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EJERCICIOS MATEMÁTICAS II: ECUACIONES DIFERENCIALES [1/5]
WWW.ACADEMIARAFAVILCHEZ.COM C/Patrocinio de Biedma, 6
[Jaén] 953035837 - 609184294
P R I M E R B L O Q U E E C . D I F E R E N C I A L E S
Os proponemos una serie de ejercicios tipo examen de la asignatura Matemáticas II del Grado de Industriales.
SOLUCIONES ➡ www.AcademiaRafaVilchez.com
1.
Resolver el problema de valor inicial:
𝑦′ =𝑡
𝑦−
𝑡
1 + 𝑦; 𝑦(0) = 1
2.
Resolver la ecuación diferencial buscando previamente un factor integrante adecuado:
(𝑡 + 𝑦2)𝑑𝑡 − 2𝑡𝑦𝑑𝑦 = 0
3.
Integrar la siguiente ecuación diferencial:
𝑑𝑦 + 𝑦 · cotg 𝑡 · 𝑑𝑡 = 2𝑡 · cosec 𝑡 · 𝑑𝑡
4.
Resolver la ecuación diferencial (𝑦4 − 2𝑦2)𝑑𝑡 + (3𝑡𝑦3 − 4𝑡𝑦 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0, encontrando previamente un
factor integrante del tipo 𝜇 = 𝜇(𝑡𝑦2)
5.
Resolver el problema de valor inicial:
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −
3𝑡 + 𝑡𝑦2
2𝑡 + 𝑡2𝑦; (𝑡, 𝑦) = (2,1)
6.
Resolver el problema de valor inicial
𝑦′ =𝑡𝑦2 − cos 𝑡 · sen 𝑡
𝑦(1 − 𝑡2); 𝑦(0) = 2
7.
Resolver la ecuación diferencial:
(𝑦2 + 1) cos 𝑡 𝑑𝑡 + 2𝑦 · sen 𝑡 𝑑𝑦 = 0
8.
Resolver la siguiente ecuación diferencial:
(2𝑡𝑦 + 3𝑦2)𝑑𝑡 − (2𝑡𝑦 + 𝑡2)𝑑𝑦 = 0
9.
Resolver la ecuación diferencial:
(𝑦 · sec2 𝑡 + sec 𝑡 · tg 𝑡)𝑑𝑡 + (2𝑦 + tg 𝑡)𝑑𝑦 = 0
10.
Resolver la ecuación diferencial (𝑦 − 𝑡𝑦2)𝑑𝑡 + (𝑡 + 𝑡2𝑦2)𝑑𝑦 = 0, encontrando previamente un factor
integrante de la forma 𝜇 = 𝜇(𝑡𝑦)
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11. Resolver el problema de valor inicial:
𝑦′ −𝑡
𝑡2 − 1· 𝑦 = 𝑡; 𝑦(2) = 6
12.
Integrar la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli:
𝑡2𝑦′ + 2𝑡𝑦 − 𝑦3 = 0
13.
Calcular las trayectorias ortogonales a la familia de curvas:
𝑡2 + 𝑦2 = 𝐶2𝑡𝑦
14.
Integrar la ecuación diferencial:
𝑦′ = −1 + 𝑡𝑦
𝑡2
15.
Resolver la ecuación diferencial:
(𝑦 sen𝑡
𝑦− 𝑡 cos
𝑡
𝑦) 𝑑𝑦 + 𝑦 cos
𝑡
𝑦𝑑𝑡 = 0
16.
Resolver la ecuación diferencial:
𝑡√𝑦 − 1 − 𝑦′ · √1 − 𝑡2 = 0
17.
Resolver la ecuación diferencial (𝑡2 + 𝑦2 + 𝑦)𝑑𝑡 − 𝑡𝑑𝑦 = 0, sabiendo que admite un factor integrante de
la forma 𝜇 = 𝜇(𝑣) con 𝑣 = 𝑦2 + 𝑡2
18.
Integrar la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli:
𝑦′ =3
𝑡𝑦 + 𝑡4 · 𝑦
13⁄
19.
Resolver la ecuación diferencial buscando previamente un factor integrante adecuado:
3𝑡2𝑦2𝑑𝑡 − (2𝑡3𝑦 + 𝑡3𝑦4)𝑑𝑦 = 0
20.
Resolver la siguiente ecuación diferencial:
(6𝑡𝑦 + 2𝑦 − 5)𝑑𝑡 + (3𝑡2 + 4𝑡𝑦 − 6)𝑑𝑦 = 0
21.
Resolver el problema de valor inicial:
𝑦′ + 𝑦 · cotg 𝑡 = 5 · 𝑒cos 𝑡; 𝑦 (𝜋
2) = −4
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22.
Integrar la siguiente ecuación diferencial:
(1 + 𝑡2)𝑦′ − 𝑡𝑦 = 0
23.
Resolver:
𝑒𝑡−𝑦𝑑𝑡 + 𝑒𝑦−𝑡𝑑𝑦 = 0
24.
Dada la ecuación (1
𝑡2 +1
𝑦2) 𝑑𝑡 +𝐾·𝑡+1
𝑦3 𝑑𝑦 = 0, hallar el valor de 𝐾 para que sea una ecuación diferencial
exacta y resolverla.
25.
Resolver la ecuación diferencial buscando previamente un factor integrante apropiado:
𝑦(2𝑡 − 𝑦 + 1)𝑑𝑡 + 𝑡(3𝑡 − 4𝑦 + 3)𝑑𝑦 = 0
26.
Integrar:
𝑡𝑦′ = 𝑦 + √𝑡2 + 𝑦2; 𝑦(1) = 0
27.
Resolver la ecuación diferencial:
𝑦′ =𝑦
𝑡 + √𝑡𝑦
28.
Resolver la ecuación diferencial (𝑦2 − 𝑡2 − 2𝑡𝑦)𝑦′ + 𝑦2 − 𝑡2 + 2𝑡𝑦 = 0, encontrando previamente un
factor integrante de la forma 𝜇 = 𝜇(𝑦2 + 𝑡2)
29.
Resolver el problema de valor inicial:
𝑦′ +2
𝑡𝑦 =
cos 𝑡
𝑡2; 𝑦(𝜋) = 0
30.
Integrar la ecuación diferencial: (1 − 𝑡2𝑦)𝑑𝑡 + (𝑡2𝑦 − 𝑡3) = 0
31.
Resolver la ecuación diferencial buscando previamente un factor integrante apropiado:
𝑦′ =2𝑡𝑦
𝑡2 − 𝑦2
32.
Resolver:
(𝑡 + sen 𝑦)𝑑𝑡 + (𝑡 cos 𝑦 − 2𝑦)𝑑𝑦 = 0
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33.
Integrar:
𝑦′ · tg 𝑡 − 2𝑦 = 3
34. Resolver:
ℒ−1 [1
𝑠3 − 4𝑠2 + 5𝑠]
35. Resolver:
𝑦′′ + 𝑦 = cosec 𝑡
36. Resolver:
ℒ−1 [1
𝑠2 − 4𝑠]
37. Resolver utilizando la transformada de Laplace:
𝑦′′ + 9𝑦 = cos 𝑥 ; 𝑦(0) = 0; 𝑦′(0) = 0
38. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
𝑥′′ + 𝑥 − 𝑦 = 0
𝑦′′ + 𝑦 − 𝑥 = 0} 𝑥(0) = 0; 𝑥′(0) = −2; 𝑦(0) = 0; 𝑦′(0) = 1
39.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: 𝑥′ = 5𝑥 − 4𝑧
𝑦′ = 3𝑦
𝑧′ = 2𝑥 − 𝑧
} 𝑥(0) = 2; 𝑦(0) = 1; 𝑧(0) = 0
40. Resolver:
ℒ−1 [𝑠2 + 𝑠 + 1
(𝑠 − 1)(𝑠2 + 2𝑠 + 2)]
41.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: 𝑥′(𝑡) = −2𝑥(𝑡) − 4𝑦(𝑡) + 4𝑡 + 1
𝑦′(𝑡) = −𝑥(𝑡) + 𝑦(𝑡) +2𝑡2
3
} 𝑥(0) = 5; 𝑦(0) = 0
42. Resolver:
𝑦′′′ + 𝑦′′ = 3𝑒𝑡 + 4𝑡2
43.
Resolver utilizando la transformada de Laplace: 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑡𝑒𝑡; 𝑦(0) = 0; 𝑦′(0) = 0
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44. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
𝑥′ = −𝑥 + 𝑦 + 25 sen 𝑡
𝑦′ = −𝑥 − 3𝑦} 𝑥(0) = 0; 𝑥′(0) = −2; 𝑦(0) = 0; 𝑦′(0) = 1
45. Resolver:
ℒ−1 [3!
(𝑠 − 2)4]
46. Encontrar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas:
𝑦 = 𝐶1𝑡 + 𝐶2𝑡 Ln 𝑡 + 4𝑡2
47. Integrar:
(𝑡 + 𝑦𝑒𝑦𝑡 ) 𝑑𝑡 − 𝑡𝑒
𝑦𝑡 𝑑𝑦 = 0
48.
Resolver:
𝑦′ =2𝑦2𝑒2𝑡 +
1𝑡
cos 𝑦 − 2𝑦𝑒2𝑡
49. Obtener las trayectorias ortogonales a la familia de curvas:
𝑡2 + (𝑦 + 𝐶)2 = 𝐶2
50. Resolver la ecuación diferencial:
𝑑𝑦
𝑑𝑡=
2𝑦 − 𝑡 + 7
4𝑡 − 3𝑦 − 18
51. Resolver la ecuación diferencial mediante el cambio de variable
𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝑣(𝑡) = 𝑦3 𝑦′ + 2𝑦 = 𝑡𝑦−2
52. Resolver:
𝑦′′ − 𝑦 =1
𝑒𝑡 + 1
53. Integrar:
𝑦′′ + 𝑦 = sec 𝑡
54. Integrar:
𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = −𝑒2𝑡
𝑒𝑡 + 1
