A Nilai Perbandingan Trigonometri · PDF fileSMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang 1 TRIGONOMETRI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI A Nilai Perbandingan Trigonometri Perhatikan segitiga berikut

1 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

TRIGONOMETRI

A Nilai Perbandingan Trigonometri

Perhatikan segitiga berikut !

Y

r y

X

O x

Sin = r

y

Cos = r

x

Tan = x

y

Cosec = y

r

Sec = x

r

Cotan = y

x

Selanjutnya nilai perbandingan trigonometri suatu sudut segitiga dapat ditentukan dengan

menggunakan daftar / tabel dan kalkulator.

B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Perhatikan gambar berikut !

45 60

2 1 2 1

45 30

1 3

Sin 30 = 2

1

Sin 45 = 2

12

Sin 60 = 2

13

Cos 30 = 2

13

Cos 45 = 2

12

Cos 60 = 2

1

Tan 30 = 3

13

Tan 45 = 1

Tan 60 = 3

Tabel Nilai Fungsi Trigonometri Untuk Sudut Istimewa

0 30 45 60 90

Sin 0

2

1

2

12

2

13

1

Cos 1

2

13

2

12

2

1

0

Tan 0

3

13

1 3

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI 1


C Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

a. Kuadran I (0 < < 90 )

Sin (90 - ) = Cos

Cos (90 - ) = Sin

Tan (90 - ) = Cotan

Cosec (90 - ) = Sec

Sec (90 - ) = Cosec

Cotan (90 - ) = Tan

b. Kuadran II (90 < < 180 )

Sin (90 + ) = Cos

Cos (90 + ) = - Sin

Tan (90 + ) = - Cotan

Cosec (90 + ) = Sec

Sec (90 + ) = - Cosec

Cotan (90 + ) = - Tan

c. Kuadran II (90 < < 180 )

Sin (180 - ) = Sin

Cos (180 - ) = - Cos

Tan (180 - ) = - Tan

Cosec (180 - ) = Cosec

Sec (180 - ) = - Sec

Cotan (180 - ) = - Cotan

d. Kuadran III (180 < < 270 )

Sin (180 + ) = - Sin

Cos (180 + ) = - Cos

Tan (180 + ) = Tan

Cosec (180 + ) = - Cosec

Sec (180 + ) = - Sec

Cotan (180 + ) = Cotan

e. Kuadran III (180 < < 270 )

Sin (270 - ) = - Cos

Cos (270 - ) = - Sin

Tan (270 - ) = Cotan

Cosec (270 - ) = - Sec

Sec (270 - ) = - Cosec

Cotan (270 - ) = Tan

f. Kuadran IV (270 < < 360 )

Sin (270 + ) = - Cos

Cos (270 + ) = Sin

Tan (270 + ) = - Cotan

Cosec (270 + ) = - Sec

Sec (270 + ) = Cosec

Cotan (270 + ) = - Tan

g. Kuadran IV (270 < < 360 )

Sin (360 - ) = -Sin

Cos (360 - ) = Cos

Tan (360 - ) = -Tan

Cosec (360 - ) = - Cosec

Sec (360 - ) = Sec

Cotan (360 - ) = - Cotan

h. Kuadran IV (270 < < 360 )

Sin (- ) = - Sin

Cos (- ) = Cos

Tan (- ) = - Tan

Cosec (- ) = - Cosec

Sec (- ) = Sec

Cotan (- ) = - Cotan

Pada sistem koordinat kartesius dapat digambarkan sebagai berikut :

Y

Sin : + Sin : +

Cos : - Cos : +

Tan : - Tan : +

O X

Sin : - Sin : -

Cos : - Cos : +

Tan : + Tan : -

Contoh:

(i) Sin 65 = Cos (90 – 65) = Cos 25

(ii) Cos 120 = Cos (180 – 60) = - Cos 60 = - 2

1

(iii) Tan 210 = Tan (180 + 30) = Tan 30 = 3

13

(iv) Sin 315 = Sin (360 – 45) = - Sin 45 = - 2

12

(v) Cos (-60) = Cos 60 = 2

1


D Nilai Periodik

Sin ( + k.360 ) = Sin

Cos ( + k.360 ) = Cos

Tan ( + k.180 ) = Tan ; k B

Contoh:

(i) Sin 400 = Sin (40 + 1. 360 ) = Sin 40

(ii) Cos 780 = Cos (60 + 2. 360 ) = Cos 60

(iii) Tan 480 = Tan (120 + 2. 180 ) = Tan 120

Latihan 1

1. Perhatikan gambar di samping!

Tentukan : C 12 B

a. Sin A, Cos A, Tan A, Cotan A, Sec A, Cosec A

b. Sin B, Cos B, Tan B, Cotan B, Sec B, Cosec B 5 13

A

2. Jika lancip, carilah nilai perbandingan trigonometri sudut , jika diketahui :

a. Sin = 0,5 b. Cos = 25

7 c. Tan =

3

4

3. Sin 30 + Tan 60 . Cos 60 = …

4. 45

45

Cos

Sin = …

5. Tan 30 + Tan 60 = …

6. Sin 30 . Cos 60 + Sin 45 . Cos 45 = …

7. Buktikan Cos 60 . Cos 30 - Sin 60 . Sin 30 = 0 !

8. QR = …cm R

PQ = …cm

12 cm

P Q

9. AB = …cm C

15 cm

A B

10. Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri sudut berelasi,lengkapi tabel berikut !

120

135

150

180

210

225

240

270

300

315

330

360

Sin … … … … … … … … … … … …

Cos … … … … … … … … … … … …

Tan … … … … … … … … … … … …

30

0

30

0


Sebuah titik P dapat digambarkan pada bidang XOY atau pada bidang kartesius, koordinat

titiknya P(x, y). Titik P juga dapat dinyatakan dengan koordinat kutub (polar), koordinat titiknya

P(r, ) dengan :

r = jarak titik O ke titik P

= sudut yang dibentuk garis OP dengan sumbu X

Y Y Y

P(x,y) P(r, ) P(r cos , r. sin )

y r r y

O x X O X O x X

Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub adalah sebagai berikut :

(i) Kartesius Kutub

P(x, y) P(r, )

r = 22 yx

Tan = x

y

(ii) Kutub Kartesius

P(r, ) P(x, y)

x = r.cos

y = r.sin

Contoh:

1. Nyatakan titik P(4, 3) dalam koordinat kutub !

Jawab:

r = 22 yx = 534 22

Tan = x

y = 75,0

4

3 = Tan

-1 0,75 = arc Tan 0,75 = 36,87

Jadi koordinat kutubnya P(5, 36,87 ).

2. Tentukan koordinat kartesius titik Q(4, 150 ) !

Jawab:

x = r cos = 4.cos 150 = 4 (-2

13 ) = -2 3

y = r sin = 4.sin 150 = 4 (2

1) = 2

Jadi koordinat kartesiusnya P(-2 3 , 2).

Latihan 2

1. Tentukan koordinat kartesius dari :

a. (4, 60 ) c. (8, 300 )

b. (5, 120 ) d. (3 2 , 225 )

2. Tentukan koordinat kutub dari :

a. (1, 3 ) c. (-5 3 , 5)

b. (6, -2 3 ) d (-3 2 , -3 6 )

KOORDINAT KUTUB (POLAR) 2


A Aturan Sinus

A Pada setiap segitiga ABC berlaku :

c b

B a C

Aturan sinus dipakai untuk menghitung unsur-unsur segitiga yang lain, jika diketahui :

(i) sisi, sudut, sudut

(ii) sudut, sisi, sudut

(iii) sisi, sisi, sudut

Contoh:

Diketahui segitiga ABC, a = 15 cm, b = 20 cm, B = 30 .

Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan sinus !

Jawab:

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

(i) B

b

A

a

sinsin sin A = 375,0

40

15

20

.15

20

30sin.15sin. 21

b

Ba

A = sin-1

0,375 = 22

(ii) C = 180 – ( A + B) = 180 - (22 + 30 ) = 180 - 52 = 128 .

(iii) C

c

B

b

sinsin c = 5,31

5,0

76,15

5,0

788,0.20

30sin

128sin.20

sin

sin.

B

Cb cm

B Aturan Kosinus

Pada setiap segitiga ABC berlaku :

Aturan Kosinus dipakai untuk mewnghitung unsure-unsur segitiga jika diketahui :

(i) sisi, sudut, sisi

(ii) sisi, sisi, sisi

Contoh:

Diketahui segitiga ABC, a = 20 cm, b = 30 cm dan C = 64 .

Hitunglah unsur-unsur yang lain dengan menggunakan aturan kosinus !

Jawab:

(i) c2 = a

2 + b

2 – 2ab cos C

= 202 + 30

2 – 2(20)(30) cos 64

= 400 + 900 – 1200(0,44) = 1300 – 526 = 774

c = 27,8

(ii) b2 = a

2 + c

2 – 2ac cos B cos B = 25,0

1112

274

)8,27)(20(2

30)8,27(20

2

222222

ac

bca

B = 75,7

(iii) A = 180 - ( C + B) = 180 - (64 + 75,7 ) = 40,2

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

a2 = b

2 + c

2 – 2bc cos A

b2 = a

2 + c

2 – 2ac cos B

c2 = a

2 + b

2 – 2ab cos C

ATURAN SINUS DAN KOSINUS 3


Latihan 3

1. Diketahui ABC , A = 60 , B = 45 dan panjang sisi BC = 12 cm.

Tentukan panjang sisi AC !

2. Pada segitiga DEF, D = 135 , EF = 6 cm, E = 20 .

Tentukan DF, F dan DE !

3. Diketahui ABC dengan A = 60 ,sisi b = 10 cm dan sisi c = 16 cm. Tentukan unsur-unsur

berikut!

a. panjang sisi a

b. besar B

c. besar C

4. Pada segitiga ABC, a = 6 cm, b = 10 cm, c = 7 cm, C = …?

Pada setiap segitiga ABC berlaku :

Rumus ini dipakai untuk menghitung luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang

diapitnya.

Rumus luas ABC jika diketahui ketiga sisinya :

Contoh:

Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui a = 4 cm, c = 3 cm dan B = 30 !

Jawab:

L ABC = 2

1 ac sin B

= 2

1. 4 . 3 . sin 30

= 2

1. 4 . 3 .

2

1

= 3 cm2.

Latihan 4

1. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2. AB = 8 cm dan AC = 16 cm. Tentukan besar sudut A !

2. Pada ABC, jika diketahui panjang sisi AB = 8 cm, sisi AC = 6 cm, dan A = 120 maka

tentukan luas ABC !

3. Diketahui ABC dengan B = 135 , AB = 3 cm dan BC = 4 cm. tentukan luas ABC !

4. Luas ABC adalah 12 2 cm2. Panjang AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Tentukan besar sudut A !

L ABC = 2

1.bc.sin A

= 2

1.ac.sin B

= 2

1.ab.sin C

L ABC = ))()(( csbsass

LUAS SEGITIGA 4

dengan s = 2

1(a + b + c)


A Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus – rumus :

1. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin

2. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin

3. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin

4. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin

5. Tan ( ) = TanTan1

TanβTanα

6. Tan ( ) = .TanTan1

TanβTanα

Contoh:

1. Jika Sin = 10

6 dan Cos =

13

12 dengan dan sudut lancip, hitunglah :

a. Sin ( )

b. Cos ( )

c. Tan ( )

Jawab:

Sin = 10

6 ; Cos =

10

8 ; Tan =

8

6

Cos = 13

12 ; Sin =

13

5 ; Tan =

12

5

a. Sin ( ) = Sin . Cos + Cos . Sin

= 10

6.13

12 +

10

8.13

5 =

65

56

130

112

130

40

130

72

b. Cos ( ) = Cos . Cos Sin . Sin

= 10

8.13

12

10

6.13

5 =

65

33

130

66

130

30

130

96

c. Tan ( ) = TanTan1

TanβTanα

=

12

5.

8

61

12

5

8

6

= 33

56

66

112

96

6696

112

2. Tanpa menggunakan tabel, hitunglah nilai Cos 75 !

Jawab:

Cos 75 = Cos (45 + 30 )

= Cos 45 . Cos 30 Sin 45 . Sin 30

= 2

12 .

2

13

2

12 .

2

1

= 24

16

4

1

= )26(4

1

3. Hitunglah nilai Cos 110 . Cos 25 Sin 110 . Sin 25 !

Jawab:

Cos 110 . Cos 25 Sin 110 . Sin 25 = Cos (110 + 25) = Cos 135 = 2

12

RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT 5


4. Jika Tan = 4

3dan Tan =

15

8, untuk dan sudut lancip, hitunglah nilai :

a. Sin ( )

b. Cos ( )

c. Tan ( )

Jawab:

Tan = 4

3 Sin =

5

3 ; Cos =

5

4

Tan = 15

8 Sin =

17

8 ; Cos =

17

15

a. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin

= 5

3.17

15

5

4.17

8 =

85

13

85

32

85

45

b. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin

= 5

4.17

15 +

5

3.17

8 =

85

84

85

24

85

60

c. Tan ( ) = .TanTan1

TanβTanα

= 84

13

60

8460

13

60

241

60

3245

15

8.

4

31

15

8

4

3

5. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai dari Sin 15o !

Jawab:

Sin 15o = Sin (45

o – 30

o)

= Sin 45o . Cos 30

o Cos 45

o . Sin 30

o

= 2

12 .

2

13

2

12 .

2

1

= 24

16

4

1

= )26(4

1

6. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai Cos 56o + Sin 56

o.Tan 28

o !

Jawab:

Cos 56o + Sin 56

o.Tan 28

o = Cos 56

o + Sin 56

o.

28 Cos

28Sin

= 28

28.Sin 56Sin + 28.56 Cos

Cos

Cos

= 128

28

28

)2856(

Cos

Cos

Cos

Cos

B Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Rumus – rumus :

1. Sin 2 = 2.Sin . Cos

2. Cos 2 = Cos2

- Sin2

= 2 Cos2

- 1

= 1 – 2 Sin2

3. Tan 2 = αTan1

2.Tanα2


Contoh:

1. Nyatakan Sin 3 ke dalam Sin !

Jawab:

Sin 3 = Sin (2 + )

= Sin 2 . Cos + Cos 2 . Sin

= 2.Sin . Cos . Cos + (Cos2

- Sin2

) .Sin

= 2.Sin . Cos2

+ Sin . Cos2

- Sin3

= 3. Sin . Cos2

- Sin3

= 3. Sin (1 – Sin2

) - Sin3

= 3. Sin - 3. Sin3

- Sin3

= 3. Sin - 4 Sin3

2. Dengan menggunakan Sin 60o =

2

13 , buktikan bahwa Sin 180

o = 0 !

Jawab:

Sin 180o = Sin (3 . 60

o)

Berdasarkan hasil contoh 1:

Sin 180o = 3. Sin 60

o – 4 . Sin

360

o

= 3 (

2

13 ) – 4 (

2

13 )

3

= 2

33 - 4 (

8

33 )

= 2

33 -

2

33 = 0

3. Jika Sin = 5

4 dan terletak di kuadrat ke-1, tentukan nilai dari yang berikut ini !

a. Sin 2 b. Cos 2 c. Tan 2

Jawab:

Sin = 5

4 Cos =

5

3 dan Tan =

3

4

a. Sin 2 = 2.Sin . Cos = 2. 5

4.5

3 =

25

24

b. Cos 2 = Cos2

- Sin2

= (5

3)2 – (

5

4)2 =

25

7

25

16

25

9

c. Tan 2 = αTan1

2.Tanα2

= 7

24

7

9

3

8

9

73

8

9

161

3

8

3

41

3

42

2

C Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

Rumus – rumus :

1. 2 Sin Cos = Sin ( + ) + Sin( - )

2. 2 Cos Sin = Sin ( + ) - Sin( - )

3. 2 Cos Cos = Cos ( + ) + Cos( - )

4. 2 Sin Sin = Cos( - ) - Cos ( + )

Contoh:

1. Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk selisih atau jumlah !

a. 2.Sin 3 .Cos 2 c. 2.Sin 60o.Cos 30

o

b. Cos 8 .Cos 2 d. Cos 105o.Cos 15

o

Jawab:

a. 2 Sin 3 Cos 2 = Sin (3 + 2 ) + Sin (3 - 2 )

= Sin 5 + Sin


b. Cos 8 Cos 2 = 2

1[Cos (8 + 2 ) + Cos (8 - 2 )]

= 2

1[Cos 10 + Cos 6 ]

c. 2 Sin 60o Cos 30

o = Sin (60

o + 30

o) + Sin (60

o - 30

o)

= Sin 90o + Sin 30

o

d. Cos 105o Cos 15

o =

2

1[Cos (105

o + 15

o) + Cos (105

o - 15

o)]

= 2

1[Cos 120

o + Cos 90

o]

2. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel, tentukan nilai dari yang berikut ini !

a. 2.Sin 75o.Cos 15

o

b. 2.Cos 120o.Sin 30

o

c. Cos 135o.Cos 15

o

Jawab:

a. 2.Sin 75o.Cos 15

o = Sin (75

o +15

o) + Sin (75

o - 15

o)

= Sin 90o + Sin 60

o = 1 +

2

12

b. 2.Cos 120o.Sin 30

o = Sin (120

o +30

o) - Sin (120

o - 30

o)

= Sin 150o - Sin 90

o =

2

1 - 1 = -

2

1

c. Cos 135o.Cos 15

o =

2

1[Cos (135

o +15

o) + Cos(135

o - 15

o)]

= 2

1[ Cos 150

o + Cos 120

o] =

2

1[-

2

13 -

2

1] = )13(

4

1

D Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

Rumus –rumus :

1. Sin A + Sin B = 2 Sin 2

1(A + B) Cos

2

1(A - B)

2. Sin A - Sin B = 2 Cos 2

1(A + B) Sin

2

1(A - B)

3. Cos A + Cos B = 2 Cos 2

1(A + B) Cos

2

1(A - B)

4. Cos A - Cos B = -2 Sin 2

1(A + B) Sin

2

1(A - B)

Contoh:

1. Nyatakan dalam bentuk perkalian !

a. Sin 7A – Sin 5A

b. Cos 10 + Cos 6

c. Cos x – Cos y

Jawab:

a. Sin 7A – Sin 5A = 2 Cos 2

1(7A + 5A) Sin

2

1(7A – 5A)

= 2 Cos 6A Sin A

b. (b) Cos 10 + Cos 6 = 2 Cos 2

1(10 + 6 ) Cos

2

1(10 - 6 )

= 2 Cos 8 Cos 2

c. Cos x – Cos y = -2 Sin 2

1(x + y) Sin

2

1(x - y)


2. Sederhanakan !

a. Sin 150o + Sin 30

o c. Cos 200

o - Cos 20

o

b. Cos 125o + Cos 55

o d. Sin 75

o - Sin 15

o

Jawab:

a. Sin 150o + Sin 30

o = 2 Sin

2

1(150

o + 30

o) Cos

2

1(150

o - 30

o)

= 2 Sin 90o Cos 60

o = 2.1.

2

1 = 1

b. Cos 125o + Cos 55

o = 2 Cos

2

1(125

o + 55

o) Cos

2

1(125

o - 55

o)

= 2 Cos 90o Cos 35

o = 2.0. Cos 35

o = 0

c. Cos 200o - Cos 20

o = -2 Sin

2

1(200

o + 20

o) Sin

2

1(200

o - 20

o)

= -2 Sin 110o Sin 90

o = -2. Sin 110

o .1 = -2 Sin 110

o

d. Sin 75o - Sin 15

o = 2 Cos

2

1(75

o + 15

o) Sin

2

1(75

o - 15

o)

= 2 Cos 45o Sin 30

o = 2.

2

12 .

2

1 =

2

12

Latihan 5

1. Dengan menyatakan 105o = (60

o + 45

o), tentukan nilai Sin 105

o !

2. Diketahui Sin A = 5

3 untuk A sudut lancip, dan Cos B =

13

12 untuk B sudut tumpul. Tentukan

nilai dari jumlah dan selisih sudut berikut !

a. Sin (A + B) b. Cos (B – A) c. Tan (A – B)


3 untuk A sudut lancip. Tentukan nilai identitas trigonometri berikut!

a. Sin 2A b. Cos 2A c. Tan 2A

4. Nyatakan 2 Sin 75o Cos 15

o sebagai rumus jumlah sinus !

5. Hitunglah penjumlahan trigonometri berikut !

a. Cos 75o + Cos 15

o b. Sin 75

o + Sin 15

o

6. Diketahui Tan A = 5

4 dan Tan B =

24

7, dengan A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan

nilai dari bentuk trigonometri berikut !

a. Cos (A – B) b. Sin (A + B) c. Tan (A – B)

7. Sederhanakan bentuk trigonometri berikut !

a. 1575

1575

SinSin

CosCos b.

ASinASin

ASinASin

39

37


1, Cos B =

2

3, A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan nilai

Cos (A – B) !


A Identitas Trigonometri

Idnetitas trigonometri yaitu rumus-rumus yang menghubungkan antara sin , cos , dan tan .

1. Cos2

+ Sin2

= 1

2. Tan = Cos

Sin

3. Cosec = Sin

1

4. Sec = Cos

1

5. Cotan = Sin

Cos

Tg

1

6. 1 + Tan2

= Sec2

7. 1 + Cotan2

= Cosec2

Contoh:

1. Tentukan nilai Cos A, Tan A, Cosec A, Sec A, dan Cotan A jika Sin A = 5

4 dan A sudut

lancip !

Jawab:

Cos2A + Sin

2A = 1 Cos

2A = 1 - Sin

2A

Cos2A= 1 – (

5

4)2 = 1 -

25

9

25

16

Cos A = 5

3

25

9

A lancip Cos A = 5

3

Tan A = CosA

SinA =

3

4

5

35

4

Cosec A = ASin

1 =

5

4

1 =

4

5

Sec A = ACos

1 =

3

5

5

3

1

Cotan = 4

3

3

4

11

ATan

2. Jika Sin A = 13

5 dan 90

o < A < 180

o ( A tumpul), tentukan Cos A dan Tan A !

Jawab:

Cos2A = 1 - Sin

2A = 1 – (

13

5)2 = 1 -

169

144

169

25

Cos A = 13

12

169

144

Karena 90o < A < 180

o maka Cos A =

13

12

Tan A = CosA

SinA =

12

5

13

1213

5

3. Buktikan identitas berikut ini !

a. Tan2A + 1 = Sec

2A

b. Tan A . Sin A + Cos A = Sec A

c. (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)

2 = 2

Jawab:

a. Ruas kiri = Tan2A + 1

= ACos

ACosASin

ACos

ACos

ACos

ASin

ACos

ASin2

22

2

2

2

2

2

2

1

= ASecACos

2

2

1 = ruas kanan (terbukti)

PERSAMAAN TRIGONOMETRI 6


a. Sin x = Sin x1 = + k.360 atau

x2 = (180 - ) + k.360 ; k B

b. Cos x = Cos x1 = + k.360 atau

x2 = - + k.360 ; k B

c. Tan x = Tan x = + k.180 ; k B

b. Ruas kiri = Tan A . Sin A + Cos A

= CosA

SinA. Sin A + Cos A

= CosA

CosACosA

CosA

SinASinA ..

= SecACosACosA

ACosASin 122

= ruas kanan (terbukti)

c. Ruas kiri = (Sin A + Cos A)2 + (Sin A – Cos A)

2

= Sin2A + 2 Sin A Cos A + Cos

2A + Sin

2A - 2 Sin A Cos A + Cos

2A

= 2 (Sin2A + Cos

2A)

= 2.1 = 2

= ruas kanan (terbukti)

B Persamaan Trigonometri Bentuk Sederhana

Contoh:

1. Tentukan penyelesaian dari Sin x = 2

1 ; 0 x 360 !

Jawab:

Sin x = 2

1

Sin x = Sin 30 x1 = 30 + k.360

k = 0 x1 = 30

x2 = (180 - 30) + k.360 = 150 + k.360

k = 0 x2 = 150

HP = {30 , 150 }

2 Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos 3x = 2

1 ; 0 x 360 !

Jawab:

Cos 3x = 2

1

Cos 3x = Cos 60 (i) 3x1 = 60 + k.360

x1 = 20 + k.120

k = 0 x1 = 20

k = 1 x1 = 140

k = 2 x1 = 260

(ii) 3x2 = -60 + k.360

x2 = -20 + k.120

k = 1 x2 = 100

k = 2 x2 = 220

k = 3 x2 = 340

HP = {20 , 100 , 140o, 220

o, 260

o, 340

o}


3. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan 2x = 3 ; 0 x 180 !

Jawab:

Tan 2x = 3

Tan 2x = Tan 60o

2x = 60o + k.180

o

x = 30o + k.90

o

k = 0 x = 30

k = 1 x = 120

HP = { 30 , 120 }

C Persamaan Trigonometri Bentuk Cos A Cos B dan Sin A Sin B

Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk di atas adalah :

1. Sin A + Sin B = 2 Sin 2

1(A + B) Cos

2

1(A - B)

2. Sin A - Sin B = 2 Cos 2

1(A + B) Sin

2

1(A - B)

3. Cos A + Cos B = 2 Cos 2

1(A + B) Cos

2

1(A - B)

4. Cos A - Cos B = -2 Sin 2

1(A + B) Sin

2

1(A - B)

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 !

a. Cos 4x + Cos 2x = 0

b. Sin 3x – Sin x = 0

Jawab;

a. Cos 4x + Cos 2x = 2 Cos 2

1(4x + 2x).Cos

2

1(4x - 2x)

= 2 Cos 3x.Cos x

Cos 4x + Cos 2x = 0

2 Cos 3x.Cos x = 0

Cos 3x.Cos x = 0

Cos 3x = 0 atau Cos x = 0

Cos 3x = 0

Cos 3x = Cos 90 (i) 3x1 = 90 + k.360

x1 = 30 + k.120

k = 0 x1 = 30

k = 1 x1 = 150

k = 2 x1 = 270

(ii) 3x2 = -90 + k.360

x2 = -30 + k.120

k = 1 x2 = 90

k = 2 x2 = 210

k = 3 x2 = 330

Cos x = 0

Cos x = Cos 90 (i) x1 = 90 + k.360

k = 0 x1 = 90

(ii) x2 = -90 + k.360

k = 1 x2 = 270

HP = {30o, 90

o, 150

o, 210

o, 270

o, 330

o}


b. Sin 3x – Sin x = 2 Cos 2

1(3x + x) Sin

2

1(3x - x)

= 2 Cos 2x.Sin x

Sin 3x – Sin x = 0

2 Cos 2x.Sin x = 0

Cos 2x Sin x = 0

Cos 2x = 0 atau Sin x = 0

Cos 2x = 0

Cos 2x = Cos 90 (i) 2 x 1 = 90 + k.360

x 1 = 45 + k.180

k = 0 x1 = 45

k = 1 x1 = 225

(ii) 2 x2 = -90 + k.360

x2 = -45 + k.180

k = 1 x2 = 135

k = 2 x2 = 315

Sin x = 0

Sin x = Sin 0 (i) x1 = 0 + k.360

k = 0 x1 = 0

k = 1 x1 = 360

(ii) x2 = (180 – 0) + k.360

= 180 + k.360

k = 0 x2 = 180

HP = {0o, 45

o, 135

o, 180

o, 225

o, 315

o, 360

o}

D Persamaan Trigonometri Bentuk : a Cos x + b Sin = c

Bentuk a Cos x + b Sin x dapat dinyatakan dengan bentuk k Cos (x - ), dengan k suatu

konstanta dan 0 x 360 .

Untuk menentukan k dan perhatikan hal berikut :

a Cos x + b Sin x = k Cos (x - )

= k (Cos x.Cos + Sin x.Sin )

= k Cos x.Cos + k Sin x.Sin

Dari persamaan di atas , diperoleh :

k Cos = a

k Sin = b

a2 + b

2 = k

2 Cos

2 + k

2 Sin

2

= k2 (Cos

2 + Sin

2)

= k2 . 1

a2 + b

2 = k

2 , sehingga k = b a 22

a

b

Cosk

Sink

.

.

Tan = a

b. Jadi diperoleh dari Tan .

Dengan demikian maka :

Besarnya sudut tergantung pada tanda a dan b, karena keadaan a dan b dapat menentukan

keadaan kuadran di mana berada.

a Cos x + b Sin x = k Cos (x - )

dengan k = b a 22

Tan = a

b


Contoh:

1. Tentukan k dan dari : -Cos x + Sin x !

Jawab:

-Cos x + Sin x = k Cos (x - )

a = -1 ; b = 1

k = b a 22 = 2)1()1( 22

Tan = a

b = 1

1

1 ( di kuadran II)

= 135o

Jadi, -Cos x + Sin x = 2 Cos (x - 135o)

2. Tentukan k dan dari : 8 Cos x + 6 Sin x !

Jawab:

8 Cos x + 6 Sin x = k Cos (x - )

a = 8 ; b = 6

k = b a 22 = 1010068 22

Tan = a

b =

4

3

8

6 ( di kuadran I)

= 36,89o

Jadi, 8 Cos x + 6 Sin x = 10 Cos (x – 36,89o)

3. 3) Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x + Sin x = 2

12 ; 0 x 360 !

Jawab:

Cos x + Sin x = 2

12

a = 1 ; b = 1

k = b a 22 = 211 22

Tan = a

b = 1

1

1 ( di kuadran I)

= 45o

Cos x + Sin x = k Cos (x - )

2 Cos (x - 45o) =

2

12

Cos (x - 45o) =

2

1

2

22

1

Cos (x - 45o) = Cos 60

o

(i) x1 - 45o = 60

o + k.360

o

x1 = 105o + k. 360

o

k = 0 x1 = 105o

(ii) x2 - 45o = -60

o + k.360

o

x2 = -15o + k. 360

o

k = 1 x2 = 345o

HP = {105o, 345

o}

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x - 3 Sin x = 1 ; 0 x 360 !

Jawab:

Cos x - 3 Sin x = 1

a = 1 ; b = - 3

k = b a 22 = 231)3(1 22

Tan = a

b = 3

1

3 ( di kuadran IV)

= 300o


Cos x - 3 Sin x = k Cos (x - )

2 Cos (x – 300o) = 1

Cos (x – 300o) =

2

1

Cos (x – 300o) = Cos 60

o

(i) x1 - 300o = 60

o + k.360

o

x1 = 360o + k. 360

o

k = 0 x = 360o

(ii) x2 - 300o = -60

o + k.360

o

x2 = 240o + k. 360

o

k = 0 x = 240o

HP = { 240o, 360

o}

Latihan 6

1. Buktikan : Sec A – Cos A = Tan A . Sin A !

2. Buktikan : Sec2x(1 – Sin

4x) – 2 Sin

2x = Cos

2x !

3. Tentukan himpunan penyelesaian Sin x = 32

1 untuk 0 x 360 !

4. Diketahui Cos x = 2

1 untuk 0 x 360 . Tentukan himpunan penyelesaiannya !

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan x = 33

1 untuk 0 x 2 !

6. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 !

a. 2 Sin 2x = 3 b. Cos 2x = 2

1 c. 3 Tan 3x = -1

7. Tentukan penyelesaian dari 3 Tan 2

1x = 1 untuk 0 x 2 !

8. Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk untuk 0 x 360 !

a. Sin (60o + x) – Sin (60

o – x) = 1

b. Sin 5x – Sin x = 0

c. Cos 4x – Cos 2x = 0

9. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x - Sin x untuk 0 x 360 !

10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin2x + Sin x – 2 = 0 untuk 0 x 360 !

Documents

A Nilai Perbandingan Trigonometri · PDF fileSMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang 1 TRIGONOMETRI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI A Nilai Perbandingan Trigonometri Perhatikan segitiga berikut