Álgebra Lineal - Examen Final - 30/11/09

1. Sea f: ℜ 4 -> ℜ 5 la transformación lineal dada por: f(x,y,z,t) = (x + y + 2z + t , y - z , x + 2y + z + t , 2x + 3y + 3z + 2t , x + 3y + t) Encontrar un sistema de ecuaciones que determine la imagen de f. 2. Determinar todos los valores de λ∈ℜ para los cuales la matriz A tenga rango menor que 3, siendo:

A =

6 1 33 0 2

2 1 2

λλ

λ

− − + − + −

3. Hallar, si existe, una base deℜ 4 tal que la matriz asociada a la transformación lineal: f(x,y,z,t) = (x+ y + z + t , x + y + z + t , 2x + 2y + 3z + 2t , - 5x - 5y - 6z - 5t) sea diagonal. 4. Hallar la distancia entre las rectas l y m de ℜ 5, sabiendo que l pasa por los puntos (2,1,-1,1,1) y (1,2,-1,1,1), y que m pasa por los puntos (1,1,-1,2,1) y (1,1,-1,1,2). 5. Sea A∈ℜ nxn una matriz antisimétrica. Probar que A - I es inversible (I es la matriz identidad). Solución 1. Para obtener generadores de la imagen, f(1,0,0,0) = (1,0,1,2,1) f(0,1,0,0) = (1,1,2,3,3) f(0,0,1,0) = (2,-1,1,3,0) f(0,0,0,1) = (1,0,1,2,1) Escalonamos → La imagen queda determinada por el siguiente sistema de ecuaciones:

1 1 2 10 1 1 01 2 1 12 3 3 21 3 0 11 1 2 10 1 1 00 1 1 00 1 1 0 20 2 2 01 1 2 10 1 1 00 0 0 00 0 0 0 20 0 0 0 2

xyztuxy

z xt xu x

xy

z x yt x yu x y

−

−− −− −− −

−− −− −− −

F3 - F1

F4 - 2F1

F5 - F1

F3 - F2

F4 - F2

F5 - 2F2

Ecuaciones de

la imagen

z - x - y = 0

z - 2x - y = 0

z - x - 2y = 0

2. Para que Rg(A) < 3, | A | = 0. Luego,

2

3 2

3 2 2

4 ( 3)( 3)( 1) 12( 1) 2( 3)

4 ( 9)( 1) 12 12 2 6

4 9 9 12 12 2 6

1 ( 1)( 1)

A λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ

= + − + + + + − + =

= + − + + + − − =

= + + − − + + − − =

= + + + = + +

De este resultamos obtenemos que el único valor de λ∈ℜ para el cual Rg(A) < 3, es 1λ = − . 3. Calculamos la matriz asociada a la transformación

1 1 1 11 1 1 12 2 3 25 5 6 5

A

= − − − −

Y luego el polinomio característico.

1 1 1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1| |

2 2 3 2 2 2 3 2 2 4 3 25 5 6 5 5 5 6 5 5 1 06 5

x x x xx x x

xI Ax x x

x x x

− − − − −− − − − − − − − − − − −

− = = =− − − − − − − − − − − −

+ + +

2 1 1 2 1 0 2 1 04 3 2 4 3 1 6 3 0

10 6 5 10 6 1 10 6 1

x x xx x x x x x x

x x x

− − − − − − −= − − − = − − − + = + =

+ − −

2

2 2

2 1( 1) ( 1)[( 2)( 3) 6] ( 1)( 2 3 6 6)

6 3

( 1)( ) ( 1)( 1)

xx x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

− −= − = − − + + = − − + − + =

+

− + = − +

Obtenemos que los autovalores son

F1-F2 C2+C1

C3-C2 F2+F1

0 con multiplicidad 2

1 con multiplicidad 1

-1 con multiplicidad 1

Y calculamos los autovectores para verificar que la transformación sea diagonalizable, y en caso de serlo, hallar su base. Para x = 0

1 1 1 1 01 1 1 1 02 2 3 2 0

5 5 6 5 01 1 1 1 00 0 0 0 00 0 1 0 00 0 1 0 01 1 0 1 00 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0

− − − −− − − −− − − −

Para x = 1 0 1 1 1 01 0 1 1 02 2 2 2 0

5 5 6 6 01 1 1 1 00 1 1 1 01 0 1 1 05 5 6 6 01 0 0 0 00 1 1 1 00 0 1 1 05 5 6 6 01 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 1 00 0 0 0 0

− − −− − −− − − −

-F1

F2 + F1

F3 + 2F1

F4 - 5F1

F1 - F3

F4 - F3

x + y+ t = 0

z = 0

0

( , , , ) ( , ,0, )( 1,1,0,0) ( 1,0,0,1)

( 1,1,0,0), ( 1,0,0,1)o

x y tz

x y z t y t y ty t

S

= − −=

= − − == − + − =

= − −

-F3 / 2

-F1

-F2

F1 - F2

F3 - F1

F2 - F3

F4 - 5F1 - 5F2 - 6F3

x = 0

y = 0

z + t = 0

1

00

( , , , ) (0,0, , ) (0,0, 1,1)(0,0, 1,1)

xyz t

x y z t t t tS

=== −

= − = − =

= −

Para x = -1

2 1 1 1 01 2 1 1 02 2 4 2 0

5 5 6 4 02 1 1 1 01 2 1 1 02 2 4 2 00 0 0 0 01 0 1 0 00 1 1 0 01 1 2 1 00 0 0 0 01 0 1 0 00 1 1 0 00 0 4 1 00 0 0 0 0

11 0 0 0410 1 0 0410 0 1 04

0 0 0 0 0

− − − −− − − −− − − −

−−

−−

Como dim(S0) = multiplicidad del autovalor 0, dim(S-1) = multiplicidad del autovalor -1, dim(S1) = multiplicidad del autovalor 1, podemos decir que existe una base para la cual la transformación es diagonal, y esa base es:

1 1 1( 1,1,0,0), ( 1,0,0,1), (0,0, 1,1), ( , , ,1)4 4 4

− − − − − −

4. l = <(2,1,-1,1,1) - (1,2,-1,1,1)> + (1,2,-1,1,1) = <(1,-1,0,0,0)> + (1,2,-1,1,1) m = <(1,1,-1,2,1) - (1,1,-1,1,2)> + (1,1,-1,1,2) = <(0,0,0,1,-1)> + (1,1,-1,1,2) z = v1 – v2

B = S1 + S2

z = (1,2,-1,1,1) - (1,1,-1,1,2) = (0,1,0,0,-1) B = <(1,-1,0,0,0),(0,0,0,1,-1)>

S2 v2

S1 v1

w1 w2

-F1

-F2

-F3

F4 - F3 - F2 - F1

F1 - F3

F2 - F3

F3 / 2

F3 - F2 - F1

F1 + F3

F2 + F3

F3 / 4

x + 1/4t = 0

y + 1/4t = 0

z + 1/4t = 0

1

141414

1 1 1 1 1 1( , , , ) ( , , , ) ( , , ,1)4 4 4 4 4 4

1 1 1( , , ,1)4 4 4

x t

y t

z t

x y z t t t t t t

S

= −

= −

= −

= − − − = − − − =

= − − −

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 21 2

1 1 1 21 2

2 1 2 2

, , , 2 0 1, , , 0 2 1

1 1 2|| , , || 4( , ) 12 0, ,|| , || 40 2, ,

w w w w w zw w w w w z

w w zw w zd B zw w w ww ww w w w

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ − ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ − = = = = =

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

5. (A - I).x = 0 x≠ 0 Ax – x = 0 Ax = x t(Ax) = tx txtA = tx tx-Ax = txx txAx = -txx 0 = - ||x||2 Bueno.. aca está el final tal como yo lo resolví. (Los problemas de no tener scanner ni camara de fotos xD). Espero les sirva. Recuerden siempre copiar los finales y si los tienen resueltos tomense un rato. Nos sirve a todos. Saludos. Lau.