A. Software-Pakete und Internet-Datenbanken

Mittlerweile exist ieren große kommerzielle Programme für nahezu jedeForm der Datenanalyse. Allerdings ist es aus zeitli chen und finanziel­len Gründen in den meisten Fällen unrealistisch, im Rahmen einerexperimentellen Diplom- oder Doktorarbeit solche Pakete einzusetzen.Der Preis übersteigt im allgemeinen den für die Dur chführung der Ex­perimente eines Projektes bewilligten Forschungsetat , und von einemDiplomanden oder Doktoranden, der sich unt er Zeitdruck neue expe­rimentelle Techniken aneignen muß, kann nicht noch gefordert wer­den, sich in neue äußerst komplexe Programmpakete einzuarbeiten,nur weil ein gewisser Teil der Datenanalyse damit fundi erter durch­zuführen wäre. Fast immer wird in solchen Fällen auf weniger spe­zialisierte und weiter verbreitete Programme zurückgegriffen oder einekostengünstige Shareware- oder Freeware-Realisierung einer bestimm­ten Analysemethode herangezogen. Es gibt zwei wichtige Ausnahmenvon dieser Regel: 1. interdisziplinäre Zusammenarbeiten (zum Beispielzwischen Biologie und Informatik) , in denen viele Analysest rategienin Eigenarbeit auf die Experimente zugeschnit ten und dann auch alsCompute r-Programm oder Software-Paket realisiert werden, 2. expe­rimentelle Arbeiten , bei denen die Entwicklung und Anpassung vonAnalysemet hoden im Vordergrund steht und weniger die (vielleichtbereits etablierte) Durchführung der Exp erimente. Für alle anderenFälle, in denen eine fortgeschrittene Datenanalyse zwar notwendig,aber keinesfalls der zentrale Aspekt der Arbeit ist , soll dieser Anhangeine erste Orientierung in dem großen Feld der Analysesoftware geben.Dabei liegt der Schwerpunkt auf nicht kommerziellen oder weit ver­breiteten kostengünstigen Programmpaketen, ihrer Eignung und ihrenBezugsquellen.Im zweiten Teil sind einige Internet-Datenbanken zusammengeste llt ,die sich mit Komplexität , nichtlinearer Dynamik und Fragen der Mo­dellierung biologischer Systeme beschäftigen.

280 A. Software-Pakete und Internet-Dat enbanken

Software-Pakete

Mathematica, www.w olfram .com

Aus unserer Sicht stellt das Computeralgebra-P rogramm Mathema­tica, das eine Mischung aus Software-Paket und Programmierumge­bung ist , eine nahezu ideale Infrastruktur für interdisziplinäres wis­senschaftliches Arb eiten zur Verfügung. Die meisten Abbildungen indiesem Buch wurden mit Mathematica erstellt . Der ursprünglicheEntwickler von Mathematica, Stephen Wolfram , ist selbst ein akti­ver und äußerst erfolgreicher Wissenschaftler , der im Bereich kom­plexer Systeme forscht. Mit Mathematica verfolgte er das Ziel, ei­ne so suggestive Benutz eroberfläche für die Realisierung mathemati­scher Zusammenhänge und komplexer Systeme zu schaffen, daß sichdie eigenen Ideen unmittelbar umsetzen lassen, ohne daß man einengroßen Teil der Zeit mit Variablendeklarationen und anderen infra­strukturellen Programmierarb eiten beschäftigt ist . Mittlerweile hatsich eine große Forschungslandschaft um dieses Computeralgebra­System gruppiert. Es gibt Konferenzen und ergänzende Datenban­ken (library.wolfram.com) zu Mathematica, ebenso wie Lehrbücher(store.wolfram.comjcatalogj booksj) und Forschungsartikel auf derGrundlage dieses Programms. Die wichtigste Quelle für Mathematica­Files anderer Anwender zu verschiedenen mathematischen Fragestel­lungen ist die MathS ource-Library (www.mathsource.com). Der einzi­ge deutliche Nachteil von Mathematica im Vergleich zu herkömmlichenProgrammierumgebungen (etwa Fortran oder C) besteht in der nied­rigeren Geschwindigkeit numerischer Rechnungen. Man kann davonausgehen, daß eine optimal programmierte Mathematica-Lösung etwaum einen Faktor 3-10 langsamer ist als entsprechende Realisierungenin herkömmlichen Programmiersprachen.

Maple, www.maplesoft. com

Ähnlich wie Mathematica bietet auch das Computeralgebra­Programm Mapl e eine ganze Reihe vordefinierter Funktionen, die dasnumerische Arb eiten mit mathematischen Ausdrücken erleichtern undanalyt ische Untersuchungen durch die volle Unterstützung symboli­scher Operationen ermöglichen. Zur Zeit ist die Menge an ergänzen­den Programmpaketen, Büchern und fertigen, zum Download zurVerfügung stehenden Lösungen jedoch noch geringer als bei Mathe­matica.

A. Software-Pakete und Internet-Datenbanken 281

MATLAB, www.mathworks.com

MATLAB ist eine leistungsfähige Software für technische Berechnun­gen. Es bietet vor allem Ingenieuren und Technikern ein interaktivesSystem, das numerische Rechnungen und wissenschaftliche Visualisie­rung gleichermaßen ermöglicht. Immer mehr kommt es aber auch beitheoretischen Arbeiten in den reinen Naturwissenschaften zum Ein­satz. Weniger suggestiv als die oben aufgeführten Computeralgebra­Programme erlaubt MATLAB numerische Rechnungen nahezu ohneGeschwindigkeitsverlust gegenüber herkömmlichen Programmierspra­chen.

IDL, www.rsinc.com/idl/index. cfm

IDL, interactive data language, ist ein System zur Analyse und Vi­sualisierung von Daten. Dabei stehen Tools für eine ganze Reihe vonnumerisch anspruchsvollen Operationen zur Verfügung, etwa Wavelet­Analysen, numerische Integrationen und verschiedene Bildanalyse­Verfahren. IDL unterstützt eine große Zahl von Datenformaten undist für die meisten Computersysteme erhältlich.

NIH Image, Scion Image,rsb.info. nih. gov/nih-image/, www.scioncorp.com/

NIH Image ist ein nicht-kommerzielles (public domain) Bildanalyse­Programm für Macintosh-Computer, das von den National Institutesof Health, der amerikanischen Gesundheitsbehörde, entwickelt wurde .Das Windows-Gegenstück (kommerziell, aber zur Zeit noch als Demo­version gratis erhältlich) heißt Scion Image. NIH Image ist geeignet ,um die Formate TIFF, PICT und PICS einzulesen und zu verarbeiten.Eine große Zahl von Bildverarbeitungsalgorithmen (z.B. Kantenerken­nung, Glättung, Faltung und Kalibrierung) sind in dem Programmenthalten, ebenso wie einige wichtige statistische Analysewerkzeuge.Eine an Pascal angelehnte Macro-Sprache erlaubt die Anpassung derWerkzeuge an den eigenen Bedarf.

Microsoft Excel,www.microsoft·com/germany/office/produkte/default.htm

Als weitverbreitetes Tabellenkalkulationsprogramm erlaubt Excel auchin begrenztem Umfang das numerische Studium von Differenzenglei­chungen und Differentialgleichungen, allerdings im Vergleich zu denoben aufgeführten Programmen mit geringer Benutzerfreundlichkeit.

282 A. Software-Pakete und Internet-Datenbanken

Internet-Datenbanken und Links zu weiterer Software

Complexity On-linecomplex. csu. edu.aufcomplex/

Complexity On-line ist ein wissenschaftliches Informationsnetzwerküber komplexe Systeme. Neben einer großen Linksammlung findet sichdort auch eine Zeitschrift mit Forschungsartikeln. Schwerpunktthemensind unter anderem zelluläre Automaten, Fraktale, neuronale Netze,Spin-Gläser und genetische Algorithmen.

Nonlinear Seiences Preprintszxa:uni-augsburg.dei

Dieser Preprint-Server ist die deutsche Mirror-Seite des berühmtenLos-Alamos-Archivs (xxx.lanl.gov), das Vorabfassungen (Preprints) zupublizierender, aber (meist) noch nicht begutachteter Forschungsarbei­ten zum Download (La. in den Formaten TeX, PostScript oder pdf)zur Verfügung stellt. Das Angebot umfaßt viele Bereiche der Physikund Mathematik. Im Bereich der nichtlinearen Dynamik liegen die fol­genden Rubriken vor:

Adaptation and Selj-Organizing Systems; Cellular Automataand Lattice Gases; Chaotic Dynamies; Exactly Solvable andIntegrable Systems; Pattern Formation and Solitons

Die Datenbank existiert mittlerweile seit fast zehn Jahren. Eine Suchenach Stichworten und Autoren ist möglich.

Links on Complexitypespmc1 .vub.ac.be/COMSELLI.html

Diese von F. Heylighen und C. Joslyn unterhaltene Datenbank wirdetwa im Vierteljahresrhythmus aktualisiert. Sie bietet Informationenzu Selbstorganisationsprozessen und komplexen Systemen.

Santa Fe Institute Publicationswww.santaje. edu/sfi/indexPublications. html

Das Santa Fe Institute for Complex Systems (SFI) ist eine weltweitanerkannte Forschungsinstitution zu Phänomenen der Selbstorganisa­tion , Komplexität und nichtlinearer Dynamik. Die Preprint-Reihe desSFI, deren Bandbreite von technischen Diskussionen bis zu sehr klargeschriebenen Übersichtsartikeln reicht, ist unter dieser Adresse nachJahren geordnet abrufbar.

A. Software-Pakete und Internet-Datenbanken 283

UK Nonlinear Newswww.amsta.leeds.ac. uk/Applied/news. dir/

Das Hauptziel der (britischen) Zeitschrift UK Nonlinear News ist,interdisziplinär arbeitenden Forschern einen Überblick über die An­wendungen und neusten Entwicklungen der nichtlinearen Dynamik zugeben. Ein wichtiger Schwerpunkt liegt daher auf Übersichtsartikeln,Buchbesprechungen und aktuellen Informationen über Forschungs­gruppen.

Topics in Mathematics: Nonlinear Dynamicsarchives.math. utk. edu/topics/nonlinearDynamics.html

Dieses recht aktuelle Archiv sammelt allgemeine Informationen zuThemen der nichtlinearen Dynamik und ihren Anwendungen. Hier fin­det man insbesondere auch Verweise auf Arbeitsgruppen in diesemFeld und auf neuere Forschungsprojekte.

Mathematical Biology Pageswww.bio.bmndeis. edsi/biomatti/menu: html

Die Mathematical Biology Pages sind ein Versuch, das Internet als Un­terrichtsmedium zu nutzen. Sie bieten vor allem Animationen und Vi­sualisierungen einfacher theoretischer Konzepte der nichtlinearen Dy­namik und einiger anderer Teilbereiche der Mathematik.

Internet Resources for Mathematical Modellingwww.ifi·uio.no/-matmod/matmod-hotlist.shtml

Diese (norwegische) Datenbank und Linksammlung beschäftigt sichmit mathematischer Modellierung und hat Informationen über Konfe­renzen, Software, news groups und Publikationen zu diesem Themen­feld.

TSTOOLwww.DPI.Physik.Uni-Goettingen.DE/tstool/index.html

Bei TSTOOL handelt es sich um ein Software-Paket zur nichtlinearenZeitreihenanalyse. Es besteht vor allem aus MATLAB-Programmenmit einigen Ergänzungen in CjC++. Viele der in Kapitel 4 diskutier­ten Operationen können mit TSTOOL durchgeführt werden, etwa dieEinbettung einer Zeitreihe, die Berechnung der Lyapunov-Exponenten,verschiedene Nachbarschaftsbetrachtungen im Einbettungsraum undSurrogatdatentests.

284 A. Software-Pakete und Internet-Datenbanken

DDE-BIFTOOLunmo.cs.kuieuocn.ac.be/tkoea/.delay/ddebiftool. shtml

DDE-BIFTOOL ist ein MATLAB-Paket zur Bifurkationsana­lyse von Systemen mit Zeitverzögerung (speziell von Delay­Differentialgleichungen). Es erlaubt vor allem Stabilitäts- und Bifur­kationsanalysen.

B. Weiterführende Literatur zu ausgewähltenThemen

Beim Abfassen dieses Buches waren mir eine ganze Reihe vonLehrbüchern eine große Hilfe. Einige von ihnen sind besonders geeignetals Vertiefung einzelner Themen. Diese sind hier nach Hauptstichwor­ten noch einmal aufgeführt.

Nichtlineare Dynamik

D . Kaplan, L. Glass , Nonlinear Dynamics and Chaos.Springer 1995

Dieses Buch ist als Einführung für Biologen wegen der vielen ausfor­mulierten und skizzierten biologischen Anwendungsbeispiele besondersgeeignet. Es gehört zu den wenigen Lehrbüchern mit ausführlichen Dis­kussionen von Analysemethoden. Vor allem die Grundzüge der nichtli­nearen Zeitreihenanalyse werden klar und nachvollziehbar dargestellt.

S. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos with applicationsto physics, biology, chemistry and engineering.Addison-Wesley 1994

Dieses im Vergleich zu den entsprechenden Kapiteln bei Kaplan undGlass sehr viel anspruchsvollere Buch enthält neben vielen fortgeschrit­tenen Beispielen aus der Biologie und der Physik eine bemerkenswer­te Darstellung von Bifurkationen und eine sehr ausführliche Diskussi­on des Lorenz-Systems . Die Übungsaufgaben am Ende der einzelnenKapitel sind originell und stark an Fragen der Forschung orientiert.Ähnlich wie die sehr detailliert besprochenen, den ganzen Text durch­setzenden Beispiele sind sie wesentlich für ein tiefes Verständnis derbehandelten Begriffe.

E. Ott, Chaos in dynamical systems.Cambridge Univ. Press 1993

286 B. Weiterführende Literatur zu ausgewählten Themen

Einige relativ häufig vernachlässigte Aspekte der nichtlinearen Dy­namik finden sich hier auf Lehrbuchniveau präsentiert, zum Beispielquasiperiodische Dynamiken und das Auftreten von Arnoldzungen inextern getriebenen Systemen.

Zeitreihenanalyse

R. Schlittgen, B. Streitberg, Zeitreihenanalyse.oldenbourg 1998

Eine sehr umfassende Darstellung vieler filterbasierter linearer Analy­severfahren werden hier mit einer großen Zahl von Detailinformationenund zahlreichen Beispielen erläutert. Das Argumentationsniveau istfür den Adressatenkreis des Buches (Wirtschaftswissenschaften) rechthoch, wenn auch der Text viele der stark mathematisierten Teile gutergänzt.

T. Schreiber, Nonlinear time series analysis.Physics Reports 308 (1999)

Dieser Übersichtsartikel stellt eine gliedernde, sehr klare Sammlung deraktuellsten Ideen der nichtlinearen Zeitreihenanalye dar. Zwar wird aufmathematische Details der verschiedenen Methoden verzichtet, den­noch ist diese Sammlung ein hervorragendes Hilfsmittel bei der Aus­wahl fortgeschrittener Analysewerkzeuge für einen Satz experimentel­ler Daten.

Fraktale Geometrie

M.F. Barnsley, Fractals Everywhere.Academic Press 1993

Michael Barnsley ist einer der großen Vorreiter der fraktalen Geometrieund gleichzeitig Mitbegründer einer erfolgreichen Firma zur Bildver­arbeitung und Datenkomprimierung, die ihren Marktvorteil aus ge­rade solchen Methoden schöpft (www.iterated.carn).Esist daher nurfolgerichtig, daß dieses Buch den Weg vom mathematischen Gedan­ken bis zur praktischen Anwendung an allen Stellen in gleichermaßenüberzeugender Weise zu schildern vermag. Kaum ein Lehrbuch derTopologie oder Geometrie enthält eine so klare, inspirierende und den­noch mathematisch sorgfältige Einführung in Mengen und metrische

B. Weiterführende Literatur zu ausgewählten Themen 287

Räume. Die wichtigsten Theoreme der fraktalen Geometrie werden be­wiesen und an Beispielen diskutiert. Nur kursorisch behandelt werdenMethoden der Analyse fraktaler Daten und die Bedeutung fraktalerStrukturen in der Natur.

L.S. Liebovitch, Fractals and Chaos simplified for the LifeSciences.Oxford Univ. Press 1998

Die interessante Strukur (eine Seite Text zusammen mit einer SeitePräsentationsvorlage) macht dieses Buch zu einem begehrten Vorbe­reitungstext zum Unterrichten von fraktaler Geometrie und einigerGrundelemente der nichtlinearen Dynamik. Zum Selbststudium ist die­ses Buch allerdings nur begrenzt geeignet. Larry S. Liebovitch gehörtzu den wenigen Forschern, deren Schwerpunkt konsequent auf inter­disziplinärer Arbeit liegt. Er sucht die Anwendung seiner mathemati­schen Methoden in der Biologie und Medizin, aber auch in industriel­len Kontexten. Die mit seiner Arbeit verbundene didaktische Heraus­forderung , sehr anspruchsvolle mathematische Techniken fachfremdemPublikum schnell und in ihrer gesamten Leistungsfähigkeit vermittelnzu können, hat zu einem ganz bemerkenswerten Erklärungsrepertoiregeführt, das in diesem Buch niedergelegt ist. Autor und Verlag planenzur Zeit eine umfassende Neubearbeitung, die deutlich textorientierter(und damit für Studierende geeigneter) sein soll. Dabei ist geplant , ei­ne große Menge von zusätzlichem, zum Teil interaktivem Material aufeiner CD-ROM beizufügen.

Bildanalyse und Analyse raumzeitlicher Datensätze

B . Jähne, Digitale Bildverarbeitung.Springer 1997

Auf einem für dieses Gebiet relativ hohen mathematischen Niveau wer­den hier wichtige Notationen, Denkweisen und konkrete Algorithmender Bildanalyse präsentiert. Besonders bemerkenswert ist der Trans­fer von Begriffen und Methoden aus der klassischen Mechanik, etwadie Hauptachsentransformation und der Begriff des Trägheitstensors.Ein Kapitel widmet sich der Analyse raumzeitlicher Dynamiken. Dortliegt der Schwerpunkt allerdings auf dem Nachweis und der Quantifi­zierung von Bewegungen in einer Bildsequenz. Viele Standardverfahren

288 B. Weiterführende Literatur zu ausgewählten Themen

wie Kantendetektion, Glättung und die Grundzüge der Mustererken­nung werden sehr klar, wenn auch in einer etwas formalen Notationdiskutiert.

A.M. Albino, P.E. Rapp, N.B. Abraham, und A. Pas­samante, Measures of spatio-temporal dynamics.Physica D 96 (1996)

In diesem Sonderheft der Zeitschrift Physica D zur raumzeitlichen Da­tenanalyse finden sich Anwendungen spezieller mathematischer Me­thoden und Berichte über aktuelle Forschungsarbeiten. Man erhält soeinen guten Eindruck davon, was in diesem Feld zur Zeit diskutiertwird. Allerdings sind die in dem Heft enthaltenen Artikel zum Teiläußerst schwer lesbar, da sie einen relativ hohen Kenntnisstand in demForschungsfeld und gute physikalische und mathematische Kenntnissevoraussetzen. Wie bei Forschungsartikeln üblich wird ein erheblicherTeil essentieller Vorinformationen nur durch die zitierte Literatur be­reitgestellt.

Informationstheorie

W. Ebeling, F. Schweitzer und J. Freund, KomplexeStrukturen: Entropie und Information.Teubner 1998

Auf einem dem interdisziplinären Anspruch angemessenen Niveau, al­so ohne die Argumentation ausschließlich auf Gleichungen basieren zulassen, diskutiert dieses Buch den Zusammenhang von Komplexitätund Information. Es führt behutsam in den dazu nötigen thermodyna­mischen Begriffsapparat ein und zeigt die Verbindung zur Informati­onstheorie. Die gedanklichen Einbettungen der theoretischen Begriffesind durchaus gelungen, wobei die Anbindung an den mathematischenFormalismus nie verloren geht. In den letzten Kapiteln werden vor al­lem neuere Forschungsarbeiten der Autoren diskutiert , allerdings aufganz hervorragend gewähltem Argumentationsniveau. Dabei werdenauch Verallgemeinerungen von Entropie und Transinformation bespro­chen, die in Zukunft eine wichtige Rolle bei der Analyse experimentel­ler Daten haben können . Die Leistungsfähigkeit dieser Methoden wirdan (vor allem theoretisch generierten) Datensätzen vorgeführt, so daßsich eine klare Vorstellung davon ergibt, welche Eigenschaften einesSystems quantifiziert werden.

B. Weiterführende Literatur zu ausgewählten Themen 289

Weitere Bücher

H.J. Jensen, Self-organized criticality: emergent complex be­havior in physical and biological systems.Cambridge Univ. Press 1998

Jensen schafft es, nahezu frei von der qualitativ geführten Diskussi­on um die Möglichkeiten der selbstorganisierten Kritizität eine kla­re mathematisch fundierte Vorstellung dieses Phänomens zu vermit­teln. Dabei diskutiert er die Funktion und Ursachen von sogenanntem1/f-Rauschen, also einer zeitlich fraktalen Struktur, ebenso wie einigeTechniken zur analytischen Behandlung kritischer Systeme. Die allge­meineren Überlegungen werden anhand von sehr einfachen theoreti­schen Modellsystemen vorgeführt, wobei das mathematische Vorgehenund die Besonderheiten der einzelnen Modelle stets klar hervortreten.

H.D.I. Abarbanel, R. Brown, J.J. Sidorowich und L.S.Tsimring, The analysis of observed chaotic data in physicalsystems.Rev. Mod. Physics 65 (1993) 1331-1392

Auf der Höhe der Forschungswelle zur Unterscheidung von Chaos undRauschen ist dieser Übersichtsartikel erschienen. In knapper Form wer­den die Grundgedanken der Datenanalyse geschildert. Begrifflich sehrklar wird zwischen linearen und nichtlinearen Methoden getrennt. Inäußerst pragmatischer Weise verwenden die Autoren allgemein be­kannte chaotische Systeme (z.B. das Lorenz-System) zur Erzeugungvon Beispieldaten, die dann mit den beschriebenen Verfahren analy­siert werden. An vielen Stellen werden interessante Analogien zur In­formationstheorie gezogen. Wenig Raum ist der Analyse realer (alsoverrauschter und sehr kurzer) Zeitreihen gewidmet, ebenso wie raum­zeitlichen Dynamiken.

K. Mainzer (Hrsg.), Komplexe Systeme und Nichtlineare Dy­namik in Natur und Gesellschaft.Springer 1999

Neben der hervorragenden Einführung des Herausgebers ist vor allemdie enorme inhaltliche Vielfalt dieser interdisziplinären Forschungs­programme, deren Kernideen hier in sehr klaren und verständlichenAufsätzen dargestellt sind, hervorzuheben. Diese Sammlung bietet ei­ne gute Orientierung über die aktuellen Bemühungen eines Transfers

290 B. Weiterführende Literatur zu ausgewählten Themen

von Methoden der nichtlinearen Dynamik in andere wissenschaftlicheBereiche.

C. Übungsaufgaben

Die in diesem Anhang zusammengestellten Übungsaufgaben sollen dieGewöhnung an einige wesentliche Begriffe des Buches erleichtern. Imallgemeinen wurde versucht, längere Rechnungen zu vermeiden undden Schwerpunkt auf qualitative Vergleiche, geometrische Argumen­tation und die direkte Anwendung einzelner zentraler Definitionenzu legen. Der Schritt zu den anspruchsvolleren Übungen der vertie­fenden Literatur aus Anhang B sollte auf dieser Grundlage keinegrößeren Schwierigkeiten bereiten. Die Aufgaben zur Iteration vonDifferenzengleichungen und zu den Definitionen einiger raumzeitlicherMaße können als Ausgangspunkt für eigene Computerexperimentedienen. Gerade im Rahmen von fortgeschrittenen Computeralgebra­Programmen (vgl. Anhang A) lassen sich diese Objekte. leichtimplementieren. Für einige der Übungsaufgaben finden sich im Textbereits relativ explizite Lösungsansätze (z.B. für die Aufgaben 9und 16). In diesen Fällen sollen die Aufgaben vor allem zu einemdetaillierten Nachvollziehen und Ausformulieren der Argumentationanregen.

1) Betrachten Sie die in Abb. C.l angegebenen Zeitreihen unddiskutieren Sie die folgenden Aspekte:

a) Wie stark sind zwei benachbarte Punkte der Zeitreihe kor­reliert? Wie weit (also über welchen zeitlichen Abstand) reichtdiese Korrelation?b) Bestimmen Sie (wenn möglich) graphisch die Sampling­Rate.c) Identifizieren Sie die vorhandenen Typen von Dynamik.d) Schätzen Sie die Zahl der Freiheitsgrade des zugrunde lie­genden Systems.

2) Berechnen Sie die Ableitungen f'(x) folgender Funktionen f(x):

292 C. Übungsaufgaben

0,---- - - - - ----,

·20

-40

.................·60 '~'_..........,......._ ~

~........·80

59.2 59.4 59.6 59.8 60

30,----------,2010

o :·10 ;

·20 :·30 ;

-:r-----;.".--..=----;;.".-~ """6""'2.-=-5 ""'65'""'8"'"7."""5"'"'90"-;:92""'.5=-95=-:::9""'7.5'""',"'001

)(

~ 4:0..Cl~GI o .:E .

1 ~ ~~ 1'/WM IN 11\ , WIli

~ ~

·3~......"......"".-=--;;-:~~~o 20 40 60 60 100 56 56 60 62 64 66 68 70

Zeit t

3

2

o.,

Abb. C .I. Verschiedene Zeitreihen , die sich in bezug auf Korrelat ion und Dyna­mik qualit ativ unterscheiden. Für die drei Zeitreihen (links) sind auf der rechtenBildseite Ausschnit tsvergrößerungen angegeben .

a) f {x ) = VX3,b) f{x) = !!/X,c) f{ x) = e" sin x,d) f {x ) = aX

, a = const .

3) Betrachten Sie zwei Kurven Yl = x und Y2 = Ax(l - x ). Sieschneiden sich immer im Punkt (x,y) = (0,0). Für welche Werte vonA gibt es einen zweiten Schnittpunkt im Bereich x < 0 ?

4) Wenn man in einem eindimensionalen System A Moleküle zumZeitpunkt t = 0 an die Stelle x = 0 setzt , so werden diese Molekülediffundieren. Die Moleküldi chte am Ort x zum Zeitpunkt t ist danngegeben durch

A (_x2)

P {x , t ) = 2v'7fi5i, exp 4 Dt .

a) Berechnen Sie gtP(x, t) .

c. Übungsaufgaben 293

Tabelle C.I. Unterschiedliche dynamische Verhaltensformen einer linearenDifferenzengleichung in Abhängigkeit des Kontrollparameters R

Parameter

R> 1

0< R < 1

-1< R < 0

R< -1R= -1

Dynamik

monotones exponentielles Wachstum

monotoner exponentieller Abfall

oszillatorischer (alternierender) Abfall

oszillatorisches (alternierendes) Wachstum

zyklisches Verhalten

b) Berechnen Sie ~P(x, t) und vergleichen Sie das Ergebnismit gtP(x, t) aus a).

+00

c) Berechnen Sie J P(x, t) dx.-00

(Hilf"Zexp (-x') da: = y'ii')

5) Betrachten Sie die lineare Differenzengleichung Xt+l =RXt. In Abhängigkeit von R lassen sich verschiedene Zeitreihen{Xi I i = 0, 1, 2, ...}R realisieren. Ermitteln Sie graphisch, also im(XH1, xd-Hilfsdiagramm, die ersten zehn Elemente der Zeitreihe (beigeeignet gewähltem Anfangswert xo) für jeden Eintrag in Tabelle C.!.

6) Ermitteln Sie die Fixpunkte und Zyklen der Differenzengleichung

Xt+l = 1.6 Xt (2 - xdund untersuchen Sie ihre Stabilität.

7) Skizzieren Sie (graphisch!) Differenzengleichungen für die folgendenSituationen:

a) System mit zwei stabilen und einem instabilen Fixpunkt,b) System mit zwei Fixpunkten, die beide instabil sind,c) System mit einem stabilen und einem instabilen Fixpunkt,sowie einem stabilen Zyklus der Periode 2.

8) In Abb. 2.5 ist die Steigung der Funktion f(j(x)) im Punkt Agleich der Steigung in Punkt B. Warum?

294 C. Übungsaufgaben

Hinweise:a) Diese Eigenschaft folgt unmittelbar aus der Tatsache, daß die Punk­te A und B einen Zyklus bilden.b) Verwenden Sie die Kettenregel für die auftretende Ableitung.Befindet sich im Inneren eines Zyklus stets ein Fixpunkt?

9) Zeigen Sie: Die Lösung der logistischen Differentialgleichung

dx 2- = kx - axdt

ist gegeben durch

k x(O)x (t) - ...,..,-------,---,-,-------:--7-,----:---:-

- (k - ax(O)) e-kt + ax(O) .

Welchen Wert Xmax (ausgedrückt durch die Parameter a und k) nimmtdas System für große t an?

10) Betrachten Sie das eindimensionale System:

dx = rx + x3 _ x5 (C.1)dt '

das ein Beispiel für eine stabilisierte subkritische Gabelbifurkation dar­stellt.

a) Zeichnen Sie in Anlehnung an Abb . 2.28 das Bifurkations­diagramm (r, x) .b) Bestimmen Sie (graphisch!) die Stabilität der Fixpunkte undskizzieren Sie die Zeitentwicklung des Systems für folgende An­fangsbedingungen (bei r = -0.2):

x(O) = -1.5, x(O) = -0.5, x(O) = -0.1,

x(O) = 0.1, x(O) = 0.5 .

c) Worin besteht die "Stabilisierung"?

11) Zeichnen Sie das Phasenporträt und klassifizieren Sie die Fix­punkte folgender zweidimensionaler linearer Systeme:

dx dxa) dt = Y, dt = - 2x - 3y

dx dyb) dt = 5x + 10y, dt = -x - y

12) Die nichtlineare Differenzengleichung

C. Übungsaufgaben 295

Xt+ l = Xt + b sin [27f Xt ]

mit 0 ::; Xl ::; 1 wird zum Beispiel für die Darstellung gekoppelterbiologischer Oszillatoren benutzt (siehe z.B. Glass u. Perez 1982).

a) Ermittlen Sie die Fixpunkte dieser Gleichung.b) Untersuchen Sie die Stabilität der Fixpunkte für 0 ::; b ::; 1und diskutieren Sie die auftretende Bifurkation (welche?).

13) Warum ist der Autokorrelationskoeffizient

2: (X i - X)( Xi+l-X)i

2: ( Xi - x)2i

(C.2)

eine lineare Kenngröße der Zeitreihe {Xi I i = 1, 2, .. . }? Die Verall­gemeinerung

2: (Xi - X )(Xi+k - x)r(k) = ....::.i ~_

2: (Xi - x)2i

(C.3)

stellt die Autokorrelationsfunktion dar. Bestimmen Sie 1'(2) , 1' (3) undschließlich den allgemeinen Ausdruck für r(k) für den Fall einer linea­ren Differenzengleichung Xi+l = R Xi. Wie lauten die Summationsgren­zen in Gleichung (C.2) und (C.3)?

14) Schätzen Sie die zu den Streudiagrammen aus Abb. C.2 gehören­den Autokorrelationskoeffizienten ab.

15) Zeigen Sie: Das Anwenden eines Differenzenfilters 2. Ordnung

Ll 2Xt = Ll xt - Ll Xt-1 = Xt - 2 Xt- 1 + Xt-2

auf eine Zeit reihe {xt} eliminiert einen quadratischen Trend.

16) Bei der Einbettung einer Zeitreihe gibt es für die Wahl der Ein­bettungsdimension E und des Versatzes T eine Reihe von Kriterien.Nennen Sie drei solche "Auswahlregeln" und begründen Sie diese. Beiwelchen Arten von experimente llen Daten sind Schwierigkeiten mitdiesem Verfahren zu erwarten?Schätzen Sie ab: Wie ändert sich die mittlere Dichte von Punkten ineinem E-dimensionalen Einbettungsraum beim Übergang von E nachE + 1 (d.h. bei einer Vergrößerung der Einbettungsdimension)?

296 C. Übungsaufgaben

• •• ••• •

••

••• •..,

•• •• • •,. ""• 0

• #i•••• • 'I ••-• ••0 0

xi

•

•

•••

••

•

'+><

Ab b. C.2. Streudiagramme von Datensätzen mit unterschiedlicher Korre lation

17) Eine häufige Festlegung des Parameters T geschieht durch denersten Nulldurchgang der Autokorrelationsfunktion (siehe z.B. Abar­banel et al. 1993). Kommentieren Sie dieses Vorgehen. Welches funda­mentale Problem tritt hier auf und welche Alternativen wären denk­bar?

18) Diskutieren Sie die Fouriersp ektren in Abb . C.3 (a) bis (c) undordnen Sie diese den Zeitreihen (d) bis (f) zu. Verwenden Sie dazufolgende Fragen als Richtlinie:

• Welches sind die wesentli chen Unterschiede der Spektren?• Wie müssen sich diese Eigenschaften in der zugehörigen

Zeitreihe äußern?• In welchen Fällen ist die Fouriertransformation eine Hilfe

zum besseren Verständnis der Dynamik?

19) Eine einfache, aber recht effiziente Form der Rauschunter­drückung funktioniert über die Fouriertransformation. Erläutern Siedieses Verfahren anhand des in Abb . CA dargestellten Schemas.

20) Wenden Sie die Definitionen für die ZA-Homogenität H ,

(CA)

C. Übungsau fgaben 297

o 2OÖO--:iOOO 6000 sOoo reoooZeit

(e)Frequenz

100 200 300 400 500

(a) (b) (c)r--.r----~ I .'~~------' ..---------,

ij ,~ 1I~,~~50 100 ISO 200 250 300 350 400

Frequenz(d)

.,-0.5

Abb. C.3. Fourierspekt ren ((a) bis (c)) und Zeitreihen ((d) bis (f)) zur Diskussiontypischer Merkmale in diesen komplementären Darstellungen

mit

{1 a = b

e(a, b) = 0 a =1= b '

und die ZA-Fluktuat ionszahl [2,

1 1[2 1(t) = N 2 L 8" L x

ij bEN;j

beziehungsweise

Jt2(t) = ~2 ~ e (ag+l), aU-I) ) [1-e (aW, aU-I) )] (C.6 )2)

(vgl. Kapite l 5.3) auf die folgende (zeit lich zu verstehende) Sequenzvon Matrizen an :

I(t -1) = 0I(t+l) = 0

(011)

I (t ) = 1 0 1 ,011

298 C. Übungsaufgaben

.:• .O.S

o-o,S

. 1 t' I

-1.S Io 200 400 600 &00 1000

Zelt '\3

2,S

12,

'07.S

S2,S

o~-:,!,"""",~~~~'\

::'~~o 2'00 400 600 100 1000

Zelt

Abb. CA. Schematische Darstellung einer einfachen Rauschunterdrückung mitHilfe der Fouriertransformation. Die obere Abbildung zeigt die Originaldaten, dieuntere Abbildung die geglätteten Daten. In der Mitte ist das eigentliche Verfahrenim Fourierraum dargestellt

Verwenden Sie dazu periodische Randbedingungen.

21) Skizzieren Sie die Bedeutung der einzelnen Terme in st1 und st2aus Gleichung (0.5) und (0 .6). Welche Konstellationen werden aufdiese Weise berücksichtigt? Was ist der Unterschied zwischen st1 undst2?

22) Bestimmen Sie die fraktale Dimension der Objekte in Abb. C.5und schätzen Sie die Anzahl von Parametern, die zur Spezifizierungdes iterierten Funktionensystems (IFS) nötig sind .

23) Skizzieren Sie die ersten Iterationsschritte des folgenden IFS:

(X) Wl (1/4 0) (X) (1/2)Y ---:.r 0 1/4 Y + 1/2 '

(~) ~ (1~2 1~2) (~) .

24) In Kapitel 5.2 hatten wir gesehen, daß das Ising-System aus einemGitter besteht, dessen Plätze ("Zellen") zwei Zustände (+1 und -1)

C. Übungsaufgaben 299

Abb. C.5. Zwei Beispiele für durch iterierte Funktionensysteme erzeugte Struktu­ren . Gezeigt ist jeweils der zweite und achte Iterationsschritt. Das Ausgangsobjektbildet dabei in beiden Fällen ein klassisch-geometrisches Objekt, nämlich ein Drei­eck (a) oder ein Quadrat (b)

1( h JW(S H) = - 1- S tanh _ I}

I} 2 I} kBT

~j=l.

f/(len7)=0.9

-4 -2 4

~j=-l.

f/(Ien 7)= 0.9

-4

Abb. C.6. Wahrscheinlichkeit W(Sij) für die Änderung des Zustands einer Zelleim Ising-Modell. Dabei bezeichnet k« die Boltzmann-Konstante und T die Tempe­ratur des Systems

einnehmen können. Die Zeitentwicklung wird dadurch bestimmt, daßder Zustand einer Zelle sich mit einer von der Nachbarschaft abhängi­gen Wahrscheinlichkeit ändert. Sei Sij der Zustand der Zelle (ij) . SeiN (Sij) die Nachbarschaft von Sij' Dann bezeichnet

hij = J 2: (J

uEN(Sij)

das lokale Feld von Sij' Von einem Zeitschritt zum nächsten ändertsich der Zustand der Zelle Sij mit der in Abb. C.6 angegebenen Wahr­scheinlichkeit. Versuchen Sie, die Funktionsweise dieses Systems an­hand von Skizzen einzelner Nachbarschaften nachzuvollziehen, undzwar mit Blick auf die folgenden Fragestellungen:

300 C. Übungsaufgaben

Abb. C.7. Momentaufnahmen eines Ising-Sytems für verschiedene Temperaturen(also verschiedene Werte des Kontrollparameters J j(kBT)) . Gezeigt ist jeweils dieKonfiguration eines Gitters von 100 x 100 Zellen nach 30 Zeitschritten

a) Wie wirkt die Funktion W(Sij)?b) Wie wirkt sich eine Änderung der Temperatur aus?c) Warum ist bei dem Übergang zu den Graphen der Funk­tion W(Sij) in Abb. C.6 der Wert der Konstanten J j(kBT)angegeben?

25) Ordnen Sie die in Abb. C.7dargestellten Momentaufnahmen einesIsing-Systems nach der Temperatur. Wo könnte die kritische Tempe­ratur liegen?

26) Die Entropie H eines solchen Ising-Systems ist gegeben durch

H = - L Pa log Pa,a=-l,+l

wobei Pa die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, daß sich eine Zelle imZustand a befindet.

a) Wie gelangt man vom Zustand (also dem Bild!) des Ising­Systems zu den Wahrscheinlichkeiten Pa ?b) Diskutieren Sie, wie sich die Entropie mit der Zeit und derTemperatur ändern könnte.

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Sachwortverzeichnis

Aktiv ierung, 20, 109, 110, 132Ameisenwege, 259Analyseregel, 204, 205, 208Anordnungsvorschrift , 220-225, 227,

231ARMA-Modelle, 147, 151, 152, 173, 174At traktor , 60, 161, 164-166, 169, 173,

177, 180, 187, 231, 233- Lorenz-, 164, 165, 239- seltsamer, 165, 170, 239, 240- Dimension, 169, 173- Rekonstruktion, 180, 183Automat , boolescher , 116-119Automat , zellulärer , ii, iii, 6, 103, 105,

111-117, 120- 127, 129-1 31, 135, 192,204, 211, 219, 236, 237, 272, 274, 275

- boolescher , 116-119- stochastischer, 127

Barnsley-Farn, 226-228Bernoulli-Sequenz, 272Bewegungsfilter , 202Bifurkati on, 30, 33, 38, 61- 63, 69,

77-79, 86, 87, 258, 260, 285, 295- dynamische, 139- Gab el- , 79-81 , 294- Periodenverdopplungs-, 64- Sat tel-Knoten-, 76, 77,81- t ranskrit ische, 78, 79Bifurkationsanalyse, 284Bifurkationsdiagramm, 60, 62-66, 76,

77, 79- 82, 86, 261-263, 294Bifurkationseigenschaft en , 78Bifurkat ionsparameter , 82Bifurkat ionspunkt , 63, 64, 78- 80, 86Bildkomprimierung, 234binäre Zahl , 117, 118Bioinformatik , 110, 275Blattzelle, 255Blutgefäß, 253Boltzmann-Faktor. 134

Boltzmann-Konstante, 131, 195, 299Box-Counting-Verfahr en , 241-247,

252-254, 256Box-Homogenität , 207-209, 213Börsendaten, 178

Cantor-Menge, 225, 230, 235, 239, 240Chaos, determini st isches, 8, 57-59, 64,

65, 68, 101, 163, 171, 180, 182, 275,285, 287, 289

Chlorophyllfluoreszenz, 194, 203,253- 255

Clustergröße, 198- 200, 206, 212Cobweb-Met hode, 46Computeralgebra-Software , 13, 62, 94,

151, 203, 280, 281, 291coupled-map lat t ices, 103, 124Crassulaceen-Säurestoffwechsel (CAM) ,

ii, 29- 31, 179-1 84, 254, 257

Datenglät tung, 172Datenmatri x, 207, 208Datenreduk tion, 192Differential gleichung, ii, 3, 33-41, 43,

65, 69-76, 78- 81, 87- 91, 96, 98, 99,101, 107, 124, 129, 164, 170, 178,229, 239, 260, 262, 263, 281, 284

- lineare, 46, 48, 90, 94, 95, 101- logistische, 35, 37, 294- nicht -autonome, 37- nichtlineare, ii, 35, 36, 53, 76, 95, 97,

98, 163, 182- partielle, ii , 6, 33, 116, 121, 122Differenzenfilter , 149, 150, 295Differenzengleichung, logistische, 48,

53-55, 61, 63, 146, 159Differenzenquotient , 4, 11, 13, 14, 72,

122Diffusion, 6, 21, 113, 123, 134, 211,

215-217

308 Sachwortverzeichnis

diffusionsbegrenzte Aggregation,247-249

Dimension, 2-4, 74, 98, 122, 156, 160,161, 166, 168, 169, 171, 174, 175,178, 183, 185-187, 221, 234, 236, 238,240-242, 245-247

- fraktale, 234-238, 240-244, 246, 247,249, 252- 254, 256, 257, 298

- geometrische, 237- räumliche, 191- Analyse, 183, 244, 246DNA-Sequenz, 24-27 , 207, 267, 272,

275-277Domänenbildung, 132, 135, 196Dyn amik , raumzeitliche, 4-6, 122, 125,

204, 207, 209, 215, 216, 268, 287, 289

Eigenfrequenz, 155, 157, 173, 174, 194Eigenvektor, 92-94, 97, 171Eigenwert , 51, 93, 94, 97, 170Einb ettung, 160-166 , 172, 174, 175,

177, 181, 183, 185-187, 229, 283, 288,295

- Dimension, 160, 162, 165, 169, 172,173, 177, 178, 180, 184-1 87, 295

- Raum, 162, 165-1 67, 174, 175, 178,186, 187, 283, 295

- Vektor , 161Einzugsbereich, 52, 85Element arereignis, 22, 23Epidemie, 105, 113, 259erregbar es Medium, 116, 124, 127Eulerrelation, 154Exponent ialfunkt ion, 14, 18, 20, 35, 37,

91, 154, 158

Fadenp endel, 3, 38Filter , linearer , 147-151, 201-203 , 205,

211Fixpunkt, 7-9, 40, 41, 47, 49-58 , 67-82,

84-92, 94-99, 108, 109, 120, 142, 170,260-262 , 293-295

Forest-Fire-Modell, iii, 116, 127-131 ,134, 192, 206, 211, 214, 215, 266

Forest-Gap-Automat , 266Fourieranalyse, ii, 2, 152, 153, 155, 156,

158, 193, 194Fourierintegral, 155Fourierreihe, 153-155Freiheitsgrad , 2-4 , 8, 9, 39, 138, 139,

171, 178, 182, 186, 291Funkt ionenbaust ein, 18, 76- 81, 151,

260-26 3, 265

Funk tionensystem, iteriertes (IFS) , 222,224-2 32, 234-237, 240-242, 298, 299

Gauß , C.F ., 27Gaußkurve, 24, 140Gaußverteilung, 21, 140genet ische Netze , 259Geradengleichung, 10- 12, 27, 28, 34Gesamtenergie, 41, 42, 87Glät tung, 150, 151, 201-203, 281, 288Glättungsfilter , 150, 202, 203Graust ufen, 195, 202, 248Grenzzyklus, 7- 9, 53, 64, 98-100 , 164,

181Gromp ertz-Gleichung, 36, 37

Halbnachbarschaft , 199Herzzellen, 126Hilfsdiagramm , 40, 45- 47, 49, 50,

53- 55, 57, 60, 61, 68, 71, 73-77, 79,80, 84, 85, 99, 100, 147, 159, 160,238, 239, 293

Hili-funktion, 20, 31-33, 83, 133Homogenit ät , 131, 133, 200, 205- 209,

212-21 4, 270, 296Hoshen-Kopelman-Algorit hmus,

198- 200, 212Hysterese, 82, 83

Informationstransport , 267, 269, 275Inh ibition, 20, 109-111Inpu t-Ou tput-Relati on, 107Insekt enplage, iii, 83-85, 259Instabili tät , 260Integrationskonst ante, 11, 12, 91Ionenkanal, 22, 130Ising-Modell, ii, iii, 194, 196, 197, 199,

201, 211-213, 264, 270, 271, 275,298-300

It erationsalgorithmus, deterministi­scher, 231

Iterationsalgorithmus, sto chastischer,231

Jacobi-Matri x, 96, 97

Kant enfilter , 202- 204Kapazit ät , 77, 83, 87Ket tenregel, 16, 42, 294Koch-Kurve, 226, 230, 235, 244, 253Koeffizient enmatrix, 90, 94Koloniegröße, 67, 68komplexe Zahlen, 154Komprimierungsverfahren , 193

Kontrakt ionsabbildung, 222, 226, 228,230- 235, 237, 241

Kontrollparame ter , 30, 58, 76- 78, 81,82, 84, 128, 133, 195-197, 211-213,216, 260-264, 270, 271, 293, 300

Korepressor , 110, 111Korr elation, 9, 68, 120, 139, 142, 144,

146, 147, 159, 166, 167, 171, 176,184, 190, 192, 198, 211, 268, 269,274, 275, 291, 292, 296

- Diagramm, 176- Dimension , 168, 169, 173, 177, 178,

181-185, 187, 189- Funktion, 144-146, 172, 197, 198, 213- Integral , 167-169, 177, 181- Koeffizient , 144, 145, 158, 159, 167,

176, 182, 184, 207- Länge, 192, 193, 196-198, 207-209,

213Kri tizit ät , selbstorganisiert e (SOC),

128, 129, 214, 255-257, 265, 266, 275,289

Langton-Parameter , 273-275Laser , 163Life, 111-113, 115, 118Linearisierun g, 95Lipide, 5, 116, 130- 136Logar it hmus, 35, 65, 267Lorenz, E. , 163Lorenz-At trak tor , 164, 165, 239Lorenz-Syst em , 101,163-166, 169,

176-178, 183, 185, 285, 289Lyapunov-Exponent , 64-66, 137, 164,

169-1 71, 173,283

Magnetisierung, 196, 264Mathem ati ca, 66, 94, 151, 203, 226Matrix , 5, 93, 94, 97, 193, 197, 198,

200, 206, 225, 228, 229, 234, 297- Jacobi- , 96, 97- Koeffizienten- , 90, 94- Element , 230- Multiplikation, ii, 90, 229Membra n , 5, 29, 78, 116, 130-135 191,

196, 259Membranmodell, 130, 131, 133-135Metazustand, 204-206Minimalmo dell, 77, 138Moment , 24, 25, 250Moore-Nachbarschaft , 114, 132, 206

Nachbarschaft, 104, 114, 118- 121, 125,126, 128, 132-134, 165- 167, 174, 186,

Sachwortverzeichnis 309

194, 195, 199, 208-210, 268, 272, 273,283, 299

- Konstellation , 104, 105, 111, 117-120,123, 125, 128, 166, 204, 237, 272, 273

- Regeln , 237Netzwerk, 103, 105- 107Netzwerk, boolesches, iii, 107, 109, 110Net zwerkarchitektur , 106, 108Nicht linearität , 49, 60, 98, 159, 189Normalverte ilung, 21, 24, 25Nullcharakteristi k, 88, 89, 96, 97, 100

Observabl e, makr oskopische, 264Ökosystem, 76, 191, 251, 255-257, 259,

261, 264-266Oszillation, 4, 7- 9, 29, 30, 32, 33, 98,

99, 101, 147, 156, 180, 276Oszillation, endogene , 254Oszillator, har monischer , 38, 40-42, 87,

161, 163, 262Oszillator, van -der-Pol-, 99-101

Periodendauer , 4, 29Periodenverdopplung, 57, 63Periodenverdopplungsbifurkat ion , 64Perkolationsmuster , 129Phasendiagr amm , 86, 87Phasenebene, 40-42, 46, 87-89, 91, 92,

95, 100, 161Phasengrenze, 86, 87Phasenr andomisierung, 189, 190Phasenraum, 38, 40, 41, 60, 87, 98, 161,

162, 164, 170, 171, 173, 239, 240Phasenübergang, 30, 78, 83, 87, 139,

192, 196, 255, 257- 261, 263-265, 270,275

Polarkoordinaten , 93, 98, 99, 154Polynom , 18, 55Populationsd yn amik , 35, 44, 50, 51,

112, 113, 116, 118Potential, 41, 42, 262, 263Potenzgesetz, 249, 251, 259, 265, 266Powerspektrum, 156, 157, 177, 180,

182, 190Produktregel, 14, 15Proteinaktivit ät , 132Prozeßsteuerung, 215

Quotientenregel, 15

Randbedingungen, 114, 115, 118, 298Rauschen , 8, 21, 30, 68, 138-142, 144,

146-148, 157, 159, 169, 178, 185, 187,

310 Sachwortverzeichnis

190, 202, 203, 207, 209-211, 215- 217,289

- additi ves, 185- dynamisches, 141, 142, 145-147, 185,

187- farbi ges, 139, 211- Meß-, 141, 142, 145, 151, 180, 187- weißes, 139, 183Rauschunterdrückung, 152, 172, 174,

187, 296Reaktions-Diffusions-Modell, 6, 7Refrak tärzeit , 125, 127Regelwerk , ii, 6, 58-60 , 105, 106,

111-114, 116-126, 128, 129, 131, 134,135, 192, 204, 237

Regenwald , 127, 255, 259, 265, 266Regressionsgerade, 28, 29Relaxation , 8, 9, 62, 142Repr essor , 110, 111Return-Plot , 159, 160RN A-Viren , 259

Sampling-Rate, 2-5, 31, 43, 158,161- 164, 173,291

Sandhügel-Modell, 257, 265Selbst organisation. ii, 6, 103-105, 116,

127, 191, 192, 196, 205, 207, 234,241, 255, 257, 258, 267, 268, 282

Selbst ähnli chkeit, 165, 219, 225, 231,236, 237, 240, 242, 247, 249

sigmoidale Funktion , 20, 109, 133Signaltheorie, 152Spir alwelle, 126-128, 130, 131, 214Stabilisierung, 81, 294Stab ilit ät , 7, 49, 51, 52, 55, 56, 70, 71,

76-79, 81, 85, 91, 94, 129, 170, 200,293-295

- globale, 51- lokale, 50, 51- Ana lyse, 65, 129, 260, 284- Beding ung , 71, 72Stationarität , 7, 50, 147, 180, 187, 188Steigun gsfeld, 35, 37, 88, 89, 97, 100Streudi agramm, 159, 295, 296Stufenfunk tion, 21, 109, 110Surrogatdaten , 172, 188- 190, 283Symbolsequenz, 271, 272

Takens-Th eorem , 187Temp eraturpuls, 30, 32Testfunktion , 193Transient , 8, 62, 271Trend, 138, 147-150, 158, 169, 174, 178,

295

t rigonometrische Funktionen , 18- 20Tumorwachstum, 37Tumorzelle, 68

Unordnung, 268Update , 104, 112, 114, 115, 117, 123,

126, 128, 204- Full-Latt ice-, 115- Monte -Carlo-, 115- Subl at ti ce-, 115- Regeln , 112, 115, 117, 125, 127, 204,

205, 233- Verfahren , 114, 115, 122, 233

van-der-Pol-Oszillat or , 99-101Variable, boolesche, 107, 109Versat z, 160-1 66, 172, 175, 180, 183,

197, 295Versat zkoordin aten , 161, 187von-Neumann- Nachbarschaft , 114, 199,

206Vorhersagbar keit , 120, 158, 173-175,

182-1 84Vorhersage, 68, 137, 138, 161, 173-176,

185, 272Vorhersagedauer , 175, 176, 182, 184

Wachstumsmodell. 48, 77, 226Wachstumsrate, 44, 48, 67, 77Wahrs cheinlichkeit , 22- 25, 127, 128,

131, 132, 134, 196, 233, 247, 251,267-271 , 274, 276, 299, 300

- bedingte, 23- Dichte, 24Wavelet-Analyse, 193, 194, 281Wolfram, S., 120, 280Wolfram-Klasse, 120, 121, 219, 274

ZA-Fluktuat ionszahl , 209-2 13, 216,217, 297

ZA-Homogenit ät , 205, 206, 212, 214,296

Zeitreihe. 2- 4, 7-9, 29, 43-46, 54, 55,57-66, 75, 101, 129, 130, 135, 137

Zeitskalen , 3, 9, 83, 84, 87, 138-142,147, 148, 164, 187, 209, 256

Zelle, 67-69, 105, 111-11 3, 121, 122,126- 128, 205-207, 219, 233, 264,298-300

- Blatt- , 255- Einzel-, 67, 105, 116, 122, 129- Herz-, 126- Nerven-, 101- Tumor- . 68

Zeltabbildung, 238Zentralzelle, 117, 121, 122, 237Zustandsraum . 5, 24, 103-105 , 111,

114, 115, 117, 124, 125, 128, 130,132, 197, 200, 205, 206, 212, 244,246, 267, 271-273

Zyklus, 52-61 , 63, 109, 293, 294

Sachwortverzeichnis 311