A thermodynamically consistent approach to microplane theory. Part I. Free energy and consistent microplane stresses

Embed Size (px)

Text of A thermodynamically consistent approach to microplane theory. Part I. Free energy and consistent...

  • C40 C40 ! "" # ""$ % & '# (" " C40' )*++, "

    &-#

    .$

    /& ( 01 2

    ! "# $ "%%%& ! ' "( #)))

    $ $! * ' +

    * ' ' C40+ -

    * ! ! ' $

    . '

    ' / ! * 0 $!

    ' * ! '

    ' !$ * * +

    '* '+ 0 ! $ !

    ! ' $ $

    * ' 1 0 ! 1 '$ ' *

    $ '$ 2$

    ' * .$ * '

    ! $ ' $$ 3 $

    / * '* ! '$

    #))" 4! 5

    6 !

    3 & $! & /& &

    & 7&

    5

    * 0 8 C40"%9:- ! $ ' ' $! ! ' $ ' $

    C40 ;! "%9 "%99& "%%" "%%#& ' "%%#& 8 "%%#& ' ?$ "%%

  • / ! $! * ' *+ + $$ ' ! ' ' *

    ! / $ * / +'$ ! $ / +$ ! ' ' @

    ' C40 "%))- / ' C40/ "%:9& ' $ "%

  • K * F : 7 K F

    / K "# "# "# #"

    * * $ ' C40 "#:- $

    $ / 1

    K * F 7 /

    #

    * . C40' - C40' - ! +

    :

    : "

    # #

    :

    * $ ! ' ' '$

    K KK * F FF 7 77/ // F

  • / 0 $ $! '* 1

    ' '+ $ ' * !

    ' ! '$ 0 ' ' /'$ $ ' * ' * ' ' 0 ! A

    :#

    %

    * ! ' * ' ) $ C40 ;$ "%(>&

    ?.! "%9>- .$ !! ' ' $!$A

    )

    ")

    $ '$ 42 C40%- L $ ' E +

    :#

    )

    :#

    )

    ""

    $ K / ! ! 0 '$ ' 42 C40"- 42 C40#- * 1 * ' $ !! 1

    :#

    )

    K

    :#

    ) /

    "#

    / 2$ $ $ 2$! 42 C40(- ' * 0

    K )

    K

    / )

    /

    ":

    / $ 0 ' K / *+.$ 2$' K /' * '$ & * F 7

    / ! ' 42 C40""-

    :#

    F :

    #

    7 :

    #

    / "

  • $ C40"#- C40"

    K ! $ ' ' * 1$! ' 2$ !

    '$ '

    < C40 #)))- : C40 "%%(- $ $

    $ F 7 * $ ! 7

    / * * ! ' *$ * ' * $ 0 ' 1 '

    / '$ *! '$ '*

    ' 2$ ' * .$ $ E *C40 #)))- ! ' * ! * "C40 8 "%9:& ;! "%9

  • 7

    7

    7 "9

    / + ! ' ! ! $ 0 ' ! * ' / ' * '+

    ) F 7 / :##F #7

    /#

    "%

    * $ $$ $$ ' /

    !$ ' 7 ! * 7 )

    7 #7 !$ '

    7 * K *! ! ! 41 $ *$ *+ ! ' C40* ! $ $ - ! ! !

    * ! * $ $ ' ! !$ 7$ 7 7 $ 7 / 0 ' 1 * ! * ' '

    7 77 77 77 #) 7 '$

    ' 7 * * +$ ! ! $ ' ! * $ ! +

    ! $ !$ ! L'$

    1 C40-

    '$

    77 '

    $ '$ '

    * !$@! '

    '$ *+0 ## : F 7 & *+.$ ' $ F 7 1 ' $$ 3+ ' ' * 1 !

    5 = 0 '$ C40"

  • " F:F :" 77 :

    " // /

    " F :" 7 :

    " //

    "

    ##

    * / + * /

    " " F :" 7 :

    " // #:

    E 7$

    ' " 7

    " 7

    " 7 #

  • :#

    7 #>

    !$

    :#

    7 "

    #

    7 #9

    $ : : ": / !$ ' 7 ! +

    7 "#

    7

    " 77 #%

    * ! $ ' * 7 ) * 7 ) C40"- / ' 0 !$ 7 !

    " C40- 7! * C40- $ ' !

    #%#9 (6 6 7 ( 8" # # "" C401+ 191+19+

  • ) :#

    7 7 :)

    !$

    ) " F:) * ! ' $

    ! ! !$ 7 ' '$ !$ ' $ / "K* $ * $

    / * !

    $ 0

    * $ * ) $

    * $ '$ M*! * 7 $ $

    7 $ '$ 2$ * $ 7 ) :7) ) / ' * )

    7 *

    ! ! ) * ! * ! * $ ! *$

    $ %& '

    * + '* ' '$ ' / $ ' ! ' '+ '$

    * ! / $ ' ! ' '

    * *$ ' C40" #- $ ! $ : < ' * ' ' !$ * $'/ * '$ 0 ' * .$

    ' ' @ 2$$ 2$ * * !$ $ * '$

    $ * *$ C40"- * '* ! ' * ' C40#-

    $ + F 7 * .$

    $ F 7 $ K F 7 K F 7 / @ '

    * ' !

    $ ' ' $$ ' * IIJJ * ' ! C40 ' !

    - !

    / "

    6

    5 F 7

    ) ) )

    " ) ) " 7# ) ) 7 ) )## ) ) " F:) " 7# ) ) 7 ) :7 )#): ) " F:) ) ) ) )#< ) ) :))#/

    :7)

    (6 6 7 ( 8" # # "" C401+ 191+19+ #%#%

  • II JJ * ! ! '$

    $ $$@7$ 2$ ! $ 2$ $ * * 1 '$ ' C40?$ #)))-

    '(&

    $ ' 7;N/ C40 5- $ %=+)>>" %(@)=)) '$ * / $ ! ! $ $ K ; O%:@:)"# 'L C40; $ 5- * 4 6$

    * $ /C405* ' /

    !- / $ * ' $ ' L5 K 5

    $ $ ; 5+%>:#>%"

    )

    ' 5 $ "%- ")=)@")()#

    P N "%%( '

    A 5@ $ 0 54

    4 "## C40:- # $! ' ! 5 5$ #: C40""-

    "=#"@"=:

  • ?$ 4 4 "%%9 * A M K

    C404- $

    5$ $ "):@""#

    8 "%)) G L $ $ 4 F 7$ $