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Esta prática foi proposta com o intuito de tornar conceitos matemáticos em algo agradável aos estudantes, aproximando a matemática da realidade, facilitando a compreensão dos alunos, fazendo-os perceber que a matemática está presente em nosso cotidiano. Para tanto, adotou-se o basquetebol como objeto de estudo, tema este sugerido por eles. Para melhor execução da prática, aplicou-se a Modelagem como aporte pedagógico envolvendo a Matemática com as disciplinas de Educação Física e Física. Durante a aplicação, a professora propôs aos alunos situações, induzindo-os a pesquisar e descobrir a matemática no basquetebol. A presente experiência pode ser aplicada a outros esportes, desde que tenha caráter motivador e desperte interesse dos alunos pelas atividades propostas. O resultado desta prática foi, a satisfação dos estudantes na discussão e realização das tarefas em grupo, além da aquisição de conceitos matemáticos envolvendo a interdisciplinaridade.
Citation preview
Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática Modelagem Matemática na Educação Matemática: pluralidades e debates
São Carlos, SP – 30 de abril à 02 de maio de 2015
ISSN 2176-0489
A MATEMÁTICA NO BASQUETEBOL
Grasiella Vieira
Instituto Federal Catarinense - Camboriúi
Afrânio Austregésilo Thiel
Instituto Federal Catarinense - Camboriúi
Resumo:
O relato que aqui se discorre compartilha com outros educadores uma experiência pedagógica utilizada numa
turma de segundo ano do ensino médio do Instituto Federal Catarinense – Campus Camboriú. A prática da
Modelagem Matemática no ensino foi proposta com o intuito de tornar conceitos matemáticos em algo agradável
aos estudantes, aproximando a matemática da realidade, facilitando a compreensão dos alunos, fazendo-os
perceber que a matemática está presente em nosso cotidiano. Para tanto, adotou-se o basquetebol como objeto de
estudo, tema este sugerido por eles. Para melhor execução da prática, aplicou-se a Modelagem como aporte
pedagógico envolvendo a Matemática com as disciplinas de Educação Física e Física. Durante a aplicação, a
professora propôs aos alunos situações, induzindo-os a pesquisar e descobrir a matemática no basquetebol. A
presente experiência pode ser aplicada a outros esportes, desde que tenha caráter motivador e desperte interesse dos alunos pelas atividades propostas. O resultado desta prática foi, a satisfação dos estudantes na discussão e
realização das tarefas em grupo, além da aquisição de conceitos matemáticos envolvendo a interdisciplinaridade.
Palavras-chave: Ensino Médio. Modelagem matemática. Interdisciplinaridade. Basquetebol.
Justificativa
O presente trabalho tem por objetivo compartilhar um método pedagógico praticado
por acadêmicos do Instituto Federal Catarinense - Camboriú, numa turma do segundo ano do
ensino médio, da mesma instituição citada anteriormente.
A prática aqui mencionada teve seu planejamento direcionado à aplicação da
modelagem matemática, sendo esta a metodologia empregada, juntamente com a
interdisciplinaridade, trabalhando conceitos matemáticos atribuídos a conteúdos atrativos para
os estudantes.
Adotou-se Modelagem Matemática como um aporte pedagógico de se fazer
compreender e solucionar situações/problemas que nos cercam, descobrindo a matemática em
diversas ocasiões onde não a visualizamos diretamente, tendo a possibilidade de resolver estas
questões com emprego de conceitos matemáticos em andamento ou já vistos em sala.
Atividades de Modelagem Matemática sob essa perspectiva pode além da
aprendizagem do conteúdo trazer também reflexões, reações e ações acerca da
situação que está sendo investigada e daí emerge a não neutralidade dos modelos
matemáticos desenvolvidos na sala de aula, já que o modelo reflexivo tem potencial
para suscitar interpretações para os modelos em relação às situações a que estão associados e pode orientar como agir numa situação estruturada pela matemática.
(ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 33).
2
Foi considerando também a importância dos jogos esportivos na vida do ser humano,
bem como a apreciação dos jovens e, ascendendo um momento de competição, instigando-os
a participar das aulas, que se decidiu unir jogos esportivos e educação.
Atualmente a competição está inserida em todos os segmentos de nossa sociedade, o
que, muitas vezes, é vista como um aspecto negativo. Assim, se lidarmos com a
prática coerente do esporte, de forma a valorizar a competição, levará nossos jovens
a aprenderem a lidar com seus limites e superações (PACHECO, 2011, p. 1)
Optou-se pela interdisciplinaridade considerando sua característica de aproximar
currículos, valorizando algumas disciplinas dentro de um mesmo contexto. Pode-se afirmar
também que ela tem:
[...] Caráter operacional, de modo a orientar a ação, um processo que tem como
objetivo a integração e engajamento de educadores, em trabalho conjunto de
interação das disciplinas do currículo escolar entre si e com a realidade, com a
finalidade de superar a fragmentação do ensino, objetivando a formação integral dos
alunos (CUNHA; SPIM; BOSCHETTI, 2014, p. 04).
Ao abordar o esporte Basquetebol, entrelaçamos a Física por meio dos conceitos
energia cinética, grandeza vetorial e escalar, ponto de referência (posição, tempo e trajetória),
lançamento vertical, gravidade (massa e peso), velocidade escalar média (quantidade de
movimento); impulso.
A contribuição das aulas de Educação Física foi por meio da prática do jogo, tornando
mais visíveis os conceitos científicos citados anteriormente, incluídos no conteúdo,
explorando conhecimentos de postura corporal do aluno, posicionamento em quadra, regras
desse esporte e convivência em grupo. Já com relação à Matemática, abordaram-se os
conceitos de perímetro e área de figuras planas, volume de um sólido geométrico, ângulos,
equações, funções, gráficos e análise combinatória.
O envolvimento dos professores das três disciplinas propiciou o trabalho em equipe,
caracterizando assim a interdisciplinaridade, oportunizando também o ensino e aprendizado
via modelagem matemática, que se passa a discorrer.
Aplicando o método
Para aplicação deste trabalho, inicialmente, foram apresentadas aos alunos, as
principais modalidades de esporte: ‘voleibol, futsal, basquetebol, handebol, atletismo’,
pedindo-lhes que entrassem em consenso na turma e escolhendo um dos esportes como tema
gerador.
Assim, sugerido pelos alunos, optou-se pelo basquetebol como jogo em pesquisa,
considerando ser uma modalidade esportiva praticada particularmente nas aulas de educação
física.
3
Ressalta-se que nada impede que esta prática seja estendida pelo professor a outros
jogos, desde que seja possível o acesso dos alunos ao jogo e seus componentes, como quadra,
bola, rede, enfim, artefatos específicos que possibilitem a prática e a compreensão do jogo e
dos conceitos envolvidos. Somente desta forma os alunos poderão interagir com o jogo,
tornando-o mais atrativo, palpável e menos teórico.
A intenção deste trabalho foi mostrar aos alunos que a matemática faz parte das mais
diversas áreas do cotidiano, sendo uma ferramenta de serviço muito utilizada, porém pouco
percebida. Além disso, trabalhou-se com algo prático para os alunos e não somente com
teorias, algo possível de ver e fazer tudo o que estava sendo calculado.
O desafio foi apresentar a matemática inserida no basquetebol, por meio de pesquisas,
usando-se conceitos de geometria plana, espacial e analítica, funções do 1º e 2º grau, análise
combinatória. Foram mostrados, ainda, cálculos, fórmulas e gráficos realizados, tanto na
disciplina Matemática quanto na disciplina Física, desenvolvendo o raciocínio lógico-
matemático, junto à capacidade de resolução de problemas relacionados a este esporte,
praticando, concomitante a isso, suas técnicas e regras juntamente com a disciplina Educação
Física.
No primeiro momento, em sala de aula após a escolha do esporte, a classe tendo 35
alunos foi dividida em grupos com cinco alunos, com os professores perguntando-lhes onde
estava a matemática no jogo de basquetebol. Com alguns minutos de conversa feita pelos
grupos surgiram as primeiras ideias, tais como: o tamanho oficial de uma quadra de
basquetebol; o número de atletas que compõem o time; a velocidade do arremesso da bola; a
trajetória da bola; a forma e tamanho dos tacos que fazem parte do revestimento da quadra; a
velocidade da bola.
Esse foi um momento importante para reflexão, no entanto, não o suficiente para que
respondessem completamente onde e quais conteúdos matemáticos estavam envolvidos no
basquetebol. A partir daí, os estudantes se sentiram estimulados a fazer pesquisas, leituras e
discussões mais aprofundadas sobre o tema.
No segundo momento, os alunos foram levados à quadra de esportes pelo professor de
educação física, para jogar uma partida de basquetebol. A intenção era aprender as regras do
jogo e analisar tudo o que acontecia para saber se havia mais algum ponto em que a
matemática e a física estavam presentes. Neste momento o professor da disciplina de física
entrou em ação, mostrando em cada movimento o conteúdo e os conceitos presentes num
jogo. Foi nesse ponto em que houve a interdisciplinaridade, os alunos trabalhavam três
disciplinas ligadas ao mesmo tema “Basquetebol”.
4
Ao término dessas observações e análises, iniciaram-se as pesquisas. Os autores
levantaram uma série de questões, em que a cada aula era proposto um exercício diferente
para cada grupo, com data marcada para apresentação à turma.
Para resolução e conclusão do trabalho, os alunos precisavam pesquisar e criar um
modelo matemático como solução das questões, com o auxílio dos livros didáticos, sites
educacionais, troca de informações entre eles mesmos, podendo tirar dúvidas com os
professores. Dessa forma, em cada situação problema, os alunos/grupos eram estimulados a
buscar soluções, descobrindo e descrevendo quais conceitos matemáticos estão envolvidos
num jogo de basquete.
Na apresentação deste trabalho foi selecionado um exercício realizado por cada grupo
e que, posteriormente, foi socializado com a turma.
Aplicações utilizando a matemática como suporte / Inter-relação com outras disciplinas.
Função do 1º grau: Considerando a medida de um taco (17 cm x 21 cm) e a medida de uma
quadra oficial, confirmada após medições realizadas pelos alunos no ginásio poliesportivo,
pede-se:
Qual é o modelo matemático para a área em função do número de tacos, conforme a
medida apresentada? Mostre graficamente.
Diante da situação proposta aos grupos, eles, após efetuar as medições das dimensões
de um taco na quadra de basquetebol, elaboraram o Quadro 1 acompanhado do respectivo
gráfico, conforme a ilustração da Figura 1.
Quadro 1: Relação entre número
de tacos e a área calculada
N° de
Tacos
Área Ponto
1 357 A
2 714 B
3 1071 C
X ? Fonte: Documento do autor.
Figura 1: Gráfico da área em função dos tacos
1071
714
357
0 1 2 3x
A (cm )2
A
B
C
Fonte: Documento do autor.
Diante do conhecimento adquirido no 1o ano do Ensino Médio, tanto em Física como
em Matemática, os grupos determinaram a expressão matemática que representa a situação
problema, tendo como referência a fórmula y = ax + b, onde o ‘a’ corresponde ao ‘coeficiente
angular’ responsável pela inclinação da reta; o ‘b’ corresponde ao ‘coeficiente linear’, ou seja,
o valor em que o gráfico intercepta o eixo da ordenada.
357R/AAIm(f)
1R/xxD(f)
5
Ao observar o gráfico construído, alguns grupos afirmaram que o gráfico localizado
no 1o. Quadrante, não intercepta o eixo y, considerando que a área do taco deve ter valor
positivo. Projetando o gráfico no eixo x (no. tacos) e eixo y (área) os grupos determinaram a
tendência da variação.
Para definir a função, se escolhe dois pontos A e B; substituindo esses dados na
fórmula, encontra-se o coeficiente angular ‘a’.
tgαa 3572
714
13
3571071
Δx
Δy
Tendo o valor de ‘a = 357’ e escolhendo um dos pontos ‘A ou B’, por exemplo, o
ponto A (1; 357), substitui-se os dados na expressão geral da função do 1o grau (y = ax + b),
determinando o valor de ‘b’, construindo a expressão matemática que representa a situação-
problema.
y = ax + b => para y = 357x => y = 357 + b => 357 = 357 (1) + b => b = 0
Trabalhando com a fórmula de superfície e volume de uma esfera.
Sabendo-se o valor do diâmetro de uma bola oficial de Basquetebol como podemos
descobrir o valor da superfície esférica (calota) e seu volume, conforme a Figura 2?
Figura 2: Ilustração de uma bola de basquetebol
Fonte: Wikipédia (2014).
Com o auxílio de uma fita métrica os alunos obtiveram o valor aproximado da
circunferência (78 cm); encostando a bola na parede e posicionando uma ripa (paralela à
parede), mediu-se a distância desta ripa a parede obtendo assim o valor aproximado do
diâmetro (d = 24,84cm). Em seguida encontraram o valor do raio (r = d/2 = 24,84/2 = 12,42
cm). Substituindo os dados na fórmula da superfície e volume de uma esfera, calcularam o
valor aproximado do objeto indispensável neste esporte.
Aplicando função do 2º grau (quadrática)
3
3
3
8021,08cm3
24063,257V
,42)(3,14).(123
4V
π.r3
4V
2
2
2
1937,46cmS
4)56(154,256 12,S
)14).(12,42 4(3,S
r 4πS
6
O atleta arremessou a bola para cesta conforme a ilustração. Será possível construir
um modelo matemático observando os dados e cotas da curva aberta (parábola) indicando a
trajetória da bola conforme a Figura 3 e 4.
Figura 3: Postura corporal de um aluno antes Figura 4: Aluno realizando o arremesso da bola
do lançamento
Fonte: Elaborado pelos alunos. Fonte: Elaborado pelos alunos.
Para se determinar uma função do 2º grau, que representa a curva (parábola), este
grupo escolheu três pares ordenados A(0 ; 2), B(3 ; 4) e C(6 ; 3), substituindo-os na expressão
geral (y = ax² + bx + c) formando três equações.
Expressão geral: y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c
A (0, 2) => 2 = a(0)² + b(0) + c => c = 2 (eq. I )
B (3, 4) => 4 = a (3)² + b (3) + c => 4 = 9a + 3b + 2 => 9a + 3b = 2 (eq. II )
C (6, 3) => 3 = a (6)² + b (6) + c => 3 = 36a + 6b + 2 => 36a + 6b = 1 (eq. III)
Para determinar os coeficientes a e b, os alunos por meio de um sistema formado com
as equações II e III, optando pelo método da adição, encontraram os coeficientes ‘a’ e ‘b’:
9a + 3b – 2 = 0 .(-2) - 18a – 6b + 4 = 0 a = - 3/18 = - 1/6
36a + 6b – 1 = 0 (+) 36a + 6b – 1 = 0
18a + 3 = 0
Substituindo o valor de ‘a = - 1/6’ em qualquer uma das equações (II ou III) o grupo
encontrou o valor de b.
Eq. II: 9a + 3b = 2 => 9(- 1/6) + 3b = 2 => (-9/6) + 3b = 2
=> 3b = 2 + (3/2) => 6b = 7 => 3b = 7/2 => b = 7/6
De posse dos valores de a, b e c, elaboraram a expressão matemática, que representa a
altura (y) da bola em função da distância (x):
y = ax² + bx + c => y = (-1/6)x² + (7/6)x + 2
Aplicando o Princípio fundamental da Contagem
7
Para um campeonato de Basquetebol foram inscritos quatro (4) clubes/times.
Determine, quantas e quais são as possibilidades de classificação para os três primeiros
lugares, sabendo que só os três primeiros receberão medalhas.
Nesta questão encontram-se duas reflexões: ‘quantas’ e ‘quais’, originando duas
respostas, dividindo consequentemente o problema em duas etapas.
Para encontrar ‘quantas são’ as possibilidades, os alunos (grupos) apresentaram dois
caminhos a seguir:
a) Princípio da Contagem p = p1 . p2 . p3
a.1) p = 1ªL . 2ªL . 3ªL
a.2) p = 4p . 3p . 2p = 24 possibilidades
b) A fórmula adequada para ser utilizada é arranjo ou combinação?
Como a ordem de classificação altera a premiação, utilizou-se a formula de Arranjo.
An, p = n!___ => A4,3 = 4!___ = 4.3.2.1! = 24 possibilidades
(n - p)! (4 – 3)! 1!
Para encontrar ‘quais são’ as possibilidades, utilizaram a árvore de possibilidades,
determinando assim, as distintas maneiras para a classificação dos três primeiros lugares.
1° Lugar 2° Lugar 3° Lugar
Y Z = xyz
W = xyw
X Z Y = xzy
W = xzw
W Y = xwy
Z = xwz
Parcial: 6 possibilidades.
1° Lugar 2° Lugar 3° Lugar
Z X = yzx
W = yzw
Y W Z = ywz
X = ywx
X Z = yxz
Y = yxw
Quais
Quais
8
Parcial: 6 possibilidades
1° Lugar 2° Lugar 3° Lugar
X Y = zxy
W = zxw
Z Y X = zyx
W = zyw
W Y = zwy
X = zwx
Parcial: 6 possibilidades
Parcial: 6possibilidades
Total = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 (6) = 24 possibilidades (Quantas).
Aplicando o princípio da contagem
O treinador da seleção brasileira de basquetebol tem a sua disposição em seu elenco 12
jogadores. De quantas formas diferentes o treinador poderá organizar o time para começar o
jogo?
O time de basquetebol é formado por 5 (cinco) jogadores titulares, mais os reservas.
No ato da inscrição do time que entra em campo, registra-se o nome do atleta na súmula e não
a posição que este ocupa na quadra. Sendo assim, a ordem (troca de posição) não constitui um
novo time. Diante deste fato, aplicou-se a fórmula de Combinação:
1° Lugar 2° Lugar 3° Lugar
X Y = wxy
Z = wxz
X = wyx W Y
Z = wyz
Z X = wzx
Y = wzy
Quais
Quais
9
C12,5 = _ 12!___ =_12. 11. 10. 9. 8. 7!_ = 11. 9. 8 = 792 formas diferentes
(12 – 5)! 5! 7!. 5.4.3.2.1
Utilizando elementos da física
Uma bola de basquete é arremessada por um jogador, de 1.90 m de altura, com uma
velocidade de 36 km/h (10 m/s) formando um ângulo de 30º com a horizontal. A bola
consegue atingir a cesta, que está a 1,90 m do solo. Determine o tempo que a bola demora a
atingir a cesta, a altura máxima atingida pela bola e o alcance desta.
Figura 5: Postura corporal de um aluno num arremesso.
Fonte: Elaborado por um dos grupos de alunos.
1o passo: Decompor as velocidades V0x e V0y
Figura 6: Inclinação do vetor velocidade inicial Figura 7: Ilustração gráfica da situação nos eixos x e y
Fonte: Elaborado por um dos grupos.
Fonte: Elaborado por um dos grupos.
Vox = Vo . cos 30ᵒ Voy = Vo . sen 30ᵒ
Vox = 10 . 0, 87 Voy = 10 . 0,5 = 5m/s
V0x = 8,7 m/s Voy = 5 m/s
2º. Passo: Determinar a altura máxima (eixo y) alcançada pela bola e o tempo para atingir
essa altura.
Para determinar a altura máxima, um dos grupos determinou o tempo que a bola levou
para atingir tal altura. Aplicando a expressão da Física referente ao movimento retilíneo
variado e sabendo que a aceleração da gravidade é ‘a = -10 m/s²’. Considerando que quando a
bola alcança a altura máxima sua velocidade vertical é nula (zero), assim, o tempo ‘t’
procurado é:
10 m/s
30°
10 m/s 30o
Vox
V0y
10
1600
1024576
2561424
4
2
2
acb
Tempo: Sendo a = -10m/s² (gravidade)
Vy = V ou + a . t => 0 = 5 – 10 . t => t = 5/10 => t = 0,5 s
A bola leva 0,5 s para subir até a altura máxima e 0,5 s para voltar até 1,90 m de altura
(cesta).
O tempo total é, portanto, igual a s15,05,0 .
Altura: Utilizou-se a equação de Torricelli: V²y = V0y – 2 . g . h
V²y = V0y – 2 . g . h => 0² = 5² - 2 . 10 . h => 25 = 20h => h = 1,25
h = 1,25 é a altura, após 1,90 m, atingida pela bola.
Logo a altura total será: ht = 1,90 + 1, 25 = 3,15
Eixo X: Para determinar a distância da mão do aluno até a cesta, utilizou-se a fórmula:
d = Vx . t => d = (8,7) . (1,0) => d = 8,7 m
Equação do 1° grau
Os professores de matemática pediram que cada grupo determinasse o perímetro de
uma quadra de basquete, sabendo que a sua área é igual a 364 m2 e seus lados são
representados por (6 + x) m e (18 + x) m. A Figura 8 abaixo ilustra uma quadra de
basquetebol.
Figura 8: Planta de uma quadra de basquetebol
Fonte: Wikipédia (2014).
Lados da quadra
26m818x18
14m86x6
2
1
Perímetro da quadra
80m522826214222 21
Aplicando Sistemas de equações do 1° grau com duas incógnitas
025624xx
0364x18x6x108
364x18x6
364
364mÁrea
2
2
21
2
322
64
2
4024x
82
16
2
4024x
2
4024
12
160024
2a
Δbx
2
1
11
Cada um dos grupos ficou incumbido de resolver outra situação: uma quadra de
basquete tem a forma retangular e seu perímetro é 70 m. Como vocês encontrarão suas
dimensões, sabendo que a diferença entre elas é 15 m?
Figura 9: desenho de uma quadra de basquetebol
Fonte: Wikipédia (2014).
O grupo determinou as dimensões, sem medir ‘a largura e o comprimento’,
considerando que o perímetro é a soma dos lados da quadra obtém-se que:
2a + 2b = 70 ou a + b = 35.
Se a diferença entre as dimensões é 15 m, então a – b = 15. O que temos é um sistema
de equações do 1° grau com duas incógnitas, dados pelas equações:
O grupo resolveu o sistema pelo método da adição, simplesmente adicionando as duas
equações. Assim:
Se 35ba e 25a , então 10.b35b25
Logo, as dimensões da quadra de basquete são respectivamente 25 m (comprimento) e
10 m (largura).
Conclusão
Acompanhando o processo de pesquisa e aprendizagem dos alunos, foi perceptível o
comprometimento deles aos estudar algo que lhes agrada. Como o basquetebol já era um
esporte praticado frequentemente durante as aulas de Educação Física, foi possível se
aprofundar no tema, estudando as regras e origens, bem como toda a matemática envolvida,
deixando assim os alunos ainda mais fascinados pelo esporte e impressionados com a
matemática.
Algumas dificuldades foram constatadas, dentre os erros ocasionados por falta de
atenção, como troca de sinais e dúvidas na atribuição de valores a fórmulas, porém o maior
15ba
35ba
25a502a
15ba
35ba
12
obstáculo foi na visualização da matemática no esporte. Inicialmente, com algumas reflexões,
os alunos conseguiam falar sobre onde se encontrava tal situação, no entanto as dificuldades
surgiam no momento de reformular a questão matematicamente, ou seja, sabiam onde aplicar
a matemática, mas, não como aplicá-la, o que já era e se esperar, pois é de costume fornecer
equações e fórmulas prontas, e neste caso os alunos só tinham situações/problemas na qual
necessitavam encontrar valores do esporte, elaborar equações matemáticas, somente depois de
unir estas informações conseguiriam resolvê-las.
O processo trabalhado em grupos facilitou no esclarecimento das dificuldades acima
citadas, isso devido a trocas de informações e discussões, entre eles e com auxílio dos
professores também, ressaltando também que por ser uma atividade nova, partimos todos do
mesmo nível de conhecimento, sem discriminação entre quem sempre tira notas máximas ou
mínimas, este quesito propiciou uma maior interação e motivação da turma.
A junção de interdisciplinaridade, modelagem e esportes permitiu trabalhar tantos
outros assuntos matemáticos e físicos, nos quais não couberam neste artigo, sendo possível o
professor incrementar esta idéia, com o que mais lhe pareça favorável no desenvolvimento da
aprendizagem do aluno.
Referências
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