Tema II

Análisis de agrupaciones lineales

1

¿Que es una agrupación de antenas?

• Definición:Definición: – Conjunto de antenas– Alimentadas desde un terminal común– Mediante redes lineales

• Se suelen incluir las condiciones:– Todos los elementos son iguales

2

Todos los elementos son iguales– Todos poseen la misma orientación

Diagrama de radiación de un grupo

• Cada elemento tiene un campo de radiación • Alimentado por una corriente IiAlimentado por una corriente Ii • Situado en un punto ri

• Radia con un diagrama de radiación Fi(θ,φ)• Y con un diagrama de polarización êi (θ,φ)

• El resto de los elementos no influye en su forma de radiar.

3

( )∑∑⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≈=

i

rrjkaiizizii

iigrupo

ierR

FeIEE ˆ0ˆηε

Multiplicación de diagramas

Partimos de un elemento en el origen de coordenada y alimentado con una corriente I0, que tomamos como referencia.Suponemos todos los elementos iguales y con la misma orientación.p g yCampo de un elemento en el punto ri y alimentado con Ii ...

ii rrjki

rrjkii eAEe

IIEE ˆ

0ˆ

00 == z

Fase relativa pordesplazamientofuera del origen

Campo radiado por un elemento unitario

en el origen

4

I0

Campo total radiado

∑∑ == irrjkielementoigrupo eAEEE ˆ

y

x

ri

Coeficiente dealimentación

complejo

Multiplicación de diagramas

El campo radiado puede ponerse como el de un elemento multiplicado por un factor que es función escalar de las coordenadas angulares.

Campo total radiado

FEE elementogrupo =

Factor de grupo o “Array factor”

z

5v

k

zyxrr iiii

ωλπ

θφθφθ

==

++=2

)cos()sen()sen()cos()sen(ˆ

∑= irrjkieAF ˆ),( φθ

g p yy

x

ri

Factor de array

r rE r E r FA e A( , , ) ( , , ) ( , )θ φ θ φ θ φ= ⋅

Principio de Multiplicación de Diagramas

•El diagrama de radiación es el Producto del diagrama del elemento y del factor de grupo.

•La polarización del campo total radiado depende sólo del elemento utilizado. (FA es un valor escalar).

•El factor de grupo permite analizar como influye la geometría y la ley de

6

•El factor de grupo permite analizar como influye la geometría y la ley de excitación sobre la radiación sin tener en cuenta el tipo de elemento utilizado.

•En grandes agrupaciones, FA(θ,φ) varía mucho más deprisa que el Ee(θ,φ), y se puede aproximar el diagrama total por el factor de grupo.

Elementos utilizados para formar agrupaciones

7

Grandes agrupaciones

Very Large Array (VLA).R di t l i it d SRadiotelescopio situado en Socorro, Nuevo México.Trabaja en las bandas desde 1 a 25GHz

8

)cos(ˆ θidrr i =Cuando ri=id ûz

Agrupaciones lineales equiespaciadas

∑∑−

=

+−

=

==1

0

))cos((1

0

))cos(( 00)(N

i

dikji

N

i

dikji

ieaeAF αθθθ

donde Ai=ai ejαi

d

9

Zd

Cuando Ai=(1/N)ejiα

Amplitud uniformeFase progresiva entre elementos

Alimentación uniforme

( ) ( ) αθψψ

ψ

θ +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= cos

2

210 dkdonde

sen

Nsen

NF

( ) ∑∑−

=

−

=

+ ==1

0

1

0

)cos( 11)( 0

N

i

jiN

i

dkji eN

eN

F ψαθθ

10

⎟⎠

⎜⎝ 2

Máximo en ψ=0, θ=cos-1(-α/k0d) Periódica de periodo 2π en ψNulos en ψ=2π/N

0.8

1

Margen visible

-300 -200 -100 0 100 200 3000

0.2

0.4

0.6

− + < < +2 2π

λα ψ π

λαd d

idDi i

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= −

d

toapuntamiendeDireccion

πλαθ

2cos 1

0

Factor de grupo1

|F( )|

Alimentación uniforme

0.4

0.6

0.8

n=2

|F(ψ)|

12

0 50 100 1500

0.2

n=10

ψ(gr)

N=10d=λ/2

30

6090

120

150

α=0 6090

120α=-60º

Variación de fase

30

210

240270

300

150

330

180 0

6090

120α=-120º

30

210

240270

300

150

330

180 0

6090

120α=-180º

13

30

210

240270

300

150

330

180 0

30

210

240270

300

150

330

180 0

Propiedades de la agrupación lineal con alimentación uniforme

La dirección del haz principal es: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= −

πd2λαcosθ 1

0

Nulos en para k=1,2..

El haz se estrecha al aumentar L=NdAnchura entre nulos (broadside): BWnulos≅2λ/LAnchura entre puntos de -3dB: BW3dB≅0.88λ/L

El haz se ensancha al inclinarlo.

⎠⎝

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= −

πd2λα

Ndkλcosθ 1

k

14

BW3dB≅0.88λ/Lsen(θ))

Aparecen lóbulos de difracción para d>λNo tenemos control del nivel de lóbulos secundarios

para N>10 SLL≅-13.4dB

Array Endfire Ordinario

2πFAN(ψ)

Los arrays endfire se caracterizan por conseguir un lóbulo principal tipo pincel

Máximo Principal: ( )θ θ π′0 o

según el eje de la agrupación.

2πN

2πN

0-2π ψ

Máximo Principal:Margen visible: − < <4 0π λ ψd

Anchura entre nulos del lóbulo principal:

Fase progresiva requerida:

( )θ θ π= =0 o

λdπ2dKα 0 −=−=

2λ

15

z4πd/λψiψf

θ=0θ=π

Anchura a -3dB:

¡Espaciado para Maxima Ganancia!

radNd2λ2BWλNdSi nulos =⇒>>

radNd.88λ02BWλNdSi 3dB- =⇒>>

Directividad de array lineal alimentado con fase progresiva

En el caso en el que ψ=0 (máximo principal) pertenece al margen visible.

F F22 2

( ) ( )D

F

F d d

F

F dAMAX

A

AMAX

A

= =∫∫ ∫

42

2

00

2 2

0

πθ θ θ φ θ θ θ

ππ πsen sen

( )ψ θ αψ θ θ ψ θ

α

α

= += −

=

−

+

∫kd

d kd dD

kd F

F dAMAX

Akd

kd

cossen

2 2

2

( ) ( ) ( )F F F a e a eA A A njn

N

njq

N

ψ ψ ψ ψ ψ21 1

= ⋅ = ⋅−

−−

∑ ∑*

( )F F aN

= =−

∑01

16

( ) ( ) ( )n q0 0= =∑ ∑ ( )F F aAMAX A n

n

= ==

∑00

( )( ) ( )

Da

a a akd n q

kd n qn q

nn

N

nn

N

n qq n

N

n

N=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−

−−

=

−

=

−

= +

−

=

−

∑

∑ ∑∑0

1 2

2

0

1

1

1

0

2

2sen

cos α

¡ATENCION!: No se cumple que la directividad de un array real es igual al producto de esta directividad por la del elemento

Directividad con alimentación uniforme

Alimentación uniforme (an=1, ∀n):

D N2

( )D

N N m mkdmkd

mn

N=+ −

=

−

∑0

1

2 sen cos α

d k D N

d d D N d L

= =

≈ < = =

λ

λ λλ λ

22 2 2,

•Casos de Interés:

Array Broadside (α=0)

Separación múltiplo de λ/2

17

dN

D N d L

D N d L

≤ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

= =

λ λλ

λ λ

λ λ

1 12 2

4 4

7 8 7 8, ,

Array Endfire ordinario

Array Handsen y Woodyard

40

Di

Gráficas de Directividad. Array broadside

15

20

25

30

35

N=1 ... 10

Dir

α=0D=2Nd/λ

18

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

D/λ

40

Gráficas de Directividad.Array endfire

Dir

α=-2πd/λD=4Nd/λ

15

20

25

30

35

N=1 ... 10

α 2πd/λ

19

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

D/λ

25d/λ=0,40

Situaciones“E dfi ”

Directividad arrays con fase progresiva

N=10

10

15

20

“Endfire”

Zona desuperganancia

d/λ=0,9

20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

5

α (rad)

D N d= 2

λ

Zona independiente de α d/λ=0,25

Influencia del elemento en la directividad

En general NO se pueden multiplicar las directividades del elemento y el factor de grupo.Es necesario integrar el producto de diagramas.Normalmente el elemento es menos directivo, pero puede cancelar alguna dirección de radiación de la agrupaciónLa directividad del conjunto suele ser mayor o igual a

21

La directividad del conjunto suele ser mayor o igual a la de la agrupación de elementos isótropos.

Directividad de una agrupación de dipolos según su orientación

40Dir

15

20

25

30

35

40

Dipolos en el eje Z

Dipolos en el eje X

N=10

22

0 0.5 1 1.50

5

10

D/λ

Isótropos

Alimentación uniforme

Cuando Ai=1 para i=0 a n-1N=20

-25-20-15-10-50

0.50.60.70.80.9

1 1 13.4dB

Ai=1

23

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-50-45-40-35-3025

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 500.10.20.30.4

Alimentación triangular

Cuando Ai=1-abs(-(n-1)/2+i)/(n/2));para i=0 a n-1

N=20N=20

-25-20-15-10-50

0.50.60.70.80.9

1

26.8dB

24

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-50-45-40-35-3025

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 500.10.20.30.4

Alimentación coseno-sobre pedestal

Cuandopara i=0 a n-1N=20 H=0 5N=20 H=0.5

25-20-15-10-50

0 50.60.70.80.9

122dB

25

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-50-45-40-35-30-25

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 500.10.20.30.40.5

Alimentación binomial

Cuando para i=0 a N-1para i 0 a N 1

25-20-15-10-50

0 50.60.70.80.9

1Sin

lóbulos

26

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-50-45-40-35-30-25

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 500.10.20.30.40.5

Ejercicio

Programa Matlab para obtener:El factor de array de una agrupación cualquiera de y g p qelementos iguales y con la misma orientación.Dada una matriz Posición (3,N) que contiene las posiciones x,y,z, de los elementos.Una matriz compleja Alimentación (1,N) que contiene las corrientes de alimentación.Para cualquier dirección en Nt valores de la variable Theta desde un mínimo a un máximo.

27

Para Nf valores de la variable Phi desde un mínimo a un máximo.Presentar un ejemplo que tenga un haz principal claro dirigido en Theta=90º y Phi=0.

Ejercicios

Diseñar una antena array con elementos radiantes cuyo diagrama en el plano ZX es de la forma:y g pE0=sena(θ) con a=1,2,…5 y 0<θ<πAncho de haz a -3dB 2<BW<10ºDirección de apuntamiento 50º<θ0<100º

Determinar número de elementos

28

Distancia entre elementosAlimentaciónDibujar el diagrama