

Walker, Penrose (1970, K) és Hugston, Penrose (1972, KN) vizsgálták a kvadratikus első integrál eredetét.

Spúrmentes része a konform Killing-tenzor

Áll.: ha a konform Killing-tenzorra teljesül, hogy Pa

b;a egy gradiens, akkor a Pab–ból származó Kab Killing-tenzor

Pl.: a metrikus tenzor és Killing-vektorok Kab=ξ(aηb) alakú szorzata, ezek (állandó együtthatós) lineárkombinációi + nem-triviális Killing tenzorok

Kerr-téridő esetén:

Killing-tenzor

Killing-spinor (Hughston, Penrose 1972):

Legyen és normált spinor diád, melyek null-vektorai nyírásmentes null-geodetikusok érintői, és legyen komplex skalár, hogy kielégíti a forrásmentes Maxwell-egyenleteket:

Ekkor a Killing-spinor kielégíti a egyenletet, valamint a szimmetrikus spúrmentes tenzor a konform Killing-egyenletet

A Killing-tenzorra vonatkozó tételek:

T.: 4 dimenziós téridőben max. 50 db lineárisan független kétindexes Killing-tenzor létezik (állandó görbületű terekben valósul meg).

T.: Minden Petrov D típusú vákuum téridőben (a C-metrika és általánosításai kivételével) létezik Killing-tenzor

A A AAaAAa nl , )( BAAB

0 AB

AA

ABABX 2/3 0)( BC

AA X

BAABab XXP

Geodetikus görbék vizsgálata TEST (Traction of Events in Space-Time)

A. Pierelli szobra(M. Johnston and R. Ruffini, 1974)

Marcel Grossmann díj

Roy Kerr átveszi a Marcel Grossmann (MG11, 2006) díjat a 70. születésnapja alkalmából rendezett konferencián (Kerr Fest, Christchurch, 2004)

Geodetikus görbék – általános tulajdonságok A θ mozgás

Θ > 0, független ε,e és m-től

- Q > 0: θ mozgás, mely metszi az egyenlítői síkot, cos(θ) = 0, és kiterjed a szimmetriatengelyig, sin(θ) = 0, ha Φ = 0 és Q+a2(E2-μ2) ≥ 0.

θ = áll = 0 megoldás, ha Φ=0, Q+a2(E2-μ2)=0, mozgás a szimm.tengely mentén.

- Q = 0: θ = áll = π/2, egyenlítői mozgás. θ = áll, ha Φ=0, a2(E2-μ2)=0. θ mozgás elegendően nagy energia, a2(E2-μ2) > Φ2, esetén az egyenlítői

síkot egyik oldalról érintve, ami kiterjed a szimmetriatengelyig, ha Φ = 0.

- Q < 0: nincs megoldás, kivéve, ha a2(E2-μ2) > Φ2 és Q ≥ -{[a2(E2-μ2)]1/2 - |Φ|}2 . Ekkor θ az egyenlítői síkot nem érintő tartományban mozog, ami kiterjed

a szimmetriatengelyig, ha Φ = 0.

Geodetikus görbék – általános tulajdonságok A radiális mozgás

r4: E2 < μ2 esetén kötött pályák (szökési energia)r0: az r = 0 hiperfelület nem érhető el Q > 0 esetén. Az egyenlítői síkból sem érhető el a szingularitás miatt. Q=0 esetén az r = 0 felület a2(E2-μ2) > Φ2 esetén keresztezhető (θ mozgás).

A gyűrűszingularitás (r = cos(θ) = 0) elérhető Q = 0 esetén,továbbá teljesülnie kell (r0 együtthatója alapján): Φ = aE, vagy e = 0 (Kerr).Idő és fényszerű geodetikusok esetén (μ2 ≥ 0) a Φ = aE egyenlőség nem kompatibilis a2(E2-μ2) > Φ2 -el, így a szingularitás egyenlítői mozgás esetén érhető el.

e = 0: Boyel és Lindquist vizsgálta, adott imp.momentum és elegendően nagy energia esetén az idő és fényszerű geodetikusok elérik a szingularitást.

e ≠ 0: r2 együtthatója pozitív: ε2 ≥ (1+a2/e2) μ2, elegendően nagy töltésű részecske esetén teljesül. ε = 0, μ2 > 0: csak Schw. esetben teljesíthető, időszerű görbék nem, de fényszerű görbék (ε = 0, μ = 0) elérik a szingularitást.

Geodetikus görbék Radiális mozgás (e=0)

Null-geodetikusok, (r,θ) sík, a=0.8, R(r = rs)=0

Időszerű geodetikusok

rs = 1.85, Q = 1.65 rs = 3, Q = 27 Q = 0 Q = -0.3

rs = 4 rs = 5.4

Geodetikus görbék Egyenlítői mozgás, periodikus pályák (e = 0)

(Levin és Perez-Giz, 2008)

A mozgást jellemző frekvenciák:

A periodikus pályákat racionális q, és így a (z,ω,v) számhármas jellemzi (a pályaperiódusa radiális periódus z-szerese, ∆φ = z ∆φr , 1 ≤ v ≤ z-1).

Adott (z,ω,v), a és L esetén meghatározhatóE és a radiális fordulópontok, hogy zárt pályát kapjunk.

a=0, L=3.98, E=0.973 a=0, L=3.72, E=0.966 a=0, L=3.83, E=0.979

Geodetikus görbék Az általános mozgás közelíthető periodikus pályával,

pl.: legyen ω+v/z = 1+1/3+δ, ahol δ≈1/100(perihélium elfordulás)

a=0, L=3.834, E=0.979

Adott a és L esetén qc ≤ q ≤ qmax teljesül, ahol qc a körpályához, míg qmax a max. energiájú kötött pályához tartozó érték.

Newtoni határesetben ezek a határok 0-hoz tartanak (Kepler-ellipszis)

Geodetikus görbék Kerr-geodetikusok

(a=0.995)

L=1.82

L=2

Gravitációs lencsézés Fényelhajlás (gyenge, erős elhajlás)

Mi a kapcsolatot a forrás képének {θ1, θ2} és pozíciójának {B1, B2} koordinátái között?

A megoldás vezető rendje:

ahol

θ ≈ 0 esetén

{r0, θ0, φ0=0}

{rS, θS, φS}

sorfejtés εm és εa szerint,

ahol, (J^2+Q)1/2 impakt

paraméter a=0 esetén.

: elhajlás szöge

Einstein-gyűrűk Ha B = 0 (forrás a lencse mögött):