{ прямая как пересечение двух плоскостей – векторно-параметрическое уравнение прямой – уравнение прямой,

проходящей через две заданные точки – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум

заданным векторам – взаимное расположение прямой и плоскости – взаимное расположение двух прямых в

пространстве – расстояние от точки до прямой в пространстве – угол между двумя плоскостями – угол между двумя

прямыми – угол между прямой и плоскостью – примеры }

2

1

2

1

2

1

2

1

2222

1111

DD

CC

BB

AA

(1) 0DzCyBxA

0 DzCyBxA

,

Прямую в пространстве можно представить как линию пересечения двух плоскостей.

В аффинной системе координат ее можно задать системой двух линейных уравнений :

p1

p2

N1

N2

p2 :

p1 :

y

z

x O D

),,( pnmS

М (x ,y ,z)

М0 (x0 ,y0 ,z0 )

0 0 0 0 0M M( x x , y y ,z z ) || ( m,n, p )

r r s

0r

0pn,m, , p

zz

n

yy

m

xx 000

r

t

0

r r s

Векторное параметрическое уравнение прямой,

проходящей через точку M0 параллельно вектору s

Канонические уравнения

t

0

r r s

ptzz

ntyy

mtxx

0

0

0

31z

13y

22x

1N

Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0 (2,3,-1)

и параллельной прямой D1 :

Решение

022yx

01-zy-x

k3ji2

021

111

kji

NNs 21

2N

@

p2

),,( 312s

1D

M0 (2,3,-1)

p1

D

t zzzz

t yyyy

t xxxx

121

121

121

)(

)(

)(

1 2 2 1 2 1 2 1s( m,n, p ) M M ( x x , y y ,z z )

12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

Пусть заданы две различные точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) прямой D.

D

М2 (x2 ,y 2 ,z 2)

М1 (x1 ,y1 ,z1 ) Параметрические уравнения прямой

Канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

исключая параметр t, получим

0

pnm

pnm

zzyyxx

bbb

aaa

000

( ), , 0

0r r a b

0M M

0

r rМ0 (x0,y0 ,z0 )

М (x,y,z)

O

p

a b

( )

0

0

r r a b

r r a b

Векторное параметрическое

уравнение плоскости

Пусть даны точка M0 (x0,y0,z0), принадлежащая

плоскости p и два неколлинеарных вектора a (ma,na,pa) и b (mb,nb,pb), параллельных этой плоскости.

Для того, чтобы точка M0 принадлежала

плоскости p необходимо и достаточно,

чтобы векторы a и b и r - r0 были

компланарны, что равносильно равенству

нулю их смешанного произведения.

r0 r

0MMMMMM 31211

,,

0

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

131313

121212

111

p

М1 (x1,y1 ,z1 )

М2 (x2,y2,z2 )

М3 (x3,y3,z3 )

М (x,y,z )

Если заданы три точки M1 (x1,y1,z1) , M2 (x2,y2,z2) , M3 (x3,y3,z3) , не

лежащие на одной прямой , то

уравнение плоскости, проходящей

через эти точки, можно получить из

условия компланарности векторов

M1 M2 , M1 M3 , M1 M .

(1) 0DCzByAx :p

D

p

Пусть требуется определить взаимное положение плоскости p

и прямой D

1) Прямая пересекает плоскость в одной точке :

(2) ptzz nt,yy mt,xx 000 D :

Подставляя x, y, z из уравнений (2) в (1), получим

0DCzByAxtCpBnAm 000 )(

Значения t из этого равенства определяют

точки прямой D , принадлежащие плоскости p .

0CpBnAm

2) Прямая параллельна плоскости и не лежит в ней :

0DCzByAx 0CpBnAm 000 ,

D

3) Прямая принадлежит плоскости :

D

0DCzByAx 0CpBnAm 000 ,

1

s

0

pnm

pnm

zzyyxx

222

111

121212

1 1 1 2 1 2: t : t D D

r r s r r s

1 2||

s s

M1(x1,y1,z1)

Пусть требуется определить взаимное расположение двух прямых D1 и D2

D2 2

sM2(x2,y2,z2)

D1

1) Прямые параллельны:

2) Прямые совпадают:

1 2 1 21 2 1 2|| || M M || M M

s s s s

3) Прямые пересекаются в одной точке: 1 21 2M M , , 0

s s

4) Прямые скрещиваются:

0

pnm

pnm

zzyyxx

222

111

121212

0r

0: tD

r r sРасчетная формула:

Расстояние от точки M1 до прямой D в пространстве

можно определить как высоту параллелограмма,

построенного на направляющем векторе s и разности

радиусов векторов точки M1 и точки M0, через которую

проходит прямая D.

s

M1 (x1,y1,z1)

D1

M0 (x0,y0,z0)

O

d

1r

0 1 1 0M M

r r

1 0( )

d

r r s

s1 0

( ) d

r r s s

22

22

22

21

21

21

212121

CBACBA

CCBBAA

cos

p2

0DzCyBxA

0DzCyBxA

2222

1111

Если заданы уравнения двух пересекающихся плоскостей :

Угол между двумя плоскостями равен углу между векторами N1 и N2 .

то угол между двумя плоскостями

определяется по формуле

p1 2

N

1 2

1 2

cos

N N

N N

Необходимое и достаточное условие

перпендикулярности плоскостей

0CCBBAA 212121

1

N

Величина угла между двумя прямыми D1 и D2 равна

углу между направляющими векторами s1 (m1,n1,p1) и

s2 (m2,n2,p2) этих прямых

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых

22

22

22

21

21

21

212121

pnmpnm

ppnnmm

cos

0ppnnmm 212121

@ Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Ox

и делит отрезок M1M2 с вершинами M1(-2,2,4) и M2(5,0,-1) в

отношении 1:4 Решение

3(5/4)(1/4)(-1)4

1zz

z

58

(5/4)(1/4)02

1yy

y

53

(5/4)(1/4)52-

1xx

x

M

210

210

210

0

?M1

p = 1/4

M2

M0

8 8: By Cz 0 B C3 0 C , B 3

5 5p

0z8y15

x

y

z

n

2 2 2 2 2 2

Am Bn Cpsin cos

A B C m n p

D

p

Для нахождения угла между прямой D и плоскостью p используется формула определения синуса угла между

нормальным вектором плоскости и направляющим

вектором прямой, с введением (дополнительного до

прямого) угла .

s

cos 2p

S N

S N