83
A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér Spektrální analýza Fourierovy řady Diskrétní Fourierovy řady Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace Fázový vokodér Analýza Transformace Syntéza Triky změny v čase a ve frekvenci

A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

A2B31SMS – 4. PŘEDNÁŠKA 23. října 2017

Fázový vokodér • Spektrální analýza

• Fourierovy řady

• Diskrétní Fourierovy řady

• Fourierova transformace

• Diskrétní Fourierova transformace

• Fázový vokodér

• Analýza

• Transformace

• Syntéza

• Triky – změny v čase a ve frekvenci

Page 2: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Fourierovy řady I

• Jean Baptiste Fourier (francouzský matematik 1768 - 1830)

• Harmonická analýza

Libovolný periodický signál lze rozložit na

jednotlivé harmonické složky.

• Harmonická syntéza

Kombinací harmonických složek lze vytvořit

prakticky libovolný periodický signál.

Page 3: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Fourierovy řady II

• Trigonometrický tvar Fourierových řad

a0 …stejnosměrná složka

ak, bk …koeficienty Fourierovy řady

k …pořadí harmonické složky

1

000)]sin()cos([)(

kkk

tkbtkaatx

T

kdttktx

Ta

0

0)cos()(

2

T

dttxT

a0

0)(

1T

kdttktx

Tb

0

0)sin()(

2

Page 4: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Fourierovy řady III

• Spektrální (polární) tvar Fourierových řad

ck … amplituda k-té spektrální složky

k … fáze k-té spektrální složky

0

0)cos()(

kkk

tkctx

k

k

ka

barctan

22

kkkbac

Page 5: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Fourierovy řady IV

• Komplexní (exponenciální) tvar Fourierových řad

Xk … komplexní koeficient

k

tk

kXtx 0j

e)(

kkXc 2)j(

2

1kkkbaX

Page 6: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Fourierovy řady

2

2

2j 0e)(1

T

T

tkf

k dttxT

X

Page 7: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Diskrétní Fourierovy řady

NnkN

n

nxN

kX /2j1

0

e][1

][

• K výpočtu spektra periodických číslicových signálů lze použít vztah

2

2

2j 0e)(1

T

T

tkf

k dttxT

X

Page 8: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Diskrétní Fourierovy řady

NnkN

n

nxN

kX /2j1

0

e][1

][

• K výpočtu spektra periodických číslicových signálů lze použít vztah

2

2

2j 0e)(1

T

T

tkf

k dttxT

X

– Pro signál popsaný N vzorky je podstatných N/2 hodnot spektra. Dalších N/2 hodnot jsou čísla komplexně sdružená a není třeba je počítat.

Page 9: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Diskrétní Fourierovy řady

NnkN

n

nxN

kX /2j1

0

e][1

][

• K výpočtu spektra periodických číslicových signálů lze použít vztah

2

2

2j 0e)(1

T

T

tkf

k dttxT

X

– Pro signál popsaný N vzorky je podstatných N/2 hodnot spektra. Dalších N/2 hodnot jsou čísla komplexně sdružená a není třeba je počítat.

– Výpočtem podle výše uvedeného vztahu dostaneme diskrétní spektrum s hodnotami komplexních koeficientů na frekvencích k·Fs/N.

Page 10: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Diskrétní Fourierovy řady

NnkN

n

nxN

kX /2j1

0

e][1

][

• K výpočtu spektra periodických číslicových signálů lze použít vztah

2

2

2j 0e)(1

T

T

tkf

k dttxT

X

– Pro signál popsaný N vzorky je podstatných N/2 hodnot spektra. Dalších N/2 hodnot jsou čísla komplexně sdružená a není třeba je počítat.

– Výpočtem podle výše uvedeného vztahu dostaneme diskrétní spektrum s hodnotami komplexních koeficientů na frekvencích k·Fs/N.

– Spektrum můžeme počítat i pro k > N, dostaneme však stejné hodnoty jako pro základní interval -N/2 < k < N/2. Spektrum číslicových signálů je periodické s periodou Fs.

Page 11: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Od periodických signálů k

neperiodickým

• Spojité signály (popsané analytickou funkcí)

• Na neperiodický signál se nahlíží jako na signál, jehož T→∞

• Místo FŘ se používá FT

• Protože T→∞, Δf→0 … spektrum spojité

dttxfX ft2je)()(

2

2

2j 0e)(1

T

T

tkf

k dttxT

X

Page 12: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Od FT k DFT

dttxfX ft2je)()(

• Číslicové signály (nejsou spojité a nejsou nekonečně dlouhé)

• Numerický ekvivalent FT bude

NnkN

n

nxkX /2j1

0

e][][

• DFT je popsána stejným vztahem jako DFŘ

• Spektrum číslicového signálu je diskrétní a periodické

Page 13: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Diskrétní Fourierova transformace • Definiční vztah

NnkN

n

nxkX /2j1

0

e][][

Page 14: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Diskrétní Fourierova transformace • Definiční vztah

• Vstupem je N hodnot čísl. signálu (podle předpokladu jde o 1 periodu)

NnkN

n

nxkX /2j1

0

e][][

Page 15: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Diskrétní Fourierova transformace • Definiční vztah

• Vstupem je N hodnot čísl. signálu (podle předpokladu jde o 1 periodu)

• Výstupem je N hodnot komplexních koeficientů spektra na normovaných

frekvencích k/N, tj. na reálných frekvencích k·Fs/N.

NnkN

n

nxkX /2j1

0

e][][

Page 16: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Diskrétní Fourierova transformace • Definiční vztah

• Vstupem je N hodnot čísl. signálu (podle předpokladu jde o 1 periodu)

• Výstupem je N hodnot komplexních koeficientů spektra na normovaných

frekvencích k/N, tj. na reálných frekvencích k·Fs/N.

• Spektrum je periodické s periodou Fs, tj pro k > N dostaneme tytéž hodnoty.

NnkN

n

nxkX /2j1

0

e][][

Page 17: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Diskrétní Fourierova transformace • Definiční vztah

• Vstupem je N hodnot čísl. signálu (podle předpokladu jde o 1 periodu)

• Výstupem je N hodnot komplexních koeficientů spektra na normovaných

frekvencích k/N, tj. na reálných frekvencích k·Fs/N.

• Spektrum je periodické s periodou Fs, tj pro k > N dostaneme tytéž hodnoty.

• Hodnoty koeficientů pro N/2 < k < N jsou komplexně sdružené s prvními N/2

hodnotami, netřeba je počítat. Při určování modulu jednostranného spektra

je nutné násobit dvěma.

NnkN

n

nxkX /2j1

0

e][][

Page 18: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Diskrétní Fourierova transformace • Definiční vztah

• Vstupem je N hodnot čísl. signálu (podle předpokladu jde o 1 periodu)

• Výstupem je N hodnot komplexních koeficientů spektra na normovaných

frekvencích k/N, tj. na reálných frekvencích k·Fs/N.

• Spektrum je periodické s periodou Fs, tj pro k > N dostaneme tytéž hodnoty.

• Hodnoty koeficientů pro N/2 < k < N jsou komplexně sdružené s prvními N/2

hodnotami, netřeba je počítat. Při určování modulu jednostranného spektra

je nutné násobit dvěma.

• Pokud vybraných N vzorků signálu netvoří jednu periodu

(v praxi je to téměř vždy), jsou výsledné hodnoty zatíženy chybami

(objeví se neexistující složky).

NnkN

n

nxkX /2j1

0

e][][

Page 19: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Zpětná (inverzní) DFT DFT

NnkN

n

nxkX /2j1

0

e][][

IDFT

NnkN

n

kXN

nx /2j1

0

e][1

][

Page 20: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Zpětná (inverzní) DFT DFT

• Vztah pro IDFT se liší od DFT pouze ve znaménku exponenciální funkce.

Normovací koeficient 1/N se někdy uvádí u DFT.

NnkN

n

nxkX /2j1

0

e][][

IDFT

NnkN

n

kXN

nx /2j1

0

e][1

][

Page 21: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Zpětná (inverzní) DFT DFT

• Vztah pro IDFT se liší od DFT pouze ve znaménku exponenciální funkce.

Normovací koeficient 1/N se někdy uvádí u DFT.

• Do IDFT vstupuje vždy N hodnot dvoustranného spektra, tj. nejenom N/2

hodnot jednostranného spektra.

NnkN

n

nxkX /2j1

0

e][][

IDFT

NnkN

n

kXN

nx /2j1

0

e][1

][

Page 22: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Zpětná (inverzní) DFT DFT

• Vztah pro IDFT se liší od DFT pouze ve znaménku exponenciální funkce.

Normovací koeficient 1/N se někdy uvádí u DFT.

• Do IDFT vstupuje vždy N hodnot dvoustranného spektra, tj. nejenom N/2

hodnot jednostranného spektra.

• Pokud na signál aplikujeme nejprve DFT a následně IDFT, dostaneme

tentýž signál. Vyplývá to z toho, že popis signálu v časové i ve frekvenční

oblasti je ekvivalentní co do úplnosti informace. (Ve spektrální oblasti však

musíme vždy uvažovat jak modul, tak i fázi.)

NnkN

n

nxkX /2j1

0

e][][

IDFT

NnkN

n

kXN

nx /2j1

0

e][1

][

Page 23: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Fast Fourier Transform

• FFT – rychlý algoritmus výpočtu DFT

• Poskytuje stejné hodnoty jako DFT, ale mnohem rychleji

• Vysoké rychlosti je dosaženo optimalizovaným způsobem

• symetričnost exponenciálních členů, podobnost mezi lichými a sudými

koeficienty…

Page 24: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Fast Fourier Transform

• FFT – rychlý algoritmus výpočtu DFT

• Poskytuje stejné hodnoty jako DFT, ale mnohem rychleji

• Vysoké rychlosti je dosaženo optimalizovaným způsobem

• symetričnost exponenciálních členů, podobnost mezi lichými a sudými

koeficienty…

• Nejrychleji funguje v případech, že N je mocninou 2

• Např. pro N=1024 je FFT 200x rychlejší než DFT

Page 25: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Fast Fourier Transform

• FFT – rychlý algoritmus výpočtu DFT

• Poskytuje stejné hodnoty jako DFT, ale mnohem rychleji

• Vysoké rychlosti je dosaženo optimalizovaným způsobem

• symetričnost exponenciálních členů, podobnost mezi lichými a sudými

koeficienty…

• Nejrychleji funguje v případech, že N je mocninou 2

• Např. pro N=1024 je FFT 200x rychlejší než DFT

• V MATLABu

• fft(x) …spočítá DFT pro signál x

• ifft(x)…spočítá IDFT pro spektrum x

Page 26: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Váhování

Page 27: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 28: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 29: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 30: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 31: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 32: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 33: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 34: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 35: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 36: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 37: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 38: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 39: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 40: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 41: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 42: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 43: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

* =

Page 44: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

* =

Page 45: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 46: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy
Page 47: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

-1

0

1

2

Page 48: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-2

-1

0

1

2

Page 49: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Page 50: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Praktická aplikace DFT a FFT

• Analyzovaný signál rozdělíme do kratších úseků

Page 51: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Praktická aplikace DFT a FFT

• Analyzovaný signál rozdělíme do kratších úseků

• Délku segmentu volíme tak, aby se počet vzorků

N rovnal mocnině 2

Page 52: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Praktická aplikace DFT a FFT

• Analyzovaný signál rozdělíme do kratších úseků

• Délku segmentu volíme tak, aby se počet vzorků

N rovnal mocnině 2

• Pokud nelze zvolit N jako mocninu 2, doplníme

signál nulami

Page 53: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Praktická aplikace DFT a FFT

• Analyzovaný signál rozdělíme do kratších úseků

• Délku segmentu volíme tak, aby se počet vzorků

N rovnal mocnině 2

• Pokud nelze zvolit N jako mocninu 2, doplníme

signál nulami

• Vzorky vynásobíme vhodným oknem

Page 54: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Praktická aplikace DFT a FFT

• Analyzovaný signál rozdělíme do kratších úseků

• Délku segmentu volíme tak, aby se počet vzorků

N rovnal mocnině 2

• Pokud nelze zvolit N jako mocninu 2, doplníme

signál nulami

• Vzorky vynásobíme vhodným oknem

• Pomocí FFT vypočítáme komplexní koeficienty

spektra

Page 55: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Praktická aplikace DFT a FFT

• Analyzovaný signál rozdělíme do kratších úseků

• Délku segmentu volíme tak, aby se počet vzorků

N rovnal mocnině 2

• Pokud nelze zvolit N jako mocninu 2, doplníme

signál nulami

• Vzorky vynásobíme vhodným oknem

• Pomocí FFT vypočítáme komplexní koeficienty

spektra

• Do časové oblast se lze vrátit pomocí IFFT

Page 56: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10-3

0

0.5

1

1.5

2

---> cas [s]

am

plit

uda

Jedna perioda harmonickeho signalu f=500 Hz

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

---> frekvence [s]

am

plit

uda

Zrcadlene spektrum harmonickeho signalu v meritku

Zobrazení signálů ve frekvenční oblasti

Page 57: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Frekvenční osa v periodogramu

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10-3

0

0.5

1

1.5

2

---> cas [s]

Jedna perioda obdelnikoveho signalu

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

---> frekvence <0...fs> [Hz]

Zrcadlene spektrum obdelnika

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

---> uhlova frekvence <0...2 [rad]>

b)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

---> normovana uhlova frekvence <0...2> [-]

c)

0 5 10 150

0.5

1

---> poradi harmonicke

d)

Page 58: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Jednostranné a dvoustranné spektrum

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 40000

0.2

0.4

0.6

0.8

1Dvoustranne spektrum obdelnika

---> f [Hz]

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.5

1

1.5Amplitudove spektrum obdelnika v meritku

Page 59: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Porovnání oken

0 20 40 600

0.5

1

f(k)

Blackmanovo okno

0 0.5 1-150

-100

-50

0

|F| [d

B]

0 20 40 600

0.5

1

f(k)

Dolph-Cebys okno

0 0.5 1-150

-100

-50

0

|F| [d

B]

0 20 40 600

0.5

1

f(k)

Dolph-Cebys okno

0 0.5 1-150

-100

-50

0

|F| [d

B]

0 20 40 600

0.5

1

f(k)

Pravouhle okno

0 0.5 1-150

-100

-50

0

|F| [d

B]

0 20 40 600

0.5

1

f(k)

Hannovo okno

0 0.5 1-150

-100

-50

0

|F| [d

B]

0 20 40 600

0.5

1

f(k)

Hammingovo okno

0 0.5 1-150

-100

-50

0

|F| [d

B] N/4

N/6

Page 60: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Potlačení prosakování váhováním signálu

0 20 40 60 80 100 120

-1

-0.5

0

0.5

1

x2H[n

]

Signal x2[n] vahovany Hammingovym oknem, dve periody

n

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

|X2H(k

)|

Spektrum signalu x2H

[n] vahovaneho Hammingovym oknem

k

0 20 40 60 80 100 120

-1

-0.5

0

0.5

1

x2[n

]

x2[n]=sin(n*pi/10), n=0..63, dve periody

n

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

|X2(k

)|

Spektrum signalu x2[n]

k

0 20 40 60 80 100 120

-1

-0.5

0

0.5

1

x1H[n

]

Signal x1[n] vahovany Hammingovym oknem, dve periody

n

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

|X1H(k

)|

Spektrum signalu x1H

[n] vahovaneho Hammingovym oknem

k

0 20 40 60 80 100 120

-1

-0.5

0

0.5

1

x1[n

]

x1[n]=sin(k*pi/8), n=0..63, dve periody

n

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

|X1(k

)|

Spektrum x1[n]

k

Page 61: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Doplnění nul

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2Jedna perioda obdelnikoveho signalu

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

1

1.5Zrcadlene spektrum obdelnika

---> frekvence <0...fs>

Page 62: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Spektrogramy – rozlišení

---> cas

--->

fre

kvence

0,128 s

0 0.2 0.40

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

---> cas

0,064 s

0 0.2 0.40

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

---> cas

0,032s

0 0.2 0.40

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

---> cas

0,016 s

0 0.2 0.40

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Page 63: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Spektrum samohlásek

0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41-1

0

1

---> cas [s]

samohlaska "a"

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

2

4

6

8

10

---> frekvence [Hz]

amplitudove spektrumf0 = 1/T

0 f

2

f3

T0 = 1/f

0

f0

f1

0.352 0.353 0.354 0.355 0.356 0.357 0.358 0.359 0.36 0.361-1

0

1

---> cas [s]

1 perioda samohlasky "a"

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.5

1

1.5

---> frekvence [Hz]

amplitudove spektrum

f2 f

3

f1

Page 64: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Spektrogramy

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

-0.5

0

0.5

1

---> cas [s]

slovo "jedna"

---> cas [s]

--->

fre

kvence [

Hz]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

1000

2000

3000

4000

---> cas [s]

--->

fre

kvence [

Hz]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

1000

2000

3000

4000

0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41-1

-0.5

0

0.5

1

---> cas [s]

samohlaska "a"

---> cas [s]

--->

fre

kvence [

Hz]

0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.410

1000

2000

3000

4000

---> cas [s]

--->

fre

kvence [

Hz]

0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.410

500

1000

širokopásmové

úzkopásmové

Page 65: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Spektrogramy

a) širokopásmový spektrogram – dobré rozlišení v čase

(základní frekvence je určena vertikálními pruhy)

load osum.asc;

sig = osum; fs = 8000;

subplot(2,1,1);

specgram(sig,1024,fs,hamming(32),30);

title(‘wideband spectrogram')

xlabel(''), ylabel('frequence [Hz]')

b) úzkopásmový spektrogram – dobré frekvenční rozlišení

(základní frekvence je určena horizontálními pruhy)

subplot(2,1,2);

specgram(sig,1024,fs,hamming(512),500);

title(‘narrowband spectrogram')

xlabel('---> cas [s]'), ylabel('frequence [Hz]')

Page 66: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

3d zobrazení

Page 67: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Aplikace: vokodér

Page 68: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér

Frekvenční posunutí

Časové prodloužení a zkrácení

Triky s vokodérem

Page 69: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

1

0

21 n

k

n

mkj

km exn

X

1

0

21 n

m

n

mkj

mk eXn

x

Vokodér

Re-syntéza

Krátkodobá Fourierova transformace

Page 70: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér

Změna základní periody (pitch shifting) bez časového zkreslení

ve studiích využíváno k úpravě délky

Libovolné změny ve spektrálních obálkách

Prodlužení nebo zkrácení času (komprese, expanze) bez zkreslení

základní periody

Triky s vokodérem

lze využít ve studiu ke korekcím

Page 71: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér

Změna základní periody (pitch shifting) bez časového zkreslení

• Úzkopásmový spektrogram (zachovává spektrální charakteristiky)

=> okno ~ 30-40 ms

• 50% - 75% překrytí je optimální pro rekonstrukci

SPEKTRÁLNÍ MANIPULACE - INTERPOLACE

• krok nové časové mřížky je dán 1/R

• amplitudová spektra jsou lineárně interpolována

• pro rekonstrukci signálu původní je důležitý fázový rozdíl

Prodlužení nebo zkrácení času (komprese, expanze) bez zkreslení

základní periody ve studiích využíváno k úpravě délky

Triky

Časově pozměněný signál je převzorkován na původní délku

Page 72: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér I

% encode

X = []; k=1;

for start = 0:window_shift:N-window_length,

frame = sig(start+1:start+window_length)…

.*hamming(window_length);

X(:,k)=fft(frame);

k=k+1;

end

Page 73: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér II

% interpolation

%Y=X;

Page 74: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér II

% interpolation

%Y=X;

Xmag = interp1q([0:size(X,2)-

1]',abs(X'),[0:1/R:size(X,2)-2]');

Page 75: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér II

% interpolation

%Y=X;

Xmag = interp1q([0:size(X,2)-

1]',abs(X'),[0:1/R:size(X,2)-2]');

new_grid=floor(0:1/R:size(X,2)-2)+1;

Page 76: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér II

% interpolation

%Y=X;

Xmag = interp1q([0:size(X,2)-

1]',abs(X'),[0:1/R:size(X,2)-2]');

new_grid=floor(0:1/R:size(X,2)-2)+1;

D=diff(angle(X'))';

Page 77: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér II

% interpolation

%Y=X;

Xmag = interp1q([0:size(X,2)-

1]',abs(X'),[0:1/R:size(X,2)-2]');

new_grid=floor(0:1/R:size(X,2)-2)+1;

D=diff(angle(X'))';

D_new=D(:,new_grid);

Page 78: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér II

% interpolation

%Y=X;

Xmag = interp1q([0:size(X,2)-

1]',abs(X'),[0:1/R:size(X,2)-2]');

new_grid=floor(0:1/R:size(X,2)-2)+1;

D=diff(angle(X'))';

D_new=D(:,new_grid);

phaseX = cumsum(D_new');

Page 79: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér II

% interpolation

%Y=X;

Xmag = interp1q([0:size(X,2)-

1]',abs(X'),[0:1/R:size(X,2)-2]');

new_grid=floor(0:1/R:size(X,2)-2)+1;

D=diff(angle(X'))';

D_new=D(:,new_grid);

phaseX = cumsum(D_new');

Y = (Xmag .* exp(j*phaseX))';

Page 80: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Vokodér III

% decode

k=1; N_new=size(Y,2)*window_shift+window_length;

signal_y=zeros(N_new,1);

for start = 0:window_shift:(size(Y,2)-1)*window_shift,

segment=real(ifft(Y(:,k),window_length))…

.*hamming(window_length);

signal_y((start+1):(start+window_length))...

=signal_y((start+1):(start+window_length))+segment;

k=k+1;

end

Page 81: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

Potlačení šumu pomocí vokodéru nonlinear spectral subtraction

[Vaseghi,S.V.: Advanced Signal Processing and Digital Signal Processing]

Page 82: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

% spectral manipulation

%

coef=0.02;

r=abs(X')./window_length

;

Y = (X'.*r./(r+coef))';

Potlačení šumu pomocí vokodéru nonlinear spectral subtraction

[Vaseghi,S.V.: Advanced Signal Processing and Digital Signal Processing]

Page 83: A2B31SMS 4. PŘEDNÁŠKA Fázový vokodérsami.fel.cvut.cz/sms/SMS04.pdf · A2B31SMS – 4.PŘEDNÁŠKA 23. října 2017 Fázový vokodér • Spektrální analýza • Fourierovy

% spectral manipulation

%

coef=0.02;

r=abs(X')./window_length

;

Y = (X'.*r./(r+coef))';

Potlačení šumu pomocí vokodéru nonlinear spectral subtraction

[Vaseghi,S.V.: Advanced Signal Processing and Digital Signal Processing]