Embed Size (px)
Citation preview
A magyar matematika fejlődése
a XVII-XX. századbanMatematikatörténet c. kurzusra
Mondrák Vendel
számítástechnika-technika – [email protected]
Pécs, 2006.
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
Bevezetés
A matematika tudományának kialakulásával, változásaival, vagyis a matematika
történetével a tudománytörténet megfelelő ága, a matematikatörténet foglalkozik. Nem lehet
egy matematikával, annak történetével foglalkozó dolgozatot eredetmagyarázat nélkül hagyni.
A matematika szó a görög nyelvből származik, a μάθημα (máthema) szó jelentése „tudomány,
tudás”, a μαθηματικός (mathematikós) pedig azt jelenti, „tudásra vágyik”. Jelen dolgozatom a
„tudományok királynőjének” magyarországi kialakulásával, fejlődésével, nemzetközi
hatásaival foglalkozik – a teljesség igénye nélkül. Kiindulási alapnak Filep László „A
tudományok királynője” című műve szolgált.
Nemzetközi kitekintés
A görög civilizáció felemelkedésével a matematika óriási elméleti fejlődésen ment át
anélkül, hogy gyakorlati alkalmazásaitól elfordultak volna. A folyamat az elméleti
matematika kibontakozásával, a püthagoreusok számelméleti és Thalész geometriai
felfedezéseivel indult (Kr.e. VI. század), viszont az egyik legnagyobb görög matematikust,
Arkhimédészt az alkalmazott matematika legfontosabb korai alakjának tartjuk. A – mai szóval
– irracionális számok püthagoreusok általi felfedezése hatalmas lökést adott a geometriai
felfedezéseknek, s e folyamat végül Euklidész híres tankönyvéhez, az Elemekhez vezetett;
ugyanakkor a tiszta algebra fejlődését némileg visszavetette. A korszak (vagy annak vége)
fontos és híres, megoldhatatlannak bizonyult problémái a kockakettőzés és a
körnégyszögesítés, a korszak eredményei közt van még a kúpszeletek felfedezése.
A huszadik században több évezredes, évszázados probléma oldódott meg (nemcsak az
ókori kockakettőzés, körnégyszögesítés, és szögharmadolás, de pl. a Fermat-sejtés kérdése,
vagy a valószínűség fogalmának matematikai megalapozása is). A huszadik századi
matematika legfontosabb felfedezésének mégis a számítástechnika elméleti alapjainak
kialakulását tarthatjuk –ebben kulcsszerepe volt a magyar származású Neumann Jánosnak – s
ez egy új civilizációtípus, az információs társadalom kialakulásához vezetett.
A XV. század végéig három egyetemünk működött: Pécs, 1367-tól a XV. század végéig,
a második 1389-től Óbudán, a harmadik Pozsonyban 1467–1491-ig. Az egyetemeken két
2
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
neves matematikus is tanított. Burbach, és Regiomontanus, akik az egyetemek megszűnése
után elhagyták az országot.
Magyar matematika nyelv kialakulása, fejlődése
Szerzőnk a finnugor nyelveredetet forszírozza. Hozz rá példákat, magyarázatokat,
melyek ezt az elméletet támasztja alá. Az igazsághoz hozzátartozik, hogy a másik elméletet is
megemlíti (László Gyula kettős honfoglalás-elmélete), de nem szentel nagyobb figyelmet
neki. A sumér eredetre utaló szóegyezések, származtatásokat szépen felvezeti, de nem vonja
le azt a következtetést, hogy nyelvünk sumér eredetű lenne. Pedig ugyanannyi érv szól
mindkettő mellett és ellene. Sőt, talán a sumér eredet mellet még több is – melyet a szerző
csak átvételnek minősít. Vegyük például az egy és kettő számunk eredetét, melyek mutató
névmásokból alakulhattak ki (ez itt), vagy a férfi-nő ellentétpár megfeleltetése. De akár
nézhetjük a székely-magyar rovásírásunkat is, mely hasonlóságot mutat az ókorban, kis-
Ázsiában használt ékíráshoz.
Az első magyar matematikai disszertációk
A legrégibb magyarnyelvű számtankönyv a „Debreceni Aritmetika” 1577-ből való,
szerzője ismeretlen. Szöveges feladatai hű képet adnak a korabeli gazdasági viszonyokról.
Jelentősége még, hogy elindította a magyar matematikai műszavak megszületését.
1499-1743 között 15 olyan doktori értekezésről van tudomásunk, amelyek magyar
szerzőktől származnak. Ezek többsége természettudományi tárgyú – asztronómiai, filozófiai -
de nem matematikai témájú.
Az első magyar szerző által írt matematika könyv Magyarországi György Mesternek
1499-ben megjelent „Arithmeticae summa tripartita Magistri Georgii de Hungaria” című
tankönyve. Latin nyelven íródott, ismerteti az arab és indus nyelven való számolást, az
abakusz használatát, valamint tizenöt példát arányos osztásra, elsőfokú egyenletekre és
térfogatszámításra. A szabályokat nemcsak elsorolja, hanem ismerteti, magyarázza azokat. A
negatív számok tárgyalásánál érthetőbb és alaposabb a külföldi tankönyveknél.
3
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
Apáczai Csere János 1655-ben megjelent Enciklopédiájában sok, ma is használatos
szakkifejezést olvashatunk. Említésre méltó Király István „Dissertatio Philosophica De Studii
Mathematici Utilitate Ejusdemque Certitudie” disszertációja, mely második részében a
matematikának a gyakorlati életben játszott szerepéről ír.
A matematikai kutatások kezdetei hazánkban
A természettudományos gondolkodás elmélyülése
A XVIII. század folyamán „divattá vált” matematikáról szóló témákról beszélgetni, írni
Magyarországon.
A matematikaoktatásban a jezsuita (Nagyszombat 1558.) és protestáns iskolák
(Sárospatak 1531., Debrecen 1538.) mellett megjelentek a piarista intézmények. A jezsuita
rend elsődleges célja a katolicizmus erősítése volt a protestanizmussal szemben, így a 18.
század végéig nem is beszélhetünk a matematika magasabb színvonalú egyetemi oktatásáról.
A jezsuiták első tanterve, az 1599-ben életbe lépett Ratio Studiorm előírásai: „a filozófia
tanfolyam hallgatói, miután megismerték EUKLIDÉSZ geometriáját és a sík-trigonometria
elemibb tételeit, valamint még hallgassanak a szférikus trigonometriából, és – később – a
matematikai földrajzból. A baccalaureátusi vizsga filozófiai kérdései között aritmetikából,
algebrából vagy geometriából álló feladatot is találunk, de csak a 18. sz. elejétől.
A protestáns iskolákban a matematika tanítása „életszerűbb, gyakorlatibb” volt. Ennek
oka, hogy a protestáns iskolák diákjai a városi polgárság, a mezővárosok, ill. a szegényebb
nemesség azon rétegeiből kerültek ki, amelyek szellemi munkával próbáltak előretörni,
akinek jártasnak kellett lennie a mindennapi élet számtani problémáinak megoldásában.
A piaristák a jezsuitáknál hatékonyabbak voltak. A felvilágosodás eszméire érzékenyen
reagáltak, és oktatási rendszerüket a gyakorlati szükségletek határozták meg. Mária Terézia
által kibocsátott Ratio Educationis (1777) sokat változtatott az iskolák szerkezetén. „Finánczy
szerint a matematika oktatásától a bécsi udvar a Ratio rendelkezései útján a következőket
kívánta: A mezővárosokban az aritmetikát a háztartásra és a helyenként fellendülő iparra való
tekintettel kell tanítani, és pedig úgy, hogy a mindennapi élet gyakorlati szükségletei
szolgáltassák az alapot. A városi iskolákban a kereskedelem és a kézműipar köréből kell
választani a feladatokat. A grammatikai iskolákban ismertetni kell a pénznemeket, súlyokat és
a különféle mértékegységeket. Az akadémiákon főként a matematika azon részeit kell
4
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
figyelembe venni, amelyek mezőgazdaságtanban, a földméréstanban, a hidraulikában és az
építészetben használatosak.” Az 1777-ben Nagyszombatról Budára, majd 1784-ben Pestre
költöztetett egyetemen már három matematika tanszék működött:
1. Elemi tiszta és alkalmazott matézis,
2. Felsőbb matézis,
3. Alkalmazott felsőbb matézis – ez 1848-ban megszűnt, az előző kettő még ma is létezik.
Az egyetem tanárai között nem volt olyan, akinek önálló matematikai eredményei lettek
volna, mégis az intézmények működése során nőt a műszaki képzés színvonala.
A 18. század végén és a 19. század elején a hazai matematikafejlődés megtorpanni
látszott; ennek oka elsődlegesen az volt, hogy a matematikával foglalkozó könyvek latin,
vagy német nyelven íródtak és itthon kis létszámú réteghez szóltak. A műveltséggel
rendelkező értelmiségi és kereskedő réteg elenyésző kisebbséggel rendelkezett a növekvő
számú és hatalmú köznemességgel szemben, akik értettek ugyan latinul, de valójában
műveletlenek, elmaradottak voltak.
Kiemelkedőbb tankönyvek és táblázatok
A 18. század második felétől bőven találunk magyar, német, latin nyelven kiadott
matematikai tankönyveket.
Kerekgedei Makó Pál latin nyelvű munkái Európa több országában is használatosak
voltak. Első munkája a Compendiatia matheoseos institutio az algebra és geometria ma is
megkívánt középiskolai anyagát tárgyalja. Számos kiadást ért meg – módszeres, világos
gondolatfűzés, leleményes bizonyítások jellemezték. Egyenletek elméletével, a gyökök
tulajdonságaival, geometriai szerkesztések elméletével foglalkozott.
Legnevezetesebb munkája a differenciál- és integrálszámítás elemeit tárgyaló könyve, a
„Calculi differentialis et integralis institutio” (1768.) Önálló eredmények nem találhatók
benne. Sipos Pál kezdte el a trigonometrikus szögfüggvények 10-es alapú logaritmusait
tartalmazó táblázat összeállítását. E csonka táblázat nem vált ismertté, mégis a berlini
akadémia kiadta. A magyar szerzőktől származó táblázatok közül a legismertebb Csernák
Lászlónak a Hollandiában kiadott táblázata, a számok törzstényezős felbontásáról. A „Cibrum
Aritmeticum (1811) a „törzsszámokat az összetett számoktól elkülönítve tartalmazza,
gondosan elkülönítve a számoknak egytől kiinduló sorrendjében, egészen egymillió
5
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
húszezerig. A táblázatban szerepelnek a 2-vel, a 3-mal és 5-tel nem osztható számok
törzstényezői is, nemcsak néhány, hanem kivétel nélkül mind” 109.o
Hatvani István, tanári székfoglalójában a matematikai kultúra hazai elmaradottságára
mutatott rá, egyben úgy gondolta, hogy a matematika eredményei, következtetései nem
képezhetik vita tárgyát. Előtérbe helyezte a logikus gondolkodás szerepét. Említést érdemel
még az 1757-ben kiadott, Introductio c. filozófiai tárgyú könyvének egyik fejezete, a
valószínűségről szóló fejezet, melyben definiálja egy esemény bekövetkezésének
valószínűségét, annak komplementerét, valamint a vagylagos és az egyszerre bekövetkező
események valószínűségét, értelmezi a bizonyosságot és egy esemény bekövetkezésének
lehetetlenségét. Szemléltette a „nagy számok törvényét” debreceni adatokkal. Az itt közölt
adatok, táblázatok, ezek értékelése révén Hatvanit a hazai statisztikai kutatások úttörőjének is
tekinthetjük.
Segner János András eredményeit az egyetemes matematikatörténet is elismerte. Több
algebrai és geometriai tétel bizonyítása az általa adott módon ment át a későbbi
tankönyvirodalomba. Eredményei közül említést érdemel a Descartes-féle előjeltétel általa
adott bizonyítása („a valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökeinek száma legfeljebb
annyi, mint az együtthatók sorozatában fellépő előjelváltások száma”)
Magyar körnégyszögesítők és szögharmadolók
A matematikában ősidők óta léteznek olyan problémák, amelyek felkeltik a
matematikusok érdeklődését, valamint izgatják a laikusok fantáziáját is. Ezen problémák közé
tartozik a három híres ógörög szerkesztési feladat is. Ezek a feladatok látszólagos
egyszerűségük, ugyanakkor euklideszi szerkesztéssel való megoldhatatlanságuk miatt
foglalkoztatják évezredek óta a matematikusokat.
Ezek a feladatok a körnégyszögesítés, a szögharmadolás és a kockakettőzés.
A körnégyszögesítés során adott területű körrel egyenlő területű négyzet szerkesztését
szeretnénk végrehajtani, amihez a hosszúságú szakasz megszerkesztésére lenne szükség.
A kockakettőzés problémáját szokás déloszi problémának is nevezni, ugyanis (a hozzá
kapcsolódó legenda szerint) Délosz szigetén pestis járvány tört ki, és az istenek azt szerették
volna, hogy a kocka alakú oltárkövet kétszeres méretben készítsék el, így véget ér a járvány.
Ez az egységnyi térfogatú kockából a 2 egység térfogatú kocka létrehozását jelenti. A munka
6
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
közben jöttek rá a készítők, hogy a kő elkészítéséhez a hosszúság szakasz szerkesztése
szükséges.
A szögharmadolás problémája tetszőleges szög 1/3-ának a megszerkesztését jelenti.
Ezeken a szerkesztési feladatokon kívül még számos olyan feladatot ismerünk, amelyek
euklideszi szerkesztéssel nem oldhatóak meg. Ezek a feladatok különböző görbéknek a
megszerkesztése! Olyan görbéknek, melyek általában két vagy több térelem egyidejű
mozgása hoz létre.
Szénássy a körnégyszögesítéssel és a szögharmadolással foglalkozó írásokat három
csoportra osztja:
1. Naív eljárások. Kellő matematikai ismertekkel nem rendelkezők vonalzós-körzős
szerkesztéssel próbálták megoldani a feladatot.
2. Megközelítő és nem euklidészi szerkesztések. A vonalzón és körzőn kívül más
eszközöket is igénybevevők, így pl. Sipos Pál egy transzcendens-görbe élű vonalzóval
dolgozott és az ellipszis rektifikálására adott szerkesztési eljárási módot. Sipos ezt a
„vonalzót” izométernek nevezte el. Bolyai János a szög harmadolását egyenlő oldalú
hiperbola segítségével végezte.
értékének approximálása. Mikoviny Sámuel szerint a irracionális szám. Vállas
Antal pedig sorral állította elő. Bitnicz Lajos a körbe és a köré írt szabályos sokszögek
területével közelítette meg a -t. Bitnicz és Kerekes Ferenc szerint a -t nem lehet teljesen
kifejezni.
Pontos megoldást magyar vonatkozásban tehát nem sikerült találni, Lindemann 1882-ben
bebizonyította, hogy a transzcendens szám, vagyis nem létezik olyan, egész együtthatókkal
bíró algebrai egyenlet, melynek a gyöke; s ezzel egyúttal bebizonyította azt is, hogy
körzővel és vonalzóval véges számú lépésben meg nem szerkeszthető. A körnégyszögesítés
tehát, bár látszatra egyszerű, valójában megoldhatatlan feladat.
A magyar matematika reformkora
Matematikatörténetünk reformkorát elsősorban Bolyai Farkas és Bolyai János
tevékenysége határozza meg.
Bolyai Farkas (1775–1856) 1796-tól 1799-ig a göttingeni egyetemen tanult, s itt egy
életre szóló barátságot kötött a nagy Gauss-szal. Jelentős önálló matematikai eredményeket
7
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
ért el, de akkori erdélyi viszonyok között ezeknek közzétételére csak úgy volt lehetséges,
hogy a tanítványai számára írt, 1832-ben megjelent főiskolai tankönyvébe rejtette. Közülük
legnagyobb hatást egy, bizonyos algebrai egyenletek közelítő megoldására szolgáló eljárás, a
poligonok egymásba való darabolásáról szóló tételkör és a párhuzamosok problémájával
kapcsolatos vizsgálatok keltették. Bolyai Farkas volt az első, aki észrevette és bebizonyította,
hogy ha a síkban két sokszög területe egyenlő, akkor mindkettőt fel lehet darabolni olyan
egymásba nem nyúló sokszögekre, amelyek páronként egybevágók egymással. Talán
természetesnek látszhat ez a tétel, de hogy nem az, azt mutatja, hogy a térben felvethető
analóg kérdésre Bolyai Farkas hiába kereste a választ, s azután mások is sikertelenül
küzdöttek vele. Végül is Hilbert felvette 1900-ban tartott előadásában a matematika általa
legfontosabbnak tartott problémái közé (igaz, ezek között ez bizonyult a legkönnyebbnek;
igen hamar sikerült megmutatni, hogy a térben nem érvényes Bolyai Farkas tételének
megfelelője).
Bolyai János (1802–1860) a Marosvásárhelyen töltött iskolaévek után magasabb
matematikai képzésére egyetlen lehetőségnek látszott a bécsi hadmérnöki akadémia
elvégzése, ahol szabad óráiban a párhuzamosok problémáján töprengett. Megkísérelte az
axióma indirekt bizonyítását, vagyis annak feltételezését, hogy az axióma állítása nem igaz, s
ebből valamely ellentmondás levezetését. Megkísérelték ezt már előzőleg többen is, és a
párhuzamossági axióma tagadásából szokatlannál szokatlanabb geometriai állításokhoz
jutottak, majd valamelyiknél megálltak, azt gondolva, hogy ez már igazán képtelenség, s
ekként indirekt úton bebizonyítani vélték a párhuzamossági axióma állítását. Bolyai János
már 1823-ban arra a meggyőződésre jutott, hogy ezek a furcsa geometriai tételek egy
ellentmondásoktól mentes geometriai elméletté, egy újszerű geometriává állnak össze.
Eszerint a párhuzamossági axióma független a többi euklideszi axiómától, elfogadásával az
euklideszi geometria, tagadásával az újszerű nem euklideszi geometria jön létre. Figyelmen
kívül hagyásával, pedig a két geometria közös elemeit magában foglaló abszolút geometria áll
elő. János számára csak évek múlva kínálkozott lehetőség arra, hogy az új geometria
kidolgozott elméletét nyomtatásban közzétegye: apja tankönyvének, amelyet barokkosan
hosszú címének első szavával „Tentamen” néven szokás emlegetni, egyik függeléke,
„Appendix”-e foglalja magában „a tér abszolút igaz tudományának” kifejtését.
Csak évekkel a két Bolyai halála után figyelt fel a külföld az Appendixre s annak
nyomán a Tentamenre német és francia tudósok közvetítésével. 1867-ben megjelent az
Appendix franciául, s az azt követő évtizedekben tartalmát a 19. századi matematika egyik
8
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
legfényesebb eredményének kezdték tekinteni. Az Appendixben mutatott rá Bolyai János
elsőnek arra, hogy egy axiómarendszer több elmélet egyidejű leírására is felhasználható. A
teljesség kedvéért meg kell jegyezni, hogy Bolyai János (s éppen úgy Lobacsevszkij) nem
bizonyította be a nem euklideszi geometria ellentmondástalanságát, ha mindketten meg voltak
is erről győződve.
A Magyar Tudós Társaság működésének első évtizedei
matematikai szempontból
Egy magyar tudományos szervezet létrehozásának gondolata már a 18. században
felvetődött. Bél Mátyás 1735. évi tervezete, majd több más eredménytelen javaslat után
Bessenyei György: Egy Magyar Társaság iránt való jámbor szándék (Bécs, 1790; új kiadása
Budapest, 1931) c. munkájában indítványozta egy tudományos társulat létrehozását. Fejér
György 1809-ben megjelent értekezése is erre tett kísérletet. 1825. november 3-án, a pozsonyi
országgyűlésen, a magyar reformkor egyik vezéralakja, gróf Széchenyi István (1791-1860)
birtokainak egyévi jövedelmét, 60 ezer forintot ajánlott fel a Magyar Tudós Társaság – a mai
Magyar Tudományos Akadémia jogelődjének – létrehozására. Tettét más főnemesek is
jelentős összegekkel támogatták. 1827-ben az alapítást törvénybe iktatták, de csak 1830-ban
kezdhette meg tényleges működését. A szabadságharc bukása után az Akadémia
matematikával foglalkozó tagjai, akikben felmerült egy műszaki egyetem felállításának a
gondolata, a legsúlyosabb üldöztetést szenvedték. (Győry Sándor, Beszédes József, Fest
Vilmos, Vásárhelyi, Petzvál Ottó, Brassai Sámuel, Vállas Antal, Nagy Károly, Csányi Dániel,
Hollán Ernő).
1834-ben kiadták a „Matematikai Műszótárt”, mely a matematikai szakszavakon kívül a
hajózás, építészet, festőművészet, bányászat, erdészet, haditudományok leggyakrabban
használt magyar szavait, valamint azok latin, német és francia megfelelőit tartalmazta. A
szótár célja az volt, hogy egységesítsék a magyar matematikai nyelvezetet, de ez nem sikerült
teljesen, mert nem voltak egységesen követendő elvek a magyarosítás során. 1860-ban
Csengery Antal javaslatára külön matematikai és természettudományi bizottság alakult,
melynek feladata volt, hogy felkutassa ezen tudományok magyar vonatkozásait, irányítsa a
felmerült problémák kidolgozását. 1861-ben a bizottság kiadta a „Matematikai és
Természettudományi Közlemények”-et, melyben matematikai tárgyú írás nem található.
9
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
10
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
A matematika kutatások kiszélesülése (Gócpontok)
A budapesti műegyetem (1871), professzorai már a 19. század második felében
nemzetközi hírű matematikai sikereket értek el. A tudományegyetemek közül e tekintetben
nem a budapesti, hanem az akkoriban alapított kolozsvári (1872), vált fontos matematikai
centrummá. Professzorai közül Farkas Gyula (1847–1930) elsősorban az elméleti
mechanikának volt ugyan a művelője, de néhány fiatalkori matematikai eredménye
felvirágzott a lineáris programozás egyik módszerének alapvetésében. Vályi Gyula (1855–
1913) viszonylag keveset publikált, s így hatása inkább igen gondosan kidolgozott előadásain
át, mutatkozott meg. Néhány vizsgálata jelentős visszhangra talált. Kiemelkedő, a parciális
differenciálegyenletek elmélete és a variációszámítás körébe vágó tanulmánya.
Hunyadi Jenő (1838–1889) a lineáris algebrának, mindenekelőtt a determinánsok
elméletének művelőjeként megérdemelten lett a budapesti műegyetem tanára. Eredményeit
sokan használták fel és fejlesztették tovább, még az utóbbi évtizedekben is sikerült érdekes
műszaki alkalmazásaikra rátalálni.
Ugyancsak a budapesti műegyetem professzora volt Kőnig Gyula (1849–1913).
Munkásságának legmaradandóbb része kétségkívül halmazelméleti eredményeiben található.
Sikeres volt még a matematikai logika, az algebra, a számelmélet, az analízis, s különösen a
parciális differenciálegyenletek elmélete terén. Ezekben mindig a legfrissebb kutatásokhoz
kapcsolódott, s gondolatai sokszor csak évtizedek múlva lelték meg folytatójukat.
Geőcze Zoárd (1873–1916) nehézkesen megfogalmazott kéziratai sem itthon, sem
külföldön nem leltek tartalmukhoz méltó visszhangra, pedig a felszínszámítás modern
elméletének megalapozójának tekinthető. Bonyolult levezetéseit Radó Tibornak sikerült
egyszerűsítenie.
A budapesti tudományegyetem első jelentős matematikai eredményeket produkáló
professzora Beke Manó (1862–1946) volt; elsősorban a differenciálegyenletek elméletében
közölt dolgozatai jelentenek maradandó értéket, de nagyra kell becsülni, évtizedekig tartó
hatása miatt, a hazai (és a nemzetközi) matematikaoktatás megjavítására irányuló, a
matematika népszerűsítésére is kiterjedő munkásságát.
Kürschák József (1864–1933), szintén a budapesti műegyetem matematikaprofesszora
volt. Sokoldalú munkássága a „modern algebrá”-nak, ma inkább absztrakt algebrának
nevezett tudományterülethez tartozik. Ennek vizsgálataiba igen korán bekapcsolódva
11
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
megalkotta az ún. értékeléselméletet, amely a lehetőség határáig általánosítja azt az eljárást,
amellyel a racionális számokból a komplex számokig bővítjük a számfogalmat. Egy-egy
kutató már korábban is érintette a számelmélet területét, ez azonban, pontosabban az ún.
algebrai számelmélet, középponti szerepet játszik Bauer Mihály (1874–1945)
munkásságában. Elsősorban az identikus kongruenciák vizsgálatában talált eredményei váltak
további kutatások forrásává.
Jordan Károly (1871–1959) nevéhez fűződik a valószínűségszámítás és a matematikai
statisztika hazai meghonosítása. A matematikai statisztikai számításokban fontos
segédeszközt jelentő differenciaszámításról nagy sikerű monográfiát is írt, és fontos
vizsgálatai fűződnek a matematikai statisztikának meteorológiai és szeizmológiai
alkalmazásaihoz.
A XX. század küszöbén
A világháborúk felbecsülhetetlen károkat okoztak a magyar matematikának is, mégis a
magyar matematikai életben megmaradt a kutatás és oktatás európai szinten.
A magyar matematika történetének egyik fénypontját is képviseli Riesz Frigyes (1880–
1956) Első világsikert jelentő felfedezése 1907-ből származik, az osztrák E. Fischerrel
csaknem egy időben közölt Riesz–Fischer-tétel, melynek magva az a felismerés, hogy a
függvények között alkalmas módon definiálva az összeadás, a számmal szorzás és a skaláris
szorzás műveletét, a függvények (pontosabban szólva egy meghatározott, de igen bőséges
osztályuk) ugyanúgy viselkednek, mint a vektorok. E gondolat jelentőségét Riesz Frigyes
felismerte, továbbfejlesztette, s ezzel – M. Fréchet-vel és S. Banachhal együtt –
megalapítójává vált a ma funkcióanalízisnek nevezett, az algebra, az analízis és a geometria
módszereit magában egyesítő hatalmas elméletnek. Alig néhány év múlva az elmélet egy
ágának első monográfiáját is megírta, ebben többek között bemutatva módszerének
hatékonyságát az integrálegyenletek elméletében. Nem kis része van abban, hogy a két háború
között Szegeden újabb virágzó matematikai centrum alakul ki. Szegedi évei alatt újabb és
újabb eredményekkel gazdagítja a funkcionálanalízist, a nézőpontot egyre általánosabb síkra
emelve, s eljutva ahhoz az absztrakt térfogalomhoz, amelyet ma Riesz-térnek neveznek.
Elméletét továbbfejlesztve jut el funkcionálanalízis vizsgálta függvényterekben felhasznált
mérték- és integrálfogalom felépítéséhez. Legfontosabb eredményeit Szőkefalvi-Nagy Bélával
12
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
közösen írt „Leçons d'analyse fonctionnelle” című, 1953-ban megjelent monográfiájában
foglalja össze. Mélyreható eredményekkel gazdagította az analitikus függvények elméletét,
megalkotta a szubharmonikus függvények elméletét mint a potenciálelméletnek egy
sajátságos általánosítását, és jelentősen hozzájárult az ergodelmélet alapjainak lerakásához.
Fejér Lipót (1880–1959) is a kolozsvári egyetemen lett professzor, de rövid idő múlva
Budapestre kapott meghívást, s ezzel a budapesti tudományegyetem első valóban világhírű
matematikatanára lett. Budapesti tanulmányait egy Berlinben töltött évvel megszakítva, ott H.
A. Schwarz szemináriumán hallott a matematikai fizikában oly nagy szerepet játszó Dirichlet-
féle problémának a Fourier-sorok segítségével való megoldási lehetőségéről. A probléma
olyan, a körlemezen és kerületén folytonos függvény keresését jelenti, amely a kör belsejében
harmonikus (tehát eleget tesz a Laplace-féle parciális differenciálegyenletnek), és értékei a
kerületen elő vannak írva. A megoldás módszere abban állna, hogy a kerületen előírt
folytonos függvényt mint a középponti szög függvényét Fourier-sorba fejtjük; ha ez a sor
konvergens volna, akkor egy Abel-féle tételből következnék, hogy a Poisson-féle
integrálképlet megadja a keresett harmonikus függvényt. Csakhogy, mondta Schwarz, ez az út
nem járható, mert akkoriban találtak olyan folytonos függvényt, amelynek Fourier-sora nem
mindenütt konvergál. Berlinből hazatérve Fejér rövid idő alatt rájött, hogy a módszert meg
lehetne menteni, ha Abel tétele helyett az erősebb Frobenius-féle tételt lehetne felhasználni.
Ehhez azt kellene tudni, hogy egy folytonos függvény Fourier-sorának, ha a részletösszegei
nem is, de legalább a részletösszegek számtani középértékei konvergálnak a függvényhez; ezt
pedig egészen kevés (és igen ügyes) számolással sikerült is megmutatnia.
Ebben a klasszikus Fejér-féle tételben tehát nem a felhasznált módszerek bonyolultsága,
hanem a régi probléma újszerű megoldása – s tegyük hozzá, a sokoldalú alkalmazhatóság –
jelentette a lényeget. Fejér további munkáiban maga is továbbfejlesztette eredményét, de
figyelmét kiterjesztette az analízis más fontos fejezeteire is. Így eredményei az interpoláció
elméletében alapvetők, ahol leglényegesebb az a felismerése volt, hogy a legegyszerűbb
Lagrange-féle eljárás rossz viselkedése jelentősen jobbá válik, ha az Hermite-féle eljárásra
térünk át. Hasonló tehát a helyzet a Fourier-sorokéhoz, ahol a részletösszegek helyébe kellett
számtani középértékeiket tennünk, hogy jobban viselkedő sorozatot nyerjünk. Kiemelkedők
Fejér eredményei a komplex függvénytanban is; közülük legismertebb a konform leképezések
alaptételének Riesz Frigyessel együtt kidolgozott klasszikussá vált bizonyítási módszere.
Fejér Lipót páratlanul szuggesztív egyénisége, a problémákat minden oldalról alaposan
elemző munkamódszere olyan mély hatást gyakorolt környezetére, hogy a két világháború
13
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
közötti időszakban a budapesti tudományegyetemen a matematika jóformán egyet jelentett
Fejér kutatási területével. Hatása alól azok sem tudták magukat kivonni, akik végül más
irányban haladtak tovább.
Haar Alfréd (1885–1933), aki Riesz Frigyessel együtt Kolozsvárról került Szegedre, s
vele együttműködve alapította meg a szegedi matematikai iskolát. Ő is az analízis területét
művelte, mégpedig főként három kérdéskörben. Korai munkái az ortogonális
függvényrendszerek elméletéhez kapcsolódnak; e rendszerek történetileg legrégebben
fellépett klasszikus példái (a trigonometrikus rendszer, az ortogonális polinomrendszerek) az
alkalmazásokban mutatott jelentékeny szerepük ellenére sok szempontból előnytelenül
viselkednek (amire a Fourier-sorok kapcsán az előbb céloztunk is). Haar ismerte fel, hogy a
függvények folytonosságát feláldozva, szakaszonként állandó függvényekből lényegesen
előnyösebb tulajdonságú ortogonális rendszerek alakíthatók ki, olyanok, mint pl. az éppen
róla elnevezett Haar-rendszer. Figyelme később a variációszámítás felé fordult, s ebben
klasszikussá vált segédeszközöket fedezett fel. Korai halála előtti utolsó, s valamennyi között
talán legnagyobb eredménye annak a felfedezése volt, hogy a trigonometrikus ortogonális
rendszer felépítésében alapvető az a tény, hogy a körív hosszúsága a körvonal forgásaival
szemben invariáns mértéket ad; ehhez hasonlóan bármely lokálisan kompakt topologikus
csoportban értelmezhető a csoportművelettel szemben invariáns mérték. A klasszikus
harmonikus analízisnek az a mélyreható általánosítása, amelyben a körív hosszúságának a
szerepét ez a Haar-féle mérték veszi át, az ún. absztrakt harmonikus analízis, már Haar halála
után fejlődött ki s vált a mai analízis egyik legszebb ágává.
Kolozsvár és Szeged volt a működési területe Szőkefalvi-Nagy Gyulának (1887–1953) is,
aki elsősorban a geometria különböző ágaiban ért el jelentős eredményeket. A Budapesti
Műszaki Egyetemen tanított Szűcs Adolf (1884–1945), a variációszámítás eredményes
művelője, valamint Kőnig Dénes (1883–1944), Kőnig Gyula fia, aki a látszólag rendkívül
elemi kérdéseket vizsgáló, de megoldásukhoz annál több mély matematikai ötletet igénylő
gráfelméletnek volt az első hazai művelője; e tudományág világviszonylatban első
monográfiájának ő a szerzője.
E matematikusokat olyan nagy számban produkáló évtized szülöttei között nem kevés
volt, aki századunk első felének hazai kultúrpolitikai viszonyai között nem talált itthon
munkaterületet, és vagy tanulmányai után közvetlenül, vagy rövidebb-hosszabb itthoni
működés után külföldre távozott. Csak röviden említjük meg közülük első helyen Kármán
Tódort (1881–1963), akinek a fő munkaterülete, amelyben világhírt ért el, a hidro- és
14
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
aerodinamika, de e vizsgálataival kapcsolatban határozottan matematikai jellegű eredményei
is vannak a parciális differenciálegyenletek numerikus integrálása területén. Dienes Pál
(1882–1952) középiskolai munkássága után 1919-ben nyert volna debreceni egyetemi tanári
kinevezést, de a Tanácsköztársaság bukása után baloldali magatartása miatt el kellett hagynia
az országot, s Angliában telepedett le. Az analitikus függvények s mindenekelőtt a
hatványsorok elméletének volt kiváló művelője s monográfiaírója. Pólya György (1887–
1985) korán külföldre távozott és Svájcban, majd az Amerikai Egyesült Államokban
működött. Az analízis több területén, főként a komplex függvénytanban, valamint a
valószínűségszámításban elért számottevő eredményei, az egyenlőtlenségekről Hardyval és
Littlewooddal közösen írt monográfiája mellett a legnagyobb hatást a matematika tanulását és
oktatását elősegítő könyvei gyakorolták. Az analízis sok fejezetét teljesen egyedülálló módon,
feladatkitűzés formájában feldolgozó, Szegő Gáborral közös könyve fogalommá vált, s
ugyancsak lenyűgöznek invenciógazdagságukkal a matematikai gondolkodás
pszichológiájáról, a matematikai heurisztikáról írott végtelenül szellemes könyvei. Ezeket
mindenkinek ismernie kell, aki matematikát oktat, akár az általános iskolában, akár az
egyetemen. Fekete Mihály (1886–1957) itthon töltött nehéz évek, többszöri mellőztetés után
1928-tól a jeruzsálemi egyetem tanára lett. Főként a hatványsorok elméletét művelte
eredményesen; legismertebbek a síkbeli ponthalmaz transzfinit átmérőjének bevezetésével és
tulajdonságainak vizsgálatával kapcsolatos munkái, de nevezetes sok további sorelméleti
eredménye is.
Az e generációból külföldre szakadt magyar matematikusok között (Kármán Tódort most
nem számítva ide) kétségtelenül Riesz Marcell (1886–1969) futotta be a legfényesebb pályát.
Bátyjával, Riesz Frigyessel együtt még egyetemi hallgató korában részt vett az 1908-ban
tartott nemzetközi matematikai kongresszuson, s itt megismerkedett Mittag-Leffler svéd
professzorral. Ismeretségükből 1911-ben svédországbeli meghívás jött létre, amelynek
eredményeképpen Riesz Marcell végleg Svédországban maradt, néhány év múlva a lundi
egyetem professzora lett, és ott kiváló tanítványok sorát nevelte fel. Túlzás nélkül
elmondható, hogy századunk második felének legkiválóbb svéd matematikusai valamennyien
az ő tanítványai. Munkásságát néhány fizikai tárgyú dolgozaton kívül teljesen az analízis
különböző fejezeteinek szentelte. Foglalkozott a trigonometrikus sorok elméletével, de
mindenekelőtt a komplex függvénytant ajándékozta meg rendkívül mély és nagy hatású
eredményekkel. A hatványsorokkal sok tekintetben analóg, de jóval bonyolultabb szerkezetű
Dirichlet-sorokról G. H. Hardyval együtt monográfiát is írt, és társszerzője a század elején
15
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
megindított (de soha be nem fejezett) nagy matematikai enciklopédia trigonometrikus
sorokról írt fejezetének is. Legnagyobb hatású talán, a bátyjával közösen írt egyetlen cikke,
amelyben sajátosan ötvöződnek az analitikus függvények elméletének és a valós
függvénytannak a módszerei. A cikk fő témája annak a Fatou-tól származó nevezetes tételnek
messzemenő általánosítása, amely szerint egy körlemez belsejében korlátos analitikus
függvénynek a kör kerületének pontjaiban, egy nulla mértékű halmazt kivéve, létezik a sugár
mentén vett határértéke. A Riesz testvérek e cikke napjainkig szinte megszámlálhatatlan
további eredmény forrása és alapja.
Egerváry Jenő (1891–1958) sokrétű munkásságában megtaláljuk a Fejér-iskola szokásos
témáit (trigonometrikus sorok, analitikus függvények), geometriai témákat, determinánsok
kombinatorikus tulajdonságait, de vizsgálatainak gerincét a matematikai fizika és a műszaki
tudományok különféle problémáiban fellépő differenciálegyenletek megoldási módszerei
jelentették (sokszor a közvetlen alkalmazásokig terjedően); a matematikai segédeszközök
terén különösen utolsó éveiben a mátrixelmélet eredményeire támaszkodott, így
mátrixelméleti munkássága is jelentős. Kőnig Dénes egy gráfelméleti tételének
mátrixszámítási módszerekkel történő bizonyítása volt a kiindulópontja annak az eljárásnak,
amely azóta számos közgazdasági probléma megoldásában vált alapvetővé, s a nemzetközi
irodalomban a „magyar módszer” nevet viseli.
Alexits György (1899–1978) nehéz pályakezdés, polgári, majd középiskolai tanári
működés után ötvenéves korában kapott katedrát. Utolsó három évtizedét azonban
fáradhatatlan s igen intenzív alkotó munka jellemezte. Fiatalabb éveiben többféle, így pl.
topológiai kérdések is foglalkoztatták, e nagy alkotó periódust azonban teljesen az ortogonális
függvényrendszerek szerinti sorfejtések elméletének szentelte. E kérdéskörnek szinte minden
irányzatát gazdagította új eredményekkel; különösen kiemelkedik ezek közül az az általa
kezdeményezett témakör, amely a szorzat alakú függvényekből álló ortogonális rendszerekre
vonatkozik. Kiváló tanítványok egész sorát nevelte fel.
Kerékjártó Béla (1898–1946) Szegeden, majd a budapesti tudományegyetemen volt
professzor. Munkássága teljes egészében a topológia területére esik; egészen fiatalon írta meg
a felületek topológiájáról szóló első monográfiáját, s ezt a gazdag invencióval megírt, a
halmazelméleti, geometriai, algebrai segédeszközök fölényes tudással kombinált alkalmazását
bemutató munkák hosszú sora követte. E generációban megjelentek már Fejér Lipót
tanítványai (bár Fejér hatása határozottan kimutatható pl. a nála alig néhány évvel fiatalabb
Riesz Marcell munkásságában is). Némelyikük élete végéig várt hiába a felsőoktatásban való
16
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
elhelyezkedés lehetőségére, mint Sidon Simon (1892–1941) vagy Csillag Pál (1896–1944),
mások külföldre távoztak, mint Radó Tibor (1895–1967) vagy Szász Ottó (1899–1952).
Valamennyien eredményesen fejlesztették tovább a Fejér művelte tudományágakat
(trigonometrikus sorok, hatványsorok, analitikus függvények, interpoláció). A külföldön
működők közül külön említést érdemel Szegő Gábor (1895–1985), aki Németországban, majd
az Amerikai Egyesült Államokban tevékenykedett. Az analízis több fejezetét gazdagította, az
ortogonális polinomrendszerekről írt monográfiája hihetetlen mennyiségű anyagot tár az
olvasó elé. Számos eredménye s egy társszerzővel írott monográfiája a matematikai fizika
területéhez vezet át.
A 19. században született magyar matematikusok sorát Rédei László (1900–1981) zárja
le. A szegedi matematikai centrum tagjai között ő képviseli az algebrai kutatásokat;
vizsgálatai az algebrai struktúráknak szinte minden fajtájára kiterjednek, így a félcsoportok,
csoportok, gyűrűk, testek elméletét egyaránt intenzíven művelte. Hatása tanítványaira
rendkívül erős volt, s nagymértékben neki köszönhető, hogy ma hazánk az absztrakt algebrai
kutatások egyik elismert gócpontja.
A 20. században születettek névsorát olyan világnagysággal kezdhetjük, aki
sokoldalúságával, páratlan alkotóerejével nemcsak a magyar születésűek között, hanem
századunk valamennyi matematikusát beleszámítva is az első helyek egyikét foglalja el
(1903–1957) van szó, aki külföldi egyetemi tanulmányai után Fejér Lipótnál doktorált, s aztán
rövid németországi és svájci működést nem számítva munkásságának túlnyomó részét az
Amerikai Egyesült Államokban, a princetoni Institute for Advanced Study professzoraként
végezte. Pályafutásának első éveiben – már egyetemi hallgató korától kezdve – Neumann
János figyelmét elsősorban halmazelméleti problémák kötötték le, mégpedig nem is annyira a
konkrét kérdések, mint inkább a halmazelmélet axiomatizálásának feladata. Ismeretes, hogy a
Cantor-féle, ma „naiv”-nak nevezett halmazelméletben az alapfogalmak nem voltak kellően
körülhatárolva, emiatt ellentmondások léptek fel. Ezen a halmazelmélet axiomatikus
felépítése segíthetett, amelyben pontosan körülírják, hogyan szabad halmazokat definiálni,
ügyelve arra, hogy az antinómiákat kiváltó halmazok ne férkőzhessenek be a halmazelmélet
épületébe. E munkát Zermelo és Fraenkel kezdték meg, de axiómarendszerük még nem volt
kielégítő, s Neumann első cikkeiben ennek hiányait pótolta. Később azonban egészen új
gondolatokon alapuló új axiomatikus felépítést mutatott be; ebben az az ötlet bizonyult a
legmaradandóbbnak, hogy figyelembe veszi az antinómiákat kiváltó halmazokat is, csak
pontosan megkülönbözteti őket a „jó”, a „valódi” halmazoktól. Kétségtelen, hogy a
17
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
Neumann-féle axiómarendszert később, elsősorban Gödel, még természetesebben felépülő
axiómarendszerrel helyettesítették, de a rendellenesen nagy halmazok – a szokásos
terminológiával „osztályok” – figyelembevételének Neumanntól származó gondolata ebben is
alapvetően megjelenik, és számos azóta kialakult vizsgálati ágban, így a kategóriaelméletben,
nélkülözhetetlen. Már az is meglepő, hogy egy fiatal matematikus egy elmélet
axiomatizálásával kezdi munkásságát, hiszen az ilyen munka inkább a sokat tapasztalt
kutatóra jellemző. További meglepő, századunkban szinte példa nélkül álló vonása Neumann
kutatásainak a matematikának jóformán minden fejezetére kiterjedő sokrétűség. Így lényeges
eredményekkel gyarapította az algebrai számelmélet, a diofantikus egyenlőtlenségek, a
gyűrűelmélet, a topologikus csoportok elmélete, a matematikai logika témakörét.
Részletesebben kell szólnunk Neumann Jánosnak a funkcionálanalízis körébe vágó
kutatásairól. Ezeket is egészen fiatalon kezdte el, s ismét egy új elmélet megalkotásának
igényével. Ismeretes, hogy a húszas években létrejött a század elméleti fizikájának a
relativitáselmélet mellett legragyogóbb alkotása, a kvantummechanika, egyidejűleg több
alakban is, amelynek matematikai háttere azonban kezdetben nem volt kellően tisztázva,
felléptek bennük matematikailag ellentmondásos fogalmak is (mint pl. a Dirac-féle
deltafüggvény). Neumann célja az volt, hogy a kvantummechanikának matematikailag szilárd
alapokat adjon, s erre a célra a Hilbert-tér lineáris operátorainak spektrálelméletét találta
alkalmasnak. Maga a Hilbert-tér az euklideszi tér vektoraiból álló konfigurációnak
legegyszerűbb, igen természetesen kínálkozó általánosítása, s a lineáris operátorok közül a
Hilbert vizsgálta korlátos operátorok az euklideszi tér koordinátás alakban mátrixokkal
megadható lineáris transzformációinak megfelelői. Neumann felismerése az volt, hogy a
korlátos lineáris operátorok spektrálelméletét ki kell terjeszteni nem korlátos lineáris
operátorokra, amit páratlan invencióval és technikai fölénnyel meg is tett (nem kis mértékben
felhasználva Riesz Frigyes eredményeit), s ezzel sikerült a kvantummechanika számára
matematikailag kifogástalan apparátust teremtenie. 1932-ben megjelent könyve e témának ma
is aktuális klasszikus alkotása. A kvantummechanika megalapozásában elért eredmények
kiválóan használhatóknak bizonyultak a funkcionálanalízis más problémáinak megoldásában
is. Így pl. az ergodelmélet (amely a klasszikus mechanika problémaköréből nőtt ki) ugyancsak
alapvető eredményeket köszönhet Neumann Jánosnak. Teljesen az ő kezdeményezése volt az
operátorokból álló gyűrűk vizsgálatának megindítása, amely azután hatalmas elméletté
terebélyesedett. E vizsgálatai kapcsán teremtette meg a folytonos geometriák elméletét, a
projektív geometriák fogalmának hálóelméleti eszközökkel történő sajátos általánosításaként.
18
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
Az eddig elmondottak minden vázlatosságuk ellenére is valamelyest képet adtak talán
Neumann Jánosnak mint matematikusnak grandiozitásáról. Az utóbbi évtizedek technikáját,
sőt mindennapi életünket is hovatovább forradalmian átalakító hatása azonban annak – a már
nem szorosan a matematikához tartozó témakörnek – volt, amellyel életének utolsó
évtizedében foglalkozott. Tudjuk, hogy az Amerikai Egyesült Államokban 1946-ban építettek
egy hatalmas elektronikus számológépet, az ENIAC-ot, amely egy termet töltött ki 18 ezer
elektroncsövével. A műveleteket tízes számrendszerben végezte, s az elvégzendő feladatokat
lyukkártyán kellett egyenként betáplálni. A gép működésének megjavítására Neumann János
vezetésével bizottságot küldtek ki, és Neumann alig egy év alatt megtalálta mindazokat a
változtatásokat, amelyek máig megszabják a számítógépek elvi felépítését: a gép egy
vezérlőegységből, egy aritmetikai egységből, egy memóriaegységből és egy bemenő-kimenő
egységből épüljön fel; a műveleteket kettes számrendszerben végezze; az elvégzendő
műveletek programját kódolt formában a memóriaegységben kell tárolni. Ha napjaink
számítógépei a hardver fejlettsége tekintetében csillagászati távolságban állnak is a negyvenes
évek elektroncsöves gépeitől (ami teljesítményük sokszorosára növelését és áruknak
töredékére való csökkenését eredményezte), szerkezeti alapjuk ma is a Neumann-féle elvekre
épül fel.
Csak éppen megemlítve, hogy további vizsgálataiban részletesen elemezte, hogyan lehet
a számítógép elemeinek szükségszerűen hibaforrást jelentő bizonytalan működését alkalmas
szervezéssel ellensúlyozni, joggal szögezhetjük le, hogy Neumann Jánosban briliáns
matematikai teljesítményén kívül a most kibontakozó számítógépkorszak útnak indítóját is
tisztelhetjük.
Századunk első évtizedének itthon működött szülöttei között mindenekelőtt Kalmár
Lászlóról (1905–1976) kell szólnunk. Páratlanul sokoldalú matematikus volt, aki a
matematikának szinte minden területén folyamatosan tájékozódott a legújabb irányzatokról.
Munkásságában az ötvenes évekig a matematikai logika kérdései dominálnak; elsősorban az
ún. eldöntésprobléma foglalkoztatta, valamint azok a tételek, amelyek az axiomatikus
módszer korlátaira mutatnak rá. A számítógépek megjelenése után széles körű matematikai
logikai kultúráját főként a számítógép-tudomány alapvető kérdéseinek szolgálatába állította
(formális nyelvek vizsgálata, automataelmélet, az önreprodukáló automaták kérdései).
Elsősorban a szegedi egyetemen, amelynek professzora volt, de országszerte is mesterének
vallja őt a hazai számítástudomány minden hazai művelője. Kalmár érdeklődési körével sok
közös vonást mutat Péter Rózsa (1905–1977) kutatási területe. ’ is a matematikai logika
19
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
művelője volt, mégpedig ezen belül a rekurzív függvények elméletének megteremtőjeként
tartjuk számon. Kalmárhoz hasonlít abban is, hogy utolsó éveiben őt is szakterületének
számítógép-tudományi alkalmazásai foglalkoztatták; hattyúdala éppen e témáról írt
monográfiája. A matematika népszerűsítésének a terén is kiemelkedőt alkotott; Játék a
végtelennel c. könyvét számtalan nyelvre fordították le. Szemben viszont Kalmár viszonylag
olajozott egyetemi pályafutásával, Péter Rózsa küzdelmes pályakezdés után csak a
felszabadulást követően lett főiskolai tanár, majd az Eötvös Loránd Tudományegyetem
professzora. A debreceni tudományegyetem első kiemelkedő matematikaprofesszora Varga
Ottó (1909–1969) volt. Tanulmányait Prágában végezte, s elsősorban ennek köszönhető, hogy
egy addig hazánkban alig művelt tudományágat, a modern differenciálgeometriát honosította
meg. Főként a Finsler-terek elméletében végzett sok tekintetben úttörő munkát. Neki
köszönhető, hogy Debrecenben ma is intenzív kutatás folyik ezen a területen. A budapesti
tudományegyetemen volt matematikusok generációinak nevelője Szász Pál (1901–1978).
Munkássága kisebb részben a Fejér-iskola témáihoz, zömében azonban a Bolyai–
Lobacsevszkij-féle geometria megalapozásának kérdéseihez kapcsolódik.
Az Eötvös Loránd Tudományegyetem a felszabadulást követő negyedszázad folyamán
elsőrangú matematikai centrummá vált. Ez az akkor már alkotóerejük csúcsán túljutott Fejér
Lipót és Riesz Frigyes mellett elsősorban három büszkeségünknek köszönhető: Turán Pálnak,
Hajós Györgynek és Rényi Alfrédnak.
Turán Pál (1910–1976) munkássága gazdagságban, sokrétűségben szintén egyedülálló;
három fő területe az analízis, a számelmélet és a gráfelmélet. Az elsőben jellegzetesen a
Fejér-iskola egyik legkiválóbb képviselőjének mutatkozott; számtalan nagyszerű munkája
közül talán az approximációelmélet terén alkotott a legtöbbet. Elsősorban neki köszönhető,
hogy a polinomokkal való approximáció mellett nagy súlyt kapott a racionális függvényekkel
történő approximáció is. A gráfelméletben fő eredménye egy 1940-ből származó tétel,
amelyből azután a gráfelméletnek egészen új fejezetei nőttek ki. Legnagyobbat azonban talán
a számelmélet terén alkotott. Ez irányú vizsgálatai kiterjedtek a prímszámok eloszlásának
kérdéseire, a számelméleti függvények vizsgálatára, a partícióelméletre, s mindezekhez a
felhasznált apparátust is nagyrészt maga teremtette meg. Elsők között használt számelméleti
kérdések megoldására statisztikus módszereket (ezekből fejlődött ki a statisztikus
csoportelmélet), de mind között legfőbb alkotása a prímszámeloszlás vizsgálatára használt
20
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
Riemann-féle zétafüggvény tulajdonságainak kutatására bevezetett hatványösszegmódszer;
ennek felfedezése gyönyörű példája annak, hogyan lehet egy kézenfekvő, de első pillantásra
kezelhetetlen gondolatot szívós munkával és ihletett invencióval egészen váratlan területeken
ragyogó eredményeket produkáló s iskolát teremtő módszerré fejleszteni.
Hajós György (1912–1972) legnagyobb alkotása a híres Minkowski-sejtés bebizonyítása.
Minkowski a század elején közölt egy geometriai indíttatású, de számelméleti alakba
öltöztethető tételt, amely egy lineáris egyenlőtlenség-rendszer egész számokban való
megoldhatóságáról szólt. Az a látszólag ártalmatlan kérdés, hogy az egyenlőtlenségekben
szereplő „kisebb vagy egyenlő” jeleket (amelyekről már Minkowski tudta, hogy egy
kivételével „kisebb” jellel helyettesíthetők) lehet-e mind „kisebb” jellé változtatni,
évtizedeken át számtalan kiváló kutató ostromát visszaverte. Hajós volt az, aki előbb a
problémát csoportelméleti kérdéssé fogalmazta át, majd újabb bámulatos invencióval a
csoportelméleti problémát megoldotta s vele a Minkowski-sejtést elintézte. Hajós
csoportelméleti tétele számos további vizsgálat forrásává vált.
Rényi Alfréd (1921–1970) sajnálatosan rövid életében hihetetlen munkabírással, páratlan
alkotóerővel, imponáló sokoldalúsággal gyarapította mély és nehéz eredményekkel a
matematika számos fejezetét. Munkássága kiterjedt az analízis több ágára, főként a Fejér-
iskolában műveltekre, a kombinatorikára, a gráfelméletre, de súlypontja a számelméletben és
különösen a valószínűségszámításban elért eredményekben rejlik. A számelmélet terén
legismertebb a kétszáz éves és máig megoldatlan Goldbach-sejtés (minden páros szám két
primszám összege) egy gyengített formájának első bizonyítása a leningrádi aspirantúrája
során megismert Linnik-féle nagy szita módszerével. Ennek tanulmányozása során vette
észre, hogy a módszer lényegében véve valószínűségszámítási jellegű, s így fordult
érdeklődése az utóbbi tudományág felé. Ennek csaknem minden részét gazdagította;
foglalkozott határeloszlás-tételekkel, keverési tételekkel, valós számok számjegyeinek
eloszlásával, sztochasztikus folyamatokkal, a rendezett minták elméletével, s mindezeket
csodálatra méltó ötletességgel alkalmazta a matematikán kívül, s a matematika más
fejezeteiben is. Különösen fontosak a valószínűségszámítási módszerek számelméleti
alkalmazásai terén elért eredményei; alighanem ezek indították arra, hogy a
valószínűségszámításnak olyan új axiomatikus felépítését írja le, amelyben az alapfogalom a
feltételes valószínűség. Életének utolsó éveiben főként a valószínűségszámítás módszereinek
az akkor éppen születőben levő információelmélet alapjainak szilárddá tételére való
felhasználása foglalkoztatta.
21
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
A matematikai ismeretterjesztés gyöngyszemei, és univerzális zsenijének bizonyságai, a
Dialógusok a matematikáról, a Levelek a valószínűségről, a Napló az információelméletről.
Mint tanár, kiváló tanítványok tucatjait indította útnak.
A Rényinél fiatalabb matematikusok zöme, szerencsére, él és alkot. A kevés kivétel
közül legyen szabad egyedül Fodor Gézát (1927–1977), a szegedi egyetem professzorát
megemlíteni. A halmazelmélet művelőjeként nevéhez fűződik a regresszív függvények
elméletének megalkotása.
Az elmondottak, úgy gondolom, meggyőzően mutatják, hogy századunkban a magyar és
magyar származású matematikusok nagyszámú és lényeges eredménnyel, módszerrel,
elmélettel gyarapították a matematika kincsesházát. A kép még árnyaltabbá válnék, ha, már
csak terjedelmi okokból is, nem kellett volna az eltávozottak alkotásaira szorítkoznunk. S
bizonyára még gazdagabb lehetett volna a felsorolás, ha a negyvenes években nem végez a
kegyetlen fasiszta vérengzés olyan iszonyatos irtást a magyar matematikusok között. Ennek
áldozatává váltak azokon kívül, akik már többé-kevésbé lezárt életművet hagyhattak hátra,
mint Bauer Mihály, Csillag Pál, Kőnig Dénes, Sidon Simon, Szűcs Adolf, sokan, akiknek
megindult pályája még bizonyára soká ívelt volna felfelé, mint Feldheim Ervin, Grünwald
Géza, Lázár Dezső és még többen olyanok, akik éppen csak egy-egy biztató jellel tudták
megmutatni, mivé fejlődhettek volna. Emléküket a Magyar Tudományos Akadémia
Matematikai Kutatóintézetében emléktábla örökíti meg. Gondoljunk rájuk azzal a szilárd
eltökéltséggel, hogy minden erőnkkel küzdünk egy újabb ilyen tömegpusztítás
megakadályozásáért.
22
Matematikatörténet – A magyar matematika története Mondrák Vendel
Jegyzetek
Filep László: A tudományok királynője (A matematika fejlődése), 193-222. old.
Sain Márton: Matematikatörténeti ABC, adatok, tények, érdekességek a matematika
középfokú tanításához és tanulásához – Tankönyvkiadó, Bp. 1977
Szénássy Barna: A magyarországi Matematika története a 20. sz. elejéig – Akadémia Kiadó,
Bp. 1974.
Természet Világa, 1998. III. különszám, 3–10. oldal Császár Ákos: Magyar származású
matematikusok hozzájárulása a matematika fejlődéséhez
www.kfki.hu/chemonet/TermVil/kulonsz/k983/tartalom.html
lexikon.katolikus.hu/LINKEK/LINKMMMM/MA/MATEMAT.HTML
www.sk-szeged.hu/kiallitas/tudomany/tortenet.html
23
