-
R�GAS TEHNISK� UNIVERSIT�TE Elektrisko maš�nu un apar�tu
katedra
A. Zviedris
Elektromagn�tisko ier��u magn�tisko sist�mu optimiz�cija
Lekciju konspekts
R�gas Tehnisk� universit�te R�ga 2004
-
2
UDK 621.313.001
Šaj� m�c�bu l�dzekl� apl�koti optimiz�cijas visp�r�gi jaut�jumi:
optimiz�cijas uzdevuma nost�dne, optimiz�cijas uzdevumu strukt�ra,
metodes un algoritmi, k� ar� doti šo algoritmu datorrealiz�cijas
programmu piem�ri. S�k�k iztirz�ti jaut�jumi, kas saist�ti ar
elektromagn�tisko ier��u magn�tisko sist�mu optimiz�cijas
teor�tiskajiem un praktiskajiem aspektiem, k� ar� detaliz�ti
apl�kots konkr�tas ier�ces (droseles ar feromagn�tisku serdi)
optimiz�cijas uzdevums.
Lekciju konspekts paredz�ts k� m�c�bu pal�gl�dzeklis
elektrotehnisko specialit�šu studentiem m�c�bu priekšmeta
“Elektrisko maš�nu magn�tisk�s sist�mas un to optimiz�cija”
apguvei.
-
3
Ievads
Magn�tisk� sist�ma ir jebkuras elektromagn�tiskas ier�ces
(elektromaš�nas, transformatora, elektromagn�tisk� komut�cijas
apar�ta u. tml.) rakstur�ga sast�vda�a. To veido no feromagn�tiska
materi�la izgatavotu elementu kopums un atsevišos gad�jumos ietver
ar� nelielas gaisa spraugas. Magn�tisk� sist�ma (šaur�k� noz�m� to
sauc ar� par magn�tvadu) paredz�ta magn�tisk�s pl�smas
koncentr�šanai, virz�šanai noteikt� virzien�, magn�tisk�s
pretest�bas samazin�šanai, nodrošinot ier�c� noteikta lieluma un
rakstura magn�tisko lauku. Magn�tisk�s sist�mas konstrukt�vais
izveidojums un t�s atsevišu elementu forma un eometriskie izm�ri
b�tiski nosaka ier�ces elektromagn�tiskos raksturlielumus, k� ar�
t�s tehniski ekonomiskos r�d�t�jus. Visbiež�k magn�tisko sist�mu
feromagn�tiskos elementus izgatavo no elektrotehnisk� lokš�u
t�rauda, ret�k no liet� t�rauda vai �uguna vai ar� no
feromagn�tiska materi�la pulvera, izmantojot met�lkeramikas
tehnoloiju. Probl�mas, kas saist�tas ar magn�tisko sist�mu un t�s
atsevišu elementu izv�li, projekt�šanu un izveidošanu,
visaktu�l�kas ir tieši daž�dos elektroenerijas p�rveidot�jos.
Š�diem p�rveidot�jiem pieskait�mas rot�još�s elektromaš�nas,
transformatori, k� ar� citas statiskas elektromagn�tiskas ier�ces,
piem�ram, magn�tiskie pastiprin�t�ji, reaktori, u. tml. T�p�c ar�
š�du ier��u magn�tiskaj�m sist�m�m turpm�k velt�ta liel�ka
uzman�bau. Taj� paš� laik� magn�tisko sist�mu optimiz�cijas
metodoloiskie pamati, k� ar� matem�tiskais apar�ts ir izmantojms
ar� visdaž�d�kaj�m cit�m elektromagn�tisk�m ier�c�m.
1. Elektromaš�nu un transformatoru magn�tisk�s sist�mas un to
rakstur�g�s �patn�bas
Elektromaš�nu un transformatoru magn�tisko sist�mu izveidojums
var b�t �oti
daudzveid�gs un tas atkar�gs no vair�kiem faktoriem, no kuriem
galvenie ir: - maš�nas tips, piem�ram, l�dzstr�vas maš�na,
sinhronmaš�na, asinhronmaš�na,
transformators; - nomin�lie parametri, piem�ram, jauda,
rot�cijas frekvence, f�žu skaits; - materi�ls un ražošanas
tehnoloija.
V�sturisk�s att�st�bas gait�, iev�rojot min�tos, k� ar� citus
faktorus, ir ieg�ta noteikta pieredze attiec�b� uz elektromaš�nu un
transformatoru pamattipu racion�l�ku konstrukt�vo izveidojumu. T�,
piem�ram, l�dzstr�vas maš�n�s enkurs ir rotors, bet induktors
(magn�tisk�s sist�mas da�a, kas ierosina magn�tisko lauku) stators.
Turpretim sinhronaj�s maš�n�s (iz�emot nelielas jaudas maš�nas)
induktors ir rotors,s bet enkurs stators. L�dzstr�vas maš�nas
(iz�emot speci�las noz�mes maš�nas, piem�ram,
elektromaš�npastiprin�t�jus) izveido ar izvirz�taiem poliem, bet
sinhronmaš�nas atkar�b� no rot�cijas frekvences izveido gan ar
izvirz�tiem, gan
-
4
neizvirz�tiem poliem. Asinhronmaš�nas (iz�emot atsevišu tipu
mikromaš�nas) izveido tikai ar neizvirz�tiem poliem. Transformatori
un tiem l�dz�gas elektromagn�tisk�s ier�ces ir veidotas no
taisnst�ra formas magn�tvadiem, uz kuriem novietotas tinumu spoles.
Atbilstoši š�m min�taj�m konstrukt�vaj�m �patn�b�m daž�du
elektromaš�nu un transformatoru magn�tisk�s sist�mas, k� ar� to
atsevišo elementu konstrukt�vais izveidojums var b�t �oti
daž�ds.
Rot�još�s elektromaš�n�s magn�tisk� sist�ma parasti sast�v no
vair�k�m konstrukt�vi atdal�t�m da��m – statora un rotora.
Savuk�rt, katra no š�m da��m var sast�v�t no vair�kiem elementiem,
piem�ram, l�dzstr�vas maš�nas stators no poliem un statnes.
Noteiktos gad�jumos magn�tisk�s sist�mas da�as, kas konstrukt�vi
veido vienu veselumu, var tikt uzskat�tas k� sast�vošas no
atsevišiem funkcion�l� zi�� daž�diem elementiem. T�das da�as,
piem�ram, ir transformatora magn�tvada stie�i (magn�tvada da�as, uz
kur�m novietotas tinuma spoles), un j�gi (magn�tvada da�as, kas
savieno stie�us, veidojot nosl�gtu magn�tisko �di).
No funkcion�l� viedok�a magn�tisk�s �des atseviš�s da�as
nosac�ti var iedal�t akt�vaj�s un neakt�vaj�s da��s. Akt�v�s da�as
ir t�s da�as, uz kur�m novietotas tinumu spoles, bet neakt�v�s
da�as ir t�s, uz kur�m š�du spo�u nav. T�, piem�ram, l�dzstr�vas
maš�nu un sinhronmaš�nu poli un transformatora magn�tserdes stie�i
šaj� noz�m� ir akt�v�s da�as, bet l�dzstr�vas maš�nu vai
sinhronmaš�nu statora j�gi, k� ar� transformatora magn�tserdes j�gi
ir neakt�v�s da�as.
Tinumu spoles, kas paredz�tas magn�tisk� lauka rad�šanai (kaut
gan š�s spoles nav magn�tvada da�as), magn�tisko sist�mu
optimiz�cijas uzdevumos j�apl�ko kopsaist�b� ar magn�tisk�s �des
feromagn�tiskajiem elementiem, jo spo�u izm�ri ir atkar�gi no
serdes izm�riem un otr�di. T�, piem�ram, l�dzstr�vas maš�nas polu
serdes š�rsgriezuma laukuma samazin�šana �auj samazin�t ierosmes
tinuma spo�u izm�rus, bet, no otras puses, ar to saist�t�
magn�tisk�s indukcijas palielin�šan�s rada nepieciešam�bu
palielin�t ierosmes tinuma magnetiz�t�jsp�ku, kas, savuk�rt,
palielina spo�u izm�rus. Turkl�t spo�u izm�ru palielin�šan�s to vai
citu iemeslu d�� izraisa atbilstošu magn�tserdes neakt�vo da�u
izm�ru palielin�šanos.
2. Magn�tisko sist�mu izv�les visp�r�gi krit�riji
Magn�tisko sist�mu racion�la un optim�la izveidošana ir atkar�ga
no vair�kiem faktoriem, kas raksturo elektromagn�tisk�s ier�ces
darb�bu. Iev�rojot šos faktorus, var formul�t virkni visp�r�ga
rakstura krit�rijus, p�c kuriem b�tu j�vad�s izv�loties un
projekt�jot daž�das magn�tisk�s sist�mas. Galvenie no šiem
krit�rijiem ir:
a) elektromagn�tiskie raksturlielumi; b) termiskie
raksturlielumi; c) izgatavošanas tehnoloija; d) izm�ri un masa; e)
materi�lu, izgatavošanas un ekspluat�cijas izmaksas. Nodrošin�t
magn�tisk�s sist�mas vislabv�l�g�kos elektromagn�tiskos
raksturlielumus noz�m� izveidot magn�tisko sist�mu t�, lai b�tu
iesp�jami maz�ka izkliedes pl�sma un maz�ks magn�tisk�s pl�smas
ce�a garums.
Termiskie raksturlielumi, galvenok�rt ir saist�ti ar tinumu un
da��ji ar� magn�tserdes dzes�još�s virsmas palielin�šanu, kas
nodrošin�tu nepieciešamu siltuma atdevi apk�rt�jai videi. No š�
viedok�a atsevišos gad�jumos tinumu lietder�gi izveidot no vair�k�m
spol�m, kas, savuk�rt, ietekm� magn�tserdes konstrukciju, formu
un
eometriskos izm�rus.
-
5
�oti b�tisks faktors, kas ietekm� magn�tisk�s sist�mas izv�li,
ir izgatavošanas tehnoloija. Lietder�gi izmantot t�das progres�vas
tehnoloijas, kuras izgatavošanas procesu �auj maksim�li mehaniz�t
un automatiz�t, piem�ram, štanc�šanu (magn�tserdi saliek no
štanc�tiem elektrotehnisk� t�rauda sk�rdiem), kas �auj bez gr�t�b�m
izveidot jebkuras formas magn�tvadu. Ar� met�lkeramikas tehnoloija
magn�tvadu un to elementu izgatavošan� ir progres�va tehnoloija,
kas turkl�t nodrošina bezatkritumu ražošanu. Daudz maz�k progres�va
ir tehnoloija, kur� magn�tseržu izgatavošan� izmanto liešanas
oper�cijas. Magn�tisk�s sist�mas izv�le saist�b� ar tehnoloiju ir
atkar�ga ar� no ražošanas tipa (individu�la, mazs�riju, liels�riju
ražošana). Liels�riju ražošan� iev�rojama loma ir tieši magn�tisk�s
sist�mas un attiec�gi ier�ces kop�jo izmaksu tai da�ai, ko nosaka
ražošanas izmaksas. T�d�� svar�gi ir maksim�li unific�t magn�tisk�s
sist�mas atsevišus elementus, lai samazin�tu šo elementu
daudzveid�bu un t�d�j�di samazin�tu kop�j�s ražošanas izmaksas.
Izv�loties magn�tisko sist�mu, j�tiecas uz to, lai t�s izm�ri un
masa b�tu iesp�jami maz�ki, jo tad samazin�s ar� materi�lu pat�ri�š
un to izmaksas.
Viens no svar�g�kajiem krit�rijiem magn�tisk�s sist�mas izv�l�
ir kop�j�s izmaksas A, kas veidojas no materi�lu izmaks�m Amat,
ražošanas izmaks�m Araž un ekspluat�cijas izmaks�m Aekspl:
eksplražmat AAAA ��� , (1)
turkl�t ekspluat�cijas izmaksas galvenok�rt nosaka enerijas
zudumi ier�c�. Šo kop�jo izmaksu minimiz�cija parasti ar� ir
optimiz�cijas galvenais uzdevums.
Plaš�k� noz�m� izteiksme (1) ir attiecin�ma uz visas iek�rtas
izmaks�m, kuru noteiktu da�u sast�da magn�tisk�s sist�mas izmaksas.
Atsevišos gad�jumos optimiz�cijas uzdevumu var apl�kot ar� šaur�k�
noz�m�, t. i., k� kop�jo izmaksu atsevišu sast�vda�u
minimiz�ciju.
Nobeigum� var atz�m�t, ka šeit apl�kotie magn�tisko sist�mu
izv�les visp�r�gie krit�riji parasti ir pretrun�gi t�d� noz�m�, ka
kaut k�da magn�tisk�s sist�mas raksturlieluma uzlabošana ir
saist�ta ar citu raksturlielumu pasliktin�šanos. Piem�ram, lai
nodrošin�tu lab�ku siltuma atdevi, j�palielina tinuma spo�u virsmas
laukums, bet tas, savuk�rt, saist�ts ar izm�ru un masas
palielin�šanos. No otras puses, samazinot magn�tserdes š�rsgriezuma
laukumu, palielin�s elektromagn�tisk�s noslodzes (magn�tisk�
indukcija serd�, str�vas bl�vums tinum�), kas, savuk�rt, palielina
ier�ces zudumus un t�tad ekspluat�cijas izdevumus.
3. Optimiz�cijas metodolo�iskie pamati
Optimiz�cija ir daž�du tehnisku un matem�tisku probl�mu lab�k�
atrisin�juma mekl�šanas metodes un proced�ras. T� ietver
matem�tiskos rezult�tus un skaitlisk�s metodes, kas orient�tas uz
vislab�k� varianta atrašanu un identifik�ciju alternat�vu
daudzveid�b�. Optimiz�cijas process ir visas inženierdarb�bas
pamat�, jo klasisk�s inženieru funkcijas ir projekt�t jaunas
efekt�v�kas un l�t�kas tehnisk�s sist�mas un ier�ces un izstr�d�t
past�vošo sist�mu funkcion�šanas kvalit�tes paaugstin�šanas
metodes. Optimiz�cijas metodes �auj izv�l�ties vislab�ko variantu
bez tiešas liela skaita visu iesp�jamo variantu p�rbaudes un
nov�rt�šanas. T�s ir cieši saist�tas ar matem�tisku metožu, loisku
proced�ru un algoritmu izmantošanu, realiz�jot tos ar datortehnikas
l�dzek�iem.
-
6
Jebkuras optimiz�cijas pamatuzdevums ir noteikt ier�ces vai
procesa parametrus, kuri, vadoties no iepriekš pie�emtiem
krit�rijiem, nodrošina vislab�kos funkcion�šanas apst�k�us.
Praks� sastopamie optimiz�cijas uzdevumi parasti ir saist�ti ar
ier�ces vai procesa optimiz�ciju. Pirmaj� gad�jum� optimiz�cijas
uzdevums reduc�jas uz t�du ier�ces parametru (eometrisko izm�ru,
elektrisko un magn�tisko raksturlielumu u. tml.) izv�li, kas
nodrošin�tu kaut k�da š�s ier�ces raksturlieluma visliel�ko vai
vismaz�ko v�rt�bu, piem�ram, minim�lo masu, maksim�lo jaudu u. tml.
Otraj� gad�jum� optimiz�cijas uzdevums ir noskaidrot procesa
norises vislabv�l�g�kos apst�k�us, piem�ram, noteikt str�vu vai
jaudu, ar kuru slogojot ier�ci, tai b�tu visaugst�kais lietder�bas
koeficients.
Apl�kosim dažus vienk�ršus optimiz�cijas piem�rus. 1. piem�rs.
No sk�rda j�izgatavo noteikta tilpuma V cilindriskas formas
trauks.
Noteiksim, k�dam j�b�t š� trauka augstumam h un diametram D (1.
att.), lai t� izgatavošanai b�tu vismaz�kais materi�la
pat�ri�š.
1. att�ls. Cilindriska trauka optim�lo izm�ru noteikšana
Trauka tilpums
hDV 24�
�
(2) un t� virsmas laukums, kas nosaka materi�la pat�ri�u,
DhDS ��
�� 22
.
(3)
No (2) izsakot 2
4DV
h�
� un ievietojot izteiksm� (3), ieg�stam funkcion�lu
sakar�bu )(DfS � :
DV
DS4
22 ��
�.
(4)
Lai atrastu S minim�lo v�rt�bu, izteiksme (4) j�atvasina p�c D
un j�piel�dzina
nullei:
04
2���
DV
DdDdS
� ,
(5) no kurienes var atrast, ka
�V
D43 � ,
(6)
h
D
-
7
jeb, ievietojot šaj� izteiksm� V no (2), p�c p�rveidojumiem
ieg�stam
34�V
lD �� .
(7)
T�d�j�di minim�lais materi�la pat�ri�š ir tad, ja trauka
augstums h un diametrs
D ir vien�di. 2. piem�rs. J�nosaka transformatora slodzes
str�va, kura nodrošina
visekonomisk�ko darba rež�mu, t. i., visaugst�ko lietder�bas
koeficientu ����ransformatora lietder�bas koeficientu var izteikt
k� atdot�s P2 un pat�r�t�s P1 jaudas attiec�bu:
1
2
PP
��
(8)
jeb
11
1 1PP
PPP
���
�� ,
(9)
kur P – transformatora jaudas zudumi. K� zin�ms [1],
transformatora jaudas zudumi sast�v no tukšgaitas zudumiem P0
(nemain�gie jeb magn�tiskie zudumi) un �ssl�guma zudumiem Pk
(main�gie jeb elektriskie zudumi):
kN2
0k0 PIPPPP ���� , (10)
kur N2
2
II
I � – transformatora slodzes str�va relat�vaj�s vien�b�s, t. i.,
attiecin�ta pret
nomin�lo slodzes str�vu; PkN – �ssl�guma zudumi, kas atbilst
nomin�lajai str�vai. Transformatora sekund�r� tinuma atdot�
jauda
2N2N2N22N222 coscoscos
ISUImIUmIP ��� , (11) kur m – f�žu skaits; SN – transformatora
nomin�l� jauda.
Ievietojot izteiksm� (9) sakar�bas (10) un (11), ieg�stam
kN2
02N
kN2
0
cos1
PIPIS
PIP
��
���
� .
(12)
Funkcijas )(If�� atvasin�jumu piel�dzinot nullei un atrisinot
ieg�to
vien�dojumu, var atrast, ka
kN2 PIPo � , (13)
no kurienes optim�l� slodzes str�va
kN
0opt P
PII �� .
(14)
Var atz�m�t, ka lielumi P0 un PkN ir atrodami no transformatora
pases datiem.
-
8
4. Optimiz�cijas uzdevuma nost�dne Lai izmantotu optimiz�cijas
teorijas matem�tiskos rezult�tus un skaitlisk�s
metodes konkr�tu inženiertehnisku uzdevumu risin�šanai, iepriekš
j�veic noteiktas sec�gas darb�bas, kas b�t�b� ir optimiz�cijas
uzdevuma nost�dne. Optimiz�cijas uzdevuma nost�dne ietver
nepieciešamo nosac�jumu formul�šanu un realiz�ciju optimiz�cijas
uzdevuma sagatavošanas proces�. Lai veiktu optimiz�ciju, ir
nepieciešams:
- noteikt optimiz�cijai paredz�t�s sist�mas robežas; - noteikt
kvantitat�vo krit�riju (raksturkrit�riju), uz kura pamata var
veikt
alternat�vo variantu anal�zi, lai noskaidrotu vislab�ko no tiem;
- izv�l�ties iekšsist�mas main�gos, kuri tiks izmantoti, lai
noteiktu variantu
raksturlielumus un veiktu to identifik�ciju; - izveidot
matem�tisko modeli, kas atspogu�o sakar�bas starp main�gajiem.
Šo darb�bu sec�ba veido optimiz�cijas uzdevuma saturu.
Optimiz�cijas uzdevuma korekta nost�dne ir pamats p�t�juma
pan�kumam un vair�k asoci�jas ar m�kslu, nek� ar eksakt�m zin�tn�m.
Uzdevuma nost�dnes prasme veidojas praktiskaj� darb�b� un uz
veiksm�gi �stenotu izstr�d�jumu piem�riem, k� ar� pamatojas uz
prec�zu priorit�šu izpratni un noteikšanu.
Apl�kosim augst�k min�to darb�bu saturu un b�t�bu s�k�k.
Optimiz�jam�s sist�mas robežu noteikšana. Pirms s�kt
optimiz�ciju,
nepieciešams prec�zi noteikt p�t�m�s sist�mas robežas. Šaj�
kontekst� p�t�m� sist�ma tiek apl�kota k� apakšsist�ma, t. i., k�
citas liel�kas �r�jas sist�mas izol�ta da�a. Veicot uzdevuma
anal�zi, tiek pie�emts, ka savstarp�j�s sakar�bas starp p�t�mo
sist�mu un �r�jo sist�mu ir fiks�tas kaut k�d� izv�l�to priekšstatu
l�men�. T�, piem�ram, optimiz�jot l�dzstr�vas maš�nas induktora
magn�tisko sist�mu, to uzskata par apakšsist�mu, kuras �r�j�
sist�ma (aust�ka l�me�a sist�ma) ir visa maš�na kopum� ar iepriekš
noteiktiem un zin�miem enkura galvenajiem izm�riem (diametru,
garumu, gaisa spraugas platumu). Dažos gad�jumos var izr�d�ties, ka
sist�mas robežu s�kotn�j� robeža ir p�r�k stingra. T�d��, lai
piln�b� veiktu p�t�m�s sist�mas anal�zi, var rasties nepieciešam�ba
paplašin�t š�s noteikt�s robežas, iesl�dzot citu apakšsist�mu, kas
b�tiski ietekm� p�t�m�s sist�mas funkcion�šanu. Protams, sist�mas
robežu paplašin�šana palielina š�s daudzkomponenšu sist�mas apjomu,
padara to sarež�t�ku un t�d�� apgr�tina anal�zi. Ac�mredzot, katr�
konkr�t� gad�jum�, cik vien tas iesp�jams, j�cenšas sarež�tas
sist�mas sadal�t nosac�ti neliel�s apakšsist�m�s, kuras var p�t�t
atseviši. Tom�r t�d� gad�jum� j�b�t piln�gai p�rliec�bai, ka š�da
dekompoz�cija nenoved pie re�l�s situ�cijas p�rm�r�gas
vienk�ršošanas.
Raksturkrit�rija noteikšana. P�c optimiz�jam�s sist�mas robežu
noteikšanas ir j�izv�las kvantitat�vais krit�rijs, p�c kura var
v�rt�t sist�mas raksturlielumus, lai noskaidrotu lab�ko variantu
vai vislab�kos sist�mas funkcion�šanas apst�k�us. Inženiertehniskos
uzdevumos parasti izv�las ekonomiska rakstura krit�rijus. Tom�r
š�du krit�riju iesp�jam� formul�juma spektrs ir diezgan plašs,
piem�ram, masa, gabar�ti, materi�lu izmaksas, zudumi, lietder�bas
koeficients. Citos gad�jumos par pamatu krit�rija izv�lei var �emt
tehnoloiskos faktorus vai ar� daž�dus tehniskos parametrus,
piem�ram, griezes momentu, pat�r�to jaudu, sasiluma temperat�ru u.
tml. Neatkar�gi no t�, k�du krit�riju izv�las optimiz�cij�,
vislab�kajam variantam vienm�r j�atbilst š� izv�l�t� krit�rija
minim�lajai vai maksim�lajai v�rt�bai. Svar�gi atz�m�t, ka, nosakot
optimumu, var izmantot tikai vienu krit�riju, jo nav iesp�jams
ieg�t risin�jumu, kas, piem�ram, vienlaikus nodrošin�tu ier�ces
minim�lo masu un minim�los enerijas zudumus. Šeit atkal sastopamies
ar re�l�s situ�cijas b�tisku
-
9
vienk�ršošanu, jo daudzos praktiskos gad�jumos b�tu �oti v�lams
rast risin�jumu, kas izr�d�tos vislab�kais no vair�ku un daž�du
krit�riju viedok�a. Tom�r past�v iesp�jas da��ji šo pretrunu
atrisin�t. Viena no š�d�m iesp�j�m ir t�da, ka k�du no krit�rijiem
izv�las par prim�ro, bet p�r�jos uzskata par sekund�riem. Šaj�
gad�jum� optimiz�cijas prim�ro krit�riju izv�las sist�mas
funkcion�šanas nov�rt�šanai, bet sekund�rie krit�riji rada
optimiz�cijas uzdevuma ierobežojumus, kas nosaka attiec�go
raksturlielumu izmai�u diapazonu no minim�l�s l�dz maksim�lajai
pie�aujamai v�rt�bai. Otra iesp�ja ir ieviest kompleksos vai
relat�vos krit�rijus, kuri �auj nov�rt�t sist�mas optimumu
vienlaikus no vair�kiem viedok�iem. Piem�ram, ja nepieciešams, lai
ier�ce att�st�tu iesp�jami liel�ku jaudu un vienlaikus tai b�tu
iesp�jami maz�ka masa, par krit�riju var izv�l�ties jaudu uz masas
vien�bu.
Optimiz�jam�s sist�mas main�go izv�le. Optimiz�cijas uzdevuma
nost�dnes trešaj� posm� ir j�veic main�go izv�le, ar kuriem
adekv�ti var aprakst�t ier�ces pie�aujamos variantus vai sist�mas
funkcion�šanas apst�k�us. Visp�r�g� gad�jum� var b�t liels skaits
šo main�go un tie var b�t �oti daudzveid�gi, piem�ram, ier�ces
eometriskie izm�ri, materi�lu �paš�bu raksturojumi (fizik�las
konstantes, raksturl�knes u. c. parametri), elektromagn�tisk�s
noslodzes (magn�tisk� indukcija, str�vas bl�vums), daž�di ier�ci
raksturojoši fizik�lie lielumi (spriegums, str�va, pretest�ba,
magn�tisk� pl�sma, rot�cijas frekvence), elektromagn�tisko ier��u
specifiski konstrukt�vie parametri (tinuma vijumu skaits, tinuma
solis, polu skaits). Svar�gi atz�m�t, ka visiem main�gajiem, ar
kuriem tiek aprakst�ti sist�mas funkcion�šanas apst�k�i, ir j�b�t
savstarp�ji neatkar�giem. Apl�kosim, piem�ram, izteiksmi, kas
raksturo l�dzstr�vas dzin�ja rot�cijas frekvences n atkar�bu no
enkura sprieguma U, enkura �des pretest�bas Ra un magn�tisk�s
pl�smas �:
�
��
EcRIU
n aa ,
(15)
kur Ia – enkura str�va; cE – koeficients, kas atkar�gs no polu
skaita un enkura tinuma paral�lo zaru skaita.
Š�s izteiksmes labaj� pus� tr�s lielumi U, Ra un � ir
savstarp�ji neatkar�gi lielumi, kurus mainot, var regul�t dzin�ja
rot�cijas frekvenci, ja dzin�js darbojas ar nemain�gu slodzes
momentu M. Turpretim enkura str�va Ia, ja M = const, main�s,
regul�jot, piem�ram, magn�tisko pl�smu ��un t�d�� to nevar uzskat�t
par neatkar�gu main�go. Tas izriet no izteiksmes
�� aIcM M , (16)
kur cM – koeficients, kas atkar�gs no polu skaita un enkura
tinuma paral�lo zaru skaita.
Neatkar�go main�go izv�l� j�iev�ro vair�ki svar�gi apst�k�i.
Pirmk�rt, j�noskaidro atšir�ba starp daž�diem main�gajiem, kuru
v�rt�bas var
main�ties plaš� diapazon�, un main�gajiem, kuru v�rt�bas ir
fiks�tas un noteiktas ar �r�jiem apst�k�iem. T�l�k ir svar�gi
noteikt atšir�bas starp tiem sist�mas main�gajiem, kuru v�rt�bas
var uzskat�t par nemain�g�m, un t�diem parametriem, kuru v�rt�bas
var main�ties �r�ju un atseviš�kos gad�jumos nekontrol�jamu faktoru
ietekm�.
Otrk�rt uzdevuma nost�dn� j�fiks� visi galvenie main�gie, kas
ietekm� ier�ces raksturlielumus vai sist�mas funkcion�šanu. Par
neatkar�giem main�gajiem j�izv�las
-
10
t�di main�gie, lai svar�g�kie tehniski ekonomiskie risin�jumi
atspogu�otos uzdevuma formul�jum�.
Trešk�rt, b�tisks faktors, kas ietekm� main�go izv�li ir
detaliz�cijas l�menis sist�mas izp�t�. �oti svar�gi ir izskat�t
visus neatkar�gos main�gos, bet ar� ne maz�k svar�gi ir nep�rslogot
uzdevumu ar liela skaita neb�tisk�m deta��m. Izv�loties neatkar�gos
main�gos, lietder�gi izskat�t tikai tos main�gos, kuri b�tiski
ietekm� sist�mas anal�zei izv�l�tos raksturkrit�rijus.
Sist�mas matem�tisk� mode�a izveide. P�d�jais posms
optimiz�cijas uzdevuma nost�dn� ir sist�mas matem�tisk� mode�a
konstru�šana. Šim modelim ir j�atspogu�o mijsakar�bas starp
neatkar�gajiem main�gajiem un main�go ietekme uz m�ra sasniegšanas
pak�pi, ko nosaka optimiz�cijas raksturkrit�rijs. Princip�
optimiz�ciju var veikt, eksperiment�jot ar sist�mu tieši. Šim
nol�kam nepieciešams fiks�t daž�das main�go v�rt�bas, veikt
sist�mas funkcion�šanas nov�rojumus un, reistr�jot sist�mas
raksturojumus, nov�rt�t raksturkrit�rija v�rt�bas. P�c tam,
izmantojot optimiz�cijas metodes, var izdar�t šo main�go korekciju
un turpin�t eksperimentu s�riju. Tom�r praks� optimiz�cijas
p�t�jumus parasti veic, izmantojot vienk�ršotus priekšstatus par
sist�mu, t. i., aprakstot šo sist�mu ar tuvin�t�m matem�tisk�m
sakar�b�m. Tas noz�m�, ka re�las sist�mas viet� anal�zei tiek
pak�auts t�s matem�tiskais modelis, kas ieg�ts, izdarot virkni
pie��mumu un vienk�ršojumu. Mode�a izmantošanu attaisno tas
apst�klis, ka eksperimentiem ar re�l�m sist�m�m parasti
nepieciešams liels l�dzek�u un laika pat�ri�š. Visp�r�g� gad�jum�
mode�a strukt�ra ietver ier�ci vai procesu aprakstošos
pamatvien�dojumus. T�, piem�ram, risinot magn�tisko sist�mu
optimiz�cijas uzdevumus, matem�tisk� mode�a veidošanai var izmantot
elektromagn�tisk� lauka jeb Maksvela vien�dojumus [2] vai
magn�tisko �žu teorijas pamatsakar�bas. P�d�j� gad�jum� modelis ir
vienk�rš�ks un l�dz ar to ir vienk�rš�ks viss optimiz�cij�
izmantojamais matem�tiskais apar�ts. Jebkur� gad�jum� modelim
j�satur visa inform�cija, ko izmanto ier�ces vai procesa apr�inos
vai sist�mas raksturl�k�u prognoz�šan�. Matem�tisk� mode�a izveide
bieži vien ir diegan darbietilp�gs un vienlaikus �oti atbild�gs
process, kur� nepieciešama izv�rt�jam�s sist�mas specifisko
�patn�bu prec�za fizik�l� izpratne.
5. Optimiz�cijas uzdevumu strukt�ra
Neraugoties uz to, ka optimiz�cijas uzdevumi attiecas uz �oti
daudz�m un daž�d�m inženiertehniskaj�m nozar�m, tiem ir kop�ga
visp�r�j� strukt�ra. Visus šos uzdevumus var klasific�t k�
vektori�la N dimension�la argumenta
),,,,,( 21 Ni xxxxx ��� funkcijas )(xf minimiz�cijas uzdevumus.
Turkl�t vektora x komponentes apmierina vien�dojumu sist�mu
0)( �xu k ,
nevien�d�bu sist�mu
0)( �xv j ,
k� ar� š�s komponentes ir ierobežotas ar apakš�jo ximin un
augš�jo ximax robežu, t. i., maxmin iii xxx
.
Funkciju )(xf optimiz�cijas teorij� sauc par m�rfunkciju.
-
11
Visp�r�g� gad�jum� optimiz�cijas uzdevumu var formul�t š�di:
minimiz�t funkciju )(xf , ja ir sp�k� ierobežojumi
0)( �xu k Kk ,,2,1 �� , (17)
0)( �xv j Jj ,,2,1 �� , (18)
maxmin iii xxx
Ii ,,2,1 �� . (19) Š�du uzdevumu sauc par nosac�t�s
optimiz�cijas uzdevumu. Ja uzdevums
nesatur ierobežojumus, t. i., 0�� JK un ��
�� ix , tad to sauc par beznosac�jumu optimiz�cijas
uzdevumu.
Piem�ram, var b�t š�da optimiz�cijas uzdevuma strukt�ra:
minimiz�t tr�s argumentu (N = 3) m�kfunkciju
32
1232
221 )()( xx
xxxxxxf
�����
ar diviem ierobežojumiem (K = 2), kas izteikti ar
vien�dojumiem
0)( 211 ��� Axxxu , 02)( 312 ���� Bxxxu ,
tr�s ierobežojumiem (J = 3), kas izteikti ar nevien�d�b�m
0)( 211 ��� xxxv , 0)( 322 ��� xxxv , 0)( 313 ��� xxxv
un argumentu x1, x2 un x3 apakš�j�m un augš�j�m robež�m, kas
izteiktas k�
111 bxa
,
222 bxa
,
333 bxa
.
6. Viendimensijas optimiz�cijas uzdevumi
6.1. Viena argumenta funkcijas �paš�bas
Optimiz�cijas uzdevumi, kuros optim�lit�tes raksturkrit�rijs
izteikts ar viena argumenta funkciju (viendimensijas optimiz�cijas
uzdevumi), pieskait�mi vienk�rš�k� tipa uzdevumiem. Tom�r šadu
uzdevumu anal�ze optimiz�cijas p�t�jumos ie�em svar�gu vietu gan
teor�tiskaj�, gan praktiskaj� zi��. Tas saist�ts ar to, ka tieši
š�di uzdevumi �oti bieži risin�mi praks�, k� ar� ar to, ka
viendimensijas optimiz�cijas metodes bieži lieto analiz�jot
apakšuzdevumus, kuri rodas vair�kdimensijas uzdevumu risin�šanas
iterat�v�s proced�r�s. Teor�tisko un praktisko viendimensijas
-
12
optimiz�cijas uzdevumu svar�gums ir veicin�jis liela skaita
algoritmu izstr�di š�du uzdevumu risin�šanai.
Viendimensijas optimiz�cijas uzdevumu risin�šanas metožu
klasifik�cija balst�s uz daž�d�m viena argumenta funkcijas
�paš�b�m.
Saska�� ar defin�ciju funkcija )(xf izsaka likumu, kas �auj
katrai x v�rt�bai atrast )(xfy � v�rt�bu. Šaj� gad�jum� x ir
neatkar�gais main�gais, bet y – atkar�gais main�gais. Funkcija )(xf
var b�t defin�ta ierobežot� vai neierobežot� apgabal�. Lielu da�u
fizik�lu procesu var aprakst�t ar nep�rtrauktu funkciju pal�dz�bu.
Tom�r inženiertehnisku uzdevumu risin�šanas praks� sastopami ar�
gad�jumi, kad procesu aprakst�šanai j�lieto p�rtrauktas funkcijas.
Ne vienm�r ir nepieciešams, lai neatkar�g� main�g� pie�aujamo
v�rt�bu interv�ls satur�tu visus re�los skait�us šaj� interv�l�.
Iesp�jami gad�jumi, kad main�gai var pie�emt tikai diskr�tas
v�rt�bas, piem�ram, elektromaš�nu polu skaits, statora vai rotora
zobu skaitu. tml.
Funkciju )(xf sauc par monotonu, ja diviem patva��giem punktiem
x1 un x2, t�diem, ka 21 xx � izpild�s viena no š�d�m nevien�d�b�m
(sk. 2. att):
)()( 21 xfxf � (monotoni augoša funkcija), )()( 21 xfxf �
(monotoni dilstoša funkcija).
2. att�ls. Monotona funkcija: a) monotoni augoša; b) monotoni
dilstoša
Funkcija )(xf , kas sasniedz savu minimumu punkt� *xx � un kura
ir
monotona uz ab�m pus�m no minimuma punkta, sauc par unimod�lu
funkciju (3. att.).
3. att�ls. Unimod�la funkcija
Funkcija )(xf interv�l� [a; b] ir unimod�la vien�gi taj�
gad�jum�, ja *x ir
vien�gais minimuma punkts šaj� interv�l�, t. i., ja izpild�s
šadi nosac�jumi:
x
y
a b x*
x
y
x
y a) b)
x2 x1 x1 x2
-
13
21* xxx �� , )()()( 21
* xfxfxf �� un
21* xxx �� , )()()( 21
* xfxfxf �� .
Funkcijas unimodalit�te ir �oti svar�ga t�s �paš�ba un to plaši
izmanto optimiz�cijas teorij�.
6.2. Optimalit�tes krit�riji
Analiz�jot optimiz�cijas uzdevumus, parasti rodas divi visp�r�ja
rakstura jaut�jumi:
- k� noteikt, vai kaut k�ds izv�l�tais punkts x ir uzdevuma
optim�lais risin�jums, t. i., *xx � ;
- k�das darb�bas j�veic, lai atrastu optimuma punktu x*, ja
izv�l�tais punkts x nav šis optimuma punkts.
Visp�r�g� gad�jum� funkcijai )(xf var b�t glob�lie minimumi (vai
maksimumi) un lok�lie minimumi (vai maksimumi). Apgabal� A
defin�tai funkcijai )(xf ir glob�lais minimums punkt� x**, ja
visiem Ax� izpild�s nosac�jums
)()( ** xfxf .
Apgabal� A defin�tai funkcijai )(xf ir lok�lais minimums
(nosac�tais
minimums) punkt� x*, ja visiem Ax� , kas atrod�s no x*
pietiekami maz� att�lum� � ( ��� *xx ) izpild�s nosac�jums
)()( * xfxf � .
4. att�ls. Multimod�las funkcijas lok�lie un glob�lie ekstr�mi
Glob�l� maksimuma un lok�l� maksimuma defin�ciju var ieg�t,
mainot
min�tajos nosac�jumos nevien�d�bas z�mes uz pret�j�m. Ja
funkcija ir unimod�la, tad lok�lais minimums vienlaikus ir ar�
glob�lais minimums. Ja funkcija ir multimod�la, tad iesp�jami
vair�ki lok�lie minimumi (maksimumi), turkl�t glob�lo minimumu var
noteikt, atrodot visus lok�los minimumus un izv�loties maz�ko no
tiem. P�c l�dz�ga principa nosaka glob�lo maksimumu – atrod visus
lok�los maksimumus un izv�las
x
y
x1 x2 x3 x4
-
14
liel�ko no tiem. 4. att�l� par�d�taj� funkcijas grafik� punkti
x1, x2, x3 un x4 attiec�gi ir glob�l� maksimuma, lok�l� minimuma,
lok�l� maksimuma un glob�l� minimuma punkti.
Nepieciešamo nosac�jumu lok�l� minimuma vai maksimuma es�bai var
izteikt k�
0*
�� xxdx
df.
(20)
6.3. Viena argumenta funkcijas minimiz�cijas metožu visp�r�gs
raksturojums
Visas optim�l� risin�juma mekl�šanas metodes nosac�ti var
iedal�t div�s grup�s: 1) metodes, kuras balst�s uz vair�kk�rt�ju
funkcijas v�rt�bu izskait�ošanu p�c
noteiktos sist�mas izv�l�tos mekl�šanas punktos; 2) metodes,
kur�s izmanto funkcijas atvasin�jumu. No algoritma viedok�a
vienk�rš�kas ir pirm�s grupas metodes, ta�u parasti to
izmantošana ir saist�ta ar l�nu konverenci un t�tad ar
risin�šanas laika palielin�šanos. Otr�s grupas metod�s par pamatu
�em izteiksmi (20), saska�� ar kuru vispirms atrod funkcijas pirmo
atvasin�jumu )()( xfxF �� un p�c tam, atrisinot vien�dojumu
0)( * �xF , (21)
atrod optim�lo v�rt�bu x*. Tom�r daudzos praktiskos uzdevumos
vien�dojums (21) ir neline�rs
vien�dojums, t�p�c nevar ieg�t t� anal�tisku atrisin�jumu, bet
j�izmanto daž�das tuvin�tas skaitlisk�s metodes [3]. Turkl�t
m�rfunkcija )(xf var b�t uzdota netieš� vai parametrisk� form�, vai
k� funkcion�lu sakar�bu virkne, kas sast�v no vair�k�m funkcij�m ar
savstarp�ji atkar�giem main�gajiem, piem�ram, ),,( 21 xxxf ,
kur
),( 2111 xxfx � , ),( 122 xxfx � . Risinot elektromagn�tisku
ier��u optimiz�cijas uzdevumus, min�t�j� funkcion�lo sakar�bu
virkn� atsevišas sakar�bas var b�t uzdotas grafiski vai tabulas
veid�, piem�ram feromagn�tisko materi�lu magnetiz�šanas l�kne
)(HfB � , un t�d�� funkcijas atvasin�jumu anal�tisk� veid� nav
iesp�jams atrast. Tad j�izmanto t�ds vai cit�ds š�du funkciju
aproksim�šanas veids, kas, savuk�rt, var ienest papildus k��das.
T�pat ar�, ja atvasin�juma aproksim�cijai izmanto proced�ras ar
gal�gaj�m diferenc�m, piem�ram, ��tona interpol�cijas polinomus,
aktu�ls k��st jaut�jums par so�a izv�li saist�b� ar aproksim�cijas
precizit�ti. L�dz ar to izmantojam� metode katr� atseviš� gad�jum�
p�tniekam ir j�piel�go risin�m� uzdevuma konkr�tam raksturam. Visas
š�s min�t�s �patn�bas, risinot re�lus magn�tisko sist�mu
optimiz�cijas uzdevumus, rada b�tiskus ierobežojumus to
m�rfunkcijas minimiz�cijas metožu praktisk� lietošan�, kur�s
izmanto funkcijas atvasin�jumu. �pašu vietu metožu grup� ar
atvasin�juma izmantošanu ie�em gradienta metode (sk. 6.6), kas ir
viena no izplat�t�kaj�m m�rfunkcijas minimiz�cijas metod�m it �paši
vair�ku argumentu funkciju gad�jum�. Gadienta metodes galven�
priekšroc�ba ir t�, ka š� metode sp�j nodrošin�t �tru konverenci un
t�d�j�di b�tiski samazin�t uzdevuma risin�šanas laiku.
Lai lab�k izprastu iepriekš min�t�s probl�mas, kas rodas ar
atvasin�juma izmantošanu, analiz�sim vienk�ršu piem�ru. Apl�kosim
magn�tisk�s �des elementu, ko veido cilindriskas formas
magn�tserde, un magn�tisko lauku rada uz š�s serdes uzt�ta
cilindriska spole ar str�vu (5. att.). Pie�emsim, ka p�r�j�
nosl�gt�s magn�tisk�s
-
15
�des da�a ir izgatavota no materi�la, kura magn�tisk�
caurlaid�ba 2� ir daudzk�rt liel�ka par apl�kojam� elementa
magn�tisko caurlaid�bu 1� ( 12 �� �� ) un t�p�c var pie�emt, ka
��2� . Tinumam j�nodrošina noteikta lieluma magn�tisk� pl�sma �,
turkl�t optimiz�cijas gait� j�atrod serdes diametra D v�rt�ba, lai
magn�tserdes elementa tilpums V (šis tilpums sast�v no
feromagn�tisk�s sedes tilpuma VFe un no spoles tilpuma VCu) b�tu
vismaz�kais, t. i., j�veic m�rfunkcijas )(DfV � minimiz�cija.
5. att�ls. Magn�tvada elements ar tinumu
Magn�tisk� indukcija serd�
��2
4D
B�
.
(22)
Magn�tserdes, spoles un visa elementa kop�jo tilpumu var izteikt
attiec�gi k�
lD
V4
2
Fe�
� ,
(23)
lDaalDaD
V )(44
)2( 22Cu ���
�
���
��
�� �
��,
(24)
laD
VVV4
)2( 2CuFe
�����
.
(25)
Serdes magn�tisk�s �paš�bas raksturo t�s materi�la
magnetiz�šanas l�kne, ko
izsaka grafiski vai tabulas veid� uzdota neline�ra sakar�ba
)(BfH � , (26) kur H – magn�tisk� lauka intensit�te.
Spoles malas šk�rsgriezuma laukums
laS �Cu . (27)
Spoles biezums a nav neatkar�gs main�gais, un to var izteikt,
izmantojot piln�s
str�vas likumu iwHl � , (28)
D
l
a
��
-
16
kur i – str�va spol�; w – spoles vijumu skaits.
Vienk�rš�bas d�� pie�emot 1�w un str�vu i izsakot ar str�vas
bl�vumu j, no izteiksm�m (27) un (28) ieg�stam
jH
a � .
(29)
Tad saska�� ar (25)
ljH
DV2
24 �
��
����
���
�.
(30)
5. att�l� p�r�d�ti m�rfunkcijas )(DV , k� ar� t�s sast�vda�u
)(Fe DV un )(Cu DV
grafiki.
5. att�ls. M�rfunkcijas un t�s sast�vda�u izmai�as l�knes
No att�la redzams, ka palielinoties serdes diametram, t�s
tilpums palielin�s.
Savuk�rt palielinoties diametram, samazin�s magn�tisk� indukcija
serd� un dot�s magn�tisk�s pl�smas rad�šanai vajadz�gs maz�ks
magnetiz�t�jsp�ks, t�p�c spoles tilpums samazin�s.
K� redzams no izteiksm�m (30), (26) un (22), m�rfunkcija V ir
uzdota ar funkcion�lu sakar�bu virkni ),(1 HDfV � , )(2 BfH � un
)(3 DfB � , turkl�t saliktu un apsl�ptu funkciju veid�. Šis
apst�klis tad ar� ir nopietns š�rslis, lai lieluma D optim�l�s
v�rt�bas atrašanai izteiksmi (20) var�tu izmantot tieš� veid�, par
ko var p�rliecin�ties, izsakot funkcijas V atvasin�jumu p�c D. No
izteiksmes (30)
���
����
����
�
����
���
jH
DdDd
jH
DldDdV 22
2�
.
(31)
VFe
0 D
V
V
VCu
-
17
Bet t� k� H apsl�pt� veid� ir atkar�gs no D , t. i. )(DfH � ,
tad
dDdH
jjH
DdDd 2
12
�����
����
�� .
(32)
Savuk�rt, saska�� ar (22) un (26) funkcijas )(DfH � k� saliktas
funkcijas
atvasin�jums ir
dBdH
DdDdH
3
18��
�� .
(33)
Ievietojot dDdH
no (33) izteiksm� (32) un p�c tam ���
����
��
jH
DdDd 2
no (32)
izteiksm� (31), p�c p�rveidojumiem ieg�stam
���
����
� ����
�
����
���
dBdH
DjjH
DldDdV
3
1161
22 ��
.
(34)
Saska�� ar (20), piel�dzinot šo izteiksmi nullei, ieg�stam
vien�dojumu optim�l�
diametra Dopt noteikšanai:
.0116
12
3opt
opt ���
�
�
��
�
� ����
�
����
��
dBdH
DjjH
D�
(35)
Vien�dojuma (35) risin�šanas algoritms ir �oti sarež�ts sakar�
ar to, ka:
- tas ir neline�rs vien�dojums; - vien�dojums satur apsl�pt�
veid� uzdotu funkcion�lo sakar�bu )(DfH � ; - tas satur neline�ru
sakar�bu )(BfH � , kas uzdota grafiski vai tabulas veid�; - satur
atvasin�jumu dBdH ; - neline�r�s sakar�bas raksturs ir t�ds, ka š�s
sakar�bas aproksim�šanai ar
pietiekamu precizit�ti j�izmanto gabaliem paraboliska
aproksim�cija, kas, savuk�rt, rada nepieciešam�bu bez aritm�tisk�m
oper�cij�m skait�ošanas proces� izmantot ar� loisk�s
oper�cijas.
Min�to �patn�bu d�� metodes, kur�s minimiz�cijai izmanto
funkcijas atvasin�jumu, magn�tisko sist�mu optimiz�cij� vairum�
gad�jumu sevi neattaisno. Iz��mumi var�tu b�t nepies�tin�tas
magn�tisk�s sist�mas, kur� sakar�ba )(HfB � ir praktiski line�ra,
k� tas, piem�ram, ir magnetiz�šanas l�knes s�kuma da��.
6.4. Viena argumenta funkcijas minimiz�cija ar interv�lu
izsl�gšanas metodi
M�rfunkcijas minimiz�cijas metode, ko sauc par interv�lu
izsl�gšanas metodi, ir balst�ta uz funkcijas v�rt�bu izskait�ošanu
p�c noteiktas sist�mas izv�l�tos m�in�juma punktos un šo v�rt�bu
sal�dzin�šanu. Š� metode �auj iev�rojami vienk�ršot optimiz�cijas
algoritmu, kurš zin�m� m�r� ir univers�ls t�d� noz�m�, ka nav
atkar�gs no minimiz�jam�s funkcijas rakstura. K� tr�kumu interv�lu
izsl�gšanas
-
18
metodei var min�t to, ka optimiz�cijas proces� var b�t
nepieciešams liels iter�ciju skaits. Tom�r šis apst�klis, ja iev�ro
m�sdienu datortehnikas �trdarb�bu, nav uzskat�ms par b�tisku
tr�kumu.
Interv�lu izsl�gšanas metod� tiek izmantota funkcijas
unimodalit�tes �paš�ba. Š� �paš�ba, sal�dzinot funkcijas )(xf
v�rt�bas divos daž�dos mekl�šanas interv�la punktos, �auj noteikt,
kur� no min�to punktu veidotajiem apakšinterv�liem funkcijas
minimuma punkts neatrodas. Interv�lu izsl�gšanas metodes pozit�v�
�paš�ba ir t�, ka, lietojot šo metodi, nepieciešama tikai funkcijas
v�rt�bu izskait�ošana, turkl�t nav nepieciešams, lai p�t�m�
funkcija b�tu diferenc�jama, k� ar� pie�aujami gad�jumi, kad
funkciju nevar uzdot anal�tisk� veid�. Vien�g� pras�ba ir funkcijas
)(xf v�rt�bu izskait�ošanas iesp�jam�ba izv�l�tajos mekl�šanas
punktos.
6. att�ls. Interv�lu izsl�gšanas metodes grafisk�
interpret�cija
Pie�emsim, ka funkcija )(xf ir unimod�la interv�l� [xmin; xmax]
un t�s minimums ir punkt� x* (6. att.). Apl�kosim šaj� interv�l�
punktus x1 un x2, kuri izv�l�ti t�, ka max21min xxxx ��� .
Sal�dzinot funkcijas v�rt�bas punktos x1 un x2, iesp�jami š�di
rakstur�gi gad�jumi:
- ja )()( 21 xfxf � (6. att. a), tad minimuma punkts neatrodas
apakšinterv�l� [xmin; x1] un šo interv�lu n�košaj� mekl�šanas sol�
var izsl�gt, par jauno mekl�šanas interv�lu pie�emot [x1;
xmax];
- ja )()( 21 xfxf � (6. att. b), tad minimuma punkts neatrodas
apakšinterv�l� [x2; xmax] un n�košaj� mekl�šanas sol� var izsl�gt
šo interv�lu, par jauno mekl�šanas interv�lu pie�emot [xmin;
x2].
Izmantojot interv�lu izsl�gšanas principu, var realiz�t
mekl�šanas proced�ru, kura �auj noteikt minimuma punktu ar
pak�penisku s�kotn�j� interv�la apakšinterv�lu izsl�gšanu.
Mekl�šanas proced�ru beidz, kad atlikuš� apakšinterv�la garums
samazin�s l�dz pietiekami mazai v�rt�bai.
K�rt�j� sol� izsl�dzam� apakšinterv�la garums ir atkar�gs no
m�in�juma punktu x1 un x2 novietojuma s�kotn�j� mekl�šanas
interv�la [xmin; xmax] iekšien�. V�lams, lai katr� k�rt�j�
iter�cij� m�in�juma punktu veidotie interv�li samazin�tos vien�d�
attiec�b�. Turkl�t, lai paaugstin�tu algoritma efektivit�ti,
v�lams, lai š� attiec�ba b�tu maksim�la. Viena no š�d�m metod�m,
kas vienlaikus da��ji apmierina abas š�s pras�bas, ir interv�lu
izsl�gšanas bisekciju metode. Š� metode �auj katr� iter�cij�
izsl�gt tieši pusi no interv�la, t. i., katr� iter�cij� interv�lu
samazin�t divas reizes.
x* x
f(x)
xmin x1 x2 xmax x
xmin x1 xmax x* x2
a) b)
-
19
7. att�ls. Viena argumenta funkcijas minimiz�cijas algoritma
bloksh�ma, izmantojot interv�lu izsl�gšanas bisekciju metodi
Ieejas datu xmin, xmax, ���ievade
2maxmin xxxm
��
minmax xxL ��
�L
4
4
max2
min1
Lxx
Lxx
��
��
f(x1), f(x2), f(xm) apr��ins
)()( 2 mxfxf �
xopt = xm
Beigas
xmax = xm xm = x1
xmin = x1 xmax = x2
xmin = xm xm = x2
f(x1) < f(xm)
j�
j�
j�
n�
n�
n�
-
20
Interv�lu izsl�gšanas metodes algoritms ir š�ds. 1. solis.
Apr�ina interv�la viduspunkta koordin�tu
2maxmin xxxm
��
(36
un mekl�šanas interv�la garumu minmax xxL �� . (37)
2. solis. Atrod m�in�juma punktus x1 un x2:
4min1L
xx �� ,
(38)
4max2L
xx �� .
(39)
3. solis. Apr�ina funkcijas v�rt�bas m�in�juma punktos )( 1xf ,
)( 2xf un )( mxf . 4. solis. Sal�dzina )( 1xf un )( mxf . Ja )()( 1
mxfxf � , izsl�dz interv�lu
[xm; xmax]. Par jaun� mekl�šanas interv�la viduspunktu k��st
punkts 1xxm � . P�riet uz 6. soli. Ja )()( 1 mxfxf � , p�riet uz 5.
soli.
5. solis. Sal�dzina )( 2xf un )( mxf . Ja )()( 2 mxfxf � ,
izsl�dz interv�lu [xmin; xm], pie�emot mxx �min . Par jaun�
interv�la viduspunktu k��st punkts 2xxm � . P�riet uz 6. soli. Ja
)()( 2 mxfxf � , izsl�dz vienlaikus abus interv�lus [xmin; x1] un
[x2; xmax], pie�emot 1min xx � un 2max xx � . Par jaun� interv�la
viduspunktu saglab�jas punkts xm. P�riet uz 6. soli.
6. solis. Apr�ina jaun� interv�la garumu (sk. formulu (37)). Ja
�L , kur � –pie�aujam� k��da, mekl�šanas proced�ru beidz, pie�emot
mxx �opt . Pret�j� gad�jum� p�riet uz 2. soli.
Iztirz�t� minimiz�cijas algoritma bloksh�ma par�d�ta 7. att�l�
un š� algoritma realiz�šanas FORTRAN programma funkcijai 2)100()(
xxf �� dota 1. pielikum�. Var atz�m�t, ka min�t� programma
izmantojama jebkuras viena argumenta funkcijas minimiz�cijai, ja
taj� atbilstoši p�rveido apakšprogrammu (subroutine fx), kas
paredz�ta funkcijas v�rt�bu izskait�ošanai.
6.5. Minimiz�cijas metode ar funkcijas parabolisku
aproksim�ciju
Zem�k iztirz�t�s metodes b�t�ba ir t�, ka optimuma atrašanai
izmanto funkcijas atvasin�jumu. Šaj� gad�jum� m�rfunkciju tuvin�ti
aizst�j ar pak�pes polinomu, kura atvasin�jumu piel�dzina nullei un
no ieg�t� vien�dojuma saska�� ar (20) atrod š� polinoma minim�lo
v�rt�bu. Metodes precizit�ti var paaugstin�t div�j�di: izmantojot
augst�kas k�rtas pak�pes polinomu vai samazinot aproksim�cijas un
l�dz ar to ar� mekl�šanas interv�la garumu. Priekšroka ir dodama
otrajam pa��mienam, jo treš�s un augst�kas k�rtas polinoma
konstru�šana un t�l�ka izmantošana ir saist�ta ar sam�r� sarež�t�m
proced�r�m. Turpretim interv�la samazin�šana unimod�lai funkcijai
�pašas probl�mas nerada.
-
21
Paraboliskas aproksim�cijas vienk�rš�kais variants ir funkcijas
)(xf aizst�šana ar otr�s pak�pes polinomu, turkl�t t�du, kur�
funkcijas minim�l� v�rt�ba atrodas mekl�šanas interv�la [xmin;
xmax] iekšien�. Aproksim�još� polinoma konstru�šanu veic š�d�
sec�b�. Mekl�šanas interv�l� izv�las tr�s punktus, piem�ram, min1
xx � ,
2maxmin
2
xxx
�� , max3 xx � un apr�ina šajos punktos funkcijas v�rt�bas, t.
i., f1, f2, f3.
Aproksim�cijas polinomu lietder�gi mekl�t š�d� form�:
))(()()( 212110 xxxxaxxaax ������ . (40)
Polinoma )(x koeficientus a0, a1 un a2 atrod no nosac�juma, ka
funkcijas )(x v�rt�bas apl�kojamos tr�s punktos sakr�t ar )(xf
v�rt�b�m šajos punktos. Tad no (40) ieg�stam vien�dojumu sist�mu
0111 )()( afxfx ��� ,
)()()( 1210222 xxaafxfx ����� , (41)
))(()()()( 231321310333 xxxxaxxaafxfx �������� , kuras
atrisin�jums dod mekl�jamo koeficientu v�rt�bu: 10 fa � , (41)
12
121 xx
ffa
�
�� ,
(42)
���
����
�
�
��
�
�
��
12
12
13
13
232
1xxff
xxff
xxa .
(43)
Ja p�t�m�s funkcijas parabolisk�s aproksim�cijas precizit�te
interv�l� [x1; x3] ir
pietiekama, šo polinomu var izmantot optim�l� punkta
noteikšanai. Šaj� gad�jum� no izteiksm�m (20) un (40) ieg�stam
0)()()(
1*
22*
21*
�������
xxaxxaadx
xd
xx
un
2
112*
22 aaxx
x ��
� .
(44)
Atrast� x* v�rt�ba ir tuvin�ta v�rt�ba un to, ja nepieciešams,
var preciz�t, samazinot s�kotn�jo aproksim�cijas interv�lu, t. i.,
pie�emot
�� *1 xx , (45)
�� *2 xx , (46) turkl�t �izv�las t�, lai )()( *1 xfxf � un
)()(
*2 xfxf � . P�c tam mekl�šanu saska��
ar aprakst�to algoritmu turpina jaun� interv�l� l�dz br�dim,
kam�r iepriekš�j� un k�rt�j� iter�cij� atrast�s x* v�rt�bas atširas
par pietiekami mazu lielumu.
-
22
6.6. Gradienta metode
Gradienta metode ir viena no izplat�t�kaj�m iter�ciju metod�m
vair�ku
argumentu m�rfunkcijas ),,,()( 21 nxxxfxf �� minimiz�cijai. K�
zin�ms funkcijas gradients ir vektors, kura virziens sakr�t ar
funkcijas )(xf visstrauj�k�s mai�as virzienu. Š� vektora
komponentes izsaka ar funkcijas parci�lajiem atvasin�jumiem
[4]:
nn x
fG
xf
Gxf
G
�
�
� ,,,
22
11 � .
(47)
Gradienta j�dzienu nosac�ti var lietot ar� viena argumenta
funkcijai, iev�rojot to,
ka šaj� gad�jum�dxd
x�
un gradientam ir tikai viena komponente
dxxdf
xxf
xG)()(
)(1
�
� .
(48)
Saska�� ar gradienta metodi x v�rt�bu katr� iter�cij� var
apr�in�t p�c formulas
)()()1( kkk sGxx ��� , (49) kur x(k) un x(k+1) – main�g� x
v�rt�bas iepriekš�j� un k�rt�j� iter�cij�; )( )()( kk xGG � –
funkcijas gradients, kas apr�in�ts punkt� )(kxx � saska�� ar (48);
s – so�a parametrs (katr� iter�cij� pie�emts konstants
lielums).
M�rfunkcijas minimiz�cijas gradienta metodes algoritms ir š�ds.
1. solis. Apr�ina funkcijas gradientu punkt� min
)( xx k � , t. i., G(k). 2. solis. Izv�las so�a parametra s�kuma
v�rt�bu. Var atz�m�t, ka no š�s izv�les
liel� m�r� ir atkar�ga iter�ciju procesa konverence. Izv�loties
mazu so�a parametra v�rt�bu, optimums tiek sasniegts l�ni, bet,
izv�loties lielu v�rt�bu, ir risks p�rsniegt funkcijas )(xf
minim�lo v�rt�bu un nok��t punkt� ar v�l liel�ku funkcijas v�rt�bu
vai pat punktos, kas atrodas �rpus mekl�šanas interv�la. T� k�
optimuma punkts parasti atrodas mekl�šanas interv�la viduspunkta
apkaim�, so�a parametra s�kuma v�rt�bu lietder�gi izv�l�ties t�,
lai m�in�juma punkts 2( minmaxmin
)1( xxxx k ���� . Tad saska�� ar izteiksmi (49) so�a parametra
s�kuma v�rt�ba
(k)minmax
0 2G
xxs
��� .
(50)
3. solis. P�c formulas (49) apr�ina x(k+1) un funkcijas
gradienta v�rt�bu šaj�
punkt� )( )1()1( �� � kk xGG . Ja š� v�rt�ba ir maz�ka par
pie�aujamo k��du, t. i.,
�� )1(kG , pie�em, ka .)1(opt�� kxx Pret�j� gad�jum� p�riet uz
4. soli.
-
23
4. solis. Apr�ina so�a parametra k�rt�j�s iter�cijas optim�lo
v�rt�bu:
0)1()(
)(
sGG
Gs
kk
k
��� .
(51)
Pie�emot par x n�koš� tuvin�juma s�kuma v�rt�bu )1()( �� kk xx
un )1()( �� kk GG , atgriežas uz 3. soli.
8. att�ls. Viena argumenta funkcijas minimiz�cijas algoritma
bloksh�ma, izmantojot gradienta metodi
Ieejas datu xmin, xmax, ���ievade
minxxk �
G(k) apr��ins
s0 apr��ins
x(k+1) = x(k) – s0 G(k)
G(k+1) apr��ins
xopt =x(k)
Beigas
j�
n�
�� )1(kG
sGG
Gs
kk
k
)1()(
)(
���
x(k) = x(k+1) Gk) = Gk+1) s0 = s
-
24
Iztirz�t� algoritma bloksh�ma par�d�ta 8. att�l� un t�
realiz�cijas FORTRAN programma funkcijai xxxxf 2)( 23 ��� dota 2.
pielikum�. (Funkcijas gradients šaj� gad�jum� 223)( 2 ��� xxxG
)).
7. Vair�kdimensiju optimiz�cijas uzdevumi
7.1. Visp�r�gi nor�d�jumi
Optimiz�cijas praks� ir gad�jumi, kad m�rfunkcija ir vair�ku
argumentu funkcija un j�atrod šo argumentu v�rt�bas, kas nodrošina
funkcijas minimumu. K� tika atz�m�ts iepriekš, main�go skaita
palielin�šan�s sarež� optimiz�cijas algoritmu un pašu optimiz�cijas
proced�ru kopum�. It �paši tas attiecas uz magn�tisko sist�mu
optimiz�ciju, kur m�rfunkcija ir uzdota ar funkcion�lu sakar�bu
virkni, turkl�t atsevišas sakar�bas ir neline�ras un uzdotas
tabulas veid� vai grafiski. T�d��, ja main�go skaits N>2,
optimiz�cijas uzdevumu ir lietder�gi sadal�t vair�kos vienk�ršos
apakšuzdevumos un optimuma atrašanai izmantot minimaksa metodi.
Piem�ram, tr�s argumentu funkcijas ),,( 321 xxxf gad�jum� vispirms
vair�k�m fiks�t�m main�g� x3 v�rt�b�m atrod minimumu p�c x1 un x2,
bet p�c tam izv�las minim�lo no š�m v�rt�b�m. Min�to apst�k�u d��
šeit apl�kosim tikai divu argumentu funkciju minimiz�cijas metodes
un algoritmus. Turpm�k matem�tisko izteiksmju uzskat�m�bas d�� divu
argumentu funkcijas main�go apz�m�jumus x1 un x2 aizst�sim
attiec�gi ar apz�m�jumiem x un y.
M�rfunkcijas unimodalit�tes �paš�ba izmantojama ar� divu
argumentu funkcij�m. Divu argumentu funkcija main�go x un y
izmai�as apgabal�
maxmin xxx �� ; maxmin yyy �� ir unimod�la, ja šai funkcijai
dotaj� apgabal� ir tikai viens minimums, kas atbilst argumenta
v�rt�b�m x* un y*, t. i., šaj� apgabal� jebkur�m x un y v�rt�b�m ir
sp�k� sakar�ba
),(),( ** yxfyxf � . (52)
�eometriskaj� interpret�cij� divu argumentu funkcija att�lo
virsmu (9.att.).
Katra š�s virsmas punkta att�lums l�dz horizont�lajai plaknei
x0y ir vien�ds ar funkcijas v�rt�bu apl�kojam� punkt� ar
koordin�t�m x un y. Ja šo virsmu še� ar paral�l�m plakn�m ii cf � ,
ieg�st nosl�gtas l�nijas, kuru projekcijas plakn� x0y veido l�k�u
kopu, ko sauc par l�me�l�nij�m jeb izol�nij�m. Saska�� ar 9.
att�lu
*),( **123 fyxfccc ���� , kur *f ir apl�kojam�s divu argumentu
funkcijas minim�l� v�rt�ba.
Divu argumentu funkcijas minimuma nepieciešamais nosac�jums
ir
0),(�
xyxf
un 0),(�
yyxf
,
(53)
kur x
un y
– funkcijas ),( yxf parci�lie atvasin�jumi.
-
25
9. att�ls. Divu argumentu funkcijas eometrisk� interpret�cija
Divu argumentu funkcijas minimiz�cij�, t�pat k� viena argumenta
funkcijas
gad�jum�, var izmantot divas metožu grupas: metodes, kuras
balst�s uz funkcijas v�rt�bu izkait�ošanu un metodes, kur� izmanto
funkcijas atvasin�jumus.
7.2. Divu argumentu funkcijas minimiz�cija ar interv�lu
izsl�gšanas metodi
Iepriekš (sk. 6.4) tika iztirz�ta interv�lu izsl�gšanas metodes
algoritms viena argumenta funkcijai. Š� algoritma elementi
izmantojami ar� divu argumentu funkcijas
),( yxf gad�jum�. Pie�emsim, ka noteikti argumentu x un y
izmai�as interv�li [xmin; xmax] un
[ymin; ymax]. Tad minimiz�cijas proced�ru veic, izdarot š�du
darb�bu sec�bu (sk. ar� 10. att.).
f
y
x
x*
y*
c2 c1
c3 f*
-
26
10. att�ls. Divu argumentu funkcijas l�me�l�nijas un interv�lu
izsl�gšanas bisekciju metodes m�in�juma punkti
1.solis. Apr�ina mekl�šanas interv�lu viduspunktus
2maxmin xxxm
�� ,
(54)
2maxmin yyym
��
(55)
un interv�lu garumus
minmax xxLx �� , (56)
minmax yyLy �� . (57)
2. solis. Apr�ina m�in�juma punktus x1 un x2:
4min1xLxx �� ,
(58)
4max2xLxx �� .
(59)
3. solis. Apr�ina funkcijas v�rt�bas ),( 1 myxf , ),( 2 myxf ,
),( mm yxf .
f1
f2
f3 f4
f5 f6
f7
xmin x2 x1 xm xmax x* x
y*
ymin
y1
y2
ym
ymax
y
-
27
j� n�
j�
xopt = xm yopt = ym
Beigas
ymin = y1 ymax = y2
ymax = ym ym = y1
ymin = ym ym = y2
f(xm, y1) < f(xm, ym) f(xm, y2) < f(xm, ym)
xmin = x1 xmax = x2
Ieejas datu xmin, xmax, ymin, ymax, �y, �y
ievade
xm = (xmin + xmax)/2 ym = (ymin + ymax)/2
Lx = xmax – xmin Ly= ymax – ymin
yy
xx
L
L
�
�
x1 = xmin + Lx/4 x2 = xmax – Lx/4
f(x1, ym), f(x2, ym), f(xm, ym) apr��ins
f(x1, ym) < f(xm, ym)
f(x2, ym) < f(xm, ym)
xmax = xm xm = x1
xmin = xm xm = x2
f(xm, y1), f(xm, y2), f(xm, ym) apr��ins
y1 = ymin + Ly/4 y2 = ymax – Ly/4
12. att�ls. Divu argumentu m�rfunkcijas minimiz�cijas algoritma
bloksh�ma, izmantojot interv�lu izl�gšanas
bisekciju metodi
j�
n�
j�
n�
j�
n�
n�
-
28
4. solis. Sal�dzina ),( 1 myxf un ),( mm yxf . Ja ),( 1 myxf
< ),( mm yxf , izsl�dz main�g� x interv�lu [xm; xmax], pie�emot
mxx �max . Par main�g� x jaun� interv�la viduspunktu k��st punkts
x1, t. i., 1xxm � . P�riet uz 5. soli. Ja ),( 1 myxf > ),( mm
yxf , p�riet uz 9. soli.
5. solis. Apr�ina m�in�juma punktus y1 un y2:
4min1yLyy �� ,
(60)
4max2yLyy �� .
(61)
6. solis. Apr�ina funkcijas v�rt�bas ),( 1yxf m , ),( 2yxf m ,
),( mm yxf . 7. solis. Sal�dzina ),( 1yxf m un ),( mm yxf . Ja ),(
1yxf m < ),( mm yxf , izsl�dz
main�g� y interv�lu [ym; ymax], pie�emot myy �max . Par main�g�
y jaun� interv�la viduspunktu k��st punkts y1, t. i., 1yym � .
P�riet uz 1. soli. Ja ),( 1yxf m > ),( mm yxf , p�riet uz 8.
soli.
8. solis. Sal�dzina ),( 2yxf m un ),( mm yxf . Ja ),( 2yxf m
< ),( mm yxf , izsl�dz main�g� y interv�lu [ymin; ym]. Par
main�g� y jaun� interv�la viduspunktu k��st punkts y2, t. i., ym =
y2. P�riet uz 1. soli. Ja ),( 2yxf m > ),( mm yxf , izsl�dz
main�g� y abus mal�jos interv�lus [ymin; ym] un [y2; ymax],
pie�emot 1min yy � un 2max yy � . P�riet uz 1. soli.
9. solis. Sal�dzina ),( 2 myxf un ),( mm yxf . Ja ),( 2 myxf
< ),( mm yxf , izsl�dz main�g� x interv�lu [xm; xmax]. Par
main�g� x jaun� interv�la viduspunktu k��st punkts x2, t. i., 2xxm
� . P�riet uz 5. soli. Ja ),( 2 myxf > ),( mm yxf , izsl�dz
main�g� x abus mal�jos interv�lus [xmin; xm] un [x2; xmax],
pie�emot 1min xx � un 2max xx � . P�riet uz 1. soli.
10. solis. Apr�ina main�go x un y jaun� interv�la garumus. Ja
xxL � un
yyL � (�x un �y – pie�aujam�s k��das), mekl�šanas proced�ru
beidz, pie�emot
mxx �* un myy �
* . Pret�j� gad�jum� p�riet uz 2. soli. Iztirz�t� divu argumentu
funkcijas minimiz�cijas algoritma bloksh�ma par�d�ta
11. att�l� un š� algoritma realiz�cijas FORTRAN programma
funkcijai 22 )1(25,2)2(),( ���� yxyxf dota 3. pielikum�.
7.3. Gradienta metode
K� jau iepriekš tika atz�m�ts, gradientu metod� m�rfunkcijas
minimiz�cijai izmanto funkcijas atvasin�jumus. Divu argumentu
funkcijas gad�jum� minimuma nosac�jumi saska�� ar (53) ir
0),( �yxx , 0),( �yxy ,
(62)
-
29
kur ),( yxx un ),( yxy – main�go x un y funkcijas, ko ieg�st k�
m�rfunkcijas parci�los atvasin�jumus, t. i.,
xyxf
yx xx
��),(
),(
,
(63)
yyxf
yx yy
��),(
),(
.
(64)
T�d�j�di, lai atrastu main�go x un y optim�l�s v�rt�bas,
j�atrisina vien�dojumu
sist�ma (62), kas parasti ir neline�ra sist�ma. T�s risin�šanai
vispiem�rot�ka ir gradienta metode, jo piem�ram, ��tona metode ir
jut�ga attiec�b� pret s�kuma tuvin�jumu, bet iter�ciju metod� ir
speci�li j�r�p�jas par konverences nodrošin�šanu. Lietojot
gradienta metodi š�das probl�mas praktiski nepast�v.
M�rfunkcijas minimiz�cij� izmanto divu argumentu funkcijas ),(
yxf gradientu, kas šaj� gad�jum� ir vektors ar div�m
komponent�m
x
yxfG x
�
),(,
(65)
yyxf
Gy
�),(
.
(66)
Saska�� ar gradienta metodi x un y v�rt�bas katr� n�košaj� (k+1)
iter�cij�
apr�ina, izmantojot š� lieluma v�rt�bas iepriekš�j� (k)
iter�cij�:
)()()1( kxx
kk Gsxx ��� , (67) )()()1( k
yykk Gsyy ��� , (68)
kur sx un sy – so�a parametri; ),( )()()( kkx
kx yxGG � , ),(
)()()( kky
ky yxGG � – gradienta
komponentes, kas apr�in�tas punkt� x(k), y(k). M�rfunkcijas ),(
yxf minimiz�cijas algoritms ir š�ds. 1. solis. Apr�ina funkcijas
gradientu punkt� xk = xmin, yk = ymin, t. i., v�rt�bas
)(kxG un
)(kyG .
2. solis. Izv�las so�a parametru s�kuma v�rt�bas:
)(minmax
0 2 kxx G
xxs
��� ;
(69)
)(minmax
0 2 kyy G
yys
��� ;
(70)
3. solis. P�c formul�m (67) un (68) apr�ina x(k+1) un y(k+1) un
gradienta
komponentes šaj� punkt� )(kxG un )(k
yG . P�riet uz 4. soli.
-
30
4. solis. Apr�ina k�rt�j�s iter�cijas so�a parametru optim�l�s
v�rt�bas:
0)1()(
)(
xkx
kx
kx
x sGGG
s��
� ;
(71)
0)1()(
)(
yky
ky
ky
y sGG
Gs
��� .
(72)
Pie�emot par x un y n�koš� tuvin�juma s�kuma v�rt�b�m attiec�gi
)1()( �� kk xx un
)1()( �� kk yy , k� ar� )1()( �� kxk
x GG un )1()( �� ky
ky GG , atgriežas uz 3. soli.
5. Š�das proced�ras turpina tik ilgi, k�m�r gradienta
komponentes k�rt�j� iter�cij� sasniedz pietiekami mazas v�rt�bas:
x
kxG �
)( un yk
yG �)( .
Iztirz�t� algoritma bloksh�ma p�c strukt�ras ir piln�b� l�dz�ga
8. att�l� par�d�tajai sh�mai, ja taj� main�g� x viet� apl�ko divus
main�gos x un y, k� ar� iev�ro divas gradienta komponentes Gx un
Gy.
FORTRAN programma divu argumentu funkcijas xyyxyxf ����� 22
)1(25,2)2(),( minimiz�cijai ar gradienta metodi dota
4. pielikum�. Šaj� piem�r� funkcijas ),( yxf gradienta
komponentes saska�� ar (65) un (66) yxGx ��� )2(2 , xyG y ���
)1(5,4 .
8. Magn�tisk�s sist�mas optimiz�cijas uzdevuma piem�rs
8.1. Uzdevuma nost�dne un p�t�m� objekta matem�tiskais
modelis
Šaj� piem�r� apl�kosim vienk�ršu ier�ci – droseli ar
feromagn�tiska materi�la serdi, kuras rakstur�gie izm�ri par�d�ti
13. att�l�.
13. att�ls. Drosele ar feromagn�tisku serdi un t�s rakstur�gie
izm�ri
b�spole�
a3�
a2�
c2�
a1� a4�c1�
magn�tserde�
Lvid
-
31
Pie�emsim, ka str�vai spol�, kuras vijumu skaits ir w, ir
j�nodrošina serd� noteikta magn�tisk� pl�sma ���
Uzdevuma nost�dne, kas �emta par pamatu zem�k iztirz�tajam
optimiz�cijas uzdevumam ir š�da.
Optimiz�jam�s sist�mas robežas noteiktas ar izv�l�to
konstrukciju (stie�u tipa magn�tvads ar vienu spoli). Termiskie
ierobežojumi pastarpin�ti tiek iev�roti ar tinuma str�vas bl�vuma j
izv�li. Lai samazin�tu vari�jamo parametru skaitu, pie�emts, ka
aaaaa ���� 4321 un ccc �� 21 .
Par optimiz�cijas kvantitat�vo krit�riju (raksturkrit�riju)
pie�emtas droseles materi�lu izmaksas, kas veidojas no tinuma vadu
un elektrotehnisk� lokš�u t�rauda kop�j�m izmaks�m.
Par sist�mas neatkar�gajiem main�gajiem pie�emti š�di lielumi:
magn�tserdes platums a un t�s biezums b, k� ar� iepriekš min�tie
dotie lielumi – magn�tisk� pl�sma � un str�vas bl�vums j. Šeit
j�atz�m�, ka lielums c nav neatkar�gs lielums, jo to nosaka
magn�tvada loga laukums, kas, savuk�rt, ir atkar�gs no tinuma
magnetiz�t�jsp�ka iw un str�vas bl�vuma j.
Sist�mas matem�tisk� mode�a izveid� par pamatu �emti magn�tisko
�žu teorijas elementi, izmantojot piln�s str�vas likumu vienk�ršot�
form�, neiev�rojot izkliedes pl�smu, k� ar� pie�emot, ka
magn�tisk�s indukcijas v�rt�bas jebkur� serdes š�rsgriezuma viet�
ir vien�das.
Saska�� ar formul�to uzdevuma nost�dni apl�kojamais uzdevums ir
divdimensiju optimiz�cijas uzdevums ar main�gajiem a un b. Uzdevumu
var vienk�ršot, izmantojot iepriekš (sk. 7.1.) piemin�to minimaksa
strat�iju, t. i., risinot vair�kus uzdevumus daž�d�m b = const (b1,
b2, b3,…) v�rt�b�m k� viendimensijas optimiz�cijas uzdevumus un
katrai no š�m v�rt�b�m atrodot atbilstošos optimumus aopt1, aopt2,
aopt3,…T� rezult�t� iesp�jams ieg�t funkcion�lu sakar�bu )(opt bfa
� , no
kuras grafiski vai cit�d� veid� var atrast optb . Noskaidrosim
apl�kojam� uzdevuma matem�tisk�s sakar�bas, ar kur�m var
aprakst�t p�t�m� objekta matem�tisko modeli. Saska�� ar uzdevuma
nost�dn� pie�emtajiem vienk�ršojumiem un piln�s str�vas
likumu iwHL �vid , (73)
kur Fiw � – tinuma piln� str�va jeb magnetiz�t�jsp�ks; H –
magn�tisk� lauka intensit�te; vidL – magn�tisk�s sp�ka l�nijas
vid�jais garums serd�..
Tuvin�ti pie�emot, ka magn�tisk�s sp�ka l�nijas vid�jais garums
(sk. 13. att)
)(4vid caL �� , (74) izteiksmes (73) viet� ieg�stam
)(4 caHiw �� . (75) Spoles magnetiz�t�jsp�ku var izteikt ar� ar
str�vas bl�vumu:
CuSiw
j � ,
(76)
-
32
kur 2Cu cS � – spoles malas š�rsgriezuma laukums, kas pie�emts
vien�ds ar loga laukumu. (Str�vas bl�vums j šaj� gad�jum� ir
nosac�tais bl�vums, jo tas noteikts nevis attiec�b� pret vada
akt�vo š�rsgriezuma laukumu, bet pret loga š�rsgriezuma laukumu,
kas ietver ar� vada un spoles izol�ciju. Prec�z�kos apr�inos to var
iev�rot ar aizpildes koeficientu).
T�d�j�di no izteiksmes (76) izriet, ka
2jciw � . (77) Piel�dzinot izteiksmju (75) un (77) lab�s puses,
ieg�stam vien�dojumu
2)(4 jccaH �� , kura atrisin�jums attiec�b� pret c dod
j
jaHHHc
���
222.
(78)
Magn�tisk� indukcija serd�
abB
�� .
(79)
Saska�� ar 13. att�lu magn�tserdes tilpums
bcaaV )(4Fe �� (80) un spoles tilpums
)2(2 2Cu cbacV ��� . (81)
Droseles materi�lu kop�j�s izmaksas
��
���
�������� )2()(22 2Cu
Fe
CuFeFeCuCuCuFeFe cbacq
qbcaaqVqVqA Fe !!!! ,
(82)
kur Feq un Cuq – attiec�gi serdes t�rauda un tinuma vada viena
kg cena; Fe! un Cu! – attiec�gi t�rauda un vara bl�vums ( 7800Fe �!
kg/m
3, 8900Cu �! kg/m3).
M�rfunkciju šaj� gad�jum� var izteikt k�
Fe2)(
qA
af �
jeb, iev�rojot (82),
��
���
������ )2()(2)( 2Cu
Fe
CuFe cbacq
qbcaaaf !! .
(83)
-
33
Var atz�m�t, ka, minimiz�jot nevis kop�j�s materi�lu izmaksas,
bet droseles kop�jo masu, ar� var izmantot izteiksmi (83),
ievietojot taj� 1FeCu �qq .
Atz�m�sim, ka m�rfunkcija (83) ir uzdota k� funkcion�lu sakar�bu
virkne:
),(1 acfA � , (84)
),(2 Hafc � , (85)
)(3 BfH � , (86)
),(4 bafB � , (87)
kur� sakar�bas (84) un (85) ir uzdotas apsl�pt� form� un
sakar�ba (86) ir neline�ra funkcija, kas uzdota tabulas veid� vai
grafiski. T�p�c m�rfunkcijas minimiz�cijai vispiem�rot�k� ir
interv�lu izsl�gšanas metode (sk. 6.4.), kuras algoritms apl�kojam�
piem�ra gad�jum� ir š�ds.
1. solis. Nosaka main�g� a mekl�šanas interv�lu [amin;
amax]:
maxmin B
a�
� ,
(88)
minmax B
a�
� ,
(89)
kur, vadoties no pieredzes, var pie�emt Bmin = 0,1 T, Bmax = 2,5
T. Š�das magn�tisk�s indukcijas v�rt�bas garant� to, ka optimuma
punkts atrad�sies min�taj� interv�l� [amin; amax].
2. solis. Saska�� ar interv�lu izsl�gšanas bisekciju metodi
atrod m�in�juma punktu
2maxmin aaam
�� ,
(90)
mekl�šanas interv�la garumu minmax aat �� (91)
un m�in�juma punktus
4min1t
aa �� ,
(92)
4max2t
aa �� .
(93) 3. solis. P�c formulas (79) apr�ina magn�tisk�s indukcijas
v�rt�bas attiec�gajos
m�in�juma punktos:
baB
11
�� ,
(94)
baB
22
�� ,
(95)
baB
mm
�� .
(96)
-
34
4. solis. No materi�la magnetiz�šanas l�knes B = f (H)
indukcijas v�rt�b�m B1, B2 un Bm atrod atbilstoš�s magn�tisk� lauka
intensit�tes v�rt�bas )( 11 BfH � ,
)( 22 BfH � un )( mm BfH � . Šim nol�kam var izmantot speci�lu
apakšprogrammu (sk. 5. pielikumu).
5. solis. P�c formulas (78) lielumu a1, a2, am un H1, H2, Hm
v�rt�b�m apr�ina c1, c2 un cm atbilstoš�s v�rt�bas.
6. solis. P�c formulas (83) attiec�gajos m�in�juma punktos
apr�ina m�rfunkcijas skaitlisk�s v�rt�bas )( 1af , )( 2af , )( maf
.
7. solis. Izmantojot interv�lu izsl�gšanas bisekciju metodes
algoritmu (sk. 6.4.), atrod jaun�s amin un amax v�rt�bas un p�riet
uz 2. soli.
Š�du iter�ciju procesu turpina tik ilgi, kam�r �t , kur � –
uzdot� pie�aujam� k��da.
Nobeigum� var atz�m�t, ka šeit iztirz�t� optimiz�cijas metode un
algoritms pamatvilcienos ir piem�rojami jebkura veida magn�tiskajai
sist�mai. Atšir�ba cit�da veida magn�tiskaj�m sist�m�m izpaud�sies
tikai m�rfunkcijas matem�tiskaj�s izteiksm�s un atseviš�s
sakar�b�s, kas saist�tas ar p�t�m� objekta eometriskajiem izm�riem,
turkl�t sarež�t�k�s magn�tisk�s sist�m�s j��em v�r� tas apst�klis,
ka magn�tisk� �de nav viendab�ga un satur daž�da š�rsgriezuma un
daž�da materi�la elementus, taj� skait� gaisa spraugas. T�p�c
min�tajos gad�jumos izteiksmes (73) viet� b�tu j�izmanto
izteiksme
"�i
ii LHiw vid , (97)
kur ar indeksu i apz�m�ti magn�tisk�s �des atseviši
neviendab�gie elementi.
8.2. Droseles optimiz�cijas programmat�ra
5. pielikum� dota FORTRAN programma, kas realiz� iepriekš
iztirz�to algoritmu. Š� programma ietver vair�kas apakšprogrammas,
kas paredz�tas atsevišu proced�ru izpildei. Pirm� no t�m
(subroutine mag) paredz�ta magnetiz�šanas l�knes izv�lei, kas tiek
veikta atbilstoši ieejas datos uzdotajam magn�tisk� materi�la
nosac�tajam apz�m�jumam jeb identifik�cijas numuram (sk. tabulu)
praks� visvair�k izmantojamo elektrotehnisko lokš�u t�raudu un
lieto t�raudu mark�m. Otr� apakšprogramma (subroutine hb)
attiec�gai t�rauda markai �auj noteikt magn�tisk�s indukcijas
v�rt�bai atbilstošu lauka intensit�tes H v�rt�bu. Šaj�
apakšprogramm� izmantota magnetiz�šanas l�knes gabaliem paraboliska
aproksim�cija. Treš� apakšprogramma (subroutine merkfunk) paredz�ta
m�rfunkcijas skaitlisko v�rt�bu apr�in�šanai p�c 8.1. dotaj�m
formul�m
-
35
Programm� pie�emtie galveno lielumu apz�m�jumi (identifikatori)
nor�d�ti tabul�.
Lielums Apz�m�jums
formul�s Apz�m�jums programm�
Uzdot� pie�aujam� k��da �� eps Magn�tisk� pl�sma �� F Str�vas
bl�vums j ajm Tinuma vadu un serdes t�rauda cenu attiec�ba qCu /qFe
p11 Magn�tisk�s indukcijas minim�l� un maksim�l� v�rt�ba
Bmin, Bmax Bmin, Bmax
Magn�tserdes materi�la t�rauda markas nosac�tais apz�m�jums
-
nmat *
Magn�tserdes biezums b t Magn�tserdes platuma minim�l� un
maksim�l� v�rt�ba amin, amax aa, bb M�in�juma punkti a1, a2, am x1,
x2, xm M�rfunkcijas skaitlisk�s v�rt�bas, kas apr�in�tas saska�� ar
izteiksmi (83)
f (a1), f (a2), f (am)
fx1, fx2, fxm
* Nosac�tie apz�m�jumi atbilst standartiz�tiem t�rauda marku
apz�m�jumiem [5]:
- elektrotehniskajam lokš�u t�raudam – 1211, 1213, 1311, 1411,
1412, 1413, 1511, 1512, 1513, 3411, 2013, 2211, 2312, 2411;
- T3 markas lokš�u t�raudam un lietajam t�raudam – 3.
-
36
Pielikumi 1. pielikums
Programma viena argumenta funkcijas minimiz�cijai ar interv�lu
izsl�gšanas
bisekciju metodi
open(2,file='res') write(*,*) ('eps=') read (*,*) eps write
(*,*) ('Xmin=') read (*,*) xmin write (*,*) ('Xmax=') read (*,*)
xmax 1 xm=(xmin+xmax)/2 el=xmax-xmin if(el.le.eps) goto 4
x1=xmin+el/4 x2=xmax-el/4 call fx(x1,f1) call fx(x2,f2) call
fx(xm,fm) if(f1.lt.fm) then xmax=xm goto 1 else if(f2.lt.fm) then
xmin=xm goto 1 else xmin=x1 xmax=x2 goto 1 end if end if 4 xopt=xm
write (2,76) xopt 76 format (1x,'xopt=',e8.3) end subroutine
fx(x,f) f=(100.0-x)**2 return end
-
37
2. pielikums
Programma viena argumenta funkcijas minimiz�cijai ar gradienta
metodi open (2,file='grad1res') write (*,*) ('Xmin=') read (*,*)
xmin write (*,*) ('Xmax=') read (*,*) xmax write (*,*) ('eps=')
read (*,*) eps xk=xmin call grad(xk,gk) s0=-(xmax-xmin)/2/gk 66
xk1=xk-s0*gk call grad(xk1,gk1) if(abs(gk1).le.eps) then goto 99
else s=gk*s/(gk-gk1) xk=xk1 gk=gk1 s=s0 goto 66 end if 99 xopt=xk1
write (2,55) xopt 55 format (1x,'Xopt=',f6.3) 88 end subroutine
grad(x,g) g=3*x**2+2*x-2 return end
-
38
3. pielikums Programma divu argumentu funkcijas minimiz�cijai ar
interv�lu izlsl�gšanas bisekciju
metodi
open(2,file='xy') write(*,*) ('Xmin=') read(*,*) xmin write(*,*)
('Xmax=') read(*,*) xmax write(*,*) ('Ymin=') read(*,*) ymin
write(*,*) ('Ymax=') read(*,*) ymax write(*,*) ('precizit�te
epsx=') read(*,*) epsx write(*,*) ('precizit�te epsy=') read(*,*)
epsy xm=(xmin+xmax)/2 ym=(ymin+ymax)/2 66 tx=xmax-xmin ty=ymax-ymin
if(tx.lt.epsx.and.ty.lt.epsy) goto 11 x1=xmin+tx/4 x2=xmax-tx/4
call fxy(x1,ym,fx1) call fxy(x2,ym,fx2) call fxy(xm,ym,fxm)
if(fx1.lt.fxm) then xmax=xm xm=x1 goto 33 else if(fx2.lt.fxm) then
xmin=xm xm=x2 goto 33 else xmin=x1 xmax=x2 xm=xm goto 33 end if end
if 33 y1=ymin+ty/4 y2=ymax-ty/4 call fxy(xm,y1,fy1) call
fxy(xm,y2,fy2) call fxy(xm,ym,fym) if(fy1.lt.fym) then ymax=ym
ym=y1 goto 66 else if(fy2.lt.fym) then ymin=ym ym=y2 goto 66 else
ymin=y1
-
39
ymax=y2 ym=ym goto 66 end if end if 11 xopt=xm yopt=ym
write(2,88) xopt,yopt 88 format(1x,'Xopt=',f8.5,3x,'Yopt=',f8.5)
end subroutine fxy(x,y,f) f=(x-2)**2+2.25*(y+1)**2 return end
-
40
4. pielikums
Programma divu argumenta funkcijas minimiz�cijai ar gradienta
metodi
open (2,file='grad2res') write (*,*) ('Xmin=') read (*,*) xmin
write (*,*) ('Xmax=') read (*,*) xmax write (*,*) ('Ymin=') read
(*,*) ymin write (*,*) ('Ymax=') read (*,*) ymax write (*,*)
('epsx=') read (*,*) epsx write (*,*) ('epsy=') read (*,*) epsy
xk=xmin yk=ymin call gradx(xk,yk,gxk) call grady(xk,yk,gyk)
sx=-(xmax-xmin)/2/gxk sy=-(ymax-ymin)/2/gyk 66 xk1=xk-sx*gxk
yk1=yk-sy*gyk call gradx(xk1,yk1,gxk1) call grady(xk1,yk1,gyk1)
if(abs(gxk1).le.epsx.and.abs(gyk1).le.epsy) then goto 99 else
sx=gxk*sx/(gxk-gxk1) sy=gyk*sy/(gyk-gyk1) xk=xk1 yk=yk1 gxk=gxk1
gyk=gyk1 goto 66 end if 99 xopt=xk1 yopt=yk1 write (2,55) xopt,yopt
55 format (1x,'Xopt=',f7.4, 3x,'Yopt=',f7.4) 88 end subroutine
gradx(x,y,g) g=10*x+13*y-7 return end subroutine grady(x,y,g)
g=13*x+42.5*y+32.5 return end
-
41
5. pielikums
Droseles optimiz�cijas programma c
********************************************************** c * * c
* DROSELES MAGN�TVADA OPTIMIZ�CIJAS PROGRAMMAS PIEM�RS * c
********************************************************** c open (
2,file='rezopt') c
==========================================================
c rrrrr - faila nosaukums, kur� tiks ierakst�ts rezult�ts c
----------------------------------------------------------
c Apz�m�jumi programm�: c eps - precizit�te; c F - magnetisk�
pl�sma; c t - serdes biezums; c ajm – str�vas bl�vums tinum�; c p11
- tinuma vadu un serdes t�rauda cenu attiec�ba; c Bmin -
magn�tisk�s indukcijas minim�l� v�rt�ba; c Bmax - magn�tiskas
indukcijas maksim�l� v�rt�ba; c nmat - magn�tserdes t�rauda markas
apz�m�jums; c aa - optimiz�jam� parametra minim�l� v�rt�ba; c bb -
optimiz�jam� parametra maksim�l� v�rt�ba; c
---------------------------------------------------------- c
========================================================== c c
-------------------------- c DATU IEVADES BLOKS write (*,*)
('eps=') read (*,*) eps write (*,*) ('F=') read (*,*) F write (*,*)
('t=') read (*,*) t write (*,*) ('ajm=') read (*,*) ajm write (*,*)
('p11=') read (*,*) p11 write (*,*) ('Bmin=') read (*,*) Bmin write
(*,*) ('Bmax=') read (*,*) Bmax write (*,*) ('nmat=') read (*,*)
nmat c -------------------------- c aa=F/(t*Bmax) bb=F/(t*Bmin)
a=aa b=bb 1 xm=(a+b)/2 el=b-a if(el.le.eps) goto 4 x1=a+el/4
x2=b-el/4
-
42
B1=F/(t*x1) call mag (nmat,B1,H1) call merkfunk
(H1,ajm,t,p11,x1,fx1) B2=F/(t*x2) call mag (nmat,B2,H2) call
merkfunk (H2,ajm,t,p11,x2,fx2) Bm=F/(t*xm) call mag (nmat,Bm,Hm)
call merkfunk (Hm,ajm,t,p11,xm,fxm) if(fx1.gt.fxm.and.fx2.gt.fxm)
goto 2 if(fx1.gt.fx2) then a=x1 goto 1 else b=x2 goto 1 end if 2
a=x1 b=x2 goto 1 4 xopt=xm Bopt=F/(t*xopt) call mag
(nmat,Bopt,Hopt) call merkfunk (Hopt,ajm,t,p11,xopt,fxopt) write
(2,76) xopt,fxopt 76 format (1x,'xopt=',e8.3,2x,'fxopt=',e10.3)
U=(bb-aa)/10 do 88 N=1,11 xl=aa+(N-1)*U Bl=F/(t*xl) call mag
(nmat,Bl,Hl) call merkfunk (Hl,ajm,t,p11,xl,fxl) write (2,323)
xl,fxl 323 format (1x,e8.3,3x,e8.3) 88 continue end c c
************************************************* c *
MAGNETIZ�ŠANAS L�KNES IZV�LES APAKŠPROGRAMMA* c * FUNKCION�L�S
SAKAR�BAS H=f(B) NOTEIKŠANAI * c
************************************************* subroutine mag
(nmat,b,h) DIMENSION
h12(37),h14(37),h15(37),h34(37),h20(37),h22(37), %h24(37),h3(37)
double precision h12,h14,h15,h34,h20,h22,h24,h3 data
h12/140.,155.,171.,191.,211.,236.,261.,287.,318.,352.,397.,
%3280.,4370.,5800.,7780.,10100.,12800.,15900.,19700.,24600.,
%31000.,42000.,65500.,104000.,144000./
data 14/60.,67.5,75.,82.5,90.,99.,109.,119.,133.,147.,166.,189.,
%217.,252.,298.,359.,444.,562.,722.,960.,1410.,2140.,3140.,4420.,
%5980.,7930.,10100.,13700.,18100.,24100.,33500.,53700.,88300.,
%128000.,167000.,207000.,247000/
data
h15/91.2,102.6,114.,129.,148.,168.,192.,220.,254.,289.,325.,
%367.,414.,470.,538.,623.,730.,870.,1080.,1410.,1940.,2700.,3850.,
%5000.,6700.,9300.,13000.,18000.,23000.,28000.,34000.,42500.,
%70000.,108000.,148000.,188000.,228000./ data
h34/53.4,60.1,66.7,73.4,80.1,89.1,98.7,109.1,120.,131.7,
%143.7,156.6,170.,190.,215.,240.,280.,320.,370.,430.,500.,580.,
%700.,850.,1000.,1500.,2000.,2500.,4000.,5900.,9200.,19000.,
%40000.,65000.,90000.,115000.,140000./ data
h20/44.,49.5,55.,60.5,66.,71.5,77.,82.5,88.,93.5,99.,104.5,
-
43
%110.,117.,125.,132.,141.,170.,200.,250.,300.,430.,620.,1130.,
%1700.,2500.,3400.,5000.,7000.,10000.,13000.,16500.,20700.,30000.,
%60000.,95000.,135000./ data
h22/54.84,61.69,68.55,75.4,82.26,89.11,96.,118.,140.,165.,
%190.,215.,240.,270.,300.,350.,400.,460.,550.,730.,1000.,1300.,
%1600.,2350.,3400.,4700.,7700.,10600.,13400.,16400.,19400.,27800.,
%38800.,49800.,65500.,104000.,144000./ data
h24/60.,67.5,75.,82.5,90.,99.,109.,119.,133.,147.,166.,187.,
%217.,252.,295.,344.,399.,460.,585.,860.,1230.,1750.,2500.,3540.,
%5000.,7120.,10000.,12500.,15600.,19100.,25000.,37500.,59000.,
%104000.,149000.,194000.,239000./ data
h3/320.,360.,400.,443.,488.,535.,584.,632.,682.,745.,798.,
%850.,924.,1004.,1090.,1187.,1290.,1430.,1590.,1810.,2090.,2440.,
%2890.,3430.,4100.,4850.,8500.,10000.,12800.,15800.,20200.,23500.,
%29000.,36100.,46000.,56000.,66000./ if
(nmat.eq.1211.or.nmat.eq.1213.or.nmat.eq.1311) go to 10 if
(nmat.eq.1411.or.nmat.eq.1412.or.nmat.eq.1413) go to 11 if
(nmat.eq.1511.or.nmat.eq.1512.or.nmat.eq.1513) go to 12 if
(nmat.eq.3411) go to 13 if (nmat.eq.2013) go to 14 if
(nmat.eq.2211.or.nmat.eq.2312) go to 15 if (nmat.eq.2411) go to 16
if (nmat.eq.3) go to 17 10 call hb(h12,b,h) go to 101 11 call
hb(h14,b,h) go to 101 12 call hb(h15,b,h) go to 101 13 call
hb(h34,b,h) go to 101 14 call hb(h20,b,h) go to 101 15 call
hb(h22,b,h) go to 101 16 call hb(h24,b,h) go to 101 17 call
hb(h3,b,h) 101 end c c
*****************************************************************
c * FUNKCION�L�S SAKAR�BAS H=f(B) NOTEIKŠANAS APAKŠPROGRAMMA * c
*****************************************************************
subroutine hb(hh,b,h) double precision a2,a1,a0,bb,hh dimension
bb(37),hh(37) do 39 i=1,37 39 bb(i)=0.4+(i-1)*0.05
if(0.le.b.and.b.lt.bb(1)) go to 30 j=1 50
if(bb(j).le.b.and.b.lt.bb(j+1)) go to 31 j=j+1 if (j.ge.36) go to
32 go to 50 30 a1=2.5*hh(1) h=a1*b go to 70 31
a2=200.0*(hh(j+2)-2*hh(j+1)+hh(j))
a1=10.0*(-hh(j+2)+4*hh(j+1)-3*hh(j)) a0=hh(j) go to 60
-
44
32 a1=20.0*(hh(37)-hh(36)) a0=hh(36) h=a1*(b-bb(36))+a0 go to 70
60 h=a2*(b-bb(j))**2+a1*(b-bb(j))+a0 70 return end c c
*************************************************************** c *
M�R�FUNKCIJAS APR��IN�ŠANAS APAKŠPROGRAMMA * c
***************************************************************
subroutine merkfunk (H,aj,t,p,
