A l e j o G o n z á l e z C r i a d o...Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica 9 Tema 4 Ecuaciones No algebraicas. Inecuaciones 109 4.1.- Ecuaciones con Radicales. Resolución

Todo Matemáticas

Volumen 2

Todo Álgebra Básica

A l e j o G o n z á l e z C r i a d o Profesor Numerario de Matemáticas

Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.

Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …

2

Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica

3

Destinado a

El Fígaro autodidacta:

Todo aquel que albergue algún

interés por las Matemáticas y disfrute con su

estudio.

Obra completa:

Formación básica,

Formación nivel medio

Formación nivel alto

© 𝐸𝑙 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑟: 𝐴𝑙𝑒𝑗𝑜 𝐺𝑜𝑛𝑧á𝑙𝑒𝑧 𝐶𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜

Figuras y gráficos del autor

Edita: El Autor

Primera edición Mayo 2017

Editado en España

ISBN:

Depósito Legal:

Derechos reservados:

Prohibida toda reproducción, por cualquier medio, sin

autorización del autor.



4

VOLUMEN 2

ÁLGEBRA BÁSICA

ECUACIONES Y Sistemas

Descomposición en fracciones simples

Sumas simples y su relación con los

coeficientes


5



6

ÍNDICE

pág.

Tema 1 Polinomios en x

21 1.1.- Polinomios en x con coeficientes

racionales. Polinomios semejantes entre sí.

23 1.2.- Operaciones básicas con polinomios

23 1.2.1.- Suma y Resta de polinomios

26 1.2.2.- Producto de polinomios

27 1.2.3.- División de polinomios

32 1.3.- Valor numérico de un polinomio

32 1.4.- Teorema del Resto

33 1.5.- División p(x):(x-a) según Regla de Ruffini

34 1.6.- Descomposición factorial de un polinomio

36 1.7.- Máximo Común Divisor de dos polinomios

37 1.8.- Mínimo común múltiplo de dos polinomios.

Relación entre el MCD y el mcm

39 1.9.- Potencias (a+b)m de un Binomio

41 1.10.- Potencias (a+b+c)m de un Trinomio


7

41 ACTIVIDADES

Tema 2 Fracciones en x

Expresiones Radicales en x

55 2.1.- Fracciones en x

55 2.2.- Operaciones básicas con fracciones

55 2.2.1.- Suma y Resta de fracciones

57 2.2.2.- Producto de fracciones

59 2.2.3.- División de fracciones

60 2.3.- Simplificación de fracciones

60 2.4.- Valor numérico de una fracción

61 2.5.- Común denominador de dos fracciones.

Mínimo común denominador

Ejemplos

62 2.6.- Descomposición de una fracción en

suma de fracciones simples

67 2.7.- Expresiones con Radicales en x

69 ACTIVIDADES



8

Tema 3 Ecuaciones algebraicas en x

75 3.1.- Ecuaciones algebraicas en x.

Solución de una ecuación

76 3.2.- Ecuaciones Equivalentes

Transformación de una ecuación ...

78 3.3.- Clasificación el número de soluciones

78 3.4.- Generación de Ecuaciones con solución

predeterminada

79 3.4.1.- Naturaleza de sus soluciones. Número de

soluciones. Resolución

80 3.4.2.- Soluciones racionales (Enteras o frac)

82 3.5.- Soluciones No racionales.

Soluciones de q(x) = 0

86 Ecuaciones Diofánticas (Lema de Bezout)

83 3.5.1.- Ecuación de segundo grado

85 3.5.2.- Ecuación de tercer grado

92 3.5.3.- Ecuación de cuarto grado

91 3.6.- Ecuaciones de grado > 4. Acotación y

aproximación de las soluciones reales.

92 3.6.1.- Acotación

96 3.6.2.- Separación y Aproximación

98 ACTIVIDADES

105 Problemas


9

Tema 4 Ecuaciones No algebraicas.

Inecuaciones

109 4.1.- Ecuaciones con Radicales. Resolución

Ejemplos/Problemas

111 4.2.- Inecuaciones (o desigualdades) en x.

Resolución

112 4.3.- Inecuaciones en x, y

Ejemplos

Tema 5 Sistemas de Ecuaciones lineales

119 5.1.- Conceptos básicos

121 5.2.- Sistemas de ecuaciones lineales

124 5.3.- Sistemas lineales con dos incógnitas

Métodos de Resolución

127 5.4.- Sistemas lineales de tres ecuaciones con

tres incógnitas: x, y, z. Métodos de Resolución.

Sistemas con cuatro incógnitas.

132 Ejemplos/Problemas

135 5.5.- Sistemas de 4 ecuaciones con 4 incógnitas

138 Problemas

141 Más Problemas resueltos ó seri-resueltos



10

Tema 6 Sistemas No lineales, Sistema de

Inecuaciones

151 6.1.- Sistemas No lineales

153 6.2.- Sistemas de Inecuaciones

157 PROBLEMAS resueltos y semi-resueltos

Tema 7 Descomposición de una fracción

q(x)/p(x) en suma de fracciones simples

167 7.0.- Introducción

168 7.1.- Descomposición por el Método débil.

168 7.1.1.- Soluciones reales simples

170 7.1.2.- Soluciones reales múltiples

171 7.1.3.- Soluciones complejas simples

174 7.1.4.- Soluciones complejas simples y múltiples

179 7.1.5.- Caso de No descomposición total en Q

180 7.1.6.- Casos resueltos de los tipos estudiados

184 7.2.- Descomposición por el Método fuerte.

184 7.2.1.- Soluciones reales simples

190 7.2.2.- Soluciones reales simples y múltiples

198 7.2.3.- Soluciones complejas simples

204 7.2.4.- Soluciones complejas múltiples

210 7.2.5.- Actividades semi-resueltas, con el resultado

227 7.3.- Método: Aplicando la derivación, con

ejemplos resueltos.


11

233 Apéndice 1:

Sobre cambio de variable y ‘Paso a la Ecuación reducida’

de la Ecuación de tercer y cuarto grados.

NOTAS: Sobre la Ecuación de grado > 4

239 Apéndice 2:

Sobre las ‘Sumas simples’ de las raíces de P(x), y su

relación con los coeficientes de P(x).

247 ANEXO: Ecuaciones Diofánticas. Lema de Bezout

253 BIBLIOGRAFÍA

257 NOTACIÓN y Nomenclatura. Valores



12

Tema 1

Polinomios en x


13



14

1.1.- Polinomios en x con coeficientes racionales

Monomios

Definición:

Es toda expresión de la forma a.xn, donde a es un valor racional, n

es entero.

Habitualmente el valor ‘a’ es entero, y el exponente n entero

positivo.

Habitualmente escribiremos axn en lugar de a.x

n.

En un monomio axn:

‘a’ es el coeficiente, n es el exponente, x representa un valor

cualquiera que llamamos indeterminada, y diremos que el

monomio es de grado n.

Monomios Semejantes

Diremos que dos monomios son semejantes si tienen el mismo

grado.

Monomio Opuesto

El opuesto de axn es (-a)x

n

Polinomios

Definición:

Llamamos polinomio a toda expresión de la forma

an.xn + ... + a2.x

2 + a1.x + a0


15

donde el signo + representa + ó -, es decir, SUMAS ó RESTAS

de monomios.

Grado del polinomio:

El valor n es el ‘grado del polinomio’. Es el grado de monomio de

mayor grado.

Ejemplo: p(x) = 5x3 -4x

2 +2x +3

A cada monomio lo llamamos ‘término’ del polinomio: Términos

en x los que llevan x, término ‘independiente’ el que no lleva x

(de grado cero).

Grado del polinomio es el grado del monomio de mayor grado.

La expresión (1) es un polinomio de grado n, ordenado

‘decreciente’. También podemos expresarlo ordenado ‘creciente’:

a0 + a1.x + a2.x2 + ... + an.x

n

Ejemplo:

5x4 – 3x

2 + 2x + 8, está ordenado (decreciente) y es de grado 4.

5x4 es término de grado 4, 2x lo es de grado 1, 8 es término de

grado cero (término independiente).

8 + 2x – 3x2 + 5x

4, está ordenado ‘creciente’.

Representaremos con frecuencia por P(x), Q(x), o simplemente

p(x), q(x) (u otras letras) la expresión de un polinomios.

Polinomios semejantes entre sí: Decimos que dos polinomios P(x), Q(x) son ‘Semejantes’ si

existe un valor k tal que Q(x) = k.P(x).

También podemos decir que son proporcionales entre sí.



16

La primer condición: es que han de tener el mismo grado.

Sean p(x) = an.xn + ... + a2.x

2 + a1.x + a0,

q(x) = bn.xn + ... + b2.x

2 + b1.x + b0,

Observa que tanto an com bn serán no nulos, mientras algunos de

los restantes términos sí pueden serlo.

Supongamos que q(x) = k.p(x), y por tanto bh = k.ah para todo

h. Se deduce que k es divisor común de los coeficiente bh. Por

tanto

Segunda condición: Los coeficientes bh han de admitir divisor

común kb. Si kb = 1 significa que q(x) es idéntico a p(x).

Hasta aquí tenemos dos condiciones necesarias para que p(x) y

q(x) sean proporcionales.

Tercer condición: Después de obtener el divisor kb, además

debe cumplirse bh = kb.ah, para todo los coeficientes.

Cumplido lo anterior, supongamos que los coeficientes ah también

admiten divisor común ka. Entonces kb.bh’ = ka.ah’ , con lo cual

bh’ = 𝑘𝑎

𝑘𝑏 .ah’ , de modo que

q’(x) = 𝑘𝑎

𝑘𝑏 .p’(x) , donde p’(x), q’(x) son

los resultados de dividir por su común divisor.

NOTA: Si para el cálculo del máximo común divisor k

utilizamos un algoritmo podemos proceder como sigue.

De la lista bn , bn-1 , ..., b2 , b1 , b0, tomo el menor de los valores,

sea m ese valor. El posible divisor común (propio) ha de ser uno

de los valores: 2, 3, 4, …, m-1, m.


17

Probando encontraremos aquel que lo cumpla, en otro caso será

kb = 1.

1.2.- Operaciones básicas con polinomios

1.2.1.- Suma y Resta

Suma y Resta de monomios

Sólo puedo sumar, o restar, dos monomios semejantes, es decir,

con el mismo grado:

ak.xk + bk.x

k = (ak + bk).x

k

ak.xk - bk.x

k = (ak - bk).x

k

Ejemplo: 5x3 + 3x

3 = 8x

3

5x2 -2x

2 = 3x

2

Observa que restar un monomio equivale a sumar el opuesto: 5x2

– 2x2 = 5x

2 + (-2x

2) = ...

SUMA de polinomios:

Sumamos sus términos semejantes, como sigue

Ejemplo:

(5x^4 + 3x^2 – 6x -2) + (2x^2 + 4x -7) = (5x^4) +(3x^2 + 2x^2)

+ (-6x + 4x) + (-2 + -7) = 5x4 +5x

2 -2x -9

Podemos ordenar los cálculos del siguiente modo:



18

5x^4 + 3x^2 – 6x -2

+ 2x^2 + 4x -7

--------------------

5x^4 +5x^2 -2x -9

Un polinomio puede tener coeficientes cero:

5x3 + 0x

2 – 4x + 2.

En estos casos, los términos con coeficientes 0 no se escriben (no

es necesario), así:

5x3 – 4x + 2.

Un término con coeficiente 0 decimos que es cero.

Polinomio cero es aquel cuyos coeficientes son todos cero. Lo

representamos por 0.

Opuesto de p(x):

Es el polinomio que resulta al cambiar el signo de cada uno de sus

términos:

p(x)= 5x3 -3x

2 +4x -8, su opesto es

-5x3 +3x

2 -4x +8

y lo representamos por –p(x)

RESTA de polinomios:

Ejemplo: (5x4 + 3x

2 – 6x -2) - (2x

2 + 4x -7) =

restando términos semejantes


19

= 5x4 + x

2 -10x +5x

Podemos ordenar los cálculos del siguiente modo:

5x^4 + 3x^2 – 6x -2

- 2x^2 + 4x -7

--------------------

5x4 + x

2 -10x +5

Aclaración: En la resta p(x) – q(x), p(x) es el minuendo, q(x) es el

sustraendo.

Observa que la resta equivale a sumar al minuendo el opuesto del

polinomio sustraendo. Tendríamos

5x^4 + 3x^2 – 6x -2

+ -2x^2 - 4x +7

--------------------

5x4 + x

2 -10x +5

Elemento Neutro

El elemento neutro para la suma es el polinomio cero (Todos sus

coeficientes son 0, esto es: p(x) = 0, idénticamente)

Elemento Simétrico (OPUESTO):

Dado p(x) existe q(x) tal que p(x) + q(x) = 0

Decimos que q(x) es el opuesto de p(x), y lo indicamos mediante

q(x)= -p(x).

Ejemplo:

Si p(x) = 5x2-3x+6, su opuesto es:



20

-p(x) = -5x2+3x-6, es decir, cambiamos el signo a todos sus

términos.

1.2.2.- Producto de polinomios

Producto de monomios

axk * bx

h = (a*b)x

k+h

Multiplico sus coeficientes y sumo los exponentes: (Aplico

conmutativa y asociatia de Q)

axk.bx

h = (a.b).x

k.x

h = (a.b)x

k+h

Ejemplo: 3x5 *(-5x

2)= -15x

7

Propiedad distributiva del producto de monomios respecto de la

suma de monomios:

axk * (bx

n + cx

m)=ax

k * bx

n + ax

k * cx

m

Ejemplo:

3x2 *(-4x

3 + 5x) = -12x

5 +15x

3

Monomio por polinomio:

Aplicamos la propiedad distributiva, de modo que el monomio

multiplica a cada término del polinomio.

Ejemplo:

3x2 * (-5x

3 + 2x

2 -4x + 2)= -15x

5 + 6x

4 -12x

3 +6x

2


21

Polinomio por polinomio:

Aplicamos dos veces la propiedad distributiva, de modo que cada

término de p(x) multiplica a todos los términos de q(x).

Ejemplo:

(3x^2 +4x -2)*(-2x^3 +5x -6) =

3x^2*(-2x^3+5x-6)+ 4x*(-2x^3+5x-6)-2*(-2x^3 +5x-6) =

=(-6x^5 +15x^3 -18x^2) + (-8x^4 +20x^2 -24x) –(-4x^3 +10x -

12) =

agrupamos términos semejantes, teniendo en cuenta que al

suprimir el paréntesis precedido de – cambia el signo de sus

términos

= -6x5 -18x

4 +19x

3 +2x

2 -34x +12

En la práctica podemos ordenar los cálculos del siguiente modo:

-2x^3 +5x -6

* 3x^2 +4x -2

---------------------

4x^3 -10x +12

-8x^4 +20x^2 -24x

-6x^5 +15x^3 -18x^2

-------------------------------

-6x5 -8x

4 +19x

3 +2x

2 -34x +12

Elemento Neutro para el producto:

La UNIDAD o elemento neutro para el producto es el polinomio

1, que es aquel que tiene todos los coeficientes cero salvo el

término independiente que es el 1 (p(x) = 1, idénticamente).



22

Así: 1 * p(x)= p(x)

Propiedades de la Suma y del Producto. Estructura de Anillo

Asociativa: (para la suma y el producto)

(p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x))

(p(x).q(x)).r(x) = p(x).(q(x).r(x))

Conmutativa: (para la suma y el producto)

p(x) + q(x) = q(x) + p(x)

p(x).q(x) = q(x).p(x)

Elemento neutro: (para la suma y el producto)

Para la suma: Polinomio cero.

Para el producto: Polinomio 1

Propiedad del simétrico:

Para la suma: Polinomio opuesto.

Para el producto: No lo cumple

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: Sí

la cumple

p(x).(q(x) + r(x)) = p(x).q(x) + p(x).r(x)

NOTA:


23

Que Q(p(x),+) sea ‘Estructura cerrada’ significa que el resultado

de cualquier operación p(x)+q(x) queda dentro de Q(p(x)). Lo

mismo para el producto, de forma que Q(p(x),+,.) es ‘Estructura

cerrada’.

Siendo estructuras cerradas, y cumpliendo las propiedades

anteriores, en Matemáticas decimos que Q(p(x),+) tiene

‘Estructura de Grupo’, y que Q(p(x),+,.) tiene ‘Estructura de

Anillo’.

1.2.3.- División de polinomios

División entre monomios: axk : bx

h

axk : bx

h sólo es posible si k >= h, es decir, si grado del dividendo

es mayor o igual que grado del divisor. El resultado ha de tener

exponente entero positivo.

En ese caso: axk : bx

h =

𝑎

𝑏. xk-h

, donde k-h >= 0

Ejemplo: 5x

4 : 3x

2 = (5/3).x

2 (coeficiente fraccionario)

División de polinomio entre un monomio: p(x):axk

Dividimos cada término del polinomio por el monomio divisor.

Ejemplo:

(5x^4 – 3x^3 +2x +6): 2x^2 =

= 5

2 x2

– 3

2 x +

2

2 x

-1 +

6

2 x

-2



24

Observa los exponentes negativos. No es habitual realizarla de

este modo, sino hacer la llamada división con resto, que veremos

más adelante.

División con resto p(x):axk:

En el ejemplo anterior sería:

Cociente= (5/2)x2 –(3/2)x,

Resto : 2x +6

Sólo puedo hacer axk : bx

h mientras k >= h

Habitualmente hacemos la que llamamos ‘División con resto’,

que significa hacer la división entre monomios mientras el

exponente en el cociente sea mayor o igual que cero, y dejar

como ‘resto’ la parte del dividendo con la cual no es posible

continuar.

Es habitual ordenar las operaciones como sigue:

5x^4 -3x^3 +2x +6 ¡ 2x^2

----------

5/2.x2 -3/2.x Cociente

-5x^4

----------

0 -3x^3

+3x^3

------------

0 +2x

Hago 5x2 : 2x

2, da 5/2.x

2; multiplico 5/2.x

2 * 2x

2 y da 5x

4; resto

este resultado a 5x4 del dividendo, queda 0; bajo el término -3x

3 y

repito el proceso; cuando llego a bajar el témino 2x observo que


25

no puedo hacer 2x:2x2, por lo que doy por terminada la división.

El resto es 2x+6

División con resto entre dos polinomios: p(x):q(x)

Ejemplo:

División entre dos polinomios. El dividendo ha de ser de grado

mayor o igual que el del divisor:

5x5 -4x

4 +3x

2 +4x -8 | x

2 + 2x -3

|--------------------

5x^3 -14x^2 +43x -125

-5x^5 -10x^4 +15x^3

-------------------------

0 -14x4 +15x

3 +3x

2 bajamos 3x

2

+4x^4 +28x^3 -42x^2

--------------------------

0 +43x^3 -39x^2 +4x bajamos 4x

-43x^3 -86x^2 +129x

-----------------------

0 -125x^2 +133x -8 bajamos -8

+125x^2 +250x -375

--------------------

0 +383x -383 Resto

Observa que cada término que introducimos en el cociente

multiplica a todo el divisor y el resultado se lo restamos al

dividendo actual. El dividendo se va modificando en cada paso.

El cociente agrega un nuevo término en cada paso.



26

1.3.- Valor numérico de un polinomio

Sean un polinomio p(x) y un valor racional a.

Valor numérico de p(x) cuando x=a, es el valor que resulta de

sustituir x por a en la expresión p(x) y realizar las operaciones

indicadas en p(x).

Ejemplo:

Sea p(x) = 3x2-5x+6, y hago x=2. Sustituyo x por 2 y obtengo:

p(2) = 3*22-5*2+6 = 12-10+6 = 8. p(2)=8

CEROS de un polinomio (Soluciones de la igualdad p(x)=0):

Diremos que el valor racional a, es un cero del polinomio p(x)

si p(a)=0.

Es equivalente a que x=a es una solución de la igualdad p(x)=0.

1.4.- Teorema del Resto

En la división p(x):q(x), supongamos que q(x) = (x-a). Entonces

p(x)=(x-a)*C(x) + R (constante). El valor p(a) es entonces: p(a) =

(a-a)*C(a) + R = R.

Consecuencias:

Teorema del resto:

a) La división p(x):(x-a) es exacta precisamente si R = 0.

Equivale a que p(a)=0.

b) p(a) = 0 precisamente si R = 0.


27

1.5.- División p(x):(x-a) según la Regla de Ruffini

La mostramos mediante un ejemplo:

(5x4 +4x

3 -2x +3):(x-3)

Ordenamos los datos y operamos así:

| 5 4 0 -2 3

3| 15 57 171 507

---------------------

5 19 57 169 510

El polinomio cociente es C(x)=5x3 +19x

2 +57x +169. Resto= 510

¿Qué hemos hecho? : Anotamos los coeficientes de p(x) en orden

decreciente. Coloco el valor 3 vemos.

Observación importante: Si el divisor fuese (x+3) sería como

(x-(-3)), y allí colocaría el valor -3. Debemos tener el divisor

siempre de la forma x – a, y allí colocamos el valor a, sea positivo

o sea negativo.

Bajo el primer coeficiente, aquí el 5. Multiplico este por 3 (el

valor fijo colocado allí). Coloco el resultado debajo del siguiente

coeficiente y hago la suma. Multiplico el resultado por 3 y coloco

el resultado bajo el siguiente coeficiente y hago la suma. Repito

este proceso hasta que no queden más coeficientes.

Observa: Si algún coeficiente es cero debemos anotar ese valor

0.

La división por el método habitual sería:

5x4 +4x

3 -2x +3 | x -3

|------------------

5x3+19x

2 +57x +169



28

-5x^4 +15x^3

-----------

0 +19x^3

-19x^3 +57x^2

---------------

0 57x^2 -2x

-57x^2 +171x

-----------------

0 +169x +3

-169x +507

-----------

0 +510 Resto

1.6.- Descomposición factorial de un polinomio

En lo que sigue suponemos que p(x) tiene primer coeficiente 1

(an = 1).

Sea p(x) un polinomio del cual hemos podido saber que los

valores racionales a1, a2, a3 son algunos de sus ceros. Entonces,

haciendo divisiones por (x-a1), (x-a2), (x-a3), tengo:

p(x)=(x-a1).C1(x) , y a2, a3 son ceros de C1(x)

C1(x)=(x-a2).C2(x) , y a3 es cero de C2(x)

C2(x)=(x-a3).C3(x) , y por tanto:

p(x)=(x-a1).(x-a2).(x-a3).C3(x)

(1)

Decimos que (1) es una descomposición factorial de p(x).


29

Si a1, a2, a3, ..., ak son todos sus ceros racionales (soluciones de

p(x)=0 en Q, enteros ó fracciones), entonces (1) es su

descomposición factorial sobre Q:

p(x)=(x-a1).(x-a2)...(x-ak).C(x)

(2)

Donde C(x) = 0 no admite soluciones racionales.

Puede aparecer algún factor repetido, y en ese caso, si (x-ai) se

repite h veces escribimos:

p(x)=(x-a1)...(x-ai)h...(x-ak).C(x)

(3)

NOTA: El factor C(x) corresponde a las posibles soluciones no racionales

de p(x)=0 (Soluciones reales y/o complejas).

En el caso de que todas la soluciones sean racionales será

C(x)=m, factor constante, y entonces

p(x) = m.(x-a1)...(x-ai)h...(x-ak)

(3)’

La descomposición (3) ó (3)’ es única

En general la expresión (3) sería así

p(x)= an.(x-a1)...(x-ai)h...(x-ak).C(x)

(4)

donde an es el primer coeficiente de p(x).



30

1.7.- Máximo Común Divisor de dos polinomios

Como en el caso de los números, ‘Máximo común divisor’ es el

divisor común de mayor grado.

REGLA práctica para obtener el MCD:

Sean dos polinomios y sus descomposiciones factoriales (sobre

Q):

p(x)=(x-a1)...(x-ai)ui...(x-ak).C(x)

q(x)=(x-b1)...(x-bj)vj...(x-bh).D(x)

(4)

Suponemos que los factores C(x) y D(x) no admiten factor del

tipo (x-a), y diremos que son irreducibles sobre Q (en el sentido

de ‘indescomponible’ sobre Q).

Si los factores (x-ai), (x-bj) coinciden, entonces éste es un divisor

común de p(x) y q(x). Además, si ui, vj son sus multiplicidades, y

ui<vj, entonces el divisor común (x-ai) lo es con multiplicidad ui

(el menor de los exponentes): (x – ai)ui es divisor común

Conclusión:

He obtenido un factor común de la forma (x-ci)hi, que lo es

también de su MCD.

Si repetimos lo anterior con cada factor del tipo (x-a) que sea

común, y hk es el menor de sus exponentes, concluimos que el

polinomio obtenido de la forma:


31

(x-c1)h1

...(x-cs)hi...(x-cr)

hr

(5)

es un divisor común de p(x) y q(x), y por tanto forma parte, como

factor, del MCD de estos polinomios.

El MCD, operando solamente dentro de Q(x;+,.), es

MCD = (x-c1)h1


hr

Los polinomios C(x) y D(x), aún siendo irreducibles sobre Q,

pueden tener algún factor común r(x), y por tanto este r(x)

también forma parte del MCD, en otro caso, tomaremos el

polinomio 1 como divisor común.

De modo que, operando en R(x;+,.) ó C(x;+,.) sería

MCD = (x-c1)h1


hr * r(x)

(6)

1.8.- Mínimo Común Múltiplo de dos polinomios.

Relación entre MCD y mcm

Sean de nuevo los polinomios y sus descomposiciones factoriales

dadas en (4):

p(x)=(x-a1)...(x-ai)ui...(x-ak).C(x)

q(x)=(x-b1)...(x-bj)vj...(x-bh).D(x)

Si m(x) es un múltiplo común de p(x) y q(x), evidentemente m(x)

ha de admitir todos los factores (x-ai) de p(x), con su

multiplicidad, incluido el factor C(x), y por la misma razón ha de

admitir los de q(x). Por tanto, un múltiplo común lo obtenemos

tomando



32

m(x) = (todos los de p(x))*(todos los de q(x)).

Deseamos obtener el de menor grado.

Si (x-ai) y (x-bj) son factores de la anterior expresión de m(x),

con bj = ai, y por tanto coincidentes, y sus multiplicidades son ui,

vj, supongamos ui < vj, podemos simplificar el polinomio m(x),

dividiéndolo por (x-ai)ui; entonces el factor (x-ai) lo es con

ultiplicidad vj, y m(x) sigue siendo múltiplo común.

Si hacemos la simplificación anterior con cada factor (x-ai) que

figure en p(x) y en q(x), llegamos a un m(x) cuyo factor (x-ai)

tiene exponente igual al mayor de los que se presentan en sus

descomposiciones factoriales.

Obtenemos así el menor m(x) que es múltiplo común de p(x) y

q(x). Además ha de contener los factores residuales C(x) y D(x).

REGLA práctica para obtener el mcm:

Dadas las descomposiciones factoriales

p(x)=(x-a1)...(x-ai)ui...(x-ak).C(x)

q(x)=(x-b1)...(x-bj)vj...(x-bl).D(x)

(7)

donde C(x) y D(x) son irreducibles, su mcm es el polinomio

mcm(x) obtenido como sigue:

Tomo todos los factores (x-ai) de p(x) y (x-bj) de q(x) con su

exponente, pero si estos factores coinciden tomo sólo uno, sea (x-

ci)hi, donde hi es el mayor de sus exponentes. Tomo además los

factores C(x) y D(x):


33

mcm = (x-c1)h1


hr*C(x)*D(x)

(8)

Si fuese posible detectar factores comunes de C(x) y D(x)

actuaríamos de forma análoga.

Relación entre el MCD(p,q) y el mcm(p,q):

Del mismo modo que en los números enteros, se puede demostrar

que:

mcm(p,q) = 𝑝(𝑥)∗𝑄(𝑥)

𝑀𝐶𝐷(𝑝,𝑞) (9)

1.9.- Potencia de un Binomio

En lo que sigue a, b representan polinomios

a) (a+b)2 = a

2 + b

2 +2.ab.

En efecto, aplicando la distributiva al producto (a+b).(a+b) la

obtenemos.

Del mismo modo podemos obtener las siguientes

(a-b)2 = a

2 + b

2 -2.ab.

(a+b).(a-b) = a2 – b

2

b) (a+b)3 = a

3 +b

3 + 3.a.b

2 + 3.a

2.b

En efecto, (a+b).(a2 + b

2 + 2.ab) = ...

c) En general, tenemos una potencia cualquiera



34

Se cumple

(a+b)n =

(n;0).an +(n;1).a

n-1.b +(n;2).a

n-2.b

2 + ... +(n;(n-2)).a

2.b

n-2 +(n;(n-

1)).a.bn-1

+(n;n).bn,

donde (n;k) representa el número combinatorio (léase: n sobre k),

cuyo valor es:

(n;k) = 𝑛!

𝑘!.(𝑛−𝑘)!

NOTA: En el Volumen 3 estudiamos los ‘números

combinatorios’.

1.10.- Potencia de un trinomio

a)

(a+b+c)2 =

a2 + b

2 + c

2 + 2.ab + 2.ac + 2.bc

La obtenemos aplicando la distributive reiteradamente.

b)

(a+b+c)3 = (a+b+c).(a+b+c)

2 = ... =

= a3 +3.a

2b +3.a

2c +3.b

2c +3.ac

2 +3.bc

2 + abc

------------


35

ACTIVIDADES

Resolver las siguientes ecuaciones cuyo resultado se indica.

1.- x2 -5x +6 = 0, Sol: 2 ; 3

2.- x2 +8x -20 = 0, Sol: -10 ; 2

3.- 3x2 -15x +18 = 0, Sol: 2 ; 3

4.- x3 -9x

2 +26x -24 = 0, Sol: 2 ; 3 ; 4

5.- 2x3 -15x

2 +37x -30 = 0, Sol: 2 ; 3 ; 5/2

6.- 4x3 -44x

2 +155x -175 = 0, Sol: 5 ; 5/2 ; 7/2

7.- 50x3 475x

2 +1468x -1472 = 0, Sol:4; 2,3; 3,2

8.- x2 -540x -3375 = 0, Sol: 546,17 ; -6,18

Generando ecuaciones con el resultado deseado:

9.- Sol: 1; 4; 5 -> x3 -10x

2 +29x -20 = 0

10.- Sol: 2; 3 -> x2 -5x +6 = 0

11.- Sol: -3; -2; 1 -> x3 +4x

2 +x -6 = 0

12.- Sol: 1; 2; 3; 4; 5 ->

x5 -15x

4 +85x

3 -225x

2 +274x -120 = 0

13.- Sol: -3; -2; 1; 1; 4; 5 ->

x6 -6x

5 -10x

4 +80x

3 +9x

2 -194x + 120 = 0



36

14.- Dados los siguientes polinomios

p(x) = 3x –5x5 +6x

2 +7x –4x

3 +2x

5

q(x) = 6 +5x3 –2x

4 +3x

5 +2x

3 –5x

Realiza las siguientes

a) Agrupa términos semejantes y después haz la suma

p(x) + q(x):

b) Lo mismo y Realiza la resta p(x) – q(x)

Sol.: a) Suma: -2x4 +3x

3 +6x

2 +5x +6

b) Resta: -6x5 +2x

4 –11x

3 +6x

2 +15x –6

15.- Dados los polinomios

p(x) = 3x3 –5x

2 +4x –6

q(x) = x2 –3x +2

realiza las siguientes:

a) 5.p(x)

b) p(x).q(x)

Sol.: a) 5.p(x) = 15x3 –25x

2 +20x –30

b) 3x5 –14x

4 +25x

3 –28x

2 +26x -12


p(x) = 3x3 –5x

2 +4x –6

q(x) = x2 –3x +2

realiza las siguientes:


37

a) p(x):2

b) p(x):q(x)

c) p(x):(x-3)

Sol.: a) p(x):2 = 3/2.x3 –5/2.x

2 +2x –3

b) 3x +4, Resto: 10x -14

c) 3x2 +4x +16, Resto: 42

17.- Dado el polinomio

p(x) = 3x3 –5x

2 +4x –6

a) Calcula el valor numérico p(-3)

b) Realiza, por la forma de Rufini, la

división p(x):(x+3), y compara el resto de esta división con el

valor obtenido en a).

Sol.: a) -144

b) 3x2 –14x +46, Resto: -144

18.- a) Obtener la descomposición factorial del polinomio (en el

Q(x), es decir, con coeficientes racionales):

p(x) = x5 +6x

4 –2x

3 –36x

2 +x +30

b) Lo mismo que en a), del polinomio:

q(x) = 6x4 +x

3 –47x

2 +24x +36

Sol.: a) Las soluciones (enteras) de p(x)= 0 son:

x= 2, -3, -1, 1, -5, por tanto

p(x) = (x-2).(x+3).(x+1).(x-1).(x+5)



38

b) Las soluciones racionales de q(x) = 0 son: x= 2, -3, 3/2,

-2/3, por tanto

q(x) = 6.(x-2).(x+3).(x-3/2).(x+2/3)


p(x) = x5 +6x

4 –2x

3 –36x

2 +x +30

q(x) = 6x4 +x

3 –47x

2 +24x +36

determina:

a) Su MCD.

b) Su mcm.

c) Comprueba que mcm = (p(x).q(x))/MCD

Sol.: a) Sus descomposiciones factoriales son

p(x) = (x-2).(x+3).(x+1).(x-1).(x+5)

q(x) = 6.(x-2).(x+3).(x-3/2).(x+2/3)

por tanto MCD = (x-2).(x+3)

b) mcm =

6.(x-2).(x+3).(x+1).(x-1).(x+5).(x-3/2).(x+2/3)

c) Evidentemente tenemos: p(x).q(x) =

6.(x-2)2.(x+3)

2.(x+1).(x-1).(x+5).(x-3/2).(x+2/3)

y por tanto (p(x).q(x)): MCD =

= 6.(x-2).(x+3).(x+1).(x-1).(x+5).(x-3/2).

.(x+2/3) = mcm


39

20.- Realiza las potencias

a) (a+b)3

b) (a+b)5

c) (a+b+c)2

d) (a+b+c)3

Sol.: a) a3 +3a

2b +3ab

2 +b

3

b) a5 +5a

4b +10a

3b

2 +10a

2b

3 +5ab

4 +b

5

c) a2 +b

2 +c

2 +2ab +2ac +2bc

d) a3 +b

3 +c

3 +3a

2b +3a

2c +3b

2c +3abc

21.- Realiza y comprueba el resultado

División

(61x3 +568x

2 –2455x +10556):(x

2 –4x +13)

Sol.: Cociente: 61x + 812

Resto: -812x2 +3248x –10556

22.- Realiza y comprueba el resultado de la

división

(127369525x3 +1185998200x

2 –5126101375x –

-22041191900):(x2 –4x +13)

Sol.: Coci.: 127369525x +1695476300

Rest.: 0



40

23.- Genera un polinomio que admita como ceros los siguientes

valores:

a) 2/3, 1/2, 3/4

b) 2, -1/2, 2/3

c) 2, 1, 3

d) 4, -1, 2, 3

Sol.:

a) 24x3 –46x

2 +29x –6

b) 6x3 –13x

2 + 4

c) x3 –6x

2 +11x –6

d) x4 –4x

3 –x

2 +16x –12

24.- Descomposición factorial de los polinomios obtenidos en

3.-:

a) 24x3 –46x

2 +29x –6

b) 6x3 –13x

2 + 4

c) x3 –6x

2 +11x –6

d) x4 –4x

3 –x

2 +16x –12

Sol.:

a) 2/3, 1/2, 3/4

b) 2, -1/2, 2/3

c) 2, 1, 3

d) 4, -1, 2, 3

25.- Realiza

a) Multiplica: (3ax3y).(2ax).(-3x

2y)

b)Operaciones: 3xy2.(-2x

3) - 2y

2x

2.(-4x

2)

c)Operaciones: (3x2y)

5 , [(3xy

3)

2]

3

26.- Realiza


41

a) División: (2

3𝑎𝑥2):(3x) , (

−1

9𝑥5𝑦𝑧3): (

3

2𝑥𝑦𝑧)

b) Operaciones y simplifica el resultado:

[(3

2𝑥𝑦2)2 ∶ (−

3

4𝑥2)]3

– [(1

4𝑥3𝑦2)2 ∶ (

1

2𝑥3)2]

3

c) m.c.d. de los monomios:

26xy5z, 52(xyz)

3 , 39x

2yz

3

(Res.: a) 2

9 . 𝑎𝑥 ,

−2

27. 𝑥4𝑧2 , b)

−1729

64 𝑦12

c) mcd = 13xyz

27.- Realiza

a) [1-xy-y2-z

2] + [3xy+2y

2] +[-3z

2 -5+xy] +

+ [3xy –x2 –z

2]

b) Halla A –B +C, siendo: A = 1

3𝑥2𝑦 −

3

2𝑥𝑦2 + 3𝑥𝑦

B = 5

6𝑥2𝑦 −

1

3𝑥𝑦 +

7

5𝑥𝑦2, C =

3

4𝑥𝑦2 +

3

4𝑥2𝑦 −

5

6𝑥𝑦

c) Halla A.B y B.(-C), siendo

A = x2+2x-2, B = x

2-3x+1, C = 2x-x

2+3

(Res.: a) 6xy + y2 -5z

2 –x

2 -4

𝑏)1

4𝑥2𝑦 −

43

20𝑥𝑦2 +

5

2𝑥𝑦

c) AB = x4 –x

3 -7x

2 +8x -2,

B.(-C) = x4 -5x

3 +4x

2 +7x -3 )

28.- Realiza

a)Calcual: (-6x+2y)2, (-3xy+2x

2)

2,



42

(−4

3𝑥4 −

3

2𝑦4)

2

b)Simplifica: (2-3x)2+(3+5x)

2 –(4-2x)

2

c)Simplifica:

3x(2-x)2 +(3-5x).(x-1)

2 +(x-4).(x+2)

2

(Res.: a) 36x2 -24xy +4y

2 , 9x

2y

2 -12x

3y +4x

4 ,

16

9. 𝑥8 + 4𝑥4𝑦4 +

9

4𝑦8

b)30x2 +34x -3, c) –x

3 +x

2 -11x -13 )

29.- Realiza

a) (x2+y

2+z

2)

2 , (a

2 –(2a-3b) +b

2)

2

b) (5x2-3y)

3 , [(x-1).(x+1)]

3

c) (2-x2)

6 , (x-2y)

9

Res.: a) x4+y

4+z

4 +2x

2y

2 +2x

2z

2 +2y

2z

2 ,

a4+4a

2-12ab+9b

2+b

4-4b

3+6a

2b+2a

2b

2 -4ab

2+6b

3

b)125x6 225x

4y +135x

2y

2 -27y

3 , x

6-3x

4 +3x

2-1

c) x12

-12x10

+60x8 -160x

6 +240x

4 -192x

2 +64,

[(x-2y)3]

3 ó bien (x-2y).{[(x-2y)

2]

2}

2

30.- Realiza

a)Halla el cuarto término de (1-x)10

b)Halla el octavo término de (3a2b-2a)

11

c)Escribe el término que contiene x8 en el

desarrollo de (3x3-2xy)

6


43

Res.: a) El término de lugar k+1 se corresponde con (𝑛𝑘

),

en este caso

(-1)3.(

103

) . 17. 𝑥3 = -120.x3

b)(117

) . (3𝑎2𝑏)4. (−2𝑎)7 = …. = -3421440.a15

b4

c) (6𝑘

) . (3𝑥3)6−𝑘. (−2𝑥𝑦)𝑘 , 3.(6-k)+k = 8 ->

10 = 2k, k = 5 -> -576x8y

5

31.- Realiza

a)Halla el término que contiene a73

en el desarrollo de

(3a5b

3 +

3𝑎2

4𝑏)

17

b)Escribe el desarrollo completo de

(2xy -3z)8

c)Aplica el binomio de Newton

(3+i)5, (1-√2. 𝑖)7

Res.: a) (17𝑘

) . (3𝑎5𝑏3)17−𝑘. (3𝑎2

4𝑏)𝑘 ,

73 = 5.(17-k)+2k -> 73 = 85 -5k +2k, 3k = 12,

k = 4 -> 2380.317

44 . 𝑎73𝑏35

b) (2xy -3z)8 = ∑ (

8𝑘

) . (2𝑥𝑦)8−𝑘. (−3𝑧)𝑘 𝑘=0,1,..,8 =

…

= ….

c) -12 +316.i , 43 - 13√2. 𝑖



44

32.- Realiza

a)Divisiones: (15a3-27a

2+12a-3a

5):3a

(5x5-3x

7+4x

4-5x

3):2x

2

b)Divisiones: (3ax4-2a

5x

7 --

5

6𝑎𝑥3):7ax

2

(8x5-14x

4 -5x

3+16x

2 -8x +3):(2x

2 -5x +3)

(3

2𝑥4 −

2

5𝑥3 +

9

4𝑥2 +

3

5𝑥 − 1) : (

3

2𝑥2 −

2

5𝑥 + 3)

c)Aplicando Ruffini:

(6x4 +20x

3 -41x

2 -50x +20): (x+5)

(7x2 +

2

3𝑥5 +

11

12𝑥 −

15

4𝑥3 +

2

3𝑥 + 4) : (x+3)

Res.: a) ,

b) 4x3 +3x

2 –x +1, x

2 +

1

2

c) C(x) = 6x3 -10x

2 +9x +5, R = -5

C(x) = 2

3𝑥4 − 2𝑥3 +

9

4𝑥2 +

1

4𝑥 +

1

6 , R = 0

33.- Realiza

a) Sin hacer la división comprueba si será divisible por:

P(x) = 3x3 -21x +18, D(x) = (x+3)

P(x) = 3

4𝑥5 −

2

3𝑥4 −

5

2𝑥3 − 𝑥2 +

2

3𝑥 +

3

4 , D(x) = (x+1)

b) Halla el resto

(my4 +m

2a

2y

3-2m

3a

4y

2+ay-ma

3) : (y-ma

2)

c) Halla ‘p’ para que sea exacta

(x2 -2x +p): (x+3)

(x3-

2

3𝑥2 + 𝑝𝑥 +

7

9) ∶ (𝑥 +

1

3)

d) Valor de p para que el resto sea 16


45

(x4-3x

3+2x-p): (x+2)

Valor de p para que -2 sea un cero de

P(x) = x2-3x

3+2px-4

Res.: a) P(-3) = 0, P(-1) = 1/6 ,

b) R =0, c) p = -15, p = 2,

d) p = 10, p = 6

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

34.- Realiza

a)Descomponer en factores

3.(x-2)+(x-2)2-2x(x-2)+ab.(x-2)

3

3x2 -6x +3

b)Descomponer en factores

x2 -9, a

2 –(x-y)

2

c)Descomponer en factores

(2x-1)2 – (3x+2)

2 , 8-2a

2 +4ab -2b

2

Res.: a) (x-2).[1-x+ab.(x-2)2], 3.(x-1)

2

b) (x-3).(x+3), (a+x-y).(a-x+y)

c) -(5x+1).(x+3), 2.(2+a-b).(2-a+b)

35.- Realiza

a)Decomponer en factores

2x3 +3x

2 -

𝑥

2−

3

4 , ( 1/2 es un cero)

x4 +x

3 -16x

2 -4x +48, (2 y -2 son ceros)

b)Decomponer en factores

x5 -16x

c)Halla el MCD y el mcm de



46

x4-y

4, x

2-y

2, x

3-x

2y +xy

2 –y

3

Res.: a) 2.(x+1

2 ). (𝑥 −

1

2 ) . (𝑥 +

3

2) ,

(x-3).(x+2).(x-2).(x+4)

b) x.(x2+4).(x+2).(x-2)

c) MCD = (x-y), mcm = (x2 +y

2).(x+y).(x-y)

$$$$oOo$$$$


47

Tema 2

Fracciones algebraicas en x

Expresiones Radicales en x



48


49

2.1.- Fracciones en x

Definición

“Una fracción en x es una expresión de la forma p(x)/q(x), donde

p(x) y q(x) son polinomios, y q(x) no es el polinomio 0”

Ejemplo: 3x2−5x+4

2x+6

Representamos por Q[x] el conjunto de todas las fracciones.

2.2.- Operaciones básicas con fracciones

Son las mismas operaciones que con las fracciones numéricas.

Son trasladables a Q[x] las mismas operaciones y sus

propiedades.

2.2.1.- Suma y Resta

Si r(x) = a(x)

b(x) y s(x) =

c(x)

d(x)

su suma está definida así:

r(x)+s(x) = [a(x).d(x)+ b(x).c(x)]

[b(x).d(x)]

Ejemplo:

Sean r(x) = x2−5𝑥+4

2x+3 , s(x) =

3x+5

x2−4

Su suma:



50

r(x) + s(x) = x2−5𝑥+4

2x+3 +

3x+5

x2−4 =

= 2𝑥2−5𝑥+4).(𝑥2−4) +(2𝑥+3).(3𝑥+5)

(2𝑥+3).(𝑥2−4)

Haciendo los productos y sumas indicados el alumno comprobará

que el resultado es:

= 2𝑥4−5𝑥3+2𝑥2+39𝑥−1

2𝑥3+3𝑥2−8𝑥−12

Elemento NEUTRO:

Comprueba que si r(x) es cualquiera y s(x) = 0

1 , se cumple: r(x) +

s)x) = r(x). Por tanto, la fracción 0

1 cumple la condición de

elemento neutro. Comprueba que también lo cumple cualquier

otra fracción s(x) = 0

𝑏(𝑥)

(tomaremos 0

1 ó simplemente 0).

Existencia y Propiedad del SIMÉTRICO:

Para cada fracción r(x) = 𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) existe otra fracción s(x) tal que:

r(x) + s(x) = 0.

Veamos que lo cumple la fracción: -p(x)/q(x).

Diremos que −𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) es ‘la opuesta’ de

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) .


51

Ejemplo:

Dada r(x) = 3x3+2x2−5

2x+5 , su opuesta es

-r(x)= −3x3−2+5

2x+5

Haciendo la suma: r(x)+(-r(x))= 0

2x+5 = 0

RESTA de dos fracciones:

Para RESTAR dos fracciones podemos sumar la opuesta de la

fracción sustraendo. Así

a(x)

b(x) −

𝑐(x)

d(x) =

a(x)

b(x) +

−𝑐(x)

d(x)

Ejemplo:

2x2−5x+1

3x+4 −

5x+2

x2+6 =

2x2−5x+1

3x+4+

−5x−2

x2+6 =

Comprueba que resulta:

= 2x4−5x3−2x2−56x−2

3x3 + 4x2+18x+24

2.2.2.- Producto de dos fracciones

a(x)

b(x) ∗

c(x)

d(x) =

a(x)∗𝑐(𝑥)

b(x)∗𝑑(𝑥)

Ejem.:



52

3x2+3x−5

2x+1 ∗

4x+3

x3−3x+8 =

comprueba que el resultado es:

= 4x3+15x2−11x−15

2x4+x3−6x2+13x+8

Elemento UNIDAD (neutro para el producto):

Es evidente que la fracción 1

1 lo cumple:

1

1∗

p(x)

q(x) =

p(x)

q(x)

La fracción 1

1 , o

a(x)

a(x) con a(x) cualquiera, es la unidad.

Elemento SIMÉTRICO para el producto (o INVERSO):

Dada una fracción a(x)/b(x), no nula (esto es, a(x) no es 0), existe

otra fracción c(x)/d(x) tal que:

a(x)

b(x)∗

c(x)

d(x)=

1

1 = 1 , o equivalente a ésta.

Comprueba que este hecho lo cumple la fracción

b(x)

a(x) (obtenida invirtiendo sus términos)

Diremos que la fracción b(x)

a(x) es la ‘inversa’ de

a(x)

b(x)


53

2.2.3.- División de dos fracciones

Definición:

Se define así: a(x)

b(x) ∶

c(x)

d(x) =

a(x)

b(x)∗

d(x)

c(x)

es decir, multiplicamos la fracción dividendo por la inversa de la

fracción divisor.

PROPIEDADES y ESTRUCTURA:

De la SUMA:

Asociativa, conmutativa, elemento neutro.

Decimos que

(Q[x],+ ) tiene ‘Estructura de grupo’.

Del PRODUCTO:

Asociativa, conmutativa, elemento unidad.

Decimos que

(Q[x]*,* ) tiene ‘Estructura de grupo’.

(Q[x]* representa Q[x]-{0}, es decir, excluimos la fracción 0)

Además,

Distributiva del producto respecto de la suma:

a.(b+c) = (a.b) + (a.c),

para cualesquiera fracciones a,b,c



54

Por cumplirse estas propiedades decimos que (Q[x]*,+,*) tiene

‘Estructura de cuerpo’.

2.3.- Simplificación de una fracción

Dada 𝑝(x)

q(x) , descomponemos p(x) y q(x) en factores. Si m(x) es

un divisor común de p(x) y q(x) podemos dividir éstos por m(x) y

obtenemos una nueva fracción p′(x)

q′(x) equivalente a la primera.

Si dividimos p(x) y q(x) por su MCD(p,q), la fracción p′(x)

q′(x)

obtenida es ‘irreducible’ (no podemos simplificarla más).

2.4.- Valor numérico de una fracción

Dada una fracción p(x)

q(x) , y un valor racional x = a, el valor

numérico de r(x) cuando x = a, es el resultado de

r(a) = p(a)

q(a)

Casuística:

a) Si q(a)<>0, r(a) está bien definido

b) Si q(a) = 0 y p(a) = 0, r(a) = p(a)

q(a) queda indeterminado:

0

0

. Tanto q(x) como p(x) admiten el factor (x-a);

simplificamos todo lo posible mientras tengan factor

común. Hecho ésto estaremos en uno de los casos a) ó c).


55

c) Si q(a)=0 y p(a) <> 0, r(a) no está definido: p(a)

0 no es un

valor real. En este caso decimos que x = a es un polo de

la fracción.

2.5.- Común denominador de dos fracciones

MÍNIMO Común denominador:

Sean dos fracciones a(x)

b(x) y

c(x)

𝑑(x) .

Las fracciones a(x).𝑑(𝑥)

b(x).𝑑(𝑥) ,

𝑐(x).𝑏(𝑥)

d(x).𝑏(𝑥)

son equivalentes a las dadas y además tienen el mismo

denominador.

Pero deseamos que, teniendo el mismo denominador, éste sea el

menor posible.

Para conseguirlo hacemos lo siguiente:

Tomamos el mcm(x) de los denominadores b(x) y d(x). Tanto

b(x) como d(x) son divisores de mcm(x).

Si a’(x) = mcm(x):b(x), hago a(x).𝑎′(𝑥)

b(x).𝑎′(𝑥) y obtengo:

A(x)

mcm(x)

Si c’(x)= mcm(x):d(x), hago 𝑐(x).𝑐′(𝑥)

d(x).𝑐′(𝑥) y obtengo:

C(x)

mcm(x)



56

Estas dos fracciones son equivalentes a las de partida y tienen el

mismo denominador, siendo este denominador el menor posible.

Ejemplo:

1.- Realiza

a)Simplifica: 27𝑥2−2

54𝑥3−4𝑥 ,

4𝑥𝑦+4𝑥

2𝑥𝑦+2𝑥−4𝑧𝑦−4𝑧

b)Simplifica y haz común denominador

𝑥2+𝑦

15𝑥𝑦−35𝑦2 , 3𝑦

12𝑥2−28𝑥𝑦 ,

4(𝑥−2𝑦)

18𝑥3−98𝑥𝑦2

c)Efectúa las operaciones

𝑥−2

6𝑥+6−

𝑥+2

2𝑥+2+

3−𝑥

4𝑥+4 ,

3(𝑥−1)

𝑥2−𝑦2 −𝑥+𝑦

𝑦−𝑥+

𝑥2+𝑦2

𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2

Res.: a) 1

2𝑥 ,

2𝑥

𝑥−2𝑧

b) 4𝑥(3𝑥+7𝑦)(𝑥2+𝑦)

20𝑥𝑦(3𝑥−7𝑦)(3𝑥+7𝑦) ,

15𝑦2(3𝑥+7𝑦)

20𝑥𝑦(3𝑥−7𝑦)(3𝑥+7𝑦),

40𝑦(𝑥−2𝑦)

20𝑥𝑦(3𝑥−7𝑦)(3𝑥+7𝑦)

c) -−7

12 ,

2𝑥3+3𝑥2−3𝑥𝑦−3𝑥+3𝑦+2𝑥2𝑦

(𝑥−𝑦)2.(𝑥+𝑦)

------------

2.6.- Descomposición de una fracción en Suma de fracciones

simples

Llamamos ‘fracción simple’ a las fracciones de la forma A

x−a ,

donde A es un valor real.


57

NOTA:

Con el fin de hacerlo más inteligible explico los siguientes casos,

refiriéndome a las soluciones de q(x) = 0. V

Volvemos a tratarlo en el Vol.7 de forma más completa.

Sea p(x)

q(x) . Si gr(p) >= gr(q) hacemos la división y tenemos

p(x)

q(x) = c(x) +

r(x)

q(x)

Por tanto, podemos suponer que gr(p) < gr(q).

A)Caso de Soluciones racionales distintas

a) Supongamos que q(x) es de grado 3, con primer coeficiente 1,

y que a,b,c son las soluciones de q(x)=0, distintas entre sí. Su

descomposición factorial es

q(x)= (x-a).(x-b).(x-c)

Afirmamos que existen constantes A,B,C tales que

p(x)

q(x) =

A

x−a +

B

x−b +

C

x−c

Para obtener A,B,C operamos como sigue.

Multiplico los dos miembros por q(x) y obtengo

p(x)= A.(x-b).(x-c)+B.(x-a).(x-c)+C.(x-a).(x-b)

Hago x = a, y obtengo p(a)= A.(a-b).(a-c), de donde obtengo

A = 𝑝(𝑎)

(𝑎−𝑏).(𝑎−𝑐)

Hago x = b, y obtengo p(b)= B.(b-a).(b-c), de donde obtengo



58

B = 𝑝(𝑏)

(𝑏−𝑎).(𝑏−𝑐)

Hago x = c, y obtengo p(c)= C.(c-a).(c-b), de donde obtengo

C = 𝑝(𝑐)

(𝑐−𝑎).(𝑐−𝑏)

Si el primer coeficiente es m, su descomposición factorial es

q(x) = m.(x-a).(x-b).(x-c) = m.q’(x)

Tengo p(x)

q(x) =

1

𝑚 .

p(x)

q′(x) , donde q’(x) tiene primer

coeficiente 1 y q’(x)=0 tiene las soluciones a,b,c.

Descompongo en sumas simples la fracción p(x)

q′(x)

y entonces: p(x)

q(x) =

1

𝑚 . [

A

x−a +

B

x−b +

C

x−c ] , los

numeradores quedarían de la forma

A’ = 𝐴

𝑚 , B’ =

𝐵

𝑚 , C’ =

𝐶

𝑚

Procederíamos del mismo modo siempre si q(x) es de grado n y

tiene n soluciones racionales distintas.

B) Caso de Soluciones racionales múltiples

Supongamos que descompone por completo pero tiene dos

soluciones iguales: b=a, y primer coeficiente 1

q(x)= (x-a)2.(x-c)


59

Ahora planteamos

p(x)

q(x) =

Ax+B

(x−a)2 + C

x−c , donde

p(x)= (Ax+B).(x-c) + C.(x-a)2

Haciendo x = c, obtengo p(c) = C.(c-a)2, de donde obtengo C =

p(c)

(c−a)2

Haciendo x = a, obtengo

p(a) = (A.a +B).(a-c)

Para obtener A y B necesito obtener otra igualdad. Doy otro valor

a x, distinto de a y de c, sea x = b; tengo

p(b) = (A.b + B).(b-c) + C.(b-a)2

Del sistema

p(a) = (A.a +B).(a-c)

p(b) = (A.b + B).(b-c) + C.(b-a)2

obtengo A y B.

Si el primer coeficiente de q(x) es m, tendremos

1

𝑚 .

p(x)

q′(x) , y obteniendo la descomposición en

sumas simples de p(x)

q′(x) el resultado irá multiplicado por

1

𝑚 .

Procederíamos de la misma forma si tuviese más soluciones

múltiples, o si la multiplicidad fuese mayor que 2.

C) Caso de que q(x) no descomponga totalmente en los

racionales.



60

Supongamos que q(x) no descompone totalmente en Q, y que

toma la forma

q(x)= (x-a)2.(x-c).n(x)

Planteo p(x)

q(x) =

Ax+B

(x−a)2 + C

x−c +

n′(x)

n(x)

donde n’(x) tiene coeficientes indeterminados y es de grado =

gr(n(x))-1.

Multiplicando por q(x) tenemos

p(x) = (Ax+B).(x-c).n(x) +C.(x-a)2.n(x) +

+ n’(x).(x-a)2.(x-c)

Dando valores

x = c --> p(c) = C.(c-a)2.n(c),

de donde obtengo C

x = a --> p(a) = (A.a+B).(a-c).n(a)

Otro valor

x= b -->

p(b) = (A.b+B).(b-c).n(b) +C.(b-a)2.n(b) +

+ n’(b).(b-a)2.(b-c)

Del sistema

p(a) = (A.a+B).(a-c).n(a)


61

p(b) = (A.b+B).(b-c).n(b) +C.(b-a)2.n(b) +

+ n’(b).(b-a)2.(b-c)

De este sistema obtengo A y B.

Si el primer coeficiente de q(x) es m, entonces

1

𝑚.p(c) = C.(c-a)

2.n(c),

1

𝑚.p(a) = (A.a+B).(a-c).n(a)

1

𝑚.p(b) = (A.b+B).(b-c).n(b) +C.(b-a)

2.n(b) +

+ n’(b).(b-a)2.(b-c)

Para obtener los coeficientes de n’(x) damos a x tantos valores

como el número de sus coeficientes indeterminados, que sean

distintos de a y c. Obtengo un sistema cuyo resultado son dichos

coeficientes.

2.7.- Expresiones con radicales en x

Son expresiones en las cuales la indeterminada x va dentro de

algún radical.

También podemos encontrar

)(xg , n xg )(

Ejemplo:

Raíces cuadradas



62

f(x) = √3𝑥2 − 5𝑥 + 6 , f(x) = 3𝑥 + √𝑥2 + 1

f(x)= 1

22

x

x

Raíces cúbicas, Radicales de índice 4, 5, etc.

f(x)= 3 2 653 xx , f(x)= 4 1x , f(x)= 5 32 x

Las llamaremos ‘expresiones irracionales en x’, o ‘radicales en x’.

No tratamos aquí las operaciones con este tipo de radicales, pero

sí podemos decir que son las mismas que vimos para los radicales

numéricos.


63

ACTIVIDADES

1.- Dadas las fracciones

r(x)= (2x+3)/(x-5), s(x)= (x2 –4)/(x

2 –x +1)

realiza:

a) r(x) + s(x)

b) r(x) – s(x)

Sol.: a) 566

235x -4x- 3x23

23

xxx, b

566

17-3x 6x x23

23

xxx

2.- Dadas las fracciones

r(x)= (2x +3)/(x –5), s(x)= (x2 +1)

realiza:

a) r(x).s(x)

b) r(x):s(x)

Sol.: a) 54

1510322

23

xx

xxx, b)

2555

35223

2

xxx

xx

3.- a) Calcula el valor numérico de la fracción

r(x) = 3x2 –5x +4

3x +5 , cuando x= -2

c) Simplifica la fracción

r(x)= x2 +3x –10

x2 +8x +15

Sol.: a) -26,

b) Descomponiendo en factores



64

r(x)= )5).(3(

)5).(2(

xx

xx =

3

2

x

x

4.- a) Dadas las fracciones

r(x) = 2x+3

x−5 , s(x) =

x2 +5

x+1

pásalas a común denominador.

b) Dadas las fracciones

r(x)= 3x +4

x2 –x –2 , s(x)=

5x –3

x2 +x –6

pásalas a mínimo común denominador.

Sol.: a) r’(x)= 54

3522

2

xx

xx

s’(x)= 54

25552

23

xx

xxx

b) Descomposición de los denominadores:

x2 –x –2 = (x-2).(x+1)

x2 +x –6 = (x-2).(x+3)

Su mcm es

mcm = (x-2).(x+1).(x+3)= x3+2x

2-5x-6

y por tanto:

r’(x)= 652

1213323

2

xxx

xx


65

s’(x)= 652

32523

2

xxx

xx

5.- Obtener la descomposición en suma de fracciones simples de

la fracción

r(x)= 652

4323

xxx

x

Sol.: La descomposición factorial del denominador es:

(x-2).(x+1).(x+3)

6.- a) Realiza: 5. 623 xx

b) Realiza: 25.32 xx

c) Realiza: 53.2

52.3

x

x

Sol.: a) )623.(25 xx

b) )25).(32( xx

c) 2012

4518

2012

4518

x

x

x

x

$$$$oOo$$$$



66


67

Tema 3

Ecuaciones algebraicas en x



68


69

3.1.- Ecuaciones algebraicas en x. Soluciones

Ecuación algebraica:

Es la igualdad entre dos expresiones racionales:

r(x) = s(x)

(1)

r(x) es el miembro izquierda, s(x) es el miembro derecha, de la

ecuación; estos miembros son polinomios o fracciones en x. (Esta

es la razón por la que se llama ‘Ecuación algebraica’)

Solución de una ecuación:

Una solución de (1) es un valor ‘a’ tal que

r(a) = s(a), es decir, que sus valores numéricos son iguales.

Puede ocurrir que (1) sea una ‘identidad’, lo cual significa que

r8x) – s(x) = 0 idénticamente (todos sus coeficientes son 0). En

este caso cualquier valor ‘a’ dado a x es solución. Realmente no

tenemos ecuación.

En la práctica la expresión (1) es convertida en r(x) – s(x) = 0, de

modo que, en lo sucesivo, una ecuación algebraica será expresada

de una de estas forma

p(x) = 0, p(x)

q(x) = 0

(2)



70

3.2.- Ecuaciones equivalentes

Transformación de una ecuación ...

‘Dos ecuaciones son equivalentes si admiten el mismo

conjunto de soluciones’.

Al hacer las siguientes transformaciones la ecuación resultante es

equivalente a la ecuación dada.

Transformaciones:

a) Sumamos la misma expresión t(x) a los dos miembros:

r(x)+t(x) = s(x)+t(x)

Si x=a es solución de una de ellas lo es también de la otra, pues

de r(a)+t(a)=s(a)+t(a) se deduce que r(a)=s(a), y recíprocamente.

b) Multiplicamos los dos miembros por un mismo valor ‘v’ no

nulo:

v.r(x) = v.s(x).

La comprobación es evidente.

c) Trasposición de términos:

Significa que ‘pasamos’ términos de un miembro a otro. Por

ejemplo, si a la igualdad r(x)=s(x) le sumamos a los dos

miembros la expresión –s(x), obtenemos:

r(x)-s(x) = s(x)-s(x), es decir, r(x)- s(x) = 0


71

Decimos que hemos ‘traspuesto términos’ (de la derecha a la

izquierda).

Podemos traspasar sólo los términos que interesen y no el

miembro completo.

d) Supresión del denominador:

Si tengo la igualdad r(x) = p(x)

q(x) , podemos hacer desaparecer el

denominador, pero teniendo en cuenta algunos detalles.

Lo haríamos como sigue. Tengamos en cuenta que en principio

pueden existir valores ‘a’ tales que p(a)=0 y q(a)=0, con lo cual

quedaría 0/0. Esto ocurre cuando p(x) y q(x) admiten el factor (x-

a). Esta es la razón por la que se recomienda la simplificación de p(x)

q(x) hasta llegar a

p′(x)

q′(x) irreducible (Sin factores comunes).

Supongamos que p(x)

q(x) es irreducible. Entonces multiplicamos

por q(x) los dos miembros de

p(x)

q(x) = 0, de modo que la ecuación se reduce a polinómica:

p(x) = 0

Las soluciones ‘a’ de esta última son los valores ‘a’ tales que p(a)

q(a) = 0, y q(a) <> 0

Resumen:

Las soluciones de una ecuación p(x)

q(x) = 0 son los valores ‘a’ tales

que p(a)=0, (soluciones de su numerador), rechazando aquellas

que también hagan q(a) = 0.



72

3.3.- Clasificación según el número de

soluciones

a) Puede tener un número finito de soluciones:

Ejemplo: 3x + 2 = 2x+5.

x2 -4x + 3 = 0

Este es el caso que realmente interesa.

b) Puede ser una identidad, y por tanto admite infinitas

soluciones:

Ejemplo: 3x+2 = (x-3) + (2x+5)

c)Puede ser incompatible, o contradictoria, en cuyo caso no

admite solución:

Ejemplo: 3x+2 = (x-3) + (2x+4) , de donde se deduce que 2

= 1, contradictorio.

3.4.- Generador de ecuaciones con soluciones

predeterminadas

Se trata de obtener una ecuación cuyas soluciones sean prefijadas.

Tiene interés porque de esta forma el propio alumno puede

construirse sus ‘ecuaciones resolubles’ que le motiven a practicar.

De entrada puedo suponer que toda ecuación algebraica queda en

la forma:

p(x) = 0,

ya que puedo suprimir el denominador. El polinomio que vamos a

construir tendrá descomposición factorial:


73

p(x) = m.(x-a1).(x-a2)...(x-an).q(x),

donde q(x) es un polinomio que no admite soluciones racionales.

Cuando interese podremos hacerlo igual a 1.

Si tomamos los valores: a1,a2,...,an y hacemos los productos (x-

a1).(x-a2)...(x-an), obtenemos un polinomio que admite como

soluciones los valores a1,a2,...,an. Podemos además multiplicar

por un polinomio q(x), y sigue admitiendo aquellas soluciones y

además las posibles soluciones de q(x) = 0.

A estas expresiones las llamaremos ‘Poliedros en x’.

3.4.1.- Naturaleza de las soluciones de p(x)=0.

Número de soluciones

Por lo que hemos visto antes toda ecuación algebraica puede

pasar a la forma:

p(x) = 0

En lo que sigue nos referiremos siempre a ecuaciones

polinómicas p(x)=0, con coeficientes racionales.

Grado de la ecuación p(x)=0 es el grado del polinomio.

Naturaleza de las soluciones de p(x)=0

Sus soluciones pueden ser valor:

-Enteros

-Racional fraccionario

-Real no racional

-Complejo no real (Imaginario: a+bi)

Número de soluciones



74

Evidentemente, p(x) = 0, con gr(p(x)) = n, no puede tener más de

n soluciones.

‘Se puede demostrar que toda ecuación p(x) = 0, de grado n, con

coeficientes complejos (Q está incluido en C), tiene n soluciones

en C’.

Su justificación (no demostración) es consecuencia de que si x = a

es solución, (x-a) es factor, y simplificando obtengo polinomio

p’(x) de grado n-1. Las soluciones de p’(x)=0 son las restantes

soluciones de p(x)=0, y será suficiente reiterar este proceso.

Concluimos que: p(x)=0 tiene a lo más n soluciones reales.

3.4.2.- SOLUCIONES racionales (enteras o frac.)

Sea p(x) =

an.xn +a(n-1).x

n-1 +...+a3.x

3 +a2.x

2 +a1.x +a0

Supongamos que x= a es una solución entera.

Entonces

0 = a0 +a1.a +a2.a2 +...+a(n-1).a

n-1 + an.a

n,

a0 = a.(-a1 –a2.a –a3.a2 - ... –an.a

n-1),

de donde se deduce que el valor ‘a’ es un divisor del coeficiente

a0.

Conclusión:

Las posibles soluciones enteras de p(x)=0 están entre los divisores

del coeficiente a0 (término independiente).


75

Por tanto:

Obtenemos la lista de los divisores de a0. Dado un divisor ‘a’,

para comprobar si es solución basta comprobar si p(a) = 0.

Resulta muy cómodo aplicando la Regla de Ruffini y tener en

cuenta que p(a) = Resto.

Supongamos ahora que una solución es la fracción

𝑎

𝑏 (irreducible).

Entonces

0 = a0 +a1.a/b +a2.(a/b)2 + ... + an.(a/b)

2

Para suprimir los denominadores multiplico por bn, y obtenemos

0 = a0.bn+a1.a.b

n-1 +...+ a(n-1).a

n-1.b +an.a

n,

(*)

de donde, trasponiendo el último término y sacando factor el

valor ‘b’ tenemos

-an.an = b.[a(n-1).a

n-1 +a(n-2).a

n-2.b +

+...+a1.a.bn-2

+ a0.bn-1

],

de donde se deduce que el valor ‘b’ es divisor de an (Recuerda

que si b no es divisor de ‘a’ tampoco puede serlo de an ).

Por otra parte, tomando otra vez la igualdad (*), tengo

-a0.bn = a.[a1.b

n-1 +a2.b

n-2.a +...+a(n-1).b.a

n-2 +

+ an.an-1

],

de donde se deduce que el valor ‘a’ es divisor de a0.



76

Conclusión:

Una solución fraccionaria a/b es tal que a es divisor de a0, y b es

divisor de an.

En la práctica:

Tanto para obtener las soluciones enteras como para las

fraccionarias, aplicamos Ruffini:

Hago

p(x):(x-a), ó p(x):(x- 𝑎

𝑏 ), y si el resto de esta división es cero

concluimos que x = a, ó x = a/b sí es solución.

En cada paso que aplicamos Ruffini, el cociente resultante tiene

grado una unidad inferior que el dividendo. Si todas las

soluciones son racionales, en el último paso queda cociente

constante: El coeficiente an, que suele ser 1.

Si sólo admite m soluciones racionales y es m<n, entonces el

último cociente es un polinomio q(x) de grado n-m. Las

soluciones de q(x) = 0 hemos de obtenerlas por otro método como

veremos a continuación.

3.4.3.- Soluciones No racionales.

Si después de extraer las soluciones racionales (enteras y

fraccionarias), el grado del polinomio residual, q(x), no es cero,

esto significa que la ecuación dada tiene soluciones ‘irracionales’

o ‘imaginarias’.

Pasamos a designar mediante p(x) al citado polinomio residual.

Será gr(p) > 1, ya que si fuese gr(P) = 1 tendríamos

ax + b = 0, -> x = -b/a


77

3.4.4.- Ecuaciones Diofánticas

ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Def.: Llamamos ecuación diofántica a una ecuación de la forma

a.x + b.y = c, donde los coeficientes son enteros, y para la cual

deseamos encontrar las soluciones enteras.

Afirmamos: Admite soluciones enteras precisamente si el

máximo común divisor d = mcd(a,b) divide a c.

Dem.: Directo

Sea d = mcd(a,b) y supongamos que

a = d.a’, b = d.b’ , c

= d.c’

Entonces a’.x + b’.y = c’ . donde a’, b’, c’ son irreducibles.

Volvemos a escribirla de la forma a.x + b.y = c, donde a, b, c

son irreducibles. Ahora mcd(a, b) = 1

Por el Lema de Bezout existen valores ∝, 𝛽 tales que

a. ∝ + b. 𝛽 = d, donde d = mcd(a,b)

y entonces a’. ∝ + b’. 𝛽 = 1

Multiplicando por c tengo c = a’.c. ∝ + b’. 𝑐. 𝛽 =

a’.(d.c’). ∝ + b’. (𝑑. 𝑐′). 𝛽 =

= a.(c’.∝) + b.(𝑐′. 𝛽) , y por tanto una solución de a.x + b.y =

c es

x = c’.∝, y = c’.𝛽, o bien {𝑥 =

c

d. ∝

𝑦 =𝑐

𝑑. 𝛽

(Solución

particular)

Será suficiente obtener los valores ∝, 𝛽 dados por el Lema de

Bezout.

Recíproco: Supongamos que xo, yo es una solución, valores

enteros. Entonces



78

a.xo + b.yo = c . Si d = mcd(a,b), tenemos (a.xo + b.yo)

𝑑=

𝑐

𝑑 , y por tanto a’.xo + b’.yo =

𝑐

𝑑 . Puesto que el miembro

izquierda es un valor entero también ha de serlo 𝑐

𝑑 , es decir d

divide también al término independiente c.

Solución general: Supongamos que (xo , yo ) es una solución

concreta. Veremos que los siguientes valores también son

solución

{𝑥 = 𝑥𝑜 +

𝑏

d. t

𝑦 = 𝑦𝑜 − 𝑎

𝑑. 𝑡

, donde t recorre los entero

En efecto: Tomando a’ = a/d, b’ = b/d, realizo

a.( 𝑥𝑜 + b′. t) + b.( 𝑦𝑜 − 𝑎′. 𝑡) = (a.𝑥𝑜 + 𝑏. 𝑦𝑜) + t.(- a’.b + b’.a) =

(por ser (x0, y0) una solución )

= c + t.(- a’.b + b’.a) = c + t. (−𝑎

𝑑. 𝑏 +

𝑏

𝑑. 𝑎) = c + 0 = c

---------------

Lema de Bezout: Sean a, b enteros con a > b, y sea d = mcd(a, b).

Afirmamos que existen valores enteros ∝, 𝛽 que satisfacen la

igualdad

𝑎. ∝ + b. 𝛽 = d

Hacemos divisiones sucesivas y tenemos lo siguiente (Es el

llamado algoritmo de Euclides)

a = b.q1 + r1 , r1 < b , entero no negativo

b = r1.q2 + r2 , r2 < r1, entero no negativo

r1 = r2.q3 + r3 , r3 < r2, entero no negativo

Llegará un momento en el que rk = 0. Supongamos es el

siguiente

r2 = r3.q4 + r4 , r4 = 0 (r3 es último resto no

nulo)

Despejo r3 y avanzo de abajo hacia arriba.

r3 = r1 – r2.q3 = r1 – q3.(b – r1.q2) =


79

= (a – b.q1) – q3.(b – q2.(a – b.q1) ) =

= (a + q3.q2.a) + (- b.q1 – q3.b – q3.q2.q1.b) =

= a.(1 + q2.q3) + b.(- q1 – q3 - q3.q2.q1)

Haciendo ∝ = 1 + q2.q3, 𝛽 = - q1 - q3 - q3.q2.q1 , tengo

r3 = a. ∝ + b. 𝛽

Afirmamos: El valor r3, último resto no nulo, es divisor de a y

de b.




r2 = r3.q4

Subiendo al tiempo que sustituimos ….

r1 = r3.(q4.q3) + r3 = r3.(1 + q3.q4)

b = r3.(1 + q3.q4) .q2 + r3.q4 = r3.[(1 + q3.q4).q2 + q4] ,

y por tanto r3 es divisor de b.

a = r3.[(1 + q3.q4).q2 + q4].q1 + r3.(1 + q3.q4) =

= r3.[ (1 + q3.q4).q2 + q4].q1 + r3.(1 + q3.q4) =

= r3. [ …………………………….] , y por tanto r3 es

divisor de a.

Por lo tanto r3 divide a d = mcd(a, b)

r3 = d.(a’’.x + b’’.y) -- > d divide a r3, por tanto d =

r3.

------------

Cuestiones de interés:

1.- Si m divide al producto a.b y es primo con a, entonces

divide a b.

En efecto: Si m divide al producto a.b, entonces, tomando la

descomposición factorial de m, todos los divisores de m lo son

de a.b, pero como es primo con a, esos divisores lo son de b,

porque m es primo con a.



80

2.- Si d2 divide a (a + b)

2 , entonces d divide a (a + b)

En efecto, Es evidente

3.- Si d divide a a y a b, entonces d divide a (a + b)

En efecto, a = a’.d, b = b’.d -- > a + b = d. (a’ + b’) -- > d

divide a (a + b)

4.- Si a = b.q + r, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r)

En efecto, a = a’.d, b = b’.d -- > d.(a’ – b’.q) = r -- > d

divide a r

Recíproco, sea c = mcd(b, r) -- > b = b’.c, r = r’.c -- > a =

c.(b’ + r’) -- > c divide a a, y por tanto c divide a b y a, y

por tanto c divide al d = mcd(a, b) . Puesto que d y c son el

mayor que divide a b, deben coincidir.

5.- mcd(a2, b

2, a.b) = (mcd(a, b))

2

Sea d = mcd(a, b) -- > d2 divide a a

2, b

2 , a.b -- > d

2 divide a

D = mcd(a2, b

2, a.b)

Por otro lado, D = mcd(a2, b

2, a.b) -- > D divide a (a + b)

2 -- >

D divide a (a + b)


81

3.5.1.- Ecuación de Segundo grado:

ax2 + bx + c = 0 (1)

Vamos a deducir la fórmula que nos da sus

soluciones, incluidas las no racionales.

Deducción de la fórmula:

Ajustamos para que los términos en x resulten del cuadrado de un

binomio, y que fuera de éste no lleven x.

Multiplico por ‘a’ y obtengo:

a2.x

2 + abx +ac = 0

Multiplico por 4, y obtengo:

4.(ax)2 +4.abx +4.ac = 0

Ahora sumo b2 a los dos miembros, y obtengo:

(2.ax)2 + 4.abx+ b

2 + 4.ac = b

2

Teniendo en cuenta el cuadrado del binomio podemos escribir:

(2.ax + b)2 + 4.ac = b

2 ,

de donde

(2.ax + b)2 = b

2 – 4.ac,

de donde, haciendo raíz cuadrada:

2.ax + b = cab ..42



82

x = a

cabb

.2

..42

(2)

Tengamos en cuenta que la raíz cuadrada proporciona dos

valores, uno positivo y otro negativo, que dan lugar a las dos

soluciones.

Cuando el radicando tenga valor negativo el radicando no puede

ser resuelto en R.

Casuística en la ecuación de segundo grado:

Hacemos D = b2 - 4.ac , que llamamos discriminante.

a)Si D > 0, tenemos dos soluciones reales distintas, una al tomar

el + y otra al tomar - .

b)Si D = 0, tenemos dos soluciones reales iguales.

c)Si D < 0, no tenemos solución real.

Soluciones imaginarias (Complejas no reales):

¿Qué hacer cuando D < 0?

Hacemos lo siguiente:

D = -(-D), –D>0, y por tanto el valor √−𝐷 es real.

Por otro lado, teniendo en cuenta que i2 = -1 (Véase números

complejos en el Volumen 1), puedo escribir D = i2.(-D), de modo

que ahora tenemos


83

√𝐷 = √𝑖2. (−𝐷) = 𝑖. √−𝐷

y por lo tanto tenemos las siguientes soluciones en C (los

complejos):

x = −𝑏+ √𝐷 . 𝑖

2𝑎 , x =

−𝑏− √𝐷 . 𝑖

2𝑎

que son números complejos conjugados.

3.5.2.- Ecuación de grado 3:

ax3 + bx

2 + cx + d = 0 (cúbica)

Esta ecuación, por ser de grado 3, admite siempre al menos una

solución real.

Con más precisión:

Toda ecuación de grado n impar, admite un número impar de

soluciones reales, ya que las soluciones complejas no reales van

siempre emparejadas: Si c+di es solución, también lo es su

conjugado c-di.

Por tanto, las posibilidades para la cúbica son:

a) Una solución real y un par de soluciones

imaginarias conjugadas entre sí.

b) Tres soluciones reales.

NOTA:

Recordad que el primer paso en la resolución de una ecuación

consiste en extraer sus soluciones racionales (enteras ó

fracciones). Si después de ésto la ecuación residual es de tercer

grado, aplicamos el siguiente Método.



84

Teniendo en cuenta que un número irracional es “intratable” en la

práctica, si deseamos construir una ecuación cúbica (con

coeficientes racionales, lógicamente) que tenga soluciones

predeterminadas, nuestras únicas opciones son:

a) Que tenga las tres soluciones racionales (enteros ó fracciones).

b) Una racional y dos imaginarias conjugadas

Método:

Resolución de la Ecuación de tercer grado:

ax3 + bx

2 +cx +d = 0

(1)

a)Obtengo la reducida asociada:

Mediante el cambio de variable x = x’ – 𝑏

3𝑎 , obtenemos

x’3 + px’ + q = 0, (2)

que llamamos ‘reducida’ de (1), y donde

p = 3ac – b2

3a2

q = 2b3−9abc +27a2𝑑

27a3

NOTA: Para llegar a lo anterior consúltese el Apéndice 1.

b)Obtengo la ‘resolvente cuadrática’ asociada:

Formamos la siguiente ecuación (llamada resolvente)

y2 + 27q.y – 27p

3 = 0 (4)

donde p y q toman los valores (3)


85

Sean y1, y2 las soluciones de esta última:

y1 = −27q + √272.𝑞2+4.27.𝑝3

2 =

−27q + √272.4.𝑞2

4+4.272.

𝑝3

27

2 =

= −27.𝑞+27.2.√

𝑞2

4+

𝑝3

27

2 =

27.2.[−𝑞

2+ √

𝑞2

4+

𝑝3

27

2 = 27. [−

𝑞

2 +

√𝑞2

4+

𝑝3

27 ]

y2 = 27. [−𝑞

2− √

𝑞2

4+

𝑝3

27 ]

(5)

Observación: Los valores p, q son racionales, puesto que lo son

a, b, c, d., pero el radicando

𝑞2

4+

𝑝3

27 podría ser negativo, porque puede serlo p y contener la

potencia p3. En este caso los valores y1, y2 son imaginarios. O

bien, si el radicando es positivo, los valores y1, y2 son reales.

Conclusión: Los valores y1, y2 de (5) pueden ser

-Reales

-Complejos imaginarios

c)Tomamos las raíces cúbicas de los valores y1, y2, sean:

Las de y1: z11, z12, z13

Las de y2: z21, z22, z23

Seleccionamos pares z1i, z2j, con la condición de que

z1i*z2j = -3p



86

Observa que son posibles precisamente tres pares distintos (C3,2 =

3 )

NOTA: La siguiente afirmación no puede ser justificada en este

momento, ya que requiere Teorías de alto vuelo. Véase Lecciones

de Álgebra de J. Rey Pastor.

Hecho esto, las sumas

x’(i,j) = z1i + z2j

son las soluciones de la reducida (2).

Teniendo en cuenta el cambio de variable realizado para pasar de

(1) a (2), obtenemos las soluciones de (1):

xi = x’(i,j) - 𝑏

3𝑎

3.5.3.- Ecuaciones de grado 4:

ax4 + bx

3 + cx

2 + dx + e = 0 (Cuártica)

Para este tipo de ecuación tenemos estas posibilidades:

a)Puede tener 4 soluciones reales.

b)Puede tener 2 reales y un par de

imaginarias conjugadas.

c)Puede tener 4 soluciones imaginarias (dos

pares de conjugadas).

NOTA:

Recordad que el primer paso en la resolución de una ecuación

consiste en extraer sus soluciones racionales (enteras ó

fracciones). Si después de ésto la ecuación residual es de tercer

grado, aplicamos el siguiente Método.


87

Método:

Resolución de la Ecuación de cuarto grado

ax4 +bx

3 +cx

2 +dx +e = 0

(1)

a) Forma reducida asociada:

Mediante el cambio de variable x = x’ – 𝑏

4𝑎 , hechos los cálculos

obtenemos la ecuación

x’4 + px’

2 + qx’ + r = 0

(2)

llamada ‘reducida de la cuártica’ (1), donde,

p = −3𝑏2+8𝑐𝑎

8𝑎2

q = 𝑏3−4𝑎𝑏𝑐+8𝑎2𝑑

8𝑎3

r = −3𝑏4+16𝑎𝑏2𝑐−64𝑎2𝑏𝑑+256𝑎3𝑒

256𝑎4

NOTA: Para ver los cálculos que nos lleva a lo anterior

consúltese el Apéndice 1.

b) Obtengo la resolvente cúbica asociada:

Construimos la llamada ‘resolvente cúbica’

y3 + 8p.y

2 + 16(p

2-4r).y – 64q

2 = 0

(3)

Sean y1, y2, y3 las soluciones de (3)



88

c) Tomo sus raíces cuadradas, que llamamos

y1 -> z11, z12

y2 -> z21, z22

y3 -> z31, z32

Seleccionamos una terna, tomando una de cada grupo

z1i, z2j, z3k,

con la condición

z1i.z2j.z3k = -8q

Llamamos z1, z2, z3 a la terna seleccionada.

NOTA: La siguiente afirmación no puede ser justificada en este

momento, ya que requiere Teorías de alto vuelo. Véase Lecciones

de Álgebra de J. Rey Pastor.

Hecho esto, los siguientes valores:

x1’ = 𝑧1+𝑧2+𝑧3

4 , x2’ =

𝑧1−𝑧2−𝑧3

4

x3’ = −𝑧1+𝑧2−𝑧3

4 , x4’ =

−𝑧1−𝑧2+𝑧3

4

son las soluciones de la resolvente (2).

Teniendo en cuenta el cambio de variable hecho para pasar de (1)

a (2), las soluciones xi de (1) son:

xi = xi’ - 𝑏

4𝑎


89

NOTA:

Teniendo en cuenta que un número irracional es “intratable” en la

práctica, si deseamos construir una ecuación de cuarto grado

(coeficientes racionales, lógicamente) cuyas soluciones estén

predeterminadas, nuestras únicas opciones son:

a) Que tenga las cuatro soluciones racionales (enteros ó

fracciones).

b) Dos racionales y dos imaginarias conjugadas.

c) Dos pares de soluciones imaginarias conjugadas entre sí.

3.6.- Ecuaciones de grado > 4

En el Apéndices 4 explicamos el proceso a seguir

para la ecuación general de grado > 4. Se sabe que en general no

es posible obtener un procedimiento para su resolución mediante

radicales siguiendo un proceso análogo a lo que sí podemos hacer

en el caso de la cúbica y la cuártica. En Teoría Matemática

superior se ha demostrado que aquello es imposible en el caso de

una ecuación cualquiera con grado > 4.

Lo que sí podemos hacer ahora es obtener sus raíces reales

mediante separación en intervalos y posteriormente su

aproximación mediante intervalos encajados. Sin embargo, no

será posible obtener su multiplicidad en caso de ser solución

múltiple. El análisis de la multiplicidad nos lleva al estudio de las

derivadas sucesivas de p(x), como función de x. No es posible

obtener las posibles soluciones imaginarias (complejas no reales).



90

3.6.1.- Acotación de la raíces reales en un intervalo

Sea p(x) = anxn + … +a1x + a0, p(x) = 0

REGRA de Laguerre:

A) Acotación de las raíces positivas

Supongamos realizada la división p(x):(x-L), con lo cual

tenemos

p(x) = (x-L).C(x) + p(L), donde C(x) es el polinomio cociente y

p(L) es el valor del resto.

Si x = a > L, tenemos p(a) = (a-L).C(a) +p(L).

Podemos concluir:

‘Si p(L) y los coeficientes de C(x) son positivos, entonces

p(a) > 0, y por tanto, imposible que a > L sea solución de p(x) =

0. El valor L es cota superior de las raíces positivas’.

Para obtener la cota inferior: Hacemos x = 1/x’ con lo cual

obtenemos q(x’) con los coeficiente de p(x) pero en orden

inverso. Aplicamos a q(x) el proceso anterior, sea L el valor

obtenido.

Entonces l = 1/L es la cota inferior de las raíces positivas.

Resumen: Las soluciones positivas quedan recluidas en el

intervalo (l, L)

Si en el proceso anterior resultase p(L) = 0, significa que x = L es

solución.


91

B) Acotación de las raíces negativas

Hacemos en p(x) el cambio x = -x’, con lo cual obtenemos el

polinomio q(x’) cuyos coeficientes son los de p(x) alternando su

signo.

Observa que las ríces de q(x’) = 0 son las ‘opuestas’ de p(x) = 0.

Aplicamos el proceso descrito, supongamos que l y L son las

cotas obtenidas. Entonces, cualquier raíz positiva xk’ de q(x’) = 0

satisface

l < xk’ < L, de donde

-L < -xk’ < -l , siendo xk = -xk’ la

solución de p(x) = 0. Concluimos, por tanto, que

las raíces negativas quedan en (l’, L’), donde hacemos: l’ = -L,

L’ = -l .

Si en el proceso anterior resultase p(L) = 0, significa que x = L es

solución.

Ejemplo: p(x) = 2x4 +4x

3 -59x

2 -61x + 30

Ensayo con valores de L, incrementando … :

Aplicando Ruffini

2 4 -59 -61 30

4 | 8 48

---------------------------

2 12 -



92

5 | 10 70 55

---------------------------

2 14 11 -

6 | 12 96 222

----------------------------

2 16 37 161 +

Concluyo que L = 6

Hago x = 1/x’: -> 2 +4x’ -59x’2 -61x’

3 +30x’

4

30 -61 -59 4 2

2 | 60

-----------------------

30 -

3 | 90 87

------------------------

30 29 28 + +

Por tanto l = 3, y tengo (3, 6)

Para las raíces negativas:

p(x) = 2x4 +4x

3 -59x

2 -61x + 30

Hago x = -x’: ->

q(x’) = 2x’4 -4x’

3 -59x’

2 +61x’ +30,


93

2 -4 -59 61 30

3 | 6 6

-------------------------

2 2 -

5 | 10 30

--------------------------

2 6 -

6 | 12 48

--------------------------

2 8 -

7 | 14 70

----------------------------

2 10 + + +

Concluyo que L = 7,

En q(x’) = 2x’4 -4x’

3 -59x’

2 +61x’ +30

hago el cambio x’ = 1/z, ->

r(z) = 2 -4z -59z2 +61z

3 +30z

4

30 61 -59 -4 2

4 | 120

---------------------------

30 + + + +

3 | 90

---------------------------

30 151 + + +



94

2 | 60

---------------------------

30 + ……………..

1 | 30 91

---------------------------

30 91 32 + +

y por tanto l = 1. Concluyo que las raíces negativas quedan

recluidas en

(-7, -1)

----------------

3.6.2.- Separación de una raíz y su cálculo

aproximado.

En adelante nos referiremos a este Método simplemente como de

‘Aproximación’.

Separación de una solución real, o de un número impar de

soluciones reales, en un intervalo


95

Criterio:

Si p(a) y p(b) tienen signo contrario, es decir p(a).p(b)<0, en el

intervalo (a,b) existe un número impar de soluciones reales.

Tomando (a,b) suficientemente ‘pequeño’ que contenga una

solución. Observa que la gráfica , si la tenemos disponible, nos da

mucha información. El algoritmo de aproximación consiste en

continuar reduciendo la amplitud del intervalo (ai,bi) de forma

que la solución que ‘perseguimos’ se mantenga dentro de él. La

amplitud di de estos intervalos puede llegar a ser menos que 1

n ,

donde n lo elegimos ‘grande’ para que di < 1

n sea pequeño.

Cuando se cumpla esta condición finalizaremos el proceso de

reiteración y tomaremos xi = ai+bi

2 como resultado para la

solución perseguida.

El paso de (ai,bi) al siguiente intervalo (a(i+1), b(i+1)) lo

hacemos como sigue.

Tomo mi = ai+bi

2 y considero los dos intervalos (ai,mi), (mi,bi).

Puede ocurrir

p(mi) = 0, en cuyo caso xi = mi es la solución, y terminado. Puede

ocurrir p(ai).p(mi)<0 lo que significa que la solución está en

(ai,mi), y tomo éste como intervalo siguiente; su amplitud es

d(i+1) = di

2 ; habríamos terminado. Si no ha ocurrido ninguno de

los anteriores, seguro que será p(mi).p(bi)<0, y nos quedamos con

el intervalo (mi,bi) como siguiente, con amplitud d(i+1) = di

2 .

NOTA:

Observa cómo obtenemos el punto medio de un intervalo (a,b)

cualquiera: m = a + b−a

2 =

b + a

2 ,

-------------------



96

ACTIVIDADES

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3x + 5 = 7x – 4

b) 2x2 +3x –9 = 0

c) x2 +6x +13 = 0

d) x2 –4x +13 = 0

Sol.: a) x= 9/4, b) x1= -3, x2= 3/2,

c) x1= -3+2i, x2= -3-2i, d) 2-3i, 2+3i


a) 5.(3𝑥+4)

7+ 1 =

3.(−2𝑥+4)

2

b) 3𝑥−2

5+ 1 =

3

2𝑥+3− 3

c) 𝑥.(𝑥−2)

3= 𝑥. (𝑥 + 1) − 5

Sol.: a) Haz común denominador y quita

denominadores. Resulta x = -5/9

b) Haz común denominador y suprime denominadores.

Queda ecuación de segundo grado. Resulta: x1 = (-15+11)/4 =

-1,

x2 = (-15-11)/4 = -13/2

c) x1 = 2, x2 = -3

3.- a) Genera una ecuación cuyas soluciones sean: x1 = -2,

x2 = 3/2


97

b) Genera ecuación cuyas soluciones sean: x1 = -2, x2 =

3/2, x3 = 1

c) Genera ecuación de grado 3 que admita las soluciones

x1 = 1, x2 = 3/2.

En todos los casos los resultados deben ser comprobados

resolviendo la ecuación obtenida.

Sol.: a) 2x2 +x –6 = 0, b) 2x

3 –x

2 –7x + 6 = 0

c) 2x3 –9x

2 +13x –6 = 0

4.- Extrae las soluciones enteras o fraccionarias de las

siguientes ecuaciones:

a) x4 –2x

3 –7x

2 +8x +12 = 0

b) 6x4 –35x

3 +55x

2 –36 = 0

c) x5 –3x

4 –5x

3 +15x

2 +4x –12 = 0

Sol.: a) 3, -1, 2, -2. b) 2, 3, 3/2, -2/3.

c) 3, -1, 2, -2, 1


a) 2x3 +x

2 –13x +6 = 0

b) 8x3 +4x

2 –26x +3 = 0

c) 2x3 –19x

2 +106x –123 = 0

d) 2x3 +x

2 –13x + 6 = 0

Sol.: a) 2, -3, 1/2

b) 3/2, 2

52,

2

52

c) 3/2, 4+5i, 4-5i



98

d) 2, -3, 1/2

NOTA: Sabemos que toda ecuación de grado 3 con coeficientes

racionales contiene una solución real (que además es racional), y

hemos podido comprobar que las otras dos serán, necesariamente:

a) Las dos racionales

b) Las dos irracionales

c) Las dos complejas (conjugadas)

6.- Resuelve las siguientes ecuaciones de cuarto

grado

a) x4 – 13x

2 + 36 = 0

b) 6x4 +7x

3 –37x

2 –8x +12 = 0

c) 24x4 +52x

3 -6x

2 -17x +2 = 0

d) 6x4 –47x

3 +238x

2 +57x –82 = 0

Sol.: a) –2, 3, 2, -3

b) 2, -3, 1/2, -2/3

c) 1/2, -2/3, (-2+ 5 )/2, (-2- 5 )/2

d) 1/2, -2/3, 4+5i, 4-5i


a) Con dos sol. racionales y dos irracionales

b) Con dos sol. racionales y dos complejas

c) Dos sol. irracionales y dos complejas

d) Las cuatro sol. irracionales

4x^2 –6x +7 = 0, x= (3+-sqr(2))/2


99

e) Las cuatro sol. complejas

x^2 –2x +5 = 0, 1+2i, 1-2i

Sol.:

8.- Determina un intervalo que contenga las soluciones reales de

la ecuación:

24x5 +76x

4 +46x

3 –23x

2 –15x +2 = 0

Sol.: Sabemos que sus soluciones son: -1, 1/2,

-2/3, −2+√5

2 ,

−2−√5

2

Intervalo obtenido: [−2−√5

2 ;

1

2]

9.- Determina un intervalo que contenga las soluciones reales

positivas, y otro intervalo que contenga las soluciones reales

negativas, de la ecuación:

24x5 +100x

4 +98x

3 –29x

2 –32x +4 = 0

Sol.: Sabemos que sus soluciones son: -2, 1/2,

-2/3, −2+√5

2 ,

−2−√5

2

Intervalos obtenidos: [−2−√5

2 ; −

2

3 ] , [

−2+√5

2 ;

1

2 ]

10.- Genera ecuaciones que admitan las siguientes soluciones:

a) 2’3, 3



100

b) 21/10, 3, 2

c) 2, 1, 3/2, 3

d) 3/2, 2 +i, 2 –i

e) 2 +i, 2 –i, dobles

Sol.:

a) 10x2 –53x +69 = 0

b) 10x3 –71x

2 +165x –126 = 0

c) 2x4 –15x

3 +40x

2 –45x +18 = 0

d) 2x3 –11x

2 +22x –15 = 0

e) x4 –8x

3 +26x

2 –40x +25 = 0

11.- Intenta resolver las siguientes de grado 3

a) x3 +16x

2 –25 = 0

b) x3 +16x

2 +1 = 0

Sol.: Al pasar al formato x3 +px + q = 0 resultan coeficientes no

entros.

12.- Resuelve

a) x3 –5x

2 +6x –4 = 0

b) x3 +16x

2 = 0

c) x5 –2x

4 +3x

3 –5x

2 +7x –4 = 0

d) x5 –2x

4 +3x

3 –5x

2 +7x –5 = 0

Sol.:

a) Real: x1 = 3’65

Imag.: z1 = 0’67 + 0’8.i, z2 = 0’67 – 8.i

b) -16, 0, 0

c) 1, -0’509 +1’445.i, -0’509 –1’445.i,

1’008 +0’829.i, 1’008 –0’829.i


101

d) Por acotación: Interv. (-1, 6)

Por aproximación: sol. real (1’25, 1’26)

(4 no detectadas)

13.- Resuelve

a) 065

61162

23

xx

xxx

b) 06116

6523

2

xxx

xx

Sol.:

a) Del Nume.: 1, 2, 3. Del deno.: 2, 3

De la ecuación: x = 1

b) De la ecuación: No tiene soluciones.

14.- Resuelve las siguientes y comprueba los resultados:

a) x2 –6x +13 = 0

b) x2 –2x +10 = 0

c) 3x3 –17x

2 +28x –12 = 0

d) 3x4 –12x

3 –3x

2 +48x –36 = 0

Sol.:

a) 3+2i, 3-2i, b) 1+3i, 1-3i,

c) 2, 3, 2/3, d) 2, 3, 1, -2

15.- Resuelve las siguientes y comprueba los resultados:

a) 9x4 –57x

3 +118x

2 –92x +24 = 0

b) x4 –11x

3 +49x

2 –101x +78 = 0

c) x4 –8x

3 +35x

2 –86x +130 = 0

d) x4 –5x

2 +7x –1 = 0



102

Sol.:

a) 2, 3, 2/3, 2/3, b) 2,3, 3+2i, 3-2i

c) 3+2i,3-2i, 1+3i, 1-3i, d)

16.- Resuelve

a) 1

3. (6 − 3𝑥) +

1

4. (𝑥 − 1). (𝑥 − 2) =

𝑥2

4

𝑥−3

2−

𝑥−8

12=

5−𝑥

4−

𝑥

3

b) 𝑥−

1

2

3−

𝑥−2

3

4=

2−𝑥

6−

𝑥

2−3

12

𝑥−1

23

4−1

− (𝑥−1).(𝑥+2)

32

3−1

− (𝑥 − 2). (𝑥 − 3) = 1

c)

𝑥− 𝑥−3

1−23

1+ 1+

34

4−53

.7

4=

2

3.𝑥

1− 3+

13

10

,

1−𝑥

1−3

4

. (𝑥 −𝑥+

1

2

1−3

4

) = (4𝑥 − 3). (3𝑥 − 4)

Res.: a) x = 2, x = 25/12

b) x = 2, x = 7/4

c) x= 3 , x = 20/21

-------------


103

Problemas:

1.- Me falta 1 euro para poder comprar mi revista preferida, pero

si tuviese el doble del que tengo me sobrarían 2 euros. ¿Cuánto

dinero tengo, y cuál es el precio de la revista?

2.- Determina el número x sabiendo que la suma del cuadrado del

inmediato anterior con el cuadrado del inmediato posterior es 20.

3.- Determina el número x, positivo y par, sabiendo que la suma

de su cuadrado con el cuadrado del inmediato número par que le

sigue nos da 52.

4.- Una peña deportiva contrató un autobús para seguir a su

equipo. Si el autobús se hubiese llenado habría pagado cada uno

5,11 euros. por el billete, pero al quedar 3 plazas vacías tuvieron

que abonar 5,41 euros. cada uno. ¿Cuántos asientos tiene el

autobús?.

5.- Varios amigos se reparten un premio y les corresponde 9 euros

a cada uno. Si hubieran sido 4 amigos más les habría

correspondido 1,80 euros menos a cada uno. ¿Cuántos amigos

eran?

6.- El producto de un número natural por el que le sigue es 31

unidades mayor que el quíntuplo de la suma de los dos.

Determina el primero de los números.

7.- Tengo un número capicúa de tres cifras(es de la forma aba), en

el que la cifra de las centenas es tres unidades menor que la de las

decenas, y la suma de las tres cifras vale 12. Determina dicho

número.

8.- Al incrementar en 5 m. el lado de un cuadrado su área se

incrementa en 75 m2. Calcula el lado del cuadrado.



104

9.- Debemos sumar 1 a un número x, restar 4 al mismo x, y

después multiplicar estos dos resultados. Por error, sumamos 4 a

x, restamos 1 a x, y después multiplicamos los dos resultados. Los

dos productos coinciden. ¿Cuál es el número x?

$$$$oOo$$$$


105

Tema 4

Ecuaciones con radicales

Inecuaciones



106


107

4.1.- Ecuaciones con radicales en x

Resolución. Problemas

Son aquellas ecuaciones donde la incógnita x está bajo algún

radical. Lo explicamos con ejemplos.

Ejem.:

x –3 - 72 2 x = -5

Para resolverla hacemos

x +2 = √2x2 + 7

Elevo al cuadrado

x2 +4x +4 = 2x

2+7

Trasponiendo términos

x2-4x+3=0,

cuyas soluciones son x=1, x=3

Este es el camino a seguir en general cuando lleva sólo un radical:

Aislar el radical en un miembro y elevar al cuadrado los dos

miembros.

En general elevamos los dos miembros con un exponente igual al

índice del radical.

Si lleva dos radicales va a exigir repetir lo anterior dos veces,

hasta conseguir que no tenga radical.

Al elevar al cuadrado puede ocurrir que la nueva ecuación admita

alguna solución que no lo es de la primera (Decimos que ‘han

entrado solución extraña’). Por eso, una vez resuelta hemos de

comprobar cuáles de las soluciones obtenidas lo son realmente de

la ecuación dada.



108

Ejemplo:

1.- x+4 + √2x2 + 17 = 7

Resolviendo obtenemos x=-4, x=-2.

Compruebo: Si x=-4, sustituyo en miembro izquierda

-4+4 + √49 = 7, igual a miembro derecha.

Si x=-2: -2+4 + √25 = 2 +5 = 7, igual miembro derecha.

Las dos son válidas.

2.- 3x+2 + √2x2 + 8x + 1 = 4x+5 (sol.: 2, -4)

Comprobación: x=2, 6+2 + √8 + 16 + 1 = 8 +5=13

En miembro derecha: 4.2 + 5 = 13, sí es válida.

x=-4: -12+2 + √32 − 32 + 1 = −10 + 1 = −9

En miembro derecha: -16+5 = -11, no es válida

3.- √2x + 6 -2x+5 = -x+8 (sol.: -1, -3)

Compruebo: Si x = -1 -> √−2 + 6 + 2 +5 = 9

En miembro derecha: 1+8 = 9, sí es válida.

x = -3 -> √−6 + 6 + 6 +5 = 11

En miembro derecha: 3 +8 = 11, sí es válida.


109

Ejemplos/Problemas:

1.- Deseo construir un parterre de forma rectangular cuya

superficie sea S = 300 m2. Tengo material para vallar 70 m

(lineales). ¿Qué dimensiones debo dar al parterre?.

Sol.: 2x + 2y = 70

x.y = 300

Resuelve el sistema y comprueba que x = 20 m, y = 15 m es una

solución.

2.- Deseo construir un parterre de forma triángulo equilátero.

Deseo que su superficie sea S = 15,60 m2. ¿Qué medida debemos

dar a los lados del triángulo?.

Sol.: Si x es el lado, la altura del triángulo es √3

2 .x

El área del triángulo es S = 1

2 .x.

√3

2 .x =

√3

4 .x2

Resuelve y comprueba que x = 6 m, salvo algún decimal.

4.2.- Inecuaciones (o desigualdades) en x

Resolución

Lo explicamos con ejemplos.

Son expresiones de la forma

3x+5 < 2x+8

Trasponiendo

x-3 < 0, x < 3



110

Son solución todos los reales menores que 3. Es el intervalo

abierto (-oo, +3) de los números reales.

Ejemplo:

1.- 5x-7 <= 12x+20

Operando queda 0 <= 7x + 27, de donde

7x >= -27, x> -27/7

2.- x2 -5x +6 < 0

Resolvemos la igualdad x2-5x+6=0, y obtenemos x=2, x=3

Entonces podemos expresarla en la forma

(x-2).(x-3) < 0

Esta se cumple cuando los factores toman diferente signo: Casos

posibles:

a) {𝑥 − 2 < 0 → 𝑥 < 2 𝑦 𝑥 − 3 > 0 → 𝑥 > 3

𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

b) {𝑥 − 2 > 0 → 𝑥 > 2 𝑦 𝑥 − 3 < 0 → 𝑥 < 3

𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎

Las soluciones son los valores de x que cumplen 2<x<3, o en

forma de intervalo abierto (2,3).

4.3.- Desigualdades en x, y

Lo explicamos con ejemplos.

1.- 2x + 3y – 4 > 0


111

Sol.: Despejo la variable y

y > -2/3.x +4/3,

Si en el plano trazamos la recta

y = -2/3.x +4/3,

el conjunto de soluciones se corresponde con el semiplano de los

puntos ‘por encima’ de la recta. Esto es así porque aquella exige

y > -2/3.x + 4/3 , observa la figura

Son los puntos (x1,y1) cuya ordenada y1 es > que la ordenada del

punto de la recta que tiene la misma abscisa x1.

2.- 2x – 3y + 4 > 0

Sol.: 2x + 4 > 3y, y < 2/3.x + 4/3

Dibujamos la recta y = ...



112

La solución es el semiplano de los puntos que quedan ‘por

debajo’ de la recta.

3.- Resuelve las siguientes desigualdades

a) 3x +2 > 5x –7

b) 3x –6 < 2. 5x

Sol.: a) 2x < 9 --> x < 9/2

b) Elevo al cuadrado (Si 3x-6>0, y por tanto para

x > 6/3)

9x2 +36 –36x < 4.(x+5), 9x

2 –40x +16 <0

Resuelvo la igualdad: 9x2 –40x +16 = 0

Resulta: x1 = 4, x2 = 4/9

El valor 4/9 no cumple aquella condición.

Nos quedamos con x1 = 4.

Comprobación: 3.4 –6 = 6, 2. 54 = 6

4.- Resuelve la ecuación

223.2)43.(4 xx

Sol.:

16.(9x2 +24x +16) = 4.(3x +22)

12x2 +31x +14 = 0

x1 = -7/12, x2 = -2

Al elevar al cuadrado es posible que se hayan introducido

soluciones extrañas, es decir, soluciones de la de segundo grado


113

que no lo son de la dada. Por eso necesitamos hacer

comprobación y quedarnos con la correcta.

Comprobación: x2= -2 -- > 4.(3.(-2)+4) = -8,

-2. 22)2.(3 = -2.4 = -8, Sí es válida x = -2

x1= -7/12 -- > 4.(-7/4 +4)= 9, -2. 224/7 =

-2.9/2 = -9, No es válida x = -7/12

$$$oOo$$$



114


115

Tema 5

Sistemas de Ecuaciones lineales



116


117

5.1.- Conceptos básicos

Ecuación en general:

Ecuación en varias variables es aquella en la que intervienen más

de una variables, por ejemplo: x, y, z.

En general

La igualdad R1(x,y,z,...)= R2(x,y,z,...), donde R1, R2 representan

expresiones racionales (fracciones), es una ecuación.

La Ecuación es polinómica si R1 y R2 son polinomios en x, y, z,

...:

p(x,y,z,...) = q(x,y,z,...)

El ‘grado’ de un término es la suma de los grados (los

exponentes) de cada una de las variables que intervienen.

El ‘grado’ de la expresión es el mayor de los grados de sus

términos.

Ecuación lineal:

Una ecuación es lineal si el grado de cada uno de sus dos

miembros es a lo más uno. El grado de cada uno de sus términos

será cero o uno.

Por ejemplo:

a.xyz es de grado 3, a.xy es de grado dos, a.x es de grado uno, y

lo mismo ay, az

Ejemplo:



118

Ecuación lineal en varias variables

ax + by + cz + ... = a’x + b’y + c’z + ....

Trasponiendo términos siempre podemos suponer que toma la

forma

ax + by + cz + ... = b1

o bien

ax + by + cz + ... = 0

Cuando buscamos una solución de la ecuación, a las variables

x,y,z las llamamos ‘incógnitas’.

Ecuación lineal:

Son aquellas p(x,y,z) = q(x,y,z), donde los dos miembros son de

grado a lo más uno.

Ecuación lineal, en la variable x, es aquella ecuación polinómica

p(x)=0, donde p(x) es de grado uno.

Ejemplo:

2.(x+2/3)+5x = 3/4 .x -5/2.(2x+8)

El alumno comprobará que llegamos a la igualdad

135.x = -256, x = -256/135

Ecuación No lineal:

En cualquier otro caso, cuando contenga algún término de grado

> uno.


119

5.2.- Sistema de ecuaciones lineales

Definiciones

Es un conjunto de ecuaciones lineales en una o varias variables:

x, y, z, ...,

Ejemplo:

{

5𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 11−3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −5

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 5

Una solución del sistema es una terna (v1,v2,v3) de valores, uno

para cada variable, tales que al sustituir en el sistema: x por v1, y

por v2, z por v3, se verifican simultáneamente todas las

igualdades que conforman el sistema.

Compruebe el alumno que la terna (1,-2,0) es solución.

En el caso más general representamos las variables mediante x1,

x2, x3, ..., xn, mientras que en los casos habituales y en la

práctica las representamos por x, y, z, t

Ejemplo:

{

𝒂𝟏𝟏. 𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐. 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏𝟑. 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒎. 𝒙𝟏𝒎 = 𝒃𝟏𝒂𝟐𝟏. 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐. 𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝟑. 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒎. 𝒙𝟏𝒎 = 𝒃𝟐

… … … … … … … … … … … … … … … … … … .𝒂𝒏𝟏. 𝒙𝟏 + 𝒂𝒏𝟐. 𝒙𝟐 + 𝒂𝒏𝟑. 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒎. 𝒙𝟏𝒎 = 𝒃𝒏

es un sistema con n ecuaciones y m incógnitas.

Clasificación En el Vol.10, Álgebra Lineal, se demostrará que un sistema lineal

puede ser:



120

A)Compatible si admite alguna solución:

a)Con solución única (Determinado)

b)Con infinitas soluciones (indeterminado)

B)Incompatible si no admite solución

Se puede demostrar que cada una de las siguientes

transformaciones del sistema dado nos lleva a nuevo sistema es

equivalente, en el sentido de que tienen el mismo conjunto de

soluciones.

Transformaciones que conducen a un Sistema equivalente:

-Multiplico o divido todos los términos de una ecuación

por un valor a no nulo.

-Sumo una misma expresión a los dos miembros de la

igualdad.

-Sumo o resto miembro a miembro a una de las

ecuaciones, otra de las ecuaciones del sistema.

Observa: Cuando en una ecuación trasponemos un término de un miembro

al otro, en realidad estamos sumando a los dos miembros el

opuesto del citado término.

Ejemplos:

Sea el sistema

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 17−4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = −8

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 9

(1)

Compruebe el alumno que la terna (2,-3,1) es solución.


121

A)Divido por -2 los dos miembros de la segunda, y

multiplico por 3 los de la tercera. Resulta el sistema

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 172𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 4

3𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = 27

(2)

B)Traspongo términos en el sistema (1): A la tercera le sumo la

expresión (2x+4y-3z)

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 17−4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = −8

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + (2x + 4y − 3z) = 9 + (2x + 4y − 3z)

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 17−4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = −8

3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = (2x + 4y − 3z) + 9

(3)

El alumno comprobará que aquella terna es solución del nuevo

sistema.

C)Tomo el sistema (2), resultado de la primer transformación. A

la segunda ecuación le sumo miembro a miembro los miembros

de la primera:

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 172𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 + (2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧) = 4

3𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = 27+ (17)

{

2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 174𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 21

3𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = 27

(4)



122

Compruebe el alumno que aquella terna es solución del nuevo

sistema.

5.3.- Sistemas lineales con dos incógnitas.

Métodos de resolución

Sistema lineal en x, y:

Está formado por dos ecuaciones de primer grado en x,y, tales

como:

{𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2

(1)

Una solución de (1) es un par de valores (v1,v2) tales que al

sustituir x por v1, e y por v2, se cumplen las dos igualdades.

Resolución

Son tres los métodos que podemos aplicar a este tipo de sistema.

Dado el su interés de lo que sigue para la resolución de sistemas

aconsejamos la máxima atención.

Método de Igualación:

Consiste en despejar una de las dos incógnita de cada una de las

ecuaciones e igualar después las expresiones obtenidas. Tenemos

así una igualdad con una sola incógnita.

Por ejemplo, suponiendo que los dos coeficientes de y, a12 y a22,

son no nulos, despejo ‘y’ de las dos ecuaciones:

y = b1−a11.x

a12

y = b2 – a21.x

a22


123

Igualando los dos miembros de la derecha podemos obtener el

valor de x, y después el valor de y.

Observa que si la variable x, ó la variable y, tiene coeficiente

cero, entonces podré despejar el valor de la otra incógnita, y

después el valor de la otra.

Método de Sustitución:

{𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2

(2)

Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las

ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

Por ejemplo, si a12 no es nulo despejo la variable y:

y = b1−a11.x

a12 ,

y sustituyo esta expresión en la otra ecuación:

a21.x + a22. b1−a11.x

a12 = b2,

de donde obtenemos el valor de x. Después vuelvo a la expresión

de ‘y’ y obtengo su valor.

Método de Reducción (o de Eliminación):

{𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2

(3)



124

Consiste en conseguir, mediante trasformaciones,

que una de las ecuaciones tenga sólo una incógnita. Obtenemos el

valor de esta incógnita y después lo sustituimos en la otra

ecuación para obtener el valor de la otra.

Por ejemplo, suponiendo que los coeficientes de x, a11 y a21, son

no nulos, multiplico la primera por a21 y la segunda por a11,

resultando

(a21.a11).x + (a21.a12).y = a21.b1

(a11.a21).x + (a11.a22).y = a11.b2

Restándolas obtengo

(a21.a12 – a11.a22).y = (a21.b1 – a11.b2)

Hemos transformado el sistema (1) para llegar al sistema

siguiente equivalente

{𝑎11. 𝑥 + 𝑎12. 𝑦 = 𝑏1

(a21. a12 – a11. a22). y = (a21. b1 – a11. b2)

El término en x ha sido eliminado. Obtengo el valor de y, y

después obtengo el valor de x.

Otra forma:

En lugar de lo anterior, y con el fin de que sirva de precedente

para cuando tengamos un sistema con tres incógnitas, puede

resultar más cómodo el siguiente proceso (sobre todo si sus

coeficientes son valores elevados).

Partiendo del sistema (3)


125

{𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2

(3)’

Obtenemos el mcm de a11 y a21, sea m su valor, y hago que el

coeficiente de x, en las dos ecuaciones, sea este valor m, para lo

cual multiplico la primera por el valor k = m:a11, y la segunda

por el valor h = m:a21, que son enteros.

Tenemos así el sistema equivalente

{m. x + b’. y = f1’ m. x + d’. y = f2’

(2)’

Ahora dejamos fija la primera ecuación y sustituimos la segunda

por lo que resulta de hacer la resta: ‘Segunda menos la primera’.

Queda un sistema equivalente al anterior, y por tanto equivalente

al sistema (1)’ dado y que no lleva x en la segunda ecuación:

{m. x + b’. y = f1’ d’’. y = f2’’

Resolvemos y listo.

5.4.- Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

x, y, z

Es un sistema de la forma:

{

𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2

𝑎31 𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3

(1)



126

Una solución es una terna de valores: (v1, v2, v3) tales que al

sustituir: x=v1, y=v2, z=v3, se verifican simultáneamente las tres

igualdades.

Resolución

No es aplicable el método de igualación.

METODO de Sustitución: (Despeje y sustitución)

Como en el caso de dos variables, consiste en despejar una

incógnita de una de las ecuaciones y llevar esa expresión a las

otras dos.

Después de hacer arreglos llegamos a un sistema de dos

ecuaciones y con dos incógnitas al que aplicamos alguno de los

métodos estudiados, entre ellos repetir otra vez el método de

sustitución.

Ejemplo:

{

𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 − 𝑧 = 4

𝑥 + 𝑦 = 6 − 𝑧

Sol.: Despejo x de la primera: x = y + z

y sustituyo en las otras dos:

2(y+z) –z =4

(y+z)+y = 6-z

2y +z =4

2y +2z=6


127

Despejo z de la primera: z = 4-2y, y lo llevo a la segunda: 2y

+2(4-2y) = 6, -2y +8 = 6,

-2y = -2, y = 1

A partir de aquí: z = 4 -2, z = 2,

x = 1 +2, x = 3

METODO de Reducción o Eliminación (llamado también de

Gauss):

Sea el sistema

{

𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2

𝑎31 𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3

(1)

Cada una de las ecuaciones contendrá al menos dos términos

(miembro izquierda) no nulos. De lo contrario se reduciría

fácilmente a un sistema con dos ecuaciones con dos incógnitas.

Suponemos que los coeficientes de la tercera: a31, a32 y a33 son

no nulos, y que a21 de la segunda también es no nulo. Así

eliminaremos la x de la segunda y la tercera.

Si interesase podríamos cambiar de orden en su colocación dentro

del sistema y eliminar otra incógnita.

Multiplico la segunda por el valor a31 y la tercera por el valor

a21, resultando:

a11x +

a12y + a13z = b1



128

(a21.a31)x + (a22.a31)y + (a23.a31)z = b2.a31

(a31.a21)x + (a32.a21)y + (a33.a21)z = b3.a21

Restamos de la tercera la segunda y el resultado reemplaza a la

tercera, resultando el sistema equivalente (la primera y segunda

siguen sin modificar):

a11x + a12y + a13z = b1

a21x + a22y + a23z = b2

a32’y + a33’z = b3’

Hemos sustituido la tercera por ella misma menos la segunda,

miembro a miembro.

Después aplicamos el mismo proceso anterior con la primera y

segunda para eliminar la x de la segunda ecuación.

Multiplico la primera por a21 y la segunda por a11

Después de esto tengo el sistema equivalente (la primera sigue

igual):

{

a11x + a12y + a13z = b1 a22’y + a23’z = b2’ a32’y + a33’z = b3’

(2)

Resolvemos el sistema formado por la segunda y tercera. Los

valores obtenidos los llevamos a la primera y obtengo el valor de

x.

Aquí podríamos dar por terminada la explicación, sin embargo

continuamos para obtener el Sistema escalonado de Gauss.


129

Continuamos:

Aplicamos el proceso anterior a las ecuaciones

segunda y tercera para eliminar la incógnita ‘y’

de la tercera.

Multiplico la segunda por a32’ y la tercera por a22’, tengo

a11x + a12y + a13z = b1

(a32’.a22’)y + (a32’.a23’)z = a32’.b2’

(a22’.a32’)y + (a22’.a33’)z = a22’.b3’

De la tercera resto la segunda y el resultado reemplaza a la

tercera, resultando el sistema equivalente (la primera continúa

igual):

{a11x + a12y + a13z = b1 a22’y + a23’z = b2’

a33’′z = b3’′

(3)

Lo llamamos ‘Sistema escalonado o de Gauss’ (Método de

Gauss).

De aquí obtengo el valor de z. Este valor lo llevo a la segunda y

de ésta despejo el valor de y. Llevo estos dos valores a la primera

y de ésta despejo el valor de x. El sistema está resuelto.

NOTA: Si lo deseamos podemos operar teniendo en cuenta el mcm de a31

y a21, y seguir como vimos en el caso de dos ecuaciones.

Después hacer lo mismos tomando el mcm de a21 y a11, y

después lo mismo tomando el mcm de a32 y a22.

-------------



130

Ejemplos/Problemas

0.-

El alumno debe resolver el siguiente sistema por los dos métodos

explicados, y comprobar la solución dada:

{

3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 13−𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 52𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −6

(Sol.: 2, -1, 3)

1.- Compramos naranjas y kiwis en día consecutivos de modo que

los precios no han variado. El primer día compro 2 kg de naranjas

y 5 kg de kiwis, y he abonado 12’10 euros; el segundo día he

comprado 3 kg de naranjas y 4 kg de kiwis, y he abonado 10’80

euros. Determina el precio de cada uno.

Sol.: 2x + 5y = 12’10

3x + 4y = 10,80

Resuelve y comprueba que

x = 0,80 e/kg, y = 2,10 e/kg

2.- Compramos naranjas, aguacates y uvas, en días consecutivos y

que no han cambiado los precios.

Primero: 3 de naranjas, 1 kg aguacate, 2 de uvas

He abonado 14 e.

Segundo: 1 de naranjas, 2 kg de aguacates, 3 de uvas

He abonado 20 e.

Tercero: 2 de naranjas, 4 de aguacates, 5 de uvas

He abonado 37 e.


131

Sol.: 3x + y + 2z = 14

x +2y +3z = 20

2x +4y +5z = 37

Resuelve y comprueba que x = 1 e/kg, y = 5 e/kg, z = 3 e/kg

3.- Prepara y resuelve los siguientes sistemas:

a)

435

23

53

43

yx

yx

b)

63

53

5

12

83

2

4

53

yx

yx

4.- Resuelve por despeje y sustitución:

a)

162

242

yx

yx b)

92

022 yx

yx

5.- Resuelve: (Inténtalo por tanteo, y después aplica despeje y

sustitución)

a)

0

2

yx

yx b)

5

2522

yx

yx

6.- Resuelve:

a)

62

42

53

z

zy

zyx

b)

zyx

zx

zyx

6

42

0

7.- Resuelva el sistema



132

yx

yx

7134

1935

Sol.: x = 2, y = -3

8.- Resuelve el sistema

1453

1954

1432

zyx

zyx

zyx

Sol.: x=2, y=-3, z=1


54

1453

1954

1432

zyx

zyx

zyx

zyx

Sol.: x=2, y=-3, z=1

10.- Resolver el sistema

64

1453

1954

1432

zyx

zyx

zyx

zyx

Sol.: Es incompatible


133

5.5.- Sistemas de 4 ecuaciones con 4 incógnitas

En lo que sigue pretendemos una introducción inteligible a los

sistemas de 4 ecuaciones con 4 incógnitas.

En el Vol.10, Álgebra Lineal, se estudiarán los sistemas en

general, aplicando además el estudio de Matrices y los

Determinantes.

SISTEMA en x,y,z,t: Cuatro Ecuaciones y cuatro incógnitas

Es un sistema de la forma:

{

a11x + a12y + a13z + a14t = b1a21x + a22y + a23z + a24t = b2a31x + a32y + a33z + a34t = b3a41x + a42y + a43z + a44t = b4

(1)

Una solución es una cuaterna de valores: (v1, v2, v3, v4) tales que

al sustituir: x=v1, y=v2, z=v3, t=v4 se verifican simultáneamente

las cuatro igualdades.

Métodos de resolución:

Son los mismos explicados para los sistemas de tres ecuaciones

con tres incógnitas.

Por el método de Gauss llegamos siempre a un sistema

escalonado (o triangular), cuya resolución, a partir de ahí, se

consigue operando ‘en cascada’.

Llegaremos a un Sistema Triangular, del tipo



134

a11x + a12y + a13z + a14t = b1

a22'y + a23'z + a24't = b2'

a33’z + a34't = b3’

a44't = b4’

(2)

donde mantenemos la primer ecuación del sistema dado.

De aquí despejo el valor de t. Este valor lo llevo a la tercera y de

ésta despejo el valor de z. Llevo estos dos valores a la segunda y

de ésta despejo el valor de y. Llevo estos tres valores a la primera

y de ella obtengo el valor x.

Ejemplo:

{

2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 3𝑡 = 3−𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 2𝑡 = 53𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 𝑡 = −10

4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 3𝑡 = −14

Sol.: Método de Eliminación (o reducción, o triangulación, o en

cascada, son idénticos)

Si tengo una ecuación con primer coeficiente 1, ésta la sitúo en

cabecera. Observa detenidamente lo que hacemos.

{

𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 3𝑡 = 3

3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 𝑡 = −104𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 3𝑡 = −14

-> {

𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 13

5𝑦 + 7𝑧 + 7𝑡 = 510𝑦 + 9𝑧 + 11𝑡 = 6

He hecho: 2ª -> 2ª -2.1ª, 3ª -> 3ª -3.1ª,

4ª -> 4ª -4.1ª


135

Si de entre 2ª , 3ª y 4ª tengo una con primer coeficiente 1, ésta la

sitúo como segunda, y con ella repetiré lo anterior con tercera y

cuarta.

{

𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 13

5𝑦 + 7𝑧 + 7𝑡 = 510𝑦 + 9𝑧 + 11𝑡 = 6

-> {

𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 13

−28𝑧 + 2𝑡 = −60−61𝑧 + 𝑡 = −124

->

Entre tercera y cuarta intercambio la posición entre z y t, y repito

lo anterior (¡prestar mucha atención!):

{

𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 132𝑡 − 28𝑧 = −60𝑡 − 61𝑧 = −124

-> {

𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 13𝑡 − 61𝑧 = −1242𝑡 − 28𝑧 = −60

->

{

𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5 𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 13

𝑡 − 61𝑧 = −124 94𝑧 = 188

-> z = 2,

t= -124+122 = -2, y = 13-14-(-2) = 1,

x = -5+2+6-4 = -1

--------------



136

Problemas:

1.- Dos números suman 51. Si el primero lo divido entre 3 y el

segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1. Determina los

dos números.

2.- El cociente de una división (entre dos números) es 3 y el resto

es 5. Si el divisor disminuye en dos unidades el cociente aumenta

en uno y el nuevo resto es uno. Determina dividendo y divisor.

3.- Divide 473 en dos partes de modo que al dividir la mayor por

la menor resulte cociente 7 y resto 9.

4.- Halla las edades de dos personas sabiendo que: “hace 10 años

la edad de la primera era 4 veces la de la segunda, y dentro de 20

será sólo el doble”.

5.- Hemos mezclado dos líquidos cuyas densidades son 0’7 y 1’3,

obteniendo 30 litros de densidad 0’9. ¿Cuántos litros hemos

tomado de cada uno?

6.- Un barco que transporta pasajeros por un río, se traslada desde

A hasta B en 3 h., mientras que desde B hasta A tarda 5 h. La

distancia entre A y B es de 75 kms.

Determina la velocidad media de la corriente.

7.- Las dos cifras de un número suman 8. Si al número le

sumamos 18, el resultado coincide con el que resulta de invertir

las cifras del primero.

Determina el citado número.

8.- Un orfebre dispone de dos lingotes. El lingote A contiene 550

grs de oro y 60 grs de cobre, el lingote B contiene 400 grs de oro


137

y 100 grs de cobre. Desea preparar un lingotes de 640 grs y cuya

ley sea 0’825. ¿Qué cantidad debe tomar de cada uno?

9.- Un padre le dice a su hijo: “hoy tu edad es 1/5 de la mía, y

hace 7 años no era más que 1/9. Determina sus edades.

10.- Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus

lomos pesados sacos. Se lamentaba el caballo, y el mulo le dijo:

“si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya, pero

si yo te cediera un saco nuestras cargas serían iguales”. ¿Cuántos

sacos lleba cada uno?

11.- En una librería se han vendido 84 libros de dos tipos

diferentes: unos a 70 e. y otros a 60 e., obteniendo por ello un

total de 5340 euros. Como no recuerda cuántos vendió de cada

tipo y necesita saberlo, ¿Cómo lo resolverá?.

12.- Tengo dos número x, y. El primero dividido entre 3, y el

segundo dividido entre 6, sus cocientes se diferencian en uno.

Además sabemos que su suma es 51. Determina estos dos

números.

13.- Luis compra en la librería 2 bolígrafos y 3 lápices por 1,30

euros. Su compañero Pedro compra en la misma librería 4 lápices

y 3 bolígrafos por 1,80 euros.

a)Plantea el sistema que lo interpreta

b)Determina el precio de cada uno

14.- Las edades de cuatro hermanos forman progresión aritmética

y su suma es 50 años. la edad del mayor es 4 veces la del menor.

Determina sus edades.



138

15.- Los cuatro ángulos de un cuadrilátero forman progresión

aritmética y el menor mide 30º. Determina los cuatro ángulos.

16.- En una fiesta juvenil hay chicos y chicas. Al cabo de un rato

15 chicas abandonan la fiesta, razón por la que quedan 2 chicos

por cada chica. Después 45 chicos se van, razón por la que

quedan 5 chicas por cada chico.

¿Cuántos chicos y chicas había inicialmente en la fiesta?

17.- en una fiesta el número de mujeres es doble que el de

hombres, y el número de niños es triple de la suma de mujeres y

hombres juntos. Sabemos que el número total de asistentes es 156

personas. ¿Cuántos niños, mujeres y hombres asistieron?

18.- Una clienta ha comprado un lámpara y una figura de

cerámica por 60 euros. Sabemos que si en la figura le hubieran

hecho el 20 % de descuento y en la lámpara el 30 %, habría

abonado sólo 45,50 euros.

¿Cuál es el precio de cada objeto?

------------


139

Más PROBLEMAS Resueltos o semi-resueltos:

1.- Resuelve

a)Descomponer el número 133 en dos partes tales que al

divider la mayor por la menos nos de cociente 4 y resto 8

b)Determina dos números enteros consecutivos tales que

la diferencia entre la tercera parte del mayor y la séptima parte del

menor sea un quinto del menor.

c)En un corral hay gallinas y conejos. A uno de los

conejos le falta una pata. ¿Cuántas gallinas y conejos hay si el

número de cabezas es 53 y el número de patas 175?

Res.: a) Partes 108, 25. b) 35, 36.

c) 35 conejos, 18 gallinas

2.- Resuelve

a)Halla un número de dos cifras sabiendo que sus cifras

suman 10 y que el doble de dicho número supera en uno al

número que se obtiene invirtiendo sus cifras.

b)La edad del padre es ‘a’ y la del hijo ‘b’. ¿Dentro de

cuántos años la edad del padre será m veces la del hijo?

c)Si a los dos miembros de 79

121 le sumamos el mismo

número, obtenemos un fracción equivalente a la obtenida si

hacemos lo mismo en la fracción 7

13 . Determina el valor que

sumamos.

Res.: a) 37, b) x = 𝑚.𝑏−𝑎

1−𝑚 , c) x = 5

3.- Resuelve

a)Determina los ángulos de un triángulo sabiendo que

uno es la mitad de otro, y que el tercero es un cuarto de la suma

de los dos primeros.



140

b)En un triángulo rectángulo un cateto es 5

13 de la

hipotenusa, y el otro cateto mide 48 cm. Calcula su perímetro y su

área.

c)Los radios de dos circunferencias concéntricas se

diferencian en 24 cm, y uno es 5

7 del otro. Calcula el área de la

corona circular.

Res.: a) 48, 96, 36, b) Lados: 20, 48, 52,

c) Radios: R = 84, r = 60, Área = 3456.π cm2

4.- Resuelve

a)El perímetro de un trapecio isósceles mide 196 m, y

cada lado oblicuo mide 34 m. Sabemos que una de las bases es 3

5

de la otra. Calcula el área del trapecio.

b)Un trapecio isósceles está inscrito en una

circunferencia. Sabemos que la base menor es un cuarto de la

mayor, y que su perímetro es 96 m. Determina sus lados y su

área.

c) En un triángulo rectángulo la proyección de uno de los

catetos sobre la hipotenusa mide 54 cm, y la suma de la altura

más la proyección sobre la hipotenusa del otro cateto es 60 cm.

Determina esta segunda proyección.

Res.: a) Bases: 48, 80, Área = 1920 m2

b) Lados: 38,4 ; 24 ; 24; 9,6 m., Área = ….(Su altura es el

diámetro de la circunferencia)

c)Llama x a la altura, (60-x).54 = x2 --> x = 36,

proy. = 24

5.- Resuelve

a)Calcula el valor de k para que el número complejo z =

(3-k) -2.(k+3).i tenga su afijo en

-Bisectriz del primer cuadrante

-Bisectriz del segundo cuadrante


141

-Bisectriz del tercer cuadrante

-Bisectriz del cuarto cuadrante

b)Dado el cociente 3−2𝑘.𝑖

4−3.𝑖 , determina el valor de k para

que el cociente sea

-Un número real

-Imaginario puro

c)

Res.: a) k = -9, k = -1, k = -9, k = -1

b) k = 9/8, k = -2

6.- Resuelve

a) (𝑥−1).(𝑥+1)

2−

𝑥−5

6=

2.(𝑥+1)

3

1

2𝑥−5𝑎 +

5

2𝑥−𝑎 =

2

𝑎

b) Determina el valor de k que hace que

3x2 – 8x – 3k = 0 tenga las dos

soluciones iguales.

c)Determina el valor de k en la ecuación

x2 -30x + k = 0, para que una solución

sea cuádruple de la otra.

Res.: a) x1 = 2, x2 = -1/3 ;

x1 = 3a , x2 = 3𝑎

2

b) k = -16/9 ; c) k = 144

7.- Resuelve

a)Determina la expresión de una ecuación de segundo

grado sabiendo que la media aritmética de sus soluciones es -5, y

que su media proporcional es 4.

b) x4 -

5

4. 𝑥2 +

1

4= 0, x

4 –(a

2+b

2)x

2 +a

2.b

2 = 0

c) √𝑥 + 4 = 3 -√𝑥 − 1 ;



142

2.√2𝑥 − 1 = √6𝑥 − 5 + √2𝑥 − 9

Res.: a) -5 = 𝑥1+𝑥2

2, 4 = √𝑥1. 𝑥2 , --> x

2+10x+16=0;

b) 1, -1, ½, -1/2 ; x1 = a, x2 = -a, x3 = b, x4 = -b

c) x = 13

9 , x1 = 4, x2 = 1 (sol. extraña)

8.- Resuelve

a)Dos grifos tardan los dos juntos dos horas en llenar un

depósito. Por separado sabemos que uno tarda 3 h. más que el

otro en llenarlo. ¿Cuánto tarda cada uno por separado en llenar el

grifo?

b)El padre tenía 25 años cuando nació su hijo. La media

geométrica de sus edades supera en 10 la edad del hijo. Determina

sus edades actuales.

c)Un ciclista hace un recorrido de 150 km. Llegaría a su

destino 2 horas y media antes si su velocidad media fuese de 5 km

más por hora. Calcula el tiempo que tarda en hacer su recorrido.

Res.: a) 3 h., 6 h. b) 20 años, 45 años

c) 7 horas y media.

9.- Resuelve

a)Un barquero sube por un río 1800 m. En la bajada la

corriente le permite incrementar su velocidad 100 m por minuto

respecto de la de subida, de modo que emplea 9 minutos menos

que en la subida. ¿Qué tiempo emplea en la subida y en la bajada?

b)Halla tres números impares consecutivos tales que la

suma de sus cuadrados sea 5051.

c)Tengo tres segmentos que miden: 8, 22, 24 cms. Si les

sumo una misma longitud resulta un triángulo rectángulo. ¿Qué

medida he añadido?

Res.: a) Subida: 18 min, bajada: 9 min.

b) 39, 41, 43; c) 2 cm.


143

10.- La densidad de la leche pura (de un determinado animal-

vaca) es de 1,03 kgs/l. El contenido neto de un depósito de 8 litros

pesa 8,150 kgs. ¿Qué cantidad de agua contiene?

Sol.: 3 litros de agua

11.- Mezclamos dos líquidos hasta obtener 6 litros, y cuya

densidad sea 1,10 kgs/l. Sabemos que la densidad de cada uno de

los líquidos es 0,7 kgs/l., 1,30 kgs/l. ¿Qué volumen hemos de

tomar de cada uno?

Sol.: 2 litros del primero, 4 litros del segundo

12.- Determina los términos de la proporción 𝑥

𝑦 =

𝑧

𝑡 sabiendo

que la diferencia entre los extremos x-t = 7, la diferencia entre los

medios z-y = 3, y la suma de los cuadrados de los cuatro términos

es 130.

Sol.: Resuelve el sistema {

𝑥 − 𝑡 = 7𝑧 − 𝑦 = 3

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑡2 = 130

Obtendrás cuatro posibles: x =-2, y=-6, z=-3, t=-9;

x =-2, y=3, z=6, t=-9; x =9, y=-6, z=-3, t=2;

x=9, y=-6, z=-3, t=2; x =9, y=-3, z=-6, t=2

que se corresponden con el hecho que de −2

−6=

−3

−9 se obtienen

otras tres intercambiando extremos entre sí, ó medios entre sí, ó

las dos cosas:

−9

−6=

−3

−2 ,

−2

−3=

−6

−9 ,

−9

−3=

−6

−2

donde además podemos cambiar sus signos de forma adecuada.



144

13.- En un rectángulo si se aumenta la base en 5 y se

disminuye la altura en 5 el área no varía. Si se aumenta la base en

5 y la altura se disminuye en 4 el área aumenta en 4. Determina

sus dimensiones.

Sol.: {(𝑥 + 5). (𝑦 − 5) = 𝑥. 𝑦

(𝑥 + 5). (𝑦 − 4) = 𝑥. 𝑦 + 4 -> x = 4, y = 4;

x = -1, y = 4 no válidas

14.- Los lados paralelos de un trapecio miden 15 y 36 cms., y

los lados no paralelos miden 13 y 20 cms. Calcula la altura del

trapecio.

Sol.: Observa la figura: x2 + y

2 = 20

2

x2 + (36-15-y)

2 = 13

2

Resuelve: {𝑥2 + 𝑦2 = 400

𝑥2 + (21 − 𝑦)2 = 169 -> y = 16, x = 12

15.- La suma de los radios de dos círculos es r1+r2=70 cms., y

la suma de sus áreas coincide con el área de un tercer círculo de

radio R=50 cms. Determina el radio de los dos primeros.

Sol.: Observa la figura:


145

Resuelve: {𝑥 + 𝑦 = 70

𝑝𝑖. 𝑥2 + 𝑝𝑖. 𝑦2 = 𝑝𝑖. 502 -> x =40, y =30

16.- Determina el valor de los catetos de un triángulo

rectángulo cuya altura sobre la hipotenusa mide 12 cms y su área

es de 150 cms2

Sol.: Observa la figura: Expreso el área de dos formas: 150 =

1/2.(x.y) -> x.y = 300

150 = 1/2.(a.h) -> a = 300/12 = 25

Resuelve: {𝑥. 𝑦 = 300

𝑥2 + 𝑦2 = 252 -> x = 20, y = 15

17.- La altura de un triángulo rectángulo mide 6 cms., y las

proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa difiere entre sí 9

cms. Resuelve el triángulo (Calcular sus dimensiones)

Sol.: Observa la figura



146

{𝑥 = 𝑦 + 9

(𝑦 + 9). 𝑦 = 36 -> y = 3, x = 12, a = 15

b2 = 15.12 -> b = 6.√5 ,

c2 = 15.3 -> c = 3.√5

$$$oOo$$$


147

Tema 6

Sistemas No lineales

Sistemas de inecuaciones



148


149

6.1.- Sistemas No lineales

Son aquellos sistemas, con dos o más ecuaciones, donde alguna

de ellas no es lineal.

Veremos algunos ejemplos

Ejemplos:

1.- Resuelve

953

72

xyx

yx

Sol.: y= 7 –2x, sqr(x+ 3.(7-2x)) +5x = 9

sqr(21-5x) = 9-5x Elevo al cuadrado

21-5x = 81 + 25.x2 –90x

0= 25x2 –85x +60, 5x

2 –17x +12 = 0

x = 5.2

12.5.41717 2 =

10

4917,

x = 12/5, x = 1

Análisis/Comprobación:

x = 1, y = 5, Sustituyo en la segunda: √16 +5 = 4 +5 = 9, Sí es

válida.

x = 12/5, y = 7 -24/5 = 11/5



150

Sustituyo en la segunda: √12

5+

33

5 + 12 = √

45

5 + 12 = = √9 +12 =

3 +9 = 15, y vemos que este par de valores No es solución del

sistema.

2.- Resuelve

{𝑥2 + 2𝑦 = 10

2𝑥 − 3𝑦 = −13

Sol.: y =(10-x2)/2,

2x-3.(10-x2)/2 =-13, 4x -30 +3x

2 =-26,

3x2 +4x -4 =0,

Resolverá el alumno para obtener:

x =4/6, x = -12/6 =-2

Tomo x =-2, obtengo: y =(10-4)/2, y =3

Pruebo con el valor x =2/3, obtengo: y =(10-4/9)/2 =(90-4)/18

=86/18, y =43/9

Sustituimos en el sistema para comprobar si son o no válidas:

4/9 +2.43/9 = (4+86)/9 = 90/9 = 10,

2.2/3-3.43/9 = (12-129)/9 = -117/9 = -13

Concluyo que x = 6/9, y = 43/9 es sol. válida.

x = -2, y = 3; Compruebo: 4 +6 = 10, -4 -9 = -13, y vemos que

también es válida.


151

NOTA: Es posible la ‘entrada’ de soluciones extrañas cuando

teniendo algún radical, en el proceso de resolución ‘elevo al

cuadrado’ para que aquel desaparezca.

6.2.- Sistema de Inecuaciones

Nos limitamos al caso de dos inecuaciones con dos incógnitas.

Ejemplos:

1.- Resuelve

623

532

yx

yx

yx

y

2

36

3

5 -2x

Sol.:

Represento las rectas

2/3.x -5/3 < y

-3/2.x +3 > y



152

r: y= 2/3.x –5/3

s: y= -3/2.x + 3

2.- Resuelve

{3𝑥 + 2𝑦 > 8

−2𝑥 + 3𝑦 < 6

y > -3/2.x + 4,

y < 2/3.x + 2,

y =-3/2.x +4

y = 2/3.x + 2


32

8322 yx

yx

Sol.: Despejo y = (2x-8)/3, sustituyendo y operando resulta: x =

1, y = -2


153

4.- Resuelve el sistema de desigualdades

832

223

yx

yx

Sol.:

{2𝑦 < −3𝑥 − 2

2𝑥 + 8 > 3𝑦 , {

𝑦 < −3𝑥−2

2

2𝑥+8

3> 𝑦

Paso a representar los semiplanos determinados por cada una de

las desigualdades, para lo cual represento las rectas

3/8.3/2

1.2/3

xy

xy

La solución viene representada por la región del plano común a

los dos semiplanos.

-------------



154


155

PROBLEMAS Resueltos o semi-resueltos:

SISTEMAS:

1.- Resuelve algebraicamente y gráficamente

a) {𝑦 − 2𝑥 = 82𝑥 + 𝑦 = 0

b) {3𝑥 − 4𝑦 = −9

2𝑥 + 𝑦 = 5

Sol.: a) y = 8+2x, 2x +(8+2x) = 0, 4x = -8,

x = -2, y = 4

b) y = 5-2x, 3x -4.(5-2x) = -9, 11x = 11,

x = 1, y = 3

Gráficamente:

2.- Resuelve

a) {

3

𝑥−1− 𝑦 =

𝑥.(3−𝑦)

𝑥−1

2

𝑦−1+ 𝑥 =

𝑥.𝑦

𝑦−1

, b) {3𝑥 − 𝑦 = 1

𝑥−𝑦

𝑥+𝑦−

𝑥+𝑦

𝑥−𝑦=

𝑥−4𝑥𝑦+1−𝑦

𝑥2−𝑦2



156

Sol.: a) x = 2, y = 3; b) x = 1, y = 2

3.- Resuelve

a) {𝑥2 + 𝑦2 = 290

𝑥 + 𝑦 = 24 , b) {

𝑥2 + 3𝑥𝑦 = 22𝑥 + 𝑦 = 5

c){−2𝑥 + 𝑦 = 1

𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 16 = 0 ,

d) {2(𝑥 + 2𝑦)2 − (2𝑥 + 𝑦)2 = −14

𝑥 − 𝑦 = 5

Sol.: a) (x=13; y=11), (x=11; y=13)

b) (x=2; y=3), (x=11/2; y=-1/2)

c)(x=-3; y=-5), (x=1; y=3)

d) (x=7; y=2), (x=3; y=-2)

INECUACIONES:

4.- Resuelve y representa

a) 2.(x+3) > 3.(x+2)

b) 𝑥−1

4−

𝑥+2

3>

3𝑥−1

6− 𝑥

c) (x-3)2 –(x+2)

2 < 5

Res.: a) x < 0 ; b) x > 9/5 ; c) x > 0


157


a) x2 –x -6 > 0

b) x2 -6x +9 >= 0

Res.: a) x2 –x -6 = 0 --> x1 = -2, x2 = 3

Sol.: (x < -2)∪(x > 3)

b) x2 -6x +9 = 0 --> x1 = 3 doble

Sol.: (-∞; +∞)


a) (x-1).(x2 -4x +3) > 0

b) (x2 -1).(x

2 +1) <= 0

Res.: a) (x-1).(x2 -4x +3) = 0 -->

x = 1 doble, x = 3

Factores: (x-1)2.(x-3) > 0



158

Sol: x > 3

b) (x2 -1).(x

2 +1) = 0 --> x = +-1,

x2+1=0 sin solución real.

Sol: -1 <= x <= 1

7.- Resuelve

a) 𝑥2−1

𝑥+3≥ 0,

b) 1

𝑥−3>

2

𝑥+3

Res.: a) 𝑥2−1

𝑥+3≥ 0 puede darse de dos formas:

{𝑥2 − 1 ≥ 0𝑥 + 3 > 0

ó {𝑥2 − 1 ≤ 0𝑥 + 3 < 0


159

{(𝑥 + 1). (𝑥 − 1) ≥ 0

𝑥 + 3 > 0 , exige

{[(𝑥 + 1) ≥ 0 𝑦 (𝑥 − 1) ≥ 0] ó [(𝑥 + 1) ≤ 0 𝑦 (𝑥 − 1) ≤ 0]

𝑥 + 3 > 0

de donde

{[𝑥 ≥ −1 𝑦 𝑥 ≥ 1] ó [𝑥 ≤ −1 𝑦 𝑥 ≤ 1]

𝑥 + 3 > 0 -> {

𝑥 ≥ 1𝑥 > −3

ó

{𝑥 < −1𝑥 > −3

-> (x >= 1) ó (-3 < x <= -1)

Por otro lado

{(𝑥 + 1). (𝑥 − 1) ≤ 0

𝑥 + 3 < 0 , exige

{[(𝑥 + 1) ≤ 0 𝑦 (𝑥 − 1) ≥ 0] ó [(𝑥 + 1) ≥ 0 𝑦 (𝑥 − 1) ≤ 0]

𝑥 + 3 < 0

de donde

{[𝑥 ≤ −1 𝑦 𝑥 ≥ 1] ó [𝑥 ≥ −1 𝑦 𝑥 ≤ 1]

𝑥 < −3 ->

{−1 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑥 < −3 imposible

sol: (−3 < 𝑥 ≤ −1) ∪ (𝑥 ≥ 1)

b) 1

𝑥−3>

2

𝑥+3 ->

1

𝑥−3−

2

𝑥+3> 0 ->

−𝑥+9

(𝑥−3).(𝑥+3)> 0, que

se puede dar de dos formas

{−𝑥 + 9 > 0

(𝑥 − 3). (𝑥 + 3) > 0 ó {

−𝑥 + 9 < 0(𝑥 − 3). (𝑥 + 3) < 0



160

{−𝑥 + 9 > 0

[(𝑥 − 3) > 0 𝑦 (𝑥 + 3) > 0] ó [(𝑥 − 3) < 0 𝑦 (𝑥 + 3) < 0] ,

{9 > 𝑥

[𝑥 > 3 𝑦 𝑥 > −3] ó [𝑥 < 3 𝑦 𝑥 < −3] , de donde

{𝑥 < 9𝑥 > 3

-> 3 < x < 9, ó {𝑥 < 9

𝑥 < −3 -> x < -3

Sol: (x < -3) ó (3 < x < 9)

8.- Resuelve

{2𝑥2 − 5𝑥 + 1 > 0𝑥2 − 6𝑥 + 9 > 0

Sol.: Resuelvo 2x2 -5x +1 = 0; x =

5+√17

4 ,

x = 5−√17

4

Resuelvo x2 -6x + 9 = 0; x = 3 doble

Hecho esto {2𝑥2 − 5𝑥 + 1 > 0𝑥2 − 6𝑥 + 9 > 0

equivale a

{2. (𝑥 −

5+√17

4) . (𝑥 −

5−√17

4) > 0

(𝑥 − 3)2 > 0 ->

{[𝑥 >

5 + √17

4 𝑦 𝑥 >

5 − √17

4] ó [𝑥 <

5 + √17

4 𝑦 𝑥 <

5 − √17

4 ]

(𝑥 − 3)2 > 0


161

sol: {𝑥 >5+√17

4 ó 𝑥 <

5−√17

4 , ya que

(𝑥 − 3)2 > 0 se cumple siempre.

$$$oOo$$$



162


163

Tema 7

Descomposición de una Fracción en Suma de Fracciones

simples



164


165

7.0.- Introducción

El Tema que vamos a tratar tiene su importancia en los Métodos

de integración. Cuando se plantea Integrar una función racional P(x)

Q(x) , si esta puede ser descompuesta como suma de fracciones del

tipo

A

x−a ,

A

(x−a)2 , Mx+N

x2+mx+n ,

Mx+N

(x2+mx+n)k ,

bastará integrar cada una de estas fracciones ‘simples’. Estas se

integran fácilmente y la Integración quedaría resuelta.

Son tres los métodos o técnicas conocidas para obtener la

descomposición de una fracción 𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) como suma de fracciones de

los tipos

𝑨

(𝒙−𝒂),

𝑨

(𝒙−𝒂)𝒌 , 𝑴𝒙+𝑵

(𝒙𝟐+𝟐𝒂.𝒙+(𝒂𝟐+𝒃𝟐)) , ….

Llamamos ‘fracción simple’ a las fracciones de la forma A

(x−a)𝑘 ,

donde A es un valor real y k depende de la multiplicidad de la

solución x = a

Para distinguir estos dos métodos los llamaremos:

-Método débil: El más simple para el alumno

-Método fuerte

-Método aplicando la derivación

Sea p(x)

q(x) ; si gr(p) >= gr(q) hacemos la división y tenemos



166

p(x)

q(x) = c(x) +

r(x)

q(x)

Por tanto, podemos suponer que gr(p) < gr(q).

Podemos suponer que q(x) tiene coeficientes enteros y primer

coeficiente uno, ya que en caso contrario haríamos lo siguiente:

-Si algún coeficiente es fracción, multiplicando por el

mcm de los denominadores de estos coeficientes conseguimos

que todos sean enteros.

-Si el primer coeficiente es m <> 1, tendríamos

q(x) = m.(x-a1).(x-a2)…(x-ak) = m.q’(x)

donde q’(x)=(x-a1).(x-a2)…, y entonces

p(x)

q(x) =

1

𝑚.

𝑝(𝑥)

𝑞′(𝑥) ,

y obtendríamos la descomposición de p(x)

q′(x)

Por todo lo dicho, podemos suponer que q(x) tiene primer

coeficiente uno.

7.1.- Descomposición por el Método débil

7.1.1.- Soluciones reales simples

Supongamos que q(x) es de grado 3, con primer coeficiente 1, y

que los valores a, b, c son las soluciones de q(x) = 0, distintas

entre sí. Su descomposición factorial es

q(x)= (x-a).(x-b).(x-c)


167

Afirmamos que existen constantes A, B, C tales que

p(x)

q(x) =

A

x−a +

B

x−b +

C

x−c

Para obtener A, B, C operamos como sigue.

Multiplico los dos miembros por q(x) y obtengo

p(x) =

= A.(x-b).(x-c)+ B.(x-a).(x-c)+ C.(x-a).(x-b)

Hago x = a, -> p(a)= A.(a-b).(a-c), de donde obtengo

A = p(a)

(a−b).(a−c)

Hago x = b, -> p(b)= B.(b-a).(b-c), de donde obtengo

B = p(b)

(b−a).(b−c)

Hago x = c, -> p(c)= C.(c-a).(c-b), de donde obtengo

C = p(c)

(c−a).(c−b)

Procederíamos del mismo modo en el caso de que

q(x) sea de grado n y tenga n soluciones racionales distintas.

Ejemplo: p(x)

q(x) donde p(x) = 4x

2 + 5x – 1,

q(x) = x3 – 7x + 6

Sol.: Comprueba que los valores 1, 2, -3 son soluciones de

x3 – 7x + 6 = 0

y que p(x)

q(x) = −

2

x−1 + +

5

x−2 + +

1

x+3



168

7.1.2.- Soluciones reales simples y múltiples

Sea q(x) de grado 4, y q(x) = 0 tiene las soluciones x = a triple, x

= b simple:

q(x) = (x-a)3.(x-b)

Planteamos

p(x)

q(x) =

A3

(x−a)3 + A2

(x−a)2 + A1

x−a +

B

𝑥−𝑏

Multiplico por q(x)

p(x) =

= A3.(x-b) +A2.(x-a).(x-b) +A1.(x-a)2.(x-b)+

+B.(x-a)3

x = a -- p(a) =A3.(a-b) -- A3 = p(a)

a−b

x = b -- p(b) = B.(b-a)3 -- B =

p(b)

(b−a)3

Para obtener A2 y A1 tengo que dar a x otros dos valores

diferentes a las soluciones de q(x) = 0.

x = k1 - Llamando M = A3.(k1-b), N =B.(k1-a)3

p(k1) = M + A2.(k1-a)(k1-b)+A1.(k1-a)2.(k1-b) + N

x = k2 - Llamando M’ = A3.(k2-b),

N’ = B.(k2-a)3

p(k2) = M’+ A2.(k2-a).(k2-b)+A1.(k2-a)2.(k2-b) + N’


169

Sistema

{(𝑘1 − 𝑎). (𝑘1 − 𝑏). 𝐴2 + (𝑘1 − 𝑎)2. (𝑘1 − 𝑏). 𝐴1 = −(𝑀 + 𝑁)

(𝑘2 − 𝑎). (𝑘2 − 𝑏). 𝐴2 + (𝑘2 − 𝑎)2. (𝑘2 − 𝑏). 𝐴1 = −(𝑀′ + 𝑁′)

Resolviendo obtengo los valores A1, A2

De forma análoga en otras situaciones.

7.1.3.- Soluciones complejas simples

Sabemos que si q(x) = 0 tiene la solución z = a+ib también lo es

z’ = a-ib.

Al plantear la suma de términos de la forma

A/(x-z) + B/(x-z’)

sumando estas tengo

𝐴.(𝑥−𝑧′) +𝐵.(𝑥−𝑧)

(𝑥−𝑧).(𝑥−𝑧′) =

(𝐴+𝐵).𝑥+(−𝐴.𝑧′−𝐵.𝑧)

𝑥2−(𝑧+𝑧′).𝑥+(𝑎2+𝑏2) =

𝑀.𝑥+𝑁

𝑥2−2𝑎+(𝑎2+𝑏2)

Supongamos que q(x) = 0, tiene dos pares de soluciones simples

(gr(q) = 4):

a+bi, a-bi, c+di, c-di

p(x)

q(x) =

M1.x+N1

x2−2a.x +(a2+b2) +

M2.x+N1

x2−2c.x +(c2+d2)

Multiplicando por

q(x) =(x^2 -2a.x +(a2 +b

2)).(x

2- 2c.x +(c

2+d

2))



170

tengo

p(x) = (M1.x +N1).(x2- 2c.x +(c

2+d

2) +

+ (M2.x +N2).(x2 -2a.x +(a

2+b

2))

o bien

p(x) = (M1.x+N1).[x-(c+di)].[x-(c-di)] + …..

x = a+bi -- P(a+bi) =

=[M1.(a+bi) +N1].[(a+bi)-(c+di)].[(a+bi)-(c-di)]

p(a+bi) = ((M1.a +N1)+(M1.b)i).(a’+b’i).(c’+d’i)

Al igualar partes reales por un lado y partes imaginarias por otro

obtenemos un Sistema con dos igualdades, de donde obtengo M1,

N1.

Del mismo modo haciendo x = c+di nos permitirá obtener M2 y

N2.

Ejemplo:

Supongamos q(x) de grado 4, y sus soluciones simples:

2+i, 2-i, 3+2i, 3-2i,

p(x) = 2x2 -3x +5

p(x)

Q(x) =

M1.x+N1

x2−4x+5 +

M2.x+N2

x2−6x+13 ,

Hago x = 2+i, y tengo:

p(2+i) = 2.(2+i)2 -3.(2+i) +5 =


171

= 2.(3+4i) –(6+3i) +5 = 5 +5i

(M1.(2+i)+N1).[(2+i)2 -6.(2+i) +13)] =

[(2.M1+N1)+M1.i].[(3+4i) –(12+6i) +13)] =

[(2.M1+N1)+M1.i].(4 -2i) = [4.(2.M1+N1)+2.M1]+

+ i.[-2.(2.M1+N1)+4.M1],

Tenemos las igualdades

5 = 10.M1 +4.N1

5 = -2.N1

de donde: N1 = -5/2, 5 = 10.M1 -10,

M1 = 15/10 = 3/2

Hago x = 3+2i, y tengo

p(3+2i) = 2.(3+2i)2 -3.(3+2i) + 5 =

= 2.(5+12i) –(9+6i) +5 = 6 + 18i

(M2.(3+2i) +N2).[(3+2i)2 -4.(3+2i)+ 5] =

= [(3.M2+N2) +2.M2i].[(5+12i)-(12+8i)+5] =

= [(3.M2+N2) +2.M2i].(-2 +4i) =

= [-2.(3.M2+N2) -8.M2] + i.[4.(3.M2+N2)-4.M2],

Igualando tengo



172

6 = -14.M2 -2.N2

18 = 8.M2 +4.N2

12 = -28.M2 -4.N2

18 = 8.M2 +4.N2

Las sumo 30 = -20.M2, M2 = -3/2

18 = 8.(-3/2) +4.N2, 30 = 4.N2, N2 = 15/2

Resumen:

p(x)

Q(x) =

3

2 .𝑥+

−5

2

(𝑥2−4𝑥+5)+

−3

2.𝑥+

15

2

(𝑥2−6𝑥+13)

7.1.4.- Soluciones complejas simples y múltiples

Sólo una solución compleja múltiple

Supongamos que z = a+bi y z’ = a-bi son las únicas soluciones

pero dobles

q(x) = (x2 -2a.x +(a

2+b

2))

2

p(x) = x2 -3x +4

p(x)

Q(x) = (M1.x+N1)/(x

2 -2a.x +(a

2+b

2))

2 +

+ (M2.x+N2)/( x2 -2a.x +(a

2+b

2))

Multiplico por q(x)

p(x) =

= (M1.x +N1) + (M2.x +N2).( x2 -2a.x +(a

2+b

2))

Hago x = z:


173

p(z) =

=(M1.z+N1) +(M2.z+N2).(z^2-2a.z +(a^2+b^2)) =

= M1.z +N1, ya que el factor

(z2-2a.z +(a

2+b

2)) se anula.

p(a+bi) = M1.(a+bi) +N1

Igualando parte real y parte imaginaria obtengo M1, N1.

Tomo otro valor diferente de z y de z’.

Hago x = z1 = c +di ; el valor M1.z1 +N1 puede ser calculado,

sea m +ni el resultado.

Tengo p(z1) = (m+ni) +(M2.(c+di) +N2).

.((c+di)2 –2a.(c+di) +(a

2+b

2))

p(c+di) =

= (m +ni) +[(c.M2+N2)+d.M2.i].[c2-d

2 +2cd.i

–(2ac + 2ad.i) +(a2+b

2)],

Continuando e igualando parte real y parte imaginaria llegaríamos

a un sistema con las dos incógnitas M2, N2 que resolveremos.

Ejemplos:

a) Soluciones z y su conjugado z’, dobles

q(x) = (x-z)2.(x-z’)

2 donde z = 2-3i, z’= 2+3i

p(x) = 2x +5



174

Sol.:

(x-z).(x-z’) = x2 –(z+z’).x +z.z’ = x

2 -4.x + 13

p(x)/q(x) = (M1.x +N1)/(x2 -4x +13)

2 +

+ (M2.x +N2)/(x2-4x +13)

p(x) = (M1.x +N1) + (M2.x +N2).(x2 -4x +13)

Hago x = z = 2-3i:

p(z) = M1.z + N1 , (ya que z2 -4z +13 = 0 )

p(2-3i) = 2.(2-3i) +5 = 9-6i

M1.(2-3i) +N1 = (2.M1+N1) -3.M1.i ; igualando

9 = 2.M1 + N1

-6= -3.M1 , M1 = 2, N1 = 5

Otro valor, Hago x = 1+i:

p(1+i) = 2.(1+i) +5 = 7 +2i ,

( sabemos que M1 = 2,N1 = 5)

(2.(1+i) +5) +(M2.(1+i) +N2).((1+i)2 - 4.(1+i) +13),

(7 +2i) + [(M2+N2) +M2.i].[2i -4 -4i +13],

(7 +2i) + [(M2+N2) +M2.i].[9 -2i] =

=(7 +2i) +[9.(M2+N2) +2.M2] +i.[9.M2 -2.(M2+N2)]

Igualando parte real y parte imaginaria


175

7 = 7 +11.M2 +9.N2

2 = 2 +7.M2 -2.N2

11.M2 +9.N2 = 0

7.M2 -2.N2 = 0 ;

Multiplico la primer por 2, la segunda por 9

22.M2 + 18.N2 = 0

63.M2 -18.N2 = 0 , 85.M2 = 0, M2 = 0, N2 = 0

Queda p(x)

q(x) =

2𝑥+5

(𝑥2−4𝑥+13)2 , (como la de partida)

b) Otro caso igual: Soluciones z y su conjugada z’ dobles

p(x) = 2x2 -5x +4

q(x) = x4 -8x

3 +42x

2 -104x +169

q(x) = 0 -- z1 = 2+3i, z1’ = 2-3i, dobles

(x-z).(x-z’) = x2 -4x +13,

q(x) = (x2 -4x +13)

2

p(x)

q(x) =

M1.x +N1

( x2 −4x +13)2 +

M2.x +N2

x2 −4x +13

p(x) = (M1.x +N1) +(M2.x +N2).( x2 -4x +13)

Hago x = 2+3i:



176

p(2+3i) = 2.(-5+12i) –(10+15i) +4 = -16 +9i

(M1.(2+3i)+N1) = (2M1 +N1) +3.M1.i

-16 = 2.M1 +N1

9 = 3.M1 , M1 = 3, N1 = -22

Otro valor, hago x = 1+i:

p(1+i) = 2.(2i) -5.(1+i) +4 = -1 –i

[3.(1+i)-22] +[M2.(1+i)+N2].[2i -4.(1+i) +13] =

= [-19+3i] + [(M2+N2)+M2.i].[9 -2i] =

= [-19+3i] + [9.(M2+N2)+2.M2] +

+ i.[9.M2 -2.(M2+N2)],

Igualando

-1 = -19 +11.M2 +9.N2

-1 = 3 +7.M2 -2.N2 ,

18 = 11.M2 +9.N2

-4 = 7.M2 -2.N2

Multiplico por 2 y por 9

36 = 22.M2 +18.N2

-36= 63.M2 -18.N2, 0 = 85.M2, M2 = 0,

18 = 9.N2 - N2 = 2

Resultado: p(x)

q(x) =

3𝑥−22

(𝑥2−4𝑥+13)2 + 2

(𝑥2−4𝑥+13)


177

NOTA: Este mismo resultado se obtuvo mediante la Aplicación

asociada al Vol.2)

7.1.5.- Caso de no descomponer totalmente en el

cuerpo Q de los racionales

Esta situación viene provocada por lo siguiente.

La descomposición factorial de q(x) se realiza habitualmente

obteniendo las soluciones racionales de q(x) = 0. No interesa

obtener las soluciones No racionales (Veremos más adelante el

caso de soluciones complejas no reales).

Dicho esto, al descomponer Q(x) en el cuerpo de los racionales

(Q,+,.), puede ocurrir que la posible descomposición quede así:

q(x) = (x-a1)k …(x-b)...(x-c).n(x), donde

n(x) es un factor ‘residual’ que no admite raíces racionales.

Pudiera tenerlas complejas pero ahora no lo tendremos en cuenta.

Planteamos como antes (caso de soluciones simples)

p(x)

q(x) =

A

x−a +

B

x−b +

C

x−c

Multiplico por q(x)

p(x) = A.(x-b).(x.c).n(x) + B.(x-a).

.(x-c).n(x) + C.(x-a).(x-b).n(x) ;

x = a -- p(a) = A.(a-b).(a-c).n(a), de donde

A = 𝑝(𝑎)

(𝑎−𝑏).(𝑎−𝑐).𝑛(𝑎)



178

y del mismo modo B y C

Conclusión:

En el caso de soluciones reales simples y múltiples no ofrece

ninguna dificultad añadida a lo que acabamos de ver.

Veremos casos concretos en Actividades resueltas que siguen.

7.1.6.- Casos resueltos de los tipos anteriores:

NOTA sobre la notación: El lector observará algunas deficiencias

en la notación. Pido disculpas.

1.- Sólo soluciones reales simples y polinomio

residual n(x) = x2 -3

p(x) = 4x2 +5x -1

q(x) = (x-1).(x-2).(x+3).(x2-3)

Sol.: Observa que x2 -3 = 0 no tiene solución en los racionales (

Cuerpo Q(+,.))

Planteamos

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) = A/(x-1) +B/(x-2)+C/(x+3)+(mx+n)/(x

2-3)

p(x) = A.(x-2).(x+3).(x2-3) + B.(x-1).(x+3).

.(x2-3) + C.(x-1).(x-2).(x

2-3) +(mx+n).

.(x-1).(x-2).(x+3)

Doy valores a x


179

x = 1: p(1) = A.(-1).4.(-2),

8 = 8.A, A = 1

x = 2: p(2) = 25

25 = B.1.5.1, B = 5

x = -3: p(-3) = 20

20 = C.(-4).(-5).6, 20 = 120.C, C=6

Doy otros dos valores para obtener m, n

x = 0: p(0) = -1

-1 = 1.(-2).3.(-3) +5.(-1).3.(-3) +6.(-1).(-2).(-3) + n.(-1).(-2).3

-1 = 18 +45 -36 + 6.n, n = -28/6 = -14/3

x = -1: p(-1) = -2

-2 = 1.(-3).2.(-2) + 5.(-2).2.(-2) +6.(-2).(-3).(-2) +

+ (-m + n).(-2).(-3).2

-2 = 12 +40 -72 + 12.(-m -14/3)

2.- Sea el caso de soluciones reales, y no descompone

totalmente

p(x) = 5x2 -4x + 2

q(x) = (x-2)2.(x+3).(2x

2+1)



180

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) = A2/(x-2)

2 +A1/(x-2) +B/(x+3) +(mx+n)/(2x

2+1)

p(x) = A2.(x+3).(2x2+1) +A1.(x-2).(x+3).(2x

2+1) +

+ B.(x-2)2.(2x

2+1) +(mx+n).(x-2)

2.(x+3)

Hago x = 2: p(2) = 20-8+2 = 14

p(2) = A2.5.9 - A2 = 14/45

Hago x = -3: p(-3) = 45+12+2 = 59

p(-3) = B.25.19 -- B = 59/475

Otros valores: Hago x = 0: p(0) = 2

p(2) = 14/45.3.1 + A1.(-2).3.1 +59/475.4.1 + n.4.3,

p(2) = 42/45 -6.A1 + 236/475 + 12.n

2 = (42/45 + 236/475) -6.A1 +12.n (1)

Hago x = 1: p(1) = 3

p(1) = 14/45.4.3 + A1.(-1).4.3 +59/475.1.3 + (m+n).1.4,

p(1) = 168/45 -12.A1 + 177/475 + 4.(m+n)

3 = (168/45 +177/475) -12.A1 +4m + 4n (2)

A2.(x+3).(2x2+1) +A1.(x-2).(x+3).(2x

2+1) +

+ B.(x-2)2.(2x

2+1) +(mx+n).(x-2)

2.(x+3)

Hago x = -1: p(-1) = 5 +4 +2 = 11


181

p(-1) = 14/45.2.3 + A1.(-3).2.3 + 59/475.9.3 +

+ (-m+n).9.2,

p(-1) = 84/45 -18.A1 +1593/475 +18.(-m+n)

11 = (84/45 +1593/475) -18.A1 -18m +18n (3)

Reuniendo (1), (2), (3) tengo sistema de donde obtengo A1, m, n

3.- Soluciones reales múltiples

p(x) = 2x2 -5x +4

q(x) =x5 -4x

4 +x

3 +10x

2 -4x -8

Sol.: q(x) = 0 -- -1 doble, 2 triple

F(x) = −11

27.

1

(𝑥+1)2 −2

27.

1

(𝑥+1)+

2

9.

1

(𝑥−2)3 +5

27.

1

(𝑥−2)2 +2

27.

1

(𝑥−2)

4.- Soluciones simples y múltiples

F(x) = 𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)

p(x) = x2 -3x +4

q(x) = x4 –x

3 -7x

2 +13x -6

Sol.: q(x) = 0 --- -3 simple, 1 doble, 2 simple

F(x) = −11

40.

1

(𝑥+3)+

2

5 .

1

(𝑥−1)2 −1

8.

1

(𝑥−1)

-----------



182

7.2.- Descomposición por el Método fuerte

7.2.1.- Soluciones reales simples

Sea 𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) , q(x) con coeficientes enteros y primer coeficiente

uno.

Supongamos que las soluciones de q(x) = 0 son

a1, a2, a3

(Para comenzar es suficiente tener una solución, sea a1)

Tomo una raíz de q(x) = 0, sea x = a1.

Hago q1(x) = q(x):(x-a1), q(x) = (x-a1).q1(x)

Al iniciar este proceso hago fact = 1, S1(x) = p(x)

Planteo 𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = A1’/(x-a1) + p1(x)/q1(x)

Multiplico por q(x)

S1(x) = A1’.q1(x) + p1(x).(x-a1)

x = a1: S1(a1) = A1’.q1(a1),

A1’ = S1(a1)/q1(a1)

Obtengo p1(x)

p1(x) = [S1(x) – S1(a1)/q1(a1).q1(x)]:(x-a1)

p1(x) = 1/q1(a1).[q1(a1).S1(x) – S1(a1).q1(x)]:(x-a1) =


183

= 1/q1(a).S1(x), donde hemos redefinido S1(x)

haciendo

S1(x) = [q1(a1).S1(x) – S1(a1).q1(x)]:(x-a1),

Este polinomio S1(x) tiene sus coeficientes enteros.

Ahora A1 = 1/fact.A1’

Hago fact = fact.q1(a1)

Tengo

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) = A1/(x-a1) + 1/fact.S1(x)/q1(x)

Continuamos descomponiendo S1(x)/q1(x)

Tomo otra raíz de q(x) = 0, que lo será de

q1(x) = 0, sea x = a2

Hago q(x) = q1(x), q1(x) = q(x):(x-a2)

Planteo

𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = A2’/(x-a2) + p1(x)/q1(x)

S1(x) = A2’.q1(x) + p1(x).(x-a2)



184

A2’ = S1(a2)/q1(a2)

Obtengo p1(x)

p1(x) = 1/q1(a2).[q1(a2).S1(x) –S1(a2).q1(x)]:(x-b)

p1(x) = 1/q1(a2).S1(x), donde he redefinido

S1(x) haciendo

S1(x) = [q1(a2).S1(x)–S1(a2).q1(x)]:(x-b)

Valor de A2 = 1/fact.A2’

Hago fact = fact.q1(a2)

Tengo como resultado intermedio

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) = A1/(x-a1) + A2/(x-a2) + 1/fact.S1(x)/q1(x)

Si gr(q1(x)) = 1, esto significa que hemos terminado y sólo queda

ver cómo queda el término

1/fact.S1(x)/q1(x), que debe quedar, según nuestro

supuesto, de la forma

A3/(x-a3)

En otro caso continuamos

Tomo otra solución de q(x) = 0, que lo será de

q1(x) = 0. Sea ak


185

Hago

q(x) = q1(x), q1(x) = q(x):(x-ak)

Planteo 𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = Ak’/(x-ak) + p1(x)/q1(x)

y seguimos como antes.

Ejemplo:

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) donde p(x) = 4x

2 + 5x – 1,

q(x) = x3 – 7x + 6

Sol.: Comprueba que los valores 1, 2, -3 son soluciones de

x3 – 7x + 6 = 0

q(x) = (x-1).(x-2).(x+3)

fact = 1, S1(x) = p(x) = 4x2 + 5x – 1

q1(x) = q(x):(x-1)

𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = A1’/(x-1) + p1(x)/q1(x)

S1(x) = A1’.q1(x) + p1(x).(x-1)

x = 1: A1’ = S1(1)/q1(1)

S1(1) = 8, q1(1) = - 4, A1’ = -2

Obtengo p1(x):

p1(x) =



186

=1/q1(1).[q1(1).(4x2+5x–1)-S1(1).(x

2+x-6)]:(x-1)

p1(x) = 1/q1(1).[(-16x2-20x+4)-(8x

2+8x-48)]:(x-1)

p1(x) = 1/q1(1).[-24x2-28x+52]:(x-1) =

= 1/q1(1).(-24x2-28x+52):(x-1) =

= 1/q1(1).[-24x -52] = 1/q1(1).S1(x),

donde S1(x) = -24x-52

A1 = 1/fact.A1’ = -2,

Hago fact = fact.q1(1),

Tengo 𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) = -2/(x-1) + 1/fact.S1(x)/q1(x)

Resultado: -2/(x-1) + 5/(x-2) + 1/(x+3)

Continúo:

Hago q(x) = q1(x), q1(x) = q(x):(x-2)

Planteo

𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = A2’/(x-2) + p1(x)/q1(x)

S1(x) = A2’.q1(x) + p1(x).(x-2)

x = 2: A2’ = S1(2)/q1(2)


187

S1(2) = -100, q1(2) = 5, A2’ = -20

Obtengo p1(x)

p1(x) = 1/q1(2).[q1(2).S1(x)-S1(2).q1(x)]:(x-2)

p1(x) = 1/q1(2).[5.(-24x-52) + 100.(x+3)]:(x-2)

p1(x) = 1/q1(2).[-20x + 40]:(x-2) =

= 1/q1(2).(-20) = 1/q1(2).S1(x),

donde S1(x) = -20

A2 = 1/fact.A2’ = -1/4.(-20) = 5

Hago fact = fact.q1(2) = (-4).5 = -20

Tengo 𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) = -2/(x-1) + 5/(x-2) + 1/fact.

𝑆1(𝑥)

𝑞1(𝑥)

Teniendo en cuenta que gr(q1(x)) = 1, esto significa que hemos

terminado, siendo

1/fact.S1(x) = -1/20.(-20) = 1, q1(x) = x+3

y por tanto

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) = -2/(x-1) + 5/(x-2) + 1/(x+3)



188

7.2.2.- Caso de raíces reales simples y

múltiples

Sea 𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) , para las raíces simples de q(x) = 0 procedemos del

mismo modo que en el apartado anterior.

A) Supongamos que la solución x = ai tiene multiplicidad 2

El valor de fact depende de resultados al tratar las raíces a1, a2,

….

Del mismo modo S1(x) es la expresión resultante al final de tratar

las citadas raíces, lo mismo podemos decir de q1(x).

Hacemos q(x) = q1(x), q1(x) = q(x):(x-ai)2

Planteo

𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = Ai2’/(x-ai)

2 + p1(x)/[(x-ai).q1(x)]

Multiplico por q(x)

S1(x) = Ai2’.q1(x) + p1(x).(x-ai)

Ai2’ = S1(ai)/q1(ai)

Obtengo p1(x)

p1(x) =

= 1/q1(ai).[q1(ai).S1(x) – S1(ai).q1(x)]:(x-ai)

p1(x) = 1/q1(ai).S1(x), donde hemos redefinido

S1(x) = [q1(ai).S1(x) – S1(ai).q1(x)]:(x-ai)


189

Ahora Ai2 = 1/fact.Ai2’, Hago fact = act.q1(ai)

Resultado intermedio

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) = ….. + Ai2/(x-ai)

2 +

+ 1/fact.S1(x)/[(x-ai).q1(x)]

Continúo descomponiendo S1(x)/[(x-ai).q1(x)]

Hago q(x) = (x-ai).q1(x), q1(x) = q(x):(x-ai) = q1(x) anterior.

(Observa: q1(x) continúan sin modificación mientras tratamos la

raíz ai).

Planteo

𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = Ai1’/(x-ai) + p1(x)/q1(x),

multiplico por q(x)

S1(x) = Ai1’.q1(x) + p1(x).(x-ai)

S1(ai) = Ai1’.q1(ai) , Ai1’ = S1(ai)/q1(ai)

Obtengo p1(x)

p1(x) = 1/q1(ai).[q1(ai).S1(x) –S1(ai).q1(x)]:(x-ai)

p1(x) = 1/q1(ai).S1(x), donde hemos redefinido

S1(x) = [q1(ai).S1(x) – S1(ai).q1(x)]:(x-ai)



190

Ahora Ai1 = 1/fact.Ai1’,

Hago fact = fact.q1(ai)


𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) = … + Ai2/(x-ai)

2 + Ai1/(x-ai) +

+ 1/fact.S1(x)/q1(x)

B) Supongamos una raíz aj de q(x) = 0, que será raíz de

q1(x) = 0, y que tenga multiplicidad k

(k representa al valor mj = multiplicidad de aj)

Hago q(x) = q1(x), donde q1(x) es el actual, es decir, el que

resultó al finalizar con la raíz tratada anteriormente.

Hago después q1(x) = q(x):(x-aj)k ,

(q(x)=q1(x).(x-aj)k )

Esta expresión de q1(x) continúa sin cambio mientras tratamos

esta raíz aj.

Planteo

𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = Ajk’/(x-aj)

k + p1(x)/[(x-aj)

k-1.q1(x)

Al multiplicar por q(x)

S1(x) = Ajk’.q1(x) + p1(x).(x-aj)

En algún paso posterior llegaremos a

q(x) = (x-aj)h.q1(x), q1(x) no cambia


191

𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = Ajh’/(x-aj)

h + p1(x)/(x-aj)

h-1.q1(x)

y al multiplicar por q(x)

S1(x) = Ajh’.q1(x) + p1(x).(x-aj)

S1(aj) = Ajh’.q1(aj), Ajh’ = S1(aj)/q1(aj)

Obtener p1(x) y continuar …..

Ejemplo:

Un caso de soluciones reales múltiples

Sean p(x) = 2x2 -5x +4

q(x) = x5 -4x

4 +x

3 +10x

2 -4x -8

Sabemos que q(x) = (x+1)2.(x-2)

3

Sol.:

Tomo q1(x) = q(x):(x+1)2 = (x-2)

3 ,

(fact =1) S1(x) = p(x)

Planteo

𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = A12’/(x+1)

2 + p1(x)/[(x+1).q1(x)]

Multiplico por q(x) y tengo

S1(x) = A12’.q1(x) + p1(x).(x+1)



192

S1(-1) = A12’.q1(-1),

A12’ = S1(-1)/q1(-1) = -11/27

Obtengo p1(x):

p1(x) = 1/q1(-1).[q1(-1).S1(x) –S1(-1).q1(x)]:(x+1)

p1(x) = 1/q1(-1).[-27.(2x2 -5x +4) -

–11.(x3-6x

2+12x-8)]:(x+1)

p1(x) = 1/q1(-1).[-11x3 +12x

2 +3x -20]:(x+1) =

= 1/q1(-1).(-11x2 +23x-20)= 1/q1(-1).S1(x),

donde he redefinido: S1(x) = -11x2 +23x -20

Ahora A12 = 1/fact.A12’ = -11/27

Hago fact = fact.q1(-1)

Tengo el resultado intermedio:

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) =

−11/27

(𝑥+1)2 + 1/fact.S1(x)/[(x+1).q1(x)]

Continúo

q(x) = (x+1).q1(x), q1(x) = q(x):(x+1),

con lo que q1(x) queda invariante.

Planteo 𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = A11’/(x+1) + p1(x)/q1(x)

S1(x) = A11’.q1(x) +p1(x).(x+1)

S1(-1) = A11’.q1(-1),


193

A11’ = S1(-1)/q1(-1)= (-54)/(-27) = 54/27

p1(x) = 1/q1(-1).[q1(-1).S1(x) -S1(-1).q1(x)]:(x+1)

p1(x) = 1/q1(-1).[(-27).(-11x2+23x-20)-

-(-54).(x3-6x

2+12x-8)]:(x+1)

p1(x) = 1/q1(-1).[(297x2-621x+540)-

-(-54x3+324x

2-648x+432)]:(x+1)

p1(x) = 1/q1(-1).[54x3 -27x

2 +27x +108]:(x+1)=

= 1/q1(-1).(54x2 -81x +108) = 1/q1(-1).S1(x)

donde he redefinido: S1(x) = 54x2 -81x +108

Ahora A11 = 1/fact.A11’ = 1/(-27).54/27

= -54/729

Hago fact = fact.q1(-1) =(-27).(-27)=729

Tengo

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) =

−11/27

(𝑥+1)2 + −54/729

(𝑥+1) + 1/fact.S1(x)/q1(x)

Continúo

q(x) = q1(x) = (x-2)3, q1(x) = q(x):(x-2)

3 = 1

Planteo

𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = A23’/(x-2)

3 + p1(x)/[(x-2)

2.q1(x)]

S1(x) = A23’.q1(x) + p1(x).(x-2)



194

S1(2) = A23’.q1(2),

S1(2) =54.4-81.2+108 = 162, q1(2) = 1

A23’ = S1(2)/q1(2) = 162

Obtengo p1(x):

p1(x) = 1/q1(2).[q1(2).(54x2-81x+108) –

-S1(2).q1(x)]:(x-2)

p1(x) = 1/q1(2).[1.(54x2-81x+108)-162.1]:(x-2)=

= 1/q1(2).[54x2 -81x -54]:(x-2) =

= 1/q1(2).(54x+27) = 1/q1(2).S1(x),

donde he redefinido: S1(x) = 54x +27

Ahora A23 = 1/fact.162 = 162/729

Hago fact = fact.q1(2) = 729.1 = 729

Tengo 𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) =

−11/27

(𝑥+1)2 + −54/729

(𝑥+1) +

162/729

(𝑥−2)3 +

+ 1/fact.S1(x)/[(x-2)2.q1(x)]

Continúo

q(x) = (x-2)2.q1(x), q1(x)= q(x):(x-2)

2

queda sin cambios

Planteo


195

𝑆1(𝑥)

𝑞(𝑥) = A22’/(x-2)

2 + p1(x)/[(x-2).q1(x)]

S1(x) = A22’.q1(x) + p1(x).(x-2)

S1(2) = A22’.q1(2), S1(2) = 54.2 +27 = 135

A22’ = S1(2)/q1(2) = 135/1 = 135

p1(x) = 1/q1(2).[q1(2).S1(x)–S1(2).q1(x)]:(x-2)=

= 1/q1(2).[(54x +27) -135.1]:(x-2) =

= 1/q1(2).[54x -108]:(x-2) = 1/q1(2).54

Ahora A22 = 1/fact.A22’ = 1/729.135 = 135/729

Hago fact = fact.q1(2)

Tengo

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) =

−11/27

(𝑥+1)2 + −54/729

(𝑥+1) +

162/729

(𝑥−2)3 + 135/729

(𝑥−2)^2 +

+ 1/fact.S1(x)/[(x-2).q1(x)]

Continúo

q(x) = (x-2).q1(x), q1(x) = q(x):(x-2) no cambia.

Si gr(q(x)) = 1, (como ocurre en este caso)

hemos terminado y basta hacer arreglo en

1/fact.S1(x)/[(x-2).q1(x)] = 1/729.(54)/[(x-2).1] = 54/729

(𝑥−2) ,



196

y por tanto el resultado final es

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) =

−11/27

(𝑥+1)2 + −54/729

(𝑥+1) +

162/729

(𝑥−2)3 + 135/729

(𝑥−2)2 + 54/729

(𝑥−2)

(Contrastado y confirmado el resultado. Mi cuaderno manuscrito)

7.2.3.- Caso de soluciones complejas simples

Sean z y z’ dos raíces conjugadas de q(x) = 0,

z = a+bi, z’ = a-bi

(x-(a+bi)).(x-(a-bi)) = ((x-a)-bi).((x-a)+bi) = (x-a)2 + b

2 =

= x2 -2ax +(a

2+b

2)

Cuando planteamos

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) = …. +

A

x−z +

B

x−z′ + … =

= … + [A.(x−z’)+ B.(x−z)]

x2−2ax+(a2+b2) +… =

= …. + M.x+N

x2−2ax+(a2+b2) + …. =

Supongo que z y z’ son soluciones simples.

Tendremos, procedentes del proceso anterior, el factor fact y el

término

1/fact.S1(x)/q1(x)

Hago q(x) = q1(x), y redefino

q1(x) = q(x):(x2 -2ax +(a

2+b

2))


197

Observa que q(x) = (x2 -2ax +(a

2+b

2)).q1(x)

Planteo

S1(x)

q(x) = (M’x+N’)/(x

2 -2ax +(a

2+b

2)) + p1(x)/q1(x)

Multiplico por q(x)

S1(x) = (M’x+N’).q1(x) + p1(x).(x2 –2ax+(a

2+b

2))

S1(z) = (M’.z + N’).q1(z),

S1(z’)= (M’.z’ + N’).q1(z’)

Identificando parte real y parte imaginaria obtenemos un Sistema

de donde obtengo los valores M’, N’.

Obtengo p1(x), (después de calcular M’ y N’)

p1(x) = S1(x)-(M’.x + N’).q1(x)

Interesa operar con coeficientes enteros, por lo que si M’ y/o N’

son fraccionarios hago común denominador. Sea m(z) este

denominador y sea

1/zm.(M’’.x +N’’), entonces

p1(x) = 1/zm.[m(z).S1(x) –(M’’.x + N’’).q1(x)] =

= 1/zm.S1(x), donde he redefinido

S1(x) = [zm.S1(x) – (M’’.x +N’’).q1(x)]

Ahora M = 1/fact.M’, N = 1/fact.N’

(fact con su valor heredado)



198

Hago de nuevo fact = fact.zm

En el resultado intermedio tengo

p(x)

q(x) = …. +

Mx + N

x2−2ax+(a2+b2) + 1/fact.S1(x)/q1(x)

Continúo descomponiendo S1(x)/q1(x)

q(x) = q1(x), y, tomando otra raíz de q(x) = 0,

(que lo será de q1(x) = 0) sea x = a,

Hago q1(x) = q(x):(x-a)

Planteo

S1(x)

q(x) = (por ejemplo) = A/(x-a) + p1(x)/q1(x)

y continúo como es sabido.

Ejemplo: Soluciones complejas simples

Sean p(x) = 5x -6

q(x) = x4 -10x

3 +47x

2 -118x +130,

obtenido de hacer (x2-6x+10).(x

2-4x+13)

Sol.: Resuelvo q(x) = 0,

x2 -6x+10 = 0, x =

6±√36−40

2 = {

𝑧1 =6+2𝑖

2= 3 + 𝑖

𝑧1′ =6−2𝑖

2= 3 − 𝑖

,


199

x2 -4x+13 = 0, x = {

𝑧2 = 2 + 3𝑖𝑧2′ = 2 − 3𝑖

, Trato en primer

lugar la solución z1 y z1’

(x-z1).(x-z1’) = x2 -6x +10,

(x-z2).(x-z2’) = x2 -4x +13

Hago q1(x) = q(x):( x2-6x+10) = x

2-4x+13

Hago S1(x) = p(x), fact = 1 (valor por defecto)

Puedo suponer que previamente hayamos resuelto los términos

correspondientes a raíces reales, y esto nos lleva a suponer que

ahora nos toca resolver un término del tipo

1/fact.S1(x)/q1(x)

En este caso el factor fact tendrá su valor y S1(x) la expresión

resultante de aquel proceso. Puesto que no tenemos estos datos

concretos, podemos continuar como si los tuviésemos, haciendo,

como hemos hecho, S1(x) = p(x), fact = 1, y q(x) sería la

expresión q1(x) de ‘arrastre’ del proceso anterior.

Notación: Tomaremos M1’, N1’ en lugar de M1, N1 porque

después hemos de modificarlo tomando

M1 = 1/fact.M1’, N1 = 1/fact.N1’

Planteo

S1(x)

q(x) =

𝑀1′.𝑥+𝑁1′

(x2−6x+10)+

𝑝1(𝑥)

𝑞1(𝑥) ,

S1(x) = (M1’.x +N1’).q1(x) + p1(x).q1(x)



200

Damos valor x = z1:

S1(z1) = (M1’.z1+N1’).q1(z1)

Miembro izquierda:

S1(3+i)=5.(3+i)-6 = 9+5i,

Miembro derecha:

q1(3+i)= (3+i)2 -4.(3+i)+13 = …. = 9+2i,

M1’.(3+i) +N1’ = (3.M1’+N1’) + M1’.i ,

(9+2i).[(3.M1’+N1’)+M1’.i] = …. =

= (25.M1’+9N1’) +(15M1’+2N1’).i ,

Llego a que

9+5i = (25.M1’+9N1’) +(15M1’+2N1’).i


{9 = 25𝑀1′ + 9𝑁1′

5 = 15𝑀1′ + 2𝑁1′

Multiplico la primera por -2 y la segunda por 9

27 = 85.M1’ , M1’ = 27/85,

Multiplico la primera por -3 y la segunda por 5

-2 = -17N1’ , N1’ = 2/17


201

Hago común denominador: mz = 85,

M1’ = 27/85, N1’ = 10/85,

Hago zm = 85, M1’’ = 27, N1’’ = 10

Obtengo p1(x)

p1(x) =

= 1/zm.[zm.S1(x) –(M1’’.x +N1’’).q1(x)]:(x2-6x+10)

p1(x) =

= 1/zm.[85.(5x-6)-(27x+10).(x2-4x+13]:(x

2-6x+10)

p1(x) =

= 1/zm.[(425x-510)-(27x3-98x

2+311x+130)]:(x

2-6x+10) =

= 1/zm.[-27x3 +98x

2 +114x -640]:(x

2-6x+10) =

= 1/zm.(-27x-64) = 1/zm.S1(x),

donde he redefinido: S1(x) = -27x -64

Ahora M1 = 1/fact.M1’ , N1 = 1/fact.N1’

(aquí y ahora fact = 1)

Hago fact = fact.zm

En el resultado intermedio figurará el término final del tipo

1/fact.S1(x)/q1(x), (ahora fact = 85 )

Continúo:

q(x) = q1(x), q1(x) = q(x):(x2-4x+13)



202

Si lo que estamos tratando es una raíz compleja y gr(q(x)) = 2, (y

q1(x) = const) esto significa que hemos terminado, siendo

suficiente hacer arreglos en el término 1/fact.S1(x)/q1(x).

En este caso

1/85.(-27x-64)/(x2 -4x +13) =

−27

85.𝑥−64/85

(𝑥2−4𝑥+13)

Resultado final (de este ejemplo):

p(x)

q(x) =

27

85.𝑥+10/85

(𝑥2−6𝑥+10) +

−27

85.𝑥−64/85

(𝑥2−4𝑥+13)

7.2.4.- Caso de soluciones complejas múltiples

Supongo que estamos en el proceso de descomposición en sumas

simples y que hemos llegado al punto de tratar una raíz compleja

múltiple. En esta situación tenemos un factor fact con un valor

heredado, y dos expresiones S1(x), q1(x), como corresponde al

término del tipo

1/fact. S1(x)

q1(x)

Hago p(x) = S1(x), q(x) = q1(x)

Supongamos que la multiplicidad de las raíces z1, z1’ es dos.

Tratamos las raíces z1 = a+bi, z1’ = a-bi

Sabemos que

(x-z1).(x-z1’) = x2 -2ax +(a

2+b

2)

Hago

q1(x) = q(x):(x2 -2ax +(a

2+b

2))


203

Planteo

S1(x)

q(x) =

M2’x + N2’

(x2−2ax +(a2+b2))2 +

p1(x)

[(x2−2ax +(a2+b2)).q1(x)]

Multiplico por q(x)

S1(x) =

= (M2’x + N2’).q1(x) + p1(x).(x2-2ax+(a

2+b

2))

Hago x = z1:

S1(z1) = (M2’.z1 + N2’).q1(z1),

S1(z1’) = (M2’.z1’ + N2’).q1(z1’)

Después de operar, identificando parte real y parte imaginaria

obtenemos un Sistema de donde obtengo los valores M2’, N2’.

Obtengo p1(x), (después de calcular M2’ y N2’)

p1(x) = S1(x)-(M2’.x + N2’).q1(x)

Interesa operar con coeficientes enteros, por lo que, si M2’ y/o

N2’ son fraccionarios hago común denominador.

Sea zm este denominador ( que puede tomar el valor 1) y sea

M2’’, N2’’ los numeradores de los nuevos valores fraccionarios:

M2’ = M2’’/zm, N2’ = N2’’/zm

Tengo

1/zm.(M2’’.x + N2’’), entonces

p1(x) = 1/zm.[zm.S1(x) –(M2’’.x + N2’’).q1(x)]=

= 1/zm.S1(x), donde he redefinido S1(x) =



204

= [zm.S1(x) – (M2’’.x +N2’’).q1(x)]

Ahora M2 = 1/fact.M2’, N2 = 1/fact.N2’


Hago fact = fact.zm

En este momento tendremos el resultado intermedio

p(x)

q(x) = …. +

(𝑀2.𝑥+𝑁2)

(𝑥2−2𝑎+(𝑎2+𝑏2)) + 1/fact.

S1(x)

x2−2a+(a2+b2). q1(x)

Continúo

Hago q(x) = (x2-2a+(a

2+b

2)).q1(x),

q1(x) = q(x): (x2-2a+(a

2+b

2)),

(q1(x) queda invariante mientras tratamos z1 y z1’)

Planteo

S1(x)

q(x) =

M1’.x+N1’

x2−2a+(a2+b2) + p1(x)/q1(x)

S1(x) = (M1’.x+N1’).q1(x) + p1(x).(x2-2a+(a

2+b

2))

x = z1:

S1(z1) = (M1’.z1+N1’).q1(z1)

x = z1’:

S1(z1’) = (M1’.z1’+N1’).q1(z1’)

Operando llegamos a un sistema con incógnitas M1’, N1’ que

resolveremos.


205

Obtengo p1(x)

p1(x) = S1(x)-(M1’.x + N1’).q1(x)

Interesa operar con coeficientes enteros, por lo que, si M1’ y/o

N1’ son fraccionarios hago común denominador.

Sea zm este denominador ( que puede tomar el valor 1) y sea

M1’’, N1’’ los numeradores de los nuevos valores fraccionarios:

M1’ = M1’’/zm, N1’ = N1’’/zm.

Tengo

1/zm.(M1’’.x + N1’’), entonces

p1(x) = 1/zm.[zm.S1(x) – (M1’’.x + N1’’).q1(x)] =

= 1/zm.S1(x), donde he redefinido

S1(x) = [zm.S1(x) – (M1’’.x +N1’’).q1(x)]

Ahora M1 = 1/fact.M1’, N1 = 1/fact.N1’


Hago fact = fact.zm

En este momento tendremos el resultado intermedio

p(x)

q(x) = ….+

(𝑀2.𝑥+𝑁2)

(𝑥2−2𝑎+(𝑎2+𝑏2))2 +

(𝑀1.𝑥+𝑁1)

(𝑥2−2𝑎+(𝑎2+𝑏2))+

+ 1/fact. S1(x)

q1(x)

Ejemplos: Raíces complejas múltiples

p(x) = 2x2 -5x +4



206

q(x) = x4 -8x

3 +42x

2 -104x +169

Soluciones de q(x) = 0: z1 = 2+3i, z1’ = 2-3i dobles.

Supongamos que estamos resolviendo la descomposición en

sumas simples y que estamos en el ‘paso’ de raíces complejas

múltiples. En este momento nos vendrían dadas las expresiones

S1(x), q1(x) y el valor fact heredado que figura en el término

1/fact. S1(x)

q1(x)

Tomaríamos q(x) = q1(x), S1(x) y fact dados.

En nuestro caso hacemos

S1(x) = p(x), fact = 1 (por defecto)

(x-z1).(x-z1’) = ((x-2)+3i).((x-2)-3i) =

=(x-2)2 + 9 = x

2 -4x +13

Hago q1(x) = q(x):(x2 -4x +13)

2 , (observa: q1(x)=1)

Planteo

S1(x)

q(x) =

M′.x+N

(x2 −4x +13)2 + p1(x)

x2 −4x +13. q1(x)

S1(x) = (M’.x+N).q1(x) + p1(x).(x2 -4x +13)

x = z1:

S1(z1) = (M’.(2+3i) +N’).q1(z1)

S1(2+3i) = 2.(2+3i)2-5.(2+3i) +4 = …. = -16+9i


207

q1(z1) = 1

(M’.(2+3i) +N’).q1(z1) = ((2.M’+N’)+3.M’.i


{−16 = 2. 𝑀′ + 𝑁′

9 = 3. 𝑀′ , M’ = 3, N’ = -22

Valor de zm = 1, M’’ =3, N’’ =-22

Obtengo p1(x):

p1(x) = 1/zm.[zm.S1(x)–(M’’.x +N’’).q1(x)]:(x2-4x+13)

p1(x) = 1/zm.[1.(2x2 -5x +4)–(3x-22).1]:(x

2 -4x +13) =

= 1/zm.[2x2 -8x +26]:(x

2 -4x +13)= 1/zm.S1(x)

donde he redefinido S1(x) = 2

Ahora M = 1/fact.M’, N = 1/fact.N’

Hago fact = fact.zm

El resultado intermedio es

p(x)

q(x) = … +

3.𝑥−22

(𝑥2−4𝑥+13)2 + 1/fact.S1(x)

x2 −4x +13. q1(x)

Continúo

Hago q(x) = (x2 -4x +13).q1(x) = x

2 -4x +13



208

Si gr(q(x)) = 2 (estamos con raíz compleja), significa que he

terminado, y tengo término final

1/fact.S1(x)

x2 −4x +13. q1(x) = 1/1.2/(x

2 -4x +13).1 =

= 2

𝑥2−4𝑥+13

Resultado: p(x)

q(x) = … +

3.𝑥−22

(𝑥2−4𝑥+13)2 + 2

𝑥2−4𝑥+13

7.2.5.- Actividades semi-resueltas, con el

resultado

Nota para el autor:

Indico la página de mi “Cuaderno del Profesor” donde se

encuentran totalmente resueltos.

1.- Raíces complejas simples y múltiples

p(x) = 5x – 6

q(x) =x6-14x

5+100x

4-436x

3+1213x

2-2054x+1690

Soluciones de q(x) = 0:

z1=3+i, z1’= 3-i simples, z2 = 2+3i, z2’ = 2-3i dobles

(x-z1).(x-z1’) = x2-6x+10,

[(x-z2).(x-z2’)]2 = (x

2-4x+13)

2

q(x) = (x2-6x+10).(x

2-4x+13)

2

Inicio planteando:

Hago q1(x) = q(x):(x2-6x+10) = (x

2-4x+13)

2


209

p(x)

q(x) = (M.x+N)/ (x

2-6x+10) + p1(x)/q1(x)

Resultado:

p(x)/q(x) =

61

7225.𝑥+

690

7225

(𝑥2−6𝑥+10)+

−27

85.𝑥−

64

85

(𝑥2−4𝑥+13)2 +−61

7225.𝑥−

812

7225

(𝑥2−4𝑥+13)

2.- Raíces reales simples y complejas simples

p(x) = 3x + 5

q(x) = (x-2).(x2-4x+13).(x

2-4x+5) =

= (x5 -10x

4 +50x

3 -140x

2 +209x -130


2 simple, 2+3i, 2-3i simples, 2+3i, 2-3i simples

Inicio el proceso

Hago q1(x) = q(x):(x-2) = x4-8x

2+34x

2-72x+65

Planteo

p(x)

q(x) = A/(x-2) + p1(x)/q1(x),

p(x) = A.(x2-4x+13).(x

2-4x+5) + p1(x).(x-2)

Obtengo A = 11/9

Obtengo p1(x) resultando

p1(x) = -11x3 +66x

2 -242x +335

Hago p(x) = p1(x), q(x) = q1(x)

q1(x) = q(x):(x2-4x+13) = (x

2-4x+5)



210

Planteo

p(x)

q(x) = (M.x+N)/(x

2-4x+13) + p1(x)/q1(x)

El alumno continuará y comprobará con el siguiente resultado.

Resultado:

p(x)

q(x) =

11

9

(𝑥−2)+

11

72.𝑥−

49

72

(𝑥2−4𝑥+13)+

−11

8.𝑥+

25

8

(𝑥2−4𝑥+5)

3.- Raíces reales simples y complejas múltiples

p(x) = 5x +8

q(x) = (x-2).(x2-4x+13)

2 =

= (x-2).(x2-8x

3+42x

2-104x +169) =

= x5 -10x

4 +58x

3 -188x

2 +377x -338

Soluciones de q(x) = 0: 2, 2+3i, 2-3i dobles

Hago q1(x) = q(x):(x-2), y comenzamos como hemos visto en

casos anteriores.

Obtengo A = 2/9

p1(x) = -18x3 +108x

2 -540x +1197

El alumno continuará y comprobará el resultado.

Resultado:

p(x)

q(x) =

2

9

(𝑥−2)+

−2𝑥+9

(𝑥2−4𝑥+13)2 + −2

9.𝑥+

4

9

(𝑥2−4𝑥+13)


211

4.- Raíces reales múltiples y complejas simples

p(x) = 5x + 8

q(x) = (x-2)2.(x

2-4x+13).(x

2-4x+5) =

= (x2 -4x +4).(x

4 -8x

3 +34x

2 -72x +65) =

= x6 -12x

5 +70x

4 -240x

3 +489x

2 -548x +260


2 doble, 2+3i, 2-3i, 2+i, 2-i

Resultado:

p(x)

q(x) =

2

(𝑥−2)2 + 5

9

(𝑥−2)+

5

72.𝑥+

8

72

(𝑥2−4𝑥+13)+

−5

8.𝑥−

8

8

(𝑥2−4𝑥+5)

5.- Raíces reales múltiples y complejas múltiples

p(x) = 5x + 8

q(x) = (x-2)2.(x

2-4x+13)

2 =

= (x2-4x+4).(x

4-8x

3+42x

2-104x+169) =

= x6-12x

5+78x

4-304x

3+753x

2-1092x+676


2 doble, 2+3i, 2-3i dobles

Resultado:

p(x)

q(x) =

2

9

(𝑥−2)2 + 5

81

(𝑥−2)+

−5

9.𝑥−

8

9

(𝑥2−4𝑥+13)2 +−5

81.𝑥−

8

81

(𝑥2−4𝑥+13)



212

6.- Raíces reales múltiples y complejas múltiples

p(x) = 5x +8

q(x) = (x-2)2.(x

2-4x +13)

2 =

= (x2 -4x +4).(x

4-8x

3+42x

2-104x+169) =

= x6 -12x

5 +78x

4 -304x

3 +753x

2 -1092x +676,


2 doble, 2+3i, 2-3i dobles

El alumno comprobará el siguiente resultado

Resultado:

p(x)

q(x) =

2

9

(𝑥−2)2 + 5

81

(𝑥−2)+

−5

9.𝑥−

8

9

(𝑥2−4𝑥+13)2 + −

5

81.𝑥−

8

81

(𝑥2−4𝑥+13)

7.- Raíces reales simples y múltiples y complejas simples

p(x) = 5x + 8

q(x) = (x+1).(x-2)2.(x

2-4x+13) =

= x5 -7x

4 +25x

3 -35x

2 -16x +52


-1, 2 doble, 2+3i, 2-3i

Hago q1(x) = q(x):(x+1) = (x-2)2.(x

2-4x+13) =

= x4-8x

3+33x

2-68x+52


213

Planteo p(x)

q(x) = A/(x+1) + p1(x)/q1(x)

p(x) = A.q1(x) + p1(x).(x+1)

Hago x =-1: p(-1) = 3, q1(-1) = 9.18 =162

3 = A.162, A = 3/162 = 1/54

Obtengo p1(x):

[p(x) -1/54.(x4-8x

3+33x

2-68x+52)] =

= 1/54.[54.(5x+8) – (x4-8x

3+33x

2-68x+52)] =

= 1/54.[-x4+8x

3-33x

2+338x+380]

Divido por (x+1):

-1 8 -33 338 380

-1 1 -9 42 -380

-1 9 -42 380 0

Llamo S1(x) = (x3 -9x

2 +42x

2 -380) y tengo

p1(x) = -1/54.S1(x)

Tengo p(x)

q(x) = 1/54.1/(x+1) -1/54.S1(x)/q1(x)

Continúo:

Hago p(x) = S1(x), Q(x) = q1(x),

Hago q1(x) = q(x):(x-2)2

Planteo p(x)

q(x) = B2/(x-2)

2 + p1(x)/q1(x)



214

p(x) = B2.q1(x) + p1(x).(x-2)2

Hago x=2: p(2) = ….., q1(2) = ….

p(2) = B2.q1(2), B2 = 972/9

Resultado:

p(x)

q(x) =

1

54

(𝑥+1)+

2

3

(𝑥−2)2 +−1

27

(𝑥−2)+

1

54.𝑥−

35

54

(𝑥2−4𝑥+13)

8.- Reales simples y múltiples, complejas múltiples

p(x) = 5x+8

q(x) = (x+1).(x-2)2.(x

2-4x+13)

2 =

= (x3-3x

2+4).(x

4 -8x

3 +42x

2 -104x +169) =

= x7-11x

6+66x

5-226x

4+449x

3-339x

2-416x+676


-1, 2 doble, 2+3i, 2-3i dobles

Resultado:

p(x)

q(x) =

1

972

(𝑥+1)+

2

27

(𝑥−2)2 + −1

243

(𝑥−2)+

1

54.𝑥−

35

54

(𝑥2−4𝑥+13)2 +

1

324.𝑥−

25

324

(𝑥2−4𝑥+13)

9.- Reales simples y complejas simples y múltiples

p(x) = 5x+8

q(x) = (x-2).(x2-4x+5).( x

4-8x

3+42x

2-104x+169) =

= x7-14x

6+103x

5-470x

4 +1419x

3 -2786x

2 +3237x -1690


215

Soluciones de q(x)=0:

2, 2+i, 2-i, 2+3i, 2-3i dobles

Resultado:

p(x)

q(x) =

2

9

(𝑥−2)+

−18

64.𝑥+

41

64

(𝑥2−4𝑥+5)+

2

8.𝑥−

9

8

(𝑥2−4𝑥+13)2 + 34

576.𝑥−

113

576

(𝑥2−4𝑥+13)

10.- Reales múltiples y complejas simples y múltiples

p(x) = 5x+8

q(x) = (x-2)2.(x

2-4x+5).(x

2-4x+13)

2 =

= (x2-4x+4).(x

2-4x+5).(x

4-8x

3+42x

2-104x+169) =

= (x2-4x+4).(x

6 -12

5 +79x

4 -312x

3 +795x

2-1196x +845) =

= x8 -16x

7 +131x

6 -676x

5 +2359x

4-5624x

3 +8809x

2 -8164x +3380

,

Soluciones de q(x)=0:

2 doble, 2+i, 2-i, 2+3i, 2-3i dobles

Resultado: p(x)

q(x) =

=

2

9

(𝑥−2)2 + 5

81

(𝑥−2)+

−5

64.𝑥−

8

64

(𝑥2−4𝑥+5)+

5

72.𝑥+

8

72

(𝑥2−4𝑥+13)2 + 85

373248.𝑥+

136

373248

(𝑥2−4𝑥+13)

11.- Reales simples y múltiples, Complejas simples y múltiples

p(x) = 5x+8

q(x) = (x+1).(x-2)2.(x

2-4x+5).(x

2-4x+13)

2 =

= (x+1).(x2-2x+4).(x

2-4x+5).(x

4-8x

3+42x

2-104x+169) =



216

= (x3-3x

2+4).(x

6 -12x

5 +79x

4 -312x

3 + 795x

2 -1196x +845) =

= x9 -15x

8 +115x

7 -545x

6 +1683x

5 -3265x

4 +

+ 3185x3 +645x

2 -4784x +3380


-1, 2 doble, 2+i, 2-i, 2+3i, 2-3i dobles

Resultado: p(x)

q(x) =

=

1

9720

(𝑥+1)+

2

27

(𝑥−2)2 + −1

243

(𝑥−2)+

3

640.𝑥−

65

640

(𝑥2−4𝑥+5)+

−1

432.𝑥+

35

432

(𝑥2−4𝑥+13)2 +

+ −7

10368.𝑥+

205

10368

(𝑥2−4𝑥+13)

12.- Raíces reales simples y múltiples y complejas múltiples

NOTA: Este caso resulta realmente laborioso. Lo resuelvo como

muestra de que se puede llegar lejos siempre que se lleve a cabo

con mucho orden.

Conviene resaltar aquí la gran ayuda que ha prestado el uso de la

Aplicación Informática asociada al Vol.2, en especial la parte

dedicada al valor numérico de polinomios para valores complejos

de x: x = a+bi. Este hecho ha permitido corroborar los resultados.

p(x) = 3x4 -5x

2 +6x -8

q(x) = (x+2).(x-1)2.(x

4-12x

3+56x

2-120x+100)


-2 simple, 1 doble, 3+i, 3-i dobles,

Inicio: S1(x) = p(x) = 3x4 -5x

2 +6x -8,

fact = 1


217

q1(x) = q(x):(x+2) = (x-1)2.(x

2-6x+10)

2 =

= x6-14x

5 +81x

4 -244x

3 +396x

2 -320x +100

Planteo

S1(x)

q(x) = A11/(x+2) + p1(x)/q1(x)

S1(x) = A11.q1(x) + p1(x).(x+2)

Hago x = -2:

A11 = S1(-2)/q1(-2)

S1(-2) = 3.16 -20-12-8 = 48-40 = 8,

q1(-2) = 9.(26)2 = 6084

A11 = 8/6084

Obtengo p1(x):

p1(x) = 1/q1(-2).[q1(-2).S1(x) – S1(-2).q1(x)]:(x+2)

p1(x) =

= 1/q1(-2).[6084.(3x4-5x

2+6x-8) –

-8.(x6-14x

5+81x

4-244x

3+396x

2-320x+100)]:(x+2)

p1(x) =

= 1/q1(-2).[(18252x4 -30420x

2 +36504x-48672) –

-(8x6-112x

5+648

4-1952x

3+3168x

2-2560x+800) ]:(x+2)

p1(x) =

= 1/q1(-2).[-8x6 +112x

5 17604x

4 +1952x

3-33588x

2 +

+ 39064x -49472]:(x+2) = ( aplicando Ruffini)



218

= 1/q1(-2).[-8x5 +128x

4 +17348x

3-32744x

2+31900x - 24736] =

= 1/q1(-2).S1(x)

donde he redefinido S1(x) representando el corchete [….].

Ahora A11 = 1/fact.A11 = 8/6084 = 2/1521, ya que fact = 1

Hago fact = fact.q1(-2) = 6084


p(x)

q(x) =

2

1521

(𝑥+2)

Continúo:

Hago q(x) = q1(x) = (x-1)2.(x

2-6x+10)

2

Hago q1(x) = q(x):(x-1)2

Planteo

S1(x)

q(x) = A22/(x-1)

2 + p1(x)/[(x-1).q1(x)]

S1(x) = A22.q1(x) + p1(x).(x-1)

x = 1:

A22 = S1(1)/q1(1)

S1(1) = ….. = -8112, q1(1) = …. = 25,

A22 = -8112/25

Obtengo p1(x):

p1(x) = 1/q1(1).[q1(1).S1(x) –S1(1).q1(x)]:(x-1)


219

p1(x) = 1/q1(1).[25.(-8x5 +128x

4 +17348x

3 –

-32744x2 +31900x -24736) +8112.(x

4 -12x

3 +56x

2 –

-120x +100)]:(x-1)

p1(x) =

= 1/q1(1).[(-200x5 +3200x

4 +433700x

3 –

-818600x2 +797500x -618400) + (8112x

4 -97344x

3

+ 454272x2 -973440x +811200)]:(x-1) =

= 1/q1(1).[-200x5 +11312x

4 +336356x

3 –

-364328x2 -175940x +192800]:(x-1) =

( Aplico Ruffini )

= 1/q1(1).[-200x4 +11112x

3 +347468x

2 -16860x -192800] =

= 1/q1(1).S1(x)

donde he redefinido S1(x) representando el corchete [….]

Ahora A22 = 1/fact.A22 = -1/6084.8112/25 =

dividiendo entre 12

= -676/(25.507) = -676/12675


p(x)

q(x) = ….. +

−676

12675

(𝑥−1)2

Hago fact = fact.q1(1) = 152100



220

Continúo:

Hago q(x) = (x-1).q1(x), q1(x) = q(x):(x-1) queda igual

Planteo S1(x)

q(x) = A21/(x-1) +p1(x)/q1(x)

S1(x) = A21.q1(x) + p1(x).(x-1)

x = 1: A21 = S1(1)/q1(1)

S1(1) = 148720, q1(1) = 25

A21 = 148720/25

Obtengo p1(x):

p1(x) = 1/q1(1).[q1(1).S1(x) –S1(1).q1(x)]:(x-1)

p1(x) = 1/q1(1).[25.(-200x4 +11112x

3 +347468x

2 –

-16860x -192800) -148720.( x4 -12x

3 +56x

2-120x +

+ 100)]:(x-1) =

= 1/q1(1).[(-5000x4 +277800x

3 +8686700x

2 -421500x -4820000)-

-(148720x^4 -1784640x^3 +8328320x^2 -17846400x +

+ 14872000)]:(x-1) =

= 1/q1(1).[-153720x4 +2062440x

3 +358380x

2 +

+17424900x - 19692000]:(x-1) = (Aplico Ruffini)


221

División

|-153720 2062440 358380 17424900 -19692000

1 | -153720 1908720 2267100 19672000

-153720 1908720 2267100 19672000 0

p1(x) =

= 1/q1(x).[-153720x^3 +1908720x^2 +2267100x +

+19672000] = 1/q1(1).S1(x),

donde he redefinido S1(x) representando el corchete […]

Ahora A21 = 1/fact.A21 =

= 1/152100.148720/25 = 148720/(25.152100) =

= 14872/(25.15210) = 7436/(25.7605) = 7436/190125


p(x)

q(x) = …. +

7436

190125

(𝑥−1)

Hago fact = fact.q1(1) = 3802500

Continúo:

Hago q(x) = q1(x) = (x2-6x+10)

2 ,

q1(x) = q(x):( x2-6x+10)

2 = 1

Observa: q(x) = ( x2-6x+10)

2.q1(x)

Planteo S1(x)

q(x) =

M2.x+N2

( x2−6x+10)2 + p1(x)

x2−6x+10. q1(x)



222

S1(x) = (M2x+N2).q1(x) + p1(x).(x2-6x+10)

x = z1 = 3+i :

S1(3+i) = (M2.(3+i)+N2).q1(z1)

(M2.(3+i)+N2) = S1(3+i)/q1(z1)

S1(3+i) = ……. = 38976100 + 9722700.i,

q1(z1) = 1,

(3.M2+N2) + M2.i = S1(3+i)

Igualando parte real y parte imaginaria obtenemos el siguiente

Sistema de donde obtenemos M2, N2

{3𝑀2 + 𝑁2 = 38976100

𝑀2 = 9722700

de donde N2 = 9808000

zm = 1 (comú denominador de M2, N2)

Obtenemos p1(x): (observa que q1(x) = 1)

S1(x) = (M2x+N2).q1(x) + p1(x).(x2-6x+10)

p1(x) = [S1(x) - (M2x+N2).q1(x)]:(x2-6x+10)

p1(x) = 1/zm.[zm.S1(x) –(M2.x + N2).q1(x)]:(x2-6x+10)

p1(x) =

= 1/zm.[(-153720x^3 +1908720x^2 +2267100x +


223

+19672000) – (9722700.x +9808000)]: (x2-6x+10) =

= 1/zm.[-153720x^3 +1908720x^2 -7455600x +

+ 9864000]:(x2-6x+10) =

(Observa la división al final)

= 1/zm.(-153720x + 986400)

Ahora M2 = 1/fact.M2 = 9722700/3802500 =

= 97227/38025 = (divido entre 3) = 32409

12675

N2 = 1/fact.N2 = 9808000/3802500 =

= 98080/38025 = 19616/12675 = 19616

12675


p(x)

q(x) = …. +

32409

12675.𝑥+

19616

12675

(𝑥2−6𝑥+10)2

Hago fact = fact.zm = fact , ya que zm = 1

El grado de p1(x) es uno, y teniendo en cuenta que q1(x) = 1,

hemos finalizado, obteniendo

M1 = 1/fact.(-153720) = -153720/3802500 =

= -15372/380250 = (divido entre 3) =

= 5124/126750 = (divido entre 3) = 1708/42250 =



224

= 1708

42250

N1 = 1/fact.986400 = 986400/3802500 =

= 9864/38025 = (divido entre 3) = 3288/12675 =

= (divido entre 3 ) = 1096/4225

Tomo N1 = 10960

42250

Resultado intermedio p(x)

q(x) = …. +

(1708

42250.x +

10960

42250)

𝑥2−6𝑥+10

Resultado final:

p(x)

q(x) =

−676

12675

(𝑥−1)2 +

7436

190125

(𝑥−1) +

(32409

12675.x +

19616

12675)

(𝑥2−6𝑥+10)2 + (

1708

42250.x +

10960

42250)

𝑥2−6𝑥+10

¡POR FIN, final del túnel!

NOTA: División (pendiente de realizar)

-153720x3 +1908720x

2 -7455600x +9864000 | x

2-6x+10

---------------

-153720x +986400

“ -922320x2 +1537200x

----------------------------

0 +986400x2 -5918400x

“ +5918400x -9864000

---------------------------------

0 0 0


225

7.3.- Método: Aplicando la derivación

Sea p(x)

q(x)

Caso de raíces reales simples

q(x) = (x-a).(x-b). …

Planteo como siempre

p(x)

q(x) = A/(x-a) +B/(x-b) + ….

p(x) = A.(x-b)…. + B.(x-a).(x-c)….. + …

y procedemos como es sabido.

Caso de raíces reales simples y múltiples

q(x) = (x-a).(x-b)2.(x-c)….

p(x)

q(x) = A/(x-a) +B2/(x-b)

2 +B1/(x-b) +C/(x-c) +…

p(x) = A.(x-b)2.(x-c)… + B2.(x-a).(x-c)… +

+ B1.(x-a).(x-b).(x-c)…. + …

Para obtener A: p(a) = A.(a-b)2.(a-c)…

A = p(a)/[(a-b)2.(a-c)… ]

Por derivación

q’(x) = (x-b)2.(x-c)… + (x-a).2(x-b).(x-c)… + …



226

q’(a) = (a-b)2.(a-c)…

y podemos hacer A = p(a)/q’(a)

Para obtener B2: p(b) = B2.(b-a).(b-c)….

B2 = p(b)/[(b-a).(b-c)… ]

Por derivación

q’(x) = (x-b)2.(x-c)… + (x-a).2(x-b).(x-c)… + …

q’(b) = 0, y no me vale

Derivada segunda

q’’(x) = 2.(x-b).(x-c)… + 2(x-b)(x-c)… + ….

+ (x-b)2.(x-d)… + (x-a).2.(x-c)…. + ….

q’’(b) = 0 + 0 + …. + (b-a).2.(b-c)… + 0 + ….

= 2.(b-a).(b-c)…. ,

Entonces B2 = 2.p(b)/q’’(b)

Para obtener el valor B1 tendremos que proceder como siempre.

Caso de soluciones reales y complejas, todas simples:

Sea p(x)

q(x) , donde

q(x) = (x-c1).(x-c2)… (x-ck).(x-(a+bi)).(x-(a-bi)) =


227

= (x-c1).(x-c2)… (x-ck).(x2 -2ax +(a

2+b

2))

p(x)

q(x) = A1/(x-c1) +A2/(x-c2) +… + Ak/(x-ck) +

+ (M.x +N)/(x2 -2ax +(a

2+b

2))

Multiplicando por q(x)

p(x) = A1(x-c2)….(x-ck).(x2 -2ax +(a

2+b

2)) +

+ A2(x-c1).(x-c3)….(x-ck).(x2 -2ax +(a

2+b

2)) + … +

+ Ai.(x-c1)… excluido (x-ci)….(x2 -2ax +(a

2+b

2)) + …

+ Ak(x-c1)(x-c2)+ excluido (x-ck).(x2 -2ax +

+ (a2+b

2)) + (M.x +N).(x-c1)…(x-ck)

excluido (x2 -2ax +(a

2+b

2))

p(ci) = Ai.(ci-c1).(ci-c2)…

excluido (ci-ci)…(ci-ck)

.(ci2 -2aci +(a

2+b

2))

de donde

Ai = p(ci)/[(ci-c1).(ci-c2)… .

excluido (ci- ci)…

.(ci-ck).(ci2 -2aci +(a

2+b

2))]

Por otro lado, si derivamos q(x)

q(x) = (x-c1).(x-c2)… (x-ck).(x-(a+bi)).(x-(a-bi)) =

= (x-c1).(x-c2)… (x-ck).(x2 -2ax +(a

2+b

2))



228

q’(x) = (x-c2).(x-c3)…(x2 -2ax +(a

2+b

2)) +

+(x-c1).(x-c3)….(x2 -2ax +(a

2+b

2)) + …. (x-c1).

.(x-c2)…(x-ck-1).(x2 -2ax +(a

2+b

2)) + (x-c1).

.(x-c2)…(x-ck).(2x-2a)

Cuando x = ci tengo:

q’(ci) = (ci-c1).(ci-c2)…

excluido (ci-ci)

….(ci-ck).(ci2 -2ª.ci +(a

2+b

2))

y observamos que Ai = p(ci)/q’(ci)

Cuando x = z: (z = a+bi)

q’(z) = (z-c1).(z-c2)…..(z-ck).(2z -2a)

de donde (z-c1).(z-c2)…..(z-ck) = q’(z)/(2z-2a)

y análogamente

(z’-c1).(z’-c2)…..(z’-ck) = q’(z’)/(2z’-2a)

p(z) = (M.z +N).(z-c1).(z-c2)…..(z-ck) =

= (M.z +N).q’(z)/(2z-2a)

p(z’) = (M.z’ +N).(z’-c1).(z’-c2)…..(z’-ck) =

= (M.z’ +N).q’(z’)/(2z’-2a)


229

Tengo el sistema

{𝑝(𝑧). (2𝑧 − 2𝑎) = 𝑞′(𝑧). 𝑧. 𝑀 + 𝑞′(𝑧). 𝑁

𝑝(𝑧′). (2𝑧′ − 2𝑎) = 𝑞′(𝑧′). 𝑧′. 𝑀 + 𝑞′(𝑧′). 𝑁

cuyas incógnitas son M, N

$$$$oOo$$$$



230


231

APÉNDICE 1:

Cambio de variable y cálculo de los coeficientes de la ecuación

reducida en las ecuaciones de tercer y cuarto grado

ECUACIÓN DE GRADO 3

p(x) = ax3+bx

2+cx+d, Cambio: x = x’+ u

Cálculos:

x2 = x’

2+2ux’+u

2,

x3 = (x’+u).( x’

2+2ux’+u

2) =

= x’3 + (2u+u)x’

2 +(u

2+2u

2)x’ + u

3 ,

p(x) = ax’3 +[3ua+b]x’

2 +[3u

2a+2ub+c]x’ +

+ [au3 +bu

2 +cu +d],

Hacemos que el coeficiente de x’2 sea cero:

3ua +b = 0 -> u = -b/3a

y llevando a (1) esta expresión de u, los coeficientes quedan así:

p = 3𝑎𝑏2

9𝑎2 −2𝑏2

3𝑎+ 𝑐 =

𝑏2−2𝑏2+3𝑎𝑐

3𝑎

q = −𝑎𝑏3

27𝑎3 +𝑏3

9𝑎2 −𝑏𝑐

3𝑎+ 𝑑 =

−𝑏3+3𝑏3−9𝑎𝑏𝑐+27𝑎2𝑑

27𝑎2

Divido por ‘a’ para que el primer coeficiente sea uno, y la

expresamos de la forma

x’3 +p.x’ + q = 0, donde



232

p = 3𝑎𝑐−𝑏2

3𝑎2 , q = 2𝑏3−9𝑎𝑏𝑐 + 27𝑎2𝑑

27𝑎3

(2)

ECUACIÓN DE GRADO 4

p(x) = ax4+bx

3+cx

2+dx+e, Cambio: x = x’+ u

x2 = x’

2+2ux’+u

2,

x3 = (x’+u).( x’

2+2ux’+u

2) =

= x’3 + (2u+u)x’

2 +(u

2+2u

2)x’ + u

3 ,

x4 = (x’+u).[ x’

3 + (2u+u)x’

2 +(u

2+2u

2)x’ + u

3]=

= x’4 +[3u+u]x’

3 +[3u

2+3u

2]x’

2 +[u

3+3u

3]x’+u

4]=

= x’4 +4u.x’

3 +6u

2.x’

2 +4u

3.x’ +u

4 ,

p(x) = ax’4 +[4ua+b]x’

3 +[6u

2a+3ub+c]x’

2 +

+ [4u3a+3u

2b+2uc+d]x’ +[u

4a+u

3b+u

2c+ud+e],

(1)

Hacemos que el coeficiente de x’3 sea cero:

4ua +b = 0 -> u = -b/4a

Los coeficientes de (1) quedan ahora así:

p = 6𝑎𝑏2

16𝑎2 −3𝑏2

4𝑎+ 𝑐 =

6𝑎𝑏2−12𝑎𝑏2+16𝑎2𝑐

16𝑎2

q = −4𝑎𝑏3

64𝑎3 +3𝑏3

16𝑎2 −2𝑏𝑐

4𝑎+ 𝑑 =

−4𝑎𝑏3+3𝑎𝑏3−8𝑎2𝑏𝑐+16𝑎3𝑑

16𝑎3


233

r = 𝑎𝑏4

256𝑎4 − 𝑏4

64𝑎3 + 𝑏2𝑐

16𝑎2 − 𝑏𝑑

4𝑎+ 𝑒 =

= −3𝑎𝑏4+16𝑎2𝑏2𝑐−64𝑎3𝑏𝑑+256𝑎4𝑒

256𝑎4

Dividimos por ‘a’ para que el primer coeficiente sea uno, y la

expresamos de la forma

x’4 +p.x’

2 + qx’ + r = 0, donde

p = 1

16.𝑎2 . [ 16𝑎𝑐 − 6𝑏2] ,

q = 1

64.𝑎3 . [−32𝑎𝑏𝑐 + 64𝑎2𝑑 + 8𝑏3],

r = 1

256.𝑎4 . [256𝑎3𝑒 − 64𝑎2𝑏𝑑 + 16𝑎𝑏2𝑐 − 3𝑏4]

Ejemplos:

De Reducidas y Resolventes:

1.- x3 -5x

2 +8x -10 = 0 ->

Resolvente de 2º grado: x2 -160x + 1 = 0

2.- x4 -2x

2 +5x -20 = 0 ->

Reducida: x4 -2x

2 +5x -20 = 0

Resolvente cúbica:

x3 -16x

2 +1344x -1600 = 0



234

Resolvente de 2º grado de esta cúbica:

x2 +142144x -53838872576 = 0

-----------

NOTA:

Notas Sobre la Ecuación general de grado > 4 sin soluciones

racionales.

Los estudiosos sobre este tema, en principio pretendieron

conseguir de forma análoga a lo conseguido para grado 3 y grado

4, para resolver la de grado 5 mediante radicales.

Pero después de infructuosos intentos en los siglos XVIII y XIX

se llegó a la conclusión de que en el caso general de una ecuación

de grado > 4 no es posible su resolución mediante radicales.

Según nuestro prestigioso Matemático Julio Rey Pastor

(Lecciones de Álgebra, Madrid 1960) llegaron a esta conclusión,

por un lado el matemático Ruffini a finales del siglo XVIII, y por

otro el matemático Abel en el inicio del XIX.

No obstante lo anterior, sí que algunos tipos de las referidas

ecuaciones son resolubles mediante radicales.

Fue el joven (y malogrado) Evaristo Galois, después de reconocer

y aceptar el resultado al que habían llegado Ruffini y Abel, y

acuciado por esta contrariedad, quien realizó un estudio formal y

completo en este tema estableciendo las condiciones que ha de

cumplir un tipo concreto de ecuación para que sea posible su

resolución mediante radicales. Aquí entra de lleno la llamada, en

su honor, Teoría de grupos de Galois.


235

Según los resultados de esta Teoría, cada ecuación queda

caracterizada por su ‘grupo de Galois’. Véase en la bibliografía el

texto recomendado.

Según expone Rey Pastor, también Hilbert estudió este aspecto

de las ecuaciones (finales del siglo XIX), aceptando la conclusión

a la que llegaron Ruffini y Abel.

$$$$oOo$$$$



236


237

APÉNDICE 2:

Sobre las llamadas ‘sumas simples’, y la relación entre los

coeficientes de P(x) y sus raíces

Definición:

Función simétrica respecto de los valores x1, x2, x3, … , xn, son

aquellas funciones f(x1,x2,…,xn) para las que no cambia su valor

cuando realizamos una permutación entre los valores xi.

Sumas simétricas de las raíces de P(x)

Si x1 ,x2, … , xn son las raíces (soluciones) de P(x) = 0, las

siguientes expresiones son simétircas respecto de ellas:

s0 = x10 +x2

0 + … +xn

0

s1 = x1 + x2 + … + xn

s2 = x12 +x2

2 + … +xn

2

……………………………

sk = x1k +x2

k + … +xn

k

…………………………

Son las más simples en las que intervienen exclusivamente las

raíces de P(x), y esta es la razón por las que también se las llama

‘Sumas simples’ de x1, x2, … , xn. Si hacemos intervenir el

producto entre las xi, tal como xi.xj, obtenemos otras expresiones

también simétricas más complicadas, y que no trataremos aquí.



238

Obtención de las Sumas simples sk

Lo que sigue lo llamamos ‘Regla de Girard’ (estudiada en el siglo

XVII).

Sea P(x) = anxn + … +a1x +a0, y su derivada P’(x). Expresamos

en factores

P(x) = an.(x-x1).(x-x2). … .(x-xn),

P’(x) = an.∑ ∏ (𝑥 − 𝑥𝑖)𝑖≠𝑘𝑘=1,…,𝑛

𝑃′(𝑥)

𝑃(𝑥) =

1

𝑥−𝑥1+

1

𝑥−𝑥2+ ⋯ +

1

𝑥−𝑥𝑛 ,

Hacemos la división de cada una de estas fracciones obteniendo

una serie, como sigue

1 | x –x1

-----------------------

1/x +x1/x2 +x1

2/x

3 + … +

𝑥1𝑘−1

𝑥𝑘 + …

-1 +x1/x

-x1/x +x12/x

2

-x12/x

2 +x1

3/x

3

…………

Del mismo modo con el resto de las fracciones 1

𝑥−𝑥𝑗 .

Supongamos que ya tenemos las series

1

𝑥−𝑥1=

1

x+

x1

x2 +x12

x3 + … +𝑥1𝑘−1

𝑥𝑘 + …

1

𝑥−𝑥2=

1

x+

x2

x2 +x22

x3 + … +𝑥2𝑘−1

𝑥𝑘 + …


239

………………………

1

𝑥−𝑥𝑛=

1

x+

xn

x2 +x𝑛2

x3 + … +𝑥𝑛𝑘−1

𝑥𝑘 + …

Sumando por columnas obtenemos

𝑃′(𝑥)

𝑃(𝑥)=

𝑠0

𝑥 +

𝑠1

𝑥2 +𝑠2

𝑥3 + ⋯ +𝑠𝑘

𝑥𝑘 + ⋯

de donde deducimos que las sumas simples sk son los coeficientes

de 1/x, 1/x2, …, 1/x

k, … , en la división P’(x):P(x).

Ejemplo: P(x) = x3 -5x

2 +4x -3,

P’(x) = 3x2 -10x +4

3x2 -10x +4 | x

3 -5x

2 +4x -3

------------------

3/x +5/x2 +17/x

3 +74/x

4 …

-3x2 +15x -12 +9/x

-----------------

5x -8 + 9/x

-5x +25 -20/x +15/x2

-------------------

+17 -11/x +15/x2

-17 +85/x -68/x2 +51/x

3

-----------------------

+74/x -53/x2 +51/x

3

………………………

Obtenemos: s0 = 3, s1 = 5, s2 = 17, s3 = 74, …



240

Ejemplo: P(x) = x3 +5x -4, P’(x) = 3x

2 +5

3x2 +5 | x

3 +5x -4

----------------

3/x -10/x3 +12/x

4 +50/x

5 …

-3x2 -15 +12/x

--------------

-10 +12/x

+10 +50/x2 -40/x

3

------------------

+12/x +50/x2 -40/x

3

-12/x -60/x3 +48/x

4

---------------------------

+50/x2 -100/x

3 +48/x

4

-50/x2 -250/x

4 +200/x

5

---------------------------

-100/x3 -202/x

4+200/x

5

……………

Obtengo: s0 = 3, s1 = 0, s2 = -10, s3 = 12,

s4 = 50, ….

Relación entre las sumas simples sk y los coeficientes de P(x)

Por comodidad cambio la notación al expresar P(x), quedando

como sigue.

Sea P(x) = a0xn +a1x

n-1 + … + an-2x

2 +an-1x + an

P’(x) = n.a0.xn-1

+(n-1).a1.xn-2

+ … +2.an-2.x +an-1

(1)


241

Recordemos que 𝑃′(𝑥)

𝑃(𝑥) =

1

𝑥−𝑥1+

1

𝑥−𝑥2+ ⋯ +

1

𝑥−𝑥𝑛 , y de

aquí

P’(x) = 𝑃(𝑥)

𝑥−𝑥1+

𝑃(𝑥)

𝑥−𝑥2+ ⋯ +

𝑃(𝑥)

𝑥−𝑥𝑛

Si ‘a’ es una de las raíces xi y hago la división

P(x) : (x-a) tengo, aplicando Ruffini:

a0 a1 a2 …… an-1 an

a | a.a0 a.(a1+a.a0)

-------------------------------------------

a0 a1+a.a0 a2+a.(a1+a.a0) …

Haciendo ‘a’ igual a cada una de las raíces xi, tengo

𝑃(𝑥)

𝑥−𝑥1 = a0x

n-1 +(a1+x1.a0)x

n-2 +(a2+x1.a1+x1

2.a0)x

n-3

+ … 𝑃(𝑥)

𝑥−𝑥2 = a0x

n-1 +(a1+x2.a0)x

n-2 +(a2+x2.a1+x2

2.a0)x

n-3

+ … 𝑃(𝑥)

𝑥−𝑥3 = a0x

n-1 +(a1+x3.a0)x

n-2 +(a2+x3.a1+x3

2.a0)x

n-3

+ …

……………………………………………………………

𝑃(𝑥)

𝑥−𝑥𝑛 = a0x

n-1 +(a1+xn.a0)x

n-2 +(a2+xn.a1+xn

2.a0)x

n-3

+ …

Sumando por columnas obtengo

P’(x) = 𝑃(𝑥)

𝑥−𝑥1+

𝑃(𝑥)

𝑥−𝑥2+ ⋯ +

𝑃(𝑥)

𝑥−𝑥𝑛 = n.a0x

n-1 +



242

+ (n.a1+a0.s1)xn-2

+ (n.a2+a1.s1+a0.s2)xn-3

+ …

Igualando coeficientes con la expresión (1) tenemos

n.a0 = n.a0

(n-1).a1 = n.a1+a0.s1

(n-2).a2 = n.a2 +a1.s1 +a0.s2)

……………………………………

Reescribiendo las igualdades anteriores

-a1 = a0.s1

-2.a2 = a0.s2 + a1.s1

-3.a3 = a0.s3 + a1.s2 + a2.s1

-4.a4 = a0.s4 + a1.s3 + a2.s2 + a3.s1

…………………………………

-k.ak = a0.sk + a1.sk-1 + … + ak-2.s2 +ak-1s1

donde hemos de entender que ak = 0 para k > n.

Podemos despejar los valores sj (siempre s0 = n)

s1 = −𝑎1

𝑎0

s2 = −(2.𝑎2+𝑎1.𝑠1)

𝑎0

s3 = −(3.𝑎3+𝑎1.𝑠2+𝑎2.𝑠1)

𝑎0

s4 = −(4.𝑎4+𝑎1.𝑠3+𝑎2.𝑠2+𝑎3.𝑠1)

𝑎0

………………………

sk = −( 𝑘.𝑎𝑘+a1.Sk−1 + … + ak−2.S2 + ak−1.S1)

𝑎0

…………………………


243

ANEXO: ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Def.: Llamamos ecuación diofántica a una ecuación de la forma

a.x + b.y = c, donde los coeficientes son enteros, y para la cual

deseamos encontrar las soluciones enteras.

Afirmamos:

La ecuación a.x + b.y = c, con coeficientes enteros, admite

soluciones enteras precisamente si el máximo común divisor d =

mcd(a,b) divide también a c.

Dem.: Sea d = mcd(a,b) y supongamos que d es divisor de c.

Entonces

a = d.a’, b = d.b’ , c = d.c’

y la ecuación queda así:

a’.x + b’.y = c’ , donde a’, b’, c’ son irreducibles.

Volvemos a escribirla de la forma a.x + b.y = c, donde a, b, c

son irreducibles, por lo cual mcd(a, b) = 1

Por el Lema de Bezout (Véase más abajo) existen valores ∝, 𝛽

tales que

a. ∝ + b. 𝛽 = d, donde d = mcd(a,b)

y entonces, con la notación anterior: a’. ∝ + b’. 𝛽 = 1

Multiplicando por c tengo c = (a’.c). ∝ + (b’. 𝑐). 𝛽 =

= a.(c’.∝) + b.(𝑐′. 𝛽) , y por tanto una solución de a.x + b.y =

c es

x = c’.∝, y = c’.𝛽, o bien {𝑥 =

c

d. ∝

𝑦 =𝑐

𝑑. 𝛽

Será suficiente obtener los valores ∝, 𝛽 dados por el Lema de

Bezout.



244

Recíproco: Supongamos que xo, yo es una solución, valores

enteros. Entonces

a.xo + b.yo = c . Si d = mcd(a,b), tenemos (a.xo + b.yo)

𝑑=

𝑐

𝑑 , y por tanto a’.xo + b’.yo =

𝑐

𝑑 . Puesto que el miembro

izquierda es un valor entero también ha de serlo 𝑐

𝑑 , es decir d

divide al término independiente c.

Solución general de la Ecuación Diofántica:

Supongamos que (xo , yo ) es una solución particular de a.x + b.y

= c, valores enteros. Veremos que los siguientes valores también

son solución

{𝑥 = 𝑥𝑜 +

𝑏

d. t

𝑦 = 𝑦𝑜 − 𝑎

𝑑. 𝑡

, donde t recorre los entero (*)

En efecto: Tomando a’ = a/d, b’ = b/d, realizo

a.( 𝑥𝑜 + b′. t) + b.( 𝑦𝑜 − 𝑎′. 𝑡) = (a.𝑥𝑜 + 𝑏. 𝑦𝑜) + t.(- a’.b + b’.a) =

(por ser (x0, y0) una solución )

= c + t.(- a’.b + b’.a) = c + t. (−𝑎

𝑑. 𝑏 +

𝑏

𝑑. 𝑎) = c +

𝑡

𝑑 . (−𝑎. 𝑏 +

𝑏. 𝑎) =

= c + 0 = c

Conclusión: Conocida una solución particular (por ejemplo la

obtenida aplicando Bezout) , otra solución cualquiera es de la

forma (*)

---------------

Lema de Bezout:

Sean a, b enteros con a > b, y sea d = mcd(a, b).


245

Afirmamos que existen valores enteros ∝, 𝛽 que satisfacen la

igualdad

𝑎. ∝ + b. 𝛽 = d (1)

Haciendo divisiones sucesivas tenemos lo siguiente (Es el

llamado algoritmo de Euclides)




Llegará un momento en el que rk = 0. Supongamos es el

siguiente

r2 = r3.q4 + r4 , r4 = 0 (r3 es último resto no

nulo)

Llegado a este punto consideramos el último resto no nulo, rk-1,

por ejemplo r3.

Despejo r3 y avanzo de abajo hacia arriba.

r3 = r1 – r2.q3 = r1 – q3.(b – r1.q2) =

= (a – b.q1) – q3.(b – q2.(a – b.q1) ) =

= (a + q3.q2.a) + (- b.q1 – q3.b – q3.q2.q1.b) =

= a.(1 + q2.q3) + b.(- q1 – q3 - q3.q2.q1)

Haciendo ∝ = 1 + q2.q3, 𝛽 = - q1 - q3 - q3.q2.q1 , tengo

r3 = a. ∝ + b. 𝛽 (2)

Afirmamos: El valor r3, último resto no nulo, es divisor de a y

de b.




r2 = r3.q4

Subiendo al tiempo que sustituimos ….



246

r1 = r3.(q4.q3) + r3 = r3.(1 + q3.q4)

b = r3.(1 + q3.q4) .q2 + r3.q4 = r3.[(1 + q3.q4).q2 + q4] ,

y por tanto r3 es divisor de b.

a = r3.[(1 + q3.q4).q2 + q4].q1 + r3.(1 + q3.q4) =

= r3.[ (1 + q3.q4).q2 + q4].q1 + r3.(1 + q3.q4) =

= r3. [ …………………………….] , y por tanto r3 es

divisor de a.

Por lo tanto r3 divide a d = mcd(a, b)

Por otro lado, la igualdad (2) podemos expresarla así

r3 = a. ∝ + b. 𝛽 = d. (a’. ∝ + b’. 𝛽), donde a’ = a/d,

b’ = b/d

donde vemos que d divide a r3. Por tanto d = r3.

Conclusión: Al aplicar el algoritmo de Euclides el último resto

no nulo nos da el MCD(a, b).

------------

Cuestiones de interés:

1.- Si d divide a a y a b, entonces d divide a (a + b)

En efecto, a = a’.d, b = b’.d -- > a + b = d. (a’ + b’) -- > d

divide a (a + b).

2.- Si tengo a = b.q + r, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r)

En efecto, sea d = mcd(a, b), entonces a = a’.d, b = b’.d -- >

d.a’ = (d.b’).q + r , d.(a’ – b’.q) = r, y como el valor

(a’ – b’.q) es entero, necesariamente de es divisor de r, y por

tanto d divide a mcd(b, r). Sea c = mcd(b, r) -- > b = b’.c, r =

r’.c -- > a = c.(b’.q + r’) -- > c divide a a, y por tanto c

divide a d = mcd(a, b) . Por tanto c = d.


247

3.- Si m divide al producto a.b y es primo con a, entonces divide

a b.

En efecto: Si m divide al producto a.b, entonces, tomando la

descomposición factorial de m, todos los factores de m lo son de

a.b. Pero m es primo con a, ningún factor de m está en a, por lo

cual todos los factores de m están en b.

4.- Si d2 divide a (a + b)

2 , entonces d divide a (a + b)

En efecto, 𝑚 =(𝑎+𝑏)2

𝑑2 = (𝑎+𝑏)

𝑑 .

(𝑎+𝑏)

𝑑= 𝑘. 𝑘 = 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 , por lo

tanto k = (𝑎+𝑏)

𝑑 es entero, y d es divisor de (a + b).

5.- Se cumple mcd(a2, b

2, a.b) = (mcd(a, b))

2

Si d = mcd(a, b) entonces d2 divide a a

2, b

2 , a.b, y por tanto

d2 divide a su D = mcd(a

2, b

2, a.b)

Razonamiento: Sea d = mcd(a,b). Sabemos que d = “producto

de los factores primos comunes de a y b”. Entonces d2 =

“producto del cuadrado de los factores primos comunes de a y b”,

mientras que, por otro lado, mcd(a2, b

2) = “producto de los

factores primos comunes de a2 y b

2” = “producto del cuadrado

de los factores primos comunes de a y b” = d2.

Por tanto: mcd(a2, b

2) = [mcd(a, b)]

2

Además, si c es un factor común de a y b, entonces c2 es factor

de a.b, y por tanto c2 figura en mcd(a

2, b

2, a.b), y podemos

concluir que

mcd(a2, b

2, a.b) = mcd(a

2, b

2). Final: mcd(a

2, b

2, a.b) = [mcd(a,

b)]2

--------------



248


249

BIBLIOGRAFÍA

Elementos de Matemáticas

S.A.E.T.A. (Sociedad Anónima Española de Traductores y

Autores)

Julio Rey Pastor y A. de Castro

Madrid 1967

Lecciones de Álgebra,

5ª Edición, Madrid 1960

Julio Rey Pastor

Análisis Matemático, Volúmenes I

Octava Edición 1969

Autores: Julio Rey Pastor

Pedro Pi Calleja

César A. Castro

Editorial KAPELUSZ, Buenos Aires (Argentina)

Cálculo Numérico Fundamental

Autor: B.P. Demidovich

I.A. Maron

Paraninfo S.A., Segunda Edición, año: 1985, Madrid

-Introducción a la Teoría Analítica de Números

(Introduction to Analytic Number Theory)

Autor: Tom M. Apostol

Traducción: José Plá Carrera

Editorial Reverté, S.A., Barcelona, año: 1980

Álgebra

Autor: Serge Lang (Universidad de Colombia)

Traducción: Milagros Ancochea

Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1971



250

Álgebra Moderna

Autor: A. Lentin y J. Rivaud

Traducción: Emilio Motilva Ylarri

Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1965

Lecciones de Álgebra Moderna

Autor: P. Dubreil, M.L. Dubreil-Jacotin

Traducción: R. Rodríguez Vidal


Álgebra Superior (Higher Algebra)

Autor: H.S. Hall, M. A., y S.R. Knight, B.A.

Traducción: Rafael García Díaz

Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana, México,

Reimpresión de 1969

Teoría Algebraica de Números

Autor: Pierre Samuel

Traducción: Manuel Udina Abelló y Mª José Castello

Esnal

Ediciones Omega, S.A., Barcelona, Colección Métodos, año:

1972

Elementos de álgebra abstracta

Autor: A. Clark

Traducción: A. López-Lago y J. Margaref Roig

Editorial Alhambra, S.A., Madrid 1974

Álgebra Moderna

Autor: I.N. Herstein

Traducción: Federico Velasco Coba

Editorial F. Trillas, S.A., México 1970

Curso de Álgebra Moderna


251

Autor: Peter Hilton y Yel-Chiang Wu

Editorial Reveté, S.A., Barcelona, año: 1977

Álgebra Binaria de Boole, y sus Aplicaciones a la Informática

Autor: Raoul de Palma

Traducción: Rafael Romero Mercadal

Editorial: Marcombo, S.A. de Boixareu Editores, Barcelona,

año: 1973

Introducción al Álgebra Conmutativa

(Introduction to Conmutative Algebra)

Autor: M.F. Atiyah y I.G. Macdonald

Traducción: Griselda Pascual Xufré


Teoría de Galois

Autor: Emil Artin

Traducción: R. Rodríguez Vidal

Editorail Vicens-vives, año: 1970

(Colección de Matemáticas “Nuevo Límite)

Álgebra Lineal

Autor: Daniel Hernández Ruipérez

Ediciones Universidad de Salamanca, año: 1990

Geometría Vectorial

Autor: Norberto Cuesta Dutari

Editorial Alhambra, S.A., Madrid 1968

Programación Lineal

Autor: Laureano F. Escudro

Ediciones Deusto, S.A. Año: 1976



252


253

NOTACIÓN y Nomenclatura. Valores:

Símbolo Significado

* Producto

. Producto

^ Potencia

sqr(a) Raíz cuadrada

rad(a) Raíz cuadrada

rad(a;n) Radical con índice n

rad(a;n/m) Radical con índice n/m

∈ significa ‘pertenece a’

∞ infinito

exp(x) Exponencial: exp(x) = ex

exp(x;a) Exponencial de base a>0:

exp(x;a) = ax

ln(x) Logaritmo neperiano:

y = ln(x) <--> x = ey

log(x;a) Logaritmo base a>0:

y = log(x;a) <--> x = ay

≅ aproximado

∆ incremento

< menor que …, > mayor que …, Ej: x < y, x > y

≤ menor que …, ≥ mayor que …, Ej: x ≤ y, x ≥ y



254

Valores:

𝜋 = 3,1415927... (número pi, en radianes)

pi = 3,1415927... (número pi, en radianes)

e = 2,7182818... (número e, base de ln(x))

sen(0) = 0 cos(0) = 1

sen(pi/6) = 1

2 cos(pi/6) =

√3

2

sen(pi/3) = √3

2 cos(pi/3) =

1

2

sen(pi/2) = 1, cos(pi/2) = 0

Documents

A l e j o G o n z á l e z C r i a d o...Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica 9 Tema 4 Ecuaciones No algebraicas. Inecuaciones 109 4.1.- Ecuaciones con Radicales. Resolución