LIJEVA ALGEBRA an

Definicija 1. an = {X ∈ gln+1(C) | trX = 0} = sln+1(C)

Lema 1. Neka je B – Kilingova forma od an. Tada:

(∀X,Y ∈ an) B(X,Y ) = 2(n+ 1)tr(X · Y )

Dokaz 1. an / gln+1(C) ⇒ Kilingove forme su im iste. Neka su X,Y ∈ gln+1(C), tada:

B(X,Y ) =n+1∑i,j=1

〈(adXadY )(Eij), Eij〉 =n+1∑i,j=1

〈[X, [Y,Eij ]] , Eij〉 =n+1∑i,j=1

〈[X, Y Eij − EijY ] , Eij〉 =

=n+1∑i,j=1

〈XY Eij −XEijY − Y EijX + EijY X,Eij〉 =n+1∑i,j=1

{(XY )ii −XiiYjj − YiiXjj + (Y X)jj} =

= 2(n+ 1)tr(XY )− 2(trX)(trY )

X,Y ∈ an ⇒ trX = trY = 0 ⇒ B(X,Y ) = 2(n+ 1)tr(XY ) u

Posledica 2. an je poluprosta.

Dokaz 2. Treba pokazati da je B – nedegenerisana.

X ∈ an ⇒ X∗ ∈ an

B(X,X∗) = 2(n+ 1)tr(XX∗) = 2(n+ 1)n+1∑i,j=1

Xij(X∗)ji = 2(n+ 1)

n+1∑i,j=1

XijXij = 2(n+ 1)n+1∑i,j=1

|Xij |2

X 6= 0 ⇒ B(X,X∗) 6= 0 u

Lema 3. Kartanova podalgebra od an je h(an) = {H ∈ an | H − dijagonalna}

Dokaz 3. Treba pokazati da je h(an) maksimalna Abelova i da je za svako H ∈ h(an) : adH – poluprosta.

1) Dijagonalne matrice komutiraju ⇒ h(an) – Abelova

2) Neka je X ∈ an : Xij 6= 0 za neko i 6= j i neka je H ∈ h(an) : Hii 6= Hjj . Tada je:

0 = [H,X] = ((Hii −Hjj)Xij) 6= 0 ⇒ h(an) – maksimalna.

3) H ∈ h(an) : (adH)(Eij) = [H,Eij ] = (Hii −Hjj)Eij

adH – dijagonalizabilan i njegova matrica u bazi {Eij} Kartanove podalgebre h(an) je dijagonalna matrica

⇒ adH – poluprosta u

Lema 4. Ako je ωi : h(an) → C, ωi(H) = Hii, i = 1, . . . , n + 1, onda je ∆(an) = {ωi − ωj | i 6= j } skup nenula korenova odan u odnosu na h(an).

Dokaz 4.

(adH)(Eij) = HEij − EijH = HiiEij −HjjEij = (Hii −Hjj)Eij = (ωi − ωj)(H)Eij

i 6= j ⇒ ωi − ωj – nenula koren od an

broj korenova: dim an − rang an = dim an − dimh(an) = (n+ 1)2 − (1 + n) = n2 + n

⇒ ωi − ωj – svi korenovi od an u

Lema 5. Prost sistem korenova od an je {α1, . . . , αn}, gde je αi = ωi − ωi+1, i = 1, . . . , n

Dokaz 5.

ωi − ωj =j−1∑k=i

αk, i < j, ⇒ ∆(an) = 〈α1, . . . , αn〉 αi – prosti u

Lema 6. Hωi = Eii2(n+1)

Dokaz 6.

B(Hωi , H) = ωi(H), H ∈ h(an) i B(Hωi , h) = 0 kad je B(X,h) = 0 ⇒ Hωi = λEii, λ ∈ C

1 = ωi(Eii) = B(Hωi , Eii) = 2(n+ 1)tr(λEii, Eii) = 2(n+ 1)λ ⇒ λ = 12(n+1)

⇒ Hωi = Eii2(n+1)

u

Lema 7. Dinkinov dijagram za an je• • . . . • •

Dokaz 7. 1 ≤ i < j ≤ n+ 1

B(αi, αj) = B(Eii − Ei+1 i+1, Ejj − Ej+1 j+1) = −B(Ei+1 i+1Ejj) = −2(n+ 1)tr(Ei+1 i+1Ejj) = −2(n+ 1)δi+1 j

1

B(αi, αi) = B(Eii − Ei+1 i+1, Eii − Ei+1 i+1) = B(Eii, Eii) +B(Ei+1 i+1, Ei+1 i+1) = 4(n+ 1)

aij = 2B(αi,αj)

B(αi,αi)=

−4(n+1)δi+1 j

4(n+1)= −δi+1 j , i < j

aji = 2B(αi,αj)

B(αj ,αj)= −δi+1 j , i < j

⇒ aijaji = δi+1 j , i < j – broj linija izmedju αi i αj

Takodje, svaki cvor istu tezinu (mozemo uzeti da je jednaka 1) u

Lema 8. Realna Lijeva algebra su(n + 1) = {X ∈ an | X = −X∗ } je kompaktna realna forma od an = sln+1 i τ : an → an

definisano sa τ(X) = −X∗ je konjugacija koja fiksira skup su(n+ 1).

Dokaz 8.

X,Y ∈ su(n+ 1) : [X,Y ]∗ = (XY )∗ − (Y X)∗ = Y ∗X∗ −X∗Y ∗ = Y X −XY = − [X,Y ]

⇒ su(n+ 1) – podalgebra algebre an

X ∈ su(n+ 1) : B(X,X) = 2(n+ 1)tr(X2) = −2(n+ 1)tr(XX∗) = −2(n+ 1)∑i,j

|Xij |2

⇒ B – negativno definitna na su(n+ 1) ⇒ su(n+ 1) – kompaktna realna forma od an

Dokaz tvrdjenja za τ je trivijalan: X ∈ su(n+ 1) ⇒ τ(X) = −X∗ = X u

Lema 9. Realna Lijeva algebra sln+1(R) = {X ∈ gln+1(R) | tr(X) = 0} je podeljena realna forma od an = sln+1(C) iσ : an → an definisano sa σ(X) = X je involucija od an koja fiksira skup sln+1(R). Kartanova dekompozicija od sln+1(R) je:

sln+1(R) = so(n+ 1)⊕ {sηn+1(R) ∩ sln+1(R)},

gde su

so(n+ 1) ={X ∈ gln+1(R)

∣∣X = −Xt}

i sηn+1(R) ={X ∈ gln+1(R)

∣∣X = Xt}

Dokaz 9. Jasno je da su sln+1(R), so(n + 1), sηn+1(R) ∩ sln+1(R) sadrzane u sln+1(C), pri cemu su prve dve podalgebre.Trivijalno, σ fiksira skup sln+1(R).

sln+1(R) =n∑

i=1

(Eii − Ei+1 i+1)R⊕∑i6=j

EijR

{Eii − Ei+1 i+1 | 1 ≤ i ≤ n} – baza Kartanove podalgebre h(an)

{Eij | i 6= j } – koreni od (an, h(an))

⇒ sln+1(R) – normalna realna forma od an

sln+1(R) ∩ su(n+ 1) ={X ∈ sln+1(R)

∣∣ X = X ∧ X = −X∗}=

{X ∈ sln+1(R)

∣∣ X = −Xt}

= so(n+ 1)

sln+1(R) ∩ i su(n+ 1) ={X ∈ sln+1(C)

∣∣X = X ∧ iX = −iX∗}=

{X ∈ sln+1(R)

∣∣X = Xt}

= sηn+1(R) ∩ sln+1(R)

X ∈ su(n) : −(σ(X))t = −Xt = −Xt = σ(−Xt) = σ(X)

⇒ σ(X) ∈ su(n) ⇒ σ(su(n)) = su(n)

⇒ sln+1(R) = so(n+ 1)⊕ {sηn+1(R) ∩ sln+1(R)} – Kartanova dekompozicija u

Lema 10.

su∗(2n) =

{(w z-z w

)∣∣∣∣ w, z ∈ glnC, Re(trw) = 0

}je realna forma od a2n−1 = sl2nC. Takodje, ϕ : a2n−1 → a2n−1 definisana sa ϕ(X) = −JXJ , gde je

J =

(0 I−I 0

),

je involucija od a2n−1 koja fiksira skup su∗(2n). Kartanova dekompozicija od su∗(2n) je:

su∗(2n) = sp(n)⊕ p,

gde su

sp(n) =

{(w z−z w

)∣∣∣∣ w ∈ su(n), z ∈ sηn(C)

}sηn(C) =

{z ∈ gln(C)

∣∣ z = zt}

p =

{(w z−z w

)∣∣∣∣ w ∈ sηhn(C), Re(tr w) = 0, z = −zt

}sηhn(C) =

{w ∈ gln(C)

∣∣ w = wt}

2

Dokaz 10. Jasno je da su su∗(2n), sp(n), p sadrzane u a2n−1 = sl2n(C), pri cemu su prve dve podalgebre.(A BC D

)∈ sl2n(C) : ϕ

(A BC D

)= −

(0 I−I 0

)(A BC D

)(0 I−I 0

)=

(D −C−B A

)ϕ

(A BC D

)=

(A BC D

)⇔ A = D ∧ B = −C

⇒ su∗(2n) – fiksna tacka preslikavanja ϕ

su∗(2n)∩su(2n) =

{(w z−z w

)∣∣∣∣ w, z ∈ gln(C), Re(tr w) = 0,w = −w∗, −z = −z∗

}=

{(w z−z w

)∣∣∣∣ w ∈ su(n), z = zt ∈ gln(C)

}= sp(n)

su∗(2n)∩isu(2n) =

{(w z−z w

)∣∣∣∣ w, z ∈ gln(C), Re(tr w) = 0,

w = iwt, −iz = −izt

}=

{(w z−z w

)∣∣∣∣ w, z ∈ gln(C), Re(tr w) = 0,w = −w∗, −z = −z∗

}= p

X ∈ su(2n) : (−ϕ(X))∗ = (JXJ)∗ = J tX∗J t = (−J)X∗(−J) = JX∗J = ϕ(−X∗) = ϕ(X)

⇒ ϕ(su(2n)) = su(2n)

⇒ su∗(2n) = sp(n)⊕ p – Kartanova dekompozicija uLema 11. Za svako p, q:

su(p, q) =

{(w zz∗ v

)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0, z ∈Mp×q(C)

}je realna forma od ap+q−1 = slp+q(C) i ψpq : ap+q−1 → ap+q−1 definisana sa ψ(X) = −IpqX

∗Ipq, gde je

Ipq =

(−Ip 00 Iq

),

je involucija od slp+q(C) koja fiksira skup su(p, q). Kartanova dekompozicija od su(p, q) je:

su(p, q) = s(u(p)⊕ u(q))⊕ s,

gde su

s(u(p)⊕ u(q)) =

{(w 00 v

)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0

}s =

{(0 zz∗ 0

)∣∣∣∣ z ∈Mp×q(C)

}Dokaz 11. Jasno je da su su(p, q), s(u(p)⊕ u(q)), s sadrzane u ap+q−1 = slp+q(C), pri cemu su prve dve podalgebre.(

A BC D

)∈ slp+q(C), A ∈ glp(C), D ∈ glq(C), B ∈Mp×q(C)

ψpq

(A BC D

)= −

(−Ip 00 Iq

)(A∗ B∗

C∗ D∗

)(−Ip 00 Iq

)=

(−A∗ C∗

B∗ −D∗

)ψ

(A BC D

)=

(A BC D

)⇔ A = −A∗ , D = −D∗, C = B∗

⇒ su(p, q) – fiksna tacka preslikavanja ψpq

su(p, q) ∩ su(p+ q) =

{(w zz∗ v

)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0z = −z∗, z ∈Mp×q(C)

}=

{(w 00 v

)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0

}= s(u(p)⊕ u(q))

su(p, q) ∩ i su(p+ q) =

{(w zz∗ v

)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0

−i wt = i w, −i vt = i v, z ∈Mp×q(C)

}=

{(w zz∗ v

)∣∣∣∣ w ∈ u(p), v ∈ u(q), tr w + tr v = 0w∗ = w, v∗ = v, z ∈Mp×q(C)

}=

{(0 zz∗ 0

)∣∣∣∣ z ∈Mp×q(C)

}= s

X ∈ su(p+ q) : (−ψpq(X))∗ = (IpqXIpq)∗ = IpqX

∗Ipq = ψpq(−X∗)

⇒ su(p+ q) = ψpq(su(p+ q))

⇒ su(p+ q) = s(u(p)⊕ u(q))⊕ s – Kartanova dekompozicija uLema 12. Centar grupe SU(n) je

Z(SU(n)) = {ωI | ω ∈ C, |ω| = 1, ωn = 1} = Zn

Takodje, τ : SU(n) → SU(n) definisan sa τ(X) = X je spoljni automorfizam od SU(n), n > 2.

Dokaz 12. Prvo tvrdjenje je ocigledno, a drugo sledi iz cinjenice da restrikcija τ na Z(SU(n)) nije identiteta. u

3