A S A L V O LEGA DO D O A S G A A L L E V O 6

MATEMÁTICAS

LEGADO A SALVO LEGADO A SALVO LEGADO A SALVO LE

GADO

A S

ALVO

LEGA

DO A SALVO

6

PR IMAR IA

MATEMÁTICAS

6

AUTORES

Área de Proyectos Educativos de Primaria Edelvives

LEGADO A SALVO

PR IMAR IA

Índice

© GRUPO EDELVIVES

6

Números ............................................................... 4

Sistema de numeración decimal ............................. 4

Números ordinales .................................................. 5

Números romanos .................................................. 5

Múltiplos y divisores ................................................ 6

Fracciones ................................................................ 7

Números decimales ................................................. 9

Comparación y aproximación de números naturales . 10

Comparación y aproximación de números decimales 10

Números enteros ..................................................... 11

Suma de números naturales ................................... 12

Resta de números naturales ................................... 12

Multiplicación de números naturales ..................... 13

Potencias ................................................................. 14

División de números naturales ................................ 15

Jerarquía de operaciones combinadas ................... 15

Operaciones con números decimales ..................... 16

Operaciones con fracciones .................................... 17

Operaciones con números enteros ......................... 18

Porcentajes .............................................................. 18

Proporcionalidad ..................................................... 19

Medida ................................................................. 20

Unidades de medida de longitud ........................... 20

Unidades de medida de capacidad ........................ 21

Unidades de medida de masa ................................ 22

Unidades de medida de superficie ......................... 23

Unidades de medida de información ..................... 24

1

2

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6

Operaciones con unidades de medida ................... 24

Medida del tiempo ................................................. 25

Medida de ángulos ................................................. 27

Dinero ...................................................................... 28

Unidades de medida de volumen ........................... 29

Operaciones con unidades de volumen ................. 29

Geometría ............................................................ 30

Posición relativa de rectas y circunferencias ........... 30

Ángulos ................................................................... 31

Sistema de coordenadas cartesianas ...................... 32

Movimientos en el plano ........................................ 32

Escalas en planos y mapas ...................................... 33

Ampliaciones y reducciones .................................... 33

Polígonos ................................................................. 34

Perímetro ................................................................. 34

Clasificación de triángulos ...................................... 35

Clasificación de cuadriláteros .................................. 35

Circunferencia, círculo y figuras cirulares ................ 36

Longitud de la circunferencia .................................. 36

Área de figuras planas ............................................ 37

Cuerpos geométricos .............................................. 39

Área lateral y área total de cuerpos geométricos .. 41

Volumen de cuerpos geométricos .......................... 41

Estadística y probabilidad .............................. 42

Estadística ................................................................ 42

Gráficos ................................................................... 43

Probabilidad ............................................................ 44

Probabilidad de un suceso: Ley de Laplace ............ 45

Estrategias de cálculo mental ....................... 46

3

4

5

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NÚMEROS 4

Sistema de numeración decimal

En el sistema de numeración decimal, el valor de cada cifra en un número depende de la posición que ocupe.

CMM UMM DM CDMM CM UM D U

1 0

1 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 decena = 10 unidades 1 D = 10 U 10 se lee diez.

1 centena = 100 unidades 1 C = 100 U 100 se lee cien.

1 unidad de millar = 1 000 unidades 1 UM = 1 000 U 1 000 se lee mil.

1 decena de millar = 10 000 unidades 1 DM = 10 000 U 10 000 se lee diez mil.

1 centena de millar = 100 000 unidades 1 CM = 100 000 U 100 000 se lee cien mil.

1 millón = 1 000 000 unidades 1 UMM = 1 000 000 U 1 000 000 se lee un millón.

1 decena de millón = 10 000 000 unidades 1 DMM = 10 000 000 U 10 000 000 se lee diez millones.

1 centena de millón = 100 000 000 unidades 1 CMM = 100 000 000 U 100 000 000 se lee cien millones.

Descomposición de un número en unidades:

CMM UMM DM CDMM CM UM D U

3 0 6 5 0 7 8 9 0

3 CMM + 6 UMM + 5 CM + 7 UM + 8 C + 9 D

3 × 100 000 000 + 6 × 1 000 000 + 5 × 100 000 + 7 × 1 000 + 8 × 100 + 9 × 10

300 000 000 + 6 000 000 + 500 000 + 7 000 + 800 + 90

306 507 890

Lectura y escritura de números naturales:

quinientos siete mil

306 507 890

ochocientos noventaTrescientos seis millones

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NÚMEROS 5

Números ordinales

Los números ordinales se utilizan para indicar un orden o posición.

1.º primero

2.º segundo

3.º tercero

4.º cuarto

5.º quinto

6.º sexto

7.º séptimo

8.º octavo

9.º noveno

10.º décimo

11.º undécimo

12.º duodécimo

13.º decimotercero

14.º decimocuarto

15.º decimoquinto

16.º decimosexto

17.º decimoséptimo

18.º decimoctavo

19.º decimonoveno

20.º vigésimo …

Los números ordinales se utilizan para indicar un orden o posición.

1.º primero

2.º segundo

3.º tercero

4.º cuarto

5.º quinto

6.º sexto

7.º séptimo

8.º octavo

9.º noveno

10.º décimo

11.º undécimo

12.º duodécimo

13.º decimotercero

14.º decimocuarto

15.º decimoquinto

16.º decimosexto

17.º decimoséptimo

18.º decimoctavo

19.º decimonoveno

20.º vigésimo …

Los números romanos se expresan con letras mayúsculas y cada letra representa un valor.

I X C MV L D

1 5 10 50 100 500 1 000

Para escribir números romanos sigo estas reglas.

1 Si una letra está a la derecha de otra de igual o mayor valor, sumo sus valores.

VI 5 + 1 = 6

XV 10 + 5 = 15

LI 50 + 1 = 51

ML 1 000 + 50 = 1 050

2 Si una letra está a la izquierda de otra de mayor valor, resto sus valores.

IV 5 – 1 = 4

XL 50 – 10 = 40

XC 100 – 10 = 90

CM 1 000 – 100 = 900

3 Si una letra está entre dos del mismo valor, resto su valor al valor de la letra que está a su derecha.

MCM 1 000 + 900 = 1 900

XIX 10 + 9 = 19

4 Puedo repetir las letras I, X, C y M hasta tres veces seguidas. Las letras V, L y D no se pueden repetir, porque otras letras representan su valor duplicado (X, C y M), ni escribir a la izquierda de otra de mayor valor.

XIII 10 + 1 + 1 + 1 = 13

XXXI 10 + 10 + 10 + 1 = 31

CCX 100 + 100 + 10 = 210

5 La letra I solo puedo escribirla delante de V y X.

IV = 4 IX = 9

La letra X solo puedo escribirla delante de la L y C.

XL = 40 XC = 90

La C solo se puede escribir delante de D y M.

CD = 400 CM = 900

6 El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.

M = 1 000 000

Números romanos

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NÚMEROS 6

Múltiplos y divisores

Para calcular los múltiplos de un número lo multiplico por los números naturales.

Los múltiplos de 2 son 0, 2, 4, 6, 8…

Para calcular los divisores de un número lo divido por los números naturales menores o iguales que él.

Los divisores de 4 son 1, 2 y 4, porque el resto de las divisiones por esos números es igual a 0.

Un número es primo si tiene dos divisores y solo dos.

Los divisores de 5 son 1 y 5 5 es un número primo.

Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8 8 es un número compuesto.

El número 1 no es ni primo ni compuesto.

Para averiguar de forma rápida si un número es divisible por otro basta con aplicar los criterios de divisibilidad.

• Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par.

• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

• Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.

• Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

• Un número es divisible por 10 si termina en 0.

Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

Es el menor de los múltiplos comunes distinto de cero.

Para calcular el m.c.m. de 4 y 6:

• Escribo los primeros múltiplos de cada número y marco los comunes.

Múltiplos de 4 0, 4, 8, 12 , 16, 20, 24 …

Múltiplos de 6 0, 6, 12 , 18, 24 , 30, 36…

• Elijo el menor de los múltiplos comunes distinto de 0.

m.c.m. (4, 6) = 12

Máximo común divisor (m.c.d.)

Es el mayor divisor común.

Para calcular el m.c.d. de 12 y 18:

• Escribo los divisores de cada número y marco los comunes.

Divisores de 12 1 , 2 , 3 , 4, 6 y 12

Divisores de 18 1 , 2 , 3 , 6 , 9 y 18

• Elijo el mayor de los divisores comunes.

m.c.d. (12, 18) = 6

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NÚMEROS 7

101

Numerador: número de partes respecto al total.Denominador: número de partes iguales en las que se divide el total.

101 un décimo

Comparo fracciones de esta forma:

• Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

59

y 69

5 < 6 59

< 69

• Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

49

y 418

9 < 18 49

> 418

• Si dos fracciones tienen distinto numerador y denominador busco un denominador común siguiendo uno de estos métodos:

Productos cruzados

Para comparar 32 y 5

7 , multiplico los términos de cada fracción por el denominador de la otra.

× 5

2 103 15

× 5

× 3

7 215 15

× 3

Como 1510 < 15

21 , entonces 32 < 5

7 .

Mínimo común múltiplo

Para comparar 32 y 5

7 , calculo el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Múltiplos de 3 0, 3, 6, 9, 12, 15...

Múltiplos de 5 0, 5, 10, 15, 20...m.c.m. (3, 5) = 15

Pongo 15 como denominador de las nuevas fracciones y calculo el numerador de cada una dividiendo el m.c.m. por el denominador y multiplicando el resultado por el numerador.

15 : 3 = 52 × 5 = 10

15 : 5 = 37 × 3 = 21

2 10 7 213 15 5 15

Como 1510 < 15

21 , entonces 32 < 5

7 .

Fracciones

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NÚMEROS 8

Fracciones

Comparo fracciones con la unidad.

Menor que la unidad

6 < 18

El numerador es menor que el denominador.

Se llaman fracciones propias.

Igual que la unidad

8 = 18

El numerador es igual que el denominador.

Mayor que la unidad

10 > 18

El numerador es mayor que el denominador.

Se llaman fracciones impropias.

Puedo expresar una fracción impropia como un número mixto.

810

88

82 1 8

2= + = + 1 82

Las fracciones que representan lo mismo se llaman fracciones equivalentes.

21 = 4

2 = 84

• Para obtener fracciones equivalentes a una dada, multiplico o divido su numerador y su denominador por el mismo número.

× 2

amplificar1 = 22 4

× 2

: 2

simplificar4 = 28 4

: 2

Si una fracción no se puede simplificar más se llama fracción irreducible.

• Al multiplicar en cruz los términos de dos fracciones equivalentes obtengo el mismo producto.

Si 21 y 6

3 son equivalentes 21 = 6

3 1 × 6 = 2 × 3

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NÚMEROS 9

Números decimales

Si divido la unidad en 10 partes iguales, cada parte es una décima.

1 unidad = 10 décimas

Una décima se representa

mediante 101 o como 0,1.

Si divido la unidad en 100 partes iguales, cada parte es una centésima.

1 unidad = 100 centésimas

Una centésima se representa


Si divido la unidad en 1 000 partes iguales, cada parte es una milésima.

1 unidad = 1 000 milésimas

Una milésima se representa


Los números decimales tienen una parte entera y otra decimal separadas por una coma.

C U centésimasD décimas milésimas

3 2 3 1 8 6

Parte entera 323

Parte decimal 0,186

Para leer y escribir un número decimal, podemos hacerlo de varias formas.

15,75

15 unidades y 75 centésimas

15 coma 75

15,75 €

15 euros y 75 céntimos

15 coma 75 euros

Puedo expresar números decimales en forma de fracción y viceversa.

8,4 = 8410

1 cero1 cifra

decimal

37,95 = 3 795100

2 ceros2 cifras

decimales

5,402 = 5 4021 000

3 ceros3 cifras

decimales

2 5

= 0,4

3 2

= 1,520 0,4 2 10 1,5 30 5 0 2

15,75 €

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NÚMEROS 10

Comparación y aproximación de números naturales

Para ordenar dos números naturales con el mismo número de cifras, comparo cifra a cifra empezando por la izquierda.

87 350 124 < 87 398 604

Si un número tiene más cifras que otro, es el mayor de los dos.

546 510 003 > 15 251 925 > 2 620 560

Para aproximar un número de cuatro cifras a los millares puedo representarlo en la recta numérica:

1 2751 UM 2 UM

900 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400 1 500 1 600 1 700 1 800 1 900 2 000 2 100

El número 1 275 está entre 1 000 y 2 000.

2 000 – 1 275 = 725

1 275 – 1 000 = 275 Como 725 > 275, la aproximación a los millares de 1 275 es 1 000.

De dos números decimales es mayor el que tenga mayor parte entera.

25, 3 9 322, 0 5 2

25 > 22 25,393 > 22,052

Si la parte entera es igual, comparo sucesivamente las décimas, centésimas, milésimas…

7, 3 9 57, 3 9 1

5 > 1 7,395 > 7,391

Aproximo un número decimal:

• A las unidades.

3,343 Está más cerca de 3 que de 4; la aproximación a las unidades es 3.3,769 Está más cerca de 4 que de 3; la aproximación a las unidades es 4.

• A las décimas.

3,343 Está más cerca de 3,3 que de 3,4; la aproximación a las décimas es 3,3.3,769 Está más cerca de 3,8 que de 3,7; la aproximación a las décimas es 3,8.

• A las centésimas.

3,343 Está más cerca de 3,34 que de 3,35; la aproximación a las centésimas es 3,34.3,769 Está más cerca de 3,77 que de 3,76; la aproximación a las centésimas es 3,77.

Comparación y aproximación de números decimales

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NÚMEROS 11

Observa los números que aparecen en esta recta numérica. Todos estos números se llaman números enteros.

–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5

Observa que tomamos como punto de referencia el número 0.

• Los números que están representados a la derecha del 0 son números enteros positivos y llevan delante el signo +.

• Los números que están representados a la izquierda del 0 son números enteros negativos y llevan delante el signo –.

• Cuando un número no lleva ningún signo delante, se entiende que es positivo.

+2 = 2 2 = +2

• El número 0 es un número entero y las expresiones +0 o –0 no tienen sentido.

Hay situaciones sociales que se pueden expresar con números negativos o positivos. Observa el convenio que se ha tomado en este ejemplo:

Subir 3 plantas. +3

Bajar 3 plantas. –3

Observa cómo se representan los números enteros en la recta numérica.

–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5

Números enteros negativos Números enteros positivos

Para comparar números enteros podemos utilizar la recta numérica.

• Todo número entero es mayor que otro que está situado a su izquierda en la recta numérica.

+1 está a la derecha de –1 +1 > –1

• Todo número entero es menor que otro situado a su derecha en la recta numérica.

–5 está a la izquierda de –1 –5 < –1

Números enteros

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NÚMEROS 12

Para sumar dos o más números, los puedo colocar en vertical haciendo coincidir las unidades, las decenas, las centenas…

Propiedad conmutativa de la suma

527 348 + 6 809 = 534 157 6 809 + 527 348 = 534 157

Propiedad asociativa de la suma

(13 490 + 4 810) + 61 039 = 13 490 + (4 810 + 61 039)

18 300 + 61 039 = 13 490 + 65 849

79 339 = 79 339

Para restar dos números, los puedo colocar en vertical haciendo coincidir las unidades, las decenas, las centenas…

Prueba de la resta

Para comprobar que una resta está bien hecha, puedo sumar la diferencia con el sustraendo y el resultado tiene que ser el minuendo.

7 5 3– 3 2 1

4 3 2

minuendosustraendo

diferencia

4 3 2+ 3 2 1

7 5 3

Propiedad fundamental de la resta

Si sumo o resto un mismo número al minuendo y al sustraendo, el resultado de la resta no varía.

4 7 6 4 7 3– 1 5 2 – 1 4 9

3 2 4 3 2 4

– 3

– 3

+ 3

+ 3

4 7 6 4 7 9– 1 5 2 – 1 5 5

3 2 4 3 2 4

Suma de números naturales

3 5 7+ 2 4 1

5 9 8 suma

sumandos

minuendosustraendo

diferencia

4 4 9– 2 1 5

2 3 4

minuendosustraendo

diferencia

4 4 9– 2 1 5

2 3 4

Resta de números naturales

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NÚMEROS 13

Tablas de multiplicar

0 × 1 = 0 1 × 1 = 12 × 1 = 2 3 × 1 = 34 × 1 = 4 5 × 1 = 56 × 1 = 6 7 × 1 = 78 × 1 = 8 9 × 1 = 910 × 1 = 10

0 × 6 = 0 1 × 6 = 62 × 6 = 123 × 6 = 184 × 6 = 245 × 6 = 306 × 6 = 367 × 6 = 428 × 6 = 48 9 × 6 = 5410 × 6 = 60

0 × 2 = 0 1 × 2 = 22 × 2 = 4 3 × 2 = 64 × 2 = 8 5 × 2 = 106 × 2 = 12 7 × 2 = 148 × 2 = 16 9 × 2 = 1810 × 2 = 20

0 × 7 = 01 × 7 = 72 × 7 = 143 × 7 = 214 × 7 = 285 × 7 = 356 × 7 = 427 × 7 = 498 × 7 = 569 × 7 = 6310 × 7 = 70

0 × 3 = 0 1 × 3 = 32 × 3 = 6 3 × 3 = 94 × 3 = 12 5 × 3 = 156 × 3 = 18 7 × 3 = 218 × 3 = 24 9 × 3 = 2710 × 3 = 30

0 × 8 = 0 1 × 8 = 82 × 8 = 163 × 8 = 244 × 8 = 325 × 8 = 406 × 8 = 48 7 × 8 = 568 × 8 = 64 9 × 8 = 7210 × 8 = 80

0 × 4 = 0 1 × 4 = 42 × 4 = 8 3 × 4 = 124 × 4 = 16 5 × 4 = 206 × 4 = 24 7 × 4 = 288 × 4 = 32 9 × 4 = 3610 × 4 = 40

0 × 9 = 0 1 × 9 = 92 × 9 = 183 × 9 = 27 4 × 9 = 365 × 9 = 456 × 9 = 54 7 × 9 = 638 × 9 = 72 9 × 9 = 8110 × 9 = 90

0 × 5 = 0 1 × 5 = 52 × 5 = 10 3 × 5 = 154 × 5 = 20 5 × 5 = 256 × 5 = 30 7 × 5 = 358 × 5 = 40 9 × 5 = 4510 × 5 = 50

0 × 10 = 0 1 × 10 = 102 × 10 = 20 3 × 10 = 304 × 10 = 40 5 × 10 = 506 × 10 = 60 7 × 10 = 708 × 10 = 80 9 × 10 = 9010 × 10 = 100

Términos de una multiplicación:2 7 6

factores× 3 08 2 8 0 producto

La multiplicación cumple estas propiedades:

Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Propiedad distributiva

× 3025 = ×30 25

=750 750

× 4

4×

× )3025(

750

25 ×

×25

× )430(

120

=

=

3 000 3 000 =

+ 4 + 25

+

×

×

30

34

25

25

25 ×

750 100

×) 430( =

=

850 850=

Multipicación de números naturales

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NÚMEROS 14

Una potencia es una forma abreviada de expresar un producto de factores iguales.

5 × 5 × 5 × 5 = 54

Base: factor que se repite. Exponente: número de veces que se repite el factor.

54

Se lee cinco elevado a cuatro.

Las potencias de exponente 2 se denominan cuadrados.

3 × 3 = 32 = 9

Se lee tres elevado al cuadrado.

Las potencias de exponente 3 se denominan cubos.

2 × 2 × 2 = 23 = 8

Se lee dos elevado al cubo.

Una potencia de base 10 es igual al 1 seguido de tantos ceros como indica su exponente. Estas potencias se utilizan para expresar grandes cantidades en otras más sencillas.

101 = 10

102 = 10 × 10 = 100

103 = 10 × 10 × 10 = 1 000

104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000

Puedo descomponer cualquier número en una suma de potencias de base 10.

325 045

300 000 + 20 000 + 5 000 + 40 + 5

3 × 100 000 + 2 × 10 000 + 5 × 1 000 + 4 × 10 + 5

3 × 105 + 2 × 104 + 5 × 103 + 4 × 10 + 5

Potencias

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NÚMEROS 15

Términos de una división:

dividendo 8 5 2 2 3 divisor

1 6 2 3 7 cociente1 resto

Para comprobar que una división está bien hecha, verifico que se cumple la propiedad fundamental de la división, siendo el resto menor que el divisor.

Dividendo = divisor × cociente + resto 1 357 = 30 × 45 + 7

resto < divisor 7 < 45

Relación entre los términos de la división

• Si divido o multiplico el dividendo y el divisor de una división exacta por el mismo número, el cociente no varía y el resto sigue siendo cero.

1 2 2 2 4 4 4 8 80 6 0 6 0 6

resto = 0 resto = 0 resto = 0

• Si divido o multiplico el dividendo y el divisor de una división entera por el mismo número, el cociente no varía, pero el resto queda dividido o multiplicado por dicho número.

2 9 9 5 8 1 8 1 1 6 3 62 3 4 3 8 3

resto = 2 resto = 4 resto = 8

División de números naturales

: 2 × 2

: 2 × 2

Para calcular operaciones combinadas con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones seguimos un orden.

• Si hay paréntesis, calculamos primero las operaciones que hay dentro. Después, las multiplicaciones o las divisiones y, por último, las sumas o las restas.

• Si no hay paréntesis, primero calculamos las multiplicaciones o divisiones y, después, las sumas o las restas.

Jerarquía de las operaciones combinadas

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NÚMEROS 16

Operaciones con números decimales

Para sumar o restar números decimales, hago coincidir en la misma columna las cifras del mismo orden. Observa que si un número no tiene suficientes cifras, escribo el número cero.

354,825 + 554,52

354,825

354,32 – 32,821

354,320+ 554,520 – 32,821

909,345 321,499

Para multiplicar números decimales multiplico los dos números sin tener en cuenta la coma y, en el producto, separo con una coma, empezando por la derecha, tantas cifras decimales como tenga el factor decimal.

Dos cifras decimales

2 , 8 3× 4

1 1 , 3 2

Dos cifras decimales

2 ,7× 4 ,51 3 5

1 0 8

1 2 ,1 5

Para dividir números decimales puedo seguir estos pasos:

1 Divido la parte entera, 7, entre 4.

7 , 4 4

3 1

2 Escribo una coma en el cociente y sigo dividiendo la parte decimal.

7 , 4 4

3 4 1 , 8 2

3 Sigo el mismo proceso hasta obtener de resto cero.

7 , 4 4

3 4 1 , 8 5 2 0

0

1 Calculo una división equivalente a la dada para quitar los decimales del divisor.

5,76 : 4,5× 10 × 10

57,6 : 45

2 Calculo la división equivalente.

5 7 , 6 4 5

1 2 6 1 , 2 8 3 6 0

0 0

3 Como las divisiones son equivalentes, el cociente es el mismo.

57,6 : 45 = 1,28

5,76 : 4,5 = 1,28

Sobran 3 unidades, es decir, 30 décimas.

Sobran 2 décimas, es decir, 20 centésimas.

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NÚMEROS 17

Sumo fracciones con el mismo denominador. Para ello sumo los numeradores y dejo el mismo denominador.

+ =

3 + 4 = 78 8 8

Sumo fracciones con distinto denominador. Primero busco un denominador común.

2 + 33 4

× 4

2 83 12

× 4

× 3

3 94 12

× 3

2 + 3 = 8 + 9 = 173 4 12 12 12

Multiplico un número por una fracción. Para ello multiplico el número por el numerador y dejo el mismo denominador.

3 × 57

= 3 × 57

= 157

Divido una fracción por una fracción. Para ello multiplico en cruz sus términos.

72

: 14

= 7 × 42 × 1

= 282

= 14

Resto fracciones con el mismo denominador. Para ello resto los numeradores y dejo el mismo denominador.

5 – 2 = 36 6 6

Resto fracciones con distinto denominador. Primero busco un denominador común.

4 – 25 4

m.c.m. (5, 4) = 20

20 : 5 = 4

4 × 4 = 16

4 165 20

20 : 4 = 5

5 × 2 = 10

2 104 20

4 – 2 = 16 – 10 = 65 4 20 20 20

Multiplico una fracción por una fracción. Para ello multiplico sus numeradores y sus denominadores.

34

× 57

= 3 × 54 × 7

= 1528

Divido un número por una fracción. Para ello transformo el número en una fracción poniéndole 1 como denominador y multiplico en cruz sus términos.

14 : 12

= 141

: 12

= 14 × 21 × 1

= 281

= 28

Operaciones con fracciones

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NÚMEROS 18

Operaciones con números enteros

Sumar números enteros con el mismo signo

–5 –2

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5

(–2) + (–5) = –7

Sumar números enteros con distinto signo

+4 –2

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5

(–2) + (+4) = +2

Un porcentaje o tanto por ciento indica cuántas partes tomamos de cien.

• En una escuela de música, de cada 100 alumnos, 20 tocan el piano.

20 % 20 de cada 100 20100

20 % se lee veinte por ciento.

• Para calcular un porcentaje o tanto por ciento de una cantidad puedo multiplicarla por el porcentaje expresado de forma decimal.

40 % de 150 = 40100

de 150 = 0,4 × 150 = 60

Si a una cantidad le sumamos un porcentaje le estamos aplicando un aumento.

A 25 € le aumento un 21 %.

21 % de 25 = 21100

de 25 = 0,21 × 25 = 5,25 25 + 5,25 = 30,25

Si a una cantidad le restamos un porcentaje le estamos aplicando un descuento.

A 25 € le descuento un 21 %.

21 % de 25 = 21100

de 25 = 0,21 × 25 = 5,25 25 – 5,25 = 19,75

Porcentajes

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NÚMEROS 19

Proporcionalidad

Dos magnitudes son directamente proporcionales o tienen proporcionalidad directa si al multiplicar o dividir una de ellas por un número la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.

El número de boletos y el precio son magnitudes directamente proporcionales.

• Como 2 boletos cuestan 6 €, el doble de boletos costará el doble.

× 22 boletos 6 €

× 2

4 boletos 12 €

• Como 2 boletos cuestan 6 €, la mitad de boletos costará la mitad.

: 22 boletos 6 €

: 2

1 boleto 3 €

Observa que, como el número de boletos y el precio tienen proporcionalidad directa, se cumple que:

24

= 612

24

y 612

son fracciones equivalentes.

¿Cuánto costarán 7 boletos?

Para averiguarlo puedo calcular cuánto cuesta un boleto, es decir, puedo reducir a la unidad.

1 Calculo cuánto cuesta 1 boleto.

: 22 boletos 6 €

: 2

1 boleto 3 €

2 Calculo cuánto cuestan 7 boletos.

× 71 boleto 3 €

× 7

7 boletos 21 €

Siete boletos costarán 21 €.

Si en otra tienda venden 2 boletos por 10 €, ¿cuánto costarán 15 boletos en esa tienda?

Para averiguarlo puedo utilizar la regla de tres.

2 boletos 10 € 2 y

10 deben ser fracciones equivalentes.15 boletos ¿? 15 ¿?

215

= 10¿?

2 × ¿? = 15 × 10

2 boletos 10 €¿? = 10 × 15

2 = 75

15 boletos ¿?

Quince boletos costarán 75 €.

×:

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MEDIDA 20

Unidades de medida de longitud

La unidad principal de medida de longitud es el metro (m).

Mayores que el metro Menores que el metro

kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro

1 000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Observa que cada unidad de medida es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

km hm dam m dm cm mm

0,695 6,95 69,5 695 6 950 69 500 695 000

0,695 km m 0,695 × 10 × 10 × 10 = 695 0,695 km = 695 m

69 500 cm m 69 500 : 10 : 10 = 695 69 500 cm = 695 m

Puedo expresar una longitud en forma simple o en forma compleja.

km dam dmhm m cm mm

3 0 2 6

4 0 6

7 1 2 5

Expresión simple

3 026 m = 3 km y 26 m

4,06 dam = 4 dam y 6 dm

7 125 cm = 7 dam, 1 m y 25 cm

Expresión compleja

Solo una unidad

de medida Dos o más unidades

de medida

Para medir longitudes se utilizan distintos instrumentos, como:

Regla graduada Cinta métrica Podómetro Cuentakilómetros

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MEDIDA 21

Unidades de medida de capacidad

La unidad principal de medida de capacidad es el litro (l).

Mayores que el litro Menores que el litro

kilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

1 000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l


: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

kl hl dal l dl cl ml

0,716 7,16 71,6 716 7 160 71 600 716 000

0,716 kl dal 0,716 × 10 × 10 = 71,6 0,716 kl = 71,6 dal

716 000 ml l 716 000 : 10 : 10 : 10 = 716 716 000 ml = 716 l

Puedo expresar una medida de capacidad en forma simple o en forma compleja.

kl dal dlhl l cl ml

4 0 6 8

3 1 0 8 5

7 2 2 0 3 9

Expresión simple

4 068 l = 4 kl y 68 l

310,85 l = 310 l y 85 cl

722,039 l = 722 l y 39 ml

Expresión compleja

Solo una unidad


de medida

Para medir capacidades se utilizan distintos instrumentos, como:

Probetas Recipientes graduados

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MEDIDA 22

Unidades de medida de masa

La unidad principal de medida de masa es el kilogramo (kg) y la más usada el gramo (g).

Mayores que el gramo Menores que el gramo

kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo

1 000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g


: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

kg hg dag g dg cg mg

0,893 8,93 89,3 893 8 930 89 300 893 000

8,93 hg dg 8,93 × 10 × 10 × 10 = 8 930 8,93 hg = 8 930 dg

89 300 cg kg 89 300 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 = 0,893 89 300 cg = 0,893 kg

Puedo expresar una medida de capacidad en forma simple o en forma compleja.

kg dag dghg g cg mg

1 7 0 5

6 2 0 9

5 0 0 1 5 5

Expresión simple

17,05 g = 17 g y 5 cg

6 209 g = 6 kg, 2 hg y 9 g

500,155 g = 500 g y 155 mg

Expresión compleja

Solo una unidad


de medida

Para medir masas se utilizan distintos instrumentos, como:

Báscula digital Báscula de baño

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MEDIDA 23

Unidades de medida de superficie

La unidad principal de medida de masa es el metro cuadrado (m2).

��

��

Mayores que el metro cuadrado Menores que el metro cuadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,000 1 m2 0,000 001 m2


: 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100

× 100 × 100 × 100 × 100 × 100 × 100


0,000 254 0,025 4 2,54 254 25 400 2 540 000 254 000 000

0,254 km2 dam2

0,254 × 100 × 100 = 2 540 0,254 km2 = 2 540 dam2

5 820 mm2 m2

5 820 : 100 : 100 : 100 = 0,005 820 5 820 mm2 = 0,005 820 m2

Puedo expresar una medida de superficie en forma simple o en forma compleja.

Expresión simple

3,12 dm2 = 3 dm2 y 12 cm2

7 550 cm2 = 75 dm2 y 50 cm2

Expresión compleja

Solo una unidad


de medida

Existen otras unidades de medida de superficie, la hectárea (ha) y el área (a), estas unidades se llaman unidades agrarias.

1 ha = 10 000 m2

1 a = 100 m2

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MEDIDA 24

Unidades de medida de información

La unidad de almacenamiento de información es el bit.

Unidad mínima

8 bits = 23 bits

1 024 bytes = 210 bytes

Bit Megabyte (MB)

Byte (B) Gigabyte (GM)

Kilobyte (KB) Terabyte (TB)

1 048 576 bytes = 220 bytes

1 073 741 824 bytes = 230 bytes

1 099 511 627 776 bytes = 240 bytes

Operaciones con unidades de medida

Suma

• Con unidades en forma simple.

3 , 1 6 kg+ 2 , 9 8 1 kg

6 , 1 4 1 kg

Resta


1 0 3 2 dl– 9 0 5 dl

1 2 7 dl

Multiplicación


7, 0 1 9 km× 32 1, 0 5 7 km

División


3, 1 6 kg 2

1 1 1,58 kg1 6

0

Suma

• Con unidades en forma compleja.

+1

1 2 km 5 5 5 m+ 9 km 7 7 0 m

2 2 km 1 3 2 5 m

Resta


1 2 –1 km 15 5 5 m– 9 km 7 7 0 m

1 1 km 1 5 5 5 m

– 9 km 7 7 0 m2 km 7 8 5 m

Multiplicación


+7

4 5 l 9 0 cl× 83 6 7 l +7 2 0 cl

División


4 5 l 9 0 cl 6

3 9 7 l 65 cl3 0

0

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MEDIDA 25

Medida del tiempo

La Tierra gira sobre sí misma y tarda un día en dar una vuelta completa. Un día tiene 24 horas.

La Tierra también gira alrededor del Sol y tarda en hacerlo 365 días y 6 horas aproximadamente. Para corregir ese desfase de 6 horas, cada cuatro años se añade un día más al calendario. Este año se llama bisiesto y tiene 366 días.

Puedo medir el tiempo con períodos mayores y menores que un año.

Períodos mayores de un año Períodos menores de un año

Milenio Siglo Década Lustro Año Trimestre Mes Quincena Semana

1 000 años 100 años 10 años 5 años 12 meses 3 meses 30, 31, 28 o 29 días

15 días 7 días

El calendario es una forma de representar los años, los meses, las semanas y los días.

ENERO L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

JULIO L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

FEBRERO L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

AGOSTO L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

NOVIEMBRE L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

MARZO L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

DICIEMBRE L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

SEPTIEMBRE L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

ABRIL L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

OCTUBRE L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

MAYO L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

JUNIO L M X J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Los siglos se representan con números romanos. Para calcular a qué siglo pertenece un año, primero observo si acaba en dos ceros o no.

Acaba en dos ceros

Año 100 1 Siglo i

Año 1000 10 Siglo x

Año 2000 20 Siglo xx

No acaba en dos ceros

Año 295 2 + 1 Siglo iii

Año 1786 17 + 1 Siglo xviii

Año 2013 20 + 1 Siglo xxi

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MEDIDA 26

Medida del tiempo

Un día equivale a 24 horas, que se dividen en dos períodos de 12 horas.

mediodía

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

noche mañana tarde noche

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Observa cómo se indican las horas, los minutos y los segundos en los relojes analógicos y digitales.

MinuteroAguja horaria

Segundero

h min s

Para medir períodos menores de un día utilizamos las horas (h), los minutos (min) y los segundos (s). Estas unidades de medida se relacionan de forma sexagesimal: cada unidad equivale a 60 unidades de orden inferior.

: 60: 60

× 60 × 60

: 3 600

× 3 600

h min s

2 120 7 200

h min s

3 180 10 800

1 h = 60 min1 min = 60 s1 h = 3 600 s

Puedo expresar una medida de tiempo en forma simple o en forma compleja.

Expresión simple

725 s = 12 min y 5 s

253 min = 4 h y 13 min

9 127 s = 2 h, 32 min y 7 s

Expresión compleja

Solo una unidad


de medida

Para operar con unidades de medida de tiempo las expreso en la misma unidad.

2 h 2 × 60 × 60 7 200 s 15 min 15 × 60 900 s25 s + 25 s 8 125 s

9 0 3 6 s 6 0

3 0 3 1 5 0 min 6 0

0 3 6 s 3 0 min 2 h

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MEDIDA 27

Medida de ángulos

La amplitud o abertura de un ángulo se mide en grados y para medirla se utiliza el transportador, que está dividido en 180 partes iguales, y cada una de ellas representa 1 grado (1º). Observa cómo mido un ángulo con el transportador.

Coloco el centro del transportador sobre el vértice del ángulo y hago coincidir el 0 sobre uno de sus lados.

1 El otro lado marca la amplitud del ángulo en grados.

2

A = 130°

Además del grado, para medir la amplitud de un ángulo con mayor exactitud, se utilizan los minutos y los segundos. Estas unidades se relacionan de forma sexagesimal: cada unidad equivale a 60 unidades de orden inferior.

1 grado = 60 minutos

1º = 60’

1 minuto = 60 segundos

1’ = 60’’

× 60

: 60 : 60 : 3 600

× 60 × 3 600

grado minuto segundo

1 60 3 600

grado minuto segundo

1 60 3 600

Al sumar o restar ángulos, obtengo otro ángulo cuya amplitud es la suma o resta de las amplitudes de los ángulos iniciales.

El ángulo C es el ángulo suma de A y B.

C = A + B

8 5º 1 4’ 3 2”+ 6 0º 5 0’ 4 2”

1 4 5º 6 4’ 7 4”+ 1’

1 4 5º 6 5’ 1 4”+ 1º

1 4 6º 5’ 1 4”

74” = 60” + 14” = 1’ + 14”

65’ = 60’ + 5’ = 1º + 5’

El ángulo D es el ángulo resta de A y B.

D = A – B

• No puedo restar 42” a 32”:

14’ = 13’ + 60’’

8 5º 1 4’ 3 2”– 6 0º 5 0’ 4 2”

8 5º 1 3’ 9 2”– 6 0º 5 0’ 4 2”

5 0”

• No puedo restar 50’ a 13’:

85º = 84º + 60’8 4º 7 3’ 9 2”– 6 0º 5 0’ 4 2”

2 4º 2 3’ 5 0”

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MEDIDA 28

Dinero

El euro es la moneda de muchos países europeos; su símbolo es €.

5 euros 10 euros 20 euros

50 euros 100 euros

500 euros200 euros

50 céntimos 1 euro = 100 céntimos 2 euros = 200 céntimos

1 céntimo 2 céntimos 5 céntimos 10 céntimos 20 céntimos

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MEDIDA 29

Unidades de medida de volumen

La unidad principal de medida de volumen es el metro cúbico (m3).

��

��

��

��

��

��

Mayores que el metro cúbico Menores que el metro cúbico


1 000 000 000 m3 1 000 000 m3 1 000 m3 1 m3 0,001 m3 0,000 001 m3 0,000 000 001 m3

Observa que cada unidad de medida es 1 000 veces mayor que la inmediatamente inferior y 1 000 veces menor que la inmediatamente superior.

: 1 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000

× 1 000 × 1 000 × 1 000 × 1 000 × 1 000 × 1 000


0,432 km3 hm3

0,432 × 1 000 = 432 0,432 km3 = 432 hm3

2 705 mm3 cm3

2 705 : 1 000 = 2,705 2 705 mm3 = 2,705 cm3

Puedo expresar una medida de volumen en forma simple o en forma compleja.

Expresión simple

5 717 cm3 = 5 dm3 y 717 cm3

8 923 hm3 = 8 km3 y 923 hm3

Expresión compleja

Solo una unidad


de medida

La capacidad de un recipiente equivale a su volumen.

1 dm3 = 1 l 1 cm3 = 1 ml 1 m3 = 1 kl

1 5 0 cm3 4 8 0 mm3

+ 5 0 cm3 1 6 0 mm3

2 0 0 cm3 6 4 0 mm3

150 cm3 480 mm3 3

00 18 50 cm3 160 mm3

00

2 9 0 cm3 7 0 0 mm3

– 2 0 0 cm3 6 4 0 mm3

9 0 cm3 6 0 mm3

Operaciones con unidades de volumen

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GEOMETRÍA 30

Posición relativa de rectas y circunferencias

Recta, semirrecta y segmento

Recta Semirrecta Segmento

Posición de rectas en el plano

Oblicuas Perpendiculares

Paralelas Secantes

Posición de dos circunferencias en el plano

No tienen ningún punto en común. Tienen un punto en común. Tienen dos puntos en común.

Exteriores Interiores Tangentes Tangentes Secantes exteriores interiores

Posición de rectas y circunferencias en el plano

No tienen ningún punto en común. Tienen un punto en común. Tienen dos puntos en común.

Recta Recta Recta exterior tangente secante

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GEOMETRÍA 31

Ángulos

Dos rectas secantes se cortan en un punto y forman cuatro regiones llamadas ángulos.

lado amplitud

ladovértice

Según la amplitud del ángulo, este puede ser:

Recto Agudo Obtuso Llano

Mide 90°. Mide menos de 90°. Mide más de 90°. Mide 180°.

Dos ángulos que tienen el mismo vértice pueden ser:

Ángulos consecutivos Ángulos adyacentes Ángulos opuestos por el vértice

Tienen un lado en común. Son consecutivos y suman 180º. Son los formados por dos rectas secantes.

Dos ángulos que suman 90º son complementarios el uno del otro.

Dos ángulos que suman 180º son suplementarios el uno del otro.

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta con origen en el vértice del ángulo que lo divide en dos ángulos de igual amplitud.

�

�

�bisectriz

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que lo divide en dos partes iguales.

� �

�

�

mediatriz

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GEOMETRÍA 32

Sistema de coordenadas cartesianas

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��

��

��

��

��

��

�

�

��

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��

��

��

�

��

��

��

��

��

• En el eje horizontal, a la derecha del punto 0 se encuentran los números positivos y a la izquierda, los negativos.

• En el eje vertical, los números positivos se sitúan por encima del punto 0 y los negativos, por debajo.

• El plano determinado por los ejes de coordenadas se llama plano cartesiano.

• Cada punto del plano está determinado por un par de coordenadas. Para leer y escribir las coordenadas de un punto se nombra primero la del eje horizontal y después la del vertical.

La figura A tiene simetría y las figuras B y C son simétricas.

Si muevo la figura A hacia la derecha 9 cuadraditos obtengo la figura B; he realizado una traslación.

A BA B C

Eje de simetria

Cuando una figura gira respecto a un punto, se obtiene otra figura con la misma forma y el mismo tamaño, pero colocada en distinta posición. El punto sobre el que gira se llama centro de giro, y los grados que gira, amplitud del giro. Además de la amplitud es importante saber el sentido del giro.

Sentido positivo Sentido negativo

Sigue el sentido contrario a las agujas del reloj. Sigue el mismo sentido que las agujas del reloj.

Movimientos en el plano

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GEOMETRÍA 33

Escalas en planos y mapas

La escala numérica de un plano o mapa es la relación que existe entre sus medidas y las medidas reales.

La escala 1:150 indica que 1 cm en el plano equivale a 150 cm de la realidad.

1:150 = 1150

De forma gráfica se representa así: 0 150 300 450

1 cm

Dos figuras son iguales si tienen la misma forma y el mismo tamaño. El cociente de dividir las medidas de una entre las medidas de la otra es 1. Este cociente se llama razón de semejanza.

Para construir una figura ampliada, multiplico todas las medidas de la figura original por el mismo número.

��

��

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño. El cociente de dividir las medidas de una entre las medidas de la otra es el mismo y es distinto de 1. Este cociente se llama razón de semejanza.

Para construir una figura reducida, divido todas las medidas de la figura original por el mismo número.

��

��

��

��

Ampliaciones y reducciones

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GEOMETRÍA 34

Polígonos

Un polígono está formado por una línea poligonal cerrada y su interior. Sus elementos son:

• Lados: segmentos que forman la línea poligonal.

• Vértices: puntos donde se unen dos lados.

• Ángulos: abertura formada entre los lados.

• Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos.

Vértice

Ángulo

Diagonal

Lado

Según el número de lados, los polígonos se clasifican en:

Triángulos Cuadriláteros Pentágonos Hexágonos

3 lados 4 lados 5 lados 6 lados

Heptágonos Octógonos Eneágonos Decágonos

7 lados 8 lados 9 lados 10 lados

Si un polígono tiene todos sus lados y ángulos iguales se llama polígono regular. Los polígonos que no son regulares se llaman irregulares.

Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º, y cóncavo si al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

Convexo Cóncavo

El perímetro de un polígono es la medida de la longitud de todos sus lados.

Perímetro = 4 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 12 cm

4 cm

2 cm

3 cm

3 cm

Perímetro

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GEOMETRÍA 35

Clasificación de triángulos

Según sus lados

EquiláterosTres lados iguales

IsóscelesDos lados iguales

EscalenosTres lados desiguales

AcutángulosTres ángulos

agudos

RectángulosUn ángulo recto

No es posible

ObtusángulosUn ángulo

obtusoNo es posible

Según sus ángulos

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º.

Los cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos se llaman paralelogramos. Según sean sus lados y sus ángulos, los paralelogramos se clasifican en:

Cuadrado

4 lados iguales.4 ángulos iguales.

Rectángulo

Lados iguales 2 a 2. 4 ángulos iguales.

Rombo

4 lados iguales.Ángulos iguales 2 a 2.

Romboide

Lados iguales 2 a 2.Ángulos iguales 2 a 2.

Los cuadriláteros que no sean paralelogramos pueden ser:

Trapecios

No todos los lados paralelos.

Trapezoides

Ningún lado paralelo a otro.

La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360º.

Clasificación de cuadriláteros

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GEOMETRÍA 36

Circunferencia, círculo y figuras circulares

La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos equidistan del centro. Una circunferencia y su interior forman un círculo.

Circunferencia Círculo

radio

diámetro

centro

cuerda

arco

Otras figuras circulares son las siguientes:

Semicírculo Sector circular Segmento circular Corona circular

La longitud de una circunferencia (L) es un número de veces su diámetro. Ese número es aproximadamente 3,14 y se llama pi (π).

��

��

��

Para calcularla utilizaremos 3,14 como valor aproximado de π.

�� L = π × diámetro = π × 2 × radio

L = 3,14 × 3 cm = 9,42 cm

Longitud de la circunferencia

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GEOMETRÍA 37

Área de figuras planas

El área de una figura es la medida de su superficie.

��

��

Área del cuadrado = base × altura

��

��

Área del rectángulo = base × altura

El área del romboide es igual a la de un rectángulo de igual base y altura.

��

��

Área del romboide = base × altura

El área del rombo es igual a la mitad del área del rectángulo.

��

��

Área del rombo = base × altura2

=

= diagonal mayor × diagonal menor

2

Observa que el área de un triángulo es la mitad del área de un rectángulo.

Área del triángulo = base × altura2

base

altura

El área de un trapecio es igual a la suma de sus bases por la altura dividido por dos.

Área del trapecio = (base mayor + base menor) × altura

2

base menor

base mayor

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GEOMETRÍA 38

Área de figuras planas

Para calcular el área de un polígono regular puedo utilizar varias formas. Veamos la más utilizada.

Área del polígono regular = perímetro × apotema

2

Apotema: une el centro con el punto medio del lado.

Área del triángulo = base × altura

2

Descompongo el polígono en triángulos iguales uniendo el centro con cada uno de los vértices.

1 Calculo el área de uno de los triángulos.2

Multiplico el área del triángulo por 6.3

��

��

Para calcular el área de un círculo lo considero como un polígono regular de muchos lados, donde su apotema es el radio, y el perímetro, la longitud de la circunferencia.

Área del círculo = perímetro × apotema

2 =

2 × π × r × r2

= π × r2

Radio

Para calcular el área de un polígono regular puedo utilizar varias formas. Veamos la más utilizada.

Descompongo el polígono en polígonos conocidos.1

��

��

��

��

��

��

Calculo el área de los polígonos conocidos.

Área del rectángulo A = 5,5 cm × 3,25 cm = 17,875 cm2

Área del rectángulo B = 10,5 cm × 2,4 cm = 25,2 cm2

Área del triángulo C = 5 cm × 3,25 cm2

= 8,125 cm2

Sumo el área de los tres polígonos.

Área del polígono irregular = 17,875 cm2 + 25,2 cm2 + 8,125 cm2 = 51,2 cm2

2

3

A C

B

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GEOMETRÍA 39

Cuerpos geométricos

Un poliedro es un cuerpo geométrico formado por polígonos.

Prismas: tienen dos bases y sus caras laterales son paralelogramos.

��

��

��

Pirámides: tienen una base y sus caras laterales son triángulos.

��

��

Otros cuyas caras están formadas por cualquier polígono.

Un poliedro es regular si todos los polígonos que lo forman son iguales y regulares y, además, en todos los vértices se unen el mismo número de caras.

Tetraedro

4 triángulos equiláteros.

Hexaedro o cubo

6 cuadrados iguales.

Octaedro


Dodecaedro

12 pentágonos iguales.

Icosaedro


Los prismas se clasifican según sea el polígono de sus bases o según el ángulo que forman las caras con la base.

• Polígono de la base:

Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonal

• Ángulo que forman las caras con la base:

Prisma recto

Prisma oblicuo

Las pirámides se clasifican según sea el polígono de su base o según dónde se encuentre su cúspide.

• Polígono de la base:

Pirámide triangular

Pirámide cuadrangular

Pirámide pentagonal

• Posición de la cúspide:

Pirámide recta

Pirámide oblicua

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GEOMETRÍA 40

Cuerpos geométricos

Un paralelepípedo es un prisma cuyas caras son paralelogramos.

Cubo

Todas sus caras son cuadrados.

Ortoedro

Todas sus caras son rectángulos.

Romboedro

Todas sus caras son rombos. Es un prisma oblicuo.

Los cuerpos redondos tienen superficies curvas.

Cilindro

��

��

��

Tiene dos bases circulares.

Cono

��

��

Solo tiene una base circular.

Esfera

��

No tiene bases.

Los cuerpos redondos se llaman también cuerpos de revolución porque se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de un eje.

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GEOMETRÍA 41

Área lateral y área total de cuerpos geométricos

El área lateral (Al) de un cuerpo geométrico es la suma de las áreas de sus caras laterales y el área total (At) es la suma de las áreas de sus caras laterales y de sus bases.

��

��

Al = perímetro de la base × altura

At = Al + 2 × área de la base

��

��

Al = perímetro de la base × apotema lateral

2At = Al + área de la base

Al = 2 × π × r × altura

At = Al + 2 × área de la base��

��

Al = π × r × generatriz

At = Al + área de la base��

��

El volumen (V) de un cuerpo geométrico es el espacio que ocupa.

��

��

V = Área de la base × altura

��

��

V = Área de la base × altura

3

• Observa que el volumen del cono es 13

del volumen del cilindro.

��

��

V = π × r2 × altura

��

��

V = π × r2 × altura

3

Volumen de cuerpos geométricos

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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 42

Estadística

Los datos de un recuento se pueden organizar en una tabla de frecuencias. Si los valores de estos datos son números que representan una cantidad, hablamos de una variable estadística cuantitativa; si los valores no representan una cantidad decimos que es una variable estadística cualitativa.

La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite cada dato.La frecuencia relativa es el cociente entre el número de veces que se repite cada dato y el total de datos.

Observa que la suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Notas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

4 1 15

= 0,2

5 2 25

= 0,4

6 1 15

= 0,2

7 1 15

= 0,2

Total 5 1

En variables cuantitativas podemos calcular la media aritmética (MA), que es el resultado de sumar todos los datos y dividirlo por el número total de datos.

MA = 4 + 5 + 5 + 6 + 75

= 5,4

La moda es el dato que tiene mayor frecuencia.

La nota que mayor frecuencia tiene es el 5.

La moda es el 5.

El rango de un conjunto ordenado de números es la diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo.

5 7 9 12 13 15

El rango es 15 – 5 = 10

En variables cuantitativas, la mediana de un conjunto de datos es aquel que ocupa el valor central cuando todos están ordenados.

• Puntuación obtenida por el equipo rojo. Ordeno las puntuaciones y me quedo con la que ocupa la posición central.

5 7 12 13 15

mediana

• Puntuación obtenida por el equipo verde. Ordeno las puntuaciones y me quedo con la que ocupa la posición central.

5 6 9 9 12

mediana

• Puntuación obtenida por el equipo azul. Ordeno las puntuaciones y calculo la media aritmética de las dos que ocupan la posición central.

5 7 9 12 13 15

Media aritmética = 9 + 122

= 10,5 mediana

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Gráficos

Gráficos de barras

Simple

Películas preferidas

��

� � � � ��

Doble


Triple


Gráficos de líneas o polígonos de frecuencias

Simple

Temperaturas registradas

��

��

Doble


��

��

��

Triple


��

��

��

Pictogramas Gráficos de sectores

Películas de un videoclub

��

= 50 películas


��

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Probabilidad

Una experiencia de azar, o experimento aleatorio, es aquella en la que el resultado no se puede saber con antelación.

Suceso: sacar bola roja. Suceso: sacar bola verde.

En las experiencias de azar hay sucesos que ocurren siempre, sucesos que ocurren solo a veces y sucesos que no ocurren nunca.

Suceso seguro: coger una chincheta.

Ocurre siempre.

Suceso posible: coger una chincheta amarilla.

Ocurre solo a veces.

Suceso imposible: coger una chincheta morada.

No ocurre nunca.

Veamos otro ejemplo de experiencia de azar.

Suceso: que salga el número 1.






• Es seguro que le va a salir un número del 1 al 6.

Ocurre siempre.

• Es posible que salga el número 3.

Ocurre solo a veces.

• Es imposible que salga el número 9.

No ocurre nunca.

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Probabilidad de un suceso: Ley de Laplace

Lidia tiene una caja de rotuladores de colores. Si saca al azar un rotulador de su caja, ¿qué probabilidad tiene de sacar un rotulador amarillo?

Para averiguarlo podemos aplicar la Ley de Laplace, que dice que la probabilidad de que ocurra un suceso en una experiencia de azar es igual al cociente del número de casos favorables entre el número de casos posibles.

Lidia tiene una caja de 18 rotuladores de colores (casos posibles) y 2 son amarillos (casos favorables).

Probabilidad de un suceso = n.º de casos favorablesn.º de casos posibles

218

= 0,11

La probabilidad de que Lidia saque de la caja un rotulador de color amarillo es de 0,11.

¿Qué probabilidad tiene de sacar un rotulador negro?

Lidia tiene 18 rotuladores de colores (casos posibles) y 1 es negro (casos favorables).

Probabilidad de sacar negro = 118

= 0,05

La probabilidad de que Lidia saque de la caja un rotulador negro es de 0,05.

Podemos expresar la probabilidad de un suceso como un porcentaje.

0,11 = 11100

11 %

La probabilidad de que Lidia saque un rotulador de color amarillo de la caja es del 11 %, que significa que de cada 100 veces que saca un rotulador, en 11 ocasiones puede ser amarillo.

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ESTRATEGIAS DE CÁLCULO MENTAL 46

Estrategias de cálculo mental

Sumar Restar

Sumar 9 a un número.

72 + 9 = 72 + 10 – 1 = 82 – 1 = 81

Restar 9 a un número.

62 – 9 = (62 – 10) + 1 = 52 + 1 = 53


75 + 11 = 75 + 10 + 1 = 85 + 1 = 86


98 – 11 = (98 – 10) – 1 = 88 – 1 = 87


64 + 21 = 64 + 20 + 1 = 84 + 1 = 85


64 – 21 = 64 – 20 – 1 = 44 – 1 = 43


64 + 31 = 64 + 30 + 1 = 94 + 1 = 95


64 – 31 = 64 – 30 – 1 = 34 – 1 = 33


35 + 29 = 35 + 30 – 1 = 65 – 1 = 64


68 – 29 = 68 – 30 + 1 = 38 + 1 = 39


27 + 39 = 27 + 40 – 1 = 67 – 1 = 66


432 + 99 = 432 + 100 – 1 = 532 – 1 = 531


635 + 101 = 635 + 100 + 1 = 735 + 1 = 736


256 + 199 = 256 + 200 – 1 = 456 – 1 = 455


256 + 299 = 256 + 300 – 1 = 556 – 1 = 555


85 – 39 = 85 – 40 + 1 = 45 + 1 = 46


542 – 99 = 542 – 100 + 1 = 442 + 1 = 443


271 – 101 = 271 – 100 – 1 = 171 – 1 = 170


895 – 199 = 895 – 200 + 1 = 695 + 1 = 696


723 – 299 = 723 – 300 + 1 = 423 + 1 = 424

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ESTRATEGIAS DE CÁLCULO MENTAL 47

Estrategias de cálculo mental

Multiplicar Dividir

Multiplicar números de dos cifras por 4.

23 × 4

92 23 × 4 = 23 × 2 × 2 = 92

× 2 46 × 2

Multiplicar números de dos o tres cifras por 5.

32 × 5

160 32 × 5 = (32 : 2) × 10 = 160

: 2 16 × 10

Multiplicar números de dos cifras por 6.

51 × 6

306 51 × 6 = (51 × 3) × 2 = 306

× 3 153 × 2

Dividir números de dos o tres cifras por 6.

126 : 6

21 126 : 6 = (126 : 3) : 2 = 21

: 3 42 : 21

Multiplicar números de dos cifras por 0,5.

17 × 0,5 = 17 × 1 2

= 17 : 2 = 8,5

Dividir números de dos cifras por 0,5.

17 : 0,5 = 17 × 2 = 34


16 × 0,25 = 16 : 4 = 4


12 : 0,25 = 12 × 4 = 48

Multiplicar números de dos o tres cifras por 0,1.

25 × 0,1 = 25 × 1 10

= 25 : 10 = 2,5


45 : 0,1 = 45 × 10 = 450


68 17 68 : 4 = (68 : 2) : 2 = 17 34

: 4

: 2 : 2


210 42 210 : 5 = (210 : 10) × 2 = 42 21

: 5

: 10 × 2


28 × 0,2 = (28 × 2) : 10 = 5,6


60 : 0,2 = (60 : 2) × 10 = 300

Documents

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